Уравнения виды – Виды уравнений, формулы и примеры

Содержание

Виды уравнений, формулы и примеры

Определение и основные виды уравнений

Например.

Некоторые классы уравнений решаются аналитически (среди алгебраических это линейные, квадратные, кубические уравнения и уравнения четвертой степени), то есть решение записывается в виде формулы. Алгебраические уравнения высших степеней (более, чем четвертая) в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые сводятся к уравнениям низших степеней.

В общем случае, если аналитическое решение не существует, применяют численные методы.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

   

где — многочлен переменных , которые называются переменными или неизвестными.

Например.

Степенью алгебраического уравнения называется степень многочлена .

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнение вида

   

Например. — линейное уравнение с одной переменной.

Квадратным уравнением (уравнением второй степени) называется уравнение

   

Здесь — переменная, — старший или первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный коэффициент.

Например.

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен единице.

Например.

Уравнением с параметрами называется математическое равенство, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Например.

Уравнение, содержащее трансцендентные функции, называется трансцендентным.

Например.

Трансцендентная функция — это аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Алгебраической называется элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Функциональным называется уравнение, которое определяет связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках.

Например.

Уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной, называется дифференциальным.

Например.

Интегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграл.

Например.

ru.solverbook.com

УРАВНЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

УРАВНЕНИЯ. Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin

2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными. Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения.

Уравнения вида fn = 0, где fn – многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида

fn = a0 xiyj … v

k + a1 xlym … vn + ј + asxpyq … vr,

где x, y,…, v – переменные, а i, j,…, r – показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:

f(x) = a0xn + a1xn – 1 +… + an – 1x + an

или, в частном случае, 3x4x3 + 2x2 + 4x – 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) = 0. Если a0 № 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 = 0 – уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции

y = ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени – кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.

Трансцендентные уравнения.

Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:

где lg – логарифм по основанию 10.

Дифференциальные уравнения.

Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы. См. также ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Интегральные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например,

f (s) = тK (s, t) f (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а f (t) требуется найти.

Диофантовы уравнения.

Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x – 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для всех перечисленных выше типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно полная теория их решения.

Линейные уравнения.

Эти простые уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2

x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Квадратные уравнения.

Решения общего квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 можно получить с помощью формулы

Таким образом, существуют два решения, которые в частном случае могут совпадать.

Другие алгебраические уравнения.

Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и далеко не всегда помогают легко находит корни. Что же касается уравнений пятой степени или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, факторизуя их левую часть, т.е. разлагая ее на множители.

Например, уравнение x3 + 1 = 0 можно записать в факторизованном виде (x + 1)(x2x + 1) = 0. Решения мы находим, полагая каждый из множителей равным нулю:

Таким образом, корни равны x = –1, , т.е. всего 3 корня.

Если уравнение не факторизуется, то следует воспользоваться приближенными решениями. Основные методы нахождения приближенных решений были разработаны Горнером, Ньютоном и Греффе. Однако во всех случаях существует твердая уверенность в том, что решение существует: алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней.

Системы линейных уравнений.

Два линейных уравнения с двумя неизвестными можно записать в виде

Решение такой системы находится с помощью определителей

Оно имеет смысл, если Если же D = 0, то возможны два случая. (1) По крайней мере один из определителей и отличен от нуля. В этом случае решения уравнений не существует; уравнения несовместны. Численный пример такой ситуации – система

(2) Оба определителя равны нулю. В этом случае второе уравнение просто кратно первому и существует бесконечное число решений.

Общая теория рассматривает m линейных уравнений с n переменными:

Если m = n и матрица (aij) невырожденна, то решение единственно и может быть найдено по правилу Крамера:

где Aji – алгебраическое дополнение элемента aijв матрице (aij). В более общем плане существуют следующие теоремы. Пусть

r – ранг матрицы (aij), s – ранг окаймленной матрицы (aij; bi), которая получается из aij присоединением столбца из чисел bi. Тогда: (1) если r = s, то существует n – r линейно независимых решений; (2) если r , то уравнения несовместны и решений не существует.

www.krugosvet.ru

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

  1. Раскрыть скобки

  2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, без переменной — в другую часть, меняя при переносе знак на противоположный и привести подобные слагаемые.

  3. Найти корень уравнения.

Вида ax2+

bx = 0

  • Вынести за скобки x;

  • Приравнять каждый из множителей к нулю;

  • Решить получившиеся уравнения;

  • Записать ответ


Вида ax2+c = 0

  • Перенести число в правую часть уравнения, сменив перед ним знак;

  • Выразить x2, разделив обе части уравнения на коэффициент при a;

  • Найти х, извлекая корень из правой части уравнения.
    Не забудь поставить пред х знаки !

  1. Привести квадратное уравнение к стандартному виду: ax2+bx+c = 0

  2. Найти дискриминант по формуле
    D = b2-4ac

  3. Если D < 0, то корней нет
    Если D = 0, то один корень

    Если D > 0, то два корня

Имеет вид:
ax4+bx2+c = 0

  • Заменить x2какой-нибудь новой переменной.

  • Решить получившееся уравнение, найдя при этом значение новой переменной.

  • Сделать обратную замену.

  • Решить получившиеся уравнения.

Способы:

  1. Перенести все слагаемые в левую часть.

  2. Выполнить действия в левой части уравнения, получив при этом алгебраическую дробь.

  3. Приравнять числитель этой дроби к нулю.

  4. Решить получившееся уравнение.

  5. Сделать проверку, подставив эти корни в знаменатель.
    Если знаменатель при подстановке найденного корня обращается в нуль, то этот корень посторонний, в ответе его не указываем.
    Если знаменатель в нуль не обращается, то этот корень является решением данного уравнения.

Имеет вид:

  1. Возведём обе части этого уравнения в квадрат.

  2. Решить получившееся уравнение.

  3. Обязательно сделать проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

infourok.ru

Виды уравнений и способы их решения

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (8,2 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.


Цели урока:

Обучающие:

  • Обобщить знания по всем видам уравнений, подчеркнуть значимость всех способов, применяемых при решении уравнений.
  • Активизирование работы учащихся за счет, разнообразных приемов на уроке.
  • Проверить теоретические и практические навыки при решении уравнений.
  • Заострить внимание на том, что, одно уравнение можно решить несколькими способами

Развивающие:

  • Повысить интерес учащихся к предмету, через использование ИКТ.
  • Ознакомление учащихся с историческим материалом по теме.
  • Развитие мыслительной деятельности при определении вида уравнения и способов его решения.

Воспитательные:

  • Воспитать дисциплину на уроке.
  • Развитие способности к восприятию прекрасного, в себе самом, в другом человеке и в окружающем мире.

Тип урока:

  • Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока:

  • Комбинированный.

Материально-техническое оснащение:

  • Компьютер
  • Экран
  • Проектор
  • Диск с презентацией темы

Методы и приемы:

  • Использование презентации
  • Фронтальная беседа
  • Устная работа
  • Игровые моменты
  • Работа в парах
  • Работа у доски
  • Работа в тетрадях

План урока:

  1. Организационный момент (1минуты)
  2. Расшифровка темы урока (3минуты)
  3. Сообщение темы и цели урока (1минута)
  4. Теоретическая разминка (3минут)
  5. Исторический экскурс (3минуты)
  6. Игра “Убери лишнее” (2минуты)
  7. Творческая работа (2минуты)
  8. Задание “Найди ошибку” (2минуты)
  9. Решение одного уравнения несколькими способами (на слайде) (3минуты)
  10. Решение одного уравнения несколькими способами (у доски) (24 минут)
  11. Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением (5минут)
  12. Индивидуальное домашнее задание(1минуты)
  13. Итог урока рефлексия (1минута)

Эпиграф урока:

“Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.
А.Франс

Конспект урока

Организационная часть

Проверяю готовность учащихся к уроку, отмечаю отсутствующих на уроке. Ребята, Французский писатель 19 века А.Франс однажды заметил “ Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”. Так давайте на нашем уроке следовать совету, писателя и переваривать знания с большим аппетитом, ведь они пригодятся в нашей жизни.

Расшифровка темы урока

Для того, чтобы перейти к более сложном заданием, давайте разомнем свои мозги простыми заданиями. Тема нашего урока зашифрована, решив устные задания и найдя к ним ответ, зная, что каждый ответ имеет свою букву, мы раскроем тему урока. Презентация слайд 3

Сообщение темы и цели урока

Вы, сегодня сами назвали тему урока

“Виды уравнений и способы их решения”. Презентация слайд 4

Цель: Вспомнить и обобщить все виды уравнений и способы их решения. Решить одно уравнение всеми способами. Презентация слайд 5 Прочитать высказывание Эйнштейна Презентация слайд 5

Теоретическая разминка

Вопросы Презентация слайд 7

Ответы

  1. Равенство, содержащее переменную величину, обозначенную какой-то буквой.
  2. Это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
  3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
  4. После этого определения прочесть стихотворение об уравнении Презентация слайд 12,13,14

Ответы на 2 последних вопроса Презентация слайд 9,10,11

Исторический экскурс

Историч

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

«Уравнения. Их виды, типы и методы решений»

Уравнения. Их виды, типы и методы решений

Учебный материал, связанный с уравнениями составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Отметим, что с уравнениями впервые мы встречаемся еще в начальной школе.

Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью (здесь уравнения выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение уравнений к решению различного рода задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира) [1].

Существуют следующие типы уравнений и неравенств (рис. 1)

Рис. 1

Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.[2]

При этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в значительной степени (и тем I большей, чем сложнее уравнение) — эвристической [3]. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую трудность для учащихся.

При обучении учащихся решению определенного класса уравнений следует выделять общий прием решения, который можно представить следующими этапами:

1. Определить вид уравнения.

2. Определить стандартное оно или нет.

3. Если стандартное, то решить в соответствии с известным правилом, алгоритмом.

4. Если нестандартное, то выяснить, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо перейти к использованию искусственных приемов решения.

5. Выполнить эти преобразования.

6. Сделать проверку.

7. Записать ответ.

Алгебраическое уравнение первой степени с одной неизвестной – это уравнение, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно одной переменной. В некоторых учебниках все такие уравнения называют линейными. Однако чаще к линейным относят лишь уравнения вида , либо уравнения вида . Алгоритм решения линейных уравнений и сводящихся к ним основан на приведении подобных слагаемых и на двух основных свойствах уравнений: первое о переносе слагаемых из одной части в другую, второе – о делении обеих частей уравнения на ненулевое число. Этот алгоритм прочно осваивается учащимися и в дальнейшем воспринимается как единственный метод решения таких уравнений.

Пусть тогда получаем квадратное уравнение относительно переменной t

D= (-6)2 – 4×5×1=16

t1==1 t3= =

  1. t1= 1, cosx=1, x1=2πn, n€Z

  2. t1= , сosx=, x2=±аrccos +2 πn, n€Z

  3. Ответ: x1=2πn, n€Z, x2=±аrccos +2 πn, n€Z

Каким бы методом ученик не решал уравнение или систему, необходимо выполнять проверку. Рассмотрим типичные, часто встречающиеся ошибки, которые допускают ученики.

1. Ошибки в тождественных преобразованиях выражений в одной из частей;

2. Неодинаковость и неправомерность действий, выполняемых в левой и правой части;

3. Упрощение левой и правой частей в отдельности, в результате чего может измениться ОДЗ;

4. Деление/умножение обеих частей на одно и то же выражение;

5. Извлечение квадратного корня из обеих частей с неумением поставить после этого правильный знак;

6. Возведение в квадрат обеих частей, что может привести к расширению ОДЗ;

7. При замене переменной не определяется ОДЗ новой переменной и др.

Учителю следует на простых примерах показывать учащимся суть каждого подхода, его преимущества и недостатки. Выбор же того или иного подхода определяется каждым конкретным решаемым уравнением. [1] На наш взгляд, прежде чем начинать выполнять преобразования самого уравнения, следует установить систему неравенств, задающих область допустимых значений уравнения, оценить трудоемкость ее решения, а уже потом делать выводы: выполнять ли преобразования уравнения с последующей проверкой корней подстановкой, либо свести решение уравнения к решению равносильной ему системе.

  1. Костюченко Р.Ю. Обучение учащихся решению иррациональных неравенств // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» — 2007

  2. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание – М, Наука, 1985 –230c

  3. Колягин Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 1977

infourok.ru

Виды уравнений и способы их решения

ТЕМА: ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

ЦЕЛЬ: Привести в систему знания учащихся по этой теме:

  • повторить теорию решения уравнений;

  • выработать умение определять вид уравнения,

выбирать наиболее рациональный способ решения данного уравнения.

Развитие интереса к предмету, активизация мыслительной деятельности, развитие творческого мышления, математической речи.

Формирование навыков самостоятельной деятельности, воспитание коллективизма, духа соревнования.

ХОД УРОКА

  1. Даю историческую справку о том, что наука «алгебра» возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.

  2. Повторяем теорию по решению уравнений.

Задаю ученикам вопросы:

— Что называется уравнением?

— Что значит решить уравнение?

— Что называется корнем уравнения?

— Какие существуют способы решения уравнений?

— Какие существуют виды уравнений?

— Как определяется степень уравнения?

— Каков общий вид линейного уравнения? Квадратного?

— Дайте определение рационального, дробно-рационального уравнения, уравнения, содержащего модуль?

— Что называется областью допустимых значений уравнения?

3. Предлагаю учащимся решить уравнения, объясняя, какого вида уравнения, способ решения каждого уравнения, теоретически обосновывая каждый шаг.

1) Линейные уравнения

а) 3х + (20 – х) = 35,2,

б) ,

в)(х – 3)- х= 7 – 5х.

2) Квадратные и приводимые к квадратным

а) z- 10 = 29,

б) — х = 13,

в) (х – 4) — 5(х – 4) + 6 = 0,

г) х — 13х + 36 = 0,

д) (х + 2) — 11(х + 2)= 12.

3) Уравнения высших степеней

а) х = х,

б) 3у = 96,

в) х + х + х + 1 = 0,

г) – 5,5n(n – 1)(n + 2,5)(n — ) =0.

4) Дробно- рациональные уравнения

а)

б)

5) Иррациональные уравнения

а)2 + =4,

б)=-5,

в) = x.

6) Уравнения с модулем

а) =

б)= -2,

в) х— 5= 0.

7) Уравнения с параметром

а) aх = 10,

б)2ах – 5 = 17.

4. Даю устную самостоятельную работу с последующей проверкой. Например, в виде теста в двух вариантах.

Найти наибольший (наименьший ) корень уравнения

См. Приложение 1

Решаем кроссворд.

См. Приложение 2.

5. Подвожу итог урока. Отмечаю:

  • что повторили с ребятами,

  • какие виды уравнений существуют,

  • какие существуют способы решения уравнений,

  • чему научились,

  • кто был самым активным, кому нужно быть поактивнее.

Даю оценку устной работы и оценку устной самостоятельной работы каждого ученика.

6. Домашнее задание.

а) х + 2х — 15=0;

б) (х- 4х)- 7(х- 4х) +12=0;

в) х+9х— х-9=0;

г) у-15=0;

д) х- 625=0.

gigabaza.ru

что такое? Определение термина, примеры

В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин «уравнение». Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.

Математика. Уравнения

Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение — это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.

Что такое переменная? Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:

  • температура воздуха;
  • рост ребенка;
  • вес и так далее.

В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с… Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.

Разновидности

Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:

  • линейные;
  • квадратные;
  • кубические;
  • алгебраические;
  • трансцендентные.

Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.

Линейное уравнение

Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.

Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.

Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.

Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример линейного уравнения, по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.

Квадратные уравнения

Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax2+bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.

Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b2-4ac. Есть три варианта исхода решения:

  • дискриминант больше нуля;
  • меньше нуля;
  • равен нулю.

В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.

Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.

Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.

Особые случаи в квадратных уравнениях

Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.

Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х2=0. В итоге получаем х=0.

Другой случай 16х2-9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х2=9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х2= девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.

Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х2+80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х2=-80, теперь каждую часть делим на пять: х2= минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.

Разложение трехчлена

Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х1)(х-х2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.

Рассмотрим следующий пример: 3х2-14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).

Уравнения сводящиеся к квадратному

В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x2 – 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а2-2а-3=0. Наш следующий шаг — это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x2 – 2x=-1; x2 – 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.

Кубические уравнения

Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.

Рассмотрим пример: 3х3+4х2+2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х2+4х+2)=0. Все что нам остается сделать — это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.

Алгебра. Уравнения

Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: методом группировки разложить на множетели 3х4+2х3+8х2+2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х4+3х2)+(2х3+2х)+(5х2+5). Заметим, что 8х2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х2 и 5х2. Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х2(х2+1)+2х(х2+1)+5(х2+1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х2+1)(3х2+2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.

Трансцендентные уравнения

Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin2x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.

Функция

Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.

fb.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *