Выполнить действия над комплексными числами – Действия над комплексными числами

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление;
• возведение комплексного числа в степень;
• извлечение корня $n$—й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Определение 1

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

• $a$ — вещественная (действительная) часть;
• $b$ — мнимая часть.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Определение 3

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Примечание 1

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} +z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)+(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i.\]

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_{1} -z_{2} =(a_{1} +b_{1} i)-(a_{2} +b_{2} i)=(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i.\]

Пример 1

Выполнить действия: 1) $z_{1} +z_{2} $2) $z_{1} -z_{2} $ для заданных комплексных чисел $z_{1} =2+4i$ и $z_{2} =1-3i$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} +z_{2} =(a_{1} +a_{2} )+(b_{1} +b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)+(1-3i)=(2+1)+(4-3)i=3+i\]

2) По определению имеем: $z_{1} -z_{2} =(a_{1} -a_{2} )+(b_{1} -b_{2} )\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

\[z_{1} +z_{2} =(2+4i)-(1-3i)=(2-1)-(4+3)i=1-7i.\]

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^{2} =-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )].\]

Пример 2

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =1+3i$ и $z_{2} =2-2i$.

Решение:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

\[z_{1} \cdot z_{2} =(1+3i)\cdot (2-2i)=\]

\[1\cdot 2+3\cdot 2i+1\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)=2+6i-2i-6i^{2} =2+4i+6=8+4i\]

Пример 3

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

1) По определению имеем: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot [\cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {z_{1} \cdot z_{2} =\left(3\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)\cdot \left(2\cdot (\cos \pi +i \cdot \sin \pi )\right)=6\cdot \sqrt{3} \cdot \left[\cos \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2} +\pi \right)\right]=} \\ {=6\sqrt{3} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)} \end{array}\]

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i \sin \varphi _{2} )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].\]

Примечание 2

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

• представить запись операции деления в виде дроби;
• числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
• привести полученное выражение к алгебраической записи.

Пример 4

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

$z_{1} =2+i$ и $z_{2} =1-i$.

Решение:

Для исходных чисел получаем:

\[\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{2+i}{1-i} =\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{2+i+2i+i^{2} }{1^{2} -i^{2} } =\frac{2+3i-1}{1+1} =\frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} +\frac{3}{2} i\]

Пример 5

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_{1} =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)$ и $z_{2} =2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.

Решение:

По определению имеем: $z_{1} \div z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =3\cdot \left(\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} \right)\div \left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)=\frac{3}{2} \cdot \left[\cos \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{3} -2\pi \right)\right]=} \\ {= \frac{3}{2} \cdot \left(\cos \left(-\frac{4\pi }{3} \right)+i\cdot \sin \left(-\frac{4\pi }{3} \right)\right)} \end{array}\]

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^{n} =r^{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Пример 6

Выполнить действие $z^{3} $, где $z=3\cdot \left(\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{3} =3^{3} \cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac{\pi }{4} \right)\right)=27\cdot \left(\cos \frac {3\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{4} \right).\]

Пример 7

Выполнить действие $z^{100} $, где $z=1\cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)$.

Решение:

По формуле Муавра получим:

\[z^{100} =1^{100} \cdot \left(\cos \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)+i\cdot \sin \left(100\cdot \frac{\pi }{2} \right)\right)=1\cdot \left(\cos 50\pi +i\cdot \sin 50\pi \right)=1\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right).\]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[\sqrt[{n}]{z} =\sqrt[{n}]{r} \cdot (\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n} ),\, \, \, k=0..n-1.\]

Пример 8

Выполнить действие $\sqrt[{3}]{z} $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Решение:

Для $k=0$ получаем: $w_{1} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi }{3} \right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_{2} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +2\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_{3} =\sqrt[{3}]{z} =\sqrt[{3}]{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi +4\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{\pi +4\pi }{3} \right)=\sqrt[{3}] {4} \cdot \left(\cos \frac{5\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{5\pi }{3} \right)$.

spravochnick.ru

Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.

Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$

Умножение двух комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

 

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

 

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.421.  $(2+3i)(3-i).$

Решение:

$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$

Ответ: $9+7i.$

 

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$

Ответ: $24+22i.$

 

1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$

Решение.

$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$

 {jumi[*4]}

1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$

Решение.

$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$

Ответ: $\frac{14}{5}i.$

 

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$

$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$

$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$

Ответ: $x=2; y=3.$

 

Домашнее задание.

 

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.422.  $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

 

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

Ответ: $-4i.$

 

1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$

Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$

 

1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$

Ответ: $i.$

 

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

 

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

 

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

mathportal.net

Действия с комплексными числами

Время проведения –2 часа.

Цель работы:отработать навыки выполнения действий с комплексными числами; научиться решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицателен.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие мнимой единицы;

2. Понятие комплексного числа;

3. Понятие модуля и аргумента комплексного числа;

4. Равенство комплексных чисел;

5. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

6. Действие над комплексными числами в алгебраической форме;

7. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

8. Тригонометрическая форма комплексного числа;

Содержание работы:

1. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

2. Выполнение действий над комплексными числами;

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

Литература:[1, с.17-23]

Порядок выполнения задания:

При выполнении первого задания необходимо учитывать следующее: в комплексных числах можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, так как , где — мнимая единица. Следовательно, в поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение, в том числе с отрицательным дискриминантом.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Найдем дискриминант , , следовательно, уравнение имеет мнимые корни, которые находят по формуле

Ответ:

Для выполнения второго, третьего заданий необходимо уметь применять операции над комплексными числами и знать правило равенства комплексных чисел.

Отметим, что с комплексными числами, записанными в алгебраической форме, операции сложения, вычитания и умножения можно производить также, как с действительными биномами, деление выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Правило равенства: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Пример: Найдите сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел

Решение:

, где

Ответ: , , ,

Пример: Найдите действительные решения уравнения

Решение:

В соответствии с правилом равенства получаем:

Ответ:

Для выполнения четвертого, пятого заданий необходимо знать тригонометрическую форму записи комплексного числа и его геометрическую интерпретацию.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу ставится в соответствие точка М координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу (ось называют действительной), а коэффициент при мнимой части – ординату точки (ось называют мнимой).

 

Расстояние от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу , называют модулем этого числа, который вычисляют по формуле: . Угол между положительной полуосью и лучом называют аргументом комплексного числа . Выражение называют тригонометрической формой комплексного числа.

Пример: Изобразить на комплексной плоскости число и записать его в тригонометрической форме.

Решение:

Комплексному числу соответствует точка плоскости

 

Для комплексного числа имеем: , (по чертежу).

Поэтому в тригонометрической форме комплексное число имеет вид:

Ответ:

Вариант 1

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

 

Вариант 2

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, предствавив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

 

 

Практическая работа № 8



infopedia.su

§ 2.Действия над комплексными числами

П.2.1.Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁=х₁+iy₁ и z₂=х₂+iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).                             (2.1)

Сложение комплексных чисел обладает переместителъным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

• z₁+z₂=z₂+z₁

• (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃).

Из определения (2.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см. рис. 164).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|. Это соотношение называется неравенством треугольника.

П.2.2.Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z₂, дает число z_l т. е. z=z₁-z₂, если z+z₂=z₁.

Если z₁=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то из этого определения легко получить z:

z=z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂).                          (2.2)

Из равенства (2.2) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы (см. рис. 165).

Непосредственно из рисунка видно, что |z₁-z₂|≥|z₁|-|z₂|. Отметим, что

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство |z-2i|=1 определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z₀=2i, т. е. окружность с центром в z₀=2i и радиусом 1.

П.2.3. Умножение комплексных чисел

Произведением к омплексных чисел z1 =х1 +iy1 и z2=х2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством

z=z1 z2 =(x1 x2- у1 у2)+i(x1 y2+y1x 2 ). (2.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 =- 1. (2.4)

Действительно, i2=ii=(0+1 i )(0+1i )=(0-1)+i(0+0)=-1. Благодаря соотношению (2.4) формула (2.3) получается формально путем перемножения двучленов x1+ iy1 и х2+iy2:

(х1 +iy1 )(x2+iy2) =x1x 2 +x1 iy2+i у1 х2+iy1iy 2 =x1 x2 +i2y1 y2+i (x1 y2+y1 x2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+y1x 2 ).

Например,

(2-3i)(- 5+4i)=-10+8i+15i-12i2=-10+23i+12=2+23i.

Заметим, что z*z=(х+iy)(x-iy)=х2+у2 — действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

z1z2=z2z1

(z1z2)z3=z1(z2z3).

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

В этом легко убедиться, используя определение (2.3).

Найдем произведение комплексных чисел z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2), заданных в тригонометрической форме:

z1z2=r1(cosφ1+isinφ1)r2(cosφ2+isinφ2)=

r1r2(cosφ1cosφ2+isinφ1cosφ2+rcosφ1siπφ2-sinφ1sinφφ2)=

=r1r2((cosφ1cosφ2-siπφ1sinφ2)+i(sinφ1cosφ2+cosφ1 sinφ2))=

=r1r2(cos(φ1+φ2)+i sin(φ1+φ2)),

т. е.

z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)).

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковые, то

zn=(r(cosφ+isinφ))n=rn(cosnφ+isinnφ). (2.5)

Формула (2.5) называется формулой Муавра.

studfiles.net

7 раб

Методические рекомендации к выполнению практической работы №7.

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

• Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.

• Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

• Тригонометрическая форма комплексного числа.

• Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.

Определение 1: Комплексными числами называются числа вида , гдеи— действительные числа, а число, определяемое равенством, называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1). Два комплексных числа иназываются равными, если,;

2). Суммой двух комплексных чисел иназывается комплексное число;

3). Произведением двух комплексных чисел иназывается комплексное число;

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа, где называется действительной частью комплексного числа, а —мнимой частью.

Пример1: 7+3i

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел. Поэтому его можно записать так: .

Пример: 4=4+0i

Определение 2: Комплексное число называетсякомплексно сопряженным

с числом и обозначается, то есть.

Пример2: 2+5i и 2-5i

Определение 3: Модулем комплексного числа называется число:. Причем.

Комплексное число можно изобразить двумя способами:

1. Точкой плоскости с координатами (а;в).

При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа- точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

2. В виде вектора с началом в начале координат () и концом в точке М(а;в) ().

Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в),поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора.

Определение 4: Угол φ между действительной осью ОХ и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называетсяаргументом комплексного числа. Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, иначе- отрицательной.

Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутканазываетсяглавным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует:

Пример3:

Изобразить геометрическую интерпретацию комплексного числа, найти модуль комплексного числа и главное значение аргумента.

а). ; б).; в)..

Решение:

а).

;

б).

;

в).

2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение и умножение комплексных чисел мы ввели в определении комплексного числа. Введем правила вычитания и деления комплексных чисел: ;

.

Но удобнее всего действия над комплексными числами производить с помощью правил соответствующих действий над многочленами и понятием мнимой единицы.

Пример4:

Выполнить действия:

а). ; б).; в).; г).; д).; е).;

ж). ; з).; и).; к)..

Решение:

а). ;

б). ;

в). ;

г).;

д). ;

е). ;

ж). ;

з). ;

и). ;

к). .

3. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Изобразим комплексное число геометрически:

Обозначим модуль комплексного числа .

Аргументом комплексного числа называется угол φ, который вычисляется с помощью формул:

но , тогда

и

Подставим получившиеся формулы в , получим:

,тогда

— тригонометрическая форма комплексного числа.

Алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти: .

2. Изобразить геометрически число , для нахождения четверти числа φ.

3. Составить уравнения: и найти φ.

4. Записать z в тригонометрической форме .

Примеры: а).Перевести числа из алгебраической формы в тригонометрическую.

1). .

1. .

2. Изобразим геометрически:

Значит φ принадлежит I четверти.

3. .

4..

2). .

1. .

2. Изобразим геометрически:

, так как z принадлежит положительной полуоси ОУ.

Значит 3 пункт можно опустить.

4. .

3).

1. .

2. Изобразим геометрически:

φ принадлежит II четверти.

3. .

4.

б). перевести из тригонометрической формы в алгебраическую:

1).

Решение:

.

2).

Решение:

.

4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Пусть даны два числа в тригонометрической форме: и.

1). При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

.

2). При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются:

.

3). При возведении комплексного числа вn-ую степень используется формула:

, которая называется формулой Муавра.

4). Для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа используется формула:

.

Примеры:

Дано: ,.

Найти: 1). , 2)., 3)., 4)..

Решение: 1).

2).

3).

4).

Практическая работа№7.

Тема: Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

Цель: Научить выполнять различные действия с комплексными числами; переводить комплексные числа из алгебраической формы и обратно;

Задания:

I-B II-B

1. Выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме:

1)., 1).,

2). , 3).. 2)., 3)..

2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме:

1). , 2)., 3).. 1)., 2)., 3)..

3. Выполнить действия с комплексными числами в тригонометрической форме: 1). , 2)., если:

, ,

. .

Ответы к практической работе № 6:

I-B. II-B.

1. 1)., 1. 1).

2). , 2).,

3). . 3)..

2. 1). , 2. 1).,

2). , 2).,

3). . 3)..

3. 1). , 3. 1).,

2). . 2)..

studfiles.net

Алгебраические действия над комплексными числами

1. Сложение и вычитание двух комплексных чисел:

Следствие. Комплексные числа иназываются взаимно сопряженными и обозначаются,Следовательно,

для двух взаимно сопряженных чисел:

сумма – действительное число,

разность – чисто мнимое число.

2. Умножение двух комплексных чисел:

•

Произведение взаимно сопряженных чисел

–действительное число.

• Если числа изаданы в тригонометрической форме, то

• Если числа изаданы в показательной форме, то

3. Деление двух комплексных чисел всегда возможно и осуществляется:

• в алгебраической форме с помощью умножения делимого и делителя на число, взаимно сопряженное делителю:

• в тригонометрической и показательной форме следующим образом:

если то

или

Примеры 1)

2)

3)

4)

5)

6) Если комплексное число тообратное ему число

4. Возведение в n-ю степень комплексного числа

если то

В частности, имеем:

Если то.

5. Извлечение корня n-ой степени как действие, обратное возведению в степень: если ито

где

Если принимает значения:…,то значениябудут отличаться друг от друга наПри дальнейшихзначениябудут повторяться. В геометрической интерпретации точки, изображающие, являются вершинами правильногоn-угольника с центром в начале координат. На рис. 2 изображены шесть значений где

Пример 1. k = 0, 1, 2, 3.

Получаем четыре значения корня:

1) 2)

3) 4)

Пример 2. k = 0, 1.

Получаем два значения 1)2)(рис. 3).

1.3. Алгебраические выражения и действия над ними

В алгебре изучаются действия с выражениями, содержащими как числовые, так и буквенные значения. При этом буквам может при необходимости придаваться конкретное численное значение.

• Одночленом называется произведение нескольких сомножителей, являющихся числами или буквами. Отдельные числа и буквы также считаются одночленами. Например, 6,у – одночлены.

• Многочленом называется сумма одночленов. Например, – многочлены.

Основу всех алгебраических операций представляют следующие законы сложения и умножения:

Переместительный закон:

Сочетательный закон:

Распределительный закон:

При выполнении преобразований алгебраических выражений используются следующие приемы.

• Приведение подобных членов. Если несколько слагаемых имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты складываются, а буквенная часть сохраняется. Например,

• Вынесение множителя за скобки производится на основе распределительного закона и правил действий со степенями.

Пример 1.

Раскрытие скобок также производится с помощью распределительного закона. Необходимо помнить, что если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии меняются знаки всех слагаемых.

Пример 2.

Пример 3.

• Деление многочленов. Для деления многочлена, зависящего от одной переменной х, на аналогичный многочлен меньшей степени используют следующую процедуру деления столбиком:

1) расположим слагаемые в многочленах в порядке убывания степени неизвестной; 2) разделим первое слагаемое делимого многочлена на первое слагаемое делителя и результат напишем в частное; 3) умножим результат на делитель и вычтем его из делимого; 4) произведем с полученным при вычитании многочленом действия аналогичные пунктам 2) и 3). Будем повторять эту операцию, пока при вычитании не получится либо ноль, либо многочлен степени меньшей, чем у делителя. Этот многочлен называется остатком.

Пример 4. Выполнить деление многочлена на многочлен

3

–

х⁴ – 7х³ + 12х² – 5х + 3 х² – 2х + 3

3х⁴ – 6х³ + 9х² 3х² – х + 1

–х³ + 3х² – 5х + 3

– х³ + 2х² – 3х

–

х² – 2х + 3

х² – 2х + 3

0

Следовательно,

studfiles.net

Действия над комплексными числами — Мегаобучалка

1. При сложении двух комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и мнимые части:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i. (1)

2. При умножении двух комплексных чисел получается комплексное число:

z₁z₂ = (a₁a₂– b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i, (2).

3. При делении двух комплексных чисел получается комплексное число:

, (3).

@ Задача 1. Найти сумму двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 6i.

Решение: Комплексные числа суммируются по правилу (1): (2 + 3i) + (– 4 + 6i) = (2 – 4) + (3 + 6)i = – 2 + 9i.

@ Задача 2. Найти произведение двух комплексных чисел 2 + 3i и – 4 + 5i.

Решение: Комплексные числа умножаются по правилу (2):

(2 + 3i)·(– 4 + 5i) = (2·(– 4) – 3·5) + (2·5 + 3·(– 4))i = – 23 – 2i.

@ Задача 3. Найти частное двух комплексных чисел 2 + 4i и 1 + i.

Решение: Комплексные числа делятся по правилу (3):

.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Всякое комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой A(a,b) плоскости, такой что a = Rez, а b = Imz. Тогда a и b можно выразить через полярные координаты r и j: a = rcosj, b = rsinj, где r и j называются модулем и аргументом комплексного числа.

Таким образом, комплексное число z = a + bi можно представить в тригонометрической форме

.

Экспоненциальной формой комплексного числа называется число .

@ Задача 4. Представить в тригонометрической форме комплексное число .

Решение: Так как , то комплексное число представляется в тригонометрической форме в виде

.

Корни квадратного и биквадратного уравнений

Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с отрицательным дискриминантом D = b² – 4ac < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам .

Корни биквадратного уравнения x⁴ + px² + q = 0 с отрицательным дискриминантом D = p² – 4q < 0 являются комплексными числами и находятся по формулам:

,

.

@ Задача 5. Решить квадратное уравнение x² – 4x + 8 = 0.

Решение: Дискриминант квадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×8 = – 16 < 0 и, следовательно, корни квадратного уравнения равны .

@ Задача 6. Решить биквадратное уравнение

x⁴ – 4x² + 16 = 0.

Решение: Дискриминант биквадратного уравнения отрицательный: D = 4² – 4×16 = – 48 < 0. Т.к. и , то и .

 

§1.7 Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Выпуклые множества и их свойства.

В n-мерном пространстве задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа x_i, что

Tочку O и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости (n = 2) координату x₁ называют абсциссой, а x₂ – ординатой точки M. В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

megaobuchalka.ru