Рубрика: Школьная жизнь

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление;
• возведение комплексного числа в степень;
• извлечение корня $n$—й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Определение 1

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

• $a$ — вещественная (действительная) часть;
• $b$ — мнимая часть.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Определение 3

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Примечание 1

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.\]

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.\]

Пример 1

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2} $2) $z_{1} -z_{2} $ для заданных комплексных чисел $z_{1} =2+4i$ и $z_{2} =1-3i$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)+(1-3i)=(2+1)+(4-3)i=3+i\]

2) По определению имеем: $z_{1} -z_{2} =(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)-(1-3i)=(2-1)-(4+3)i=1-7i.\]

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Пример 2

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

Решение:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

\[z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (2-2i)=\]

\[1\cdot 2+3\cdot 2i+1\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)=2+6i-2i-6i^{2} =2+4i+6=8+4i\]

Пример 3

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i \sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].\]

Примечание 2

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

• представить запись операции деления в виде дроби;
• числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
• привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 4

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

Решение:

Для исходных чисел получаем:

Пример 5

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

Решение:

По определению имеем: $z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Пример 6

Выполнить действие $z^{3} $, где $z=3\cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

Пример 7

Выполнить действие $z^{100} $, где $z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{100} =1^{100} \cdot \left(\cos \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=1\cdot \left(\cos 50\pi +i\cdot \sin 50\pi \right)=1\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right).\]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Пример 8

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

spravochnick.ru

Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.

Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$

Умножение двух комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.421.  $(2+3i)(3-i).$

Решение:

$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$

Ответ: $9+7i.$

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$

Ответ: $24+22i.$

1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$

Решение.

$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$

 {jumi[*4]}

1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$

Решение.

$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$

Ответ: $\frac{14}{5}i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$

$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$

$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$

Ответ: $x=2; y=3.$

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.422.  $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

Ответ: $-4i.$

1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$

Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$

1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$

Ответ: $i.$

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

mathportal.net

Действия с комплексными числами

Время проведения –2 часа.

Цель работы:отработать навыки выполнения действий с комплексными числами; научиться решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицателен.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие мнимой единицы;

2. Понятие комплексного числа;

3. Понятие модуля и аргумента комплексного числа;

4. Равенство комплексных чисел;

5. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

6. Действие над комплексными числами в алгебраической форме;

7. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

8. Тригонометрическая форма комплексного числа;

Содержание работы:

1. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

2. Выполнение действий над комплексными числами;

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

Литература:[1, с.17-23]

Порядок выполнения задания:

При выполнении первого задания необходимо учитывать следующее: в комплексных числах можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, так как , где — мнимая единица. Следовательно, в поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение, в том числе с отрицательным дискриминантом.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Найдем дискриминант , , следовательно, уравнение имеет мнимые корни, которые находят по формуле

Ответ:

Для выполнения второго, третьего заданий необходимо уметь применять операции над комплексными числами и знать правило равенства комплексных чисел.

Отметим, что с комплексными числами, записанными в алгебраической форме, операции сложения, вычитания и умножения можно производить также, как с действительными биномами, деление выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Правило равенства: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Пример: Найдите сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел

Решение:

, где

Ответ: , , ,

Пример: Найдите действительные решения уравнения

Решение:

В соответствии с правилом равенства получаем:

Ответ:

Для выполнения четвертого, пятого заданий необходимо знать тригонометрическую форму записи комплексного числа и его геометрическую интерпретацию.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу ставится в соответствие точка М координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу (ось называют действительной), а коэффициент при мнимой части – ординату точки (ось называют мнимой).

Расстояние от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу , называют модулем этого числа, который вычисляют по формуле: . Угол между положительной полуосью и лучом называют аргументом комплексного числа . Выражение называют тригонометрической формой комплексного числа.

Пример: Изобразить на комплексной плоскости число и записать его в тригонометрической форме.

Решение:

Комплексному числу соответствует точка плоскости

Для комплексного числа имеем: , (по чертежу).

Поэтому в тригонометрической форме комплексное число имеет вид:

Ответ:

Вариант 1

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

Вариант 2

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, предствавив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

Практическая работа № 8

infopedia.su

§ 2.Действия над комплексными числами

П.2.1.Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).                             (2.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁

• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (2.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

П.2.2.Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z₂, дает число z_l т. е. z=z₁-z₂, если z+z₂=z₁.

Если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то из этого определения легко получить z:

z=z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂).                          (2.2)

Из равенства (2.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|. Отметим, что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z₀=2i, т. е. окружность с центром в z₀=2i и радиусом 1.

П.2.3. Умножение комплексных чисел

Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ). (2.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 =- 1. (2.4)

Действительно, i2=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (2.4) формула (2.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2:

(х1 +iy1 )(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2 ).

Например,

(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i.

Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х2+у2 — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z1z2=z2z1

(z1z2)z3=z1(z2z3).

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

В этом легко убедиться, используя определение (2.3).

Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме:

z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)=

r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)=

=r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))=

=r1r2(cos(φ1+φ2)+i sin(φ1+φ2)),

т. е.

z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ). (2.5)

Формула (2.5) называется формулой Муавра.

studfiles.net

7 раб

Методические рекомендации к выполнению практической работы №7.

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

• Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.

• Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

• Тригонометрическая форма комплексного числа.

• Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.

Определение 1: Комплексными числами называются числа вида , гдеи— действительные числа, а число, определяемое равенством, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1). Два комплексных числа иназываются равными, если,;

2). Суммой двух комплексных чисел иназывается комплексное число;

3). Произведением двух комплексных чисел иназывается комплексное число;

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа, где называется действительной частью комплексного числа, а —мнимой частью.

Пример1: 7+3i

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел. Поэтому его можно записать так: .

Пример: 4=4+0i

Определение 2: Комплексное число называетсякомплексно сопряженным

с числом и обозначается, то есть.

Пример2: 2+5i и 2-5i

Определение 3: Модулем комплексного числа называется число:. Причем.

Комплексное число можно изобразить двумя способами:

1. Точкой плоскости с координатами (а;в).

При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа- точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

2. В виде вектора с началом в начале координат () и концом в точке М(а;в) ().

Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в),поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора.

Определение 4: Угол φ между действительной осью ОХ и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называетсяаргументом комплексного числа. Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, иначе- отрицательной.

Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутканазываетсяглавным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует:

Пример3:

Изобразить геометрическую интерпретацию комплексного числа, найти модуль комплексного числа и главное значение аргумента.

а). ; б).; в)..

Решение:

а).

;

б).

;

в).

2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение и умножение комплексных чисел мы ввели в определении комплексного числа. Введем правила вычитания и деления комплексных чисел: ;

.

Но удобнее всего действия над комплексными числами производить с помощью правил соответствующих действий над многочленами и понятием мнимой единицы.

Пример4:

Выполнить действия:

а). ; б).; в).; г).; д).; е).;

ж). ; з).; и).; к)..

Решение:

а). ;

б). ;

в). ;

г).;

д). ;

е). ;

ж). ;

з). ;

и). ;

к). .

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Изобразим комплексное число геометрически:

Обозначим модуль комплексного числа .

Аргументом комплексного числа называется угол φ, который вычисляется с помощью формул:

но , тогда

и

Подставим получившиеся формулы в , получим:

,тогда

— тригонометрическая форма комплексного числа.

Алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти: .

2. Изобразить геометрически число , для нахождения четверти числа φ.

3. Составить уравнения: и найти φ.

4. Записать z в тригонометрической форме .

Примеры: а).Перевести числа из алгебраической формы в тригонометрическую.

1). .

1. .

2. Изобразим геометрически:

Значит φ принадлежит I четверти.

3. .

4..

2). .

1. .

2. Изобразим геометрически:

, так как z принадлежит положительной полуоси ОУ.

Значит 3 пункт можно опустить.

4. .

3).

1. .

2. Изобразим геометрически:

φ принадлежит II четверти.

3. .

4.

б). перевести из тригонометрической формы в алгебраическую:

1).

Решение:

.

2).

Решение:

.

4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть даны два числа в тригонометрической форме: и.

1). При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

.

2). При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются:

.

3). При возведении комплексного числа вn-ую степень используется формула:

, которая называется формулой Муавра.

4). Для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа используется формула:

.

Примеры:

Дано: ,.

Найти: 1). , 2)., 3)., 4)..

Решение: 1).

2).

3).

4).

Практическая работа№7.

Тема: Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

Цель: Научить выполнять различные действия с комплексными числами; переводить комплексные числа из алгебраической формы и обратно;

Задания:

I-B II-B

1. Выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме:

1)., 1).,

2). , 3).. 2)., 3)..

2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме:

1). , 2)., 3).. 1)., 2)., 3)..

3. Выполнить действия с комплексными числами в тригонометрической форме: 1). , 2)., если:

, ,

. .

Ответы к практической работе № 6:

I-B. II-B.

1. 1)., 1. 1).

2). , 2).,

3). . 3)..

2. 1). , 2. 1).,

2). , 2).,

3). . 3)..

3. 1). , 3. 1).,

2). . 2)..

studfiles.net

Алгебраические действия над комплексными числами

1. Сложение и вычитание двух комплексных чисел:

Следствие. Комплексные числа иназываются взаимно сопряженными и обозначаются,Следовательно,

для двух взаимно сопряженных чисел:

сумма – действительное число,

разность – чисто мнимое число.

2. Умножение двух комплексных чисел:

•

Произведение взаимно сопряженных чисел

–действительное число.

• Если числа изаданы в тригонометрической форме, то

• Если числа изаданы в показательной форме, то

3. Деление двух комплексных чисел всегда возможно и осуществляется:

• в алгебраической форме с помощью умножения делимого и делителя на число, взаимно сопряженное делителю:

• в тригонометрической и показательной форме следующим образом:

если то

или

Примеры 1)

2)

3)

4)

5)

6) Если комплексное число тообратное ему число

4. Возведение в n-ю степень комплексного числа

если то

В частности, имеем:

Если то.

5. Извлечение корня n-ой степени как действие, обратное возведению в степень: если ито

где

Если принимает значения:…,то значениябудут отличаться друг от друга наПри дальнейшихзначениябудут повторяться. В геометрической интерпретации точки, изображающие, являются вершинами правильногоn-угольника с центром в начале координат. На рис. 2 изображены шесть значений где

Пример 1. k = 0, 1, 2, 3.

Получаем четыре значения корня:

1) 2)

3) 4)

Пример 2. k = 0, 1.

Получаем два значения 1)2)(рис. 3).

1.3. Алгебраические выражения и действия над ними

В алгебре изучаются действия с выражениями, содержащими как числовые, так и буквенные значения. При этом буквам может при необходимости придаваться конкретное численное значение.

• Одночленом называется произведение нескольких сомножителей, являющихся числами или буквами. Отдельные числа и буквы также считаются одночленами. Например, 6,у – одночлены.

• Многочленом называется сумма одночленов. Например, – многочлены.

Основу всех алгебраических операций представляют следующие законы сложения и умножения:

Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются следующие приемы.

• Приведение подобных членов. Если несколько слагаемых имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты складываются, а буквенная часть сохраняется. Например,

• Вынесение множителя за скобки производится на основе распределительного закона и правил действий со степенями.

Пример 1.

Раскрытие скобок также производится с помощью распределительного закона. Необходимо помнить, что если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии меняются знаки всех слагаемых.

Пример 2.

Пример 3.

• Деление многочленов. Для деления многочлена, зависящего от одной переменной х, на аналогичный многочлен меньшей степени используют следующую процедуру деления столбиком:

1) расположим слагаемые в многочленах в порядке убывания степени неизвестной; 2) разделим первое слагаемое делимого многочлена на первое слагаемое делителя и результат напишем в частное; 3) умножим результат на делитель и вычтем его из делимого; 4) произведем с полученным при вычитании многочленом действия аналогичные пунктам 2) и 3). Будем повторять эту операцию, пока при вычитании не получится либо ноль, либо многочлен степени меньшей, чем у делителя. Этот многочлен называется остатком.

Пример 4. Выполнить деление многочлена на многочлен

3

–

3х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – х + 1

– х³ + 2х² – 3х

–

х² – 2х + 3

0

Следовательно,

studfiles.net

Действия над комплексными числами — Мегаобучалка

1. При сложении двух комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и мнимые части:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i. (1)

2. При умножении двух комплексных чисел получается комплексное число:

z₁z₂ = (a₁a₂– b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i, (2).

3. При делении двух комплексных чисел получается комплексное число:

, (3).

@ Задача 1. Найти сумму двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 6i.

Решение: Комплексные числа суммируются по правилу (1): (2 + 3i) + (– 4 + 6i) = (2 – 4) + (3 + 6)i = – 2 + 9i.

@ Задача 2. Найти произведение двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 5i.

Решение: Комплексные числа умножаются по правилу (2):

(2 + 3i)·(– 4 + 5i) = (2·(– 4) – 3·5) + (2·5 + 3·(– 4))i = – 23 – 2i.

@ Задача 3. Найти частное двух комплексных чисел 2 + 4i и 1 + i.

Решение: Комплексные числа делятся по правилу (3):

.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой A(a,b) плоскости, такой что a = Rez, а b = Imz. Тогда a и b можно выразить через полярные координаты r и j: a = rcosj, b = rsinj, где r и j называются модулем и аргументом комплексного числа.

Таким образом, комплексное число z = a + bi можно представить в тригонометрической форме

.

Экспоненциальной формой комплексного числа называется число .

@ Задача 4. Представить в тригонометрической форме комплексное число .

Решение: Так как , то комплексное число представляется в тригонометрической форме в виде

.

Корни квадратного и биквадратного уравнений

Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с отрицательным дискриминантом D = b² – 4ac < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам .

Корни биквадратного уравнения x⁴ + px² + q = 0 с отрицательным дискриминантом D = p² – 4q < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам:

,

.

@ Задача 5. Решить квадратное уравнение x² – 4x + 8 = 0.

Решение: Дискриминант квадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×8 = – 16 < 0 и, следовательно, корни квадратного уравнения равны .

@ Задача 6. Решить биквадратное уравнение

x⁴ – 4x² + 16 = 0.

Решение: Дискриминант биквадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×16 = – 48 < 0. Т.к. и , то и .

§1.7 Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Выпуклые множества и их свойства.

В n-мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа x_i, что

Tочку O и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости (n = 2) координату x₁ называют абсциссой, а x₂ – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

megaobuchalka.ru

MSI Россия

Выберите правильный источник питания!!

Чтобы избежать проблем с нестабильностью системы, сбросом и отключением питания, вызванных недостаточным питанием, предлагаем вам использовать наш калькулятор, чтобы рассчитать блок питания, который наилучшим образом подойдет для вашей системы. В результате вы получите рекомендуемую цифру мощности в зависимости от дополнительных компонентов, вами выбранных, и мы рекомендуем вам приобрести блок питания с более высокой мощностью.

Рекомендуется использовать источник питания на :

0 Ватт!

Указанная мощность является суммой пиковых мощностей каждого компонента. Суммарная мощность измеряется, исходя из мощности устройств при пиковой нагрузке. Следует иметь в виду, что эта мощность никогда не будет достигнута при нормальной работе оборудования.

CPU

Графические карты

Доп.карты PCI Express:

Накопители:

Внешние устройства :

Модули памяти:

ru.msi.com

Сборка компьютера на заказ — Pulse PC

С тех пор прошло 80 лет и я по-прежнему задаю себе этот же вопрос (прим. — Что же такое электричество?), но не в состоянии ответить на него. © Никола Тесла

Дисклеймер: автор настоятельно рекомендует прочесть эту статью не только сборщикам компьютеров, а также конечным потребителям.

Если Вы пришли сюда только за расчётом мощности для Вашего БП, то кликайте сюда

Значимость блока питания

Качество компонентов

Схемные решения

Последствия выбора

Пассивная коррекция

Активная коррекция

Коэффициент полезного действия (КПД)

Конструктивные особенности

Нюансы выбора

И наконец несколько ссылок на калькуляторы мощности блока питания.

Итог

Производители БП и постскриптум

Оставить комментарий

pulsepc.ru

Калькулятор разгона до 100

Тема 7. Решение транспортной задачи средствами табличного процессора ms Excel .

Требуется решить следующую транспортную задачу. Известны три поставщика с имеющимися у них запасами продукции, четы­ре потребителя, нуждающиеся в данной продукции и транспорт­ные затраты на поставку продукции от поставщиков к потреби­телям. Данные представлены в таблице:

Таблица 7.1

Необходимо прикрепить поставщиков к потребителям с уче­том минимальных транспортных затрат.

Решение задачи в Excel состоит из следующих шагов:

1. создание формы для ввода условий задачи;

2. ввод исходных данных;

3. ввод ограничений и граничных условий;

4. проведение расчетов

1. Создание формы для ввода условий задачи, ввод исходных данных и определение целевой функции.

Создаем матрицу перевозок, которая имеет изменяемые ячей­ки (В14:Е16). После проведения расчетов на ее месте будет записан оптимальный план перевозок. По каждой строке и столбцу мат­рицы перевозок записываем соответствующую формулу:

В ячейки A5:F10 введем исходные данные задачи, а в ячейке С18 запишем значение целевой функции, используя функцию –СУММПРОИЗВ(В2:Е5;В11:Е13). Тем самым получим таблицы, как показано на рис. 7.1.

2. Ввод ограничений и граничных условий

Устанавливаем курсор на ячейку C18, в которой записано значение целевой функции, и вызываем операцию Поиск реше­ния: Сервис → Поиск решения в Excel 2003 или Данные→ Анализ→ Поиск решения в Excel 2007. В появившемся окне «Поиск ре­шения» в поле Установить целевую функцию следует внести ад­рес ячейки C18, в которой записано значение целевой функции (см. рис. 7.2).

рис. 7.1

Рис. 7.2

После этого следует добавить ограничения, нажав на клавишу Добавить. На экран будет выдано окно «Добавление ограниче­ния» (см. рис. 7.3).

Рис. 7.3

Все потребности должны быть удовлетворены, и все запасы должны быть распределены.

После ввода последнего ограничения вместо нажатия клави­ши Добавить необходимо нажать клавишу ОК. На экране появится окно «Поиск решения».

3. Решение задачи

Перед тем как выполнить решение задачи, которое проводится и том же окне «Поиск решения», следует выполнить некоторые назначения, нажав на клавишу Параметры. Например, следует установить флажок Неотрицательные значения и флажок Линей­ная модель (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4

После проведения всех необходимых установок надо нажать клавишу ОК, что приведет к возврату на окно «Поиск реше­ния». В этом окне следует нажать на клавишу Выполнить, после чего на рабочем поле Excel будет выдан оптимальный план поставок и диалоговое окно «Результаты поиска решения», а в ячейке C18 будет выдан результат целевой функции для данной задачи, равный 590 (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5

studfiles.net

Решение транспортной задачи с применением электронных таблиц.

Цель:

Получить практические навыки использования функций “Поиск решения” в электронной таблице Excel.

Ход выполнения:

В результате выполнения лабораторной работы студент должен:
• получить навыки решения оптимизационных задач, приводимых к табличным формам;
• научиться использовать средства электронной таблицы в задачах поиска нужного решения при условии изменения только одного параметра некоторой функции.

Использование функции “Поиск решения” при решении “Транспортной задачи”.

Постановка задачи:
Классическая формулировка задачи состоит в следующем. Имеется несколько пунктов производства и пунктов потребления некоторого продукта. Для каждого из пунктов производства задан объем производства, а для каждого пункта потребления – объем потребления. Известна стоимость перевозки из каждого пункта производства в каждый пункт потребления единицы продукта. Требуется составить план перевозок продукта, в котором все пункты потребления были бы обеспечены необходимыми продуктами, ни из какого пункта производства не вывозилось бы продуктов больше, чем там производится, а стоимость перевозки была бы минимальной.

В построенной при помощи Microsoft Excel модели представлена такая задача (см. рис.1). Товары могут доставляться из пункта производства (Белоруссия, Урал, Украина) в любой пункт потребления (Казань, Рига, Воронеж, Курск, Москва). Очевидно, что стоимость доставки на большее расстояние будет большей. Требуется определить объемы перевозок между каждым пунктом производства и пунктом потребления в соответствии с потребностями пунктов потребления и производственными возможностями пунктов производства, при которых транспортные расходы минимальны. Таким образом, цель задачи – уменьшение всех транспортных расходов.

Рис. 1. Таблица для решения “Транспортной задачи”.

Порядок выполнения.

Первый этап — ввод исходных данных:
1. Ввести на рабочем листе необходимые исходные данные и определить их взаимосвязи с результирующими данными:

1.1. Построить таблицы для ввода количества перевозок, цены перевозки и стоимости перевозки из пункта производства “Х” в пункт потребления “Y”, как показано на Рис.1 (количество перевозок для каждого пункта в начале решения задачи будет равно 0).

1.2. Ввести в ячейки С14-G14 потребности складов в товаре, а в ячейки В16-В18 – производственные возможности пунктов производства.

1.3. Ввести в ячейки С16-G18 цены на перевозку товара из пункта производства Х в пункт потребления Y.

2. Ввести формулы в вычисляемые ячейки:

2.1. В ячейки В8:В10 ввести формулы вычисления общего количества перевезенного товара для каждого из пунктов производства (например, формула для ячейки В8=СУММ(С8:G8), т.е. количество перевезенного товара для Белоруссии).

2.2. В ячейки С12:G12 ввести формулы вычисления общего количества перевезенного товара в каждый из пунктов потребления (например, формула для ячейки С12=СУММ(С8:С10), т.е. количество перевезенного товара в Казань).

2.3. В ячейки С20:G22 ввести формулы вычисления общей цены за перевозку товара из каждого пункта производства в каждый пункт потребления, умножив цену перевозки единицы товара (ячейки С16-G18) на общее количество перевезенного товара (ячейки С8-G10) (например, формула для ячейки С20 – общая цена перевозки товара из Белоруссии в Казань – =С8*С16).

2.4. В ячейки С24:G24 ввести формулы вычисления стоимости всех перевозок по каждому из пунктов потребления (например, для Казани в ячейку С24 вводится формула =СУММ(С20:С22)).

2.5. В ячейку В24 ввести формулу подсчета всей стоимости перевозок – результат суммирования значений ячеек С24:G24.

3. Выполнить форматирование ячеек рабочего листа, и выделить ячейки с результатами и изменяемыми данными – синим цветом, а ячейки с исходными данными – красным цветом.

Второй этап – поиск решения:
1. При помощи команды “Сервис” – “Поиск решения…” вызвать диалоговое окно задания данных для решения задачи (Рис.2).

2. Задать целевую ячейку

В качестве целевой ячейки выбрать ячейку (аналогичную ячейке В24 на рис. 1), в которой будет подсчитана общая цена всех перевозок.

По условию задачи целевую ячейку следует установить равной минимальному значению.

Рис. 2. Диалоговое окно ввода данных для решения задачи.

3. Задать изменяемые ячейки

Минимальное значение целевой ячейки будет определяться путем изменения данных в ячейках, задающих объемы перевозок от каждого из пунктов производства к каждому пункту потребления (ячейки C8:G10 на рис. 1).

4. Наложить требования (ограничения), которые будут предъявляться к результатам задачи:

4.1. Количество перевезенных грузов не может превышать производственных возможностей заводов (на рис. 1 значения ячеек B8:B10 должны быть меньше или равны значениям ячеек B16:B18).

4.2. Количество доставляемых грузов должно быть равно потребностям складов (т.е. на рис. 1 значения ячеек C12:G12 должны быть равны значениям ячеек С14:G14).

4.3. Число перевозок не может быть отрицательным и не целым (т.е. на рис. 1 значения ячеек C8:G10 должны быть больше или равны нулю и должны быть целыми).

5. Ввести значения в окно “Поиск решения”. Для ввода значений в диалоговое окно “Поиск решений” можно использовать выделение ячеек и интервалов мышью (при заполнении соответствующих полей ввода). Кроме того, в некоторых случаях удобно пользоваться для определения изменяемых ячеек кнопкой “Предположить” – в этом случае в качестве изменяемых ячеек предлагается использовать все влияющие ячейки для ранее определенной целевой ячейки.

Для ввода ограничений необходимо нажать кнопку “Добавить”.

На экране появится диалоговое окно, показанное на Рис.3.

Рис. 3. Окно ввода ограничений.

При помощи этого диалогового окна ввести ранее заданные ограничения. Для ввода значений в области “Ссылка на ячейку” и “Ограничение” можно также пользоваться возможностями Microsoft Excel по выделению интервалов мышью.

6. Инициировать «Поиск решения»

Решение задачи начинается после нажатия кнопки “Выполнить” в диалоговом окне “Поиск решения”. После того, как вычисления закончатся, открывается диалоговое окно “Результаты поиска решения” (Рис.4), в котором выводится сообщение о том, найдено или нет решение поставленной задачи. Если найденное решение устраивает пользователя, он может сохранить его на рабочем листе, нажав кнопку «ОК».

Можно также сохранить найденное решение в качестве сценария с помощью кнопки “Сохранить сценарий” (обычно так поступают в том случае, когда требуется сохранить результаты нескольких различных решений, полученных при изменении нескольких ограничений).

Рис. 4. Окно “Результаты поиска решения”.

Оптимальное количество поставок, которое приведет к минимизации транспортных расходов в соответствии с заданными исходными данных, представлено в таблице на Рис.5.

7. Составить отчет о проделанной работе.

Рис.5. Результаты вычислений.

Отправить его преподавателю по электронной почте в виде вложенного файла или переписать файл преподавателю со своего носителя (флэш-накопителя, компакт-диска) или сдать работу преподавателю в распечатанном и скреплённом виде.

Лабораторное занятие № 4.

studlib.info

«Транспортная задача». Практическая работа по информатике

Тема. Решение оптимизационных задач

Теоретический материал

Классы задач оптимизации

Основные этапы работы

1. Выбор задачи

2. Содержательная постановка задачи

3. Составление материальной модели

4. Сбор исходных данных

5. Решение задачи

6. Анализ решения

7. Принятие оптимального решения

8. Графическое представление результата

Блок-схема решения задачи линейного программирования

Составить материальную модель

Графическое представление результата

Анализ оптимального решения

Представление результата

Вариантный анализ

Введение дополнительных ограничений

Значения целевой ячейки не сходятся

Поиск не может найти подходящее решение

Корректировка модели, исходных данных

Решение найдено

Есть оптимальное решение

Есть допустимое решение

Ввести условия задачи

Принятие решения

Практическая работа.

Транспортная задача

Пусть имеется М складов и N – потребителей.

Х_i,j – количество продукции, доставляемой со склада с номером i

Р_i,j – издержки доставки единицы продукции со склада i потребителю j

C_i= количество продукции, находящееся на складе с номером i

-количество продукции необходимое ()

Исходные данные приведены в таблице.

Решение.

1) В электронной таблице заполняем данные:

Для подписания массива Р выделяем диапазон C7:G10, вызываем контекстное меню, выбираем команду Имя диапазона, присваиваем имя «Р» и ОК.

2) Заполняем вторую таблицу исходя из условия задачи

3) В ячейку О11 заносим формулу =ЕСЛИ(P11=O12;»совпадает»;»не совпадает»)

4) Даём имена массивам:

• выделяем диапазон J7:N10, вызываем контекстное меню, команда Имя диапазона, вводим имя «Х» и ОК.

• выделяем диапазон O6:P10, вызываем контекстное меню, выбираем команду Выбрать из раскрывающегося списка, выбрать имя в строке выше и ОК.

• выделяем диапазон I11:N12, вызываем контекстное меню, выбираем команду Выбрать из раскрывающегося списка, выбрать имя в столбце слева и ОК.

5) В ячейку I13 заносим целевую функцию =СУММПРОИЗВ(P;Х).

6) В ячейку J11 заносим формулу =СУММ(J7:J10) и копируем протягиванием в ячейки с К11 по N11.

7) В ячейку О7 заносим формулу =СУММ(J7:N7) и копируем протягиванием в ячейки с О8 по О10.

8) Приступаем к решению. На вкладке Данные, пункт меню Анализ, Поиск решения.

Целевая ячейка I13.

Переключатель «равный минимальному значению»

Изменяемые ячейки Х.

Команда Добавить, переходим в окно добавление ограничений

а)

б)

в)

г)

9) Окно Поиск решения, Выполнить.

10) В окне Результаты поиска решений сохранить сценарий «ТЗ1»

11)Результат поиска решения.

12)В окне Диспетчер сценариев (Вкладка Данные, пункт меню Анализ что-если?) выбрать команду Отчёт

ввести адрес целевой функции и ОК.

13) Построить диаграмму

videouroki.net

Тема: Решение транспортной задачи с применением электронных таблиц.

Цель:

Получить практические навыки использования функций “Поиск решения” в электронной таблице Excel.

Ход выполнения:

В результате выполнения лабораторной работы студент должен:
• получить навыки решения оптимизационных задач, приводимых к табличным формам;
• научиться использовать средства электронной таблицы в задачах поиска нужного решения при условии изменения только одного параметра некоторой функции.

Использование функции “Поиск решения” при решении “Транспортной задачи”.

Постановка задачи:
Классическая формулировка задачи состоит в следующем. Имеется несколько пунктов производства и пунктов потребления некоторого продукта. Для каждого из пунктов производства задан объем производства, а для каждого пункта потребления – объем потребления. Известна стоимость перевозки из каждого пункта производства в каждый пункт потребления единицы продукта. Требуется составить план перевозок продукта, в котором все пункты потребления были бы обеспечены необходимыми продуктами, ни из какого пункта производства не вывозилось бы продуктов больше, чем там производится, а стоимость перевозки была бы минимальной.

В построенной при помощи Microsoft Excel модели представлена такая задача (см. рис.1). Товары могут доставляться из пункта производства (Белоруссия, Урал, Украина) в любой пункт потребления (Казань, Рига, Воронеж, Курск, Москва). Очевидно, что стоимость доставки на большее расстояние будет большей. Требуется определить объемы перевозок между каждым пунктом производства и пунктом потребления в соответствии с потребностями пунктов потребления и производственными возможностями пунктов производства, при которых транспортные расходы минимальны. Таким образом, цель задачи – уменьшение всех транспортных расходов.

Рис. 1. Таблица для решения “Транспортной задачи”.

Порядок выполнения.

Первый этап — ввод исходных данных:
1. Ввести на рабочем листе необходимые исходные данные и определить их взаимосвязи с результирующими данными:

1.1. Построить таблицы для ввода количества перевозок, цены перевозки и стоимости перевозки из пункта производства “Х” в пункт потребления “Y”, как показано на Рис.1 (количество перевозок для каждого пункта в начале решения задачи будет равно 0).

1.2. Ввести в ячейки С14-G14 потребности складов в товаре, а в ячейки В16-В18 – производственные возможности пунктов производства.

1.3. Ввести в ячейки С16-G18 цены на перевозку товара из пункта производства Х в пункт потребления Y.

2. Ввести формулы в вычисляемые ячейки:

2.1. В ячейки В8:В10 ввести формулы вычисления общего количества перевезенного товара для каждого из пунктов производства (например, формула для ячейки В8=СУММ(С8:G8), т.е. количество перевезенного товара для Белоруссии).

2.2. В ячейки С12:G12 ввести формулы вычисления общего количества перевезенного товара в каждый из пунктов потребления (например, формула для ячейки С12=СУММ(С8:С10), т.е. количество перевезенного товара в Казань).

2.3. В ячейки С20:G22 ввести формулы вычисления общей цены за перевозку товара из каждого пункта производства в каждый пункт потребления, умножив цену перевозки единицы товара (ячейки С16-G18) на общее количество перевезенного товара (ячейки С8-G10) (например, формула для ячейки С20 – общая цена перевозки товара из Белоруссии в Казань – =С8*С16).

2.4. В ячейки С24:G24 ввести формулы вычисления стоимости всех перевозок по каждому из пунктов потребления (например, для Казани в ячейку С24 вводится формула =СУММ(С20:С22)).

2.5. В ячейку В24 ввести формулу подсчета всей стоимости перевозок – результат суммирования значений ячеек С24:G24.

3. Выполнить форматирование ячеек рабочего листа, и выделить ячейки с результатами и изменяемыми данными – синим цветом, а ячейки с исходными данными – красным цветом.

Второй этап – поиск решения:
1. При помощи команды “Сервис” – “Поиск решения…” вызвать диалоговое окно задания данных для решения задачи (Рис.2).

2. Задать целевую ячейку

В качестве целевой ячейки выбрать ячейку (аналогичную ячейке В24 на рис. 1), в которой будет подсчитана общая цена всех перевозок.

По условию задачи целевую ячейку следует установить равной минимальному значению.

Рис. 2. Диалоговое окно ввода данных для решения задачи.

3. Задать изменяемые ячейки

Минимальное значение целевой ячейки будет определяться путем изменения данных в ячейках, задающих объемы перевозок от каждого из пунктов производства к каждому пункту потребления (ячейки C8:G10 на рис. 1).

4. Наложить требования (ограничения), которые будут предъявляться к результатам задачи:

4.1. Количество перевезенных грузов не может превышать производственных возможностей заводов (на рис. 1 значения ячеек B8:B10 должны быть меньше или равны значениям ячеек B16:B18).

4.2. Количество доставляемых грузов должно быть равно потребностям складов (т.е. на рис. 1 значения ячеек C12:G12 должны быть равны значениям ячеек С14:G14).

4.3. Число перевозок не может быть отрицательным и не целым (т.е. на рис. 1 значения ячеек C8:G10 должны быть больше или равны нулю и должны быть целыми).

5. Ввести значения в окно “Поиск решения”. Для ввода значений в диалоговое окно “Поиск решений” можно использовать выделение ячеек и интервалов мышью (при заполнении соответствующих полей ввода). Кроме того, в некоторых случаях удобно пользоваться для определения изменяемых ячеек кнопкой “Предположить” – в этом случае в качестве изменяемых ячеек предлагается использовать все влияющие ячейки для ранее определенной целевой ячейки.

Для ввода ограничений необходимо нажать кнопку “Добавить”.

На экране появится диалоговое окно, показанное на Рис.3.

Рис. 3. Окно ввода ограничений.

При помощи этого диалогового окна ввести ранее заданные ограничения. Для ввода значений в области “Ссылка на ячейку” и “Ограничение” можно также пользоваться возможностями Microsoft Excel по выделению интервалов мышью.

6. Инициировать «Поиск решения»

Решение задачи начинается после нажатия кнопки “Выполнить” в диалоговом окне “Поиск решения”. После того, как вычисления закончатся, открывается диалоговое окно “Результаты поиска решения” (Рис.4), в котором выводится сообщение о том, найдено или нет решение поставленной задачи. Если найденное решение устраивает пользователя, он может сохранить его на рабочем листе, нажав кнопку «ОК».

Можно также сохранить найденное решение в качестве сценария с помощью кнопки “Сохранить сценарий” (обычно так поступают в том случае, когда требуется сохранить результаты нескольких различных решений, полученных при изменении нескольких ограничений).

Рис. 4. Окно “Результаты поиска решения”.

Оптимальное количество поставок, которое приведет к минимизации транспортных расходов в соответствии с заданными исходными данных, представлено в таблице на Рис.5.

7. Составить отчет о проделанной работе.

Рис.5. Результаты вычислений.

Отправить его преподавателю по электронной почте в виде вложенного файла или переписать файл преподавателю со своего носителя (флэш-накопителя, компакт-диска) или сдать работу преподавателю в распечатанном и скреплённом виде.

Лабораторное занятие № 4.

student2.ru

Решение транспортной задачи с помощью программного обеспечения

Библиографическое описание:

Шульгина-Таращук А. С. Решение транспортной задачи с помощью программного обеспечения // Молодой ученый. — 2016. — №12. — С. 67-70. — URL https://moluch.ru/archive/116/31916/ (дата обращения: 24.06.2019).

Цель работы — научиться составлять оптимальный план для транспортных средств на производстве с учетом ограничений, используя материальные запасы для транспортной задачи, получив оптимизацию планов математическими компьютерными методами линейного программирования посредством применения Solver из программы Microsoft Excel [1].

План транспортных средств представляется в табличной форме, включая количество производственных запасов на складах поставщиков и необходимое количество для потребителя в естественном выражении. При разработке плана производственная цель определена: минимизация расходов транспортировки [2].

Математическая модель для алгоритма оптимизации

Общее утверждение транспортной проблемы включает определение оптимального плана транспортных средств некоторого груза от пунктов отправления до мест назначения . Как критерий оптимальности мы берем или минимальную стоимость транспортных средств всего груза, или минимальное время его поставки [3].

Пусть () — тарифы транспортировки единицы груза от пункта отправления до места назначения; () — груз пункта; () — требование для груза в месте назначения; () — количество единиц груза, транспортируемых от пункта отправления до места назначения. Тогда экономико-математическая постановка задачи заключается в определении минимального значения функции:

(1)

с условиями

(2)

Если потребности в грузовых пунктах назначения равны грузовым резервам в пунктах отправления, т. е.

(3)

тогда модель транспортной задачи называют закрытой, иначе — открытая.

Постановка задачи

Однородный груз в количестве 50, 30 и 10 единиц поступил на три базы . Этот груз требуется доставить в четыре места назначения соответственно в количествах 30, 20, 10 и 20 единиц. Тарифы транспортных средств единицы груза даны в таблице 1. Найти оптимальный план транспортных средств транспортной задачи.

Табличная модель

Оформим план в форме таблицы:

Таблица 1

Транспортные тарифы

После того, чтобы получить таблицу плана, необходимо составить формулы для вычислений (таблицы 2 и 3).

Таблица 2

Представление формул ивходных данных

Таблица 3

Продолжение таблицы 2

На первых уроках нецелесообразно автоматизировать работу для планирования экспериментов и обработки результатов, поскольку студент получает готовые результаты, не показав действий, творчества. После ручного контроля эксперимента, когда понимание и знание объекта исследования улучшились, возможно начать автоматизацию планирования и управление экспериментом: изменяя число доставок в ячейках , сокращая расходы в ячейке . В то же время визуально управлять расходом запасов в колонке . Расход не должен превышать резервы на складе (колонка ).

Посредством программы оптимизации мы можем облегчить реализацию этой задачи. После выбора Поиск Решения в MSExsell появится диалоговое окно, в котором мы установим следующие условия, показанные на рисунке 1:

Рис. 1. Диалоговое окно Поиск решения

Мы принимаем модель как линейную, Рисунок 2:

Рис. 2. Диалоговое окно «Параметры Поиска решения»

После нажатия на кнопку «Выполнить», получаем результат, приведенный в таблице 4.

Таблица 4

Полученные результаты

Таким образом, достигнуты минимальные расходы при ограничениях запасов на складах поставщиков. Упростить и ускорить поиск прибыли помогла программа Solver, которая рационализировала решение этой экономической задачи [4].

Литература:

1. Горчаков A. A. Компьютерные экономико-математические модели. M.: ЮНИТИ, 1995. — 201 с.
2. Додж M. Эффективная работа с MicrosoftExcel 2000. SPb.: Питер, 2001. — 161 с.
3. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике. — M.: Изд. «ДИС», 2001. — 368 с.
4. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Изд. Юнити, 2001. — 367 с.
5. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 432 с.

Основные термины (генерируются автоматически): SUM, место назначения, пункт отправления, транспортная задача, оптимальный план, диалоговое окно, груз, склад поставщиков, средство, Поиск решения.

moluch.ru

Практическая работа по информатике на тему «Транспортная задача. Решение с помощью ЭТ» 11 класс

Транспортная задача.

Решение с помощью ЭТ.

1. Подготовим данные:

Исходными данными являются удельные затраты на перевозки (диапазон ячеек С13:F16), запасы муки на складах (диапазон ячеек А13:А16), потребности магазинов в муке (диапазон ячеек С11:F11)

Диапазон ячеек С3:F6 предназначен для получения искомого решения – объемов перевозок груза. Суммируя объемы перевозок в каждой строке, задаем левые части уравнений-ограничений, обеспечивающих вывоз всего груза с каждого склада. Суммированием объемов перевозок по столбцам задаются левые части уравнений-ограничений, удовлетворяющих спрос каждого магазина в муке.

Формула =СУММПРОИЗВ(С3:F16;C13:F16), вычисляющая целевую функцию (суммарные затраты) Z, размещена в ячейке С19. Данная формула равносильна формуле: =А1*А3+В1*В3+А2*А4+В2*В4.

2. Установим курсор в ячейку С19. Выполним команду Поиск решения из меню Сервис.

3. Установим параметры поиска решения – неотрицательные значения (в нашем случае это объемы перевозок) и линейную модель вычислений, воспользовавшись кнопкой Параметры

4. После того, как все установки сделаны, следует нажать на кнопку Выполнить. Искомые объемы перевозок представлены в ячейках С3:F6. Минимальные затраты на перевозки – в ячейке С19

Задания для самостоятельного выполнения:

Постройте математическую модель и решите с помощью табличного процессора Excel, используя инструмент Посик решения.

На складах имеются запасы груза, который необходимо доставить в магазины в определенном объеме:

Запасы груза на складах:

Потребность в грузе в магазинах:

Удельные стоимости перевозки:

infourok.ru

Решение транспортной задачи в среде Excel Лекция 12 Транспортная задача относится к двухиндексным задачам, т к. ее

hnu.docdat.com

[Билет 11] Свойства графиков чётных и нечётных функций. Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях

график симметричен относительно оси ординат.

Пусть М (х; f(x)) — точка графика рассматриваемой функции. Так как по условию функция четна, то, во-первых, (—х)Х, и во-вторых,f(—х)=f(х). Значит, точка М'(—х; f(x)) также принадлежит графику функции. Но точки M и М’ симметричны относительно оси ординат. Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси ординат. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Теорема 2. Если функция у =f(х), хХ является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

fizmatinf.blogspot.com

График четной и нечетной функций

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Решение. Рассмотрим функцию: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и подставим вместо \(x \) противоположное \(-x \). В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.

Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).

Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной , ни нечетной.

studlab.com

Нечётные и чётные функции — это… Что такое Нечётные и чётные функции?

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
• Индифферентная функция^{[источник не указан 240 дней]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

• Функция называется чётной, если справедливо равенство

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

(или функцией общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
• Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

где

• Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

dic.academic.ru

Четные и нечетные функции. 9-й класс

Разделы: Математика

УМК: А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс.

Тип урока: изучение новых знаний

Цели урока:

• Образовательные: знакомство с определениями четной и нечетной функции; использование алгоритма исследования функции на четность; исследование симметричности графиков четной/нечетной функции и их построение.
• Развивающие: развитие навыков построения графиков четной и нечетной функции; развитие логического мышления; развитие умений анализировать и делать выводы; развитие коммуникативных навыков.
• Воспитательные: воспитывать аккуратность, графическую культуру, культуру речи; воспитывать умение работать в парах, прислушиваться к мнению одноклассника. 

Задачи:

1. Ввести понятие симметричного множества.
2. Сформулировать определения четной/нечетной функции.
3. Вывести алгоритм исследования функции на четность.
4. Научиться исследовать функцию на четность с использованием алгоритма.
5. Научиться определять графики четных/нечетных функций.

Методы обучения: словесно-наглядный; групповой; индивидуальный; фронтальный.

Ход урока

I. Приветствие. Мобилизация на работу.

II. Актуализация знаний.

Задание: Найти область определения функций:

Выполняют самостоятельно в тетрадях, затем по желанию выходят к доске записать ответ.

Задание классу: сравнить область определения функций 2 и 4.

Вопрос: Что их объединяет, что общего? (Дети формулируют вывод о том, что множество элементов содержит и противоположные элементы).

III. Изучение нового материала.

Вводится понятие симметричного множества.

Формулируются определения четной/нечетной функции.

Вопрос: может ли быть, что для функции не выполняется ни одно из условий: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)? Приведите пример.

В таком случае функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотреть примеры на понятие четности и нечетности функции: у = х⁴; у = х³; у = 2х+3.

Вопрос: какой должна быть область определения функции при исследовании её на четность?

Учитель вместе с детьми формулирует алгоритм исследования функции на четность/нечетность. Записываем в тетрадь.

Исследовать функцию у = х⁴+ , используя алгоритм.

Вопрос: Графики каких известных вам функций обладают симметрией? Относительно чего? Какой вывод можно сделать о четности функций? Почему?

Обучающиеся делают вывод: график четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат

Рассмотреть геометрический смысл свойства четной и свойства нечетной функции.

Задание: построить весь график функции, если нарисована его часть и задана четность функции. №11.11. (чертежи заранее подготовлены на доске). Дети по желанию выходят к доске и достраивают графики функций.

IV. Закрепление изученного материала.

Задание: исследовать на четность функции:

Работа на месте самостоятельно.

Затем взаимопроверка в парах.

Задание (индивидуальное): Известно, что функция f(x) – четная и возрастает при х>0. Определите характер монотонности функции при x<0. Схематично изобразите график функции в тетради.

Дополнительное задание: №11.28.

V. Подведение итогов урока.

Вопросы: что нового узнали?

Проговорить алгоритм исследования функции.

Что было интересно? Какие были сложности?

VI. Домашнее задание.

П.11 (в учебнике), №№11.10, 11.20(б), 11.21(г), 11.18.

16.04.2016

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Четные и нечетные функции

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (10,8 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
• развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
• воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:

1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся.  Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

 ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в)  1. D(f) = [– 2; + ∞)
2. Е(f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ;    f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функция возрастает при х €  [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у_наим = – 3, у_наиб не существует
8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции?)  Слайд.

2. Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

3. Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у = хⁿ, где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.  
– Функции вида у =  и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

3. Сравнить f(– х).и  f(х):

• если  f(– х).= f(х), то функция чётная;
• если  f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
• если   f(– х) ≠ f(х) и  f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х⁵ +; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х⁵ +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х)⁵ + – х5 –= – (х⁵ +),

3) h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х⁵ +  нечётная.

б) у = ,

у = f(х),     D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = ,   у = f (х), 

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3)  f (– х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Слайд.

Вывод:

1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать
свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции   g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) =  при х = 3.

7. Подведение итогов

Приложения

8.03.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Чётные и нечётные функции

Лекция №1

Пределы функции

Функция: определение, основные свойства и способы задания

К понятию функции приводит изучение разнообразных явлений в окружающем нас мире. Так, например ясно, что:

1 каждому значению длины куба соответствует его объём;

2 каждому значению радиуса окружности соответствует её длина и площадь круга;

3 каждому показателю рентабельности соответствует определённая величина прибыли.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определённое числовое значение другой.

Эта зависимость между двумя переменными величинами носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Однако в условиях конкретной задачи часто случается так, что заданы значения некоторой величины х (независимой переменной) и по ним определяются соответствующе значения величины y (зависимой переменной).

Независимую переменную величину, то есть величину, для которой мы можем задавать произвольные, интересующие нас значения, называют аргументом. Переменную величину, значения которой зависят от аргумента, называют функцией.

Переменная величина y называется функцией переменной величины х, если каждому значению х, взятому из области её изменения, соответствует по определённому правилу единственное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y и переменной х записывается с помощью равенства y = f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить y.

Под областью определения (существования) функции f(x) понимается совокупность всех действительных значений аргумента х, при которых функция определена и выражается действительным числом.

Иногда область определения функции ограничивается физическим или геометрическим смыслом задачи.

Нельзя смешивать область определения функции с областью значений функции.

Область значений функции есть множество всех действительных значений, которые принимает функция.

Способы задания функции.

Имеется несколько способов задания функции.

1 Аналитический способ.Соответствие между х и y задаётся в виде формулы. Например, . Этот способ удобен для выполнения над функцией математических действий, но не всегда нагляден.

2 Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке (столбце таблицы) записывают все значения аргумента (числа), а во второй строке (столбце) – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, через каждые десять дней измеряли диаметр d, мм коробочки хлопчатника. В результате получена следующая таблица.

Таблица № 1 Табличный способ задания функции

 

 

Табличный способ удобен для использования, он особенно широко применяется при регистрации результатов опытов, лабораторных анализов и т. д., но представление о функциональной зависимости не является полным.

3 Графический способ. Функция изображается в прямоугольной системе координат в виде графика. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)), то есть таких, координаты которых обращают выражение y = f(x) в тождество.

Графический способ задания функции очень нагляден, но точность его невелика, поэтому данный способ применяют чаще всего в сочетании с аналитическим и табличным.

 

Чётные и нечётные функции

Функция y= f(x) называется чётной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, то есть f(-x) = f(x). Например, парабола является чётной функцией, так как . График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция y= f(x) называется нечётной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, то есть f(-x) = -f(x). Например, функция – нечётная, так как . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся чётной или нечётной, называется функцией общего вида.

Пример. Исследовать на чётность и нечётность функцию .

Решение. Подставляем на место аргумента (-х).

– функция чётная.

 

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Нечётные и чётные функции — это… Что такое Нечётные и чётные функции?

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

 — пример нечётной функции.  — пример чётной функции. ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
• Индифферентная функция^{[источник не указан 240 дней]} — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

• Функция называется чётной, если справедливо равенство

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

(или функцией общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
• Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

где

• Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

dvc.academic.ru

Ответы@Mail.Ru: Сколько минут в сутках?

1 сутки = 24 часа = 24 * 60 минут = 1440 минут

24 часа умножаем на 60 минут в часе, получается 1440

С ума сойти! В сутках: 24 часа х 60 минут= 1440 мин/сутки. На всякий случай: В неделе: 1440 х 7 = 10080 мин. В году: 1440 х 365 = 525600 мин. В високосном году: 1440 х 366 = 527040 мин. И так далее 🙂

в сутке 24 часа, 1440 минут, 86400 секунд.

24 * 60 минут = 1440 минут

… (нет ответа) PS х спрашивают, х и отвечаем.

А 60 * 24 не пробовала. 1440 получится

24 умножить на 60 минут в сутках получаем 1440 минут в сутках 🙂

23*60+56 = 1436 Потому что в сутках не 24 часа, а 23ч 56мин )

Если прям точно, то 23 часа 56 минут 4 секунды в сутках. Получается 1436.0(6) минут

в сутках 1440 минут

touch.otvet.mail.ru

Сколько минут в 1 году?

525600 минут, а в високосном 527040 минут

Совсем глупый????

нужно то всего лишь перемножить количество дней в году, количество часов в сутках и количество минут в одном часе )))))

Смотрите: Сначала стандартные сутки. 24 часа. Это 1440 минут. Умножаем на 365 = 525 600… плюс високосный — 527 040 минут.. . А часов — 8760!!! Удачи, и впредь включайте логику!!!

365 х 24 х 60 будет результат.

<a rel=»nofollow» href=»https://my-calend.ru/converter-time/year-minute» target=»_blank»>https://my-calend.ru/converter-time/year-minute</a>

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: 3 года — сколько часов, минут, секунд?

Нельзя точно ответить на этот вопрос, может, какой-то из этих 3 годов високосный)

З года это 3 х 365 дней, х 24часа. х60 минут, х 60 секунд

Каждый четвертый год является высокосным, то есть на один день длиннее и равен 366 дней. Если брать три подряд обычных года, допустим с 2009года по 2011 год, то имеем: суток 365 х3 =1095, часов 1095 х 24=26280, минут 26280 х60=1576800, секунд 1576800 х 60=94608000. Если взять интервал с высокосным годом, 2010 года по 2012 год, то получится: суток 1096, часов 1096х24 =26304, минут 1578240, секунд 94694400.

Каждый четвертый год является высокосным, то есть на один день длиннее и равен 366 дней. Если брать три подряд обычных года, допустим с 2009года по 2011 год, то имеем: суток 365 х3 =1095, часов 1095 х 24=26280, минут 26280 х60=1576800, секунд 1576800 х 60=94608000. Если взять интервал с высокосным годом, 2010 года по 2012 год, то получится: суток 1096, часов 1096х24 =26304, минут 1578240, секунд 94694400.вроде бы так

touch.otvet.mail.ru

Что значит 4 астрономических часа?это сколько?

это 240 обычных, астрономических, минут. А вообще на любых часах, в том числе, наверное, и на Вашем компьюетере, вместе с минутами пишутся часы — астрономичаские.

это значит 4 обычных, а не учебных по 45 мин.

Это 60 минут умножить на 4 = 240 минут. Астрономический час — это обычный час 60 минут, в отличие от академического часа 45 минут — уроки в школах, занятия в вузах

Мож всетаки астрономический ПОЛДЕНЬ? ? Час, он и в астрономии ЧАС 🙂 1/24 суток. если и есть разница, то на доли микросекунд….

touch.otvet.mail.ru

сколько часов? 5 часов 24 минуты это сколько часов?подскажите как переводить

в минуте 60 секунд. 24 делишь на 60, получаешь 0,4 итого — 5,4 часа

Минуты дели на 0,6

5 часов 24 минуты — это 5,4 часа

в часе 60 минут. 24 минуты это 24 : 60 = 0,4 часа 5 + 0,4 = 5,4 часа

5 ч 24 мин=324 мин 5 ч переводишь в секунды=300 с 1 ч = 60 с и 24 мин добавляешь к 300 с = 324 минуты:)

touch.otvet.mail.ru

6дней 11 часов это сколько минут?

9300 минут (24*6+11)*60

А калькулятор на что?

9300 минут в 6-ти днях и 11 часах. решение: (24*6+11)*60

6 дн. = 144 час. 144+11= 155 час. Так как 1 час=60 мин. то: 155*60=9300

Это так: 24 х 6 + 11 = 155 (часов)

это 9300мин ( 24*6+11)*60

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Расчет вероятности объединения (логической суммы) событий

Объединением (логической суммой) N событий называют событие, которое наблюдается каждый раз, когда на­ступаетхотя бы одно изсобытий. В частности, объединением событий A и B называют событие A+B (у некоторых авторов ), которое наблюдается, когданаступает или A, или B или оба этих события одновременно(Рис. 7). Признаком пересечения в тексто­вых формулировках событий служит союз“или”.

Рис. 7. Объединение событий A+B

Необходимо учитывать, что вероятности события P{A} соответствует как левая часть заштрихованной на Рис. 7 фигуры, так и её центральная часть, помеченная как . И исходы, соответствующие событию B, располагаются как в правой части заштрихованной фигуры, так и в помеченной центральной части. Таким образом, при сложениииплощадкареально войдет в эту сумму дважды, а точное выражение для площади заштрихованнойфигуры имеет вид.

Итак, вероятность объединения двух событий A и B равна

Аналогично из анализа характера взаимного наложения трёх геометрических областей для объединения трёх совместных событий можно получить расчетное выражение

Для большего числа событий общее расчетное выражение становится крайне громоздким из-за необходимости учета многочисленных вариантов взаимного наложения областей. Однако, если объединяемые события являются несовместными (см. с. 33), то взаимное наложение областей оказывается невозможным, а благоприятная зона определяется непосредственно суммой областей, соответствующих отдельным событиям.

Вероятность объединения произвольного числанесов­местныхсобытийопределяется выражением

Следствие 1: Полная группа событий состоит из событий несовместных, одно из которых в опыте обязательно реализуется. В результате,если события …,образуют полную группу, то для них

Следствие 2: Два противоположных события всегда образуют полную группу, поэтому

Таким образом,

Следствие 3 Учтем, что противоположным утверждению «произойдет хотя бы одно из событий …» является утверждение «ни одно из событий…не реализуется». Т.е., иначе говоря, «в опыте будут наблюдаться события, и, и …, и», что представляет собой уже пересечение событий, противоположных исходному набору. Отсюда, с учетом ( 2 .0), для объединения произвольного числа событий получаем

Следствия 2, 3 показывают, что в тех случаях, когда непосредственный расчет вероятности какого-то события является проблематичным, полезно оценить трудоёмкость исследования события ему противоположного. Ведь, зная значение , получить из ( 2 .0) нужную величинуникакого труда уже не представляет.

4. Примеры расчетов вероятностей сложных событий

Пример 1: Двое студентов (Иванов и Петров) вместе явились на защиту лабораторной работы, выучив первые 8 контрольных вопросов к этой работе из 10 имеющихся. Проверяя подготовленность, преподаватель задает каждому лишь один случайно выбираемый вопрос. Определить вероятность следующих событий:

A = “Иванов защитит лабораторную работу”;

B = “Петров защитит лабораторную работу”;

C = “оба защитят лабораторную работу”;

D = “хотя бы один из студентов защитит работу”;

E = “только один из студентов защитит работу”;

F = “никто из них не защитит работу”.

Решение.Отметим, что способность защитить работу как Иванова, так и Петрова в отдельности определяется лишь числом освоенных вопросов, поэтому . (Примечание: в данном примере значения получаемых дробей сознательно не сокращались для упрощения сопоставления результатов расчетов.)

Событие C можно сформулировать иначе как «работу защитит и Иванов, и Петров», т.е. произойдут и событие A, и событие B. Таким образом, событие C является пересечением событий A и B, и в соответствии с ( 2 .0)

,

где сомножитель “7/9” появляется из-за того, что наступление события A означает, что Иванову достался «удачный» вопрос, а значит на долю Петрова из оставшихся 9 вопросов приходится теперь лишь 7 «хороших» вопросов.

Событие D подразумевает, что «работу защитит или Иванов, или Петров, или они оба вместе», т.е. произойдёт хотя бы одно из событий A и B. Итак, событие D является объединением событий A и B, и в соответствии с ( 2 .0)

,

что соответствует ожиданиям, т.к. даже для каждого из студентов в отдельности шансы на успех довольно велики.

Событие Е означает, что «либо работу защитит Иванов, а Петров «провалится», или Иванову попадется неудачный вопрос, а Петров с защитой справится». Два альтернативных варианта являются взаимоисключающими (несовместными), поэтому

,

Наконец, утверждение F окажется справедливым лишь если «и Иванов, и Петров с защитой не справятся». Итак,

.

На этом решение задачи завершено, однако полезно отметить следующие моменты:

1. Каждая из полученных вероятностей удовлетворяет условию ( 1 .0), но если для иполучить конфликтующие с ( 1 .0) в принципе невозможно, то для попытка использования ( 2 .0) вместо ( 2 .0) привела бы к явно некорректному значению . Важно помнить, что подобное значение вероятности принципиально невозможно, и при получении столь парадоксального результата незамедлительно приступать к поиску ошибки.

2. Найденные вероятности удовлетворяют соотношениям

,

.

Это вполне ожидаемо, т.к. события C, E и F образуют полную группу, а события D и F противоположны друг другу. Учет этих соотношений с одной стороны может быть использован для перепроверки расчетов, а в другой ситуации может послужить основой альтернативного способа решения задачи.

Примечание: Не пренебрегайте письменной фиксацией точной формулировки события, иначе по ходу решения задачи Вы можете непроизвольно перейти к иной трактовке смысла этого события, что повлечет ошибки в рассуждениях.

Пример 2: В крупной партии микросхем, не прошедших выходной контроль качества, 30% изделий являются бракованными. Если из этой партии наугад выбрать какие-либо две микросхемы, то какова вероятность, что среди них:

A = “обе годные”;

B = “ровно 1 годная микросхема”;

C = “обе бракованные”.

Проанализируем следующий вариант рассуждений (осторожно, содержит ошибку):

Так как речь идет о крупной партии изделий, то изъятие из неё нескольких микросхем практически не влияет на соотношение числа годных и бракованных изделий, а значит, выбирая несколько раз подряд какие-то микросхемы из этой партии, можно считать, что в каждом из случаев остаются неизменными вероятности

= P{ выбрано бракованное изделие } = 0,3 и

= P{ выбрано годное изделие } = 0,7.

Для наступления события A необходимо, чтобы и в первый, и во второй раз было выбрано годное изделии, а потому (учитывая независимость друг от друга успешности выбора первой и второй микросхемы) для пересечения событий имеем

.

Аналогично, для наступления события С нужно, чтобы оба изделия оказались бракованными , а для получения B нужно один раз выбрать годное, а один – бракованное изделие.

Признак ошибки.Хотя все полученные выше вероятности выглядят правдоподобными, при их совместном анализе легко заметить, что .Однако случаи A, B и C образуют полную группу событий, для которой должно выполняться .Это противоречие указывает на наличие какой-то ошибки в рассуждениях.

Суть ошибки. Введем в рассмотрение два вспомогательных события:

= “первая микросхема – годная, вторая — бракованная”;

= “первая микросхема – бракованная, вторая – годная”.

Очевидно, что , однако именно такой вариант расчета был выше использован для получения вероятности событияB, хотя события B и не являются эквивалентными. На самом деле, , т.к. формулировкасобытия B требует, чтобы среди микросхем ровно одна, но совсем не обязательно первая была годной (а другая – бракованной). Поэтому, хотя событие не является дублем события, а должно учитываться независимо. Учитывая несовместность событий и, вероятность их логической суммы будет равна

.

После указанного исправления расчетов имеем

что косвенно подтверждает корректность найденных вероятностей.

Примечание: Обращайте особое внимание на отличие в формулировках событий типа “только первый из перечисленных элементов должен…” и “только один из перечисленных элементов должен…”. Последнее событие явно шире и включает в свой состав первое как один из (возможно многочисленных) вариантов. Эти альтернативные варианты (даже при совпадении их вероятностей) следует учитывать независимо друг от друга.

Примечание: Слово “процент” произошло от “per cent”, т.е. “на сотню”. Представление частот и вероятностей в процентах позволяет оперировать более крупными значениями, что иногда упрощает восприятие значений “на слух”. Однако использовать в расчетах для правильной нормировки умножение или деление на “100 %” громоздко и неэффективно. В связи с этим, не забывайте при использовании значений, упомянутых в процентах, подставлять их в расчетные выражения уже в виде долей от единицы (например, 35% в расчете записывается как “0,35”), чтобы минимизировать риск ошибочной нормировки результатов.

Пример 3: Набор резисторов содержит один резистор номиналом 4 кОм, три резистора по 8 кОм и шесть резисторов с сопротивлением 15 кОм. Выбранные наугад три резистора соединяются друг с другом параллельно. Определить вероятность получения итогового сопротивления, не превышающего 4 кОм.

Решение. Сопротивление параллельного соединения резисторов может быть рассчитано по формуле

.

Это позволяет ввести в рассмотрение события, такие как

A = “выбраны три резистора по 15 кОм” = “”;

B = “взяты два резистора по 15 кОм и один с сопротивлением 8 кОм” =“”…

Полная группа событий, соответствующих условию задачи, включает ещё целый ряд вариантов, причем именно таких, которые соответствуют выдвинутому требованию о получении сопротивления не более чем 4 кОм. Однако, хотя “прямой” путь решения, предполагающий расчет (и последующее суммирование) вероятностей, характеризующих все эти события, и является правильным, действовать таким образом нецелесообразно.

Отметим, что для получения итогового сопротивления менее 4 кОм достаточно, чтобы в используемый набор вошел хотя бы один резистор с сопротивлением менее 15 кОм. Таким образом, лишь в случае A требование задачи не выполняется, т.е. событие A является противоположным исследуемому. Вместе с тем,

.

Таким образом, .

Примечание: Рассчитывая вероятность некоторого события A, не забывайте проанализировать трудоемкость определения ве­роятности события ему противоположного. Если рассчитать легко, то именно с этого и надо начинать решение задачи, завершая его применением соотношения ( 2 .0).

Пример 4: В коробке имеются n белых, m черных и k красных шаров. Шары по одному наугад извлекаются из коробки и возвращаются обратно после каждого извлечения. Определить вероятность события A = “белый шар будет извлечен раньше, чем черный”.

Решение. Рассмотрим следующую совокупность событий

= “белый шар извлекли при первой же попытке”;

= “сначала вынули красный шар, а затем — белый”;

= “дважды вынули красный шар, а на третий раз — белый”…

Так как шарики возвращаются, то последовательность событий может быть формально бесконечно протяженной.

Эти события являются несовместными и составляют в совокупности тот набор ситуаций, при которых происходит событие A. Таким образом,

Несложно заметить, что входящие в сумму слагаемые образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом и знаменателем. Но сумма элементов бесконечной геометрической прогрессии равна

Таким образом, . Любопытно, что эта вероятность (как следует из полученного выражения) не зависит от числа красных шаров в коробке.

studfiles.net

Расчет вероятности сложных событий

3. 1. Понятие сложного события

Если анализируемой задаче (ситуации) нельзя поставить в соответствие набор равновозможных исходов, то ни алгебраический, ни геометрический методы использовать для расчета вероятностей оказывается невозможно. В подобной ситуации имеет смысл попытаться представить анализируемые (сложные) события как логическую комбинацию каких-то более простых утверждений, для каждого из которых вероятность реализации известна или может быть рассчитана. Правила расчета вероятности итогового сложного события по вероятностям событий, его образующих, устанавливаются ниже.

2. Расчет вероятности пересечения (логического произведения) событий

Пересечением (логическим произведением) N событийназывают событие , заключа­ющееся в наступлениивсех событийв одном опыте. В частности, пересечением двух

событий AиBназывают событиеA∙B, наблюдаемое, когда и A, и B наступают в одном и том же опыте. Признаком пересечения в текстовых формулировках событий служит союз“и”.

Примечание: Некоторые авторы для обозначения пересечения и объединения событий применяют символы исоответственно, но в настоящем пособии эти символы не используются. Как правило, явной потребности в подобных специфичных символах не возникает, а использование вместо символа значка произведения и вместо– знака суммы к неясностям, как правило, не приводит, но позволяет достичь большей компактности записи.

Для упрощения рассуждений, определяющих правило расчета вероятности пересечения событий, будем полагать, что возможным исходам анализируемого опыта можно поставить в соответствие какое-то геометрическое место точек на плоскости. Вероятность пересечения событийAиBбудет отличной от нуля только если существует некая общая для этих событий совокупность исходов. Подобная ситуация представлена на Рис. 6, гдесобытию A соответствует группа точек, помеченная , событиюB – группа точек с пометкой , а исходам общим для этих событий – центральная область с площадью .

Рис. 6. Пересечение событий A∙B

Представим временно, что вместо исходного эксперимента мы проводим опыты, в которых событиеAгарантированно происходит. При подобном изменении ситуации в качестве геометрического места точек, соответствующего всем исходам опыта, выступала бы лишь площадка , выделенная на Рис. 6жирной линией. Соответственно, вероятность наблюдения в этих условиях событияB(помимо обязательного событияA) определялась бы соотношением площадей и. Применительно же к условиям исходного эксперимента указанное отношение есть ни что иное, как условная вероятность событияB

.

Возвращаясь к расчету вероятности пересечения событийAиB, в соответствии с геометрическим подходом получаем

.

Итак, вероятность пересечения двух событий A и B равна

где P{B|A} – условная вероятность события B, т.е. вероятность, вычисленная при условии, что событие A уже произошло; P{A|B} – условная вероятность события А, определяющая возможность наступления этого события при уже свершившемся событии B.

Вероятность пересечения произвольного числа N событийопределяется выражением

где, в частности, – это вероятность наступления события, вычисленная при условии, что все события начиная с и досовершились.

studfiles.net

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1—p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

1. последовательность n испытаний взаимно независима;

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В₃⁰ – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В₃¹ — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В₃² — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A  B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

3. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A₁ A₂ A_n определяется формулой

p(A₁ A₂ A_n) = p(A₁) p(A₂  A₁))p(A_n  A₁A₂A_n-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A₁ = {первое изделие бракованное},

A₂ = {второе изделие бракованное},

A₃ = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A₁ A₂ A₃ .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A₁ A₂ A₃ ) =p(A₁) p(A₂  A₁))p(A₃  A₁A₂).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A₁) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A₁)=;

p(A₂) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₂  A₁))=;

p(A₃ ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₃  A₁A₂)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net

Как рассчитать вероятность 🚩 вероятность события формула 🚩 Математика

29 сентября 2011

Автор КакПросто!

Вероятность есть статистическая мера возможности. Почему статистическая? Потому что, с практической точки зрения, вам придется иметь дело с множеством (или множествами) событий, одно или несколько из которых в определенных условиях более возможны, чем остальные. Вот это «более» или «менее», выраженное математически – и есть вероятность.

Статьи по теме:

Инструкция

Существует еще одно определение вероятности (точнее говоря, геометрическая интерпретация вероятности):P(A) = Q/S, где
S – площадь фигуры, на которую случайным образом бросается точка
Q – часть площади фигуры S, на которую попадает точка.
P(A) – вероятность попадания случайно брошенной точки на площадь Q.

Классическая задача на геометрическую вероятность: пусть дан квадрат, в который вписана окружность. В квадрат бросают точку; вероятность того, что она попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата (решение задачи см. на рисунке).

Источники:

• рассчитать вероятность события

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Расчет вероятности события Классическое определение вероятности

При классическом определении вероятность события определяется равенством

р(A)=, (1)

где m – число исходов проводимого опыта, благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных исходов.

Основные элементы комбинаторики

Пусть даны 2 множества:

{а,а,…,а} и {b, b,…,b}.

Правило суммы: Если объект типа «а» может быть выбран m₁ способами, а объект типа «b» – m₂ способами, то выбор или «а», или «b» может быть осуществлен N = m₁ + m₂ способами.

Правило произведения: Если объект типа «а» может быть выбран m₁ способами, и после любого такого выбора объект «b» может быть выбран m₂ то выбор и «а», и «b» можно осуществить N = m₁·m₂ способами.

Основной принцип комбинаторики: Если имеется k множеств, причем из каждого можно составить комбинации соответственно n₁, n₂,…, n_k способами, то комбинация, содержащая комбинации по одной из исходных множеств, может быть составлена N = n₁·n₂·…·n_k способами.

Определение 1. Сочетаниями из n различных элементов по m, причем mn, называются такие комбинации, каждая из которых содержит ровно m элементов и отличается от любой другой хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается Си находится по формуле

С=,

где n!, m!, (n – m)! – факториалы, то есть произведения соответственно n, m, n – m последовательных натуральных чисел, начиная с 1, например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению 0! = 1.

Задача 1. В лотерее разыгрывается 100 билетов; из них 10 являются выигрышными, а остальные 90 – «пустые». Некто покупает 5 билетов. Какова вероятность, что среди них будет 2 выигрышных и 3 «пустых».

Решение. Событие А = {среди 5 отобранных билетов 2 выигрышных и 3 «пустых»}.

3

Для наглядности решения задачи составим схему взаимосвязанных множеств:

Всего Выигрышные Пустые

100 = 10 + 90

↓ ↓ ↓

5 = 2 + 3

Согласно (1) вероятность события А определяется как p(А) = . Общее числоn возможных различных способов отбора равно числу способов, которыми можно отобрать 5 билетов из 100: n = C.

Число исходов m, благоприятствующих событию А, зависит от двух условий: среди отобранных билетов должно оказаться 2 выигрышных и 3 «пустых». Число различных способов отбора двух выигрышных билетов из 10 возможных: m₁ = C; а число различных способов отбора трех «пустых» билетов из 90: m₂ = C. Используя правило произведения, получаем: m = m₁·m₂ – число способов, благоприятствующих событию А. Следовательно, искомая вероятность

p(A)==·:≈ 0,07.

Ответ: p(A) ≈ 0.07.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение 2. Сумма двух событий А и В – это такое событие А+В, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Определение 3. Произведение событий А и В – это такое событие А·В, состоящее в том, что эти события произошли совместно: и А и В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р(А + В) = р(А) + р(В).

Следствие 1. Вероятность суммы попарно несовместных событий А₁, А₂,…, А_nравна сумме вероятностей этих событий:

p(А₁ + А₂ +…+ А_n) = p(А₁) + p(А₂)+…+ p(А_n).

Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу (то есть, когда эти события попарно несовместны, но в результате испытания одно из них произойдет обязательно), равна 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р(А) + р() = 1, где– событие противоположное событиюА.

4

Таблица 3.

Значения функции для 0 ≤ x< 1, e ≈ 2,7183

studfiles.net

Расчет вероятностей событий

Задание № 1

Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:

а) ни на два, ни на три;

б) на два или на три?

Решение:

Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)

В-событие, что натуральное число делится на 3

p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)

а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Тогда вероятность события С:

Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3

б) D– событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тогда вероятность события D:

Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3

Задание №2

В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.

Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?

Решение:

А – событие, что поражена мишень

Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.

А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа

А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа

Для нахождения вероятности

2. Р _n (k ) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли

Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.

Задание № 3

При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:

Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.

Решение:

Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака

Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.

Средней арифметической дискретного вариационного ряда

где

Для каждого интервала найдем середины по формуле

Ответ : средний вес одного куста составляет 3,22 кг.

Задание № 4

По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.

Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Решение:

1. Проранжируем[1] исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд

2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса :

n = 1+3,322 * lgN

где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности

Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп

Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:

Середины интервалов

Средняя арифметическая

Дисперсия .

Среднее квадратическое отклонение .

Среднее значение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

mirznanii.com

Расчет вероятности событий

Расчет вероятности событий

Задание 1

Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

Решение

Будем считать гипотезами Н1 выбор мужчины, Н2 выбор женщины. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможные, то Условная вероятность А при реализации каждой гипотезы по условию задачи:

Р (А/Н1) = 0,05; Р (А/Н2) = 0,25.

По формуле полной вероятности:

Р(А) = р(Н1)×р (А/Н1) + р(Н2)×р (А/Н2).

Р(А) = 0,5×0,05 + 0,5×0,25 = 0,15

Вероятность того, что дальтоник мужчина вычислим по формуле Байеса.

» 0,167

Ответ: 0,167

Задание 2

Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?

Решение

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности:

где m — число благоприятных событию А случаев;

n — число всех случаев.

Обозначим событие А — на костях выпадут различные числа, рассмотрим противоположное событие — выпадут одинаковые числа.

n = 6×6 = 36

m = 6

Ответ:

Задание 3

Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.

Решение

Обозначим событие А — цель будет обнаружена за 3 цикла, рассмотрим противоположное событие — цель будет не будет обнаружена за 3 цикла.

= (1 — 0,5)3 = 0,125

= 1 — 0,125 = 0,875

Ответ: 0,875

Задание 4

Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,95. Оценить вероятность того, что при 2 000 опусканиях монет количество случаев правильной работы автомата будет заключено в границах от 1 860 до 1 940 (включительно).

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Справедлива формула: Pn(k1, k2) » Ф(х2) — Ф(х1).

где

n = 2000 р = 0,95 q = 0,05 k1 = 1860 k2 = 1940

=Ф (4,1) — Ф (-4,1) = Ф (4,1) + Ф (4,1) =2×Ф (4,1) » 2×0,5 = 1

Функция Лапласа является нечетной Ф(-х) = — Ф(х).

Ответ: 1

Задание 5

вероятность распределение функция гипотеза

Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Решение

Случайная величина Х — чи

сло попаданий в цель может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Формула Бернулли

n = 6 p=0,2 q= 0,8

×1×0,262144 = 0,262144

×0,2×0,32768 = 0,393216

×0,04×0,4096 = 0,24576

×0,008×0,512 = 0,08192

×0,0016×0,64 = 0,01536

×0,00032×0,8 = 0,01536

×0,000064×0,1 = 0,000064

Проверка: 0,262144 + 0,393216 + 0,24576 + 0,08192 + 0,01536 + 0,01536 + 0,000064 = 1

xi0123456pi0,2621440,3932160,245760,081920,015360,015360,000064

Найдем функцию распределения F(x) по формуле

Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Наверное, имелось ввиду:

Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не больше пяти раз.

Р (a £ Х < b) = F(b) — F(a)

Р (1 £ Х < 5) = F(5) — F(1) = 0,9984 — 0,262144 = 0,736256

Задание 6

Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции, равна 0,02; после второй — 0,03; после третьей — 0,02. Найти вероятность того, что деталь будет бракованной после трех операций, предполагая, что появление брака на отдельных операциях независимые события.

Решение

Обозначим событие А — деталь будет бракованной после трех операций, рассмотрим противоположное событие — деталь окажется годной, т.е. не бракованной после трех операций.

= (1 — 0,02)×(1 — 0,03)×(1 — 0,02) = 0,98×0,97×0,98 » 0,932

= 1 — 0,932 = 0,068

Ответ: 0,875

Задание 7

Какова вероятность того, что наудачу поставленная точка в данном круге (радиус 2 см) окажется внутри вписанного в него квадрата.

Решение

Пусть радиус круга равен R, сторона квадрата а, тогда по теореме Пифагора^

а2 + а2 = (2R)2.

Площадь квадрата Sквадрата = а2 = 2R2.

Площадь круга Sкруга = pR2.

Ответ:

Задание 8

Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть оценивается вероятностью 0,75.

Решение

Не взойдет 130 семян означает, что взойдет 500 — 130 = 370 семян.

Справедлива формула:

Pk,n» где

n = 500 р = 0,75 q = 0,25 k = 370

P370, 500 »

Функция j(х) — четная, т.е. j(-х) = j(х).

Ответ: 0,036

Задание 9

В классе имеется 12 компьютеров. Вероятность того, что компьютер будет занят студентами в течение дня, равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы компьютерного класса в ближайший день, если для этого необходимо, чтобы были заняты хотя бы пять компьютеров.

Решение

Формула Бернулли

n = 12 k = от 5 до 12 p=0,8 q= 0,2

= 0,0033

= 0,0155

= 0,0532

= 0,1329

= 0,2362

= 0,2835

= 0,2062

= 0,0687

Р(А) = Р12(5) + Р12(6) + Р12(7) + Р12(8) + Р12(9) + Р12(10) + Р12(11) + Р12(12) = 0,0033 + 0,0155 + 0,0532 + 0,1329 + 0,2362 + 0,2835+ 0,2062+ 0,0687 = 0,9994

Ответ: 0,9994

Задание 10

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов, выиграет хотя бы по одному билету.

Решение

Обозначим событие А — выиграет хотя бы по одному билету, рассмотрим противоположное событие — не выиграет ни по одному билету

Ответ: 0,603

Литература

вероятность распределение функция гипотеза

1.Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — М.: Высшая школа, 2001. — 382 с.

2.Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. — М.: ИНФРА, 2007. — 656 с.

.Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. — М.: ИНФРА, 2007. — 575 с.*

.Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. — М.: ЮРАЙТ, 2010. — 432 с.

.Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. — М.:, ЮНИТИ-ДАНА 2007 — 479 с.

6.Миллер, Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320 с.

Чему равен косинус 15° градусов

Что такое косинус угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

На приведенном ниже рисунке для угла ‘х’ противолежащим катетом будет сторона ‘а’, а гипотенузой – сторона ‘с’. Таким образом, cos(х)=а/с.

Как вычислить значение cos(15°)

Рассмотрим несколько способов вычисления этого значения.

Первый способ – по математическим таблицам

По таблицам Брадиса или с помощью калькулятора: cos(15°)=0,9659.

Второй способ – используя тригонометрические выражения

1) Так как угол 15° равен половине 30°, то его косинус можно рассчитать по формуле половинного угла:

Известно, что косинус угла 30° определяется простым выражением:

Подставляя значение cos(30°) в предыдущую формулу получим:

2) Угол 15° также можно представить как разность между 60° и 45°. Тогда косинус 15° можно рассчитать по тригонометрической формуле:

Значения косинусов и синусов углов 60° и 45° определяются простыми выражениями, подставляя которые в предыдущую формулу получим:

Третий способ – графически

Это наименее точный способ. Используя транспортир и линейку следует начертить прямоугольный треугольник произвольного размера, аналогичный показанному на рисунке. Затем с помощью линейки измерить длину сторон ‘а’ и ‘с’ треугольника и рассчитать их математическое отношение.

vovet.ru

cos 15 градусов

Если не использовать технические устройства, то косинус 15 градусов можно вычислить при помощи тригонометрических формул.
Один из вариантов — разложение аргумента функции 15 градусов на разницу 60 и 45 градусов. Почему именно на разность таких значений? Потому что они являются табличными, а, следовательно, можно применить формулу косинуса разности и вычислить косинус 15 градусов с помощью таблицы значений косинуса от основных углов, а также используя простые арифметические операции.
Выполним разложение косинуса 15 градусов на выше упомянутую разность:

Воспользуемся формулой косинуса разности:

Значения функций, которые присутствуют в выражении, можно получить из выше упомянутой таблицы значений синусов и косинусов:

Найдем приближенное значение:

Существует еще один возможный способ, не прибегая к применению формул, чтобы вычислить значение тригонометрической функции — это применение таблиц Брадиса.
По таблицам косинус 15 градусов равен 0,9659 — значение округлено до четырех знаков дробной части. При помощи тригонометрических формул было получено более точное значение.

ru.solverbook.com

Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15)

Ворд онлайн бесплатно — 5 способов

Word онлайн — бесплатный сервис корпорации Майкрософт, предоставляющий доступ к созданию и редактированию документов Microsoft Word в режиме онлайн, без установки программы на компьютер. Пользователь может бесплатно использовать Ворд онлайн для работы с текстовыми документами из браузера.

Microsoft Office — мощный пакет офисных программ, своего рода стандарт для приложений данного типа. Популярные программы, входящие в состав офисного пакета, широко используются на предприятиях и в личных целях пользователями по всему миру.

Для работы с текстовыми документами используется текстовый процессор Microsoft Word, входящий в состав пакета офисных приложений. MS Office — платное приложение, устанавливаемое на компьютер, распространяемое в разной комплектации, в зависимости от потребностей покупателя. Имеется онлайн версия Word 365, распространяемая по платной подписке.

Не все пользователи знают, что наряду с платными решениями, Microsoft создала бесплатный сервис Office Online, который доступен пользователям совершенно бесплатно. В состав Office Online входит текстовый редактор Word online, а также другие популярные приложения: Excel online и PowerPoint online. Поэтому пользователь может создать документ Ворд онлайн бесплатно, как бы странно это на первый взгляд не звучало.

Разумеется, если Ворд онлайн бесплатно доступен пользователям, сервис имеет меньше функциональных возможностей для работы с текстовыми файлами, по сравнению с платной версией продукта. Для большинства случаев, вполне подойдет редактирование Ворд онлайн, форматирование, сохранение документа при бесплатном варианте использования. Многие пользователи не заметят каких-либо особых различий по сравнению с платной версией программы.

Если на компьютере пользователя не установлен Майкрософт Офис, пользователь может открыть документ Word в текстовом редакторе WordPad, встроенном в операционную систему Windows.

Как в Ворд онлайн работать бесплатно

Программа Ворд онлайн работает на серверах Microsoft. Для доступа к функциям онлайн сервиса необходимо иметь интернет-соединение на своем компьютере.

Для создания документа Word, пользователь заходит на веб-страницу сервиса Word Online, или получает бесплатный доступ к Word онлайн из веб-интерфейса других сервисов корпорации Microsoft: облачного хранилища OneDrive или электронной почты Outlook.com. Редактор Ворд онлайн интегрирован в российские облачные хранилища Яндекс Диск и Облако Mail.Ru, поэтому пользователи могут создать документ Ворд онлайн непосредственно из веб-интерфейса облачного хранилища.

Использовать Ворд онлайн без регистрации не получится, потому что потребуется вход по учетной записи Майкрософт или по логину Skype. В случае использования сервиса из облачного хранилища, все равно понадобится войти в облачное хранилище, введя учетные данные.

Создайте учетную запись Майкрософт, это совсем нетрудно. Другой вариант: войдите в облачное хранилище для того, чтобы выполнить редактирование Ворд онлайн бесплатно, без ввода данных учетной записи Microsoft. Поступайте так, как вам более удобно.

Сторонние компании имеют бесплатные онлайн сервисы, поддерживающие работу с документами в вордовских форматах «.docx» и «.doc». Их использование мы не рассматриваем в этой статье, потому что сейчас нас интересует оригинальный сервис, а не его аналоги.

Редактирование документа в Word Online

Работа с документами Ворд в режиме онлайн проходит в следующем порядке:

1. Пользователь открывает браузер, а затем входит непосредственно на сайт Word online, или получает доступ к сервису через электронную почту Outlook.com, или в веб-интерфейсе облачных хранилищ OneDrive, Яндекс.Диск, Облако Mail.Ru.
2. Происходит создание и редактирование документа Word.
3. Созданный документ автоматически сохраняется в облачном хранилище. Пользователь может скачать файл в формате «DOCX» на компьютер, или скачать на компьютер копию этого файла в форматах «PDF» или «ODT».

Сейчас я покажу, как это происходит, на примере сервиса Word Online:

1. Перейдите на страницу Word Online.
2. Введите данные от учетной записи Майкрософт. Если у вас нет учетной записи, создайте ее, это не займет много времени.
3. В окне «Word Online» нажмите на «Новый документ».
4. После этого, откроется страница текстового редактора, на которой можно создать, отредактировать, а затем сохранить документ Ворд.

После завершения работы с документом Word, щелкните по меню «Файл».

В выпадающем меню выберите «Сохранить как».

Вам также может быть интересно:

В окне «Сохранить как» предложено несколько вариантов для сохранения документа:

• Сохранить как — сохранение копии в OneDrive, связанным с вашим аккаунтом.
• Переименовать — переименование файла.
• Скачать копию — скачивание копии документа на компьютер.
• Скачать в формате PDF — скачивание копии документа на компьютер в формате «PDF».
• Скачать в формате OTD — скачивание копии документа на компьютер в формате «ODT».

Обратите внимание, что здесь нет кнопки «Сохранить», так как документ Word сохраняется автоматически.

Выберите подходящий вариант для сохранения документа.

Ворд онлайн в OneDrive

Облачное хранилище OneDrive интегрировано в операционную систему Windows 10. Пользователи, работающие в Windows 7, Windows 8, Windows 8.1, могут установить приложение OneDrive на свой компьютер.

Для работы с Word онлайн программа не понадобится, мы будем использовать веб-интерфейс браузера.

1. Войдите на сайт OneDrive в браузере.
2. В левом верхнем углу нажмите на кнопку «Открытие средств запуска для доступа к приложениям Office 365».
3. Откроется окно с плитками для запуска приложений Microsoft. Нажмите на плитку «Word».

Среди других приложений, пользователю бесплатно доступны в режиме онлайн популярные офисные программы Excel и PowerPoint из бесплатного пакета Office Online.

Доступ к Word онлайн в Outlook.com

Электронная почта Outlook.com тесно связана с другими приложениями Microsoft. Из электронной почты можно получить доступ к средствам Office online.

1. Войдите в свою электронную почту Outlook.com.
2. В левом верхнем углу нажмите левой кнопкой мыши на значок в форме плитки «Приложения».
3. После этого откроются доступные онлайн сервисы, среди них Word онлайн.

4. Нажмите на значок, приступите к работе с документом.

По умолчанию, в Word онлайн открыт упрощенный интерфейс. Для изменения внешнего вида ленты, войдите в меню «Вид», снимите флажок, напротив пункта «Упрощенная лента». Лента примет привычный вид, как в приложении.

Microsoft Word онлайн в Яндекс Диск

Облачное хранилище Яндекс Диск добавило интеграцию с бесплатными сервисами Office Online. Пользователь может открыть или создать документ Ворд непосредственно из облачного хранилища.

1. Войдите в Яндекс Диск, например из электронного почтового ящика.
2. В левом верхнем углу нажмите на кнопку «Создать».
3. Среди предложенных вариантов выберите «Текстовый документ».

После этого, в окне браузера откроется текстовый процессор Word онлайн.

Ворд онлайн в Облако Mail.Ru

Облако@Mail.Ru поддерживает работу с сервисами Office онлайн. Поэтому из облачного хранилища Облако Mail.Ru пользователи могут создавать текстовые документы Word.

1. Войдите в Облако Mail.Ru из электронной почты.
2. В левом верхнем углу нажмите на стрелку около кнопки «Создать папку».
3. В контекстном меню выберите «Документ».

В окне браузера откроется тестовый редактор Word Online.

Выводы статьи

Пользователи могут бесплатно воспользоваться текстовым редактором Word онлайн из состава Office Online. Ворд онлайн доступен из окна браузера на странице Word Online, в электронной почте Outlook.com, из веб-интерфейса в облачных хранилищах OneDrive, Яндекс Диск, Облако Mail.Ru.

Похожие публикации:

vellisa.ru

Word Online (Русский) — Бесплатно

Офисный пакет от Microsoft, безусловно, самая мощная программа на рынке в своей категории. Его пакет инструментов позволяет упростить и автоматизировать обычные офисные деятельности, хотя они также могут быть использованы в других областях, таких как домашних или академических.

Здесь мы найдем все виды программ для управления электронными таблицами, создавать слайд-шоу, но самую популярную функцию, чтобы писать и редактировать тексты. В этом случае мы говорим о Microsoft Word, первая версия которого появилась в 1983 году.

Законная альтернатива пиратской и бесплатной версии Word.

Дело в том, что не так давно, чтобы заполучить этого текстового процессора, было необходимо скачать его на жесткий диск, будь то на компьютере с ОС Windows или на Mac компьютере. Тем не менее, создание более эффективных соединений для передачи данных, а также облачных вычислений, привело к распространению сервисов, к которым любой может получить доступ через Интернет-соединение. И в случае этой программы, мы также видели выпуск онлайновой версии, известной как Microsoft Word Online.

Вам нужна учетная запись Microsoft и Интернет

Единственным необходимым требованием является иметь учетную запись Microsoft (может быть Outlook, но также может быть Hotmail или MSN), номер телефона или Skype ID, связанный с американской компанией. С этого момента вы можете получить доступ к онлайн-версии приложения, что позволит вам работать везде, где бы вы не находились и с вашего браузера.

И здесь вы найдете очень похожее приложение на настольную версию, но бесплатного использования, без необходимости скачать что-либо, и доступное с любой операционной системы (Windows, macOS, Linux, Android, iOS…), с похожими функциями на версию продукта 2016 года, и совместимое с предыдущими, такими как 2013, 2010 или 2007.

Другими словами, бесплатный текстовый процессор, который появился как ответ на другие альтернативы, которые также выросли в тени Office, таких как OpenOffice или LibreOffice, или облачных версий подобных Google Docs.

Основные особенности

• Открывайте, создавайте и редактируйте документы в Интернете.
• Возможность открывать документы из облака или из жесткого диска, карт памяти или любого другого устройства хранения.
• Синхронизация с учетной записью пользователя OneDrive.
• Сохраните вашу работу и продолжайте ее на другом устройстве.
• Создавайте документы с нуля или с помощью готовых шаблонов.
• Функция для преобразования документов Word в PDF.
• Совместимость с DOC, RTF и ODT файлами.
• Обменивайтесь документами с другими пользователями или через Skype.

В общем, это бесплатный онлайновый инструмент для открытия и работы с офисными документами, что, несмотря на определенные ограничения в отношении настольных версий, позволит вам выполнять свою работу с документами, где бы вы ни находились, не беспокоясь о проблемах совместимости. Получайте к нему доступ с Chrome, Firefox, Edge, Opera или любого другого браузера.

www.malavida.com

Download a copy of a Word Online document to my computer

Примечание:  Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке) .

Your documents are available wherever you have access to the Internet, but sometimes you need to get work done when you’re not connected to the web. The good news is that you can download a copy of your document and work on it without an Internet connection, and then you can upload it later when you do.

Совет:  If you have the OneDrive desktop app, you don’t need to download a copy—you already have your OneDrive files on your computer. Any changes you make to the files in the OneDrive folder on your computer will automatically sync the next time you connect to the Internet.

1. Выберите команду Файл > Сохранить как.

2. Нажмите Загрузить.

3. Выберите место для сохранения файла и нажмите кнопку Сохранить.

Быстрый способ

Если вы уже знаете, какой документ вам нужен, вам не требуется открывать его, чтобы сохранить копию на свой компьютер. Просто скачайте копию напрямую из OneDrive.

Совет:  Таким образом также можно скачать несколько документов одновременно.

1. Выберите документы, которые вы хотите скачать.

2. В меню OneDrive нажмите кнопку Скачать.

3. Выберите место для сохранения файла и нажмите кнопку Сохранить.

support.office.com

Word Online | Microsoft Docs

• 6/13/2018
• Время чтения: 13 мин
• Соавторы

В этой статье

Word Online (ранее Word Web App) расширяет возможности Microsoft Word в веб-браузере, где вы можете работать с документами непосредственно на веб-сайте, где хранится документ.Word Online (formerly Word Web App) extends your Microsoft Word experience to the web browser, where you can work with documents directly on the website where the document is stored.

Alignment guides and live layoutAlignment guides and live layout

Линейки и линии сетки недоступны в Word Online. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.Rulers and gridlines are not available in Word Online. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Apply stylesApply styles

Сохраненные в документе стили параграфов и знаков можно применить к тексту в Word Online. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.The paragraph and character styles that are saved in a document are available to be applied to text in Word Online. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Надстройки OfficeOffice Add-ins

Вы можете приобрести надстройку для Word в Магазине Office. Надстройки Office работают в классическом приложении Word и не доступны в Word Online. Узнайте, как приобрести надстройку для Word.You can get an add-in for Word from the Office Store. Office add-ins only work in the Word desktop app and are not available in Word Online. Learn how to get an add-in for Word.

СохраненииAutosave

Word Online автоматически сохраняет документ после внесения изменений.Word Online automatically saves your document when you make changes.

ЭлементаAutotext

Вы можете вставлять блоки форматированного текста из коллекции автотекста. Это удобно, если вам нужно несколько раз ввести один большой блок текста, содержащий много элементов форматирования. Чтобы создать автотекст, добавьте выделенный текст в коллекцию автотекста. Дополнительные сведения см. в статье Автоматическая вставка текста.You can insert blocks of preformatted text using AutoText from your AutoText gallery. This is useful, for example, when you need to repeatedly enter the same large block of text and the text contains a lot of formatting. You create AutoText entries by adding selected text to the AutoText gallery. To learn more, see Automatically insert text.

Browse and start from professionally designed templatesBrowse and start from professionally designed templates

Недоступно в Word Online. Дополнительные функции, например создание документов на основе профессионально разработанных шаблонов с сайта Office.com, доступны только в классическом приложении Word. Тем не менее пользователи Office 365: могут настроить библиотеку документов так, чтобы при создании документа запускался пользовательский шаблон. Дополнительные сведения см. в статье Добавление типа контента в список или библиотеку.Not available in Word Online. Advanced design features, such as starting documents from a large selection of professionally designed templates hosted on Office.com, are only available in the Word desktop app. However, Office 365 customers can configure a document library to launch a custom template when a user creates a new document. To learn more, see Add a content type to a list or library.

Маркеры и нумерацияBullets and numbering

В Word Online можно выбрать три стиля маркеров и пять стилей нумерации. Чтобы изменить уровень списка для существующих маркированных и нумерованных списков в документе, а также для списков, созданных в классическом приложении Word, нажмите кнопки «Увеличить отступ» и «Уменьшить отступ». Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can apply a choice of three bullet styles or five numbering styles. Click the Increase Indent and Decrease Indent buttons to change the list level for existing bulleted and numbered lists in the document, as well as those created in the Word desktop app. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

ЗаголовкиCaptions

Недоступно в Word Online. Если на вашем компьютере установлено классическое приложение Word, вы можете добавить в документ подписи. Узнайте больше о добавлении подписей в Word 2013.Not available in Word Online. If you have the Word desktop app installed on your computer, then you can use Word to add captions to a document. Learn more about adding captions in Word 2013.

Citations and bibliographyCitations and bibliography

Недоступно в Word Online. В Word Online подписи можно просматривать, но нельзя добавлять. Если на вашем компьютере установлено классическое приложение Word, вы можете добавить в документ список литературы и ссылки. Узнайте больше о создании списка литературы в Word 2013.Not available in Word Online. You can view existing citations in Word Online, but you can’t add citations. If you have the Word desktop app installed on your computer, then you can use Word to add a bibliography and citations to your document. Learn more about creating a bibliography in Word 2013.

Буфер обменаClipboard

Из-за ограничений веб-браузеров текст в Office Online копируется и вставляется иначе, чем в классических приложениях Office. Узнайте больше о копировании и вставке в Office Online.Because of the limitations of web browser technology, copying and pasting text in Office Online differs from copying and pasting text in the Office desktop applications. Learn more about copy and paste in Office Online.

Collaboration- advancedCollaboration- advanced

Недоступно в Word Online. Расширенные функции совместной работы (например, включение регистрации изменений, слияния, сравнения и объединения документов) доступны только в классическом приложении Word. Зарегистрированные изменения в полном объеме появляются в Word Online в режиме просмотра.Not available in Word Online. Advanced collaboration features, such as turning on Track Changes and merge, compare, and combine documents, are only available in the Word desktop app. As expected, tracked changes appear in Word Online while in View mode.

элементы управления контентом;Content controls

Элементы управления содержимым — это отдельные элементы управления, которые можно добавлять и настраивать для использования в шаблонах, формах и документах. Узнайте больше об элементах управления содержимым.Content controls are individual controls that you can add and customize for use in templates, forms, and documents. To learn about content controls, see Content controls.

Титульные листыCover pages

В Microsoft Word есть коллекция готовых титульных страниц. Просто выберите титульную страницу и вставьте свой текст вместо образца.Microsoft Word offers a gallery of convenient predesigned cover pages. You can simply choose a cover page and replace the sample text with your own.

Создание дополнительных элементов документаCreation of advanced document elements

Недоступно в Word Online. Дополнительные элементы документа (например, Автотекст, титульные страницы, список литературы, содержание, индекс, формулы и подложки) доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Advanced document elements, such as AutoText, cover pages, bibliography, table of contents, index, equations, and watermarks, are only available in the Word desktop app.

Document parts and themesDocument parts and themes

Недоступно в Word Online. Части и темы документа (например, элементы управления содержимым и готовые коллекции цветовых и шрифтовых схем, а также заготовки графических эффектов) доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Document parts and themes, such as content controls and pre-formatted collections of color scheme, font scheme, and graphic effect pre-sets are only available in the Word desktop app.

Перевод документовDocument translation

Перевод документов непосредственно в браузере. Переводятся даже примечания.Translate documents directly in the browser. Even document comments are translated.

DropboxDropbox

Dropbox — служба размещения файлов с облачным хранилищем, синхронизацией файлов, личным облаком и клиентским программным обеспечением.Dropbox is a file hosting service that offers cloud storage, file synchronization, personal cloud, and client software.

ФормулыEquations

Microsoft Word включает встроенную поддержку ввода и редактирования формул, а также их перетаскивания в документы.Microsoft Word includes built-in support for writing and editing equations, as well as equations that you can drop into your documents.

Поиск и заменаFind and Replace

Использовать инструмент «Поиск и замена» можно как в Word Online, так и в классическом приложении Word. Чтобы узнать больше об использовании инструмента «Поиск и замена» в Word Online, просмотрите видео Новые возможности Word Online.Find and replace text in your document using the Find and Replace tool in both Word Online and Word desktop app. To learn more about using Find and Replace in Word Online, see What’s new in Word Online.

Font formattingFont formatting

В Word Online можно применять шрифт, размер шрифта и атрибуты форматирования шрифта, в том числе курсив, подчеркивание, полужирный и надстрочный. Вы можете выделять текст, изменять цвет шрифта и очищать форматирование для выбранного текста. В Word Online доступно форматирование темы документа. Активные шрифты темы находятся вверху коллекции шрифтов, а цвета темы — в коллекции цветов шрифта. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can apply font, font size, and several font formatting attributes—including bold, italic, underline, and superscript. Highlight text, change font color, and clear formatting for selected text. Document theme formatting is available to format text in Word Online. Find the active theme fonts at the top of the Fonts gallery and theme colors in the Font Color gallery. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

В Word Online можно добавлять к документам сноски и концевые сноски. Узнайте больше о добавлении сносок и концевых сносок в Word Online.You can add footnotes and endnotes to your documents in Word Online. Learn more about adding footnotes and endnotes in Word Online.

Full fidelity reading viewFull fidelity reading view

Word Online открывает документы из OneDrive и SharePoint в браузере. Структура и форматирование остаются такими же, как если бы вы открыли документ в режиме разметки в классическом приложении Word.When you open your document in OneDrive or SharePoint, Word Online opens the document in the browser. The layout and formatting are what you would see if you were to open the document in Print Layout view in the Word desktop app.

Наборы графических эффектовGraphic effect presets

Вы можете применять к графике специальные эффекты, такие как поворот, тени, насыщенность и текстовые эффекты.You can use presets to apply special effects such as rotation, shadows, saturation, and text effects to graphics.

Вставить в документ верхний и нижний колонтитулы можно как в Word Online, так и в классическом приложении Word. Верхние и нижние колонтитулы можно расположить также на всех страницах документа, кроме первой. Чтобы узнать больше об использовании верхних и нижних колонтитулов в Word Online, просмотрите видео Новые возможности Word Online.Insert a header and footer to your document in both Word Online and the Word desktop app. You also have the ability to apply headers and footers to all pages except the first page of your document. To learn more about using headers and footers in Word Online, see What’s New in Word Online.

ГиперссылкиHyperlinks

В Word Online можно легко создавать ссылки на закладки в документе и устанавливать экранные подсказки, которые отображаются при наведении курсора на ссылку. Узнайте больше о гиперссылках в Word Online.With Word Online, you can easily create links to bookmarks within a document, and set a screen tip that displays when the cursor points to the link. Learn more about hyperlinks in Word Online.

УказательIndex

Указатель содержит термины и темы, рассматриваемые в документе, а также страницы, на которых они встречаются. Чтобы создать указатель, отметьте каждый его элемент, указав имя основного элемента и перекрестную ссылку в документе.An index lists the terms and topics that are discussed in a document, along with the pages that they appear on. To create an index, you mark the index entries by providing the name of the main entry and the cross-reference in your document, and then you build the index.

Правки от рукиInk Editor

Правки от руки позволяют редактировать и форматировать документы с помощью естественных жестов, таких как круговые движения для выделения текста и зачеркивание для его удаления.Ink Editor allows you to edit and format documents using natural gestures such as circling to select text and cross out to delete text.

Вставка изображений в ИнтернетеInsert online pictures

В Word Online можно вставить изображение из файла, сохраненного на локальном жестком диске, или из службы изображений Bing. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can insert a picture from a file saved on your local hard drive or from Bing Images. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Управление правами на доступ к данным и защита паролемIRM and password-protection

Приложение Word Online отображает документы, которые защищены с использованием управления правами на доступ к данным (IRM). Тем не менее, эти документы невозможно редактировать в браузере и создавать в Word Online. В Word Online невозможно открывать документы, защищенные паролем. Расширенные функции защиты документов (например, создание документов, защищенных с использованием управления правами на доступ к данным, и применение защиты с помощью пароля) доступны только в классическом приложении Word.Word Online displays documents that are protected with Information Rights Management (IRM). However, these documents cannot be edited in the browser, and you cannot create IRM-protected documents in Word Online. Word Online can’t open documents that are encrypted with a password. Advanced document protection features, such as creating IRM-protected documents and applying password-protection, are only available in the Word desktop app.

Средства обучения призваны помочь вам улучшить свои навыки чтения: правильное произношение, скорость чтения и способность понимать прочитанное.Learning Tools are designed to help you improve your reading skills by boosting your ability to pronounce words correctly, to read quickly and accurately, and to understand what you read.

СпискиLists

В Word Online начните вводить текст непосредственно под существующим нумерованным списком, и ваша следующая строка автоматически станет частью списка. Узнайте больше о создании списка в Word Online.In Word Online, start typing directly below an existing numbered list and your next line automatically becomes part of the list. Learn more about creating a list in Word Online.

Mail mergeMail merge

Недоступно в Word Online. Расширенные функции интеграции данных, например слияние почты с помощью электронной таблицы Excel, доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Advanced data integration features, such as mail merge using an Excel spreadsheet, is only available in the Word desktop app.

Просмотр и редактирование в автономном режимеOffline viewing and authoring

Недоступно в Word Online. Для использования Office Online необходимы подключение к Интернету и веб-браузер. На вашем компьютере должно быть установлено классическое приложение Word, чтобы просматривать и редактировать документ без подключения к Интернету или локальному серверу Office Web Apps организации. Если у вас установлено классическое приложение Word, вы можете использовать все возможности Word для просмотра и редактирования документа. При сохранения обновляется и онлайн-документ. Вы также можете скачать и сохранить автономную копию документа, но она не будет синхронизироваться с онлайн-версией. Узнайте больше о сервере Office Web Apps.Not available in Word Online. Office Online requires an Internet connection and an Internet browser. You need the Word desktop app installed on your computer to view and edit a document while disconnected from the Internet or from your organization’s on-premises Office Web Apps Server. If you have the Word desktop app installed, you can use the full functionality of Word to view and edit your document. When you save, the online document is updated with your changes. You can also download and save-as an offline copy of the document, but it will not be in sync with the online version. Learn more about Office Web Apps Server.

Page breaksPage breaks

Вставка разрывов страниц в Word Online и классическом приложении Word.Insert page breaks in both Word Online and the Word desktop app.

Page layout toolsPage layout tools

В Word Online можно регулировать отступы, размер бумаги и ориентацию страниц (вертикальную или горизонтальную). В Word Online не отображаются линейки и сетки. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can adjust margins, size of paper, and whether the page is laid out vertically or horizontally in your documents. Word Online does not display rulers and gridlines. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Дополнительные сведения об удалении пустой страницы в Word Online.Learn how to Delete a blank page in Word Online.

Page layout tools- advancedPage layout tools- advanced

Недоступно в Word Online. Дополнительные функции разметки страницы (например, границы страниц и нумерация строк) доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Advanced page layout features, such as page borders and line numbers, are only available in the Word desktop app.

Page numbersPage numbers

Вставить в документ номера страниц можно как в Word Online, так и в классическом приложении Word. Номера страниц можно также вставить на всех страницах документа, кроме первой. Чтобы узнать больше об использовании номеров страниц в Word Online, просмотрите видео Новые возможности Word Online.Insert page numbers to your document in both Word Online and the Word desktop app. You also have the ability to apply page numbers to all pages except the first page of your document. To learn more about using page numbers in Word Online, see What’s new in Word Online.

Форматирование абзацаParagraph formatting

В Word Online можно выровнять абзац по левому и правому полям или по центру; включить написание справа налево; уменьшить или увеличить отступ и отформатировать абзацы в виде маркированного или нумерованного списка. Вы также можете очистить форматирование. В Word Online невозможно настроить междустрочный интервал. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can align paragraphs left, right, or centered; run text right-to-left; increase or decrease indentation; and format paragraphs as a bulleted or numbered list. You can also clear formatting. You cannot adjust line spacing in Word Online. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

В Word Online можно изменять размеры изображений и добавлять в документ замещающий текст. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, you can resize pictures and add alternative text in your document. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Форматированные шрифтовые и цветовые схемыPreformatted font and color schemes

Чтобы документы выглядели одинаково и профессионально, можно использовать темы. Темы можно применять к таблицам, диаграммам, фигурам и схемам, чтобы обеспечить единообразие шрифтов, эффектов и цветовых схем.You can use themes to simplify the process of creating matching, professional-looking documents. Themes can be applied to tables, charts, shapes and diagrams to provide consistent fonts, effects, and color schemes.

Онлайн-презентацияPresent online

Недоступно в Word Online. В классическом приложении Word 2013 можно использовать службу презентаций Office или Skype для бизнеса online для отображения документа во время собраний по сети, чтобы ваши коллеги могли перейти по ссылке и посмотреть, как вы представляете документ.Not available in Word Online. With Word 2013 desktop app, you can use Office Presentation Service or Skype for Business Online to display a document during an online meeting so that colleagues can follow a link to watch as you page through the document.

Print to PDFPrint to PDF

В Word Online можно одним щелчком создать файл PDF и открыть диалоговое окно «Печать». Узнайте больше о печати документов в Word Online.With Word Online, you get a one-click process for generating a PDF and displaying the Print dialog box. Learn more about printing a document in Word Online.

Printing- advancedPrinting- advanced

Недоступно в Word Online. Расширенные функции печати, например, печать исправлений и свойств документа, доступны только в классическом приложении WordNot available in Word Online. Advanced printing features, such as printing markups and document properties, are only available in the Word desktop app

Word Online автоматически проверяет правописание по мере набора текста и подчеркивает красной волнистой линией текст, написанный с ошибками. В приложение включены общие действия автозамены, например исправление стандартных ошибок или преобразование знаков в символы. Кроме того, можно задать язык проверки правописания или отключить проверку правописания для выделенного текста. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.Word Online automatically checks spelling as you type and applies a wavy red underline to misspelled text. Common AutoCorrect actions are included, such as correcting routine misspellings or converting characters to symbols. Additionally, you can set the proofing language or turn off the spelling checker for selected text. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Недоступно в Word Online. Расширенные средства проверки правописания (например, добавление новых слов в словарь проверки правописания, подключение пользовательского словаря, средств для языка и перевода) доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Advanced proofing tools, such as adding new words to the spell check dictionary, applying a custom dictionary, and language and translation tools, are only available in the Word desktop app.

Real-time co-authoringReal-time co-authoring

Над документом могут работать сразу несколько пользователей. Благодаря обновляемым в реальном времени данным о присутствии в Word Online и Word 2016 вы можете видеть, над какой частью документа работают ваши коллеги (что позволяет избегать конфликтов при редактировании) и какие изменения они вносят. Word 2013 поддерживает одновременное редактирование, но данные о присутствии не отображаются. Кроме того, другие авторы видят изменения только после сохранения документа. Чтобы узнать больше о совместном редактировании в реальном времени, просмотрите видео Новые возможности Word Online и ознакомьтесь со статьей Совместное редактирование документов Word в режиме реального времени.More than one person can work simultaneously in a document. In Word Online and Word 2016, real-time presence helps you see where your co-authors are working in the document so that you don’t create conflicts as you edit, and you can see changes as they’re being made. Word 2013 supports simultaneous editing, but there is no presence indication, and changes can’t be seen by multiple authors until the document is saved. To learn more about real-time co-authoring, see What’s new in Word Online and Collaborate on Word documents with real-time co-authoring.

Функции создания списка литературы, содержания и индексов отображаются в документе в полном объеме в режиме просмотра. В режиме редактирования они появляются в виде заполнителей, которые можно удалять, но невозможно редактировать или обновлять. Расширенные справочные средства (например, создание списка литературы, содержания, индексов или таблицы ссылок) доступны только в классическом приложении Word.Bibliography, table of contents, and index features display in the document as expected in View mode. In Edit mode, they appear as placeholders that you can delete but not edit or update. Advanced reference tools, such as creating a bibliography, table of contents, index, or table of authorities, are only available in the Word desktop app.

Отображение текстовых полей и фигурRendering of text boxes/shapes

Вы можете вставить текстовые поля и фигуры, а затем быстро изменить цвет текста, заливки или границы.You can insert text boxes and shapes and then quickly change the color of text, the inside (fill) color, or the color of the border.

Помощник исследователяResearcher

Помощник исследователя помогает находить и добавлять в документ достоверные источники и содержимое. Помощник исследователя получает подходящее содержимое из Интернета с помощью Bing. Дополнительные сведения см. в статье Удобная работа с источниками в Word.Researcher helps you find and incorporate reliable sources and content for your document. Researcher uses Bing to pull in the appropriate content from the web. For more information, see Research for your paper easily within Word.

Недоступно в Word Online. Расширенные функции мультимедиа, например вставка видео из Интернета или видео PowerPoint в документ Word, доступны только в классическом приложении Word.Not available in Word Online. Advanced rich media features, such as inserting online videos or a PowerPoint video into your Word document, are only available in the Word desktop app.

Rich table formattingRich table formatting

Расширенное форматирование таблиц (например, выбор стандартных стилей таблиц, настройка строк и столбцов заголовков, настройка заливки и границ) доступно как в Word Online, так и классическом приложении Word. Чтобы узнать больше о форматировании таблиц в Word Online, просмотрите видео Новые возможности Word Online.Advanced table formatting, such as choosing pre-set table styles, setting options for header rows and columns, and setting options for shading and borders, are available in both Word Online and the Word desktop app. To learn more about table formatting in Word Online, see What’s new in Word Online.

Save As and Download a copySave As and Download a copy

С помощью Word Online можно сохранить локальную копию документа.With Word Online, you can save a copy of the document locally.

Сохранить как PDFSave as PDF

Используйте Word Online, чтобы сохранять файлы в формате PDF и преобразовывать их в этот формат для отправки через Интернет или печати. Дополнительное программное обеспечение или надстройки не требуются.You can use Word Online to save or convert your files to PDFs so that you can share them or print them using commercial printers. And you won’t need any other software or add-ins.

Общий доступShare

В Word Online можно одним щелчком отправить пользователям ссылку для просмотра и редактирования документа. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.With Word Online, it’s a one-click process for sending a link that others can use to view or edit the document. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

Simple table creationSimple table creation

В Word Online можно вставлять таблицы, редактировать в них текст и легко изменять их базовую структуру, например добавлять или удалять строки и столбцы. Дополнительные расширенные функции таблицы (например, настраиваемые стили таблицы, размер ячеек, направление текста и порядок сортировки) доступны только в классическом приложении Word.With Word Online, you can insert a table, edit table text, and easily edit basic table structure, such as adding or deleting rows and columns. More advanced table features, such as custom table styles, cell size, text direction, and sort order, are only available in the Word desktop app.

SmartArtSmartArt

В Word Online существующие документы с объектами SmartArt корректно отображаются в режиме просмотра. В режиме редактирования они появляются в виде заполнителей, которые можно удалять, но невозможно редактировать. В Word Online нельзя перемещать их и изменять их размеры. Расширенные художественные функции (например, вставка фигур, диаграмм, текстовых полей, объектов SmartArt или WordArt) доступны только в классическом приложении Word.With Word Online, existing documents with SmartArt display properly in View mode. In Edit mode, they appear as placeholders that you can delete but not edit. They cannot be moved or resized in Word Online. Advanced art features, such as inserting shapes, charts, text boxes, SmartArt, or WordArt, are only available in the Word desktop app.

СодержаниеTable of Contents

Недоступно в Word Online. В Word Online оглавление можно просматривать, но нельзя создавать. Если на вашем компьютере установлено классическое приложение Word, вы можете создать оглавление в документе. Узнайте больше о создании оглавления.Not available in Word Online. You can view an existing table of contents, but you can’t create one using Word Online. If you have the Word desktop app installed on your computer, then you can use Word to create a table of contents in your document. Learn more about how to create a table of contents.

Table of AuthorityTable of Authority

Недоступно в Word Online. Вы можете просматривать существующую главную таблицу, но создать ее с помощью Word Online невозможно.Not available in Word Online. You can view an existing table of authority, but you can’t create one using Word Online.

Тематический поискTap

Выполняйте поиск и повторно используйте содержимое с помощью функции тематического поиска. Она показывает релевантные файлы, которые вы чаще всего используете, позволяя сосредоточиться на создании документов, а не на поиске файлов и информации. Дополнительные сведения см. в статье Поиск и использование необходимого содержимого.Use the Tap feature to find and reuse content. Tap surfaces relevant files that you use most frequently, allowing you to focus on document creation rather than searching for files and information. For more information, see Find and use the content you need.

ПомощникTell Me

Если вам нужно сделать что-то в Word Online, но вы не знаете как, можно воспользоваться функцией поиска «Подробнее», чтобы быстро найти нужные сведения. Эта функция распознает задачи, которые вы пытаетесь выполнить, и помогает сделать это быстрее, предоставляя варианты.When you need to accomplish something in Word Online but don’t know how, you can use the Tell Me search feature to quickly find what you’re looking for. Tell Me understands what you’re trying to accomplish and helps you do it faster by making suggestions.

Служба переводаTranslation service

Вы можете переводить текст (файлы, фразы или отдельные слова) с помощью инструментов перевода, доступных в Word Online.You can translate text, whether a whole file, selected words for phrases, or individual words, with the translation tools available in Word Online.

Отмена и повторUndo and Redo

Отменяет ряд действий или повторяет действие.Undo a series of actions, or repeat an action.

Скрипты VBA и формVBA and Forms scripts

Элементы управления Active X, встроенные объекты OLR и строка подписи отображаются в документе в полном объеме в режиме просмотра. В режиме правки они отображаются в виде заполнителей, которые можно удалить, но нельзя изменить. В Word Online нельзя перемещать их и изменять их размеры. Дополнительные элементы управления и макросы доступны только в классическом приложении Word. Узнайте больше о различиях при работе с документом через браузер и в приложении Word.Active X controls, embedded OLR objects, and a signature line will display in the document as expected in View mode. In Edit mode, they appear as placeholders that you can delete but not edit. They cannot be moved or resized in Word Online. Advanced controls and macros are only available in the Word desktop app. Learn more about differences between using a document in the browser and in Word.

В Word Online можно вставлять, редактировать и удалять комментарии в режиме редактирования. Вы также можете ответить на комментарий или отметить его как прочитанный как в классическом приложении Word.With Word Online, you can insert, edit, or delete comments in Edit mode. You can also reply to a comment or mark it as done, just as you would in Word on the desktop.

Водяные знакиWatermarks

Подложки — это текст или изображения, расположенные за текстом в документе, например «Черновик» или «Конфиденциально». В Word есть коллекция готовых подложек. Вы также можете создать собственную подложку, например логотип компании, для своего документа.Watermarks are text or pictures placed behind the text in your document; for example, you can add text watermarks such as Draft or Confidential. Word has a gallery of watermarks to choose from, or you can create your own custom watermark, such as a company logo for your document.

СтатистикаWord count

Word Online может подсчитать примерное количество слов в документе. Узнайте больше о статистике в Word Online.Word Online gives you a rough word count for words in your document. Learn more about word count in Word Online.

МасштабированиеZoom

Масштабирование доступно в режиме просмотра. Для масштабирования в режиме правки в Word Online используйте параметры браузера. Узнайте больше о статистике в Word Online.Zoom is available in View mode. With Word Online, use your browser’s view settings to zoom in or out in Edit mode. Learn more about word count in Word Online.

Доступность функцийFeature Availability

Просмотреть функции, доступные в планах Office 365, отдельных и локальных решениях, можно в статье Описание службы Office Online.To view feature availability across Office 365 plans, standalone options, and on-premise solutions, see Office Online Service Description.

docs.microsoft.com

Word online (без регистрации и бесплатно), Exel online

Вам нужно создать word или exel документ, презентацию, но без установки программного обеспечения, то есть online, без регистрации и бесплатно, тогда предлагаю следующие ресурсы.

Скачать исходники для статьи можно ниже

1. Яндекс.Диск
У большинства пользователей есть yandex почта или yandex деньги – без них уже, по-моемому, не куда не деться – таким образом у вас уже есть yandex аккаунт!
Тогда заходим на Яндекс.Диск:
“disk.yandex.ru”

Здесь жмем на кнопку “Создать”:

Выбираем тип документа, который нужно создать, например, “Текстовой документ”:

После чего нам откроется Интерфейс Онлайн Редактора Word:

2. Mail.Облако

Почта от “Mail.ru”, предполагаю, также есть у всех, поэтому аккаунт у вас тоже есть.
Аналогично первому представленному ресурсу, заходим на Mail.Облако:
“cloud.mail.ru”

Здесь жмем на кнопку “Создать”:

Выбираем тип документа, который нужно создать, например, “Текстовой документ”:

После чего нам откроется Интерфейс Онлайн Редактора Word:

3. Google Документы

Почта от Google – “gmail.com” – наверное, также есть у большинства!
Поэтому переходим на сайт Google.Документы:
“docs.google.com”

Здесь жмем на круглую кнопочку “+” в нижнем правом углу:

Интерфейс Онлайн Редактора Word:

mnogoblog.ru

Microsoft Word без регистрации — бесплатный офис онлайн

Активатор для Office, скачать Word бесплатно — популярнейшие запросы во всех поисковых системах. Но Ворд «без регистрации» и «без ключа» устанавливаемый на ПК, мягко говоря, не совсем законен.

Хотя почему выбирают ломанный, а не легальный офис в общем-то понятно — лицензия на Word всегда стоила недешево. Хочешь получить его честно — изволь раскошелиться и никаких больше вариантов. Только к концу «нулевых» было заявлено, что свободный Microsoft Office все-таки будет, но только в виде онлайн-версии. И теперь самый известный офисный пакет доступен всем желающим и совершенно бесплатно.

Ограничения в облачном офисе сделаны следующие:

• Ворд и все программы по функциям сильно урезаны;
• Для работы с онлайн-версиями необходима учетная запись Майкрософт.

Тем, не менее вы получите полноценный текстовой редактор со 100-процентной поддержкой RTF, DOC, DOCX файлов, которые корректно открываются в обычном Ворде.

Сравните.

Классический (десктопный) Microsoft Word

Облачная онлайн версия Microsoft Word

Из интерфейса программы вырезаны:

• Дизайн;
• Макет;
• Ссылки;
• Рассылки.

Но основной функционал оставлен. Это:

Вставка

Разметка страницы

Рецензирование

Вид документа

Т.е. функционал онлайн Ворда покрывает большинство потребностей, которые нужны от текстового редактора и к тому же без установки на ПК.

Для работы с документом в оффлайне достаточно нажать ссылку «Изменить в Word».

Документ будет скачан и загружен в классический Microsoft Word. Если программа на компьютере не установлена, то предложат скачать его пробную версию. Приобретается лицензионный Ворд либо по фиксированной цене или в виде ежемесячной подписки. Действует подписка до тех пор, пока пользователь ее оплачивает.

Учетная запись Майкрософт

Для начала работы с онлайн-офисом необходимо зарегистрировать Microsoft аккаунт. К нему же будут привязаны все облачные службы и сервисы компании (см. рис. ниже).

И хотя возможности, предоставляемые Майкрософт очень обширны — кроме офиса зарегистрированный пользователь получает: e-mail, Skype, Xbox Live аккаунты, сохранение своих файлов в облачном хранилище OneDrive — популярность этих служб у нас, да и в других странах не высока.

Главная причина, конечно — Гугл. Интернет-гигант значительно раньше запустил и более агрессивно продвигает свои аналоги: Gmail, Google Drive, Google Docs и др. А практически монопольный захват мобильного рынка ОС Android привязал владельцев смартфонов ко всем Гугл-службам.

Вторая причина — популярность региональных онлайн-сервисов. В России это прежде всего Яндекс и Mail.ru. Специально заводить или постоянно переключаться в другой онлайн-акканут интернет-пользователям не любят. Т.е. зачем, например почта от Майкрософт, если у вас уже давно есть email-аккаунт на Яндексе или в Mail.ru? И такая же причина с другими службами.

Как получить Microsoft Word без регистрации

Понимая, что привлечь интерес к своему онлайн-офису напрямую не удается, Майкрософт заключила соглашения с Яндексом и Mail.ru для интеграции офиса в их облачные сервисы.

Что это дало региональным онлайн-игрокам?

Разрабатывать и поддерживать аналог Google Docs компаниям не нужно, да и интерфейс Ворда для работы с текстом россиянам более привычен.

Для Майкрософт — это бесплатная реклама своего офиса среди миллионов зарегистрированных онлайн-пользователей, тем более, что в оффлайне Word так и остается самым популярным текстовым редактором.

Microsoft Word в Яндексе

В Яндексе Microsoft Word онлайн интегрирован в Яндекс Диск.

Чтобы открыть или создать документ в формате DOCX, необходимо:

1. Перейти в Яндекс Диск.

2. Нажать «Создать» и выбрать «Текстовой документ»

3. После чего загрузится облачная версия Ворда.

Microsoft Word в Mail.ru

В Mail.ru Microsoft Word онлайн интегрирован в Облако.Mail.ru.

Чтобы открыть или создать документ в формате DOCX, необходимо:

1. Перейти в Облако.Mail.ru.

2. Нажать «Создать» и выбрать «Документ»

3. И облачный Ворд также будет загружен онлайн.

Как видно, где-либо регистрироваться для работы с известным текстовым редактором не нужно и Microsoft Word теперь всегда «под рукой» на любом ПК в привычном онлайн-окружении и абсолютно бесплатно.

Автор: Юлия Панова.

17.01.2017      Просмотров: 27471

juliapanova.ru

Онлайн ворд офис: Открывайте документы онлайн

Интенсивное развитие компьютерных технологий, дает возможность без установки программного обеспечения на компьютер, выполнять различные функции. Все что нужно для этого – Интернет и браузер, посредством которого будет производиться вход на интерактивные сервисы для выполнения функций нужных пользователю. Одним из успешных проектов является Word Online, который был успешно интегрирован в Сеть и уже приносит много пользы.

Преимущества интерактивного офиса Word от Microsoft

Для того, чтобы открыть Microsoft Word Online заходим по ссылке. Открывается стартовая страница.

Основным достоинством сервиса, является мобильность и возможность использования с любого устройства, которое имеет установленный браузер(Google Chrome, Яндекс браузер и т.д). и подключение к сети. Это открывает новые горизонты возможностей и спектр использования офиса, поскольку теперь, не устанавливая на девайс программы, вы можете пользоваться им абсолютно бесплатно. Конечно, невозможно отметить тот факт, что в отличии программы Word от Microsoft,

интерактивная версия продукта является абсолютно бесплатной.

Таким образом, этот продукт  стал еще актуальнее, и спектр использования софта расширился многократно.

Функционал Word онлайн

Конечно же, разработчики не стали создавать совершенно новый продукт, поскольку программа Word итак имеет весьма хорошие возможности с удобной навигацией, поэтому интерактивный аналог имеет сходный интерфейс с программой, и нисколько не уступает по возможностям.

Если нажать на иконку вверху слева, то можно видеть состав пакета. Тут есть и word и excel.

Работать с этим сервисом  достаточно комфортно, не нужно изучать новые функции и запоминать расположение инструментов, все находится на тех же местах, как в программе.

Тут даже Skype интегрировали. Нажав на кнопку можно и документ делать и консультироваться по скайпу!

Таким образом, вы можете с первых минут уже выполнить нужные операции, например, открыть документ, редактировать его и сохранить, или же создать новый и загрузить на свой ПК. Отличается работа только в открытии и сохранении файлов, что осуществляется при помощи файлового проводника, в котором нужно указать путь сохраняемого файла или выбрать расположение загружаемого.

 

Поддержка форматов

Работать интерактивный офис Word способен с такими же форматами, которые понимает программа Microsoft Word. Таким образом, онлайн аналог Microsoft Word, нисколько не уступает по возможностям и поддержки форматов, с аналогичными программами. Вы можете, как создать документ с расширением Doc или отредактировать уже имеющийся и сохранить его. Все это доступно в любой момент прямо из вашего браузера.

Отличия

Проекты Microsoft никогда не сдают позиции, и онлайн Word тоже заслуженно можно назвать успешным. Самым цепким отличием является бесплатность, и очень широкий функционал. На данный момент нет в Интернете подобных проектов, которые бы предложили на бесплатной основе такие возможности. Поэтому выделим к основным отличиям свободное использование и наличие хорошего функционала.
Если вам нужен текстовый редактор, поддерживающий большинство современных форматов – то онлайн Word офис от компании Microsoft – это идеальное решение ваших проблем. Не нужно устанавливать программу, достаточно посетить ресурс и вы получите бесплатный полнофункциональный инструмент для выполнения офисной работы.

Похожие статьи:

 

Запись имеет метки: Полезное

moydrugpc.ru