График четный и нечетный – Чётные и нечётные функции — урок. Алгебра, 9 класс.

[Билет 11] Свойства графиков чётных и нечётных функций. Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях

 Свойства графиков чётных и нечётных функций. Функция у = f (х) называется четной, если при всех значениях х из области определения этой функции

f (— х) = f (х).


Функция у = f (x) называется нечетной, если при всех значениях х из области определения этой функции

f (— х) = — f (х).

Свойство. Функция является четной тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно оси . Свойство. Функция является нечетной тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно точки 
Арифметические теоремы о чётных и нечётных функциях.



  • Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.

    Док-во:
    a) f(-x) = f(x), g(-x) = g(x)
    S(x)=f(x)+g(x)
    S(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=S(x)

    b) f(-x) = -f(x), g(-x)=-g(x)
    T(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) — g(x) = — (f(x)+g(x)) = — T(x)

  • Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
  • Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
  • Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

    Для доказательств: 

    Определение операций с функциями
    (f + g)(x) = f(x) + g(x)        Сложение 
    (f — g)(x) = f(x) — g(x)        Вычитание 
    (f.g)(x) = f(x).g(x)        Умножение 
    (f/g)(x) = f(x)/g(x)        Деление

  • Теорема 1. Если функция у =f(х). xX является четной, то ее

    график симметричен относительно оси ординат.

    Пусть М (х; f(x)) — точка графика рассматриваемой функции. Так как по условию функция четна, то, во-первых, (—х)Х, и во-вторых,f(—х)=f(х). Значит, точка М'(—х; f(x)) также принадлежит графику функции. Но точки M и М’ симметричны относительно оси ординат. Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси ординат. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат.

    Теорема 2. Если функция у =f(х), хХ является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

    fizmatinf.blogspot.com

    График четной и нечетной функций

    Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

    Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

    Пример. Построить график функции \(y=\left|x \right|\).

    Решение. Рассмотрим функцию: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) и подставим вместо \(x \) противоположное \(-x \). В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.

    Значит эта функция — четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической — удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений.
    Пример. Построить график функции \(y=x\left|x \right|\).

    Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).

    Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки.
    Пример. Построить график функции \(y=x^3+x^2\).

    Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной , ни нечетной.

    Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.

    studlab.com

    Нечётные и чётные функции — это… Что такое Нечётные и чётные функции?

    Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

     — пример нечётной функции.  — пример чётной функции. ни чётная, ни нечётная.

    Другие определения:

    • Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
    • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
    • Индифферентная функция[источник не указан 240 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

    Определения

    Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

    • Функция называется чётной, если справедливо равенство
    • Функция называется нечётной, если справедливо равенство

    (или функцией общего вида).

    Свойства

    • График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
    • График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
    • Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

    где

    • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
    • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
    • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
    • Произведение двух функций одной чётности чётно.
    • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
    • Композиция двух нечётных функций нечётна.
    • Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
    • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
    • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
      • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
    • Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

    Примеры

    Нечётные функции

    Чётные функции

    Вариации и обобщения

    dic.academic.ru

    Четные и нечетные функции. 9-й класс

    Разделы: Математика


    УМК: А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс.

    Тип урока: изучение новых знаний

    Цели урока:

    • Образовательные: знакомство с определениями четной и нечетной функции; использование алгоритма исследования функции на четность; исследование симметричности графиков четной/нечетной функции и их построение.
    • Развивающие: развитие навыков построения графиков четной и нечетной функции; развитие логического мышления; развитие умений анализировать и делать выводы; развитие коммуникативных навыков.
    • Воспитательные: воспитывать аккуратность, графическую культуру, культуру речи; воспитывать умение работать в парах, прислушиваться к мнению одноклассника. 

    Задачи:

    1. Ввести понятие симметричного множества.
    2. Сформулировать определения четной/нечетной функции.
    3. Вывести алгоритм исследования функции на четность.
    4. Научиться исследовать функцию на четность с использованием алгоритма.
    5. Научиться определять графики четных/нечетных функций.

    Методы обучения: словесно-наглядный; групповой; индивидуальный; фронтальный.

    Ход урока

    I. Приветствие. Мобилизация на работу.

    II. Актуализация знаний.

    Задание: Найти область определения функций:

    Выполняют самостоятельно в тетрадях, затем по желанию выходят к доске записать ответ.

    Задание классу: сравнить область определения функций 2 и 4.

    Вопрос: Что их объединяет, что общего? (Дети формулируют вывод о том, что множество элементов содержит и противоположные элементы).

    III. Изучение нового материала.

    Вводится понятие симметричного множества.

    Формулируются определения четной/нечетной функции.

    Вопрос: может ли быть, что для функции не выполняется ни одно из условий: f(-x)=f(x) или f(-x)=-f(x)? Приведите пример.

    В таком случае функция не является ни четной, ни нечетной.

    Рассмотреть примеры на понятие четности и нечетности функции: у = х4; у = х3; у = 2х+3.

    Вопрос: какой должна быть область определения функции при исследовании её на четность?

    Учитель вместе с детьми формулирует алгоритм исследования функции на четность/нечетность. Записываем в тетрадь.

    Исследовать функцию у = х4+ , используя алгоритм.

    Вопрос: Графики каких известных вам функций обладают симметрией? Относительно чего? Какой вывод можно сделать о четности функций? Почему?

    Обучающиеся делают вывод: график четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат

    Рассмотреть геометрический смысл свойства четной и свойства нечетной функции.

    Задание: построить весь график функции, если нарисована его часть и задана четность функции. №11.11. (чертежи заранее подготовлены на доске). Дети по желанию выходят к доске и достраивают графики функций.

    IV. Закрепление изученного материала.

    Задание: исследовать на четность функции:

    Работа на месте самостоятельно.

    Затем взаимопроверка в парах.

    Задание (индивидуальное): Известно, что функция f(x) – четная и возрастает при х>0. Определите характер монотонности функции при x<0. Схематично изобразите график функции в тетради.

    Дополнительное задание: №11.28.

    V. Подведение итогов урока.

    Вопросы: что нового узнали?

    Проговорить алгоритм исследования функции.

    Что было интересно? Какие были сложности?

    VI. Домашнее задание.

    П.11 (в учебнике), №№11.10, 11.20(б), 11.21(г), 11.18.

    16.04.2016

    Поделиться страницей:

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Четные и нечетные функции

    Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


    Презентация к уроку

    Загрузить презентацию (10,8 МБ)

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


    Цели:

    • сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
    • развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
    • воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

    Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

    Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

    Информационные источники:

    1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
    2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
    3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся.  Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

     ХОД УРОКА

    1. Организационный момент

    Постановка целей и задач урока.

    2. Проверка домашнего задания

    №10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

    а) у = f(х), f(х) =

    б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

    в)  1. D(f) = [– 2; + ∞)
    2. Е(f) = [– 3; + ∞)
    3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
    4. f(х) >0 при х > 0,4 ;    f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
    5. Функция возрастает при х €  [– 2; + ∞)
    6. Функция ограничена снизу.
    7. унаим = – 3, унаиб не существует
    8. Функция непрерывна.

    (Вы использовали алгоритм исследования функции?)

     Слайд.

    2. Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

    Заполните таблицу

    Функция

    Область определения

    Нули функции

    Промежутки знакопостоянства

    Координаты точек пересечения графика с Оу

    у > 0

    у < 0

    х ≠ –3

    х = –5,
    х = 2

    х € (–5;3) U
    U (2; ∞ )

    х € (–∞;–5) U
    U (–3;2 )

    ( 0;)

    х ∞ –5,
    х ≠ 2

    х = –3

    х € (–5;3) U
    U (2; ∞)

    х € (–∞;–5) U
    U (–3;2 )

    ( 0;)

    х ≠ –5,
    х ≠ 2

    нет

    х € (–∞; –5) U
    U (2; ∞)

    х € (–5; 2)

    ( 0;)

    3. Актуализация знаний

    – Даны функции.
    – Указать область определения для каждой функции.
    – Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
    – Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

     

    D (f)

    f(1) и f(– 1) f(2) и f(– 2) графики f(– х) = –f(х) f(– х) = f(х)
    1. f(х) =

    R

    2 и 2

    Г

     

     

    +

    2. f(х) = х3

    R

    1 и 1

    8 и – 8

    А

    +

     

    3. f(х) = | х |

    R

    1 и – 1

    2 и 2

    Б

     

    +

    4. f(х) = 2х – 3

    R

    – 1 и – 5

    1 и – 7

    Е

     

     

    5. f(х) =

    х ≠ 0

    6 и – 6

    3 и – 3

    В

    +

     

    6. f(х)= х > –1

     и 0

    и не опред.

    З

     

     

    4. Новый материал

    – Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
    Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

    Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

    Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

    Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?
    Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
    Для любой функции вида у = хn, где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.  
    – Функции вида у =  и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

    Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

    В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

    Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

    Примеры:

    (–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

    – У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
    – Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
    – Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
    – Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
    – Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

    Слайд

    Алгоритм исследования функции на чётность

    1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

    2. Составить выражение для f(– х).

    3. Сравнить f(– х).и  f(х):

    • если  f(– х).= f(х), то функция чётная;
    • если  f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
    • если   f(– х) ≠ f(х) и  f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

    Примеры:

    Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .

    Решение.

    а) h(х) = х5 +,

    1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

    2) h (– х) = (–х)5 + – х5 –= – (х5 +),

    3) h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х5 +  нечётная.

    б) у = ,

    у = f(х),     D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

    в) f(х) = ,   у = f (х), 

    1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

    2)f (– х) == ;

    3)  f (– х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

    Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

    Слайд.

    Вывод:

    1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
    2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

    – Верны ли обратные утверждения?

    1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
    2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

    Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

    – Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать
    свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

    5. Первичное закрепление

    Самостоятельная работа

    Вариант 1

    1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2),  (–4; 4]?

    Вариант 2

    1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0],  (0; 7) ?

    2. Исследуйте на чётность функцию:
    а);      б) у = х·  (5 – х2).
    2. Исследуйте на чётность функцию:

    а) у = х2 · (2х – х3),     б)  у =

    3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
    Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

     

    3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0.
    Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – нечётная функция.

     

    Взаимопроверка по слайду.

    6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

    Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

    ***(Задание варианта ЕГЭ ).

    1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции   g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) =  при х = 3.

    7. Подведение итогов

    Приложения

    8.03.2013

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Чётные и нечётные функции

    Поиск Лекций

    Лекция №1

    Пределы функции

    Функция: определение, основные свойства и способы задания

    К понятию функции приводит изучение разнообразных явлений в окружающем нас мире. Так, например ясно, что:

    1 каждому значению длины куба соответствует его объём;

    2 каждому значению радиуса окружности соответствует её длина и площадь круга;

    3 каждому показателю рентабельности соответствует определённая величина прибыли.

    Во всех этих примерах общим является то, что каждому числовому значению одной величины сопоставляется определённое числовое значение другой.

    Эта зависимость между двумя переменными величинами носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе первенствующей роли. Однако в условиях конкретной задачи часто случается так, что заданы значения некоторой величины х (независимой переменной) и по ним определяются соответствующе значения величины y (зависимой переменной).

    Независимую переменную величину, то есть величину, для которой мы можем задавать произвольные, интересующие нас значения, называют аргументом. Переменную величину, значения которой зависят от аргумента, называют функцией.

    Переменная величина y называется функцией переменной величины х, если каждому значению х, взятому из области её изменения, соответствует по определённому правилу единственное значение y.

    Символически функциональная зависимость между переменной y и переменной х записывается с помощью равенства y = f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить y.

    Под областью определения (существования) функции f(x) понимается совокупность всех действительных значений аргумента х, при которых функция определена и выражается действительным числом.

    Иногда область определения функции ограничивается физическим или геометрическим смыслом задачи.

    Нельзя смешивать область определения функции с областью значений функции.

    Область значений функции есть множество всех действительных значений, которые принимает функция.


    Способы задания функции.

    Имеется несколько способов задания функции.

    1 Аналитический способ.Соответствие между х и y задаётся в виде формулы. Например, . Этот способ удобен для выполнения над функцией математических действий, но не всегда нагляден.

    2 Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке (столбце таблицы) записывают все значения аргумента (числа), а во второй строке (столбце) – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, через каждые десять дней измеряли диаметр d, мм коробочки хлопчатника. В результате получена следующая таблица.

    Таблица № 1 Табличный способ задания функции

     

     

    Табличный способ удобен для использования, он особенно широко применяется при регистрации результатов опытов, лабораторных анализов и т. д., но представление о функциональной зависимости не является полным.

    3 Графический способ. Функция изображается в прямоугольной системе координат в виде графика. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)), то есть таких, координаты которых обращают выражение y = f(x) в тождество.

    Графический способ задания функции очень нагляден, но точность его невелика, поэтому данный способ применяют чаще всего в сочетании с аналитическим и табличным.

     

    Чётные и нечётные функции

    Функция y= f(x) называется чётной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, то есть f(-x) = f(x). Например, парабола является чётной функцией, так как . График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

    Функция y= f(x) называется нечётной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, то есть f(-x) = -f(x). Например, функция – нечётная, так как . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

    Функция, не являющаяся чётной или нечётной, называется функцией общего вида.

    Пример. Исследовать на чётность и нечётность функцию .

    Решение. Подставляем на место аргумента (-х).

    – функция чётная.

     


    Рекомендуемые страницы:

    Поиск по сайту

    poisk-ru.ru

    Нечётные и чётные функции — это… Что такое Нечётные и чётные функции?

    Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

     — пример нечётной функции.  — пример чётной функции. ни чётная, ни нечётная.

    Другие определения:

    • Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
    • Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
    • Индифферентная функция[источник не указан 240 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.

    Определения

    Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

    • Функция называется чётной, если справедливо равенство
    • Функция называется нечётной, если справедливо равенство

    (или функцией общего вида).

    Свойства

    • График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
    • График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
    • Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

    где

    • Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
    • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
    • Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
    • Произведение двух функций одной чётности чётно.
    • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
    • Композиция двух нечётных функций нечётна.
    • Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
    • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
    • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
      • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
    • Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

    Примеры

    Нечётные функции

    Чётные функции

    Вариации и обобщения

    dvc.academic.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *