Рубрика: Школьная жизнь

Решите неравенство |x-5|*1/(x^2-9*x+20)>=4 (модуль от х минус 5| умножить на 1 делить на (х в квадрате минус 9 умножить на х плюс 20) больше или равно 4)

1.
$$x — 5 \geq 0$$
или
$$5 \leq x \wedge x получаем ур-ние
$$\frac{x — 5}{x^{2} — 9 x + 20} — 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$\frac{x — 5}{x^{2} — 9 x + 20} — 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{17}{4}$$
но x1 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x — 5 или
$$-\infty получаем ур-ние
$$\frac{- x + 5}{x^{2} — 9 x + 20} — 4 = 0$$
упрощаем, получаем
$$\frac{- x + 5}{x^{2} — 9 x + 20} — 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = \frac{15}{4}$$

$$x_{1} = \frac{15}{4}$$
$$x_{1} = \frac{15}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{15}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{73}{20}$$
=
$$\frac{73}{20}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left|{x — 5}\right|}{x^{2} — 9 x + 20} \geq 4$$

      |73    |           
      |-- - 5|           
      |20    |           
-------------------- >= 4
                   1     
/    2            \      
|/73\    9*73     |      
||--|  - ---- + 20|      
\\20/     20      /      

20/7 >= 4

20/7 
Тогда
$$x \leq \frac{15}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{15}{4}$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x-5)*(x^2-9*x+20)>0 ((х минус 5) умножить на (х в квадрате минус 9 умножить на х плюс 20) больше 0)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-9)^2 - 4 * (1) * (20) = 1

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

         /    2            \    
/39    \ |/39\    9*39     |    
|-- - 5|*||--|  - ---- + 20| > 0
\10    / \\10/     10      /    

-121     
----- > 0
 1000    

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x3      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

решить неравенство 5х-2(х-4)меньше или равно 9х+20

легко 5х-2х+8<=9х+20 3х+8<=9х+20 -6х<12 х<-2 зы. предыдущий вопрос посматри прав ответ г) ы

х больше или равно 2, 5х-2х плюс 8 меньше или равно 9х плюс 20, 3х-9х меньше или равно 20-8, -6х меньше или равно 12, -х меньше или равно 2, х больше или равно -2.

5х-2(х-4)м или =9х+20 5х-2х+8 м или =9х+20 3х+8 м или =9х+20 0 м или =6х+12 -6х м или = 12 х м или = -2 Третий ответ правильный.

это будет так 5х-2(х-4)<=9х+20 5x-2x-9x<=20-8 -6x<=12 x>=-2

touch.otvet.mail.ru

Решите неравенство (x-5)*1/(x^2-9*x+20)>=4 ((х минус 5) умножить на 1 делить на (х в квадрате минус 9 умножить на х плюс 20) больше или равно 4)

Уравнение превратится из
$$x — 5 = 4 x^{2} — 36 x + 80$$
в
$$- 4 x^{2} + 37 x — 85 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(37)^2 - 4 * (-4) * (-85) = 9

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

       83                
       -- - 5            
       20                
-------------------- >= 4
                   1     
/    2            \      
|/83\    9*83     |      
||--|  - ---- + 20|      
\\20/     20      /      

20/3 >= 4

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (-8*x^2+3*x+5)*(x^2-9*x+20)>0 ((минус 8 умножить на х в квадрате плюс 3 умножить на х плюс 5) умножить на (х в квадрате минус 9 умножить на х плюс 20) больше 0)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-9)^2 - 4 * (1) * (20) = 1

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-8) * (5) = 169

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

/          2              \ /      2               \    
|    /-29 \    3*(-29)    | |/-29 \    9*(-29)     |    
|- 8*|----|  + ------- + 5|*||----|  - ------- + 20| > 0
\    \ 40 /       40      / \\ 40 /       40       /    

-2986389     
--------- > 0
  80000      

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x4      x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 5*x-20>(4-x)^2 (5 умножить на х минус 20 больше (4 минус х) в квадрате)

Уравнение превратится из
$$5 x — 20 = \left(- x + 4\right)^{2}$$
в
$$- \left(- x + 4\right)^{2} + 5 x — 20 = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- \left(- x + 4\right)^{2} + 5 x — 20 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- x^{2} + 13 x — 36 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(13)^2 - 4 * (-1) * (-36) = 25

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

                    2
5*39        /    39\ 
---- - 20 > |4 - --| 
 10         \    10/ 

-1/2 > 1/100

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 5^(2*x-1)>5^x+4 (5 в степени (2 умножить на х минус 1) больше 5 в степени х плюс 4)

a*v^2 + b*v + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1/5) * (-4) = 21/5

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

      _____     
5   \/ 105    1 
- - ------- - --
2      2      10

   /      _____     \              _____         
   |5   \/ 105    1 |        5   \/ 105    1     
 2*|- - ------- - --| - 1    - - ------- - --    
   \2      2      10/        2      2      10    
5                         > 5                 + 4

 19     _____               _____
 -- - \/ 105         12   \/ 105 
 5            >      -- - -------
5                    5       2   
   4 + 5            

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Виды уравнений, формулы и примеры

Определение и основные виды уравнений

Например.

Некоторые классы уравнений решаются аналитически (среди алгебраических это линейные, квадратные, кубические уравнения и уравнения четвертой степени), то есть решение записывается в виде формулы. Алгебраические уравнения высших степеней (более, чем четвертая) в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые сводятся к уравнениям низших степеней.

В общем случае, если аналитическое решение не существует, применяют численные методы.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где — многочлен переменных , которые называются переменными или неизвестными.

Например.

Степенью алгебраического уравнения называется степень многочлена .

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнение вида

Например. — линейное уравнение с одной переменной.

Квадратным уравнением (уравнением второй степени) называется уравнение

Здесь — переменная, — старший или первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный коэффициент.

Например.

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен единице.

Например.

Уравнением с параметрами называется математическое равенство, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Например.

Уравнение, содержащее трансцендентные функции, называется трансцендентным.

Например.

Трансцендентная функция — это аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Алгебраической называется элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Функциональным называется уравнение, которое определяет связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках.

Например.

Уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной, называется дифференциальным.

Например.

Интегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграл.

Например.

ru.solverbook.com

УРАВНЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет

УРАВНЕНИЯ. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)² = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin²x + cos²x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида f_n = 0, где f_n – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

f_n = a₀ xⁱy^j … v^k + a₁ x^ly^m … vⁿ + ј + a_sx^py^q … v^r,

где x, y,…, v – переменные, а i, j,…, r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

f(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ – 1 +… + a_n – 1x + aⁿ

или, в частном случае, 3x⁴ – x³ + 2x² + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a₀ № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения.

Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. См. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Интегральные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.

Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения.

Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения.

Решения общего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения.

Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x³ + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x² – x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений.

Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (a_ij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

где A_ji – алгебраическое дополнение элемента a_ijв матрице (a_ij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть r – ранг матрицы (a_ij), s – ранг окаймленной матрицы (a_ij; b_i), которая получается из a_ij присоединением столбца из чисел b_i. Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r , то уравнения несовместны и решений не существует.

www.krugosvet.ru

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

infourok.ru

Виды уравнений и способы их решения

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (8,2 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Обучающие:

• Обобщить знания по всем видам уравнений, подчеркнуть значимость всех способов, применяемых при решении уравнений.
• Активизирование работы учащихся за счет, разнообразных приемов на уроке.
• Проверить теоретические и практические навыки при решении уравнений.
• Заострить внимание на том, что, одно уравнение можно решить несколькими способами

Развивающие:

• Повысить интерес учащихся к предмету, через использование ИКТ.
• Ознакомление учащихся с историческим материалом по теме.
• Развитие мыслительной деятельности при определении вида уравнения и способов его решения.

Воспитательные:

• Воспитать дисциплину на уроке.
• Развитие способности к восприятию прекрасного, в себе самом, в другом человеке и в окружающем мире.

Тип урока:

• Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока:

• Комбинированный.

Материально-техническое оснащение:

• Компьютер
• Экран
• Проектор
• Диск с презентацией темы

Методы и приемы:

• Использование презентации
• Фронтальная беседа
• Устная работа
• Игровые моменты
• Работа в парах
• Работа у доски
• Работа в тетрадях

План урока:

1. Организационный момент (1минуты)
2. Расшифровка темы урока (3минуты)
3. Сообщение темы и цели урока (1минута)
4. Теоретическая разминка (3минут)
5. Исторический экскурс (3минуты)
6. Игра “Убери лишнее” (2минуты)
7. Творческая работа (2минуты)
8. Задание “Найди ошибку” (2минуты)
9. Решение одного уравнения несколькими способами (на слайде) (3минуты)
10. Решение одного уравнения несколькими способами (у доски) (24 минут)
11. Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением (5минут)
12. Индивидуальное домашнее задание(1минуты)
13. Итог урока рефлексия (1минута)

Эпиграф урока:

“Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.
А.Франс

Конспект урока

Организационная часть

Проверяю готовность учащихся к уроку, отмечаю отсутствующих на уроке. Ребята, Французский писатель 19 века А.Франс однажды заметил “ Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”. Так давайте на нашем уроке следовать совету, писателя и переваривать знания с большим аппетитом, ведь они пригодятся в нашей жизни.

Расшифровка темы урока

Для того, чтобы перейти к более сложном заданием, давайте разомнем свои мозги простыми заданиями. Тема нашего урока зашифрована, решив устные задания и найдя к ним ответ, зная, что каждый ответ имеет свою букву, мы раскроем тему урока. Презентация слайд 3

Сообщение темы и цели урока

Вы, сегодня сами назвали тему урока

“Виды уравнений и способы их решения”. Презентация слайд 4

Цель: Вспомнить и обобщить все виды уравнений и способы их решения. Решить одно уравнение всеми способами. Презентация слайд 5 Прочитать высказывание Эйнштейна Презентация слайд 5

Теоретическая разминка

Вопросы Презентация слайд 7

Ответы

1. Равенство, содержащее переменную величину, обозначенную какой-то буквой.
2. Это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
4. После этого определения прочесть стихотворение об уравнении Презентация слайд 12,13,14

Ответы на 2 последних вопроса Презентация слайд 9,10,11

Исторический экскурс

Историч

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

«Уравнения. Их виды, типы и методы решений»

Уравнения. Их виды, типы и методы решений

Учебный материал, связанный с уравнениями составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Отметим, что с уравнениями впервые мы встречаемся еще в начальной школе.

Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью (здесь уравнения выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение уравнений к решению различного рода задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира) [1].

Существуют следующие типы уравнений и неравенств (рис. 1)

Рис. 1

Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.[2]

При этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в значительной степени (и тем I большей, чем сложнее уравнение) — эвристической [3]. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую трудность для учащихся.

При обучении учащихся решению определенного класса уравнений следует выделять общий прием решения, который можно представить следующими этапами:

1. Определить вид уравнения.

2. Определить стандартное оно или нет.

3. Если стандартное, то решить в соответствии с известным правилом, алгоритмом.

4. Если нестандартное, то выяснить, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо перейти к использованию искусственных приемов решения.

5. Выполнить эти преобразования.

6. Сделать проверку.

7. Записать ответ.

Алгебраическое уравнение первой степени с одной неизвестной – это уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно одной переменной. В некоторых учебниках все такие уравнения называют линейными. Однако чаще к линейным относят лишь уравнения вида , либо уравнения вида . Алгоритм решения линейных уравнений и сводящихся к ним основан на приведении подобных слагаемых и на двух основных свойствах уравнений: первое о переносе слагаемых из одной части в другую, второе – о делении обеих частей уравнения на ненулевое число. Этот алгоритм прочно осваивается учащимися и в дальнейшем воспринимается как единственный метод решения таких уравнений.

Пусть тогда получаем квадратное уравнение относительно переменной t

D= (-6)² – 4×5×1=16

t₁==1 t₃= =

1. t₁= 1, cosx=1, x₁=2πn, n€Z

2. t₁= , сosx=, x₂=±аrccos +2 πn, n€Z

3. Ответ: x₁=2πn, n€Z, x₂=±аrccos +2 πn, n€Z

Каким бы методом ученик не решал уравнение или систему, необходимо выполнять проверку. Рассмотрим типичные, часто встречающиеся ошибки, которые допускают ученики.

1. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений в одной из частей;

2. Неодинаковость и неправомерность действий, выполняемых в левой и правой части;

3. Упрощение левой и правой частей в отдельности, в результате чего может измениться ОДЗ;

4. Деление/умножение обеих частей на одно и то же выражение;

5. Извлечение квадратного корня из обеих частей с неумением поставить после этого правильный знак;

6. Возведение в квадрат обеих частей, что может привести к расширению ОДЗ;

7. При замене переменной не определяется ОДЗ новой переменной и др.

Учителю следует на простых примерах показывать учащимся суть каждого подхода, его преимущества и недостатки. Выбор же того или иного подхода определяется каждым конкретным решаемым уравнением. [1] На наш взгляд, прежде чем начинать выполнять преобразования самого уравнения, следует установить систему неравенств, задающих область допустимых значений уравнения, оценить трудоемкость ее решения, а уже потом делать выводы: выполнять ли преобразования уравнения с последующей проверкой корней подстановкой, либо свести решение уравнения к решению равносильной ему системе.

1. Костюченко Р.Ю. Обучение учащихся решению иррациональных неравенств // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» — 2007

2. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание – М, Наука, 1985 –230c

3. Колягин Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 1977

infourok.ru

Виды уравнений и способы их решения

ТЕМА: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

ЦЕЛЬ: Привести в систему знания учащихся по этой теме:

• повторить теорию решения уравнений;

• выработать умение определять вид уравнения,

выбирать наиболее рациональный способ решения данного уравнения.

Развитие интереса к предмету, активизация мыслительной деятельности, развитие творческого мышления, математической речи.

Формирование навыков самостоятельной деятельности, воспитание коллективизма, духа соревнования.

ХОД УРОКА

1. Даю историческую справку о том, что наука «алгебра» возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

2. Повторяем теорию по решению уравнений.

Задаю ученикам вопросы:

— Что называется уравнением?

— Что значит решить уравнение?

— Что называется корнем уравнения?

— Какие существуют способы решения уравнений?

— Какие существуют виды уравнений?

— Как определяется степень уравнения?

— Каков общий вид линейного уравнения? Квадратного?

— Дайте определение рационального, дробно-рационального уравнения, уравнения, содержащего модуль?

— Что называется областью допустимых значений уравнения?

3. Предлагаю учащимся решить уравнения, объясняя, какого вида уравнения, способ решения каждого уравнения, теоретически обосновывая каждый шаг.

1) Линейные уравнения

а) 3х + (20 – х) = 35,2,

б) ,

в)(х – 3)- х= 7 – 5х.

2) Квадратные и приводимые к квадратным

а) z- 10 = 29,

б) — х = 13,

в) (х – 4) — 5(х – 4) + 6 = 0,

г) х — 13х + 36 = 0,

д) (х + 2) — 11(х + 2)= 12.

3) Уравнения высших степеней

а) х = х,

б) 3у = 96,

в) х + х + х + 1 = 0,

г) – 5,5n(n – 1)(n + 2,5)(n — ) =0.

4) Дробно- рациональные уравнения

а)

б)

5) Иррациональные уравнения

а)2 + =4,

б)=-5,

в) = — x.

6) Уравнения с модулем

а) =

б)= -2,

в) х— 5= 0.

7) Уравнения с параметром

а) aх = 10,

б)2ах – 5 = 17.

4. Даю устную самостоятельную работу с последующей проверкой. Например, в виде теста в двух вариантах.

Найти наибольший (наименьший ) корень уравнения

См. Приложение 1

Решаем кроссворд.

См. Приложение 2.

5. Подвожу итог урока. Отмечаю:

• что повторили с ребятами,

• какие виды уравнений существуют,

• какие существуют способы решения уравнений,

• чему научились,

• кто был самым активным, кому нужно быть поактивнее.

Даю оценку устной работы и оценку устной самостоятельной работы каждого ученика.

6. Домашнее задание.

а) х + 2х — 15=0;

б) (х- 4х)- 7(х- 4х) +12=0;

в) х+9х— х-9=0;

г) у-15=0;

д) х- 625=0.

gigabaza.ru

что такое? Определение термина, примеры

В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин «уравнение». Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.

Математика. Уравнения

Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение — это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Что такое переменная? Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:

• температура воздуха;
• рост ребенка;
• вес и так далее.

В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с… Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.

Разновидности

Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:

• линейные;
• квадратные;
• кубические;
• алгебраические;
• трансцендентные.

Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.

Линейное уравнение

Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.

Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.

Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.

Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример линейного уравнения, по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.

Квадратные уравнения

Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax²+bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.

Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b²-4ac. Есть три варианта исхода решения:

• дискриминант больше нуля;
• меньше нуля;
• равен нулю.

В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.

Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.

Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.

Особые случаи в квадратных уравнениях

Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.

Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х²=0. В итоге получаем х=0.

Другой случай 16х²-9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х²=9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х²= девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.

Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х²+80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х²=-80, теперь каждую часть делим на пять: х²= минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.

Разложение трехчлена

Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х₁)(х-х₂). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.

Рассмотрим следующий пример: 3х²-14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).

Уравнения сводящиеся к квадратному

В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:

(x² – 2x)² – 2(x² – 2x) – 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x² – 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а²-2а-3=0. Наш следующий шаг — это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x² – 2x=-1; x² – 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.

Кубические уравнения

Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax ³ + b x ² + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.

Рассмотрим пример: 3х³+4х²+2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х²+4х+2)=0. Все что нам остается сделать — это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.

Алгебра. Уравнения

Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: методом группировки разложить на множетели 3х⁴+2х³+8х²+2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х⁴+3х²)+(2х³+2х)+(5х²+5). Заметим, что 8х² из первого выражения мы представили в виде суммы 3х² и 5х². Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х²(х2+1)+2х(х²+1)+5(х²+1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х²+1)(3х²+2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.

Трансцендентные уравнения

Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin²x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.

Функция

Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.

fb.ru

фото, эскизы, смысл, история, примеры популярных рисунков в современной татуировке

Тут вы сможете узнать значение геометрических тату, познакомитесь с историей и смыслом рисунков, сможете познакомиться с примерами популярных вариантов. Для тех, кто подбирает основу для собственной татуировки, рекомендуем после ознакомления с информацией, обратиться к разделам каталога:

Интересное про значение геометрических тату

Геометрические татуировки – искусство с математической точностью

Геометрический стиль – это относительно новое и прогрессирующее течение в искусстве татуировки. Несведущим людям может показаться, что в математических чертежах нет ничего привлекательного: ни красоты, не фантазии. Но глядя на эскизы, выполненные мастерами в данном стиле, невольно удивляешься игре линий, полёту вымысла и точности воспроизведения.

Основные сюжеты данного стиля

Такие татуировки очень эффектны, и, как правило, не остаются без внимания. Основу сюжетной линии определяют обычные геометрические фигуры:

– конусы

– кубы

– многоугольники

– шары

– ломаные и прямые линии

Излюбленным сюжетом является изображение меандра – линейного орнамента

Но это самые простейшие варианты. Чаще мастера тату – салонов «превращают» любой рисунок, будь то цветок, или даже женская фигура, в геометрический эскиз на теле. Высокопрофессиональный художник сумеет нанести в этом стиле от образа насекомого, до плана многоэтажного здания. Без использования различных линий: изогнутых, прямых, параллельных здесь не обойтись, именно  они ложатся в основу сотворения любого изображения.

Фото примеры:

Художественная передача геометрических тату выполняется в нестандартном решении:

• Обычный предмет принимает очертание геометрической фигуры
• Все эскизы изображаются в двухмерном пространстве
• Геометрические элементы сочетаются с разнообразными узорами и орнаментами

Что касается выбора участка тела для нанесения рисунка, то в данном случае нет никаких ограничений. Татуировки в стиле геометрия могут быть как массивными и сложными композициями, занимающими всю руку, или спину, так и небольшими, простыми и скромными. Всё зависит только от желания и предпочтения клиента.

 Особенности стиля

Работа над такими эскизами филигранна. Чёткое соблюдение пропорций, ювелирная техника – это уникальный уровень мастерства. Изображение геометрического орнамента с математической точностью, без искажения, при этом вплетая в него узор, создавая определённый сюжет, художественную картинку – это настоящее искусство.

Человеку с креативным мышлением придутся по вкусу различные многодетальные неординарные узоры: огненные знаки, цветы, символы из геометрических линий.

Значение эскизов геометрических татуировок

Фантазийные переплетения простых линий, собранных в единый смысловой рисунок – излюбленная тема мастеров татуировки. Геометрические эскизы одни из самых популярных в мире. С древнейших времён они имеют значение сакральности и таинственности, стоит вспомнить хотя бы символику тайных обществ.

Любой элемент: символ, пентаграмму, руну художник, создающий такие татуировки способен превратить в геометрический узор полный смысла и фантазии.

Большая популярность нательных рисунков в геометрическом стиле объясняется не столько внешней привлекательностью, а в большей степени, их скрытым смысловым значением. Все эти предметы таят в себе подтекст. Даже, казалось бы, самые обычные фигуры наделены значением, причём абсолютно неожиданным.

Например, всем известный треугольник имеет несколько толкований:

• Семья, брак
• Огонь, пламя
• Число три
• Жизненное равновесие
• Обеспеченность

Смотреть видео:

Это направление относят к динамично развивающимся, в нём постоянно появляются  новые и оригинальные варианты с использованием линий и фигур.

Желающим получить качественную татуировку, при этом показав уникальное самовыражение, можно смело выбирать стиль геометрия.

Вы можете посмотреть:

Подготовлено: ilucha123 (Бакшеева Ирина Николаевна)

tatufoto.com

эскизы (фигуры и животные), идеи, советы

Содержание статьи

Многие люди предпочитают оригинальные нательные рисунки, у которых нет аналогов. Благодаря этому желанию и появилось направление тату геометрия. Художник создает индивидуальный и неповторимый рисунок, сочетая различные геометрические орнаменты и фигуры.

В основном подобное изображение носит исключительно декоративный характер и не таит в себе никакого особенного смысла. Иногда человек желает преобразить важный для него образ или символ в геометрический шедевр. В таком случае татуировка наделяется значением исходного рисунка.

Особенности и преимущества стиля

Геометрические татуировки – это достаточно новое направление в искусстве тату. Именно поэтому подобные изображения смотрятся эффектно и свежо. Обычно композиция представляет собой сочетание различных объектов геометрии – правильных фигур, точек, векторов и линий.

Профессиональные мастера готовы преобразить любой желаемый образ в оригинальное сочетание. Это может быть изображение животного, растения, портрет, знак зодиака или целая картина в стиле тату геометрия.

Несомненным преимуществом тату в стиле геометрия является то, что его значение и философский подтекст известны только владельцу. Это придает ему некоторую загадочность и вызывает интерес окружающих.

Основополагающие принципы татуировки в стиле геометрия – идеальные пропорции и совершенство линий. Перед тем как обратиться к тому или иному мастеру, надо тщательно ознакомиться с его портфолио и убедиться в том, что он имеет достаточный опыт работы в этой области. Ведь каждое неверное движение может испортить блестящую задумку.

Основные виды геометрических изображений

В последнее время татуировки геометрия стали очень популярными. Подобные тату наносят многие люди, независимо от пола и возраста. Их принято делить на несколько групп.

1. Двухмерный рисунок, представляющий собой плоское изображение без передачи объема. Это может быть абстрактная композиция, орнамент, мандала, портрет человека, изображение животных.
2. Трехмерный рисунок, основанный на сочетании сложных геометрических фигур и градиентных переходах в тонах. Визуальные эффекты, создаваемые такой татуировкой, просто не позволят вам скрывать ее под одеждой, поэтому лучше выбрать для нее открытый участок тела. Популярностью у поклонников стиля пользуются тату с применением иллюзии движения. Здесь применимы приемы обмана зрения или мозга.
3. Комбинированный рисунок, сочетающий в себе реалистичность трехмерного тату-изображения, которое плавно переходит в плоскостной эскиз.

Использование цвета в геометрическом стиле

Выбор цветового решения зависит от индивидуальных предпочтений заказчика, общей концепции и значения тату геометрия. Такие татуировки могут быть и цветными, и черно-белыми.

Тату, выполненные в черном цвете, отличаются четкостью и графичностью. Это позволяет акцентировать внимание на отдельных деталях. Маленькие по размеру рисунки чаще делают именно в таком варианте исполнения.

Однако геометрические двухмерные композиции, абстракции и мандалы будут интереснее смотреться в цветном исполнении. Интересно, что именно геометрия иногда помогает выразить свой внутренний мир.

Трехмерные и комбинированные изображения смотрятся одинаково хорошо как в монохромном, так и в цветном варианте. Здесь стоит руководствоваться индивидуальным вкусом.

Сакральная тематика редко скрыта в тату геометрия, но если все-таки человек желает выразить свои религиозные или философские взгляды в этом стиле, то необходимо учесть, в какой цветовой гамме обычно выполняют исходные символы и каким значением наделяется каждый тон.

Выбор места

Определяющими факторами при выборе места для нанесения тату являются его размер и форма. Например, большое по объему изображение целесообразно наносить на спину или предплечье. Маленькая же татуировка в стиле геометрия поместится везде – и за ухом, и, например, на пальце.

Женщины предпочитают наносить тату скромных размеров, которые гармонично смотрятся на запястье, щиколотке или шее. В сети Интернет без труда можно найти примеры и фото тату в стиле геометрия и на их основе создать собственное интересное изображение, которое будет в полной мере отображать сущность владельца.

Видео о стилях тату

Фото тату в геометрии

Эскизы

Оценка статьи:

Поделиться с друзьями:

Смотрите также

Теорема об односторонних углах / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Теорема об односторонних углах

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 208, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 298, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 376, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 390, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 391, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 399, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 440, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 462, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 809, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

Определение односторонних углов, геометрия

06 июня 2015 г., 6:28:47 (4 года назад)

Односторонние углы при параллельных прямых и секущей — это углы, лежащие по одну сторону от секущей как бы внутри этих параллельных прямых. Прямые могут быть и не параллельны. 

25 янв. 2017 г., 2:17:07 (2 года назад)

Моя работа связана с постоянными поездками и перелетами в разные страны. Видимо в какой-то момент — это издевательство надоело моему организму и однажды в постели случился конфуз. Пришлось даме объяснять, что работа у меня нервная и все такое. Больше не хотелось таких осечек, и я решил что-нибудь предпринять. Сначала хотел народными средствами полечится, но потом все-таки решил взять старую добрую Виагру, благо с деньгами проблем нет. Порадовало то, что достаточно принять одну таблетку и все налаживается. Но жалко, что эффект длится только несколько часов, хотелось бы подольше. А в целом отличный препарат, с минимумом побочных эффектов [url=http://mister-vig.ru/]купить дженерик виагры в спб[/url]

28 янв. 2017 г., 4:25:34 (2 года назад)

Комплекс, основанный на природных компонентах, подавляет активность паразитов и способствует безвредному выведению их из организма. Он применяется как для лечения, так и для профилактики заболевания. — интоксик цена в аптеке рязань

28 янв. 2017 г., 15:00:44 (2 года назад)

Мы так же обращаем ваше внимание на то, что в состав препарата входят только натуральные вещества! Именно по этой причине лекарство Интоксик превосходит остальные медицинские препараты от гельминтов в плане эффективности и скорости работы — интоксик купить в аптеке краснодар

21 февр. 2017 г., 2:04:43 (2 года назад)

Мы приглашаем на наш интернет-сайт граждан, которые хотят прочесть про ощад 24 7 веб банкинг и получить актуальную информацию, где можно быстро получить выгодный кредит на территории Украи

geometria.neznaka.ru

Теорема о равенстве соответственных углов. Теорема о свойстве односторонних углов

Вспомним теорему о равенстве накрест лежащих углов:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей c. Необходимо доказать, что соответственные углы 1 и 2 равны. Так как прямая а параллельна прямой b, то накрест лежащие углы 2 и 3 равны. ∠1 и ∠3 равны как вертикальные. Из равенств ∠2=∠3 и ∠1=∠3 следует, что ∠1=∠2. Теорема доказана.

Пример.

Пусть прямая MN параллельная биссектрисе AD треугольника АВС.

Тогда ∠NMC=∠BAD. Действительно, углы NMC и DAC равны как соответственные углы, а ∠DAC=∠BAD, так как AD — биссектриса.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей c. Доказать, ∠1+∠2=180 градусов. Так как прямая а параллельна прямой b, то соответственные ∠1 и ∠3 равны. ∠2+∠3=180 градусов, так как углы 2 и 3 смежные. Тогда, из равенств угол ∠1=∠3 и ∠2+∠3=180 градусов, следует, что ∠1+∠2=180 градусов. Теорема доказана.

Например: пусть прямая DE параллельна стороне АВ треугольника АВС. Тогда ∠BAD+∠ADE=180 градусов.

Пример.

Луч BD - биссектриса угла АВС, прямая DE параллельна прямой АВ, а ∠ЕDB=32 градуса. Чему равен ∠CED?

Углы BDE и ABD равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DE и секущей BD. То есть ∠ABD=32 градуса. Тогда ∠АВС=64 градуса, так как ВD — его биссектриса.

Углы АВС и CED являются соответственными углами при параллельных прямых АВ и DE и секущей ВС, а значит, они равны. Следовательно, ∠CED=64 градуса.

Пример.

Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньше градусной меры другого на 26 градусов. Вычислить градусные меры этих углов.

Пусть а и b параллельные прямые, прямая c — секущая при этих параллельных прямых, а ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние.

Пусть ∠1=x, тогда ∠2=x-26. Так как ∠1 и ∠2 являются внутренними односторонними при параллельных прямых а и b и секущей с, то их сумма равна 180 градусов, то есть ∠1+∠2=180 градусов.

Тогда:

Получаем:

videouroki.net

геометрия 7 класс помогите пожалуйста

-углы, лежащие между прямыми и по одну сторону секущей, называются внутренними односторонними углами; 4 и 7

Никого не слушайте – лучше пришлите мне свое задание на почту: [email protected] А то здесь писать не очень удобно. На сейчас примерно 1529 студентов получили ответы.

Внутренний односторонний четвертому — седьмой Соответственный — восьмой Внутренний накрест лежащий — пятый

Держи фаил в архиве, lfr) 317644 <a rel=»nofollow» href=»http://hyyqat.blogspot.com/2016/12/blog-post_22.html» target=»_blank»>http://hyyqat.blogspot.com/2016/12/blog-post_22.html</a>

Выберите пару данному углу так, чтобы эти углы были бы накрест лежащими углами. ∢2 и угол?

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: какие виды углов бывают?

Тупые, острые, прямые.

Тупые, острые, прямые

прямой, острый, тупой

Острый менее 90 градусов Прямой равен 90 градусам Тупой более 90 но меньше 180 градусов Развернутый равен 180 градусам

еще есть развернутый 180 градусов

Тупой угол &gt; 90 градусов; Острый угол &lt; 90 градусов; Прямой угол = 90 градусов. Развернутый =180. Это проходят 6-7 классе: Смежные — сумма 2 углов, равная 180 градусам. Вертикальные углы — углы образованные при пересечении двух прямых, они равны. Лежащие крест на крест — углы образованные при пересечении двух (паралельных) прямых и секущей. Соответсвенные — углы образованные при пересечении двух (паралельных) прямых и секущей. Одностороние углы — углы, образованные при пересечении двух (паралельных) прямых секущей.

острый — угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные — углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные — углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие — углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние — углы треугольника внутри односторонние — углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные — углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу

Острый менее 90 градусов Прямой равен 90 градусам Тупой более 90 но меньше 180 градусов Развернутый равен 180 градусам

Острый менее 90 градусов Прямой равен 90 градусам Тупой более 90 но меньше 180 градусов Развернутый равен 180 градусам

тупые острые прямые и развёрнутые

тупой острый прямой

большое спасибо

прямой, острый, тупой

Прямой, острый, тупой, внешний

Острый, прямой, тупой, и развенумый

Прямой-90 градусов, Тупой-больше 90 градусов, Острый меньше 90 градусов, Развёрнутый.

Прямой, острый, развёрнутый, тупой.

смежные, вертикальные, тупые, острые, прямой, развёрнутый

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Помогите: Луч. Угол. Виды углов

острый — угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные — углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные — углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие — углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние — углы треугольника внутри односторонние — углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные — углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и 2 лучей, исходящих из этой точки. Углы бывают : острые, тупые и прямые. Луч — часть прямой, расположенная по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и включающая эту точку.

Угол-это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Углы бывают: острые, тупые, прямые, развёрнутые

touch.otvet.mail.ru

). «Две прямые параллельны, если односторонние углы равны»?

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:1VUqXny»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Вертикальные углы вроде, в геометрии не шарю

если внутренние накрест лежащие, соответственные или односторонние углы равныы!

нет, если сумма односторонних углов равна 180 градусов, тогда прямые параллельные

Если при пересечении двух прямых секущей накрест, сумма односторонних углов равна 180 гр. то прямые параллельны.

touch.otvet.mail.ru

Определить простоту числа онлайн

На этой странице рассмотрим задачи while22 и while23 задачника Абрамяна: определение простоты числа и задача о нахождении наибольшего общего делителя соответственно. Ниже есть форма для проверки числа на простоту, для этого нужно ввести целое положительное число в жёлтое поле и нажать «проверить».

While22. Дано целое число N (> 1). Если оно является простым, то есть не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя, то вывести true, иначе вывести false.

Код Pascal

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15  
16  
17  
18  
19  
20  
21  
22  
23  
24  
25  
26  
27  
28  
29  
30  
31  
32  

var
  N, i, m: integer;
  f: boolean; { Индикатор простоты числа: 
                True - протое, False - составное }

begin
  write('N = ');
  readln(N); { <-- вводим число для проверки на простоту }
  if N = 1 then f := false { <-- число 1 НЕ считается простым }
  else
  if N = 2 then f := true { <-- число 2 - простое }
  else
  { Если N + 1 нечетное, то есть N четное, то число N не может 
  быть простым (f = false): }
  if odd(N + 1) then f := false
  else begin { <-- далее проверяем нечетные числа }
    i := 3; { <-- минимальное нечетное простое число }
    f := true; { <-- по умолчанию число считаем простым }
    { Достаточно проверять все i, квадрат которых не больше N, 
    ибо в противном случае делители начнут повторяться. }
    while (i * i <= N) and f do 
      { Если i - ДЕЛИТЕЛЬ N, то число N составное и f = false. 
      В противном случае увеличиваем делитель i на 2: }
      if N mod i = 0 then f := false
      else i := i + 2
  end;
  writeln;
  { Выводим значение f. Если f в цикле не изменилась на, то мы 
  получим True, в противном случае - False: }
  writeln(' ', f);
  readln
end.

НОД(A, B) = НОД(B, A mod B), если B ≠ 0; НОД(A, 0) = A,

Решение этой задачи смотрите на странице наибольший общий делитель.

progmatem.ru

Проверка числа на принадлежность его к простым числам

Простые числа — это натуральные числа, которые делятся только на единицу и на себя. В математике простые числа занимают особое значение.

Простые числа

Математика — всеобъемлющая наука, пронизывающая все человеческую жизнь. Как и у любой науки, у математики есть фундамент. Все строится на числах, и натуральные числа — это начало математики. 1, 2, 3, 4, 5, 6… используются для счета, но числа могут быть еще проще. Допустим, 6 = 2 × 3, а вот 5 делится только на себя и на единицу. Неделимые — это 2, 3, 5, 7, 11, 13… Современное научное сообщество не включает 1 в разряд простых чисел, хотя она, безусловно, делятся только на себя и на единицу. Отсутствие единицы в ряду неделимых позволяет элегантно формулировать многие математические постулаты, поэтому ряд простых чисел всегда начинается с двойки.

Именно такие простые числа, которые нельзя разложить на множители, и являются атомами математики. Как и атомы химических элементов создают все вещества во Вселенной, так и неделимые формируют составные числа. Любое составное целое число мы можем разложить на произведение простых делителей, причем делители могут определяться разными методами, но результат всегда будет один и тот же.

Поиск простых чисел

Распределение простых чисел — это открытая проблема математики. Мы до сих пор не располагаем формулой для определения неделимых и не знаем доказанных закономерностей их распределения в ряду натуральных чисел. Магия цифр очаровывала ученых с античных времен, и первый метод поиска неделимых разработал Эратосфен Киренский. Древнегреческий ученый выстроил все натуральные числа в ряд, подчеркнул двойку и начал методично вычеркивать числа, которые делятся на 2. Затем он подчеркнул тройку и вычеркнул все числа, кратные 3 и так далее. Таким трудоемким способом он вычеркнул все составные числа из ряда, а оставшиеся неделимые составили так называемое решето Эратосфена.

При помощи решета мы можем определить простоту небольших чисел, однако как мы определим неделимость, к примеру, числа 58 467 или 58 477? Исключая 2 и 5, большинство простых чисел должны заканчиваться на 1, 3, 7, но это недостаточное условие. Числа выше тому подтверждение, 58 467 — составное число, раскладываемое на 3 и 19 489. А вот 58 477 — неделимое. Для решения подобных задач используется факторизация числа, однако для слишком больших чисел такой способ требует огромных вычислительных мощностей.

Самое большое простое число

Согласно гипотезе Евклида, простые числа устремляются в бесконечность. Современные математики бьются над поиском самого большого неделимого, однако с каждым годом открываются все большие и большие числа. На сегодняшний день самым большим простым числом является число Мерсенна М74207281, которое представляет собой 2ⁿ – 1, где n = 74207281. Это чудесное число содержит 22 338 618 цифр, а его запись занимает объем, равный семи романам «Война и мир». Ученые работают именно с числами Мерсенна, то есть числами вида 2ⁿ – 1, так как они эффективно проходят тест Люка — Лемера — тест простоты, разработанный для проверки чисел на принадлежность к неделимым.

Использование простых чисел

Помимо теории чисел, наиболее очевидной сферой применения неделимых является криптография и защита информации. Большие простые числа используются в криптографических алгоритмах шифрования данных и при создании электронных цифровых подписей. В мире информационных технологий простые числа являются фундаментом информационной безопасности.

Проверка на простоту

Наш калькулятор позволяет проверить на делимость любое целое число от 0 до 9 999 999. Введя переменную в окно калькулятора, вы получите ответ в виде принадлежности числа к простому или составному типу, а также два ближайших неделимых.

Пример из реальной жизни

Школьная задача

В учебниках по арифметике вам могут встретиться задачи на определение наименьшего общего кратного или наименьшего общего делителя. Для решения подобных задач используется метод разложения составного числа на простые множители. Если в задачах будут заданы достаточно большие числа, то прежде чем искать множители, рационально будет проверить число на делимость. Для этого и используйте наш калькулятор. К примеру, вам требуется найти НОК для пары 10628 и 15727. Если 10628 достаточно просто разложить на делители 2 × 2 × 2657, то число 15727 — простое, следовательно, задача не имеет решения.

Заключение

Неделимые — удивительные осколки, разбросанные в океане чисел. Мы только исследуем их природу и ищем способы проверки на неделимость поистине огромных чисел. Ну а для проверки небольших неделимых используйте наш калькулятор — быстрый и удобный инструмент для определения простоты чисел.

bbf.ru

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТОТЫ ЧИСЛА

В данной работе рассматриваются основные алгоритмы определения простоты числа. Мы сравним их, используя различные критерии, и определим наиболее оптимальный из них. Наконец, мы предложим программную реализацию самого эффективного и распространённого алгоритма.

Основные определения

Введем некоторые определения, которые будут использованы в работе. 

Определение 1. Простое число – натуральное (целое положительное) число ℕ, которое имеет ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя.

Определение 2. Составное число – натуральное (целое положительное) число ℕ, которое не является простым.

Определение 3. Тест простоты – алгоритм, который по заданному натуральному числу ℕ позволяет точно или с некоторой долей вероятности определить, является ли это число простым.

Определение 4. Криптография – наука о методах обеспечения конфиденциальности, целостности данных, аутентификации, а также невозможности отказа от авторства.

Определение 5. НОД(a,b) = d, d-наибольший общий делитель, если

1)

2)

Введение

Дискретная математика — важнейшее направление современной математики. Задачи этой дисциплины являются одними из самых трудноразрешимых. Например, решение задачи факторизации, которая заключается в разложении числа на простые множители, на практике сводится к поиску простых чисел, что приводит к проблеме простоты.

Постановка проблемы

Проблема определения простоты числа интересна с научной точки зрения, так как на данный момент не найдено единой аналитической записи для всех простых чисел. С другой стороны, большие простые числа применяются в криптосистемах с открытым ключом, и вопрос определения простоты числа является нетривиальной задачей. Простые методы, такие, как метод перебора, неприменимы для использования на практике из-за того, что требуют много вычислительных и временных ресурсов. Таким образом использование эффективного теста простоты позволяет повысить скорость и надежность алгоритмов в криптографии.

Тесты простоты

Следует отметить, что существующие алгоритмы проверки простоты могут быть разделены на две больших категории: истинные (детерминированные) и вероятностные тесты. Алгоритмы первой категории позволяют точно определить простоту или составность числа. А те, что относятся ко второй категории, позволяют это выяснить, но с некоторой вероятностью ошибки. Многократное их повторение для одного числа, но с разными параметрами, обычно позволяет сделать вероятность ошибки сколь угодно малой величиной.

Перебор делителей

Тип теста: детерминированный

Сложность алгоритма:

Описание: алгоритм тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

Алгоритм: представлен на рисунке 1 в виде блок-схемы.

Рисунок 1. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи перебора делителей.

Практическое применение: в чистом виде не используется из-за сравнительно большой вычислительной сложности. Деление на маленькие простые числа используется как один из шагов во многих тестах.

Теорема Вильсона

Тип теста: детерминированный

Сложность алгоритма:

Описание: натуральное число n > 1— простое число тогда и только тогда, когда (mod n)

Алгоритм: представлен на рисунке 2 в виде блок-схемы.

Рисунок 2. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи теоремы Вильсона

Практическое применение: не применяется из-за трудности вычисления

(n-1)! при больших числах n.

Тест Агравал—Кайал—Саксена (AKS)

Тип теста: детерминированный

Сложность алгоритма:

Описание: единственны полиномиальный детерминированный алгоритм проверки числа на простоту. Если существует  такое что  и для любого a от 1 до  выполняется сравнение  то n – либо простое число, либо степень простого числа.

Алгоритм: представлен на рисунке 3 в виде блок-схемы.

Рисунок 3. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи теста AKS

Практическое применение: в качестве детерминированной полиномиальной проверки на простоту.

Критерий Поклингтона

Тип теста: детерминированный

Сложность алгоритма:, где с – положительная константа, , зависящие от выбора алгоритма факторизации.

Описание: пусть n – натуральное число и n-1 имеет простой делитель q, причем . Если найдется целое число a, для которого выполняются условия:

1.(mod n)

2. НОД(

Тогда n является простым числом.

Алгоритм: представлен на рисунке 4 в виде блок-схемы.

Рисунок 4. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи критерия Поклингтона

Практическое применение: для получения больших простых чисел с частично известной факторизацией n – 1.

Тест Ферма.

Тип теста: вероятностный

Сложность алгоритма: O(log²n × loglog n × logloglog n)

Описание: тест простоты, основанный на малой теореме ферма, которая гласит, что если n – простое число, то для любого целого a выполняется равенство

 или   делится на  нацело.

Алгоритм: представлен на рисунке 5 в виде блок-схемы.

Рисунок 5. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи теста Ферма.

Практическое применение: в чистом виде не используется. Лежит в основе многих алгоритмов проверки простоты числа.

Тест Миллера-Рабина

Тип теста: вероятностный

Сложность алгоритма: O(k*log²n), k–количество раундов

Описание: пусть n > 2 – натуральное число, тогда представим число n-1 в виде

n-1 = *t , где t – нечетно, а s — неотрицательно. Число a является свидетелем простоты для числа n, если выполняется одно из условий:

 или  . Количество свидетелей простоты увеличивают достоверность алгоритма.

Алгоритм: представлен на рисунке 6 в виде блок-схемы.

Рисунок 6. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи теста Миллера-Рабина.

Практическое применение: используется в криптосистемах с открытым ключом. Позволяет проверить число на простоту за малое время и давать при этом малую вероятность того, что оно окажется псевдопростым.

Тест Соловея — Штрассена

Тип теста: вероятностный

Сложность алгоритма: O(log³n)

Описание: данный алгоритм характеризуется числом итераций k. В каждой итерации выбирается случайное число a < n. Если НОД (a, n) > 1, то число n — составное. В противном случае нужно выяснить, справедливо ли сравнение (mod n). Если сравнение не выполняется, то число n — составное. Если оно выполняется, то a – свидетель простоты числа n. Далее следует повторить данную процедуру, используя другое случайное число a. После нахождения количества свидетелей простоты k (число итераций) можно предположить, что n является простым числом с вероятностью .

Алгоритм:

Рисунок 7. Алгоритм проверки числа на простоту при помощи теста Соловея-Штрассена.

Практическое применение: не используется из-за недостаточной степени достоверности.

Сравнение тестов простоты

Рисунок 8. Сравнение алгоритмов проверки числа на простоту

Была проведена сравнительная характеристика различных алгоритмов определения простоты числа, по результатам которой можно построить график (рисунок 8). Нетрудно заметить, что среди тестов, которые подверглись проверке на быстродействие, самым эффективным оказался тест Миллера-Рабина. Рассмотрим его программную реализацию в виде консольного приложения.

Программная реализация теста Миллера-Рабина

Рисунок 9. Демонстрация программной реализации алгоритма Миллера-Рабина.

Заключение

Подводя итоги, можно констатировать, что были изучены различные алгоритмы определения простоты числа и осуществлён их сравнительный анализ. Проведённые исследования позволяют сделать вывод о том, что тест Миллера-Рабина является наиболее эффективным и универсальным из тех, что были рассмотрены в данной статье.

Список литературы:

1. Додонова Н.Л. Конспект лекций по дисциплине алгебраические структуры и теория чисел. Самара, 2016
2. Шнайер, Б.М. Прикладная криптография/ Б.М.Шнайер — ТРИУМФ 2002. – 816 с.

sibac.info

Проверка простых чисел | Защита информации

Общее

В данной статье вы увидите обзор известных алгоритмов проверки чисел на простоту. На сегодня не существует единого алгоритма для определения всех простых чисел. Все методы проверки делят на две группы: вероятностные проверки и детерминированные. Детерминированные методы определяют точно, является ли число простым. Вероятностные проверки определяют число на простоту с некой вероятностью ошибки. Многократное повторение для одного числа, но с разными переменными, разрешает сделать вероятность ошибки сколь угодно малой величины.

Быстрые тесты для малых чисел и вероятно простые числа

Малые простые числа

Пока не было нужды в генерации больших простых чисел, можно было реализовывать методы проверки без применения вычислительной техники. Первым из таких методов является полный перебор всех возможных делителей. Есть модификация, которая не хуже всего перебора, называется — пробное деление. Он заключается в делении на предыдущие простые числа либо равные корню из этого числа. Для такого метода можно использовать решето Эратосфена.

Малая теорема Ферма

Французский математик Пьер Ферма в 17 веке выдал закономерность, которая лежит в основе почти всех методов проверки на простоту.

Малая теорема Ферма — Если P простое и A — любое целое, то A^P = A (mod P). Если P не делит А, то А^P-1 = 1 (mod P). На основе такой теоремы, можно создать мощный алгоритм на простоту:

• Тест Ферма: Для n > 1 выбираем a > и вычисляем A^n-1 mod n, если результат не 1, то n составное число, если 1, то n — слабо возможно простое по основанию a (a-PRP)

Часть чисел проходящие Тест Ферма являются составными, и их называют псевдопростыми.

Тест Рабина-Миллера

Можно улучшить тест Ферма, заметив, что если n — простое нечетное, то для 1 есть только два квадратных корня по модулю n: 1 и -1. По этому квадратный корень из A^n-1, A^(n-1)/2 равен минус или плюс еденице. Если (n-1)/2 опять нечетно, то можно снова извлечь корень и тд. Первый вариант алгоритма определяет только одно деление:

• Тест Леманна: Если для любого целого числа А меньшего n не выполняется условие A^(n-1)/2 = ± 1 (mod n), то число n — составное. Если это условие выполнено, то число n — возможно простое с вероятностью ошибки не больше 50%.
• Тест Рабина-Миллера: Запишем (n-1) в виде 2^sd, где d нечетно, а s — неотрицательно: n называют сильно возможно простым по основанию A (A-SPRP), если реализуется одно из двух условий:
  • A^d = 1 (mod n)
  • (A^d)^2r = -1 (mod n), для любого неотрицательного r < s

В 1980 году была доказана вероятность ошибки теста Рабина-Миллера не превышающая 1/4. Реализуя этот тест T раз для разных оснований, мы получим вероятность ошибки 2^-2t

Объединение тестов

Классические тесты

Проверки чисел вида n + 1

Тест заключается в том, что мы должны знать частичное или полное разложение на множители числа n — 1. Разложение на множители n — 1 просто найти, если n имеет определенный вид.

• Тест Лукаса: N ≥ 3. Если для каждого простого q, делящего n — 1 есть целое А такое что:
  • A^n-1 = 1 (mod n) и
  • A^(n-1)/q ≠ 1 (mod n), то n — простое

Для такой проверки нужно знать полное разложение n — 1 на простые множители. Более мощная версия определяет знание не полного, а частичного разложения n — 1 на простые множители. Такой вариант алгоритма был выдан Поклингтоном в 1914 году.

• Тест Поклингтона: N ≥ 3 и n = FR + 1 (F делит n-1), причем F > R, НОД (F,R) = 1 и известно разложение F на простые множители. Тогда, если для любого простого q, делящего F есть такое целое A > 1, что:
  • A^n-1 = 1 (mod n) и
  • НОД (A^(n-1)/q — 1, n) = 1

• Теорема Пепина: пусть F_n это n-е число Ферма и n > 1, тогда F_n — простое тогда и только тогда, когда 3^{(F_n — 1)/2} = 1 (mod F_n
• Теорема Прота: Пусть n = h × 2^k + 1, причем 2^k > h. Если есть такое целое A, что A^(n-1)/2 = -1 (mod n), то n — простое

На основе теоремы Прота было найдено пятое по величине из известных простых чисел — 28433 × 2^7830457

Проверки чисел вида n — 1

Здесь рассмотрим числа только определенного вида. 7 из первых 10 позиций по самым большим известным простым числам были найдены с помощью чисел Мерсенна. Числа Мерсенна называют числа вида 2^s -1.

Лукасом и Лемером в 1930 году было создано следующее утверждение: пусть s — простое, тогда число Мерсенна n = 2^s — 1 является простым тогда, когда S (n — 2) = 0, где S(0) = 4 и S(k+1) = S(k)² — 2 (mod n). На основе такого факта можно создать проверку на простоту, которая точно скажет нам, является ли для заданного s число Мерсенна простым.

• Тест Лукаса-Лемера:
  • С помощью пробного деления проверяем, является ли данное s простым, если нет, то получившееся число Мерсенна — составное
  • Задаем S(0) = 4
  • Для k от 1 до s — 2 вычисляем S(k) = S(k-1)² — 2 (mod n)
  • Если в результате получился 0, то число Мерсенна простое

Неоклассические алгоритмы ARP и ARP-CL

Можно рассматривать числа в виде n² + n + 1 или n² — n + 1. А можно рассмотреть число вида n^m — 1 для больших m. Тогда любое просто число q такое, что q — 1 делит m, по малой теореме Ферма будет делить n^m — 1.

Было представлено, что всегда существует целое число m:

Эллиптические кривые: ECPP

Современные вариант проверок на простоту основан на теореме Поклингтона, но для эллиптических кривых. Смысл алгоритма заключается в переходе от групп порядка n — 1 и n + 1 к достаточно большему диапазону размеров групп.

AKS

В 2002 году летом индийские математики Аграавал, Саксен и Кайал нашли полиномиальный детерминированный алгоритм проверки числа на простоту. Их метод основан на версии малой теоремы Ферма:

• Теорема: Пусть A и P взаимно простые целые числа и P > 1. Число P является простым, когда (x — a)^p = (x^p — a) (mod p)
• Доказательство: Если p — простое, то p делит биномиальные коэффициенты _pC_r для r = 1,2 ..p-1. Пусть p — составное, и пусть q — простой делитель p. Пусть q^k максимальная степень q которая делит p. Тогда q^k не делит _pC_r и взаимно просто с A^p-q. Отсюда, коэффициент перед x^q в левой части требуемого равенства не равен нулю, а в правой равен. Алгоритм для числа n ≥ 23 (странное число получается из одного из требований для корректной работы алгоритма)

if (n is has the form ab with b > 1) then output COMPOSITE
r := 2
while (r < n) {
	if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE
	if (r is prime greater than 2) then {
		let q be the largest factor of r-1
		if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-1)/q is not 1 (mod r)) then
break
	}
	r := r+1
}
for a = 1 to 2sqrt(r)log n {
	if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) ) then output COMPOSITE
}
output PRIME;

Итоги

Из таблицы видно, что разные методы проверки на простоту служат для двух целей:

• для получения очень больших целый чисел
• для генерации простых чисел определенного размера для реализации в криптографии

Аналитическую работу провел студент (ГУ МФТИ) кафедры радиотехники Кучин Борис.

infoprotect.net

Как проверить простое ли число

21 декабря 2011

Автор КакПросто!

Теория простых чисел волнует математиков многие века. Известно, что их бесконечное множество, но тем не менее до сих пор не найдено даже формулы, которая давала бы одни простые числа.

Статьи по теме:

Инструкция

Пусть по условию задачи вам задано число N, которое необходимо проверить на простоту. Для начала убедитесь, что N не имеет самых тривиальных делителей, то есть не делится на 2 и 5. Для этого проверьте, что последняя цифра числа не равна 0, 2, 4, 5, 6 или 8. Таким образом, простое число может заканчиваться лишь на 1, 3, 7 или 9. Просуммируйте цифры числа N. Если сумма цифр делится на 3, то само число N будет делиться на 3 и, следовательно, не является простым. Походим образом проверяется делимость на 11 — надо просуммировать цифры числа с переменой знака, поочередно суммируя или вычитая каждую следующую цифру из результата. Если результат будет делиться на 11 (или равняться нулю), то и исходное число N делится на 11. Пример: для N = 649 знакопеременная сумма цифр М = 6 — 4 +9 = 11, то есть это число делится на 11. И действительно, 649 = 11·59. Введите свое число на сайте http://www.usi.edu/science/math/prime.html и нажмите кнопку “Check my number”. Если число простое, программа напишет что-то вроде “59 is prime”, а иначе представит его в виде произведения множителей. Если обратиться к интернет-ресурсам по какой-то причине возможности нет, придется решать задачу перебором множителей — существенно более эффективного метода до сих пор не найдено. Вам нужно перебрать простые (либо все) множители от 7 до √N и попытаться произвести деление. N окажется простым, если ни на один из этих делителей не разделится нацело.

Чтобы не заниматься перебором вручную, можно написать собственную программу. Вы можете воспользоваться любимым языком программированию, скачав для него математическую библиотеку, в которой есть функция определения простых чисел. Если библиотека вам недоступна, придется действовать перебором, как описано в пункте 4. Удобнее всего перебирать числа вида 6k±1, так как все простые числа кроме 2 и 3 представимы в таком виде.

www.kakprosto.ru

Модуль

Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.

\(|a|=\begin{cases} a, \;\; если \;  a>0 \\ 0, \; если\;\; a=0\\ -a,\; если \;\;  a<0  \end{cases}\)

Второе название модуля – «абсолютное значение действительного числа».

Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:

— если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. При этом само выражение не меняется.

— если же оно отрицательно, то при снятии модуля перед подмодульным выражением надо добавить знак «минус», чтобы сделать его положительным.

Об этом правиле нужно помнить при работе с более сложными выражениями или выражениями, содержащими переменные.

Пример. Раскрыть \(|\sqrt5-3|\)

Решение: Под модулем отрицательное выражение (т.к. \(\sqrt 5 \approx 2,24\), то есть меньше \(3\)). Значит, раскрывать модуль надо добавляя минус перед выражением:

Ответ:   \(3-\sqrt 5\)

Пример. Раскрыть  \(|x^4+1|\)

Решение: т.к. \(x^4+1\) больше нуля при всех значениях \(x\), то \(|x^4+1|=x^4+1\).

Ответ: \( x^4+1\)

Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).

Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):

\(|7-x|-|x+3|=-(7-x)-(x+3)=-7+x-x-3=-10\)

Ответ: \(-10\)

Геометрическое определение модуля

\(|a|\) — это расстояние от \(0\) до числа \(a\) на числовой оси

Пример. Чему равен \(|5|\)  и \(|-5|\)?

Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).

Значит ответ: \(|5|=5\),   \(|-5|=5\).

Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.

Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.

Решение простейших уравнений с модулем

Уравнения вида \(|f|=g\) решается с помощью перехода к совокупности   \( \left[ \begin{gathered}f= g\\  f=-g\end{gathered}\right.\) , при условии, что \(g≥0\).

Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.

Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.

Ответ:  \(\frac{1}{4}\)

Решение простейших неравенств с модулем

Неравенство вида \(|f|< c\) решается с помощью перехода к двойному неравенству   \( -c< f< c\) , при условии, что \(c>0\).

Начнем опять с условия. Почему \(c>0\)? Потому что, иначе неравенство не будет иметь решения. Здесь все также как в уравнениях. В самом деле, когда, например, модуль икса меньше \(-7\)? Никогда!

Теперь разберем неравенство \(|x|<3\). Какие иксы нам подойдут? Все от \(-3\) до \(3\). Иначе говоря, икс должен лежать между \(-3\) и \(3\). Это утверждение можно записать вот так \(-3< x <3\) либо системой \(\begin{cases}x<3\\x > -3\end{cases}\). В любом случае ответ будет \(xϵ (-3;3)\).

Неравенство вида \(|f|>c\) решается с помощью перехода к совокупности неравенств \( \left[ \begin{gathered} f>c\\ f< -c\end{gathered}\right.\), при условии, что \(c≥0\).

А здесь почему \(c≥0\)? Потому что иначе решать нечего: если \(c\) отрицательно, то модуль абсолютно любого икса нам подойдет. И значит ответ, икс – любое число.

Теперь о переходе. Рассмотрим неравенство \(|x|>3\). Какие иксы нам подойдут? Все, модуль которых больше трех, то есть от минус бесконечности до \(-3\) и от \(3\) до плюс бесконечности. Записывая системой получим \(\begin{cases}x>3\\x < -3\end{cases}\). Ответ будет \(x ϵ (-∞;-3)⋃(3;∞)\).

Смотрите также:
Свойства модуля

cos-cos.ru

Как извлечь из модуля 🚩 как раскрывать модуль 🚩 Математика

Инструкция

Если в подмодульном выражении имеются неотрицательные числа, то их можно вынести за пределы модуля. |c*x|=c*|x|, где с – неотрицательное число.

Когда имеет место уравнение вида |x|=|c|, где x является искомой переменной, а c действительным числом, то раскрыто оно должно быть следующим образом: x=+-|c|.

Если нужно решить уравнение, содержащее модуль выражения, результатом которого должно быть вещественное число, то знак модуля раскрывают, исходя из свойств этой неопределенности. К примеру, если имеется выражение |x-12|, то, если (x-12) – неотрицательное, оно останется неизменным, то есть модуль раскроется как (x-12). Но |x-12| превратится в (12-x), если (x-12) меньше нуля. То есть, модуль раскрывается в зависимости от значения переменной или выражения в скобках. Когда знак результата выражения неизвестен, то задача превращается в систему уравнений, первое из которых рассматривает возможность отрицательного значения подмодульного выражения, а второе – положительного.

Иногда модуль можно однозначно раскрыть, даже если его значение неизвестно по условиям задачи. Например, если под модулем находится квадрат переменной, то результат будет положительным. И наоборот, если там заведомо отрицательное выражение, то модуль раскрывается с противоположным знаком.

www.kakprosto.ru

Понятие модуля числа и алгебраических выражений

« Модуль числа и алгебраического выражения. Линейные уравнения, содержащие модуль»

Что такое модуль?

• Слово «модуль » произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера ».
• Это многозначное слово , которое имеет множество значений и применяется не только в математике,  но и в физике, технике, программировании и других точных науках.
• В технике – это термин служит для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости.
• В физике — это модуль объемного сжатия, отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Понятия и определения.

• Уравнение – это равенство, содержащее переменные.

• Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например:  | х | = 1
• Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
• Модуль – расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой.

Определение модуля числа.

Модуль – это расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой.

А это значит:

Модуль числа а равен а, если а больше или равно нулю и равен – а, если а меньше нуля :

                           а,  если  а 0;               | а |=                         — а,  если  а

Из определения следует, что для любого действительного числа а,

  | а | 0 и | -а |  =  | а |.

Примеры:

• │ 5│= 5
• │ 2- 6│= — (- 4)=4 так как (2-6) – число отрицательное.
• │ -8│= -(- 8 )= 8 так как (-8) – число отрицательное.
• │ 2-13│= -(-11)=11, так как (2-13) – число отрицательное.

Решение уравнений:

• ׀ х ׀ = а х = а, если а0 или х = -а, если а
• ׀ х — 5 ׀ = 6 х-5=6 х=11, х-5=-6 х=-1
• ׀ 2 х+7 ׀ =- 4 ø решений нет.
• ׀ 7 х-49 ׀ = 0 7 х-49=0 7х=49 х=49:7 х=7

Алгоритм нахождения модуля числа

Блок-схема

Отработка алгоритма

| 81 | = 81; | 1,3 | = 1,3; | – 5,2 | = 5,2;

| 8/9 | = 8/9; | – 5/7 | = 5/7; | – 2 9/25 | = 2 9 /25;

| – 52 | = 52; | 0 | = 0.

| – 8 | – | – 5 | = 8 – 5 = 3 | – 10 | . | – 15 | = 10 . 15 = 150 | 240 | : | – 80 | = 240 : 80 = 3 | 0,1 | . | – 10 | = 0,1 . 10 = 1

Примеры:

Задание 1

1 Найти значения выражений |-100| , |5+1,1| , |4,4- 8,9| , -|-9,7| , |5-16|

1 Найдите модуль числа _ 18 10 _ 16 9 2 4

2 Найдите положительное число модуль которого равен: 3 ; 5.

3. Известно,что |a|= 4 Чему равен |-a|?

|a|= 4,6 Чему равен |-a|?

|a|= 3,03 Чему равен |-a|?

4. Выберите из двух чисел, модуль которого меньше: -5 и 6 2 и -4 -2 и -3 5 Найдите значение выражения: |0,4| * |-2,5| |-40| * |0,1| |3,6| : |-1,2|

Задание 2

• А. Заполни таблицу:

а) | – 8 | и | – 5 | б) | 12,3 | и |-11 | в) | 0 | и | –| 1,5 |

х

| х |

8,3

| х |+12

-8,3

1,5

| х | -1

-1,5

-105

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

• На практике это делают так….

Задание 3

• | х – 6 | = 9
• |2х + 3| = 3х –3.
• |х + 5| – |х – 3| = 8.
• |х + 2| + |х + 3| = х.
• |2 + |2 + х|| = 3.
• Д-З
• |5х + 3| = 1
• |2х — 3| = 1
• |х — 5| + |2х –6| = 7

Занимательная страница

Все слова можно отгадать, если вдумчиво и внимательно читать рисунок

с

с

с

о

и

а

а

а

о

н

е

о

multiurok.ru

Как раскрыть модуль (условие в пояснениях )

Как уже вам говорили в предыдущих ответах, выражения под знаком модуля могут быть как положительны так и отрицательны. Давайте попробуем решить эти примеры. 1) положительны: (5х-10)-(3х+9)=5х-10-3х-9=2х-19; 2) отрицательны: -(5х-10)-(-(3х+9))=-5х+10+3х+9=-2х+19. Имеем два ответа.

число по модулю есть число либо положителное либо отрицательное, дальше всё просто, решай

Решается так же, как и без модуля, только ответ всегда положительный (если получилось отрицательное число по модулю)

на числовой прямой отмечаешь нули обоих выражений. =&gt; у тебя три промежутка. для каждого из них ставишь плюсы и минусы, по ним раскрываешь модули.

(5х — 10) — (3х + 9)= реши-это первые ответы (10-5х) -(3х+9)=реши и это вторые ответы ps: если я еще правильно помню модули…

5x-10 может быть положительным и отрицательным, тоже самое и с 3x+9 ну и решай

пишешь для каждого выражения под модулем два равенства: 5х-10=0 и 3х-9=0 получаются иксы равные 2 и 3,это значит, что если х&lt;2 первое и второе выражение раскрывается со знаком минус, если 2&lt;x&lt;3,&gt;3, то оба со знаком плюс, те 1)x&lt;2 -2x+19 2)x принадлежит от 2 до 3 8х-1 3)x&gt;3 2x-19

Если 5х больше нуля, то = 5х-10 Если 5х меньше нуля, то =10-5х Надо знать х положительное или отрицательное число

touch.otvet.mail.ru

Найти модуль с корнем — Науколандия

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

|–3| = 3,
|–1,345| = 1,345.

Если представить числовую прямую (координатную прямую), то можно сказать, что на том расстоянии, на котором от нуля находится отрицательное число в одну сторону, на том же расстоянии от нуля находится его модуль, но в другую сторону.

Однако как найти модуль числового выражения, если его вычислить проблематично. Например, в выражениях с корнями когда получаются иррациональные числа. Пусть требуется найти модуль √2 – 2. Понятно, что здесь получится отрицательное число, т. к. 2 определенно больше √2. Следовательно, модулем этого выражения будет противоположное число. Но каково оно?

Чтобы получить противоположное число, надо умножить его на –1. Обычно просто приписывают к нему знак минуса. Если число отрицательное, то минус на минус дает плюс, и в результате получается положительное. Например, для –5 противоположное –(–5) = 5. Поэтому, когда берется модуль отрицательного числа, то можно не просто писать |–1,2| = |1,2|, а расписывать действие подробно:

|–1,2| = –(–1,2) = 1,2

Сделаем то же самое по отношению к выражению √2 – 2, коли мы уже знаем, что это отрицательное число:

|√2 – 2| = –(√2 – 2) = –√2 + 2 = 2 – √2

Таким образом, при вычислении модуля выражения с корнем следует придерживаться следующего алгоритма:

1. Определить, является ли число положительным или отрицательным.
2. Если число положительное или 0, то его модуль будет равен ему самому.
3. Если число отрицательное, то умножить его на –1, после чего преобразовать выражение к удобному виду.

Теперь обратим внимание на следующее. Выше было сказано, что модуль отрицательного числа отстоит от точки отсчета (нуля) на таком же расстоянии (но в другую сторону), как и само это число. Однако в примере с корнем мы видим, что само выражение и его модуль не выглядят такими уж идентичными по абсолютному значению. Трудно сказать, действительно ли √2 – 2 отстоит от нуля на таком же расстоянии как 2 – √2.

Однако это так. Если записать отрицательное число с корнем как –2 + √2, то понятно, что мы получаем число, которое больше –2, т. е. находится от –2 ближе к нулю на √2. Модуль же числа равен 2 – √2. Это число, которое меньше 2 на √2. То есть тоже находится от 2 ближе к нулю на √2.

scienceland.info

Как решить систему 📝 x^2+y^2-5x+y=2 5y^2+5x^2+x+5y=36

yznay.com

Как решить эту систему уравнений? x^2+2y+1=0, y^2+2x+1=0;

Вычитаем из первого второе x^2-y^2+2y-2x=0 (x-y)(x+y) -2(x-y)=0 (x-y)(x+y-2)=0 получаем совокупность x-y=0 и x+y-2=0 1. x-y=0; y=x. Подставим в изначальное первое ур-е x^2+2x+1=0 ; (x+1)^2=0; x=-1 y=x=-1 2. y=2-x те же действия x^2 + 2(2-x) +1 =0 x^2-2x+5=0 x=(2+- sqrt(4-20))/2 решения нет — под корнем отрицательное число Итого одно решение (-1; -1)

Через дискриминант.

1.Выразить из первого уравнения 2у= -1-х^2; далее у = (-1-х^2/2)^2; 2.подставим во второе уравнение вместо у значение (-1-х^2/2)^2; 3.Должно получиться 1+2х^2+х^4+8х+4 = 0; 4.Решаем это уравнение получим х^4+2х^2+8х+5 = 0; далее группируем и выносим х должно получиться х (х^2+2х+8)= — 5; 5.хпервое = -5; 6.х^2+2х+8 = -5; 7.Решаем через дискриминант. 8.Должно получиться ещё два икса. 9.Всего будет три икса. 10.Далее находим три игрека. 11.Затем пробуем подставить в первоначальные уравнения, если 0 будет равен 0 значит это и есть значение икса и игрека. Может быть одно или два или три. Если не получиться то проверь решение заново особенно, где возводили в квадрат. Не сдавайся без боя. Желаю успехов.

Новая система (вычли) (x-y)*(x+y)=2*(x-y) ; x^2+2y+1=0 1) x=y -&gt; x^2+2*x+1=0 ; x=-1, -&gt;y=-1; 2) x+y=2; x = 1-2*I ; y = 1+2*I;

touch.otvet.mail.ru

Решить уравнение (графически) y=x^2+2, x-y+6=0 ВОТ объясните как решить)

Это не уравнение, а система двух уравнений с двумя неизвестными. Графический способ решения прост: строим графики (кривые, описываемые уравнениями) и находим точки их пересечения. Координаты точек пересечения и будут решениями системы. Смысл тоже прост. Каждое уравнение описывает какую-то кривую на плоскости xy. Множество точек кривой — это решения уравнений, каждого по отдельности (уравнение одно, а переменных 2 =&gt; бесконечно много решений, в совокупности они образуют кривую) . Другими словами, координаты каждой точки графика, подставленные в уравнение кривой, превращают это уравнение в истинное равенство. Координаты точек пересечения двух кривых удовлетворяют обеим уравнениям сразу, т. е. являются решением системы уравнений.

построй графики для начала

вместо х подставляешь числа и получаешь соответственно у 1) график функции — парабола, ветки вверх, «вершина» с координатами (0;2) 2) график функции — прямая (для построения достаточно 2 точки) , пересекает ось х в точке с координатами (-6;0), вторая точка, к примеру (0;6)

touch.otvet.mail.ru

Как найти вертикальную асимптоту функции

Разберемся как найти вертикальную асимптоту функции.
Вертикальная асимптота для функции у(x) — это такая прямая, которая проходит параллельно оси Оу и к которой неограниченно близко приближается функция у(x), когда асимптота стремится к бесконечности.
Вертикальная асимптота имеет уравнение вида:

Здесь const— какое-то постоянное число.
Рассмотрим условие существования вертикальной асимптоты, которая будет существовать в случае, если хоть один из следующих пределов функции у(х) в точке будет равен или :
или .
Заметим, что рассмотренные выше пределы также используют для того, чтобы проверить будет ли точка точкой разрыва функции y(x).
Именно поэтому вертикальные асимптоты функции ищут лишь в точках разрыва функции.

Пример.
Найдем вертикальные асимптоты функции .

Решение.
Сначала нужно определить точки разрыва:

Находим передел справа и предел слева в точке :

Получили, что прямая — вертикальная асимптота заданной функции.
Находим передел справа и предел слева в точке :

Получили, что и прямая — вертикальная асимптота заданной функции.

ru.solverbook.com

Как найти асимптоты функции

Функция может иметь асимптоты трех видов: горизонтальные (параллельны оси Ох), вертикальные (параллельны оси Оу) и наклонные (проходят под некоторым углом к оси Ох, как и к оси Оу).
Функция может асимптот может не иметь вообще, может иметь одну какую-то асимптоту, а может иметь и несколько разных или одинакового вида асимптот.
Рассмотрим на примере как найти асимптоты функции.

Пример.
Найти все виды асимптот функции .
1) Найдем наклонные асимптоты:
Уравнение наклонных асимптот имеет вид . Согласно определению асимптоты:

Найдем коэффициент k:

Найдем коэффициент b:

Получили уравнение наклонной асимптоты:

2) Найдем вертикальные асимптоты.
Сначала нужно определить точки разрыва:

Находим передел справа и предел слева в точке :

Получили, что прямая — вертикальная асимптота заданной функции.
Находим передел справа и предел слева в точке :

Получили, что и прямая — вертикальная асимптота заданной функции.

ru.solverbook.com

1.13. Асимптоты кривой

Литература: [3], гл. V, § 10

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.5

Прямая называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность от начала координат (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальная асимптота имеет уравнение вида x = x₀ и является прямой, параллельной оси Оy. Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = k x + b. В частном случае при k = 0 асимптота называется горизонтальной, так как ее уравнение y = b есть прямая, параллельная оси Ох.

Вертикальные асимптоты.

Пусть дана кривая y = f (x). Для нахождения вертикальной асимптоты этой кривой находят точки ее бесконечного разрыва (точки разрыва второго рода).

Если, например,

и ,

то прямая x = x₀ ─ вертикальная асимптота кривой y = f (x) (рис. 1.8).

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Пусть задана кривая y = f (x). Для нахождения наклонной асимптоты, уравнение которой y = k x + b, находят коэффициенты k и b, вычисляя пределы: ,. Эти пределы вычисляются отдельно для случаеви. Если хотя бы один из пределов для вычисленияk и b равен ∞ или не существует, то кривая наклонных и горизонтальных асимптот не имеет.

В частном случае, когда k = 0, а b ─ конечное число, кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y = b.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение. Функция определена на всем множестве действительных чиселR, кроме точки x = 1. Определим характер разрыва, для чего вычислим пределы функции при x → 1 слева (x < 1) и справа (x > 1):

, .

Так как один из пределов бесконечен, то x = 1 является точкой разрыва второго рода, и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Определим, имеет ли кривая наклонную или горизонтальную асимптоту. Для этого вычисляем соответствующие пределы:

, Уравнение асимптотыy = k x + b принимает вид y = 1 (горизонтальная асимптота).

С

Рис. 1.9

1.14. Схема полного исследования функции и построение ее графика

Литература: [3], гл. V, § 11

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.6

1. Находим область определения функции.

2. Устанавливаем четность, нечетность функции, периодичность. Находим характерные точки, например, точки пересечения с осями координат.

3.Находим точки разрыва функции, определяем их характер. При наличии точек разрыва второго рода (точек бесконечного разрыва) устанавливаем наличие вертикальных асимптот графика функции.

4. Находим производную функции, критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в этих точках.

5. Находим вторую производную функции, интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба графика функции.

6.Устанавливаем наличие у исследуемой кривой наклонных и горизонтальных асимптот.

7. По полученным данным строим график функции.

Замечание. Если функция является четной или нечетной, то исследование проводят не на всей числовой оси, а на промежутке [0, +∞). Затем график продолжают симметрично относительно оси ординат на промежуток (-∞, 0), если функция четная, и относительно центра системы координат, если функция нечетная.

Если функция периодическая, то ее график строят для одного периода, а затем периодически продолжают на всю числовую ось.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек x = ± 2.

2. Функция нечетная, так как для нее выполняется условие . Поэтому достаточно провести исследование на промежутке [0, +∞).

3. В промежутке [0, +∞) имеется одна точка разрыва x = 2. Исследуем характер точки разрыва, для чего вычислим следующие пределы:

,

Так как односторонние пределы бесконечные, то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

4. Находим первую производную:

.

Находим критические точки на промежутке [0, +∞): ,. В точкепроизводная не существует, но эта точка не является критической, так как функция в ней не определена.

5. Находим вторую производную:

.

Вторая производная на промежутке [0, +∞) обращается в ноль в точке x₁ = 0 и не существует в точке x₃ = 2, которая не входит в область определения функции.

По полученным данным строим таблицу:

В первой строке таблицы указаны интервалы, на которые критические точки и точки, где вторая производная равна нулю или не существует, разбивают промежуток [0, +∞). Во второй строке указан знак первой производной в этих интервалах, в третьей − знак второй производной. В четвертой строке условно изображено возрастание или убывание функции на промежутке (по знаку первой производной), и выпуклость или вогнутость кривой (по знаку второй производной).

6. Ищем наклонную асимптоту:

,

.

Кривая на промежутке [0, +∞) имеет наклонную асимптоту .

Строим вертикальную x = 2 и наклонную y = 2x асимптоты, а затем по данным таблицы строим график исследуемой функции на промежутке [0, +∞), который затем продолжаем на промежуток (-∞, 0) симметрично относительно центра системы координат.

studfiles.net

Горизонтальные асимптоты — Мегаобучалка

Определение.

Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Например, для функции имеем

, .

Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и .

2. Если

и ,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3. Если

и ,

то прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой графика функции .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

Пример

Найти асимптоты графика функции .

.

1) − точка разрыва второго рода:

, .

Прямая − вертикальная асимптота.

2) ,

,

.

Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции .

2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: , точка .

С осью Ох: , , , .

5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

7. ,

, , − критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные в таблицу.

, ;

точка − максимум;

точка − минимум.

8. , , , .

при « »;

при « ».

Точка − точка перегиба.

9. График функции (рис.5.12)

Рис. 5.12

Упражнения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

Найти экстремумы функций:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

Найти асимптоты кривых:

Исследовать функции и построить их графики:

megaobuchalka.ru

Как найти горизонтальную асимптоту 🚩 горизонтальная асимптота 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Что такое асимптота? Это такая прямая, к которой приближается график функции, но не пересекает её. Горизонтальная асимптота выражается уравнением y=A, где A — некоторое число. Геометрически горизонтальная асимптота изображается прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке A.

Статьи по теме:

Инструкция

Найдите предел функции при устремлении аргумента «x» к минус бесконечности. Опять же, если этот предел равен некоторому числу B, то y=B — горизонтальная асимптота функции. Пределы функции при стремлении аргумента к минус и плюс бесконечности могут совпадать, в этом случае имеем только одну горизонтальную асимптоту.

Используйте найденную горизонтальную асимптоту при построении графика функции. Помните, что при большом увеличении (уменьшении) аргумента он будет бесконечно приближаться к асимптоте, но никогда не пересечет её.

www.kakprosto.ru

Рассматривая рис. 3.14, приходим к очевидному выводу: если некоторая линия L с уравнением является невертикальной асимптотой графика функции при или при , то это значит, что при таком изменении X функция , то есть , а значит

, где при или при . (3.2)

И обратно, при выполнении (3.2) функция – асимптота функции . В частности, если

, где при или при , (3.3)

То соответственно при или при горизонтальная прямая будет асимптотой графика функции .

Пример 2. Найти невертикальные асимптоты графика функции

.

Решение. Для их нахождения нужно выяснить поведение функции Y При и при .

А) Если , то очевидно, что

; .

Поэтому при функция . А это значит, что линия L с уравнением является асимптотой графика нашей функции при .

Б) Если , то очевидно, что

; .

Поэтому при наша функция . А это значит, что при асимптотой графика нашей функции Y является горизонтальная прямая .

Пример 3. Определить все имеющиеся асимптоты графика функции и изобразить поведение этого графика возле его асимптот.

Решение. Начнем с нахождения области определения функции Y. Функция определена, а следовательно, и непрерывна для всех X, кроме . То есть – единственная точка разрыва нашей функции. А значит, вертикальная прямая , проходящая через эту точку – единственная возможная вертикальная асимптота графика нашей функции.

Проверим, действительно ли она – вертикальная асимптота. Для этого выясним, в соответствии с (3.1), поведение функции Y при и при :

;

То есть При и при . А это значит, что вертикальная прямая является асимптотой графика функции Y, причем и при , и при .

Теперь поищем возможные невертикальные асимптоты. Для этого рассмотрим поведение функции Y при и при .

А) Если , то

.

Учтем, что (это устанавливается делением на «в столбик»). То есть

, где , .

И так как при , а при к нулю не стремится, то при наша функция . А это, в соответствии с (3.2), означает, что линия с уравнением (прямая) является асимптотой графика нашей функции Y при .

Б) Если , то буквально повторяя (а), приходим к выводу, что прямая является асимптотой графика нашей функции и при .

Теперь изобразим график нашей функции вместе с его асимптотами. Для более качественного построения этого графика найдем еще точки его пересечения с осями координат.

1) С осью Ох:

.

2) С осью Оу:

.

А теперь строим график (рис. 3.16).

Упражнения

Найти асимптоты графиков функций

А) ; б) ; в)

И построить эти графики вместе с их асимптотами.

Ответ: — см. рис. 3.17 (а) – (в).

matica.org.ua

поиск асимптот — ПриМат

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция определена на отрезке . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при , если

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при .

Итак, прямая  является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции .
Определение 2. Пусть функция определена на . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при если

Определение 3. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одна из границ или

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции   могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции , надо найти такие значения, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции . Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси , кроме точки . Вычислим пределы:

и

Следовательно, прямая  является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при .

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции . Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

и

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, что бы

Пример 3. Найти асимптоты графика

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

Следовательно, прямая — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

Так как при , то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку при и при , кривая графика лежит выше асимптоты при .

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
• Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Исследование функций

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Ортогональные и симметрические матрицы линейных преобразований

Матрица А является симметрической, если она не меняется при транспонировании, то есть А= Например, следующие матрицы симметрические

Свойства симметрических матриц:

1. Собственные значения симметрической матрицы – действительные числа.

2. Любая симметрическая матрица имеет по крайней мере один набор попарно перпендикулярных собственных векторов.

3. Симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Матрица Q называется ортогональной, если при транспонировании она совпадает со своей обратной матрицей, то есть Q^-1=.

Свойства ортогональных матриц Q:

1. Если матрица ортогональная, то Q^-1 также ортогональная.

2. Столбцы матрицы Q образуют ортонормированную систему векторов.

3. Для каждой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица Q, что матрица является диагональной.

На основании перечисленных свойств симметрических и ортогональных матриц (преобразований) можно составить план приведения симметрической матрицы к диагональному виду:

1. Найти собственные значения матрицы.

2. Сформировать базис из ортогональных собственных векторов.

3. Составить матрицу перехода С к базису из собственных векторов.

4. Столбцы матрицы С подвергнуть нормализации

(т.е. каждый собственный вектор разделить на его длину), в результате получится матрица Q.

5. Транспонируя матрицу Q, получим обратную матрицу Q^-1.

6. Вычислим произведение диагональная матрица.

Пример. Привести симметрическую матрицу А к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы Q, если

А=.

Решение. Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0,

Корни характеристического уравнения

действительные и различные числа. Определим собственные векторы. В систему уравнений

подставим собственные значения.

1) λ=λ₁=-3 получим х₃ — любое число, и не равно нулю. Пусть х₃=-1., тогда имеем собственный вектор е₁=(1, 2, -1).

2. Возьмем λ=λ₂=3.

Пусть х₃ =1. Второй собственный вектор е₂=(-1, 1, 1).

3) Подставим λ=λ₃=5.

Если х₃=1, то е₃=(1, 0, 1). Полученные собственные векторы попарно ортогональны:

Имеем ортогональный базис

Матрица перехода к этому базису. Можно было бы найти С^-1 и тогда диагональная матрица Однако быстрее нормировать базис, разделив каждый вектор на его длину и составить матрицу Q. Действительно

— это ортонормированный базис. Матрица

Q=— ортогональная матрица.

По свойству запишем обратную матрицу

Вычислив произведение трех матриц, получим диагональную матрицу

Рассмотрим теперь пример, в котором собственные числа не все различны.

Пример. Привести к диагональному виду матрицу А, определяющую линейное преобразование в ортогональном базисе:.

Решение. Составим характеристическое уравнение.

(*)

Решая уравнение, найдем собственные значения Для нахождения собственных векторов в систему уравнений

подставим сначала двукратный корень λ=λ₁=λ₂=-3. Получим следующую систему которая сводится к одному уравнению:

2х₁+х₂-2х₃=0 (**)

Из последнего уравнения можно сделать вывод, считая его скалярным произведением, что все собственные векторы е₁, е₂ , соответствующие кратному собственному значению λ=-3, лежат в одной плоскости и ортогональны вектору е=(2,1,-2), координаты которого есть коэффициенты уравнения (**). Следовательно, вектор е принадлежит множеству собственных векторов, соответствующих λ₃=6. Этот факт можно проверить следующим образом: подставим λ₃=6 в систему (*), а затем подставим туда координаты вектора е. Получим . При х₁=2 х₂=1, х₃=-2: -10+2+8=0 4-8+4=0, -8-2+10=0. Поэтому е₃=е=(2, 1, -2). Теперь, пользуясь уравнением (**), подберем решение х₁=1, х₂=2, х₃=2 и обозначим собственный вектор е₂=(1, 2, 2). Чтобы найти еще один собственный вектор из бесчисленного множества векторов, соответствующих λ=-3, примем во внимание, что искомый вектор должен быть ортогонален векторам е₂ и е₃ . Следовательно, его можно вычислить как векторное произведение, т.е. е₁=. В координатной форме это выглядит следующим образом:

Таким образом, новый ортогональный базис из собственных векторов: е₁=(6,-6,3), е₂=(1,2,2), е₃=(2,1,-2). Разделим каждый вектор на его длину и получим ортонормированный базис

Ортогональная матрица:

Обратная матрица:Q^-1=Q^т=

Диагональная матрица, определяющая преобразование в новом ортонормированном базисе, найдется по формуле:

Ответ:

Если собственные значения симметрической матрицы в трехмерном линейном пространстве все одинаковы λ₁=λ₂=λ₃=λ, то матрица определяет преобразование подобия с коэффициентом λ. В этом случае все векторы пространства являются собственными векторами. В качестве нового базиса можно взять любую тройку единичных попарно ортогональных векторов, например е₁=(1,0,0), е₂=(0,1,0), е₃=(0,0,1).

studfiles.net

Квадратичные формы

Квадратичной формойf(х₁, х₂,…,х_n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х₁, х₂,…,х_n) =(a_ij=a_ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическаяматрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a_ij=a_ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х^ТAX, где

. В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С — невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х^TАХ = (CY)^TA(CY) = (Y^TC^T)A(CY) =Y^T(C^TAC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А^*=C^TAC.

Например, найдем квадратичную форму f(y₁, y₂), полученную из квадратичной формыf(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической(имеетканонический вид), если все ее коэффициентыa_ij= 0 приi≠j, т.е.f(х₁, х₂,…,х_n) = a₁₁ x₁² + a₂₂ x₂²+ … + a_nn x_n² = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема(доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х₁, х₂,х₃) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²– х₂х₃.

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х₁:

f(х₁, х₂, х₃) = 2(x₁²+ 2х₁х₂+ х₂²) — 2х₂²— 3х₂²– х₂х₃= 2(x₁+ х₂)²— 5х₂²– х₂х₃.

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х₂:

f(х₁, х₂, х₃) = 2(x₁+ х₂)²– 5(х₂²– 2* х₂*(1/10)х₃+ (1/100)х₃²) — (5/100)х₃²= = 2(x₁+ х₂)²– 5(х₂– (1/10)х₃)²— (1/20)х₃².

Тогда невырожденное линейное преобразование y₁= x₁+ х₂,y₂= х₂– (1/10)х₃иy₃= x₃приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y₁,y₂,y₃) = 2y₁²— 5y₂²— (1/20)y₃².

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами¹). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм.

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х₂:f(х₁, х₂,х₃) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²– х₂х₃= -3х₂²– х₂х₃+ 4х₁х₂+ 2x₁²= -3(х₂²– — 2* х₂((1/6) х₃+ (2/3)х₁) +((1/6) х₃+ (2/3)х₁) ²) – 3((1/6) х₃+ (2/3)х₁) ²+ 2x₁²= = -3(х₂– (1/6) х₃— (2/3)х₁)²– 3((1/6) х₃+ (2/3)х₁)²+ 2x₁²=f(y₁,y₂,y₃) = -3y₁²— -3y₂²+ 2y₃², гдеy₁= — (2/3)х₁+ х₂– (1/6) х₃,y₂= (2/3)х₁+ (1/6) х₃иy₃= x₁. Здесь положительный коэффициент 2 приy₃и два отрицательных коэффициента (-3) приy₁иy₂(а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy₁и два отрицательных – (-5) приy₂и (-1/20) приy₃).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно(отрицательно)определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f₁(X) = x₁²+ х₂²— положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf₂(X) = -x₁²+ 2x₁х₂— х₂²— отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf₂(X) = -(x₁— х₂)².

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) миноромk-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂+ 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 — 2- 3+²) – 4 =²— 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= 2 > 0. Главный минор второго порядка₂== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х₁, х₂) = -2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+²) – 4 =²+ 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= = -2 < 0. Главный минор второго порядка₂== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 — 2+ 3+²) – 4 =²+- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41;. Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= 2 > 0. Главный минор второго порядка₂== -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х₁, х₂) = 2x₁х₂= x₁²+ 2x₁х₂ + х₂²— x₁²— х₂²=

= (x₁+ х₂)²— x₁²— х₂²= (x₁+ х₂)²– (x₁²— 2x₁х₂ + х₂²) — 2x₁х₂ = (x₁+ х₂)²– — (x₁— х₂)²— 2x₁х₂; 4x₁х₂= (x₁+ х₂)²– (x₁— х₂)²;f(х₁, х₂) = 2x₁х₂= (1/2)* *(x₁+ х₂)²– (1/2)*(x₁— х₂)²=f(y₁,y₂) = (1/2)y₁²– (1/2)y₂², гдеy₁= х₁+ х₂, аy₂= х₁– х₂.

studfiles.net

Квадратичные формы

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Определение. Квадратичной формой переменных,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида

,

где — числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Определение. Матрицей квадратичной формы переменных, называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строкеом столбце, равен половине коэфициента при в квадратичной форме.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матри-цы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .

Определение. Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэфициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно

.,

где не все коэффициенты равны нулю.

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение. Квадратичная форма называется положительно

(отрицательно) определённой, если при всех

108

и положительно (отрицательно) полуопределённой,если при всех.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

.

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

.

Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим:

.

Далее выделим в члены, содержащиеи проделаем с ними анало-гичную процедуру:

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также, тогда

109

канонический вид квадратичной формы есть

.

Соответствующее преобразование от переменных к переменнымимеет вид:

.

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

.

Решение. В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

.

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы. Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

.

Откуда следует

и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

.

Для случая имеем:

.

110

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величинысвязаны соотношением. В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Векторк тому же и нормирован. Откуда следует —. Нормируем теперь вектор:

.

Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть

.

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор:.

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:

.

111

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

.

При этом переменные связаны с переменнымисоотношением

или

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

.

Решение. Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения.

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

.

Его корни таковы: .

Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и отнормрируем их. Для вектора , соответствующего

, имеем

112

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

.

Анологичная процедура для собственного вектора даёт:

Откуда:

.

После нормировки полученных векторов имеем:

.

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, есть

Связь старых и новыхкоординат определяется соотношением.

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду

113

Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на уголи переносом начала координат в точку.

Записать матрицу квадратичной формы:

5.1. ;

5.2. ;

5.3. ;

5.4. ;

5.5. ;

5.6. ;

5.7. ;

5.8. ;

5.9. ;

5.10. ;

5.11. .

Найти ранг квадратичной формы:

5.12. ;

5.13. ;

5.14. ;

114

5.15. ;

5.16. ;

5.17. ;

5.18. ;

5.19. ;

5.20. .

Записать квадратичную форму в матричном виде:

5.21. ;

5.22. ;

5.23. ;

5.24. ;

5.25. ;

5.26. ;

5.27. ;

5.28. ;

5.29. ;

5.30. .

Записать квадратичную форму в виде по заданной

матрице :

5.31. ; 5.32.;

5.33. ; 5.34.;

115

5.35. ; 5.36.;

5.37. ; 5.38.;

5.39. ; 5.40. .

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом

Лагранжа и записать соответствующее преобразование:

5.41. ;

5.42. ;

5.43. ;

5.44. ;

5.45. ;

5.46. ;

5.47.

5.48.

5.49.

5.50.

5.51. ;

116

5.52. .

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную

форму к каноническому виду и записать соответствующий кано-

нический вид квадратичной формы:

5.53. ;

5.54. ;

5.55. ;

5.56. ;

5.57. ;

5.58. ;

5.59. ;

5.60. ;

5.61. ;

5.62. .

Записать данное уравнение второго порядка в матричном виде и

определить, фигуру какого типа (эллиптического, гиперболическо-

го, параболического) оно определяет:

5.63.

5.64.

5.65.

5.66.

5.67.

5.68.

5.69.

5.70.

5.71.

5.72.

117

5.73.

5.74. .

Построить в прямоугольной системе координат Оху (O;i,j) фигуру,

определяемую данным уравне-нием, предварительно приведя его

к каноническому виду:

5.75.

5.76.

5.77.

5.78.

5.79.

5.80.

5.81.

5.82.

5.83.

5.84. .

Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость

5.85.

5.86.

5.87.

5.88.

5.89.

5.90.

5.91.

5.92.

5.93. ;

5.94.

118

5.95. ;

5.96. .

119

studfiles.net

Квадратичные формы. приведение квадратичных форм к каноническому виду. критерий сильвестра

Задание 1. Составить матрицу квадратичной формы .

Решение. В общем виде квадратичная форма аргументов и задаётся следующим образом:

,

Где являются элементами матрицы квадратичной формы. Сравнивая заданную квадратичную форму с общим её видом, получим, что , , , , , , т. е. .

Ответ: .

Задание 2. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице . Каждая ли из заданных матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?

А) ; б) .

Решение. Матрица квадратичной формы должна быть симметрической, т. е. .

а) Матрица не может быть матрицей квадратичной формы, так как , т. е. она не является симметрической.

Б) Матрице соответствует некоторая квадратичная форма, так как она является симметрической. Очевидно, , , , , , . Следовательно, квадратичная форма примет вид

.

Ответ: .

Задание 3. Задана квадратичная форма . Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием: , .

Решение. При невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы преобразуется в матрицу .

Выпишем матрицу заданной квадратичной формы: . Матрица заданного линейного преобразования , тогда . Следовательно,

,

т. е. .

Можно сделать проверку полученного результата непосредственной подстановкой в заданную квадратичную форму формулы преобразования координат:

.

Ответ: .

Задание 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы: . Диагонализация матрицы квадратичной формы происходит в ОНБ из собственных векторов. Если – матрица перехода к такому базису, то координаты вектора в разных базисах связаны между собой соотношением:

,

Где в столбцах матрицы находятся координаты векторов ОНБ из собственных векторов, соответствующих собственным значениям.

Составим характеристическое уравнение:

,

Значит, собственные значения , , .

Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

При : , откуда получаем однородную систему уравнений тогда .

При : , т. е. тогда .

При : , откуда получаем однородную систему уравнений

Из системы следует, что – свободная переменная. Примем , тогда

.

Векторы , , попарно ортогональны (в этом легко убедиться непосредственно!), тогда ОНБ составят векторы

, , .

Матрица перехода от ОНБ к ОНБ примет вид:

.

Замечание. О том чтобы матрица оказалась симметрической, следует помнить при построении собственных векторов , И .

Формулы перехода от координат к координатам :

, , .

Канонический вид заданной квадратичной формы:

.

Подстановкой приведенных формул преобразования координат в заданную квадратичную форму можно убедиться в правильности проведенных вычислений.

Ответ: .

Задание 5. Установить знакоопределённость квадратичной формы .

Решение.

Метод 1. Если все собственные значения , то квадратичная форма положительно определённая; если все – отрицательно определённая. Найдём собственные значения квадратичной формы. Для этого составим её матрицу:

И характеристическое уравнение:

Его корни , , т. е. все , а следовательно, квадратичная форма положительно определённая.

Метод 2. Знакоопределённость квадратичной формы можно установить и с помощью критерия Сильвестра, в соответствии с которым квадратичная форма положительно определённая, если все главные диагональные миноры матрицы положительны, т. е. , , …, , а если знаки этих миноров чередуются, т. е. , , , …, то квадратичная форма – отрицательно определённая.

Для данной квадратичной формы имеем:

, , , т. е. заданная квадратичная форма положительно определённая.

Ответ: квадратичная форма положительно определённая.

matica.org.ua

2.1. Квадратичные формы

Определение: Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма вида

, (1)

то есть

. (2)

Матрица , называется матрицей квадратичной формы (1), а ее ранг – рангом формы (1). Если ранг формы равен n, форма называется невырожденной (в этом случае ранг матрицы A равен n и матрица A невырожденная).

Cчитаем, что матрица A квадратичной формы – симметрическая.

Из формулы (2) видно, что квадратичная форма является однородным многочленом 2-й степени от переменных Кроме того, квадратичную форму можно считать функцией от вектора:

В матричном виде квадратичную форму записать:

Так как квадратичная форма – это функция от вектора, то ее вид зависит от базиса линейного пространства, и при изменении базиса матрица квадратичной формы также изменяется. Закон изменения матрицы дает следующая теорема.

Теорема: Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей A после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей

Определение: Каноническим видом квадратичной формыназывают такой её вид (в некотором базисе), который представляет собой сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами:

Теорема: (Основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием переменных к каноническому виду.

Пример: Квадратичную форму привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное , и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)Положим

(3)

и от неизвестных формапримет вид. Далее полагаем

и от неизвестных формапримет уже канонический вид

. (4)

Разрешим равенства (3) относительно :

Последовательное выполнение линейных преобразований и, где

,

имеет матрицей

.

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (4). Переменные связаны с новыми переменнымисоотношениями

Определение: Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «» или «».

Определение: Квадратичная форма называется положительно определённой, если при всех за исключениемКвадратичная форма называется отрицательно определённой, если при всех

Теорема: Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами «+1»: Квадратичная форма является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда приводится к виду

Определение: Пусть– квадратичная форма с матрицей, . Миноры , ,, …,называютсяугловыми минорами квадратичной формы

2.2. Критерий Сильвестра.

Теорема (Критерий Сильвестра): Квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все её угловые миноры строго положительны: Квадратичная форма является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда её угловые миноры удовлетворяют неравенствам: и т.д.

Определение: Будем называть линейное преобразование переменных ортогональным, если матрица ортогональная, т.е.

Сформулируем алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:

1. Находим собственные значения линейного оператора, решая характеристическое уравнение

2. Для каждого собственного значения находим собственные векторы, решая систему линейных уравнений (У этой системы мы должны найти фундаментальную систему решений).

3. Если собственное значение имеет кратность, большую 1 (в характеристическом уравнении), то векторы из ф.с.р. могут оказаться не ортогональными друг другу – в этом случае к ним надо применитьпроцесс ортогонализации Шмидта (изучите самостоятельно, читайте: Ржавинская Е. В., Олейник Т. А., Соколова Т. В. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, М., МИЭТ. 2007. )

4. Нормируем найденные собственные векторы, т.е. каждый вектор делим на его длину.

5. Записываем канонический вид квадратичной формы и преобразование координат, приводящее её к этому виду.

Пример: Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат:

Решение: Составим матрицу этой квадратичной формы:

Составим характеристическое уравнение:

Отсюда получаем: Корни характеристического уравнения:

Для система уравнений, из которой находятся собственные векторы, выглядит так:

Её фундаментальная система решений: Эти векторы не ортогональны друг другу, поэтому применим к нимпроцесс ортогонализации Шмидта. Положим и подберёмтак, чтобы было выполнено условиеИмеем:т.е.Следовательно,

Запишем теперь систему уравнений для

Её ф.с.р. состоит из одного вектора: Этот вектор ортогонален векторами

Пронормируем векторы разделив каждый вектор на его длину. Получим ортонормированный базис из собственных векторов:

Матрица перехода от исходного базиса к новому базисуравна:

В новых координатах квадратичная форма будет иметь вид Старые координаты выражаются через новые следующим образом:

Обратные формулы:

т.е.

studfiles.net

Квадратичные формы

Квадратичной формойf(х₁, х₂,…,х_n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х₁, х₂,…,х_n) =(a_ij=a_ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическаяматрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a_ij=a_ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х^ТAX, где

. В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С — невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х^TАХ = (CY)^TA(CY) = (Y^TC^T)A(CY) =Y^T(C^TAC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А^*=C^TAC.

Например, найдем квадратичную форму f(y₁, y₂), полученную из квадратичной формыf(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической(имеетканонический вид), если все ее коэффициентыa_ij= 0 приi≠j, т.е.f(х₁, х₂,…,х_n) =a₁₁x₁²+a₂₂x₂²+ … +a_nnx_n²=.

Ее матрица является диагональной.

Теорема(доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х₁, х₂,х₃) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²– х₂х₃.

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х₁:

f(х₁, х₂, х₃) = 2(x₁²+ 2х₁х₂+ х₂²) — 2х₂²— 3х₂²– х₂х₃= 2(x₁+ х₂)²— 5х₂²– х₂х₃.

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х₂:

f(х₁, х₂, х₃) = 2(x₁+ х₂)²– 5(х₂²– 2* х₂*(1/10)х₃+ (1/100)х₃²) — (5/100)х₃²= = 2(x₁+ х₂)²– 5(х₂– (1/10)х₃)²— (1/20)х₃².

Тогда невырожденное линейное преобразование y₁= x₁+ х₂,y₂= х₂– (1/10)х₃иy₃= x₃приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y₁,y₂,y₃) = 2y₁²— 5y₂²— (1/20)y₃².

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами¹). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм.

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х₂:f(х₁, х₂,х₃) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂²– х₂х₃= -3х₂²– х₂х₃+ 4х₁х₂+ 2x₁²= -3(х₂²– — 2* х₂((1/6) х₃+ (2/3)х₁) +((1/6) х₃+ (2/3)х₁) ²) – 3((1/6) х₃+ (2/3)х₁) ²+ 2x₁²= = -3(х₂– (1/6) х₃— (2/3)х₁)²– 3((1/6) х₃+ (2/3)х₁)²+ 2x₁²=f(y₁,y₂,y₃) = -3y₁²— -3y₂²+ 2y₃², гдеy₁= — (2/3)х₁+ х₂– (1/6) х₃,y₂= (2/3)х₁+ (1/6) х₃иy₃= x₁. Здесь положительный коэффициент 2 приy₃и два отрицательных коэффициента (-3) приy₁иy₂(а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy₁и два отрицательных – (-5) приy₂и (-1/20) приy₃).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно(отрицательно)определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f₁(X) = x₁²+ х₂²— положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf₂(X) = -x₁²+ 2x₁х₂— х₂²— отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf₂(X) = -(x₁— х₂)².

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) миноромk-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂+ 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 — 2- 3+²) – 4 =²— 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= 2 > 0. Главный минор второго порядка₂== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х₁, х₂) = -2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+²) – 4 =²+ 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= = -2 < 0. Главный минор второго порядка₂== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х₁, х₂) = 2x₁²+ 4х₁х₂— 3х₂².

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 — 2+ 3+²) – 4 =²+- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41;. Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А ₁=a₁₁= 2 > 0. Главный минор второго порядка₂== -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

studfiles.net

§6. Квадратичные формы и их применения

1. Квадратичной формой переменных,принимающих числовые значения , называется числовая функция вида

,

где — числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Матрицей квадратичной формы переменных, называется симметрическая матрица порядка, элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный вой строкеом столбце, равен половине коэффициента при в квадратичной форме.

Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэффициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно

.,

где не все коэффициенты равны нулю.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если при всех и положительно (отрицательно) полуопределённой, если при всех .

ТЕОРЕМА (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны, то есть, чтобы

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Типовые примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

.

►Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

.

Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим:

.

Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними аналогичную процедуру:

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

канонический вид квадратичной формы есть

.

Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид:

.◄

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

.

►В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

.

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

.

Откуда следует

и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

.

Для случая имеем:

.

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует — . Нормируем теперь вектор:

.

Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть

.

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:

.

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

.

При этом переменные связаны с переменными соотношением

или

.◄

3. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

.

►Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

.

Его корни таковы: . Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и ортонормируем их. Для вектора , соответствующего , имеем

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

.

Аналогичная процедура для собственного вектора даёт:

Откуда:

.

После нормировки полученных векторов имеем:

.

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть

Связь старых и новых координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду

. Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат ,которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .◄

79

studfiles.net

Сколько часов в одном месяце?

в месяце 30 дней, а в сутках 24 часа 30 умножаешь на 24 и узнаёшь

Смотря какой месяц.

Всё зависит от того, сколько в месяце дней.

Соображать, конечно, трудно, лучше подождать готового ответа. Если в сутках 24 часа, то и умножай на количтво дней в месяце. Или калькулятора тоже нет?

Ответ: 1 сутки — 24 часа. Январь — 31*24 = 744 часа. Февраль — 28*24 = 672 часа. Февраль — 29*24 = 696 часов. Март — 31*24 = 744 часа. Апрель — 30*24 = 720 часов. Май — 31*24 = 744 часа. Июнь — 30*24 = 720 часов. Июль — 31*24 = 744 часа. Август — 31*24 = 744 часа. Сентябрь — 30*24 = 720 часов. Октябрь — 31*24 = 744 часа. Ноябрь — 30*24 = 720 часов. Декабрь — 31*24 = 744 часа. 1 год — 720*4+744*7+672=2880+5208+672=8760 часов. 1 год — 720*4+744*7+696=2880+5208+696=8784 часов.

в зо дневном месяце 720 дней

Все зависит от месяца: 744, 720, 696 или 672 соответсвенно для 31, 30, 29 и 28 дней

Все зависит от месяца: 744, 720, 696 или 672 соответственно для 31, 30, 29 и 28 дней

Все зависит от месяца: 744, 720, 696 или 672 соответственно для 31, 30, 29 и 28 дней

ноу

Войдите, чтобы написать ответ

Чтобы узнать, сколько через час в месяц вам нужно использовать простой веб-калькулятор. Введите количество часов, которые вы хотите преобразовать в левое поле.

В поле справа вы увидите результат расчета. Просто нажмите соответствующую ссылку, чтобы преобразовать час или месяцы в другие единицы.

Что такое «часы»

Часы — это единица измерения времени.

В точно один час ровно 3600 секунд или шестьдесят минут, согласно современному определению. Существует академический урок, продолжительность которого составляет от 40 до 50 минут.

120 минут — это продолжительность «тихого часа» для лагерей, больниц и домов отдыха. Часы — это не единица измерения, но использование термина «часы» можно комбинировать с принятой системой единиц измерения.

Что такое «месяц»

Внешняя системная единица, связанная с вторжением Луны вокруг Земли. В центре многих календарей — время рассчитывается по фазам Луны.

Поскольку уместнее рассчитать общее количество и период обращения оболочки с 27,2 до 29,6 дней, календари заменяют нерегулярность, изменяя продолжительность месяцев или вводя дополнительные дни.

Китайцы, индуисты, евреи и мусульмане используют лунные и лунизолярные календари в течение 29-30 дней.

В григорианских и июльских календарях длина месяцев с фазами луны не связана и фиксирована. Исключением является високосный год, который на один день больше обычного (366 дней). В июльском календаре поперечные годы кратные четыре, в то время как григорианцы содержат дополнительное условие, что за последние годы они не кратные 100, но не кратные 400 (1900, 2100, 2200, 2300 …).

Поэтому разница между этими календарями в 1900 году увеличилась с 12 до 13 дней.

Сколько часов в месяце?

Ответ №1. Все зависит от месяца: 744, 720, 696 или 672 за 31, 30, 29 и 28 дней

Ответить # 2. Если месяц составляет 31 день, то 2 678 400, а если есть 30 2 592 000, а если есть 28 2 419 200!

) Здесь и там!

PS В течение нескольких секунд.

Ответить # 3. Глядя на что-то. Мы возьмем максимум. 31 дней, 744 часа, 44640 минут, 2678400 секунд.

Полезная информация

месяц — единица времени, связанная с революцией Луны Луны вокруг Земли. Сидодический месяц — это временной интервал между двумя последовательными равными фазами Луны.

Продолжительность нестабильна; среднее значение составляет 29 530 582 среднесуточных дней, фактическая продолжительность синодического месяца отличается от среднего, отклонение — в течение 13 часов. В лунных календарях используются евреи, мусульмане, китайцы, индуисты и т. Д. В некоторых календарях начало месяца приходится на день фактической астрономической новолуния, а в других начало месяца определяется непосредственно наблюдениями.

Григорианский календарь использует фиксированную длину месяца, что не связано с изменением Фаз Луны.

время — единица времени. Часы не являются единицами СИ, но его использование разрешено в сочетании с СИ. Согласно современному определению, часы составляют 3600 секунд или 60 минут.

9 часов без сна

Оставить комментарий Отменить ответ

Чтобы узнать, сколько часов в месяц, вам нужно использовать простой веб-калькулятор. В левом поле введите количество месяцев, которые вы хотите конвертировать для конвертации.

В поле справа вы увидите результат расчета. Просто перейдите по соответствующей ссылке, чтобы перевести месяцы или часы в другие метрические единицы.

Что такое «месяц»

Внешняя системная единица, связанная с вторжением Луны вокруг Земли.

В центре многих календарей — время рассчитывается по фазам Луны. Поскольку уместнее рассчитать общее количество и период обращения оболочки с 27,2 до 29,6 дней, календари заменяют нерегулярность, изменяя продолжительность месяцев или вводя дополнительные дни.

Китайцы, индуисты, евреи и мусульмане используют лунные и лунизолярные календари в течение 29-30 дней.

В григорианских и июльских календарях длина месяцев с фазами луны не связана и фиксирована. Исключением является високосный год, который на один день больше обычного (366 дней). В июльском календаре поперечные годы кратные четыре, в то время как григорианцы содержат дополнительное условие, что за последние годы они не кратные 100, но не кратные 400 (1900, 2100, 2200, 2300 …). Поэтому разница между этими календарями в 1900 году увеличилась с 12 до 13 дней.

Что такое «часы»

Часы — это единица измерения времени.

В точно один час ровно 3600 секунд или шестьдесят минут, согласно современному определению. Существует академический урок, продолжительность которого составляет от 40 до 50 минут. 120 минут — это продолжительность «тихого часа» для лагерей, больниц и домов отдыха.

Часы — это не единица измерения, но использование термина «часы» можно комбинировать с принятой системой единиц измерения.

vipstylelife.ru

Сколько в месяце часов в общем и конкретно для работающих

Как долго длятся одни сутки? Как говорят астрологи, за сутки Земля совершает ровно один поворот вокруг своей оси. А если посчитать, то сколько часов в месяце? А минут? Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Расчет количества часов в одном месяце

Если сутки измеряются оборотами земного шара вокруг себя, то месяц — это единица измерения, которая считает обороты Луны — спутника Земли. Чтобы ответить на вопрос «сколько в месяце часов?», прежде всего, нужно выяснить, сколько в нем дней. Например, в апреле всего 30 дней, а в январе — 31. Однако в сутках всегда 24 часа.

Итак, получается, что в апреле: 30 х 24 = 720 ч. А в январе 31 день. Соответственно, и часов в нем будет больше: 31 х 24 = 744 часа. В итоге у человека в январе больше времени, чем в апреле.

Конечно, если считать февраль-месяц и не в високосный год, то показатели выйдут гораздо меньше, ведь в нем всего 28 дней или 672 часа.

Количество минут и секунд в одном месяце

В интернете сейчас можно найти калькуляторы, которые могут сразу конвертировать практически любые данные и превратить одни единицы измерений в другие: минуты в часы, килограммы — в фунты, евро — в доллары и т. д.

Если пойти дальше и спросить, сколько в месяце часов, минут, секунд, то получаются такие показатели.

Месяцы, в которых 30 дней, — это апрель, июнь, сентябрь и ноябрь. Итого в одном 30-дневном месяце:

• 720 часов = 30 дней х 24 часа;
• 43 200 минут = 720 ч. х 60 минут;
• 2 592 000 секунд = 43 200 минут х 60 секунд.

А сколько рабочих часов в месяце?

Трудовым законодательством России установлено, что человек не может работать больше, чем 40 ч./неделю. Помимо трудовых периодов, обязательно должны быть установлены периоды отдыха: минимум полчаса и максимум — два часа. Как правило, обеденный перерыв приходит на 13:00 и длится час. Итого работник проводит в офисе с 9 до 18 часов.

То есть, если считать на каждый день по пятидневному режиму, выходит по 8 часов труда — это нормированный рабочий день. В месяце обычно выходит по 21-23 рабочих дня. Итого, в среднем, человек работает примерно 160 ч./месяц.

Это относится и к тем сотрудникам, у которых сменный рабочий режим. К таким профессиям относятся врачи скорой помощи, которые дежурят сутки напролет, вахтеры или сотрудники call-центров и прочие. Обычно они работают не с понедельника по пятницу, а по сменному графику два через два, чередуя дни отдыха и работы.

Необходимо отметить, что для граждан России от 14 до 16 лет по трудовому кодексу предусмотрено только 24 ч./неделю, а с 16 до 18 лет рабочая неделя составляет не больше 36 ч.

Если сотрудник работает при вредных или опасных для здоровья условиях, то для него по закону также установлено по 36 ч./месяц. Сколько же будет праздничных дней в 2018 году? Рассмотрим далее.

Производственный календарь для расчета рабочих дней

Для вычисления рабочих часов на помощь приходит производственный календарь, который объявляется в конце текущего года. На 2018 год он был утвержден Правительством в октябре 2017 года. Такой календарь очень полезен работникам в сфере бухгалтерии и кадрового обеспечения. Например, бухгалтеру предстоит начислить отпуск/больничный работнику на какой-то месяц, или кадровой службе сделать график работ на следующий период. Самим работниками календарь поможет выбрать наиболее удачный для отпуска месяц, ведь праздничные дни на период отдыха организацией не оплачиваются.

Итак, в 2018 году всего 28 праздничных дней, не считая выходных. Январские каникулы — самые долгие и длятся до 8-го числа включительно. Соответственно, рабочих дней в этом месяце будет всего 17. Так сколько в месяце часов? — в норме в январе работающий гражданин трудится 136 ч.

Также обычно очень незагруженным месяцем является май с праздниками в честь Дня Победы. На май в наступившем 2018 году выходит 20 рабочих дней, или 160 часов, что достаточно немного. Самыми загруженными в 2018 году являются август и октябрь — в них по 184 нормированных рабочих часа или 23 дня.

fb.ru

Сколько рабочих часов, дней в месяце по законодательству?

Основные требования законодательства

При этом месяц также оказывается поистине важным, ведь от количества праздников зависят и особенности рабочего процесса — в январе-мае долгие праздники сводят количество рабочих дней до 17-18, а стандартное число рабочих дней в большинстве месяцев (за исключением января, февралямая, ) составляет 22 -23 (вычитаем из 30-31).

Сколько дней может представлять наиболее длительный рабочий процесс? В неделю разрешено трудиться не более шести дней. Таким образом, один регулярный выходной является обязательным.

Продолжительность рабочей смены

В части первой статьи 51 КЗоТ указывается, что продолжительность рабочей смены может быть разной. Количество часов, которые необходимо отработать за день, меняется в зависимости от возрастной категории сотрудника и условий труда. Какие аспекты в плане часов, которые должны быть отработаны, необходимо отметить? Сколько часов должен отработать сотрудник и как обрести уверенность в том, что норма, установленная на месяц, была выполнена?

Работники в возрасте от четырнадцати до шестнадцати лет могут работать не более 24 часов в неделю и только во время собственных каникул, в шестнадцать-восемнадцать лет — 36 часов в неделю. При этом продолжительность рабочего времени учащегося, который стремится работать в течение учебного года в свое свободное время, не должно превышать половины установленной максимальной продолжительности рабочей смены, предусмотренной в первом абзаце пункта для лиц определенной возрастной категории.

Сокращенная смена становится действительной для рабочих, которые должны сталкиваться с вредными условиями труда. В этом случае в неделю можно работать до 36 часов, что предполагает уменьшение в неделю на 4 часа, но при этом в день не будет отмечаться этого снижения. Кроме этого, сокращенная продолжительность установлена для отдельных специалистов, среди которых следует отметить врачей, учителей, график которых также зависит от того, каким будет период для студентов или школьников, ведь недели бывают экзаменационными, что создает дополнительную сложность, а врачи вынуждены больше часов отрабатывать в периоды эпидемий.

Администраторы предприятий могут уменьшать рабочую смену для женщин, которые имеют детей в возрасте до 14 лет или являются матерями инвалидов, ориентируясь на оптимальное количество часов для работы и соблюдение законодательства РФ.

Таким образом, следует знать, сколько рабочих часов в месяце, ориентируясь на многочисленные особенности КЗоТ Российской Федерации.

Рабочий график в праздничные периоды

В части первой статьи 112 Трудового Кодекса Российской Федерации нерабочие праздничные дни:

• С первого по восьмое января — Новогодние каникулы, а седьмого января — Рождество Христово.
• Двадцать третьего февраля — День защитника Отечества.
• Восьмого марта — Международный женский день.
• Первого мая — Праздник весны и труда.
• Девятого мая — День Победы.
• Двенадцатого июня — День России.
• Четвертого ноября — День народного единства.

Важно помнить о том, что при совпадении выходного и праздничного дня, являющегося нерабочим, выходной принято переносить на следующий после праздничного рабочий день. Исключением являются новогодние каникулы. Данные сведения прописаны во второй части статьи 112 ТК Российской Федерации. Исходя из вышеперечисленных показателей, можно понять, что наибольшее количество праздников приходится на январь, а в некоторые годы — на май, так как происходят переносы по дням.

Расчет показателей времени

Показатель времени в человеко-днях

Человеко-день считается отработанным, если сотрудник явился на свое место работы и приступил к выполнению собственных обязанностей, вне зависимости от того, как долго выполнял их. Кроме этого, принято засчитывать в отработанные человеко-дни именно те дни, которые были посвящены служебным командировкам, работе в других компаниях по нарядам собственного работодателя, а также проведенное время на других предприятиях с вынужденным простоем своего. Целодневным простоем принято считать тот день, когда сотрудник пришел на свою работу, но не смог приступить к выполнению обязанностей из-за причин, которые не зависят от него, а также самоличные неявки.

Важно отметить также подсчет явок, которые позволяют понять, приходит ли каждый день сотрудник на свою работу для выполнения обязанностей.

По каким причинам могут происходить неявки?

1. Отпуск, который предоставляется ежегодно.
2. Отпуск по различным учебным целям, который предназначается студентам заочной формы обучения, выпускникам для сдачи экзаменов и защиты дипломного проекта.
3. Неявки по болезни.
4. Неявки, обусловленные выполнением государственных, а также общественных обязанностей.
5. Неявки, разрешенные администрацией предприятия. В этом случае сотрудник подает личное заявление и соглашается на не сохранение зарплаты.
6. Прогулы, которые предполагают отсутствие уважительных причин.

Для того чтобы заработная плата была получена и сотрудничество успешно продолжалось, крайне важно, чтобы сотрудник большинство месяцев, за исключением отпускного периода, исправно ходил на работу и успешно выполнял свои рабочие обязанности.

Показатели времени в человеко-часах

Человеко-час принято считать за час фактической работы. Таким образом, принято определять следующие показатели:

• отработано в целом;
• отработано, в том числе сверхурочно;
• простои внутри установленной смены, которые обычно составляют менее одного часа.

Все показатели, которые были приведены выше, представляют собой исходную информацию, которая позволяет оценивать эффективность использования рабочего времени специалистами на уровне одной организации, а также на уровне отрасли и государственной экономики. В связи с этим, внимательный контроль за тем, как профессионалы проводят свои рабочие дни и часы, является обязательным. Для наибольшего эффекта,, показатели необходимо анализировать не только по предприятию, но и по цехам, подразделениям, персоналу и отдельным сотрудникам. Ведение документации с четкой фиксацией рабочего процесса, который принято указывать с точностью до часов и минут, способствует максимально точным результатам.

Теперь вы знаете, сколько рабочих дней в месяце, сколько часов может насчитывать одна смена. Соглашаясь на начало работы, помните о том, что график должен неуклонно соблюдаться, так как каждый месяц и день выверены для эффективного выполнения поставленных задач.

urhelp.guru

сколько дней и часов в 10 месяцах???

точно низя подсчитать, не поровну дней в месяцах.. . и так каждый год.. . В феврале вообще, раз в 4 года 28 дней.. . так что, скажи сначала, по сколько дней брать, по 30 или 31?

Смотря в каких, с января по октябрь, или с февраля по ноябрь

Напиши точнее, какие месяцы брать для расчета ?

С февраля по ноябрь

touch.otvet.mail.ru

Какова нормальная продолжительность рабочего времени в день, неделю, месяц

Все трудящиеся должны понимать, сколько по времени им положено трудиться по закону. Иногда люди понемногу перерабатывают, в итоге за месяц складывается большая переработка. Но, человек должен выполнять обязанности в рамках трудового договора. Когда получается переработка, предприятие обязано оплатить ее соответствующим образом либо предоставить отгул. По ст. 91 ТК норма часов работы в месяц равна ста шестидесяти часам.

Определение рабочего времени

Статья № 91 ТК гласит, рабочим признается период, когда человек должен выполнять индивидуальные обязанности. Дополнительно сюда можно отнести иное время, относящееся к работе сотрудника. Сюда относится время:

• подготовки места труда;
• получения наряда;
• сдача полученной продукции;
• и тому подобное.

Законодательными актами утверждены определенные нормы времени труда. Каждое предприятие должно их придерживаться.

Норма рабочего времени

Какова нормальная продолжительность рабочего времени в неделю, можно посчитать, опираясь на ст. 91 ТК. Данный законодательный акт определяет норму труда в неделю сорок часов. Соответственно:

• (40 * 4) 160 норма рабочих часов в месяц;
• (40 / 5) 8 часов за день.

Следует знать

Текущей нормы должны придерживаться все организации. Не играет роли бюджетная она или частная. Человек имеет полное право трудиться меньшее количество времени по договоренности с работодателем. Переработки предприятие должно дополнительно оплачивать. К примеру, трудящийся и работодатель договариваются о выходе на рабочее место в определенные дни больше нормы. Тогда, согласно ст. № 152, переработка оплачивается не менее, чем в 1,5 размере за первые два часа, за последующее время в 2 — ом размере. Человек вправе заменить индивидуальную оплату, на компенсацию в виде дополнительного выходного. Простым языком его называют отгул. Как написать заявление на отгул, читайте в статье https://otdelkadrov.online/9994-rekomendatsii-po-sostavleniyu-podache-zayavleniya-na-otgul.

Основываясь на ст. № 97, № 99 ТК можно установить, длительность переработок не может быть больше:

• 4 часов за два дня подряд;
• сто двадцать часов за год.

Предприятия имеют обязательство вести четкий учёт длительности рабочего времени всего штата трудящихся.

Производственный календарь

Это нормативный документ, устанавливающий дни фактического труда по нормированному времени. Информация, предоставленная в календаре, помогает избежать возможных ошибок в процессе исчисления зарплаты, и облегчает расчёт рабочих часов. Этот документ включает обозначение дней:

• рабочих;
• выходных;
• праздничных;
• сокращенных.

Нормы времени исчисляются по 5 — ти дневной неделе труда. Также частью 1 статьи № 112 ТК утверждены нерабочие праздничные дни. Когда праздничный день выпадает на выходной, он переносится. Исключение составляют дни с 1 по 8 января.

Производственный календарь утверждается ежегодно Постановлениями Правительства.

Порядок исчисления рабочего времени

Основываясь на часть 1 статьи № 104 ТК можно обозначить, что длительность труда каждого работника не может превышать норму, утвержденную законом. Предприятие несет ответственность за исполнение этих норм. Общие правила действуют не только на работников, трудящихся по пятидневке, но и работающих по сменному графику.

Приказ № 588 Н от 13 августа 2009 утверждает порядок расчёта норм:

Дополнительно

• За основу берется 5 — ти дневная рабочая неделя и два выходных.
• Длительность ее в часах требуется разделить на пять и помножить на рабочие дни в месяце. Число рабочих дней можно посчитать самому, опираясь на производственный календарь.
• Когда совершается расчет, обязательно требуется вычесть время, которое сотрудник фактически не трудился. К примеру, находился на больничном.
• Когда учетным устанавливается не месяц, а другой период, сначала требуется рассчитать норму за месяц. Далее полученные данные складываются.

Статьи № 92, № 94, № 284, № 299, № 333 ТК устанавливают специфические правила для индивидуальных категорий лиц.

Об учете рабочего времени работодателем и соблюдении норм рабочего времени смотрите в следующем видео

При исчислении общего объема дней за год, бухгалтер учитывает лимит установленных законом переработок. Он равен 4 часа за два дня и сто двадцать часов за год (больше о максимальной продолжительности сверхурочной работы узнайте тут). В противном случае, при выявлении нарушения законодательства, организация привлекается к ответственности в виде штрафных санкций.

Законодательство РФ устанавливает определенные нормы рабочего времени. Когда человек трудится сверх предусмотренных норм, ему положена индивидуальная оплата либо дополнительный выходной. Норма рабочего времени ТК РФ требуется для учета всем организациям. Предприятия ведут строгий учет рабочего времени сотрудников (всего штата трудящихся). Если допускается нарушение закона, они привлекаются к соответствующей ответственности органом трудовой инспекции после проведения проверки.

Вопросы о нормах рабочего времени можете задавать в комментариях к статье

otdelkadrov.online

Ответы@Mail.Ru: СКОЛЬКО В МЕСЯЦЕ СУТОК

в каком месяце? Надеюсь встречного вопроса не будет — а сколько всего месяцев и как они называются? ))) Ты блондинко? )))

Сколько дней столько и суток….

В среднем 30,4375 (с учётом високосного года).

Юридически в месяце 30 суток. Не важно в каком месяце конкретно. В плане, что если что то длиться месяц, то это 30 суток.

Продолжительность первого этапа у разных женщин может существенно отличаться. И именно количество дней созревания фолликула определяет продолжительность всего менструального цикла, потому что остальные этапы протекают примерно одинаковое время. Например, при классическом цикле в 28 дней созревание фолликула занимает 14 дней. При 25-дневном цикле оно занимает 11 дней, а при 32-дневном – 18 дней.

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: сколько часов,секунд,минут в неделе??

Часов 168, минут 10080, секунд 604800

В одной неделе 168 часов, 604800 секунд, 10080 минут

Секунд В дне 86.400 В неделе 604.800 В месяце (30 дней) 2.592.000 В квартале (91 день) 7.862.400 В году (365 дней) 31.536.000

лайк если от прилива

blyat, в 2-ух неделях 336 часов, а у меня 122 часов в ксго за две недели :о

touch.otvet.mail.ru