Рубрика: Школьная жизнь

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

• КСО;
• работа в группах;
• проектный метод.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу,  должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

  I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

а) система

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

б)   система

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими  видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?         

17.03.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Факультативное занятие по матемтаике «Системы симметрических уравнений»

Факультатив по математике

8 класс

Разработка занятия по теме:

Системы симметрических(симметричных) уравнений

Теоретический блок.

Система уравнений называется симметрической (симметричной), если при замене переменной х на переменную у и у на переменную х, уравнения, входящие в систему, не изменятся.

В любой симметричной системе уравнений ответы симметричны, т.е. если пара чисел (х₀, у₀) – решение системы, то пара чисел (у₀, х₀) тоже является решением.

Симметричные системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = x+y, v = xy

х² + у² = (х + у)² – 2ху = u² – 2v

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = u(u² – 2v – v) = u³ – 3uv и тд

Практический блок.

1. Решите систему уравнений:

Решение:

пусть x +y = u, xy = v

Произведем обратную замену.

Используя обратную теорему Виета или способ подстановки, получаем

х₁ = 1, х₂ = 3

у₁ = 3, у₂ = 1

Ответ: (1;3), (3;1)

1. Решите систему уравнений:

Решение:

Замена х + у = а, ху = в

9в + 9 – в² — в = 25

в² – 8в + 16 = 0

(в – 4)² = 0

в = 4

Произведем обратную замену.

Ответ: (1;4), (4;1)

Работа в группах.

Решите системы уравнений:

1. (3;2), (2;3),

2. (2; — 1), (- 1; 2)

3. (), ()

Взаимопроверка и разбор спорных заданий.

Рефлексия

videouroki.net

решите симметрическую систему уравнений, алгебра

05 окт. 2015 г., 20:31:38 (3 года назад)

Сделаем замену:  

Теперь подставляем:

Из первого уравнения выразим u, получим что: u=5-v 

Подставляем во второе и получаем:

Теперь найдем u

Получили две пары решений: (2,3), (3,2)

Теперь вернемся к исходным переменным:

Получим:

Ответ:

algebra.neznaka.ru

Решение симметрических систем уравнений

studopedya.ru

Сайт преподавателей информатики КМТТМП — Примеры и задачи для самостоятельного решения.

    I. Сложение матриц

Рассмотрим пример сложения двух матриц размером 2х3.

Пример 1. 

Даны две матрицы одинакового размера.

Найти сумму А+В двух матриц.

Решение.

Пример 2.

Пусть даны матрицы:

Решение.

II. Умножение матрицы на число

Пусть

Найти результат умножения матрицы  А  на число  4.

III. Вычитание матриц

Пример 3. 

Даны две матрицы одинакового размера  4х4

Найти разность двух матриц

Решение.

Примеры для самостоятельного решения

Пример 4. 

Найти сумму двух матриц  А  и  В  в каждом из следующих случаев:

Пример 5. 

Найти матрицу: С=-5А+2В

IV. Транспонирование матриц

Транспонирование матриц – переход от матрицы  А  к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

 Пример 5. 

Составить транспонированную матрицу, полученную из А:

Решение: 

Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок:

Примеры для самостоятельного решения:

 Пример 6. 

Составить из исходной матрицы транспонированную матрицу:

II. Умножение матриц

Пример 7. 

Решение:

Пример 8. 

Найти произведение двух матриц:

Решение: 

В первом случае найдем произведение:

Во втором случае найдем произведение:

Пример 9.

Вычислить значение многочлена f(x)=2x²-5x+3  от матрицы:

Решение. 

В многочлен f(x) подставим вместо  х  матрицу  А, вместо числа 3 используем матрицу  3Е, где  Е – единичная матрица 2-го порядка.

Теперь получим окончательный результат

Примеры для самостоятельного решения

I. Найти произведение матриц:

II. Найти значение многочлена  от матрицы А:

emit.do.am

2. Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы A иB равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т.е.

A =B, еслиaij =bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n).

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера по правилу

A = {aij }m×n , B= {bij }m×n ,C= {cij }m×n ,

C = A+ B= {aij + bij }m×n .

Пример:

Свойства сложения матриц

A + B= B+ A;

A + (B+ C) = (A+ B) + C= A+ B+ C.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число α надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

A = {aij }m×n , B= α iA, B= {bij }m×n = {α iaij } .

Пример:

Свойства умножения матриц

α i( A +B) =α iA +α iB , (α +β )iA =α iA +β iA ,

(αiβ)iA = αi(βiB) .

Вычитание матриц

Произведение двух матриц

Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц

называется матрица

матрицы B . В результате умножения матрицыA на матрицуB получится матрицаC число строк , которой равно числу строк матрицыA , а число столбцов равно числу столбцов матрицы

B .

Пример: Перемножить матрицы A иB .

Если AiB = BiA , то матрицы коммутативная.

2.1. Равенство матриц

Две матрицы A иB равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т.е.

A =B, еслиaij =bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n).

2.2. Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера по правилу

A = {aij }m×n , B= {bij }m×n ,C= {cij }m×n ,

C = A+ B= {aij + bij }m×n .

Пример:

Свойства сложения матриц

A + B= B+ A;

A + (B+ C) = (A+ B) + C= A+ B+ C.

2.3. Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число α надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

A = {aij }m×n , B= α iA, B= {bij }m×n = {α iaij } .

Пример:

Свойства умножения матриц

α i( A +B) =α iA +α iB , (α +β )iA =α iA +β iA,

(αiβ)iA = αi(βiB) .

2.4. Вычитание матриц

2.5. Произведение двух матриц

Умножать можно только те матрицы, для которых число столбцов в первой матрицы равно числу строк во второй матрицы. Произведением двух матриц

у которой элемент cij находится по формуле

n

cij = ∑aik *bkj = ai1 *b1 j + …+ain *bnj ,i = 1, 2,…,m;j = 1, 2,…,p,

k =1

т.е. элемент матрицы cij , стоящий на пересеченииi – строки иj -столбцаравен сумме произведений элементовi – строки матрицыA на соответствующие элементыj -столбца

матрицы B . В результате умножения матрицыA на матрицуB получится матрицаC число строк , которой равно числу строк матрицыA , а число столбцов равно числу столбцов матрицы

B .

Пример: Перемножить матрицы A иB .

Если AiB = BiA , то матрицы коммутативная.

studfiles.net

I. Матрицы и определители 2

Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики 2

1.1. Понятие матрицы 4

1.2. Определители второго, третьего, n-го порядка 6

1.3. Свойства определителей 8

1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца 10

1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода) 12

1.6. Задания для самопроверки 15

Лекция 2. Алгебра матриц 16

2.1. Основные операции над матрицами и их свойства 17

2.2. Обратная матрица 20

2.3. Решение матричных уравнений 23

2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными 24

2.5. Задания для самопроверки 29

Ответы к примерам для самопроверки 30

Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики

Содержание

1. Понятие матрицы.

2. Определители второго, третьего, n-го порядка.

3. Свойства определителей.

4. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода).

6. Задания для самопроверки

1.1. Понятие матрицы

Звуковое сопровождение лекции

Определение

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, где– номер строки,– номер столбца, таких, на пересечении которых расположены числа,

.

Пример

–матрица размера .

Определение

Если , матрица называетсяквадратной порядка .

Пример

–квадратная матрица второго порядка.

Определение

Главная и побочная диагональ квадратной матрицы –

Частные случаи квадратных матриц

а) треугольная матрица – выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю.

Пример

;

б) диагональная матрица – выше и ниже главной диагонали – нули, на главной диагонали произвольные числа.

Пример

;

в) единичная матрица – диагональная матрица, на главной диагонали которой – единицы.

Пример

–единичная матрица первого порядка.

–единичная матрица второго порядка.

–единичная матрица третьего порядка.

Таким образом ,

Определение

Транспонированная матрица – матрица , построенная из матрицы, путем замены строк на столбцы и наоборот (строки и столбцы меняются ролями).

Пример

Пример

, .

studfiles.net

Матрицы, основные действия над матрицами

Определение.Таблица вида

называется mn матрицей или, сокращенно, A=(a_ij), где i=1,…,m — номер строки, j=1,…,n-номер столбца, аij-элементы матрицы А.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Пример 1.1

— единичная матрица третьего порядка,

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Пример 1.2

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается

.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Определение. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором-столбцом или вектором-строкой соответственно.

Пример 1.3

— вектор-столбец,

— вектор-строка.

Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается.

Пример 1.4

Дано:. Найти.

Решение.

.

Действия над матрицами

1. Операция сложения матриц

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой двух матриц иназывается матрицатакая, что()=+(), где i=1,…,m; j=1,…,n.

Пример 1.5.

Произвести сложение матриц A=и B=

Решение.

+=.

2. Операция разности матриц

Аналогично определяется разность матриц.

3. Операция произведения матриц

Операция произведения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение. Произведением матрицына матрицуназывается матрицатакая, что=, где i=1,…,m; k=1,…,p, т. е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 1.6

Произвести умножение матриц и.

Решение.

4. Произведение матрицы на число

Произведение матрицы на число k называется матрицатакая, чтоb_ij= kа_ij(i=1,…,m; j=1,…,n).

Пример 1.7

Произвести умножение матрицына число k=2.

Решение.

5. Возведение матрицы в натуральную степень

Возведение в натуральную степень квадратной матрицы А происходит по правилу: , причем по определению 1),2).

Пример 1.8

Вычислить:.

Решение.

===

Определение. Матрица -А=(-1)А называется противоположной.

Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся:

1. перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2. умножение всех элементов рада матрицы на число, отличное от нуля;

3. прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Определители. Ранг матрицы.

Определение.Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и обозначается, например определитель матрицы А, следующим образом:или, илиdetA.

Пример 2.1

Найти определитель матрицы В, если:

1. В=, тогда определитель

2. В=, тогда определитель

Таким образом, получаем формулу для нахождения определителя второго порядка:

Если А=, то=

Определение. Миноромэлементаматрицыn-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученного из матрицы А вычеркиваниемi-ой строки иj-го столбца.

Пример 2.2

Дано: А=Найти все миноры матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:==12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец:==0-2= -2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец:== 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:== 4-4=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:== 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:== 6-1=5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец:== 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец:== 6-0=6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец:== 9-0=9.

Определение. Алгебраическим дополнениемэлементаматрицыn-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j, т. е. =(-1)^i+j.

Пример 2.3

Дано: А=Найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:= (-1)¹⁺¹=12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец:= (-1)¹⁺²= -(0-2)= 2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец:= (-1)¹⁺³= 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:= (-1)²⁺¹= -(4-4)=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:= (-1)²⁺²= 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:= (-1)²⁺³= -(6-1)= -5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец:= (-1)³⁺¹= 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец:= (-1)³⁺²= -(6-0)= -6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец:= (-1)³⁺³= 9-0=9.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение:

=.

Пример 2.4

Дано: А=Вычислить определитель третьего порядка.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив, например, первый столбец:

=3(-1)¹⁺¹+0(-1)²⁺¹+1(-1)³⁺¹=3(12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Основные свойства определителей

1. определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю

4. общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5. определитель с нулевым рядом равен нулю.

6. если к какому-либо ряду определителя прибавить другой ряд, умноженный на скаляр, то определитель не изменится.

7. определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.

Ранг матрицы

Определение. Рангом треугольной матрицы называют число её ненулевых строк.

Чтобы найти ранг матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований привести её к треугольному виду.

Элементарные преобразования матрицы, сохраняющие ранг матрицы:

1. отбрасывание нулевого ряда

2. умножение всех элементов ряда матрицы на число, неравное нулю.

3. изменение порядка ряда матрицы

4. прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов другого ряда, умноженных на число.

5. транспонирование матрицы.

Рассмотрим пример.

Пример 2.5

Дана матрица А=Найти ранг матрицы.

Решение.

Приведём данную матрицу к треугольному виду.

выбираем ведущую строку и главный элемент, для этого поменяем местами первую и третью строкуТеперь должны получить нули под главным элементом, т.е. под единицей. Первый нуль во второй строке уже есть, поэтому переписываем первую строку, как ведущую, и вторую строку без изменения. Осталось получить нуль вместо первого элемента третьей строки, т.е. вместо тройки. Для этого каждый элемент ведущей строки, умноженный на минус три, складываем со соответствующими элементами третьей строки.Выбираем вторую строку за ведущую, и первый ненулевой элемент этой строки берем за главный. Получим нуль под главным элементом. Для этого к каждому элементу ведущей строки (второй строки), умноженному на пять, прибавляем соответствующий элемент третьей строки, умноженный на три.. В результате получаемr(A)=2.

studfiles.net

§ 2. Операции над векторами

1. Сложение. Пусть а и b – два вектора. От произвольной точки О отложим вектор ОА = а, а от получившейся точки А – вектор АВ = b. Вектор ОВ называется суммой a+b векторов а и b (рис.6), а операция нахождения суммы векторов – их сложением.

П

Прямо из определения суммы двух векторов вытекает правило треугольника:

(2.1) для любых трех точек О, А и В ОА + АВ = ОВ.

Кроме того, как известно из школьного курса геометрии, для любых трех точек О, А и В длина отрезка ОВ не превосходит суммы длин отрезков ОА и АВ, причем равенство |ОВ| = |ОА| + |АВ| достигается только тогда, когда точка А лежит на отрезке [ОВ]. Это неравенство часто называют неравенством треугольника. Определение суммы векторов позволяет записать его в векторной форме:

(2.2) |а + b|  |a| + |b| .

Равенство в (2.2) достигается тогда и только тогда, когда векторы а и b сонаправлены, а в остальных случаях неравенство является строгим. Записывать равенство |а+b| = |a|+|b| для произвольных векторов – грубая ошибка.

2. Основные свойства сложения векторов. К ним относят:

(C1) Для любых трех векторов a, b и c (a+b)+c = a+(b+c) (ассоциативность).

(С2) Для любых двух векторов a и b a+b = b+a (коммутативность).

(С3) Для любого вектора а а+0 = а.

(С4) Для любых двух точек А и В АВ+ВА = 0.

В



Докажем свойство (С1). Для этого последовательно отложим векторы ОА = а , АВ = b и ВС = с. По определению сложения векторов (a+b)+c = ОВ+ВС, а a+(b+c) = ОА+АС. Но ОВ+ВС = ОА+АС = ОС (рис.9). 

Заметим, что на рис.8 OC = AB. Поэтому справедливо

(2.3) Правило параллелограмма: Сумма неколлинеарных векторов а и b равна диагонали ОВ параллелограмма ОАВС, построенного на векторах² ОА = а и ОС = b. 

Кроме того, из проведенного выше доказательства ассоциативности получается

(2.4) Правило многоугольника. Чтобы сложить несколько векторов, взятых в определенном порядке, надо отложить их друг за другом так, чтобы конец каждого вектора служил началом следующего, а затем соединить начало первого с концом последнего. 

Мы доказали это правило только для случая трех векторов, но проведенное рассуждение без труда переносится на любое число слагаемых.

П

(2.5) Правило замкнутой цепочки. Сумма нескольких векторов равна нулю тогда и только тогда, когда при последовательном их откладывании они образуют замкнутую цепочку, т.е. конец последнего совпадает с началом первого. 

(2.6) Упражнение. Докажите правило параллелепипеда: чтобы сложить три вектора, не параллельные одной плоскости, надо отложить их из одной точки О, достроить три получившихся отрезка до параллелепипеда и провести из точки О диагональ этого параллелепипеда, которая и будет искомой суммой (рис.10).

Ассоциативность сложения векторов показывает, что сумма трех векторов, взятых в определенном порядке, не зависит от того, сложим ли мы сначала два первых вектора, а потом прибавим к ним третий, или сначала найдем сумму второго и третьего векторов, а потом прибавим ее к первому. Это означает, что мы можем записывать сумму трех векторов как а+b+с, не задумываясь, каким образом расставлять в ней скобки. В курсе алгебры будет показано, что если это свойство выполняется для трех слагаемых, то оно выполняется и для любого их числа, то есть мы можем, не заботясь о способе расстановки скобок, записывать любую векторную сумму а+b+с+…+d. А свойство коммутативности (С2) показывает, что мы можем также, не меняя этой суммы, произвольным образом переставлять в ней слагаемые. В этом и состоит смысл ассоциативности и коммутативности.

3

Отложим от произвольной точки О векторы ОА= а и ОВ=b. Очевидно, единственным вектором, который в сумме с ОВ дает ОА, является вектор ВА. Таким образом,

(2.7) у любых двух векторов есть разность, и только одна. Чтобы построить ее, надо отложить векторы от одной точки и соединить конец второго с концом первого (рис.11). 

З

8. a–b = a+(–b).

Иными словами, вычесть один вектор из другого – это все равно, что сложить первый вектор с вектором, противоположным второму.

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда точки О, А и В образуют треугольник. Если достроить его до параллелограмма ОАСВ, то в нем диагональ будет изображать сумму а+b, а диагональ– разность а–b (рис.12). Это полезное дополнение к правилу параллелограмма.

Равенство (2.8) можно было доказать и чисто алгебраически. В самом деле, если x = a+(–b) , то x+b = a+(–b)+b = а+0 = a. Также алгебраически можно показать, что других значений у разности а–b нет: x+b = a  (x+b)+(–b) = a+(–b)  x+(b+(–b)) = a+(–b)  x+0=a+(–b)  x = a+(–b). Мы намеренно записали все эти преобразования подробно, чтобы показать, что все они опираются только на основные свойства сложения (С1)-(С4) (проверьте!). В общей теории векторных пространств, с которой вы познакомитесь в курсе алгебры, эти свойства принимаются за аксиомы сложения векторов, а все остальные свойства сложения выводятся из них.

4. Умножение вектора на число. Умножением вектора на число называется операция нахождения произведения вектора на число. Произведение ненулевого вектора а на число х – это вектор, обозначаемый «ха» и удовлетворяющий следующим двум условиям:

(П1) | ха | = |х||а| ; (П2) хаа, если х0, и хаа, если х<0.

Произведение нулевого вектора на любое число по определению считается равным 0.

Условие (П1) остается справедливым и при x = 0, но условие (П2) в этом случает нарушается при х<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).

Заметим, что ха = 0  |ха| = 0  |х||а| = 0  |х| = 0 или |а| = 0  х = 0 или а = 0. Значит,

(2.9) произведение вектора на число равно нулю тогда и только тогда, когда либо число, либо вектор равны нулю. 

Пусть даны не равные нулю число х и вектор а. От произвольной точки О отложим вектор ОА=а и попробуем построить вектор OX = ха. Так как векторы а и ха должны быть коллинеарными, отрезок обязан лежать на прямой (ОА), а его длина по условию (П1) должна равняться |х||а|. Таких отрезков ровно два, причем один из них (назовем его) сонаправлен с, а другой (назовем его) направлен противоположно(рис.13). Возвращаясь к условию (П2), видим, что=при x > 0, и=при х < 0.

Т

К основным свойствам умножения векторов на числа относят следующие:

(У1) Для любого вектора а 1а=а (т.е., умножение на 1 не изменяет вектора).

(У2) Для любых чисел х, у и вектора а х(уа) = (ху)а (ассоциативность).

(У3) Для любых чисел х, у и вектора а (х+у)а = ха+уа (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

(У4) Для любых числа х и векторов а и b х(a+b) = xa + xb (дистрибутивность умножения относительно сложения векторов).

Первое из этих свойств вытекает непосредственно из определения (проверьте!). Доказательства остальных можно найти на стр. 14-16 учебника Л.С. Атанасяна и В.Т. Базылева “Геометрия” (ч.1).

Отметим еще такие свойства умножения вектора на число:

(2.10) Если вектор а – ненулевой, то а/|a| – сонаправленный с вектором а единичный вектор.³

 В самом деле, векторы а и а/|a| сонаправлены (ибо 1/|а| > 0) и |а/|a|| = |а|/|а| = 1. 

(2.11) (–1)а = –а.

 Действительно, по определению умножения вектора на число векторы (–1)а и а противоположно направлены, а их длины равны. 

5. Признаки коллинеарности.

(2.12) Признак коллинеарности вектора ненулевому вектору. Вектор b коллинеарен ненулевому вектору а тогда и только тогда, когда существует такое число t, что b = tа. При этом если векторы а и b сонаправлены, то t = |b| / |a|, а если они противоположно направлены, то t = – |b| / |a|.

 Мы уже отмечали, что векторы а и tа всегда коллинеарны. Обратно, возьмем ненулевой вектор а и коллинеарный ему вектор b. Если они сонаправлены, положим t = |b|/|a|. Тогда |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, и вектор tа сонаправлен с а, а, значит, и с b. Стало быть, tа = b по признаку 1.7. Если же аb, положим t = –|b|/|a|. И снова |tа| = |t||а| = (|b|/|a|)|а| = |b|, а векторы tа и b, направленные противоположно вектору а, по (Н5) сонаправлены между собой. Значит, и в этом случае tа = b. 

Оговорка насчет того, что вектор а – ненулевой, иногда бывает неудобна. Тогда можно использовать такой

(2.13) Признак коллинеарности двух векторов. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно выразить через другой с помощью умножения на число.

 Для случая, когда хотя бы один из двух данных векторов не равен нулю, это доказано выше. Если же оба вектора нулевые, то, во-первых, они коллинеарны, а, во-вторых, любой из них можно получить из другого умножением на любое число, так что и в этом случае все в порядке. 

6. Сохранение параллельности при операциях над векторами.

(2.14) Лемма о параллельности. Если два вектора параллельны некоторой прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельна и их сумма. Если вектор параллелен прямой (плоскости), то той же прямой (плоскости) параллельно и его произведение на любое число.

 Пусть векторы а и b параллельны данной прямой (плоскости). Отложим от произвольной её точки О векторы ОА = а и АВ = b. Тогда точки А и В тоже будут лежать на этой прямой (плоскости). Значит, там будет лежать и отрезок ОВ, изображающий сумму а+b, что и означает ее параллельность данной прямой (плоскости).

Возьмем теперь любое число х, и отложим от той же точки О вектор ОС = ха. Если а = 0, то и ха = 0, а нулевой вектор параллелен любой прямой и плоскости. Если же нет, то отрезок ОС, изображающий вектор ха, будет целиком лежать на прямой ОА, а, значит, и на данной прямой (плоскости). Тем самым вектор ха будет параллелен этой прямой (плоскости). 

studfiles.net

Векторы. Линейные операции над векторами

ТЕМА 6. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

1.Основные определения

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, как, например, температура, масса, время, плотность, работа, являются скалярными. Некоторые другие величины, такие как сила, скорость, ускорение, напряженность магнитного поля, являются векторными. Скалярная величина может быть охарактеризована одним числом. Векторная величина характеризуется числом и направлением.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке A , конец в точке B , то вектор обозначается символом AB . Начало вектора называют также точкой его приложения.

Другое обозначение вектора a (a = AB) .

Модулем вектора a называется его длина, т. е. расстояние между его началом и концом, он обозначается через |a| . Модуль вектора скалярная неотрицательная величина.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначается символом 0 . Его модуль равен нулю, а направление не определено.

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Определение 2. Два вектора a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора a, b, c называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Определение 3. Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными. Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору a, обозначается через −a , а вектору AB через

BA .

На рис. 1 все векторы попарно коллинеарны; a и c равные векторы, a и b противоположные векторы.

Для каждого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно. Соответственно этому в геометрии векторы рассматривают с точностью до их положения (т. е. не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными.

studfiles.net

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c

C другой, (d+b)+b’=d+(b+b’)=d+0=dc=d

Правило построения разности

Разность a-b,приведенных к общему началу векторовa иb представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемогоb в конец уменьшаемого вектораa.

Правило построения разности

Разность a-b,приведенных к общему началу векторовa иb представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемогоb в конец уменьшаемого вектораa.

a

b

O

Правило построения разности

Разность a-b,приведенных к общему началу векторовa иb представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемогоb в конец уменьшаемого вектораa.

Операция умножения вектора на вещественное число

Операция умножения вектора на вещественное число

Произведение а (илиа ) вектораа на вещественное число называется векторb, коллинеарный векторуа и имеющий длину, равную | ||а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектораа в случае >0 и противоположное направлению вектораа в случае <0.

Операция умножения вектора на вещественное число

Произведение а (илиа ) вектораа на вещественное число называется векторb, коллинеарный векторуа и имеющий длину, равную | |·|а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектораа в случае >0 и противоположное направлению вектораа в случае <0.

ЗАМЕЧАНИЕ: В случае =0 илиа=0, произведениеа=0

Геометрический смысл : при умножении вектора а на число вектор а «растягивается», в раз , при >1; при

0< <1 происходит сжатие, а при <0 происходит, кроме растяжения или сжатия, изменение направления на противоположное.

studfiles.net

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

!

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d:

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

Тогда , с одной стороны

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c C другой,

! вектор с, представляющий собой разностьa-b, причём этот векторс=a+b’, гдеb’ – вектор, противоположныйb

Из свойств 1-4c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

c=a-b

! П d: d+b=a

Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c

C другой, (d+b)+b’=d+(b+b’)=d+0=d

studfiles.net

1. Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁,X₂,…X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор — направленный отрезок. |AB|=|a| — длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) >0, то АВ, <0, то АВ. в)>1, то А<В, )<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами.

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

*a=(х₁i+y₁j+z₁k)= (х₁)i+ (y₁)j+(z1)k

ab=(x₁x₂)i+(y₁y₂)j+(z₁z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+ z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cos

а)ав=0,<=>ав, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в — коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂

5. Скалярное произведение векторов и его свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cos, =/2, cos/2=0, ab=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

6. Векторное произведение 2х векторов.

левая —— правая

Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки — левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3. тройка а,в,с-правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва:1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c — правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c — левая

studfiles.net

news — Калькулятор рейтинга эффективности

wot-news.com

Статистика и рейтинг эффективности игрока World of Tanks (калькулятор РЭ, WN8)

В World of Tanks статистика игрока имеет для многих танкистов очень большое значение. Это неудивительно, именно соревновательный элемент является первостепенным после прокачки большинства танков. Наш сервис позволит Вам оценить множество показателей, начиная от винрейта и заканчивая временем, проведенным в игре.

Зачем нужна статистика?

В любой многопользовательской игре каждый хочет быть лучшим, а статистика позволяет увидеть, насколько результаты одного танкиста отличаются от другого.

• С помощью мода XVM можно проверить стату в WoT прямо в сражении. И не только свою, но и врагов, а также союзников. В итоге игрок более грамотно оценивает общий расклад сил команды, видя, насколько скиллованны игроки.
• Сервисы расширенной статистики в WoT — это обязательный инструмент каждого рекрутера, занимающегося поиском новых игроков для своего клана.
• Существует и клановая статистика сообществ в World of Tanks, благодаря ей оценивается целиком весь клан.
• Оценка своих достижений — наблюдать, как показатели растут со дня на день довольно приятно.

Из чего состоит стата?

Перед тем, как перейти к описанию разнообразных рейтингов и калькуляторов эффективности в WoT, следует пройтись по фундаментальным данным, с помощью которых эти рейтинги и составляются.

1. Процент побед — это основной показатель, демонстрирующий успешность танкиста на поле боя. Так как вероятность победить равна 49.9%, вклад игрока в сражение и его умение играть может привести к победе. Таким образом, умелые танкисты могут похвастаться статистикой от 51% и выше.
2. Урон за бой — в рейтинг эффективности в WoT входят и эти данные, объективно показывающие вклад в сражение. Но учтите, этот показатель является совсем необязательным для легких танков, задача которых состоит в обнаружении противника. А вот для ТТ и ПТ-САУ урон за бой — это критически важный показатель.
3. Выживаемость — спорные данные, так как до момента своей смерти игрок может нанести огромное количество урона и уничтожить многих врагов. Но все же выживаемость отлично показывает склонность танкиста идти в самоубийственную атаку. Если же вы любитель ЛТ, то именно выживаемость является очень важным показателем, наравне с обнаруженными за бой врагами.
4. Точность (проце

mirtankov.su

HTraffic Calc — бесплатный калькулятор A/B тестов онлайн

Введение

HTraffic Calc — бесплатный онлайн-калькулятор А/Б тестов. Он предназначен для интернет-маркетологов, хотя его можно применять и в других сферах деятельности. С его помощью можно сравнить несколько вариантов в А/Б тесте и оценить вероятность того, что один лучше другого.

Главное преимущество HTraffic Calc перед аналогами: вычисление вероятности того, что один вариант лучше всех остальных. По сравнению с доверительными интервалами, это вариант требует в десятки раз меньше времени, также он снижает требования к математической подготовке. Вам просто нужно посмотреть на одно число, а не проводить целую исследовательскую работу.

По нашим данным, из всего ПО для интернет-маркетинга, в том числе зарубежного, «шанс побить все» способен вычислить только Google WebSite Optimizer и HTraffic Calc. Остальные программы могут сравнить только 2 варианта (Chance to Beat Baseline/Origin). Более того, все статистические калькуляторы (программы в которые можно ввести свои данные) могут вычислить только доверительные интервалы, но не шансы.

Вычисления происходят без синхронизации с сервером, поэтому происходят практически моментально. Однако, на некоторых очень слабых машинах со старым браузером, что расчет может потребовать около 10 секунд.

Цена спешки

В идеальном случае, нужно проводить тест бесконечно долго и выбрать лучший вариант. Однако, на практике нам нужно рано или поздно остановить тест и выбрать вариант, который имеет больший шансы быть лучшим.

Шанс побить — это вероятность того, что вариант лучше остальных.
Цена спешки — это ожидаемые потери в конверсии при выборе этого варианта сейчас.

Цена спешки корректно считается, если в каждом варианте хотя-бы по 10 конверсий.

Время теста

Если вы ориентируетесь на шанс побить и варианты отличаются на сильно, то тест будет длится очень долго (например, А/А тест может длится бесконечно долго).

Если вы ориентируетесь на цену спешки, то время теста почти не зависит от отличий между вариантами.

• Необходимое число кликов на вариант в среднем равно 100 * во_сколько_раз_цена_спешки_меньше_конверсии
• Например, конверсиия 1%, а цена спешки 0.01% (в 100 раз меньше). На каждый вариант нужно по 100*100 = 10000 кликов.
• Например, конверсиия 1%, а цена спешки 0.02% (в 50 раз меньше). На каждый вариант нужно по 100*50 = 5000 кликов.

Лицензия

Программа предоставляется «как есть», без каких либо гарантий. Копирование исходного кода программы запрещено. Поддержка осуществляется в комментариях.

htraffic.ru

Конвертировать DOC в TXT онлайн, бесплатно преобразовать .doc в .txt

onlineconvertfree.com

Конвертировать DOCX в TXT онлайн, бесплатно преобразовать .docx в .txt

onlineconvertfree.com

Как сделать текстовый документ в формате txt: создание и преобразование из doc | IT S.W.A.T.

определение, виды, правила возведения в натуральную и дробную степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)^4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)^4 = 16.
2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )^2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Решение задач по комбинаторике

специальность 35.02.12 «Садово-парковое и ландшафтное строительство»

группа СП-17

курс 1

Технологическая карта учебного занятия

Занятие № 26

по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Количество часов 2

Цель занятия: выработать у обучающихся умения решения комбинаторных задач.

Задачи:

Образовательные:

— обобщить и систематизировать знания обучающихся по теме «Основные понятия комбинаторики»;

— совершенствовать навыки решения комбинаторных задач

Развивающая:

— развивать аналитические способности, логическое мышление,

— формирование умения анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.

Воспитательная:

— формирование у обучающихся ответственного отношения к обучению, культуры общения.

Тип занятия: комбинированное

Вид занятия: практикум

Форма обучения: фронтальная, индивидуальная

Метод обучения: репродуктивный, словесный, наглядный

Методы контроля: устный, письменный

Ход занятия

I. Организация и мотивация (5 мин)

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию, проверка отсутствующих. Сообщение темы, целей урока.

II. Актуализация опорных знаний (10 мин)

Блиц – опрос

1. Какой раздел математики называется комбинаторикой.

2. Какова главная задача комбинаторики.

3. Какие виды соединений или выборок вам известны?

4. Какие методы решения комбинаторных задач мы рассматривали, в чем их суть?

5. Решить устно:

1. Сократить дроби: 1) , 2) , 3) , 4) , 5)

2. Вычислите:

1) , 2) .

2. Сколькими способами можно разместить 5 человек на скамейке

II. Практикум по решению комбинаторных задач (60 мин)

Задача 1. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбрать решение?

Решение. Соберем все варианты в таблице:

Задача 2. Сколько четных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9? (составить таблицу)

Задача 3. Постройте дерево возможных вариантов и решите задачи:

1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать при помощи цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не могут повторяться?

3. В коридоре висит 3 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Задача 4. У Лены есть 8 разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разные по цвету.

Решение.

Число возможных вариантов равно

40320

Ответ: 40320

Задача 5. С понедельника по пятницу Оля посещает дополнительные занятия по физике, математике, химии, русскому и английскому языках (по одному предмету в день). Сколько у Оли способов составить расписание дополнительных занятий на неделю?

Задача 6. Семеро терпеливых стоят в очереди в кассу. Сколькими способами можно составить очередь?

Задача 7. Сколькими способами можно расставить на полке 6 различных книг?

Задача 8. В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, культорга и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать, если одно лицо может занимать только один пост.

Решение. В данном случае нам важен порядок выбора каждого ученика, поэтому можно использовать формулу для количества размещений. При этом, n = 30, m = 3.

.

Ответ: 24360 способов.

Задача 9. Тренер отбирает 5 спортсменов из 12. Сколькими способами он может составить команду?

Решение. Порядок выбора спортсменов в данном случае не важен. Используем формулу для количества сочетаний, учитывая, что n = 12, m = 5.

.

Ответ: 792 способа.

Задача 10. На складе имеются 5 одинаковых деталей. Мастеру необходимо выбрать 4 детали. Сколькими способами он может это сделать? Ответ обоснуйте.

Задача 11. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Задача 12. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?

Задача 13. В подразделении 60 солдат 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из 3 солдат и одного офицера?

Задача 14. В рекламного агентстве имеется 19 агентов и четыре менеджера. Сколькими способами можно составить бригаду, состоящую из трех агентов и одного менеджера?

Задача 15. Возвести в степень двучлены:

1. 1. , 2) .

III. Подведение итогов (5 мин)

Ответить на вопросы, отметить активность, выставить оценки.

VII. Домашнее задание

Повторить весь материал по теме «Основные понятия комбинаторики» с целью подготовки к контрольной работе.

VII. Литература, необходимая для подготовки к занятию.

Башмаков М.И. Математика: учебник для СПО, — М. 2014

Интернет-ресурсы

преподаватель Чертенкова Е.И.

infourok.ru

4.2 Простейшие комбинаторные задачи

Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.

Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0, то строки будут отмечены цифрами 1, 2, 4, 5, 9. Значит, в нашей таблице будет пять строк. На втором месте в искомом числе должна стоять четная цифра, значит, столбцы будут отмечены цифрами 0, 2, 4. Всего в таблице будет три столбца.

	0	2	4
1	10	12	14
2	20	22	24
4	40	42	44
5	50	52	54
9	90	92	94

Клетки таблицы заполняются следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца, поэтому каждое из интересующих нас чисел попадет в определенную клетку таблицы. По строкам и столбцам мы перечислили все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, т. е. 5 • 3 = 15.

Ответ: 15.

Здесь был осуществлен полный перебор всех возможных вариантов или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.

Пример 2. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение. Соберем все варианты в такой таблице: в ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

	Плюшка	Бутерброд	Пряник	Кекс
Кофе	Кофе, плюшка	Кофе, бутерброд	Кофе, пряник	Кофе, кекс
Сок	Сок, плюшка	Сок, бутерброд	Сок, пряник	Сок, кекс
Кефир	Кефир, плюшка	Кефир, бутерброд	Кефир, пряник	Кефир, пряник

Ответ: 12.

Мы видим, что, хотя примеры 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.

4.3 Правила умножения и сложения

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Правило умножения для двух независимых испытаний удобно объяснять, используя прямоугольники, разбитые на квадратики, или прямоугольные таблицы. Но если проводятся три испытания, то для иллюстрации надо использовать и длину, и ширину, и высоту, и на картинке получится прямоугольный параллелепипед, разбитый на кубики. Здесь уже рисунок и объяснения становятся сложнее, поскольку, например, будут невидимые кубики. Еще хуже дело обстоит с четырьмя испытаниями. В этом случае для рисунка нам просто не хватит измерений, ведь окружающее нас пространство всего лишь трехмерно.

Оказывается, правило умножения для трех, четырех и т. д. испытаний можно объяснить, не выходя за рамки плоскости, с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.

Пример 3. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение. Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов (рис. 4.1). Посмотрим на его левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».

Рисунок 4.1

Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя – соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета. Получится еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая полосы флагов. Всего 6 комбинаций.

Ответ: 6.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Видимо, поэтому ее и называют деревом возможных вариантов.

Вот как, например, выглядит дерево возможных вариантов для примера 1 (рисунок 4.2):

Для следующего примера мы приведем три различных способа решения: с помощью простого перебора, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.

Рисунок 4.2

Пример 4. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Решение.

Первый способ. Пронумеруем лампочки и будем писать «+» или «-» в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить: + + +, + + -, + — +, — + +, + — -, — + -, — — +,

Всего 8 способов.

Второй способ. Дерево возможных вариантов представлено на рисунке 4.3. С его помощью находим, что осветить коридор можно 8 способами.

Третий способ. Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т.е. имеется два возможных исхода. То же самое относится и ко второй, и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По

Рисунок 4.3 правилу умножения получаем, что число всех способов освещения равно 2 • 2 • 2 = 8.

Ответ: 8.

У каждого из этих трех способов решения в каждом конкретном случае есть свои преимущества и свои недостатки. Выбор способа решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи. Например, оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала. Рассмотрим сначала примеры.

Пример 5. В семье – 6 человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Решение. Ответ оказывается неожиданно большим: почти два года! Объясним его. Для удобства рассуждений будем считать, что семья (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) будет рассаживаться на стулья поочередно. Нас интересует, сколько всего существует различных способов их размещения на стульях.

Предположим, что первой усаживается бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула. Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Мама делает свой выбор третьей и выбор у нее будет из 4 стульев. У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а сын сядет на единственный незанятый стул. По правилу умножения получаем, что всего имеется 6·5·4·3·2·1 = 720 различных способов размещения. Таким образом, в «игру с рассаживаниями» семья может играть 720 дней, т. е. почти 2 года.

Ответ: 720.

Пример 6. Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?

Решение. Предложенная ситуация отличается от предыдущей (пример 5). Действительно, там были люди и стулья, здесь – письма и конверты. Однако и здесь, и там требуется узнать, сколькими способами можно разместить п предметов на п местах.

Повторяя предыдущее решение, получаем, что всего имеется 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=3 628 800 способов раскладывания писем по конвертам. Более 3,5 миллионов!

Ответ: 3628800.

Как мы видим, условия задач – разные, а решения, да и полученные ответы, по сути дела, одинаковы. Удобно поэтому ввести и одинаковые обозначения для таких ответов.

Определение. Произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

п! = 1·2·3·…·(п-2)·(п-1)·п

Знак п! читается как «эн факториал», что в дословном переводе с английского языка означает «состоящий из п множителей». Приведем несколько первых значений для п:

1! = 1

2! = 1·2 = 2

3! = 1·2·3 = 6

4! = 1·2·3·4 = 24

5! = 1·2·3·4·5 = 120

6! = 1·2·3·4·5·6 = 720 и т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров:

Пример 7. Вычислить: а) 3!; б) 7!5!; в) .

Решение. а) 3!=1∙2∙3=6.

б) т.к. 7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 и 5!= 1∙2∙3∙4∙5, то 5! можно вынести за скобки, тогда получим 5!(6∙71)= 1∙2∙3∙4∙5∙41=4920.

в) .

Пример 8. Упростить выражение: .

Решение. =1∙2∙3∙…∙(п 1)∙п∙(п+1), а =1∙2∙3∙…∙(п1), после сокращения получим п∙(п+1).

Как же сформулировать общее утверждение, частными случаями которого являются решения примеров 3, 5 и 6? Вот один из возможных вариантов.

ТЕОРЕМА: п различным элементам можно присвоить номера от 1 до п ровно п! различными способами.

Каждый способ нумерации от 1 до п, о котором идет речь в теореме, часто называют перестановкой данного п-элементного множества. Действительно, можно считать, что каждая такая нумерация просто расставляет или переставляет все элементы множества в некотором порядке.

Перестановками из п элементов называют комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком элементов.

Число перестановок множества из п элементов обозначают Р_п. Значит, приведенную теорему можно записать в виде формулы:

Р_п = п!

Кроме правила умножения в комбинаторике иногда используется еще правило сложения: Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения одного из двух испытаний А или В, следует сложить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Пример 9. На столе в стаканчике стоит 5 карандашей и 3 ручки. Для того, чтобы написать записку (записать телефонный номер и т.п.), мы можем взять 1 из 5 карандашей или 1 из 3 ручек, то есть у нас имеется 5 возможностей выбора одного карандаша и 3 возможности выбора одной ручки. Так как мы выбираем только 1 предмет, карандаш или ручку, то число всех возможностей выбора равно: 5 + 3 = 8.

Правила умножения и сложения применимы для любого количества независимых испытаний.

Подведем итоги нашего знакомства с простейшими комбинаторными задачами. Мы получили основное правило – правило умножения, рассмотрели его геометрическую модель – дерево возможных вариантов, ввели новое понятие – факториал, сформулировали теорему о перестановках, в которой это понятие используется.

studfiles.net

Задачи по комбинаторики для 11 класса

Задачи по комбинаторики

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?

Ответ: перестановки, 5! = 120.

Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: размещения из 11 по 2, А²₁₁= 110.

Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды.

Ответ: размещения из 14 по 5, 1320.

Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Ответ: сочетания из 24 по 4,

Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Ответ: сочетания, 455 способами.

Задача 8: Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15, требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?

Ответ: размещения, 2830 способами.

Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Ответ: перестановки, 4! – 3! =18.

Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами.

Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.

Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.

Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.

Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

Ответ: сочетание из 30 по 2, 435 фотокарточек.

Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек

Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

Ответ: 10⁷.

Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Ответ: размещение из 10 по 7.

Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! · 5!

Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

Ответ: а)2∙29!; б)28∙29!

Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и различные?

Ответ: размещение из 5 по 3, 60.

Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

Ответ: сочетания, С²₁₀·С²₈ = 1260.

multiurok.ru

Примеры решений задач по комбинаторике

Примеры решений задач по комбинаторике

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Выбор правила

Выбор правила

Правило суммы	Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами.	Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В можно осуществить  m · n способами.

Задача 1. В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение.

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Задача 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько всего было рукопожатий, если встретились 6 друзей?

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __, /, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.

Решение:

В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле 
С₆² = 6!/2!/(6 — 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15. 

Ответ: 15.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема:

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 3. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A73 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 4. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 5. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р8. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 6. В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С164 · С123 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Задача 7.  Сколькими способами 10 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, бронзовые и серебряные медали?

Решение.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования — размещения. Число размещений определяем по формуле 
А₁₀³ = 10!/(10 — 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

Ответ: 720.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

multiurok.ru

Задачи по комбинаторике. Часть 1

В этой статье использован материал из лекций Шарича Владимира Златковича и Максимова Дмитрия Васильевича на КПК foxford.

Очень рекомендую абитуриентам курсы foxford для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

1. Сколько четырехзначных чисел содержит ровно одну семерку?

Решение.

Четырехзначное число имеет вид . Если четырехзначное число содержит ровно одну семерку, то она может стоять

1) на первом месте, и тогда на остальных трех местах могут стоять любые цифры от 0 до 9, кроме цифры 7, и по правилу произведения мы получаем  четырехзначных чисел, у которых семерка стоит на первом месте.

2) на любом месте, кроме первого, и тогда по правилу произведения мы получаем . У нас три возможности расположения цифры 7, на первом месте может стоять 8 цифр (все цифры, кроме нуля и 7), на тех местах, где не стоит цифра 7  — 9 цифр.

Сложим полученные варианты, и получим четырехзначных чисел, содержащих ровно одну семерку.

2. Сколько пятизначных чисел содержит ровно две семерки?

Решение.

Так же как в предыдущей задаче у нас две возможности:

1) Одна из семерок стоит на первом месте, а вторая на любом из оставшихся четырех мест. На трех местах, не занятых цифрой 7 может стоять любая из 9 цифр (все, кроме цифры 7). В этом случае мы получаем  чисел.

2) Ни одна из семерок не стоит на первом месте. В этом случае мы имеем возможностей расставить 2 семерки на оставшихся 4-х местах. У нас осталось 3 места, не занятых цифрой 7, одно из которых первое, и таким образом мы получаем чисел.

Сложим полученные варианты, и получим  пятизначных чисел, содержащих ровно две семерки.

3. Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания?

Так как первой цифрой не может быть 0, рассмотрим последовательность цифр 1-9, расположенных в порядке возрастания.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Если мы выберем из этой последовательности 5 произвольных цифр, например так:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

то получим пятизначное число, цифры которого различны и расположены в порядке возрастания.

Осталось посчитать, сколькими способами мы можем выбрать из 9 цифр 5:

   

Итак существует 126 пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены в порядке возрастания.

Треугольник Паскаля и число сочетаний.

4. Задача о хромом короле. Пусть есть доска размером . Король находится в левом верхнем углу доски и может перемещаться по доске, двигаясь только вправо и вниз. Сколькими способами король может добраться до левого нижнего угла доски?

Решение.

Посчитаем, для каждой клетки, сколькими способами король может до нее добраться.

Так как король может двигаться только вправо и вниз, до любой клетки первого столбца и первой строки он может добраться единственным способом:

Рассмотрим произвольную клетку доски. Если в клетку, стоящую над ней можно добраться способами, а в клетку, стоящую слева от нее   способами, то в саму клетку можно добраться способами (это следует из того, что король может двигаться только вправо и вниз, то есть не может дважды зайти на одну клетку):

Заполним начальные клетки, пользуясь этим правилом:

Мы видим, что при заполнении клеток у нас получается треугольник Паскаля, только повернутый на бок.

Число в каждой клетке показывает, сколькими способами король может попасть в эту клетку из левой верхней.

Например, чтобы попасть в клетку (4;3)  — четвертая строка, третий столбец, король должен сделать 4-1=3 шага вправо, и 3-1=2 шага вниз. То есть всего 3+2=5 шагов. Нам нужно найти число возможных последовательностей этих шагов:

То есть найти, скольким способами мы можем расположить 2 вертикальные (или 3 горизонтальные) стрелки на 5-ти местах. Число способов равно:

   

—  то есть ровно то число, которое стоит в этой клетке.

Для того, чтобы попасть в последнюю клетку, король должен сделать всего шага, из которых по вертикали. Таким образом, он может попасть в последнюю клетку

   

способами.

Можно получить  рекуррентное соотношение для числа сочетаний:

   

Смысл этого соотношения следующий. Путь у нас есть множество, состоящее из n элементов. И нам нужно выбрать из этого множества l элементов.  Все способы, которыми мы можем это сделать делятся на две группы, которые не пересекаются. Мы можем:

а) зафиксировать один элемент, и из оставшихся n-1-го элемента выбрать l-1 элемент. Это можно сделать способами.

б) выбрать из оставшихся n-1-го элемента все l элементов. Это можно сделать способами.

Всего получаем

   

способов.

 

Также можно получить  соотношение:

   

Действительно, левая часть этого равенства показывает число способов выбрать какое-то подмножество из множества, содержащего n элементов. (Подмножество, содержащее 0 элементов, 1 элемент и так далее.) Если мы пронумеруем n элементов, то получим цепочку из n нулей и единиц, в которой 0 означает, что данные элемент не выбран, а 1 — что выбран. Всего таких комбинаций, состоящих из нулей и единиц .

Кроме того, число подмножеств с четным числом элементов равно числу подмножеств с нечетным числом элементов:

   

Докажем это соотношение. Для этого докажем, что между подмножествами с четным числом элементов и подмножествами с нечетным числом элементов существует взаимно однозначное соответствие.

Зафиксируем один элемент множества:

Теперь возьмем произвольное подмножество, и если оно не содержит этот элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, плюс этот элемент. А если выбранное подмножество уже содержит это элемент, то поставим ему в соответствие подмножество, состоящее из тех же элементов, что и выбранное, минус этот элемент. Очевидно, что из этих пар подмножеств одно содержит четное число элементов, а другое — нечетное.

5. Рассмотрим выражение

1. Сколько слагаемых имеет этот многочлен?

а) до приведения подобных членов

б) после приведения подобных членов.

2. Найти коэффициент при произведении

Решение. показать

При возведении суммы слагаемых в степень , мы должны эту сумму умножить на себя раз. Мы получаем сумму одночленов, степень каждого из которых равна m. Число всевозможных произведений, состоящих из  переменных из множества с учетом порядка и возможностью повторения равно числу размещений с повторениями из k по m:

   

Когда мы приводим подобные члены, мы считаем одинаковыми произведения, содержащие равное число множителей каждого вида. В этом случае, чтобы найти число слагаемых многочлена после приведения подобных членов, мы должны найти число сочетаний с повторениями из k по m:

   

Найдем коэффициент при произведении .

Выражение   представляет собой произведение m элементов из множества , причем элемент взят   раз, элемент взят   раз, и так далее, и, наконец, элемент взят   раз. Коэффициент при произведении равен числу возможных произведений:

   

Рассмотрим частный случай: — Бином Ньютона. И получим формулу для биномиальных коэффициентов.

Произвольный член многочлена, полученного возведением двучлена в степень имеет вид , где А — биномиальный коэффициент, . Как мы уже получили,

   

Таким образом,

   

   

Тогда если мы положим х=1 и y=1, то получим, что

   

 

6. Задача про кузнечика.

Есть n клеточек, расположенных последовательно. Кузнечик должен попасть из крайней левой клеточки в крайнюю правую, прыгая вправо на произвольное число клеток.

а) Сколькими способами он может это сделать?

Решение. показать

Изобразим условие задачи:

Кузнечик может попасть в крайнюю правую клетку, побывав, или не побывав в любой внутренней клетке. Присвоим клетке значение 1, если кузнечик в ней побывал, и 0, если нет, например, так:

Тогда у нас есть n-2 клеточек, каждая из которых может принимать значение 0 или 1. Задача сводится к нахождению числа последовательностей, состоящих из n-2 нулей и единиц. Таких последовательностей .

б) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, сделав k шагов?

Решение. показать

Чтобы попасть в n-ю клетку, сделав k шагов, кузнечик должен попасть ровно в k—1  клетку между первой и последней. Так как последний шаг он делает всегда в последнюю клетку. То есть стоит вопрос, сколькими способами можно выбрать k—1 клетку из n-2 клеток?

Ответ: .

в) сколькими способами кузнечик может добраться в n-ю клетку, двигаясь на одну или на две клетки вправо?

Решение.

Распишем, сколькими способами можно попасть в каждую клетку.

В первую и вторую клетки можно попасть единственным способом: в первую — никуда из нее не уходя, и во вторую из первой:

В третью можно попасть из первой или второй, то есть двумя способами:

В четвертую — из второй или третьей, то есть 1+2=3 способами:

В пятую — из третьей или четвертой, то есть 2+3=5 способами: Можно заметить закономерность: чтобы найти число способов, которыми кузнечик может попасть в клетку с номером k нужно сложить число способов, которыми кузнечик может попасть в две предыдущие клетки: 

 

 

Мы получили интересную последовательность чисел — числа  Фибоначчи — это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

 

ege-ok.ru

Задачи по комбинаторике. Примеры решений

Поиск Лекций ЗАДАЧИ 1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе — мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд? 1 способ. Перечислим возможные варианты Чай(Ч) Компот (К) Мясо с макаронами(М) Рыба с картошкой(Р) Курица с рисом(Кр) Борщ (Б) БМЧ/ БМК БРЧ/БРК БКрЧ/БКрК Солянка(С) СМЧ/ СМК СРЧ/СРК СКрЧ/СКрК Грибной суп(Г) ГМЧ/ГМК ГРЧ/ГРК ГКрЧ/ГКрК 18 вариантов. 2 способ. Дерево возможностей. 3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1 2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу? 1 способ. Обозначим мячи — М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5. Перечислим возможные варианты: М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5, М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5, М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5, М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5 М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5, М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5, М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5, М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5 Ответ: 40 вариантов. 2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40 3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? 1 способ. Перечислим возможные варианты. 2 способ. Дерево возможностей. 3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 . 4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу? 1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси: Ответ: 25 человек. 2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25 5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения? 1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно: №1 — Саша — есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев) №2 — Петя — 4 варианта №3- Денис — 3 варианта №4- Оля — 2 варианта №5 — Настя- 1 вариант Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120 2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120 6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)? 1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары: 11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д, 11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д Ответ: 10 пар. 2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных. Число элементарных событий = = 10 7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать? 1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами. Получаем следующие пары: В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А. Ответ: 6 пар. 2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем: х = 6 8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований? Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6 Р1 — имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов И2 — 5 вариантов У3- 4 варианта Н4- 3 варианта К5- 2 варианта Ф6- 1 вариант Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720 2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720 9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых? Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся. Возможны следующие тройки: Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В, Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В, К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В, Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В 2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15 10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого? Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети: =35, число четверок у Вали из 9 дисков — = 126 По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410 11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых? Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 — =70, из 70 рядовых 15 — . По правилу умножения находим число выбора отряда: 10х70х = 700х 12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет? Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 — =126, из 7 сапфиров 2 — =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920 13. На выборах победили 9 человек — Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать? Здесь речь идет о размещениях Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя — из 8, на профорга — из 7 По правилу умножения получаем 9х8х7=504 14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать? На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной — из 24, завуча среднего звена — из 23, завуча по воспитательной работе — 22. По правилу умножения получаем: 25х24х23х22 = 303600 Или, зная формулу размещения, получаем 15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)? Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи — 5х7х9=315, для Коли — 4х6х8=192. По правилу умножения получаем 480х315х192=29030400 способами. 16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся? В русском языке 9 гласных букв — а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами. Применяя правило умножения, получаем: 36х120=4320 17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей? Эта задача на размещение Другой способ решения. 1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами 2цвет выбирается 7 способами 3 цвет — 6способами Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов. 18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные? Из 15 предметов 5 любых можно выбрать 19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета? 1 способ. Обозначим белые — Б1, Б2, Б3, алые — А1,А2, чайные — Ч1, Ч2, Ч3,Ч4 Перечислим возможные варианты Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4 Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4 Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4 Ответ: 24 варианта. 2способ. Дерево возможностей 3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24 20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка-Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М вВ — по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников? 1 способ. Обозначим СБ — путь из Сосновки в Бытовку, ВГ — путь из Быковки в Масловку, МВ — путь из Масловки в Видово. По реке -Р, пешком — П, на автобусе — А Перечислим возможные варианты: СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА Ответ: 12 вариантов. 2 способ. Дерево возможностей Задачи по комбинаторике. Примеры решений   На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики, которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут 😉 Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность)и существенно то, что среди них нет одинаковых. С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:   Рекомендуемые страницы: Поиск по сайту



poisk-ru.ru

Как решать задачи по комбинаторике 🚩 перестановка без повторений 🚩 Математика

13 июля 2011

Автор КакПросто!

Решение задач на нахождение различных комбинаций представляет неподдельный интерес, а комбинаторика применяется во многих областях науки, например, в биологии для расшифровки кода ДНК или на спортивных соревнованиях для расчета количества игр между участниками.

Статьи по теме:

Вам понадобится

Инструкция

Перестановки без повторений – это такие комбинации из n-го количества различных элементов, в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами. P(n )= 1*2*3*…*n=n!Пример
Сколько перестановок можно составить из цифр 5,8,9? Из условия задачи n = 3 (три цифры 5,8,9). Воспользуемся формулой для расчета возможного количества перестановок без повторений: P_(n )= n!
Подставив в формулу n = 3, получим P= 3! = 1*2*3 = 6 Перестановки с повторениями – это такие комбинации из n-го количества элементов (в том числе и повторяющихся), в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами.Рn = n!/n1!* n2!*…*nk!
где n – общее количество элементов, n1, n2…nk – количество повторяющихся элементов

Сочетания без повторений – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m?n), которые отличаются друг от друга только составом элементов (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом).
С = n!/m!(n — m)!

Сочетания с повторениями – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m каждой группе (m – любое), причем допускается повторение одного элемента несколько раз (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом)
С = (n + m – 1)!/m!(n-1)!

Размещения без повторений – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m?n), которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком.
А = n!/(n – m)!

Размещения c повторениями – это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m каждой группе (m – любое), которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком, в которых также допускается повторение элементов.
А = n^m

Данный вопрос можно рассмотреть как с точки зрения стандартных методов и подходов комбинаторики, так и с применением теории вероятности. Это позволяет несколько расширить кругозор, а также взглянуть на поставленную задачу с нестандартной точки зрения.

Инструкция

Как известно, вероятность простых событий определяется по классической формуле Р(А)=m/n, в которой число событий (исходов) конечно и равновозможно. При этом n — общее число исходов, а m – число благоприятных исходов (условию задачи). Теперь, необходимо рассмотреть три наиболее распространенные формулы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения. ПерестановкиПредставьте себе, что на столе лежат пять карточек, на невидимой стороне которых написаны цифры: 1, 2, 3, 4 и 5. Произвольным образом, по одной, они вынимаются, переворачиваются и укладываются по очереди. Какова вероятность того, что извлеченная комбинация будет числом 12345?Количество благоприятных исходов m очевидно – m=1. В то время как всего вариантов n=5!=120, где «!» — знак факториала будет целых 120, а искомая вероятность данного события Р= 1/120, соответственно. В данном примере общее число исходов искали как число всевозможных перестановок пяти элементов по пяти позициям. Поэтому и в произвольном случае n элементов это число называют числом перестановок и обозначают Pn (Pn=n!) СочетанияСледует рассмотреть следующий пример. В корзине находится некоторое количество шаров двух цветов, равное n. В такой постановке задачи, число сочетаний из n элементов по m называют множество способов, отличающихся друг от друга количеством шаров разного цвета в каждой комбинации. При этом n – общее число шаров (элементов), m – число элементов в извлеченной комбинации. Комбинации различны, если они отличаются хотя бы одним элементом. Обозначение числа сочетаний и формула для вычисления приведены на рисунке 1.

Предположительно, необходимо вычислить вероятность выигрыша в спортлото 6 из 49, где «угадано» 4 из 6-ти. Очевидно, что при этом используется формула для сочетания.Общее число исходов С (из 49 по 6)=49!/43!6! Благоприятное число исходов можно найти из следующих соображений. Имеется 6 «хороших» из общего количества 49 номеров. По вопросу задачи достаточно 4-х совпадений. Из 6-ти «хороших» 4 можно выбрать С (из 6 по 4) способами. При этом из оставшихся 43 «плохих» выбираются 2 для дополнения выбранной комбинации до шести элементов С (из 43 по2) способами. Звучит это следующим образом.

Число благоприятных ситуаций собирается как С (из 6 по 4) и С (из 37 по 2) (ситуация логического умножения). Значит m=С(из 6 по 4)∙С(из 43 по 2). Таким образом, вероятность даже самого «мизерного» выигрыша Р=m/n=С(из 6 по 4)∙С(из 43 по 2)/С(из 49 по 6)=(6!/2!4!)(43!/2!41!)/(49!/6!43!)=15*21*43/66*92*47*49=9*43/92*47*154=0,000347.

РазмещенияЕсли в задаче о сочетаниях учесть порядок следования элементов в выбранной комбинации из m элементов, то появится задача о размещениях. Вопрос, на основании которого принимается решением о применении формулы числа сочетаний должен добавочно (по сравнению с сочетаниями) содержать данные о необходимости учета порядка расположения элементов в выбираемых комбинациях. Если выбрано m элементов, то вычисляя число размещений необходимо число сочетаний умножить на число перестановок Pm=m!. Обозначение числа размещений и формулы для его вычисления даны на рис. 2.

Видео по теме

www.kakprosto.ru

Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов

 

Данный раздел содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов: Неопределенный интеграл, примеры решений.

Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл, с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. 7.2.3.) и на вычисление объёма тела вращения (см. 7.2.4.).

Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала рассмотрим особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой. Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!

Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных и нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе, более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основной материал предыдущих разделов: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.

 

 

Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку

 

Рассмотрим определенный интеграл вида

.

Легко заметить, что отрезок интегрирования [-c; c] симметричен относительно нуля.

Если подынтегральная функция f(x) является чётной, то интеграл

можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить:

.

Многие догадались, почему это так, но рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

.

О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций. Повторим ещё раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство f(-x) = f(x).

Как проверить функцию на чётность? Нужно вместоx подставить —x.

В данном случае: и .

Значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:

 

 

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси OY:

 

 

Определенный интеграл

численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а, значит, и симметричности её графика относительно оси OY, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые половинки есть геометрическое выражение свойства четности. Именно поэтому справедливо действие

.

 

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией f(x) по симметричному относительно нуля отрезку:

 

.

Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Заметим, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.

Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает.

Короткий пример для самостоятельного решения:

 

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

.

Полное решение и ответ в конце урока.

 

Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Рисунок к Примеру 1 дан только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:

 

Пример 3

3.1. Вычислить определенный интеграл

.

3.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

, и осью OX на интервале .

 

Это две разные задачи!Сначала разберемся с первым пунктом:

1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

.

Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!

Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:

 

На отрезке график функции расположен ниже оси OX, поэтому:

 

Площадь не может быть отрицательной, именно поэтому в формуле вычисления площади добавляют минус (см. также Пример 3 из раздела 7.2.3.).

Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять разделили отрезок и удвоили интеграл.

 

 



infopedia.su

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Содержание

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция

определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок

точками на n частичных отрезков ;

2) в каждом из частичных отрезков

, выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3) найдем произведения

, где – длина частичного отрезка , ;

4) составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f ( x ) на отрезке [ а, b ]. С геометрической точки зрения интегральная сумма

представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5) найдем предел интегральной суммы, когда

.

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка

на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом,

.

В этом случае функция

называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция

непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке

задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f ( x ), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл

от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Если

, то, по определению, полагаем

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция

интегрируема на и , то .

7. ( теорема о среднем ). Если функция

непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

4. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция

непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность

принято записывать следующим образом: ,

где символ

называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную

для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

mirznanii.com

Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов

 

Данный раздел содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыками интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов: Неопределенный интеграл, примеры решений.

Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл, с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры (см. 7.2.3.) и на вычисление объёма тела вращения (см. 7.2.4.).

Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала рассмотрим особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой. Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!

Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных и нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе, более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основной материал предыдущих разделов: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.

 

 

Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку

 

Рассмотрим определенный интеграл вида

.

Легко заметить, что отрезок интегрирования [-c; c] симметричен относительно нуля.

Если подынтегральная функция f(x) является чётной, то интеграл

можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить:

.

Многие догадались, почему это так, но рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

.

О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций. Повторим ещё раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство f(-x) = f(x).

Как проверить функцию на чётность? Нужно вместоx подставить —x.

В данном случае: и .

Значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:

 

 

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси OY:

 

 

Определенный интеграл

численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а, значит, и симметричности её графика относительно оси OY, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые половинки есть геометрическое выражение свойства четности. Именно поэтому справедливо действие

.

 

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией f(x) по симметричному относительно нуля отрезку:

 

.

Некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно, можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Заметим, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже.

Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает.

Короткий пример для самостоятельного решения:

 

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

.

Полное решение и ответ в конце урока.

 

Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Рисунок к Примеру 1 дан только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:

 

Пример 3

3.1. Вычислить определенный интеграл

.

3.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

, и осью OX на интервале .

 

Это две разные задачи!Сначала разберемся с первым пунктом:

1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

.

Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!

Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:

 

На отрезке график функции расположен ниже оси OX, поэтому:

 

Площадь не может быть отрицательной, именно поэтому в формуле вычисления площади добавляют минус (см. также Пример 3 из раздела 7.2.3.).

Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять разделили отрезок и удвоили интеграл.

 

 

megaobuchalka.ru

Новиков Ф.А. Дискретная математика: Учеб. для вузов. 2-е изд. Стандарт третьего поколения. СПб.: Питер, с.

М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ Ижевск: НИЦ «РХД», 2001, 288 стр. Изложен ряд основных разделов

М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ Ижевск: НИЦ «РХД», 2001, 288 стр. Изложен ряд основных разделов теории графов и матроидов. Рассмотрены алгоритмы дискретной

Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя

Пример.
Вычислить пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ;
2) ;
3) .
 
Решение.
1)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть бесконечность), то получим неопределенность :

Избавимся от полученной неопределенности вынесением за скобки переменной в старшей степени для числителя и для знаменателя:

 
2)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть 2), то получим неопределенность :

Избавимся от неопределенности умножением числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение к знаменателю дроби:

 
3)
Для решения этого предела выполним замену .
Подставим в начальное выражение:

Воспользуемся формулой первого замечательного предела и получим:

ru.solverbook.com

Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя

Как найти предел не пользуясь правилом Лопиталя постараюсь объяснить на примерах.

Пример 1.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

Решение.

При непосредственной подстановке значения 3 вместо переменной х получили неопределенность типа . Чтобы избавиться от такого вида неопределенности нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение:

Ответ. .

Пример 2.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

Решение.
При непосредственной подстановке вместо переменной х его значения получаем неопределенность :

Чтобы от нее избавиться поделим числитель и знаменатель на переменную в наибольшей степени:

Теперь подставим вместо х его значение и получим:

Ответ. .

ru.solverbook.com

Вычислить пределы используя правило Лопиталя

Чтобы вычислить пределы, используя правило Лопиталя, вспомним его сущность:
Если при непосредственной подстановке вместо х значения, к которому он стремится, получают неопределенность вида бесконечность на бесконечность или ноль на ноль, то их можно раскрыть с помощью вычисления вместо функций числителя и знаменателя их производных.
 
Пример 1.
Найдем .
 
Решение.
Подставим вместо х значение, к которому он стремится (то есть ):

В этом случае мы можем воспользоваться правилом Лопиталя и избавиться от этой неопределенности:

 
Ответ. .
 
Применив правило Лопиталя, можно опять получить неопределенность этих двух видов (, ). Тогда это правило можно применять еще сколько угодно раз.
 
Пример 2.
Найдем .
 
Решение.
Подставим значение х:

Избавимся от полученной неопределенности, вычислив предел от частного производных числителя и знаменателя:

Получили снова неопределенность . Можем применить правило Лопиталя еще раз:

Обратим внимание, что когда применяете правило Лопиталя не один раз, то нужно каждый раз проверять раскрылась ли неопределенность. В противном случае получится неправильный результат.
 

ru.solverbook.com