Рубрика: Школьная жизнь

Оксид фосфора (V) | справочник Пестициды.ru

Информация

Традиционно содержание Фосфора в удбрениях выражают содержанием Оксида фосфора.

Все свойства Фосфора, как питательного элемента описаны в статье Фосфор.

Подробнее >>>

Химические и физические свойства

Оксид фосфора – бесцветное аморфное или стекловидное вещество, существующеев трех кристаллических, двух аморфных и двух жидких формах.^[1]

Токсичное вещество. Вызывает ожоги кожи и раздражение слизистой оболочки.

Пентаоксид фосфора очень гигроскопичен. Реагирует со спиртами эфирами, фенолами, кислотами и прочими веществами. В процессе реакции с органическими веществами происходит разрыв связей фосфора с кислородом, и образуются фосфорорганические соединения. Вступает в химические реакции с аммиаком (NH₃) и галогеноводородами с образованием фосфатов аммония и оксигалогенидов фосфора. С основными оксидами образует фосфаты.^[3]

Трехмерная модель молекулы

Содержание пентаоксида фосфора в почве и удобрениях

Фактически в почве имеются только соли ортофосфорной кислоты H₃PO₄, но в сложных удобрениях могут быть и соли мета-, пиро- и полифосфорных кислот.^[4]

Основой для образования ортофосфорной кислоты является пентаоксида фосфора. Именно поэтому, а так же в связи с тем, что растения не поглощают элементарный фосфор, условлено обозначать концентрацию фосфора через содержание пентаоксида фосфора.^[2]

P₂O₅ + 3H₂O → 2H₃PO₄

Все встречающиеся в почве соли ортофосфорной кислоты и одновалентных катионов (NH₄⁺, Na⁺, K⁺) и однозамещенные соли двухвалентных катионов (Ca(H₂PO₄)₂ и Mg(H₂PO₄)₂) растворимы в воде.

Двузамещенные соли двухвалентных катионов в воде не растворимы, но легко растворяются в слабокислых кислотах корневых выделений и органических кислотах жизнедеятельности микроорганизмов. В этой связи они так же являются хорошим источником P₂O₅ для растений.^[4]

Поглощение пентаоксида фосфора растениями

Как указывалось выше, в природе основной источник фосфора – это соли ортофосфорнонй кислоты H₃PO₄. Однако после гидролиза пиро-, поли- и метафосфаты так же используются практически всеми культурами.

Гидролиз пирофосфата натрия:

Na₄P₂O₇ + H₂O + 2H⁺ → 2NaH₂PO₄ +2Na⁺

Гидролиз триполифосфата натрия:

Na₅P₃O₁₀ + 2H₂O + 2H⁺ → 3NaH₂PO₄ +2Na⁺

Гидролиз метафосфат иона (в кислой среде):

(PO₃)₆^6- + 3H₂O → H₂P₃O₁₀^3- + H₂P₂O₇^2- + H₂PO₄^—

Ортофосфорная кислота, будучи трехосновной отдиссоциирует три аниона H₂PO^—₄, HPO₄^2-, PO₄ ^3- . В условиях слабокислой реакции среды, именно в них возделываются растения, наиболее распространен и доступен первый ион, в меньшей степени второй и практически недоступен третий. Однако люпин, гречиха, горчица, горох, донник, конопля и другие растения способны усваивать фосфор из трехзамещенных фосфатов.^[4]

Некоторые растения приспособились усваивать фосфат-ион из фосфорорганических соединений (фитин, глицефосфаты и прочее). Корни данных растений выделяют особый фермент (фотофтазу), который и отщипляет анион фосфорной кислоты от органических соединений, а затем растения поглощают этот анион. К подобного рода растениям относятся горох, бобы, кукуруза. Причем фосфатазная активность возрастает в условиях фосфорного голода.

Многие растения могут питаться фосфором из очень разбавленных растворов, вплоть до 0,01 мг /л P₂O₅ . Естественно, что удовлетворить потребность в фосфоре растения могут только при условии постоянного возобновления в нем концентрации хотя бы такого же низкого уровня.

Опытным путем установлено, что поглощаемый корнями фосфор прежде всего идет на синтез нуклеотидов, а для дальнейшего продвижения в наземную часть фосфаты вновь поступают в проводящие сосуды корня в виде минеральных соединений.^[4]

Рерасчет содержения фосфора в удобрениях

В некоторых случаях требуется рассчитать процентное содержание фосфора в удобрении, если дано содержание по P₂O₅. Расчет производится по формуле:

y = x,% × 30,974 (молярная масса P) × 2 / 30,974 (молярная масса P) × 2 + 15,999 (молярная масса O) × 5

где:

х – содержание P₂O₅ в удобрении, %;

y – содержание P в удобрении, %

Или:

y = x, % × 0,43643

Например:

в удобрении содержится 40% оксида фосфора

для пересчета процентного содержания элемента фосфор в удобрении нужно умножить массовую долю оксида в удобрении на массовую долю элемента в оксиде (для P₂O₅ – 0,43643): 40 * 0,43643 = 17,4572 %

Статья составлена с использованием следующих материалов:

Литературные источники:

Ван Везер «Фосфор и его соединения». Монография. т. 1.: Изд-во иностранной литературы, М., 1962.

Калинский А.А., Вильдфлуш И.Р., Ионас В.А. и др. –  Агрохимия в вопросах и ответах – Мн.: Урожай,1991. – 240 с.: ил.

Химическая энциклопедия:  в пяти томах: т.1: А-Дарзана/Редкол.: Кнунянц И.Л. (гл. ред.) и др. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 623.: ил

Ягодин Б.А., Жуков Ю.П., Кобзаренко В.И. Агрохимия / Под редакцией Б.А. Ягодина.– М.: Колос, 2002.– 584 с.: ил (Учебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений).

www.pesticidy.ru

Химия фосфора и его соединений

1. Положение фосфора в периодической системе химических элементов
2. Строение атома фосфора
3. Физические свойства и нахождение в природе
4. Строение молекулы
5. Соединения фосфора
6. Способы получения
7. Химические свойства
7.1. Взаимодействие с простыми веществами
7.1.1. Взаимодействие с кислородом
7.1.2. Взаимодействие с галогенами
7.1.3. Взаимодействие с серой 
7.1.4. Взаимодействие с металлами
7.1.5. Взаимодействие с активными металлами
7.1.6. Взаимодействие с водородом
7.2. Взаимодействие со сложными веществами
7.2.1. Взаимодействие с окислителями
7.2.2. Взаимодействие с щелочами

Фосфин
1. Строение молекулы и физические свойства 
2. Способы получения
3. Химические свойства
3.1. Основные свойства
3.2. Взаимодействие с кислородом
3.3. Восстановительные свойства

Фосфиды
Способы получения фосфидов
Химические свойства фосфидов

Оксиды фосфора
 1. Оксид фосфора (III) 
 2. Оксид фосфора (V) 

Фосфорная кислота 
 1. Строение молекулы и физические свойства 
 2. Способы получения 
3. Химические свойства 

3.1. Диссоциация фосфорной кислоты
3.2. Кислотные свойства фосфорной кислоты 
3.3. Взаимодействие с солями более слабых кислот
3.4. Разложение при нагревании
3.5. Взаимодействие с металлами
3.6. Качественная реакция на фосфат-ионы

Фосфористая кислота 

Соли фосфорной кислоты

Фосфор

Положение в периодической системе химических элементов

Фосфор расположен в главной подгруппе V группы  (или в 15 группе в современной форме ПСХЭ) и в третьем периоде периодической системы химических элементов Д.И. Менделеева.

Электронное строение фосфора

Электронная конфигурация  фосфора в основном состоянии:

Атом фосфора содержит на внешнем энергетическом уровне 3 неспаренных электрона и одну неподеленную электронную пару в основном энергетическом состоянии. Следовательно, атом фосфора может образовывать 3 связи по обменному механизму. Однако, в отличие от азота, за счет вакантной 3d орбитали атом фосфора может переходить в возбужденное энергетическое состояние. 

Электронная конфигурация  фосфора в возбужденном состоянии:

При этом один электрон из неподеленной электронной пары на 3s-орбитали переходит на  переходит на 3d-орбиталь. Для атома фосфора в возбужденном энергетическом состоянии характерна валентность V.

Таким образом, максимальная валентность фосфора в соединениях равна V (в отличие от азота). Также характерная валентность фосфора в соединениях — III.

Степени окисления атома фосфора – от -3 до +5. Характерные степени окисления -3, 0, +1, +3, +5.

Физические свойства и нахождение в природе

Фосфор образует различные простые вещества (аллотропные модификации).

Белый фосфор — это вещество состава P₄. Мягкий, бесцветный, ядовитый, имеет характерный чесночный запах. Молекулярная кристаллическая решетка, а следовательно, невысокая температура плавления (44°С), высокая летучесть.  Очень реакционноспособен, самовоспламеняется на воздухе.

Красный фосфор – это модификация с атомной кристаллической решеткой. Формула красного фосфора P_n, это полимер со сложной структурой. Твердое вещество без запаха, красно-бурого цвета, не ядовитое. Это гораздо более устойчивая модификация, чем белый фосфор. В темноте не светится. Образуется из белого фосфора при t=250-300^оС без доступа воздуха.

Черный фосфор – то наиболее стабильная термодинамически и химически наименее активная форма элементарного фосфора. Чёрный фосфор — это чёрное вещество с металлическим блеском, жирное на ощупь и весьма похожее на графит, полностью нерастворимое в воде или органических растворителях.

Известны также такие модификации, как желтый фосфор и металлический фосфор. Желтый фосфор – это неочищенный белый фосфор. При очень высоком давлении фосфор переходит в новую модификацию – металлический фосфор, который очень хорошо проводит электрический ток.

В природе фосфор встречается только в виде соединений. В основном это апатиты (например, Ca₃(PO₄)₂), фосфориты и др. Фосфор входит в состав важнейших биологических соединений —фосфолипидов.

Соединения фосфора

Типичные соединения фосфора:

Способы получения фосфора

1. Белый фосфор получают из природных фосфатов, прокаливая их с коксом и песком в электрической печи:

Ca₃(PO₄)₂    +   3SiO₂   +   5C     →  3CaSiO₃    +    5CO    +    2P

2. Вместо фосфатов можно использовать другие неорганические соединения фосфора, например, метафосфорную кислоту.

4HPO₃   +  10C    →    P₄  +  2H₂O   +   10 CO

3. Красный и черный фосфор получают из белого фосфора.

Химические свойства фосфора

При нормальных условиях фосфор довольно химически активен.

1. Фосфор проявляет свойства окислителя (с элементами, которые расположены ниже и левее в Периодической системе) и свойства восстановителя (с элементами, расположенными выше и правее). Поэтому фосфор реагирует с металлами и неметаллами.

1.1. При взаимодействии с кислородом воздуха образуются оксиды – ангидриды соответствующих кислот:

4P    +   3O₂    →  2P₂O₃

4P    +   5O₂    →  2P₂O₅

1.2. При взаимодействии фосфора с галогенами образуются галогениды с общей формулой  PHal₃ и PHal₅:

2P    +   3Cl₂    →  2PCl₃

2P    +   5Cl₂    →  2PCl₅

1.3. При взаимодействии фосфора с серой образуются сульфиды:

2P    +   3S   →   P₂S₃

2P    +   5S   →   P₂S₅

1.4. При взаимодействии с металлами фосфор проявляет свойства окислителя, продукты реакции называют фосфидами.

Например, кальций и магний реагируют с фосфором с образованием фосфидов кальция и магния:

2P    +   3Ca   →   Ca₃P₂

2P    +   3Mg   →   Mg₃P₂

Еще пример: натрий взаимодействует с фосфором с образованием фосфида натрия:

P    +   3Na   →  Na₃P

1.5. С водородом фосфор непосредственно не взаимодействует.

2. Со сложными веществами фосфор реагирует, проявляя окислительные и восстановительные свойства. Фосфор диспропорционирует при взаимодействии с некоторыми веществами.

2.1. При взаимодействии с окислителями фосфор окисляется до оксида фосфора (V) или до фосфорной кислоты.

Например, азотная кислота окисляет фосфор до фосфорной кислоты:

5HNO₃      +    P     →   H₃PO₄     +   5NO₂↑    +    H₂O

5HNO₃      +    3P     +    2H₂O   →    3H₃PO₄     +   5NO↑

Серная кислота также окисляет фосфор:

2P    +    3H₂SO₄  →  2H₃PO₄   +  3SO₂

Соединения хлора, например, бертолетова соль,  также окисляют фосфор:

6P     +   5KClO₃    →   3P₂O₅   +   5KCl

Некоторые металлы-сильные окислители также окисляют фосфор. Например, оксид серебра (I):

2P    +   5Ag₂O   →   P₂O₅    +   10Ag

2.2. При растворении в щелочах фосфор диспропорционирует до гипофосфита и фосфина.

Например, фосфор реагирует с гидроксидом калия:

4P    +   3KOH   +   3H₂O   →   3KH₂PO₂   +   PH₃↑   или

P₄    +    3KOH    +   3H₂O   →   3KH₂PO₂    +   PH₃↑

Или с гидроксидом кальция:

8P      +    3Ca(OH)₂    +    6H₂O   →   3Ca(H₂PO₂)₂   +   2PH₃↑  

Фосфин

Строение молекулы и физические свойства

Фосфин PH₃ – это бинарное соединение водорода с фосфором, относится к летучим водородным соединениям. Следовательно, фосфин газ, с неприятным запахом, бесцветный, мало растворимый в воде, химически нестойкий и ядовитый. Водородные связи между молекулами фосфина не образуются. В твердом состоянии имеет молекулярную кристаллическую решетку.

Геометрическая форма молекулы фосфина похожа на структуру аммиака — правильная треугольная пирамида. Но валентный угол H-P-H меньше, чем угол H-N-H в аммиаке и составляет 93,5^о.

 У атома фосфора в фосфине на внешнем энергетическом уровне остается неподеленная электронная пара. Эта электронная пара оказывает значительное влиение на свойства фосфина, а также на его структуру. Электронная структура фосфина — тетраэдр , с атомом фосфора в центре.

Способы получения фосфина

В лаборатории фосфин получают водным или кислотным гидролизом фосфидов – бинарных соединений фосфора и металлов.

Например, фосфин образуется при водном гидролизе фосфида кальция:

Ca₃P₂    +   6H₂O  →   3Са(ОН)₂    +   2PH₃

Или при кислотном гидролизе, например, фосфида магния в соляной кислоте:

Mg₃P₂      +   6HCl →   3MgCl₂    +   2PH₃↑

Еще один лабораторный способ получения фосфина – диспропорционирование фосфора в щелочах.

Например, фосфор реагирует с гидроксидом калия с образованием гипофосфита калия и фосфина:

4P    +   3KOH   +   3H₂O   →   3KH₂PO₂   +   PH₃↑

Химические свойства фосфина

1. В водном растворе фосфин проявляет очень слабые основные свойства (за счет неподеленной электронной пары). Принимая протон (ион H⁺), он превращается в ион фосфония. Основные свойства фосфина гораздо слабее основных свойств аммиака. Проявляются при взаимодействии с безводными кислотами.

Например, фосфин реагирует с йодоводородной кислотой:

PH₃   +   HI   →  PH₄I

Соли фосфония неустойчивые, легко гидролизуются.

2. Фосфин PH₃ – сильный восстановитель за счет фосфора в степени окисления -3. На воздухе самопроизвольно самовоспламеняетя:

2PH₃    +   4O₂  →   P₂O₅   +   3H₂O

PH₃    +   2O₂  →   H₃PO₄

3. Как сильный восстановитель, фосфин легко окисляется под действием окислителей.

Например, азотная кислота окисляет фосфин. При этом фосфор переходит в сетпень окисления +5 и образует фосфорную кислоту.

PH₃    +   8HNO₃  →   H₃PO₄   +    8NO₂    +  4H₂O

Серная кислота также окисляет фосфин:

PH₃    +  3H₂SO₄      →    H₃PO₄   +    3SO₂    +  3H₂O

С фосфином также реагируют другие соединения фосфора, с более высокими степенями окисления фосфора.

Например, хлорид фосфора (III) окисляет фосфин:

2PH₃    +   2PCl₃    →   4P     +   6HCl 

Фосфиды

Фосфиды – это бинарные соединения фосфора и металлов или некоторых неметаллов.

Способы получения фосфидов

Фосфиды получают при взаимодействии фосфора с металлами. При этом фосфор проявляет свойства окислителя.

Например, фосфор взаимодействует с магнием и кальцием:

2P    +   3Mg   →   Mg₃P₂

2P    +   3Ca   →   Ca₃P₂

Фосфор взаимодействует с натрием:

P    +   3Na   →  Na₃P

Химические свойства фосфидов

1. Фосфиды легко разлагаются водой или кислотами с образованием фосфина.

Например, фосфид кальция разлагается водой:

Ca₃P₂    +   6H₂O   →  3Са(ОН)₂    +   2PH₃↑

Фосфид магния разлагается соляной кислотой:

Mg₃P₂      +   6HCl   →   3MgCl₂    +   2PH₃↑

2. Фосфиды металлов проявляют сильные восстановительные свойства за счет фосфора в степени окисления -3.

Оксиды фосфора

Оксид фосфора (III)

Оксид фосфора (III) –  это кислотный оксид. Белые кристаллы при обычных условиях.  Пары состоят из молекул P₄O₆.

Получить оксид фосфора (III) можно окислением фосфора при недостатке кислорода:

4P    +   3O₂    →  2P₂O₃

Химические свойства оксида фосфора (III):

Оксид фосфора (III) очень ядовит и неустойчив. Для P₂O₃  (P₄O₆) характерны два типа реакций.

1. Поскольку фосфор в оксиде фосфора (III) проявляет промежуточную степень окисления, то он принимает участие в окислительно-восстановительных процессах, повышая либо понижая степень окисления атома фосфора. Характерны для P₂O₃ реакции диспропорционирования.

Например, оксид фосфора (III) диспропорционирует в горячей воде:

2Р₂О₃    +   6Н₂О _(гор.)    →  РН₃    +   3Н₃РО₄

2. При взаимодействии с окислителями P₂O₃ проявяет свойства восстановителя.

Например, N₂O окисляется кислородом:

Р₂О₃    +   О₂  →  Р₂О₅

3. С другой стороны Р₂О₃  проявляет свойства кислотного оксида (ангидрид фосфористой кислоты), взаимодействуя с водой с образованием  фосфористой кислоты:

Р₂О₃    +   3Н₂О   →   2Н₃РО₃

а со щелочами – с образованием солей (фосфитов):

Р₂О₃    +  4KOH   →   2K₂HРО₃  +   H₂O

Оксид фосфора (V)

Оксид фосфора (V) –  это кислотный оксид.  В нормальных условиях образует белые кристаллы. В парах состоит из молекул P₄H₁₀. Очень гигроскопичен (используется как осушитель газов и жидкостей).

Способы получения. Оксид фосфора (V) получают сжиганием фосфора в избытке кислорода.

4P    +   5O₂    →   2P₂O₅

Химические свойства.

1. Оксид фосфора (V) – очень гигроскопичное вещество, которое используется для осушения газов. Обладая высоким сродством к воде, оксид фосфора (V) дегидратирует до ангидридов неорганические и органические кислоты.

Например, оксид фосфора (V) дегидратирует серную, азотную и уксусную кислоты:

P₂O₅  +   H₂SO₄   → 2HPO₃  +   SO₃

P₂O₅   +  2HNO₃  →  2HPO₃  +  N₂O₅

P₂O₅   +   2CH₃COOH   →   2HPO₃  +   (CH₃CO)₂O

2. Фосфорный ангидрид  является типичным кислотным оксидом, взаимодействует с водой с образованием фосфорных кислот:

P₂O₅   +   3H₂O   →  2H₃PO₄ 

В зависимости от количества воды и от других условий образуются мета-фосфорная, орто-фосфорная или пиро-фосфорная кислота:

P₂O₅   +   2H₂O   →  2H₄P₂O₇ 

P₂O₅   +  H₂O   →  HPO₃

Видеоопыт взаимодействия оксида фосфора с водой можно посмотреть здесь. 

3. Как кислотный оксид, оксид фосфора (V) взаимодействует с основными оксидами и основаниями.

Например, оксид фосфора (V) взаимодействует с гидроксидом натрия. При этом образуются средние или кислые соли:

P₂O₅   +   6NaOH   →   2Na₃PO₄  +   3H₂O

P₂O₅   +   2NaOH   +   H₂O   →  2NaH₂PO₄ 

P₂O₅   +   4NaOH    →  2Na₂HPO₄  +   H₂O

Еще пример: оксид фосфора взаимодействует с оксидом бария (при сплавлении):

P₂O₅   +   3BaO    →   Ba₃(PO₄)₂

 Фосфорная кислота

Строение молекулы и физические свойства

Фосфор в степени окисления +5 образует несколько кислот: орто-фосфорную H₃PO₄, мета-фосфорную HPO₃, пиро-фосфорную H₄P₂O₇.

Фосфорная кислота H₃PO₄ – это кислота средней силы, трехосновная, прочная и нелетучая. При обычных условиях фосфорная кислота – твердое вещество, хорошо растворимое в воде и гигроскопичное.

Валентность фосфора в фосфорной кислоте равна V.

При температуре выше +213 °C орто-фосфорная кислота переходит в пирофосфорную H₄P₂O₇.

При взаимодействии высшего оксида фосфора с водой на холоде образуется метафосфорная кислота HPO₃, представляющая собой прозрачную стекловидную массу.

Способы получения

Наибольшее практическое значение из фосфорных кислот имеет орто-фосфорная кислота.

1. Получить орто-фосфорную кислоту можно взаимодействием оксида фосфора (V) с водой:

P₂O₅   +   3H₂O    →    2H₃PO₄

2. Еще один способ получения фосфорной кислоты — вытеснение фосфорной кислоты из солей (фосфатов, гидрофосфатов и дигидрофосфатов) под действием более сильных кислот (серной, азотной, соляной и др.).

Промышленный способ получения фосфорной кислоты обработка фосфорита концентрированной серной кислотой:

Ca₃(PO₄)_2(тв)    +  3H₂SO_4(конц)  →   2H₃PO₄   +   3CaSO₄

3. Фосфорную кислоту также можно получить жестким окислением соединений фосфора в водном растворе в присутствии кислот.

Например, концентрированная азотная кислота окисляет фосфор до фосфорной кислоты:

5HNO₃      +    P     →   H₃PO₄     +   5NO₂↑    +    H₂O

Химические свойства

Фосфорная кислота – это кислота средней силы (по второй и третьей ступени слабая).

1. Фосфорная кислота частично и ступенчато диссоциирует в водном растворе.

H₃PO₄  ⇄  H⁺ + H₂PO₄^–

H₂PO₄^–  ⇄  H⁺ + HPO₄^2–

 HPO₄^2– ⇄ H⁺ + PO₄^3–

2. Фосфорная кислота реагирует с основными оксидами, основаниями, амфотерными оксидами  и амфотерными гидроксидами. 

Например, фосфорная кислота взаимодействует с оксидом магния:

2H₃PO₄    +   3MgO   →   Mg₃(PO₄)₂   +   3H₂O

Еще пример: при взаимодействии фосфорной кислоты с гидроксидом калия образуются фосфаты, гидрофосфаты или дигидрофосфаты:

H₃PO₄    +   КОН     →     KH₂РО₄  +   H₂O

H₃PO₄    +   2КОН      →     К₂НРО₄  +   2H₂O

H₃PO₄    +   3КОН     →    К₃РО₄  +   3H₂O

3. Фосфорная кислота вытесняет более слабые кислоты из их солей (карбонатов, сульфидов и др.).  Также фосфорная кислота вступает в обменные реакции с солями.

Например, фосфорная кислота взаимодействует с гидрокарбонатом натрия:

Н₃PO₄   +   3NaHCO₃   →   Na₃PO₄   +   CO₂   +  3H₂O

4. При нагревании H₃PO₄  до 200°С происходит отщепление от нее молекулы воды с образованием пирофосфорной кислоты H₂P₂O₇:

2H₃PO₄   →  H₂P₂O₇   +   H₂O

5. Фосфорная кислота взаимодествует с металлами, которые расположены в ряду активности металлов до водорода. При этом образуются соль и водород.

Например, фосфорная кислота реагирует с магнием:

2H₃PO₄    +   3Mg   →    Mg₃(PO₄)₂   +   3H₂

Фосфорная кислота взаимодействует также с аммиаком с образованием солей аммония:

2H₃PO₄   +   3NH₃    →    NH₄H₂PO₄     +   (NH₄)₂HPO₄

7. Качественная реакция на фосфат-ионы и фосфорную кислоту — взаимодействие с нитратом серебра. При этом образуется ярко-желтый осадок фосфата серебра:

Н₃PO₄   +    3AgNO₃    →   Ag₃PO₄↓  +   3НNO₃

Видеоопыт взаимодействия фосфата натрия и нитрата серебра в растворе  (качественная реакция на фосфат-ион) можно посмотреть здесь.

Фосфористая кислота

Фосфористая кислота H₃PO₃ — это двухосновная кислородсодержащая кислота. При нормальных условиях бесцветное кристаллическое вещество, хорошо растворимое в воде.

Валентность фосфора в фосфористой кислота равна V, а степень окисления +3.

Получение фосфористой кислоты.

Фосфористую кислоту можно получить гидролизом галогенидов фосфора (III).

Например, гидролизом хлорида фосора (III):

PCl₃   +   3H₂O   →    H₃PO₃   +   3HCl

Фосфористую кислоту можно получить также взаимодействием оксида фосфора (III) с водой:

Р₂О₃    +   3Н₂О   →   2Н₃РО₃

Химические свойства.

1. Фосфористая кислота H₃PO₃  в водном растворе — двухосновная кислота средней силы. Взаимодействует с основаниями с образованием солей-фосфитов.

Например, при взаимодействии с гидроксидом натрия фосфористая кислота образует фосфит натрия:

H₃PO₃  + 2NaOH → Na₂HPO₃   + 2H₂O

2. При нагревании фосфористая кислота разлагается на фосфин (Р^-3) и фосфорную кислоту (Р⁺⁵):

4H₃PO₃   →   3H₃PO₄  + PH₃

3. За счет фосфора в степени окисления +3 фосфористая кислота проявляет восстановительные свойства.

Например, H₃PO₃ окисляется перманганатом калия в кислой среде:

5H₃PO₃    +   2KMnO₄   +   3H₂SO₄    →  5H₃PO₄   +   K₂SO₄    +   2MnSO₄   +  3H₂O

Еще пример: фосфористая кислота окисляется соединениями ртути (II):

H₃PO₃   +  HgCl₂  + H₂O →  H₃PO₄  + Hg + 2HCl

Соли фосфорной кислоты — фосфаты

Фосфорная кислота образует разные типы солей: средние – фосфаты, кислые – гидрофосфаты, дигидрофосфаты.

1. Качественная реакция на фосфаты — взаимодействие с нитратом серебра. При этом образуется желтый осадок фосфата серебра. 

K₃PO₄   +    3AgNO₃    →   Ag₃PO₄↓  +   3KNO₃

2. Нерастворимые фосфаты растворяются под действием сильных кислот, либо под действием фосфорной кислоты.

Например, фосфат кальция реагирует с фосфорной кислотой с образованием дигидрофосфата кальция:

Ca₃(PO₄)₂    +   4H₃PO₄    →   3Ca(H₂PO₄)₂

Фосфат кальция растворяется под действием серной кислоты:

Ca₃(PO₄)₂    +  2H₂SO₄  →   Ca(H₂PO₄)₂   +   2CaSO₄

3. За счет фосфора со степенью окисления +5 фосфаты проявляют слабые окислительные свойства и могут взаимодействовать с восстановителями.

Например, фосфат кальция при сплавлении реагирует с углеродом с образованием фосфида кальция и угарного газа:

Ca₃(PO₄)₂    +  8C   →   Ca₃P₂   +   8CO

Фосфат кальция также восстанавливается алюминием при сплавлении:

3Ca₃(PO₄)₂    +  16Al   →   3Ca₃P₂   +   8Al₂O₃

4. Гидрофосфаты могут взаимодействовать и с более сильными кислотами, и с щелочами. Под действием фосфорной кислоты гидрофосфаты переходят в дигидрофосфаты.

Например, гидрофосфат калия взаимодействует с фосфорной кислотой с  образованием дигидрофосфата калия:

K₂HPO₄    +   H₃PO₄  →  2KH₂PO₄

Под действием едкого кали гидрофосфат калия образует более среднюю соль — фосфат калия:

K₂HPO₄    +   KOH   →  K₃PO₄  +   H₂O

5. Дигидрофосфаты могут взаимодействовать с более сильными кислотами и щелочами, но не реагируют с фосфорной кислотой.

Например, дигидрофосфат натрия взаимодействует с избытком гидроксида натрия с образованием фосфата:

NaH₂PO₄    +   2NaOH   →  Na₃PO₄  +   2H₂O

Поделиться ссылкой:

chemege.ru

P2O5 какой это оксид

Оксид фосфора (V) (фосфорный ангидрид) представляет собой очень гигроскопичное вещество белого цвета. Является сильнейшим дегидратирующим агентом. Существует в аморфном (в виде хлопьев), стеклообразном и кристаллическом состояниях. При нагревании кристаллический оксид фосфора (V) возгоняется. Плавится только под избыточным давлением, переходя при этом в легкоподвижную жидкость. При дальнейшем нагревании полимеризуется, при охлаждении жидкости образуется стеклообразный продукт состава .
Оксид фосфора (V) проявляет кислотные свойства (P2O5 какой это оксид). Энергично реагирует с водой, щелочами. Легко галогенируется. Восстанавливается фосфором. Образует пероксосоединения.

Оксид фосфора (V) в промышленных масштабах получают сжиганием фосфора в избытке кислорода или воздуха:

ru.solverbook.com

P + O2 = P2O5 расставить коэффициенты

Реакция протекает по схеме:
P + O2 = P2O5.
В ходе реакции степень окисления фосфора повышается от 0 до (+5) (фосфор окисляется), а кислорода – понижается от 0 до (-2) (кислород восстанавливается).
Уравнение полуреакции окисления фосфора:

Уравнение полуреакции восстановления кислорода:

Поскольку отношение чисел электронов, принятых при восстановлении кислорода и отданных при окислении фосфора, равно 2:5, то, складывая уравнения полуреакций восстановления и окисления, первое из них нужно домножить на 2, а второе – на 5:

В молекулярной форме полученное уравнение имеет следующий вид:

Оксид фосфора (V) (фосфорный ангидрид) представляет собой очень гигроскопичное вещество белого цвета. Является сильнейшим дегидратирующим агентом. Существует в аморфном (в виде хлопьев), стеклообразном и кристаллическом состояниях. При нагревании кристаллический оксид фосфора (V) возгоняется. Плавится только под избыточным давлением, переходя при этом в легкоподвижную жидкость. При дальнейшем нагревании полимеризуется, при охлаждении жидкости образуется стеклообразный продукт состава .
Оксид фосфора (V) проявляет кислотные свойства. Энергично реагирует с водой, щелочами. Легко галогенируется. Восстанавливается фосфором. Образует пероксосоединения.
Оксид фосфора (V) в промышленных масштабах получают сжиганием фосфора в избытке кислорода или воздуха:

ru.solverbook.com

P2O5+h3O=? уравнение реакции

Реакция взаимодействия между оксидом фосфора (V) и водой (P2O5 + h3O = ?) приводит к образованию сложного соединения – ортофосфорной кислоты, формула которой имеет вид . Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Теперь переходим к решению задачи. Первоначально рассчитаем количество молей веществ, вступивших в реакцию (, ():

Это означает, что вода находится в избытке и дальнейшие расчеты производим по оксиду фосфора (V).
Согласно уравнению реакции , значит . Тогда масса ортофосфорной кислоты будет равна (молярная масса – 98 g/mole):

ru.solverbook.com

BaO + P2O5 = ? уравнение реакции

Реакция взаимодействия между оксидом фосфора (V) и оксидом бария (BaO + P2O5 = ?) позволяет получить среднюю соль – фосфат бария (соединение). Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Записать уравнение в ионном виде в данном случае не предоставляется возможным, поскольку реакция протекает в твердой фазе, а не в растворе.
Оксид фосфора (V) (фосфорный ангидрид) представляет собой очень гигроскопичное вещество белого цвета. Является сильнейшим дегидратирующим агентом. Существует в аморфном (в виде хлопьев), стеклообразном и кристаллическом состояниях. При нагревании кристаллический оксид фосфора (V) возгоняется. Плавится только под избыточным давлением, переходя при этом в легкоподвижную жидкость. При дальнейшем нагревании полимеризуется, при охлаждении жидкости образуется стеклообразный продукт состава .
Оксид фосфора (V) проявляет кислотные свойства. Энергично реагирует с водой, щелочами. Легко галогенируется. Восстанавливается фосфором. Образует пероксосоединения.

Оксид фосфора (V) в промышленных масштабах получают сжиганием фосфора в избытке кислорода или воздуха:

ru.solverbook.com

P2O5 + MgO = ? уравнение реакции

Реакция взаимодействия между оксидом фосфора (V) и оксидом магния (P2O5 + MgO = ?) позволяет получить среднюю соль – фосфат магния (соединение). Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Записать уравнение в ионном виде в данном случае не предоставляется возможным, поскольку реакция протекает в твердой фазе, а не в растворе.
Оксид фосфора (V) (фосфорный ангидрид) представляет собой очень гигроскопичное вещество белого цвета. Является сильнейшим дегидратирующим агентом. Существует в аморфном (в виде хлопьев), стеклообразном и кристаллическом состояниях. При нагревании кристаллический оксид фосфора (V) возгоняется. Плавится только под избыточным давлением, переходя при этом в легкоподвижную жидкость. При дальнейшем нагревании полимеризуется, при охлаждении жидкости образуется стеклообразный продукт состава .
Оксид фосфора (V) проявляет кислотные свойства. Энергично реагирует с водой, щелочами. Легко галогенируется. Восстанавливается фосфором. Образует пероксосоединения.

Оксид фосфора (V) в промышленных масштабах получают сжиганием фосфора в избытке кислорода или воздуха:

ru.solverbook.com

Урок Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга)

Урок № 45

Предмет: геометрия Класс: 7

Учитель математики: Павлушина Александра Юрьевна , образование высшее, стаж работы – 2 года.

Тема:Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга)

Цели урока: 1. Систематизировать знания учащихся по теме окружность и ее элементы;

2. Совершенствование навыка решения задач по теме.

3. Развитие памяти, внимания, мышления.

4. Воспитание интереса к предмету.

Тип урока: закрепление

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, магнитная доска, карточки.

Ход урока

1. Организационный момент.

Психологический настрой. Давайте улыбнемся друг другу. Пусть сегодняшний урок принесет нам всем радость общения. Сегодня на уроке, ребята, вас ожидает много интересных заданий, новых открытий, а помощниками вам будут: внимание, находчивость, смекалка.

2. Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы рассмотрим более подробно, что представляет собой окружность, какие элементы окружности вы уже знаете, а какие предстоит вам узнать.

Фронтальный опрос. Блиц-опрос.

— что такое геометрия?- что такое отрезок?- какие отрезки называем равными?

— что такое угол? Виды углов? Биссектриса угла?- смежные, вертикальные углы?

— какие прямые знаете?- параллельные, перпендикулярные, пересекающиеся прямые?

-Треугольник. Виды треугольников?- сумма внутренних углов треугольника?

— равенство фигур?

3. Введение в изучение нового матеприала:

Решите ребус, разгадав его, вы узнаете тему урока.

(окружность)

4. Работа по теме : Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга).

Сегодня мы с вами продолжим изучение темы окружность. Давайте вспомним, что же такое окружность? Назовите элементы окружности?

Окружность – геометрическая фигура …,все точки которой находятся на заданном расстоянии от центра.

Круг- это часть плоскости …, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок …, соединяющий центр окружности c любой точкой окружности.

Диаметр- это отрезок, соединяющий … две точки окружности и проходящий через центр.

Хорда- это отрезок, соединяющий …две точки окружности.

Диаметр –эхорда, … проходящая через центр.

Центральный угол – это угол … образованный двумя радиусами.

Дуга окружности – это … часть окружности, ограниченная двумя точками.

5. Самостоятельная работа.

А теперь повторив определения геометрических понятий, мы с вами поработаем индивидуально. Для каждого из понятий необходимо подобрать соответствующий ему рисунок (таблица №1). Таблица выдается каждому ученику.

ТАБЛИЦА № 1

По заданному рисунку назвать все элементы окружности.

6. Физкультминутка.

Глазки видят всё вокруг,

Обведу я ими круг.

Глазком видеть всё дано-

Где окно, а где кино.

Влево вправо посмотрю,

Плечиками покручу

Обведу я ими круг,

Погляжу на мир вокруг.

7. Решение задач. Работа у доски.

Давайте вспомним взаимное расположение прямой и окружности.

Что такое касательная к окружности? Что такое секущая?

Задача №1

Дано: окружность с центром О,

АС- касательная, АВ- хорда, угол ВАС=75^о

В Найти: Угол АОВ

Решение:

О 1) 90⁰ – 75⁰ =15⁰ (угол А в треугольнике АОВ)

2)180⁰ -15⁰ *2=150⁰ ( угол АОВ)

А С

Задача №2.

Дано: окружность с центром О.

ОА – радиус окружности АС – хорда.

Центральный угол АОС = 70 градусам.

Найти угол ОАС -?

Устно в учебнике стр. 68 № 237

8. Самостоятельная работа. Задачи на построение.

Разн0уровневые задания.

1 вариант.

1. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке.

Измерьте радиус окружности. Чему равен ее диаметр?

постройте хорду этой окружности. Найдите расстояние от центра до хорды.

2 вариант.

1. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке.

2. Отрезки АВ и СD – диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОD, если СВ = 13 см, АВ = 16 см.

9. Закрепление полученных знаний. Тест.

1. Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:

а) Окружность – это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигура, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных на (одинаковом, заданном) расстоянии от (некоторой, центральной) точки.

б) Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяющая центр окружности с (заданной, какой-либо) точкой окружности.

Выбрать правильный ответ

2. Диаметр окружности – это …

а) два радиуса, лежащие на одной прямой;

б) хорда, проходящая через центр окружности;

в) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.

3. Центр окружности – это …

а) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружности;

б) середина окружности;

в) точка, равноудаленная от всех точек окружности.

4. Дуга окружности – это …

а) часть окружности, выделенная точками;

б) часть окружности, ограниченная двумя точками;

в) часть окружности, ограниченная хордой.

5. Определить, на сколько дуг делят окружность две точки, лежащие на окружности.

а) на одну; б) на две.

6. Как изображается хорда на чертеже окружности?

а) прямой линией; б) дугой окружности; в) отрезком с концами, лежащими на окружности.

7. Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности?

а) длина окружности; б) радиус окружности; в) половина диаметра окружности.

8. Выбрать на рисунке хорду:

а) ОА; б) ВО; в) СD.

9. Выбрать на рисунке диаметр

а) MK; б) KN; в) OD.

10. Рефлексия  «Светофор»
Оцените свою деятельность на уроке с помощью «Светофора» (зелёный – все понятно, желтый – есть затруднения, красный – много непонятного – карточки данных цветов даны учащимся еще до урока).

Понравился вам урок или нет? Чем мы занимались на уроке? Что вызвало интерес?

11. Домашнее задание.

Начертите окружность радиусом 6 см. Отметьте на окружности т. A, B, K, P, M, N, O так, чтобы были:

AK-хорда;KM-хорда;OM-радиус;KB-диаметр;

BP-хорда;NK-хорда;AB-хорда;NP-диаметр.

12. Подведение итогов урока.

Выставление итоговой оценки за урок.

infourok.ru

Окружность / math5school.ru

math4school.ru

Хорды и дуги

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. На рисунке 140 отрезки AB, CD и EF – хорды окружности (CD является и диаметром окружности).
Отметим на окружности какие-нибудь две точки – A и B. Прямая AB разделяет окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности. На рисунке 141 изображены две дуги с концами A и B: дуга APB (синяя) и дуга AQB (зеленая). Дуги APB и AQB обозначаются так: ◡APB и ◡AQB. В тех случаях, когда ясно, о какой из двух дуг с концами A и B идет речь, используют краткое обозначение: ◡AB.
Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дуга называется полуокружностью. На рисунке 142, а изображены две полуокружности (синяя и зеленая).
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом (угол AOB на рис. 142, б). С помощью центральных углов можно измерять дуги в градусах.

Если дуга AB окружности с центром O лежит внутри угла AOB или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB; если же дуга AB не лежит внутри угла AOB, то ее градусная мера считается равной 360° – ∠AOB (рис. 142).

Градусная мера дуги обозначается так же, как и сама дуга (см. рис. 142).

Из определения градусной меры дуги следует, что

сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

На рисунке 143 градусная мера дуги BCD равна 155°, поскольку

◡BCD = ◡BC + ◡CD = 45° + 110° = 155°.

Обычно говорят кратко: дуга BCD равна 155°, и пишут ◡BCD = 155°. На этом же рисунке

◡AB = 180° – 155° = 25°, ◡ADB = 360° – 25° = 335°.

mthm.ru

Пример составления полинома Жегалкина

Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса — ваш вокал

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Фиксируем алфавит булевых переменных .

Напомним, что

Определение 1.Элементарной конъюнкцией ранга относительно алфавита назовем форму ,

где . При конъюнкция называется совершенной.

Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) относительно алфавита называется любая дизъюнкция элементарных конъюнкций. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой относительно алфавита называется любая дизъюнкция различных совершенных конъюнкций (СДНФ).

Отметим все важные свойства совершенных конъюнкций:

а) произведение двух различных совершенных конъюнкций равно ;

б) в совершенной дизъюнктивной нормальной форме относительно алфавита при подстановке фиксированного набора либо все совершенные конъюнкции равны нулю, либо равна одна единственная конъюнкция.

Действительно, при произведение

(1)

c одержит для некоторого множители и , отсюда , и поэтому произведение (1) равно . Далее для любого набора уравнение влечет ,…, – единственно возможное решение, т.к. если для некоторого имеем , то и нулю равна вся конъюнкция.

Теорема. Всякая функция алгебры логики представима совершенной дизъюнктивной нормальной формой относительно алфавита своих переменных ,.., :

(2)

Дизъюнкция идет по всем наборам, в которых функция равна . Формула (2) следует непосредственно из свойств совершенных конъюнкций.

Вопрос. Чем является функция ?

Ваш ответ :

ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма)

Да, правильно. Так как во втором слагаемом нет переменной .

Составление СДНФ

Пример 1. Совершенные ДНФ для элементарных функций (табл. 2):

для конъюнкции: ;

для дизъюнкции: ;

для сложения по mod 2: ;

для импликации: ;

для эквиваленции: ;

для штриха Шеффера: ;

для «стрелки Пирса»: ;

для отрицания : ;

для селекторной функции : ;

для константы : ;

константа не имеет СДНФ.

Пример 2. Написать СДНФ относительно алфавита , , для функции голосования от трех переменных, заданной таблично (см. табл. 3).

СДНФ для содержит четыре совершенные конъ-юнкции (по числу единиц функции)

.

Пример 3. Преобразовать в СДНФ формулу относительно алфавита , , .

Данная формула есть ДНФ, но имеет несовершенные конъюнкции. С помощью преобразований вида доводим конъюнкции до совершенства:
,
раскроем скобки
,
собираем подобные члены по правилу :
.
Это и есть СДНФ.

Замечание. Если функция задана формулой, то можно для функции вычислить таблицу, а затем задача сведется к примеру 2. Однако создание таблицы может оказаться очень трудоемким. Так, например, если алфавит переменных состоит из переменных, то таблица имеет строк, что неприемлемо, так как потребуется много места на доске или бумаге.

Вопрос. Сколько элементарных конъюнкций содержится в СДНФ для функции, заданной своими значениями ?

Ваш ответ :

Три

Да, правильно. Потому что функция равна 1 только на трех наборах.

Полином Жегалкина

Элементарные конъюнкции вида , , …, , (конъюнкция нулевого ранга) называются положительными элементарными конъюнкциями.

Любая сумма по различных положительных конъюнкций называется полиномом Жегалкина. Константу считаем нулевым полиномом Жегалкина. Тогда справедливо утверждение:

Теорема.Всякая функция алгебры логики представима полиномом Жегалкина единственным образом с точностью до перестановки слагаемых.

Доказательство. Если , то представима СДНФ
. (3)
В силу совокупной ортогональности совершенных конъюнкций в (3) знаки дизъюнкции можно заменить на знаки , что приведет к формуле
. (4)
Удаляя в (4) отрицания переменных по формуле , раскрывая скобки и приведя подобные члены по правилу , мы получим полином Жегалкина. Единственность представления функции полиномом следует из того, что полиномов Жегалкина под алфавитом ,…, столько же, сколько и функций от переменных, то есть . ▲

Вопрос. Чем является данная функция ?

Ваш ответ :

Произвольной функцией

Да,правильно.

Пример составления полинома Жегалкина

Пример 1. Пусть задана функция таблицей.

Представим ее СДНФ
.
Отсюда имеем
.
Раскрываем скобки:
.
Приводим подобные члены:
.
Получили полином Жегалкина.

Пример 2. Пусть задана функция формулой .

ДНФ функции состоит из двух ортогональных конъюнкций ( ), поэтому
.
Получили полином Жегалкина.

Пример 3. Для элементарных функций табл. 2 полиномы Жегалкина имеют вид:

а) для конъюнкции – ;

б) для дизъюнкции – ;

в) для суммы по – ;

г) для импликации – ;

д) для эквиваленции – ;

е) для «штрих Шеффера» – ;

ё) для «стрелки Пирса» – ;

ж) для : ;

з) для , , , – без изменений.

Вопрос. Чему равен полином Жегалкина для функции ?

Ваш ответ :

Да, правильно.

Начало формы

Теорема двойственности

Функция называется двойственной к функции .

Из определения следует, что таблица для двойственной функции может быть получена из таблицы для функции заменой всех нулей на единицы и всех единиц на нули.

Если оказывается, что , то функция называется самодвойственной. Самодвойственная функция на противоположных наборах принимает противоположные значения, т.е. для любого набора .

Отношение двойственности симметрично, .

Пример 1. Двойственные функции к элементарным функциям табл. 2:
, , ,
, , ,
, , , , .

Пример 2. Является ли функция самодвойственной?
Чтобы ответить на этот вопрос, можно составить (вычислить) таблицу и по таблице проверить значения функции на противоположных наборах, и если найдется пара противоположных наборов, на которых функция принимает одинаковые значения, то функция несамодвойственна.
Можно также перейти к двойственной функции

и вычислять одновременно значения двух функций и , и как только обнаружится, что на наборе будем иметь , значит, функция несамодвойственна. В противном случае – самодвойственная, но цена этому выводу высока – ведь вычислены таблицы двух функций. Наконец, если преобразовать и к полиномам Жегалкина, и полиномы оказались разные, то и – несамодвойственна.

Теорема двойственности. Пусть имеется формула (тождество)
,
тогда верно тождество
.

Доказательство.




. ▲

С помощью этой теоремы легко доказываются некоторые тождества. Например,

1) из формулы де Моргана и теоремы двойственности следует другая формула де Моргана, так как влечет ;

2) из формулы (формула сокращения) следует , по теореме двойственности получаем другую формулу сокращения ;

3) из формулы получаем и отсюда .

Замечание. Операция меняет приоритетность операндов, поэтому во избежание ошибок в начальной формуле надо отменить приоритетность, то есть должны быть расставлены все скобки, выделяющие бинарные операции.

Вопрос. Является ли функция , заданная таблично, самодвойственной?

Ваш ответ :

Нет

Правильно, так как таблица не симметрична.

Определение СКНФ

Элементарной дизъюнкцией ранга относительно алфавита назовем форму
,
где . При дизъюнкция называется совершенной.

Любая конъюнкция элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Любая конъюнкция совершенных дизъюнкций называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).

Теорема. Всякая функция алгебры логики представима совершенной конъюнктивной нормальной формой
.

Доказательство. Из условия теоремы запишем СДНФ для функции
,
отсюда и из теоремы двойственности имеем

, что и требовалось доказать. ▲

Вопрос. Чем является функция ?

Ваш ответ :

КНФ

Правильно, так как во второй скобке содержатся не все переменные.

Примеры составления СКНФ

Пример 1. Совершенные КНФ для элементарных функций табл. 1 относительно алфавита переменных , :

для конъюнкции: ;

для дизъюнкции: ;

для суммы по : ;

для импликации: ;

для эквиваленции: ;

для «штрих Шеффера»: ;

для «стрелки Пирса»: ;

для отрицания : ;

для селекторной функции : ;

для константы ;

для константы СКНФ не существует.

Пример 2. Написать СКНФ для функции голосования.

СКНФ для (она содержит четыре нуля и поэтому состоит из четырех совершенных дизъюнкций):

.

Пример 3. Преобразовать в СКНФ формулу относительно алфавита , , .

Данная формула есть ДНФ. Преобразуем ее сначала в КНФ:
.
Преобразуем дизъюнкции в совершенные:

.

Вопрос. Как выглядит СКНФ для функции, заданной таблично?

Ваш ответ :

Правильно.

megapredmet.ru

Об одном методе построения полинома Жегалкина Текст научной статьи по специальности «Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук»

Алехина М.А., Пичугина П.Г. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛИНОМА ЖЕГАЛКИНА

Известно, что любую булеву функцию можно представить полиномом Жегалкина (полиномом по модулю 2), и это представление с точностью до перестановки слагаемых единственно. Приведем некоторые наиболее известные способы построения такого полинома.

Преобразование произвольной формулы алгебры логики: сначала строим дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ) или конъюнктивную нормальную форму (КНФ), а затем — полином Жегалкина, используя известные соотношения

x = x ©1, x v y = xy = (x © 1)(y © 1) ©1 = xy © x © y . (1)

Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем: записываем булеву функцию в виде полинома Жегалкина с неопределенными коэффициентами. Приравниваем значения функции к значениям полинома на соответствующих наборах переменных и находим неизвестные коэффициенты.

3) На значениях исходной функции f (x, x2,…, xn) = (f, f2, f,…, fn ) , строим треугольник Паскаля, складывая каждый раз соответствующие значения функции по модулю 2. Тогда числа на левой стороне полученного треугольника определяют коэффициенты полинома Жегалкина при монотонных конъюнкциях, соответствующих наборам переменных. Напомним, что элементарная конъюнкция называется монотонной, если она не содержит отрицаний переменных. Константа 1 (т. е. элементарная конъюнкция нулевого ранга) считается

по определению монотонной конъюнкцией.

Пример 1. Продемонстрируем предложенные методы построения полинома Жегалкина, если

f (x,y,z) = (x v y)(y v xz) .

Преобразуем логическую формулу (xvy)(y v xz) , используя формулы (1):

(x v y)(y v xz) = (xy © x © y)((y ©1)xz © (y ©1) © xz) = (xy © x © yXyZ © xz © y ©1© xz) =

= (xy © x © y)(xyz © y ©1) = xyxyz © xyy © xy © xxyz © xy © x © yxyz © yy © y = xyz © xy © x .

Таким образом, полином Жегалкина P(x, y, z) для данной функции имеет вид P(x, y, z) = xyz © xy © x . Теперь построим его методом неопределенных коэффициентов. Для этого запишем нашу функцию в виде многочлена с неопределенными коэффициентами:

f (x, y, z) = Axyz © Bxy © Cxz © Dyz © Ex © Fy © Gz © H , (2)

где A, B, C, D, E, F, G, H e{0,1}.

Таблица истинности нашей функции выглядит следующим образом:

x У z x V y y xz y V xz f = (x V y)( y V xz)

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

Чтобы определить неизвестные коэффициенты, подставим соответствующие значения переменных в правую и левую части формулы (2) и получим систему:

Н = 0 в 0 Н = 0

Р 0 Н = 0 •

В 0 Р 0 в 0 Н = 0

Е 0 Н = 1

С 0 Е 0 в 0 Н = 1

В 0 Е 0 ^ 0 Н = 0

А 0 В 0 С 0 В 0 Е 0 ^ 0 в 0 Н = 0

Решая систему, находим коэффициенты:

Н = 0 в = 0 Р = 0 •

В = 0 Е = 1 С = 0 В = 1 А = 1

Подставляя найденные значения А, В, С, В, Е, В, О, Н в формулу (2), получим полином Жегалкина того же вида, что и в первом случае: /(х,у,’£) = (хVу)(уVх£) = ху.z©ху©х .

Для реализации третьего метода, зададим исходную функцию набором ее значений /(х,у,г) = (00001101) . На строке значений функции построим треугольник Паскаля, складывая попарно по модулю 2 соседние значения фун кции:

Числа на левой стороне (выделены жирным шрифтом) треугольника определяют коэффициенты полинома при монотонных конъюнкциях, соответствующих наборам значений переменных (значения на левой стороне треугольника дублируют значения найденных неопределенных коэффициентов в предыдущем случае).

Сравнивая предложенные методы построения полинома Жегалкина, студенты (да и преподаватели тоже) отдают предпочтение последнему методу, обосновывая выбор быстротой получения результата и простотой алгоритма построения треугольника Паскаля. Изучая соответствующую данной тематике научную и научнометодическую литературу, мы не нашли строгого доказательства построения полинома Жегалкина с использованием треугольника Паскаля. Поэтому предлагаем свое доказательство для функций двух, трех и четырех переменных (исходя из тех соображений, что на практических занятиях со студентами другие случаи, как правило, не рассматриваются), т. е. п =2, 3, 4.

п=2. Проведем доказательство для булевой функции двух переменных /(х,х2) . Полином Жегалкина для

этой функции в общем виде будет выглядеть следующим образом: / (х, х2) = ахх ® ах ® ах ® аА , (3)

где а1 е {0,1}, I = 1,4 . Таблица истинности данной функции имеет вид:

х1 х2 Л ( x1, х2)

0 0 /1

0 1 /2

1 0 /з

1 1 /4

Значения функции / (1=1,2,3,4) можно определить, подставляя в соотношение (3) всевозможные набо-

Л = а4

ры значений переменных:

Решая систему относительно а,а,а,а, получим:

(4)

а4 = А а3 = /1 0 /2 а2 = /1 0 /3

а1 = Л 0 /20 /30 /4

Покажем, что эти коэффициенты совпадают со значениями на левой стороне треугольника Паскаля, построенного для функции /(х,х2) , заданной набором значений ї= (/,/2,/,/) .

Видим, что числа на левой стороне треугольника в точности определяет коэффициенты полинома Жегалкина, найденные при решении системы (см. соотношения (4)).

п=3. Теперь возьмем функцию трех переменных / (х, х2, х3) и представим ее полином Жегалкина с неопределенными коэффициентами а е {0,1}, I = 1,8 :

/(х, х2, х) = аххх ® ахх ® ахх ® ахх ® ах ® ах ® ах ® а • (5)

Строим таблицу истинности исходной функции:

х1 х2 хз

0 0 0 /1

0 0 1 /2

0 1 0 /з

0 1 1 /4

1 0 0 /5

1 0 1 /б

1 1 0 /7

1 1 1 /8

Используя таблицу истинности и соотношение (5), составим систему:

А = а8

/2 = а7 ® а8

/з = а6 ® а8

/4 = а4 ® аб ® а7 ® а8 .

/5 = а5 ® а8

/ = а ® а ® а ® а8 /7 = а2 а^ аб а8

/8 = а1 ® а2 ® аз ® а4

Решим эту систему и получим

а8 = /1 а7 = /1 0 /2 а6 = /1 0 /3

а4 = / 0 /2 0 /3 0 /4 (6)

а5 = /1 0 /5 а3 = /1 0 /2 0 /5 0 /6 а2 = ./і 0 /3 0 /5 0 /7

, а1 = Л 0 /2 0 /3 0 /4 0 /5 0 /6 0 /7 0 /8

Построим треугольник Паскаля, используя условные обозначения: / = і , /і 0 /, =і+л:

Сравнивая’полученные значения на левой стороне треугольника с найденными выше коэффициентами (б), видим, что они равны.

п=4. Проведем доказательство для функции четырех переменных

/ (х1, х2, Л3, х4) = (/1, /2, /3, /4, /5, /6, /7, /8, /9, /10,/11, /12, /1з, /14, ^5 , /16) * Представим функцию Ї в виде многочлена с неопределенными коэффициентами а Є {0,1}, і = 1,16 .

/(х!, х2, х3, х4 ) = а^хххх^ 0 ах!х2х3 0 ах!х3х4 0 ах!х2х4 0 0ах2х3х4 0 а6х{х2 0 ахх 0 ахіх4 0 а9х2хъ 0 (7)

0ашх2х4 0 апхзх4 0 апх1 0 а1зх2 0 аихз 0 а15х4 0 а16.

Используя таблицу истинности функции Ї и формулу (7), получим систему:

/1 = а16

/2 = а15 0 а16

/з = а14 0 а16

/4 = ап 0 а14 0 а15 0 а16

/5 = а1з 0 а16

/6 = а10 0 а1з 0 а15 0 а16

/7 = а9 0 аи 0 аи 0 а16

/ = а 0 а 0 Оо 0 0і 0 аз 0 а4 0 а15 0 а1б

/9 = а12 0 а16

/10 = а8 0 а12 0 а15 0 а16

/11 = а7 0 а12 0 а14 0 а16

/2 = а 0 а 0 а 0 аі 0 а2 0 0 а 0 а1б

/1з = а6 0 а12 0 а1з 0 а16

/ 4 = а 0 а 0 а 0 ао 0 аг 0 аз 0 а 0 а1б / 5 = а 0 а 0 а 0 а 0 а2 0 а 0 а4 0 а1б

/ б = а 0 а 0 а 0 а 0 а 0 а 0 а 0 а 0 а 0 ао 0 аі 0 аг 0 а 0 а4 0 а 0 аб ■

Решим эту систему относительно коэффициентов а,і = 1,16 , и получим систему (8).

а16 = / а15 = Л 0 /2

а14 = / 0 /з % = / 0 /2 0 /з 0 /4

а1з = /0 /5

а10 = /0 /20 /50 /6

0) = У!0 /з0 /50 /7 (8)

а5 = Л 0 /2 0 /з 0 /4 0 /5 0 /6 0 /7 0 Л

а = / 0 /9

а = / 0 /2 0 /9 0 /10 а7 = Л 0 Л 0 /9 0 /11

а = / 0 /2 0 Л 0 Л 0 /9 0 /10 0 /11 0 /12 а6 = / 0 /2 0 /5 0 /6

а9 = / 0 /5 0 /9 0 /1з

а4 = Л 0 /2 0 /5 0 /6 0 /9 0 Л) 0 /1з 0 /14

а2 = Л 0 Уз 0 /5 0 /7 0 /9 0 /11 0 /1з 0 /15

а = /0 /20 /з0 /40 /50 /60 /70 /80 /90

0/10 0 /11 0 /12 0 /1з 0 /14 0 /15 0 /16.

Нетрудно проверить равенство коэффициентов из системы (8) со значениями на левой стороне треугольника Паскаля, построенного для набора значений данной функции

Щ,/2,/з,/4,/5,/6,/7,/8,/9,Л),/11,/12,/1з,/14,/15,/16) •

Треугольник Паскаля приведен не полностью, выписана лишь интересующая нас левая часть:

2 3 4 5 6 7

1+2 2+3 3+4 4-5 5+6 6+7

1+3 2-4 3+5 4+6 5-7

1+2+3+4 2+3+4+5 3+4+5+6 4+3+6+7

1+5 2+6 3+7 4-8

1+2+5+6 2—3+6+7 3+4+7+8

10 11 12 13 14 15 16

4151819

1+3+5+7 2+4+6+8 3+5+7+9 4+6+8+10

1+2+3+4+5+6+7+8 2+3+4+5+6+7+8+9 3+4+5+6+7+8+9+10

1+9 2-10 3+11

1+2+9+10 2-3+10+11 3+4+11+12

1+3+9+11 2-4+10+12 3+5+11-13

1+2+3+4+9+10+11+12 2+3+4+5+10+11+12+13 3+4+5+6+11+12+13+14

1+5+9+13 2+6+10+14 3+7+11+15

1+2+5+6+9+10+13+14 2+3+6+7+10+11-14+16

1+3+7+9+11+13+15 2+4+6+8+10+12+14+16

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16.

Таким образом, для булевой функции / (х1,…, хп) при п =2, 3, 4 нами представлено обоснование (доказательство) возможности использования треугольника Паскаля для построения полинома Жегалкина.

В заключении проиллюстрируем способ построения полинома Жегалкина с использованием треугольника Паскаля на примере.

Пример 2. Представить полиномом Жегалкина функцию f ( х1, х2, х ) = ( 01110 010 ) .

Решение. Запишем наборы значений переменных х1, х2, х3 в лексикографическом порядке для определения монотонных конъюнкций (слева, в скобках, приведены соответствующие монотонные конъюнкции) и построим

треугольник Паскаля на значения:’: функции (справа) .

000 (1) 00 1 (л.)

0 1 О Jx2)

0 11 (Ж2Х3)

1 по ,«

1 0 1 1 1 1

1 (.Tl-Ts)

0..

1 (л-даз)

На левой стороне треугольника Паскаля получены коэффициенты полинома при соответствующих конъюнкциях. Таким образом, f= Х3 Ф Х2 Ф Х2Х3 Ф Х1Х3 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиз-

дат, 1988.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. — М.: Физматлит,

2004. — 414 с.

cyberleninka.ru

Учебник по дискретной математике. Полиномы Жегалкина

Полиномом (многочленом) Жегалкина от п переменных называется функция

P = a₀ + a₁x₁ +a₂x₂ + …a_nx_n +a_n +1x₁x₂ +…+a_{n +C}²_nx_n-1x_n + …+a_2n-1x₁x₂..xn

Всего здесь 2^п слагаемых. Напомним, что + сейчас означает сложение по модулю 2, коэффициенты  a₀,  a₁,…,  a₂ⁿ_-1   являются константами (равными нулю или единице).

Теорема. Любая функция п переменных может быть представлена полиномом Жегалкина и это представление единственно.

Доказательство. Любая функция f(x₁, x₂, …, x_n) имеет свою таблицу истинности. Запишем сначала данную функцию в виде полинома Жегалкина с неопределенными коэффициентами. Затем по очереди подставляем всевозможные наборы переменных и находим коэффициенты. Легко видеть, что за каждую подстановку находим только один коэффициент. Так как число наборов равно числу коэффициентов (и равно 2^п), отсюда следует утверждение теоремы.

Доказательство этой теоремы показывает, как по таблице истинности построить полином Жегалкина.

Имеется 2-й способ нахождения полинома Жегалкина для функций, заданных в виде ДНФ. Этот способ основан на том, что х+1 = . Если функция задана в виде ДНФ, то сначала убираем дизъюнкцию, используя при этом правило де Моргана, а все отрицания заменяем прибавлением единицы. После этого раскрываем скобки по обычным правилам, при этом учитываем, что четное число одинаковых слагаемых равно нулю (так как х+ х = 0), а нечетное число одинаковых слагаемых равно одному такому слагаемому.

Пример.

( xy + 1)((x + 1)(y + 1) + 1)((y + 1)z + 1) + 1 = (xy + 1)(xy + x + y)(yz + z + 1) + 1 = (x + y)(yz + z + 1) + 1= xyz + yz + xz +yz + x + y + 1 = xyz + xz + x +y + 1.

Последнее выражение и есть полином Жегалкина данной функции.

Функция f (x₁,x₂,…,x_n) называется линейной, если ее полином Жегалкина содержит только первые степени слагаемых. Более точно функция называется линейной, если ее можно представить в виде

f(x₁, x₂, …, x_n) = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ +…+ a_n x_n.

Класс линейных функций часто обозначают через L. (Заметим, что число линейных функций п переменных равно 2^п+1).

Замечание. Если пі 2 то линейная функция в таблице истинности может содержать только четное число единиц. Действительно, если f(x₁,x₂,…, x_n) = x₁+ x₂+…+x_n, то легко видеть что такая функция в таблице истинности содержит одинаковое число нулей и единиц а именно 2^п /2 единиц и нулей, т. е. число это четно при пі  2. Столько же нулей и единиц имеет функция              . Добавление же фиктивной переменной приводит к увеличению числа единиц (и нулей) в два раза. Разумеется, нелинейная функция может иметь в таблице истинности как четное, так и нечетное число единиц.

www.mini-soft.ru

31. Функционально полные и функционально замкнутые системы булевых функций.

Функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называется совокупность таких булефых функций (f₁, f₂, … f_k), что произвольная булева функция f может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.

Перечислим предполные классы булевых функций:

1. булевы функции, сохраняющие константу 0;

2. булевы функции, сохраняющие константу 1;

3. самодвойственные булевы функции;

4. линейные булевы функции;

5. монотонные булевы функции;

Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим: . Другими словами, любая функция, которую можно выразитьформулой с использованием функций множества , снова входит в это же множество.

Особо важны для теории булевых функций следующие замкнутые классы, называемые предполными классами:

32 Полиномы Жегалкина. Метод неопределенных коэффициентов построения полиномов Жегалкина. Примеры.

: Существование полинома доказано вышеприведенным алгоритмом получения полинома из логической формулы. Для доказательства единственности надо показать, что между множеством всех логических функций от n переменных и множеством всех полиномов Жегалкина от n переменных существует взаимно однозначное соответствие. Полином Жегалкина можно найти методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим этот метод на следующим примере.

Пример. Найти полином Жегалкина для функции заданной векторно: 

 f( x,y )  =  ( 0, 1, 1, 0 ).

Составим  таблицу 1.14 задания данной функции.

Таблица 1.14

Полином Жегалкина для функции двух переменных ищем в следующем виде:

f( x, y )  =  a0 a1·xa2·ya3·xy                                  (1.6)

Для определения коэффициентов полинома нужно подставить значения неизвестных и соответствующее значение функции в (1.6), согласно таблице 1.14.

            Подставляя набор переменных(0,0) в (1.6) получим: 

a = 0.

            Аналогично для набора  (0,1) получим:

.  a = 1

34.

Классы и их функциональная замкнутость. Метод определения принадлежности булевой функции классу линейных функций. Примеры.

Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим: . Другими словами, любая функция, которую можно выразитьформулой с использованием функций множества , снова входит в это же множество.

Множество всех возможных булевых функций замкнуто.

Особо важны для теории булевых функций следующие замкнутые классы, называемые предполными классами:

Булева функция называется линейной, если существуют такие, где, что для любыхимеет место равенство:

.

studfiles.net

2.2.6. Полиномы Жегалкина | Решение задач по математике и другим предмет

Полином вида , где — элементарные конъюнкции различных переменных без отрицаний (среди может быть константа 1), называется Полиномом Жегалкина.

Например, .

Теорема (Жегалкин). Любая булева функция представляется в виде полинома Жегалкина, причем единственным образом с точностью до порядка следования элементарной конъюнкции (слагаемых) и до порядка следования переменных в элементарных конъюнкциях.

Доказательство. Если функция , то полиномом Жегалкина для данной функции является константа 0. В остальных случаях представим функцию в виде СДНФ: .

Преобразуем СДНФ в полином Жегалкина. Прежде всего, все знаки дизъюнкции можно заменить на знак суммы по модулю 2 :

.

Это можно сделать по следующей причине: дизъюнкция (проверить).

Если и заменить элементарными конъюнкциями из СДНФ, то получим , так как . Действительно и имеют одинаковые наборы переменных, которые отличаются только расстановкой отрицания, поэтому в произведении найдется переменная , которая встречается с отрицанием и без отрицания. А конъюнкция таких переменных: равна нулю: .

Далее в полученной формуле преобразуем отрицания по формуле: (проверить). После этого останется раскрыть скобки, что можно сделать ввиду следующего дистрибутивного закона: (проверить). После раскрытия всех скобок мы получим сумму элементарных конъюнкций без отрицаний. Если среди полученных конъюнкций есть одинаковые, то все их (за исключением, может быть, одной из группы одинаковых) можно убрать по следующему правилу: . В итоге получим полином Жегалкина.

Чтобы убедиться в единственности полинома Жегалкина для данной функции, подсчитаем количество различных полиномов от переменных. Заметим, что можно составить элементарных конъюнкций из переменных без отрицания. (Действительно для каждой из Переменной имеется две возможности: данная переменная входит в данную конъюнкцию или нет). Далее для каждой конъюнкции существует также 2 возможности: она входит в данный полином Жегалкина или нет. Поэтому количество различных полиномов Жегалкина равно , т. е. ровно столько, сколько существует различных булевых функций от переменных. Из данного совпадения вытекает единственность полинома Жегалкина. Действительно, если бы какую-то функцию можно было представить двумя или несколькими полиномами Жегалкина, то некоторые функции нельзя было бы представить полиномом Жегалкина. А уже доказано, что любую функцию можно представить полиномом Жегалкина.

Пример. Пусть функция задана следующей таблицей истинности.

matica.org.ua

5.3. Полином Жегалкина.

Определение 5. Полиномом Жегалкина называется полином вида

с,

(то есть сумма произведений вида ), где суммирование ведётся по некоторому множеству различных наборов (i₁, i₂, …, i_k), в которых все i_j также различны.

Любая булева функция единственным образом (с точностью до следования слагаемых) представима в виде полинома Жегалкина.

Для представления булевой функции в виде полинома Жегалкина достаточно:

1. Привести функцию к ДНФ (КНФ).

2. Выразить операции &, ,  через операции булева кольца по формулам из п.5.2.

Пример 5.3. Найдём полиномы Жегалкина для функций из примера 5.2. Для функции (х&у)(&) имеем

(х&у)(&)=хуху=ху=

=ху(1х)(1у)=ху1хуху=1ху,

то есть (х&у)(&)=1ху (в чём мы уже убеждались). Для функции химеемх=х(1у)=хху, то есть х=хху.

Как видим, для функции хполином Жегалкина содержит произведения переменных. Такие полиномы называютсянелинейными. Полиномы Жегалкина вида c₀c₁x₁c₂x₂…c_nx_n называются линейными. Таким образом, линейная функция представима в виде линейного полинома Жегалкина.

Заметим, что если А и В  различные конституенты единицы, то они содержат хотя бы одну пару противоположных литер, и тогда АВ=0, АВ=АВ. Поэтому полином Жегалкина удобно получать из СДНФ формулы.

Упражнение 5.4.Построить полиномы Жегалкина для функций упражнения 5.1.

Решение. а) Имеем СДНФf(x,y,z)=zyxz(см. решение упражнения 5.1, а)). Учитывая, что=1х, =1у,=1 zи раскрывая скобки, получаем

zyxz=zyxz=(1х)(1у)z(1х)y(1 z)x(1у)z=

=zхzуz хyzyхyyzхyzxzxуz=yzxyхyz.

То есть zyxz=yzxyхyz. В частности, функция не является линейной.

5.4. Функциональная полнота.

Определение 6. Система булевых функций F=f₁, f₂, …, f_n называется полной, если любая булева функция представима в виде суперпозиции функций из F.

Система булевых функций является полной тогда и только тогда, когда для каждого из классов Поста система содержит функцию, не лежащую в данном классе.

Определение 7. Система булевых функций называется базисом, если она полна, и удаление любой функции из этой системы делает её неполной.

Упражнение 5.5.Проверить полноту следующих систем булевых функций:

а) ,; б),; в); г)&,.

Решение. а) Принадлежность данных функций к каждому из классов Поста сведём в таблицу:

	P0	P1	S	M	L
xy		+			
			+		+

В таблице знаком «+» на пересечении строки с указанием функции со столбцом с указанием класса обозначен тот факт, что функция принадлежит соответствующему классу, а знаком «»тот факт, что функция не принадлежит данному классу. В каждом столбце имеется знак «», то есть для любого класса Поста системаF=,содержит функцию, не лежащую в данном классе. Следовательно, система функцийF=,является полной. Она образует базис, так как удаление любой функции из этой системы ведёт к тому, что оставшаяся система является неполной.

§6. Минимизация булевых функций.

6.1. Проблема минимизации булевых функций заключается в том, чтобы для произвольной функции, не являющейся константой 1, получить наиболее простую ДНФ. Прежде, чем приступить к решению проблемы, уточним, что значит «наиболее простая ДНФ».

studfiles.net

Полином Жегалкина — Циклопедия

Полином Жегалкина — это логическая функция, использующая две операции: конъюнкцию и разделительную дизъюнкцию. Полином предложен российским математиком Иваном Ивановичем Жегалкиным в 1927 году.

Назначение полинома Жегалкина — это алгебраическое выражение логических функций.

Введём обозначения:

n – число аргументов функции;

(x₁,x₂,…,x_n) – набор аргументов функции;

P(x₁,x₂,…,x_n) – полином Жегалкина.

• конъюнкция;
• разделительная дизъюнкция.

Конъюнкция — это логическая операция аналогичная арифметическому произведению. Для констант используется обозначение точкой, а для переменных точка опускается.

Разделительная дизъюнкция — это логическая операция аналогичная арифметическому сложению по модулю 2. Используется обозначение знаком плюс в кружке.

Полином Жегалкина имеет следующий вид:

• Заметим, что коэффициенты a_i1…ik принимают значения из множества {0,1}, причём если коэффициент равен нулю, то соответствующее слагаемое может быть опущено.
• Полином Жегалкина, состоящий только из слагаемых с единичными коэффициентами (т. е. с опущенными слагаемыми с нулевыми коэффициентами), называется алгебраической нормальной формой (АНФ) соответствующей логической функции.

[править] Примеры полиномов:

[править] С одной переменной

[править] С двумя переменными

• Значения полиномов Жегалкина задаются с помощью таблицы истинности или определяются по формулам.
• Полином Жегалкина является предикатом, определённым на множестве {0,1}.

[править] Другие понятия:

cyclowiki.org

Виды неравенств и способы их решения.

НАУКИ · Алгебра. Геометрия. Тригонометрия · Неравенства · Виды неравенств и способы их решения.

АЛГЕБРА: Неравенства

6.2. Виды неравенств и способы их решения

Речь идет о неравенствах вида

Теорема 6.

Если

Если

Если

и

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Для решения можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Теорема 7.

Если выражения

Пусть надо решить неравенство

Так как

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где

, где числа a₁,…,a_n+k попарно различны.

Пусть a_j — максимальный из коэффициентов. Если x > a_j, то каждый из сомножителей (х — a_i) > 0 Ю f(x) > 0 на (a_j, + Ґ ). На интервале a_m < x < a_j, то х — a_j < 0, а все остальные сомножители положительны Ю f(x) < 0 на этом интервале и т. д.: знаки чередуются при переходе через точки a_i.

При решении показательных неравенств следует помнить, что показательная функция

При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифмическая функция

Решение задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований нужно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований. Рассмотрим некоторые логарифмические неравенства.

Пусть 0 <

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве Х). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Приведем ряд эквивалентных преобразований для избавления от радикалов.

Мобильная версия

lections.tk

§ 1.Причины, формы и виды неравенства.

Но изучать неравенство нельзя, не дав ему определения. По разному определяют неравенство в разных учебниках и словарях по социологии.: «Неравенство – это условия, при которых люди имеют неравный доступ к таким социальным благам, как деньги, власть и престиж»³ или «Неравенство социальное – специфическая форма социальной дифференциации, при которой отдельные индивиды, социальные границы, слои, классы находятся на разных ступенях вертикальной социальной иерархии, обладают неравным жизненными шансами и возможностями удовлетворения потребностей»⁴, или «В самом общем виде неравенство означает, что люди живут в условиях, при которых они имеют неравный доступ к ограниченным ресурсам материального и духовного потребления»⁵. Все эти определения отражают разные стороны социального неравенства. Определение Нейла Смелзера, американского социолога, отражает современные черты неравенства, как распределение богатства, власти и престижа. Второе определение содержит и отражает современную социальную мобильность, а также термин социальной дифференциации, который здесь не очень уместен, так как «социальная дифференциация – это процесс, посредством которого институционая деятельность становиться более отдельных институционных специализированной, подразделяясь на две или более отдельных институциональных деятельности»⁶. В ходе нашего анализа мы должны разграничить понятия социальная дифференциация и неравенство. Социальная дифференциация не включает в себя: 1) Субъективную оценку индивида индивидом, значит социальная дифференциация не включает престиж, как компонент социального неравенства, 2)Дифференциация это прежде всего различные части, а равные или они или нет неизвестно, 3)Социальная дифференциация включает себя такие компоненты разделение труда, различные социальные статусы, профессии, группы, роли, которые в принципе не являются неравенством сами по себе, а вследствие установленных в обществе культурных целей – ценностей и исторических событий, являются неравными, 4) Социальная дифференциация подразумевает различия не имеющие отношения к социальному неравенству. Это определение отражает часть причин социального неравенства. Определение Радаева В.В. и Шкаратана О.И. в подчеркивается некоторая условность неравенства, и показывает что его легко можно убрать и заменить равенством, но исторический опыт показывает что это невозможно. Как мы видим все эти определения содержат преимущества и недостатки..

На основе этих определений мы можем составить собственное определение: Социальное неравенство – это универсальная характеристика общества, при котором индивиды имеют неравные жизненные шансы на доступ к социальным и культурно-символическим, и культурно-нормативным благам общества. Это определение отражает в полной мере современные традиции в описании неравенства.

Неравенство занимает важное место в любом социологическом исследовании, «однако объяснение его характера, основ исторической эволюции, взаимоотношений конкретных форм остается одной из ключевых проблем всякого социологического исследования»⁷.

Для описания неравенства в современной социологии в основном используется понятие «стратификация». «Социальная стратификация – это иерархически организованные структуры социального неравенства (ранги, статусные группы и т.д.) существующие в любом обществе. В социологии они состоят из социальных групп и акцент делается на способах их структурирования и сохранения во времени неравенства между ними»⁸. «Класс обусловлен существования социальных групп, имеющих неравный доступ к богатству, власти и неодинаковый престиж; положение, занимаемое обществе, иногда делает их влиятельными политическими группами»⁹. Понятия «класс» и «стратификация» используются уже очень много лет. Важным понятием в стратификации является понятие «статуса». «Статус – означает форму социальной стратификации, в которой статусные группы или страты ранжируются и организуются по правовым, политическим и культурным критериям»¹⁰. Но есть и другие понятия статуса в социологии – «положительная или отрицательная репутация, престиж, авторитет личности в рамках социальной стратификации»¹¹. Второе определение связано с понятием престижа, которое является одним из компонентов неравенства. Мы различаем два вида статусов: аскриптивный или предписанный и достигнутый. Аскриптивные статусы такие как пол, национальная принадлежность, принадлежность к какой-либо территориальной общности даны нам от рождения, и многие такие различия в статусах приводят в современном обществе к неравенству – например, если индивид из страны СНГ, приехал поступать в вуз, его знания в последующем занижаются, вследствие мифа о некачественности иностранного образования в российском обществе, или вследствие происхождения не из семьи рабочих, талантливого человека могли не принять на повышенную должность в советском обществе. А достигнутые статусы приобретаются нами в процессе взаимодействия с социокультурной системой, такие как профессия или участие в какой-либо партии. «Под статусом подразумевается неисчерпаемый приписываемый человеку ресурс, открывающий для него возможности влиять на общество и получать посредством этого ресурса привилегированные позиции в системе власти и распределения материальных благ»¹². Поэтому в зависимости от престижности статуса возникает неравенство в социальной системе, посредством своего статуса может навязывать свою волю другому человеку. В обществах при оценке статуса важны такие критерии как уровень дохода, наличие знаний, владение собственностью, участие в распределении власти и престиж профессии. Ожидание других людей правильного поведения от индивида, связанного со статусом называется социальной ролью. Многие виды поведения человека, которые относятся к его социальным характеристикам, контролируются социальными нормами. Социальные нормы описывают стандарты, образцы поведения, допустимые или не допустимые в обществе. Благодаря нормам, поддерживается социальный порядок, общество устойчиво воспроизводит себя и не разрушается. Каждый человек, ходе социализации усваивает социальные нормы. «Человек от рождения не является ни бедным, ни богатым, ни руководителем, ни руководимым. Каждого ребенка приходится обучать «правилам игры», т.е. приучать к социальным нормам, опираясь на поощрения и санкции, как со стороны родителей, так и институциональной среды вне семьи (школа, община, массовая коммуникация, референтная группа старших детей и т.д.). Передача норм от одного поколения к другому жестко связана с их преемственностью. Каждое общество во всей своей справедливости — несправедливости неравенства воссоздается заново с рождением каждого ребенка»¹³. Именно социальные нормы воспроизводят социальное неравенство.

Социальное неравенство изучается разными моделями стратификации. «Социологи при этом выделяют различные срезы социального положения групп и индивидов в отношении их друг к другу. В любом случае социальную стратификацию связывают с взаимодействием социальной дифференциации и социальной оценки. Люди (и группы) при этом ранжируются выше и ниже в соответствии с той социальной значимостью, которой обладают выполняемые ими виды деятельности. Поэтому при рассмотрении проблемы социального неравенства вполне оправданно исходить из теории социально-экономического разделения труда»¹⁴. В ходе деятельности индивид выполняет несравнимый по удовлетворении общественных потребностей труд. Следовательно, труд имеет разную оценку по полезности ему и неоднороден по этому аспекту. «В работе «О разделении общественного труда»(1893 г.) Дюркгейм сделал вывод, что во всех видах обществ одни виды деятельности считаются более важными, чем другие»¹⁵. В ходе истории человечество выявило более важные виды деятельности, например труд врача всегда ценился, чем другие виды деятельности, потому что ценность человеческой жизни и здоровья, стоять всегда очень высоко в иерархии ценности. Соответственно, чтобы деятельность выполнялась качественно, общество должно предоставлять определенные большие социальные вознаграждения за их деятельность (материальные блага и престиж). Соответственно общество требует высокие знания и способности для выполнения общественно значимого труда. Но все люди талантливы по разному, и в ходе процесса обучения эти различия усиливаются. «Социально-экономическое разделение труда выражается в расщеплении последнего на организаторский и исполнительский, умственный и физический, сложный и простой, квалифицированный и неквалифицированный, самоорганизованный и регламентированный, творческий и стереотипный. Закрепленность различных групп людей за соответствующими родами деятельности (социально-экономически различными) — есть основа социального неравенства. Именно социально-экономическая разделенность труда не только следствие, но и причина присвоения одними людьми власти, собственности, престижа и отсутствия всех этих знаков продвинутости в общественной иерархии у других»¹⁶.

Разделение труда считается одной самой важной причиной социального неравенства, потому что экономическая деятельность считается самой важной. Идеи пуританства очень сильно повлияли на это. И человека в нашем постиндустриальном обществе представляют как homo economicus. Модель стратификации, критерием ранжирования которого является разделение труда, является одномерной моделью стратификации.

Мы можем выделять неравенство по другим признакам:

I) Неравенство по физическим признакам, которое можно разделить на три типа неравенств: 1) Неравенство на основе физических различий; 2) Сексуальное неравенство; 3) Неравенство по возрасту;

К причинам первого неравенства можно отнести неравенство по принадлежности к какой либо расе, национальности, определенный рост, полнота или худость тела, цвет волос, и даже группа крови. Очень часто распределение социальных благ в обществе зависит от какой-либо физической характеристики. Особенно сильно проявляется неравенство, если носитель признака входит в «группу меньшинства». Очень часто группа меньшинства подвергаются дискриминации. Одни из видом данного неравенства является «расизм». Некоторые социологи считают что причиной этнического неравенства является экономическая конкуренция. « Сторонники этого подхода подчеркивают роль конкуренцию между группами рабочих за дефицитные рабочие места. Люди, имеющие работу (особенно те, кто занимает низшие должности), чувствуют угрозу со стороны тех, кто её ищет. Когда последние являются членами этнических групп, может возникнуть или усилится враждебность»¹⁷. Также одной из причин неравенства этнического неравенства можно считать личностные качества индивида, проявляя которые он считает другую расу неполноценной.

К сексуальному неравенству приводят в основном гендерные роли и сексуальные роли. В основном различие полов приводят к неравенству в экономической среде. Женщины имеют гораздо меньшие жизненных шансов поучаствовать в распределении социальных благ: начиная от Древней Индии в которой девочек просто умерщвляли до современного общества, в котором женщинам трудно найти работу. Это связанно прежде всего с сексуальными ролями – место мужчины на работе, место женщины дома.

Вид неравенства связанный с возрастом в основном проявляется в разных жизненных шансах разных возрастных групп. Во основном оно проявляется в молодо и в пенсионом возрасте. Возрастное неравенство всегда касается всех нас.

II) Неравенство вследствие различий предписанных статусов

Предписанный (аскриптивный) статус включает в себя унаследованные факторы: раса, национальность, возраст, пол, место рождения, проживания, семейное положение, какие-то аспекты родителей. Очень часто предписанные статусы человека мешают вертикальной мобильности человека, из за дискриминации в обществе. Это тип неравенства включает в себя большое количество аспектов, поэтому очень часто приводит к социальному неравенству.

III) Неравенство на основе владения богатством

IV) Неравенство на основе владения властью

V) Неравенство престижа

Эти критерии неравенства рассматривались еще прошлом веке, и будут рассмотрены в нашей работе в дальнейшем.

VI) Культурно-символическое неравенство

Последний вид критерия можно частично отнести к разделению труда, т. к. квалифицированность включает себя определенный вид образования.

Все перечисленные признаки включается в современные системы стратификации. Очень часто стратификационная модель строится на основе нескольких аспектов.

studfiles.net

Типы неравенств и способы их решения

ГДЗ по алгебре для 7 класса Л.И. Звавич

Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения.

Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)ⁿ=

dpva.ru

мне нужны формулы «сокращенного умножения»? все полностью

и чего? ? в гугл не пробовал забить? так даже быстрее было бы

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Формулы для квадратов a2 &#8722; b2 = (a + b)(a &#8722; b) (a + b &#8722; c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab &#8722; 2ac &#8722; 2bc Формулы для кубов Формулы для четвёртой степени Формулы для n-ой степени an &#8722; bn = (a &#8722; b)(an &#8722; 1 + an &#8722; 2b + an &#8722; 3b2 + .+a2bn &#8722; 3 + abn &#8722; 2 + bn &#8722; 1) a2n &#8722; b2n = (a + b)(a2n &#8722; 1 &#8722; a2n &#8722; 2b + a2n &#8722; 3b2 &#8722; …&#8722; a2b2n &#8722; 3 + ab2n &#8722; 2 &#8722; b2n &#8722; 1), где n &#1013; N a2n + 1 + b2n + 1 = (a + b)(a2n &#8722; a2n &#8722; 1b + a2n &#8722; 2b2 &#8722; …+a2b2n &#8722; 2 &#8722; ab2n &#8722; 1 + b2n), где n &#1013; N Некоторые свойства формул (a &#8722; b)2n = (b &#8722; a)2n, где (a &#8722; b)2n + 1 = &#8722; (b &#8722; a)2n + 1, где Интересные формулы a4 &#8722; b4 = (a &#8722; b)(a + b)(a2 + b2) (выводится из a2 &#8722; b2)

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: а^2+b^2=(a-b)(a+b)????

a^2 + b^2= a^2 + 2*a*b + b^2

Выражение справа — разность квадратов. a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)

это тождество исходим из правой части равенства (a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2(сокращаем -ab и +ab(получится 0)) остается a^2-b^2 а не a^2 + b^2

сумма квадратов на произведение НЕ раскладывается. [1] ( a + b )&#178; = a&#178; + 2ab + b&#178; , [2] ( a – b )&#178; = a&#178; – 2ab + b&#178; , [3] ( a + b ) ( a – b ) = a&#178; – b&#178;, [4] ( a + b )&#179; = a&#179; + 3a&#178; b + 3ab&#178; + b&#179; , [5] ( a – b )&#179; = a &#179; – 3a&#178; b + 3ab&#178; – b&#179; , [6] ( a + b )( a&#178; – ab + b&#178; ) = a&#179; + b&#179; , [7] ( a – b )( a &#178; + ab + b&#178; ) = a&#179; – b&#179;

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2 a^2+b^2=a^2-b^2 2*b^2=0

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2 a^2+b^2=a^2-b^2 2*b^2=0

я токое незнаю

а^2+b^2=(a+b)^2-2ab и только так) ) (a-b)(a+b)=a^2-b^2

да формулы сокращённого умножения

нет, это не правильно, ТОЛЬКО: a^2 — b^2 = (a-b)(a+b) обрати внимание на минус между квадратами a и b

touch.otvet.mail.ru

A 2 b 2 c 2, сложение квадратов

Выражения, преобразование выражений

Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.

Для умножения и возведения в степень чисел и выражений (в частности многочленов) в некоторых случаях могут быть использованы так называемые формулы сокращенного умножения. Из названия понятно, что эти формулы позволяют проводить умножение сокращенно, то есть, быстрее при более компактной записи решения.

В этой статье мы перечислим все основные наиболее часто используемые формулы сокращенного умножения. Для удобства запоминания занесем их в таблицу. Дальше дадим формулировки – они позволят читать формулы сокращенного умножения. После этого остановимся на принципах доказательства этих формул. Наконец, дадим обзор задач, для решения которых применяются формулы сокращенного умножения, и рассмотрим несколько примеров с подробными решениями.

Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы

Формулы сокращенного умножения (фсу) изучаются на уроках алгебры в 7 классе после разговора про действия с многочленами и одночленами, при этом рассматриваются 7 основных формул. Перечислим их по порядку в виде списка:

• (a+b)²=a²+2·a·b+b² – так называемая формула квадрата суммы;
• (a−b)²=a²−2·a·b+b² – эта формула имеет название квадрат разности;
• (a+b)³=a³+3·a²·b+3·a·b²+b³ – эта формула представляет собой куб суммы;
• (a−b)³=a³−3·a²·b+3·a·b²−b³ – формула куба разности;
• (a−b)·(a+b)=a²−b²;
• (a+b)·(a^2−a·b+b^2)=a^3+b^3;
• (a−b)·(a²+a·b+b²)=a³−b³.

Под буквами a и b понимаются числа, переменные, или, вообще, любые числовые и буквенные выражения.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой таблица формул сокращенного умножения, которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a²−a·b+b²) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a²+a·b+b²) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество. Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители, ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия.

Формула a²−b²=(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов, a³+b³=(a+b)·(a²−a·b+b²) — формулой суммы кубов, а a³−b³=(a−b)·(a²+a·b+b²) — формулой разности кубов. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

К началу страницы

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где — биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3.

Во-вторых, полезной бывает формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых вида
(a₁+a₂+…+a_n)²=a₁²+a₂²+…+a_n−1²+a_n²+
+2·a₁·a₂+2·a₁·a₃+2·a₁·a₄+…+
+2·a₁·a_n−1+2·a₁·a_n+
+2·a₂·a₃+2·a₂·a₄+…+2·a₂·a_n−1+2·a₂·a_n+
+…+
+2·a_n−1·a_n.

Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a, b и c, имеем (a+b+c)²=a²+b²+c²+2·a·b+2·a·c+2·b·c. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида aⁿ−bⁿ=
=(a−b)·(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²·b+aⁿ⁻³·b²+…+a·bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹), которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a^2·m−b^2·m=
=(a²−b²)·(a^2·m−2+a^2·m−4·b²+a^2·m−6·b⁴+…+b^2·m−2), а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a^2·m+1−b^2·m+1=
=(a−b)·(a^2·m+a^2·m−1·b+a^2·m−2·b²+…+b^2·m).

Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

К началу страницы

Как читаются формулы сокращенного умножения?

Чтобы рассказать решение примера, в котором были использованы формулы сокращенного умножения, нужно знать, как эти формулы читаются. Дадим соответствующие формулировки.

Сначала разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Это удобнее всего сделать, рассмотрев любую и них, например, первую формулу квадрата суммы вида (a+b)²=a²+2·a·b+b².

В левой ее части находится выражение (a+b)², которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a², 2·a·b и b². a² и b² – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b, слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту2. Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.

Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

Аналогично читаются и остальные фсу.

Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b)²=a²−2·a·b+b².

Дальше читаем формулу (a+b)³=a³+3·a²·b+3·a·b²+b³. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Аналогично читается и формула куба разности (a−b)³=a³−3·a²·b+3·a·b²−b³. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.

Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a²−b². Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.

А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b, которыми называют выражения a²+a·b+b² и a²−a·b+b² соответственно. (В свою очередь выражения a²+2·a·b+b² и a²−2·a·b+b² называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)

Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений.

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

Так читается формула (a+b)·(a²−a·b+b²)=a³+b³. И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a²+a·b+b²)=a³−b³.

К началу страницы

Доказательство

Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения.

Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)²=a²−2·a·b+b². Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b)²=(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a²−a·b−b·a+b·b=a²−a·b−a·b+b²=
=a²−2·a·b+b².

Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.

Доказательство дополнительных ФСУ можно провести с использованием метода наименьших квадратов.

К началу страницы

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y)².

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y)²=9·y−(1²+2·1·3·y+(3·y)²). Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1²+2·1·3·y+(3·y)²)=9·y−1−6·y−9·y²=3·y−1−9·y².

9·y−(1+3·y)²=3·y−1−9·y².

И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.

Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 79²=(80−1)²=80²−2·80·1+1²=6 400−160+1=6 241. Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.

В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x²+4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x)²+2·2·x·1+1²−4, и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы. Так что выражение принимает вид (2·x+1)²−4. Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

laservirta.ru

Кто-нибудь знает эту формулу сокращенного умножения?? а2+в2

На это выражение нет формулы.

есть формула а2-б2,а вот ее раскрытие (а-б) (а+б)

будет (a + bi)(a — bi), где i — мнимая единица (корень (-1)

Есть <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/95728496_f43725387c22f7325c994d053c060757_800.jpg» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/95728496_f43725387c22f7325c994d053c060757_120x120.jpg»>

a²+b²=(a+b)²-2ab Это 100 процентов

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Формулы сокращенного умножения: (a +_ b)2

Формулы сокращенного умножения Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2 Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2 Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3 Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть: Пример. Докажите формулу a 3 + b 3 = ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ). Решение. Имеем ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a + b )( a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3, что и доказывает нужную формулу. Пример. Упростите выражение (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ). Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3 – 5 z )(2 x 3 + 5 z ) = (2 x 3 ) 2 – (5 z ) 2 = 4 x 6 – 25 z 2. Ответ. 4 x 6 – 25 z 2.

Петька с Василь Иванычем угнали самолет. Летят. Вдруг В. И. орет: — Петька, приборы ? — 20 !!! — Че «20» ?!! — А че «приборы «?

А для чего, если человеку лень не только посмотреть в учебнике, но и найти в интернете (что проще простого), переписывать здесь учебник или знания из головы? Если он не хочет ничего, то и переписывать здесь бесполезно для него.

touch.otvet.mail.ru

Формулы сокращенного умножения

При выполнении различных алгебраических преобразований встречаются часто некоторые частные случаи умножения. Получающиеся при этом произведения полезно запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти случаи встретятся, можно было сразу написать результат, не производя каждый раз почленного умножения. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращенного умножения.

1. Квадрат суммы. Возведем в квадрат сумму двух чисел a и b.

(a + b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b²

Приведя подобные члены получим:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Эту формулу следует запомнить как в приведенной записи, так и в словесном выражении.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Примеры:
1)

(3a + 2b)² = (3a)² + 2 * 3a * 2b + (2b)² = 9a² + 12ab + 4b².

Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не проводя промежуточной записи, которая показана в этом примере.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:

41² = (40 + 1)² = 40² + 2 * 40 * 1 + 12 = 1681;
32² = (30 + 2)² = 30² + 2 * 2 * 30 + 2² = 900 + 120 + 4 = 1024.

3) Особенно легко запомнить прием возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой. Положим, число имеет a десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:

10a + 5.

Возведем это число в квадрат по формуле:

(10a + 5)² = 100a² + 2 * 5 * 10a + 5² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятеркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:

65² = 6 * 7 * 100 + 25 = 4225;
85² = 8 * 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,5² = 3 * 4 + 0,25 = 12,25.

Последний пример можно записать так:
Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная которого равна , достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить .2. Квадрат разности.

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Эта формула отличается от ранее выделенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:
Примеры:

1)

(4a²b – ab)² = 16a⁴b² – 8a²b * ab + a²b² = 16a⁴b² – 8a³b² + a²b².

И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:

39² = (40 – 1)² = 40² – 2 * 40 + 1 = 1521;
48² = (50 – 2)² = 2500 – 2 * 2 * 50 + 4 = 2304;
79² = (80 – 1)² = 6400 – 160 + 1 = 6241.

3. Произведение суммы двух чисел на их разность.

(a + b)(a – b) = a² + ab – ab – b².
(a + b)(a – b) = a² – b².

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Примеры.

1) (5a + 2b)(5a – 2b) = 25a² – 4b².

2) (2a² + 3b³)(2a² – 3b³) = 4a⁴ – 9b⁶.

3) Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на несколько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.

47 * 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2491;
68 * 72 = 70² – 4 = 4896;
33 * 27 = 900 – 9 = 891.

4) Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:

102² — 101² = (102 – 101)(102 + 101) = 203;
54² — 46² = (54 – 46)(54 + 46) = 800;

4. Куб суммы.

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³;
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Примеры.

1) (2a + 3b)³ = 8a³ + 3 * 4a² * 3b + 3 * 2a * 9b² + 27b³ = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³.

2) 11³ = 10³ + 3 * 10² + 3 * 10 + 1 = 1331.

5. Куб разности.

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b).

Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

Примеры.
1) (x – 2)³ = x³ – 6x² + 12x – 8.
2) (3a – 2b)³ = 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³.

mthm.ru

Объемные композиции из геометрических тел. Врезки | Artisthall

Чтобы лучше разобраться в принципах формообразования и научиться решать сложные композиционные задачи ученикам предлагается задание на составление объемно-пространственных композиций из геометрических предметов, также называемыми врезками.

Это важное задание входит в состав программы занятий по рисунку, является ключевым звеном в переходе от рисования геометрических предметов к более сложным моделям.

Цель задания.
Задача состоит в том, чтобы изобразить на листе бумаги (А2 60х40см) трехмерную группу геометрических предметов, расположенных в перспективном сокращении, взаимопересекающих друг друга, составить из них гармоничную композицию и основываясь на образном представлении конструкции предметов показать пересечение плоскостей и взаимодействия форм.

В процессе выполнения работы ученик обучается следующему:

• Представлять в воображении, затем изображать композиции из разных геометрических предметов и их сочетаний.
• Умение строить сложные геометрические формы в различных ракурсах
• Анализировать конструкцию предметов, отображать пересечение линий, объемных форм и врезок в трехмерном пространстве.

Строить сложные падающие тени на телах вращения и наклонных плоскостях.

Как составлять объемные композиции из геометрических фигур.

Для составления композиции используются фигуры различных геометрических форм. Важным правилом при создании рисунка, является: что предметы должны именно пересекаться или накладываться друг на друга, и нужно избегать соединения граней соседних предметов в одной плоскости.
В первых вариантах композиций вид и количество предметов может определить педагог, далее ученик сам решает, какие предметы будут использоваться. Особенность задания заключается в том, что все – образ составляющий композицию, предметы, их положения, размеры, ракурсы создаются в воображении ученика, основываясь на творческих способностях, знаниях построения геометрических форм и умении отобразить свои идеи на листе, что было изучено в занятиях по рисования геометрических фигур.

На наших занятиях рисунком существуют варианты, когда объемные композиции создаются из определенного набора предметов, с точным количеством фигур. Так же есть задания, где ученику предлагается взять за основу будущей композиции 3-4 элемента, таких как куб или параллелепипед, пропорционально разместить и объединить их, а далее развить эту комбинацию, добавляя различные тела вращения, такие как шар, цилиндр, конус, чтобы они органично вошли и усовершенствовали существующую группу.

Для более эффектного рисунка врезки выгоднее располагать в пространстве, не изображая плоскость и линию горизонта, представить, что предметы висят в воздухе и рисовать их можно с любой стороны, так ракурсы врезок и пересечений выглядят более эффектно, а в некоторых случаях более наглядно. Особенно зрелищными получаются виды снизу, каких в обычной постановке невозможно увидеть.

Желательно изображать объекты в соразмерном друг другу масштабе, то есть не совмещать большой куб и врезанный в него маленький шарик, от этого абрис пересечения не будет ясным и выразительным.

Большое значение для выразительности композиции имеет итоговый силуэт. Иногда абрис будущей работы может задавать форму для группы предметов, делая композицию более пластичной и оригинальной.

После того как композиция сформирована, выполняются уточняющие эскизы, и, лучший переносится на большой формат. Работа выполняется графическим карандашом с полной светотеневой моделировкой, естественно, без использования линеек и угольников)).

Значение и польза рисование врезок.

Работа над пересекающимися геометрическими телами дает возможность ученику развивать навыки предварительного составления образов в воображении, представлять итоговый вариант рисунка сразу в голове до рисования на бумаге. Благодаря врезкам ученик понимает и прорабатывает конструкцию сечений, преломления граней в местах пересечения тел, располагает падающие тени и световые рефлексы. Все это происходит в воображении, что способствует развитию интуитивных навыков построения различных предметов, перспективному сокращению и расположению теней на сложных плоскостях, что очень пригодится в занятиях по композиции.

Это задание полезно выполнять на любых стадиях обучения и уровня подготовки, повышая сложность композиции и улучшая качество построения сечений. Изображение врезанных предметов полезно как хорошая тренировка для навыков рисования, геометрии и объемно-пространственного мышления.

Важно! Данное задание с небольшими нюансами и особенностями входит в состав экзаменов при поступлении в различные художественные учебные заведения. Научившись принципам рисования объемных композиций, вы сможете выполнить многие задания при поступлении.

Смотрите также:

artisthall.ru

Эскизы для задания Врезки | Artstudi.ru Художественная студия

Следующее задание требует дополнительной подготовки в виде создания серии эскизов, поэтому данная статья будет посвящена отдельно эскизам для задания Врезки.
Подробное описание задания будет приведено в одноименной статье Врезки. В этой публикации представлена информация о подготовительных этапах.

Задание Врезки представляет собой сочетание практических наработок и образного мышления. Если в предыдущих заданиях, таких как Ваза на кубе и Натюрморт из геометрических предметов, перед учеником стояла конкретная постановка, которую необходимо было изобразить, то в этом задании отсутствует сам объект для изображения. Ученику на основе опыта предыдущих заданий необходимо придумать композицию из геометрических предметов, которые взаимно друг друга пересекают, другими словами «врезаны» друг в друга.

Конечно, для каждого учебного задания можно делать предварительные эскизы, главным образом для того, чтобы правильно вписать предметы в лист, определить тоновую раскладку, но в задании Врезки без подготовительных эскизов просто не обойтись.

Стадия эскизов необходима для того, чтобы проверить и узнать, насколько ученик владеет приемами образного построения геометрических предметов в пространстве. Для более точного изображения таких предметов как треугольная призма, шестиугольная призма, конус, пирамида можно иметь перед глазами их гипсовые модели, однако, пространственную компоновку и пересечение нужно произвести в голове.

Под руководством педагога происходит постепенное создание общего силуэта будущей композиции, поиска концепции и положения группы на листе.
В данной работе используются правила классического построения перспективы с точкой схода, без аксонометрии.

Важной составляющей работы, которая непосредственно повлияет на общий образ композиции, на динамику, на положение теней является положение предметов относительно линии горизонта. На стадии эскизов определяется точка осмотра и точка схода относительно которых будет выполнятся построение. Таких положений может быть три:

• Ниже линии горизонта. Все верхние плоскости предметов видимы, смотрим на группу сверху.
• Выше линии горизонта. Все нижние поверхности предметов видимы, смотрим снизу.
• Линия горизонта посередине. Верхние и нижние плоскости сходятся в точки схода на линии горизонта.

После определения положения точки осмотра начинается конструктивная разработка группы и создание пластического образа. Для этого можно использовать следующие удобные приемы:

• Выбрать для композиции определенную форму (пятно), например, прямоугольник, и расположить предметы таким образом, чтобы они заполняли выбранную форму по контуру, далее объединить их пересекающимися вспомогательными предметами.
• Заложить центральную группу, а от нее вести построение до границ намеченного силуэта.

Эти приемы являются обобщенными методиками создания пространственных композиций. Непосредственно в работе педагог подскажет, каким методом воспользоваться, с чего начать, как можно комбинировать и вырабатывать собственную технику.

Эскизы в данном задании не просто удобны, а необходимы по двум важным причинам.

Во-первых, без наличия эскиза и без опыта сразу начинать работу на большом листе очень накладно. Все поиски и предварительные построения, выполняемые на большом листе, намного увеличивают время работы и осложняют ее. Придется много стирать и переделывать, это отразиться на чистоте и свежести работы.
Во-вторых, имея перед глазами готовую композицию, ничего не стоит перенести ее на большой лист, воспользовавшись методами переноса в рисунке.

Необходимо сделать 3-4 качественных эскиза именно для того, чтобы почувствовать динамику врезок, попробовать различные варианты и комбинации, найти интересные решения и конструктивные узлы. Такая работа чрезвычайно полезна и информативна, только на эскизах можно опробовать и понять (при помощи педагога) механику врезок, как различные предметы пересекаются, как выглядят их сечения и положения.
В итоге из нескольких эскизов выбирается один, и на основе его начинается работа на большом формате.

Эскиз на этой стадии это визуальная заготовка и прообраз будущего полноценного рисунка. От того, насколько грамотно будет выполнен эскиз, насколько точно будут продуманы конструктивные узлы врезок, зависит удобство и время работы над большим рисунком.

Все изображения, представленные на сайте, это работы наших учеников, выполненные на уроках рисунка, узнать подробнее о которых можно по телефонам: 8 903 669-66-79 и 8 903 668-69-36.

artstudi.ru

Композиция из геометрических тел

Композиции из геометрических тел, сочлененных друг с другом, которые иначе принято называть врезками, являются важной переходной ступенью от простейших геометрических тел к сложным рукотворным и природным объектам при изучении академического рисунка. Без понимания правил встраивания тел друг в друга в зависимости от их конструктивных особенностей, невозможно верно и реалистично нарисовать здания, автомобили и любую другую технику, а также растения или живых существ, включая человека.

Особенно необходимы навыки составления связок с врезанными телами абитуриентам творческих и архитектурных вузов Москвы, поскольку связки являются одной из наиболее часто встречающихся экзаменационных тем.

Кому и зачем необходимо учиться работать над врезками и связками

Связки — это объемно-пространственные композиции разной сложности, которые составлены из сочлененных между собой, то есть частично входящих одно в другое, геометрических тел. Отличительной особенностью подобных изображений является то, что их рисуют не с натуры, а создают по воображению, для чего необходимо досконально понимать конструктивные особенности входящих в связку тел.

Основная задача при работе над рисунком связки — четко представить конструкцию составляющих композицию тел, а затем изобразить формы и их сочленения с учетом перспективного сокращения, построить сложные падающие тени, проработать единое и грамотное с точки зрения законов светотени тоновое решение.

Столь сложную работу невозможно сделать без базовых художественных знаний и значительного объема предыдущей практической работы сначала над геометрическими телами, а после — над постановками.
Задания по выполнению связок способствуют тренировке навыков объемно-пространственного мышления.

Полезным итогом многочисленных упражнений с врезанными телами станет умение мысленно формировать ясный образ готовой работы, понимание конструкции сечений и особенностей преломления граней в местах сечений. Кроме того, в ходе работы приходится располагать тени и рефлексы, опираясь лишь на понимание законов светотени и собственное воображение, что учит оперировать знаниями, полученными на предыдущей ступени обучения, без привязки к натуре и также развивает объемно-пространственное мышление.

Полученные в ходе изучения врезок навыки служат рисовальщику хорошую службу уже на этапе работы над натюрмортами, а при изображении сложных рукотворных и живых объектов являются абсолютно необходимыми. Композиции данного типа сдают на вступительных экзаменах абитуриенты МАрхИ и других архитектурных вузов, но навыки их составления полезны всем, кто серьезно занимается любой деятельностью, так или иначе связанной с изобразительным творчеством.

Базовые навыки при работе над врезанными геометрическими телами

Приступая к работе над врезанными геометрическими телами, необходимо хорошо понимать свойства основных фигур, которыми обусловлены конструктивные особенности объемных тел, а также уверенно владеть и использовать в работе законы геометрической и воздушной перспективы и светотени. Кроме того, необходимы начальные навыки работы не только с натурными объектами, но и некоторый опыт изображения по представлению и воображению. И, конечно, необходимо уверенно владеть главным инструментом художника — карандашом, потому что все этапы работы ведут без использования линейки, циркуля и других вспомогательных инструментов.

Переходить к столь сложной задаче как создание врезанных тел можно лишь после того, как вы усвоили основополагающие принципы работы над отдельными геометрическими телами и постановками. Если вы уверенно делаете построения тел с учетом положения в пространстве, перспективных сокращений и ракурса, освоили работу со светотенью и тоном и владеете основополагающими композиционными принципами и соответствующими практическими навыками, самое время приступать к освоению связок.

Рекомендации по созданию композиции из врезанных тел

За основу для работы чаще всего берут куб или четырехгранник, поскольку в них удобнее всего врезать более сложные геометрические тела — конусы, цилиндры, шары.

Использование специальной сетки помогает избежать ошибок в перспективных построениях. Чем многочисленнее и разнообразнее геометрические тела, которые вы включаете в придуманную вами композицию, тем сложнее избегать искажений и ошибок – даже если основа построена качественно. Построение сетки необходимо изучать отдельно, так как это довольно сложная задача, которая занимает определенное время даже у опытного рисовальщика. Однако если сетка построена верно, впоследствии она сэкономит время при работе над композицией.

Точно выполненные построения — основа изображения, от которой напрямую зависит результат. Ошибиться на этом этапе недопустимо, именно поэтому при изучении врезанных тел большое значение уделяют методам сочленения различных тел друг с другом.

Существуют связки разной степени сложности. К наиболее простым относятся тела с плоскими гранями — кубы и четырехгранные призмы, и изучение темы начинают именно с них.

Видимая часть врезанного геометрического тела должна позволять определить его размеры, для чего видимые части должны составлять половину и более его общего объема. Так, при сочленении с цилиндром необходимо показать окружности его оснований и значительную часть боковой поверхности, при сочленении с конусом — вершину, основание и боковую поверхность.

Универсальный способ выбора линии, по которой будет врезано тело, — ориентироваться на оси симметрии, высоты и другие линии и членения, заложенные в конструкции тел.

Тела должны врезаться друг в друга не менее чем на одну треть и не более чем наполовину. Если пренебречь этим принципом, композиции окажутся либо слишком разреженными, вызывающими ощущение, что тела едва касаются друг друга, либо до такой степени плотными, что уже сложно определить, из каких именно тел они составлены. И то, и другое вызывает чувство дисгармонии и является нарушением композиционных законов, а следовательно, ошибкой.

Как компоновать фигуры в листе

Верная компоновка изображаемых объектов в листе – основа успешной работы. Если на начальном этапе этому не было уделено достаточно внимания или были допущены серьезные ошибки, изображение выйдет неубедительным.

Зачастую даже рисовальщикам с опытом допущенные ошибки становятся очевидны ближе к середине или на заключительных этапах работы, когда поправить их уже сложно. Избежать этого поможет практика, аккуратность при создании построений и сеток, соблюдение логики ведения работы, внимательное отношение к деталям, частая оценка и самопроверка на предмет ошибок и неточностей, для чего полезно периодически отходить от работы на некоторое расстояние.

При работе над врезанными друг в друга геометрическими телами потребуется мобилизовать не только наработанные ранее навыки мысленного анализа объектов, их структуры и сечений, но и все имеющиеся знания в области композиции, — словом, творить в значительной степени рационально, рассудительно и осознанно.

По сути, выбор композиционного решения — это сложная аналитическая работа по гармоничному распределению в плоскости листа объектов и масс, которая учитывает стоящие перед художником задачи по формированию эмоционального строя изображения и выбранной темы. В равной степени это касается как жанровых работ, так и геометрических абстракций.

Структура изобразительной плоскости

Оценка плоскости чистого листа обусловлена рядом особенностей человеческого восприятия. Плоскость чистого листа уже содержит условную структуру:
• горизонтальную и вертикальную оси, заданные краями формата;
• две диагонали, заданные противоположными углами;
• центр, который находится на пересечении условных диагональных линий.

Составляя в воображении и продумывая основные части будущей объемно-пространственной композиции, мы опираемся именно на эту условную структуру. Впоследствии, когда мы начнем прорабатывать первые эскизы или составлять сетку, она же станет основой, на которой мы будем формировать структуру реального изображения.

Композиционное равновесие

Достичь важнейшей композиционной задачи — гармонии — можно множеством путей, однако гармонии не получится, если изображение неуравновешенно. В зависимости от художественных задач, в работах применяют статичное или динамичное равновесие. Статичное равновесие, как правило, строят по вертикальным и горизонтальным осям, при этом чаще используют статичные объекты (например, куб или призму) и в целом похожие по форме, фактуре, массе. Достичь динамичного равновесия композиции позволяет размещение главных объектов по диагональным осям, использование контрастов как в размере, форме, фактуре, массе объектов, так и в тоновом и цветовом решении.

При созерцании изображения, в котором применено статическое равновесие, внимание зрителя распределяется по всей плоскости, если же применено динамическое — взгляд зрителя, начиная с доминанты, перемещается по заданному художником маршруту, затем приходит в геометрический центр и несколько раз заново повторяет весь путь.

В силу ряда анатомических и психологических особенностей мы воспринимаем объекты и пространство с определенными искажениями, которые необходимо учитывать, чтобы добиться композиционного равновесия.

Так, верхнюю часть разделенного посередине листа, мы воспринимаем как большую, нижнюю –как меньшую, хотя и знаем, что они равны. Изображенный точно в центре, на пересечении диагоналей, объект визуально смещается к низу листа, что нарушает композиционное равновесие. Именно поэтому композиционный центр изображения рекомендуется всегда размещать с некоторым смещением от геометрического центра листа. И в зависимости от того, куда он будет смещен, изменится общий характер и настроение всей работы.

Композиционный центр и второстепенные элементы

Композиционный центр — это доминанта, которой подчинены и которую поддерживают остальные элементы изображения. Хотя вес и значимость второстепенных объектов различны, каждый, даже самый небольшой и малозаметный элемент делает одинаково важный вклад в формирование композиции в целом. Все элементы важны для создания гармонии, и каждый должен располагаться на своем месте и выполнять свою уникальную задачу, которую невозможно «перепоручить» другим элементам без потери ощущения общей целостности.

К наиболее распространенным способам создания композиционного центра относятся: отличающийся от других элементов размер, форма, фактура, цвет, положение в формате. Кроме того, композиционный центр требует наиболее тщательной проработки по сравнению с остальными частями изображения.

Экзаменационные требования МАрхИ к композициям из врезанных тел

Основные требования МАрхИ к экзаменационным работам касаются не только качества построения связок и изображения в целом, но и точного соблюдения поставленных вузом условий и сводятся к следующему:
• экзаменационный рисунок соответствует предложенному абитуриентам заданию;
• высокое качество композиционной идеи, изображение гармонично и его сложность адекватна поставленной задаче;
• изображение качественно закомпоновано в листе;
• правильно построены и изображены отдельные тела, учтена перспектива, верно проведена работа с врезками;
• предложено верное тональное решение;
• изображение завершено.

Для того чтобы успешно сдать экзамен, абитуриенту необходимо четко понимать суть требований вуза и продемонстрировать полученные в ходе подготовки знания и навыки, аналитический подход, а также умение создавать нетривиальные работы, управлять фантазией и творческим процессом, работая в рамках целого ряда важных ограничений.

Как научиться выполнять связки

Столь сложную тему как врезанные геометрические тела — особенно с учетом требований архитектурных институтов — невозможно освоить без значительного объема практики под руководством опытного наставника. Только многократно отработав и прочно закрепив понимание особенностей основных геометрических фигур и конструктивного строения полученных на их основе тел, вы сможете составлять и выполнять гармоничные, композиционно продуманные связки на уровне, достойном для поступления в лучшие архитектурные институты столицы.

Чтобы научиться уверенно выполнять изображения врезанных геометрических тел, делать качественные построения, тоновую проработку и подготовиться к поступлению в архитектурные и творческие вузы Москвы, записывайтесь на занятия к опытным преподавателям академического рисунка в студию К.Э.Арутюновой.

Записаться можно по указанному телефону или через форму на сайте.

Похожие записи

arch-risunok.ru

Кубические композиции | Artisthall — Художественная мастерская

Следующим интересным заданием из нашей программы по рисунку являются кубические композиции.

Это авторское задание, разработанное нашими преподавателями, представляет завершающий этап изучения геометрических фигур, закрепления навыков построения и анализа конструкции.

На листе необходимо изобразить куб в различных ракурсах и проекциях. Предварительно можно сделать поисковые эскизы, чтобы правильно разместить фигуры в пространстве листа.

Для усложнения задания на плоскостях куба можно изобразить вписанную окружность, это позволит лучше понять формообразование эллипса в различных наклонах и ракурсах.

Также можно добавить к кубам усложненную пластическую моделировку и разбить плоскости на небольшие кубические сегменты. Это также совершенствует умение строить геометрических формы в разных ракурсах.

В этом задании есть интересная особенность: оно объединяет в себе программы по рисунку и композиции, такие, как геометрические врезки и цветовые аппликации. Оно требует от ученика изобразить на листе предметы, расположенные в пространстве, составив их сначала в своей голове, а затем перенеся мысли на лист бумаги. Под руководством педагога на бумаге должны появиться объемные фигуры, построенные в определенной последовательности и объединенные общим композиционным решением.

Благодаря таким заданиям развивается способность создавать на листе абстрактные композиции без натуры, основываясь на знаниях конструкции и принципах ее построения.

Это задание полезно выполнять в качестве тренировки навыков построения объемных геометрических фигур в пространстве. Также это задание хорошо выполнять тем, кто занимается композицией.

Существуют несколько вариантов таких композиций, подробнее о которых вы сможете узнать в процессе обучения, так как для определенного направления занятий (о которых Вы можете почитать на странице занятия рисунком) подбираются необходимые задания и их последовательности.

Работы, представленные в статье, выполнены нашими учениками.

По всем вопросам о занятиях рисунком вы можете узнать по телефону 8 903 669-80-89, 8 903 669-49-59 или пишите на почту: [email protected]

Смотрите также:

artisthall.ru

врезки геометрических фигур — Смотреть лучшее видео

Опубликовано: 9 часов назад

15 912 просмотров

Опубликовано: 5 часов назад

974 просмотра

Опубликовано: 8 часов назад

761 просмотр

Опубликовано: 7 часов назад

374 просмотра

Опубликовано: 50 лет назад

5 084 просмотра

Опубликовано: 8 часов назад

3 265 просмотров

Опубликовано: меньше минуты назад

9 681 просмотр

Опубликовано: 6 часов назад

4 874 просмотра

Опубликовано: 8 часов назад

1 541 просмотр

Опубликовано: 9 часов назад

621 просмотр

Опубликовано: 7 часов назад

3 115 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

2 972 просмотра

Опубликовано: 3 часа назад

1 326 просмотров

Опубликовано: 2 часа назад

5 726 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

2 195 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

28 792 просмотра

Опубликовано: 9 часов назад

1 266 просмотров

Опубликовано: 8 часов назад

1 528 просмотров

Опубликовано: 5 часов назад

2 891 просмотр

smotretvidos.ru

Композиция из геометрических тел.

Поиск Лекций

---

Светотеневой рисунок постановки из геометрических тел.

Прежде чем приступить к рисунку постановки, необходимо тщательно ее проанализировать. Внима­тельно рассмотрите постановку, попробуйте выявить закономерности в расположении геометрических тел. Сделайте ортогональные проекции постановки (план и фасад — рис.171), а затем — перспективные наброски с различных точек зрения.

 

Рис.171

Рис.172

глава III

Выберите один-два лучших наброска и заключите их в рамки, пропорции которых соответствуют пропорциям будущего рисунка. Так, лист формата А-3 размером 30 на 40 сантиметров имеет пропори 3 к 4 (рис 172) В поисках наиболее удачной композиции листа, вам возможно, придется корректировать точку зрения, а в некоторых случаях даже вносить изменения в саму постановку.

Компонуя лист, следует также учитывать расположение освещенных и теневых поверхностей, а также гра­ницы падающих теней. Помните, что светотень может нарушить композиционную гармонию линейного рисунка.

Стадия 1.

Рисунок 173 Начиная рисунок на большом листе, постарайтесь достаточно точно перенести на не­го расположение предметов, зафиксированное в лучшем эскизе. Наметьте место каждого геометричес­кого тела легкими линиями. Еще раз проверьте размер всей композиции, а также ее соответствие разме­ру листа. Внесите необходимые изменения в рисунок и продолжайте работу, уточняя размер каждого ге­ометрического тела по отношению к другим телам и ко всей композиции в целом.

Стадия 2.

Рисунок 174. Изобразите линейно все геометрические тела. В ходе работы уделяйте особое вни­мание соответствию раскрытия квадратов и эллипсов, лежащих в горизонтальных и вертикальных плоскостях.

Стадия 3.

Рисунок 175. На этой стадии необходимо усилить те линии, которые находятся ближе к зрителю, таким образом, вы создадите эффект глубины пространства уже в линейно-конструктивном рисунке. Наметьте ли­нии собственных и падающих теней и прокройте все тени легким штрихом.

Стадия 4.

Рисунок 176. Продолжайте работу в тенях, делая их интенсивнее по направлению к зрителю и к источ­нику света, а падающие тени еще и к предмету, отбрасывающему тень. Постепенно переходите к работе в свету. Тщательно моделируйте форму, используя знания о распределении светотени на геометрических те­лах. На круглых поверхностях создавайте плавные светотеневые переходы; на телах, образованных плоскос­тями, — резкие и четкие.

Сравнивая светлые и темные тона гипса в натуре, нужно стремиться верно передать их отношения на рисунке, однако необходимо знать и об особых приемах, помогающих рисовальщику создать ощущение трехмерного пространства на плоском листе:

1. Разделение тональной шкалы на световую и теневую части: на рисунке самое светлое место в тени должно быть темнее самого темного места в свету, иными словами, тень всегда должна быть тем­нее, чем свет. В натуре это не всегда так. Например, когда рядом с постановкой находится достаточно хо­рошо освещенная поверхность, рефлексы от нее на натуре могут быть такими же яркими, как свет. Их не­обходимо «притушить», сделав темнее, иначе на вашем рисунке они будут разрушать форму изображае­мых предметов.

2. «Воздушная перспектива». Это явление, о котором мы уже упоминали, в натуре можно наблю­дать на больших расстояниях, когда значительно удаленные от зрителя предметы выглядят менее конт­растными за счет толщи воздушной среды, ослабляющей тени и утемняющей свет. При незначительных размерах изображаемой постановки нельзя наблюдать этот эффект. Он создается в рисунке искусствен­но: геометрические тела, находящиеся на первом плане, имеют больший контраст между светом и тенью, чем тела, находящиеся на дальнем плане, в то время, как на натуре разница в освещенности ближних и дальних планов может быть почти незаметна.

Главная задача архитектурного рисунка — не передача состояния объекта, а по возможности вер­
ное изображение формы, создание объема. Именно поэтому, рисуя, мы не копируем натуру, а стараем­
ся увидеть, отобрать и перенести в свою работу лишь определенные черты, которые помогают нам ре-
шить эту задачу.

Стадия 5.

Рисунок 177. Обобщите рисунок. Еще раз внимательно проследите за тональным решением освещен­ных и теневых поверхностей. На финальной стадии рисующий работает не с отдельным предметом, деталью, частью изображения, но со всем листом одновременно, добиваясь цельности работы, гармоничной соподчи­ненное™ ее частей. Для этого, при необходимости, усильте тон освещенных поверхностей на дальних пла­нах и теневых поверхностей на первом плане.

 

 

светотеневой рисунок простых геометрических тел 69

70 глава III

Рис.174

 

светотеневой рисунок простых геометрических тел 71

72 глава III

Рис.176

светотеневой рисунок простых геометрических тел 73

Рис.177

74 глава III

Линейно-конструктивный рисунок композиции из геометрических тел по представлению.

Сделайте эскиз композиции, соблюдая заданные пропорции геометрических тел (рис.178). Определи­те общий характер будущей композиции, положение линии горизонта, направления горизонтальных ребер, основные врезки. Сразу предупредим вас о характерной ошибке, которую часто совершает тот, кто работа­ет над своей первой композицией по представлению. Размещая на листе геометрические тела, начинающий рисовальщик достаточно вольно ставит рядом круглые тела (например, шар и конус) или круглые тела и те­ла, имеющие наклонные плоскости (например, шар и шестигранную призму). Врезки таких тел друг в друга очень сложны. Учитывая ограниченное время выполнения экзаменационного задания, было бы правильнее использовать в композиции простые врезки, когда круглые тела и тела с наклонными поверхностями пере­секаются горизонтальными и вертикальными плоскостями.

Не стоит излишне тщательно прорисовывать эскиз — в мелком масштабе вы все равно не сможете ре­шить все композиционные вопросы. Даже очень подробно проработанный эскиз невозможно точно перенес­ти на большой лист. Второстепенные и незначительные по размеру элементы неизбежно подвергнутся до­вольно серьезным изменениям, а потому не стоит уделять им излишнее внимание на стадии эскизирования. Заключите эскиз в рамку соответствующих пропорций (3×4), внесите необходимые коррективы в компози­цию и приступайте к работе над листом большого формата, стараясь сохранить определенные в эскизе глав­ную идею, основные закономерности и движения крупных масс.

Продолжая работу над композицией, уточните размеры и пропорции геометрических тел. Проследите за соответствием раскрытия квадратов и окружностей, лежащих в горизонтальных и вертикальных плоскос­тях, а также за равномерным схождением параллельных линий в перспективе. Внимательно простройте врезки геометрических тел, изображая линии пересечения не только видимых, но и невидимых зрителю по­верхностей. Работая над отдельными элементами, старайтесь подчинить их общей композиционной идее, добивайтесь цельности и гармоничности в работе.

Рисунок должен быть выполнен четкими, выразительными линиями и легко проработан условным то­ном: определите положение источника света и прокройте несколькими слоями штриха поверхности, оказав­шиеся в тени. Рассмотрите рисунки 179,180,181,182,183, изображающие примеры таких композиций.

Рис.178

светотеневой рисунок простых геометрических тел

Рис.179

76 глава III

Рис.180

светотеневой рисунок простых геометрических тел 77

глава III

Рис.182

светотеневой рисунок простых геометрических тел 70

Рис.183

80 глава IV

Глава IV. Рисунок архитектурных деталей

К архитектурным деталям относятся архитектурные профили (гусек, каблучок, вал, четвертной вал, выкружка, скоция), геометрические и растительные орнаменты, капители, розетки, вазы, ионики, кронш­тейны, опорные и замковые камни арок, антаблементы. Из всего этого многообразия для выполнения учебных рисунков на вечерних подготовительных курсах МАРХИ выбраны ваза, капитель и ионик.

Приступая к рисунку архитектурной детали, сначала определите ее геометрическую основу, предс­тавьте сложную форму в виде сочетания простых геометрических тел. Изобразив на листе упрощенную схе­му в перспективе, постепенно усложняйте ее, насыщая деталями и внимательно изучая в линейно-конструк­тивном рисунке отдельные элементы. Парные симметричные объемы намечайте одновременно, при этом условии легче проследить за перспективными сокращениями. Если изображение какой-либо части архитек­турной детали вызывает у вас некоторые затруднения, сделайте ее небольшие зарисовки на полях вашего рисунка — перспективные наброски с разных точек и ортогональные проекции. Завершая линейную стадию, введите в рисунок легкий тон, предварительно наметив линии собственных и падающих теней: это позво­лит вам уточнить основные массы и выявить возможные ошибки перед началом тональной работы.

Светотень на архитектурных деталях также распределяется по законам рисования простых геомет­рических тел. На кривых поверхностях переходы от света к тени мягкие, постепенные, на граненых — рез­кие, чёткие. Чем ближе свет и тень на предмете к рисующему и источнику света, тем сильнее светотене­вой контраст, и, наоборот, удаленные части предметов имеют более тусклый свет и блёклую тень. Падаю­щие тени сильнее насыщены тоном, собственные — высветлены рефлексами, а поэтому более воздушны и прозрачны. И в линейно-конструктивном и в светотеневом рисунке старайтесь вести работу равномерно по всему листу, постоянно сравнивая отдельные части изображения с целым. На заключительной стадии уточните тональное решение и обобщите работу, стремясь к ощущению завершенности и гармонии.

Рисунок вазы.

В качестве объекта для рисования вам предлагается гипсовый слепок с греческой вазы (амфоры), датируемой IV веком до н.э. Мастеров того времени отличало удивительное чувство пропорций и конструктивной логики.

Начните рисунок вазы, как и рисунок любой сложной архитектурной детали, с анализа её формы. Внимательно рассмотрите вазу (рис.184). Мысленно расчлените её на отдельные объемы и сравните их с простыми геометрическими телами. Тело вазы имеет сложную каплеобразную форму, которую можно ус­ловно представить как сочетание двух шаров и конуса, таким образом, контур тела вазы по высоте может быть разбит на три части, каждая из которых имеет свою кривизну. Шейка вазы сходна с цилиндром, име­ющим заметное утонение в середине, и ограничена сверху и снизу узкими полочками. Венчает вазу мас­сивная горловина в форме четвертного вала. Опорная часть (основание) вазы состоит из двух цилиндров разного диаметра, соединённых профилем в виде гуська. Ручки вазы имеют сложную трехчастную струк­туру и утолщаются в местах их присоединения к шейке и телу вазы.

Продолжая изучение натуры, сделайте рисунок фронтальной проекции вазы. Для этого вам придёт­ся воспользоваться не только методом визирования, но и длинной полоской бумаги и даже линейкой. Про­екция должна быть достаточно крупной, только тогда вы сможете отразить в ней всю полученную вами ин­формацию: пропорциональное соотношение основных масс, размеры отдельных частей по высоте и ши-

рисунок архитектурных деталей 81

рине, их взаимосвязь, соподчинённость и функциональную обоснованность. Постарайтесь достаточно точно передать пропорции вазы, отметьте, сколько раз её ширина укладывается в высоте, сколько раз шейка укладывается в теле вазы по горизонтали и вертикали, и т.д. (рис.185).

Изобразив фасад вазы, вы заметите, что на этой проекции шейка вазы выглядит слишком толс­той, тело — более массивным, основание — легче и изящнее, чем в натуре. Из всех способов изображе­ния перспектива является наиболее близким к реальному восприятию человеческим глазом. Ортого­нальная проекция объекта всегда отличается от его восприятия в натуре. Но именно ортогональные про­екции, в силу их точности и информативности, помогут вам сейчас наилучшим образом изучить слож­ную архитектурную форму, а в будущем станут удобным и естественным средством вашего профессио­нального общения.

Вернёмся к натуре. Как вы уже заметили, основной объем вазы — симметричная форма. Все её го­ризонтальные сечения представляют собой окружности разного диаметра с центром, лежащим на одной вертикали (ось вазы). В перспективном рисунке эти окружности изображаются в виде эллипсов разного размера и раскрытия. Малые оси этих эллипсов совпадают с осью вазы, а большие ей перпендикулярны.

Меняя своё положение относительно натуры по вертикали (а, следовательно, уровень линии горизон­та), проследите за сокращением вертикальных размеров отдельных элементов и всей вазы, а также за тем, как одни части вазы перекрывают другие.

Выберите точку, при взгляде с которой перспективные вертикальные сокращения будут незначи­тельными (например, когда линия горизонта проходит несколько выше горловины вазы или ниже её осно­вания). Положение, когда линия горизонта проходит через тело вазы не рекомендуется по причине неко­торых сложностей, которые могут возникнуть у начинающего рисовальщика с определением раскрытия эллипсов. К тому же, такое положение является наименее удачным для создания выразительного рисунка.

 

 

Рис.184

Рис.185

82 глава IV

Стадия 1.

Рисунок 186. Определите габариты вазы на листе, посередине листа наметьте её ось. Разбейте общий вертикальный размер на отрезки, соответствующие крупным частям вазы: горловине, шейке, телу, основа­нию. Наметьте ширину этих элементов.

Стадия 2.

Рисунок 187. Обозначьте на рисунке положение и размеры мелких деталей вазы.

Стадия 3.

Рисунок 188. Наметьте контур вазы в ортогональной проекции. Такой контур не учитывает перспектив­ных изменений, но является четкой конструктивной основой для дальнейшей работы.

Стадия 4.

Рисунок 189. На горизонтальных осях, в местах характерных сечений, изобразите эллипсы. Помни­те, что раскрытие эллипса тем больше, чем дальше он находится от линии горизонта. Соедините эллип­сы касательными дугами в местах сопряжения одной формы с другой. Наметьте ручки вазы, обобщив их до простой прямоугольной формы, и только убедившись в правильности основных отношений, прорабо­тайте их детали.

Стадия 5.

Рисунок 190. Последний этап — тональная проработка. Начните, как обычно, с определения линий собственной и падающей тени. Для этого воспользуйтесь натурой и уже полученными знаниями о харак­тере светотени на простых геометрических телах. Собственные тени на шейке вазы, поясках, полочках основания, а также ручках — аналогичны теням на цилиндре; тень на горловине подобна тени на шаре; тень на теле вазы можно представить как сложное сочетание тени на двух шарах и конусе. Вниматель­но рассмотрите падающие тени на вазе. Проанализируйте, от каких форм падают тени на шейку вазы, её тело, основание, ручки. Иногда это удобно сделать при помощи карандаша. Если медленно передви­гать острие карандаша по линии собственной тени на вазе, тень от острия карандаша будет также пе­редвигаться по линии падающей тени, фиксируя в каждый момент этого движения некую пару: точку и тень от неё.

После определения положения линий собственных и падающих теней, продолжайте тональный ри­сунок в обычной последовательности. Сначала наберите достаточную силу тона в тенях, отделив их от света. Затем необходимо усилить собственные тени по направлению к зрителю и источнику света, а па­дающие тени — еще и по направлению к источнику падающей тени. Продолжая работу в тенях, постепен­но выходите в сеет, создавая плавные светотеневые переходы на шарообразных и цилиндрических пове­рхностях. Завершая рисунок, обобщите светотеневые отношения, стараясь гармонично подчинить все элементы изображения общему тональному замыслу.

Предлагаемая вам стадийность ведения работы не случайна: в ней заключено важное правило, обязательное для всех, а особенно для начинающих рисовальщиков: ведение рисунка от общего к част­ному и от частного к общему. Всегда начинайте рисунок с общей массы и лишь потом приступайте к де­талям. Но не прорабатывайте сразу одну из деталей до конца. Ведите рисунок по всему листу, переходя от одной его части к другой, сверяя части с общим, постоянно охватывая взглядом целое. Это правило верно как для линейно-конструктивного, так и для светотеневого рисунка.

Естественно ваше желание как можно быстрее увидеть окончательный результат, перескочить на следующий этап, не закончив предыдущего. Если хотите — попробуйте сделать это — и увидите, как логич­ная и спокойная работа превратится в хаотичное метание от одной детали к другой в стремлении собрать воедино «рассыпающийся» у вас на глазах рисунок.

Помните также о том, что конструкция лежит в основе любой формы. Ошибки в построении невоз­можно скрыть самой виртуозной тональной проработкой. Поэтому обнаруженные в ходе работы ошибк в построении и пропорциях необходимо незамедлительно исправлять.

рисунок архитектурных деталей 83

Рис.186

84 глава IV

Рис.187

рисунок архитектурных деталей 85

Рис.188

86 глава IV

Рис.189

рисунок архитектурных деталей 87

Рис.190

88 глава IV

Рисунок дорической капители.

Капителью называется верхняя часть колонны, которая, в свою очередь, является частью архитектур, ного ордера. Ордер — строго выверенная художественная система, выражающая суть работы стоечно-балоч-ной конструкции. Название ордер происходит от латинского «ordo» — строй, порядок. Классические ордера — дорический и ионический — сформировались в античной Греции. Несколько позднее, в архитектуре Рима они получили свое дальнейшее развитие. Ордер состоит из несущих и несомых элементов, нагрузка переда­ется от вышележащих элементам к расположенным ниже. От антаблемента (несомой части) к колонне (не­сущей) нагрузка передается через капитель, которая становится одной из важнейших составляющих всей ордерной композиции.

В качестве объекта для рисования вам предлагается капитель римского дорического ордера. Римские ордера несколько суше по своим формам, чем греческие, однако, как и все ордерные системы, они отлича­ются строгой логикой формообразования, выверенностью пропорций и простотой. Дорический ордер — са­мый лаконичный, строгий и мужественный из всех. Начинающему архитектору необходимо учиться понимать и чувствовать логику работы конструкции, выраженную в художественной форме, что в архитектуре называ­ется тектоникой. Постарайтесь почувствовать в рисунке капители, как форма изменяется от верхних, квад­ратных в плане частей, к нижним, круглым, как каждый из профилей рассчитан на поддержку расположен­ных выше элементов и на передачу давления сверху вниз.

Начните рисунок с анализа формы капители (рис.191). Верхняя часть капители — квадратная в плане абака (абак) — плита с каблучком и полочкой. Эхин представляет собой четверть вала и сопрягается с шей­кой колонны через три последовательно уменьшающихся пояска. Астрагал, состоящий из валика и полочки, переходит в ствол колонны через выкружку. Ствол колонны декорирован двадцатью длинными полукруглы­ми в плане бороздками — каннелюрами, имеющими полукруглые же завершения.

Сделайте рисунок фронтальной проекции капители. Рисунок должен быть достаточно крупным, чтобы детали были хорошо видны. Подпишите на рисунке названия всех частей капители. Так вам будет проще их запомнить. Проанализируйте основные пропорции капители, выберите в качестве единицы измерений об­щую высоту эхина и поясков. Сравните свой рисунок с рисунком 192.

Продолжая изучать форму, обойдите капитель вокруг и рассмотрите её с разных точек. Вы заметите, что основной объём, представляющий собой круглую симметричную форму, остаётся без изменений. Меня­ется лишь положение квадратной абаки. Выберите такую точку зрения для рисунка, чтобы одна сторона аба­ки была раскрыта для вас больше, а другая — меньше. Оптимальное соотношение 1/2-1/3. Линия горизонта должна проходить чуть ниже капители, тогда её пропорции будут близки к ортогональным. При необходимос­ти сделайте эскиз, чтобы точнее определить композицию листа.

рисунок архитектурных деталей

Рис.192

Стадия1.

Рисунок 193. Разместите на листе будущее изображение, определив его габариты по вертикали и го­ризонтали. Наметьте углы абаки, главную ось, а также определите размеры, соответствующие основным частям капители. Очень важно на этой стадии линейного рисунка найти верное соотношение раскрытия верхнего эллипса эхина и квадрата абаки. Традиционно, рисовальщики изображают сначала абаку, а затем испытывают значительные трудности при вписывании в неё эллипса. Поступите иначе: определившись с раз­мером и раскрытием эллипса, нарисуйте его. Затем опишите вокруг эллипса квадрат, сверяя направления его сторон с натурой. Стадия 2.

Рисунок 194. Разметьте все части капители по вертикали и определите их горизонтальные разме­ры. Прорисуйте основные массы с учётом перспективных сокращений. Изображая эллипсы поясков, шей­ки, астрагала и нижнего среза колонны, соотнесите их раскрытия друг с другом и с уже нарисованным верхним эллипсом эхина. Стадия 3.

Рисунок 195. Прорисуйте каннелюры. Грамотно их изобразить вам поможет план ствола колонны. Если у вас нет возможности поместить план на самом рисунке, то подколите к вашей работе дополни­тельный лист бумаги. Перенесённые с плана на перспективное изображение точки сделают рисунок точ­ным и убедительным. На этой стадии рисунок в основном носит линейный характер, но при уточнении ос­новных элементов возможно применение тона, который помогает графически выявить «движение» ос­новных поверхностей. При этом тон должен быть очень лёгким, предполагающим дальнейшую конструк­тивную проработку формы. Стадия 4.

Рисунок 196. Выявите форму капители средствами светотени. Ясное представление о взаимном Расположении в пространстве источника света, объекта и рисующего, даёт возможность разобраться в геометрии собственных и падающих теней, а также выявить основные тональные отношения. Опреде­ляя линии собственных и падающих теней, воспользуйтесь знаниями о характере светотени на простых Формах:мысленно расчлените капитель на отдельные объемы и сравните их с уже известными вам гео-метрическими телами.

Стадия 5.

Рисунок 197 Детально проработайте формы в тенях и на свету, обобщите светотеневые отношения

изображения, гармонично соподчините их между собой с учётом воздушной перспективы.

90 глава IV

Рис.193

рисунок архитектурных деталей

Рис.194

92 глава IV

Рис.195

рисунок архитектурных деталей 93

Рис.196

94 глава IV

Рис.197

рисунок архитектурных деталей 95

Рисунок ионика.

Ионик — архитектурный орнаментальный элемент, состоящий из срезанной сверху яйцеобразной фор­мы, обрамленной «скорлупкой», профилированным валиком, а также обращенными острием вниз стрельча­тыми листьями. В архитектуре ионики широко применяются на капителях и карнизах ионического и корин­фского ордеров. Ионик имеет две оси симметрии, одна из них проходит по яйцеобразной форме, другая — по середине стрельчатого листа. Изучая форму, сделайте план, фасад и боковой фасад (рис.198). Это поможет вам лучше понять структуру ионика, а также значительно облегчит дальнейшую работу над рисунком.

Рис.198

Рис.198

Стадия 1.

Рисунок 199. Наметьте габариты будущего изображения на листе. Изобразите в перспективе прямоу­гольную плиту, являющуюся основой для ионика.

Стадия 2.

Рисунок 200. Проведите диагонали плиты основания ионика и простройте вертикальную среднюю ли­нию — главную ось симметрии. Обобщенную форму ионика представьте в виде сплошного четвертного вала со скошенным верхом, к которому снизу примыкает маленький валик. Прорисуйте на верхней поверхности ионика его план, отделите центральный яйцеобразный объем от боковых объемов, наметьте оси симметрии, проходящие по центру стрельчатых листьев, и уточните главную ось. На этой стадии особое внимание обра­щайте на перспективное сокращение равных по длине горизонтальных отрезков.

Стадия 3.

Рисунок 201. Прорисуйте детали — яйцо, скорлупки, профилированный валик, листья. Изображая листья, сделайте на полях их крупный вид спереди (рис.202). Это поможет вам правильно нарисовать листья в перспективе.

Стадия 4.

Рисунок 203. Нанесите линии собственных и падающих теней. Начните, как обычно, с теневых мест и проштрихуйте их несколько раз, отделяя от света. Затем необходимо усилить падающие тени по направ­лению к предмету, отбрасывающему тень, зрителю и источнику света. Одновременно усильте линии собственных теней, формируя зоны рефлексов. На этой стадии не увлекайтесь деталями, «лепите» общую форму в соответствии с законом воздушной перспективы и основными принципами распределения свето­тени на простых геометрических телах.

Стадия 5.

Рисунок 204. Продолжая работу, переходите клепке крупной формы в свету и затем к деталям. Завер­шите рисунок обобщением формы, гармоничным соподчинением всех ее частей.

 

96 глава IV

Рис.199

Рис.200

рисунок архитектурных деталей 97

 

Рис.201

Рис.202

 

98 глава IV

Рис.203

Рис.20*

рисунок гипсовой головы 99

Глава V.

Рисунок гипсовой головы

Голова человека — сложнейшая природная структура. Это обусловлено ее сложной функцией в ор­ганизме человека. Приступать к рисунку головы можно, только имея достаточно развитое пространствен­ное представление, основательное знание общих положений рисунка и хорошую практику в изображении более простых форм.

Практический раздел «Рисование гипсовой головы» начинают с исследования ее внешней формы в «оз­накомительном рисунке». Этот первый опыт станет основой дальнейшего, более подробного анализа. В рисун­ке черепа анализируют структуру костной основы головы. В рисунке экорше Гудона изучают расположение и принцип работы основных мышц, а также хрящевидные ткани. Для подробного рассмотрения черепа и мышц будет целесообразно обратиться к анатомическим атласам и пособиям. В следующих рисунках особое внима­ние уделяют основным деталям головы: носу, губам, глазам и уху. И, наконец, возвращаясь к рисунку гипсовой головы на новом уровне понимания ее архитектоники (т.е. взаимосвязи внутренней структуры и внешней фор­мы), вы сможете закрепить и постепенно совершенствовать свои навыки в рисунках гипсовых слепков с антич­ных скульптур: Цезаря, Афродиты, Дорифора, Диадумена, Сократа, Антиноя и Апоксиомена, традиционно предлагаемых для рисунка на вступительных экзаменах в Московском Архитектурном институте.

Рисование «антиков» — продолжение старых академических традиций. Пластическое совершенство классической скульптуры, ее статичность и необыкновенная выразительность позволит вам быстрее по­нять общую объемно-пространственную структуру головы, разобраться в ее деталях и основных сораз­мерностях.

24. Ознакомительный рисунок. Голова Дорифора.

Скульптура Дорифора создана в V веке до нашей эры греческим скульптором Поликлетом, предс­тавителем пелопонесской школы. Поликлет был не только скульптором, но и теоретиком искусства. Им был создан трактат «Канон», где очень подробно разрабатывались идеальные пропорции человеческого тела. Фигура Дорифора — юноши воина-гоплита (копьеносца) — явилась воплощением этого канона. Од­новременно она должна была стать олицетворением идеального гражданина греческого полиса: челове­ка, подобного бессмертным богам, равно прекрасного телом и духом, мужественного защитника родного города. Лицо Дорифора схематично, оно лишено индивидуальных черт и выражения, именно поэтому го­лова Дорифора предлагается для первой «ознакомительной» работы, в результате которой вы получите начальное, во многом упрощенное представление о форме головы.

Голова имеет мозговую и лицевую части. Ее внешняя пластика познается с помощью целого ряда анатомических точек — узлов (опорных точек или маяков) и линий. Так, на голове хорошо видны: подбо­родочные бугры, линия нижней челюсти, углы рта, линии, ограничивающие область рта, линия разреза губ, фильтр, основание, кончик и крылья носа, переносье, скулы, скуловые дуги, глазничные края, слез­ники, бровные дуги, линии, ограничивающие бровные дуги, лобные бугры, височные линии, макушка, уш­ные раковины, слуховые отверстия, сосцевидные отростки височных костей, теменные и затылочные буг­ры, выйная линия, граница шеи и подбородка, яремная ямка и выступ седьмого шейного позвонка. Най­дите все эти точки и линии на рисунках 205 и 206, а затем и на гипсовой голове.

Зная анатомические пункты — маяки и характерные линии, вы никогда не запутаетесь в деталях и всег­да сможете отличить главное от случайного. Для лучшего понимания внешних пространственных связей то­чек головы часто пользуются упрощенной схемой, представляющей ее структуру в виде неправильного мно­гогранника. Нельзя, однако, злоупотреблять подобными схемами в рисунке. Они необходимы лишь в качест­ве наглядных пособий для грамотного и убедительного изображения головы человека.

100 глава V

Рис.205

Прорись с рисунка П.И.Чурилина

из учебного пособия «Строение головы человека»

рисунок архитектурных деталей 101

Рис.206

Прорись с рисунка П.И.Чурилина

из учебного пособия «Строение головы человека»

102 глава v

Рис.207

Прорись с рисунка ПИЧурилина

из учебного пособия «Строение головы человека»

Голову человека также принято изучать, анализируя ее разрезы в трех взаимно-перпендикулярнь плоскостях: сагиттальной, горизонтальной и фронтальной (рис.207).

Сагиттальная плоскость является плоскостью симметрии тела. Ее название происходит от латинско­го «sagttta» — стрела. Разрез в этой плоскости дает нам среднюю линию, которая является основой проф’^{шной линии лица и очень важна для рисунка головы.}

Горизонтальная плоскость проходит через основание затылка и основание носа.

Фронтальная плоскостьперпендикулярна двум первым и «рассекает» голову в самом широком мес­те. Она проходит через макушку, теменные бугры и точки опоры черепа на позвоночник. Изучение этих раз­резов, а также ортогональных проекций головы: вида спереди, сзади, сбоку и сверху поможет вамлучше по­нять внешнюю пластику головы и точнее передать ее в вашем рисунке.

рисунок гипсовой головы 103

Задача «ознакомительного» рисунка — хорошая композиция на листе, верно переданный общий объем, а также точно найденное место и размер каждой детали головы.

Стадия 1.

Рисунок 208. Начиная работу, определите положение линии горизонта и ракурс. Для этого мыслен­но заключите голову в куб. Найдите общие габариты и разместите будущее изображение на листе при помощи коротких засечек. Помните, что если вы рисуете голову в фас — пространства слева и справа должны быть равными, чтобы изображение не «заваливалось», если же вы рисуете голову в профиль, в 3\4 или в 7\8 — пространство листа перед головой (со стороны лица) должно быть больше, чем со сторо­ны затылочной части. Легкими линиями наметьте контур головы (абрис).

Стадия 2.

Рисунок 209. Прорисуйте основные крупные части: отделите массу головы от шеи, наметьте лице­вую часть, ее переднюю плоскость и легко нанесите осевую профильную линию. Уточняя профильную ли­нию, найдите лежащие на ней характерные точки: точку верха лба (на линии роста волос), точку между бровями, точку основания крыльев носа и точку перелома подбородка. Этими точкам определяются ос­новные канонические пропорциональные отношения частей головы. Согласно греческому классическому канону, расстояния между этими точками должны быть равными. Проведите через эти точки горизонталь­ные линии (на рисунке уходящие в точку схода на горизонте) и отметьте на них соответственно ширину лба, основания носа и подбородка. Для правильного выбора направлений этих линий, воспользуйтесь ме­тодом визирования.

В соответствии с античным каноном, по линии глаз античная голова делится на две равные части -от макушки до линии глаз и от линии глаз до основания подбородка. Отрезок от надбровных дуг (точки между бровями) до основания крыльев носа делится на три равные части — по верхней линии деления про­ходит линия глаз, по нижней — отделяются основание и крылья носа. Отрезок между точкой основания крыльев носа и переломом подбородка также делится на три равные части. По верхней линии деления проходит средняя линия рта, которую еще называют линией разреза губ, нижняя линия делит подбородок пополам. Расстояние между глазами равно длине глаза, т.е. линия глаз также делится на три равные час­ти. Высота уха равна длине носа.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Развёртки геометрических фигур

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.

Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.

Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.

Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательно ознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.

Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вам развёртки для этой программы, а также читайте, как распечатывать из автокада. Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.

Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров 🙂

А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.

Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.

И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.

Далее шестигранник, склеить его будет ещё проще, чем пирамиды. Развёртки шестигранника на первом листе.

Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.

Развёртки пятигранника на втором листе.

Вот мы и добрались до сложных фигур. Теперь придётся поднапрячься, склеить такие фигуры нелегко! Для начала обычный цилиндр, его развёртки на втором листе.

А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.

Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.

Чтобы аккуратно собрать цилиндр его детали нужно клеить встык. С одной стороны дно можно приклеить без проблем, просто поставьте на стол заранее склеенную трубку, положите на дно кружок и залейте клеем изнутри. Следите, чтобы диаметр трубы и круглого дна плотно подходили друг к другу, без щелей, иначе клей протечёт и всё приклеится к столу. Второй кружок приклеить будет сложнее, поэтому приклейте внутри вспомогательные прямоугольники на расстоянии толщины бумаги от края трубы. Эти прямоугольники не дадут упасть основанию внутрь, теперь вы без проблем приклеете кружок сверху.

Цилиндр с овальным основанием можно клеить также как и обычный цилиндр, но он имеет меньшую высоту, поэтому тут проще вставить внутрь гармошку из бумаги, а наверх положить второе основание и по краю приклеить клеем.

Теперь очень сложная фигура – конус. Его детали на третьем листе, запасной кружок для днища на 4-ом листе. Вся сложность склеивания конуса в его острой вершине, а потом ещё будет очень сложно приклеить дно.

Сложная и одновременно простая фигура это шар. Шар состоит из 12-ти пятигранников, развёртки шара на 4-ом листе. Сначала клеится две половинки шара, а потом обе склеиваются вместе.

Довольно интересная фигура – ромб, её детали на третьем листе.

А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.

Когда склеите эти обе фигуры, то не сразу поймёте, что это вообще такое, они получились какие-то совсем невосприимчивые.

Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.

И наконец, последняя фигура из равносторонних треугольников, даже не знаю, как это назвать, но фигура похожа на звезду. Развёртки этой фигуры на пятом листе.

На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!

modelmen.ru

Задачи по логике (24 шт.) с решениями

приобрести
Задачи по логике (24 шт.) с решениями
скачать (77.5 kb.)
Доступные файлы (1):
Победи орков

---

n1.doc

ВАРИАНТ II

Понятие

Задание 1. Содержание какого понятия богаче в следующих парах понятий?

а) Преступление против личности. Клевета.

б) Военнослужащий. Сержант.

Ответ:

а) Ст.129 УК РФ «Клевета» входит в раздел «Преступления против личности», т.е. первое понятие шире.

б) Сержант является воинским званием военнослужащих и поэтому это понятие менее богатое, чем понятие военнослужащий.

Задание 2. Дайте полную логическую характеристику понятиям:

а) Судимость

б) Рязанский кремль

Ответ:

а) Понятие общее, абстрактное, относительное, отрицательное, собирательное.

б) Понятие частное, конкретное, безотносительное, несобирательное.

Задание 3. Подберите понятия, равнозначные данным:

а) Конституция.

б) Арест.

Ответ:

а) Основной закон государства.

б) Задержание, взятие под стражу.

Задание 4. Определите отношения между следующими понятиями и выразите эти отношения с помощью круговых схем:

а) Юрист; б) Женщина; в) Человек; г) Дочь; д) Адвокат

Ответ:

в

Задание 5. Обобщите понятия:

а) общественное порицание

б) министр

Ответ:

а) Наиболее мягкая мера наказания (в старом уголовном кодексе).

б) Член правительства или федеральный государственный служащий.

Задание 6. Проверьте правильность следующих ограничений понятий:

а) допрос – допрос свидетеля – допрос подозреваемого

б) военнослужащий – офицер – лейтенант.

Ответ:

а) Неправильное ограничение. Правильно — допрос – допрос участников уголовного процесса – допрос свидетеля.

б) Правильное ограничение.

Задание 7. Выясните, заключено ли в следующих примерах деление понятий. В делениях укажите: вид деления, делимое понятие, члены деления, основание деления. В неправильных делениях укажите, какие правила не соблюдены:

а) Уголовные наказания по характеру их назначения подразделяются на основные наказания и дополнительные наказания.

б) Батальон делится на роты.

Ответ:

а) Вид деления – по видоизменению признака, делимое понятие – «уголовные наказания», члены деления – «основные наказания и дополнительные наказания», основание деления – «по характеру их назначения»;

б) Деление неправильное: нарушено правило соразмерности деления (отсутствуют члены деления).

Задание 8. Выясните, являются ли следующие высказывания определениями. В неправильных определениях укажите, какие правила нарушены.

а) Равнобедренный треугольник – это треугольник, не являющийся равносторонним и разносторонним.

б) Шар – это шарообразное тело.

Ответ:

а) Неправильное определение, т.к. отрицательное определение не раскрывает определяемого понятия. Оно указывает, чем не является предмет, не указывая, чем он является.

б) Неправильное определение, т.к. определение не должно содержать в себе круга . Ошибка в том, что определяющее понятие является повторением определяемого.

СУЖДЕНИЕ

Задание 9. Изменяется ли распределенность терминов при переходе от одного примера к другому в следующем случае?

Все тела расширяются при нагревании.

Почти все тела расширяются при нагревании.

Некоторые тела сужаются при нагревании.

Не все тела расширяются при нагревании

Ответ:

В первом случае, Все S есть P. Общеутвердительное суждение. Субъект распределен полностью, а предикат не распределен или распределен полностью. Во втором и четвертом случаях имеют место частноутвердительные суждения. В этих случаях оба термина не распределены. Во втором случае – частноотрицательное суждение при котором субъект не распределен, а предикат распределен.

Задание 10. Признав первые суждения в каждой паре приведенных суждений истинными, определите, что может быть сказано при условии относительности истинности (или ложности) второго суждения той же пары:

а) Чистосердечное раскаяние является обстоятельством, смягчающим ответственность. – Чистосердечное раскаяние не является обстоятельством, смягчающим ответственность.

б) Некоторые птицы летают. – Некоторые птицы не летают.

Ответ:

а) В этом случае имеет место несовместимость и сделать вывод нельзя.

б) Частичная совместимость. Можно сказать – Птицы летают, за исключением некоторых видов.

Задание 11. Определите логическое строение, качество и количество следующих суждений. Определите распределенность терминов и выразите отношения между субъектом и предикатом с помощью круговых схем:

а) Граждане РФ имеют право на труд.

б) Некоторые орденоносцы – герои России.

Ответ:

а) Граждане РФ (S) имеют право на труд (P).

б) Некоторые орденоносцы (S) – герои России (P).

Задание 12. Рассмотрите сложные суждения, выразите их в символической записи:

а) Если он при пожаре выпрыгнет из окна, то рискует получить либо ожоги, либо травму, либо и то и другое.

б) Исправительные работы могут назначаться как с лишением свободы, так и без него.

Ответ:

а) А ® В, С, В и С.

б) А ® (В v не-В).

основные законы логики

Задание 13. Могут ли быть одновременно истинными следующие пары суждений?

а) Все задачи решены. – Некоторые задачи решены.

б) Все задачи решены. – Не все задачи решены.

Ответ:

а) В данном случае – отношение подчинения. При истинности общего частное истинно. Т.е. могут быть одновременно истинными.

б) Отношение противоположности, т.е. не могут быть одновременно истинными.

Задание 14. Требования каких формально-логических законов выражены в следующих статьях?

а) О прекращении дела следователь составляет мотивированное постановление, в котором излагается сущность дела и основания прекращения.

б) В соответствии с КЗоТ запрещается необоснованный отказ в приеме на работу.

Ответ:

а) Закон достаточного основания.

б) Закон тождества.

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Задание 15. Сделайте вывод путем обращения следующих посылок:

а) Некоторые свидетельские показания не являются достоверными.

б) Марксизм – не догма.

Ответ:

а) Не являются достоверными все свидетельские показания.

б) Догмой не является и марксизм.

Задание 16. Сделайте вывод путем превращения из следующих посылок:

а) Ни один свидетель не должен давать ложных показаний.

б) Не все утверждения защитника были убедительными.

Ответ:

а) Все свидетели должны давать правдивые показания.

б) Некоторые утверждения защитника были неубедительными.

ДЕДУКТИВНЫЕ ВЫВОДЫ ИЗ ПРОСТЫХ ПОСЫЛОК

Задание 17. Определите состав, фигуру и модус следующих силлогизмов; найдите вывод, термины силлогизма, большую и меньшую посылки. Изобразите отношения между терминами с помощью круговых схем:

а) Акула дышит жабрами, значит она не является млекопитающим, так как ни одно млекопитающее не дышит жабрами.

б) Ни один человек, не изучавший логику, не знает ее. Иванов изучал логику, следовательно, он ее знает.

Ответ:

а) Перефразируем:

Акула (P) дышит жабрами (М).

Все млекопитающие (S) не дышат жабрами (М).

Акула (P) не являются млекопитающим (S).

Модус: АЕЕ

б)

Модус: EIO

Задание 18. Правильно ли построен следующий силлогизм? Выясните допущенные ошибки:

а) Все существующее имеет начало и конец. Материя существует, значит она имеет начало и конец.

б) Студенты Академии ФСИН России не являются участниками смотра технического творчества молодежи. Юноши и девушки пригородного поселка не являются студентами Академии ФСИН России. Следовательно юноши и девушки пригородного поселка являются участниками смотра технического творчества молодежи.

Ответ:

а) Силлогизм построен правильно.

б) Силлогизм построен не правильно. Из двух посылок, выраженных отрицательными суждениями, нельзя сделать вывод.

Задание 19. Сделайте вывод из посылок, определите фигуру и модус силлогизма. Установите, следует ли вывод с необходимостью.

а) Некоторые слушатели – отличники. Иванов – отличник. Следовательно …

б) Все адвокаты имеют высшее юридическое образование. Петров имеет высшее юридическое образование. Следовательно …

Ответ:

а) Вывод не следует: допущена ошибка, при которой средний термин не распределен в одной из посылок.

б) Первая фигура

Модус: АII

ДЕДУКТИВНЫЕ ВЫВОДЫ ИЗ СЛОЖНЫХ ПОСЫЛОК

Задание 20. Постройте приведенный текст в форме чисто условного умозаключения, найдите основания и следствие, сделайте вывод, постройте схему умозаключения.

«При расследовании дела о массовом падеже скота было установлено, что причина падежа – истощение организма животных. Дальнейшее расследование показало, что причиной истощения являлся недостаток кормов, причиной же недостатка кормов явилось их расхищение и разбазаривание».

Ответ:

Расхищение и разбазаривание приводят к недостаче кормов.

Недостаток кормов ведет к истощению животных.

Истощение животных может привести к массовому падежу.

Следовательно, расхищение и разбазаривание могут привести к массовому падежу животных.

Если а, то в

Если в, то с

Если с, то d

Если а, то d

а – основание, в – следствие

в – основание, с – следствие

c – основание, d – следствие

а – основание, d – следствие

Вывод правомерен. Чисто условное умозаключение. Вывод в таком умозаключении основывается на правиле: «следствием следствия есть следствие основания».

Задание 21. Правильно ли сделаны следующие выводы? Обоснуйте свой ответ.

а) Судья не может участвовать в рассмотрении дела, если он является потерпевшим. Судья К. не является потерпевшим. Следовательно, он может участвовать в рассмотрении дела.

б) Если в момент совершения преступления потерпевший оставил ссадины на руке преступника, то они должны быть на нем. На руках, лице и шее подозреваемого М. имеются ссадины. Следовательно, они оставлены потерпевшим.

Ответ:

а) Правильный вывод по схеме:

Отрицающее-утверждающий модус:

а или в

не-а

в

б) Дилемма – условно-разделительное умозаключение с двумя альтернативами. Ссадины на преступнике могут быть от потерпевшего или нет. Вывод неправомерен.

Задание 22. Можно ли сделать правильный вывод из следующих пар посылок? Если можно, то какой? Если нельзя, то почему? Дайте символическую запись умозаключения:

а) Осужденные к лишению свободы отбывают наказание в ИТК или тюрьме. Осужденный к лишению свободы М. не отбывает наказание в ИТК. Следовательно…

б) Потерпевшему может быть нанесен моральный или имущественный ущерб. Потерпевшему Н. нанесен моральный ущерб. Следовательно …

Ответ:

а) Отрицающее-утверждающий модус:

Следовательно, М. отбывает наказание в тюрьме

а или в

не-а

в

б) Вывод сделать нельзя, т.к. первое утверждение ложно. Потерпевшему может быть нанесен моральный и материальный ущерб.

Задание 23. К данному тезису подберите аргументы, продемонстрируйте их связь с тезисом, используя дедуктивную форму обоснования. Запишите схему.

Заключение «данное государство является Федеративным» следующее из посылок «государство может быть либо Федеративным, либо унитарным», «данное государство не является унитарным» — достоверно.

Ответ:

Отрицающее-утверждающий модус:

а или в

не-а

в

Задание 24. К данному тезису подберите аргументы, продемонстрируйте их связь с тезисом, используя дедуктивную форму обоснования. Запишите схему.

Дается тезис: «Полученный в лаборатории металл не является натрием».

Для его доказательства мы располагаем рядом аргументов:

1. 
   Все щелочные металлы различают воду при комнатной температуре.
   
2. 
   Натрий щелочной металл.
   
3. 
   Полученный в лаборатории металл не различает воду при комнатной температуре.
   

Все перечисленные в качестве аргументов утверждения являются истинными.

Ответ:

Промежуточный тезис из двух первый аргументов: «Натрий различает воду при комнатной температуре» — А. Третий – Б.

Натрий (S) различает воду при комнатной температуре (M).

Полученный в лаборатории металл (P) не различает воду при комнатной температуре (M).

М – P

М – S

P – S

---

nashaucheba.ru

Решение задач по логике

Вариант I

1. К какому виду относится следующее понятие?

Безвластное государство

Ответ

А) По объему: (логически) пустое.

Б) По содержанию: отрицательное.

В) По характеру элементов объема: несобирательное, конкретное.

2. Преобразуйте следующее сложное суждение с внешним отрицанием в эквивалентное ему суждение без внешнего отрицания:

Неверно, что если не знаешь ответ, то есть смысл задавать вопрос.

Ответ

Символически: (pq) _Df (p&q) _Df p&q (не знаешь ответ и нет смысла задавать вопрос).

3. Определите правильность следующего силлогизма:

Все газы (М) – твердые тела (Р). М⁺аР^—

Ксенон (S) – газ (M). S⁺aM^—

Ксенон – твердое тело.S⁺aP^—

I-ая фигура, модус ААА.

Силлогизм правильный.

Вариант II

1. Проверьте правильность деления понятия, в случае неправильности попробуйте

произвести деление правильно:

ИМУЩЕСТВО: ПРИОБРЕТЕННОЕ, ПОЛУЧЕННОЕ ПО НАСЛЕДСТВУ, ПЕРЕДАННОЕ ВО ВРЕМЕННОЕ ПОЛЬЗОВАНИЕ, ПОДАРЕННОЕ, УКРАДЕННОЕ.

Ответ

Деление неправильное, так как деление ведется как минимум по трем основаниям (отсюда и нарушение других правил, как, например, включение одних членов деления в другие).

«Исправить» его можно, например, сначала осуществив дихотомию по основанию «приобретение/отчуждение», а затем каждое полученное понятие разделить по основанию «основание приобретения/отчуждения»:

А) (Приобретенное) имущество: полученное по наследству, украденное.

Б) (Отчужденное) имущество: переданное во временное пользование, подаренное.

2. Преобразуйте следующее сложное суждение с внешним отрицанием в эквивалентное ему суждение без внешнего отрицания:

НЕВЕРНО, ЧТО РЕВОЛЮЦИЯ МОЖЕТ НАЧАТЬСЯ ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ В СТРАНЕ СЛОЖИЛАСЬ РЕВОЛЮЦИОННАЯ СИТУАЦИЯ.

Ответ

Символически: (pq) _Df pq (либо может начаться революция, либо в стране сложилась революционная ситуация).

3. Проверьте по логическому квадрату наличие отношения следования:

Из истинности высказывания «Не все книги интересны» следует ложность высказывания «Ни одна книга не интересна».

Ответ

Не все книги интересны: SaP _Df SoP (по квадрату в силу контрадикторности SaP и SoP).

Ни одна книга не интересна: SeP.

Из SoP логически не следует SeP, поэтому при истинности SoP может быть ложно SeP.

Вариант III

1. К какому виду относится следующее понятие?

Общенародное государство

Ответ

А) По объему: (фактически) пустое.

Б) По содержанию: положительное.

В) По характеру элементов объема: несобирательное, конкретное.

2. Преобразуйте отрицание следующего суждения с отношениями в суждение без

внешнего отрицания:

НЕВЕРНО, ЧТО КАКОЙ-НИБУДЬ РОССИЙСКИЙ ГОРОД БОЛЬШЕ МОСКВЫ.

Ответ

Символически: SiP _DfSeP (по квадрату в силу контрадикторности SiP и SeP; ни один российский город не больше Москвы)

3. Проверьте, имеет ли место отношение логического следования между указанными посылками и заключением:

Цезарь был в Германии или в России; он не был в России; значит, Цезарь был в Германии.

Ответ

Символически: pq, q = p

p	q	pq	q
И	И	И	Л
И	Л	И	И
Л	И	И	Л
Л	Л	Л	И

В совместной таблице таблице истинности для посылок и заключения нет строки, где посылки истинны, а заключение – ложно, поэтому отношение логического следования есть.

Вариант IV

studfiles.net

Примеры решения задач по логике

Содержание

1.Задание 1

2.Задание 2

3.Задание 3

4.Задание 4

5.Задание 5

6.Задание 6

7.Задание 7

8.Задание 8

9.Задание 9

10. Задание 10

11. Задание 11

12. Задание 12

13. Задание 13

14. Задание 14

15. Задание 15

16. Задание 16

17. Задание 17

18. Задание 18

19. Задание 19

20. Задание 20

21. Список литературы

Задание 1

Дайтеполную логическую характеристикупонятиям:

1) Судимость;

2) Поджог

1) Судимость – абстрактное, положительное, безотносительное, собирательное, пустое, общее, атрибутивное.

2) Поджог – конкретное, положительное, соотносительное, не собирательное, пустое, общее, атрибутивное.

Задание 2

Определите отношения между понятиями и выразите эти отношения с помощью круговых схем:

1) Правоотношение, общественное отношение, семейное отношение;

2) Полиция, налоговая полиция, городская полиция.

1) Правоотношение, общественное отношение, семейное отношение

2) Полиция, налоговая полиция, городская полиция

Задание 3

Обобщите понятия:

1) Общественное порицание

2) Трудовое законодательство

1) Общественное порицание – порицание

2) Трудовое законодательство — законодательство

Задание 4

Ограничьте следующие понятия:

1) Семейное право;

2) Государственный служащий

1) Семейное право – российское семейное право – региональное российское семейно право – районное российское семейное право.

2) Государственный служащий – административный государственный служащий – временный административный государственный служащий

Задание 5

Укажите правильность следующих определений (в неправильных укажите, какое правило нарушено):

1) Мошенник — человек, занимающийся мошенничеством.

2) Правонарушение — родовое понятие, означающее любое деяние, нарушающее какие-либо нормы права.

1) Мошенник – человек, занимающийся мошенничеством.

Данное определение неправильное, в нем нарушено правило соразмерности

2) Правонарушение – родовое понятие, означающее любое деяние, нарушающее какие-либо нормы права

Данное определение неправильное, в нем нарушено правило ясности. Определение «родовое понятие» само нуждается в определении

Задание 6

Соблюдено ли правило деления в следующем случае:

1) Право собственности включает в себя владение и распоряжение вещью.

2) Преступность бывает подростковая и взрослая.

1. Здесь нарушено правило соразмерности. Данное деление неполное, т.к. отсутствует право пользования.

2. Здесь правило деления соблюдено.

Задание 7

Определите вид суждения, приведите схему атрибутивных суждений и суждений с отношением:

1) Каждый юрист знает некоторого философа лучше, чем знаменитого логика.

2)Есть люди, которые, зная, что делать, не делают того, что нужно.

1) Каждый юрист знает некоторого философа лучше, чем знаменитого логика.

Данное суждение утвердительное.

2) Есть люди, которые, зная, что делать, не делают того, что нужно.

Данное суждение отрицательное.

Запись атрибутивного суждения: S-P, где S – субъект суждения, Р – предикат суждения, «-« — связка.

Запись суждения с отношениями: xRy, где х и y – члены отношения, они обозначают понятия о предметах, R – отношение между ними.

Схемы атрибутивных суждений:

Схема суждения с отношением: «Вольво» (S) дороже «Мицубиси» (Р).

А (S) равно В (Р).

Задание 8

Дайте объединенную классификацию суждений, изобразите отношение между терминами с помощью кругов Эйлера, установите распределенность субъекта и предиката.

1) Все сделки, не соответствующие требованиям закона, являются недействительными.

2) Уголовной ответственности подлежит лицо, достигшее ко времени совершения преступления шестнадцатилетнего возраста

1) Все сделки, не соответствующие требованиям закона (S), являются недействительными (Р).

Схема суждения выгладит так:

Субъект этого суждения распределен, он взят в полном объеме и речь идет обо всех сделках, не соответствующих требованиям закона. Предикат этого суждения не распределен, так как в нем мыслится только часть сделок, относящихся к общему числу.

2) Есть люди, которые, зная, что делать (S), не делают того, что нужно (Р).

Это частноотрицательное суждение. Субъект этого суждения не распределен (мыслится лишь часть людей). Предикат распределен.

Его схема такова:

Задание 9

При помощи логического квадрата установите все возможные суждения данному суждению. Определите их истинность или ложность:

По некоторым делам предусматривается законом проведение экспертиз.

Эквивалентные (полно совместимые) суждения:

Иногда предусматривается законом проведение экспертиз.

Истинное субконтрарное (частично совместимое) суждение.

По некоторым делам законом не предусматривается проведение экспертиз.

Истинное.

Отношение подчинения.

По всем делам предусматривается проведение экспертиз.

Ложное.

По редким делам предусматривается проведение экспертиз.

Истинное

Несовместимое противоположное (контрарное) суждение

Ни по каким делам законом не предусматривается проведение экспертиз

Ложное

Несовместимое (контрадиктарное) суждение

Все дела не предусматривают закономпроведение экспертиз

Ложное

Задание 10

Установите термины, входящие в состав данного сложного сужения и напишите его в символической форме, используя логические знаки конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции:

«В современном обществе печать – это колоссальная сила. Она может и создать и испортить репутацию любому человеку. Никто не мешает ей назвать лучшего из граждан мошенником и вором и погубить его навеки» (Марк Твен).

p V q. p ^ q ^ r. p ^ q ^ r ^ n.

Задание 11

Построить истинную таблицу для формулы логики высказываний и определить, какой она является:

( p ^ q) ( p ^ q).

Ответ:

Построим таблицу для формулы логики высказываний, перечисленные связки и их символические обозначения представим в таблице 1.

Логические связки, с помощью которых из данных высказываний получаются сложные высказывания, называются пропозициональными связками.

Таблица 1

Данная формула

является Эквивалентность «если и только если».

Задание 12

Проверьте, правильно ли произведено превращение приведенного ниже суждения; укажите, в чем заключается ошибка, если превращение произведено неправильно:

Ни одна демократическая страна не одобряет терроризм. Некоторые демократические страны одобряют не терроризм.

Превращение не полное.

Все демократические страны одобряют терроризм.

Задание 13

Сделайте обращение следующего суждения:

Одного желания добиться преимущества в конкурентной борьбе недостаточно.

Ответ: «Все S есть Р»

конъюнктивные

Задание 14

Сделайте вывод с помощью превращения, обращения и противопоставления предикату из следующей посылки, составьте схему вывода:

Некоторые неудачники любят ссылаться на обстоятельства.

Ответ:

Противопоставление предикату – это такое непосредственное умозаключение, при котором (в заключении) предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а связка меняется на противоположную.

Его схема:

mirznanii.com

Задача по логике с решением. Умозаключения по логическому квадрату

Задание 5. Используя простые суждения из предыдущего задания, постройте непосредственные силлогистические умозаключения по логическому квадрату

Теория:

Объединяя количественную и качественную характеристики, суждения делятся на:

• общеутвердительные (А) — «Все S есть Р»,
• частноутвердительные (I) — «Некоторые S есть Р»,
• общеотрицательные (Е) — «Ни один S не есть Р»,
• частноотрицательные (О) — «Некоторые S не есть Р»

Превращением называется непосредственное умозаключение, в заключении которого устанавливается связь между понятием, являющимся субъектом посылки, и понятием, противоречащим предикату посылки. Например,

«Все бамбуки – злаки. Следовательно, ни один бамбук не является незлаком». В процессе превращения меняется качество посылки: из утвердительной посылки следует отрицательное заключение и наоборот.

Обращение представляет собой умозаключение, при котором происходит замена субъекта предикатом, а предиката – субъектом при сохранении качества суждения.

Например, «Некоторые врачи – художники. Следовательно, некоторые художники – врачи».

Противопоставлением предикату называется непосредственное умозаключение, субъектом вывода которого становится понятие, противоречащее предикату посылки, а предикатом – субъект посылки. Например, «Все жирафы – позвоночные животные. Следовательно, ни одно непозвоночное животное не является жирафом». Противопоставление предикату можно рассматривать как комбинацию превращения и обращения.

Ответ: К числу непосредственных умозаключений относятся операции обращения, превращения  и различные виды противопоставления.

Из задания 4 простыми суждениями являются первое и второе суждение.

1)ни один участник похода не был на следующий день на занятиях

общеотрицательное суждение (E)

 

превращение:

все участники похода были не на следующий день на занятиях

общеутвердительно суждение (A)

обращение:

ни один кто был на следующий день на занятиях, не был участником похода

общеотрицательное суждение(А)

противопоставление предикату:

некоторые кто был не на следующий день на занятиях являются участниками похода

 

2)каждому овощу свое время

общеутвердительное суждение(А)

превращение:

ни одному овощу нет не своего времени

общеотрицательное суждение (Е)

обращение:

некоторым кому свое время будут овощем

частноутвердительное суждение(I)

противопоставление предикату:

ни одному, кому не свое время не является овощем

общеотрицательно суждение(Е)

2,403 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

otvet-prost.ru

Логические задачи, задачи на логику. С ответами.

	Размер	Толщина	Фон
Скрыть   ответы	+шрифт   —шрифт	+жирн   —жирн	White Cyan LGreen GYellw DpSkBl Coral DPink1 DPink2 SkBlue Orange OlivD1 OlivD2 LBlue PGreen Yellow Gold Blue Green Wheat Chocol Salmon Red HPink DPink Pink VioRed Magent Violet Plum Purple OrRed Bisque Bisqu2 LemC1 LemC2 Corns2 Honey2 Turqu1 Turqu2 SGrn1 SGrn2 Orchi1 Orang1 Gray golrod

---

В одном классе было на продленке 5 учеников. Один из них очень хорошо и быстро рисовал. Ему учитель дал задание нарисовать всех тех учеников, которые не могут сами себя нарисовать. Ученик начал рассуждать и запутался, рисовать ли ему самого себя или нет? Если он себя может нарисовать, то он себя рисовать не должен, т.к. он себя нарисовать может. Но если он не будет себя рисовать, то должен все таки себя нарисовать. Как же ему поступить?

Ответ

Логика в этой задачи запутанная и решения задача не имеет. Преподавателю следовало бы сразу указать ученику – рисовать самого себя или нет.

---

Двум землекопам нужно вырыть траншею за 2 франка. Первый копает с такой же скорость, с какой второй выбрасывает грунт. Второй копает в четыре раза быстрее, чем первый выбрасывает грунт. Как же им поделить деньги, полученные после выполнения работы?

Ответ

Первый землекоп должен получить треть от общего заработка, а второй две трети. Решение : предположим, что второй землекоп может вырыть траншею за 2 часа и выбросить грунт за 4 часа. Тогда первый землекоп должен выкопать траншею за 4 часа и выбросить грунт за 8 часов. В итоге получается, что второй работает в 2 раза быстрее. Значит, первый получит треть, а второй две трети от общего заработка.

---

Сидят рядом друг с другом мужчина и женщина. «Я — женщина», говорит человек с темными волосами. «Я — мужчина», говорит человек со светлыми волосами. Из них, по крайней мере, один точно сказал неправду. Как вы думаете, кто именно сказал неправду? Или они лгут оба?

Ответ

Оба и мужчина, и женщина говорят неправду. Решение: если первый человек говорит неправду, то с темными волосами — мужчина. Тогда со светлыми волосами мужчиной быть не может. Если второй человек говорит неправду, то со светлыми волосами — женщина. Тогда человек с темными волосами женщиной быть не может. Остается единственный верный вариант — они лгут оба.

---

Три пары (мужей и жен) получили на всех заработную плату за неделю в сумме 1000 фунтов. В сумме жены получили 396 фунтов. Диана получила на 10 фунтов больше Кати, а Мария получила на 10 фунтов больше Дианы. Дмитрий Смирнов получил столько же, сколько и его жена, Георгий Сидоров получил в полтора раза больше жены, Тимофей Иванов получил вдвое больше жены. Подумайте и ответьте, кто и на ком женат, кто и сколько получил денег?

Ответ

Диана получила 132 фунта, Катя получила 122 фунта, Мария получила 142 фунта. Дмитрий Смирнов получил 122 фунта, как и его жена Катя. Георгий Сидоров получил 198 фунтов, это в полтора раза больше чем получила его жена Диана. Тимофей Иванов получил 284 фунта, что в два раза больше, чем получила его жена Мария.

---

Один господин оставил четырем своим сыновьям наследство в размере 1 320 фунтов. Если бы третий брат получил долю от четвертого, то он получил бы столько же, сколько в сумме первый и второй брат. Если бы долю четвертого брата досталась второму сыну, то он получил бы в два раза больше, чем в сумме первый и третий. Сколько же денег получил каждый из четырех сыновей?

Ответ

Первый брат получил 385 фунтов, второй 275 фунтов, третий 55 фунтов, четвертый 605 фунтов.

---

Один человек, путешествуя по лесным чащам амазонки, случайно попал в плен к местным туземцам-аборигенам. Аборигены были жестоким племенем и сообщили ему, что его казнят, но каким способом – это зависит от него. Если он скажет неправду, то его сбросят со скалы, а если скажет правду, то повесят. Что же должен сказать путешественник, чтобы остаться в живых?

Ответ

Путешественнику нужно сказать : «Я буду сброшен со скалы». Это идет в разрез с обоими условиями туземцев.

---

Два бизнесмена решили открыть совместный бизнес. Первый бизнесмен вложил в 1,5 раза больше средств, чем второй. Позже они решили пригласить в свой бизнес еще третьего бизнесмена, но при этом сумма общих взносов остается неизменной. Третий бизнесмен внес 2500 фунтов. Эту сумму необходимо разделить между двумя другими бизнесменами так, чтобы вклады всех трех бизнесменов стали после этого одинаковые. Как же следует поделить на троих 2500 фунтов?

Ответ

Очевидно, что если третий бизнесмен вносит 2500 фунтов, то общая сумма взносов составляет 7500. Значит изначально первый внес 4500 фунтов, а второй 3000 фунтов. Стало быть, взнос третьего бизнесмена должен разделиться между первым и вторым соответственно на суммы : 2000 фунтов и 500 фунтов. Тогда каждый вносит по 2500 фунтов.

---

Один богатый человек оставил завещание, по которому двое его племянников получают в наследство 200 000 франков. Если третью часть суммы, которую получил первый племянник, вычесть из четверти от суммы получаемой вторым племянником, то останется 22 000 франков. Сколько получил денег каждый из племянников, согласно завещания?

Ответ

Первый племянник получил 48 000 франков, а второй племянник получил 152 000 франков. Если 16 000 (это третья часть от 48 000) вычесть из 38 000 (четверть от 152 000), то останется 22 000 франков.

---

Имеется семилитровый сосуд с водой до краев (т.е. с семью литрами воды). Также имеется 2 пустых сосуда на 3 и 4 литра. Как за 4 переливания сделать так, чтобы в сосуде на 3 литра было 2 литра воды?

Ответ

Сначала наливаем из семилитрового сосуда воду в трехлитровый до краев (т.е. 3 литра). Далее из трехлитрового переливаем все 3 литра в четырехлитровый. Потом снова наливаем 3 литра в трехлитровый сосуд из семилитрового. Потом из трехлитрового сосуда наполняем до конца четырехлитровый сосуд, в котором оставалось свободного места только на 1 литр. В итоге в трехлитровом сосуде останется два литра воды.

---

Один человек завещал наследство в сумме немного меньше 1500 фунтов. Сумма делилась на пятерых его детей, и небольшая часть доставалась нотариусу. Квадратный корень из доли первого сына, половина наследства второго, доля третьего минус 2 фунта, доля четвертого плюс 2 фунта, двойная доля пятого сына, и сумма для нотариуса в квадрате – были равны между собой. Каждый из сыновей и нотариус получили целое количество фунтов. Какова же была сумма, оставленная в наследство?

Ответ

Завещанная сумма наследства составляла 1464 фунта. Первый сын получил 1296 фунтов, второй 72, третий 38, четвертый 34, пятый 18, нотариус получил 6 фунтов.

---

Поделитесь с друзьями:

Один человек пришел в магазин. Половину денег он потратил на продукты, на 5 центов он купил жвачку. Далее он купил книгу рецептов на половину оставшейся суммы плюс 10 центов. Из оставшейся суммы половина ушла на покупку календаря, а на 15 центов он приобрел хот-дог. В итоге у него осталось только 5 центов. Сколько же наличных денег было у него изначально в магазине до покупок?

Ответ

У этого человека в магазине до покупок было с собой наличных 2 доллара и 10 центов.

---

Имеется 9 одинаковых монет, но одна из них легче остальных. Необходимо за два взвешивания на весах найти эту монету. Весы — обычные с двумя чашками, т.е. рычажные.

Ответ

Решение: сначала необходимо взвесить шесть монет, по три в каждой чаше весов. Первый случай: если они равны по весу, то взвешиваем две монеты из оставшихся трех. Если весы уравновесятся, то оставшаяся монета — искомая. Если же не уравновесятся, то искомая монета также найдена — та, что более легкая. Второй случай: если в первом взвешивании весы не уравновесятся, то из более легкой группы берем любые две монеты и взвешиваем их. Т.е. все тоже, что и во втором взвешивании в первом случае.

---

Девять любителей азартных игр однажды собрались в своем узком кругу. Они решили сыграть в одну игру по раздаче денег. Первый дает каждому другому столько денег, сколько у каждого уже было. Потом тоже проделывает второй, т.е. раздает деньги остальным восьми, сколько у них у каждого есть. И так далее проделывают по очереди все 9 игроков. В конце оказывается, что у всех игроков денег стало поровну. Сколько же денег изначально было у каждого игрока?

Ответ

Минимальная сумма у одного из игроков должна на 1 превышать число участников. Деньги, находившиеся у остальных восьми игроков можно найти последовательным удвоением и вычитанием 1. В итоге получится суммы : 10, 19, 37, 73, 145, 289, 577, 1153, 2305. Если начинать игру будет тот, у кого сумма 2305, тогда в конце у каждого игрока будет 2^9 или 512 у.е. денег.

---

Один человек постоянно предлагает другому купить у него пианино. Сначала он просил за пианино 1024 фунтов, когда получил отказ, то попросил уже сниженную цену в размере 640 фунтов. Получив снова отказ он запросил уже 400 фунтов. После очередного отказа он запросил 250 фунтов. Как вы думаете, если продавец получит новый отказ, то какую новую сумму, судя по зависимости снижения, запросит продавец пианино?

Ответ

В следующий раз продавец запросит 156,25 фунтов. Каждый раз продавец предлагал цену равную 3/8 от предыдущей цены.

---

Имеется два ведра. В одном 5 литров воды, в другом столько же спирта. Из ведра воды было взято 0,5 литра и перелито в ведро со спиртом. После тщательного перемешивания из ведра со спиртом и 0,5 литром воды было взято 0,5 литра смеси и перелито в ведро с водой. Как вы думаете, какое из утверждений верное :

А) В ведре с водой больше спирта, чем в ведре со спиртом воды.
Б) В ведре со спиртом больше воды, чем в ведре с водой спирта.
В) В ведре со спиртом столько же воды, сколько в ведре с водой спирта.
Г) Нет правильного варианта.

Ответ

Вариант – «В». В ведре со спиртом столько же воды, сколько в ведре с водой спирта. Решение: допустим, в каждом из ведер находится по 100 единиц жидкости, например, в ведре со спиртом 100х и в ведре с водой 100у. Перельем 0,5 литра, т.е. 10 единиц воды (т.е. 10у) в другое ведро и получим 100х + 10у, а в другом ведре останется 90у. Нам нужно взять снова пол литра или 10 единиц из новой смеси. Получаем: 10/110 = 0,0909. Умножаем это число на 100х и 10у и получаем: 9,1х и 0,9у — это смесь, которая будет перелита в ведро с водой. В ведре с водой получится новая смесь: 90у + 0,9у + 9,1х = 90,9у + 9,1х. В ведре со спиртом останется смесь: 100х — 9,1х + 10у — 0,9у = 90,9х + 9,1у. Как видите, соотношения смесей равны: 90,9у + 9,1х и 90,9х + 9,1у.

---

Один человек осуществляющий закупки товаров для фирмы купил в одном магазине бытовой техники : некоторое количество холодильников по 344 фунта и некоторое количество телевизоров по 265 фунтов. Стоимость всех холодильников больше чем стоимость всех телевизоров на 33 фунта. Какое наименьшее количество холодильников и телевизоров он мог приобрести?

Ответ

Закупщик приобрел 252 холодильника и 327 телевизоров. Данная задача решается путем составления и решения уравнения : 344*х = 265*т + 33, где х – количество холодильников, т – количество телевизоров.

---

Один торговец купил партию джинсовых брюк на общую сумму 6000 франков. Себе он оставил 15 джинсов, остальные же он продал у себя в бутике на общую сумму 5400 франков. После продажи предприниматель получил 10 франков прибыли с каждой проданной штуки джинсов. Сколько же предприниматель купил джинсовых брюк изначально?

Ответ

Предприниматель изначально купил всего 75 джинсовых брюк по 80 франков за штуку на сумму 6000 франков. В своем бутике он продал 60 джинсов по цене 90 франков за штуку на сумму 5400 франков. В итоге он получил прибыли 10 франков с каждой штуки проданных джинсов. Сумма прибыли составила 60 * 10 = 600 франков.

---

В очереди четыре человека. Семен находится между Борисом и Машей. Маша стоит перед двумя другими людьми, Дима занимает место перед Машей. Кто в очереди первый, второй, третий и четвертый?

Ответ

Давайте по очереди разбирать условие. Первое: Семен находится между Борисом и Машей, т.е. БСМ или МСБ (первые буквы имен). Второе: Маша стоит перед двумя людьми, т.е. из первого условия остается только один вариант МСБ. Третье: Дима занимает место перед Машей ,т.е. ДМ. В результате сложения выводов условий 2 и 3 получим: ДМСБ.

---

Один человек увлекался накоплением однодолларовых банкнот, 50-центовых и 25-центовых монет. Однажды у него их накопилось достаточное количество, причем все 3 вида денег было по равному количеству. Человек решил разложить их в 8 мешков так, чтобы в каждом было по одинаковому количеству каждой из 3-х видов денег. На следующий день человек эти же деньги разложил уже в 7 мешков. На следующий день он эти же деньги разложил уже в 6 мешков. Еще через день он попытался разложить по тем же правилам в 5 мешков, но это у него уже не вышло. Какова наименьшая сумма долларов, которые этот человек мог раскладывать в мешки?

Ответ

Человек накопил 168 однодолларовых банкнот, 168 монет по 50 центов и 168 монет по 25 центов. Общая сумма денег, накопленная им составила 294 доллара. В каждый из восьми мешков он клал : по 21 штук денег каждого из трех типов. В каждый из семи мешков он клал : по 24 штук денег каждого из трех типов. В каждый из шести мешков он клал : по 28 штук денег каждого из трех типов.

---

Два уличных торговца продавали сливы, один по 2, а другой по 3 штуки за один цент. Оба торговца ожидали продать слив на 25 центов совместно. Когда у каждого из них осталось по 30 непроданных слив, то они ушли на обед, но оставили за двоих третьего. Он стал продавать сливы по 2 цента за 5 штук. После того, как оба торговца вернулись с обеда, то все оставшиеся сливы были проданы третьим продавцом. Два торговца были удивлены, что общая выручка составила не 25 центов, как они планировали, а только 24 цента. Куда же подевался один цент?

Ответ

Если бы продавцами было продано количество слив по три штуки за цент и по 2 штуки за цент в соотношении 3 / 2, то они бы получили 24 цента. При чем не важно, продавали бы они сами или продавал бы их товарищ (уже своим способом). Если же слив, как в условии, остается равное количество, то при продаже первым способом на каждые 60 штук будет плюс один цент, к продаже по второму способу (которым пользовался третий продавец).

---

Поделитесь с друзьями:

www.treningmozga.com

Логика задачи с ответами для студентов юридических факультетов

Последний вопрос он задач богу, стоявшему справа: — Кто стоит рядом с тобой? — Бог Лжи, — был ответ. — Теперь все понятно, — сказал человек. Что же он понял из ответов оракула? Задача № 26 Некий человек устроил себе тайный погребок: пробил в стене квадратное от­верстие, разделил его на 9 отделений и в каждое отделение поместил бутылки доброго анжуйского вина так, как показано на рисунке. В угловые отделения поместил по 6 бутылок, а посередине — по 9; центральное же отделение оставил пустым. Этот человек регулярно проверял сохранность своего погребка, однако ленился пересчитывать все бутылки и ограничивался тем, что считал их количество по одной стороне: на каждой стороне было ровно 21 бутылка. У него был слуга, тоже любитель анжуйского вина.

Задачи по логике (24 шт.) с решениями — файл n1.doc

Основная идея решения состоит в том, что бутылки из средних отде­лений нужно перекладывать в угловые. После четырех краж уже ничего нельзя украсть, не нарушив условия: на каждой стороне должно быть по 21 бутылке.

Инфо

Таким образом, слу­ге удалось украсть всего 16 бутылок. Задача № 27. Евгений отдыхал в первый год в июне. Задача № 28.

4 студента (решать задачу удобнее при помощи кругов Важно

Эйлера). Задача № 29. Молоко — кувшин, квас — банка, лимонад — бутылка, вода — стакан. Задача № 30. Чернов — блондин, Белокуров — рыжий, Рыжов — брюнет.

Задача № 31. Обозначим участников условно А, Б и С. А рассуждал так: «Бумажки у моих товарищей белые, значит, у меня бумажка может быть белой, а может быть и чер­ной. Предположим, она черная.

Примеры решения задач по логике (стр. 1 из 2)

Внимание

Задание 23. К данному тезису подберите аргументы, продемонстрируйте их связь с тезисом, используя дедуктивную форму обоснования. Запишите схему. Заключение «данное государство является Федеративным» следующее из посылок «государство может быть либо Федеративным, либо унитарным», «данное государство не является унитарным» — достоверно.

Ответ: Отрицающее-утверждающий модус: а или в не-а в Задание 24. К данному тезису подберите аргументы, продемонстрируйте их связь с тезисом, используя дедуктивную форму обоснования.

Запишите схему. Дается тезис: «Полученный в лаборатории металл не является натрием».

Юрий ивлев — логика для юристов

Первая фигура Модус: АII ДЕДУКТИВНЫЕ ВЫВОДЫ ИЗ СЛОЖНЫХ ПОСЫЛОК Задание 20. Постройте приведенный текст в форме чисто условного умозаключения, найдите основания и следствие, сделайте вывод, постройте схему умозаключения.

« При расследовании дела о массовом падеже скота было установлено, что причина падежа – истощение организма животных. Дальнейшее расследование показало, что причиной истощения являлся недостаток кормов, причиной же недостатка кормов явилось их расхищение и разбазаривание».
Ответ: Расхищение и разбазаривание приводят к недостаче кормов. Недостаток кормов ведет к истощению животных. Истощение животных может привести к массовому падежу.
Следовательно, расхищение и разбазаривание могут привести к массовому падежу животных.
Подберите понятия, равнозначные данным: а) Конституция. б) Арест. Ответ: а) Основной закон государства. б) Задержание, взятие под стражу.

Задание 4. Определите отношения между следующими понятиями и выразите эти отношения с помощью круговых схем: а) Юрист; б) Женщина; в) Человек; г) Дочь; д) Адвокат Ответ: в Задание 5. Обобщите понятия: а) общественное порицание б) министр Ответ: а) Наиболее мягкая мера наказания (в старом уголовном кодексе).

б)

Член правительства или федеральный государственный служащий. Задание 6. Проверьте правильность следующих ограничений понятий: а) допрос – допрос свидетеля – допрос подозреваемого б) военнослужащий – офицер – лейтенант.

Ответ: а) Неправильное ограничение. Правильно — допрос – допрос участников уголовного процесса – допрос свидетеля. б) Правильное ограничение. Задание 7. Выясните, заключено ли в следующих примерах деление понятий.

Логика задачи с ответами для студентов юридических факультетов

Формальная и полуинтуитивная логика. Абстрактные критерии. Проблемы… служит нам основным ориентиром в лабораторной практике.

Та полуинтуитивная логика, которой пользуется каждый. …и книги Милля. Основания политической экономии. Система логики…. позитивизма, последователь Огюста Конта.

В «Системе логики» (т 1-2,1843) разработал.сменялась логикой, логика математикой, математика языками. …Чарлза Пирса. Основатель семиотики. Американский философ, логик…

Американский философ, логик, математик, естествоиспытатель Родоначальник. прагматизма Выдвинул принцип, согласно которому содержание понятия целиком. Основные логические законы в русском языке. Логические законы.

Поэтому говорят не просто о законах логики, а о законах и правилах логики (см. об этом: Свинцов В.И. Логика. Общий характер философии Аристотеля и сравнение ее с философией…

Этим он оказал величайшую услугу -знанию.
Признав первые суждения в каждой паре приведенных суждений истинными, определите, что может быть сказано при условии относительности истинности (или ложности) второго суждения той же пары: а) Чистосердечное раскаяние является обстоятельством, смягчающим ответственность. – Чистосердечное раскаяние не является обстоятельством, смягчающим ответственность. б) Некоторые птицы летают. – Некоторые птицы не летают. Ответ: а) В этом случае имеет место несовместимость и сделать вывод нельзя.
б) Частичная совместимость. Можно сказать – Птицы летают, за исключением некоторых видов. Задание 11. Определите логическое строение, качество и количество следующих суждений. Определите распределенность терминов и выразите отношения между субъектом и предикатом с помощью круговых схем: а) Граждане РФ имеют право на труд. б) Некоторые орденоносцы – герои России. Ответ: а) Граждане РФ (S) имеют право на труд (P).
Если а, то в Если в, то с Если с, то d Если а, то d а – основание, в – следствие в – основание, с – следствие c – основание, d – следствие а – основание, d – следствие Вывод правомерен. Чисто условное умозаключение. Вывод в таком умозаключении основывается на правиле: «следствием следствия есть следствие основания». Задание 21. Правильно ли сделаны следующие выводы? Обоснуйте свой ответ. а) Судья не может участвовать в рассмотрении дела, если он является потерпевшим. Судья К. не является потерпевшим. Следовательно, он может участвовать в рассмотрении дела. б) Если в момент совершения преступления потерпевший оставил ссадины на руке преступника, то они должны быть на нем. На руках, лице и шее подозреваемого М. имеются ссадины. Следовательно, они оставлены потерпевшим.
Такой довод обычно оказывает большое воздействие на судей и других присутствующих в зале заседания, даже если последние никогда не изучали логику. Изучение логики не только позволяет убеждать людей в ошибочности их рассуждении, но и ускоряет нахождение ошибок. Изучив типичные ошибки и приобретя навыки их обнаружения, их замечают мгновенно, почти автоматически. Особенно важно быстро находить логические ошибки в ходе судебного заседания. Знание логики помогает правильно строить судебно-следственные версии, составлять чёткие планы расследования преступлений, намечать системы оперативных действий, не допускать ошибок при составлении официальных документов: протоколов допроса и осмотра места преступления, обвинительных заключений, решений и постановлений, рапортов и т.д. Высокой логической культурой должны обладать руководители, работающие в сфере правопорядка.
Новое. Олег Отм.вк. Гр.суп Ромшт. Ватр. Там. М.Авр. Петух. Вас. Ностр. Борщ Шашл. Торт Ира Ш.усп. Задача № 38. Леня — сын Григория Аркадьевича, катался с Алексеем Ивановичем; Андрей — сын Валентина Петровича, катался с Федором Семеновичем; Тима — сын Алек­сея Ивановича, катался с Валентином Петровичем; Коля — сын Федора Семеновича, ка­тался с Григорием Аркадьевичем. Задача № 39. Выигрышную стратегию имеет начинающий. Он первым называет чис­ло 1, а в дальнейшем, после того, как соперник назовет число k (не больше 10), называ­ет число 11 -k(i= 1,2, …,9). Задача № 40. Мальчики стоят в очереди в следующем порядке: Олег, Юра, Володя, Миша и Саша.
Затем начинаем сами рассуждать в соответствии с правильными способами рассуждения. Наша культура мышления повышается. Логическая культура юриста повышается в процессе его профессиональной деятельности. Например, прокурор обнаруживает нелогичность рассуждений следователя и объясняет ему, какая ошибка допущена. Весьма вероятно, что в дальнейшем следователь эту ошибку не будет совершать. Указанный стихийный путь формирования логической культуры не является лучшим. Люди, не изучившие логику, как правило, не владеют теми или иными логическими приёмами.

Кроме того, у таких людей разная логическая культура, что не способствует взаимопониманию. Это подтверждают исследования, в ходе которых студентам юридического факультета до начала изучения логики давалось задание проанализировать ряд рассуждении.

Задачи по логике (24 шт.) с решениямискачать (77.5 kb.) Доступные файлы (1):n1.doc 78kb. 07.07.2012 01:10 скачать

plusbuh.ru

Задачи по логике [DOC] — Все для студента

МГЮА контрольная работа 1 курс по логике вариант 5 — 5 стр.Определите вид отношений между понятиями, изобразите их с помощью круговых схем.
Верующий. Православный. Католик. Европеец.Обобщите понятия.
Антарктида.Установите правильность следующих определений (в неправильных определениях укажите, какое правило нарушено)
Мошенник – человек, занимающийся мошенничеством.Суждения со сложным субъектом и сложным предикатом выразите в символической записи.
Виновным в преступлении признается лицо, совершившее деяние умышленно или по неосторожности.Дайте объединенную классификацию суждений, изобразите отношения между терминами с помощью кругов Эйлера, установите распределенность субъекта и предиката.
На всякого мудреца довольно простоты.Укажите соединительные и разделительные суждения, в последних – вид дизъюнкции (строгая или не строгая, полная или не полная), приведите символическую запись суждений. Если суждение не выражено в явной логической форме, сформулируйте его, используя союзы «и» и «или».
Памятники культуры, истории и природы являются достоянием народа.Сделайте вывод путем превращения, составьте схему вывода. Если посылка выражена не в явной логической форме, преобразуйте ее в соответствии со схемами суждений A, E, I, O.Постройте логический квадрат. Опираясь на него, выведите суждения противоположные, противоречащие и подчиненные данным. Установите их истинность или ложность.
Грабеж есть открытое хищение чужого имуществаПроверьте правильность обращения. Если обращение неправильно, сделайте правильный вывод. Составьте схему вывода.
Некоторые юристы — преподаватели правовых дисциплин в вузах.Используя условную посылку, постройте умозаключение: а) по утверждающему, б) по отрицающему модусу, постройте их схему в символической записи. Если условная посылка явно не выражена, сформулируйте ее в явной логической форме (со связкой «если…, то…»).
Когда в товарищах согласья нет, на лад их дело не пойдет (Крылов).Сделайте ввод из посылок, установите, следует ли он с необходимостью.
Если сегодня вторник, то завтра среда. Но сегодня не вторник.Используя разделительную посылку, постройте умозаключение: а) по утверждающе — отрицающему модусу, б) по отрицающее — утверждающему модусу; опираясь на схему модуса, определите, следует ли с необходимостью заключение из посылок.
Сдельная оплата труда может быть индивидуальной или коллективной.Постройте рассуждение по одному из модусов разделительно-категорического умозаключения.
Утром 14 октября заведующий магазином №5 Булатников сообщил по телефону в контору управления торговли и в районный отдел милиции о том, что в подсобном помещении магазина взломано окно и совершена кража товаров на крупную сумму.
После осмотра места происшествия следователь прокуратуры выдвинул версию об инсценировке кражи Булатниковым. Основным, что говорило в пользу этой версии, была сомнительная возможность кражи товаров на столь большую сумму сквозь отверстие в решетке (металлическая решетка, закрывающая окно изнутри помещения, повреждений не имела).
Вместе с тем не исключалось, что кражу могли совершить посторонние лица.
Для выяснения вопроса, может ли человек сквозь разбитое окно и неповрежденную решетку похитить товары из подсобного помещения, был проведен следственный эксперимент. Результаты эксперимента показали, что преступник мог похитить через окно некоторое количество товаров только с ближайшей к окну полки стеллажа; достать через окно что-либо с других полок оказалось невозможным. Наличие пыли и паутины на прутьях решетки также ставило под сомнение правдоподобность заявления Булатникова о краже товаров через разбитое окно. В результате проверки второй версии – о хищении, совершенном Булатниковым, инсценировавшим кражу, он был уличен в расхищении вверенного ему имущества и был вынужден признаться в инсценировке с целью сокрытия недостачи.

www.twirpx.com

Решение биквадратных уравнений

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах⁴  + bx²  + c = 0, гдеа ≠ 0, являющиеся квадратными относительно х², и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х^{2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).}

Например, решим уравнение х⁴ + 4х² ‒ 5 = 0.

Обозначим х^{2через у (х2 = у) и получим уравнение у2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.}

Решаем полученное уравнение:

D = 4² – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у₁ = ( ‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у₂  = ( ‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что  х² = ‒ 5 и х² = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х₁ = 1 и х₂ = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: — 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х⁴  ‒ 5 х²  + 3 = 0.

Пусть х²  = у, тогда  2у²  ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5)² – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у₁  = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у₂  = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х² = 1 и х² = 1,5.

Получаем х₁  = ‒1, х₂ = 1, х₃ = ‒ √1,5 , х₄ = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2.Решите уравнение 2х⁴  + 5 х²  + 2 = 0.

х²  = у

2у²  + 5у + 2 =0.

D = 5² – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у₁  = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у₂  = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х² = ‒ 2 и х² = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения — это когда b = 0 (ах⁴  + c = 0)  или же c = 0

(ах⁴  + bx²  = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.

Пример 3.  Решить уравнение х⁴  ‒ 25х²   = 0

Разложим на множители, вынесем х²  за скобки и тогда х² (х² ‒ 25) = 0.

Получим х² = 0 или х²  ‒ 25 = 0, х²  = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х⁴ ‒ 45 = 0.

5х⁴  =  45

 х⁴  = 45 / 5

х⁴  = 9

х²  = ‒  √9 (решений не имеет)

 х²  = √9, х₁ = ‒ 3, х₂ = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение биквадратных уравнений