Исследование производной функции – Исследуем функцию с помощью производной

Исследование функций с помощью производных

Лекция 26

Лекция 26. Исследование поведения функций с помощью первой и второй производной, асимптоты. Построение графиков функций.

Теорема 1. Если функциявозрастает на некотором интервалеосиох(с ростомxрастет иy) и дифференцируема на этом интервале, то для любогоxиз этого интервала(производная имеет знак (+)). А если она убывает на этом интервале (yубывает с ростомx) и дифференцируема на нем, то для любогоxиз этого интервала(производная имеет знак (–)).

Доказательство.

Рассмотрим сначала рис.1. На нем изображен график возрастающей и дифференцируемой на интервале

функции. В каждой точкеMэтого графика касательная составляет с осьюохострый угол(). Но тангенсы острых углов, как известно, положительны. Значит, согласно геометрического смысла производной, производнаяположительна для любыхxиз интервалавозрастания функции.

А теперь рассмотрим рис. 2, на котором изображен график убывающей на интервале функции. Здесь для любой точкиМграфика функции (а значит, для любогоxиз интервала

) уголнаклона касательной, проведенной к графику функции, тупой (). Но тангенсы таких углов отрицательны. А значит и производнаяотрицательна.

Следствие теоремы 1. Если на некотором интервалеосиохв любой его точкеxпроизводная функцииположительна, то функция возрастает на этом интервале. А если отрицательна – то убывает. Это следствие играет очень важную роль в исследовании функций. Оно позволяет по знаку производной функции определять, растет или убывает функция, и где именно (для какихx) растет, и где (для какихx) убывает.

Докажем более строгий вариант теоремы 1.

Теорема 2. 1). Если функция

, имеющая производную на отрезке, возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезкене отрицательна, т.е..

2) Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема в промежутке, причемдля, то эта функция возрастает на отрезке.

Доказательство.1) Пустьy=f(x)возрастает на отрезке. Придадим аргументухприращениеи рассмотрим отношение

. (*)

Так как f(x)– функция возрастающая, то

В обоих случаях по свойствам пределов функций. Т.е.

, что и требовалось доказать.

2) Пусть при всех значенияхх, принадлежащих промежутку. Рассмотрим два любых значения x₁иx₂,x₁<x₂, принадлежащих отрезку. По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:

По условию , следовательно, а это означает, чтоf(x)– возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающей дифференцируемой функции.

Теорема 3.1). Если функция, имеющая производную на отрезке, убывает на этом отрезке, то ее производная на отрезкене положительна, т.е..

2) Если функция непрерывна на отрезкеи дифференцируема в промежутке, причемдля, то эта функция убывает на отрезке.

Пример 1. Рассмотрим функцию. Ее производная. Она положительна прии отрицательна при. Значит, прифункция

возрастает, а приона убывает. График этой функции (парабола) наглядно подтверждает сказанное.

Применение производной функции к нахождению точек экстремума функции

Напомним, что термин «точки экстремума» – это общее название точек максимума и минимума функции. А под ними, в свою очередь, понимаются абсциссы вершин и впадин графика функции (проекции вершин и впадин на ось ох). Или, если не прибегать к геометрической трактовке, точки экстремума функции – это те значения ее аргументаx, при которых функцияпринимает экстремальные (пиковые) значения – максимальные или минимальные. Точек экстремума у функциистолько, сколько вершин и впадин у ее графика.

Определение 1: функцияf(x) в точкех₁

имеетмаксимум, если значение функцииf(x)в точкех₁больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точкух₁.Другими словами, функцияf(x) в точкех=х₁ имеетмаксимум, еслипри любых( положительных и отрицательных ), достаточно малых по абсолютной величине.

Определение 2: функцияf(x) в точкех₂имеетминимум, если значение функцииf(x)в точкех₁меньше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точкух₂.Другими словами, функцияf(x) в точкех=х₂ имеетминимум, еслипри любых

( положительных и отрицательных ), достаточно малых по абсолютной величине.

Рассмотрим рис.3. На нем изображен график непрерывной функции , имеющей и интервалы возрастания, и интервалы убывания, и точки экстремума:

Интервалы возрастания функции помечены знаком (+), а интервалы убывания – знаком (–). Согласно доказанной выше теореме 1, это заодно и знаки производной функции .

Точками экстремума данной функции являются точки (x₁,x₂,x₃,x₄). Причем точкиx₁иx₃– точки максимума, аx₂иx₄– точки минимума. Точкиx₅иx₆точками экстремума функции не являются, так как соответствующие им точки графика

М₅иМ₆– не вершины и не впадины этого графика.

Точки экстремума разделяют интервалы возрастания и убывания функции. В точках максимума совершается переход от возрастания функции (слева от точки максимума) к ее убыванию (справа от точки максимума). То есть в точках максимума знак производной функции меняется с (+) слева на (–) справа. А в точках минимума, наоборот, совершается переход от убывания функции к ее возрастанию. То есть в точках минимума знак производной функции меняется с (–) слева на (+) справа.

Сами же точки экстремума не принадлежат ни к интервалам возрастания, ни к интервалам убывания функции. Потому в точках экстремума производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Значит, в этих точках она или равна нулю, или ее не существует вообще.

Этот вывод понятен и с геометрической точки зрения. Действительно, производная функции, согласно ее геометрического смысла, связана с касательной к графику функции. А именно, представляет собой тангенс угла наклона этой касательной к оси

ох. Но точкам экстремума функции соответствуют на ее графике вершины и впадины, в которых касательная к графику или параллельна осиох(если вершина или впадина графика округлая), или эта касательная отсутствует вообще (если вершина или впадина острая). В первом случае угол наклонакасательной к осиохравен нулю. Значит, и, а значит, и производная. Во втором случае уголне существует вообще, а значит, не существует для данной точки экстремумаxи производная. В частности, для рис. 3 имеем:

;– не сущ.;– не сущ.;.

Однако заметим, что не любая точка x, в которой производная равна нулю или не существует, непременно будет точкой экстремума. В частности, на рис. 3;не существует, и тем не менее ни точкаx₅, ни точкаx₆не являются точками экстремума функции.

Все сказанное выше о точках экстремума функции можно оформить в виде теоремы.

Теорема 4. Необходимое условие экстремума.

Для того, чтобы некоторая точка x являлась точкой экстремума функции , необходимо, чтобы в этой точке производнаяэтой функции или равнялась нулю, или не существовала. Это условие не является достаточным.

Таким образом, лишь те точки (значения x), в которых производнаяфункции равна нулю или не существует, могут быть точками экстремума этой функции. Но еще не факт, что все такие точки будут точками экстремума. Иначе говоря, точки (значенияx), в которыхилине существует, являютсялишь подозрительными на экстремум или критическими точками. Чтобы выяснить суть каждой подозрительной точки, нужно посмотреть знак производной слева и справа от неё. Здесь возможны три варианта:

1. Если слева от подозрительной на экстремум точки знак производной (+), а справа (–), то эта подозрительная точка – точка максимума.

2. Если справа от подозрительной на экстремум точки знак производной (–), а справа (+), то эта подозрительная точка – точка минимума.

3. Если слева и справа от подозрительной на экстремум точки знак производной один и тот же, то эта подозрительная точка – не точка экстремума.

Сказанное наглядно иллюстрирует рис. 3. Таким образом, становится понятной и очевидной следующая

Схема исследования функции на возрастание-убывание и точки экстремума.

1. Находим область определения функции. То есть находим все те значения x, для которых существует (можно найти) значение функции. Заодно устанавливаем интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Находим производную .

3. Находим точки (значения x), подозрительные на экстремум ( критические точки ). То есть находим те точки (значенияx), в которых производная функции или равна нулю, или не существует:

а)

б) не существует

4. Наносим все найденные в пунктах (а) и (б) подозрительные на экстремум точки на область определения функции (на ось ох) и фиксируем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется область определения этими точками. Так как внутри каждого такого интервала производная функции существует и не обращается в нуль, то в каждом интервале производная сохраняет свой знак, который может измениться лишь при переходе к другому интервалу. С помощью вычисления производной в пробных внутренних точках определяем знак производной в каждом интервале. По найденным знакам производной устанавливаем интервалы возрастания и убывания функции, а по смене знака производной определяем точки экстремума функции (точки максимума и минимума).

5. В найденных точках максимума и минимума вычисляем значения функции и тем самым определяем вершины и впадины графика функции, отмечая заодно, округлые они или острые.

Пример 2. Исследовать функциюна возрастание-убывание и точки экстремума.

Решение. Действуем по изложенной выше схеме.

1. Функция определена (а следовательно, и непрерывна) для любыхx, то есть на всей числовой осиох(). Значит, её график – сплошная (без разрывов) линия.

2. Найдем производную :

.

3. Найдем точки (значения x), подозрительные на экстремум:

а) .

б) не существует  такихxнет.

4. Нанесем найденные подозрительные на экстремум точки ина область определения функции (на осьох). Осьохэтими точками разобьется на три интервала:

Определяем знаки производной в этих интервалах (они отмечены на рис. выше). Тем самым устанавливаем интервалы возрастания функции(они помечены стрелкой вверх) и интервал ее убывания (стрелка вниз), а также устанавливаем, что точка– точка максимума функции, а точка– точка ее минимума.

5. Находим (вычисляем) значения функции в точках ее максимума и минимума, устанавливая тем самым вершины и впадины графика функции:

; точка– вершина графика функции (округлая, т.к.).

; точка– впадина графика функции (округлая, т.к.).

6. Вдополнение к проведенному исследованию найдем еще точки пересечения графика функции с осями координат:

а) С осью ох:

б) С осью оу:

А теперь построим этот график (рис. 4):

studfiles.net

Тема исследование функций с помощью производных

Лекция 12

§1. Условие постоянства функции

Теорема. Если функция непрерывна на промежуткеи во всех внутренних точках отрезка , топостоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке :. Но по условию, следовательно, и поэтому(на правом концев силу непрерывности).

Пример. Рассмотрим функцию на промежутке . Её производная:

Следовательно, const на . Чтобы найти эту константу, достаточ-но вычислитьв любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество .

В интегральном исчислении важное приложение найдет следствие, вытекающее из доказанной теоремы.

Следствие. Если функцииинепрерывны на промежуткеи имеют равные производные во всех внутренних точках промежутка, то эти функции всюду в отличаются лишь на постоянную:.

Для доказательства достаточно применить теорему к вспомогательной функции . Тогдаи.

§2. Условие монотонности функции

Известно, что функция называется строго возрастающей на , если для любых точекиз неравенстваследует неравенство. Другими словами знак приращения функции совпадает со знаком приращения аргумента:. Для убывающей функции, естественно,.

Теорема. (Достаточное условие монотонности). Пусть функция дифференцируема на . Тогда:

1) если на ,то строго возрастает на ;

2) если на ,то строго убывает на .

Доказательство. Возьмём две произвольные точки , причём пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке(условия теоремы выполнены, ибо непрерывностьвытекает из её дифференцируемости):По предположению , следовательно,знак определяется знаком производной. 1) Если, то ии; т.к. это верно для любых, товозрастает на . 2) Если , то ии, что означает убывание.

Замечание. Связь между знаком и направлением изменениягеометрически очевидна, если вспомнить, что производная – это угловой коэффициент касательной к графику. Однако, даже у строго монотонной функциикасательная может быть и горизонтальной, т.е.для отдельных значенийможет обращаться в0. Примером служит функция : она строго возрастает, но производнаяприобращается в ноль.

Итак, теорема сводит вопрос о возрастании (убывании) функции к решению неравенства().

Пример. Исследовать на монотонность функцию . Находим производную и разлагаем её на множители:. Метод интервалов позволяет определить знак:

—

На интервалах ифункция возрастает, а на– убывает.

§3. Исследование функции на экстремум

Напомним уже известные факты. Во-первых, точка экстремума – это всегда внутренняя точка области определения функции; она характеризуется тем, что знак приращения функции не зависит от знака приращения аргумента, если последнее достаточно мало. Во-вторых, необходимое условие экстремума даётся теоремой Ферма: если в точке экстремума функция дифференцируема (т.е. обладает конечной производной), то производная в этой точке равна 0.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, принято называть стационарными точками.

Однако, если рассматривать функции, не имеющие в отдельных точках конечной двусторонней производной, то не исключена возможность, что экстремум придётся на какую на какую-либо из таких точек. Например, функции иимеют вминимумы, в тоже время,и,.

Определение. Точку называют критической точкой первого порядка функции, еслиили не существует.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума следует искать среди критических точек (их ещё называют точками возможного экстремума). Требуется дополнительное исследование таких точек, чтобы отобрать среди них точки экстремума. Это исследование выполняется с помощью достаточных условий экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка непрерывной функциии пусть существуеттакое, что в односторонних окрестностях этой точки:и– функциядифференцируема и её производная сохраняет знак. Тогда:

1) если вив, то– точка максимума;

2) если вив, то– точка минимума;

3) если одного знака ви, то в точкенет экстремума.

Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки ии рассмотрим функциюна двух промежутках:и. На каждом из этих промежутков функцияудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, следовательно, существуют точкиитакие, что:

,

.

Из этих неравенств вытекает, что и. Таким образом значение – самое большое среди значенийдля. Это и означает:– точка максимума.

2) Доказывается аналогично.

3) Если , товозрастает как в, так и в. Если же, тоубывает в тех же окрестностях. В обоих случаях такое поведение функции говорит о том, что в точкеу неё нет

экстремума.

Замечание 1. Требование непрерывности функции нельзя ослабить, о чем свидетельствует рисунок: в точке функция имеет максимум, в то же время при переходе через эту точку производная не меняет знак.

Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно применить, ибо для некоторых функций требование сохранения знака производной не выполняется. Например, для функции

имеем:

, значит, точка 0 – критическая точка. Далее, для

Выражение в скобках ограничено, поэтому при близких к нулю первый член полученной разности также близок к нулю, а второй член принимает значения от –1 до +1. Значит, знакопределяется членом. Но в точках видаэтот член обращается в ноль и меняет знак. А так как при , то в любой сколь угодно малой окрестности нуля бесконечное число раз меняет знак.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в критической точкеконечную вторую производную. Тогда:

1) если , то– точка минимума;

2) если , то– точка максимума;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная производнаяв некоторой окрестности точкии, ибо– критическая точка. Обозначим. Тогда условия теоремы означают, что существует конечный предел

.

Пусть, например, . Тогда дляблизких ки, то есть . Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности точки. Но. Следовательно, левее точкифункцияотрицательна, а правее – положительна. Однако,. Значит, первая производная данной функции при переходе через точкуменяет знак с «–» на «+». Это означает, что точка– точка минимума. Аналогично рассматривается и случай. В необходимости дополнительного исследования, когда, убеждают две функции:и. Очевидно, что– точка0 критическая для обеих функций, и . Однако, дляноль – это точка минимума, ав нуле не имеет экстремума.

Замечание 3. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будет сформулировано и доказано третье достаточное условие экстремума, с помощью которого и производится это дополнительное исследование.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Раскроем знак модуля и вычислим производную:

Наличие модуля в выражении для может привести, и в нашем случае приводит, к несуществованиюв точке, где модуль обращается в ноль. Действительно,

Отличие левой производной от правой и означает отсутствие производной в точке , т.е. эта точка – критическая. Другие критические точки – это нули производной:

Итак, имеем две критические точки Они разбивают область определения функциина интервалы знакопостоянства производной, т.е. на интервалы монотонности функции. Для определения знакана интервале достаточно определить этот знак в какой-либо точке интервала. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертёж:

Еще раз напомним, что критические точки наносятся на область определения. Мы получаем 4 интервала. Определяем знаки :

Анализ чертежа показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём, а в точке– локальный максимум:.

На чертеже видны и интервалы монотонности : наифункция возрастает, а наи– убывает.

Замечание 4. В точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую производную и касательная к графику функции – горизонтальна. О таком максимуме говорят «гладкий максимум» (аналогично «гладкий минимум»). В противоположность этому, точкаявляется точкой «негладкого минимума» – в этой точке производная не существует, хотя есть односторонние производные. Соответствующая точка графиканазываетсяугловой точкой графика.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. – существует везде.

–точка максимума;

–точка минимума;

–точка минимума.

Лекция 13

studfiles.net

2. Исследование функций с помощью производных

В этом случае говорят, что функция имеет в точке х1 максимум. В точкех3 функция тоже имеет максимум, а сами точких = х1 их = х3 называют точкамимаксимума. И хотя значение функции в точке максимумах1 меньше, чем, например, в точкех5, важно отметить, что «по – соседству» сх1 имеемf (x) <f (x1). Говорят, что функцияу =f (х) имеет максимум (max) в точкех = с, если существует такая окрестность точких = с, что для всех точекх ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенствоf (x) <f (с).

Функция у =f (х) имеет минимум (min) в точкех = с, если существует такая окрестность точких = с, что для всех точекх ≠ с, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенствоf (x) >f (с).

Таким свойством, очевидно, обладают точки х = х2 их = х4, эти точки называют точкамиминимума. Точки максимума и минимума объединяют под общим названием точкиэкстремума.

Точки экстремума лежат внутри области определения функции, их ещё называют локальный максимум илокальный минимум (от латинского слова lokal – местный). Точки жех = b их = х2 на рис. 8 являютсяглобальным максимумом иглобальным минимумом, или, говорят, наибольшим и наименьшим значениемf (x) на замкнутом интервале [a,b]. В нашем случае глобальный максимум совпадает с концом интервалах = b, а глобальный минимум совпадает с локальным в точкех = х2. Функция, непрерывная на замкнутом интервале, достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Что можно сказать о производной в точках экстремума? (Мы рассматриваем случай, когда производная существует во всех точках [a,b].)

Вспомним, что производная f′ (x0) связана с касательной, проведённой в точкех0. В точках экстремумах1,х2,х3,х4 (т.е. на «вершинах» и на «дне оврагов») касательные горизонтальны, т.е.f′ (x1) =f′ (x2) =f′ (x3) =f′ (x4) = 0.

Сформулируем необходимый признак существования экстремума.

Теорема 7 (необходимый признак существования экстремума). Еслиf (x) имеет в точкех = с экстремум и дифференцируема в этой точке, тоf′ (с) = 0.

Не следует думать, что верно и обратное утверждение. Из того, что f ′ (с) = 0 ещё не следует, что точках = с является точкой минимума или максимума.

На рис. 9 изображен график функции у = х3. В точкех = 0 касательная горизонтальна и производнаяy′(0)= 3×2 x=0 = 0 равна нулю, но в этой точке у функции нет ни минимума, ни

максимума. Из сказанного следует, что обращение в нуль производной в точке, еще не достаточно, чтобы утверждать, что в этой точке экстремум. Однако, искать точки экстремума следует среди тех, в которых производная равна нулю.

Такие точки называют стационарными.

Чем же отличается, например, точка х3 на рис. 8 от точких = 0 на рис. 9?

Рис. 9.

И в той, и в другой точке касательные параллельны оси Ох, т.е.f′ = 0, обе точки стационарные.

studfiles.net

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Интервалы возрастания и убывания функции

      Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

      Если на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго возрастает и в каждой точке   x₀   интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

Рис.1

Рис.2

угол   α   наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

f ‘ (x₀) = tg α > 0

      Если же на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго убывает и в каждой точке   x₀   интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

Рис.3

Рис.4

угол   α   наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

f ‘ (x₀) = tg α < 0

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

      Утверждение 1.

     а). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ‘ (x) > 0 ,

то функция   f (x)   строго возрастает на интервале   (a, b) .

     б). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

то функция   f (x)   возрастает (не убывает) на интервале   (a, b) .

     в). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ‘ (x) < 0 ,

то функция   f (x)   строго убывает на интервале   (a, b) .

     г). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ‘ (x)   существует и удовлетворяет неравенству

то функция   f (x)   убывает (не возрастает) на интервале   (a, b) .

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

      Определение 1. Точку   x₀   называют точкой максимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a ₀b ,    для точек   x   которого выполнено неравенство

.

      Таким образом, если   x₀   – точка максимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x₀)   больше всех остальных значений функции.

      Определение 2. Точку   x₀   называют точкой минимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x₀ < b ,   для точек   x   которого выполнено неравенство

.

      Другими словами, если   x₀   – точка минимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x₀)   меньше всех остальных значений функции.

      Определение 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции.

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

      Определение 4.Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

      Определение 5.Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

      Таким образом, если точка   x₀   является критической точкой функции, то точка   x₀   либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке   x₀   не существует.

      Теорема Ферма. Если точка   x₀   является точкой экстремума функции   f (x) ,   то точка   x₀   является критической точкой функции   f (x) .

      Доказательство. Если в точке   x₀   у функции   y = f (x)   не существует производная, то точка   x₀   является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке   x₀   у функции   y = f (x)   существует производная, то точка   x₀   является стационарной, то есть   f ‘ (x₀) = 0 .

      Предположим сначала, что точка   x₀   является точкой максимума функции   y = f (x)  (рис. 5).

Рис.5

      Поскольку   x₀   – точка максимума, то для любой точки   x₁  такой, что   x₁x₀ ,   выполнено неравенство   f (x₁) < f (x₀) ,   поэтому

.

      Точно так же, для любой точки   x₂   такой, что   x₂ > x₀ ,   выполнено неравенство   f (x₂) < f (x₀) ,   поэтому

.

      Таким образом, в случае, когда точка   x₀   является точкой максимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ‘ (x₀) = 0 .   Касательная к графику функции   y = f (x)   в точке   A= (x₀;  f (x₀))   параллельна оси   Ox.

      Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка   x₀   является точкой минимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ‘ (x₀) = 0 .

      Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия для существования экстремума функции

      В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

      Утверждение 3. Рассмотрим функцию   f (x) ,   непрерывную в интервале   (a, b),   содержащем точку   x₀ ,   производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки   x₀ .

     а). Если для точек выполнено условие:

f ‘ (x) > 0   при   x ₀   и   f ‘ (x) < 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой максимума функции   f (x)   (рис. 6).

Рис.6

     б). Если для точек выполнено условие:

f ‘ (x) < 0   при   x < x₀   и   f ‘ (x) > 0   при   x > x₀ ,

то точка   x₀   является точкой минимума функции   f (x)   (рис. 7).

Рис.7

      Замечание 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку   x₀   производная функции меняет знак с   «+»   на   «–» ,   то точка   x₀   является точкой максимума функции. Если при переходе через точку   x₀   производная функции меняет знак с   «–»   на   «+» ,   то точка   x₀   является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

      Пример. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

      Решение. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

y₁ = x² (x + 3)

и заметим, что

      а)   y₁ = 0   при   x = 0   и   x = – 3 ,

      б)   y₁ > 0   при   x > – 3 ;   y₁ < 0   при   x < – 3 .

      Теперь вычислим производную функции (2):

(3)

и разложим на множители правую часть формулы (3):

(4)

      На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

Рис.8

      Поскольку решением неравенства

3x (x + 2) > 0

является множество

,

(5)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y₁   возрастает на каждом из интервалов и .

      С другой стороны, поскольку решением неравенства

3x (x + 2)

является интервал

то в соответствии с утверждением 1 функция   y₁   убывает на интервале   (– 2, 0) .

      Так как решениями уравнения

3x (x + 2) = 0

являются точки

то эти точки являются стационарными точками функции   y₁ .

      Поскольку при переходе через точку   x = – 2   производная функции   y₁  меняет знак с   «+»   на   «–»   (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка   x = – 2   является точкой максимума функции   y₁ ,   при этом

y₁ (– 2) = 4 .

      При переходе через точку  x = 0  производная функции   y₁   меняет знак с   «–»   на   «+»   (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка   x = 0   является точкой минимума функции   y₁,   при этом

y₁ (0) = 0 .

      Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

Рис.9

      Теперь мы можем построить график функции   y₁   (рис. 10).

Рис.10

      Перейдем к построению графика функции   y = | x³ + 3x² | .

      В силу определения модуля, справедливо равенство

      Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции   y₁ = x³ + 3x²   (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции   y = | x³ + 3x² |   (рис.11) .

Рис.11

      В точке   x = – 3   производная функции   y = | x³ + 3x² |   не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции   y = | x³ + 3x² |   существует.

      Точки   x = – 3   и   x = 0  являются точками минимума, причем   y ( – 3) = y (0) = 0 .

      Точка   x = – 2   является точкой максимума, причем   y ( – 2) = 4 .

      Функция   y = | x³ + 3x² |   возрастает на каждом из интервалов   (– 3, – 2)   и .

      Функция   y = | x³ + 3x² |   убывает на каждом из интервалов и   (– 2, 0).

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба

Из рисунка ясно,	что функция имеет максимум в точке x1 = −1 и минимум в точке
x2 = 3 . В точке разрыва характер монотонности не меняется.
Определение 1
Функция f (x)	называется выпуклой вниз (выпуклой) на промежутке(a, b), если ее
график лежит выше касательной, проведенной в любой точке x0 (a, b) (рис.14 a).
Определение 2
Функция f (x)	называется выпуклой вверх (вогнутой) на промежутке(a, b), если ее
график лежит ниже касательной, проведенной в любой точке x0 (a, b) (рис.14 b).
	y	y

a	x0	b	x	a	x0	b	x
		Рис. 14 a.			Рис. 14 b.
Теорема 1	f (x)					промежутке (a, b) и вторая
Если функция		дважды	дифференцируема		на
производная f »(x)>0 для всех значений				x (a, b), то	f (x)	выпукла вниз на промежутке
(a, b).

Доказательство

1) Возьмем произвольную точку x0 (a, b). Уравнение касательной к графику функции

в этой точке имеет вид:

y = f(x0 )+ f′(x0 ) (x− x0 ).

Покажем, что в любой точке x (a, b) график функции расположен выше этой касательной.

Рассмотрим любую точку x (a, b), удовлетворяющую условиюx > x0 , и вычислим разность ординат функции(f (x)) и касательной(y) в этой точке:

f (x)− y= f(x)−(f(x0 )+ f′(x0 ) (x− x0 ))= (f (x)− f (x0 ))− f ′(x0 ) (x − x0 ).

Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке(x0 , x), то найдется точкаc1 (x0 , x), для которой справедливо равенство

f (x)− f(x0 )= f′(c1 ) (x− x0 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно представить в виде

f (x)− y= f′(c1 ) (x− x0 )− f′(x0 ) (x− x0 )= (f ′(c1 )− f ′(x0 )) (x − x0 ).

Производная f ′(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке(x0 , с1). Значит, найдется точкаc2 (x0 , с1), для которой справедливо равенство

f ′(c1 )− f′(x0 )= f′′(c1 ) (с1 − x0 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в видеf (x)− y = f ′′(c2 ) (c1 − x0 ) (x − x0 ).

25

Так как f ′′(x)> 0 при всехx (a,b), аx0 < c2 < c1 < x (рис.15), тоf ′′(с2 )>0 ,						c1− x0> 0 и
x − x0 > 0 . Следовательно,f (x)− y > 0			и график функции в точке x > x0			расположен
выше касательной.
	x0	c	c	x
		2	1

Рис. 15

2) Рассмотрим любую точку x (a, b), удовлетворяющую условиюx < x0 , и вычислим

разность ординат функции (f (x)) и касательной(y) в этой точке:

f (x)− y= f(x)− (f(x0 )+ f′(x0 ) (x− x0 ))= (f(x)− f(x0 ))− f′(x0 ) (x− x0 )= = −(f(x0 )− f(x))+ f′(x0 ) (x0 − x).

Поскольку функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке

(x, x0 ), то найдется точкаc1 (x, x0 ), для которой справедливо равенствоf (x0 )− f (x)= f ′(c1 ) (x0 − x).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в видеf (x)− y = − f ′(c1 ) (x0 − x)+ f ′(x0 ) (x0 − x)= (f ′(x0 )− f ′(c1 )) (x0 − x).

Производная f ′(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке(с1, x0 ). Значит, найдется точкаc2 (с1, x0 ), для которой справедливо равенство

f ′(x0 )− f′(c1 )= f′′(c2 ) (x0 −c1 ).

Учитывая это, разность ординат функции и касательной в точке x можно записать в виде

	f (x)− y= f′′(c2 ) (x0 −c1 ) (x0 − x).
Так как f ′′(x)> 0 при всехx (a,b), аx < c1 < c2 < x0 (рис. 16), то						f ′′(с2 )>0 , x0 −c1 >0 и
x0 − x > 0 . Следовательно,f (x)− y > 0 .			Тогда график функции в точке x < x0				также
расположен выше касательной.
	x	c1	c2	x0
			Рис. 16
Теорема 2
Если функция f (x) дважды		дифференцируема		на промежутке (a,b) и			вторая
′′						(a,b) выпукла вверх.
производная f (x)< 0 для всехx (a,b), тоf (x) на промежутке

Доказательство

аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 3

Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба.

Теорема 3

Если f ′′(x0 )= 0 иf ′′(x) меняет знак при переходе через точкуx0 , то функцияf (x) имеет в точкеx0 перегиб.

ЗАМЕЧАНИЕ

Вторая производная может менять знак и в точке разрыва. Поэтому точками перегиба являются точки, в которых вторая производная обращается в ноль или бесконечна (а функция определена) и меняет знак.

26

Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:

•вычислить вторую производную заданной функции;

•найти все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;

•нанести эти точки, а также точки разрыва функции на числовую ось;

•определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов;

•по знаку второй производной определить характер выпуклости функции;

•точками перегиба будут те точки, в которых меняется характер выпуклости функции, исключая точки разрыва.

Пример 1

Определите точки перегиба графика функции f (x)= ln(x2 +1).

Решение

Первая производная заданной функции равна

f

′

1

Исследуя первую

(x)= x2 +1 2x.

x = 0

.

производную легко убедиться, что функция имеет минимум в точке

= 0

y

Теперь вычислим вторую производную

2 (1− x) (1+ x)

y′′

= 2

x2

+1−x 2x

= 2

1−x2

=

(x2 +1)2

(x2 +1)2

(x2 +1)2

и исследуем ее. Вторая производная меняет знак в точках

x = ±1. По знаку второй

производной y′′ можно выяснить характер выпуклости функции (рис. 17).

−

+

y′

y

0

min

−

+

−

y′′

ln 2

−1

1

перегиб

перегиб

Рис. 17

−1

0

1

x

Из рисунка видно, что функция имеет две точки перегиба

x = ±1

. На рисунке 17

y = ln 2

показан график заданной функции.

Пример 2

Исследуйте характер выпуклости графика функции

y = 3 x5

и

найдите

точки

перегиба.

Решение

3

5

′

5

′

5

2

5 3

2

3

3

Поскольку первая

производная функции

y =

x

= x

=

x

=

x

всюду

3

3

положительна, то функция возрастает при всех значениях x .

27

studfiles.net

Тема исследование функций с помощью производных

Лекция 12

§1. Условие постоянства функции

Теорема. Если функция непрерывна на промежуткеи во всех внутренних точках отрезка , топостоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке :. Но по условию, следовательно, и поэтому(на правом концев силу непрерывности).

Пример. Рассмотрим функцию на промежутке . Её производная:

Следовательно, const на . Чтобы найти эту константу, достаточ-но вычислитьв любой точке, например,. Итак, мы доказали тождество .

В интегральном исчислении важное приложение найдет следствие, вытекающее из доказанной теоремы.

Следствие. Если функцииинепрерывны на промежуткеи имеют равные производные во всех внутренних точках промежутка, то эти функции всюду в отличаются лишь на постоянную:.

Для доказательства достаточно применить теорему к вспомогательной функции . Тогдаи.

§2. Условие монотонности функции

Известно, что функция называется строго возрастающей на , если для любых точекиз неравенстваследует неравенство. Другими словами знак приращения функции совпадает со знаком приращения аргумента:. Для убывающей функции, естественно,.

Теорема. (Достаточное условие монотонности). Пусть функция дифференцируема на . Тогда:

1) если на ,то строго возрастает на ;

2) если на ,то строго убывает на .

Доказательство. Возьмём две произвольные точки , причём пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке(условия теоремы выполнены, ибо непрерывностьвытекает из её дифференцируемости):По предположению , следовательно,знак определяется знаком производной. 1) Если, то ии; т.к. это верно для любых, товозрастает на . 2) Если , то ии, что означает убывание.

Замечание. Связь между знаком и направлением изменениягеометрически очевидна, если вспомнить, что производная – это угловой коэффициент касательной к графику. Однако, даже у строго монотонной функциикасательная может быть и горизонтальной, т.е.для отдельных значенийможет обращаться в0. Примером служит функция : она строго возрастает, но производнаяприобращается в ноль.

Итак, теорема сводит вопрос о возрастании (убывании) функции к решению неравенства().

Пример. Исследовать на монотонность функцию . Находим производную и разлагаем её на множители:. Метод интервалов позволяет определить знак:

—

На интервалах ифункция возрастает, а на– убывает.

§3. Исследование функции на экстремум

Напомним уже известные факты. Во-первых, точка экстремума – это всегда внутренняя точка области определения функции; она характеризуется тем, что знак приращения функции не зависит от знака приращения аргумента, если последнее достаточно мало. Во-вторых, необходимое условие экстремума даётся теоремой Ферма: если в точке экстремума функция дифференцируема (т.е. обладает конечной производной), то производная в этой точке равна 0.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, принято называть стационарными точками.

Однако, если рассматривать функции, не имеющие в отдельных точках конечной двусторонней производной, то не исключена возможность, что экстремум придётся на какую на какую-либо из таких точек. Например, функции иимеют вминимумы, в тоже время,и,.

Определение. Точку называют критической точкой первого порядка функции, еслиили не существует.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума следует искать среди критических точек (их ещё называют точками возможного экстремума). Требуется дополнительное исследование таких точек, чтобы отобрать среди них точки экстремума. Это исследование выполняется с помощью достаточных условий экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка непрерывной функциии пусть существуеттакое, что в односторонних окрестностях этой точки:и– функциядифференцируема и её производная сохраняет знак. Тогда:

1) если вив, то– точка максимума;

2) если вив, то– точка минимума;

3) если одного знака ви, то в точкенет экстремума.

Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки ии рассмотрим функциюна двух промежутках:и. На каждом из этих промежутков функцияудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, следовательно, существуют точкиитакие, что:

,

.

Из этих неравенств вытекает, что и. Таким образом значение – самое большое среди значенийдля. Это и означает:– точка максимума.

2) Доказывается аналогично.

3) Если , товозрастает как в, так и в. Если же, тоубывает в тех же окрестностях. В обоих случаях такое поведение функции говорит о том, что в точкеу неё нет

экстремума.

Замечание 1. Требование непрерывности функции нельзя ослабить, о чем свидетельствует рисунок: в точке функция имеет максимум, в то же время при переходе через эту точку производная не меняет знак.

Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно применить, ибо для некоторых функций требование сохранения знака производной не выполняется. Например, для функции

имеем:

, значит, точка 0 – критическая точка. Далее, для

Выражение в скобках ограничено, поэтому при близких к нулю первый член полученной разности также близок к нулю, а второй член принимает значения от –1 до +1. Значит, знакопределяется членом. Но в точках видаэтот член обращается в ноль и меняет знак. А так как при , то в любой сколь угодно малой окрестности нуля бесконечное число раз меняет знак.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в критической точкеконечную вторую производную. Тогда:

1) если , то– точка минимума;

2) если , то– точка максимума;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная производнаяв некоторой окрестности точкии, ибо– критическая точка. Обозначим. Тогда условия теоремы означают, что существует конечный предел

.

Пусть, например, . Тогда дляблизких ки, то есть . Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности точки. Но. Следовательно, левее точкифункцияотрицательна, а правее – положительна. Однако,. Значит, первая производная данной функции при переходе через точкуменяет знак с «–» на «+». Это означает, что точка– точка минимума. Аналогично рассматривается и случай. В необходимости дополнительного исследования, когда, убеждают две функции:и. Очевидно, что– точка0 критическая для обеих функций, и . Однако, дляноль – это точка минимума, ав нуле не имеет экстремума.

Замечание 3. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будет сформулировано и доказано третье достаточное условие экстремума, с помощью которого и производится это дополнительное исследование.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Раскроем знак модуля и вычислим производную:

Наличие модуля в выражении для может привести, и в нашем случае приводит, к несуществованиюв точке, где модуль обращается в ноль. Действительно,

Отличие левой производной от правой и означает отсутствие производной в точке , т.е. эта точка – критическая. Другие критические точки – это нули производной:

Итак, имеем две критические точки Они разбивают область определения функциина интервалы знакопостоянства производной, т.е. на интервалы монотонности функции. Для определения знакана интервале достаточно определить этот знак в какой-либо точке интервала. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертёж:

Еще раз напомним, что критические точки наносятся на область определения. Мы получаем 4 интервала. Определяем знаки :

Анализ чертежа показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём, а в точке– локальный максимум:.

На чертеже видны и интервалы монотонности : наифункция возрастает, а наи– убывает.

Замечание 4. В точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую производную и касательная к графику функции – горизонтальна. О таком максимуме говорят «гладкий максимум» (аналогично «гладкий минимум»). В противоположность этому, точкаявляется точкой «негладкого минимума» – в этой точке производная не существует, хотя есть односторонние производные. Соответствующая точка графиканазываетсяугловой точкой графика.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. – существует везде.

–точка максимума;

–точка минимума;

–точка минимума.

Лекция 13

studfiles.net

Исследование функций при помощи производной.

Возрастание и убывание функции.

Теорема 1 (необходимое условие).Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для любого .

Геометрически теорема означает, что касательная к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с осью Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох.

Теорема 2 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и () для любого , то функция возрастает (убывает) на интервале .

Пример: исследовать функцию на возрастание, убывание.

знак производной «+» на интервалах , следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

знак производной «–» на интервале (-1; 1), следовательно, функция здесь убывает.

Максимум и минимум функций.

Точка называется точкой максимума функции , если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точка называется точкой минимума функции , если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.

На рисунке -точка максимума, — точка минимума.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема (Ферма – необходимое условие экстремума). Если — точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю , либо не существует.

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси Ох.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производных, например, . В точке х=0 функция не имеет производной, но х=0 точка минимума.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Теорема (Первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки и при переходе (слева направо) через нее производная меняет знак с (+) на (–), то точка является точкой максимума; если с (–) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке производная равна нулю , а вторая производная существует и отлична от нуля, то при — точка минимума; при — точка максимума.

Из теорем вытекает правило исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции . Для этого решить уравнение ;

2. выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек;

4. вычислить значение функции в выбранных точках.

Пример. Найти экстремум функции

1. область определения функции ;

2. , производная равна нулю в точке х=8 и не существует в точке х=0. Критические точки 0 и 8.

3. Определяем знак производной в интервалах .

Точка х=0 – точка максимума, х=8 – минимума.

, .

studfiles.net