Преобразования тригонометрических выражений примеры с решением – Методическое пособие по тригонометрическим выражениям

Содержание

Математика: Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Комментарий. Цель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.

Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения.

Формулы двойных и половинных углов.

Формулы преобразования суммы в произведение:

Формулы преобразования произведения в сумму:

Формулы приведения:


sin φ	— sin α	cos α	cos α	sin α	— sin α	— cos α	— cos α	— sin α	sin α
cos φ	cos α	sin α	— sin α	— cos α	— cos α	— sin α	sin α	cos α	cos α
tg φ	— tg α	ctg α	— ctg α	— tg α	tg α	ctg α	— ctg α	— tg α	tg α
ctg φ	— ctg α	tg α	— tg α	— ctg α	ctg α	tg α	— tg α	— ctg α	ctg α

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.

Пример 2.1.

Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.

Решение

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .

Так как по условию задачи cos α = 0,3, то cos²α = 0,09. Значит, sin

2α + 0,09 = 1, sin²α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin²α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2.2.

Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α ∙ ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α ∙ 0,2 = 1, откуда tg α = 5.

Ответ: 5.

Пример 2.3.

Упростите выражения;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

Решение

Данные задания — на применение формул сложения.

Ответ:

Пример 2.4.

Вычислите:

Решение

Ответ:

Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.

Пример 2.5.

Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

1) sin²α ;

2) sin⁴α + cos⁴α ;

3) sin⁶α + cos⁶α .

Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:

sin²α — 2sinα cosα + cos²α = 0,09.

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:

1 — sin²α = 0,09, откуда:

sin²α = 1 — 0,09 = 0,91.

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Для этого сумму sin

⁴

sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α cos²α + cos⁴α ) — 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α )² — 1/2 ∙ sin²2α = 1 — 1/2 ∙ 0,91 = 0,545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.

sin⁶α + cos⁶α = (sin²α )³ + (cos²α )³ = (sin²α + cos

⁴

Ответ:

1) 0,91;

2) 0,545;

3) 0,3175.

Пример 2.6.

Найти tgα, если

Решение

Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):

, следовательно, тогда:

раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:

3tgα + 4 = 5tgα — 10, 2tgα = 14, получаем, что tgα = 7.

Ответ: 7.

Пример 2.7.

Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и

Решение

Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:

, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.

В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:

Ответ:

Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.

Пример 2.8.

Найти значение выражения: .

Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.

С целью сокращения дроби воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:

Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:

Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому:

Тогда .

Окончательно получаем:

Ответ: 1.

Пример 2.9.

Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.

Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° — cos60°) = 1/2 cos 40° — 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:

Ответ:

Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.

Пример 2.10.

Упростить выражение: .

Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление :

Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:

Следовательно,

Ответ:

Пример 2.11.

Доказать тождество при

Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.

Решение

В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:

Вспомнив, что , получаем

Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:

sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;

при следовательно,

Таким образом:

Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:

Тогда ,

что и требовалось доказать.

Пример 2.12.

Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .

Решение

Выпишем формулы для вычисления искомых функций:

Из основного тригонометрического тождества вычислим:

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ:

Пример 2.13.

Доказать тождество .

Решение

Приведем левую часть к 1:

Тождество доказано.

Пример 2.14.

Вычислить значение выражения:

Решение

Обратим вниманием, что

Далее, используя формулы приведения, получим:

Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:

Итак, значение выражения равно 0.

Ответ: 0.

Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:

Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.

Пример 2.15.

Вычислить cos(4arctg 5).

Решение

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

Тогда получаем, что:

Ответ:

Пример 2.16.

Выразить через все обратные функции

Решение

Пусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.

Найдем все тригонометрические функции угла:

В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .

Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .

Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.

Ответ:

Пример 2.17.

Найти arcsin (sin 12).

Решение

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .

Поскольку , угол 12 — 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: arcsin (sin12) = 12 — 4π.

Пример 2.18.

Вычислить

Решение

Введем два угла: Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых,

Во-вторых, .

Следовательно,

Ответ:

www.e-biblio.ru

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2))²+ (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2))²

Решение.

Из формул приведения следует:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x)² + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x)² = sin² (2x + x) + cos² (x + 2x) =
= sin² 3x + cos² 3x = 1

Ответ: 1.

Пример 2.

Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Решение.

Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем

М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) =

= 4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).

Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3.

Показать, что выражение А = cos²(x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos² (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.

Решение.

Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6))² + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

= 4sin² x · sin² π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

= sin² x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =

= -sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

= sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

= sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что

А(х) ≡ (0) = cos² π/6 — cos² π/6 + cos² π/6 = (√3/2)² = 3/4, x € R.

Ответ: А = 3/4 для x € R.

Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

-4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

= -2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

= -2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

= 2cos x · cos 2x — cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.

Пример 5.

Доказать, что sin² α + sin² β + sin² γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, если α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника.

Решение.

Учитывая, что α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника, получаем, что

α + β + γ = π и, значит, γ = π – α – β.

Получим

sin² α + sin² β + sin² γ – 2cos α · cos β · cos γ =

= sin² α + sin² β + sin² (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

= sin²α + sin² β + sin² (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= sin² α + sin² β + (sin² (α + β) + cos² (α + β)) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= 1/2 · (1 – сos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Исходное равенство доказано.

Пример 6.

Доказать, что для того, чтобы один из углов α, β, γ треугольника был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условие данной задачи предполагает доказательство как необходимости, так и достаточности.

Вначале докажем необходимость.

Можно показать, что

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Отсюда, учитывая, что cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, получаем, что если один из углов α, β или γ равен 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 и, значит, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Докажем теперь достаточность указанного условия.

Если sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, и поэтому

либо cos (3α/2) = 0, либо cos (3β/2) = 0, либо cos (3γ/2) = 0.

Следовательно,

либо 3α/2 = π/2 + πk, т.е. α = π/3 + 2πk/3,

либо 3β/2 = π/2 + πk, т.е. β = π/3 + 2πk/3,

либо 3γ/2 = π/2 + πk,

т.е. γ = π/3 + 2πk/3, где k ϵ Z.

Из того, что α, β, γ – это углы треугольника, имеем

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Поэтому для α = π/3 + 2πk/3 или β = π/3 + 2πk/3 или

γ = π/3 + 2πk/3 из всех kϵZ подходит только k = 0.

Откуда следует, что либо α = π/3 = 60°, либо β = π/3 = 60°, либо γ = π/3 = 60°.

Утверждение доказано.

Остались вопросы? Не знаете, как упрощать тригонометрические выражения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

blog.tutoronline.ru

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ города Красногорска

Частное образовательное учреждение

Международный лицей экономики, права и информатики

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ПО ТЕМЕ: « ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ»

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»

Автор: Хачатурова Лариса Хачатуровна

г.Красногорск 2017 год

Содержание

1. История возникновения тригонометрии.

2. Значение тригонометрии

3. План-конспект уроков.

4. Карточки-задания для учащихся

Введение

История возникновения тригонометрии

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Тригонометрия необходима для астрономических расчетов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Она приведена через 3,4,5. Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме. Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами. Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида. Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц.

Тригонометрия прошла следующие стадии развития:

1. Тригонометрия была вызвана к жизни в раннюю пору разумной деятельности людей, необходимостью производить измерения углов.

2. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний до удаленных или недоступных объектов.

3. В интересах практической астрономии и географических исследований были получены аналогичные результаты для треугольников на сферических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая тригонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки.

4. Измерительный характер задач тригонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

5. По мере оформления представлений о тригонометрических функциях они превращались в самостоятельные объекты исследований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими особыми свойствами.

6. В начале XVI в. были установлены взаимные интерпретации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем самым положено начало установлению связей между алгеброй и тригонометрией.

7. В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригонометрия получила широкие обобщения в геометрическом плане.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Задания для самостоятельной работы предназначены для использования на практических занятиях по курсу математики студентами ГОУ СПО Строительного колледжа №30.

Небольшое количество часов, отводимых по плану на проведение этих занятий, заставляет искать более эффективные формы преподавания. Опыт проведения уроков по математике позволил сделать вывод, что занятия проходят более интересно и продуктивно, если они имеют практическую и творческую направленность и самостоятельную работу студентов. Отличие этой методической разработки от других, ему аналогичных, в том, что оно содержит элементы программного обучения и предназначено, прежде всего, для использования на практических занятиях.

В данной методической разработке используются конспекты уроков по заданным темам. Методическая разработка содержит преобразование тригонометрических выражений по основным темам курса математики. В начале каждого пункта даются основные сведения из теории, причем теоретический и практический материал предлагается в виде вариантов. Студент должен путем записи необходимых вариантов в тетрадь решить тригонометрические преобразования в формулировках теоретических и практических утверждений. Это позволяет сравнительно быстро повторить основные определения и термины по пройденной теме. Далее предлагаются примеры вариантов, рассчитанные на выработку необходимых умений и навыков, и, наконец, варианты, решение которых предполагается для внеаудиторной самостоятельной работы студентов. На варианты для внеаудиторной работы имеются ответы, по которым студенты могут произвести самоконтроль.

Как показал мой опыт работы, предлагаемая форма методической разработки позволяет более эффективно проводить занятия, а это способствует повышению качества подготовки студентов. Разработка по теме:” Преобразование тригонометрических выражений” рассчитана, по времени, на 2 спаренных урока.

Общеобразовательные цели:

обеспечить в ходе урока закрепление следующих основных понятий: синус, косинус, тангенс и котангенс, закрепить умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, применяя основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного аргумента, формулы приведения, продолжить формирование общеучебных умений и навыков : планирование ответа; навыки самоконтроля.

Развивающие цели:

развивать познавательный интерес к предмету, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность учащихся.

Воспитательные цели:

воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы,прививать желание иметь глубокие знания,воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи,воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижение цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование:

карточки с заданиями для работы на уроке;

карточки с заданиями для самостоятельной работы;

карточки с домашним заданием.

Оформление: эпиграф:

“Математика несет в себе черты деятельности, умозрительного мышления и стремление к эстетическому совершенству”. Р.Курант

І Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

ІІ Устная работа.

На доске:

1. Сравните с нулем:

а) sin 190°,б) sin 15П/19,в) cos 11П/13,г) cos23П/13· sin17П/16

Ответы: а) < 0 б) < 0 в) > 0 г) < 0

2. Вычислите:

а) 4 sin15°· cos15 °,

б) 6 cos²  -4+6 sin² ;

Ответы: а) 1, б) 2.

3. Найдите наибольшее значение выражения р = -6+3sin ;

Ответ: -3

ІІІ Математический диктант

1. а· -угол третьей (четвертой) четверти. Определите знак выражения cos а· tg a (sin a· с tg a)

2.Чему равна сумма квадратов синуса 65° и косинуса 65° ?

(Написать выражение, тождественно равное единице, деленной на синус квадрат а)

3.Написать выражение, тождественно равное единице, деленной на косинус квадрат

(Чему равна сумма квадратов синуса 43° и косинуса 43° ?)

4.Вычислить синус острого угла, если его косинус равен 12/13.

(Вычислить косинус острого угла, если его синус равен 5/13)

5.Синус острого угла равен 7/10, а косинус острого угла равен -3/10

(Косинус острого угла равен 6/10, синус острого угла равен -4/10).

Найти тангенс острого угла (котангенс острого угла)

6.Тангенс угла равен 10(котангенс угла равен -5). Найти котангенс угла(тангенс угла)

ІV Закрепление изученного материала. Преобразование тригонометрических выражений.

Работа в тетрадях и на доске.

Учащиеся выполняют следующие задания:

Карточка №1

1.Упростите выражение:

а)

б)

в)

г)

д) cos²() + cos²(3/2)

2. Найдите значение выражения:

а)11sin² х -2, если cos ²х=0,6,

б) 5 + 2 tg² х cos² х , если sin  =0,4,

в) sin( х+у) — 2 cos х sin у, если · х= 56°, у= 26 °,

г) 26 sin2 х, если sin х=12/13, 0 < х < П/2,

3. Доказать тождества:

а)

б)

Каждое задание решается на доске. Для этой цели к доске вызываются учащиеся класса.

Приведу решения данных заданий:

Упростить выражение:

1.а) +

б)

в)

2. Найти значение выражения:

а) 14

14 = 14

б) 3

3.Указать наибольшее значение выражения: р

Дробь принимает наибольшее значение, когда знаменатель принимает наименьшее значение, т.к. -3nx ≤ 3 , то 2≤5 – 3sinx≤8 и наименьшее значение знаменателя число2

Наибольшее значение р = 4

Самостоятельная работа.

Учащимся раздаются карточки с текстом самостоятельной работы.

КАРТОЧКА № 2

1 ВАРИАНТ

Упростить выражение:

2. Вычислите:

3. Найдите значение выражения:

а) 6

б) 5

в) если ,

г) =

Карточка № 3

2 Вариант

Упростите выражение:

а) -3

б)1+

в)

^{Найти значение выражения:}

^если

б) если

^{в) , если}

_г)

3. Сколько целых чисел принадлежит множеству значений выражения р=3+2

4. Указать наименьшее целое значение выражения р =

Подведение итогов урока.

С целью закрепления полученных знаний, проводится разбор заданий самостоятельной работы.

Домашнее задание:

Каждый ученик получает карточку с домашним заданием.

Карточка №4

Упростить выражение:

а) 2

б)

в)

г)

2. Найти значение выражения:

а)

б) 4, если

в)

г)

5.Докажите тождества:

а) с tg х · sin х/ cos х=1

б)2 sin² х· cos²х + cos⁴ х+ sin⁴ х =1

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Справочники и учебники

1 Алгебра : Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков [и др.] ; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М. : Просвещение, 1999. – 271 с. : ил. – ISBN 5–00–008748–2.

2 Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / М. И. Башмаков. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1992. – 351 с. : ил. –
ISBN 5–09–003877–5.

3 Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.] ; под ред.

4 Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений Ш.А. Алимов.

5 Цыпкин, А. Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ : Справочник / А. Г. Цыпкин, Г. Г. Цыпкин. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 128 с.

6 Поурочные планирование по алгебре 9 класс Т.М. Ерина.

7Алгебра и начала анализа. С.М. Никольский. Учеб. для общеобразоват. Учреждений.

Учебные пособия, сборники задач

1 Абрамович, М. И. Математика : Геометрия и тригонометрические функции : Учеб. пособие для подготовит. отделений вузов / М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев. – М. : Высш. шк., 1976. – 304 с. : ил.

2 Башмаков, М. И. Задачи по математике. Алгебра и анализ /
М. И. Башмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой ; под ред. Д. К. Фаддеева. –
М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. – 112 с. : ил. – (Библиотечка «Квант» ; вып. 22).

3 Бескин, Н. М. Задачник–практикум по тригонометрии : Пособ. для учителей / Н. М. Бескин. – Изд. 3-е, перераб. – М. : Просвещение, 1966. –
74 с. : ил.

4 Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов : Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики /
М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1994. – 271 с. : ил. – ISBN 5–09–006085–1.

5 Ивлев, Б. М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл. / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. – М. : Просвещение, 1990. – 176 с. : ил. – ISBN 5–09–002871–0.

6.Математика для техникумов. Каченовский

6 Кутепов, А. К. Задачник по алгебре и элементарным функциям : Учеб. пособие для сред. специальных учеб. заведений / А. К. Кутепов, А. Т. Рубанов. – М. : Высш. шк., 1969. – 288 с. : ил.

7 Никольский, С. М. Элементы математического анализа : Учеб. пособие / С. М. Никольский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 224 с. : ил. – ISBN 5–09–013957–2.

8 Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Справочники и учебники

3 Колмогоров, А. Н. Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10–11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын [и др.] ; под ред.
4 Математическая энциклопедия. В 5 т. Т. 1 / Под ред. И. М. Виноградова. – М. : Советская энциклопедия, 1977. – 1152 стлб. : ил.

5 Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. : Учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. – 2-е изд. – М. : Мнемозина, 2001. – 335 с. : ил. – ISBN 5–346–00044–5.

6 Цыпкин, А. Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ : Справочник / А. Г. Цыпкин, Г. Г. Цыпкин. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 128 с.

7Поурочные разработки по алгебре 9 класс

Учебные пособия, сборники задач

6.Математика для техникумов Каченовский

7 Кутепов, А. К. Задачник по алгебре и элементарным функциям : Учеб. пособие для сред. специальных учеб. заведений / А. К. Кутепов, А. Т. Рубанов. – М. : Высш. шк., 1969. – 288 с. : ил.

8 Никольский, С. М. Элементы математического анализа : Учеб. пособие / С. М. Никольский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 224 с. : ил. – ISBN 5–09–013957–2.

9 Новоселов, С. И. Тригонометрия : Учебник для 9–10 кл. сред. шк. /
С. И. Новоселов. – 9-е изд. – М. : Учпедгиз, 1964. – 94 с. : ил.

Яковлева. – 2-е изд. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 480 с. : ил.

10 Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави = Розв’язник усiх конкурсних задач з математики збiрника пiд редакцiєю М. I. Сканавi : Справочное издание. В 6 вып. Вып. 3. Тригонометрические уравнения. Неравенства / К. И. Мазур. – Киев : Украинская энциклопедия, 1994. – 460 с. : ил. – ISBN 5–88500–063–8.

11 Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2 кн. Кн. 1. Алгебра : Учеб. пособие / В. К. Егерев, В. В. Зайцев,
Б. А. Кордемский [и др.] ; под ред. М. И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1995. – 528 с. : ил. – ISBN 5–06–003274–4 (кн. 1).

12 Сканави, М. И. Математика / М. И. Сканави, В. В. Зайцев ; под ред.
В. В. Рыжкова. – 2-е изд. – М. : Высш. шк., 1970. – 232 с. : ил.

13 Смирнов, И. И. Сборник вопросов и задач по тригонометрии : Пособ. для учителей / И. И. Смирнов. – М. : Учпедгиз, 1962. – 192 с. : ил.

14 Солодухин, В. Сборник упражнений по тригонометрии / В. Солодухин // Математика / прил. ИД «Первое сентября». – 2000. – № 41. – С. 13–20 ; № 42. – С. 13–19 ; № 46. – С. 17–24 ; 2001. – № 17. – С. 6–10 ; № 18. – С. 21–24 ; № 19. – С. 29–32 ; № 22. – С. 21–24 ; № 28. – С. 12–16 ; № 30. – С. 17–22 ;
№ 31. – С. 25–30.

15 Худобин, А. И. Сборник задач по тригонометрии : Пособ. для учителей / А. И. Худобин, Н. И. Худобин. – 2-е изд. – М. : Учпедгиз, 1955. – 208 с. : ил.

infourok.ru

8. Тригонометрия

8.1. Преобразование тригонометрических выражений

Определение 8.1. Числовой единичной окружностью называют окружность , у которой точка– начало отсчета, положительное направление отсчета – против часовой стрелки, единичный отрезок – часть дуги окружности, длина которой равна длине радиуса окружности.

Определение 8.2. Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

, .

–длина одной из дуг, соединяющих точки и. Любая точкана числовой окружности имеет декартовы координаты(рис. 8.1).

–ордината точки ;,

–абсцисса точки ;.

Углы в градусах
Углы в радианах

Значение тригонометрических функций некоторых углов

0
0		1	0
1		0		0
0	1	—	0	—
—	1	0	—	0

Основные тригонометрические тождества

Формулы суммы и разности аргументов

Формулы двойного и тройного аргументов

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Если ,, то

Преобразование суммы и разности тригонометрических

функций в произведение

Также бывает удобно использовать следующие преобразования.

(8.1)

где , аопределяется из формул;.

(8.2)

где , аопределяется из формул;.

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы приведения

Формулы, сводящие значения тригонометрической функции аргумента ,, к функции аргумента, называют, обычно,формулами приведения.

Справедливы следующие правила:

1. при переходе от функций углов ,к функциям угланазвание функции меняют на «ко-функцию»; при переходе от функций углов,к функциям углаимя функции не меняется;

2. знак определяется по функции, которую нужно преобразовать.

Функция	Аргумент
Функция

Пример 8.1. Найти значение выражения , если.

Решение. .

Ответ: .

Пример 8.2. Найти значение выражения , если.

Решение. Возведем обе части равенства в квадрат, тогда получим:

Ответ: .

Пример 8.3. Вычислить: .

Решение. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций и формулами приведения для каждого множителя исходного выражения:

;

Следовательно,

Ответ: .

Пример 8.4. Упростить выражение .

Решение. Используя формулы приведения, получим

Тогда

Ответ: 2.

Пример 8.5. Найти значение выражения ,,, еслии.

Решение. Так как , тои

; .

Ответ: .

Пример 8.5. Найти значение выражения , еслии.

Решение. Преобразуем первоначально , используя формулы двойного аргумента.

Вычислим . Так как по условию, тои

, тогда .

Ответ: .

Пример 8.6. Найти значение выражения , еслии.

Решение. Воспользуемся соотношением , тогда

откуда . Так каки по условию, топринадлежит четвертой четверти, то есть. Тогда, поэтомуи.

Ответ: .

Пример 8.7. Найти значение выражения , если, а.

Решение.

Найдем . По условию,

следовательно, . Тогда получаем

и .

Ответ: .

Пример 8.8. Найти значение выражения , если, а.

Решение. Так как по условию , а, то, поэтому. Тогда имеем

Ответ: .

Пример 8.9. Упростить выражение , если.

Решение.

По условию ;, следовательно,и значит,

Тогда

Из следует, что, значит. Тогда

Ответ: .

studfiles.net

Преобразование числовых тригонометрических выражений

Преобразование числовых тригонометрических выражений. В этой статье решил разобрать с вами пару задач. Подобные задания включены в состав экзамена по математике. Мы рассмотрим два способа решения для определённого типа задач. Дело в том, что не все легко могут производить вычисления в радианной мере, кому-то легче решать в градусах.

Хорошо, если вы владеете обоими, если нет, то выбирайте для решения более понятный. Если вы не помните или забыли значения тригонометрических функций, советую вам прочитать статью «Значения тригонометрических функций. Вспомнить быстро!»

Напоминаю, что конкурс «Золотой комментарий» продолжается. Призовой фонд повышен.

Найдите значение выражения:

Меру угла оставим радианной. В этом примере помимо знания значений косинуса, необходимо помнить о его периодичности и уметь выделить этот период (в данном случае косинус отношения девяти пи к четырём).

Напоминаю, что косинус имеет период 2Пn (в градусах это 360n), n принадлежит множеству целых чисел. Формулы:

Решаем:

Ответ: 63

Второй способ.

Переведём радианы в градусы. Как это делается можете прочитать подробную статью «Градусы в радианы, радианы в градусы»:

Решите пример самостоятельно:

Посмотреть решение

В этом примере используется свойство периодичности синуса и косинуса, свойство чётности косинуса и формула приведения для синуса. Напоминаю, что функции синус и косинус периодичны, их период равен 2Пn (в градусах это 360n), n принадлежит множеству целых чисел.

Функция синус — нечётная, функция косинус — чётная:

Итак:

Ответ: 72

Второй способ. Переведём радианы в градусы:

Решите пример самостоятельно:

Посмотреть решение

Основная трудность в обоих способах – это суметь выделить период или как его ещё называют «холостые обороты». Но на мой взгляд, в градусах всё-таки это сделать проще. А на ваш? Учитесь с удовольствием! В данной рубрике будем рассматривать и другие задачи, не пропустите!

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров на вычисление значений тригонометрических выражений. В одной из статей уже были представлены такие примеры, посмотрите. Что необходимо знать, понимать и уметь применять?

Это формулы приведения, формулы периодичности тригонометрических функций, чётность нечётность, знаки тригонометрических функций в четвертях тригонометрической окружности, и конечно же, как всегда, требуется внимательность при вычислениях.

Периодичность тригонометрических функций.

Подробно саму теорию о периодичности здесь разъяснять не стану, будет отдельная статья, напомню вам только сами формулы:

*Наименьший положительный период функции синус составляет 2Пи или 360⁰

*Наименьший положительный период функции косинус составляет 2Пи или 360⁰

*Наименьший положительный период функции тангенс составляет Пи или 180⁰

*Наименьший положительный период функции котангенс составляет Пи или 180⁰

Если вы знакомы с тригонометрической окружностью и тригонометрические функции основательно изучили, то понятие периодичности вам знакомо и смысл ясен.

Чётность и нечётность тригонометрических функций, кратко:

Рассмтотрим примеры.

*Общая рекомендация! Сначала выделяйте период и «избаляйтесь» от него, а уже затем применяйте свойство четности (нечётности) и формулы приведения.

64771. Найдите

Применим свойство периодичности синуса и формулу его приведения:

Вычислим cos α. Это можем сделать используя основное тригонометрическое тождество:

Определим знак косинуса для интервала (3П/2;2П). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы (и наоборот) можно посмотреть здесь. Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, 8∙cos α = 8∙0,8 = 6,4

Второй способ:

Вычисляем cos α, получаем 0,8. Таким образом:

Ответ: 6,4

64897. Найдите

Применим формулу приведения для косинуса:

Вычислим sin α. Из основного тригонометрического тождества следует, что:

Определим знак синуса для интервала (0;π/2). Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:

Таким образом, –15∙sin α = –15∙0,96 = – 14,4

Ответ: – 14,4

65031. Найдите

Применим свойства нечётности тангенса, свойство его периодичности и формулу приведения:

Вычислим котангенс угла:

Таким образом

Ответ: – 0,8

65429. Найдите значение выражения

Используем свойство периодичности косинуса и формулу приведения синуса:

Ответ: – 2

65489. Найдите значение выражения

Используем периодичность синуса, свойство чётности косинуса и формулу приведения косинуса:

Ответ: 8

64695. Найдите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1

26784. Найдите

Посмотреть решение

26785. Найдите

26786. Найдите

Посмотреть решение

26792. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26793. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

26783. Найдите значение выражения

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

На уроке доказываются формулы преобразования произведений трех видов: синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус, решается несколько примеров на использование этих формул.

Доказать:

Доказательство:

1) Формулы синуса разности и суммы:

Складывая, получаем:

отсюда,

2) Формулы косинуса разности и суммы:

Складывая, получаем:

Что можно записать:

3) Вычитая косинус суммы из косинуса разности, получим:

что преобразуется в формулу:

Проверить тождество:

Имеем:

т.е.

Проверим тождество:

Используя формулу

имеем:

учитывая, что

Проверим

Используя формулу

имеем:

учитывая свойство нечетности синуса

Тождества проверены – правая часть приведена к левой части.

Задание: вычислить, преобразовывая произведения в сумму.

Решение:

Ответ:

Решение:

Ответ:

Решить уравнение:

Решение: воспользуемся формулой

Ответ:

При доказательстве были использованы:

На уроке рассматривались формулы, по которым произведения тригонометрических функций можно преобразовать в суммы.

На следующем уроке эти формулы будут применены для решения задач.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№№ 23.1, 23.3(б), 23.4(б) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

interneturok.ru

Математика: Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ

8. Тригонометрия

8.1. Преобразование тригонометрических выражений

Значение тригонометрических функций некоторых углов

Преобразование числовых тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму

Добавить комментарий Отменить ответ