Частные случаи решения тригонометрических уравнений
Частные случаи решения тригонометрических уравнений Рассмотрим некоторые возможные стандартные варианты решений тригонометрических уравнений. Частными случаями решения уравнения являются следующие уравнения:
То есть в роли возможных значений переменной а выступают табличные значения 0; —1 и 1. Графически решение уравнения можно обосновать с помощью рисунка: Для частных случаев решения можно найти несколькими способами, в частности их принято вносить в справочную информацию по тригонометрии. Наведем решения этих уравнений: : : :
Частными случаями решения уравнения являются: : : : Графически решение уравнения можно обосновать с помощью рисунка: Частные случаи решения уравнения : : : : Графически решение уравнения можно обосновать с помощью рисунка: Частные случаи решения уравнения : : : : Графически решение уравнения можно обосновать с помощью рисунка: К частным случаям решения тригонометрических уравнений можно отнести также и другие табличные значения, которым равны тригонометрические функции по таблице значений. Например, к частным случаям решения уравнения можно также отнести уравнения вида:
ru.solverbook.com
Решение простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.
Вспомним определения косинуса и синуса.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов ( или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)
Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решим уравнение
Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .
Отметим на оси ординат точку с ординатой :
Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату. Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:
Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число «холостых» оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.
То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:
, , — множество целых чисел (1)
Аналогично, вторая серия решений имеет вид:
, где , . (2)
Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .
Эти две серии решений можно объединить в одну запись:
Если мы в этой записи возьмем ( то есть четное ), то мы получим первую серию решений.
Если мы в этой записи возьмем ( то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.
2. Теперь давайте решим уравнение
Так как — это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :
Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:
Запишем две серии решений:
,
,
(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .
Объедим эти две серии в одну запись:
3. Решим уравнение
Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY
Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):
Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :
Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:
,
4. Решим уравнение
Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .
Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:
Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:
Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:
В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.
Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение обратной тригонометрической функции:
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:
1
Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:
2.
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:
3.
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:
Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:
4.
Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:
5. Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:
6.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:
И чуть более сложные примеры:
1.
Синус равен единице, если аргумент равен
Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:
. Разделим обе части равенства на 3:
Ответ:
2.
Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен
Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:
Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:
Упростим правую часть:
Разделим обе части на -2:
Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.
Ответ:
И в заключение посмотрите видеоурок «Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности»
На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать простейшие тригонометрические неравенства.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и Задание 13»
ege-ok.ru
sin x = 1 решение
Доброй ночи! Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением sin x = 1, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать. Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке:
Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид:
Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения:
Значение мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение:
Ответ:
ru.solverbook.com
Чему равен Sin 1 (синус единицы) ?
Синус одного градуса или синус одного радиана?
девяносто градусов.
синус единицы в радианной мере равен углу в 90 градусов.
Если это синус градуса то 90, а если радиана то????
sin 1” = π/(180•60•60) eto sinus 1 sekunda
Синус дуги, которая равна радиусу, есть 1/1! — 1/3! + 1/5! — 1/7! + 1/9! — etc. = 1 — 1/6 + 1/120 — 1/5040 + 1/362880 — etc. Сложим эти пять чисел: (362880 — 60480 + 3024 — 72 + 1) / 362880 = (302400 + 3025 — 72) / 362880 = 305353 / 362880 ~ 0.8414710097. Отсюда нужно ещё вычесть малое положительное число 1/11! — 1/13! + 1/15! — 1/17! + etc. < 1/11! = 1/39.916.800 ~ 2.5*10^(-8). Достаточно запомнить sin(1) = 0.841471.
формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками
В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Расстояние между точками на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А бол
zaochnik.com
Расстояние между двумя точками.
Навигация по странице:
Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC = xb — xa; BC = yb — ya.
Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
AB = √AC2 + BC2.
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками
Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
0oq.ru
Формула расстояния между точками | Треугольники
Формула для нахождения расстояния между двумя точками A(x1;x2) B(x2;y2) на плоскости:
Доказательство:
Сначала рассмотрим частные случаи.
1) Если y1=y2,
то
К этой же формуле придём, если подставим координаты точек A и B в общую формулу:
2) Аналогично, если x1=x2:
Эту же формулу получим, подставив координаты A и B в общую формулу:
3) Если x1=x2 и y1=y2, AB=0. Формула для этого случая также верна.
4) Если x1≠x2, y1≠y2.
Проведём через точки A и B прямые, перпендикулярные координатным осям. Обозначим точку пересечения этих прямых через C.
Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора
Поскольку
или
Отсюда
Что и требовалось доказать.
www.treugolniki.ru
Онлайн расчет расстояния по координатам + формула
Расчет расстояния между координатами
Данный сервис позволяет рассчитать расстояние между двумя точками с известными географическими координатами.
Как известно, кратчайшим расстоянием между двумя точками на земной поверхности является длина дуги круга, проведенного на сфере по этим двум точкам. При расчете расстояния по географическим координатам делается предположение, что Земля не плоская, а круглая (если быть точнее, имеет форму, приближенную к сфере), то есть Земля — сфероид.
Для определения расстояния между двумя точками будет применяться формула расчета длины дуги, так называемая «модифицированная формула гаверсинусов».
Поскольку в расчете участвует радиус, а у Земли, как у не совсем правильной сферы, он разный, скажем на северном полюсе — 6335.437 км, а на экваторе — 6399.592 км. В связи с этим в расчете берется среднее значение радиуса Земли равное 6372.795 км, что позволяет получать результат с точность 99,5%.
В калькуляторе ниже для примера приводится расчет расстояния между координатами г.Москва и г.Санкт-Петербург.
Формула расчета расстояния по координатам
Пусть и являются географическими широтой и долготой двух точек 1 и 2, и — их абсолютная разность. Тогда , центральный угол между ними, определяется теоремой сферических косинусов:
Формула расстояние d т.е.длины дуги, для сферы радиуса R и приведены в радианах
Больше матиматики …
На компьютерных системах с низкой точностью с плавающей запятой, эта формула может иметь большие ошибки округления, если расстояние не большое (если две точки находятся в 1 км друг от друга на поверхности Земли, косинус центрального угла выходит 0,99999999). Для современных 64-разрядных чисел с плавающей запятой, формула Теоремы косинусов, которая приведенна выше, не имеет серьезных ошибок округления для расстояний более нескольких метров на поверхности Земли. Эта формула лучше подходит для вычисления растояние по координатам на небольшые расстояния
Для получения более точных рузультатов на большых расстояниях стараются исполтзовать формулу посложнее, в которой сделано предположение, что сфера является эллипсоидом с одинаковыми большой и малой осями.
Более подробную информацию о выведении формулы расчета расстояния по координатам читайте здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Great_circle_distance
Комментарии:
mapgroup.com.ua
Расстояние между двумя точками.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(
xa
,
ya
) и B(
xb
,
yb
) на плоскости:AB = √
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(
xa
,
ya
,
za
) и B(
xb
,
yb
,
zb
) в пространстве:AB = √(
xb
—
xa
)2 + (
yb
—
ya
)2 + (
zb
—
za
)2
Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC =
xb — xb
;
BC =
yb — yb
.
Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
AB = √
AC2 + BC2
.
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.
Пример вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Пример 1. Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).
Решение.
AB = √ = √
(6 — (-1))2 + (2 — 3)2
= √
72 + 12
= √
50
= 5√
2
Ответ: AB = 5√
2
.
Пример вычисления расстояния между двумя точками в пространстве
Пример 2. Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).
Решение.
AB = √(
xb
—
xa
)2 + (
yb
—
ya
)2 + (
zb
—
za
)2 =
= √
(6 — (-1))2 + (2 — 3)2 + (-2 — 3)2
= √
72 + 12 + 52
= √
75
= 5√
3
Ответ: AB = 5√
3
.
o-math.com
Расстояние между двумя точками на прямой
Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.
Формула расстояния между точками на координатной прямой:
AB = |a — b|
где A и B – это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть найти длину отрезка AB, a и b – координаты точек.
Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.
Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.
Пример 1. Найти расстояние между точками L(-3) и M(5), отмеченными на координатной прямой.
Решение. Чтобы найти расстояние между точками L и M надо из координаты точки L вычесть координату точки M или наоборот, а в качестве ответа взять модуль полученного результата:
|-3 — 5| = |-8| = 8 или |5 — (-3)| = |5 + 3| = 8
Ответ. Расстояние между точками L и M равно 8.
Пример 2. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(-5) и B(5).
Решение. Обозначим середину отрезка точкой C. Так как C – середина отрезка AB, то |AC| = |CB|, значит чтобы найти координату точки C надо сначала вычислить длину отрезка AB и разделить её на 2, то есть на две равные части AC и CB:
AB = |-5 — 5| = |-10| = 10
10 : 2 = 5, значит |AC| = |CB| = 5
Как видно из чертежа, чтобы найти координату середины отрезка надо половину длины отрезка либо прибавить к точке с наименьшей координатой, либо отнять от точки с наибольшей координатой:
-5 + 5 = 0 или 5 — 5 = 0
Ответ. Координата середины отрезка C(0).
Пример 3. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(7) и B(25).
Решение.
AB = |7 — 25| = |-18| = 18
AC = CB = 18 : 2 = 9
7 + 9 = 16 или 25 — 9 = 16
Ответ. Координата точки C – 16.
naobumium.info
Определение расстояний на поверхности Земли
Определение расстояний на поверхности Земли
Размеры и форма Земли Форма Земли отличается от шара и имеет несколько сплющенную форму, близкую к сфероиду (эллипсоиду вращения), но истинная фигура Земли отличается и от сфероида, и от трехосного эллипсоида и не может быть представлена ни одной из известных математических фигур.
Поэтому, говоря о фигуре Земли, имеют в виду не физическую форму земной поверхности, с океанами и материками, с их возвышенностями и впадинами, а так называемую поверхность геоида.
Поверхность, нормалями к которой в любой из ее точек являются отвесные линии, называется уровенной поверхностью, или поверхностьюравновесия. Уровенных поверхностей, как внутри Земли, так и охватывающих земную поверхность, или пересекающихся с ней, можно провести бесчисленное множество.
Та поверхность равновесия, которая совпадает в открытом океане с поверхностью покоящейся свободной воды, называется геоидом.
Для решения многих задач навигации и составления карт мелкого масштаба Землю принимают за сферу (шар).
Положение точки па земной сфере определяется сферическими координатами: сферической широтой и сферической долготой (в картографии применяют термин «географические координаты«).
Сферическая широта точки А — угол φА между плоскостью экватора и направлением R на данную точку из центра земной сферы.
Сферическая долгота точки А — угол λА, заключенный между плоскостью нулевого (Гринвичского) меридиана и плоскостью меридиана данной точки.
Средний радиус Земли R = 6371210 м.
Экваториальный радиус Земли RЭ = 6378,245 м.
Полярный радиус Земли RП = 6356,830 м.
Длина дуги меридиана (дуги экватора, дуги окружности большого круга) в 1°, 1′ и 1″ равна соответственно:
111 197 м (111,2 км), 1852 м (1,852 км) и 30,9 м.
Законы сферической тригонометрии позволяют рассчитывать расстояния между точками, расположенными на сфере. Кратчайшее расстояние между двумя точками на земной поверхности (если принять ее за сферу) определяется зависимостью:
где φА и φB — широты, λА, λB — долготы данных пунктов, d — расстояние между пунктами, измеряемое в радианах длиной дуги большого круга земного шара.
Расстояние между пунктами, измеряемое в километрах, определяется по формуле:
L = d·R,
где R = 6371 км — средний радиус земного шара.
Таблица расстояний (с точностью 1 км), рассчитанными по этим формулам, для пунктов Эвенкийского автономного округа (Эвенкийского муниципального района):
уточнения внесены 25.03.2010
Тура
Байкит
Ванавара
Красноярск
1007
662
738
Агата
426
Географический центр РФ, Виви
364
Ессей
467
Кислокан
201
Нидым
21
Ногинск
439
Тембенчи
99
Тура
350
450
Тутончаны
313
Учами
186
Чиринда
363
Эконда
293
Юкта
293
Байкит
350
352
Бурный
197
Кузьмовка
236
Куюмба
82
Мирюга
220
Ошарово
177
Полигус
101
Суломай
274
Суринда
114
Таимба
203
Усть-Камо
121
Ванавара
450
352
Кербо
242
Муторай
147
Оскоба
100
Стрелка-Чуня
159
Тунгусский метеорит (эпицентр)
64
Чемдальск
102
Для расчета расстояния между пунктами, расположенными в разных полушариях (северное-южное, восточное-западное), знаки (±) у соответствующих параметров (широт или долгот) должны быть разными.
Пример: (см. таблицу ниже)
для вычисления расстояния между Турой и Сиднеем (Австралия) применяем формулу:
cos(d) = sin(φА)·sin(−φB) + cos(φА)·cos(−φB)·cos(λА − λB) = −0,27462.
d = 1,848988
Расстояние L = d·R = 11 779,9 км.
для вычисления расстояния между Турой и Нью-Йорком (США) применяем формулу:
cos(d) = sin(φА)·sin(φB) + cos(φА)·cos(φB)·cos(λА + λB) = 0,259532.
d = 1,308259
Расстояние L = d·R = 8 334,92 км.
В таблице расстояния определены с точностью 1 км.
φ (градус)
λ (градус)
φ (радиан)
λ (радиан)
расстояние до Туры (км)
Тура
Tura (Russia)
64,28 с.ш.
100,22 в.д.
1,121387
1,748224
—
Нью-Йорк (США)
New-York (USA)
40,71 с.ш.
74,01 з.д.
0,710163
1,291063
8 335
Сидней (Австралия)
Sydney (Australia)
33,874 ю.ш.
151,213 в.д.
0,590913
2,637827
11 780
Координаты географических пунктов ЭАО смотрите здесь
Как посчитать среднее значение 🚩 Найти среднее арифметическое всех целых чисел от 1 до 1000 🚩 Математика
Автор КакПросто!
В математике и статистике среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, поделённая на их количество. Среднее арифметическое является наиболее общим и самым распространённым понятием средней величины.
Вам понадобится
Знания по математике.
Инструкция
Пусть дан набор из четырех чисел. Необходимо найти среднее значение этого набора. Для этого сначала найдем сумму всех этих чисел. Допустим эти числа 1, 3, 8, 7. Их сумма равна S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Набор чисел должен состоять из чисел одного знака, в противном случае смысл в вычислении среднего значения теряется.
Среднее значение набора чисел равно сумме чисел S, деленной на количество этих чисел. То есть получается, что среднее значение равно: 19/4 = 4.75.
Для набора числе также можно найти не только среднее арифметическое, но и среднее геометрическое. Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Среднее геометрическое G ищется по формуле: корень N-ой степени из произведения набора чисел, где N — количество числе в наборе. Рассмотрим тот же набор чисел: 1, 3, 8, 7. Найдем их среднее геометрическое. Для этого посчитаем произведение: 1*3*8*7 = 168. Теперь из числа 168 необходимо извлечь корень 4-ой степени: G = (168)^1/4 = 3.61. Таким образом среднее геометрическое набора чисел равно 3.61.
Обратите внимание
Среднее значение не может быть больше самого большого числа в наборе и меньше самого маленького.
Полезный совет
В математической статистике среднее значение величины называется математическим ожиданием.
Источники:
как вычислить среднее значение
Найти среднее арифметическое всех целых чисел от 1 до 1000
[Turbo Pascal] Нахождение среднего геометрического
Ситуация, когда интернет «ползает», словно улитка, — далеко не редкость. И это происходит несмотря на все количество цифр в рекламном буклете вашего провайдера. Обещанная скорость превышает десятки мегабайт в секунду, но на деле нет даже десятой части от обещанного. Если вы хотите измерить настоящую, а не рекламную скорость вашего соединения, то эта статья вам поможет.
Инструкция
Вот несколько ссылок, пройдя по которым, вы можете измерить скорость своего соединения: speed.yoip.ru; 2ip.ru; www.softholm.com; spchat.ru; www.testinternet.ru;www.and-rey.ru. Также необходимо помнить, что для того, чтобы получить наиболее точный и правильный результат тестирования вам нужно отключить все программы, которые могут использовать интернет в момент проведения тестирования. Это могут быть любые интернет-качалки, интернет-радио или телевидение.
Для измерения «моментальной» скорости вашего соединения с интернетом вам нужно перейти по любой ссылке, приведенной выше и нажать кнопку «Измерить скорость».
В течение нескольких минут вам необходимо воздержаться от использования интернета. Это необходимо для того, чтобы браузер, который вы используете для просмотра интернет-страниц, не влиял на скорость соединения.
В таблице, которая появится после завершения тестирования, вы увидите скорость вашего соединения с интернетом.
Видео по теме
Обратите внимание
Необходимо помнить, что тест для измерения скорости показывает не среднюю скорость загрузки пакета и не максимальную скорость, с которой может работать ваш интернет, а именно скорость передачи в данный момент времени. На результат теста оказывает влияние размера пакета передаваемых данных. Здесь действует правило: чем больший объем пакета, тем более точные результаты тестирования.
Полезный совет
Измерение скорости осуществляется путем расчета времени передачи какого-либо объема данных с сервера. Объем данных для передачи имеет определенное значение. Если рассчитанная скорость не соответствует ожидаемой или обещанной провайдером, тогда попробуйте повторить тестирование спустя некоторое время. Вполне возможно, что канал вашего провайдера сильно перегружен.
Среднее арифметическое, которое иногда называют просто средним, – одно из важных понятий в математике и статистике. Среднее арифметическое любого набора величин находится при помощи двух последовательных операций, производимых при помощи калькулятора.
Вам понадобится
Инструкция
Для начала сложите все числа из того набора, для которого нужно найти среднее арифметическое. Например, вам дана последовательность из пяти чисел: 8, 17, 22, 14 и 29. В этом случае первым шагом в расчете среднего арифметического будет нахождение суммы этих чисел: 8 + 17 + 22 + 14 + 29 = 90.
Теперь, когда сумма найдена, разделите ее на количество суммированных чисел. В нашем наборе было 5 чисел, поэтому мы разделим 90 на 5. 90 : 5 = 18. Полученное число и будет являться средним арифметическим исходного набора чисел.
Видео по теме
Обратите внимание
Среднее арифметическое призвано описывать центральную тенденцию, однако, иногда этому мешает влияние «больших отклонений». Например, среднее арифметическое для набора чисел 2, 1, 1, 2, 1, 11 будет равняться трем, тогда как большинство элементов ряда (пять из шести) явно ниже этого значения.
Числовая характеристика множества функций или чисел, заключенная между максимальным и минимальным значениями, называется средним значением. В математике под этим определением можно понимать среднее значение функции, среднее взвешенное, среднее хронологическое. В теории вероятностей и статистике — это непараметрические средние, такие как мода, медиана и среднее значение случайной величины. Для каждого из этих понятий существует свой алгоритм расчета.
Вам понадобится
Учебники по высшей математике, теории вероятности, статистике
Инструкция
Итак, в математике наиболее распространен и востребован расчет среднего степенного значения функции по Колмогорову. Частными случаями Колмогоровских средних являются среднее арифметическое, среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее геометрическое. Для расчета среднего арифметического значения (или простого среднего), просуммируйте весь ряд чисел и поделите на их количество. Вычислите квадратный корень из среднего арифметического квадратов данных чисел, и вы получите среднее квадратичное значение. Среднее гармоническое и среднее геометрическое также несложно вычислить, путем подстановки ряда данных в формулы Среднее взвешенное значение вычисляется, когда мы имеем дело с линейными комбинациями. Тут тоже существуют различные алгоритмы. Чаще всего используют среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное. Эти величины вы можете вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
Хронологическое среднее используется для вычисления среднего значения абсолютных величин, меняющихся в определенном временном интервале. Для вычисления этого значения используйте данную формулу:
В статистике наиболее часто встречаются такие понятия как мода и медиана. Они являются непараметрическими средними. Напомним что мода — это наиболее часто встречающееся число в данном ряде, а медиана — некоторое значение признака, которое будет делить весь ряд выборки на две равные части «верхние» и «нижние».
В теории вероятности среднее значение случайной величины не что иное как математическое ожидание. Если у вас дискретное распределение, то математическое ожидание вычисляется по формуле (1), а если непрерывное, но по формуле (2)
Источники:
среднее взвешенное значение
Средние величины играют огромную роль в нашей жизни. Они применяются повсюду, начиная от беспристрастной статистики и экономической теории и заканчивая подсчетом балов в КВН.
Вам понадобится
Инструкция
Средняя величина — это показатель однородной совокупности, который нивелирует индивидуальные различия значений статистических величин, тем самым давая обобщающую характеристику варьирующего признака. Средняя величина показывает характеристику всей совокупности в целом, а не ее отдельных величин. Средняя величина несет в себе то общее, что присуще всем элементам совокупности. Для применения средних величин должны соблюдаться два условия. Первое условие – однородность совокупности. Второе условие – достаточно большой объем совокупности, для которой рассчитывается средняя. Средняя арифметическая — самая простая и часто используемая величина. Формула для нахождения ее имеет следующий вид:
Xсред. = ∑x/n
Где x — само значение величин, а n — общее количество значений величин.
Бывают случаи, когда использование средней арифметической некорректно для решения поставленной задачи, тогда используются другие средние величины.
Средняя геометрическая в отличии от средней арифметической применяется при определении средних относительных изменений. Геометрическая средняя является более точным результатом осреднения в задачах на вычисление значения X равноудаленного как от минимального, так и от максимального значения величины совокупности.
Формула имеет вид:
X= √(n&x1∙x2∙… ∙Xn)
Среднее квадратичное используется в тех случаях, когда значения совокупности могут быть как положительными величинами, так и отрицательными. Применяется при расчете средних отклонений и измерении вариации значений величины X.
Формула имеет вид:
X= √((x1^2+x2^2+⋯+xn^2)/n)
Видео по теме
Среднее арифметическое — важное понятие, используемое во многих разделах математики и ее приложениях: статистике, теории вероятностей, экономике и.т.д. Среднее арифметическое можно определить как общее понятие средней величины.
Инструкция
Среднее арифметическое набора чисел определяется как их сумма, деленная на их количество. То есть сумма всех чисел набора делится на количество чисел в этом наборе.Наиболее простой случай — найти среднее арифметическое двух чисел x1 и x2. Тогда их среднее арифметическое X = (x1+x2)/2. Например, X = (6+2)/2 = 4 — среднее арифметическое чисел 6 и 2. Общая формула для нахождения среднего арифметического n чисел будет выглядеть так: X = (x1+x2+…+xn)/n. Ее можно также записать в виде: X = (1/n)?xi, где суммирование ведется по индексу i от i = 1 до i = n.К примеру, среднее арифметическое трех чисел X = (x1+x2+x3)/3, пяти чисел — (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
Интерес представляет ситуация, когда набор чисел представляет собой члены арифметической прогрессии. Как известно, члены арифметической прогрессии равны a1+(n-1)d, где d — шаг прогрессии, а n — номер члена прогрессии.Пусть a1, a1+d, a1+2d,…, a1+(n-1)d — члены арифметической прогрессии. Их среднее арифметическое равно S = (a1+a1+d+a1+2d+…+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+…+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+…+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+…+dn-d+dn-2d)/n = a1+(n*d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Таким образом среднее арифметическое членов арифметической прогрессии равно среднему арифметическому его первого и последнего членов.
Также справедливо свойство, что каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена прогрессии: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, где a(n-1), an, a(n+1) — идущие друг за другом члены последовательности.
Видео по теме
Обратите внимание
Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел следует сложить их между собой. После этого полученную сумму следует разделить на количество слагаемых. Чтобы стало более понятно, давайте вместе разберемся, как найти среднее арифметическое чисел, на примере: 78, 115, 121 и 224. Среднее арифметическое нескольких чисел: найти с помощью Excel.
Полезный совет
Вычисленное нами значение называется средним арифметическим или просто средним. Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству. Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора. Другим показателем является медиана — число, которое разделяет этот набор на две части, одинаковые по численности. Поясним на примерах, как найти медианы разных наборов чисел.
Источники:
как найти среднее арифметическое двух чисел
Среднее значение — это одна из характеристик набора чисел. Представляет собой число, которое не может выходить за пределы диапазона, определяемого наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе чисел. Среднее арифметическое значение — наиболее часто используемая разновидность средних.
Инструкция
Сложите все числа множества и разделите их на количество слагаемых, чтобы получить среднее арифметическое значение. В зависимости от конкретных условий вычисления иногда бывает проще делить каждое из чисел на количество значений множества и суммировать результат. Используйте, например, входящий в состава ОС Windows калькулятор, если вычислить среднее арифметическое значение в уме не представляется возможным. Открыть его можно с помощью диалога запуска программ. Для этого нажмите «горячие клавиши» WIN + R или щелкните кнопку «Пуск» и выберите в главном меню команду «Выполнить». Затем напечатайте в поле ввода calc и нажмите на клавиатуре Enter либо щелкните кнопку «OK». Это же можно сделать через главное меню — раскройте его, перейдите в раздел «Все программы» и в секции «Стандартные» и выберите строку «Калькулятор». Введите последовательно все числа множества, нажимая на клавиатуре после каждого из них (кроме последнего) клавишу «Плюс» или щелкая соответствующую кнопку в интерфейсе калькулятора. Вводить числа тоже можно как с клавиатуры, так и щелкая соответствующие кнопки интерфейса. Нажмите клавишу с косой чертой (слэш) или щелкните этот значок в интерфейсе калькулятора после ввода последнего значения множества и напечатайте количество чисел в последовательности. Затем нажмите знак равенства, и калькулятор рассчитает и покажет среднее арифметическое значение.
Можно для этой же цели использовать табличный редактор Microsoft Excel. В этом случае запустите редактор и введите в соседние ячейки все значения последовательности чисел. Если после ввода каждого числа вы будете нажимать Enter или клавишу со стрелкой вниз или вправо, то редактор сам будет перемещать фокус ввода в соседнюю ячейку.
Выделите все введенные значения и в левом нижнем углу окна редактора (в строке состояния) увидите среднеарифметическое значение для выделенных ячеек.
Щелкните следующую за последним введенным числом ячейку, если вам не достаточно только увидеть среднее арифметическое значение. Раскройте выпадающий список с изображением греческой буквы сигма (Σ) в группе команд «Редактирование» на вкладке «Главная». Выберите в нем строку «Среднее» и редактор вставит нужную формулу для вычисления среднеарифметического значения в выделенную ячейку. Нажмите клавишу Enter, и значение будет рассчитано.
Вычислить среднюю скорость нетрудно. Для этого необходимо просто разделить длину пройденного пути на время. Однако на практике и при решении задач иногда возникают дополнительные вопросы. Например, что считать пройденным путем? Показания спидометра или реальное смещение объекта? Что считать временем в пути, если объект половину времени никуда не двигался? Без учета всех этих нюансов невозможно правильно вычислить среднюю скорость.
Вам понадобится
калькулятор или компьютер, спидометр
Инструкция
Для вычисления средней скорости равномерного движения объекта, просто измерьте его скорость в любой точке пути. Так как скорость движения постоянна, то она и будет средней скоростью. Еще проще эта зависимость выглядит в виде формулы:Vср=V, где Vср – средняя скорость, а V – скорость равномерного движения.
Чтобы вычислить среднюю скорость равноускоренного движения, найдите среднее арифметическое начальной и конечной скорости. Для этого найдите сумму этих скоростей и разделите на два. Полученное число и будет средней скоростью объекта. Нагляднее это выглядит в виде следующей формулы:Vср = (Vкон + Vнач) / 2, где Vср – средняя скорость, Vкон – конечная скорость, Vнач – начальная скорость.
Если задана величина ускорения и начальная скорость, а конечная скорость неизвестна, то преобразуйте вышеприведенную формулу следующим образом: Так как при равноускоренном движении Vкон = Vнач + a*t, где а – ускорение объекта, а t – время, то имеем:Vср = (Vкон + Vнач) / 2 = (Vнач + a*t + Vнач) / 2 = Vнач + a*t / 2
Если же, наоборот, известны конечная скорость и ускорение тела, но начальная скорость не задана, то преобразуйте формулу к следующему виду:Vср = (Vкон + Vнач) / 2 = (Vкон + Vкон — a*t) / 2 = Vкон — a*t / 2
Если заданы длина пройденного телом пути, а также время, которое понадобилось на прохождение этого расстояния, то просто разделите этот путь на затраченное время. То есть используйте общую формулу:Vср = S / t, где S – общая длина пройденного пути.Время, затраченное на прохождение пути учитывается независимо от того, двигался объект непрерывно или останавливался. Если в условиях задачи специально не указано, какую именно среднюю скорость необходимо вычислить, то подразумевается средняя путевая скорость. Чтобы вычислить среднюю путевую скорость, берется общая длина пройденного пути, т.е. его траектория. Если во время движения объект возвращался в пройденные точки пути, то это расстояние также учитывается. Так, например, для автомобиля длина пути, необходимая для вычисления средней путевой скорости, будет соответствовать показаниям спидометра (разности показаний).
Если необходимо вычислить среднюю скорость перемещения (смещения), то под пройденным путем подразумевается то расстояние, на которое тело действительно переместилось. Так как перемещение всегда происходит в определенном направлении, то смещение (S) величина векторная, т.е. характеризуется как направлением, так и абсолютной величиной. Следовательно, и значение средней скорости смещения будет величиной векторной. В связи с этим, при решении подобных задач обязательно узнайте: какую именно скорость требуется вычислить. Среднюю путевую скорость, числовое значение средней скорости смещения или вектор средней скорости смещения. В частности, если тело в процессе движения возвращается в исходную точку, то считается, что его средняя скорость смещения равна нулю.
С точки зрения математики средним числом может быть среднее степенное, квадратичное, гармоническое, взвешенное, логарифмическое и т.д. Однако на практике среднестатистическому человеку чаще всего приходится вычислять простую среднюю арифметическую величину какого-то набора значений. В общем виде такое среднее число можно определить как число, заключенное между наибольшим и наименьшим числами заданной последовательности.
Инструкция
Складывайте все числа исходной последовательности, а затем делите их на общее количество чисел, чтобы получить среднее арифметическое значение. Если задача носит прикладной характер, то полученный результат, возможно, следует округлять, чтобы не получить ответ в виде «полутора землекопа».
Если такое вычисление носит разовый характер, а чисел в исходной последовательности не много, то для практического расчета среднего значения можно воспользоваться калькулятором, встроенным в поисковую систему Google или Nigma. Сформулируйте и введите необходимое математическое действие в поле поискового запроса этой системы. Например, если надо найти среднее число голов, пропущенных командой ЦСКА в последних пяти играх, то введите такой запрос: «(0+1+2+1+1)/5». Результат поисковая система покажет без нажатия вами кнопки отправки запроса.
Если последовательность чисел не так мала, то лучше воспользоваться табличным редактором — например, Microsoft Office Excel. Запустив редактор, вы сразу получите в свое распоряжение таблицу для заполнения значениями исходной последовательности чисел. Сделать это можно вводя числа вручную, но если есть возможность скопировать и вставить числовую последовательность в текстовом формате, то это будет намного удобнее. В этом случае желательно с помощью любого текстового редактора перед копированием заменить все разделители между значениями последовательности на знаки перевода строки — тогда после вставки в Excel значения выстроятся в колонку. Если вместо окончания строки использовать знак табуляции, то они выстроятся в строку.
Выделите колонку (или строку), содержащую введенные значения, щелкнув ее заголовок. Среднее арифметическое значение можно будет увидеть ниже таблицы — в строке состояния.
Если только узнать это значение не достаточно, то используйте формулу для вычисления среднего. Для этого щелкните ячейку, в которой хотите увидеть результат, и раскройте выпадающий список на кнопке с пиктограммой греческой буквы сигма Σ в секции «Редактирование». Выберите в списке пункт «Среднее», а затем выделите заполненный диапазон ячеек таблицы и нажмите клавишу Enter. Excel рассчитает и отобразит среднее значение.
Источники:
как рассчитать в excel
Среднее значение разных явлений интересует математиков, специалистов по статистике, бизнесменов и даже — спортивных обозревателей. В частности, на футбольных сайтах размещают информацию о среднем возрасте игроков в каждой команде. Такие данные получают вычислением среднего арифметического.
Инструкция
Определите начальные данные задачи. Пусть пять школьников съели на перемене по несколько конфет. Надо выяснить, сколько в среднем сладостей съел каждый ребенок. У первого было пять конфет, у второго — три, у третьего — восемь, у четвертого — семь, у пятого — две.
Найдите сумму всех чисел. В рассматриваемом примере надо вычислить, сколько конфет было съедено всеми школьниками. Сумма = 5 + 3 + 8 + 7 + 2 = 25 конфет.
Разделите результат второго шага на количество слагаемых. Среднее арифметическое = 25 / 5 = 5 конфет.
Для закрепления материала решите еще одну задачу. В понедельник в магазин канцелярских товаров зашли 112 человек, во вторник — 123 человека, в среду — 98, в четверг — 150, в пятницу — 114, в субботу — 187, в воскресенье — 210. Надо найти среднюю посещаемость магазина в течение дня.
Как и во втором шаге, просуммируйте все числа. Сумма = 112 + 123 + 98 + 150 + 114 + 187 + 210 = 994 человека. Столько посетителей было в магазине в течение одной недели.
Разделите результат пятого шага на число слагаемых, т.е. на количество учитываемых дней. Среднее арифметическое = 994 / 7 = 142 человека. Становится ясно, что в среднем в магазин приходит 142 человека в день.
Для тренировки соберите начальные данные и вычислите среднюю температуру в вашей местности за последний месяц.
Обратите внимание
Не всегда есть смысл находить среднее арифметическое. Например, вряд ли кого-то заинтересует информация о среднем росте животных. Сравните рост жирафа и мыши — между ними слишком большая разница. Поэтому вычисление среднего арифметического не имеет смысла. Думайте о практической пользе, прежде чем решать какую-либо задачу.
Полезный совет
На практике чаще будет встречаться среднее арифметическое в виде дробного числа. На шестом шаге могло получиться значение 142,8 человека в день и т.д. В таком случае может быть уместно приблизительное значение. Решение задачи будет звучать так: в среднем в магазин приходит примерно 143 человека в день.
Усреднение позволяет находить общие тенденции, понимать возможные затраты, исходя из предыдущего опыта расходов или рассчитывать бюджет на поездку. Нахождение среднего арифметического значения необходимо в науке, бизнесе и быту. Как же вычислить искомую величину?
Инструкция
Для нахождения среднего арифметического значения нужно сложить все компоненты и полученную сумму разделить на количество компонент суммы. Данную операцию можно представить формулой: среднее значение = (a(1) + a(2) + … + a(n-1) + a(n)) / n, где n — номер последнего члена суммы по порядку (количество слагаемых).
Для нахождения среднего значения члена арифметической прогрессии необходимо сложить первый член последовательности с последним и разделить полученную сумму пополам. Запись выражения математическими символами: среднее значения прогрессии = (a(1) + a(n)) / 2.
Формулы для арифметической прогрессии были разработаны великим немецким математиком Гауссом. Он же в детстве нашел способ вычисления суммы всей прогрессии с шагом 1 (ряда натуральных чисел) без отдельного сложения ее членов. Для этого юный Карл сложил первый член прогрессии с последним и умножил сумму на половинное число членов последовательности. Задача нахождения среднего арифметического значения часто встречается в программировании. Для ее простого решения нужно воспользоваться шаговым циклом (с ходом в единицу, называемым инкрементом). В большинстве языков программирования (С#, Java, Pascal, PHP) этот цикл имеет название for.
До входа в цикл объявите переменные S (сумма) и sred (среднее арифметическое). Присвойте им нулевое значение (этот процесс называется инициализацией). Входите в цикл. К сумме S прибавьте все новые члены последовательности. Так формируется полная арифметическая сумма.
После цикла выполните действие: sred = S / n. Заметьте, тип переменной S должен быть целочисленным (при целочисленных слагаемых), а sred — вещественным, так как в результате деления может получиться дробное число. Так вы получите среднее арифметическое значение в программировании.
Видео по теме
Источники:
как находить среднее арифметическое
www.kakprosto.ru
Среднее арифметическое, размах, мода и медиана числового ряда
Среднее арифметическое, размах, мода и медиана
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Для ряда a1,a1,..,an среднее арифметическое вычисляется по формуле:
Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24=3.32
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем.
Модой ряда 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26 является число 26, встречается 3 раза.
В ряду чисел 5,24, 6,97, 8,56, 7,32 и 6,23 моды нет.
Ряд 1, 1, 2, 2, 3 содержит 2 моды: 1 и 2.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным
числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Медиана ряда 4, 1, 2, 3, 3, 1 равна 2.5.
calcs.su
Вычисление среднего значения ряда чисел
Примечание: Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).
Допустим, вам нужно найти среднее количество дней для выполнения задач разными сотрудниками. Кроме того, вы хотите вычислить среднюю температуру на определенный день в течение 10-годичного периода времени. Вычисление среднего значения для группы чисел можно выполнить несколькими способами.
Функция СРЗНАЧ вычисляет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения:
Среднее значение Это среднее арифметическое, которое вычисляется путем добавления группы чисел и деления их на количество этих чисел. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.
Медиана Средний номер группы чисел. Половина чисел содержит значения, превышающие медиану, а половина чисел содержат значения меньше медианы. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.
Мода Наиболее часто встречающееся число в группе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.
При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. В отклоненном распределении группы чисел они могут быть разными.
Выполните указанные ниже действия.
Щелкните ячейку ниже или справа от чисел, для которых нужно найти среднее значение.
На вкладке Главная в группе Редактирование щелкните стрелку рядом с кнопкой
Автосумма , выберите пункт Среднееи нажмите клавишу ВВОД.
Для выполнения этой задачи используется функция СРЗНАЧ . Скопируйте таблицу, расположенную ниже, на пустой лист.
Формула
Описание (результат)
= СРЗНАЧ (A2: A7)
Вычисляет среднее значение всех чисел в приведенном выше списке (9,5)
= СРЗНАЧ (A2: A4; A7)
Вычисление среднего значения первых трех значений и последнего числа в списке (7,5)
= СРЗНАЧЕСЛИ (a2: A7; «<>0»)
Усредняет числа в списке за исключением тех, которые содержат ноль, например ячейку A6 (11,4).
Для выполнения этой задачи используйте функции СУММПРОИЗВ и Sum . в ВСИС примере рассчитываются средние цены, оплаченные за единицу в трех покупках, где каждая из них предназначена для разных единиц товара на разных единицах.
Скопируйте таблицу, расположенную ниже, на пустой лист.
A
B
Цена за единицу
Количество единиц
20
500
24
750
35
200
Формула
Описание (результат)
= СУММПРОИЗВ (A2: A4; B2: B4)/СУМ (B2: B4)
Делит общие затраты на все три заказа на общее количество заказанных единиц (24,66).
Для выполнения этой задачи используйте функции СРЗНАЧ и Если . Скопируйте приведенную ниже таблицу и имейте в виду, что этот пример проще понять при копировании на пустой лист.
Формула
Описание (результат)
= СРЗНАЧЕСЛИ (a2: A7; «<>0»)
Усредняет числа в списке за исключением тех, которые содержат ноль, например ячейку A6 (11,4).
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community, попросить помощи в сообществе Answers community, а также предложить новую функцию или улучшение на веб-сайте Excel User Voice.
Лекция 26.
Исследование поведения функций с помощью
первой и второй производной, асимптоты.
Построение графиков функций.
Теорема1.
Если функциявозрастает на некотором интервалеосиох(с ростомxрастет иy)
и дифференцируема на этом интервале,
то для любогоxиз этого интервала(производная имеет знак (+)). А если она
убывает на этом интервале (yубывает с ростомx)
и дифференцируема на нем, то для любогоxиз этого интервала(производная
имеет знак (–)).
Доказательство.
Рассмотрим сначала
рис.1. На нем изображен график возрастающей
и дифференцируемой на интервале функции.
В каждой точкеMэтого графика касательная составляет
с осьюохострый угол().
Но тангенсы острых углов, как известно,
положительны. Значит, согласно
геометрического смысла производной,
производнаяположительна для любыхxиз интервалавозрастания функции.
А теперь рассмотрим
рис. 2, на котором изображен график
убывающей на интервале функции.
Здесь для любой точкиМграфика функции (а значит, для любогоxиз интервала)
уголнаклона касательной, проведенной к
графику функции, тупой ().
Но тангенсы таких углов отрицательны.
А значит и производнаяотрицательна.
Следствие теоремы
1. Если на
некотором интервалеосиохв любой его точкеxпроизводная функцииположительна, то функция возрастает на
этом интервале. А если отрицательна –
то убывает. Это следствие играет очень
важную роль в исследовании функций. Оно
позволяет по знаку производной функции
определять, растет или убывает функция,
и где именно (для какихx)
растет, и где (для какихx)
убывает.
Докажем более
строгий вариант теоремы 1.
Теорема 2.
1). Если функция,
имеющая производную на отрезке,
возрастает на этом отрезке, то ее
производная на отрезкене отрицательна, т.е..
2) Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема в промежутке, причемдля, то эта функция возрастает на отрезке.
Доказательство.1) Пустьy=f(x)возрастает на отрезке.
Придадим аргументухприращениеи рассмотрим отношение
.
(*)
Так как f(x)– функция возрастающая, то
В обоих случаях
по свойствам пределов функций. Т.е.,
что и требовалось доказать.
2) Пусть при всех значенияхх,
принадлежащих промежутку.
Рассмотрим два любых значенияx1иx2,x1<x2,
принадлежащих отрезку.
По теореме Лагранжа
о конечных приращениях имеем:
По условию ,
следовательно,
а это означает, чтоf(x)– возрастающая функция.
Аналогичная теорема
имеет место и для убывающей дифференцируемой
функции.
Теорема 3.1). Если функция,
имеющая производную на отрезке,
убывает на этом отрезке, то ее производная
на отрезкене положительна, т.е..
2) Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема в промежутке, причемдля, то эта функция убывает на отрезке.
Пример 1.
Рассмотрим функцию.
Ее производная.
Она положительна прии отрицательна при.
Значит, прифункциявозрастает, а приона убывает. График этой функции
(парабола) наглядно подтверждает
сказанное.
Применение производной функции к нахождению точек экстремума функции
Напомним, что
термин «точки экстремума» – это общее
название точек максимума и минимума
функции. А под ними, в свою очередь,
понимаются абсциссы вершин и впадин
графика функции (проекции вершин и
впадин на ось ох).
Или, если не прибегать к геометрической
трактовке, точки экстремума функции –
это те значения ее аргументаx,
при которых функцияпринимает экстремальные (пиковые)
значения – максимальные или минимальные.
Точек экстремума у функциистолько, сколько вершин и впадин у ее
графика.
Определение 1: функцияf(x) в точкех1имеетмаксимум,
если значение функцииf(x)в точкех1больше, чем ее значения во всех точках
некоторого интервала, содержащего точкух1.Другими словами, функцияf(x) в точкех=х1имеетмаксимум,
еслипри любых(
положительных и отрицательных ),
достаточно малых по абсолютной величине.
Определение 2: функцияf(x) в точкех2имеетминимум,
если значение функцииf(x)в точкех1меньше, чем ее значения во всех точках
некоторого интервала, содержащего точкух2.Другими словами, функцияf(x) в точкех=х2имеетминимум,
еслипри любых(
положительных и отрицательных ),
достаточно малых по абсолютной величине.
Рассмотрим рис.3.
На нем изображен график непрерывной
функции ,
имеющей и интервалы возрастания, и
интервалы убывания, и точки экстремума:
Интервалы возрастания
функции помечены знаком (+), а интервалы
убывания – знаком (–). Согласно доказанной
выше теореме 1, это заодно и знаки
производной функции .
Точками экстремума
данной функции являются точки (x1,x2,x3,x4).
Причем точкиx1иx3– точки максимума, аx2иx4– точки минимума. Точкиx5иx6точками экстремума функции не являются,
так как соответствующие им точки графикаМ5иМ6– не вершины и не впадины этого графика.
Точки экстремума
разделяют интервалы возрастания и
убывания функции. В точках максимума
совершается переход от возрастания
функции (слева от точки максимума) к ее
убыванию (справа от точки максимума).
То есть в точках максимума знак производной
функции меняется с (+) слева на (–) справа.
А в точках минимума, наоборот, совершается
переход от убывания функции к ее
возрастанию. То есть в точках минимума
знак производной функции меняется с
(–) слева на (+) справа.
Сами же точки
экстремума не принадлежат ни к интервалам
возрастания, ни к интервалам убывания
функции. Потому в точках экстремума
производная не может быть ни положительной,
ни отрицательной. Значит, в этих точках
она или равна нулю, или ее не существует
вообще.
Этот вывод понятен
и с геометрической точки зрения.
Действительно, производная функции,
согласно ее геометрического смысла,
связана с касательной к графику функции.
А именно, представляет собой тангенс
угла наклона этой касательной к оси ох.
Но точкам экстремума функции соответствуют
на ее графике вершины и впадины, в которых
касательная к графику или параллельна
осиох(если вершина или впадина графика
округлая), или эта касательная отсутствует
вообще (если вершина или впадина острая).
В первом случае угол наклонакасательной к осиохравен нулю. Значит, и,
а значит, и производная.
Во втором случае уголне существует вообще, а значит, не
существует для данной точки экстремумаxи производная.
В частности, для рис. 3 имеем:
;– не сущ.;– не сущ.;.
Однако заметим,
что не любая точка x,
в которой производная равна нулю или
не существует, непременно будет точкой
экстремума. В частности, на рис. 3;не существует, и тем не менее ни точкаx5,
ни точкаx6не являются точками экстремума функции.
Все сказанное выше
о точках экстремума функции можно
оформить в виде теоремы.
Теорема 4.
Необходимое условие экстремума.
Для того, чтобы
некоторая точка x являлась точкой экстремума функции ,
необходимо, чтобы в этой точке производнаяэтой
функции или равнялась нулю, или не
существовала. Это условие не является
достаточным.
Таким образом,
лишь те точки (значения x),
в которых производнаяфункции равна нулю или не существует,
могут быть точками экстремума этой
функции. Но еще не факт, что все такие
точки будут точками экстремума. Иначе
говоря, точки (значенияx),
в которыхилине существует, являютсялишь
подозрительными на экстремум или
критическими точками.
Чтобы выяснить суть каждой подозрительной
точки, нужно посмотреть знак производной
слева и справа от неё. Здесь возможны
три варианта:
Если слева от
подозрительной на экстремум точки знак
производной (+), а справа (–), то эта
подозрительная точка – точка максимума.
Если справа от
подозрительной на экстремум точки знак
производной (–), а справа (+), то эта
подозрительная точка – точка минимума.
Если слева и справа
от подозрительной на экстремум точки
знак производной один и тот же, то эта
подозрительная точка – не точка
экстремума.
Сказанное наглядно
иллюстрирует рис. 3. Таким образом,
становится понятной и очевидной следующая
Схема исследования
функции на возрастание-убывание
и точки
экстремума.
Находим область
определения функции. То есть находим
все те значения x,
для которых существует (можно найти)
значение функции.
Заодно устанавливаем интервалы
непрерывности и точки разрыва функции.
Находим производную
.
Находим точки
(значения x),
подозрительные на экстремум ( критические
точки ). То есть находим те точки (значенияx),
в которых производная функции или равна
нулю, или не существует:
а)
б) не существует
Наносим все
найденные в пунктах (а) и (б) подозрительные
на экстремум точки на область определения
функции (на ось ох)
и фиксируем (например, дугами) интервалы,
на которые разобьется область определения
этими точками. Так как внутри каждого
такого интервала производная функции
существует и не обращается в нуль, то
в каждом интервале производная сохраняет
свой знак, который может измениться
лишь при переходе к другому интервалу.
С помощью вычисления производной в
пробных внутренних точках определяем
знак производной в каждом интервале.
По найденным знакам производной
устанавливаем интервалы возрастания
и убывания функции, а по смене знака
производной определяем точки экстремума
функции (точки максимума и минимума).
В найденных точках
максимума и минимума вычисляем значения
функции и тем самым определяем вершины и впадины
графика функции, отмечая заодно, округлые
они или острые.
Пример 2.
Исследовать функциюна
возрастание-убывание и точки экстремума.
Решение.
Действуем по изложенной выше схеме.
Функция
определена (а следовательно, и непрерывна)
для любыхx,
то есть на всей числовой осиох().
Значит, её график – сплошная (без
разрывов) линия.
Найдем производную :
.
Найдем точки
(значения x),
подозрительные на экстремум:
а)
.
б) не существует
такихxнет.
Нанесем найденные
подозрительные на экстремум точки ина область определения функции (на осьох).
Осьохэтими точками разобьется на три
интервала:
Определяем знаки
производной
в этих интервалах (они отмечены на рис.
выше). Тем самым устанавливаем интервалы
возрастания функции(они помечены стрелкой вверх) и интервал
ее убывания (стрелка вниз), а также
устанавливаем, что точка– точка максимума функции, а точка– точка ее минимума.
Находим (вычисляем)
значения функции
в точках ее максимума и минимума,
устанавливая тем самым вершины и впадины
графика функции:
;
точка– вершина графика функции (округлая,
т.к.).
;
точка– впадина графика функции (округлая,
т.к.).
Вдополнение к проведенному исследованию
найдем еще точки пересечения графика
функции с осями координат:
а) С осью ох:
б) С осью оу:
А теперь построим
этот график (рис. 4):
studfiles.net
Тема исследование функций с помощью производных
Лекция 12
§1. Условие постоянства функции
Теорема. Если функция непрерывна
на промежуткеи во всех внутренних
точках отрезка
,
топостоянна
на этом промежутке.
Доказательство. Пусть .
Применим теорему Лагранжа к функциина
промежутке :.
Но по условию,
следовательно,
и поэтому(на правом концев силу непрерывности).
Пример. Рассмотрим функцию на промежутке .
Её производная:
Следовательно, const
на .
Чтобы найти эту константу, достаточ-но
вычислитьв любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество
.
В интегральном
исчислении важное приложение найдет
следствие, вытекающее из доказанной
теоремы.
Следствие.Если функцииинепрерывны
на промежуткеи имеют равные
производные во всех внутренних точках
промежутка, то эти функции всюду в отличаются лишь на постоянную:.
Для
доказательства достаточно применить
теорему к вспомогательной функции
.
Тогдаи.
§2. Условие монотонности функции
Известно,
что функция называется
строго возрастающей на,
если для любых точекиз
неравенстваследует неравенство.
Другими словами знак приращения функции
совпадает со знаком приращения аргумента:.
Для убывающей функции, естественно,.
Теорема.(Достаточное
условие монотонности). Пусть функция дифференцируема
на.
Тогда:
1) если
на,то строго возрастает на ;
2) если
на,то строго убывает на.
Доказательство. Возьмём две произвольные точки ,
причём пусть .
Применим теорему Лагранжа к функции на
промежутке(условия теоремы выполнены, ибо
непрерывностьвытекает из её дифференцируемости):По предположению,
следовательно,знак
определяется
знаком производной. 1) Если,
то ии;
т.к. это верно для любых,
товозрастает
на.
2) Если
,
то ии,
что означает убывание.
Замечание. Связь между знаком и направлением изменениягеометрически
очевидна, если вспомнить, что производная
– это угловой коэффициент касательной
к графику.
Однако, даже у строго монотонной функциикасательная может быть и горизонтальной,
т.е.для
отдельных значенийможет обращаться в0.
Примером служит функция :
она строго возрастает, но производнаяприобращается в ноль.
Итак, теорема
сводит вопрос о возрастании (убывании)
функции к
решению неравенства().
Пример. Исследовать на монотонность функцию
.
Находим производную и разлагаем её на
множители:.
Метод интервалов позволяет определить
знак:
—
На интервалах ифункция возрастает, а на– убывает.
§3. Исследование функции на экстремум
Напомним уже
известные факты. Во-первых, точка
экстремума – это всегда внутренняя
точка области определения функции; она
характеризуется тем, что знак приращения
функции не зависит от знака приращения
аргумента, если последнее достаточно
мало. Во-вторых, необходимое условие
экстремума даётся теоремой Ферма: если
в точке экстремума функция дифференцируема
(т.е. обладает конечной производной), то
производная в этой точке равна 0.
Точки, в
которых производная функции обращается
в ноль, принято называть стационарными
точками.
Однако, если
рассматривать функции, не имеющие в
отдельных точках конечной двусторонней
производной, то не исключена возможность,
что экстремум придётся на какую на
какую-либо из таких точек. Например,
функции
иимеют вминимумы, в тоже время,и,.
Определение. Точку
называют критической точкой первого
порядка функции,
еслиили не существует.
Из теоремы
Ферма следует, что точки экстремума
следует искать среди критических точек
(их ещё называют точками возможного
экстремума). Требуется дополнительное
исследование таких точек, чтобы отобрать
среди них точки экстремума. Это
исследование выполняется с помощью
достаточных условий экстремума.
Теорема
1 (первое
достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка
непрерывной функциии пусть существуеттакое, что в односторонних окрестностях
этой точки:и– функциядифференцируема и её производная
сохраняет знак. Тогда:
1) если
вив,
то– точка максимума;
2) если
вив,
то– точка минимума;
3) если одного знака ви,
то в точкенет экстремума.
Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки ии рассмотрим функциюна двух промежутках:и.
На каждом из этих промежутков функцияудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
следовательно, существуют точкиитакие, что:
,
.
Из этих неравенств
вытекает, что
и.
Таким образом значение – самое большое среди значенийдля.
Это и означает:– точка максимума.
2) Доказывается
аналогично.
3) Если
,
товозрастает как в,
так и в.
Если же,
тоубывает в тех же окрестностях. В обоих
случаях такое поведение функции говорит
о том, что в точкеу неё нет
экстремума.
Замечание
1. Требование
непрерывности
функции
нельзя ослабить, о чем свидетельствует
рисунок:
в точке функция имеет максимум,
в то же
время при переходе через эту
точку
производная не меняет знак.
Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно
применить, ибо для некоторых функций
требование сохранения знака производной
не выполняется. Например, для функции
имеем:
,
значит, точка 0
– критическая точка. Далее, для
Выражение в скобках
ограничено, поэтому при близких
к нулю первый член полученной разности
также близок к нулю, а второй член
принимает значения от –1 до +1. Значит,
знакопределяется членом.
Но в точках видаэтот член обращается
в ноль и меняет знак. А так как при ,
то в любой сколь угодно малой окрестности
нуля бесконечное число раз меняет знак.
Теорема
2 (второе
достаточное условие экстремума). Пусть
функция имеет в критической точкеконечную вторую производную. Тогда:
1) если
,
то– точка минимума;
2) если
,
то– точка максимума;
3) если
,
то требуется дополнительное исследование.
Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная
производнаяв некоторой окрестности точкии,
ибо–
критическая точка. Обозначим.
Тогда условия теоремы означают, что
существует конечный предел
.
Пусть, например,
.
Тогда дляблизких ки,
то есть.
Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности
точки.
Но.
Следовательно, левее точкифункцияотрицательна, а правее – положительна.
Однако,.
Значит, первая производная данной
функции при переходе через точкуменяет знак с «–» на «+». Это означает,
что точка– точка минимума. Аналогично рассматривается
и случай.
В необходимости дополнительного
исследования, когда,
убеждают две функции:и.
Очевидно, что– точка0
критическая для обеих функций, и
.
Однако, дляноль – это точка минимума, ав
нуле не имеет экстремума.
Замечание
3. В теме
«Формулы Тейлора и Маклорена» будет
сформулировано и доказано третье
достаточное условие экстремума, с
помощью которого и производится это
дополнительное исследование.
Пример 1. Найти точки экстремума функции .
Решение. Раскроем знак модуля и вычислим
производную:
Наличие модуля в
выражении для может
привести, и в нашем случае приводит, к
несуществованиюв точке, где модуль обращается в ноль.
Действительно,
Отличие левой
производной от правой и означает
отсутствие производной в точке ,
т.е. эта точка – критическая. Другие
критические точки – это нули производной:
Итак, имеем две
критические точки
Они разбивают область определения
функциина интервалы знакопостоянства производной,
т.е. на интервалы монотонности функции.
Для определения знакана интервале достаточно определить
этот знак в какой-либо точке интервала.
Дальнейшее исследование удобно вести,
нарисовав вспомогательный чертёж:
Еще раз напомним,
что критические точки наносятся на
область определения. Мы получаем 4
интервала. Определяем знаки :
Анализ чертежа
показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём,
а в точке– локальный максимум:.
На чертеже
видны и интервалы монотонности :
наифункция возрастает, а наи–
убывает.
Замечание
4.В
точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую
производную и касательная к графику
функции – горизонтальна. О таком
максимуме говорят «гладкий максимум»
(аналогично «гладкий минимум»). В
противоположность этому, точкаявляется точкой «негладкого минимума»
– в этой точке производная не существует,
хотя есть односторонние производные.
Соответствующая точка графиканазываетсяугловой
точкой графика.
Пример2.Найти
экстремумы функции
.
Решение. – существует везде.
–точка максимума;
–точка минимума;
–точка минимума.
Лекция 13
studfiles.net
2. Исследование функций с помощью производных
В этом случае говорят, что функция имеет в точке х1 максимум. В точкех3 функция тоже имеет максимум, а сами точких = х1 их = х3 называют точкамимаксимума. И хотя значение функции в точке максимумах1 меньше, чем, например, в точкех5, важно отметить, что «по – соседству» сх1 имеемf (x) <f (x1). Говорят, что функцияу =f (х) имеет максимум (max) в точкех = с, если существует такая окрестность точких = с, что для всех точекх ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенствоf (x) <f (с).
Функция у =f (х) имеет минимум (min) в точкех = с, если существует такая окрестность точких = с, что для всех точекх ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенствоf (x) >f (с).
Таким свойством, очевидно, обладают точки х = х2 их = х4, эти точки называют точкамиминимума. Точки максимума и минимума объединяют под общим названием точкиэкстремума.
Точки экстремума лежат внутри области определения функции, их ещё называют локальный максимум илокальный минимум (от латинского слова lokal – местный). Точки жех = b их = х2 на рис. 8 являютсяглобальным максимумом иглобальным минимумом, или, говорят, наибольшим и наименьшим значениемf (x) на замкнутом интервале [a,b]. В нашем случае глобальный максимум совпадает с концом интервалах = b, а глобальный минимум совпадает с локальным в точкех = х2. Функция, непрерывная на замкнутом интервале, достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Что можно сказать о производной в точках экстремума? (Мы рассматриваем случай, когда производная существует во всех точках [a,b].)
Вспомним, что производная f′ (x0) связана с касательной, проведённой в точкех0. В точках экстремумах1,х2,х3,х4 (т.е. на «вершинах» и на «дне оврагов») касательные горизонтальны, т.е.f′ (x1) =f′ (x2) =f′ (x3) =f′ (x4) = 0.
Сформулируем необходимый признак существования экстремума.
Теорема 7 (необходимый признак существования экстремума). Еслиf (x) имеет в точкех = с экстремум и дифференцируема в этой точке, тоf′ (с) = 0.
Не следует думать, что верно и обратное утверждение. Из того, что f ′ (с) = 0 ещё не следует, что точках = с является точкой минимума или максимума.
На рис. 9 изображен график функции у = х3. В точкех = 0 касательная горизонтальна и производнаяy′(0)= 3×2 x=0 = 0 равна нулю, но в этой точке у функции нет ни минимума, ни
максимума. Из сказанного следует, что обращение в нуль производной в точке, еще не достаточно, чтобы утверждать, что в этой точке экстремум. Однако, искать точки экстремума следует среди тех, в которых производная равна нулю.
Такие точки называют стационарными.
Чем же отличается, например, точка х3 на рис. 8 от точких = 0 на рис. 9?
Рис. 9.
И в той, и в другой точке касательные параллельны оси Ох, т.е.f′ = 0, обе точки стационарные.
studfiles.net
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Интервалы возрастания и убывания функции
Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.
Если на интервале (a, b) функция y = f (x) строго возрастает и в каждой точке x0 интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,
Рис.1
Рис.2
угол α наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:
f ‘ (x0) = tg α > 0
Если же на интервале (a, b) функция y = f (x) строго убывает и в каждой точке x0 интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,
Рис.3
Рис.4
угол α наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:
f ‘ (x0) = tg α < 0
Достаточные условия для возрастания и убывания функции
В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.
Утверждение 1.
а). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
f ‘ (x) > 0 ,
то функция f (x) строго возрастает на интервале (a, b) .
б). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
то функция f (x) возрастает (не убывает) на интервале (a, b) .
в). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
f ‘ (x) < 0 ,
то функция f (x) строго убывает на интервале (a, b) .
г). Если в каждой точке x интервала (a, b) производная f ‘ (x) существует и удовлетворяет неравенству
то функция f (x) убывает (не возрастает) на интервале (a, b) .
Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
Определение 1. Точку x0 называют точкой максимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a 0b , для точек x которого выполнено неравенство
.
Таким образом, если x0 – точка максимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x0) больше всех остальных значений функции.
Определение 2. Точку x0 называют точкой минимума функции f (x) , если существует интервал (a, b) , такой, что a < x0 < b , для точек x которого выполнено неравенство
.
Другими словами, если x0 – точка минимума функции f (x) , то в интервале (a, b) значение функции f (x0) меньше всех остальных значений функции.
Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции.
«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма
Определение 4.Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.
Определение 5.Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Таким образом, если точка x0 является критической точкой функции, то точка x0 либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке x0 не существует.
Теорема Ферма. Если точка x0 является точкой экстремума функции f (x) , то точка x0 является критической точкой функции f (x) .
Доказательство. Если в точке x0 у функции y = f (x) не существует производная, то точка x0 является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке x0 у функции y = f (x) существует производная, то точка x0 является стационарной, то есть f ‘ (x0) = 0 .
Предположим сначала, что точка x0 является точкой максимума функции y = f (x) (рис. 5).
Рис.5
Поскольку x0 – точка максимума, то для любой точки x1 такой, что x1x0 , выполнено неравенство f (x1) < f (x0) , поэтому
.
Точно так же, для любой точки x2 такой, что x2 > x0 , выполнено неравенство f (x2) < f (x0) , поэтому
.
Таким образом, в случае, когда точка x0 является точкой максимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x0) = 0 . Касательная к графику функции y = f (x) в точке A= (x0; f (x0)) параллельна оси Ox.
Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка x0 является точкой минимума функции y = f (x), выполнено равенство f ‘ (x0) = 0 .
Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум.
Достаточные условия для существования экстремума функции
В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.
Утверждение 3. Рассмотрим функцию f (x) , непрерывную в интервале (a, b), содержащем точку x0 , производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки x0 .
а). Если для точек выполнено условие:
f ‘ (x) > 0 при x 0 и f ‘ (x) < 0 при x > x0 ,
то точка x0 является точкой максимума функции f (x) (рис. 6).
Рис.6
б). Если для точек выполнено условие:
f ‘ (x) < 0 при x < x0 и f ‘ (x) > 0 при x > x0 ,
то точка x0 является точкой минимума функции f (x) (рис. 7).
Рис.7
Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак с «+» на «–» , то точка x0 является точкой максимума функции. Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак с «–» на «+» , то точка x0 является точкой минимума функции».
Пример исследования поведения функции
Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции
Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию
и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде
y1 = x2 (x + 3)
и заметим, что
а) y1 = 0 при x = 0 и x = – 3 ,
б) y1 > 0 при x > – 3 ; y1 < 0 при x < – 3 .
Теперь вычислим производную функции (2):
(3)
и разложим на множители правую часть формулы (3):
(4)
На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)
Рис.8
Поскольку решением неравенства
3x (x + 2) > 0
является множество
,
(5)
то в соответствии с утверждением 1 функция y1 возрастает на каждом из интервалов и .
С другой стороны, поскольку решением неравенства
3x (x + 2)
является интервал
то в соответствии с утверждением 1 функция y1 убывает на интервале (– 2, 0) .
Так как решениями уравнения
3x (x + 2) = 0
являются точки
то эти точки являются стационарными точками функции y1 .
Поскольку при переходе через точку x = – 2 производная функции y1 меняет знак с «+» на «–» (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка x = – 2 является точкой максимума функции y1 , при этом
y1 (– 2) = 4 .
При переходе через точку x = 0 производная функции y1 меняет знак с «–» на «+» (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка x = 0 является точкой минимума функции y1, при этом
y1 (0) = 0 .
Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).
Рис.9
Теперь мы можем построить график функции y1 (рис. 10).
Рис.10
Перейдем к построению графика функции y = | x3 + 3x2 | .
В силу определения модуля, справедливо равенство
Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции y1 = x3 + 3x2 (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции y = | x3 + 3x2 | (рис.11) .
Рис.11
В точке x = – 3 производная функции y = | x3 + 3x2 | не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции y = | x3 + 3x2 | существует.
Точки x = – 3 и x = 0 являются точками минимума, причем y ( – 3) = y (0) = 0 .
Точка x = – 2 является точкой максимума, причем y ( – 2) = 4 .
Функция y = | x3 + 3x2 | возрастает на каждом из интервалов (– 3, – 2) и .
Функция y = | x3 + 3x2 | убывает на каждом из интервалов и (– 2, 0).
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
Из рисунка ясно,
что функция имеет максимум в точке x1 = −1 и минимум в точке
x2 = 3 . В точке разрыва характер монотонности не меняется.
Определение 1
Функция f (x)
называется выпуклой вниз (выпуклой) на промежутке(a, b), если ее
график лежит выше касательной, проведенной в любой точке x0 (a, b) (рис.14 a).
Определение 2
Функция f (x)
называется выпуклой вверх (вогнутой) на промежутке(a, b), если ее
график лежит ниже касательной, проведенной в любой точке x0 (a, b) (рис.14 b).
y
y
a
x0
b
x
a
x0
b
x
Рис. 14 a.
Рис. 14 b.
Теорема 1
f (x)
промежутке (a, b) и вторая
Если функция
дважды
дифференцируема
на
производная f »(x)>0 для всех значений
x (a, b), то
f (x)
выпукла вниз на промежутке
(a, b).
Доказательство
1) Возьмем произвольную точку x0 (a, b). Уравнение касательной к графику функции
в этой точке имеет вид:
y = f(x0 )+ f′(x0 ) (x− x0 ).
Покажем, что в любой точке x (a, b) график функции расположен выше этой касательной.
Рассмотрим любую точку x (a, b), удовлетворяющую условиюx > x0 , и вычислим разность ординат функции(f (x)) и касательной(y) в этой точке:
f (x)− y= f(x)−(f(x0 )+ f′(x0 ) (x− x0 ))= (f (x)− f (x0 ))− f ′(x0 ) (x − x0 ).
Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке(x0 , x), то найдется точкаc1 (x0 , x), для которой справедливо равенство
f (x)− f(x0 )= f′(c1 ) (x− x0 ).
Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно представить в виде
Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке
(x, x0 ), то найдется точкаc1 (x, x0 ), для которой справедливо равенствоf (x0 )− f (x)= f ′(c1 ) (x0 − x).
Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в видеf (x)− y = − f ′(c1 ) (x0 − x)+ f ′(x0 ) (x0 − x)= (f ′(x0 )− f ′(c1 )) (x0 − x).
Производная f ′(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке(с1, x0 ). Значит, найдется точкаc2 (с1, x0 ), для которой справедливо равенство
f ′(x0 )− f′(c1 )= f′′(c2 ) (x0 −c1 ).
Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в виде
f (x)− y= f′′(c2 ) (x0 −c1 ) (x0 − x).
Так как f ′′(x)> 0 при всехx (a,b), аx < c1 < c2 < x0 (рис. 16), то
f ′′(с2 )>0 , x0 −c1 >0 и
x0 − x > 0 . Следовательно,f (x)− y > 0 .
Тогда график функции в точке x < x0
также
расположен выше касательной.
x
c1
c2
x0
Рис. 16
Теорема 2
Если функция f (x) дважды
дифференцируема
на промежутке (a,b) и
вторая
′′
(a,b) выпукла вверх.
производная f (x)< 0 для всехx (a,b), тоf (x) на промежутке
Доказательство
аналогично доказательству теоремы 1.
Определение 3
Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба.
Теорема 3
Если f ′′(x0 )= 0 иf ′′(x) меняет знак при переходе через точкуx0 , то функцияf (x) имеет в точкеx0 перегиб.
ЗАМЕЧАНИЕ
Вторая производная может менять знак и в точке разрыва. Поэтому точками перегиба являются точки, в которых вторая производная обращается в ноль или бесконечна (а функция определена) и меняет знак.
26
Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
•вычислить вторую производную заданной функции;
•найти все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;
•нанести эти точки, а также точки разрыва функции на числовую ось;
•определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов;
•по знаку второй производной определить характер выпуклости функции;
•точками перегиба будут те точки, в которых меняется характер выпуклости функции, исключая точки разрыва.
Пример 1
Определите точки перегиба графика функции f (x)= ln(x2 +1).
Решение
Первая производная заданной функции равна
f
′
1
Исследуя первую
(x)= x2 +1 2x.
x = 0
.
производную легко убедиться, что функция имеет минимум в точке
= 0
y
Теперь вычислим вторую производную
2 (1− x) (1+ x)
y′′
= 2
x2
+1−x 2x
= 2
1−x2
=
(x2 +1)2
(x2 +1)2
(x2 +1)2
и исследуем ее. Вторая производная меняет знак в точках
x = ±1. По знаку второй
производной y′′ можно выяснить характер выпуклости функции (рис. 17).
−
+
y′
y
0
min
−
+
−
y′′
ln 2
−1
1
перегиб
перегиб
Рис. 17
−1
0
1
x
Из рисунка видно, что функция имеет две точки перегиба
x = ±1
. На рисунке 17
y = ln 2
показан график заданной функции.
Пример 2
Исследуйте характер выпуклости графика функции
y = 3 x5
и
найдите
точки
перегиба.
Решение
3
5
′
5
′
5
2
5 3
2
3
3
Поскольку первая
производная функции
y =
x
= x
=
x
=
x
всюду
3
3
положительна, то функция возрастает при всех значениях x .
27
studfiles.net
Тема исследование функций с помощью производных
Лекция 12
§1. Условие постоянства функции
Теорема. Если функция непрерывна
на промежуткеи во всех внутренних
точках отрезка
,
топостоянна
на этом промежутке.
Доказательство. Пусть .
Применим теорему Лагранжа к функциина
промежутке :.
Но по условию,
следовательно,
и поэтому(на правом концев силу непрерывности).
Пример. Рассмотрим функцию на промежутке .
Её производная:
Следовательно, const
на .
Чтобы найти эту константу, достаточ-но
вычислитьв любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество
.
В интегральном
исчислении важное приложение найдет
следствие, вытекающее из доказанной
теоремы.
Следствие.Если функцииинепрерывны
на промежуткеи имеют равные
производные во всех внутренних точках
промежутка, то эти функции всюду в отличаются лишь на постоянную:.
Для
доказательства достаточно применить
теорему к вспомогательной функции
.
Тогдаи.
§2. Условие монотонности функции
Известно,
что функция называется
строго возрастающей на,
если для любых точекиз
неравенстваследует неравенство.
Другими словами знак приращения функции
совпадает со знаком приращения аргумента:.
Для убывающей функции, естественно,.
Теорема.(Достаточное
условие монотонности). Пусть функция дифференцируема
на.
Тогда:
1) если
на,то строго возрастает на ;
2) если
на,то строго убывает на.
Доказательство. Возьмём две произвольные точки ,
причём пусть .
Применим теорему Лагранжа к функции на
промежутке(условия теоремы выполнены, ибо
непрерывностьвытекает из её дифференцируемости):По предположению,
следовательно,знак
определяется
знаком производной. 1) Если,
то ии;
т.к. это верно для любых,
товозрастает
на.
2) Если
,
то ии,
что означает убывание.
Замечание. Связь между знаком и направлением изменениягеометрически
очевидна, если вспомнить, что производная
– это угловой коэффициент касательной
к графику.
Однако, даже у строго монотонной функциикасательная может быть и горизонтальной,
т.е.для
отдельных значенийможет обращаться в0.
Примером служит функция :
она строго возрастает, но производнаяприобращается в ноль.
Итак, теорема
сводит вопрос о возрастании (убывании)
функции к
решению неравенства().
Пример. Исследовать на монотонность функцию
.
Находим производную и разлагаем её на
множители:.
Метод интервалов позволяет определить
знак:
—
На интервалах ифункция возрастает, а на– убывает.
§3. Исследование функции на экстремум
Напомним уже
известные факты. Во-первых, точка
экстремума – это всегда внутренняя
точка области определения функции; она
характеризуется тем, что знак приращения
функции не зависит от знака приращения
аргумента, если последнее достаточно
мало. Во-вторых, необходимое условие
экстремума даётся теоремой Ферма: если
в точке экстремума функция дифференцируема
(т.е. обладает конечной производной), то
производная в этой точке равна 0.
Точки, в
которых производная функции обращается
в ноль, принято называть стационарными
точками.
Однако, если
рассматривать функции, не имеющие в
отдельных точках конечной двусторонней
производной, то не исключена возможность,
что экстремум придётся на какую на
какую-либо из таких точек. Например,
функции
иимеют вминимумы, в тоже время,и,.
Определение. Точку
называют критической точкой первого
порядка функции,
еслиили не существует.
Из теоремы
Ферма следует, что точки экстремума
следует искать среди критических точек
(их ещё называют точками возможного
экстремума). Требуется дополнительное
исследование таких точек, чтобы отобрать
среди них точки экстремума. Это
исследование выполняется с помощью
достаточных условий экстремума.
Теорема
1 (первое
достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка
непрерывной функциии пусть существуеттакое, что в односторонних окрестностях
этой точки:и– функциядифференцируема и её производная
сохраняет знак. Тогда:
1) если
вив,
то– точка максимума;
2) если
вив,
то– точка минимума;
3) если одного знака ви,
то в точкенет экстремума.
Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки ии рассмотрим функциюна двух промежутках:и.
На каждом из этих промежутков функцияудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
следовательно, существуют точкиитакие, что:
,
.
Из этих неравенств
вытекает, что
и.
Таким образом значение – самое большое среди значенийдля.
Это и означает:– точка максимума.
2) Доказывается
аналогично.
3) Если
,
товозрастает как в,
так и в.
Если же,
тоубывает в тех же окрестностях. В обоих
случаях такое поведение функции говорит
о том, что в точкеу неё нет
экстремума.
Замечание
1. Требование
непрерывности
функции
нельзя ослабить, о чем свидетельствует
рисунок:
в точке функция имеет максимум,
в то же
время при переходе через эту
точку
производная не меняет знак.
Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно
применить, ибо для некоторых функций
требование сохранения знака производной
не выполняется. Например, для функции
имеем:
,
значит, точка 0
– критическая точка. Далее, для
Выражение в скобках
ограничено, поэтому при близких
к нулю первый член полученной разности
также близок к нулю, а второй член
принимает значения от –1 до +1. Значит,
знакопределяется членом.
Но в точках видаэтот член обращается
в ноль и меняет знак. А так как при ,
то в любой сколь угодно малой окрестности
нуля бесконечное число раз меняет знак.
Теорема
2 (второе
достаточное условие экстремума). Пусть
функция имеет в критической точкеконечную вторую производную. Тогда:
1) если
,
то– точка минимума;
2) если
,
то– точка максимума;
3) если
,
то требуется дополнительное исследование.
Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная
производнаяв некоторой окрестности точкии,
ибо–
критическая точка. Обозначим.
Тогда условия теоремы означают, что
существует конечный предел
.
Пусть, например,
.
Тогда дляблизких ки,
то есть.
Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности
точки.
Но.
Следовательно, левее точкифункцияотрицательна, а правее – положительна.
Однако,.
Значит, первая производная данной
функции при переходе через точкуменяет знак с «–» на «+». Это означает,
что точка– точка минимума. Аналогично рассматривается
и случай.
В необходимости дополнительного
исследования, когда,
убеждают две функции:и.
Очевидно, что– точка0
критическая для обеих функций, и
.
Однако, дляноль – это точка минимума, ав
нуле не имеет экстремума.
Замечание
3. В теме
«Формулы Тейлора и Маклорена» будет
сформулировано и доказано третье
достаточное условие экстремума, с
помощью которого и производится это
дополнительное исследование.
Пример 1. Найти точки экстремума функции .
Решение. Раскроем знак модуля и вычислим
производную:
Наличие модуля в
выражении для может
привести, и в нашем случае приводит, к
несуществованиюв точке, где модуль обращается в ноль.
Действительно,
Отличие левой
производной от правой и означает
отсутствие производной в точке ,
т.е. эта точка – критическая. Другие
критические точки – это нули производной:
Итак, имеем две
критические точки
Они разбивают область определения
функциина интервалы знакопостоянства производной,
т.е. на интервалы монотонности функции.
Для определения знакана интервале достаточно определить
этот знак в какой-либо точке интервала.
Дальнейшее исследование удобно вести,
нарисовав вспомогательный чертёж:
Еще раз напомним,
что критические точки наносятся на
область определения. Мы получаем 4
интервала. Определяем знаки :
Анализ чертежа
показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём,
а в точке– локальный максимум:.
На чертеже
видны и интервалы монотонности :
наифункция возрастает, а наи–
убывает.
Замечание
4.В
точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую
производную и касательная к графику
функции – горизонтальна. О таком
максимуме говорят «гладкий максимум»
(аналогично «гладкий минимум»). В
противоположность этому, точкаявляется точкой «негладкого минимума»
– в этой точке производная не существует,
хотя есть односторонние производные.
Соответствующая точка графиканазываетсяугловой
точкой графика.
Пример2.Найти
экстремумы функции
.
Решение. – существует везде.
–точка максимума;
–точка минимума;
–точка минимума.
Лекция 13
studfiles.net
Исследование функций при помощи производной.
Возрастание
и убывание функции.
Теорема
1 (необходимое условие).Если дифференцируемая
на интервале функция возрастает
(убывает), то ()
для любого .
Геометрически
теорема означает, что касательная к
графику возрастающей дифференцируемой
функции образуют острые углы с осью Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох.
Теорема
2 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и ()
для любого ,
то функция возрастает (убывает) на
интервале .
Пример:
исследовать функцию на возрастание, убывание.
знак
производной «+» на интервалах
,
следовательно, на этом промежутке
функция возрастает.
знак
производной «–» на интервале (-1; 1),
следовательно, функция здесь убывает.
Максимум
и минимум функций.
Точка называется точкой
максимума функции ,
если значение является
наибольшим в некоторой окрестности
этой точки.
Точка называется точкой
минимума функции ,
если значение является
наименьшим в некоторой окрестности
этой точки.
На
рисунке -точка максимума, —
точка минимума.
Точки
максимума и минимума называются точками экстремума,
а значения функции в этих точках – экстремумами
функции.
Теорема
(Ферма
– необходимое условие экстремума). Если — точка экстремума для функции ,
то в этой точке производная функции
либо равна нулю
,
либо не существует.
Геометрически
равенство означает, что в точке экстремума
дифференцируемой функции касательная
к её графику параллельна оси Ох.
Существуют
функции, которые в точках экстремума
не имеют производных, например, .
В точке х=0 функция не имеет производной, но х=0 точка минимума.
Точки
области определения функции ,
в которых ее производная не существует
или равна нулю, называются критическими
точками функции.
В
силу теоремы Ферма экстремумы функции
находятся среди ее критических точек.
Теорема (Первое
достаточное условие экстремума). Если
непрерывная функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности
критической точки и при переходе (слева направо) через нее
производная меняет знак с (+) на (–), то точка является точкой максимума; если с (–)
на (+), то точкой минимума; если знака не
меняет, то экстремума нет.
Теорема (второе
достаточное условие экстремума). Если
в точке производная равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля,
то при — точка минимума; при — точка максимума.
Из
теорем вытекает правило исследования
функции на экстремум:
найти
критические точки функции .
Для этого решить уравнение ;
выбрать
из них лишь те, которые являются
внутренними точками области определения
функции;
исследовать
знак производной слева и справа от
каждой из выбранных точек;
вычислить
значение функции в выбранных точках.
Пример.
Найти экстремум функции
область
определения функции
;
,
производная равна нулю в точке х=8
и не существует в точке х=0.
Критические
точки 0 и 8.
Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики
Чтоб в общих чертах представить для себя, что такое окружность, посмотрите на кольцо либо обруч. Можно также взять круглый стакан и чашечку, поставить ввысь дном на лист бумаги и обвести карандашом. При неоднократном увеличении приобретенная линия станет толстой и не совершенно ровненькой, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет таковой свойства, как толщина.
Окружность: определение и главные средства описания
Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из огромного количества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При всем этом центр находится в той же плоскости. Обычно, он обозначается буковкой О.
Расстояние от хоть какой из точек окружности до центра именуется радиусом и обозначается буковкой R.
Если соединить две любые точки окружности, то приобретенный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, – это поперечник, обозначаемый буковкой D. Поперечник разделяет окружность на две равные дуги и по длине в два раза превосходит размер радиуса. Таким макаром, D = 2R, либо R = D/2.
Характеристики хорд
Если через две любые точки окружности провести хорду, а потом перпендикулярно последней – радиус либо поперечник, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Правильно и оборотное утверждение: если радиус (поперечник) разделяет хорду напополам, то он перпендикулярен ей.
Если в границах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, также заключенные меж ними, будут равны.
Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в границах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, другими словами PT х TR = QT х TS.
Длина окружности: общее понятие и главные формулы
Одной из базисных черт данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с внедрением таких величин, как радиус, поперечник и константа “π”, отражающая всепостоянство дела длины окружности к ее поперечнику.
Таким макаром, L = πD, либо L = 2πR, где L – это длина окружности, D – поперечник, R – радиус.
Формула длины окружности может рассматриваться как начальная при нахождении радиуса либо поперечника по данной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.
Что такое окружность: главные постулаты
1. Ровная и окружность могут размещаться на плоскости последующим образом:
не иметь общих точек;
иметь одну общую точку, при всем этом ровная именуется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
иметь две общие точки, при всем этом ровная именуется секущей.
2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести менее одной окружности.
3. Две окружности могут соприкасаться исключительно в одной точке, которая размещена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.
4. При всех поворотах относительно центра окружность перебегает сама в себя.
5. Что такое окружность исходя из убеждений симметрии?
однообразная кривизна полосы в хоть какой из точек;
центральная симметрия относительно точки О;
зеркальная симметрия относительно поперечника.
6. Если выстроить два случайных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине длины окружности, другими словами отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.
7. Если ассоциировать замкнутые кривые полосы схожей длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости большей площади.
Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него
Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей связи этой геометрической фигуры с треугольниками.
При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой скрещения биссектрис углов треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, размещается на скрещении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
Если обрисовать окружность около прямоугольного треугольника, то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, другими словами последняя будет являться поперечником.
Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является равносторонний треугольник.
Главные утверждения об окружности и четырехугольниках
Вокруг выпуклого четырехугольника можно обрисовать окружность только тогда, когда сумма его обратных внутренних углов приравнивается 180°.
Выстроить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если схожа сумма длин его обратных сторон.
Обрисовать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
Вписать в параллелограмм окружность можно в этом случае, если все его стороны равны, другими словами он является ромбом.
Выстроить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При всем этом центр описанной окружности будет размещаться на скрещении оси симметрии четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.
tipsboard.ru
Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики
Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.
Окружность: определение и основные средства описания
Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.
Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.
Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.
Свойства хорд
Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней – радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.
Длина окружности: общее понятие и основные формулы
Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.
Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L – это длина окружности, D – диаметр, R – радиус.
Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.
Что такое окружность: основные постулаты
1. Прямая и окружность могут располагаться на плоскости следующим образом:
не иметь общих точек;
иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.
2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.
3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.
4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.
5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?
одинаковая кривизна линии в любой из точек;
центральная симметрия относительно точки О;
зеркальная симметрия относительно диаметра.
6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине длины окружности, то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.
7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.
Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него
Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой геометрической фигуры с треугольниками.
При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
Если описать окружность около прямоугольного треугольника, то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является равносторонний треугольник.
Основные утверждения об окружности и четырехугольниках
Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении оси симметрии четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.
autogear.ru
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ — ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ — Учебник Геометрия 7 класс Бевз Г.П. — Возрождение 2015 год
Круг — первая самая простая и самая совершенная фигура.
Прокл
РАЗДЕЛ 4 ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
В этом разделе вы расширите и углубите свои знания о круге и круг, приобретенные в предыдущих классах, узнаете о взаимное расположение на плоскости прямой и окружности, двух окружностей; о свойствах касательной к окружности, касательных окружностей; окружности вписанные и описанные вокруг треугольника А еще поймете, что такое геометрическое место точек, научитесь выполнять основные геометрические построения и решать более сложные задачи на построение циркулем и линейкой.
§ 17. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.
Отрезок, соединяющий любую точку окружности с его центром, называют радиусом. Отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности, называют хордой круга.
Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром (рис. 209). Каждый Диаметр окружности состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Если хорда не проходит через центр окружности, ее длин а меньшая от длины диаметра. (Почему?)
Круг на бумаге изображают с помощью циркуля.
Считают, что из данного центра на плоскости можно описать только одну окружность данного радиуса (рис. 210).
Прямая и окружность могут иметь две общие точки (рис. 211, а), одну общую точку (мат. 211,6) или не иметь ни одной (рис. 211, в).
Прямую, имеющую с окружностью две общие точки, называют секущей.
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общую точку называют точкой касания. (Речь идет о фигуры на одной плоскости.) Точка касания лежит на круге, поэтому касательная удалена от центра круга на расстояние, равное длине радиуса. Поскольку все остальные точки касательной лежат вне круга, расстояния от них до центра окружности больше длины радиуса. Из этого следует, такое утверждение.
Рис. 209
Рис. 210
Касательная к окружности перпендикулярна к ного радиуса, проведенного в точку касания.
Рис.211
Чтобы через данную на окружности точку К провести касательную к этой окружности, надо провести радиус ОК, а потом — прямую KM, перпендикулярную этому радиусу (рис. 212).
Если два круга имеют две стальные точки, то говорят, что данные окружности пересекаются в этих точках. Точки пересечения двух кот лежат по разные стороны от прямой, которая проходит через центры этих окружностей. На рисунке 213 изображены круги с центрами О и O, пересекаются в точках А и В.
Если две окружности имеют только одну общую точку, говорят, что они соприкасаются в этой точке. Касание двух окружностей может быть внешним (рис. 214) или внутренним (рис. 215). В обоих случаях точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.
Два круга одной плоскости, имеющих общий центр, называются концентрическими кругами (рис. 216).
Обычно круги чертят, пользуясь циркулем. Но иногда удобнее это делать с помощью специальных шаблонов с вырезанными кругами разных радиусов.
Окружность делит плоскость на две части (области). Объединение круга с его внутренней областью называют кругом. Граница круга — окружность. Центром, радиусам, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, которая является границей данного круга (рис. 217).
Рис. 212
Рис. 213
Рис. 214
Рис. 215
Рис. 216
Рис. 217
Форму круга имеет обруч, форму круга — дно ведра, видимый диск Солнца и тому подобное. Колесо на рельсе — материальная модель круга, что примыкает к прямой. На схематическом изображении подшипника (рис. 218) есть несколько соприкасающихся кругов.
Как вам известно из предыдущих классов, длину С окружности и площадь S круга выражается через радиус r следующим формулам:
С = 2 пг, S = пг2.
Строгие доказательства этих формул будут рассматриваться в старших классах.
Рис. 218
Для любознательных
Слово круг — древнеукраинское. Оно масс один корень со словами колода, колоть, колотить, сколоть. Околотами называли праукраинцев, которые жили на землях современной Украины за скифов и еще раньше. А еще слово коло в русском языке служит предлогом, как и вокруг, вокруг. Если к забитому в землю колу (кола) привязывали животное, то она ходила вокруг, вокруг.
Раньше круг также называли кругом, например, пели: «Ой сойди, сойди, ясень месяцу, как мельничный круг». Хоть и полнолуние, и камень в мельнице имеют форму круга, а не круга. Нередко круг называли также колесом; кое-кто считает, что первые колеса научились делать мастеровые люди в наших краях.
В геометрии круг играет важную роль. Существует даже отдельная часть геометрии — геометрия кругов, в которой исследуются важные и интересные свойства геометрических фигур, связанных с кругом.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Что такое круг; центр окружности; радиус; диаметр; хорда?
2. Что такое круг? Чем отличается круг от окружности?
3. Сколько общих точек могут иметь: а) прямая и окружность; б) два круга?
4. Сформулируйте определение касательной к окружности. Какое свойство имеет касательная к окружности?
5. Какие круги называют касательными? Что такое точка соприкосновения?
6. Как могут соприкасаться два круга?
7. Какие окружности называют концентрическими?
Выполним вместе
1. Докажите, что точки касания окружности к сторонам угла равноудалены от его вершины.
— Пусть круг с центром О касается сторон угла А в точках В и С (рис. 219). Докажем, что АВ = АС.
Радиусы OD и ОС, проведенные в точки касания, перпендикулярны к соответствующим касательным и уровне. Поэтому прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузой и катетом.
Следовательно, АВ = АС.
2. Докажите, что диаметр окружности, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к хорде.
Пусть АВ — хорда окружности, не проходящая через центр О окружности, а КР — диаметр круга, КОТОРЫЙ проходит через середину М хорды АВ (рис. 220). Треугольник ОАВ равнобедренный, так как ОА = ОВ. А медиана ОМ равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является также высотой треугольника. Поэтому ОМ ⏊ АВ, а следовательно, и КР ⏊ АВ.
3. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов r и r1 (рис. 221) .
Площадь S кольца равна разности площадей кругов радиусов r и r1:
S = пг2 — пг2 = п (r2 – r21).
Рис. 219
Рис. 220
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Выполните устно
497. Сколько разных окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки?
498. Сколько общих точек могут иметь: а) окружность и прямая; б) два круга;
в) круг и треугольник; г) круг и плоскость?
499. Дано окружность с центром О. Сколько общих точек имеет окружность с: а) прямой ОА; б) лучом ОМ?
500. Сколько различных касательных к данной окружности можно провести через данную точку, лежащую: а) на окружности; б) вне окружности; в) внутри круга?
501. Сколько пар соприкасающихся кругов на рисунке 218? А сколько пар концентрических кругов?
Рис. 221
А
502. Начертите круг. Проведите его радиус, диаметр, хорду.
503. Докажите, что диаметр — наибольшая из хорд данного круга.
504. Даны окружность и отрезок, меньшинств от диаметра. Проведите хорду, длина которой равна длине данного отрезка.
505. Найдите расстояние между центрами окружностей радиусов 5 м и 7 м, которые касаются:
а) внешним способом; б) внутренним способом.
506. Имеют ли общие точки две окружности, радиусы которых равны 3 см и 4 см, если расстояние между их центрами равно 5 см?
507. АВ и CD — равные хорды окружности с центром О. Докажите, что ∆АВО = ∆CDO.
508. Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что:
1) ∆ОАО1 = ∆ОВО1; 2) ∆ОАВ и О1АВ — равнобедренные.
509. Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В, причем каждое из них проходит через центр другой. Найдите ∠AOB и ∠OAO1.
Бы
510. Каждое из трех окружностей проходит через центры двух других. Докажите, что их центры — вершины равностороннего треугольника.
511. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра.
512. Как построить касательную к данной окружности:
а) параллельную данной прямой;
б) перпендикулярную к данной прямой?
513. Садовник описывает круг для клумбы с помощью колышков и веревки (рис. 222).
Почему описанная таким способом фигура — круг? Получится круг, если веревка намотуватиметься на колышек?
Рис. 222
514. Найдите радиусы двух соприкасающихся окружностей, если они относятся как 1 : 3, а расстояние между центрами окружностей равно 16 см. Рассмотрите два случая.
515. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что АО — биссектриса угла ВАС.
516. Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите радиус окружности, если ОА = 10 см.
517. Из точки А к окружности проведены две касательные. Найдите угол между ними, если расстояние от точки А до точки касания равно радиусу круга.
518. Круг касается сторон угла А в точках В и С так, что АВ = ВС. Найдите меру угла А.
519. Три равные окружности с центрами O1, О2, О3 попарно касаются друг друга в точках К, Р и Т. Докажите, что:
1 )В1В2 = В2В3 = В2В1; 2) КР = РТ = ТК.
520. Из центра круга провели три луча, которые разбили данное окружность на три дуги, длина каждой из которых равна 3 см. Найдите углы между этими лучами и радиус круга.
521. Докажите, что площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов r и r1 равна среднему арифметическому длин этих окружностей, умноженному на разницу радиусов, то есть S = lm (рис. 223).
Рис. 223
Практическое задание
522. Подготовьте презентацию на тему: а) «Круг вокруг нас»; б) «Круг вокруг нас».
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
523. Отрезок длиной а поделен на 3 равные части. Какую часть составляет расстояние между серединами первой и третьей частей?
524. Найдите длину биссектрисы треугольника с периметром 40 см, если она разбивает его на два треугольника с периметрами 20 см и 30 см.
525. Найдите площадь квадрата ABCD, если АС = 10 см.
schooled.ru
Геометрическое место точек. Круг и окружность | Учеба-Легко.РФ
Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.
П р и м е р 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое
место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от
концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB :
Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .
Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляраотрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
П р и м е р 2. Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.
П р и м е р 3. Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество
всех точек),равноудалённыхот её центра ( на рис. показана одна
из этих точек – А ).
Окружность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости, равноудалённых от одной точки,называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности ( AmB, рис.39 ) называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности ( рис.39 ), называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности — хордой.
Хорда, проходящая через центр круга ( например, BC, рис.39 ), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам ( d = 2 r ).
Касательная. Предположим, секущая PQ ( рис.40 ) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K. Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K. По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K. Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.
1. Выполнить сложение матриц: . Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй: .
Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:
.
Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:
; . ; .
Как видим, .
2. Выполнить умножение матрицы на число: . Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число: .
Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере: Пусть дана матрица и . Тогда ; . ; . Как видим, .
3. Вычислить произведение матриц: . Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:
Получим следующее: . Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения: . Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты: . Оставшиеся элементы вычисляются аналогично: . Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере. Пусть даны матрицы . Тогда . . Как видим, .
4. Возвести матрицу в степень: . Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы. .
5. Транспонировать матрицу: . Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками: .
Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц
максимум из 9 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц
Лимит времени: 0
Информация
Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Средний результат
Ваш результат
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 4
Количество баллов: 3
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 4
Количество баллов: 1
Транспонировать матрицу
ib.mazurok.com
Транспонирование матриц в MS EXCEL. Примеры и методы
Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами. Для этой операции в MS EXCEL существует специальная функция ТРАНСП() или англ. TRANSPOSE.
Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица At имеет размер m×n.
В MS EXCEL существует специальная функция ТРАНСП() для нахождения транспонированной матрицы.
Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне А7:В8, то для получения транспонированной матрицы нужно:
выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазоном А7:В8
в строке формул ввести формулу =ТРАНСП(A7:B8) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER, т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2)
Если исходная матрица не квадратная, например, 2 строки х 3 столбца, то для получения транспонированной матрицы нужно выделить диапазон из 3 строк и 2 столбцов. В принципе можно выделить и заведомо больший диапазон, в этом случае лишние ячейки будут заполнены ошибкой #Н/Д.
СОВЕТ: В статьях раздела про транспонирование таблиц (см. Транспонирование) можно найти полезные приемы, которые могут быть использованы для транспонирования матриц другим способом (через специальную вставку или с использованием функций ДВССЫЛ(), АДРЕС(), СТОЛБЕЦ()).
Напомним некоторые свойства транспонированных матриц (см. файл примера).
(At)t = A (k · A)t = k · At (про умножение матриц на число и сложение матриц см. статью Сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число в MS EXCEL) (A + B)t = At + Bt (A · B)t = Bt · At (про умножение матриц см. статью Умножение матриц в MS EXCEL)
excel2.ru
Транспонирование матрицы, онлайн калькулятор
Наш онлайн калькулятор позволяет транспонировать любую матрицу всего в два кликов. Для нахождения транспонированной матрицы выберите ее размеры (матрица не обязательно должна быть квадратной), введите значения всех элементов матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст подробное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ.
Заполните элементы матрицы
Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
Как найти транспонированную матрицу онлайн
Транспонирование матрицы через данный онлайн калькулятор не займёт у вас много времени, но зато быстро даст результат и поможет лучше разобраться в самом процессе.
Иногда в алгебраических вычислениях возникает потребность поменять местами строки и столбцы матрицы. Такая операция именуется транспонированием матрицы. Строки по порядку становятся столбцами, а сама матрица – транспонированной. В данных вычислениях есть определённые правила, и чтобы в них разобраться и наглядно ознакомиться с процессом, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. Он существенно облегчит вам задачу и поможет лучше усвоить теорию транспонирования матриц. Значительным плюсом данного калькулятора является демонстрация развёрнутой и детального решения. Таким образом, его использование способствует получению более глубоких и осознанных представлений об алгебраических расчётах. K тому же, с его помощью всегда можно проверить, насколько успешно вы справились с задачей, производя транспонирование матриц вручную.
Пользоваться калькулятором очень просто. Чтобы найти транспонированную матрицу онлайн укажите размер матрицы нажатием на иконки «+» или «-» до получения нужных значений числа столбцов и строк. Далее в поля вводятся необходимые цифры. Ниже расположена кнопка «Вычислить» — её нажатие выводит на экран готовое решение с подробной расшифровкой алгоритма.
ru.solverbook.com
Сопряжённо-транспонированная матрица Вики
Сопряжённо-транспонированная матрица Вики
Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица A{\displaystyle A}* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.
Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.
Определение и обозначения[ | код]
Если исходная матрица A{\displaystyle A} имеет размер m×n{\displaystyle m\times n}, то эрмитово-сопряжённая к A{\displaystyle A} матрица A∗{\displaystyle A^{*}} будет иметь размер n×m,{\displaystyle n\times m,} а её (i,j){\displaystyle (i,j)}-й элемент будет равен:
где z¯{\displaystyle {\overline {z}}} обозначает комплексно-сопряжённое число к z{\displaystyle z} (сопряжённое число к a+bi{\displaystyle a+bi} есть a−bi{\displaystyle a-bi}, где a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} — вещественные числа).
Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как A∗{\displaystyle A^{*}} или AH{\displaystyle A^{H}} (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:
A†{\displaystyle A^{\dagger }} — в квантовой механике;
A+{\displaystyle A^{+}} — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
Если матрица A{\displaystyle A} состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:
A∗=AT,{\displaystyle A^{*}=A^{T},} если aij∈R.{\displaystyle a_{ij}\in \mathbb {R} .}
Квадратная матрица A{\displaystyle A} называется:
Свойства[ | код]
(A+B)∗=A∗+B∗{\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}} для любых двух матриц A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} одинаковых размеров.
(cA)∗=c¯A∗{\displaystyle (cA)^{*}={\overline {c}}A^{*}} для любого комплексного скаляра c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }.
(AB)∗=B∗A∗{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}} для любых матриц A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}, таких, что определено их произведение AB{\displaystyle AB}. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
(A∗)∗=A{\displaystyle (A^{*})^{*}=A} для любой матрицы A{\displaystyle A}.
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
A{\displaystyle A} обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица A∗{\displaystyle A^{*}}. При этом:
⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle } для любой матрицы A{\displaystyle A} размера m×n{\displaystyle m\times n} и любых векторов x∈Cn{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}} и y∈Cm{\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}. Обозначение ⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы AA∗{\displaystyle AA^{*}} и A∗A{\displaystyle A^{*}A} являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы A{\displaystyle A} (необязательно квадратной). Если A{\displaystyle A} квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.
См. также[ | код]
Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.
Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.
Например,
[1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}
То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц[ | ]
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
(AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
(A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
ru-wiki.ru
Действие третье. Транспонирование матрицы — КиберПедия
Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.
Пример: Транспонировать матрицу
Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:
– транспонированная матрица.
Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.
Пошаговый пример: Транспонировать матрицу
Сначала переписываем первую строку в первый столбец:
Потом переписываем вторую строку во второй столбец:
И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:
Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.
Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.
Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.
Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
Пример: Сложить матрицы и
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:
Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.
Пример: Найти разность матриц ,
А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.
Действие пятое. Умножение матриц.
Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.
Какие матрицы можно умножать?
Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу необходимо, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .
Пример: Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
, значит, умножать данные матрицы можно.
А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!
, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла
Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение
Как умножить матрицы?
Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.
Начнем с самого простого:
Пример: Умножить матрицу на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:
– попытайтесь сразу уловить закономерность.
Пример сложнее:
Умножить матрицу на матрицу
Формула:
В результате получена так называемая нулевая матрица.
Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).
Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!
Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!
Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.
Переходим к матрицам третьего порядка:
Умножить матрицу на матрицу
Формула очень похожа на предыдущие формулы:
А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:
Умножьте матрицу на матрицу
Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!
Первые 1000 знаков значения √3, рассчитанные компьютером в 1994 году.
Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.
Его приблизительным значением с 60 цифрами после запятой является:
Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).
Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.
Может быть выражен в виде непрерывной дроби .
Содержание
1 Геометрия
2 Использование в других областях
3 См. также
4 Литература
5 Примечания
6 Ссылки
Геометрия
Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен
Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
является длиной диагонали куба со стороной 1.
является длиной стороны равностороннего треугольника с радиусом описанной окружности равным 1.
Использование в других областях
Энергетика
При трёхфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения
См. также
Квадратный корень из 2
Квадратный корень из 5
Литература
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
Щетников А. И. К вопросу о рациональных приближениях у Архимеда: новая реконструкция.. — Труды вторых Колмогоровских чтений. — Ярославль: Изд. ЯГПУ, 2004. — С. 136—144. — 382 с.
Примечания
↑ 123 Это приближение было известно Архимеду
↑ The square root of three
Ссылки
Proof that square root of 3 is irrational (англ.)
Weisstein, Eric W. Theodorus’ Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
квадратный корень из 3 тангенг(х-1)=-1, квадратный корень из 32, квадратный корень из 324, квадратный корень из 36
Квадратный корень из 3 Информацию О
Квадратный корень из 3 Комментарии
Квадратный корень из 3 Квадратный корень из 3 Квадратный корень из 3 Вы просматриваете субъект
Квадратный корень из 3 что, Квадратный корень из 3 кто, Квадратный корень из 3 описание
There are excerpts from wikipedia on this article and video
www.turkaramamotoru.com
Квадратный корень из 3 — Википедия. Что такое Квадратный корень из 3
Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3. Обозначение: 3.{\displaystyle {\sqrt {3}}.}
Значение
Квадратный корень из 3 является иррациональным числом, то есть не может быть точно представлен никакой дробью. С точностью до 0,01 % значение 3≈1,732.{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}732.} Хорошее приближение даёт также обыкновенная дробь 9756≈1.73214.{\displaystyle {\tfrac {97}{56}}\approx 1{.}73214.}
Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
Если длина стороны равностороннего треугольника равна 1, то каждая высота этого треугольника равна 3/2.{\displaystyle {\sqrt {3}}/2.}
3{\displaystyle {\sqrt {3}}} равен также:
тангенсу 60°;
расстоянию между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1;
длине диагонали куба со стороной 1;
длине стороны равностороннего треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 1.
Электроэнергетика
При трёхфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в 3{\displaystyle {\sqrt {3}}} больше модуля фазного напряжения.
См. также
Литература
Примечания
Ссылки
wiki.sc
Квадратный корень из 3 — это… Что такое Квадратный корень из 3?
Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.
Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:
Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).
Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.
Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].
Геометрия
Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен
Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
является длиной диагонали куба со стороной 1.
Использование в других областях
Энергетика
При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения
См. также
Ссылки
dic.academic.ru
Сколько будет корень из 3
корень из (3) = 1.73205081
у меня точнее: 1,732050808
Ответ банален как и вопрос, будет 1,732…
точно не извлекается! вот приближенное значение: 1,732
корень из 3 равен 1.8
Так и останется) ) корень из трёх не вычисляется )))
самый точный ответ 1,732050807568877
touch.otvet.mail.ru
Квадратный корень из 3 — WiKi
Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3. Обозначение: 3.{\displaystyle {\sqrt {3}}.}
Квадратный корень из 3 является иррациональным числом, то есть не может быть точно представлен никакой дробью. С точностью до 0,01 % значение 3≈1,732.{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}732.} Хорошее приближение даёт также обыкновенная дробь 9756≈1.73214.{\displaystyle {\tfrac {97}{56}}\approx 1{.}73214.}
Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.
Если длина стороны равностороннего треугольника равна 1, то каждая высота этого треугольника равна 3/2.{\displaystyle {\sqrt {3}}/2.}
3{\displaystyle {\sqrt {3}}} равен также:
тангенсу 60°;
расстоянию между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1;
длине диагонали куба со стороной 1;
длине стороны равностороннего треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 1.
Электроэнергетика
При трёхфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в 3{\displaystyle {\sqrt {3}}} больше модуля фазного напряжения.
Комментарий. Цель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
Формулы сложения.
Формулы двойных и половинных углов.
Формулы преобразования суммы в произведение:
Формулы преобразования произведения в сумму:
Формулы приведения:
sin φ
— sin α
cos α
cos α
sin α
— sin α
— cos α
— cos α
— sin α
sin α
cos φ
cos α
sin α
— sin α
— cos α
— cos α
— sin α
sin α
cos α
cos α
tg φ
— tg α
ctg α
— ctg α
— tg α
tg α
ctg α
— ctg α
— tg α
tg α
ctg φ
— ctg α
tg α
— tg α
— ctg α
ctg α
tg α
— tg α
— ctg α
ctg α
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Пример 2.1.
Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .
Так как по условию задачи cos α = 0,3, то cos2α
= 0,09. Значит, sin2α
+ 0,09 = 1, sin2α
= 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α
= 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .
Ответ: .
Пример 2.2.
Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.
Решение
Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α ∙
ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α ∙
0,2 = 1, откуда tg α = 5.
Ответ: 5.
Пример 2.3.
Упростите выражения;
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
Решение
Данные задания — на применение формул сложения.
Ответ:
Пример 2.4.
Вычислите:
Решение
Ответ:
Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
Пример 2.5.
Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:
1) sin2α
;
2) sin4α
+ cos4α
;
3) sin6α
+ cos6α
.
Решение
1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:
sin2α
— 2sinα cosα + cos2α
= 0,09.
Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:
1 — sin2α
= 0,09, откуда:
sin2α
= 1 — 0,09 = 0,91.
2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.
Для этого сумму sin4α
+ cos4α
представим в специальном виде:
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.
3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α
+ cos6α
можно представить в виде суммы кубов.
Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):
, следовательно, тогда:
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:
Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:
, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.
В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:
Ответ:
Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Пример 2.8.
Найти значение выражения: .
Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
С целью сокращения дроби воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:
.
Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:
.
Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому:
Тогда .
Окончательно получаем:
Ответ: 1.
Пример 2.9.
Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.
Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° — cos60°) = 1/2 cos 40° — 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:
Ответ:
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Пример 2.10.
Упростить выражение: .
Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление :
.
Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:
.
Следовательно,
Ответ:
Пример 2.11.
Доказать тождество при
Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
Решение
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:
.
Вспомнив, что , получаем
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:
sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;
при следовательно,
Таким образом:
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:
Тогда ,
что и требовалось доказать.
Пример 2.12.
Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .
Решение
Выпишем формулы для вычисления искомых функций:
.
Из основного тригонометрического тождества вычислим:
Далее найдем значения искомых выражений:
Ответ:
Пример 2.13.
Доказать тождество .
Решение
Приведем левую часть к 1:
.
Тождество доказано.
Пример 2.14.
Вычислить значение выражения:
.
Решение
Обратим вниманием, что
Далее, используя формулы приведения, получим:
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:
Итак, значение выражения равно 0.
Ответ: 0.
Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:
Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.
Пример 2.15.
Вычислить cos(4arctg 5).
Решение
Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:
Тогда получаем, что:
Ответ:
Пример 2.16.
Выразить через все обратные функции
Решение
Пусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.
Найдем все тригонометрические функции угла:
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .
Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .
Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.
Ответ:
Пример 2.17.
Найти arcsin (sin 12).
Решение
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .
Поскольку , угол 12 — 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.
Ответ: arcsin (sin12) = 12 — 4π.
Пример 2.18.
Вычислить
Решение
Введем два угла: Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.
В тождественных преобразованияхтригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.
При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.
Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2))2+ (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) + + sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2))2
Решение.
Из формул приведения следует:
sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;
sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;
cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;
sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.
Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем
А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x)2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x)2 = sin2 (2x + x) + cos2 (x + 2x) = = sin2 3x + cos2 3x = 1
Ответ: 1.
Пример 2.
Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.
Решение.
Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем
М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
= 4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).
Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
Пример 3.
Показать, что выражение А = cos2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos2 (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.
Решение.
Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим
А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6))2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =
= 4sin2 x · sin2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
= sin2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим
А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =
= -sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =
= sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =
= sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.
Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что
А(х) ≡ (0) = cos2 π/6 — cos2 π/6 + cos2 π/6 = (√3/2)2 = 3/4, x € R.
Ответ: А = 3/4 для x € R.
Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:
а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований; б) сведение правой части тождества к левой; в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду; г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.
Пример 4.
Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
Решение.
Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ города Красногорска
Частное образовательное учреждение
Международный лицей экономики, права и информатики
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ПО ТЕМЕ: « ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ»
ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»
Автор: Хачатурова Лариса Хачатуровна
г.Красногорск 2017 год
Содержание
1. История возникновения тригонометрии.
2. Значение тригонометрии
3. План-конспект уроков.
4. Карточки-задания для учащихся
Введение
История возникновения тригонометрии
Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Тригонометрия необходима для астрономических расчетов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Она приведена через 3,4,5. Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме. Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами. Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида. Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц.
Тригонометрия прошла следующие стадии развития:
1. Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов.
2. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов.
3. В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.
4. Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.
5. По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.
6. В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.
7. В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригонометрия получила широкие обобщения в геометрическом плане.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Задания для самостоятельной работы предназначены для использования на практических занятиях по курсу математики студентами ГОУ СПО Строительного колледжа №30.
Небольшое количество часов, отводимых по плану на проведение этих занятий, заставляет искать более эффективные формы преподавания. Опыт проведения уроков по математике позволил сделать вывод, что занятия проходят более интересно и продуктивно, если они имеют практическую и творческую направленность и самостоятельную работу студентов. Отличие этой методической разработки от других, ему аналогичных, в том, что оно содержит элементы программного обучения и предназначено, прежде всего, для использования на практических занятиях.
В данной методической разработке используются конспекты уроков по заданным темам. Методическая разработка содержит преобразование тригонометрических выражений по основным темам курса математики. В начале каждого пункта даются основные сведения из теории, причем теоретический и практический материал предлагается в виде вариантов. Студент должен путем записи необходимых вариантов в тетрадь решить тригонометрические преобразования в формулировках теоретических и практических утверждений. Это позволяет сравнительно быстро повторить основные определения и термины по пройденной теме. Далее предлагаются примеры вариантов, рассчитанные на выработку необходимых умений и навыков, и, наконец, варианты, решение которых предполагается для внеаудиторной самостоятельной работы студентов. На варианты для внеаудиторной работы имеются ответы, по которым студенты могут произвести самоконтроль.
Как показал мой опыт работы, предлагаемая форма методической разработки позволяет более эффективно проводить занятия, а это способствует повышению качества подготовки студентов. Разработка по теме:” Преобразование тригонометрических выражений” рассчитана, по времени, на 2 спаренных урока.
Общеобразовательные цели:
обеспечить в ходе урока закрепление следующих основных понятий: синус, косинус, тангенс и котангенс, закрепить умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, применяя основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного аргумента, формулы приведения, продолжить формирование общеучебных умений и навыков : планирование ответа; навыки самоконтроля.
Развивающие цели:
развивать познавательный интерес к предмету, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность учащихся.
Воспитательные цели:
воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы,прививать желание иметь глубокие знания,воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи,воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижение цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Оборудование:
карточки с заданиями для работы на уроке;
карточки с заданиями для самостоятельной работы;
карточки с домашним заданием.
Оформление: эпиграф:
“Математика несет в себе черты деятельности, умозрительного мышления и стремление к эстетическому совершенству”. Р.Курант
І Организационный момент.
Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
ІІ Устная работа.
На доске:
1. Сравните с нулем:
а) sin 190°,б) sin 15П/19,в) cos 11П/13,г) cos23П/13· sin17П/16
Ответы: а) < 0 б) < 0 в) > 0 г) < 0
2. Вычислите:
а) 4 sin15°· cos15 °,
б) 6 cos² -4+6 sin² ;
Ответы: а) 1, б) 2.
3. Найдите наибольшее значение выражения р = -6+3sin ;
Ответ: -3
ІІІ Математический диктант
1. а· -угол третьей (четвертой) четверти. Определите знак выражения cos а· tg a (sin a· с tg a)
2.Чему равна сумма квадратов синуса 65° и косинуса 65° ?
(Написать выражение, тождественно равное единице, деленной на синус квадрат а)
3.Написать выражение, тождественно равное единице, деленной на косинус квадрат
(Чему равна сумма квадратов синуса 43° и косинуса 43° ?)
4.Вычислить синус острого угла, если его косинус равен 12/13.
(Вычислить косинус острого угла, если его синус равен 5/13)
в) sin( х+у) — 2 cos х sin у, если · х= 56°, у= 26 °,
г) 26 sin2 х, если sin х=12/13, 0 < х < П/2,
3. Доказать тождества:
а)
б)
Каждое задание решается на доске. Для этой цели к доске вызываются учащиеся класса.
Приведу решения данных заданий:
Упростить выражение:
1.а) +
б)
в)
2. Найти значение выражения:
а) 14
14 = 14
б) 3
3.Указать наибольшее значение выражения: р
Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель принимает наименьшее значение, т.к. -3nx ≤ 3 , то 2≤5 – 3sinx≤8 и наименьшее значение знаменателя число2
Наибольшее значение р = 4
Самостоятельная работа.
Учащимся раздаются карточки с текстом самостоятельной работы.
КАРТОЧКА № 2
1 ВАРИАНТ
Упростить выражение:
2. Вычислите:
3. Найдите значение выражения:
а) 6
б) 5
в) если ,
г) =
Карточка № 3
2 Вариант
Упростите выражение:
а) -3
б)1+
в)
Найти значение выражения:
если
б) если
в) , если
г)
3. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений выражения р=3+2
4. Указать наименьшее целое значение выражения р =
Подведение итогов урока.
С целью закрепления полученных знаний, проводится разбор заданий самостоятельной работы.
Домашнее задание:
Каждый ученик получает карточку с домашним заданием.
Карточка №4
Упростить выражение:
а) 2
б)
в)
г)
2. Найти значение выражения:
а)
б) 4, если
в)
г)
5.Докажите тождества:
а) с tg х · sin х/ cos х=1
б)2 sin² х· cos²х + cos⁴ х+ sin⁴ х =1
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Справочники и учебники
1 Алгебра : Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков [и др.] ; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М. : Просвещение, 1999. – 271 с. : ил. – ISBN 5–00–008748–2.
2 Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / М. И. Башмаков. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1992. – 351 с. : ил. – ISBN 5–09–003877–5.
3 Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.] ; под ред.
4 Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений Ш.А. Алимов.
5 Цыпкин, А. Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ : Справочник / А. Г. Цыпкин, Г. Г. Цыпкин. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 128 с.
6 Поурочные планирование по алгебре 9 класс Т.М. Ерина.
7Алгебра и начала анализа. С.М. Никольский. Учеб. для общеобразоват. Учреждений.
Учебные пособия, сборники задач
1 Абрамович, М. И. Математика : Геометрия и тригонометрические функции : Учеб. пособие для подготовит. отделений вузов / М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев. – М. : Высш. шк., 1976. – 304 с. : ил.
2 Башмаков, М. И. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М. И. Башмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой ; под ред. Д. К. Фаддеева. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. – 112 с. : ил. – (Библиотечка «Квант» ; вып. 22).
3 Бескин, Н. М. Задачник–практикум по тригонометрии : Пособ. для учителей / Н. М. Бескин. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Просвещение, 1966. – 74 с. : ил.
4 Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов : Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1994. – 271 с. : ил. – ISBN 5–09–006085–1.
5 Ивлев, Б. М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. – М. : Просвещение, 1990. – 176 с. : ил. – ISBN 5–09–002871–0.
6.Математика для техникумов. Каченовский
6 Кутепов, А. К. Задачник по алгебре и элементарным функциям : Учеб. пособие для сред. специальных учеб. заведений / А. К. Кутепов, А. Т. Рубанов. – М. : Высш. шк., 1969. – 288 с. : ил.
7 Никольский, С. М. Элементы математического анализа : Учеб. пособие / С. М. Никольский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 224 с. : ил. – ISBN 5–09–013957–2.
8 Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Справочники и учебники
1 Алгебра : Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков [и др.] ; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М. : Просвещение, 1999. – 271 с. : ил. – ISBN 5–00–008748–2.
2 Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / М. И. Башмаков. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1992. – 351 с. : ил. – ISBN 5–09–003877–5.
3 Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.] ; под ред. 4 Математическая энциклопедия. В 5 т. Т. 1 / Под ред. И. М. Виноградова. – М. : Советская энциклопедия, 1977. – 1152 стлб. : ил.
5 Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. – 2-е изд. – М. : Мнемозина, 2001. – 335 с. : ил. – ISBN 5–346–00044–5.
6 Цыпкин, А. Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ : Справочник / А. Г. Цыпкин, Г. Г. Цыпкин. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 128 с.
7Поурочные разработки по алгебре 9 класс
Учебные пособия, сборники задач
1 Абрамович, М. И. Математика : Геометрия и тригонометрические функции : Учеб. пособие для подготовит. отделений вузов / М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев. – М. : Высш. шк., 1976. – 304 с. : ил.
2 Башмаков, М. И. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М. И. Башмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой ; под ред. Д. К. Фаддеева. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. – 112 с. : ил. – (Библиотечка «Квант» ; вып. 22).
3 Бескин, Н. М. Задачник–практикум по тригонометрии : Пособ. для учителей / Н. М. Бескин. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Просвещение, 1966. – 74 с. : ил.
4 Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов : Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1994. – 271 с. : ил. – ISBN 5–09–006085–1.
5 Ивлев, Б. М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. – М. : Просвещение, 1990. – 176 с. : ил. – ISBN 5–09–002871–0.
6.Математика для техникумов Каченовский
7 Кутепов, А. К. Задачник по алгебре и элементарным функциям : Учеб. пособие для сред. специальных учеб. заведений / А. К. Кутепов, А. Т. Рубанов. – М. : Высш. шк., 1969. – 288 с. : ил.
8 Никольский, С. М. Элементы математического анализа : Учеб. пособие / С. М. Никольский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 224 с. : ил. – ISBN 5–09–013957–2.
9 Новоселов, С. И. Тригонометрия : Учебник для 9–10 кл. сред. шк. / С. И. Новоселов. – 9-е изд. – М. : Учпедгиз, 1964. – 94 с. : ил.
Яковлева. – 2-е изд. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 480 с. : ил.
10 Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави = Розв’язник усiх конкурсних задач з математики збiрника пiд редакцiєю М. I. Сканавi : Справочное издание. В 6 вып. Вып. 3. Тригонометрические уравнения. Неравенства / К. И. Мазур. – Киев : Украинская энциклопедия, 1994. – 460 с. : ил. – ISBN 5–88500–063–8.
11 Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2 кн. Кн. 1. Алгебра : Учеб. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский [и др.] ; под ред. М. И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1995. – 528 с. : ил. – ISBN 5–06–003274–4 (кн. 1).
12 Сканави, М. И. Математика / М. И. Сканави, В. В. Зайцев ; под ред. В. В. Рыжкова. – 2-е изд. – М. : Высш. шк., 1970. – 232 с. : ил.
13 Смирнов, И. И. Сборник вопросов и задач по тригонометрии : Пособ. для учителей / И. И. Смирнов. – М. : Учпедгиз, 1962. – 192 с. : ил.
14 Солодухин, В. Сборник упражнений по тригонометрии / В. Солодухин // Математика / прил. ИД «Первое сентября». – 2000. – № 41. – С. 13–20 ; № 42. – С. 13–19 ; № 46. – С. 17–24 ; 2001. – № 17. – С. 6–10 ; № 18. – С. 21–24 ; № 19. – С. 29–32 ; № 22. – С. 21–24 ; № 28. – С. 12–16 ; № 30. – С. 17–22 ; № 31. – С. 25–30.
15 Худобин, А. И. Сборник задач по тригонометрии : Пособ. для учителей / А. И. Худобин, Н. И. Худобин. – 2-е изд. – М. : Учпедгиз, 1955. – 208 с. : ил.
infourok.ru
8. Тригонометрия
8.1. Преобразование тригонометрических выражений
Определение
8.1.Числовой
единичной окружностью называют окружность
,
у которой точка– начало отсчета, положительное
направление отсчета – против часовой
стрелки, единичный отрезок – часть дуги
окружности, длина которой равна длине
радиуса окружности.
Определение
8.2. Один
радиан равен центральному углу окружности,
длина дуги которого равна радиусу этой
окружности.
,
.
–длина одной
из дуг, соединяющих точки и.
Любая точкана числовой окружности имеет декартовы
координаты(рис. 8.1).
–ордината точки ;,
–абсцисса точки ;.
Углы
в градусах
Углы
в радианах
Значение тригонометрических функций некоторых углов
0
0
1
0
1
0
0
0
1
—
0
—
—
1
0
—
0
Основные
тригонометрические тождества
Формулы суммы и
разности аргументов
Формулы двойного
и тройного аргументов
Выражение
тригонометрических функций через
тангенс половинного угла
Если
,,
то
Преобразование
суммы и разности тригонометрических
функций в
произведение
Также бывает удобно
использовать следующие преобразования.
,
(8.1)
где
,
аопределяется из формул;.
,
(8.2)
где
,
аопределяется из формул;.
Преобразование
произведения тригонометрических функций
в сумму
Формулы приведения
Формулы, сводящие
значения тригонометрической функции
аргумента ,,
к функции аргумента,
называют, обычно,формулами
приведения.
Справедливы
следующие правила:
1. при переходе от
функций углов ,к функциям угланазвание функции меняют на «ко-функцию»;
при переходе от функций углов,к функциям углаимя функции не меняется;
2. знак определяется
по функции, которую нужно преобразовать.
Функция
Аргумент
Пример 8.1. Найти
значение выражения ,
если.
Решение. .
Ответ: .
Пример 8.2. Найти
значение выражения
,
если.
Решение. Возведем обе части равенства
в квадрат, тогда получим:
Ответ: .
Пример 8.3. Вычислить:
.
Решение. Воспользуемся свойствами четности и
нечетности тригонометрических функций
и формулами приведения для каждого
множителя исходного выражения:
;
;
;
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Пример 8.4. Упростить
выражение
.
Решение. Используя формулы приведения, получим
Тогда
.
Ответ: 2.
Пример 8.5. Найти
значение выражения ,,,
еслии.
Решение. Так как ,
тои
.
; .
Ответ: .
Пример 8.5. Найти
значение выражения ,
еслии.
Решение.
Преобразуем первоначально ,
используя формулы двойного аргумента.
.
Вычислим .
Так как по условию,
тои
,
тогда .
Ответ: .
Пример 8.6. Найти
значение выражения ,
еслии.
Решение.
Воспользуемся соотношением ,
тогда
,
откуда .
Так каки по условию,
топринадлежит четвертой четверти, то есть.
Тогда,
поэтомуи.
Ответ: .
Пример 8.7. Найти
значение выражения ,
если,
а.
Решение.
.
Найдем .
По условию,
,
следовательно,
.
Тогда получаем
и .
Ответ: .
Пример 8.8. Найти
значение выражения ,
если,
а.
Решение.
Так как по условию ,
а,
то,
поэтому.
Тогда имеем
Преобразование числовых тригонометрических выражений. В этой статье решил разобрать с вами пару задач. Подобные задания включены в состав экзамена по математике. Мы рассмотрим два способа решения для определённого типа задач. Дело в том, что не все легко могут производить вычисления в радианной мере, кому-то легче решать в градусах.
Хорошо, если вы владеете обоими, если нет, то выбирайте для решения более понятный. Если вы не помните или забыли значения тригонометрических функций, советую вам прочитать статью «Значения тригонометрических функций. Вспомнить быстро!»
Напоминаю, что конкурс «Золотой комментарий» продолжается. Призовой фонд повышен.
Найдите значение выражения:
Меру угла оставим радианной. В этом примере помимо знания значений косинуса, необходимо помнить о его периодичности и уметь выделить этот период (в данном случае косинус отношения девяти пи к четырём).
Напоминаю, что косинус имеет период 2Пn (в градусах это 360n), n принадлежит множеству целых чисел. Формулы:
Решаем:
Ответ: 63
Второй способ.
Переведём радианы в градусы. Как это делается можете прочитать подробную статью «Градусы в радианы, радианы в градусы»:
Решите пример самостоятельно:
Посмотреть решение
В этом примере используется свойство периодичности синуса и косинуса, свойство чётности косинуса и формула приведения для синуса. Напоминаю, что функции синус и косинус периодичны, их период равен 2Пn (в градусах это 360n), n принадлежит множеству целых чисел.
Функция синус — нечётная, функция косинус — чётная:
Итак:
Ответ: 72
Второй способ. Переведём радианы в градусы:
Решите пример самостоятельно:
Посмотреть решение
Основная трудность в обоих способах – это суметь выделить период или как его ещё называют «холостые обороты». Но на мой взгляд, в градусах всё-таки это сделать проще. А на ваш? Учитесь с удовольствием! В данной рубрике будем рассматривать и другие задачи, не пропустите!
Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Вычисление значений тригонометрических выражений
Вычисление значений тригонометрических выражений. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на вычисление значений тригонометрических выражений. В одной из статей уже были представлены такие примеры, посмотрите. Что необходимо знать, понимать и уметь применять?
Это формулы приведения, формулы периодичности тригонометрических функций, чётность нечётность, знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрической окружности, и конечно же, как всегда, требуется внимательность при вычислениях.
Периодичность тригонометрических функций.
Подробно саму теорию о периодичности здесь разъяснять не стану, будет отдельная статья, напомню вам только сами формулы:
*Наименьший положительный период функции синус составляет 2Пи или 3600
*Наименьший положительный период функции косинус составляет 2Пи или 3600
*Наименьший положительный период функции тангенс составляет Пи или 1800
*Наименьший положительный период функции котангенс составляет Пи или 1800
Если вы знакомы с тригонометрической окружностью и тригонометрические функции основательно изучили, то понятие периодичности вам знакомо и смысл ясен.
Чётность и нечётность тригонометрических функций, кратко:
Рассмтотрим примеры.
*Общая рекомендация! Сначала выделяйте период и «избаляйтесь» от него, а уже затем применяйте свойство четности (нечётности) и формулы приведения.
64771. Найдите
Применим свойство периодичности синуса и формулу его приведения:
Вычислим cos α. Это можем сделать используя основное тригонометрическое тождество:
Определим знак косинуса для интервала (3П/2;2П). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы (и наоборот) можно посмотреть здесь. Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:
Таким образом, 8∙cos α = 8∙0,8 = 6,4
Второй способ:
Вычисляем cos α, получаем 0,8. Таким образом:
Ответ: 6,4
64897. Найдите
Применим формулу приведения для косинуса:
Вычислим sin α. Из основного тригонометрического тождества следует, что:
Определим знак синуса для интервала (0;π/2). Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:
Таким образом, –15∙sin α = –15∙0,96 = – 14,4
Ответ: – 14,4
65031. Найдите
Применим свойства нечётности тангенса, свойство его периодичности и формулу приведения:
Вычислим котангенс угла:
Таким образом
Ответ: – 0,8
65429. Найдите значение выражения
Используем свойство периодичности косинуса и формулу приведения синуса:
Ответ: – 2
65489. Найдите значение выражения
Используем периодичность синуса, свойство чётности косинуса и формулу приведения косинуса:
Ответ: 8
64695. Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ: 1
26784. Найдите
Посмотреть решение
26785. Найдите
26786. Найдите
Посмотреть решение
26792. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26793. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
26783. Найдите значение выражения
Посмотреть решение
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму
Тема: Преобразование тригонометрических выражений
Урок: Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму
На уроке доказываются формулы преобразования произведений трех видов: синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус, решается несколько примеров на использование этих формул.
Доказать:
Доказательство:
1) Формулы синуса разности и суммы:
Складывая, получаем:
отсюда,
2) Формулы косинуса разности и суммы:
Складывая, получаем:
Что можно записать:
3) Вычитая косинус суммы из косинуса разности, получим:
,
что преобразуется в формулу:
Проверить тождество:
Имеем:
т.е.
Проверим тождество:
Используя формулу
имеем:
учитывая, что
Проверим
Используя формулу
имеем:
учитывая свойство нечетности синуса
Тождества проверены – правая часть приведена к левой части.
Задание: вычислить, преобразовывая произведения в сумму.
1)
Решение:
Ответ:
2)
Решение:
Ответ:
Решить уравнение:
Решение: воспользуемся формулой
Ответ:
При доказательстве были использованы:
На уроке рассматривались формулы, по которым произведения тригонометрических функций можно преобразовать в суммы.
На следующем уроке эти формулы будут применены для решения задач.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№№ 23.1, 23.3(б), 23.4(б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.
—
Интеграл экспоненциальной функции.
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.
Интеграл сложной экспоненциальной функции.
Интеграл экспоненциальной функции.
—
Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.
Интеграл : «Длинный логарифм».
Интеграл : «Длинный логарифм».
Интеграл : «Высокий логарифм».
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.
Интеграл : «Высокий логарифм».
—
Интеграл косинуса.
Интеграл синуса.
Интеграл, равный тангенсу.
Интеграл, равный котангенсу.
—
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу
dpva.ru
Понятие и свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов
Неопределённый интеграл: 8 фактов, которые надо знать студенту
Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление
функции по известной производной этой функции.
Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)
на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется
равенство F ‘(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной
от первообразной функции F(x)..
Например, функция F(x) = sin x
является первообразной для функции f(x) = cos x
на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)’ = (cos x).
Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись
∫
f(x)dx
,
где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то
∫
f(x)dx = F(x) +C
, (1)
где C — произвольная постоянная (константа).
Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла
уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью».
А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть
дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа,
которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана
из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции
при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.
Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных
(«быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных
неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов
перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части
задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых
услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В
задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было
использовать табличные интегралы.
Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а
чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно
записывать множество первообразных с произвольной константой C,
например, так: 5x³+С. Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку
первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3
и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.
Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).
Пример 1.Найти множество первообразных функции
Решение. Для данной функции первообразной является функция
так как
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.
или
(2)
Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции
и вообще
где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.
Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.
В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана
в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы
была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.
Пример 2. Найти множества первообразных функций:
1)
2)
3)
Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании
формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу
неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.
1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим
2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем
3) Так как
то по формуле (7) при n = -1/4 найдём
Под знаком интеграла пишут не саму функцию f,
а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего
для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,
,
;
здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна ,
но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта
функция рассматривается как функция от переменной x, а во
втором — как функция от z.
Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.
Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной
в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.
Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной
точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию
F(x), для которой
F'(x)=f(x). Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна
кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена
из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.
Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x),
то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.
Факт 3. Неопределённый интеграл
геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость
каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой)
интегрирования C.
Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
(3)
Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.
Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.
(4)
Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.
(5)
Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов,
свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл
любой функции.
Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Продолжение темы «Интеграл»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Таблица неопределенных интегралов
Функции, содержащие a
2
+ x
2
, a
2
— x
2
, a + bx
2
1)
= arctgx + C
2)
=
1 a
arctg
x a
+ C
4)
=
1
ab
arctg(x
b a
) + C при a > 0 и b > 0
Если a и b отрицательны, то знак «−» выносится за интеграл, а если a и b разных знаков, то использовать следущую формулу (№5)
6)
=
ln
x
2
+
a b
+ C
7)
=
x b
—
a b
, затем см. №4 или №5
9)
= —
—
b a
, затем см. №4 или №5
10)
=
+
, затем см. №4 или №5
Функции, содержащие
a + bx
1)
a + bx
dx =
(a + bx)
3
+ C
2)
x
a + bx
dx = —
2(2a — 3bx)
(a + bx)
3
+ C
3)
x
2
a + bx
dx =
2(8a
2
— 12abx + 3b
2
x
2
)
(a + bx)
3
+ C
4)
xdx
a + bx
= —
a + bx
+ C
5)
a + bx
=
2(8a
2
— 4abx + 3b
2
x
2
)
a + bx
+ C
7)
dx
x
a + bx
=
2
-a
arctg
a + bx
-a
+ C , при a
Функции, содержащие
3)
x
dx =
1 3
+ C
6)
dx
=
x
a
2
+ C
11)
dx
x
2
= −
+ C
Функции, содержащие
1)
dx
=
arcsinx + C
2)
dx
=
arcsin
x a
+ C
3)
dx
=
x
a
2
+ C
5)
xdx
=
1
+ C
6)
= −
x 2
+
1 2
a
2
arcsin
x a
+ C
7)
dx =
x 2
+
1 2
a
2
arcsin
x a
+ C
8)
dx =
x 8
(5a
2
— 2x
2
)
+
3 8
a
4
arcsin
x a
+ C
9)
x
dx = −
1 3
+ C
10)
x
dx = −
1 5
+ C
11)
x
2
dx =
x 8
(2x
2
— a
2
)
+
1 8
a
4
arcsin
x a
+ C
12)
=
x
—
arcsin
x a
+ C
14)
dx
x
2
= −
+ C
17)
dx
= −
1 x
—
arcsin
x a
+ C
Функции, содержащие
2)
dx
= −
x
a
2
+ C
6)
x
dx =
1 3
+ C
7)
x
dx =
1 5
+ C
11)
dx
x
=
arcsecx + C
12)
dx
x
=
1 a
arcsec
x a
+ C
14)
dx
x
3
=
+
arcsec
x a
+ C
15)
dx
=
— a*arccos
a x
+ C
Функции, содержащие
,
Функция, содержащая
интегрируется подстановкой t = x — a.
Тогда
получает вид
, и интеграл находят в группе
для функций, содержащих
. Если его в таблице нет,
то стараются привести его к виду, имеющемуся в таблице.
То же можно сказать и о функции, содержащей выражение
.
В этом случае подстановка t = x + a приводит радикал к виду
Функции, содержащие a + bx + cx
2
(c > 0)
1)
=
2
arctg
2cx + b
+ C , если b
2
Функции, содержащие a + bx — cx
2
(c > 0)
2)
dx
=
1
c
arcsin
2cx — b
+ C
Другие алгебраические функции
2)
a — x b + x
dx =
+ (a + b)arcsin
x + b a + b
+ C
3)
a + x b — x
dx = −
— (a + b)arcsin
b — x a + b
+ C
4)
1 + x 1 — x
dx = −
+ arcsinx + C
5)
dx
=
2arcsin
x — a b — a
+ C
Показательные и тригонометрические функции
1)
a
x
dx =
+ C
2)
e
x
dx =
e
x
+ C
3)
e
ax
dx =
+ C
4)
sinx dx = -cosx + C
5)
cosx dx = sinx + C
6)
tgx dx = -ln|cosx| + C
7)
ctgx dx = ln|sinx| + C
8)
secx dx = ln|secx + tgx| + C = ln
tg(
π 4
+
x 2
)
+ C
9)
cosecx dx = ln|cosecx — ctgx| + C = ln
tg
x 2
+ C
10)
sec
2
x dx = tgx + C
11)
cosec
2
x dx = -ctgx + C
12)
secx*tgx dx = secx + C
13)
cosecx*ctgx dx = -cosecx + C
14)
sin
2
x dx =
x 2
—
1 4
sin2x + C
15)
cos
2
x dx =
x 2
+
1 4
sin2x + C
16)
sin
n
x dx = −
+
n — 1 n
sin
n — 2
x dx
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
sinx dx или
sin
2
x dx
(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №4 или №14.
17)
cos
n
x dx =
+
n — 1 n
cos
n — 2
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №5 или №15.
18)
= −
1 n — 1
+
n — 2 n — 1
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
dx или
dx sinx
(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №9.
19)
=
1 n — 1
+
n — 2 n — 1
Аналогично предыдущему интегралу, затем №8.
20)
sinx * cos
n
x dx = −
+ C
21)
sin
n
x * cosx dx =
+ C
22)
sin
n
x * cos
m
x dx =
cos
m — 1
x *
sin
m + 1
x
m + n
+
m — 1 m + n
sin
n
x * cos
m — 2
x dx
Применяется несколько раз, пока степень косинуса не будет равна нулю (если m — четное) или единице (если m — нечетное). В первом случае см.№16, во втором — №21. Этой формулой следует пользоваться, когда m n, то лучше пользоваться №23.
23)
sin
n
x * cos
m
x dx = −
cos
m + 1
x *
sin
n — 1
x
m + n
+
n — 1 m + n
sin
n — 2
x * cos
m
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №17 и №20.
24)
sin(mx)sin(nx)dx = −
sin(m + n)x 2(m + n)
+
sin(m — n)x 2(m — n)
+ C , (m ≠ n).
25)
cos(mx)cos(nx)dx =
sin(m + n)x 2(m + n)
+
sin(m — n)x 2(m — n)
+ C , (m ≠ n).
26)
sin(mx)cos(nx)dx = −
cos(m + n)x 2(m + n)
−
cos(m — n)x 2(m — n)
+ C , (m ≠ n).
27)
=
2
arctg(
a — b a + b
tg
x 2
) + C , если a > b
29)
=
2
arctg
+ C , если a > b
31)
dx
a
2
cos
2
x + b
2
sin
2
x
=
1 ab
arctg(
b tgx a
) + C
32)
e
x
sinx dx =
+ C
33)
e
ax
sin(nx) dx =
e
ax
(a sin(nx) — n cos(nx))
+ C
34)
e
x
cosx dx =
+ C
35)
e
ax
cos(nx) dx =
e
ax
(n sin(nx) + a cos(nx))
+ C
36)
x e
ax
dx =
(ax — 1) + C
37)
x
n
e
ax
dx =
—
n a
x
n — 1
e
ax
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №36
38)
x a
mx
dx =
—
+ C
39)
x
n
a
mx
dx =
—
n m ln(a)
x
n — 1
a
mx
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №38
40)
e
ax
cos
n
dx =
e
ax
cos
n — 1
x(a cosx + n sinx)
+
e
ax
cos
n — 2
dx
Формула применяется несколько раз, пока косинус не исчезнет (если четное n) или его степень не станет равной единице (если нечетное n), затем см. №35
41)
sh x dx = ch x + C
42)
ch x dx = sh x + C
43)
th x dx = ln|ch x| + C
44)
cth x dx = ln|sh x| + C
45)
sch x dx = 2arctg e
x
+ C
46)
csch x dx = ln|th
x 2
| + C
47)
sch
2
x dx = th x + C
48)
csch
2
x dx = -cth x + C
49)
sch x th x dx = sch x + C
50)
csch x cth x dx = -csch x + C
51)
sh
2
x dx = −
x 2
+
1 4
sh3x + C
52)
ch
2
x dx =
x 2
+
1 4
sh3x + C
Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только натуральный логарифм. Если требуется найти интеграл от функции, содержащей логарифм при другом основании, то предварительно переводят его в натуральный по формуле
log
a
x =
ln(x) ln(a)
, а затем пользуются таблицей.
1)
ln(x)dx = x ln(x) — x + C
2)
= ln|ln(x)| + C
3)
x
n
ln(x)dx = x
n + 1
(
ln(x) n + 1
−
) + C
4)
ln
n
(x)dx = x ln
n
(x) — n
ln
n — 1
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл
ln(x)dx
, затем №1
5)
x
m
ln
n
(x)dx =
ln
n
(x) —
n m + 1
x
m
ln
n — 1
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл №3
mateshka.ru
Таблица основных неопределенных интегралов. Правила интегрирования. Интегралы от степенной, показательной, тригонометрических функций
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫Adx=Ax+C (1)
Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен «минус косинусу», а вот интеграл от cosx равен «просто синусу»:
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов:
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов:
∫(f(x)−g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла:
∫Cf(x)dx=C∫f(x)dx (27)
Легко заметить, что свойство (26) — это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной:
∫f(Ax+B)dx=1AF(Ax+B)+C(A≠0) (28)
Здесь F(x) — первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫f(x)g(x)dx=?∫f(x)g(x)dx=? (30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ «борьбы» с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже «школьные» формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫(3×2+2sinx−7ex+12)dx
Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем:
∫3x2dx+∫2sinxdx−∫7exdx+∫12dx
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3∫x2dx+2∫sinxdx−7∫exdx+12∫1dx
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3×33−2cosx−7ex+12x+C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
x3−2cosx−7ex+12x+C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
∫Adx=Ax+C
∫xdx=x22+C
∫x2dx=x33+C
∫1xdx=2x+C
∫1xdx=ln|x|+C
∫1x2dx=−1x+C
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)
∫exdx=ex+C
∫axdx=axlna+C(a>0,a≠1)
∫shxdx=chx+C
∫chxdx=shx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C
∫1cos2xdx=tgx+C
∫1sin2xdx=−ctgx+C
∫11+x2dx=arctgx+C=−arcctgx+C
∫1×2+a2=1aarctgxa+C(a≠0)
∫11−x2dx=arcsinx+C=−arccosx+C
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C=−arccosxa+C(a>0)
∫1×2+a2dx=ln|x+x2+a2|+C
∫1×2−a2dx=ln|x+x2−a2|+C
∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C(a>0)
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln|x+x2+a2|+C(a>0)
∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln|x+x2−a2|+C(a>0)
Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылке
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют также
www.repetitor2000.ru
Полная таблица интегралов
Применяя таблицу производных и правила взятия интегралов, можно составить такую таблицу интегралов:
1).
2). ∫cosx dx=sinx+c
3). ∫sinx dx=-cosx+c
4).
5).
6).
7).
8).
9).
10).
11).
12).
13).
14).
Таблица интегралов незаменима при вычислении интегралов поэтому советуем Вам запомнить её или записать её в тетрадь.
tendey.kz
Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Первообразная
Определение 1. Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство
F’ (x) = f (x) .
Например, из справедливости равенства
(sin 2x)’ = 2 cos 2x
вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .
Замечание. Функция F (x) = sin 2xне является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .
Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.
Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид
F (x) + с ,
где c – некоторое число.
Неопределенный интеграл
Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают
(1)
Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx» .
Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:
(2)
Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде
(3)
подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.
В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.
Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.
Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле
Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.
Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
где k – любое число.
Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.
Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.
Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.
Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы
вытекает, что
(4)
если все входящие в формулу (4) функции f (φ (x)), φ’ (x), F (φ (x)) определены.
Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):
Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.
Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть
φ (x) = kx + b ,
что k и b – произвольные числа, .
В этом случае
φ’ (x) = k ,
и формула (4) принимает вид
(5)
Формула (5) часто используется при решении задач.
Таблица интегралов
Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций
Основная формула
Обобщения
, где k – любое число
где n – любое число, не равное – 1
,
где n, k, b – любые числа, ,
где n – любое число,
, x > 0
,
где k, b – любые числа, , kx + b > 0
где φ (x) > 0
,
где k, b – любые числа,
где a – любое положительное число, не равное 1
,
где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа,
,
где a – любое положительное число, не равное 1
,
где k, b – любые числа,
,
где k, b – любые числа,
,
где k, b – любые числа, ,
,
,
где k, b – любые числа, ,
,
| x | < 1
где k, b – любые числа, , | kx + b | < 1
| φ (x) | < 1
где a, b – любые числа,
,
где k, b – любые числа,
где a, b – любые числа,
Основная формула:
Обобщения:
, где k – любое число
Основная формула:
где n – любое число, не равное – 1 .
Обобщения:
,
где n, k, b – любые числа, ,
_____
где n – любое число,
Основная формула:
, x > 0
Обобщения:
,
где k, b – любые числа, , kx + b > 0
_____
где φ (x) > 0
Основная формула:
Обобщения:
,
где k, b – любые числа,
_____
Основная формула:
,
где a – любое положительное число, не равное 1 .
Обобщения:
,
где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа,
_____
,
где a – любое положительное число, не равное 1
Основная формула:
Обобщения:
,
где k, b – любые числа,
_____
Основная формула:
Обобщения:
,
где k, b – любые числа,
_____
Основная формула:
где
Обобщения:
,
где k, b – любые числа, ,
_____
,
где
Основная формула:
где
Обобщения:
,
где k, b – любые числа, ,
_____
,
Основная формула:
| x | < 1
Обобщения:
где k, b – любые числа, , | kx +b | < 1
_____
где | φ (x) | < 1
_____
где a, b – любые числа,
Основная формула:
Обобщения:
,
где k, b – любые числа,
_____
_____
где a, b – любые числа,
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Воспользовавшись свойствами степеней, а затем правилами интегрирования и формулами из таблицы неопределенных интегралов формулами из таблицы неопределенных интегралов, получаем
Ответ.
Пример 2. Значение первообразной F (x) функции f (x) = – 4 sin x в точке x = 0 равно 9. Найти .
Решение. Поскольку Поскольку
то
Подставляя в формулу (6) значение x = 0 , находим значение постоянной интегрирования c:
F (0) = 4 cos 0 + c = 9,
4 + c = 9, c = 5.
Следовательно,
F (x) = 4 cos x + 5
Поэтому
Ответ. 7
Пример 3. Найти первообразную F (x) функции
если F (2π) = 2e + 3.
Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов
для функции φ (x) = cos x , получаем
Следовательно,
(7)
Подставляя в формулу (7) значение x = 2π, находим значение постоянной интегрирования c:
Итак,
c = 3e +3 .
Ответ.
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Воспользовавшись формулой из таблицы неопределенных интегралов формулой из таблицы неопределенных интегралов
для функции φ (x) = ex, получаем
Ответ.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
Запись по телефону (495) 509-28-10
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Таблица интегралов — Помощь в обучении
Добавлено в закладки: 0
К Вашему вниманию предоставлена таблица неопределенных интегралов. Интеграл является одним из основных понятий математического анализа. В таблицах ниже мы попытались предоставить все основные формулы нахождения неопределенных интегралов, которые помогут Вам решить задания по теме нахождение неопределенных интегралов.
Таблица основных неопределенных интегралов
\(\int 0dx=C\)
\(\int 1dx=x+C\)
\(\int x^{n} dx= \frac{ x^{n+1} }{n+1}+C, n \neq -1,\)
Среднее взвешенное значение вычисляется, когда мы имеем дело с линейными комбинациями. Тут тоже существуют различные алгоритмы. Чаще всего используют среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное. Эти величины вы можете вычислить, воспользовавшись следующими формулами: 
возрастает на некотором интервале
осиох(с ростомxрастет иy)
и дифференцируема на этом интервале,
то для любогоxиз этого интервала(производная имеет знак (+)). А если она
убывает на этом интервале (yубывает с ростомx)
и дифференцируема на нем, то для любогоxиз этого интервала(производная
имеет знак (–)).
функции
.
В каждой точкеMэтого графика касательная составляет
с осьюохострый угол
().
Но тангенсы острых углов, как известно,
положительны. Значит, согласно
геометрического смысла производной,
производнаяположительна для любыхxиз интервала
возрастания функции.
функции
.
Здесь для любой точкиМграфика функции (а значит, для любогоxиз интервала
)
угол
наклона касательной, проведенной к
графику функции, тупой ().
Но тангенсы таких углов отрицательны.
А значит и производнаяотрицательна.
осиохв любой его точкеxпроизводная функции
положительна, то функция возрастает на
этом интервале. А если отрицательна –
то убывает. Это следствие играет очень
важную роль в исследовании функций. Оно
позволяет по знаку производной функции
определять, растет или убывает функция,
и где именно (для какихx)
растет, и где (для какихx)
убывает.
,
имеющая производную на отрезке
,
возрастает на этом отрезке, то ее
производная на отрезке
не отрицательна, т.е.
.
.
Придадим аргументухприращение
и рассмотрим отношение
.
(*)
,
что и требовалось доказать.
при всех значенияхх,
принадлежащих промежутку
.
Рассмотрим два любых значения x1иx2,x1<x2,
принадлежащих отрезку
.
По теореме Лагранжа
о конечных приращениях имеем:
,
следовательно,
а это означает, чтоf(x)– возрастающая функция.
,
имеющая производную на отрезке
,
убывает на этом отрезке, то ее производная
на отрезке
не положительна, т.е.
.
.
Ее производная
.
Она положительна при
и отрицательна при
.
Значит, при
функция
возрастает, а при
она убывает. График этой функции
(парабола) наглядно подтверждает
сказанное.
принимает экстремальные (пиковые)
значения – максимальные или минимальные.
Точек экстремума у функции
столько, сколько вершин и впадин у ее
графика.
(
положительных и отрицательных ),
достаточно малых по абсолютной величине.
(
положительных и отрицательных ),
достаточно малых по абсолютной величине.
,
имеющей и интервалы возрастания, и
интервалы убывания, и точки экстремума:
.
касательной к осиохравен нулю. Значит, и
,
а значит, и производная.
Во втором случае угол
не существует вообще, а значит, не
существует для данной точки экстремумаxи производная.
В частности, для рис. 3 имеем:
;
– не сущ.;
– не сущ.;
.
;не существует, и тем не менее ни точкаx5,
ни точкаx6не являются точками экстремума функции
.
,
необходимо, чтобы в этой точке производнаяэтой
функции или равнялась нулю, или не
существовала. Это условие не является
достаточным.
на возрастание-убывание
и точки
экстремума.
.
Заодно устанавливаем интервалы
непрерывности и точки разрыва функции.
не существует
и тем самым определяем вершины и впадины
графика функции, отмечая заодно, округлые
они или острые.
:
не существует
такихxнет.
и
на область определения функции (на осьох).
Осьохэтими точками разобьется на три
интервала:
– точка максимума функции, а точка
– точка ее минимума.
– вершина графика функции (округлая,
т.к.
).
– впадина графика функции (округлая,
т.к.
).
непрерывна
на промежутке
и во всех внутренних
точках отрезка
,
то
постоянна
на этом промежутке.
.
Применим теорему Лагранжа к функции 
на
промежутке 
:
.
Но по условию,
следовательно,
и поэтому(на правом концев силу непрерывности).
.
Её производная:
const
на 
.
Чтобы найти эту константу, достаточ-но
вычислить
в любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество
.
и
непрерывны
на промежутке
и имеют равные
производные во всех внутренних точках
промежутка, то эти функции всюду в 
отличаются лишь на постоянную:.
и.
называется
строго возрастающей на 
,
если для любых точекиз
неравенства
следует неравенство.
Другими словами знак приращения функции
совпадает со знаком приращения аргумента:.
Для убывающей функции, естественно,.
дифференцируема
на 
.
Тогда:
,то 
строго возрастает на 
;
,то 
строго убывает на 
.
.
Применим теорему Лагранжа к функции 
на
промежутке
(условия теоремы выполнены, ибо
непрерывность
вытекает из её дифференцируемости):По предположению ,
следовательно,знак
определяется
знаком производной. 1) Если,
то ии;
т.к. это верно для любых,
то
возрастает
на 
.
2) Если
,
то ии,
что означает убывание
.
и направлением изменения
геометрически
очевидна, если вспомнить, что производная
– это угловой коэффициент касательной
к графику
.
Однако, даже у строго монотонной функции
касательная может быть и горизонтальной,
т.е.
для
отдельных значений
может обращаться в0.
Примером служит функция 
:
она строго возрастает, но производнаяпри
обращается в ноль.
к
решению неравенства().
:
и
функция возрастает, а на
– убывает.
имеют в
минимумы, в тоже время,и,.
,
еслиили 
не существует.
– крити-ческая точка первого порядка
непрерывной функции
и пусть существует
такое, что в односторонних окрестностях
этой точки:и– функция
дифференцируема и её производная
сохраняет знак. Тогда:
ив
,
то
– точка максимума;
ив
,
то
– точка минимума;
одного знака в
и
,
то в точке
нет экстремума.
и
и рассмотрим функцию
на двух промежутках:
и
.
На каждом из этих промежутков функция
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
следовательно, существуют точки
и
такие, что:
– самое большое среди значений
для.
Это и означает:
– точка максимума.
возрастает как в
,
так и в
.
Если же,
то
убывает в тех же окрестностях. В обоих
случаях такое поведение функции говорит
о том, что в точке
у неё нет
функция имеет максимум,
в то же
время при переходе через эту
точку
производная не меняет знак.
близких
к нулю первый член полученной разности
также близок к нулю, а второй член
принимает значения от –1 до +1. Значит,
знак
определяется членом
.
Но в точках вида
этот член обращается
в ноль и меняет знак. А так как 
при ,
то в любой сколь угодно малой окрестности
нуля 
бесконечное число раз меняет знак.
имеет в критической точке
конечную вторую производную. Тогда:
– точка минимума;
– точка максимума;
означает, что существует конечная
производная
в некоторой окрестности точки
и,
ибо
–
критическая точка. Обозначим.
Тогда условия теоремы означают, что
существует конечный предел
близких к
и
,
то есть .
Это означает, что функция 
возрастает в некоторой окрестности
точки
.
Но.
Следовательно, левее точки
функция
отрицательна, а правее – положительна.
Однако,.
Значит, первая производная данной
функции при переходе через точку
меняет знак с «–» на «+». Это означает,
что точка
– точка минимума. Аналогично рассматривается
и случай.
В необходимости дополнительного
исследования, когда,
убеждают две функции:
и
.
Очевидно, что– точка0
критическая для обеих функций, и
.
Однако, для
ноль – это точка минимума, а
в
нуле не имеет экстремума.
.
может
привести, и в нашем случае приводит, к
несуществованию
в точке, где модуль обращается в ноль.
Действительно,
,
т.е. эта точка – критическая. Другие
критические точки – это нули производной:
на интервале достаточно определить
этот знак в какой-либо точке интервала.
Дальнейшее исследование удобно вести,
нарисовав вспомогательный чертёж:
:
функция имеет локальный минимум, причём
,
а в точке
– локальный максимум:.
:
на
и
функция возрастает, а на
и
–
убывает.
рассмотренная функция имеет нулевую
производную и касательная к графику
функции – горизонтальна. О таком
максимуме говорят «гладкий максимум»
(аналогично «гладкий минимум»). В
противоположность этому, точка
является точкой «негладкого минимума»
– в этой точке производная не существует,
хотя есть односторонние производные.
Соответствующая точка графика
называетсяугловой
точкой графика.
непрерывна
на промежутке
и во всех внутренних
точках отрезка
,
то
постоянна
на этом промежутке.
.
Применим теорему Лагранжа к функции 
на
промежутке 
:
.
Но по условию,
следовательно,
и поэтому(на правом концев силу непрерывности).
.
Её производная:
const
на 
.
Чтобы найти эту константу, достаточ-но
вычислить
в любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество
.
и
непрерывны
на промежутке
и имеют равные
производные во всех внутренних точках
промежутка, то эти функции всюду в 
отличаются лишь на постоянную:.
и.
называется
строго возрастающей на 
,
если для любых точекиз
неравенства
следует неравенство.
Другими словами знак приращения функции
совпадает со знаком приращения аргумента:.
Для убывающей функции, естественно,.
дифференцируема
на 
.
Тогда:
,то 
строго возрастает на 
;
,то 
строго убывает на 
.
.
Применим теорему Лагранжа к функции 
на
промежутке
(условия теоремы выполнены, ибо
непрерывность
вытекает из её дифференцируемости):По предположению ,
следовательно,знак
определяется
знаком производной. 1) Если,
то ии;
т.к. это верно для любых,
то
возрастает
на 
.
2) Если
,
то ии,
что означает убывание
.
и направлением изменения
геометрически
очевидна, если вспомнить, что производная
– это угловой коэффициент касательной
к графику
.
Однако, даже у строго монотонной функции
касательная может быть и горизонтальной,
т.е.для
отдельных значений
может обращаться в0.
Примером служит функция 
:
она строго возрастает, но производнаяпри
обращается в ноль.
к
решению неравенства().
:
и
функция возрастает, а на
– убывает.
имеют в
минимумы, в тоже время,и,.
,
еслиили 
не существует.
– крити-ческая точка первого порядка
непрерывной функции
и пусть существует
такое, что в односторонних окрестностях
этой точки:и– функция
дифференцируема и её производная
сохраняет знак. Тогда:
ив
,
то
– точка максимума;
ив
,
то
– точка минимума;
одного знака в
и
,
то в точке
нет экстремума.
и
и рассмотрим функцию
на двух промежутках:
и
.
На каждом из этих промежутков функция
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
следовательно, существуют точки
и
такие, что:
– самое большое среди значенийдля.
Это и означает:
– точка максимума.
возрастает как в
,
так и в
.
Если же,
то
убывает в тех же окрестностях. В обоих
случаях такое поведение функции говорит
о том, что в точке
у неё нет
функция имеет максимум,
в то же
время при переходе через эту
точку
производная не меняет знак.
близких
к нулю первый член полученной разности
также близок к нулю, а второй член
принимает значения от –1 до +1. Значит,
знак
определяется членом
.
Но в точках вида
этот член обращается
в ноль и меняет знак. А так как 
при ,
то в любой сколь угодно малой окрестности
нуля 
бесконечное число раз меняет знак.
имеет в критической точке
конечную вторую производную. Тогда:
– точка минимума;
– точка максимума;
означает, что существует конечная
производная
в некоторой окрестности точки
и,
ибо
–
критическая точка. Обозначим.
Тогда условия теоремы означают, что
существует конечный предел
близких к
и
,
то есть .
Это означает, что функция 
возрастает в некоторой окрестности
точки
.
Но.
Следовательно, левее точки
функция
отрицательна, а правее – положительна.
Однако,.
Значит, первая производная данной
функции при переходе через точку
меняет знак с «–» на «+». Это означает,
что точка
– точка минимума. Аналогично рассматривается
и случай.
В необходимости дополнительного
исследования, когда,
убеждают две функции:
и
.
Очевидно, что– точка0
критическая для обеих функций, и
.
Однако, для
ноль – это точка минимума, а
в
нуле не имеет экстремума.
.
может
привести, и в нашем случае приводит, к
несуществованию
в точке, где модуль обращается в ноль.
Действительно,
,
т.е. эта точка – критическая. Другие
критические точки – это нули производной:
на интервале достаточно определить
этот знак в какой-либо точке интервала.
Дальнейшее исследование удобно вести,
нарисовав вспомогательный чертёж:
:
функция имеет локальный минимум, причём
,
а в точке
– локальный максимум:.
:
на
и
функция возрастает, а на
и
–
убывает.
рассмотренная функция имеет нулевую
производную и касательная к графику
функции – горизонтальна. О таком
максимуме говорят «гладкий максимум»
(аналогично «гладкий минимум»). В
противоположность этому, точка
является точкой «негладкого минимума»
– в этой точке производная не существует,
хотя есть односторонние производные.
Соответствующая точка графика
называетсяугловой
точкой графика.
функция 
возрастает
(убывает), то 
(
)
для любого 
.
дифференцируема на интервале 
и 
(
)
для любого 
,
то функция возрастает (убывает) на
интервале 
.
знак
производной «+» на интервалах
,
следовательно, на этом промежутке
функция возрастает.
знак
производной «–» на интервале (-1; 1),
следовательно, функция здесь убывает.
называется точкой
максимума функции 
,
если значение 
является
наибольшим в некоторой окрестности
этой точки.
называется точкой
минимума функции 
,
если значение 
является
наименьшим в некоторой окрестности
этой точки.
-точка максимума, 
—
точка минимума.
— точка экстремума для функции 
,
то в этой точке производная функции
либо равна нулю
,
либо не существует.
касательная
к её графику параллельна оси Ох.
.
В точке х=0 функция не имеет производной, но х=0 точка минимума.
,
в которых ее производная не существует
или равна нулю, называются критическими
точками функции.
дифференцируема в некоторой δ-окрестности
критической точки 
и при переходе (слева направо) через нее
производная 
меняет знак с (+) на (–), то точка 
является точкой максимума; если с (–)
на (+), то точкой минимума; если знака не
меняет, то экстремума нет.
производная равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля,
то при 
— точка минимума; при 
— точка максимума.
.
Для этого решить уравнение 
;
Окружность: определение и главные средства описания
Окружность: определение и основные средства описания
– начало отсчета, положительное
направление отсчета – против часовой
стрелки, единичный отрезок – часть дуги
окружности, длина которой равна длине
радиуса окружности.
–длина одной
из дуг, соединяющих точки 
и
.
Любая точка
на числовой окружности имеет декартовы
координаты
(рис. 8.1).
;,
;.
,
то
определяется из формул
;
.
определяется из формул
;
.
,
,
к функции аргумента
,
называют, обычно,формулами
приведения.
,
к функциям угла
название функции меняют на «ко-функцию»;
при переходе от функций углов
,
к функциям угла
имя функции не меняется;
,
если
.
.
.
.
,
,
,
если
и
.
,
тои
; 
.
.
,
если
и
.
,
используя формулы двойного аргумента.
.
Так как по условию
,
тои
.
.
,
если
и.
,
тогда
.
Так как
и по условию,
то
принадлежит четвертой четверти, то есть
.
Тогда
,
поэтому
и.
.
,
если
,
а.
.
По условию,
.
.
,
если
,
а
.
,
а,
то,
поэтому.
Тогда имеем
.
,
если.
.
,
следовательно,
и значит,
.
следует, что
,
значит
.
Тогда
.
.
