Рубрика: Школьная жизнь

Таблица степени брадиса – Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса

alexxlab / / Школьная жизнь

Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса


Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
    • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    		Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник  / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса
    Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20Таблица деления — традиционная 10×10 и 12х12Таблицы квадратов чисел от 1. Таблица квадратов от 1 до 100. Таблица квадратных корней. Натуральных чисел от 1 до 30 и от 1 до 100. Таблица квадратов больших чисел. Квадраты чисел. Удобная расчетная таблица 1,00 — 9,99.Таблица квадратов — таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99 (от 1 до 9, от 10 до 99 ). Таблица квадратных корней. Квадраты чисел. Корни чисел.Таблица квадратов натуральных (целых) чисел от 1 до 999. Таблица квадратных корней.Таблицы кубов. Таблица кубических корней. Кубы натуральных чисел от 1 до 20 и от 1 до 100. Удобная расчетная таблица 1,00 — 9,99. Таблица кубических корней.Степени — квадрат и куб, корни — квадратный и кубический и обратные величины чисел от 1 до 100. Таблица степеней от 1 до 100. Таблица корней от 1 до 1000000Таблица степеней степеней. Степени натуральных чисел от 2 до 25 (включая от «2 до 10» и от «2 до 20»). Степени от 2 до 10. Таблица степеней.Таблица 4-ой и 5-ой степени чисел от 1 до 100.Точная и приблизительная таблицы факториалов (1!-255!)Таблицы логарифмов и основные формулы Таблица. Длина окружности диаметра D. Длина окружности через радиус (радиус=полдиаметра). Диаметр через длину окружности. Диаметр (радиус) через охват. Окружность трубы. Окружность столба.Таблица соотношений между длинами дуг, стрелками, длинами хорд, площадями сегментов при радиусе, равном единице.

    dpva.ru

    Таблицы Брадиса. Значения тригонометрических, логарифмических функций. Прочее


    Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
    • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    		Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Таблицы Брадиса. Значения тригонометрических, логарифмических функций. Прочее
    Таблица Брадиса тригонометрические функции sin x, cos x, tg x от аргумента в радианах. Значения тригонометрических функций.Таблица Брадиса тригонометрические функции sin x, cos x от аргумента в угловых градусах. Таблица Брадиса синусы-косинусы. Значения тригонометрических функций.Таблица Брадиса тригонометрические функции tg x, ctg x от аргумента в угловых градусах. Таблица Брадиса тангенсы-котангенсы. Значения тригонометрических функций.Таблица Брадиса — тангенсы углов, близких к 90°, котангенсы малых углов. Значения тригонометрических функций.Таблица Брадиса — десятичные логарифмы синусов малых углов, десятичные логарифмы косинусов углов, близких к 90° Значения тригонометрических функций.Таблица Брадиса — десятичные логарифмы синусов углов от 14° до 90° и косинусов углов от 0° до 76°Таблица Брадиса — десятичные логарифмы тангенсов малых углов, логарифмы котангенсов углов, близких к 90°

    dpva.ru

    Таблица Брадиса — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Таблицы Bradis представляют собой наиболее полную коллекцию всех синусоидальных, косинусных, касательных, кокасательных и других значений. Эти таблицы очень точны, достигая четырех знаков после запятой, что позволяет использовать их как для решения школьных задач в алгебре, геометрии, физике, так и для расчета сложных технических расчетов.

    Правила использования таблиц: таблицы дают значения синусов (косинусов) любого острого угла, содержащие целое число и десятые доли градуса, на пересечении линии, имеющей соответствующее количество градусов в заголовке слева и столбец в заголовке выше количества минут.

    ВНИМАНИЕ, в данной статье таблица приведена в виде изображения, и годится для вычислений, если вам необходимо скопировать таблицу в текстовом виде, перейдите по ссылке.

    Тригонометрические функции sin x и cos x аргумента в градусах

    Тригонометрические функции Брадиса tg x, ctg x аргумента в градусах

    Таблица Брадиса — касательные углов, близкие к 90 °, котангенсы малых углов

    Тригонометрические функции аргумента в радианах

    Примеры решения проблем

    ПРИМЕР 1

  • Задача

    Значение поиска

  • Решение.

    В таблице значений синуса и косинуса в первом столбце находим и в первой строке . На пересечении соответствующей строки и столбца находится желаемое значение, равное 0,7254.

  • Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти значение

  • Решение.

    В таблице значений синуса и косинуса в столбце углов с заголовком находим и в нижней строке . На пересечении соответствующей строки и столбца находится желаемое значение 0.2284.

  • Ответ

    Если вам нужно найти значение угла, которого нет в таблице, то выбирается самое близкое к нему значение, а значение коррекции берется из колонки коррекции справа (возможная разница равна 1 ‘, 2’ , 3 ‘).

    ПРИМЕР 3

  • Задача

    Найти значение

  • Решение.

    Чтобы вычислить значение в таблице, мы найдем значение синуса угла, ближайшего к искомому. Это . Так как , то в столбце поправок выберем и видим, что на пересечении с строкой равен 0,0006,

  • Ответ

    ПРИМЕР 4

  • Задача

    Значение поиска

  • Решение.

    Чтобы вычислить значение в таблице, мы найдем значение синуса угла, ближайшего к искомому. Это . Начиная с , мы выбираем в столбце исправлений и видим, что на пересечении с строкой равен 0,0005,

  • Ответ

    Комментарий. Для косинусов коррекция отрицательна.

    ПРИМЕР 5

  • Задача

    Найти значение

  • Решение.

    Чтобы вычислить значение в таблице, мы найдем значение косинуса угла, ближайшего к искомому. Это . Так как , то в столбце поправок выберите и посмотрите, что на пересечении с строкой равен 0,0007,

  • Ответ

    Эти правила справедливы и для нахождения значений касательных и котангенсов углов.

    ПРИМЕР 6

  • Задача

    Найти значение

  • Решение.

    В таблице касательных и котангенциальных значений в первом столбце находим и в первой строке . На пересечении находим искомое значение 0.7028

  • Ответ

    ПРИМЕР 7

  • Задача

    Найти значение

  • Решение.

    В таблице кокасательных значений малых углов в последнем столбце находим строку , а в последней строке . На пересечении находится желаемое значение 4,102

  • Ответ

    Пример 8.

  • Задача

    Найти значение и

  • Решение.

    Поскольку в радианах указаны углы, мы используем таблицу значений тригонометрических функций аргумента в радианах. Найти в нем необходимые значения и

  • Ответ

    и

    • sciterm.ru

    Таблица Брадиса. Таблицы Брадиса.

    Общие правила вычисления

    Значения, приводимые в математических таблицах, иногда бывают точными, но чаще приближенными, представляя собой результаты округления точных значений, и содержат погрешности, не превосходящие половины единиц разряда последней цифры. Если значение взято не прямо из таблицы, а найдено посредством интерполяции, погрешность может быть больше, но в подавляющем большинстве случаев не превосходит единицы разряда последней цифры. При вычислении посредством таблиц, как и при всяком вычислении, необходимо соблюдать следующие правила:

    • Надо различать, какие данные точны, какие приближенны. Приближенные данные надо округлять, сохраняя в них только надежные цифры и не более одной не вполне надежной.
    • При записи целых приближенных чисел следует избегать нулей, помещаемых взамен неизвестных цифр.
    • При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько из в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.
      • Примечание. «Десятичными знаками» числа называются те цифры, которые расположены справа от знака дробности.
    • При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное с наименьшим числом значащих цифр.
      • Примечание. «Значащими цифрами» числа называются все его цифры, кроме нулей, расположенных левее первой, отличной от нуля, его цифры.
    • При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
      • Примечание. Последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания.
    • При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколь их имеет подкоренное (приближенное) число.
      • Примечание. Последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надежна, чем последняя цифра подкоренного.
    • При вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила.
      • Примечание. В окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается. Рекомендуется ее подчеркивать.
    • Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях I ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.
    • Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое дает, согласно правилам 3 — 6, k + 1 цифру в результате.
    • При вычислении посредством логарифмов значения выражения, не содержащего действий сложения и вычитания, следует подсчитать число значащих цифр в приближенном данном, имеющем наименьшее число значащих цифр, и взять таблицу логарифмов с числом десятичных знаков, на 1 большим. В окончательном результате последняя значащая цифра отбрасывается.
      • Применяя эти правила, следует помнить, что они отнюдь не дают гарантии точной последней цифры результата. Эта последняя цифра может иметь погрешность, достигающую в отдельных случаях даже несколько единиц, но малые значения этой погрешности более вероятны, чем большие.

      Другие заметки по алгебре и геометрии

    edu.glavsprav.ru

    Таблицы Брадиса — kakras

    Общие правила вычислений с помощью таблиц Брадиса:

    1. Надо различать, какие данные точны, а какие приближённы. Приближённые данные надо правильно округлять, сохраняя в них только надёжные числа и не более одной, крайней, не вполне надёжной (так называемой, «лишней»).
    2. При записи целых приближённых чисел, следует избегать лишних нулей, помещаемых взамен неизвестных цифр.
    3 . При сложении и вычитании приближённых чисел, в результате следует оставлять столько десятичных разрядов, сколько их имеется в данном с наименьшим числом знаков после запятой (это правило не касается вычислений промежуточных результатов, а только конечных).

    Пример перевода числовых значений из десятых долей градусов в минуты:
    10.8° (десять целых и восемь десятых градуса)
    8 / 10 = X / 60
    X = (8 * 60) / 10 = 48
    Итог конвертации: 10.8° = 10° 48' (десять градусов и сорок восемь минут).

    Высокоточные вычисления тригонометрических функций для углов, заданных с точностью до минут и секунд — проводятся на специальных инженерных калькуляторах (в виде компьютерных программ, считающих до 32 разрядов или отдельного счётного прибора) и в электронных таблицах Excel по формуле, записанной в определённом формате. Пример строки с формулой в табличной ячейке для расчёта синуса угла, заданного с минутами и секундами:
    E1 = sin (((A1 + B1/60 + C1/3600) * pi()) / 180)
    где A1 — число градусов аргумента, заданное в первой строке колонки A.
         B1 — минуты;
         C1 — секунды.

    При отсутствии таблиц Брадиса, инженерного калькулятора и компьютера, значения тригонометрических функций можно посчитать, с произвольно высокой точностью, и на простейшем арифмометре, с помощью аналитических операций сложения, вычитания, умножения и деления по формулам рядов:

    sin x = x - x^3/1*2*3 + x^5/1*2*3*4*5 - x^7/1*2*3*4*5*6*7 + x^9/1*2*3*4*5*6*7*8*9 -...

    cos x = 1 — x^2/1*2 + x^4/1*2*3*4 — x^6/1*2*3*4*5*6 + x^8/1*2*3*4*5*6*7*8 -…

    tg x = x + (1/3 * x^3) + (2/15 * x^5) + (17/315 * x^7) + …

    Точность, при таких вычислениях с применением знакочередующейся нескончаемой суммы ряда — определяется абсолютной величиной каждого очередного слагаемого.

    В степень — число возводится с помощью многократного перемножения.
    Например, аргумент в кубе:  x^3 = x*x*x   На калькуляторе, после набора числа, последовательно нажимаются кнопки: * = =

    Если не нужна высокая точность и требуется быстрое вычисление, используются различные номограммы (нарисованные или напечатанные на бумаге и других материалах), логарифмические линейки и прочие приспособления и инструменты.

    Список использованной литературы и ссылки на Интернет-ресурсы

    Таблицы Брадиса. Москва: Просвещение, 1968 г.

    https:// ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции

    kakras.livejournal.com

    Таблицы Брадиса


    Таблицы Брадиса

    SIN 01=0.0175
    SIN 02=0.0349
    SIN 03=0.0523
    SIN 04=0.0698

    SIN 05=0.0872
    SIN 06=0.1045
    SIN 07=0.1219
    SIN 08=0.1392

    SIN 09=0.1564
    SIN 10=0.1736
    SIN 11=0.1908
    SIN 12=0.2079

    SIN 13=0.2250
    SIN 14=0.2419
    SIN 15=0.2588
    SIN 16=0.2756

    SIN 17=0.2924
    SIN 18=0.3090
    SIN 19=0.3256
    SIN 20=0.3420

    SIN 21=0.3584
    SIN 22=0.3746
    SIN 23=0.3907
    SIN 24=0.4067

    SIN 25=0.4226
    SIN 26=0.4384
    SIN 27=0.4540
    SIN 28=0.4695

    SIN 29=0.4848
    SIN 30=0.5000
    SIN 31=0.5150
    SIN 32=0.5299

    SIN 33=0.5446
    SIN 34=0.5592
    SIN 35=0.5736
    SIN 36=0.5878

    SIN 37=0.6018
    SIN 38=0.6157
    SIN 39=0.6293
    SIN 40=0.6428

    SIN 41=0.6561
    SIN 42=0.6691
    SIN 43=0.6820
    SIN 44=0.6947

    SIN 45=0.7071
    SIN 46=0.7193
    SIN 47=0.7314
    SIN 48=0.7431

    SIN 49=0.7547
    SIN 50=0.7660
    SIN 51=0.7771
    SIN 52=0.7880

    SIN 53=0.7986
    SIN 54=0.8090
    SIN 55=0.8192
    SIN 56=0.8290

    SIN 57=0.8387
    SIN 58=0.8480
    SIN 59=0.8572
    SIN 60=0.8660

    SIN 61=0.8746
    SIN 62=0.8829
    SIN 63=0.8910
    SIN 64=0.8988

    SIN 65=0.9063
    SIN 66=0.9135
    SIN 67=0.9205
    SIN 68=0.9272

    SIN 69=0.9336
    SIN 70=0.9397
    SIN 71=0.9455
    SIN 72=0.9511

    SIN 73=0.9563
    SIN 74=0.9613
    SIN 75=0.9659
    SIN 76=0.9703

    SIN 77=0.9744
    SIN 78=0.9781
    SIN 79=0.9816
    SIN 80=0.9848

    SIN 81=0.9877
    SIN 82=0.9903
    SIN 83=0.9925
    SIN 84=0.9945

    SIN 85=0.9962
    SIN 86=0.9976
    SIN 87=0.9986
    SIN 88=0.9994

    SIN 89=0.9998
    SIN 90=1.0000

    cos 0= 1.0000
    cos 1= 0.9998
    cos 2= 0.9994
    cos 3= 0.9986

    cos 4= 0.9976
    cos 5= 0.9962
    cos 6= 0.9945
    cos 7= 0.9925

    cos 8= 0.9903
    cos 9= 0.9877
    cos 10= 0.9848
    cos 11= 0.9816

    cos 12= 0.9781
    cos 13= 0.9744
    cos 14= 0.9703
    cos 15= 0.9659

    cos 16= 0.9613
    cos 17= 0.9563
    cos 18= 0.9511
    cos 19= 0.9455

    cos 20= 0.9397
    cos 21= 0.9336
    cos 22= 0.9272
    cos 23= 0.9205

    cos 24= 0.9135
    cos 25= 0.9063
    cos 26= 0.8988
    cos 27= 0.8910

    cos 28= 0.8829
    cos 29= 0.8746
    cos 30= 0.8660
    cos 31= 0.8572

    cos 32= 0.8480
    cos 33= 0.8387
    cos 34= 0.8290
    cos 35= 0.8192

    cos 36= 0.8090
    cos 37= 0.7986
    cos 38= 0.7880
    cos 39= 0.7771

    cos 40= 0.7660
    cos 41= 0.7547
    cos 42= 0.7431
    cos 43= 0.7314

    cos 44= 0.7193
    cos 45= 0.7071
    cos 46= 0.6947
    cos 47= 0.6820

    cos 48= 0.6691
    cos 49= 0.6561
    cos 50= 0.6428
    cos 51= 0.6293

    cos 52= 0.6157
    cos 53= 0.6018
    cos 54= 0.5878
    cos 55= 0.5736

    cos 56= 0.5592
    cos 57= 0.5446
    cos 58= 0.5299
    cos 59= 0.5150

    cos 60= 0.5000
    cos 61= 0.4848
    cos 62= 0.4695
    cos 63= 0.4540

    cos 64= 0.4384
    cos 65= 0.4226
    cos 66= 0.4067
    cos 67= 0.3907

    cos 68= 0.3746
    cos 69= 0.3584
    cos 70= 0.3420
    cos 71= 0.3256

    cos 72= 0.3090
    cos 73= 0.2924
    cos 74= 0.2756
    cos 75= 0.2588

    cos 76= 0.2419
    cos 77= 0.2250
    cos 78= 0.2079
    cos 79= 0.1908

    cos 80= 0.1736
    cos 81= 0.1564
    cos 82= 0.1392
    cos 83= 0.1219

    cos 84= 0.1045
    cos 85= 0.0872
    cos 86= 0.0698
    cos 87= 0.0523

    cos 88= 0.0349
    cos 89= 0.0175

    tg 1=0.0175
    tg 2=0.0349
    tg 3=0.0524
    tg 4=0.0699

    tg 5=0.0875
    tg 6=0.1051
    tg 7=0.1228
    tg 8=0.1405

    tg 9=0.1584
    tg 10=0.1763
    tg 11=0.1944
    tg 12=0.2126

    tg 13=0.2309
    tg 14=0.2493
    tg 15=0.2679
    tg 16=0.2867

    tg 17=0.3057
    tg 18=0.3249
    tg 19=0.3443
    tg 20=0.3640

    tg 21=0.3839
    tg 22=0.4040
    tg 23=0.4245
    tg 24=0.4452

    tg 25=0.4663
    tg 26=0.4877
    tg 27=0.5095
    tg 28=0.5317

    tg 29=0.5543
    tg 30=0.5774
    tg 31=0.6009
    tg 32=0.6249

    tg 33=0.6494
    tg 34=0.6745
    tg 35=0.7002
    tg 36=0.7265

    tg 37=0.7536
    tg 38=0.7813
    tg 39=0.8098
    tg 40=0.8391

    tg 41=0.8693
    tg 42=0.9004
    tg 43=0.9325
    tg 44=0.9657

    tg 45=1.0000
    tg 46=1.0355
    tg 47=1.0724
    tg 48=1.1106

    tg 49=1.1504
    tg 50=1.1918
    tg 51=1.2349
    tg 52=1.2799

    tg 53=1.3270
    tg 54=1.3764
    tg 55=1.4281
    tg 56=1.4826

    tg 57=1.5399
    tg 58=1.6003
    tg 59=1.6643
    tg 60=1.7321

    tg 61=1.8040
    tg 62=1.8807
    tg 63=1.9626
    tg 64=2.0503

    tg 65=2.1445
    tg 66=2.2460
    tg 67=2.3559
    tg 68=2.4751

    tg 69=2.6051
    tg 70=2.7475
    tg 71=2.9042
    tg 72=3.0777

    tg 73=3.2709
    tg 74=3.4874
    tg 75=3.7321
    tg 76=4.0108

    tg 77=4.3315
    tg 78=4.7046
    tg 79=5.1446
    tg 80=5.6713

    tg 81=6.3138
    tg 82=7.1154
    tg 83=8.1443
    tg 84=9.5144

    tg 85=11.4301
    tg 86=14.3007
    tg 87=19.0811
    tg 88=28.6363

    tg 89=57.2900

    tg 1=57.2900
    ctg 2=28.6363
    ctg 3=19.0811
    ctg 4=14.3007

    ctg 5=11.4301
    ctg 6=9.5144
    ctg 7=8.1443
    ctg 8=7.1154

    ctg 9=6.3138
    ctg 10=5.6713
    ctg 11=5.1446
    ctg 12=4.7046

    ctg 13=4.3315
    ctg 14=4.0108
    ctg 15=3.7321
    ctg 16=3.4874

    ctg 17=3.2709
    ctg 18=3.0777
    ctg 19=2.9042
    ctg 20=2.7475

    ctg 21=2.6051
    ctg 22=2.4751
    ctg 23=2.3559
    ctg 24=2.2460

    ctg 25=2.1445
    ctg 26=2.0503
    ctg 27=1.9626
    ctg 28=1.8807

    ctg 29=1.8040
    ctg 30=1.7321
    ctg 31=1.6643
    ctg 32=1.6003

    ctg 33=1.5399
    ctg 34=1.4826
    ctg 35=1.4281
    ctg 36=1.3764

    ctg 37=1.3270
    ctg 38=1.2799
    ctg 39=1.2349
    ctg 40=1.1918

    ctg 41=1.1504
    ctg 42=1.1106
    ctg 43=1.0724
    ctg 44=1.0355

    ctg 45=1.0000
    ctg 46=0.9657
    ctg 47=0.9325
    ctg 48=0.9004

    ctg 49=0.8693
    ctg 50=0.8391
    ctg 51=0.8098
    ctg 52=0.7813

    ctg 53=0.7536
    ctg 54=0.7265
    ctg 55=0.7002
    ctg 56=0.6745

    ctg 57=0.6494
    ctg 58=0.6249
    ctg 59=0.6009
    ctg 60=0.5774

    ctg 61=0.5543
    ctg 62=0.5317
    ctg 63=0.5095
    ctg 64=0.4877

    ctg 65=0.4663
    ctg 66=0.4452
    ctg 67=0.4245
    ctg 68=0.4040

    ctg 69=0.3839
    ctg 70=0.3640
    ctg 71=0.3443
    ctg 72=0.3249

    ctg 73=0.3057
    ctg 74=0.2867
    ctg 75=0.2679
    ctg 76=0.2493

    ctg 77=0.2309
    ctg 78=0.2126
    ctg 79=0.1944
    ctg 80=0.1763

    ctg 81=0.1584
    ctg 82=0.1405
    ctg 83=0.1228
    ctg 84=0.1051

    ctg 85=0.0875
    ctg 86=0.0699
    ctg 87=0.0524
    ctg 88=0.0349

    ctg 89=0.0175
    ctg 90=0.0000\

    Список литературы

    Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.shpori4all.narod.ru/

    essay.ua-referat.com

    Решение транспортных задач в excel – Решение транспортной задачи в Excel с примером и описанием

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Решение транспортной задачи в MS Excel (фиктивный поставщик или потребитель)

    • Курсы
    • Новости
    • Статьи
      • Excel
      • PowerPoint
      • Windows
      • Word
    • Заметки
      • Excel
      • PowerPoint
      • Windows
      • Word
      • Другие заметки
    • Видео
      • Excel
      • PowerPoint
      • Windows
      • Word
      • Другие видео
    • Блог
    • Shop
      • Доступ к курсам
      • Услуги

    Поиск

    • Главная
    • Центр обучения
    • Справочник
    • Поддержка
    • Контакт
    MSoffice-Prowork.com
    • Курсы

    msoffice-prowork.com

    Решение транспортных задач в среде Excel

    Продолжение темы, начатой в «КВ» №21/2005

    Одной из самых распространенных проблем во всех областях экономики является транспортировка груза или товара с минимальными материальными и временными затратами. Так как огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение самого экономичного плана эмпирическим или экспертным путем, то появилась необходимость разработки специальной теории, позволяющей быстро решать подобные задачи с помощью алгоритмизации. Применение математических методов в планировании перевозок дает большой экономический эффект. В этом нам и предстоит сейчас убедиться при помощи нашего знакомого Васи, который как раз устроился работать курьером.


    Постановка задачи

    Компания, где Василий нашел вакантное место курьера, имеет два склада, на которых хранится товар, и три магазинчика — конторы, где этот товар реализуется. Задача Васи заключается в строгом выполнении плана, который он получает каждый день. В качестве транспортного средства он использует старый, но выносливый советский велосипед, который не позволяет перевозить всю партию за раз. Поэтому нашему ненасытному другу приходится мотаться туда-сюда. На что он опять копит? Что же он там перевозит? Не ждите от меня ответов на эти вопросы, если б знал — давно бы уже сказал бы.

    И тут Василий, изнывая от мучительных болей в ногах и предвидя жесткий выговор со стороны начальства за невыполнение работы в намеченный срок, задумался: можно ли составить с учетом выдаваемого ему плана такой маршрут движения, чтобы на выполнение всего задания уходило минимум времени и сил. Конечно, можно! Этим мы сейчас и займемся.


    Составление математической модели

    Сначала необходимо проделать подготовительную работу, а именно — определить тарифы на каждом участке будущего оптимального плана перевозок. Поскольку Вася заинтересован в том, чтобы делать свою работу максимально быстро, то в качестве тарифов в данной задаче выступает время, потраченное на перевозку единицы товара из n-го склада в m-ую контору. При помощи карты Минска (CityInfo) с учетом времени на перекур и на подкачку шин, Вася оценил среднее время перевозки товара из каждого склада в каждую контору. В результате была составлена таблица 1.

    Таблица 1. Время на перевозку
    Склад\КонтораКонтора №1Контора №2Контора №3Есть на складах
    Склад №1520820
    Склад №210151230
    Потребность15122047/50

    Данная транспортная задача относится к типу задач с неправильным балансом (47<>50), но нас это не должно смущать. Я вас уверяю, мы ничего не будем решать вручную. Хотелось бы отметить, что в реальной жизни транспортные задачи с правильным балансом встречаются не очень часто. Далее задачу необходимо, как говорится, формализировать, т.е. записать в виде уравнений (формул). Пусть X — количество единиц товара, перевозимых из каждого склада в каждую контору. Тогда X11 — количество единиц товара, перевозимых из первого склада в первую контору, X12 — количество единиц товара, перевозимых из первого склада во вторую контору, и т.д. (такие предложения пишутся простым копированием, если вы не знали.;) Поскольку задача с неправильным балансом, то необходимо ввести также фиктивную контору. Все переменные представлены в таблице 2.

    Таблица 2. Количество перевозимых товаров
    Склад\КонтораКонтора №1Контора №2Контора №3ФиктивнаяЕсть на складах
    Склад №1X11X12X13X1420
    Склад №2X21X22X23X2430
    Потребность151220350/50

    Теперь все готово для составления системы уравнений и целевой функции, определяющей время выполнения плана перевозок и направленной на минимум. По смыслу ясно, что количество единиц товара, привезенных с каждого склада в контору, в сумме должно равняться потребности этой конторы. Т.е.

    X11+ X21=15

    X12+ X22=12

    X13+ X23=20

    X14+ X24=3

    Аналогично получаем следующие условия:

    X11+X12+X13+X14=20

    X21+X22+X23+X24=30

    Целевая функция, как я уже говорил, определяет время выполнения намеченного плана транспортировки товара. Поэтому:

    E=5* X11 + 20* X12 + 8* X13 + 10* X21 + 15* X22 + 12* X23 ->min

    Тарифы на доставку товара в виртуальную контору принимаются равными нулю, поэтому слагаемое «0*X14+0*X24» в записи формулы для целевой функции можно опустить. Теперь приступим непосредственно к решению поставленной задачи. Согласитесь, проделанные до сих пор операции не вызывают больших трудностей.


    Выбор метода решения

    А найти решение нам поможет мощный табличный процессор Microsoft Excel, широко используемый не только как удобное средство для хранения разнообразных данных и многофункциональный инструмент, позволяющий выполнять над ними многочисленные математические операции, но и как орудие для решения несложных оптимизационных задач. Последним, в частности, и занимается программная надстройка «Поиск решения». Если она у вас не установлена, то проделайте следующие действия: «Сервис» > «Надстройки», потом поставьте галочку около пункта «Поиск решения». Для поиска ответа остается только занести шесть ограничений и целевую функцию в Excel. Я не буду докучать читателю ((с) Джонатан Свифт, «Путешествия Гулливера»;) подробным описанием того, как следует вводить данные в ячейки таблицы или как нужно составлять ограничения в «Поиск решения». Этот титанический труд был проделан в первой статье по оптимизации в среде Excel, опубликованной в 21-м номере. Отмечу, что хоть задача про изготовление баннеров и задача про перевозки принадлежат к различным типам задач, для нахождения ответа на которые разработано множество «своих» методов, все-таки обе задачи являются задачами линейного программирования. Поэтому их можно решать и общим для всех задач линейного программирования способом — симплекс-методом. Конечно, для решения транспортных задач вручную намного предпочтительнее использовать специально разработанные для этих целей алгоритмы. Но в конкретном случае мы переложим наше бремя на плечи машины. Ей-то какая разница, выполнять 10 или 100 итераций. Если мы собираемся использовать тот же самый подход, что и при решении задачи об изготовлении баннеров, то алгоритм поиска оптимального ответа в данном примере почти не будет отличаться от алгоритма, описанного в предыдущей статье. Различия будут заключаться лишь в подготовительных работах, которые мы, сами того не зная, уже проделали выше.

    Итак, в ячейки строки с целевой функцией запишем коэффициенты перед переменными, входящими в целевую функцию. Так же поступим и cо всеми ограничениями в виде равенств (в столбце «L» записывается правая часть уравнений). В столбце с решением «J» в каждую ячейку введем формулу вида «=СУММПРОИЗВ(Bn:Gn;B2:G2)», где n изменяется от 3 до 9. Теперь открываем рабочее окно «Поиск решения» и записываем все ограничения, показанные на рисунке.

    Нажимаем на кнопку «Выполнить» и вместе с Васей радуемся полученным результатам.


    Анализ полученных результатов

    Оптимальный план перевозок груза выглядит следующим образом: с первого склада нужно переправить 15 ед. груза в первую контору и 5 ед. груза в третью контору, а со второго — 12 ед. груза во вторую и 15 ед. груза в третью конторы. На все это Вася будет тратить 475 минут (7 часов и 55 минут). Это оптимальный вариант. Сравним его с любым другим возможным. Допустим, что Вася решил делать все наобум и выбирал маршрут случайным образом. Пусть план следующий: (X11, X12, X13, X21, X22, X23)=(0, 0, 20, 15, 12, 0). Тогда целевая функция будет равна 490 минут (за смену Вася не управится). С одной стороны, это не много, с другой, если бы в качестве тарифов выступало не время, а деньги, то экономия была бы существенной. Да и если вспомнить фразеологизм «Время — деньги», то всякие сомнения по поводу рациональности использования оптимизации в управлении и финансах отпадают. Ведь выгода заключается не в том, что Васе приходится быстрее крутить педали, а в том, что при помощи математической модели находится наилучший вариант протекания реального процесса.

    В качестве следствия можно отметить, что если предстоит решать задачу с правильным балансом, то из всех рассуждений необходимо просто исключить переменные X14 и X24.

    Конечно, существует много программ, которые специализируются именно на исследовании транспортных задач. Но с Excel’ем как-то проще ((с) Реклама про «Биосистему»). Иногда время и деньги, потраченные на поиски нужной программы в интернете, сравнимы с выгодой, полученной в ходе оптимизации. На одной web-странице программу, работающую с транспортными задачами, предлагалось приобрести за $100. Другое приложение оказалось бесплатным, но не умело решать задачи в общем случае (с неправильным балансом). Вот такие пироги (или проги ;).

    В современном обществе методы оптимизации применяются повсеместно, принося существенную экономическую выгоду и предупреждая финансовые крахи. Они позволяют принимать разнообразные управленческие решения в условиях риска и неопределенности. Правда, уже при помощи более мощных программных комплексов, работающих на основе генетических алгоритмов, нечеткой логики и нейронных сетей.

    Виталий КРАСИЛЬНИКОВ

    www.kv.by

    Решение транспортных задач в Excel

    гарантирует выполнение каждой работы лишь одним исполнителем, ограничение

    Стоимость выполнения всего комплекса работ равна

    Таким образом, задачу о назначениях можно записать следующим образом:

    Задача о назначениях является частным случаем классической транспортной задачи, в которой надо положить n = m, Si = 1, i = 1,…,n, Dj = 1, j = 1,…,n. При этом условие xij Î{0, 1}, i,j = 1,…,n, означает выполнение требования целочисленности переменных xij . Это связано с тем, что мощности всех источников и стоков равны единице, откуда следует, что в допустимом целочисленном решении значениями переменных могут быть только 0 и 1.

    Как частный случай классической транспортной задачи, задачу о назначениях можно рассматривать как задачу линейного программирования. Поэтому в данном случае используют терминологию и теоретические результаты линейного программирования.

    В задаче о назначениях переменное xij , может принимать значение 0 или 1. При этом в любом допустимом решении лишь n переменных могут принимать значения 1. Таким образом, любое допустимое базисное решение задачи о назначениях будет вырожденным.

    На практике встречаются задачи о назначениях, в постановках которых параметр cij для i,j= 1,…,n понимается как эффективность выполнения i-й работы j-м исполнителем. В этих случаях нужно так распределить работы между исполнителями, чтобы суммарная эффективность их выполнения был бы максимальной, т.е.

    где максимум ищется при указанных выше ограничениях.

    3.2 Решение задачи о назначениях в Excel

    У автотранспортной компании имеется n автомобилей разных марок. Автомобили разных марок имеют разную грузоподъёмность qi (т ) и разные удельные эксплуатационные затраты ci ($/км ). Компания получила заказы от m клиентов на перевозку грузов. Причём в каждом заказе указан объём перевозимого груза Qj (т ) и расстояние перевозки Lj (км ). Требуется, используя табличный процессор Excel, оптимальным образом назначить автомобили на рейсы для выполнения заказов клиентов, полагая тарифы на перевозки одинаковыми.

    Покажем, что представленная задача удовлетворяет рассмотренным выше требованиям.

    1) Поскольку тарифы одинаковые, то в качестве целевой функции следует выбрать эксплуатационные затраты. Эти затраты необходимо минимизировать путём оптимального распределения автомобилей по клиентам.

    2) Поскольку в общем случае m ¹ n , то задачу необходимо сбалансировать путём введения фиктивных заказов или фиктивных автомобилей. Получим:

    а) При n > m заказов меньше, чем автомобилей (избыток провозных возможностей). В этом случае дополнительно вводятся n — m фиктивных клиентов с нулевыми объёмами заказов (т.е. Qj =0 и Lj =0). Поскольку для фиктивных клиентов заказы нулевые, то для их выполнения будут назначаться самые неэффективные по затратам автомобили. Практически выполнение заказа фиктивного клиента означает резервирование автомобиля (автомобиль остаётся в парке).

    б) При n < m заказов больше, чем автомобилей (недостаток провозных возможностей). В этом случае дополнительно вводятся m — n фиктивных автомобилей с бесконечно большими удельными затратами (т.е. с j ®¥). Практически это означает отказ от самых невыгодных в смысле затрат заказов.

    3) Окончательно получим сбалансированную задачу, описываемую квадратной матрицей эксплуатационных затрат размерностью k ´ k , где k = max{m , n }.

    Алгоритм решения данной задачи в Excel сводится к следующему.

    Количество рейсов i -го автомобиля у j -го клиента вычисляется по формуле

    , для всех i =1,2,…k ; j =1,2,…k .

    Количество рейсов — величина целочисленная, принимающая значение большее или равное 1. Для её вычисления следует воспользоваться функцией округления частного от деления в большую сторону. Например, если исходные данные находятся в ячейках B29:C29 и D26:D27, то количество рейсов определяется функцией (второй параметр функции округления равен 0)

    =ОКРУГЛВВЕРХ($B6/D$5;0)

    Пробег i -го автомобиля у j -го клиента вычисляется по формуле

    Эксплуатационные затраты вычисляются по формуле ,
    где ci – удельные эксплуатационные затраты, связанные с назначением i -го автомобиля для обслуживания j -го клиента, т.е. для приведенного выше примера в ячейку D6 необходимо занести формулу

    =ОКРУГЛВВЕРХ($B6/D$3;0)*$C6*D$4

    Дополнительная целочисленная переменная логического типа принимает значения

    Целевая функция имеет вид

    при ограничениях:

    mirznanii.com

    Решение транспортной задачи в Excel

    (bj =0) запрещаем такие же клетки вj-ом столбце.

    В случае одновременного исчерпания запасов потребностей (ai =bj= 0) запрещаем перевозки или в строке (тогда считаем, что у потребителя осталась потребность в количестве равном нулю, которую необходимо удовлетворить), или в столбце (в этом случае считаем, что у поставщика остается запас равный нулю, который необходимо вывезти). Это делается для того, чтобы при одновременном запрещении перевозок в строке и столбце количество заполненных клеток таблицы не стало меньшим, чем m+n-1.

    Получим новую текущую таблицу, в которую не входят заполненные и запрещенные клетки. Если таблица не пуста, переходим к шагу 1. (При исчерпании таблицы — конец).

    Способ минимальной стоимости.

    1.Клетки с минимальной ценой (3,1), (3,2) и (3,3). Выбираем, например, (3,2). (Далее все шаги, как в предыдущем способе).

    2 . x32 = min{50,60} = 50

    3. a‘3 =50-50=0, b‘2 = 100-50=50

    4.Запрещаем строку 3.

    1.Клетка с min ценой ~ (2,3)

    2.x23 = min{70,80} = 70

    3.a2 =70-70=0, b’3 = 80-70=10

    4.Запрещаем строку 2.

    1. Клетка с min ценой ~ (1,1)

    2. x 11 =min{120,60} = 60

    3. a 1′ =120-60 = 60, b1′ = 0

    4.В первом столбце запрещать уже нечего. Текущая таблица содержит две клетки (1,2) и (1,3).

    1.Выбираем клетку (1,2)

    2 . x12 =min{110,100} = 100

    3.a1 =110-100 = 10, b‘1 = 0

    4.Текущая таблица содержит одну клетку (1,3).


    1. Выбираем последнюю клетку(1,3)

    2. x13 =min{10,10} = 10

    3.a1‘ = b3 = 0

    4.Таблица исчерпана. Конец.

    Переходим к описанию следующего шага метода потенциалов.

    ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.

    Признаком того, что текущий план перевозок является оптимальным, служит условие

    (1)ui +vj -cij ≤0

    которое выполняется для всех клеток таблицы. Неизвестные здесь величины ui и vj(называемые потенциалами) определяются из условий

    (2)ui + vj = cij

    Условие (1) означает невозможность появления «спекулятивной» цены. Само же название «потенциалы» заимствовано из физического закона о том, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна разности потенциалов в данных точках поля (У нас: «…цена перевозки единицы продукции по коммуникации равна разности цен в конце и в начале пути»)

    Так как заполненных клеток в таблице (m+n-1) штук, а неизвестных и (m+n) штук, то для их определения имеется система из (m+n-1) уравнений относительно (m+n) неизвестных. Чтобы найти решение (хотя бы какое-нибудь) такой системы, достаточно положить одно из неизвестных (произвольное) равным некоторому произвольно выбранному числу. Тогда остальные определяются единственным образом. Можно решать эту систему непосредственно (продолжаем работать с нашим «старым» примером и найдем потенциалы для начального плана, построенного способом МС).

    Заполненные клетки Уравнения

    (1,1) u1 + v1 =5

    (1,2) u1 + v2 =10

    (1,3) u1 + v3 =12

    (2,3) u2 +v3 =4

    (3,2) u3 +v2 =0

    Положим, например, неизвестное u1 равным 0 (через него можно из первых трех уравнений найти v1 , v2 и v3 ). Последовательно из них находим u2 , u3.

    Этот метод можно сформулировать в виде единого правила:

    Неизвестный потенциал находится вычитанием известного из цены перевозки в заполненной клетке

    Применим это правило для определения u и vв нашем примере и получим:

    u1 =0, u2 =-8, u3 =-6

    v1 =5, v2 =10, v3 =12

    Переходим к проверке условий оптимальности (1). Достаточно проверять их для незаполненных клеток, так как для клеток заполненных эти условия выполняются как равенства. Для проверки берется незаполненная клетка, складываются соответствующие ей потенциалы (первый элемент строки и последний элемент столбца) и из них вычитается цена перевозки в данной клетке. Если полученное число отрицательное (или ноль), то оптимальность в данной клетке не нарушается (в случае выполнения условия (1) для всех незаполненных клеток, имеем оптимальный план перевозок). Если же в таблице встретилась хотя бы одна клетка, для которой это число положительно, тогда решение не является оптимальным и может быть улучшено.

    Проверим на оптимальность имеющееся решение

    (2,1)u2 +v1 -c21 =-8+5-8=-11<0

    (2,2) u 2 +v2 -c22 =-8+10-6=-4<0

    (3,1)u3 +v1 -c31 =-10+ 5-0=-5<0

    (3,3)u3 +v3 -c33 =-10+12-0=2>0

    Следовательно, условие оптимальности нарушено в клетке (3,3).

    Имеющийся план перевозок можно улучшить.

    Дадим описание заключительного шага алгоритма метода потенциалов.

    ШАГ 3 Улучшение плана перевозок .

    Улучшение плана происходит путем назначения перевозки θ>0 в ту клетку (i , j) таблицы, в которой нарушилось условие оптимальности. Но назначение ненулевой перевозки нарушает условия баланса вывоза продукции от поставщика i (вывозит весь запас и еще плюсθ>0 ) и условия баланса привоза продукции к потребителю j(получает все что можно и еще плюс θ > 0). Условия баланса восстанавливают путем уменьшения вывоза от i-поставщика к какому-то другому потребителю j(уменьшают на θ перевозку в какой-то заполненной клетке (i , j) строки i). При этом нарушается баланс привоза продукции к потребителю j (получает на θ меньше, чем ему требуется). Восстанавливают баланс в столбце j, тогда он нарушается в некоторой строке i и т.д. до тех пор, пока цикл перемещения перевозок не замкнется на клетке, в которой нарушалось условие оптимальности. Продемонстрируем эти рассуждения на нашем примере.

    1. Оптимальность нарушена в клетке (3,3). Назначим в нее перевозку θ>0 (+θ означает, увеличение на θ).

    2.Нарушается баланс вывоза от поставщика 3 (вывозит 50+ θ, а это больше его запаса!). Уменьшаем на θ перевозку в заполненной клетке строки 3 (вне заполненной уменьшать нельзя, так как это приведет к отрицательной перевозке).

    Рассмотрим те клетки цикла в которых уменьшаем на θ перевозку и берём минимум из вычетаемых, у нас это min{10- θ ,50- θ }=10.

    И данное число надо подставить в цикл

    §3. Транспортные задачи по различным критериям

    Транспортная задача по критерию времени

    Иногда возникает ситуация, когда в условиях (ТЗ) необходимо минимизировать не стоимость перевозок, а время их выполнения (Срочные грузы, перевозки скоропортящихся продуктов, работа «скорой помощи» и т.д.)

    Имеется m поставщиков

    однородного груза и n потребителей груза. Для каждой пары (,) известно время , за которое груз перевозится от к . Требуется составить такой план перевозок, при котором все запасы поставщиков будут вывезены, а все запросы потребителей будут полностью удовлетворенны и наибольшее время доставки всех грузов будет минимизирован.

    Задача о назначениях (Венгерский метод)

    Имеется n видов работ и n рабочих. Каждый рабочий может выполнить любую из nработ за некоторое время (цена рабочего). Требуется распределить все работы между всеми рабочими так, чтобы время выполнения работ было минимальным, а каждую работу выполнял только один рабочий.

    §4. Решение транспортной задачи в Excel

    В качестве примера я рассмотрел транспортную задачу для 2 складов и 5 магазинов.

    · В ячейки C4:C5 записал объемы продукции, имеющиеся на 2 складах.

    · В ячейки E5:I5 — заявки на продукцию, поступившие от магазинов.

    · В ячейки B8:F9 — матрицу транспортных расходов, задающую расходы на перевозку из I-го склада в J-й магазин единицы продукции.

    · В ячейки B13:F14 — план перевозок — матрицу, задающую количество товара, перевезенного из I-го склада в J-й магазин. Начальное распределение плана задано по принципу «каждой сестре по серьге», равномерно распределив всю имеющуюся на складе продукцию по магазинам. Эти ячейки являются регулируемыми и Решатель должен найти более подходящее решение, изменив значения в этих ячейках.

    · В ячейку D15 — записал целевую функцию:

    { =СУММ((B8:F8*B13:F13)+(B9:F9*B14:F14))}

    · В ячейки D17:h27 записал ограничения, задающие требование о точном выполнении заявки каждого магазина. Как обычно, я записал соответствующую формулу в первую из этих ячеек:

    {=СУММ(B13:B14) — E5 }

    Затем скопировал ее. При копировании формула автоматически меняется, задавая нужное ограничение. Правда, нужно следить при этом за правильной ориентацией данных. Например, в данном случае формулу нужно копировать в строку, а не в столбец.

    mirznanii.com

    Транспортные задачи в Excel

    Государственное образовательное учреждение

    средняя общеобразовательная школа № 218

    Фрунзенского административного района Санкт-Петербурга

    Реферат

    Транспортные задачи в Excel

    Выполнили: ученики 10 А класса

    Фёдоров Артём

    Верещагин Михаил

    Научные руководители:

    учитель математики Сеферян К.О.,

    учитель информатики Махаева Е.П.

    Санкт-Петербург, 2011 год

    Содержание

    Введение……………………………………………………………3

    Глава 1.

    Классическая транспортная задача……………………………………4

    1.1. Решение классической сбалансированной транспортной задачи в Excel……………………………………………………………………5

    1.2. Решение классической несбалансированной транспортной задачи в Excel………………………..…………………………………..…….10

    Глава 2.

    Транспортная задача с промежуточными пунктами………………….13

    2.1. Решение транспортной задачи с промежуточными пунктами в Excel………………………………………………………………….14

    Заключение……………………………………………………….19

    Список литературы………………………………………………20

    Введение

    В настоящее время в условиях жесткой конкуренции автомобильным компаниям приходится бороться за каждый рубль прибыли, поэтому вопрос об уменьшении издержек производства становится первостепенным. И, конечно же, рациональное размещение производственных объектов играет здесь ключевую роль [2].

    Так, например, перед ООО «MG Auto» стоит реальная задача: стоит ли изменить действующую на сегодняшний день схему транспортировки автомобилей с заводов до распределительных центрах в Денвере и Майами или же действующая схема наиболее эффективна? Таким образом, в этой работе делается попытка показать пути снижения общих затрат предприятия путем снижения транспортных издержек.

    На практике при планировании различных экономических процессов, в частности при решении вопросов рационализации поставок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта широко применяется транспортная задача линейного программирования. Поэтому в данном проекте будет рассмотрена сама транспортная задача, ее постановка и способы решения, а также особенности постановки задачи развития и размещения объектов автомобильной промышленности. Конечной целью является экономическая оценка эффективности транспортировки автомобилей до конечного пункта.

    Глава 1

    Классическая транспортная задача

    Транспортная задача является частным видом линейной оптимизационной задачи. Наиболее часто транспортная задача представляется следующим образом: имеются n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с i-гo пункта производства в j-й центр распределения cji приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом — пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в i-той строке указан объем производства в i-м пункте производства, а в j-м столбце указан спрос в j-м центре распределения[6]. Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

    Для математического описания транспортной задачи введем переменные xij , обозначающие объемы поставок товара от i -го источника к j -му стоку. В этом случае x i1 + x i2 +…+ xin — общий объем поставок товара от i -го источника, т.е. мощность этого источника; x 1 j + x 2 j +…+ xmj — общий объем поставок товара к j-му стоку, т.е. мощность этого стока; c 11 x 11 + c 12 x 12 +…+ cmn xmn — суммарная стоимость перевозок товара от источников к стокам[7]. С учетом этого рассматриваемая задача может быть представлена в следующем виде:

    Задача состоит в определении неизвестных величин xij , минимизирующих суммарные транспортные расходы и удовлетворяющих ограничениям, накладываемым на объемы грузов в пунктах отправления (предложение) и пунктах назначения (спрос).

    1.1. Решение классической сбалансированной транспортной задачи в Excel

    Рассмотрим решение классической транспортной задачи.

    Автомобильная компания MG Auto имеет три завода в Лос-Анджелесе, Детройте и Новом Орлеане и два распределительных центра в Денвере и Майами. Объемы производства заводов компании в следующем квартале составят соответственно 1000, 1500 и 1200 автомобилей. Ежеквартальная потребность распределительных центров составляет 2300 и 1400 автомобилей. Расстояние (в милях) между заводами и распределительными центрами приведены в Таблице 1.

    Таблица 1

    Транспортная компания оценивает свои услуги в 8 центов за перевозку одного автомобиля на одну милю. В результате получаем, представленную в Таблице 2, стоимость перевозок (с округлением до доллара) по каждому маршруту.

    Таблица 2

    Решение :

    В данной задаче общий объем произведенных автомобилей (S =1000+1500+1200=3700) равен суммарному спросу распределительных центров (D =2300+1400=3700).

    Задачу можно решить с помощью транспортной таблицы. Исходные данные для решения классической транспортной задачи целесообразно представить в виде двух таблиц, в первой из которых представлены значения стоимости перевозок единицы товара cij от i -го поставщика к j -му потребителю (см. Рисунок 1).

    Рисунок 1

    Во второй таблице представлены: значения Si предложения каждого i -го поставщика; значения Dj спроса каждого j -го потребителя; переменные xij , первоначально принимающие нулевые значения; вспомогательная строка и вспомогательный столбец «Сумма» (см. Рисунок 2).

    Рисунок 2

    Целевая ячейка C 17 должна содержать формулу, выражающую целевую функцию: = СУММПРОИЗВ( C 3: D 5; C 12: D 14) . (Рисунок 3)

    Рисунок 3

    Используя меню Сервис Þ Поиск решения открываем диалоговое окно Поиск решения (см. Рисунок 4), в котором устанавливаем целевую ячейку равной минимальному значению, определяем диапазон изменяемых ячеек и ограничения и запускаем процедуру вычисления, щелкнув по кнопке Выполнить [3].

    Рисунок 4

    Рисунок 5

    Оптимальное решение задачи (Рисунок 5). Оно предполагает перевозку 1000 автомобилей из Лос-Анджелеса в Детройт, 1300 автомобилей – из Детройта в Денвер, 200 автомобилей – из Детройта в Майами и 1200 – из Нового Орлеана в Майами. Минимальная стоимость перевозок составляет 313200 долларов.

    1.2. Решение классической несбалансированной транспортной задачи в Excel

    Несбалансированная классическая транспортная задача – это когда суммарный объем предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объему спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами назначения. В этом случае, при решении классической транспортной задачи вводят фиктивные пункты назначения или отправления [4]. В Excel несбалансированная транспортная задача решается путем изменения ограничений по спросу (если спрос превышает предложение) или по предложению (если предложение превышает спрос), т.е. система ограничений будет иметь вид:

    или

    Рассмотрим решение несбалансированной транспортной задачи в Excel

    В рамках модели компании MG Auto предположим, что завод в Детройте уменьшил выпуск продукции до 1300 автомобилей (вместо 1500, как было ранее). В этом случае общее количество произведенных автомобилей (=3500) меньше общего количества заказанных (=3700) автомобилей. Таким образом, очевидно, что часть заказов распределительных центров Денвера и Майами не будет выполнена.

    mirznanii.com

    Что делится на 3 – Признак делимости на 3: примеры, доказательство

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Какие числа не делятся на 2 и 3 без остатка

    Признак делимости на 2 Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно. Другими словами, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или 0 — число делится на 2, если нет, то не делится Например, числа: 234, 8270, 1276, 9038, 502 делятся на 2, потому что они чётные. А числа: 235, 137, 2303 на 2 не делятся, потому что они нечетные. Признак делимости на 3 У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3. А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит. Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 — делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 — тоже делится без остака на 3). А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).

    А может гуглить научишься???

    6n+1, 6n+5, где n — натуральное Например: 7, 13, 19, 11, 17, 23

    touch.otvet.mail.ru

    докажите, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 3

    ПУсть чила n, n+1, n+ 2. n^3+( n+1) ^3 +(n+2)^3= =n^3+n^3+3n+3n^2+1+n^3+6n^2=12n+8= 3n^3+9n^2+15n+9= =3(n^3+3n^2+3n+3)

    a^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3, раскрывай скобки и вперёд

    имеем выражение x^3+(x+1)^3+(x+2)^3 даже без раскладки видно, что члены третьей степени сложатся в 3x^3, второй и первой степени – будут кратными 3 в силу формулы куба суммы, а свободные члены дадут в сумме 1+8=9 =&gt; все выражение делится на 3

    n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 = n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8=3n^3+9n^2+15n+9=3(n^3+3n^2+5n+3)/ При делении на № останется толь выражение в скобке. Что и требовалось доказать. Можно еще использовать метод математической индукции, но это ты уже сам.

    Ну посмотри* Если взять числа 1,2,3 то если возвести в степень 3 получится 1+8+27=36 Ответ 36, чтобы узнать делится ли это число на 3 надо сложить все цифры числа 36, у нас получится 3+6=9 получилось 9, а 9 можно разделить на 3 ДОКАЗАНО

    touch.otvet.mail.ru

    Число a+1 делится на 3.Докажите что число 5a-4 тоже делит… -reshimne.ru

    На 3 делятся числа сумма цифр которых делится на 3.
    Сумма цифр а=3-1
    Сумма цифр 5а-4=5(3-1)-4=15-5-4=6
    6 делится на 3, значит 5а-4 так же делится

    9 комментария: спасибо не за что, возможны орфографические ошибки, плохо пишу на русском)))) =5(3-1)- что за знак между 5(3 * умножить по умолчанию если нет знака, то умножить пишут 5а, а не 5*а а как получить 15 если ты умножаешь на 2 5(3-1)=5*3-5*1=15-5=10 можно и 5*2=10

    reshimne.ru

    Формулы в статистике – формулы по статистике

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Формулы по статистике

    ~ 7 ~

    Формулы по статистике

    Тема 1: Группировка статистических данных

    Определение числа групп (если группи-ка по непрер. приз-ку или дискрет. со многими знач-ями)

    Определение величины равного интервала:

    Тема 2: Абсолютные и относительные величины

    Относительные величины:

    1) относит. вел-на структуры:

    2) относит. вел-на планового задания:

    3) относит. вел-на выполнения плана:

    4) относит. вел-на динамики или темп роста:

    5) относит. вел-на сравнения

    6) относит. вел-на интенсивности (пример: фондоотдача = объем/стоимость (один год))

    Тема 3: Средние величины и показатели вариации

    Средняя арифметическая

    простая:

    взвешенная:

    Средняя гармоническая

    простая:

    взвешенная: , сумма значений признака по группе

    Свойства средн. арифметической:

    1. если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть на одно и то же число, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется на это же число;

    2. если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется в одно и то же число раз;

    3. если каждую частоту f умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на не изменится.

    Ср. вел-на зависит от вар-ты х и структуры совок-сти, кот. харак-ется долями d.

    Ряд распределения имеет 3 центра:

    1) ср. аримет-кое;

    2) мода – наиболее часто встречающаяся вар-та [M0];

    3) медиана – вар-та, стоящая в середине ряда распре-ния. Сначала находят N медианы, кот. равен n/2, если число еди-ц совок-сти n – чётное, или , если число еди-ц совок-сти нечетное [Me].

    Осн. пока-ли вариации:

    1) размах вариации:

    2) ср. линейное отклонение (ср. арифм-кая из абсолют. откл-ний отдел. значений)

    Для несгруппир. данных:

    Для сгруппир. данных:

    3) ср. квадратическое отклонение (хар-ет ср. абсол. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны)

    Для несгруппир. данных:

    Для сгруппир. данных:

    4) Дисперсия – квадрат среднеквадр-ного откл-ния

    Для несгруппир. данных:

    Для сгруппир. данных:

    Общая дисперсия: (для сгрупп.) (для несгрупп.)

    – ср. вел-на резул. приз-ка в сово-сти, — частота (в совокупности!)

    Внутригрупповая дисперсия: — кол-во вариант в группе i

    Междугрупповая дисперсия: — кол-во вариант в группе i

    Правило сложения дисперсий:

    Не имеет еди-ц измерения.

    5) Коэффициент вариации хар-ет ср. относит. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны.

    Способ моментов

    Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом.

    В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.

    Способ моментов предполагает следующие действия:

    1) Выбирается начало отсчета (из х) – условный нуль (A). Обычно как можно ближе к середине распре-ния.

    2) Находятся отклонения вариантов от условного нуля ().

    4) Если эти отклонения содержат общий множитель (k), то рассчитанные

    отклонения делятся на этот множитель.

    Способ моментов:

    Средняя:

    Дисперсия:

    Тема 4: Выборочное наблюдение

    Обозначения в теории выборки:

    N – числи-ль генер. выборки

    n – числи-ль генер. выборки

    генер. средняя (оценивают)

    – выбор. средняя (рассчитывают)

    p – генер. доля (оценивают)

    w – выбор. доля (рассчитывают)

    P(t) – задаваемый уровень веро-сти

    Генер. средняя: с задан. уровнем вероя-сти P(t)

    – ошибка выборки для ср. вел-ны

    , t – критерий надеж-сти, его вел-на зав-т от уровня задан. вероя-сти P(t)

    Если 1) P(t) = 0,683, то t=1; 2) P(t) = 0,954, то t=2 ; 3) P(t) = 0,997, то t=3

    – среднеквадр. ошибка выборки

    – верна для повторного отбора в выборке.

    — для бесповторного отбора

    Доказано: с задан. уровнем вероя-сти P(t)

    – ошибка выборки для доли

    , – среднеквадр. ошибка выборки для доли

    –для повторного отбора

    — для бесповторного отбора

    Тема 5: Ряды динамики

    Аналит. пока-ли:

    1) Абсолют. прирост (разница уровней)

    (цепной) ; (базисный)

    2) Темп роста (отношение уровней)

    (цепной) ; (базисный)

    3) Темп прироста

    (цепной) ; (базисный)

    4) Абсолютное значение 1% прироста

    (цепной) ; (базисный)

    Средние показатели:

    1) ср. уровни динам. ряда;

    2) ср. аналитич. показ-ли динам. ряда.

    Расчет ср. уровня зав-т от вида РД:

    а) для интерв. РД с равн. периодами вре-ни – ср. арифмет. простая

    б) для интерв. РД с неравн. периодами вре-ни – ср. арифмет. взвешенная

    в) для моментных РД с равноотстоящими датами – ср. хронологическая

    г) для моментных РД с неравноотстоящими датами – ср. арифмет. взвешенная

    Расчет ср. аналит. показ-лей:

    а) ср. абсолют. прирост

    б) ср. темп роста

    в) ср. темп прироста

    Смыкание РД

    Для проведения смыкания РД в смыкаемых рядах находится временной момент (дата, период), когда им-ся сведения об изучаемом признаке как в прежних, так и в новых условиях. Рассчитывается коэфф-т, дальнейш. расчеты – по сомкнутом. ряду.

    В ходе обработки РД важн. задачей яв-ся выявление основ. тенденции раз-тия явления (тренда) и сглаживание случ. колебаний. Для решения этой задачи сущ-ют особые способы, кот. наз-ют методами выравнивания.

    3 основн. способа обработки динамического ряда:

    а) укрупнение интервалов РД и расчет средних для кажд. укрупненного интервала;

    (переход от менее продолжит.инт-лов к более продолжит. Средняя, рассчитанная по укрупненным инт-лам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление) основ. тенденции развития. Средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

    б) метод скользящей средней;

    (вычисл-ся ср. уровень из опред. числа, обычно нечетного, первых по счету уровней ряда. Затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т. д. Т/о, средняя как бы «скользит» по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

    в) аналитическое выравнивание.

    Сезонные колебания и волны

    Индексами сезонности яв-ся процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

    Для выявления сезон. колебаний обычно испо-ют данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года (), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда (), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

    где — средний уровень для каждого месяца;

    — среднемесячный уровень для всего ряда.

    Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графиков.

    Тема 6: Индексы

    Индивидуальные индексы:

    объема

    цен

    себестоимости

    стоимости

    денежных затрат

    затрат труда

    iq

    ip

    iz

    ipq

    iqz

    iqt

    Общие индексы:

    Общий индекс физического объема

    (как в среднем изм-лось кол-во товаров на рынке)

    Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния кол-ва товаров

    Общий индекс цен

    (агрегатный) (как в среднем изм-лись цены на рынке)

    Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния цен

    Общий индекс товарооборота (стоимости)

    общ. относит. изме-ния стои-сти товаров на рынке

    Общ. абсолют. изм-ние стои-сти товаров на рынке

    Взаимосвязь индексов

    Ipq = Ip Iq

    Общий индекс себестоимости

    Общий индекс физич. объема (по себестоимости)

    Взаимосвязь между индексами

    Общий индекс затрат на производство

    Абсолют. сумма экономии, получен. от снижения себестои-сти

    Индексы ср. вел-н

    К индексам средних величин относятся: индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

    Индекс постоянного (фиксированного) состава:

    Индекс ФС — это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины

    Пример:

    Индекс переменного состава:

    Индекс ПС – индекс, выражающий соотношение ср. уровней изучаемого яв-ния, относящихся к разным периодам времени.

    Пример:

    Индекс структурных сдвигов:

    Индекс СТР – индекс, харак-щий влияние изменения только структуры изучаемого яв-ния на динамику ср. уровня этого яв-ния.

    Пример:

    Взаимосвязь индексов:

    Тема 7: Статистическое изучение связей между признаками

    Уравнение регрессии выражает ср. вел-ну рез. признака как ф-цию факт. признака.

    Уравнение регрессии в общем виде:

    Уравнение регрессии – линия, вокруг кот. группируются точки корр. поля.

    Прежде чем определить уравнение регрессии нужно определить его форму (линейная, парабола, гипербола, логарифм). Чаще всего используется линейная форма связи (для парной корреляции (1 рез. и 1 факт)):

    – теор. зна-ние рез. приз-ка; – факт. признак; – параметры ур. регрессии.

    Чаще эти параметры ищут испо-зуя метод наименьших квадратов:

    Для линейн. формы:

    Далее получаем следующую систему

    Проверка правильности расчета. Для этого в ур. подставляют вместо , вместо (средняя).

    Если получается тождество, то уравнение рассчи-но верно.

    Основные показатели тесноты связи между признаками:

    1) линейный коэффициент корреляции – среднее из произведений

    среднеквадратичное отклонение факт. признаков

    Чем ближе к 1 или -1, тем теснее связь между признаками.

    2) эмпирическое коррел. отношение (см.тему ср. величины)

    (коэф. детерминации) , – межгруппов. дисперсия, — общая дисперсия

    Чем ближе к 1 или -1, тем теснее связь между признаками.

    3) коэффициент рангов Спирмена

    Каждой единице совокупности в порядке возраст. значений присваивают номер, кот. наз-ют рангом.

    f – разность. рез. и факт. признаков (вариант и частот)

    studfiles.net

    5.Основные формулы социально-экономической статистики статистика населения

    Средняя численность населения (для моментного ряда с равноотстоящими уровнями):

    Если есть данные за два момента времени, то

    Для моментного ряда с неравными интервалами:

    где S — полусумма двух соседних уровней; t — расстояние между уровнями.

    Коэффициент рождаемости

    Коэффициент смертности

    Коэффициент естественного прироста

    Коэффициент жизнеспособности (коэффициент Покровского):

    .

    Специальный коэффициент рождаемости (коэффи­циент плодовитости, фертильности):

    Взаимосвязь между общим и специальным коэффи­циентами рождаемости:

    или

    Кр= Ф * Ж.

    Коэффициент детской смертности (до 1 года):

    Коэффициент детской смертности:

    где — число детей, умерших в возрасте до 1 года из родившихся в данном году;

    — число детей, умерших в возрасте до 1 года из родившихся в прошлом году;

    — число родившихся в данном году;

    — число родившихся в прошлом году.

    Коэффициент брачности:

    .

    Коэффициент разводимости:

    Средняя продолжительность предстоящей жизни:

    Число умирающих в возрасте X лет:

    .

    Вероятность умереть в течение года:

    .

    Вероятность дожить от X лет до (Х+1) года:

    .

    Число живущих в возрасте X лет:

    /

    Число чел.-лет жизни в возрасте от X лет и старше:

    Абсолютный механический прирост:

    Коэффициент прибытия:

    Коэффициент выбытия:

    Коэффициент механического прироста:

    Общий прирост численности населения:

    Коэффициент общего прироста численности населения:

    Коэффициент роста:

    Темп роста:

    Темп прироста:

    Среднегодовой коэффициент роста:

    Среднегодовой коэффициент прироста:

    Среднегодовой темп роста:

    Среднегодовой темп прироста:

    РАСЧЕТ ПЕРСПЕКТИВНОЙ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ

    если К в промилле, то

    .

    Если известна среднегодовая численность населе­ния (или на середину года) и предполагаемый коэффи­циент общего прироста, то

    .

    Формула Смирнова:

    ;

    где — численность населения черезt1лет с начала отсчета;

    —численность населения в начале отсчета;

    —численность населения в конце отсчета;

    —интервал времени в годах между двумя учетами.

    Статистика основных фондов

    Годовая сумма амортизации:

    Годовая норма амортизации:

    Сумма износа

    Полная стоимость — Остаточная стоимость.

    Стоимость основных фондов (ОФ) на конец года

    ОФ на начало года + Ввод в действие новых ОФ + Капитальный ремонт — Выбытие ОФ — — Амортизация.

    Коэффициент обновления:

    Коэффициент выбытия:

    Коэффициент годности:

    Коэффициент износа:

    .

    Фондоотдача:

    Среднегодовая стоимость ОФ:

    Фондоемкость:

    Фондоемкость:

    Фондовооруженность:

    Статистика оборотных фондов

    Сумма Q авансированных средств (средний остаток оборотных средств):

    Коэффициент оборачиваемости:

    Коэффициент закрепления оборотных средств:

    Средняя продолжительность одного оборота :

    или

    Средние показатели скорости обращения оборотных фондов для нескольких предприятий:

    ;

    studfiles.net

    Формулы по статистике

    1. Количество единиц с одинаковым значением признака обозначается f и называется частота. Очевидно, что суммируя число всех величин с одинаковыми значениями признака, получаем N, то есть

    2. Индекс динамики

    ,

    3. темп изменения динамики

    .

    4. Индекс планового задания

    ,

    5. индекс выполнения плана,

    .

    6. Индекс структуры (доля)

    7.Индекс координации

    .

    8. Индекс сравнения

    ,

    9. Индекс интенсивности

    .

    10. Средней арифметической величиной

    .

    11. взвешенной арифметической средней

    12.квадратической средней величиной. Ее формула следующая:

    .

    13. средней кубической величине, имеющей вид:

    .

    14. геометрическую среднюю величину, имеющую следующий вид:

    .

    15. формула средней гармонической взвешенной

    16. формула средней гармонической простой Error: Reference source not found:

    .

    17.степенных средних

    =.

    18. правилом мажорантности средних:

    ≤≤≤≤.

    19. внешнеторгового оборота

    20. Сальдо внешней торговли

    21. коэффициентом покрытия импорта экспортом, определяемый по формуле Error: Reference source not found:

    .

    22. Оборот мировой торговли (ОМТ)

    23. сальдо мировой торговли (СМТ),

    24. доля отдельных стран или групп стран в мировой торговле определяется по формуле Error: Reference source not found:

    , или ,

    25. доля отдельных стран в экспорте отдельных товаров

    26. доля экспорта отдельной страны в валовом национальном продукте (ВНП)

    27. коэффициент зависимости национальной экономики от импорта

    28. доля экспорта в производстве отдельных видов продукции определяется по формуле Error: Reference source not found: ,

    где Qij – объем производства i-го товара j-й страны.

    29. доля импорта в потреблении отдельных видов продукции показывает зависимость экономики страны от импорта отдельных товаров, определяется по формуле : ,

    где Иij – объем импорта i-го товара j-й страны; Pij – объем потребления i-го товара j-й страны.

    30. коэффициент относительной экспортной специализации:

    ,

    31. коэффициент диверсификации определяется по формуле Error: Reference source not found:

    ,

    32. предельную ошибку выборки

    = t,

    t – коэффициент доверия

    – средняя ошибка выборки

    33. повторной выборки по формуле (средняя ошибка выборки)

    =

    34. бесповторной – по формуле

    =

    35. доверительный интервал для среднего значения

    36. доверительный интервал для доли какого-либо признака

    37. формуле Стерждесса

    38. длину интервала

    где Xмax и Xmin — максимальное и минимальное значения в совокупности.

    39. нахождения медианы применяется формула:

    ,

    40. точечной модой

    где Мо – мода;

    Х0 – нижнее значение модального интервала;

    fMo – частота в модальном интервале;

    fMo-1 – частота в предыдущем интервале;

    fMo+1 – частота в следующем интервале за модальным;

    h – величина интервала.

    41. размах вариации

    42. среднее линейное отклонение Error: Reference source not found:

    .

    43. среднее квадратическое отклонение для ранжированного ряда

    44. среднее квадратическое отклонение для интервального ряда

    45. простая дисперсия(для не сгруппированных данных)

    46. сгруппированных (взвешенная дисперсия):

    47. среднее квартильное расстояние (отклонение),

    48. относительный размах вариации

    : ;

    49. линейный коэффициент вариации:

    50. квадратический коэффициент вариации:

    51. относительное квартильное расстояние:

    52. коэффициент асимметрии

    53. К.Пирсон

    54. эксцесс

    56. находят нормированное (выраженное в σ) отклонение каждого эмпирического значения от средней арифметической:

    ;

    57. вычисляют теоретические частоты m по формуле:

    ,

    58. Число степеней свободы ν определяется по формуле:

    ν = k – z – 1

    59. Критерий Романовского

    60. Критерий Колмогорова

    61. Дисперсия доли по формуле

    62.формула Пуассона

    63. Абсолютное изменение для базисного способа сравнения

    64. Абсолютное изменение для цепного

    65. сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, т.е.

    .

    66. Относительное изменение для базисного способа сравнения

    67. Относительное изменение для цепного

    68. произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть

    .

    69. Темп изменения(темп прироста)

    70. Базисное среднее абсолютное изменение

    Б =

    71. цепное среднее абсолютное изменение

    Ц =

    72. аналитическое выравнивание сумма двух

    составляющих

    73. Прямая линия

    74. Гипербола

    75. Показательная

    76. Степенная

    77. сопоставление суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретической (остатки)

    78. метод наименьших квадратов (МНК)

    79. критерий Фишера

    80. ошибка аппроксимации

    81. Коэффициент корреляции знаков (Фехнера)

    84. коэффициентом ковариации

    85.Линейный коэффициент корреляции

    86. критерия Стьюдента

    87. Коэффициент эластичности

    88. коэффициента автокорреляции:

    89. формула Пааше

    90. индекс стоимости экспорта (импорта):

    ;

    91. формула Ласпейреса:

    ,

    92. Особенностью расчета индексов средних цен

    93. индекс условий торговли

    94. Среднее время декларирования товаров

    95. сумма модулей абсолютных изменений долей

    96. ( индекс Лузмора-Хэнби)

    97. ( коэффициент Герфиндаля)

    98. Обратная индексу Герфиндаля величина – это эффективное число групп

    E = 1/H.

    99. индекс Грофмана

    100. индекс Липхарта

    101. Квадратический индекс структурных сдвигов Казинца

    102. индекс Галлахера

    103. индекс Монро

    104. Интегральный коэффициент структурных сдвигов Гатева

    105. Индекс Рябцева

    106. Индекс структурных различий Салаи

    107. Линейный коэффициент изменения (различия) рангов долей Для четного

    для нечетного

    studfiles.net

    просто о сложных формулах / Stepik.org corporate blog / Habr

    Статистика вокруг нас


    Статистика и анализ данных пронизывают практически любую современную область знаний. Все сложнее становится провести границу между современной биологией, математикой и информатикой. Экономические исследования и регрессионный анализ уже практически неотделимы друг от друга. Один из известных методов проверки распределения на нормальность — критерий Колмогорова-Смирнова. А вы знали, что именно Колмогоров внес огромный вклад в развитие математической лингвистики?

    Еще будучи студентом психологического факультета СПбГУ, я заинтересовался когнитивной психологией. Кстати, Иммануил Кант не считал психологию наукой, так как не видел возможности применять в ней математические методы. Мои текущие исследования посвящены моделированию психических процессов, и я надеюсь, что такие направления в современной когнитивной психологии, как вычислительные и коннективисткие модели, смягчили бы его отношение!

    Конечно, статистика применяется далеко за пределами научных лабораторий: в рекламе, маркетинге, бизнесе, медицине, образовании и т.д. Но, что самое интересное, базовые знания анализа данных крайне полезны и в повседневной жизни. Например, думаю, все вы знакомы с понятием среднего арифметического. Среднее значение очень часто используется в СМИ при обсуждении различных социально-экономических показателей — доходов, уровня безработицы и т.д. В 2005 году британские СМИ писали о том, что средний уровень дохода населения не только не возрос, но снизился на 0,2 % по сравнению с предыдущим годом. Мелькали заголовки «Доходы населения снизились впервые с 1990 года». Некоторые политики даже использовали этот факт, критикуя действующее правительство. Однако, важно понимать, что среднее арифметическое — хороший показатель, когда наш признак имеет симметричное распределение (богатых столько же, сколько бедных). Реальное же распределение доходов имеет скорее следующий вид:

    Распределение имеет явно выраженную асимметрию: очень состоятельных людей заметно меньше, чем представителей среднего класса. Это приводит к тому, что в данном случае банкротство одного из миллионеров может значительно повлиять на этот показатель. Гораздо информативнее использовать значение медианы для описания таких данных. Медиана — это значение зарплаты, которое находится в самой середине распределения доходов (50% всех наблюдений меньше медианы, 50% — больше). И, как ни удивительно, медиана дохода в 2005 году в Великобритании, в отличие от среднего значения, продолжила свой рост. Таким образом, если вы знаете о различных типах распределения и различных мерах центральной тенденции (среднее и медиана), то вас не так просто ввести в заблуждение в таких случаях, как описаны в примере.

    Черный ящик статистического анализа


    Как мы уже выяснили, чем бы вы ни планировали заниматься, вероятность столкнуться с курсом «математическая статистика в вашей области» постепенно приближается к единице. Однако, часто занятия по введению в статистику не вызывают восторга у студентов нетехнических факультетов. Через несколько занятий выясняется, что такие базовые понятия, как, например, корреляция представляют собой нечто следующее:

    И, отчаявшись досконально разобраться с происхождением этих сумм и квадратных корней, студент может начать воспринимать статистику следующим образом: «если r > 0, то положительная связь, а если меньше 0, то отрицательная»; «если p уровень значимости меньше 0.05 — то хорошо, если от 0.05 до 0.1 — то не очень хорошо, а если больше 0.1 — то плохо». Помогая студентам готовиться к экзамену, не раз сталкивался с такими заклинаниями! Также, разумеется, никто не рассчитывает все эти показатели вручную, и используя, например, SPSS, можно за секунду загуглить пошаговую инструкцию «как сравнить два средних».

    1. Жмем сюда
    2. Снимаем/ставим галочки тут
    3. p < 0.05 —> profit

    Статистический анализ начинает напоминать черный ящик: на вход подаются данные, на выход — таблица основных результатов и значение p-уровня значимости (p-value), который и расставит все точки над i.

    О чем нам, собственно, говорит p-value?


    Предположим, мы решили выяснить, существует ли взаимосвязь между пристрастием к кровавым компьютерным играм и агрессивностью в реальной жизни. Для этого были случайным образом сформированы две группы школьников по 100 человек в каждой (1 группа — фанаты стрелялок, вторая группа — не играющие в компьютерные игры). В качестве показателя агрессивности выступает, например, число драк со сверстниками. В нашем воображаемом исследовании оказалось, что группа школьников-игроманов действительно заметно чаще конфликтует с товарищами. Но как нам выяснить, насколько статистически достоверны полученные различия? Может быть, мы получили наблюдаемую разницу совершенно случайно? Для ответа на эти вопросы и используется значение p-уровня значимости (p-value) — это вероятность получить такие или более выраженные различия при условии, что в генеральной совокупности никаких различий на самом деле нет. Иными словами, это вероятность получить такие или еще более сильные различия между нашими группами, при условии, что, на самом деле, компьютерные игры никак не влияют на агрессивность. Звучит не так уж и сложно. Однако, именно этот статистический показатель очень часто интерпретируется неправильно.

    А теперь несколько примеров про p-value


    Итак, мы сравнили две группы школьников между собой по уровню агрессивности при помощи стандартного t-теста (или непараметрического критерия Хи — квадрат более уместного в данной ситуации) и получили, что заветный p-уровень значимости меньше 0.05 (например 0.04). Но о чем в действительности говорит нам полученное значение p-уровня значимости? Итак, если p-value — это вероятность получить такие или более выраженные различия при условии, что в генеральной совокупности никаких различий на самом деле нет, то какое, на ваш взгляд, верноеутверждение:

    1. Компьютерные игры — причина агрессивного поведения с вероятностью 96%.
    2. Вероятность того, что агрессивность и компьютерные игры не связаны, равна 0.04.
    3. Если бы мы получили p-уровень значимости больше, чем 0.05, это означало бы, что агрессивность и компьютерные игры никак не связаны между собой.
    4. Вероятность случайно получить такие различия равняется 0.04.
    5. Все утверждения неверны.

    Если вы выбрали пятый вариант, то абсолютно правы! Но, как показывают многочисленные исследования, даже люди со значительным опытом в анализе данных часто некорректно интерпретируют значение p-value (например, можно посмотреть эту интересную статью).

    Давайте разберем все ответы по порядку:


    1. Первое утверждение — пример ошибки корреляции: факт значимой взаимосвязи двух переменных ничего не говорит нам о причинах и следствиях. Может быть, это более агрессивные люди предпочитают проводить время за компьютерными играми, а вовсе не компьютерные игры делают людей агрессивнее.
    2. Это уже более интересное утверждение. Все дело в том, что мы изначально принимаем за данное, что никаких различий на самом деле нет. И, держа это в уме как факт, рассчитываем значение p-value. Поэтому правильная интерпретация: «Если предположить, что агрессивность и компьютерные игры никак не связаны, то вероятность получить такие или еще более выраженные различия составила 0.04».
    3. А что делать, если мы получили незначимые различия? Значит ли это, что никакой связи между исследуемыми переменными нет? Нет, это означает лишь то, что различия, может быть, и есть, но наши результаты не позволили их обнаружить.
    4. Это напрямую связано с самим определением p-value. 0.04 — это вероятность получить такие или еще более экстремальные различия. Оценить вероятность получить именно такие различия, как в нашем эксперименте, в принципе невозможно!

    Вот такие подводные камни могут скрываться в интерпретации такого показателя, как p-value. Поэтому очень важно понимать механизмы, заложенные в основании методов анализа и расчета основных статистических показателей.

    Онлайн-курс по основам статистики: сложные формулы несложным языком


    Сейчас я пишу диссертацию на факультете психологии СПбГУ и преподаю статистику биологам в Институте биоинформатики. Основываясь на курсе читаемых лекций и собственного исследовательского опыта, возникла идея создать онлайн-курс по введению в статистику на русском языке для всех желающих, необязательно биоинформатиков или биологов.

    Существует много хороших онлайн-курсов по анализу данных и статистике (например, такой, такой, или такой), но практически все они на английском языке. Надеюсь, что курс будет полезен для тех, кто только знакомится с основами статистики. В нем я стараюсь в максимально доступной форме разобрать основные идеи и методы анализа данных, уделяя особое внимание самой идее статистической проверки гипотез и интерпретации получаемых результатов. В качестве примеров будут задачи из различных областей: от биоинформатики до социологии. Курс бесплатный и все его материалы останутся открытыми после окончания, начинается 15 февраля.

    Полезные материалы


    Если вы знаете какие-либо полезные курсы или материалы по введению в статистику — делитесь в комментариях!

    habr.com

    Формулы по статистике — n1.doc


    Средние величины: 3

    Простая формула: 3

    Средняя гармоническая: 3

    Средняя арифметическая 3

    Средняя геометрическая 3

    Среднее квадратическое 3

    Средняя арифметическая взвешенная: 3

    Средняя гармоническая взвешенная: 3

    Показатели вариации 3

    Среднее линейное отклонение: 3

    Простая: 3

    взвешенная: 3

    Дисперсия 3

    Среднее квадратическое отклонение: 3

    Коэф. осцилляции 3

    Относительное линейное отклонение. 3

    Коэф. вариации. 4

    Дисперсия: 4

    Способ моментов: 4

    Межгрупповая дисперсия: 4

    Внутригрупповая дисперсия: 4

    Коэффициент детерминации: 4

    Эмпирическое кореляц. отн-е. 4

    Ряды динамики 4

    Моментные РД – вычисление средней. 4

    Абсолютный прирост 4

    Темп роста базовый. 4

    Темп роста цепной: 4

    Темп прироста цепной: 5

    Темп прироста базовый: 5

    Абсолютное значение 1% прироста. 5

    Ср. абсолютный прирост: 5

    Ср. темп роста. 5

    Ср. темп прироста. 5

    Ср. значение 1% прироста. 5

    Ур-е прямой: 5

    Ошибка аппроксимации: 5

    Индексы. 5

    P — цен 5

    Z – себест-ть ед. прод., т. е. затраты на пр-во ед. прод. 5

    W – уровень производит. труда (ср. выработка на 1 раб) 5

    t – трудоёмкость 5

    Индекс физич. объёма. 6

    Общий индекс товарооборота: 6

    Индекс товарооборота: 6

    Общий индекс физического объёма товарооборота: 6

    Общая формула для вычисления всех Интегральных показателей: 6

    Индекс Цен по Пааше. 6

    Индекс Цен По Ласпейресу: 6

    Индекс Цен По Фишеру: 6

    Индекс переменного состава: 6

    Индекс постоянного состава: 7

    Индекс структурных сдвигов: 7

    Выборочное наблюдение. 7

    Предельная ошибка выборки: 7

    Средний размер ошибки признака: 7

    Средняя ошибка доли признака: 7

    Средний размер ошибки признака: 7

    Средняя ошибки доли признака: 7

    Взаимосвязи м/у явлениями: 8

    Лин. коэф корелляции: 8

    Коэф. эластичности 8

    Ошибка апроксимации: 8

    Расчёт дисперсии: 8

    C видов экономической деят-ти. 8

    Коэф. роста выпуска товаров: 8

    Темп роста выпуска: 8

    Темп прироста выпуска товаров: 8

    Среднегодовой коэффициент роста выпуска товаров: 8

    Среднегодовой темп роста выпуска товаров: 8

    Среднегодовой темп прироста выпуска товаров: 8

    С рынка товаров и услуг. 9

    Коэф неравномерности поставки продукции 9

    Дисперсия: 9

    Абсолютный размер отклонения (выполнения контракта) 9

    Сумма переплаты населения: 9

    Территориальный индекс цен: 9

    Эмпирический коэф. эластичности: 9

    Эмпирический коэф. эластичности динамики: 9

    Средний коэф. эластичности: 9

    Теоретический коэф. эластичности. 9

    По уравнению параболы: 9

    С оборота торговли и товарных запасов: 9

    Валовый оборот торговли: 9

    Удельный вес продажи товара в объёме оборота торговли: 10

    Виды Относительных Величин 10

    xi – значение признака.

    ИСС = суммарное значение или объём осредняемого признака/число единиц.

    P = Оборот торговли/кол-во прод. товаров.

    Z = Себестоимость прод., всего – затраты по отгр. прод. / кол-во прод.

    W = V произвед. прод. (WT) / число раб. (Т).

    t – коэффициент кратности ошибки.

    Т – численность ген. сов-ти,

    — доля данного признака в выборке.

    начальный уровень ряда.

    Qn – конечный уровень ряда.

    — средняя величина поставки.

    — взвешенная.

    pb – цены на товары по сравнимому объекту В.

    q – количество проданных товаров.

    а1 – первая производная соотв. ф-ии.

    хi – значение I – фактора.

    — теоретическое значение результативного признака.

    Оборот торговли в сопост. ценах = оборот в факт. ценах/Индекс цен.

    — общий объём оборота торговли.

    Время обращения товаров в днях = Ср. сумма запасов за период/Однодневный оборот торговли.

    Скорость обращения товаров = Оборот торговли за период/ср. сумма запасов за период.

    С – скорость обращения в числе оборотов за период.

    — средняя сумма запасов за период.

    ОВ выполнения плана = факт отчётного периода/Плановое задание (на отчётный период).

    ОВ план. задания = план на тек. период/факт за баз. период.

    ОВ динамики = Факт отчётного/факт базисного периода

    ОВ план. задания*ОВ выполнения плана = ОВ динамики, всего.

    ОВ структуры = 1 часть/вся сов-ть.

    Фондоотдача основных средств (Н) = товарооборот/среднегодовая стоимость основных средств.

    nashaucheba.ru

    Формулы по статистике — matematiku5.ru

    ОВПЗ=план текущего/факт прошлого*100%

    ОВВП=факт текущего/план текущего*100%

    ОВД=факт текущего/факт прошлого*100%=ОВПЗ*ОВВП

    ОВС(уд. вес)=i/åi

    среднее арифм пр: Х=(х1+х2+…+хn)/n=åx/n

    среднее арифм взв: x=åxf/åf

    средняя гармонич пр: x=n/å

    средняя гармонич взв: x=åW/å, W=xf

    средняя хронолог пр: x=(½x1+x2+…+xn-1+½xn)/(n-1)

    средняя хронолог взв: x=åxt/åt, t-период времени

    средняя геометрич: x=nÖx1*x2*…*xn

    средняя квадрат пр: x=Öåx2/n

    средняя квадрат взв: x=Öåx2f/åf

    с равными интервалами: Mo=Xн+i*

    Me=Xн+i*

    Абсолютные показатели вариации:

    размах: R=Xmax—Xmin

    ср. линейное отклонение: d=å|x—x|/n d=å|x—x|f/åf

    дисперсия: d2=å(x—x)2/n d2=å(x—x)2f/åf

    ср. квадр. отклонение: d=Öå(x—x)2/n d=Öå(x—x)2f/åf

    x альтер. признака = p

    d2альт. пр=qp

    dальт. пр=Öqp

    Относительные показатели вариации:

    коэф. остилляции: Vo=R/x*100

    относ. линейное откл.: Vd=d/x*100

    коэф. вариации: V=d/x*100

    Момент: Mk=

    ассиметрия: AS=x-Mo AS=x-Me

    относит. ассиметрия: AS=(x-Mo)/d AS=(x-Me)/d

    средняя ошибка: повт. признак: µ=Ö

    повт. доля: µ=Ö бесповт. признак: µ=Ö

    бесповт. доля: µ=Ö

    предельная ошибка: ∆=t*µ (t=1, p=0,683; t=2, p=0,954;

    t=3 p=0,997)

    доверительный интервал: x-∆≤x≤x+∆ p-∆≤p≤p+∆

    относит. ошибка выборки: ∆%=∆/х*100

    численность выборки: повт. признак: n=d2t2/∆2

    повт. доля: n=p(1-p)t2/∆2

    бесповт. признак: n=d2t2N/(∆2N+d2t2)

    бесповт. доля: n=p(1-p)t2N/(∆2N+p(1-p)t2)

    Абсолют. прирост: А=yn—yn-1 (пер) A=yn—yбаз (пост)

    Коэф. роста: Kp=yn/yбаз (пост базой) Kp=yn/yn-1 (перем)

    Темп роста: Tp= yn/yбаз*100% Tp= yn/yn-1*100%

    Темп прироста: Тпр=Тр-100

    Интервальный ряд: y=åy/n

    Моментный с равными: y=(½y1+y2+…+yn-1+½yn)/(n-1)

    Моментный с неравными: y=åyf/åf

    Ср. абсолют. прирост: A=åA/(n-1) A=(yn—y1)/(n-1)

    Ср. коэфф. роста: Kp=n-1ÖKp1*Kp2*…*Kpn

    Ср. темп роста: Kp*100

    Ср. темп прироста: Tp-100

    Индивид. индекс физ. объема: iq=q1/q0

    Индивид. индекс цены: ip=p1/p0

    Индивид. индекс стоимости: ipq=p1q1/p0q0

    Общ. индекс себестоимости: Iz=åz1q1/åz0q1

    Общ. индекс физ. объема: Iq=åq1p0/åq0p0

    Индекс цен Пааше: Ip=åp1q1/åp0q1

    Индекс цен Ласпейерса: Ip=åp1q1/åp0q0

    Общ. индекс стоимости: Ipq=åp1q1/åp0q0=Ip*Iq

    Iр перем.сост. =(∑р1g1/ ∑g1): (∑p0g0/ ∑g0)=p1/p0

    Iр пост.сост. =(∑р1g1/ ∑g1): (∑p0g1/ ∑g1)

    Iр структ.сдвигов=(∑р0 g1/ ∑g1): (∑p0g0/ ∑g0)=Iр перем/Iр пост.

    Коэфф. Фехнера: Кф=(na-nв)/(na+nв) na-(+) nв-(–)

    Кф=1, прямая связь

    Кф=0, связь отсутствует

    Кф=-1, связь обратная

    Кофф. корреляции Спирмена: ρ=1-

    ВВП произв методом = валовый выпуск товаров и услуг+чистые налоги на продукты и импорт-промежуточное потребление

    Чистые налоги на продукты и импорт=налоги на продукты и импорт-величина субсидий на продукты и импорт

    Чистый внутренний продукт=ВВП-потребление основного капитала

    Вид использования

    Выпуск

    Промежуточное потребление

    4308,7

    ВВТУ

    6933,5

    ВВП

    3026

    ЧНПиТ

    401,2

    Итого:

    7334,7

    Итого:

    7334.7

    ВВП тремя способами:

    ВВП произв. методом=валовый выпуск+ЧНПиИ-промежут. потребление

    ВВП распред. методом=оплата труда работников+ЧНПиИ+другие чистые налоги на пр-во и импорт+валовая прибыль

    ВВП методом конечного использов.=расходы на конечное потребление+валовые накопления осн. капитала+изменения запасамат. оборотных средств+чистый экспотр

    Индекс развития челов. потенциала: ИРЧП=

    Ix=(Iфакт-Imin)/(Xmax—Xmin)

    Ix1: Xmin=25 лет, Xmin=85 лет

    Ix2: Xmin=0, Xmin=100%

    Ix3: Xmin=100$, Xmin=5500$

    ИПЦ=åip*p0*qn/åp0*qn

    matematiku5.ru

    Формулы по статистике с описанием [XLS]

    Формулы по статистике с описанием [XLS] — Все для студента
    • Добавлен пользователем firsovsp, дата добавления неизвестна
    • Отредактирован

    Формулы разбиты по темам на отдельных листах Excel.
    Средние.
    Средняя арифметическая.
    Среднегодовой уровень убыточности.
    Средний уровень ряда по формуле средней простой.
    Средняя хронологическая.
    Средняя арифметическая взвешенная.
    Средняя гармоническая взвешенная.
    Индексы.
    Индексы структуры.
    Индекс цен переменного состава.
    Индекс цен постоянного состава.
    Индекс структуры.
    Взаимосвязь между индексами.
    Индивидуальные и общие индексы.
    Индивидуальный индекс цен.
    Индивидуальный индекс физического объема.
    Общий индекс цен.
    Общий индекс физического объема.
    Общий индекс товарооборота.
    Разложение абсолютного прироста по факторам.
    Общий индекс товарооборота.
    Структурные индексы, характеризующие заработную плату.
    Индекс средней заработной платы (индекс переменного состава).
    Среднее изменение заработной платы (индекс постоянного состава).
    Влияние на динамику средней заработной платы изменения структуры.
    численности работников (индекс структуры).
    Взаимосвязь между индексами.
    Индекс покупательной способности рубля.
    Индекс реальной зарплаты где l0 и l1 — номинальная заработная плата в.
    отчетном и базисном периодах; Ip — индекс потребительских цен.
    Индекс сезонности.
    Интегральный коэф-т Салаи.
    Индексы, характеризующие себестоимость продукции.
    Индивидуальный индекс себестоимости.
    Сводный индекс затрат на производство.
    Сводный (общий) индекс себестоимости.
    Индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости.
    Взаимосвязь между индексами.
    Индекс структурных сдвигов.
    Индекс переменного состава.
    Индекс себестоимости фиксированного состава.
    Взаимосвязь индексов.
    Абсолютная сумма экономии, полученная от снижения себестоимости.
    Индексы уровней рентабельности.
    Индекс переменного состава.
    Индекс постоянного состава.
    Индекс структурных сдвигов.
    Индексы производительности труда.
    Индекс переменного состава.
    Индекс постоянного состава.
    Индекс структурных сдвигов.
    Ряды динамики.
    Величина интервала.
    Формула Стерджесса.
    Абсолютный прирост.
    базисный.
    цепной.
    Темп роста, %.
    базисный.
    цепной.
    Темпы прироста, %.
    базисный.
    цепной.
    Средний годовой темп роста.
    Средний годовой темп прироста.
    Средний абсолютный прирост.
    Коэффициенты роста.
    Абсолютное значение 1 % прироста.
    Ожидаемый уровень ряда.
    Коэффициент детерминации.
    Эмпирическое корреляционное отношение.
    Соотношения Чеддока.
    Коэффициенты для нахождения линейной связи между рядами y и t.
    Вариация.
    Размах вариации.
    Среднее значение признака в каждой группе.
    Дисперсия.
    Среднее квадратическое отклонение.
    Групповая дисперсия.
    Межгрупповая дисперсия.
    Средняя из групповых дисперсий (выборочная дисперсия).
    Правило сложения дисперсий.
    Мода.
    Медиана.
    Квартиль первого порядка.
    Квартиль третьего порядка.
    Коэффициент вариации.
    Линейный коэффициент вариации.
    Среднее линейное отклонение (взвешенное).
    Критерий Стьюдента для оценки линейного коэффициента корреляции.
    Фактические значения t-критерия.
    для параметра а.
    для параметра а.
    Коэффициент Фехнера.
    Средние показатели при вариации вокруг средней доли.
    Коэффициент корреляции.
    Коэффициент эластичности.
    Выборочное наблюдение.
    Предельная ошибка выборочной доли.
    Предельная ошибка выборки (при бесповторном случайном отборе).
    Средняя ошибка выборки.
    Численность выборки.
    Границы генеральной доли.
    Дисперсия выборочной доли.
    Статистика доходов населения. Социальная статистика.
    Децильный коэффициент дифференциации доходов.
    Квинтильный коэффициент дифференциации доходов населения Квартильный коэффициент дифференциации доходов населения.
    Коэффициент концентрации доходов Лоренца.
    Коэффициент жизненности В. И. Покровского.
    Общий коэффициент брачности.
    Общий коэффициент разводов.
    Коэффициент соотношения браков и разводов.
    Специальный коэффициент рождаемости или показатель фертильности.
    Коэффициент младенческой смертности.
    Коэффициент механического прироста.
    Коэффициент экономической активности населения.
    Коэффициент занятости населения.
    Коэффициент безработицы.
    Общий коэффициент рождаемости.
    Коэффициент смертности.
    Коэффициент естественного прироста.
    Коэффициент прибытия.
    Общий коэффициент выбытия.

    • Чтобы скачать этот файл зарегистрируйтесь и/или войдите на сайт используя форму сверху.
    • Регистрация

    www.twirpx.com

    Степень окисления na2s2o3 – Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти число нейтронов H
    2 Найти массу одного моля H_2O
    3 Определить кислотность pH 0.76M(HCl)(solution)
    4 Найти массу одного моля H_2O
    5 Баланс H_2(SO_4)+K(OH)→K_2(SO_4)+H(OH)
    6 Найти массу одного моля H
    7 Найти число нейтронов Fe
    8 Найти число нейтронов Tc
    9 Найти конфигурацию электронов H
    10 Найти число нейтронов Ca
    11 Баланс CH_4+O_2→H_2O+CO_2
    12 Найти число нейтронов C
    13 Найти число протонов H
    14 Найти число нейтронов O
    15 Найти массу одного моля CO_2
    16 Баланс (a+b/c)(d-e)=f
    17 Баланс CH_4+O_2→H_2O+CO_2
    18 Баланс C_8H_18+O_2→CO_2+H_2O
    19 Найти атомную массу H
    20 Определить, растворима ли смесь в воде H_2O
    21 Найти конфигурацию электронов Na
    22 Найти массу одного атома H
    23 Найти число нейтронов Nb
    24 Найти число нейтронов Au
    25 Найти число нейтронов Mn
    26 Найти число нейтронов Ru
    27 Найти конфигурацию электронов O
    28 Найти массовую долю H_2O
    29 Упростить корень пятой степени 243
    30 Определить, растворима ли смесь в воде NaCl
    31 Найти эмпирическую/простейшую формулу H_2O
    32 Найти степень окисления H_2O
    33 Найти конфигурацию электронов K
    34 Найти конфигурацию электронов Mg
    35 Найти конфигурацию электронов Ca
    36 Найти число нейтронов Rh
    37 Найти число нейтронов Na
    38 Найти число нейтронов Pt
    39 Найти число нейтронов Be Be
    40 Найти число нейтронов Cr
    41 Найти массу одного моля H_2SO_4
    42 Найти массу одного моля HCl
    43 Найти массу одного моля Fe
    44 Найти массу одного моля C
    45 Найти число нейтронов Cu
    46 Найти число нейтронов S
    47 Найти степень окисления H
    48 Баланс CH_4+O_2→CO_2+H_2O
    49 Найти атомную массу O
    50 Найти атомное число H
    51 Найти число нейтронов Mo
    52 Найти число нейтронов Os
    53 Найти массу одного моля NaOH
    54 Найти массу одного моля O
    55 Найти конфигурацию электронов H
    56 Найти конфигурацию электронов Fe
    57 Найти конфигурацию электронов C
    58 Найти массовую долю NaCl
    59 Найти массу одного моля K
    60 Найти массу одного атома Na
    61 Найти число нейтронов N
    62 Найти число нейтронов Li
    63 Найти число нейтронов V
    64 Найти число протонов N
    65 Вычислить 2+2
    66 Упростить H^2O
    67 Упростить h*2o
    68 Определить, растворима ли смесь в воде H
    69 Найти плотность при стандартной температуре и давлении H_2O
    70 Найти степень окисления NaCl
    71 Найти степень окисления H_2O
    72 Найти атомную массу He He
    73 Найти атомную массу Mg
    74 Вычислить (1.0*10^-15)/(4.2*10^-7)
    75 Найти число электронов H
    76 Найти число электронов O
    77 Найти число электронов S
    78 Найти число нейтронов Pd
    79 Найти число нейтронов Hg
    80 Найти число нейтронов B
    81 Найти массу одного атома Li
    82 Найти массу одного моля H_2O
    83 Найти эмпирическую формулу H=12% , C=54% , N=20 , ,
    84 Найти число протонов Be Be
    85 Найти массу одного моля Na
    86 Найти конфигурацию электронов Co
    87 Найти конфигурацию электронов S
    88 Баланс C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
    89 Баланс H_2+O_2→H_2O
    90 Баланс C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
    91 Найти конфигурацию электронов P
    92 Найти конфигурацию электронов Pb
    93 Найти конфигурацию электронов Al
    94 Найти конфигурацию электронов Ar
    95 Найти массу одного моля O_2
    96 Найти массу одного моля H_2
    97 Баланс CH_4+O_2→CO_2+H_2O
    98 Найти число нейтронов K
    99 Найти число нейтронов P
    100 Найти число нейтронов Mg

    www.mathway.com

    Натрия тиосульфат Natrii thiosulfas (лн)

    Лекарственные средства элементов VI и IV групп периодической системы элементов.

    АНАЛИЗ ЛС СОЕДИНЕНИЙ СЕРЫ. 6 ГРУППА ПСЭ.

    Сера в организме человека содержится в эпидермисе, коже, мышцах, поджелудочной железе, волосах. Входит в состав некоторых аминокислот (метионин, цистеин), пептидов, которые участвуют в процессах тканевого дыхания, катализируют ферментативные процессы.

    В медицине применяется сама сера в виде мазей и натрия тиосульфат.

    Na2S2O3 • 5 H2O Sodium thiosulfate (MHH)

    Натриевая соль тиосерной кислоты

    Структурная формула:

    Атомы серы имеют различную степень окисления. За счет S2—ЛBпроявляют восстановительные свойства.

    Получение

    При нагревании натрия сульфита и серы (впервые был получен в 1799 г):

    Na2SO3+S→Na2S2O3

    Окислением натрия сульфида диоксидом серы:

    2Na2S+ 3S02→ 2Na2S203+S↓

    В настоящее время его получают, используя отходы газового производства, содержащие сероводород. Метод, несмотря на многостадийность, экономически выгоден:

    1. сероводород улавливается поглотителем – гидроксидом кальция:

    Ca(OH)2 + H2S → CaS + 2H2S

    1. однако, вследствие гидролиза сульфида кальция, идут следующие реакции:

    CaS + 2H2O → Ca(OH)2 + H2S↑

    2Ca(OH)2 + 3H2S → CaS + Ca(SH)2 + 4H2O

    1. гидросульфид кальция окисляется кислородом воздуха до тиосульфата кальция:

    Ca(SH)2 + 2O2 → CaS2O3 + H2O

    1. тиосульфат кальция сплавляют с карбонатом кальция:

    CaS2O3 + Na2CO3 → Na2S2O3 + CaCO3↓

    Описание и растворимость

    Бесцветные прозрачные кристаллы без запаха. В теплом сухом воз­духе теряет кристаллизационную воду (выветривается). Во влажном воз­духе расплывается (переходит в жидкое состояние). При температуре +50 0C плавится в кристаллизационной воде.

    Очень легко растворим в воде, практически нерастворим в спирте.

    Химические свойства

    1. Как видно из формулы, степень окисления серы различна (6+ и 2-). Имея в молекуле S2-, препарат проявляет восстановительные свойства.

    1. Натрия тиосульфат, как и тиосерная кислота, солью которой он является, — соединения не прочные, легко разлагаются под действием кислот, даже угольной (влажность воздуха+диоксид углерода):

    Na2S2O3 + CO2 + H2O → Na2CO3 + H2S2O3

    H2S2O3 → S↓ + SO2↑ + H2O

    желт запах

    осадок (муть)

    Это свойство используется в реакциях подлинности:

    Подлинность

    1. Реакции на ион натрия (см. катины-анионы).

    2. Реакции на тиосульфат-ион:

    1. Реакция разложения с кислотой хлороводородной разведенной при добавлении к раствору препарата разв соляной кислоты раствор постепенно мутнеет – выделяется свободная сера (отличие от солей сернистой кислоты), затем появляется специфический запах диоксида серы SO2:

    Na2S2O3 + 2НСl → 2NaCl + SO2↑ + S↓+ H2O

    запах желтый

    осадок (муть)

    S2O32- + H2O — 2ē → 2SO2↑ + 2H+

    S2O32- + 6H+ + 4ē → 2S↓ + 3H2O

    1. Реакция с раствором серебра нитрата.

    При добавлении избытка нитрата серебра выделяется белый осадок, который быстро желтеет, при стоянии он буреет и, наконец, чернеет за счет образования сульфида серебра

    Сначала образуется белый осадок серебра тиосульфата:

    Na2S2O3 + 2AgN03 → Ag2S2O3 ↓ + 2NaN03

    Серебра тиосульфат быстро разлагается (внутримолекулярная окислительно-восстановительная реакция), образуются серебра сульфит и сера (желтый осадок):

    Ag2S2O3 → Ag2SO3↓ + S↓

    При стоянии образуется черный осадок серебра сульфида:

    Ag2SO3 + S + H2O → Ag2S↓ + H2SO4

    Если методику проведения реакции изменить – добавлять натрия тиосульфат к раствору нитрата серебра, то белый осадок тиосульфата серебра растворяется в избытке тиосульфата натрия:

    Ag2S2O3 + 3Na2S2O3 → 2Na3[Ag(S2O3)2]

    studfiles.net

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти число нейтронов H
    2 Найти массу одного моля H_2O
    3 Определить кислотность pH 0.76M(HCl)(solution)
    4 Найти массу одного моля H_2O
    5 Баланс H_2(SO_4)+K(OH)→K_2(SO_4)+H(OH)
    6 Найти массу одного моля H
    7 Найти число нейтронов Fe
    8 Найти число нейтронов Tc
    9 Найти конфигурацию электронов H
    10 Найти число нейтронов Ca
    11 Баланс CH_4+O_2→H_2O+CO_2
    12 Найти число нейтронов C
    13 Найти число протонов H
    14 Найти число нейтронов O
    15 Найти массу одного моля CO_2
    16 Баланс (a+b/c)(d-e)=f
    17 Баланс CH_4+O_2→H_2O+CO_2
    18 Баланс C_8H_18+O_2→CO_2+H_2O
    19 Найти атомную массу H
    20 Определить, растворима ли смесь в воде H_2O
    21 Найти конфигурацию электронов Na
    22 Найти массу одного атома H
    23 Найти число нейтронов Nb
    24 Найти число нейтронов Au
    25 Найти число нейтронов Mn
    26 Найти число нейтронов Ru
    27 Найти конфигурацию электронов O
    28 Найти массовую долю H_2O
    29 Упростить корень пятой степени 243
    30 Определить, растворима ли смесь в воде NaCl
    31 Найти эмпирическую/простейшую формулу H_2O
    32 Найти степень окисления H_2O
    33 Найти конфигурацию электронов K
    34 Найти конфигурацию электронов Mg
    35 Найти конфигурацию электронов Ca
    36 Найти число нейтронов Rh
    37 Найти число нейтронов Na
    38 Найти число нейтронов Pt
    39 Найти число нейтронов Be Be
    40 Найти число нейтронов Cr
    41 Найти массу одного моля H_2SO_4
    42 Найти массу одного моля HCl
    43 Найти массу одного моля Fe
    44 Найти массу одного моля C
    45 Найти число нейтронов Cu
    46 Найти число нейтронов S
    47 Найти степень окисления H
    48 Баланс CH_4+O_2→CO_2+H_2O
    49 Найти атомную массу O
    50 Найти атомное число H
    51 Найти число нейтронов Mo
    52 Найти число нейтронов Os
    53 Найти массу одного моля NaOH
    54 Найти массу одного моля O
    55 Найти конфигурацию электронов H
    56 Найти конфигурацию электронов Fe
    57 Найти конфигурацию электронов C
    58 Найти массовую долю NaCl
    59 Найти массу одного моля K
    60 Найти массу одного атома Na
    61 Найти число нейтронов N
    62 Найти число нейтронов Li
    63 Найти число нейтронов V
    64 Найти число протонов N
    65 Вычислить 2+2
    66 Упростить H^2O
    67 Упростить h*2o
    68 Определить, растворима ли смесь в воде H
    69 Найти плотность при стандартной температуре и давлении H_2O
    70 Найти степень окисления NaCl
    71 Найти степень окисления H_2O
    72 Найти атомную массу He He
    73 Найти атомную массу Mg
    74 Вычислить (1.0*10^-15)/(4.2*10^-7)
    75 Найти число электронов H
    76 Найти число электронов O
    77 Найти число электронов S
    78 Найти число нейтронов Pd
    79 Найти число нейтронов Hg
    80 Найти число нейтронов B
    81 Найти массу одного атома Li
    82 Найти массу одного моля H_2O
    83 Найти эмпирическую формулу H=12% , C=54% , N=20 , ,
    84 Найти число протонов Be Be
    85 Найти массу одного моля Na
    86 Найти конфигурацию электронов Co
    87 Найти конфигурацию электронов S
    88 Баланс C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
    89 Баланс H_2+O_2→H_2O
    90 Баланс C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
    91 Найти конфигурацию электронов P
    92 Найти конфигурацию электронов Pb
    93 Найти конфигурацию электронов Al
    94 Найти конфигурацию электронов Ar
    95 Найти массу одного моля O_2
    96 Найти массу одного моля H_2
    97 Баланс CH_4+O_2→CO_2+H_2O
    98 Найти число нейтронов K
    99 Найти число нейтронов P
    100 Найти число нейтронов Mg

    www.mathway.com

    Угол в – Угол. Обозначение углов

    alexxlab / / Школьная жизнь

    угол — Толковый словарь Ушакова

    ’УГОЛ, угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, ·муж.

    1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол (менее 90°). Тупой угол (более 90°). Двугранный угол (образованный двумя плоскостями). Многогранный или телесный угол (образованный несколькими плоскостями). В этом угле 30°.

    2. Такая фигура как мера для измерения чего-нибудь (спец.). Угол рассеяния света. Угол падения равен углу отражения. Угол прицела. Угол склонения. Угол дрейфа судна. Угол зрения.

    3. Место, где сходятся две внешние стороны предмета. Угол стола. Угол дома. Завернуть за угол.

    | место пересечения двух улиц. На углу улицы и переулка. Милицейский пост на углу. Выйти на угол. Стоять на углу.

    4. Место, где сходятся две внутренние стороны предмета. «Сел в угол и стал смотреть в книгу.» Гончаров. «Старик тыкнул пальцем в другой угол комнаты.» Гоголь. «Мой волк сидит, прижавшись в угол задом.» Крылов. Поставить стол в угол. Стол стоит в углу.

    5. Часть комнаты, сдаваемая в наем. «Он сторговал первый встречный угол и через час переехал.» Достоевский. Сдавать углы.

    6. Вообще — место, помещение. «Хозяйка! Нет ли в избе другого угла?» Пушкин. «Собеседники, минуя спавшего в передней казачка, разбрелись по своим углам.» А.Тургенев. Искать по всем углам.

    | перен. Приют, пристанище, место, где жить. — Он мне угол даст. «Назябся уж я, наголодался.» А.Островский. «Иметь дома свой стол, чай, словом, свой угол — un chez-soi, как говорят французы.» Гончаров. Иметь свой угол. Нет своего угла.

    | перен. Местность, обычно отдаленная. «Назови мне такую обитель, я такого угла не видал…» Некрасов. Медвежий угол. (см. медвежий). Жить в глухом углу.

    7. В карточных играх — четверть ставки, при объявлении которой *****

    Источник: Толковый словарь русского языка Ушакова на Gufo.me

    gufo.me

    Угол — это… Что такое Угол?

    (мат.). — Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1).

    Черт. 1.

    Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла.

    Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Наложим их так, чтобы вершины О и 01 совпали и чтобы сторона O1A1 совпала со стороной ОА. Если при этом сторона О1В1 совпадет со стороной 0В, то говорят, что углы ΒΟΑ и В1О1А1равны.

    Черт. 2.

    Если сторона О1В1 пойдет внутри угла BOA (черт. 2), то угол АОВ больше угла В1О1А1. Если же чертеж имеет вид (черт. 3), то угол АОВ меньше угла А1О1В1.

    Черт. 3.

    Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, наз. прилежащими, таковы, напр., углы АОВ и BOC (черт. 4).

    Черт. 4.

    Стороны ОА и ОС наз. внешними сторонами прилежащих углов.

    Смежными углами наз. такие прилежащие углы, внешние стороны которых составляют одну прямую (черт. 5).

    Черт. 5.

    Угол наз. прямым, если он равен углу смежному из ним (черт. 6).

    Говорят, что прямая ОВ (черт. 6) перпендикулярна к прямой СА, если она образует равные смежные углы АОВ и СОВ.

    Черт. 6.

    Все прямые углы равны между собой. Угол больший прямого наз. тупым, а меньший прямого — острым. Если построим два прилежащих угла так, чтобы один из них равнялся углу АОВ, а другой углу А1О1В1, то внешние стороны этих прилежащих углов образуют угол равный сумме углов АОВ и Α1Ο1Β1.

    Сумма смежных углов равна двум прямым.

    Если из точки О на плоскости проведем несколько лучей, напр. ОА, ОВ, ОС, OD и OE (черт. 7), то получим углы ВОА, ВОС, COD, DOE и ЕОА, сумма которых равна четырем прямым.

    Черт. 7.

    Две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 8) образуют четыре угла a, b, с, d.

    Черт. 8.

    Из них а и b смежные; углы же а и d или же b и с наз. вертикальными. Существуют равенства:

    а = d и b = с.

    Черт. 9.

    Углы, образованные двумя прямыми AB и CD при пересечении третьей прямою EF (черт. 9) имеют особые названия.

    Такие углы, как а и е, называются соответственными

    Такие углы, как с и f, называются внутренними накрест лежащими

    Такие углы, как a и h, называются внешними накрест лежащими

    Такие углы, как c и e, называются внутренними односторонними

    Такие углы, как a и g, называются внешними односторонними.

    Для того чтобы прямые AB и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из равенств вида

    a = е, с = f, a = h, с + е = двум прямым, а + g = двум прямым.

    Представим себе круг, в центре которого О находится вершина угла. Если стороны угла проходит через точки А и B, лежащие на окружности, то угол А ОВ измеряется дугою AB. Мерою угла служит отвлеченное число, равное отношению дуги AB к радиусу круга. Угол выражают также в градусах. Если, напр., угол АОВ содержит один градус, то это значит, что дуга AB составляет одну 360-ую часть окружности.

    Угол, вершина которого находится в центре круга, наз. центральным. Если же вершина угла находится на окружности в точке А, а стороны проходят через точки В и С, лежащие на окружности, то угол ВАС называется вписанным. Этот угол измеряется половиною дуги ВС. Если же вершина угла находится вне круга, а стороны AB и АС касаются круга в точках В и С, то угол называется описанным. Он измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

    Две прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными. Предположим, что прямые а и b не пересекаются и не параллельны. Углом между этими прямыми назыв. тот угол, который получим, проведя из какой-нибудь точки пространства О прямые ОА и ОВ, параллельные прямым а и b.

    Предположим, что прямая AB пересекает плоскость P в точке А (черт. 10).

    Черт. 10.

    Если окажется, что две прямые АС и AD, проведенные на плоскости P через точку А, перпендикулярны к AB, то и всякая прямая АЕ, находящаяся в плоскости Р, будет перпендикулярна к AB. В этом случае говорят, что прямая AB перпендикулярна к плоскости Р.

    Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей назыв. ребром двугранного угла; плоскости, образующие угол, назыв. сторонами угла.

    Предположим, что плоскости АР и BQ пересекаются по прямой AB (черт. 11).

    Черт. 11.

    Возьмем на ребре AB какую-нибудь точку С и проведем в плоскостях АР и BQ прямые CD и СЕ, перпендикулярные к AB. Получим угол ECD, который назыв. линейным углом двугранного угла QABP.

    Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным У. Если угол ECD (черт. 11) прямой, то и двугранный У. прямой. В этом случае говорят, что плоскость АР перпендикулярна к плоскости BQ.

    Если прямая AB перпендикулярна к плоскости P (черт. 10), то всякая плоскость, проходящая через AB, будет перпендикулярна к плоскости Р.

    Предположим, что дана плоскость P и прямая AB (черт. 12).

    Черт. 12.

    Проведем через AB плоскость, перпендикулярную к Р. Пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD. Углом прямой AB с плоскостью P назыв. угол, образованный прямыми AB и CD.

    Несколько плоскостей, проходящих через точку О и пересекающихся по прямым О А, 0В, ОС, OD и ОЕ, образуют многогранный угол, точка О назыв. вершиной, плоскости BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — гранями, прямые ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ — ребрами, углы BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — плоскими углами многогранного угла.

    Многогранный угол назыв. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону каждой из его граней.

    В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4-х прямых.

    Д. С.

    dic.academic.ru

    Углы | Математика

    Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

    Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

    Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

    Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

    Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

    На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

    Таким образом угол ABC есть угол B или

    угол ABC = углу B.

    Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.

    Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

    ∠ABC = ∠B

    В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

    На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

    Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

    Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

    Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

    уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD < уг. ABD.

    Чтобы иметь понятие о взаимной величине двух углов, имеющих разные вершины, накладывают один угол на другой. При наложении совмещают их вершины и по одной стороне, тогда направление другой стороны даст возможность сравнивать их величину. Чтобы сравнить два угла ABC и DEF (черт. 15), накладывают угол DEF на угол ABC так, чтобы сторона EF пошла по стороне BC, точка E совмещалась с точкой B; тогда сторона ED может занять три положения: она может совпасть со стороной BA, упасть внутри и вне угла ABC.

    a) Если линия ED совпадет с линией BA, углы называются равными

    уг. ABC = уг. DEF.

    b) Если линия ED упадет внутри угла ABC и займет положение BG, угол ABC будет больше угла DEF

    уг. ABC > уг. DEF.

    c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

    уг. ABC < уг. DEF.

    Сложение, вычитание, умножение и деление углов. Два прилежащих угла ABC и CBD (чер. 14) образуют один угол ABC. Угол ABD называется суммой углов ABC и CBD. Это выражают письменно равенством:

    ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

    Из равенства (а) вытекает равенство:

    ∠ABC = ∠ABD — ∠CBD

    ∠CBD = ∠ABD — ∠ABC,

    т. е. угол ABC есть разность углов ABD и CBD, и угол CBD есть разность углов ABD и ABC.

    Углы можно складывать и вычитать.

    Если при точке O (черт. 16) находится несколько равных прилежащих углов, т. е. если

    ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

    то угол AOC, равный сумме углов AOB и BOC равен двум углам AOB,

    ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, след. ∠AOC = 2AOB.

    Угол AOD равен трем углам AOB

    AOD = 3AOB.

    Обратно, угол AOB составляет половину угла AOC, треть угла AOD, четверть угла AOE.

    AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

    Отсюда выводим, что углы как величины можно не только складывать и вычитать, но также умножать и делить на отвлеченное число.

    Если из двух прилежащих углов ACD и DCB (чер. 17) две стороны CA и CB лежат на одной прямой, их называют смежными.

    Смежные углы. Смежными называются такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой.

    Если линия CD, поворачиваясь около точки C, займет положение CE, то угол ACD уменьшаясь обратится в угол ACE, а угол BCD увеличиваясь обратится в угол BCE. Линия CD, продолжая поворачиваться, может принять такое положение, что два смежных угла сделаются равными. Когда два смежных угла ACD и DCB равны (чер. 18), их называют прямыми углами.

    В этом случае линия CD называется перпендикулярной к линии AB или просто перпендикуляром к линии AB.

    На чертеже 19 начерчен один прямой угол без другого смежного с ним.

    Прямой угол есть один из равных смежных углов.

    Перпендикуляр есть прямая линия, образующая с другой линией прямой угол.

    На чертеже 18 углы ACD и DCB, оставаясь смежными и равными, получают название прямых углов. Линия DC будет перпендикулярной к линии AB. Такое взаимное отношение двух линий выражают иногда письменно: CD ⊥ AB.

    Так как линия AB будет также перпендикулярна к линии CD, то линия AB и CD будут взаимно-перпендикулярны, т. е. если CD ⊥ AB, то и AB ⊥ CD.

    Подошва перпендикуляра. Точка взаимной встречи двух перпендикулярных линий называется подошвою перпендикуляра.

    Точка C (чер. 18) есть подошва перпендикуляра CD.

    В каждой точке линии AB можно провести перпендикуляр к линии AB.

    Провести перпендикуляр к линии (AB) из точки, лежащей на линии, значит восставить перпендикуляр. Провести же перпендикуляр (DC) к линии (AB) из точки (D), лежащей вне прямой, значит опустить перпендикуляр (черт. 18).

    Наклонная линия. Всякая линия неперпендикулярная к другой называется линией наклонною к ней.

    На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

    Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

    Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

    Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

    Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

    Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

    Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

    Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

    Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

    уг. DCB = уг. ACD (a)
    уг. BCE = уг. ACE.

    Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

    уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

    Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

    уг. DCA > уг. ACE,

    неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

    Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

    Теорема 4. Все прямые углы равны.

    Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

    Требуется доказать, что прямые углы равны.

    Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

    Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

    Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

    В таком случае
    всякий острый угол < d,
    всякий тупой угол > d.

    Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

    Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

    Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

    Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

    Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

    ACD = ACE + ECD = d + ECD
    DCB = ECB — ECD = d — ECD

    Сложив эти равенства, имеем:

    ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

    Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

    Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

    Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

    Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

    ACD + DCB = 2d.

    Требуется доказать, что ACB прямая линия.

    Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

    ACD + DCE = 2d

    Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

    ACD + DCB = ACD + DCE

    откуда выходит при сокращении

    DCB = DCE

    заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

    Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

    Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

    Требуется доказать, что

    ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

    Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

    ACF + FCB = 2d.

    Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

    ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

    Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

    Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

    Требуется доказать, что

    AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

    Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

    EOA + AOG = 2d.

    Точно также

    GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

    Сложив эти равенства, имеем:

    EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

    Так как AOG + GOB = AOB, то

    EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

    Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

    Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

    Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

    Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

    Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

    Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

    ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
    BCD + DCE = 2d

    следовательно,

    ACB + BCD = BCD + DCE

    откуда, отняв по равному углу BCD, находим

    ACB = DCE.

    Подобным же образом доказывают, что

    ∠BCD = ∠ACE.

    Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

    На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

    Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

    Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

    Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

    Доказательство. По условию

    ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

    Сложив эти равенства, имеем:

    ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

    Так как ACB + BCD = 2d, то

    ECB + BCF = ½ · 2d = d.

    Так как ECB + BCF = ECF, то

    ECF = d

    Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

    maths-public.ru

    угол — это… Что такое угол?

  • уголёк — угол/ёк/ …   Морфемно-орфографический словарь

  • УГОЛ — муж. перелом, излом, колено, локоть, выступ или залом (впадина) об одной грани. Угол линейный, всякие две встречные черты и промежуток их; угол плоскостной или в плоскостях, встреча двух плоскостей или стен; угол толстый, теловой, встреча в одной …   Толковый словарь Даля

  • УГОЛ — угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, м. 1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол. (менее 90°). Тупой угол.… …   Толковый словарь Ушакова

  • УГОЛ — (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… …   Большая политехническая энциклопедия

  • УГОЛ — (плоский) геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Всякий угол с вершиной в центре некоторой окружности (центральный угол) определяет на окружности дугу АВ, ограниченную точками… …   Большой Энциклопедический словарь

  • угол — глава угла, из за угла, медвежий угол, непочатый угол, по всем углам.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. угол вершина, угловая точка; пеленг, пристанище, девятина, румб,… …   Словарь синонимов

  • угол — угол, род. угла; предл. об угле, в (на) углу и в речи математиков в угле; мн. углы, род. углов. В предложных и устойчивых сочетаниях: за угол и допустимо за угол (зайти, завернуть и т. п.), с угла на угол (двигаться, располагаться и т. п.), угол… …   Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

  • УГОЛ — УГОЛ, угла, об угле, на (в) углу, муж. 1. (в угле.). В геометрии: плоская фигура, образованная двумя лучами (в 3 знач.), исходящими из одной точки. Вершина угла. Прямой у. (90°). Острый у. (меньше 90°). Тупой у. (более 90°). Внешние и внутренние… …   Толковый словарь Ожегова

  • угол —  УГОЛ    , угла, м. Четверть ставки, при объявлении которой загибается край карты.    ◘ Туз и дама пик с углом // Убиты. А .И.Полежаев. День в Москве, 1832.    ◘ После обеда рассыпает он червонцы на стол, тасует карты; понтёры трещат колодами,… …   Карточная терминология и жаргон XIX века

  • угол ψ — угол ψ Угол между лучом и плоскостью YOZ. Примечание Угол отсчитывают от плоскости к лучу. [ГОСТ 7427 76] Тематики оптика, оптические приборы и измерения …   Справочник технического переводчика

  • УГОЛ — УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) …   Научно-технический энциклопедический словарь

    • noun_ru.academic.ru

    Ответы@Mail.Ru: Что такое угол?

    Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/875a8375f91de049494d6073098e8a2f_270d48d30e55a499e24fdc8033357e3d.jpg»> В зависимости от величины угла их разделяют на следующие виды: Острый угол. Имеет величину от 0 до 90 градусов. Угол равный 90 градусов — прямой. Тупой угол имеет величину 90 и 180 Развернутый угол. Он равен 180 градусам. Если величина угла менее 360, но более 180, такой угол называют невыпуклым. Полный угол равен 360 градусам. Углы не равные 90 и 180 градусам называют косыми. Если углы называют равными, значит, они имеют одинаковую величину. . <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/875a8375f91de049494d6073098e8a2f_0313d46c993310e2a7cbbc77a72c2381.jpg» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_b4d1ca819d0126a63e828efe79b1cb0b_120x120.jpg» data-big=»1″>

    Что, никогда в детстве не ставили?

    Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла. В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол). Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла. Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

    Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки.

    Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки.

    фигура образованная двумя разными лучами

    Угол это он <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/247160789_4bba5ff1b7972b458bacd9d2e0a67668_120x120.jpg» data-hsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/247160789_4bba5ff1b7972b458bacd9d2e0a67668_800.jpg»><img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/247160789_eeebbad4ca43bf999ce347d3dee91a73_120x120.jpg» data-hsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/247160789_eeebbad4ca43bf999ce347d3dee91a73_800.jpg»>

    touch.otvet.mail.ru

    Шесть тысяч девятьсот тридцать шесть – Сумма прописью онлайн ✍️ перевод суммы в пропись на русском языке с копейками

    alexxlab / / Школьная жизнь

    596936 прописью -> пятьсот девяносто шесть тысяч девятьсот тридцать шесть

    596 936

    five hundred and ninety-six thousand nine hundred and thirty-six

    five hundred ninety-six thousand nine hundred thirty-six

    fünfhundert sechsundneunzig tausend neunhundert sechsunddreißig

    cinq cent quatre-vingt-seizemille neuf cent trente-six

    п’ятсот дев’яносто шість тисяч дев’ятсот тридцять шість

    pięćset dziewięćdziesiąt sześć tysięcy dziewięćset trzydzieści sześć

    pět set devadesát šest tisíc devět set třicet šest

    Посмотрите как пишутся числа: 33166, 146149, 297462, 317740, 410794, 500426, 600642, 741431, 850716, 956605.

    numword.ru

    904936 прописью -> девятьсот четыре тысячи девятьсот тридцать шесть

    904 936

    nine hundred and four thousand nine hundred and thirty-six

    nine hundred four thousand nine hundred thirty-six

    neunhundert vier tausend neunhundert sechsunddreißig

    neuf cent quatre mille neuf cent trente-six

    дев’ятсот чотири тисячi дев’ятсот тридцять шість

    dziewięćset cztery tysiące dziewięćset trzydzieści sześć

    devět set čtyři tisíc devět set třicet šest

    Посмотрите как пишутся числа: 57239, 104343, 245107, 349303, 425683, 569084, 699571, 727829, 871221, 965749.

    numword.ru

    356936 прописью -> триста пятьдесят шесть тысяч девятьсот тридцать шесть

    356 936

    three hundred and fifty-six thousand nine hundred and thirty-six

    three hundred fifty-six thousand nine hundred thirty-six

    dreihundert sechsundfünfzig tausend neunhundert sechsunddreißig

    trois cent cinquante-six mille neuf cent trente-six

    триста п’ятдесят шість тисяч дев’ятсот тридцять шість

    trzysta pięćdziesiąt sześć tysięcy dziewięćset trzydzieści sześć

    tři sta padesát šest tisíc devět set třicet šest

    Посмотрите как пишутся числа: 4078, 177760, 210968, 342433, 436563, 596468, 630799, 752058, 801930, 978119.

    numword.ru

    Склонение 6931 по падежам, число прописью

    Число 6931 прописью: шесть тысяч девятьсот тридцать один.

    Количественное числительное 6931

    У количественного числительного склоняется каждая цифра (слово).

    ПадежВопрос6931
    Именительныйесть что?шесть тысяч девятьсот тридцать один рубль
    Родительныйнет чего?шести тысяч девятисот тридцати одного рубля
    Дательныйрад чему?шести тысячам девятистам тридцати одному рублю
    Винительныйвижу что?шесть тысяч девятьсот тридцать один рубль
    Творительныйоплачу чем?шестью тысячами девятьюстами тридцатью одним рублем
    Предложныйдумаю о чём?о шести тысячах девятистах тридцати одном рубле

    Примечание. 6931 заканчивается на 1, которое может быть мужского, женского, среднего рода в единственном числе либо во множественном числе: 6931 (одна) миля, 6931 (одно) очко, 6931 (одни) сутки. На этой странице приведено склонение для мужского рода единственного числа (рубль). Если вам необходимо получить склонение в другом роде или числе, то в приведенном примере поставьте «один» в нужном роде/числе. Подробнее смотрите таблицу склонения числительного 1 по всем родам и числам.

    Порядковое числительное 6931

    У порядкового числительного 6931 «шесть тысяч девятьсот тридцать» является неизменяемой частью, которая одинаково пишется во всех падежах, склоняется только «один».

    ПадежВопросНеизменяемая частьмужской родженский родсредний родмн.число
    Именительныйкакой?шесть тысяч девятьсот тридцатьпервыйперваяпервоепервые
    Родительныйкакого?первогопервойпервогопервых
    Дательныйкакому?первомупервойпервомупервым
    Винительныйкакой?первыйпервуюпервоепервые
    Творительныйкаким?первымпервойпервымпервыми
    Предложныйо каком?первомпервойпервомпервых

    Примечание. В винительном падеже окончание зависит от одушевлённости/неодушевлённости объекта. В мужском роде используется первый для неодушевлённых и первого для одушевлённых. Во множественном числе используется первые для неодушевлённых и первых для одушевлённых.

    Печатать

    numeralonline.ru

    936696 прописью -> девятьсот тридцать шесть тысяч шестьсот девяносто шесть

    936 696

    nine hundred and thirty-six thousand six hundred and ninety-six

    nine hundred thirty-six thousand six hundred ninety-six

    neunhundert sechsunddreißig tausend sechshundert sechsundneunzig

    neuf cent trente-six mille six cent quatre-vingt-seize

    дев’ятсот тридцять шість тисяч шiстсот дев’яносто шість

    dziewięćset trzydzieści sześć tysięcy sześćset dziewięćdziesiąt sześć

    devět set třicet šest tisíc šest set devadesát šest

    Посмотрите как пишутся числа: 3478, 112977, 230285, 361543, 457703, 524266, 681382, 767262, 800136, 947030.

    numword.ru

    936936 прописью -> девятьсот тридцать шесть тысяч девятьсот тридцать шесть

    936 936

    nine hundred and thirty-six thousand nine hundred and thirty-six

    nine hundred thirty-six thousand nine hundred thirty-six

    neunhundert sechsunddreißig tausend neunhundert sechsunddreißig

    neuf cent trente-six mille neuf cent trente-six

    дев’ятсот тридцять шість тисяч дев’ятсот тридцять шість

    dziewięćset trzydzieści sześć tysięcy dziewięćset trzydzieści sześć

    devět set třicet šest tisíc devět set třicet šest

    Посмотрите как пишутся числа: 47230, 159973, 267570, 309914, 437500, 570858, 684657, 778656, 832273, 977687.

    numword.ru

    336936 прописью -> триста тридцать шесть тысяч девятьсот тридцать шесть

    336 936

    three hundred and thirty-six thousand nine hundred and thirty-six

    three hundred thirty-six thousand nine hundred thirty-six

    dreihundert sechsunddreißig tausend neunhundert sechsunddreißig

    trois cent trente-six mille neuf cent trente-six

    триста тридцять шість тисяч дев’ятсот тридцять шість

    trzysta trzydzieści sześć tysięcy dziewięćset trzydzieści sześć

    tři sta třicet šest tisíc devět set třicet šest

    Посмотрите как пишутся числа: 46958, 191175, 278689, 304955, 487622, 580517, 601209, 736439, 842428, 999348.

    numword.ru

    Система решение линейных уравнений – Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн

    alexxlab / / Школьная жизнь

    2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

    2.1. Системы линейных алгебраических уравнений (слау): понятие, определения.

    Системы линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ) используются во многих областях прикладной математики.

    В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными записывается так:

    (1)

    Уравнения системы считаются пронумерованными: первое, второе, …, m-ое. Числа называютсянеизвестными системы; —коэффициентами при неизвестных системы.

    Коэффициент при неизвестном вi-ом уравнении обозначается через .

    Например, коэффициентa23 находится во втором уравнении системы при неизвестном x3.

    Числа называютсясвободными членами системы.

    Решением СЛАУ (1) называется любая совокупность чисел , которая, при подстановке на место неизвестныхв уравнения данной системы, обращает все эти уравнения в тождества.

    СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет решение. Если СЛАУ не имеет решения, то она называется несовместной (или противоречивой). Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется определенной, если имеет одно единственное решение, и неопределенной, если имеет больше одного решения.

    Всюду далее будем рассматривать СЛАУ, имеющие единственное решение.

    Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

    Элементарными преобразованиями СЛАУ, переводящими ее в эквивалентную СЛАУ, являются:

    1. перестановка двух уравнений системы;

    2. умножение обеих частей уравнения системы на любое отличное от нуля число;

    3. прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

    2.2. Характеристика методов решения слау.

    Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные (повторяющиеся).

    Прямые методы

    Итерационные методы

    Дают решение после выполнения конечного числа операций.

    Используют последовательные приближения (итерации) к искомому результату.

    «+»

    Достаточно универсальны, всегда дают результат, причем за конечное, заранее известное, число шагов.

    «+»

    Позволяют получить решение с любой заданной точностью.

    «-»

    Нет сведений о точности полученного решения.

    «-»

    При их использовании заранее неизвестно количество предстоящих итераций.

    В некоторых случаях вообще не дают решения.

    2.3. Прямые методы решения слау: метод Гаусса.

    Рассмотрим СЛАУ (2), состоящую из n уравнений с n неизвестными:

    (2)

    Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных наиболее распространенный из точных (прямых) методов решения СЛАУ.

    Прямой ход приводит систему (2) к эквивалентной ей системе вида (2’).

    ()

    Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и последующих уравнений и так далее. Таким образом, в последнем уравнении остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют следующие известные правила:

    — любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;

    — можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо одного из этих уравнений.

    Переход от системы (2) к системе () возможен при выполнении следующих преобразований. Пусть (если это не так, то можно поменять местами два уравнения системы). Разделим все члены первого уравнения системы (2) на, все члены второго уравнения на, третьего – на, и так далее. Если какой-то из этих коэффициентов равен нулю, то соответствующее уравнение не преобразовывается. Затем вычтем из второго, третьего , …,n-ого уравнения соответствующие части первого, получим

    Первое уравнение оставим без изменений, а оставшиеся преобразуем аналогично. Так последовательно систему (2) приводим к виду ().

    Обратный ход: последовательно вычисляют значения всех неизвестных, начиная с последнего.

    Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.

    Решение. Прямой ход.

    Разделим все члены первого уравнения на 8, получим: .

    Вычтем из второго и третьего уравнений первое: .

    Разделим все члены второго уравнения на , а третьего – на, получим

    .

    Вычтем из третьего уравнения второе:

    Прямой ход завершен.

    Обратный ход: выразим из последнего уравнения системы .

    .

    Из второго уравнения выразим .

    Из первого уравнения выразим .

    Получаем следующее решение системы: .

    Убедимся, что найдено верное решение системы, подставив его в исходную систему уравнений:

    .

    studfiles.net

    Решение произвольных систем линейных уравнений

    Дисциплина: Высшая математика

    Тема: Решение произвольных систем линейных уравнений

    1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

    Выше рассмотрены решения квадратных невырожденных систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом Крамера. Однако они не пригодны в тех случаях, когда квадратная система уравнений вырождена или когда система вообще не является квадратной.

    В связи с этим перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, когда

    :

    В данном случае матрица системы является прямоугольной, у нее нет определителя, и метод Крамера для решения системы не применим. Поэтому, прежде чем решать данную систему, рассмотрим две теоремы.

    Теорема 1.1. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение .

    Доказательство. Если ранг матрицы системы равен

    , то есть числу неизвестных, то строк у матрицы должно быть тоже . Следовательно, . Итак, по условию . Но тогда любая, не входящая в базисный минор, строка расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных строк и может быть обращена в ноль. То же самое происходит и с уравнением, соответствующим этой строке. Значит, исходная система эквивалентна уравнениям с коэффициентами из базисного минора. Остальные уравнений из системы можно убрать, так как они является линейной комбинацией оставшихся. Получаем квадратную невырожденную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными, которая согласно правилу Крамера имеет единственное решение, что и требовалось доказать.

    Теорема 1.2. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений .

    Доказательство. По условию система совместна и

    . Будем считать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы системы . Если это не так, то, переставляя строки и столбцы матрицы, можно получить нужный результат.

    Минор будет иметь вид:

    .

    Так как любая строка матрицы

    , не вошедшая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных, то ее можно обратить в ноль. Тогда, по аналогии с теоремой 1.1, из исходной системы можно убрать те уравнения, коэффициенты которых не попали в базисный минор. Следовательно, в ней останется линейных алгебраических уравнений и исходную систему можно записать в виде:

    или


    Придавая неизвестным

    произвольные значения , получаем систему из уравнений с неизвестными:

    Данная система является квадратной, ее определитель

    , поэтому с помощью метода Крамера находим единственное решение . Очевидно, задавая другие значения для , получим другие значения неизвестных .

    Так как числа

    могут быть заданы произвольно, то число решений системы бесконечно. Какое-то одно решение будет иметь вид: .

    Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.

    2. Система однородных линейных алгебраических уравнений

    Важное место среди всех систем линейных алгебраических уравнений занимают однородные системы с произвольными

    и :

    Данные системы всегда совместны, так как обязательно имеют решение вида

    , которое называется нулевым или тривиальным.

    Если

    , то, согласно теореме 1.1, это решение будет единственным. В частности, в случае однородной невырожденной квадратной системы ее единственное решение будет тривиальным.

    В случае, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений, согласно теореме 1.2, будет бесконечное множество. Пусть в этом случае матрицы — столбцы

    , ,…, являются некоторыми решениями системы: , ,…, .

    Тогда выражение

    будет называться их линейной комбинацией. Очевидно, что можно ввести понятие линейно зависимой и линейно независимой системы этих решений. Необходимо иметь в виду, что линейная комбинация решений системы линейных алгебраических уравнений также будет ее решением. Действительно, .

    Теорема. Если ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то есть , то существует линейно независимых решений системы , ,…, , а любые другие решения можно представить как их линейную комбинацию .

    Доказательство. Пусть ранг основной матрицы системы

    . Тогда базисными неизвестными будут , а остальные неизвестных будут свободными. В этом случае произвольное решение системы можно записать в виде: .

    Здесь

    – произвольные числа, а однозначно определяются из системы для выбранных .

    Рассмотрим

    следующих решений системы:
    , ,…, .

    По аналогии с результатом п. 6.3 все они линейно независимы, и произвольное решение системы можно представить в виде:

    ,

    что и требовалось доказать.

    Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется совокупность всех ее линейно независимых решений .

    Если в фундаментальной системе решений свободные неизвестные по очереди выражаются через единицу, в то время как остальные равны нулю, то такая фундаментальная система решений называется нормированной.

    mirznanii.com

    Система линейных уравнений, формулы и примеры

    Определение и формулы системы линейных уравнений

    Например.

    Решение системы линейных уравнений

    Решением СЛАУ называется совокупность значений неизвестных , при подстановке которых в каждое уравнения системы они обращаются в тождества.

    Например. Пара чисел является решением системы поскольку при подстановке указанных значений в уравнения системы, последние превращаются в тождества:

       

    Матрицей СЛАУ называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

    Например. Матрицей системы будет матрица

       

    Матрицей правых частей или матрицей свободных коэффициентов называется матрица-столбец, составленная из правых частей СЛАУ.

    Например. Матрицей свободных коэффициентов системы есть матрица

       

    Расширенной матрицей СЛАУ называется матрица системы, после вертикальной черты справа от которой записана матрица правых частей.

    Например. Расширенная матрица системы — это матрица

       

    СЛАУ (1) можно записать в матричном виде , где

       

    — матрица системы;

       

    — матрица-столбец неизвестных;

       

    — матрица правых частей.

    СЛАУ, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной; если решений нет, то СЛАУ называется несовместной.

    СЛАУ (1) называется однородной, если все ее правые части равны нулю одновременно: :

       

    Например.

    Однородная СЛАУ (2), имеющая единственное нулевое решение, называется тривиально совместной; в противном случае — нетривиально совместной.

    ru.solverbook.com

    Тест для бухгалтера по расчету заработной платы онлайн – Тест по зарплате для бухгалтера

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Тест. Учет персонала и расчетов по заработной плате

    Тест по бухгалтерскому учету, по теме «Учет персонала и расчетов по заработной плате «. Тестирование подходит для студентов различных специальностей. Правильные ответы выделены символом «+».

    Основное содержание оплаты труда включает в себя

    +: систему отношений, связанных с обеспечением установления и осуществления работодателем выплат работникам за их труд в соответствии с законами, иными нормативными правовыми актами, коллективными договорами, соглашениями, трудовыми договорами

    -: гарантируемый федеральным законом размер месячной заработной платы за труд неквалифицированного работника, полностью отработавшего норму рабочего времени при выполнении простых работ в нормальных условиях

    -: совокупность нормативов, с помощью которых осуществляется дифференциация заработной платы работников различных категорий

    Назовите основные формы оплаты труда:

    +: повременная и сдельная

    -: основная и дополнительная

    -: простая повременная и простая сдельная

    -: тарифная и бестарифная

    Какой бухгалтерской проводкой отражается oneрация «С расчетного счета получены наличные деньги для выплаты заработной платы работникам организации»?

    -: дебет 50 кредит 52

    -: дебет 70 кредит 51

    +: дебет 50 кредит 51

    -: дебет 51 кредит 70

    На сумму депонированной заработной платы делается бухгалтерская запись:

    -: дебет 51 кредит 76

    -: дебет 76 кредит 50

    +: дебет 70 кредит 76

    -: дебет 70 кредит 71

    Невостребованная заработная плата хранится на расчетном счете организации

    -: в течение двух лет

    -: срок не ограничен

    +: в течение срока исковой давности

    -: до первого требования работника

    В расчетно-платежную ведомость заносят

    -: только сумму заработной платы, подлежащую выдаче

    -: только сумму начисленной заработной платы

    +: сумму начисленной заработной платы, сумму удержаний и сумму к выдаче

    -: сумму начисленной заработной платы и сумму к выдаче

    Повременная форма оплаты труда бывает

    +: простой и премиальной

    -: простой и сдельной

    -: сдельной и основной

    -: основной и дополнительной

    Работой в ночное время считается период

    +: с 22 до б утра

    -: с 22 до 7 утра

    -: с 22 до 8 утра

    -: с 24 до 6 утра

    Счет 70

    +: пассивный, расчетов

    -: активный, инвентарный

    -: активно-пассивный, регулирующий

    -: регулирующий, пассивный

    Физические лица являются налоговыми резидентами РФ (п.2 ст.11 НК РФ), фактически находящиеся на территории РФ

    -: 187 дней

    +: 183 дня

    -: 176 дней

    -: 245 дней

    Основная налоговая ставка на доходы физических лиц составляет

    +: 13%

    -: 12%

    -: 20%

    -: 16%

    info-stadiya.ru

    Тест по заработной плате

    Тесты по теме заработная плата

    Назовите формы оплаты труда

    1. Повременная и сдельная

    2. Основная и дополнительная

    3. Простая повременная и простая сдельная

    4. Тарифная и бестарифная

    Какой бухгалтерской проводкой отражается операция « С расчетного счета получены наличные деньги для выплаты заработной платы работникам организации»

    1. Дт 50 Кт52

    2. Дт 70 Кт 51

    3. Дт 50 Кт 51

    4. Дт 51 Кт 70

    На сумму депонированной заработной платы делается бухгалтерсая запись:

    1. Дт 51 Кт 76

    2. Дт 76 Кт 50

    3. Дт 70 Кт 76

    4. Дт 70 Кт 71

    Невостребованная заработанная плата храниться на расчетном счете организации :

    1. В течении 2 лет

    2. Срок не ограничен

    3. В течении срока исковой давности

    4. До первого требования работника.

    В расчетно-платежную ведомость заносят:

    1. Только сумму заработной платы подлежащую выдачи

    2. Только сумму начисленной заработной платы

    3. Сумму начисленной заработной платы, сумму удержанной и сумму к выдаче

    4. Сумму начисленной заработной платы и сумму к выдачи.

    Повременная форма оплаты труда бывает:

    1. Простой и премиальной

    2. Простой и сдельной

    3. Сдельной и основной

    4. Основной и дополнительной

    Работа в ночное время считается период:

    1. С 22 до 6 ч.утра

    2. С 22 до 7 ч.утра

    3. С 22 до 8ч.утра

    4. С 24 до 6 ч.утра

    Счет 70 :

    1. Пассивный, расчета

    2. Активный, инвентарный

    3. Активно-пассивный, регулирующий

    4. Регулирующий , пассивный

    Излишни уплачено страховые взносы :

    1. Подлежат возврату плательщику

    2. Не подлежат возврату плательщику

    3. Подлежат зачету в счет предстоящих платежей плательщика

    4. Не подлежат зачету в счет предстоящих платежей плательщика

    Основная налоговая ставка на доходы физ.лиц составляет :

    1. 13 %

    2. 12%

    3. 24%

    4. 6%

    Выдача заработной платы и пособий оформляется проводкой :

    1. Дт 70 Кт 50

    2. Дт 70 Кт51

    3. Дт 69 Кт 50

    4. Дт 69 Кт 51

    Получение депонированной заработной платы с расчетного счета в банке для выплаты работникам организации отражается записью :

    1. Дт 50 Кт 51

    2. Дт 51 Кт 50

    3. Дт 50 Кт 76

    4. Дт 51 Кт 76

    Норма выработки – это:

    1. Количество рабочего времени, которое должен затратить работник на производство единицы продукции;

    2. Количество продукции, которое работник должен произвести в единицу рабочего времени;

    3. Количество объектов, которое работник должен обслужить произвести в единицу рабочего времени;

    4. Количество работников, необходимое для выполнения определенного объема работ.

    Норма времени – это:

    1. Количество продукции, которое работник должен произвести в единицу рабочего времени;

    2. Количество рабочего времени, которое должен затратить работник на производство единицы продукции;

    3. Количество объектов, которое работник должен обслужить в единицу рабочего времени;

    4. Количество работников, необходимое для выполнения определенного объема работ.

    Норма обслуживания – это:

    1. Количество продукции, которое работник должен произвести в единицу рабочего времени;

    2. Количество рабочего времени, которое должен затратить работник на производство единицы продукции;

    3. Количество объектов, которое работник должен обслужить в единицу рабочего времени;

    4. Количество работников, необходимое для выполнения определенного объема работ.

    Норма численности – это:

    1. Количество продукции, которое работник должен произвести в единицу рабочего времени;

    2. Количество рабочего времени, которое должен затратить работник на производство единицы продукции;

    3. Количество объектов, которое работник должен обслужить в единицу рабочего времени;

    4. Количество работников, необходимое для выполнения определенного объема работ.

    В основу расчета среднего заработка для оплаты отпуска берется заработок работника:

    1. За предыдущий календарный год;

    2. Три предыдущих календарных месяца;

    3. Девять предыдущих календарных месяца;

    4. Один предыдущий календарный месяц.

    По данным лицевого счета заполняется:

    1. РКО;

    2. Платежная ведомость;

    3. Расчетная ведомость;

    4. Сводка данных по расчетам с персоналом по оплате труда.

    Удержанный налог на доходы физических лиц подлежит перечислению в бюджет:

    1. За три дня до получения наличных денег на оплплату труда;

    2. В день сдачи в банк чека на получение наличных денег;

    3. Через три дня после получения денег на оплату труда;

    4. Не позднее дня получения наличных денег на оплату труда.

    Удержание суммы платежей за товары, проданные в кредит, по предоставленным займам и другим аналогичным операциям, отражаются записью:

    1. Дт 70 Кт 73

    2. Дт 73 Кт 70

    3. Дт 70 Кт 50

    4. Дт 73 Кт 50

    Алименты, выданные взыскателю наличными из кассы организации, отражается проводкой:

    1. Дт 76 Кт 50

    2. Дт 50 Кт 76

    3. Дт 70 Кт 51

    4. Дт 74 Кт76

    В облагаемые налоги на доходы физических лиц включаются ( из перечисленных):

    1. Компенсационные выплаты в пределах норм;

    2. Суммы, полученные в возмещении ущерба, причиненного увечья;

    3. Суммы, начисленные в виде дивидендовпо акциям;

    4. Государственные пособия по беременности и родам.

    Для исчисления совокупного дохода и налога на доходы физических лиц ведется:

    1. Лицевой счет;

    2. Налоговая карточка;

    3. РПВ;

    4. Накопительная карточка по заработной плате.

    Стоимость подарков, полученных от организации, не должны превышать:

    1. 2000р.;

    2. 3000р.;

    3. 3500р.;

    4. 4000р.

    Удержанный из заработной платы налог на доходы с физических лиц:

    1. Дт 68 Кт 70;

    2. Дт 70 Кт 51;

    3. Дт 68 Кт 50;

    4. Дт 70 Кт 68.

    Если фактически начисленная сумма резерва за год превышает расчетную сумму ( по данным инвентаризации), то остаток:

    1. Переходит на следующий год;

    2. Сторнируется;

    3. Отражается как доходы бедующих периодов;

    4. Относится на финансовые результаты.

    Расходы на уплату процентов за задержку выплаты заработной платы отражается в составе:

    1. Расходов на продажу;

    2. Производственных расходов;

    3. Прочих расходов;

    4. Расходов от обычных видах деятельности.

    К обязательным удержаниям из сумм оплаты труда относятся ( из перечисленных):

    1. Погашение задолженноти работника по ранее выданным авансам;

    2. Погашение сумм ранее выданных ссуд;

    3. Удержание по исполнительным листам;

    4. Удержание членских профсоюзных взносов.

    infourok.ru

    Оценочный тест для бухгалтера

    «Кадровик. Рекрутинг для кадровика», 2010, N 1

    Оценочный тест для бухгалтера

    1. Когда составляется первичный документ?

    1. Непосредственно перед осуществлением хозяйственной операции.

    2. Во время осуществления хозяйственной операции.

    3. Во время осуществления хозяйственной операции, а если это невозможно — непосредственно после ее завершения.

    2. Являются ли дата и место составления первичного документа его обязательными реквизитами?

    1. Да.

    2. Нет.

    3. Не для всех документов (указать исключения).

    3. Какой первичный документ подтверждает факт сдачи выручки в банк сотрудником компании?

    1. Банковская выписка со штампом банка и подписью работника банка.

    2. Квитанция на внесение денежных средств за подписью кассира и бухгалтера банка, заверенная штампом банка.

    3. Расходный кассовый ордер с подписью главного бухгалтера и руководителя предприятия.

    4. Какой документ не подписывается директором компании?

    1. Расходный кассовый ордер.

    2. Платежная ведомость.

    3. Авансовый отчет.

    4. Приходный кассовый ордер.

    5. Ответственность за правильность ведения операций с наличными денежными средствами в компании согласно нормативным документам несет:

    1. Руководитель предприятия.

    2. Кассир.

    3. Главный бухгалтер.

    6. В каком документе утверждены формы и системы оплаты труда, которые можно применять в компании?

    1. Трудовой договор.

    2. Коллективный договор.

    3. Штатное расписание.

    7. Учитываются ли при расчете средней заработной платы для начисления отпускных суммы выплаченных доплат за работу в праздничные дни и премии?

    1. Премии учитываются, а доплаты за работу в праздничные дни — нет.

    2. Учитываются и премии, и доплаты за работу в праздничные дни.

    3. Доплаты за работу в праздничные дни учитываются, а премии — нет.

    8. В конце года предприятие выплатило всем своим работникам денежное вознаграждение (13-ю зарплату). Имеет ли право предприятие включать данный вид затрат в состав валовых доходов?

    1. Да, поскольку этот вид затрат включается в фонд заработной платы.

    2. Да, при условии, что эти затраты предусмотрены в коллективном договоре.

    3. Нет, поскольку вознаграждение не включается в фонд заработной платы.

    9. Сотрудник предприятия не использовал свой ежегодный отпуск за 2006 г. В апреле 2008 г. он написал на имя директора заявление с просьбой выплатить ему денежную компенсацию за неиспользованный отпуск. Должна ли компания удовлетворить такую просьбу?

    1. Нет, поскольку компенсация за неиспользованный отпуск выплачивается лишь при увольнении.

    2. Предприятие обязано выплатить денежную компенсацию, если работник не использовал ежегодный отпуск.

    3. Не может, поскольку работнику законодательно установлен ежегодный отпуск, и предприятие не имеет права его не дать.

    4. Только часть неиспользованного отпуска может быть заменена денежной компенсацией, но при условии, что продолжительность ежегодного и дополнительного отпусков составляет не менее 24 календарных дней.

    10. Предприятие «Омега» составило с банком «Гранит» договор на расчетно-кассовое обслуживание. Являются ли данные услуги объектом обложения НДС?

    1. Да.

    2. Нет.

    11. Может ли предприятие по собственному желанию зарегистрировать себя плательщиком НДС, при условии что размер операций по продаже товаров (работ, услуг), которые облагаются НДС, менее 3600 необлагаемых минимумов доходов населения?

    1. Да.

    2. Нет.

    12. Какое календарное число является датой возникновения налогового кредита для заказчика строительства, если указанное строительство осуществляется согласно долгосрочному договору?

    1. Дата окончания всего строительства или его этапа, определенного в договоре.

    2. Дата увеличения валовых затрат заказчика долгосрочного контракта.

    13. Прямые затраты — это:

    1. Совокупность экономически однородных затрат.

    2. Затраты, которые могут быть отнесены непосредственно к конкретному объекту затрат целевым образом.

    14. Затраты на охрану труда, технику безопасности на производственном предприятии включаются в состав:

    1. Административных затрат.

    2. Общепроизводственных затрат.

    3. Других операционных затрат.

    15. Фактическая производственная себестоимость выпущенной продукции отображается в бухгалтерском учете следующей проводкой:

    1. Дт 91 — Кт 23.

    2. Дт 90 — Кт 26.

    3. Дт 26 — Кт 23.

    16. Доходы от реализации готовой продукции отображаются в учете:

    1. В момент получения денег за эту продукцию или при ее отгрузке.

    2. Только в момент получения денег за эту продукцию.

    3. Только в момент отгрузки данной продукции покупателю со списанием ее стоимости с баланса компании.

    17. Порядок и методику калькуляции себестоимости разрабатывает:

    1. Минфин.

    2. ГНАУ.

    3. Предприятие самостоятельно.

    18. Включается ли в валовые затраты безнадежная дебиторская задолженность, которая ранее не была отнесена на валовые затраты, если срок ее возникновения менее трех лет?

    1. Да, включается какая-либо сомнительная дебиторская задолженность.

    2. Нет, не включается.

    3. Да, включается, в том случае если принятые меры не дали позитивного результата.

    19. Если обязательства (в виде кредиторской задолженности) не подлежат погашению, то в бухгалтерском учете его сумма:

    1. Списывается с баланса с одновременным отображением затрат.

    2. Списывается с баланса с одновременным отображением доходов.

    3. Списывается с баланса, но не влияет на финансовый результат.

    20. В каких случаях участник общества с ограниченной ответственностью может передать третьей стороне свою часть уставного фонда?

    1. При согласии других сторон участников общества.

    2. Если учредитель не выполняет своих обязанностей перед обществом.

    3. При согласии других участников общества и полном внесении должных средств участником.

    21. Предприятием был приобретен 29 июня 2008 г. объект основных средств и введен в эксплуатацию 7 июля 2008 г. Когда начинается начисление амортизации по такому объекту в бухгалтерском и налоговом учете?

    1. В бухгалтерском учете начисление амортизации начинается с 1 августа 2008 г., а в налоговом — с 1 октября 2008 г.

    2. В бухгалтерском учете начисление амортизации начинается с 1 июля 2008 г., а в налоговом — с 1 августа 2008 г.

    22. Как проверить данные строки 035 «Отчет о финансовых результатах» графы 3?

    1. Данные строки 010 минус данные строк 015, 020, 025, 030 Отчета о финансовых результатах.

    2. Данные строки 010 минус данные строк 020, 025, 030 Отчета о финансовых результатах.

    3. Данные строки 010 минус данные строк 015, 020, 025, 030 Отчета о финансовых результатах.

    23. Какая операция предшествует составлению годовой финансовой отчетности?

    1. Выплата дивидендов акционерам из прибыли, полученной за отчетный период.

    2. Выплата задолженности по заработной плате.

    3. Проведение инвентаризации.

    24. В какой из форм финансовой отчетности отображается дебиторская задолженность покупателей за реализованные товары (работы, услуги)?

    1. В балансе.

    2. В отчете о финансовых результатах.

    3. В отчете о собственном капитале.

    Ключ к тесту

    N вопроса:

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

    Правильный ответ:

    3, 1, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 3, 1.

    Более 80% правильных ответов свидетельствует о том, что кандидат обладает достаточным объемом знаний по специальности.

    При количестве правильных ответов в пределах 50 — 80% кандидат, скорее всего, является узким специалистом, на предыдущем месте, вероятно, вел одно направление работы; ему потребуется дополнительное обучение.

    Менее 50% правильных ответов — свидетельство недостаточного уровня знаний; следует провести дополнительное тестирование.

    М. Кондратенко

    Центр кадровых технологий

    Подписано в печать

    11.02.2010

    hr-portal.ru

    Углы в треугольнике накрест лежащие – Внутренние накрест лежащие углы | Треугольники

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Внутренние накрест лежащие углы | Треугольники

    Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

    Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

    Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

    При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

     

    ∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

    ∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

    Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

     

    Свойство параллельных прямых

    Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

      Если a ∥ b, то

    ∠1 =∠2

    ∠3=∠4

    (как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

     

    Признак параллельных прямых

    Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

        ∠1=∠2.

    А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

    то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

     

    Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

     

    www.treugolniki.ru

    Теорема о накрест лежащих углах

    1. Главная
    2. Справочники
    3. Справочник по геометрии 7-9 класс
    4. Параллельные прямые
    5. Теорема о накрест лежащих углах

    Теорема

    Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

    Дано: , АВ — секущая, 1 и 2 — накрест лежащие (Рис.1).

    Доказать: 1 =2.

    Доказательство:

    Предположим,что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и секущей АВ (Рис.2).

    По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили, что через точку А проходят две прямые и АР, параллельные прямой . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше предположение неверно и 1 = 2. Что и требовалось доказать.

    Следствие

     Дано: , (Рис.3).

    Доказать: .

    Доказательство:

    Прямая пересекает прямую , при этом , значит пересекает и прямую (смотри следствие 20 из аксиомы параллельных прямых). При пересечении параллельных прямых и секущей образуются равные накрест лежащие углы: 1 =2 (по теореме о накрест лежащих углах). По условию , т.е. 1 = 900, значит и 2 = 900 , т.е. . Что и требовалось доказать.

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    Советуем посмотреть:

    Параллельные прямые

    Признаки параллельности двух прямых

    Практические способы построения параллельных прямых

    Аксиомы геометрии

    Аксиома параллельных прямых

    Теорема о соответственных углах

    Теорема об односторонних углах

    Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

    Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

    Параллельные прямые

    Правило встречается в следующих упражнениях:

    7 класс

    Задание 201, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 204, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 211, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 425, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 518, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    Задание 621, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

    © 2019 — budu5.com, Буду отличником!

    budu5.com

    Теорема о равенстве накрест лежащих углов

    В формулировке любой теоремы можно выделить две части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — это то, что надо доказать.

    Например, рассмотрим один из признаков параллельности прямых:

    Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

    Здесь условие утверждения: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны. А заключение: прямые параллельны.

    Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

    Теорема:

    Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

    Доказательство:

    Пусть прямые а и b параллельны и пересечены секущей CD. Доказать, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны.

    Предположим, что углы 1 и 2 не равны. Тогда от луча CD отложим ∠ЕCD=∠2 так, чтобы ∠ЕCD и ∠2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых СЕ и b секущей CD.

    По построению эти накрест лежащие углы равны, а поэтому прямая CD параллельна прямой b. Получили, что через точку С проходят две прямые (а и CЕ) параллельные прямой b. А это противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, предположение неверно и угол ∠1=∠2. Что и требовалось доказать.

    Пример.

    Прямая АВ параллельна прямой CD, АD - биссектриса угла BAC, а ∠ADC=50 градусов. Чему равна градусная мера ∠CAD?

    Так как прямые АВ и CD параллельны и AD - секущая при этих параллельных прямых, то накрест лежащие углы ADC и BAD равны. Значит, ∠BAD=50 градусов.

    Так как AD - биссектриса ∠BAC, то ∠CAD=∠BAD. Следовательно, градусная мера ∠CAD=50 градусов.

    Пример.

    Прямые АВ и CD параллельны. Отрезок АВ=СD. Доказать, что прямая АС параллельна прямой BD.

    Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ACD.

    АВ=CD по условию задачи, AD - общая. А углы BAD и ADC равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и CD и секущей АD. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников. А значит, у них соответственные стороны и углы равны.

    То есть ∠CAD=∠BDA. А эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AD. Это означает, что прямые AC и BD параллельны. Что и требовалось доказать.

    Пример.

    На рисунке ∠CBD=∠ADB. Доказать, что ∠ВСА=∠CAD.

    Углы CBD и ADB - накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей BD. А так как эти углы равны, то прямые AD и BC параллельны.

    ∠ВСА и ∠CAD являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей АС, а следовательно, они равны. Что и требовалось доказать.

    Отметим, что если доказана какая-либо теорема, то это не означает, что обратная ей теорема верна.

    Например, если углы вертикальные, то они равны. А вот если углы равны, то это ещё не означает, что они вертикальные.

    videouroki.net

    Накрест лежащие Википедия

    Параллельные прямые (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.

    В евклидовой геометрии[ | ]

    На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

    В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3]. Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].

    Параллельность прямых m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} обычно обозначается:

    m∥n{\displaystyle m\parallel n}

    Свойства[ | ]

    • Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
    • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      • Соответственные углы равны (Рис.1).
      • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
      • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
    Рис.1: Соответственные углы равны, α=α1

    ru-wiki.ru

    А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §4. Контрольные вопросы, ответы

    Подробности
    Родительская категория: Математика
    Категория: Геометрия, 7 класс, контрольные вопросы, ответы

    Страница 1 из 2

    Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
    Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
    Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

    Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
    Ответ. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
    Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
    Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).


    Рис. 71

    Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
    Ответ. Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).


    Рис. 72

    Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны , то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
    Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
    Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

    Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
    Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
    Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).


    Рис. 73

    Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC1, равный треугольнику ABC, с вершиной C1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
    Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.    

    Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.


    Ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
    Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
    Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

    Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?


    Ответ. Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
    Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
    Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

    Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.


    Ответ. Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
    Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a1 и b, были равны (рис. 76).
    По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a1.
    Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
     параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

    Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух  параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
    Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
    Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
    Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

    Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

    Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
    Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
    Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
    А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.  

    Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
    Ответ. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

    oftob.ru

    Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых [wiki.eduVdom.com]

    Признаки параллельности двух прямых

    Рис.1

    Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

    1. накрест лежащие углы равны, или

    2. соответственные углы равны, или

    3. сумма односторонних углов равна 180°, то

    прямые параллельны (рис.1).

    Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

    Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

    Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

    Следствие 1. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

    Рис.2

    Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

    Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

    Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

    Рис.3

    Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

    Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
    через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

    Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

    Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

    Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

    1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

    Рис.4

    2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

    Рис.5

    Справедлива и следующая теорема.

    Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

    1. накрест лежащие углы равны;

    2. соответственные углы равны;

    3. сумма односторонних углов равна 180°.

    Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

    Рис.2

    Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

    Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

    Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

    Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

    Рис.6

    Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
    ∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

    Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

    Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
    х + 30° + х = 180°.

    Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
    ∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.

    Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

    Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.

    Рис.7

    Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.

    Найдем остальные углы (рис. 8):

    Рис.8

    ∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.

    Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

    www.wiki.eduvdom.com

    Внутренние односторонние углы | Треугольники

    Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

    Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

    При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

    ∠1 и∠2

    ∠3 и∠4

    — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

     

    Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

     

    Свойство параллельных прямых

    Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

    Если a ∥ b, то

    ∠1 +∠2 =180º

    (как внутренние односторонние при  a ∥ b и секущей c).

     

    Признак параллельных прямых

    Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

    ∠3+∠4 =180º

    А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

    то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

     

    Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

    Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

    ∠1  и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

    ∠1 =∠2

    тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

     

    www.treugolniki.ru

    1 … 27 28 29 30 31 … 343