Рубрика: Школьная жизнь

правила, примеры, вычитание и сложение с разными знаками

Данная статья посвящена числам с разными знаками. Мы будем разбирать материал и пытаться выполнять вычитание между этими числами. В параграфе мы познакомимся с основными понятиями и правилами, которые пригодятся во время решения упражнений и задач. Также в статье представлены подробно разобранные примеры, которые помогут лучше понять материал.

Как правильно выполнять вычитание

Для того, чтобы лучше понять процесс вычитания, следует начать с основных определений.

Если вычесть из числа a число b, то это можно преобразовать как сложение числа a и -b, где b и −b – числа с противоположными знаками.

Если выразить данное правило буквами, то оно выглядит так a−b=a+(−b), где a и b – любые действительные числа.

Данное правило вычитания чисел с разными знаками работает для действительных, рациональных и целых чисел. Его можно доказать на основании свойств действий с действительными числами. Благодаря им мы может представить числа как несколько равенства (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a. Так как сложение и вычитание тесно связаны, то равным также будет выражение a−b=a+(−b). Это значит, что рассматриваемое правило вычитания также верно.

Данное правило, которое применяется для вычитания чисел с разными знаками, позволяет работать как с положительными, так и с отрицательными числами. Также можно производить процесс вычитания из отрицательного числа из положительного, которое переходит в сложение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, мы рассмотрим типичные примеры и на практике рассмотрим правило вычитания для чисел с разными знаками.

Примеры упражнений на вычитание

Закрепим материал, рассмотрев типичные примеры.

Необходимо выполнить вычитание 4 из −16.

Для того, чтобы выполнить вычитание, следует взять число, противоположное вычитаемому 4, есть −4. Согласно рассмотренному выше правилу вычитания (−16) −4=(−16) +(−4). Далее мы должны сложить получившиеся отрицательные числа. Получаем: (−16) +(−4) =−(16+4) =−

zaochnik.com

правило, примеры, как складывать числа с разными знаками

В этом материале мы расскажем, как правильно выполнять сложение отрицательного и положительного числа. Сначала мы приведем основное правило такого сложения, а потом покажем, как оно применяется при решении задач.

Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

Мы уже говорили ранее, что положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное – как убыток. Чтобы узнать величину дохода и расхода, надо смотреть на модули этих чисел. Если в итоге окажется, что наши расходы превышают доходы, то после их взаимного учета мы останемся должны, а если наоборот, то мы останемся в плюсе. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

Используя приведенные выше рассуждения, можно вывести основное правило сложения чисел с разными знаками.

Для сложения положительного числа с отрицательным необходимо найти их модули и выполнить сравнение. Если значения окажутся равны, то мы имеем два слагаемых, которые являются противоположными числами, и их сумма будет нулевой. Если же они не равны, то нам надо учесть, что результат будет иметь тот же знак, что и большее число.

Таким образом, сложение в данном случае сводится к вычитанию из большего числа меньшего. Итог этого действия может быть разным: мы можем получить как положительное, так и отрицательное число. Нулевой результат тоже возможен.

Это правило распространяется на целые, рациональные и действительные числа.

Задачи на сложение положительного числа с отрицательным

Разберем, как применять на практике правило, озвученное выше. Возьмем для начала простой пример.

Вычислите сумму 2+(-5).

Решение

Выполним последовательно шаги, которые мы изучили до этого. Найдем для начала модули исходных чисел, которые будут равны 2 и 5. Больший модуль – 5, поэтому запоминаем минус. Далее вычитаем из большего модуля меньший и получаем: 5−2=3. 

Ответ: (−5)+2=−3.

Если в ус

zaochnik.com

Вычитание чисел с разными знаками

В курсе арифметики установлено, что вычитание есть действие, обратное сложению, при помощи которого по данной сумме и по одному слагаемому находят другое слагаемое.

Пользуясь этим определением, мы должны разобрать, как надо выполнять вычитание относительных чисел.

Пусть надо из (+8) вычесть (–3), т. е. пусть надо

Первое данное число выражает данную сумму, второе – данное слагаемое, а над найти другое слагаемое (для него оставлено место после знака равенства), т. е. надо решить вопрос: какое число надо сложить с (–3), чтобы в сумме получилось (+8)? Этот вопрос запишем в такой форме:

(?) + (–3) = +8.

Но сразу этот вопрос решить трудно, а поэтому сначала решим более простой, вспомогательный вопрос: какое число надо сложить с (–3), чтобы в сумме получился нуль ?, т. е.

(?) + (–3) = 0.

На этот вопрос ответ ясен: надо взять для неизвестного слагаемого число, имеющее ту же абсолютную величину, как и данное слагаемое, но обратный знак, – в данном случае надо для неизвестного слагаемого взять число +3. Теперь перейдем к решению главного вопроса: мы взяли для неизвестного слагаемого число + 3 и в сумме получился нуль, но нам надо получить в сумме число +8, поэтому надо чтобы и в другое слагаемое вошло это же число +8. Следовательно, неизвестное слагаемое должно состоять: 1) из +3, чтобы в сумме получился нуль и 2) из +8, чтобы эту сумму «нуль» довести до требуемой +8. Поэтому на месте неизвестного слагаемого пишем + 3 + 8:

(+ 8) – (– 3) = + 3 + 8 = + 11.

Последнее (= + 11) написано на том основании, что числа + 3 и + 8 надо соединить в одно или сложить.

Вот еще примеры:

(– 7) – (+ 5) = – 5 – 7 = – 12.

Искомое слагаемое должно состоять: 1) из –5, чтобы в сумме получился нуль и 2) из –7, чтобы дополнить этот нуль до требуемой суммы, до –7. Сложив числа –5 и –7, получим –12.

(– 3) – (– 8) = + 8 – 3 = + 5.

Искомое слагаемое должно состоять: 1) из +8, чтобы в сумме получился нуль и 2) из –3, чтобы дополнить этот нуль до требуемой суммы, до –3. Сложив числа +8 и –3, получим +5.

(+7) – (+9) = –9 + 7 = –2.

Искомое слагаемое должно состоять: 1) из –9, чтобы в сумме получился нуль и 2) +7, чтобы дополнить этот нуль до требуемой суммы, до +7; сложив числа –9 и +7, получим –2.

Из этих примеров видим, что вычитание в алгебре состоит лишь в умении раскрывать скобки: надо второе число (данное слагаемое или вычитаемое) написать с обратным знаком, а первое число (данную сумму или уменьшаемое) написать с тем же знаком. После того, как это сделано, т. е., когда скобки раскрыты, дело сводится к сложению, так как написаны числа рядом с их знаками, напр., в последнем примере: – 9 + 7.

Так как сумма не изменяется от перестановки слагаемых, то можно числа, полученные в разобранных примерах после раскрытия скобок, переставить, чтобы порядок был согласен с порядком данных чисел:

(+ 8) – (– 3) = + 8 + 3; (– 7) – (+ 5) = – 7 – 5;
– 3 – (– 8) = – 3 + 8; (+ 7) – (+ 9) = + 7 – 9.

Итак,

чтобы раскрыть скобки при вычитании, надо первое число (уменьшаемое) написать без изменения и приписать к нему второе число (вычитаемое) с обратным знаком.

Заметим еще, что при обозначении вычитания первое число пишется часто без скобок, а если оно положительное, то, как уже известно, знак + можно впереди не писать.

Например,

– 3 – (– 5) = – 3 + 5 = + 2; 1 – (– 6) = 1 + 6 = 7;
3 – (+ 3) = 3 – 3 = 0.

14. Примеры на сложение и вычитание. Пусть требуется вычислить:

1 – {3 + [5 – (3 – 5 – 6)]}.

Мы станем руководствоваться следующим порядком: если внутри какой-либо пары скобок нет других скобок и нет действия, то эти скобки можно раскрыть; если же внутри этих скобок есть действие (сложение), то надо сначала его выполнить. В нашем примере такой порядок: сначала выполним сложение чисел, написанных внутри маленьких скобок, потом надо эти скобки раскрыт, выполнить сложение внутри квадратных скобок, раскрыть квадратные скобки, выполнить сложение внутри витых скобок, раскрыть эти скобки и, наконец, сложить полученные числа:

1 – {3 + [5 – (3 – 5 – 6)]} = 1 – {3 + [5 – (– 8)]} = 1 – {3 + [5 + 8]} =
= 1 – {3 + [+13]} = 1 – {3 + 13} = 1 – {+ 16} = 1 – 16 = – 15.

Конечно, при навыке можно сразу выполнять несколько действий и, следовательно, укоротить вычисление.
Еще пример:

Пусть еще требуется вычислить выражение:

a – {(b – c) – [d + (e + f)]} при a = – 3; b = 1; c = 4; d = – 5; e = – 7; f = 2.

Выполним вычисления по действиям:

1) b – c = + 1 – (+ 4) = 1 – 4 = – 3;

2) e + f = (– 7) + (+ 2) = – 7 + 2 = – 5;

3) d + (– 5) = – 5 + (– 5) = – 5 – 5 = – 10;

4) (– 3) – (– 10) = – 3 + 10 = + 7;

5) – 3 – (+ 7) = – 3 – 7 = – 10.

Примеры для упражнений:

Если взять число нуль и прибавлять к нему по +1, то получим ряд постепенно увеличивающихся целых чисел:

0, +1, +2, +3, +4, +5, …..

Этот ряд совпадает (см. конец п. 10) с натуральным рядом чисел, т. е. с

0, 1, 2, 3, 4, 5 …..

Если мы, взяв число нуль, вычтем из него (+1), затем еще раз вычтем (+1) и т. д., то, согласно с тем, как мы это понимали в арифметике по отношению к натуральному ряду чисел, мы теперь признаем, что и здесь станем получать все уменьшающиеся целые числа:

1) 0 – (+ 1) = – 1; 2) (– 1) – (+ 1) = – 1 – 1 = – 2;
3) (– 2) – (+ 1) = – 3 и т. д.

Получим, идя от нуля налево, ряд уменьшающихся относительных чисел:

….., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0.

Соединяя этот ряд с предыдущим, получим полный ряд относительных чисел:

….., – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 …..

Этот ряд и вправо и влево идет без конца.

Всякое число в этом ряду больше другого, которое стоит левее и меньше любого, стоящего правее его. Так +1 > –3; 0 > –6; –5 < 0; –3 < +2 и т. д.

В промежутках между целыми числами этого ряда можно вставить бесконечно много дробных чисел.

maths-public.ru

Действия с числами, имеющими разные знаки. 6-й класс

Разделы: Математика

Тип урока: игра “Математический поезд”

Цели:
– систематизация знаний по данной теме;
– повторение правил сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками;
– повторение правил умножения и деления сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками;
– повторение алгоритма решения уравнения;
– умение применять их при решении различных задач.

Оборудование:
– цветные жетоны;
– интерактивный комплекс.
– жетоны;
– карточки;
– схема маршрута.

“Математический поезд” состоит из 3-х вагонов: мягкого, купейного, плацкартного.

Условия игры.

1. Кассовый зал.

В кассовом зале каждый ученик получает посадочный талон с заданиями и 6 жетонов.
Решив все задачи, ученик обращается за получением билета.
Если ученик не может решить какое-либо задание, то он обращается в справочное бюро. В зависимости от содержания справки определяется “плата”.

2. Справочное бюро.
Проверка правильности решения задачи и указание ошибки проводится бесплатно;
За наводящий вопрос, помогающий найти путь решения, платится 1 жетон;
За подсказку пути решения – 2 жетона;
За решение – 3 жетона.

3. Получения билета.
В мягкий вагон – при правильном решении всех заданий и предъявлении в кассу более 3-х жетонов;
В купейный вагон – при решении всех заданий и предъявлении в кассу 3-х жетонов;
В плацкартный вагон – при решении всех заданий и предъявлении в кассу 1 или 2-х жетонов.

План урока.

Кассовый зал.

I. Разминка.
Прочитать правила сложения и вычитания чисел с одинаковыми и разными знаками.

При сложении двух чисел отрицательны
Надо модули сложить их обязательно.
И поставить минус перед суммой,
Только минус, обязательно подумай!
При сложении с разными знаками чисел
Надо меньший из большего модуля вычесть
И поставить того знак числа в результате,
Модуль больше которого, знай математик!
(Н. Зайцева).

Прочитать правила умножения чисел с одинаковыми и разными знаками.

Прочитать правила деления чисел с одинаковыми и разными знаками.

Не на шутку в самом деле,
Если Оля, Таня, Зина…
Умножают или делят
Два числа со знаком минус,
Получают, спора нет,
Положительный ответ.
Даже сказочный Емеля,
Чтобы спорились дела,
Умножает или делит
Разных знаков два числа.
Получает, не секрет,
Отрицательный ответ.
(Н. Зайцева).

Проверка письменных заданий проводится на интерактивной доске.

II. Выдаются посадочные талоны и жетоны.

Письменно в тетрадях.

а) раскрыть скобки
а – (с + х + у – в)
а + (-х – у + в + с)

б) привести подобные слагаемые
8х + 12а – 2х – 6а
-7х – (-4х – 3а) + 6а
7*(-2х + 3) – 4*(3х + 2)

III. После проверки выдаются “посадочные билеты”:
– желтый – в мягкий вагон;
– зеленый – в купейный вагон;
– красный – в плацкартный вагон

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Школьная” и следует до станции “Решай-ка”. (Звучит бодрая музыка.)

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Решай-ка”. Вас встречает кандидат математических наук “Уравнение”.

“Уравнение” – “Здравствуйте, дорогие друзья. Очень радо встрече с вами. Ответьте, пожалуйста, на мои следующие вопросы:
– что называется уравнением?
– что называется корнем уравнения?
– что значит решить уравнение?
– какие уравнения называются равносильными?
– назвать алгоритм решения уравнения”.

Самостоятельная работа по вариантам.

Проверка – на интерактивной доске.

“Уравнение”: “Дорогие друзья! Вы все знаете об уравнении и умеете решать уравнения. Поэтому можете продолжить свое путешествие дальше”.

За правильное решение учащиеся получают карточку.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Школьная”.

(Звучит музыка.)

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Весенняя”. Здесь вас встречает

Задача: (решаем на доске).

Из одной скворечни одновременно в противоположные стороны вылетели 2 скворца. Скорость одного из них на 25 км\ч. больше скорости другого. Через 0,3 часа расстояние между ними стало 37,5 км. Найдите скорость каждого скворца.

Решение.

Пусть х км\ч. скорость первого скворца, тогда (х + 25) км\ч. – скорость второго скворца, (х + х + 25)*0,3 = 0,6х + 7,5 км. Расстояние между ними.
Уравнение: 0,6х + 7,5 = 37,5
0,6х = 30
х = 50
50 + 25 = 75(км\ч.) скорость второго скворца.
Ответ. 50км\ч., 75км\ч.

Дано уравнение: 3х – 20 = х + 20.

Составьте по нему задачу и решите ее.

За правильное решение учащиеся получают карточку.

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Математический поезд отправляется от станции “Весенняя”.

(Звучит музыка.)

Голос диктора: “Внимание! Внимание! Прослушайте объявление! Наш поезд прибывает на станцию “Угадай-ка”. Здесь вас встречает Емеля.

Проверьте, верно ли решены уравнения:

(Решают самостоятельно за партой, затем – на доске.)

3х + 8= -17
3х = -17 + 8
3х = 9
Х = 3
Ответ. 3.

14х – 19 = 4х – 10
14х – 4х = -10 + 19
10х = 9
Х = 10:9
Х =1 1\9
Ответ. 1 1\9

3х – 6 = 2х

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как решать примеры с минусами 🚩 примеры на плюс решить 🚩 Математика

12 июня 2011

Автор КакПросто!

Еще в начальной школе учат, как складывать и вычитать числа. Для того чтобы научиться это делать, необходимо выучить таблицу сложения и основанную на ней таблицу вычитания. Получается, первоклашка сможет из семнадцати вычесть девять или решить любой подобный пример. Однако завести в тупик его сможет пример обратного характера: как вычесть из девяти семнадцать. Примеры с отрицательными числами даются по школьной программе много позже, когда человек созревает до абстрактного мышления.

Статьи по теме:

Инструкция

Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и ответ получает общий знак «-«.
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на «+», далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа — знак большего числа.

Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с разными знаками ответу присваивается знак «минус», если числа с одинаковыми знаками — у результата всегда знак «плюс».1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Арифметические действия с отрицательными числами человеку приходится выполнять довольно часто. Самый распространенный случай связан с измерениями уличной температуры. Например, вам нужно узнать, на сколько градусов температура поднялась или опустилась по сравнению с предыдущим днем. Со сложением и вычитанием отрицательных чисел сталкиваются и те, у кого возникает необходимость определить соотношение высот, если исследуемый объект находится ниже уровня моря.

Вам понадобится

• — лист бумаги;
• — карандаш;
• — линейка.

Инструкция

?Несколько иначе обстоит дело, если одно из чисел положительное, а другое — отрицательное. В этом случае вычтите меньший модуль из большего. То есть в примере (-10)+18 необходимо отнять 10 от 18. Получается 8. Поскольку положительное число в этом случае имеет больший модуль, то и перед результатом ставится плюс или вообще ничего не пишется.

?Рассмотрите другой вариант действия с этими же модулями. Например, если положительным будет 10, то есть число с меньшим модулем. В этом случае пример выглядит как 10+(-18). Вычтите меньший модуль из большего. Получается 8, но, поскольку большее абсолютное значение у отрицательного числа, то перед результатом ставится минус.

?Действием, обратным сложению, является вычитание. При вычитании отрицательных чисел знак вычитаемого меняется на противоположный. Если из -18 вычесть -10, то пример можно преобразовать так: (-18)-(-10)=-18+10=-8. Вычитание чисел с разными знаками аналогично сложению двух отрицательных чисел. То есть (-18)-(+10)=-18-10=-28.

Полезный совет

‭При большем количестве слагаемых сложите все положительные числа, затем все отрицательные и проведите действие точно так же, как и с двумя.

‭Для того чтобы лучше понять, что происходит с отрицательными числами, когда вы их складываете, сделайте числовую линейку. Это просто горизонтальная прямая. Поставьте метку «0». Вправо откладывайте равные отрезки, приняв их за положительные числа. Например, 1 будет располагаться на расстоянии 1 см от нуля. Отрицательные числа отложите влево. Отложите не числовой прямой 10 единиц влево. Получится число (-10). Чтобы прибавить к нему (-18), отложите влево 18 единиц. Чтобы отнять это число, отложите его от (-10) вправо.

www.kakprosto.ru

Сложение чисел с разными знаками

Разделы: Математика

Технологическая карта

Ход урока

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

«Правила действий с числами с разными знаками» теоретический зачет

Iвариант

1.Модулем числа называют _____________________________________________________

2. Два числа называются противоположными _____________________________________________________

3.При сравнении двух отрицательных чисел, больше то ___________________________________________________

4. При сравнении нуля и отрицательного числа, больше _____________________________________________________

5. Чтобы сложить два отрицательных числа надо:

1.__________________________________________________

2. _________________________________________________

6.Чтобы сложить положительное и отрицательное число надо:

1.___________________________________________________________________________________________________

2.___________________________________________________________________________________________________

7. Чтобы из одного числа вычесть другое надо

_____________________________________________________

II вариант

1.Сумма противоположных чисел равна__________________

2. Числа, расположенные слева от начала отсчета, называются _____________________________________________________

3. При сравнении положительного и отрицательного числа , больше _________________________________________________

4. При сравнении двух отрицательных чисел, больше то _____________________________________________________

5. Чтобы из одного числа вычесть другое надо

_____________________________________________________

6.Чтобы сложить положительное и отрицательное число надо:

1.________________________________________________________________________________________________________

2.________________________________________________________________________________________________________

7. Чтобы сложить два отрицательных числа надо:

1.__________________________________________________

2. ________________________________________________

infourok.ru

Как находить произведение матриц. Умножение матриц. Скалярное произведение матриц. Произведение трех матриц

С матрицами (таблицами с числовыми элементами) могут проводиться различные вычислительные действия. Одни из них – умножение на число, вектор, другую матрицу, несколько матриц. Произведение иногда получается неверным. Ошибочный результат – итог незнания правил выполнения вычислительных действий. Давайте разберемся, как следует осуществлять умножение.

Матрица и число

Начнем с самого простого – с умножения таблицы с числами на конкретную величину. Например, мы имеем матрицу A с элементами a_ij (i – это номера строк, а j – это номера столбцов) и число e. Произведением матрицы на число e будет матрица B с элементами b_ij, которые находятся по формуле:

b_ij = e × a_ij.

Т. е. для получения элемента b₁₁ нужно взять элемент a₁₁ и умножить его на нужное число, для получения b₁₂ требуется найти произведение элемента a₁₂ и числа e и т. д.

Решим задачу № 1, представленную на картинке. Для получения матрицы B просто умножим элементы из A на 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Это значение записываем в матрицу B в то место, где пересекаются столбец № 1 и строка № 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Мы получили элемент b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Мы получили элемент b₁₂. Записываем его в матрицу B в место, где пересекаются столбец № 2 и строка № 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Данный результат – это элемент b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Данное число вносим в матрицу на место элемента b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Последнее полученное число – это элемент b₂₃.

Таким образом, мы получили прямоугольный массив с числовыми элементами.

Векторы и условие существования произведения матриц

В математических дисциплинах существует такое понятие, как «вектор». Под этим термином понимается упорядоченный набор величин от a₁ до a_n. Они называются координатами векторного пространства и записываются в виде столбца. Еще есть термин «транспонированный вектор». Его компоненты располагаются в виде строки.

Векторы можно называть матрицами:

• вектор-столбец – это матрица, построенная из одного столбца;
• вектор-строчка – это матрица, которая включает в себя только одну строку.

При выполнении над матрицами операций умножения важно помнить о том, что есть условие существования произведения. Вычислительное действие A × B может быть выполнено только тогда, когда число столбцов в таблице A равно числу строчек в таблице B. Итоговая матрица, получаемая в результате вычисления, всегда имеет число строк таблицы A и число столбцов таблицы B.

При умножении не рекомендуется переставлять местами матрицы (множители). Их произведение обычно не соответствует коммутативному (переместительному) закону умножения, т. е. результат операции A × B не равен результату операции B × A. Такая особенность именуется некоммутативностью произведения матриц. В некоторых случаях результат умножения A × B равен результату умножения B × A, т. е. произведение коммутативно. Матрицы, при которых равенство A × B = B × A выполняется, называются перестановочными. С примерами таких таблиц можно ознакомиться ниже.

Умножение на вектор-столбец

При выполнении умножения матрицы на вектор-столбец обязательно учитываем условие существования произведения. Число столбцов (n) в таблице должно совпадать с количеством координат, из которых составлен вектор. Результат вычисления – преобразованный вектор. Его количество координат равно числу строчек (m) из таблицы.

Как вычисляются координаты вектора y, если есть матрица A и вектор x? Для расчетов созданы формулы:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n,

…………………………………,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n,

где x₁, …, x_n – координаты из x-вектора, m – число строк в матрице и количество координат в новом y-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в x-векторе, a₁₁, a₁₂, …, a_mn – элементы матрицы A.

Таким образом, для получения i-й компоненты нового вектора выполняется скалярное произведение. Из матрицы A берется i-я вектор-строка, и она умножается на имеющийся вектор x.

Решим задачу № 2. Произведение матрицы на вектор найти можно, ведь A имеет 3 столбца, и x состоит из 3 координат. В результате мы должны получить вектор-столбец с 4 координатами. Воспользуемся вышеуказанными формулами:

1. Вычислим y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Итоговое значение равно 2.
2. Вычислим y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). При расчете получим 0.
3. Вычислим y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Сумма произведений указанных множителей равна 6.
4. Вычислим y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координата равна –8.

Умножение вектор-строки на матрицу

Нельзя умножить матрицу, состоящую из нескольких столбцов, на вектор-строку. В таких случаях не выполняется условие существования произведения. А вот умножение вектор-строки на матрицу возможно. Эта вычислительная операция выполняется при совпадении количества координат в векторе и числа строк в таблице. Результат произведения вектора на матрицу – новая вектор-строка. Ее количество координат должно равняться числу столбцов в матрице.

Вычисление первой координаты нового вектора подразумевает умножение вектор-строки и первого вектор-столбца из таблицы. Аналогичным способом производится расчет второй координаты, но вместо первого вектор-столбца берется уже второй вектор-столбец. Вот общая формула для вычисления координат:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + … + a_mkx_m,

где y_k – координата из y-вектора, (k находится в промежутке от 1 до n), m – число строк в матрице и количество координат в x-векторе, n – число столбцов в матрице и количество координат в y-векторе, a с буквенно-цифровыми индексами – элементы матрицы A.

Произведение прямоугольных матриц

Это вычислительное действие может показаться сложным. Однако умножение легко выполняется. Начнем с определения. Произведение матрицы A с m строками и n столбцами и матрицы B с n строками и p столбцами – это матрица C с m строками и p столбцами, в которой элемент c_ij представляет собой сумму произведений элементов i-й строки из таблицы A и j-го столбца из таблицы B. Если говорить более простым языком, то элемент c_ij – это скалярное произведение i-й вектор-строчки из таблицы A и j-го вектор-столбца из таблицы B.

Теперь разберемся на практике в том, как находить произведение матриц прямоугольного вида. Решим для этого задачу № 3. Условие существования произведения выполняется. Приступим к расчету элементов c_ij:

1. Матрица C будет состоять из 2 строк и 3 столбцов.
2. Рассчитаем элемент c₁₁. Для этого выполним скалярное произведение строки № 1 из матрицы A и столбца № 1 из матрицы B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Далее поступаем аналогичным образом, меняя только строки, столбцы (в зависимости от индекса элемента).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Элементы рассчитаны. Теперь осталось только составить прямоугольный блок из полученных чисел.

Умножение трех матриц: теоретическая часть

Можно ли найти произведение трех матриц? Эта вычислительная операция выполнима. Результат можно получить несколькими способами. Например, есть 3 квадратных таблицы (одного порядка) – A, B и C. Чтобы вычислить произведение, можно:

1. Умножить сначала A и B. Результат затем умножить на C.
2. Найти сначала произведение B и C. Далее матрицу A умножить на полученный результат.

Если требуется перемножить матрицы прямоугольного вида, то сначала нужно удостовериться в том, что данная вычислительная операция возможна. Должны существовать произведения A × B и B × C.

Поэтапное умножение не является ошибкой. Есть такое понятие, как «ассоциативность умножения матриц». Под этим термином понимается равенство (A × B) × C = A × (B × C).

Умножение трех матриц: практика

Квадратные матрицы

Начнем с умножения небольших квадратных матриц. Ниже на рисунке представлена задача № 4, которую нам предстоит решить.

Будем пользоваться свойством ассоциативности. Перемножим сперва либо A и B, либо B и C. Помним только одно: нельзя переставлять местами множители, т. е. нельзя умножать B × A или C × B. При таком умножении мы получим ошибочный результат.

Ход решения.

Шаг первый. Для нахождения общего произведения умножим сначала A на B. При умножении двух матриц будем руководствоваться теми правилами, которые были изложены выше. Итак, результатом умножения A и B будет матрица D с 2 строчками и 2 столбцами, т. е. прямоугольный массив будет включать в себя 4 элемента. Найдем их, выполнив расчет:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Промежуточный результат готов.

Шаг второй. Теперь умножим матрицу D на матрицу C. Результатом должна быть квадратная матрица G с 2 строками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Таким образом, результатом произведения квадратных матриц является таблица G с вычисленными элементами.

Прямоугольные матрицы

Ниже на рисунке представлена задача № 5. Требуется перемножить прямоугольные матрицы и найти решение.

Проверим, выполняется ли условие существования произведений A × B и B × C. Порядки указанных матриц позволяют нам выполнять умножение. Приступим к решению задачи.

Ход решения.

Шаг первый. Умножим B на C для получения D. Матрица B содержит 3 строчки и 4 столбца, а матрица C – 4 строчки и 2 столбца. Это значит, что матрица D у нас получится с 3 строчками и 2 столбцами. Рассчитаем элементы. Вот 2 примера вычислений:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Продолжаем решать задачу. В результате дальнейших вычислений мы находим значения d₂₁, d₂₂, d₃₁ и d₃₂. Эти элементы равны 0, 19, 1 и 11 соответственно. Запишем найденные значения в прямоугольный массив.

Шаг второй. Умножим A на D, чтобы получить итоговую матрицу F. В ней будет 2 строчки и 2 столбца. Рассчитаем элементы:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Составим прямоугольный массив, являющийся конечным результатом умножения трех матриц.

Знакомство с прямым произведением

Достаточно сложным для понимания материалом является кронекеровское произведение матриц. У него есть еще дополнительное название – прямое произведение. Что же понимается под этим термином? Допустим, у нас есть таблица A порядка m × n и таблица B порядка p × q. Прямым произведением матрицы A на матрицу B является матрица порядка mp × nq.

У нас есть 2 квадратные матрицы A, B, которые представлены на картинке. Первая из них состоит из 2 столбцов и 2 строк, а вторая – из 3 столбцов и 3 строк. Мы видим, что матрица, полученная в результате прямого произведения, состоит из 6 строк и точно такого же количества столбцов.

Как при прямом произведении вычисляют элементы новой матрицы? Найти ответ на этот вопрос очень легко, если проанализировать рисунок. Сначала заполняют первую строку. Берут первый элемент из верхней строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки из таблицы B. Далее берут второй элемент первой строчки таблицы A и последовательно умножают на элементы первой строки таблицы B. Для заполнения второй строки снова берут первый элемент из первой строки таблицы A и умножают его на элементы второй строки таблицы B.

Итоговую матрицу, получаемую прямым произведением, называют блочной. Если вновь проанализировать рисунок, то можно заметить, что наш результат состоит из 4 блоков. Все они включают элементы матрицы B. Дополнительно элемент каждого блока умножен на конкретный элемент матрицы A. В первом блоке все элементы умножены на a₁₁, во втором – на a₁₂, в третьем – на a₂₁, в четвертом – на a₂₂.

Определитель произведения

При рассмотрении темы, касающейся умножения матриц, стоит еще рассмотреть такой термин, как «определитель произведения матриц». Что такое определитель? Это важная характеристика квадратной матрицы, определенное значение, которое ставится в соответствие этой матрице. Буквенное обозначение определителя – det.

Для матрицы A, состоящей из двух столбцов и двух строчек, определитель легко найти. Существует небольшая формула, представляющая собой разность произведений конкретных элементов:

det A = a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Рассмотрим пример вычисления определителя для таблицы второго порядка. Существует матрица A, в которой a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 и a₂₂ = 1. Для вычисления определителя воспользуемся формулой:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

У матриц 3 × 3 определитель вычисляется по более сложной формуле. Она представлена ниже для матрицы A:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃.

Для запоминания формулы придумали правило треугольника, которое проиллюстрировано на картинке. Сначала умножаются элементы главной диагонали. К полученному значению прибавляются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с красными сторонами. Далее отнимается произведение элементов побочной диагонали и отнимаются произведения тех элементов, на которые указывают углы треугольников с синими сторонами.

Теперь поговорим об определителе произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что данный показатель равен произведению определителей таблиц-сомножителей. Убедимся в этом на примере. У нас есть матрица A с элементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и матрица B с элементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Найдем определители для матриц A и B, произведение A × B и определитель этого произведения.

Ход решения.

Шаг первый. Вычислим определитель для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Далее вычислим определитель для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Шаг второй. Найдем произведение A × B. Новую матрицу обозначим буквой C. Вычислим ее элементы:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Шаг третий. Вычислим определитель для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = –3. Сравним со значением, которое могло бы получиться при умножении определителей исходных матриц. Числа одинаковые. Вышеуказанная теорема верна.

Ранг произведения

Ранг матрицы – это характеристика, отражающая максимальное количество линейно независимых строк или столбцов. Для вычисления ранга выполняют элементарные преобразования матрицы:

• перестановку местами двух параллельно лежащих рядов;
• умножение всех элементов определенного ряда из таблицы на число, не равняющееся нулю;
• прибавление к элементам одного ряда элементов из другого ряда, умноженных на конкретное число.

После элементарных преобразований смотрят на количество ненулевых строк. Их число – это и есть ранг матрицы. Рассмотрим предыдущий пример. В нем было представлено 2 матрицы: A с элементами a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 и a₂₂ = 1 и B с элементами b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 и b₂₂ = 2. Также будем использовать матрицу C, полученную в результате умножения. Если мы выполним элементарные преобразования, то в упрощенных матрицах нулевых строк не будет. Это значит, что и ранг таблицы A, и ранг таблицы B, и ранг таблицы C равен 2.

Теперь особое внимание уделим рангу произведения матриц. Существует теорема, которая гласит, что ранг произведения таблиц, содержащих числовые элементы, не превышает ранга любого из сомножителей. Это можно доказать. Пусть A – это матрица размера k × s, а B – это матрица размера s × m. Произведение A и B равно C.

Изучим рисунок, представленный выше. На нем изображен первый столбец матрицы C и его упрощенная запись. Этот столбец – линейная комбинация столбцов, входящих в матрицу A. Аналогичным образом можно сказать о любом другом столбце из прямоугольного массива C. Таким образом, подпространство, образованное векторами-столбцами таблицы C, имеется в подпространстве, образованном векторами-столбцами таблицы A. По этой причине размерность подпространства № 1 не превосходит размерности подпространства № 2. Отсюда следует вывод, что ранг по столбцам таблицы C не превышает ранга по столбцам таблицы A, т. е. r(C) ≤ r(A). Если рассуждать аналогичным образом, то можно убедиться в том, что строчки матрицы C – это линейные комбинации строчек матрицы B. Из этого следует неравенство r(C) ≤ r(B).

Как находить произведение матриц – достаточно сложная тема. Ее можно легко освоить, но для достижения такого результата придется уделить немало времени заучиванию всех существующих правил и теорем.

fb.ru

Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец — Мегаобучалка

Пример решения системы методом Гаусса

Пусть требуется решить систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Будем последовательно “исключать” неизвестные. Для этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:

1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду –3x₂ –2x₃ = –2;

2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x₂ – 4x₃ = 2.

В результате из второго и третьего уравнений будет исключено неизвестное x₁ и система примет вид

Второе и третье уравнения системы умножим на –1, получим

Коэффициент 1 в первом уравнении при первом неизвестном х₁называется ведущим элементом первого шага исключения.

На втором шаге первое и второе уравнения остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x₂. Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду

Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.

Порядок действий решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х₃= –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х₂ = 2. После этого первое уравнение дает х₁ = 1. Таким образом, — решение системы (1.1).

Понятие матрицы

Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор из девяти числовых коэффициентов, стоящих в уравнениях перед неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется матрицей:

Числа таблицы называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 3´3 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А_(3´3). Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком, поэтому А – матрица третьего порядка.

Правые части уравнений, также образуют таблицу чисел, т.е. матрицу:

Каждая строка этой матрицы образована единственным элементом, поэтому B_(3´1)называется матрицей–столбцом, ее размерность 3´1. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:

Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец

С матрицами можно производить различные операции, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем. Здесь же разберем только правило умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец. По определению, результатом умножения матрицы А_(3´3) на столбец В_(3´1) является столбец D_(3´1), элементы которого равны суммам произведений элементов строк матрицы А на элементы столбца В:

Таким образом, по определению:

1) первый элемент столбца D равен сумме произведений элементов первой строки матрицы А на элементы столбца В:

2)второй элемент столбца D равен сумме произведений элементов второй строки матрицы А на элементы столбца В:

3) третий элемент столбца D равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на элементы столбца В:

Из приведенных формул видно, что умножить матрицу на столбец В можно только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце В.

Рассмотрим еще два числовых примера умножения матрицы _(3´3) на столбец _(3´1):

Пример 1.1

АВ = .

Пример 1.2

АВ = .

megaobuchalka.ru

Как умножить три матрицы?

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения:

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ:

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и повестке дня вопрос:

Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 70 | Нарушение авторских прав

mybiblioteka.su

Как умножить матрицу? Как умножить матрицу 2 на 3?

Можно умножить матрицу В на А. Первый столбец матрицы А почленно умножается на первую строку, затем полученные фрагменты складываются — получается первый элемент первого столбца результирующей матрицы. Затем первый столбец матрицы А почленно умножается на вторую строку матрицы В, полученные фрагменты складываются — получается второй элемент первого столбца результирующей матрицы. Затем 1 столбец А * на 3 строку В (почленно, затем складываем) — получим 3 элемент первого столбца результирующей матрицы. Потом повторяем все эти действия, только вместо первого столбца матрицы А используем второй — получим второй столбец результирующей матрицы.

Правило умножения матриц: «строка на столбец». В связи с этим, для операции матричного умножения не выполняется переместительный закон и вообще, не всякие матрицы можно перемножить. Нужно, чтобы количество столбцов первого слагаемого равнялось количеству строк второго. Поэтому произведение А*В не существует, но существует произведение В*А. Существует также и произведение A’ * B, где A ‘- результат транспонирования матрицы А.

touch.otvet.mail.ru

Развитие детей. Как решать логические задачи с помощью кругов Эйлера? | Обучение

Круги Эйлера — это геометрическая схема. С ее помощью можно изобразить отношения между подмножествами (понятиями), для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения.

Леонард Эйлер был гениальным математиком, который умел применять математические приемы на практике. Он успешно использовал для решения различных задач идею изображения понятий и классов предметов в виде кругов. Впервые Эйлер их применил в письмах к немецкой принцессе. Он писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». И действительно, с помощью этих диаграмм можно легко и наглядно решить задачи, для решения которых обычным способом понадобилось бы составление системы из нескольких уравнений, например, с тремя неизвестными.

Способ изображения понятий в виде кругов позволяет развивать воображение и логическое мышление не только детям, но и взрослым (конечно, для взрослых подойдут более сложные задачи). Начиная с 4−5 лет детям доступно решение простейших задач с кругами Эйлера, сначала с разъяснениями взрослых, а потом и самостоятельно. Овладение методом решения задач с помощью кругов Эйлера формирует у ребенка способность анализировать, сопоставлять, обобщать и группировать свои знания для более широкого применения.

Вот несколько задач для маленьких детей на логическое мышление:

Определить круги, которые подходят к описанию предмета. При этом желательно обратить внимание на те качества, которыми предмет обладает постоянно и которыми временно. Например, стеклянный стакан с соком всегда остается стеклянным, но сок в нем есть не всегда. Или существует какое-то обширное определение, которое включает в себя разные понятия, подобную классификацию тоже можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Например, виолончель — это музыкальный инструмент, но не каждый музыкальный инструмент окажется виолончелью.

Определение круга, который не подходит к описанию предмета. Например, баранка — она круглая и вкусная, а определение зеленая к ней не подходит. Можно также придумать, какой предмет подойдет для пересечения другой пары кругов. Пример — круглая и зеленая может быть пуговица.

Определить предмет, который подходит под описание всех кругов. Для каждого круга выбирается какое-либо качество (например — сладкое, оранжевое, круглое). Ребенок должен назвать предмет, который одновременно соответствует всем этим описаниям (в данном примере подойдет апельсин), также можно спросить ребенка, какие предметы могут соответствовать двум описаниям из трех, то есть будут находиться на пересечении каждой пары кругов (например, сладкое и оранжевое — карамелька, оранжевое и круглое — мяч, круглое и сладкое — арбуз).

Для детей постарше можно предлагать варианты задач с вычислениями — от достаточно простых до совсем сложных. Причем самостоятельное придумывание этих задач для детей обеспечит родителям очень хорошую разминку для ума. Приведем два простых примера с диаграммами.

1. Из 27 пятиклассников все изучают иностранные языки — английский и немецкий. 12 изучают немецкий язык, а 19 — английский. Необходимо определить, сколько пятиклассников заняты изучением двух иностранных языков; сколько не изучают немецкий; сколько не изучают английский; сколько изучают только немецкий и только английский?

При этом первый вопрос задачи намекает в целом на путь к решению этой задачи, сообщая, что некоторые школьники изучают оба языка, и в этом случае использование схемы также упрощает понимание задачи детьми.

2. В одном доме в 45 квартирах есть домашние животные. При этом в 22 квартирах хозяева держат только кошек, а еще в 7 квартирах есть и кошка, и собака. Нужно узнать, в скольких квартирах находятся собаки, в скольких кошки, а в скольких нет кошки, но есть собака.

Задача, по сути, такая же, однако изменены исходные данные, сектор пересечения кругов известен, но нужно узнать информацию о каждом полном круге. Собаки находятся в числе квартир, оставшемся после вычитания из количества всех квартир с животными количества квартир только с кошками. Круг с общим числом кошек состоит из известных данных секторов «только кошек» и «кошек и собак», поэтому общее число кошек находится объединением сумм этих секторов. Последнее неизвестное находится соответственно. Определенно, значительно проще объяснить решение этой задачи с помощью кругов Эйлера.

Задачи, связанные с множествами, могут быть гораздо более сложными, причем чем более запутанными будут условия задачи, тем более очевидна рациональность применения диаграмм для ее решения. Конечно, иногда встречаются задачи, которые проще решить с помощью арифметических действий, поэтому, прежде чем приступить к решению, желательно проанализировать условия задачи.

Круги Эйлера имеют прикладное значение не только в решении школьных задач, ими также пользуются для усвоения и структуризации изучаемых материалов, конспектирования и добавления наглядности в некоторых обучающих курсах. Кстати, некоторые предлагают использовать круги Эйлера для того, чтобы сделать выбор в каком-нибудь вопросе, например, определиться с профессией.

Так что обязательно научите ребенка рисовать такие кружочки, это, несомненно, обернется пользой в развитии логического мышления, поможет решать задачи интересно и с пониманием происходящего.

shkolazhizni.ru

Исследовательская работа «Занимательные круги Эйлера»

Управление образованием

Администрации города Юрги

IV учебно-исследовательская

конференция школьников

«Я познаю мир»

Секция: Математика — поиск решений

Занимательные круги Эйлера

Автор:

Галицкий Антон Игоревич

Класс: 6 «В»

МБОУ «СОШ № 14 г. Юрги»

Руководитель:

Гончарова Ирина Николаевна

Юрга 2017

Содержание:

1. Введение ………………………………………2

2. Основная часть

2.1. Биография Л. Эйлера………………………2-3

2.2. Научные достижения………………………3

2.2.1. “Круги Эйлера”……………………………3

2.2.2. Типы “кругов Эйлера”…………………..3

2.2.3. Практика: решение задач………………4-9

2.3. Интересные факты…………………………..10

2.4. Высказывания Л. Эйлера…………………10

3. Заключение………………………………………10

4. Список используемых………………………10

интернет-ресурсов.

1.Введение:

Цель изучения способа решения задач с помощью “кругов Эйлера” — показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

Мои задачи:

-Познакомиться с великим математиком Л.Эйлером.

-Научиться решать задачи с помощью “кругов Эйлера”.

-Поделиться опытом решения задач с другими учениками.

2.Основная часть:

2.1.Биография Л.Эйлера

Леонард Эйлер, сын пастора, родился в 1707 году 15 апреля. Начальное образование мальчик получил дома. Отец вложил в мальчика всевозможные знания, надеясь на всестороннее воспитание сына. Способности к точным наукам проявились у ребенка с первых шагов их изучения. Все предметы давались Эйлеру легко.

Для талантливого ученика, швейцарский математик Бернулли устанавливает индивидуальный курс обучения и знакомит Эйлера с трудами математических гениев. Леонард Эйлер удостаивается первой ученой степени магистра искусств в возрасте шестнадцати лет. Эйлер поступает в Базельский университет на факультет медицины, при этом он не оставляет математику.

 С 1727 по 1740 год Эйлер, занявший пост руководителя кафедры математики, издает свои труды, посвященные геометрии, аналитической механике, арифметике. За издание работы о морских приливах и отливах ученый получает премию Академии наук Франции.

Эйлер одним из первых ученых получил приглашение на должность декана отделения математики.

Леонард Эйлер издаёт несколько трудов по математике. Математическому анализу ученый посвятил почти все свои математические труды.

Работая в Берлине, Эйлер не теряет связи с Россией. Он переписывается с Ломоносовым. В 1766 году он принимает приглашение императрицы и возвращается в Петербург в Академию наук.

Непрерывная работа, обучение студентов, написание трудов сказались на травмированном ранее глазе. Ученый стал терять зрение. Однако способности гения, его уникальная память помогали ему в его работе. Он диктовал свои статьи и соображения по геометрии и математике. Их число достигло 380 с 1769 по 1793 годы.

С момента становления ученого до его последних дней им было издано свыше 900 научных трудов. Труды Эйлера касались различных областей науки.

Научные исследования Леонард Эйлер продолжал до последних дней, будучи совсем слепым. Смерть наступила 18(29).09.1783г в результате инсульта.

2.2.Научные достижения

Леонардо Эйлер был не только математиком. Он также занимался математическим анализом, геометрией, теорией чисел. Создал важнейшие труды по механике, физике, астрономии и ряду прикладных наук. Во многих своих работах Эйлер развил идеи и методы, полное значение которых выяснилось лишь через сто и более лет после его смерти.

2.2.1. Круги Эйлера

“Круги Эйлера” –это особые чертежи, при помощи, которых наглядно представляют отношения между множествами.

2.2.2.Типы кругов Эйлера

Примеры наглядно представлены на слайдах.

2.2.3.Практика: решение задач

Задачи (как решать):

Лёгкий уровень

В классе 26 учеников. 18 учеников любят яблоки, а 16 учеников любят груши. Сколько учеников любят и яблоки, и груши?

Решение:

18+16-26=8 (уч.) любят и яблоки, и груши.

Ответ: 8 уч.

Средний уровень

На прилавке в магазине лежали 35 булочек. 17 из них были с повидлом, 25 были посыпаны маком, но были также булочки с повидлом и маком. Сколько было таких булочек? Также вычислите сколько было булочек только с повидлом и только с маком.

Решение:

1. 17+25-35=7(бул.) с повидлом и маком.

2. 35-17=18(бул.) с маком.

3. 35-25=10(бул.) с повидлом.

Ответ:7 бул., 18 бул.,10 бул.

Сложный уровень

В классе 26 учеников. 15 из них смотрели фильм про Супермена, а фильм про Бэтмена смотрели на 3 ученика больше, чем фильм про Супермена. А 4 ученика вообще не посмотрели эти фильмы. Сколько человек посмотрело и фильм про Супермена, и фильм про Бэтмена?

Решение:

1. 26-4=22(уч.) смотрели фильмы.

2. 15+3=18(уч) посмотрели фильм про Бэтмена.

3. 15+18-22=11(уч.) посмотрели фильм и про Бэтмена, и про Супермена. Ответ: 11 уч.

Задачи (самостоятельное решение):

Лёгкий уровень

В классе 20 учеников . 18 учеников любят красный цвет, а 19 учеников любят зелёный цвет. Сколько ребят любят и красный цвет, и зелёный цвет?

Решение:

18+19-20=17(уч.) любят красный, и зелёный цвет.

Ответ: 17 уч.

Средний уровень

1 “А” класс, в котором 23 ученика очень любят смотреть мультики. 15 детей любят смотреть мультик “Маша и Медведь”, а 18 детей любят смотреть мультик “Ми-ми-мишки”. Но есть и те кому нравится смотреть и первый, и второй мультик. Сколько таких детей? Также нужно вычислить сколько детей любят смотреть только мультик “Маша и Медведь”, и только мультик “Ми-ми-мишки”.

Решение:

1. 15+18-23=10(дет.) любят и мультик “Маша и Медведь”, и мультик “Ми-ми-мишки”.

2. 23-15=8(дет.) любят только мультик “Ми-ми-мишки”.

3. 23-18=5(дет.) любят только мультик “Маша и Медведь”

Ответ: 10 дет., 8 дет., 5 дет.

Сложный уровень

В доме живут 100 человек. На газету “Вестник” подписаны 65 чел., а на газету “Правда” подписаны на 18 человек больше, чем на газету “Вестник”. Но 10 человек не подписаны не на какую газету. Сколько человек подписано и на газету “Вестник”, и на газету “Правда”?

Решение:

1. 100-10=90(чел.) подписаны на какую-нибудь газету.

2. 65+18=83(чел.) подписано на “Правду”.

3. 65+83-100=58(чел.) подписано и на “Вестник”, и на “Правду”.

Ответ:58 чел.

Работы учеников

Итоги : статистика представлена на слайде.

2.4. Интересные факты о Л.Эйлере

Маркиз Кондорсе сообщает: однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке, и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же вычисления в уме и указал правильный результат.

Рассказывают, что Эйлер не любил театра, и если попадал туда, поддавшись уговорам жены, то чтобы не скучать, выполнял в уме сложные вычисления подобрав их объём так, чтобы хватило как раз до конца представления.

2.5. Высказывания Л. Эйлера.

Именно математика даёт надёжнейшие правила: тому кто им следует — тому не опасен обман чувств.

Все, что мы теперь достоверно знаем из физики, было прежде облечено в догадки, и если б никогда не допускались догадки, даже ошибочные, то мы бы не добыли ни одной истины.

3.Заключение:

Ценность задач, решаемых с помощью “кругов Эйлера” состоит в том, что бы решение задач с громоздкими условиями и со многими данными стали простыми и не вызывали особых умозаключений в науке математике.

В процессе моей работы я познакомился с выдающимся математиком Л. Эйлером, научился и применил на практике свои новые знания по решению задач с помощью “кругов Эйлера”. Также я поделился своим опытом с другими учениками. Задачи ребятам были понятны, способы решения с помощью “кругов Эйлера” оказались практичными и удобными.

4.Список используемых интернет — ресурсов.

http://2mir-istorii.ru — Мировая история.

https://yandex.ru/images/search?text=леонард%20эйлер%20 – Яндекс картинки.

http://citaty.info/man/leonard-eiler — Высказывания известных людей.

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera — “Круги Эйлера”.

infourok.ru

Авторские олимпиадные задачи репетитора по математике на круги Эйлера

По многочисленным просьбам продолжаю публикацию своих материалов, составленных с учетом различной специфики, в которые попадает репетитор по математике наиболее часто. Здесь Вы найдете необходимую дидактику на урок по теме «Круги Эйлера». Олимпиадные задачи по математике для 4 — 5 класса на Круги Эйлера особенно охотно включают во вступительные экзамены таких престижных заведений, как Курчатовская школа, Лицей вторая школа, 179-я школа и другие.

1) На научный конгресс прибыло 30 академиков. Из них 12 человек будут делать доклад по математике, а 18 человек по физике. Три человека не собираются делать доклады ни по одной из этих наук. Сколько академиков станут докладчиками одновременно и по математике и по физике? Ответ: 3

2) Все четвероклассники школы либо хотят в шахматную секцию, либо на танцы. Шахматистов 75 человек, а танцоров только 25. Ровно 2 человека не ходят ни на шахматы, ни на танцы. Сколько учащихся 4 классов посещают обе секции сразу, если во всех 4 классах учится 92 человека? Ответ: 10

3) Среди всех семей, чьи дети посещают Курчатовскую школу, имеется ровно 500 семей, в которых папа знает математику и 350 семей, в которых ее хорошо знает мама. В десяти семьях ни один из родителей математику не знает, а в двадцати – оба родителя ее знают. Сколько всего семей? Ответ: 840

4) 1 сентября на торжественную линейку пришли ученики 5 классов. В галстуках пришло 70 человек, в пиджаках — 50 человек, а 30 учеников пришли одновременно и в галстуках и в пиджаках. Кроме них 10 человек пришли без галстуков и без пиджаков. Сколько всего учеников 5 классов пришло на линейку? Ответ: 100

5) В классе 29 детей. Из них 8 человек играет в футбол, 5 человек играет одновременно в футбол и в теннис, а еще 5 человек ни во что не играют. Сколько детей играет в теннис? Ответ: 10

6) На детский праздник привезли 420 подарков. В 220 из них были игрушки, ровно в 50-ти одновременно игрушки и конфеты, а в 20-ти из них не было ни того, ни другого, а были наборы фломастеров. В скольких подарках имелись только конфеты? Ответ: 180

7) В лицее учится 72 ученика 6 классов. Из них 50 человек увлечены математикой, 40 ребят – информатикой, а 10 человек не увлечены ни тем, ни другим. Сколько учеников увлечены и математикой и информатикой сразу? Ответ: 28

8) В деревне в каждой семье есть козы или куры, причем в 22 дворах есть козы, а в 26 дворах – куры. В 16 дворах есть сразу и коровы и куры. Сколько в этой деревне дворов? Ответ: 32

9) В 4 классе 26 учеников. Из них английский учат 16 человек, немецкий – 13 человек, а 4 человека не учат ни тот язык, ни другой. Сколько четвероклассников изучают одновременно оба языка?
Ответ: 7

10) К репетитору по математике ходит 14 школьников. Из них олимпиадные задачи любят решать 6 учеников, обычные и олимпиадные – 2 человека, а 3 ученика вообще не любят решать задачки. Сколько у репетитора по математике тех учеников, которые любят решать только обычные задачи? Ответ: 5

11) На марсе есть ровно 3 марсианских государства A, В и С с двумя спорными (общими) территориями D и E, Каждый марсианин живет в каком то одном из государстве, либо в двух сразу на спорных территориях. В государстве «А» живет 200 марсиан, в «В» — 300 марсиан, а в «С» — 400. Сколько марсиан живет на спорных территориях D и E, если всего на марсе живет 800 жителей? Ответ: 100

Репетитор по математике о восприятии ребенком кругов Эйлера

На самом деле терминология не совсем отражает реальность, ибо чаще всего на рисунках отображаются вовсе не круги, а области. Поэтому правильнее было бы назвать тему «области Эйлера». Но это мелочи.

Корни задач с кругами Эйлера уходят в теорию множеств. Конечно, оперировать соответствующей терминологией без определенной адаптации теоретико — множественных понятий к восприятию их ребенком 4 — 5 класса чревато последствиями. На помощь репетитору приходит все тот же рисунок. Однако недостаточно вычертить две пересекающиеся области, нужно точно подписать количество элементов каждой из них. Я всегда специально оговариваю, что числовое значение, вставленное во внутреннюю часть области показывает количество ее элементов до пограничной линии, то есть, например на нижеприведенном рисунке репетитор по математике отмечает числами 20 и 30 количество элементов в красном и синем кругах, не входящих в желтое пересечение.

Если в задаче известны значения полных кругов, включая желтую зону, то я бы рекомендовал репетиторам отображать их сбоку за пределами линий областей. Любая олимпиадная задача по математике на круги Эйлера должна быть изображена в виде рисунка и желательно в цвете. Иначе придется долго мучить ученика следующими пояснениями к ответам действий, на подобии следующих: «количество учеников, изучающих английский язык, но не изучающих немецкий». Лучший вариант звучит так: «левая часть синего круга».

Специфика задач на круги Эйлера состоит в разнице между количеством элементов объединения и суммой чисел, отвечающих за количество элементов каждого множества. Эту разницу репетиторам по математике стоит раскрыть в самом начале урока на простом примере пересчета числа точек. Я обычно отмечаю несколько таких, обвожу их, как показано на нижнем рисунке кругами разных цветов и задаю ученику направляющие вопросы:

«Сколько точек в зеленом круге?»
«Сколько в коричневом?
«Если эти количества сложить, мы все точки перечитаем?»
«Почему это количество не сходится с реальным числом точек в кругах?»

Обычно ребенок сразу же улавливает главное и говорит преподавателю: «У нас 3 точки лишний раз посчитались». И вот оно — счастье репетитора по математике — ученик схватил суть!!!

Желаю вам успехов в работе с объяснениями кругов Эйлера! Присылайте свои материалы и делитесь опытов с коллегами!
На ваш суд была представлена коллекция материалов, полезных для начальной подготовки в лицей «Вторая школа», 179 школу и ряд близких по уровню математических лицеев и классов.

С уважением, Александр Николаевич. Олимпиадные занятия для 4 -5 классов в Строгино (м.Щукинская).

Метки: Курчатовская школа, Методики для репетиторов, Репетиторам по математике, Текстовые задачи, Элементарная математика

ankolpakov.ru

Iteach

Материал из ИнтеВики — обучающей площадкой для проведения тренингов программы Intel

wiki.iteach.ru

Использование кругов Эйлера в русском языке

Использование кругов Эйлера в русском языке.

Что такое урок русского языка сегодня? Это не просто передача знаний, умений и навыков, ориентированных на усвоение учеником правил и норм русского языка, но и развитие творческого мышления учащихся.

Как же разнообразить уроки русского языка в современной школе? Какие приемы следует применять, чтобы материал усваивался и надолго оставался в памяти учеников? Все эти вопросы, несомненно, волнуют каждого учителя, заинтересованного в повышении интереса учащихся к учебному предмету и в повышении качества обучения.

Сегодня, наряду с активными формами обучения, широко востребованы и интерактивные, в ходе которого осуществляется взаимодействие между учеником и учителем, а так же между самими учениками. И это не случайно. Интерактивное обучение предполагает решение проблем, связанных с будущей профессиональной деятельностью учащихся, с человеческими взаимоотношениями, личными трудностями. Учебный процесс, опирающийся на использование интерактивных методов обучения, организуется с учетом включенности в процесс познания всех обучающихся класса без исключения.

И сегодня я бы хотела подробнее остановиться на методе кругов Эйлера и его применении на уроках русского языка в школе.

Леонардо Эйлера называют идеальным математиком 18 века. Он принадлежит к числу тех гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Более того, данный алгоритм может применяться и в гуманитарных науках, в частности, в русском языке.

Что же это за круги, которые способны охватить огромную сферу информации и способствовать удобному решению многих задач.

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями, а также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Иными словами круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ на поставленный вопрос, а главное усвоить материал.

Ведь как известно небольшой процент людей одарен феноменальной памятью, следовательно, не все учащиеся могут с легкостью усваивать большой объем учебного материала, если он логически не структурирован. Обычно человек обладает развитыми одним-двумя видами памяти.

Метод кругов Эйлера делает упор на зрительную память. Развивая этот вид памяти, ученики смогут хорошо запоминать учебный материал. Очень важный вид зрительной памяти – фотографическая память. Люди, обладающие такой памятью, запоминают все в мельчайших деталях. Некоторым дан этот вид памяти с рождения, но чаще всего фотографическая память нуждается в развитии с помощью специальных методик путем регулярных тренировок. Круги Леонардо Эйлера также являются одной из методик, способствующих развитию данного вида памяти.

Использование кругов Эйлера в русскому языке довольно популярен. Он способствует развитию умения сравнивать объекты, находить общее и различия в их строении, значении. Используют его при разных видах разбора:

• лексическом (нахождение общего и различного в значении слов),

• морфологическом (сравнение слов одной и той же части речи, а также разных частей речи, имеющих общие морфологические признаки),

• синтаксическом (сравнение предложений разных по цели высказывания, составу, наличию или отсутствию второстепенных членов и т.п.).

Этот приём помогает ученикам разобраться в похожих лингвистических явлениях, помогают запоминанию структуры различных сочетаний мыслей и облегчают решение ряда задач, стоящих перед формальной логикой.

Известно, что с помощью эйлеровых кругов можно проверить истинность того или иного вида непосредственного умозаключения, основанного на сравнении.

Суть заданий с использованием приема “Круги Эйлера” заключается в следующем: круг предполагает наглядное изображение какого-нибудь понятия. Например, “Часть речи” – это круг.

Часть речи

Если мы предложим учащимся другой круг с надписью “Глагол”, то взаимное расположение этих кругов должно выглядеть так:

Часть речи

Глагол

Данный рисунок показывает, что все глаголы относятся к такому понятию, как “часть” речи.

Взаимное расположение кругов может быть разным: они могут совпадать, могут не иметь точек совпадения, а могут перекрещиваться и т.д.

Имя прилагательное

Имя существительное

Данный рисунок показывает, что у кругов есть общая область, которая показывает согласование существительного с прилагательным в роде, числе и падеже.

Попробуем составить схему предложения. Задание может быть такое: найти в предложении существительное, прилагательное и наречие и представить в виде кругов отношения между этими словами.

Медленно плывет белый пароход.

Правильной будет следующая комбинация:

Белый

(прилагательное)

Медленно

(наречие)

Пароход

(существительное)

С точки зрения морфологии наречие не имеет никаких общих признаков с существительными и прилагательными, поэтому круг со словом “медленно” не перекрещивается с другими словами, а морфологические признаки слов “белый” и “пароход” частично совпадают, так как общими для этих слов будет число, род и падеж. Данное совпадение изображается посредством двух перекрещивающихся кругов.

В любом случае учащимся приходится анализировать те или иные объекты сравнения по ряду признаков.

Задания с использованием приема “Круги Эйлера” отличаются наглядностью, способствуют моделированию усваиваемой информации, развивают абстрактное мышление и приобретают особую важность при работе с отстающими учащимися и с учениками , для которых русский язык не является родным.

Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна».

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Круги Эйлера – это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный, просто и наглядный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем.

multiurok.ru

Применение кругов Эйлера к решению задач

В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?

В математике, когда какие-нибудь объекты собираются вместе говорят одно и то же слово – множество. Сказать «стадо чашек» нельзя, а множество чашек – можно. Сказать «бригада коров» нельзя, а множество коров – можно.

Предметы или живые существа, входящие во множество, называются элементами этого множества. Между множествами могут быть различные виды отношений. Для наглядной геометрической иллюстрации соотношений между множествами используются диаграммы Эйлера-Венна. Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества.

Леонард Эйлер (1707-1783) – крупнейший математик. Родившись в Базеле (Швейцария) в семье пастыря, Леонард получил первоначальное образование у своего отца. Отец предназначал сына к богословскому званию и определил его по окончании средней школы на теологический факультет. Однако Эйлер интересовался не теологией, а математикой, и стал слушать лекции известного профессора математики Иоганна Бернулли.

В 19 – летнем возрасте Эйлер опубликовал первую свою научную работу и принял участие в объявленном Парижской академией наук конкурсе на тему о наилучшем расположении мачт на корабле. В 1727 году Эйлер приехал в Петербург.

В Петербурге Эйлер нашел все необходимые условия для большой научной деятельности и широкие возможности для публикации своих трудов. Здесь он женился, провел большую часть творческого периода своей жизни, став главой первой русской математической школы, написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги.

Решая математические головоломки и развлекательные задачи, Эйлер заложил основы теории графов, ныне широко используемой во многих приложениях математики. Напряженная работа повлияла на зрение ученого. В 1735 году он ослеп на один глаз, а в 1766 на оба. Операция привела к незначительному улучшению: ученый мог лишь разбирать записи, сделанные мелом на черной доске. Но и после этого Эйлер продолжал работу, диктуя ученикам свои статьи.

Умер Эйлер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. В 1957 году его прах был перенесен в Александро-Невскую лавру. Эйлер прожил в России 31 год. Многие дети и внуки остались жить в России, некоторые из его потомков поныне проживают в нашей стране.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N -множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество всех действительных чисел.

Общую часть множеств называют пересечением. Изображают так:Объединение множеств называют множество всех элементов, принадлежащих данным множествам.

А теперь вернемся к нашей задаче.

А-множество учащихся имеющих разряды по легкой атлетике.

В-множество учащихся имеющих разряды по плаванию.

С-множество учащихся имеющих разряды по гимнастики.

Нам надо найти, сколько элементов, то есть учащихся входят в пересечение множеств.

12 -2 = 10 — учащихся только по легкой атлетике.

10 -2 = 8 — учащихся только по плаванию.

5 -4 = 1 — учащихся только по гимнастике.

20-[(12-2)+(10-2)+(5-4)]=20-10-8-1=20-19=1 (уч. ) имеют разряд по всем видам спорта.

Задача 2

В классе можно изучать английский или французский язык. Известно, что английский язык изучают 20 школьников, а французский – 17. Всего в классе 32 ученика. Сколько учащихся изучают оба языка: и английский и французский

Решение.

А – изучают английский язык

В — изучают французский язык

Надо найти пересечение множеств.

20+17-32=5 учащихся

Задача 3

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро – фиалки. И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте сколько у меня подруг?

Решение

А — лилии

В — фиалки

Пересечение множеств равно 2 ( и лилии, и фиалки)

6 – 2 = 4 – разводят только лилии

5 – 3 = 2 – разводят только фиалки

4 + 3 + 2 = 9 (подруг)

Задача 4

В классе 40 человек. Из них по математике имеют тройки-17 человек, по русскому языку- 19 человек, по физике 22 человека. 4 человека имеют тройки только по русскому языку , 4 только по математике и 11 человек только по физике. Пять человек имеют тройки по русскому языку, математике и физике. Сколько человек учатся без троек?

А – множество учащихся, имеющих тройки по русскому языку.

В – множество учащихся, имеющих тройки по математике.

С – множество учащихся, имеющих тройки по физике.

Всего в множество В входит 17 человек, значит 17-(4+2+5)=6 (чел. ) – только по русскому и математике.

Всего в множество А входит 19 человек, значит 19-(4+5+6)=4 (чел. ) – только по русскому и физике

Складываем все числа, которые получились на схеме: 4+4+11+6+4+2+5=36.

Всего учащихся 40. Значит без троек учатся 40-36= 4 человека

Задача 5.

В деревне 44 дома, и в каждом доме проживает одна семья. Известно, что 25 семей держат коров , 28 семей – овец и 26 семей – свиней. Причем 15 семей держат коров и овец, 13 семей – овец и свиней, 5 семей – коров, овец и свиней. Сколько семей держат коров и свиней?

А – множество семей, имеющих коров.

В – множество семей, имеющих свиней.

С – множество семей, имеющих овец.

44-[(25-15)+(28-13)+(26-х)]=5

44-25-26+Х

Х=5-44+51

25 – 15 = 10 – семей, имеющих только коров.

28 – 13 = 15 – семей, имеющих только овец.

26 –Х – семей, имеющих только свиней.

Задача 6.

Ученики нашего класса принимали участие в олимпиаде по биологии и русскому языку, часть – только по биологии, а часть в двух олимпиадах. По биологии принимало участие 85%, по русскому языку 75%. Сколько процентов учащихся участвовало в двух олимпиадах?

Решение.

А – множество учеников, принимающих участие в олимпиаде по биологии.

В – множество учеников, принимающих участие в олимпиаде по русскому языку.

100% — все учащиеся.

100% — 85% = 15% Учащиеся, участвующие в олимпиаде только по русскому языку.

75% — 15% = 60% Учащиеся, участвующие в двух олимпиадах.

Задача 7.

В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.

А – множество нападающих.

В– множество полузащитников.

С – защитники.

30 – [(18 – 3) + (17 – 6) + (11 – 10) + 1] = 30 – 15 – 11 – 1 – 1 = 30 – 28 = 2 (вратаря)

Задача 8.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение

А – множество человек, которые пользуются метро.

В – множество человек, которые пользуются автобусом.

С – множество человек, которые пользуются троллейбусом.

Пусть Х – пользуются всеми видами транспорта, тогда 20-10=10 – только метро, 23-9=14 – только троллейбусом, 15-12=3 – только автобусом.

Х=30-10-14-3

3 человека пользуются всеми видами транспорта.

Вывод: В результате работы над данной темой мы пришли к следующему выводу: «Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными».

www.hintfox.com

Решите задачу уравнением ( Пусть х)

Пусть х — это третья неделя, тогда 3х+(х+8)+х=58 5х=58-8 5х=50 х=50/5 х=10 км. (Третья неделя) 10*3=30 км. (Первая неделя) 10+8=18 км. ( вторая неделя)

х сделано в третью неделю 3х за первую х+8 за вторую. все сложить и приравнять к 58. в чем ваша проблема?

X — за 3 тью тогда уравнение Зx+ (x+8)+x=58 Перельман, гад, опередил меня.

Пусть этот х будет самым сложным, что тебе придется решить в этой жизни. ))

touch.otvet.mail.ru

Презентация на тему: Пусть Х

Эта теорема выражает приближенную связь между средним арифметическим и математическим ожиданием.

Проведем n опытов. Пусть при этом случайная величина Х приняла значение х1 — n1 раз, х2 —

n2 раз … хm — nm раз.

Найдем среднее арифметическое этой случайной величины:

Так как отношение вида ni/n определяет частоту события в данной серии опытов, то при достаточно большом числе опытов оно приближается к вероятности этого события:

x1 p1 x2 p2 … xm pm M[ X]

Рассмотрим ряд распределения случайной величины Х=С:

С

1

Тогда математическое ожидание будет равно

М[C]=C

studfiles.net

Решение: Пусть Х км/ч скорость первого автомобилиста

Образцы решения задач.

№ 5621

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть х км/ч – скорость первого автомобилиста.

№ 5641.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть х км/ч – скорость из А в В.

№ 5665.

Два велосипедиста одновременно отправились в 154-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть х км/ч – скорость второго велосипедиста.

№ 5689

Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде.

№ 5727

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 468 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 52 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – скорость теплохода в неподвижной воде.

№ 5767

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 130 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть ч км/ч скорость 1 теплохода.

№ 5797

Заказ на 168 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Решение:

Пусть х деталей в час делает второй рабочий.

№ 5827

На изготовление 40 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение: Пусть х деталей в час делает второй рабочий.

№ 5887

Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 238 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение: Пусть первая труба пропускает х литров в минуту.

gigabaza.ru

Как разложить квадратный трёхчлен на множители?

Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.

Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

Математика — это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.

Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.

Это интересно: разность векторов, определение разности.

В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен — соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители

Существуют два правильных и простых решения примера:

• дискриминант;
• теорема Виета.

Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула, если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.

Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.

Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.

Это интересно: умножение на 0 — правило для любого числа.

Дискриминант

1. Необходимо приравнять уравнение к 0.

2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.

3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:

4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:

5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:

6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.

Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.

Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.

Теорема Виета

Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.

Для решения любого трёхчлена необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.

2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.

Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!

Подставляя значения данные в примере, получаем:

Это интересно: что такое разность в математике?

3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:

1. Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
2. Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
3. Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.

4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.

5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.

При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.

В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.

Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.

Технические специальности всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.

Разложение трёхчлена с помощью скобки

Кроме решения привычными способами, существует ещё один — разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.

1. Приравниваем уравнение к 0.

ax ² + bx+ c= 0

2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.

ax ² + bx+ c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 )

3. Пример уравнения.

2 x ² – 4 x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 )

4. Решение х=-1, х=3

obrazovanie.guru

Квадрат многочлена | Формулы с примерами

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Примеры квадрата многочлена

1. (1 + 2 + 3 + 4)² =
1² + 2² + 3² + 4² + 2 • 1 • (2 + 3 + 4) + 23 • (3 + 4) + 2 • 3 • 4 =
1 + 4 + 9 + 16 + 2 • 1 • 9 + 2 • 2 • 7 + 24 =
30 + 18 + 28 + 24 = 100 ;
a = 1 ;
b = 2 ;
c = 3 ;
d = 4 ;

2. (2 + 3 + 4 + 5)² =
2² + 3² + 4² + 5² + 2 • 2 • 3 + 2 • 2 • 4 + 2 • 2 • 5 + 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 5 + 2 • 4 • 5 =
4 + 9 + 16 + 25 + 12 + 16 + 20 + 24 + 30 + 40 = 196 ;
a = 2 ;
b = 3 ;
c = 4 ;
d = 5 ;

3. (5 + 6 + 7 + 8)² =
5² + 6² + 7² + 8² + 2 • 5 • 6 + 2 • 5 • 7 + 2 • 5 • 8 + 2 • 6 • 7 + 2 • 6 • 8 + 2 • 7 • 8 =
25 + 36 + 49 + 64 + 60 + 70 + 80 + 84 + 96 + 112 = 676 ;
a = 5 ;
b = 6 ;
c = 7 ;
d = 8 ;

formula-xyz.ru

Формулы при разложении на множители

Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x⁶ есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x³, квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x³, ибо 2x³ = 2 · x³ · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x³ и 1, т. е. он равен (x³ – 1)². Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a²b² – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a²b², следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

9a² + b² + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b)².

… (переставим мысленно первый и второй члены).

25a⁶ + 1 – 10x³ = (5x³ – 1)² и т. п.

Рассмотрим еще многочлен

a² + 2ab + 4b².

Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a² + 2ab + 4b² = (a + 2b)², то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

40. Соединение обоих приемов. Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

1. 2a³ – 2ab². Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a² – b²). Множитель a² – b², в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

1. a⁴ – b⁴ = (a² + b²) (a² – b²)

Мы видим, что первый множитель a² + b² не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a² + b² (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a² – b² (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

41. Применение особых случаев деления. На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

maths-public.ru

Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

.

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

 – площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

.

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

 .

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

.

Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.

Пример 2:

.

Пример 3:

+1.

Выведем формулу квадрата разности:

.

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Рассмотрим примеры:

Пример 4:

interneturok.ru

Квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов

Квадрат суммы

Выражение (a + b)² — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)² представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Многочлен a² + 2ab + b² называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x² + 2xy.

Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x² + 2xy)² = (3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)²

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)² = 9x⁴ + 12x³y + 4x²y²

Квадрат разности

Выражение (a — b)² — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)² представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Многочлен a² — 2ab + b² называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a² — 5ab²)²

Решение: используя формулу квадрата разности находим:

(2a² — 5ab²)² = (2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)²

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)² = 4a⁴ — 20a³b² + 25a²b⁴

Разность квадратов

Выражение a² — b² — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a² — b² представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b²,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a² — b² = (a + b)(a — b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a² + 3)(5a² — 3)

Решение:

(5a² + 3)(5a² — 3) = (5a²)² — 3² = 25a⁴ — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a² — b²

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.

naobumium.info

Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

-Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

;

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

-Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

;

Сгруппируем  первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

;

Вынесем общие множители в группах:

;

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

;

— Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

;

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

;

Сегодня мы выучим еще один способ – мет

interneturok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

      Решение.

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

      Ответ: .

      Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

      Решение.

      Ответ: .

      Пример 4. Решить уравнение

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: .

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x₁ и   x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x₂) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

      Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа   x₁ и   x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Как найти векторное произведение векторов

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них нулевой, то угол между этими векторами будет равен $0^\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Произведение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

1. Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
2. Если угол между этими векторами будет равняться $180^\circ$ или $0^\circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).

Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.

Пример 1

Найти длину вектора $\overline{δ}$, который будет являться результатом векторного произведения векторов, с координатами $\overline{α}=(0,4,0)$ и $\overline{β}=(3,0,0)$.

Решение.

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 3):

Рисунок 3. Векторы в декартовом координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^\circ$. Найдем длины этих векторов:

$|\overline{α}|=\sqrt{0+16+0}=4$

$|\overline{β}|=\sqrt{9+0+0}=3$

Тогда, по определению 1, получим модуль $|\overline{δ}|$

$|\overline{δ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

1. $\overline{α}х\overline{β}=-(\overline{β}х\overline{α})$

   Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

2. $(r\overline{α})х\overline{β}=r(\overline{α}х\overline{β})$ и $\overline{α}х(r\overline{β})=r(\overline{α}х\overline{β})$

   Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

   $(r\overline{α})\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rα_1&rα_2&rα_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

   $\overline{α}х(r\overline{β})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

3. $\overline{α}х(\overline{β}+\overline{γ})=\overline{α}\overline{β}+\overline{α}\overline{γ}$ и $(\overline{α}+\overline{β})\overline{γ}=\overline{α}\overline{γ}+\overline{β}\overline{γ}$.

   Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

   Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

   

   Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение.

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:

$S=|\overline{α}х\overline{β}|$

Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$

Следовательно

$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$

Ответ: $24$.

spravochnick.ru

Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо заметить, что угол между двумя векторами — это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор — нулевой.

2.Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой уго

dpva.ru

Скалярное и векторное произведения. Проекция вектора на вектор

В данной статье будут изложены основные инструкции, относительно векторов. С их помощью Вы будете знать что с ними можно делать, а что нет. Поэтому переходим к изучению операций над векторами.

І. Суммой двух -мерных векторов

и называют-мерный вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов — слагаемых:

Например, если ,

то

Из этого правила следует, что разностью двух векторов будет вектор, координаты которого является разницей соответствующих координат векторов

ІІ. Произведением числа (скаляра) на -мерный вектор называется -мерный вектор , координаты которого равны произведению числа на соответствующие координаты вектора

Например

Операции сложения векторов и умножения числа на вектор ( — некоторые числа) обладают свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) Для произвольного вектора существует противоположный вектор такой, что

ІІІ. Скалярным произведением двух -мерных векторов и называют число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:

Например,

если, то

Согласно другому определению, скалярное произведение двух векторов это число, равное произведению длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними

Из приведенного выше определения можно получить формулу для вычисления угла между векторами

или в координатной форме

Также есть формулировка согласно которой скалярное произведение двух векторов равен модулю одного из них умноженному на проекцию второй вектор на направление первого

Из последнего определения вытекают формулы для нахождения проекции вектора на вектор

или в координатной форме

Примеры нахождения скалярного произведения, угла между векторами и проекции одного вектора на другой будут рассмотрены ниже.

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)Равенство имеет место при условии

Геометрические свойства скалярного произведения

1)векторы перпендикулярны между собой, если

2) угол между векторами острый в случаях, когда

3) угол между векторами тупой в случаях, когда

ІV. Векторным произведением или двух векторов называется вектор , который отвечает следующим условиям:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

2) вектор нормальный к плоскости, построенной на векторах и ;

3) вектор направлен так, что с его конца кратчайший поворот от вектора к происходит против часовой стрелки. Иными словами, векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение имеет следующие геометрические свойства:

Его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах и

Поэтому площадь треугольника построенного на векторах и равна модулю половины векторного произведения этих векторов

Алгебраические свойства векторного произведения

1) векторное произведение равно нулю в случае коллинеарности векторов или когда один из них нулевой;

2) от перестановки векторов векторное произведение меняет знак на противоположный

3)

4)

На практике важно иметь под рукой формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме, поэтому запишем и ее

Рассмотрим конкретные примеры для усвоения пройденного материала.

———————————————

Задача 1.

Заданы векторы и

Найти следующие величины

1) сумму векторов

2) скалярное произведение векторов

3) ) векторное произведение площадь треугольника построенного на векторах

4) угол между векторами

5) проекцию каждого из векторов на другой

Решение

1) Проведем вычисления

2) Скалярное произведение будет равно

3) Векторное произведение вычисляем по формуле

Площадь треугольника будет равна

4) Найдем угол между векторами по формуле

В ней скалярное произведение уже найдено поэтому находим длины векторов

Подставляем нужные значения в формулу

Находим значение угла

5) Найдем проекции векторов

Проекции векторов можно искать через косинус угла между векторами, результат от этого не изменится

На этом урок окончен. Изучайте правила и свойства операций над векторами, они станут Вам полезны при обучении.

——————————————————

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Интеграл e^(2*x+3) (dx)

$$\int_{0}^{1} e^{2 x + 3}, dx$$

Подробное решение

Метод #1

1. пусть
   u = 2 x + 3
   .

   Тогда пусть
   du = 2 dx
   и подставим
   \frac{du}{2}
   :

   \int e^{u}, du

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      \int e^{u}, du = \frac{1}{2} \int e^{u}, du

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         \int e^{u}, du = e^{u}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      \frac{e^{u}}{2}
      $$

   Если сейчас заменить $$
   u
   ещё в:

   \frac{1}{2} e^{2 x + 3}

Метод #2

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   e^{2 x + 3} = e^{3} e^{2 x}

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   \int e^{3} e^{2 x}, dx = e^{3} \int e^{2 x}, dx

   1. пусть
      u = 2 x
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      \frac{du}{2}
      :

      \int e^{u}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         \int e^{u}, du = \frac{1}{2} \int e^{u}, du

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            \int e^{u}, du = e^{u}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         \frac{e^{u}}{2}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      \frac{e^{2 x}}{2}
      $$

   Таким образом, результат будет: $$
   \frac{e^{3}}{2} e^{2 x}

Ответ:

\frac{1}{2} e^{2 x + 3}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 5 3
| 2*x + 3 e e
| E dx = — — —
| 2 2
/
0

$${{E^5}over{2,\log E}}-{{E^3}over{2,\log E}}$$

Численный ответ

Ответ (Неопределённый)

/
| 2*x + 3
| 2*x + 3 e
| E dx = C + ———
| 2
/

$${{E^{2,x+3}}over{2,\log E}}$$

uchimatchast.ru

Ответы@Mail.Ru: решение интегралов

1. S((3*x-2)*cos(5*x)*dx) = |u = 3*x-2, dv = cos(5*x)*dx, du = 3*dx, v = -1/5*sin(5*x)| = (3*x-2)*(-1/5*sin(5*x))+3/5*S(sin(5*x)dx) = (3*x-2)*(-5*sin(5*x))+3/25*cos(5*x). 2. S((4*arctg(x)-x))/(1+x^2)*dx) = 4*S(arctg(x)/(1+x^2)*dx)-S(x/(1+x^2)*dx)=4*S(arctg(x)*d(arctg(x))-S(d(x^2+1)/(1+x^2))=2*arctg^2(x) -ln|x^2+1|. 3. S(3*x^5-12*x^3-7*x^2+2*x)*dx = 1/2*x^6-3*x^4-7/3*x^3+x^2.

1. S((3*x-2)*cos(5*x)*dx) = |u = 3*x-2, dv = cos(5*x)*dx, du = 3*dx, v = -1/5*sin(5*x)| = (3*x-2)*(-1/5*sin(5*x))+3/5*S(sin(5*x)dx) = (3*x-2)*(-5*sin(5*x))+3/25*cos(5*x). 2. S((4*arctg(x)-x))/(1+x^2)*dx) = 4*S(arctg(x)/(1+x^2)*dx)-S(x/(1+x^2)*dx)=4*S(arctg(x)*d(arctg(x))-S(d(x^2+1)/(1+x^2))=2*arctg^2(x) -ln|x^2+1|. 3. S(3*x^5-12*x^3-7*x^2+2*x)*dx = 1/2*x^6-3*x^4-7/3*x^3+x^2.

помогите решить S(3x^4-5 корень из x+7 sin^2*2x-3)*dx 7 sin^2*2x дробью

touch.otvet.mail.ru

Что такое РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ числа?

Рациональные числа — те числа, которые можно представить в виде периодической десятичной дроби. Т. е. такой дроби, у которой числа после запятой повторяются. 1,(3)=1,333333… В виде периодической дроби можно представить любое целое и дробное число. 2=2,(0). 1/3=0,(3) Но есть числа, которые нельзя представить в виде периодической дроби. У них бесконечное количество цифр после запятой, они не повторяются. Это иррациональные числа. Пример иррациональных чисел: корень из 2, корень из 3, логарифм из 4 по основанию 5, sin 3.

Рациональное число-это число представляемое дродью в которой числителе челое число а знаменателе натуральное. Иррациональное число-это число которое не может быть рациональным (т. е. не записывается так как записывается рациональоное число)

<a rel=»nofollow» href=»http://ru.math.wikia.com/wiki/Р» target=»_blank»>http://ru.math.wikia.com/wiki/Р</a> Р°С†РёРѕРЅР°Р» СЊРЅРѕРµ_числ Рѕ <a rel=»nofollow» href=»http://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section3/paragraph2/theory.html» target=»_blank»>http://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section3/paragraph2/theory.html</a>

Иррациональные числа — могут не существовать в реальности, так как не доказано то, что не может наступать хоть какая-либо, даже малая периодичность в их дробях!…

Рациональное число-это число представляемое дродью в которой числителе челое число а знаменателе натуральное. Иррациональное число-это число которое не может быть рациональным (т. е. не записывается так как записывается рациональоное число

touch.otvet.mail.ru

как понять иррациональные числа?? ? спасибо

Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида m/n, где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными.

<a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Иррационал ьность» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Иррационал ьность</a>

Иррациона&#769;льное число&#769; — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не могущее быть представленным в виде дроби, где m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа . Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом [править] Теоремы [править] — иррациональное число Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби, где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат: . Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число. [править] log23 — иррациональное число Допустим противное: log23 рационален, то есть представляется в виде дроби, где m и n — целые числа. Поскольку log23 &gt; 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие. [править] e — иррациональное число См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e». [править] Другие иррациональные числа Иррациональными являются: для любого натурального n, не являющегося точным квадратом ex для любого рационального lnx для любого положительного рационального &#960;, а также &#960;n для любого натурального n Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями. Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа. Каждое трансцендентное число является иррациональным. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число. Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

— бесконечные непериодические десятичные дроби. Прям из учебника определение.

Иррациона&#769;льное число&#769; — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не могущее быть представленным в виде дроби, где m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа. .

иррациональные числа — числа которые можно записать приблеженно с помощью бесконечной непереодической десятичной дроби! если так не понятно, вот пример: корень из 2 равен = 1,414243….

А суть этих чисел в том, что они мнимые, отражения обычных чисел. Когда вы смотрите в зеркало, вы видете мир и себя в этом мире. Это и есть мнимый мир и мнимый двойник

touch.otvet.mail.ru

Какие из чисел называются иррациональными?

те числа, которые дают бесконечный ответ, если вывести из под корня. 0, 09 — не иррациональное (из под корня 0, 3) 900 — не иррациональное (из под корня 30) 900000 — вот иррациональное) а вообще вбей в гугл и он даст тебе теорию об этих иррациональных числах.

отрицательные

Первое и третье

ВАРИАНТ НОМЕР ТРИ: корень из 900000

touch.otvet.mail.ru

СИНУС — это… Что такое СИНУС?

dic.academic.ru

СИНУС — это… Что такое СИНУС?

dic.academic.ru

❶ Что такое синус 🚩 синус а равен 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

На прямоугольном треугольнике, как наипростейшем из многоугольников, разные ученые мужи оттачивали свои знания в области тригонометрии еще в те времена, когда эту область математики никто даже не называл таким словом. Поэтому указать автора, выявившего закономерности в соотношениях длин сторон и величин углов в этой плоской геометрической фигуре, сегодня не представляется возможным. Такие соотношения названы тригонометрическими функциями и поделены на несколько групп, основной из которых условно считаются «прямые» функции. К этой группе отнесены всего две функции и одна из них — синус.

Статьи по теме:

Инструкция

Для практических расчетов значений этой функции от заданного аргумента можно использовать калькулятор — абсолютное большинство из них (включая программный калькулятор, встроенный в операционную систему вашего компьютера) имеет соответствующую опцию.

Видео по теме

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Ответы@Mail.Ru: что такое синус

Это БРАТ косинуса

СИНУС, в анатомии — пазуха, углубление, впадина, выпячивание, расширение, длинный замкнутый канал (например, венозный синус, каротидный синус) . СИНУС, в ТРИГОНОМЕТРИИ — отношение длины противолежащего (для данного острого угла) катета к длине гипотенузы в прямоугольном ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Синус угла А пишется как sin A.

Всё правильно сказано. А синусит- сопливит!

Синус: Синус — одна из тригонометрических функций. Гиперболический синус — одна из гиперболических функций. Интегральный синус — одна из специальных функций. Синус (лат. sinus — пазуха, залив) — пазуха, углубление, полость, выпячивание, длинный замкнутый канал; пазуха (канал) твёрдой мозговой оболочки у позвоночных животных и человека, наполненный венозной кровью (венозная пазуха) , полость некоторых черепных костей (придаточные пазухи носа) . Каротидный синус — место расширения общей сонной артерии перед разветвлением её на наружную и внутреннюю. Синус аорты (пазуха аорты) — у млекопитающих животных — начальная, расширенная часть восходящей аорты, то же, что аортальная луковица; у человека — часть полости аортальной луковицы, расположенная между полулунным клапаном и стенкой аорты. Синусы твёрдой мозговой оболочки (синусы головного мозга, венозные синусы, венозные пазухи) — венозные коллекторы, расположенные между листками твёрдой мозговой оболочки. Венозный синус (ланцетник) — у ланцетника, не имеющего сердца — непарный сосуд, собирающий венозную кровь из печёночной вены и кювьеровых протоков и переходящий в брюшную аорту. Венозный синус (низшие позвоночные) — у низших позвоночных (круглоротых, рыб и земноводных) — отдел сердца. Венозные лакуны — венозный синус у ряда беспозвоночных.

тригонометрическая функция

Можешь просто зайти в википедию <a rel=»nofollow» href=»https://ru.wikipedia.org/wiki/Синус_(значения)» target=»_blank»>https://ru.wikipedia.org/wiki/Синус_(значения)</a> Вот ссылка

Ткжадлпошвртлджалпоовал норм ответ?

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус: Синус — одна из тригонометрических функций. Гиперболический синус — одна из гиперболических функций. Интегральный синус — одна из специальных функций. Синус (лат. sinus — пазуха, залив) — пазуха, углубление, полость, выпячивание, длинный замкнутый канал; пазуха (канал) твёрдой мозговой оболочки у позвоночных животных и человека, наполненный венозной кровью (венозная пазуха) , полость некоторых черепных костей (придаточные пазухи носа) . Каротидный синус — место расширения общей сонной артерии перед разветвлением её на наружную и внутреннюю. Синус аорты (пазуха аорты) — у млекопитающих животных — начальная, расширенная часть восходящей аорты, то же, что аортальная луковица; у человека — часть полости аортальной луковицы, расположенная между полулунным клапаном и стенкой аорты. Синусы твёрдой мозговой оболочки (синусы головного мозга, венозные синусы, венозные пазухи) — венозные коллекторы, расположенные между листками твёрдой мозговой оболочки. Венозный синус (ланцетник) — у ланцетника, не имеющего сердца — непарный сосуд, собирающий венозную кровь из печёночной вены и кювьеровых протоков и переходящий в брюшную аорту. Венозный синус (низшие позвоночные) — у низших позвоночных (круглоротых, рыб и земноводных) — отдел сердца. Венозные лакуны — венозный синус у ряда беспозвоночных.

посмотри в википедеии

Синус (sin) Синус — это одна из тригонометрических функций. Обозначается — sin. Если рассматривать синус на прямоугольном треугольнике, то это отношение противолежащего катета (катета который лежит против угла, синус которого необходимо найти) , к гипотенузе данного треугольника

Синус (sin) Синус — это одна из тригонометрических функций. Обозначается — sin. Если рассматривать синус на прямоугольном треугольнике, то это отношение противолежащего катета (катета который лежит против угла, синус которого необходимо найти) , к гипотенузе данного треугольника.

touch.otvet.mail.ru

9. Уравнения касательной и нормали.

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

(34)

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

_{Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной, проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной.}

_{Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.}

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Ответ: Уравнение касательной :

Уравнение нормали :.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной :

Уравнение нормали :

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3. К циклоиде в точке, для которой

.

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

_{Определение} Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

().

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке — локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: — локальный максимум, — локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

если

, (38)

то -локальный минимум

если

, (39)

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

ОДЗ: .

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при — локальный максимум.

Ответ: — локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

Исследовать на экстремумы функции:

studfiles.net

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точкеи разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения  материала нужно пониматьгеометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную? Производная сложной функции и Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существуетконечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точкеможно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная:, то касательная будет параллельна осии её уравнение примет вид. Дежурный пример: функцияс производной, которая обращается в бесконечность вблизикритической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:(ось ординат).

Если же производной не существует(например, производной от в точке), то, разумеется, не существует и общей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точкеназываетсяпрямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в общем виде . Далее «снимаем»нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точкеи направляющему вектору.

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функциив точкевыражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна.

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную: Здесь на первом шагевынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставим ив формулу:

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной вобщем виде: Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:Избавляемся оттрёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:

– верное равенство.

– верное равенство.

И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощьюскалярного произведения: , что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке. Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради: Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функциязадаёт верхнюю дугуэллипса.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Теперь разберём два особых случая:

1) Если производная в точке равна нулю:, то уравнение касательной упростится:То есть, касательная будет параллельна оси.

Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси, а значит её уравнение примет вид.

2) Если производная в точке существует, но бесконечна:, то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной:. И поскольку нормаль проходит через точкупараллельно оси, то её уравнение выразится «зеркальным» образом:

Всё просто:

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке. Сделать чертёж.

Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.

Решение: составим уравнение касательной . В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Таким образом:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :

Пример 4

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке.

Краткое решение и ответ в конце урока

Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались сопределениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:

Пример 5

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение: в критической точке знаменатель производнойобращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производныес помощью определения производной (см. конец статьиПроизводная по определению): Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная: Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле: Для лучшего понимания задачи приведу чертёж: Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Пример 6

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция вявном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:Получено верное равенство, значит, с точкойвсё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдёмпроизводную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно,  – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точкерадиусаи даже выразить нужную функцию. Но зачем?! Ведь найти производную отнеявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой.

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:

И вычислим её значение при  :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Уравнение нормали:

Ответ:

В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:

Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле: В данной задаче: Таким образом: В точке касательная параллельна оси, поэтому соответствующее уравнение нормали: Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ:

Пример 9: Решение: в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ:

Взято с сайта http://www.mathprofi.ru

studfiles.net

Уравнения касательной и нормали к графику функции — Мегаобучалка

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Производная функции, её геометрический и физический смысл

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Таблица производных.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Связь непрерывности и дифференцируемости.

6. Дифференциал функции.

7. Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления

9. Формула Тейлора.

10. Исследование функции с помощью первой производной.

11. Исследование функции с помощью второй производной.

12. Пример полного исследования функции.

Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Рассмотрим функцию , дадим аргументу приращение получим новое значение функции В результате функция получит приращение ( х).

Определение. Производной функции в произвольной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при

Производная функции в точке обозначается Итак, по определению

Пример 1. Найти производную функции

Решение. По определению

= = =

=

Если аргумент интерпретировать как время t движения материальной точки, а путь, пройденный этой точкой изменяется по закону , то отношение означает среднюю скорость точки на временном промежутке Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит физический смысл производной.

Поскольку все процессы в природе находятся в движении, в развитии, а характеристикой всякого движения является скорость, то ясно, какое значение в изучении реальных процессов принадлежит производной функции.

Мы часто пользуемся графиками функций, поэтому рассмотрим геометрический смысл производной.

В

Рис. 1

Рассмотрим график функции (рис.1) Возьмём некоторую точку , вычислим и покажем на рисунке значение производной в точке . Дадим аргументу приращение , получим новое значение аргумента и вычислим новое значение функции Имеем две точки на графике: Проведём секущую , тем самым получится В этом треугольнике

тогда .

При точка , оставаясь на кривой, стремится к точке ; секущая становится в пределе касательной к графику функции в точке Тангенс угла наклона секущей становится тангенсом угла наклона касательной.

Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке к положительному направлению оси (рис.2)

0

Рис.2.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Рассмотрим функцию и напишем уравнение касательной к графику этой функции в некоторой точке где ( см.рис.2)

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и опорной точкой: у — =k(x — Исходя из геометрического смысла производной Обозначим это число следовательно, уравнение касательной имеет вид: .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно – 1. Получаем окончательный вывод:

— уравнение касательной,

— уравнение нормали к графику функции в точке , где .

Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной и нормали — осталось найти ( (0). Так как (x)= =cosx, то (0)=cos0=1. Получаем: , т.е. биссектриса I-III координатных углов, является касательной графика синуса в начале координат; — уравнение нормали.

Таблица производных.

Первым непременным условием освоения техники дифференцирования является знание таблицы производных, т.е. производных всех основных элементарных функций. Приводим доказательства.

а) – показательная функция.

Отметим замечательное свойство показательной функции — она при дифференцировании не меняется. Это свойство является причиной огромного значения этой функции в теоретических исследованиях и практических приложениях.

б) — логарифмическая функция.

в) -степенная функция.

г)

Остальные табличные производные доказываются аналогично. Приводим теперь таблицу производных:

1) ;

2) ; ) ;

3) ; ;

4)

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) :

11) .

megaobuchalka.ru

13. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке.

Определение: производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента стремиться к нулю Δх→0

f^’(x) = lim_Δх→0Δу/Δх= lim_Δх→0f(x₀+Δx)-f(x₀)/Δx. Производная в т.х₀-это число. Если т.х₀ меняется, мы получаем функцию f^’(x), которая также называется производной функцией. Нахождение производной-дифференцирование. Производные обозначаются у’ или f^’(x), dy/dx.

Δу/Δх=tg угла наклона секущей к оси ОХ (т.е. её угловому коэффициенту).Если Δх→0, то секущая стремиться к касательной к графику в точке х, поэтому её угловой коэффиц.стремиться к угловом.коэффиц.касательной,т.е. получаем, что углов.коэффиц.касательной-производная. Значение производной в точке х₀ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции.

Определение: нормалью к плоской кривой γ в т.М₀ называется перпендикуляр к касательной к кривой γ в этой точке. Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны соотношение к₂=-1/к₁. Отсюда получаем уравнение нормали к графику f(x) в точке х₀:

n:у-у₀=1/ f^’(x₀)(х-х₀)

14. Доказать, что дифференцируемая функция непрерывна.

Теорема: если существует() f^’(x₀), то фун-ия у= f(x) непрерывна в точке x₀.

Док-во: пусть существ. f^’(x₀)= lim_Δx→0Δy/Δx. Тогда Δy/Δx= f^’(x₀)+α, где α=α(х)-б.м. в точке x_{0 =>} Δy= f^’(x₀)Δх+α* Δх или lim_Δx→0Δy=0, это значит, что у= f(x) непрерывна в точке x₀.

15.Производная суммы и произведения функций.

Пусть u=u(x) и v=v(x)- функции, определенные в некоторой окрестности точки х и имеют производные в этой точке. Обозначим Δ u=u(x+Δх)- u(x) и Δ v=v(x+Δх)- v(х) приращения этих функций, соответствующие приращению Δх. Эти формулы можно записать в виде u(x+Δх)=u+Δu и v(x+Δх)=v+Δv

Теорема: производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: (u+v)’= u’+ v’

Производная произведения (uv)’= u’v+ u v’, в частности, постоянную можно выносить за знак производной: (Сv)’= Сv’

Док-во: пусть у=u(x)+v(x),тогда приращение суммы равно сумме приращений, Δ у=(u(x+Δх)+v(x+Δх)-(u(x)+ v(х))= Δu+Δ v и => у’= lim_Δx→0Δy/Δx= lim_Δx→0 Δu+Δ v /Δх== lim_Δx→0 (Δu/Δх+Δ v /Δх)= lim_Δx→0 Δu/Δх+ lim_Δx→0Δ v /Δх= u’+ v’

пусть у=u(x)*v(x),тогда приращение произведения равно Δ у=(u(x+Δх)*v(x+Δх)-u(x)*v(х)=(u+Δ u)(v+Δv)- uv=Δuv+uΔv+ΔuΔvи=>у’=lim_Δx→0Δy/Δx=lim_Δx→0Δuv+uΔv+ΔuΔv/Δх==lim_Δx→0(Δu/Δх*v+u*Δv/Δх+Δu/Δx*Δv)= u’v+uv’.

Пусть u(x)=const. применяя2 получаем (Сv)’= C’v+Сv’, т.к. С’=0

16.Производная частного. Производная функций у=tgx, y=ctgx.

Производная частного: (u/v)’= u’v-uv’/v²

Док-во: пусть у=: u(х)/v(х), тогда приращение частного равно Δу= u(х+Δх)/v(х+Δх)- u(х)/v(х)=u+Δu/v+Δv-u/v=(u+Δu)v-u(v+Δv)/(v+Δv)v=Δuv-uΔv/(v+Δv)v и следовательно, y’=lim_Δx→0 Δy/Δx= lim_Δx→0 Δuv-uΔv/Δx*1/(v+Δv)v== lim_Δx→0 Δu/Δx*v-u*Δv/Δx/(v+Δv)v=u’v-uv’/v²

у=tgx, y’=( tgx’)=(sinx/cosx)’= cosxcosx—sinx(-sinx)/cos²x=1/cos²x

y=ctgx, y’=( ctgx’)=(cosx/sinx)’=-sinxsinx— cosxcosx/ sin²x =-1/sin²x

studfiles.net

Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точкеи разберём многочисленные

примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и

уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:

Как найти производную? Производная сложной функции

и

Простейшие задачи с производными.

Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-йстатьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функциязадана неявно либопараметрически.

Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке(т.е. если существуетконечная производная), то уравнение касательной к графику функции в точкеможно найти по следующей формуле:

Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не

ограничивается: если в точке существует бесконечная производная:, то касательная будет параллельна осии её уравнение примет вид. Дежурный пример: функцияс

производной , которая обращается в бесконечность

вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:

(ось ординат).

Если же производной не существует(например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует иобщей касательной.

Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:

Что такое нормаль?Нормалью к графику функциив точкеназываетсяпрямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке

(понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим

уравнение касательной и представляем его в общем виде

. Далее «снимаем»нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точкеи направляющему вектору.

Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если

существует конечнаяи отличная от нуляпроизводная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:

Пример 1 Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой

в точке, абсцисса которой равна .

В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)

Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Найдём производную:

Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.

Теперь вычислим производную в точке :

Получено конечное число и это радует. Подставимив формулу

:

Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной вобщем виде:

Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:

Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:

– искомое уравнение.

Ответ:

Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых,координаты точкидолжны удовлетворять каждому уравнению:

– верное равенство.

– верное равенство.

И, во-вторых,векторы нормали должны быть

ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения:

, что и требовалось проверить.

Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать

направляющие векторы прямых.

! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производнаяи/или производная в точке. Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!

Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:

Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция

задаёт верхнюю дугуэллипса. Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 2 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

В данном случае

Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:

Таким образом:

Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку, будет параллельна оси ординат:

Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:

Ответ: ,

В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так:

«Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.

Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :Пример 4

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке.

Краткое решение и ответ в конце урока

существует общая вертикальная касательная:

Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:

Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:

Ответ:

Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:

studfiles.net

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?

Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:

Пример 6

Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

Решение: судя по уравнению, этокакая-толиния 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.

В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция вявном виде выглядит весьма туманной.

Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле

.

Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:

Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.

Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдёмпроизводную от функции, заданной неявно:

Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:

На 2-мшаге в найденное выражение производной подставим:

Вот так-то!

Осталось аккуратно разобраться с уравнением:

Составим уравнение нормали:

Ответ:

Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти уравнение нормали к линии в точке

Хватит уже вымучивать касательную =)

В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точкерадиусаи даже выразить нужную функцию. Но зачем?! Ведь найти производную отнеявно

заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?

Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении

производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:

Пример 8

Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой.

Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.

Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:

Найдём 1-уюпроизводную от параметрически заданной функции:

И вычислим её значение при :

Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:

Уравнение нормали:

Ответ:В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной

линией: Пример 9

Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.

Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)

Спасибо за внимание и успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данном случае:

Таким образом:

Уравнение нормали составим по формуле :

Ответ:

Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:

В данной задаче:

Таким образом:

В точке касательная параллельна оси, поэтому соответствующее уравнение нормали:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче:. Найдём производную:

Или:

Подставим в выражение производной :

Искомое уравнение нормали:

Ответ:Пример 9:Решение: в данном случае:

Найдём производную и вычислим её значение при :

Уравнение нормали:

Ответ:

studfiles.net

Как составить уравнения касательной и нормали к графику функции? ≪ ∀ x, y, z

при и .
при .
при .

Касательная к графику функции в точке с абсциссой задается уравнением

Можно было рассуждать проще. Касательная проходит через точку . В точке производная , касательная горизонтальная и задается уравнением .

Найдем уравнение нормали к касательной, заданной уравнением , в точке .

Для этого воспользуемся следующими двумя утверждениями.

1. Пусть прямая задана уравнением (это общее уравнение прямой)

2. Прямая с направляющим вектором , проходящая через точку , имеет уравнение (каноническое уравнение прямой)

Возможно, предполагается более простой путь. А именно, с помощью следующего утверждения.

Нормаль к графику функции в точке с абсциссой задается уравнением

forany.xyz