Рубрика: Школьная жизнь

Решение простых задач с недостающими данными — Мегаобучалка

Пример:

а) В вазе стояли красные и желтые тюльпаны. Красных было 5. Сколько всего тюльпанов стояло в вазе?

б) На лыжах катались мальчики и 3 девочек. Сколько всего детей ката­лись на лыжах?

После чтения таких задач учитель спрашивает, можно ли узнать, сколько всего тюльпанов стояло в вазе (сколько детей катались на лыжах), и поче­му нельзя (неизвестно, сколько было желтых тюльпанов, или неизвестно, сколько было мальчиков). Далее дети подбирают числа и решают задачу.

При выполнении таких упражнений, ученики убеждаются, что не все­гда можно сразу ответить на вопрос задачи, так как может не хватать чис­ловых данных, их надо получить (в данном случае подобрать числа, а при решении составных задач найти, выполнив соответствующее действие).

2)Решение задач с двумя вопросами.Пример. На первой полке было 5 книг, а на второй на 2 книги больше.

Сколько книг на второй полке? Сколько книг на двух полках вместе?

3) Решение пар простых задач, в которых число, полученное в ответ< на вопрос первой задачи, является однимиз данных во второй задаче.

Пример:

а) На первой полке было 5 книг, а на второй на 2 книги больше. Сколько книг на второй попке?

б) На первой попке было 5 книг, а на второй 7 книг. Сколько книг на двух полках вместе?

Учитель объясняет, что такие две задачи можно заменить одной: «На первой полке было 5 книг, а на второй на 2 книги больше. Сколько книг на двух полках вместе?»

4)Постановка вопроса к данному условию. Детям предлагаете условие «В вазе стояли 5 красных и 2 желтых тюльпана» и выясняете, какой вопрос можно поставить к этому условию? (Сколько всего тюльпанов в вазе? На сколько красных тюльпанов больше, чем желтых»?) Показывается, что от смены вопроса меняется решение задачи.

5)Выработка умений решать простые задачи, входящих в составную.Следует помнить, что необходимым условием для решения составной задачи является твердое умение детей решать простые задачи и умение обосновать выбор арифметического действия при решении простых задач. Следовательно, до введения составных задач определенной структуры надо сформировать у детей умение решать соответствующие простые задачи.

Все эти упражнения надо включать при работе над простыми задачами до введения составных задач.

При знакомстве с составными задачами учитель должен иметь ввиду, что первыми решаются составные задачи только в два действия. Эти дачи могут различаться:

а) количеством данных в них;

6) сочетанием действий, которыми они решаются.

Пример.

1. Миша нашел 9 грибов, а Коля на 2 гриба меньше. Сколько грибов нашли Миша и Копя вместе?

Решение:

1) 9 – 2 = 7 (гр.)

2) 9 + 7 = 16 (гр.)

(9 — 2) + 9 = 16 (гр.)

В этой задаче два числовых данных, она решается двумя разными действиями.

2. Миша нашел 9 грибов, а Коля на 2 гриба больше. Сколько грибов Миша и Копя вместе?

Решение:

1) 9 + 2 = 11 (гр.)

2) 9 + 11 = 20 (гр.)

(9 + 2) + 9 = 20 (гр.)

В этой задаче два числовых данных, она решается двумя одинаковы­ми действиями.

3. Оля купила 5 тетрадей в линейку и 7 тетрадей в клетку. Три из них она отдала брату. Сколько тетрадей осталось у Оли?

Решение:

1) 5 + 7 = 12 (т.)

2) 12 – 3 = 7 (т.)

(5 + 7) – 3 = 7 (т.)

В этой задаче три числовых данных, она решается двумя разными действиями.

Эти различия между составными задачами в 2 действия могут по­мочь увидеть детям различия между простыми и составными задачами.

Для первоначального знакомства с составными задачами рекоменду­ется отбирать задачи, при решении которых надо выполнить два различ­ных арифметических действия: сложение и вычитание. При этом необ­ходимо взять такую задачу, которая понятна детям по содержанию, и ее легко проиллюстрировать.

Можно начать с решения задач в два действия, включающих простые задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка, например: «В одной вазе лежало 6 яблок, а во второй — 5 яблок. 4 яблока съели. Сколь­ко яблок осталось?» Такая задача явно отличается от простой — в ее усло­вии три числа, т. е. здесь обе простые задачи как бы лежат на поверхнос­ти. Это должно быстрее привести детей к уяснению существенного при­знака составной задачи — ее нельзя решить сразу, выполнив одно дей­ствие. Здесь содержание задачи помогает правильному установлению связей. В этом случае детям легче составить по задаче выражение.

Можно начать с задач в два действия, которые включают простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение сум­мы, например: «У Оли 7 тетрадей, в у Сережи на 4 тетради меньше. Сколь­ко тетрадей у них вместе?» В условии этой задачи два числа, что делает ее сходной с простой задачей, а поэтому учащиеся склонны решать та­кие задачи, выполнив одно действие. Кроме того, простая задача на умень­шение числа на несколько единиц, входящая в эту составную, труднее задачи на нахождение остатка, которая входит в первую составную задачу. Решение этих задач на первых порах сопряжено у детей с целым ря­дом трудностей. Поэтому лучше начинать с решения составных задач, включающих три числовых данных, а затем включать задачи другой математической структуры. Покажем, как это можно сделать.

Учитель читает задачу: «Витя нашел сначала 4 гриба, а потом еще 5 грибов. 6 грибов он отдал Саше. Сколько грибов осталось у Вити?»

О чем задача? (О грибах)

Что известно о грибах? (Витя нашел сначала 4 гриба, а потом еще 5 грибов.)

Запишем это кратко, выделяя главные слова.

Еще что известно? (6 грибов он отдал Саше.) Запишем.

Что надо узнать? (Сколько грибов осталось у Вити.)

Запишем.

Получается запись:

Нашел — 4 гр. и 5 гр.

Отдал — 6 гр.

Осталось — ?

Объясните, что показывает каждое число в этой записи. (Объясняют.)

Назовите вопрос задачи. (Сколько грибов осталось у Вити?)

У доски выполняется иллюстрация: в корзинку кладут сначала 4 гри­ба, затем 5 грибов, затем вынимают 6 грибов. Оставшиеся грибы скры­ты, их нельзя сосчитать.

Можно ли сразу узнать, сколько грибов осталось у Вити? (Нет.)

Почему? (Не знаем, сколько всего грибов нашел Витя.).

Можно ли сразу узнать, сколько всего грибов нашел Витя? (Можно.)

Как? (К 4 прибавим 5.)

Запишем сумму, но вычислять не будем. (Запись: 4+5.)

Что обозначает эта сумма?

Что узнаем, когда вычислим? (Сколько всего грибов нашел Витя.)

Сколько грибов он отдала Саше? (6.)

Можно ли узнать, сколько грибов осталось у Вити? (Можно.)

Как? (Из суммы вычесть 6.)

На доске и в тетрадях записывается выражение: (4 + 5) — 6.

Далее на этом и на следующих уроках решаются аналогичные зада­чи, но с большей долей самостоятельного участия детей.

Позже вводятся составные задачи, в условии которых даны два чис­ла, включающие такие простые: одну на уменьшение числа на несколько единиц, а другую на нахождение суммы, например: «У Тани было 10 карандашей, а у Светы на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей было у Тани и Светы вместе?»

Работа над задачами этого вида ведется примерно в том же плане, как и над рассмотренными ранее задачами. Однако перед их введением сле­дует уделить внимание решению задач с двумя вопросами.

В период ознакомлением с составными задачами очень важно добить­ся различения детьми простых и составных задач. С этой целью надо чаще включать составные задачи в противопоставлении с простыми, выясняя каждый раз, почему одна из них решается одним действием, а другая — двумя. Целесообразно также предлагать детям упражнения по преобразованию простых задач в составные и обратно.

Пример. Учащиеся решают задачу: «На лыжах катались 7 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько девочек каталось на лыжах?»

После решения учитель предлагает изменить вопрос задачи так, что­бы задача решалась двумя действиями. (Сколько всего детей каталось на лыжах?).

Полезно включать также упражнения на составление задач:

— аналогичных решенной;

— по данному ее решению;

— по краткой записи и др.

megaobuchalka.ru

Задачи с недостающими данными

3 «В» класс

Тема: «Задачи с недостающими данными»

Задачи уроков:

— формирование умения распознавать задачу с неполными данными, осуществлять

правильную (полную) формулировку задачи, дополняя ее недостающими данными;

— формирование УУД: использование таблиц и схем при решении задач, анализ

условий задач на основе выделения существенных признаков.

Пропедевтика: решение сюжетных задач в несколько действий.

Повторение: решение сюжетной арифметической задачи.

Методы и приемы организации деятельности учащихся: беседа по вопросам учебника,

организация самостоятельной работы учащихся по заданиям учебника.

Учебно-методическое обеспечение: У-2, Т-2, презентация

Вводная часть урока

• В школьной библиотеке за день выдаётся 10 книг. Сколько книг будет выдано за неделю?

• Школьная библиотека содержит 1 200 книг, а домашняя на 1 000 книг меньше. Сколько книг в домашней библиотеке?

• В сельской библиотеке книг в 1 000 раз больше, чем в домашней. Сколько книг в сельской библиотеке?

— Решите задачи устно.

— Какую задачу вы не смогли решить? Почему? (не хватает данных)

— Определите тему и задачи урока

• Учащиеся про себя читают тему урока и формулируют задачи урока

(слайд 2)

Продолжение урока

Задание № 217 (У-2, с. 75)

На доске проиллюстрирована незаполненная таблица:

• Просим учеников прочитать текст задачи и составить краткую запись задачи с недостающими данными в виде таблицы. (слайд 3)

• Предлагаем еще раз назвать условие задачи («Во второй коробке лежало в 2 раза больше конфет, чем в первой») и ее требование («Сколько конфет лежало во второй коробке?»).

• Выясняем, что решить данную задачу невозможно, так как мы не знаем, сколько конфет лежало в первой коробке.

• Предлагаем учащимся самостоятельно дополнить условие задачи. Слушаем ответы учеников (20 конфет, 15 конфет, 30 конфет).

Делаем вывод: ответ задачи будет зависеть от того числа, которое мы зададим, но решение будет одним и тем же. Это задача на кратное сравнение, решение которой находится действием умножения.

• Просим дополнить задачу недостающим данным, заполнив таблицу числом 20.

• Далее учащиеся находят ответ задачи (20 • 2 = (40 к.) — во второй коробке).

• Спрашиваем: почему задачу относят к задачам с недостающими данными?

Ожидаемый ответ: потому что невозможно выполнить требование такой задачи из-за отсутствия необходимых данных.

• Делаем вывод, что задачу, требование которой невозможно выполнить из-за отсутствия необходимых данных, будем называть задачей с недостающими данными, а данные, которыми нужно дополнить условие задачи, будем называть дополнительными данными.

Задание № 218 (У-2, с. 75–76)

• Предлагаем учащимся самостоятельно прочитать три предложенные задачи и выбрать ту, которая будет относиться к задачам с недостающими данными.

Ожидаемый ответ: Миша поймал 15 карасей, а Костя больше. Сколько карасей они поймали вместе?

• Предлагаем доказать, что эта задача с недостающими данными.

Ожидаемый ответ: невозможно выполнить требование этой задачи, так как неизвестно, на сколько или во сколько раз больше поймал карасей Костя.

• Спрашиваем: можно ли дополнить условие задачи недостающим данным? (Да.)

• Слушаем ответы учеников. Останавливаемся на том, что Костя мог поймать на 3 карася больше, чем Миша, или в 2 раза больше, чем Миша.

• Просим учащихся выполнить краткую запись в виде таблицы к полной задаче:

Миша поймал 15 карасей, а Костя — на 3 больше, чем Миша. Сколько карасей они поймали вместе?

Проверяем правильность заполнения таблицы и предлагаем самостоятельно решить задачу по действиям.

Устно проверяем решение задачи с пояснением.

1) 15 + 3 = 18 (к.) — поймал Костя

2) 15 + 18 = 33 (к.) — всего

Ответ: 33 карася.

Задание № 219 (У-2, с. 76)

• Организуем выполнение задания в условиях парной работы.

• Сначала предлагаем учащимся самостоятельно сформулировать задачу с недостающими данными и сделать краткую запись в виде таблицы, а затем дополнить задачу недостающим данным, решить ее и записать ответ.

• Обращаем внимание учащихся на то, что составление задачи можно выполнить по аналогии с заданиями № 217 или 218.

• Учащиеся самостоятельно выполняют задание, а учитель оказывает педагогическую поддержку тем, кому она необходима.

81

Тема: «Задачи с недостающими данными» (2 урока)

Задание № 220 (У-2, с. 76)

• Учащиеся самостоятельно читают задание и объясняют, почему данная задача относится к задачам с недостающими данными.

• Предлагаем ученикам дополнить условие задачи недостающими данными и решить полученную задачу.

• Слушаем ответы учеников и спрашиваем: какие числа нельзя использовать в этой задаче в качестве дополнительного данного?

Ожидаемый ответ: нельзя использовать те числа, которые невозможно разделитьна 2, так как число учащихся студии бального танца в 2 раза меньше, чем в хоровой студии. Кроме того, нельзя брать «нереальные» числа, то есть числа, которые не будут соответствовать действительности. В хоровой студии, как правило, занимается не больше 30–50 человек. Поэтому, если мы придумаем такое дополнительное данное,

как 1000 человек, то найти решение и получить ответ можно. Но ответ не будет соответствовать реальной жизни.

— Приведите пример числа, которое нельзя использовать в этой задаче в качестве числового данного об учащихся хоровой студии. (23, 25, 27, 29 и т. д.)Напоминаем учащимся, что числа, которые не делятся на два без остатка, например 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т.д., называются нечетными числами. А числа, которые делятся на два без остатка, например 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д., называются четными.

Таблица:

Задание № 221 (У-2, с. 76–77) или № 115 (Т-2, с. 50)

• Учащиеся самостоятельно читают задание.

• Выясняем, что значит дополнить запись реально возможными недостающими данными?

Ожидаемый ответ, к которому мы придем в результате совместных поисков: дополнить запись задачи реально возможными недостающими данными означает, что надо подобрать такие данные, которые соответствуют действительности. Например, пешеход за один день не может пройти столько, сколько он может проехать на машине. Но исходя из того что во 2-й день туристы прошли 20 км, в другие дни они могут пройти примерно столько же.

• Даем время на выполнение задания. Слушаем ответы учеников, записываем один из вариантов в таблицу.

Резервные задания

Задание № 222 (У-2, с. 77)

• Учащиеся самостоятельно читают задание и устно выполняют его.

• Слушаем ответы учащихся и одобряем правильные. Предлагаем свой вариант задачи: в школьную столовую привезли 50 кг яблок, а груш — в 3 раза больше. Сколько килограммов яблок и груш привезли в школьную столовую?

– Далее ученики самостоятельно в тетрадях оформляют решение, вычисление и ответ задачи.

Задание № 223 (У-2, с. 77), задание № 116 (Т-2, с. 50)

• Предлагаем учащимся рассмотреть круговую схему и дополнить задачу недостающими данными, обращая внимание на величину «метр».

• Слушаем ответы. Спрашиваем: почему данные должны быть меньше 500 м?

Ожидаемый ответ: решение предусматривает действие вычитания. Поскольку уменьшаемое 500, вычитаемое должно быть меньше 500 м. Останавливаемся на величине 300 м и вычисляем значение разности (200 м).

• Исходя из того что 200 м — это данные второй круговой схемы, дополняем вторую схему еще одной величиной, например, 400 м.

Иллюстрируем схему на доске.

• Просим учащихся по этим данным сформулировать текст возможной задачи.

• Примерный текст задачи: на складе было 500 м проволоки. Продали 300 м проволоки. На следующий день на склад привезли еще 400 м проволоки. Сколько метров проволоки стало на складе?

• Предлагаем ученикам решить задачу по схеме и записать ответ.

Рефлексия Итог урока

— Как вы поняли тему? Оцените свою работу на уроке.

Домашняя работа

Задание № 117 (Т-2, с. 50)

• Обращаем внимание учеников на то, что недостающее данное в этой задаче может быть только четным числом

Задание № 118 (Т-2, с. 51)

83

Тема: «Как получить недостающие данные» (1 урок)

• Далее можно предложить учащимся самостоятельно оформить решение задачи.

Учитель оказывает педагогическую поддержку тем учащимся, кому она необходима.

Задание на дом: № 119–120 (Т-2, с. 51) — после первого урока; № 230, 293 (У-2, с. 80,

101) — после второго урока.

Задания, которые не были выполнены на уроке:

infourok.ru

Решение задач с недостающими данными

Тема урока: Задачи с недостающими данными. 3 класс

Цель
формирование умений распознавать задачи с недостающими данными, преобразовывать их условие; Знакомство, получать недостающие данные из различных источников.

Задачи

• совершенствовать вычислительные навыки, знания таблицы умножения

• закреплять умение решать текстовые задачи;

• учить работать с текстами, получать недостающие данные из различных источников

• формировать коммуникативные способности;

• формировать чувство дружбы, ответственности;

• развивать навыки самостоятельной работы;

• развивать информационную культуру учащихся;

• развивать познавательный интерес к предмету

Личностные: Учить уважать и принимать чужое мнение, если оно обосновано, находить решение и обосновывать его, способность принимать самостоятельные решения

Познавательные: познакомить учащихся с новым видом задач: задачи с недостающими данными;

учить дополнять условие задачи с недостающими данными; Регулятивные: формировать умение формулировать и удерживать учебную задачу при работе с учебником;

формировать умение выделять и формулировать то, что усвоено, определять качество и степень усвоения

Коммуникативные: формировать умение формулировать собственное мнение и позицию; строить понятные для других высказывания;

Ход урока

I Организационный этап.

Какое у вас настроение перед уроком? Поздоровайтесь и поделитесь улыбкой с гостями. Я хочу, чтобы в такой доброй и приятной атмосфере проходил наш урок.

Вам нравится математика? Чем? И не забываем, что математика

Очень строгая наука

Очень точная наука

Интересная наука

И так начнём.
II Актуализация знаний

а) (запись на доске)

-Выпишите в тетрадь только те числа, которые есть среди ответов в «Таблице умножения»

(Дети выписывают числа 42,32,9,12,21,28)

б) – На следующей строке расположите выписанные числа в порядке возрастания, расшифруйте слово, которое есть в теме нашего урока.

(В тетрадях запись)

в) — Вспомните, из каких частей состоит задача. Выберите таблички с нужными словами, расположите их по порядку.

(На доске таблички со словами: ответ, высказывание, условие, текст, заголовок, решение, вопрос (требование). Дети выстраивают на доске схему)

задача

г) – Что значит «решить задачу?» (Выполнив необходимые действия, дать ответ на поставленный вопрос)

Хоть ты смейся, хоть ты плачь,

Не люблю решать задач.

Потому что нет удачи

На проклятые задачи.

Может быть, учебник скверный

Может быть, таланта нет?

Не могу открыть секрет:

Как задаче дать ответ…

Вы умеете решать задачи? Решите задачи на карточках (работа в парах).

III Постановка цели и задач урока.

— Какая пара решила все задачи? Какая задача не получается? Почему?

— А задача ли это? (Да, в ней есть части задачи) Почему же вы не можете её решить?

— Чему же мы должны сегодня научиться? (Как узнавать такие задачи, как их называть, как их решать)

Тема урока и задачи

IV Первичное усвоение новых знаний.

С.68 №142

— Кто нашёл название этих задач? (зачитывается тема урока «Задачи с недостающими данными»)

— На какое слово следует обратить внимание? («с недостающими») Как вы его понимаете?

— Какие рекомендации даёт вам учебник? (составить краткую запись) Можно ли это сделать?

V Первичная проверка понимания. (работа в группах)

Работа по распознаванию и преобразованию задач с недостающими данными

а) Через 45 дней будет Новый год.

б) У одной кормушки 25 воробьёв, у другой – на 6 меньше. Сколько воробьёв у второй кормушки?

в) Сколько тебе лет?

г) Бабушка испекла пирожков с капустой на 4 больше, чем с мясом. Сколько всего пирожков испекла бабушка?

д) На ёлке висят 10 красных, 7 синих и 4 жёлтых шара. Сколько красных и синих шаров висит на ёлке?

Найдите среди текстов задачи. Среди задач – задачу с недостающими данными. Преобразуйте, то есть дополните её в группе, самостоятельно решите, сверьте.

IV Первичное закрепление (разные способы добавления данных)

Данные добавляем коллективно, решаем самостоятельно

Длина нашего класса 9 метров.

Чему равна площадь нашего класса?

В нашем классе 15 мальчиков. Кого больше в классе, девочек или мальчиков и на сколько?

Индийский или африканский слон тяжелее и на сколько?

VI Д/З с.70 №146 (1,2)

VII Рефлексия.

Итог.

Закончите предложения на карточках:

Я не понял…

Мне было интересно…

Я узнал…

Самооценка. ( красный, жёлтый, зелёный)

videouroki.net

ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 2, с. 97

Задачи с избыточными данными

Ответы к с. 97

287. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
Маша нашла 30 белых грибов. Это оказалось на 10 больше, чем нашёл Миша, но на 10  меньше, чем нашёл папа. Втроём они нашли белых грибов в 3 раза больше, чем нашла Маша.
Сколько белых грибов они нашли втроём?
Все ли данные будут использованы при решении данной задачи? Назови данные, которые будут лишними.
Почему данная задача относится к ЗАДАЧАМ С ИЗБЫТОЧНЫМИ ДАННЫМИ?

При решении задачи можно использовать данные, насколько Маша нашла грибов больше и меньше, чем Миша и папа, или данные, что втроём они нашли в 3 раза больше грибов, чем Маша. В зависимости от решения одни из этих данных не будут использованы и будут являться избыточными, то есть не нужными при решении задачи. Задачи с данными, которые не используются при решении, но соответствуют условию задачи, называются задачами с избыточными данными.
а) 1) 30 — 10 = 20 (г.) — нашёл Миша
2) 30 + 10 = 40 (г.) — нашёл папа
3) 30 + 20 + 40 = 90 (г.)
О т в е т: втроём они нашли 90 грибов.
При этом решении не учитываются данные о том, что втроём они нашли в 3 раза больше грибов, чем Маша.
б) 30 • 3 = 90 (г.)
О т в е т: втроём они нашли 90 грибов.
При этом решении не учитываются данные о том, что Маша нашла грибов больше и меньше, чем Миша и папа. Как видно, это решение задачи наиболее рациональное — задача решается в одно действие.

288. Сформулируй условие, в котором будут присутствовать все данные из следующей таблицы:

Какое требование нужно добавить к твоему условию, чтобы получить задачу с избыточными данными?
Реши задачу со следующим требованием: «Сколько всего автомашин стояло в гараже и на стоянке?». Можно ли решить эту задачу, используя только два данных числа из таблицы? Реши задачу, не используя данные из последнего столбика таблицы.

В гараже было 15 грузовых и 17 легковых автомашин — всего 32 машины, а на стоянке находилось 10 грузовых и 8 легковых автомашин — всего 18 машин. Сколько всего автомашин находилось в гараже и на стоянке?
(15 + 17) + (10 + 8) = 50 (а.)
О т в е т: всего было 50 автомашин.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 2. Чекин А.Л. 2013 г.

Математика. 3 класс. Чекин А.Л.

ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 2, с. 97

e-razumniki.ru

Математика. Решение задач с недостающими данными

Тема: «Решение задач. Как получить недостающие данные»

Цель: знакомство с возможностями получения недостающих данных из различных источников при решении задач

Задачи

Образовательная:

• совершенствовать вычислительные навыки;

• закреплять умение решать текстовые задачи;

• повторить нумерацию чисел;

• учить работать с текстами, таблицами, получать недостающие данные из различных источников

Воспитательная:

• прививать любовь к родному краю;

• воспитывать бережное отношение к природе;

• формировать коммуникативные способности;

• формировать чувство дружбы, ответственности;

Развивающая:

• развивать навыки самостоятельной работы;

• развивать информационную культуру учащихся;

• развивать познавательный интерес к предмету

Оборудование: ПК, компьютерная презентация, карточки с названиями районов Кемеровской области, тексты для работы в группах, измерительная линейка, атлас Кемеровской области

ХОД УРОКА

1. Организационный момент урока.

Уч.- Здравствуйте, ребята! Настроены ли Вы на работу? Все ли принадлежности приготовлены к уроку? Тогда в добрый путь! Я думаю, что урок у нас будет интересным и плодотворным.

2. Актуализация знаний

Уч.- Мы продолжаем работать над решением задач. Определите, где записаны задачи, а где просто текст? (слайд 2)

а) В одной коробке лежало 12 конфет, а во второй в 2 раза больше конфет, чем в первой. Сколько конфет лежало во второй коробке?

б) В одной коробке лежало 12 конфет. А в другой 24 конфеты.

в) Во второй коробке лежало в 2 раза больше конфет, чем в первой. Сколько конфет лежало во второй коробке?

Д.- Под буквой б)

Уч.- Почему?

Д.- Нет вопроса.

Уч.- А какую задачу мы не сможем решить? Почему?

Д.- Под буквой в) Мы не знаем, сколько конфет лежало в первой коробке.

Уч. – Дополните условие задачи так, чтобы ее можно было решить.

( Работа в парах. Взаимопроверка.)

3. Работа над новым материалом

Уч.- Представьте, что перед нами стоит задача узнать, сколько линолеума потребовалось при ремонте нашего класса. Как нам это сделать?

Д.- Мы должны вычислить площадь пола в классе.

Уч. — Какие данные мы должны знать?

Д.- Длину и ширину класса.

Уч. А как мы можем их получить?

Д.- Измерить, спросить у кого-нибудь.

Уч.- Давайте произведем необходимые замеры. Итак, длина класса 8 м., ширина – 5 м. Можем сейчас вычислить площадь? Запишите решение в тетрадь.

(Проверка полученного результата)

Уч.- А если нам нужно сравнить площади Кемеровской области и Новокузнецкого района? Можем ли мы получить данные при помощи измерения?

Д.- Нет. Можно воспользоваться данными из атласа Кемеровской области. Площадь Кемеровской области 95 600 кв.км, площадь Новокузнецкого района 13 290 кв.км

Уч. – Вычислите, на сколько кв.км площадь Новокузнецкого района меньше?

Д.- на 82 310 кв.км

Уч. — Кроме Новокузнецкого района в состав Кемеровской области входит еще 18 районов. Все они примечательны уникальными природными ландшафтами — горный рельеф с порожистыми реками, тайга (слайд 3), сменяются равнинным пейзажем в центральной части области. (слайд 4)

4. Динамическая игра (слайд 5)

Уч. — Расположите карточки с названиями районов в порядке возрастания их площади. Какой рациональный способ выполнения этой работы вы можете предложить?

(Выслушать все ответы детей. Один из возможных вариантов: упорядочить величины сначала по классу тысяч, а потом по классу единиц)

1. Гурьевский — 2 390 кв.км (п)

2. Ленинск-Кузнецкий — 2 400 кв.км (р)

3. Юргинский — 2 520 кв.км (и)

4. Топкинский — 2 690 кв.км (р)

5. Яйский — 2 760 кв.км (о)

6. Промышленновский — 3 080 кв.км (д)

7. Беловский — 3 300 кв.км (н)

8. Яшкинский — 3 480 кв.км (о)

9. Прокопьевский — 3 500 кв.км (е)

10. Тяжинский — 3 540 кв.км (б)

11. Ижморский — 3 580 кв.км (о)

12. Чебулинский — 3780 кв.км (г)

13. Кемеровский — 4 391.кв. км (а)

14. Мариинский — 5 580 кв.км (т)

15. Крапивинский — 6 930 кв.км (с)

16. Междуреченский – 7 250 кв.км (т)

17. Тисульский — 8 060 кв.км (в)

18. Таштагольский — 11 320 кв.км (о)

19. Новокузнецкий — 13 290 кв.км (уголь)

(Дети по очереди выходят к доске и выставляют карточки с названиями районов в порядке возрастания величин.. Для проверки переворачивают карточки – у них должно получиться предложение: «Природное богатство — уголь.»

 5. Работа с задачами

Уч. — Природа щедро наградила своими богатствами Кузнецкую землю. Основное природное богатство Кузбасса — уголь — добывается в 6 районах.

На территории Новокузнецкого района располагаются более 30 месторождений каменного и бурого угля, 5 месторождений железа, 4 месторождения глин, 14 – подземных пресных вод, 1 — подземной минеральной воды. (слайд 6)

Уч.- Составьте задачу на кратное сравнение и решите ее.

Д.- На территории Новокузнецкого района располагаются более 30 месторождений каменного и бурого угля, и 5 месторождений железа. Во сколько раз больше (меньше) месторождений угля, чем железа?

Уч. – Все ли данные вы использовали в таблице? Почему?

Д.- Нет, для составления задачи на кратное сравнения нам потребовались не все данные

Уч. — Запишите решение задачи.

(Проверка результата)

Уч. — Но не только полезными богатствами славится наш край. Разнообразен также растительный и животный мир.  В Кемеровской области водится около 450 видов позвоночных животных, в том числе 68 видов млекопитающих (слайд 7), более 300 видов птиц (слайд 8), 6 рептилий (слайд 9), 5 амфибий (слайд 10) и 42 вида рыб (слайд 11). Большинство из них издревле обитали здесь. Но за последние десятилетия в районах крупных промышленных центров Кузбасса значительно сократился видовой состав фауны, значительно сократилась плотность расселения птиц, млекопитающих. Некоторые виды птиц полностью покинули прежние гнездовья. Как вы думаете, чем это вызвано?

Д.- Неразумная деятельность человека, загрязнение окружающей среды, вспашка земель, браконьерство, вырубка лесов, осушение болот.

6. Работа в группах

Уч . — Я предлагаю разделиться на группы. Каждая группа получит листочек с текстом. Это статья из газеты «Кузнецкий рабочий» Вам нужно узнать, на сколько сократилась, а может быть и увеличилась численность того или иного вида животных по сравнению с 1994 годом. Все недостающие данные вы найдете в предложенной статье (Приложение 1)

(Дети заполняют таблицы. (Приложение 2) Производят необходимые вычисления. Результаты вывешиваются на доске).

Уч. – Какой можно сделать вывод?

Д. – Уменьшилось число зайцев и рысей, зато увеличилось число лосей и соболей.

Уч. — А с чем это связано?

Д. – Человек стал заботиться о животных, оберегать их

Уч. – К сожалению, время нашего урока подходит к концу. Мы с вами решили много задач, но ни разу не открыли учебник. Вспомните, где мы находили данные для вычислений?

Д. — Измеряли длину и ширину класса, искали в атласе Кемеровской области, находили данные в статье, для первой задачи придумали сами.

7. Домашнее задание

Уч.- Я хочу добавить, что данные можно найти, просто наблюдая за тем, что происходит вокруг. Поэтому дома решите задачу № 228 на с.79 и составьте похожую по своим наблюдениям. А на следующем уроке самые интересные мы попробуем решить.

Рефлексия.

Уч. — Посмотрите на слайд. Вспомните все этапы нашего урока и закончите предложения:

• сегодня я узнал…

• было интересно…

• было трудно…

• я понял, что…

• теперь я могу…

• я научился…

• у меня получилось …

• я смог…

• я попробую…

• меня удивило…

• урок дал мне для жизни…

• мне захотелось…

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

В Кемеровской области идёт «перепись» охотничьих животных

Среда, 18 января 2012 «Кузнецкий рабочий»

Сейчас на территории Кемеровской области, по данным учёта 2010 года, числится около 3 000 лосей, около 4 000 сибирских косуль, более 2 200 медведей, 3 500 красных лисиц, 28 000 зайцев, 242 рыси, 7 500 соболей, более 80 000 глухарей и тетеревов.

Существует несколько методик оценки численности животных, но, по словам специалистов, самая надёжная из них – работа со следами животных. Поэтому и проводится учёт зимой: по пересечению следов выбранного маршрута на снегу высчитываются все необходимые данные. В это время года легче определить видовой состав животных, а также их количество в связи с тем, что все они собираются у мест кормления.

Проходя по намеченному маршруту, наблюдатели отметят в учётной карточке или на схеме маршрута все появившиеся следы, с указанием вида и количества представителей животного мира, их оставивших. Кстати, специалист может по следам определить не только вид и количество зверя, но и то, как именно животное существовало в этот момент – охотилось или, наоборот, пыталось спастись от опасных хищников.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1994 год

2010 год

Лоси

2 700

_________________________________________________

1994 год

2010 год

Зайцы

40 000

_________________________________________________

1994 год

2010 год

Рыси

250

_________________________________________________

1994 год

2010 год

Соболи

6 8000

_________________________________________________

ЛИТЕРАТУРА

1. ЧекинА.Л., Математика: 3 кл.: Учебник: В 2 ч. – М., Академкнига/Учебник, 2009 — 160с.

2. Чекин А.Л. Математика: 3 кл.: Методическое пособие – М., Академкнига/Учебник, 2009 – 240 с.

3. Кемеровская область. Атлас для школьников. / Под ред. В.Н. Гнатишина и др. – Новосибирск: Просвещение-регион, 2002. – 30 с.

4. Кузнецкий рабочий. 2012. 18 янв.

5. Мониторинг охотничье-промысловых млекопитающих [Электронный ресурс]: http://www.biodat.ru, (дата обращения: 18.04.2012).

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Учащиеся знакомятся с различными способами получения недостающих знаний, которые позволяют сделать формулировку задачи полной, т.е. такой, из которой можно получить ответ на поставленное требование. В качестве таких способов рассмотрено два основных.

К первому способу отнесены такие действия, которые связаны с непосредственным получением недостающих данных путем счета или измерения (например, подсчетом ящиков, которые привезли на склад — задача № 228, или измерение длины и ширины пола классной комнаты).

Ко второму способу отнесены все действия, которые заключены в получении необходимой информации из дополнительных источников (в данном случае из справочной литературы, средств массовой информации, от знающих эту информацию людей и т.д.).

Это направление работы над задачей очень тесно связано с формированием умения правильно формулировать задачи на основе анализа некоторой реальной ситуации. Овладение именно этим умением позволяет говорить о практической направленности данного урока: в реальной жизни постоянно приходится сталкиваться с ситуациями, которые требуют преобразования их в сюжетные арифметические задачи с последующим решением. В виде готового текста задачи существуют лишь в учебниках, но не в реальной жизни.

Другое направление работ над задачей связано с формированием умения производить отбор необходимых данных из их избыточного перечня.

Выбор рационального способа решения — это еще одно из направлений, отрабатываемых на уроке. Рационализм выбранного пути решения может проявляться в минимализации числа выполняемых для получения ответа действий.

Работа по обучению решению задач проводится практически на каждом уроке. [2[

infourok.ru

ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 2, с. 76

Задачи с недостающими данными

Ответы к с. 76

219. Сформулируй задачу с недостающими данными. Сделай для неё краткую запись в виде таблицы. Предложи соседу по парте дополнить её недостающими данными, решить задачу, вычислить и записать ответ.
Проверь, правильно ли выполнены твои указания.

В зоомагазине волнистых попугайчиков в 2 раза меньше, чем ара, а неразлучников на 10 больше, чем ара. Сколько всего попугаев в зоомагазине?

Дополнительное условие задачи: а ара — 30 попугаев.

1) 30 : 2 = 15 (п.) — волнистых
2) 30 + 10 = 40 (п.) — неразлучников
3) 15 + 30 + 40 = 85 (п.)
О т в е т: всего 85 попугаев.

220. Объясни, почему следующая задача относится к задачам с недостающими данными.
В студии бального танца занималось в 2 раза меньше учащихся, чем в хоровой студии. Сколько учащихся занималось в студии бального танца?
Дополни задачу недостающими данными о числе учащихся хоровой студии.
Реши полученную задачу. Вычисли ответ.
Приведи пример числа, которое нельзя использовать в этой задаче в качестве числового данного об учащихся хоровой студии.

Данную задачу решить нельзя. Не хватает данных для составления выражения. Неизвестно сколько учащихся занималось в хоровой студии.
В хоровой студии занималось 40 учащихся.
40 : 2 = 20 (у.)
О т в е т: в студии бального танца занималось 20 учащихся.
Нельзя использовать число 1 и любое другое нечётное число.

221. Дополни в тетради краткую запись реально возможными недостающими данными.

Ответы к заданиям. Математика. Учебник. Часть 2. Чекин А.Л. 2013 г.

Математика. 3 класс. Чекин А.Л.

ПНШ 3 класс. Математика. Учебник № 2, с. 76

e-razumniki.ru

Урок математики на тему «Задачи с избыточными данными»

МБОУ« Цивильская средняя общеобразовательная школа № 1 им. М. В.Силантьева»

Открытый урок математики

«Задачи с избыточными данными»

(программа ПНШ, 3-В класс)

Учитель начальных классов

Викторова Елена Борисовна

г. Цивильск, 2017

Тема урока: «Задачи с избыточными данными»

Задачи урока:

— формирование умения распознавать избыточные данные в формулировке задачи;

— формирование понимания того, что избыточные данные позволяют выбрать оптимальный вариант решения задачи;

— формирование УУД : поиск рациональных путей решения задач практического содержания

Ход урока:

1.Организационный момент

Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

И с друзьями поделитесь

Вы друг другу улыбнитесь.

2. Слайд 1

Наши герои Маша и Миша предлагают начать наш урок с геометрической разминки. Назовите фигуры, которые вы видите на доске. Назовите лишнюю фигуру. (параллелепипед, круг)

— Какие величины мы можем измерить у оставшихся фигур? (длину и ширину сторон, периметр, площадь)

— Как найти периметры фигур? Соедините фигуру с подходящей формулой

— Из 3 фигур назовите лишнюю. (четырёхугольник)

Слайд 2

— Как найти площадь оставшихся фигур – квадрата, прямоугольника?

3. – А теперь Маша и Миша предлагают вам решить некоторые задачи

Слайд 3 Длина стороны квадрата 8 см. Найдите площадь и периметр квадрата.

(Самостоятельное решение).

Р = 8 · 4 = 32 (см)

S= 8 · 8 = 64 (см²)

Ответ: 32 см, 64 см²

Длина стороны прямоугольника 8 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника. (Нельзя решить. Задача с недостающими данными)

(Подбор данных и решение. 1 ученик решает задачу у доски.

Например: Р = (8 + 5) · 2 = 26 (см)

S= 8 · 5 = 4 0(см²)

Ответ: 26 см, 40 см²

Слайд 4

Площадь прямоугольника 36 кв. см Длина прямоугольника 9 см, ширина 4 см. Найдите периметр данного прямоугольника. (Задача с избыточными данными)

— Все ли данные будут использованы при решении задачи ? Какие данные необходимы для вычисления периметра прямоугольника? (длина и ширина прямоугольника)

(Работа с задачей – удаляем по очереди разные данные и решаем задачи с помощью выражений.)

Р = (9 + 4) · 2 = 26 (см)

— Возможно ли удалить другое данное и решить задачу? Попробуйте это сделать.

Дети читают получившуюся задачу:

Площадь прямоугольника 36 кв. см Длина прямоугольника 9 см. Найдите периметр данного прямоугольника

(36 : 9 + 9) · 2 = 26 (см)

Можно записать решение по действиям:

1. 36 : 9 = 4 (см) – ширина прямоугольника

2. 4 * 2+ 9 * 2 = 26 см

4. Сформулируйте тему нашего урока: Задачи с избыточными данными

— Как вы понимаете слово «Избыточные»? ( такие данные , которые не используются при решении задач)

а) Найдите значение выражения и узнаете страницу учебника , по которой мы будем работать.

(180 · 5 + 35 · 2) : 10 = 97 (выражение записано на доске).

б) Работа с задачей, её решение. Учебник с. 97 № 287

— Прочитайте задачу. Все ли данные будут использованы при решении данной задачи? ( Для решения задачи достаточно знать, что Маша собрала 30 белых грибов, а втроём они нашли нашли в 3 раза больше, то есть 90 грибов).

— Назовите ЛИШНИЕ данные.

Запись выражением:

1 вариант: 30 · 3 = 90

Ответ: 90 грибов.

— А если удалить эти данные, и оставить другие (Отношения « на 10 грибов меньше и на 10 грибов больше»), то как можно решить эту задачу?

2 вариант решения:

1. 30 -10 = 20 (гр.) — нашёл Миша

2. 30 + 10 = 40 (гр.) – нашёл папа

3. 30 + 20 + 40 = 90 (гр.) –всего

Ответ: 90 грибов всего.

— Как проверить данное решение?

в) Применение избыточных данных при решении практических задач

— Как вы думаете, пригодятся ли нам эти знания в жизни ? Откройте учебник на с.101, № 294

— Рассмотрите таблицу. Какие данные в ней представлены? Нам нужно купить только хлеб и молоко. Данные о стоимости сметаны для нас избыточные.

— В магазинах, железнодорожных кассах очень много данных о цене товаров и билетов, но мы выбираем только те, которые нам нужны для решения определённой конкретной задачи.

г) Работа в группах

— Рассмотрите таблицу. Обсудите в группе – какая информация, представленная в данной таблице, является избыточной для нахождения искомого?

— Исключите избыточные данные. Сделайте два-три варианта такой таблицы. По каждой таблице сформулируйте задачу.

( Каждая группа вывешивает на доску варианты таблицы)

— Сформулируйте задачу по каждой таблице.

Проверка.

Решение одной задачи двумя способами.

1 сп. 1) Сколько книг во 2 шкафу?

250 + 25 = 275 (к)

2) Сколько книг в 3 шкафу?

250 + 15 = 265 (к)

3) Сколько книг в 3 шкафах?

250 + 275 + 265 = 790 (к)

Ответ: 790 книг.

— Как проверить данное решение?

2 сп. 1) Сколько книг в 3 шкафах, если в них книг поровну?

250 · 3 = 750 (к)

2) Сколько всего книг в 3 шкафах?

750 + 25 + 15 = 790 (к)

Ответ: 790 книг.

— Как проверить данное решение?

5. Итог урока. Рефлексия.

— С каким видом задач вы познакомились сегодня на уроке?

Я предлагаю закончить предложения:

 — На уроке я узнал(а)…

— Мне было интересно …

— Сегодня я похвалил(а)  бы себя за …

— Сегодня я сумел(а) …

 — Мне было трудно …

 — У меня пока не получилось…

— Заполните лесенку успеха (слайд 7)

Домашнее задание: № 288 –с.97 учебника

infourok.ru

1.7. Сложение и умножение понятий

В предыдущих параграфах мы говорили о логических операциях ограничения, обобщения, определения и деления понятий. Теперь рассмотрим еще две логические операции – сложение и умножение понятий.

Сложение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исходных понятий. Например, при сложении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой:

Умножение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят только школьники, являющиеся спортсменами, и спортсмены, являющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто называемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (так же, как и результат сложения):

Выше были приведены примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения (школьник и спортсмен). В других случаях отношений между понятиями (о которых речь шла в § 1.3) результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеется, будут иными. В приводимой ниже таблице штриховкой показаны результаты сложения и умножения понятий во всех видах отношений между ними.

Как видим, результаты сложения и умножения понятий полностью совпадают только в случае равнозначности между ними, частично совпадают в пересечении и подчинении и совершенно не совпадают в соподчинении, противоположности и противоречии (в этих трех случаях результатом умножения является нулевое или пустое понятие). В отношении подчинения результатом сложения является родовое понятие, а умножения – видовое.

Как правило, в естественном языке (то есть том, на котором мы общаемся) результат сложения понятий выражается союзом или, а умножения – союзом и. В результате сложения понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является или школьником, или спортсменом, а в результате умножения этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является и школьником, и спортсменом одновременно.

Относительно употребления союзов или и и в естественном языке в качестве выражения результатов логических операций сложения и умножения понятий удачный пример приводит В.И. Свинцов в уже упоминавшемся нами учебнике по логике (Свинцов В.И. Логика. Элементарный курс для гуманитарных специальностей. – М.: Скорина, 1998. – С. 60 – 61), отрывок из которого приводится ниже. «Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил пользования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказывается штрафом»? Представим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них войдут пассажиры, не взявшие билета, в другое – не оплатившие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать как показатель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным правилом, настолько ясен, что всякие разночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпочтительным».

Однако следует отметить, что и в данном случае могут возникнуть недоразумения. Дело в том, что разделительный союз или может употребляться в нестрогом (неисключающем) значении и в строгом (исключающем). Например, в высказывании: Можно изучать английский язык или немецкий союз или употребляется в нестрогом значении, так как можно изучать и тот, и другой язык одновременно, одно другое не исключает. В данном случае разделительный союз или очень близок к соединительному союзу и. С другой стороны, в высказывании: Он родился в 1987 году или в 1989 году союз или употребляется в строгом значении, так как если он родился в 1987 году, то – никак не в 1989 году, и наоборот, два варианта здесь друг друга исключают. (О различных значениях союза или мы еще будем говорить в § 2.6, посвященном видам сложных суждений.) Если в рассмотренное выше правило пользования городским транспортом поставить союз или вместо союза и, как предлагает В.И. Свинцов, то получится следующее: «Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказываются штрафом». В данном случае союз или, являясь показателем логического сложения, должен восприниматься в его нестрогом, неисключающем значении. Но ведь в указанной фразе этот союз можно истолковать и в строгом, исключающем значении. Тогда получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не оплатили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж. Правда, в этом случае не совсем понятно, кто же наказывается штрафом – те или другие. Поразмыслив, можно прийти к выводу, что штрафу подвергаются то те, то другие – на усмотрение контролера и в зависимости от ситуации. В силу всего сказанного надо отметить, что употребление союза или всякий раз нуждается в комментарии относительно того, в строгом или нестрогом значении он используется.

studfiles.net

1.13. Как складываются и умножаются понятия?. Логика. Учебное пособие

1.13. Как складываются и умножаются понятия?

Помимо ограничения, обобщения, определения и деления понятий существуют еще две логические операции – сложение и умножение понятий.

Сложение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исходных понятий. Например, при сложении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой:

Умножение понятий – это логическая операция объединения двух и большего количества понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входят только школьники, являющиеся спортсменами и спортсмены, являющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто называемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (так же, как и результат сложения):

Мы привели примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения (школьник и спортсмен). В других случаях отношений между понятиями результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеется, будут иными. Читатель без труда сможет определить их для всех случаев отношений между понятиями с помощью круговых схем. Так, если два понятия находятся в отношении подчинения, например, карась и рыба, то результатом их сложения является родовое понятие рыба (т. е. логической суммой понятий карась и рыба будет множество всех рыб):

Результатом умножения понятий карась и рыба, находящихся в отношении родовидового подчинения, будет видовое понятие карась (т. е. логическим произведением понятий карась и рыба является множество всех карасей):

Так же, если два понятия находятся в отношении соподчинения, например, береза и сосна, то результат их сложения – это два объема данных понятий (т. е. логической суммой понятий береза и сосна будет как множество всех берез, так и множество всех сосен):

Результатом умножения соподчиненных понятий береза и сосна является нулевое понятие (т. е. логическое произведение понятий береза и сосна представляет собой пустое множество – не существует ни одной березы, которая могла бы быть сосной и наоборот):

Точно так же устанавливаются результаты сложения и умножения объемов двух понятий, которые находятся в отношениях равнозначности, противоположности и противоречия (см. 1.5.). Так, например, нетрудно догадаться, что если два понятия находятся в отношении равнозначности, то результат их сложения будет полностью совпадать с результатом их умножения (логическая сумма равнозначных понятий равна их логическому произведению). Так же понятно, что результатом умножения противоположных и противоречащих понятий является нулевое понятие и т. п.

Как правило, в естественном языке (т. е. том, на котором мы общаемся) результат сложения понятий выражается союзом или, а умножения – союзом и. В результате сложения понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является или школьником, или спортсменом, а в результате умножения этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является и школьником, и спортсменом одновременно.

Относительно употребления союзов или и и в естественном языке в качестве выражения результатов логических операций сложения и умножения понятий удачный пример приводит в своем учебнике по логике известный отечественный автор В. И. Свинцов (Логика. Элементарный курс для гуманитарных специальностей. М.: Скорина, 1998. С. 60–61), отрывок из которого приводится ниже. «Что касается союзов «или» и «и», то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил пользования городским транспортом: «Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказывается штрафом»? Представим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них войдут пассажиры, не взявшие билета, в другое – не оплатившие провоз багажа. Если союз «и» рассматривать как показатель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным правилом, настолько ясен, что всякие разночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза «или» здесь следует признать предпочтительным».

Здесь следует отметить неоднозначность разделительного союза или, который может употребляться в нестрогом (неисключающем) значении и в строгом (исключающем). Например, в высказывании: Можно изучать английский язык или немецкий союз или употребляется в нестрогом значении, т. к. можно изучать и тот, и другой язык одновременно, одно другое не исключает. В данном случае разделительный союз или очень близок к соединительному союзу и. С другой стороны, в высказывании: Он родился в 1987 году или в 1989 году союз или употребляется в строгом значении, т. к. если он родился в 1987 году, то – никак не в 1989 году и наоборот, два варианта здесь друг друга исключают. (О различных значениях союза или мы еще будем говорить далее). Если в рассмотренное выше правило пользования городским транспортом поставить союз или вместо союза и, как предлагает В. И. Свинцов, то получится следующее: «Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказываются штрафом». В данном случае союз или, являющийся показателем логического сложения, надо воспринимать в его нестрогом, неисключающем значении. Но ведь в указанной фразе этот союз можно истолковать и в строгом, исключающем значении. Тогда получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не оплатили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж. Правда, в этом случае не совсем понятно, кто же наказывается штрафом – те или другие. Поразмыслив, можно прийти к выводу, что штрафу подвергаются то те, то другие – на усмотрение контролера и в зависимости от ситуации.

В силу всего сказанного надо отметить, что употребление союза или всякий раз нуждается в комментарии относительно того, в строгом или нестрогом значении он используется. Понятно, что без этого комментария вполне возможны разночтения, которые нередко приводят к различным и существенным недоразумениям.

Следующая глава >

fil.wikireading.ru

4.3. Сложение, умножение и вычитание понятий (точнее

Кроме ограничения, обобщения и деления, существуют и другие операции с объемами понятий, в результате которых образуются новые понятия. Речь идет об операциях, которые по аналогии с математическими называют сложением, умножением и вычитанием. Эти операции, как правило, называют операциями с множествами.

Сложение понятий — операция с объемами понятий, которая заключается в объединении двух или нескольких множеств, составляющих объемы соответствующих понятий, в одно множество.

Полученный результат является множеством, что составляет объем нового понятия, имя которого содержит имена исходных понятий, связанных союзом «или».

Результат сложения зависит от того, каковы исходные понятия — они совместимы или несовместимы, а если совместимы, то к какому виду совместимых понятий относятся — тождественных, перекрестных или до тех, что находятся в отношении подчинения.

Результат сложения несовместимых понятий равна сумме слагаемых. Скажем, взяв выходными понятие «злаковая растение» (обозначим объем этого понятия буквой а) и «бобовое растение» (объем которого — Ь) и добавив объемы этих понятий, получим новое понятие «злаковое или бобовое растение», объем которого будет равен а + Ь

Добавление совместимых понятий связано с определенными трудностями, которые легче преодолеть, приняв во внимание то, что слагаемые могут быть и недодатними числами. Так, добавив объемы понятий «студент» (а) и «спортсмен» (Ь), получим понятие «студент или спортсмен», объем которого будет меньше а + Ь, но больше или по крайней мере равным объему одного слагаемого, поскольку названные понятия являются перекрестными (схема 9).

Схема 9

Результатом сложения понятий, находящихся в отношении подчинения, понятие, объем которого равен объему соответствующего родового понятия. Так, понятие «житель села Городище или человек, который

совершила преступление X» равен объему понятия «житель села Городище», если известно, что преступник является жителем указанного села: а + Ь = а (схема 10).

Схема 10

Результатом добавления тождественных понятий является понятие с объемом, который равен объему одного из этих понятий (любого из них, поскольку они имеют одинаковый объем). Так, объем понятия «квадрат или прямоугольный ромб» равен объему понятия «квадрат» (или объема понятия «прямоугольный ромб»): а + Ь = а(а + Ь = Ь) (схема 11).

Схема 11

Умножение понятий — операция с понятиями, которая заключается в образовании нового понятия, объемом которого есть элементы, общие для всех исходных понятий.

Результатом умножения несовместимых понятий является понятие с мнимым объемом, т.е. нулевое. Так, умножив понятие «существительное» и «глагол», получим новое понятие, имя которого будет «существительное и глагол», а объем — пустое множество, поскольку нет таких слов, которые одновременно были бы и глаголами, и существительными.

Перемножив совместимые понятия, получим новое понятие, в объеме которого мыслятся реально существующие (или существовавшие) предметы.

В результате умножения двух перекрестных понятий получают новое понятие, объем которого будет уже от объема одного из исходных понятий. Так, перемножив понятия «водитель» и «футболист», получим новое понятие «водитель и футболист» или «водитель-футболист».

Объем нового понятия, получают при умножении понятий, находящихся в отношении подчинения, совпадает с объемом подчиненного понятия. Так, перемножив понятия «юрист» и «прокурор», получим понятие «юрист и прокурор», объем которого равен объему «прокурор», поскольку только прокуроры является одновременно и прокурорами и юристами.

Новое понятие, которое образуется при умножении тождественных понятий, совпадает по объему с любым исходным понятием. Так, перемножив понятия «представление» и «воссоздания в памяти облика предметов», получим понятие «представление и воссоздания в памяти облика предметов», объем которого равен как первому, так и второму исходным понятием (в одиночку). Ведь каждое представление и только представление, является воспроизведением в памяти внешности предметов.

Вычитание (возражения) понятий — операция с понятиями, с помощью которой путем отрицания понятия «а» образуют новое понятие «не-а», объем которого в сумме с объемом понятия «а» составляет множество той предметной сферы, которая мыслится нами.

Так, имея понятие «число натурального ряда», объемом которого охвачено всю соответствующую предметную сферу, и, мысленно выделив из него часть объема с помощью понятия «простое число», мы получим остаток (разницу) — «простое число». Именно поэтому операцию и называют вычитанием.

Иногда вычитанием называют и такую логическую операцию, в процессе которой «не-а» конкретизируется. Так, с исходным понятием «пора года» операцию вычитания можно осуществить двумя способами. Первый: «весна» — «невесна». Второй: «весна» — «лето», «осень», «зима».

Книга: ЛОГИКА ДЛЯ ЮРИСТОВ: ЛЕКЦИИ. / Правовой колледж ЛНУ им. Франко

СОДЕРЖАНИЕ

lybs.ru

Сложение и умножение понятий

infopedia.su

(Сложение и умножение понятий) — Гусев Д.А. Удивительная логика — Удивительная логика

biologo.ru

Либо школьник, либо спортсмен (Сложение и умножение понятий) — КиберПедия

Помимо рассмотренных нами логических операций ограничения, обобщения, определения и деления понятия, существуют еще две важные операции. Это сложение и умножение понятий.

Сложение понятий – это логическая операция объединения двух и более понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой все элементы объемов исходных понятий. Например, при сложении понятий школьник (Ш) и спортсмен (С) образуется новое понятие, в объем которого входят как все школьники, так и все спортсмены. Результат сложения понятий, часто называемый логической суммой, на схеме Эйлера изображается штриховкой (рис. 15).

Умножение понятий – это логическая операция объединения двух и более понятий, в результате которой образуется новое понятие с объемом, охватывающим собой только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Например, при умножении понятий школьник (Ш) и спортсмен (С) образуется новое понятие, в объем которого входят только школьники, являющиеся спортсменами, и спортсмены, являющиеся школьниками. Результат умножения понятий, часто называемый логическим произведением, на схеме Эйлера изображается штриховкой (рис. 16).

Мы привели примеры сложения и умножения понятий, которые находятся между собой в отношении пересечения: школьник и спортсмен. При других отношениях между понятиями результаты сложения и умножения (логическая сумма и логическое произведение), разумеется, будут иными. Результаты сложения понятий, при сравнении их с результатами умножения, полностью совпадают только в случае равнозначности, частично совпадают в пересечении и совершенно не совпадают в соподчинении, противоположности и противоречии (в этих трех случаях результатом умножения является нулевое или пустое понятие). В отношении подчинения результатом сложения является родовое понятие, а результатом умножения – видовое.

Как правило, в естественном языке (том, на котором мы общаемся) результат сложения понятий выражается союзом ИЛИ, а умножения – союзом И. В результате сложения понятий школьник и спортсмен образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, если он является ИЛИ школьником, ИЛИ спортсменом, а в результате умножения этих понятий в объем нового понятия входит любой человек, если он является И школьником, И спортсменом одновременно.

О возможных разночтениях при употреблении союзов ИЛИ и ИВ. И. Свинцов[4] пишет: «Что касается союзов ИЛИ и И, то нужно отметить их многозначность, способную в известных ситуациях создавать достаточно неопределенное представление о характере связи между некоторыми исходными понятиями. Удачна ли, например, следующая формулировка одного из правил пользования городским транспортом: Безбилетный проезд и бесплатный провоз багажа наказываются штрафом! Представим себе два подмножества, которые могут быть выделены во множестве пассажиров-нарушителей. В одно из них войдут пассажиры, не взявшие билеты, в другое – не оплатившие провоз багажа.

Если союз И рассматривать как показатель логического умножения, то придется признать, что штраф должен быть наложен только на тех пассажиров, которые совершили сразу два проступка (но не какой-то один из них). Разумеется, житейский смысл ситуации, предусмотренной данным правилом, настолько ясен, что всякие разночтения этой формулировки, вероятно, были бы признаны казуистикой, но все же использование союза ИЛИ здесь следует признать предпочтительным».

Однако следует отметить, что и в данном случае из-за неоднозначности разделительного союза ИЛИ могут возникнуть недоразумения. Дело в том, что этот союз может употребляться в нестрогом (неисключающем) значении и в строгом (исключающем). Например, в высказывании Можно изучать английский язык или немецкий союз ИЛИ употребляется в нестрогом значении, так как можно изучать и тот, и другой язык одновременно, одно другого не исключает. В данном случае разделительный союз ИЛИ очень близок к соединительному союзу И. С другой стороны, в высказывании Он родился в 1987 году или в 1989 году союз ИЛИ употребляется в строгом значении, так как если он родился в 1987 году, то никак не в 1989 году, и наоборот, два варианта здесь друг друга исключают. (О различных значениях союза ИЛИ мы еще будем говорить далее.)

Если в рассмотренное выше правило пользования городским транспортом поставить союз ИЛИ вместо союза И, как предлагает В. И. Свинцов, то получится следующее: Безбилетный проезд или бесплатный провоз багажа наказываются штрафом. В данном случае союз ИЛИ, являясь показателем логического сложения, должен восприниматься в его нестрогом, неисключающем значении. Но ведь в указанной фразе этот союз можно истолковать и в строгом, исключающем значении. Тогда получится, что штраф накладывается или только на тех пассажиров, которые не оплатили проезд, или же только на тех, которые бесплатно провозят багаж. Правда, в этом случае не совсем понятно, кто же наказывается штрафом – те или другие. Поразмыслив, можно прийти к выводу, что штрафу подвергаются то те, то другие – на усмотрение контролера и в зависимости от ситуации.

В силу всего сказанного надо отметить, что употребление союза ИЛИ всякий раз нуждается в комментарии относительно того, в строгом или нестрогом значении он используется. Понятно, что без этого комментария вполне возможны различного рода недоразумения. Поэтому нередко употребляется своеобразный союзгибрид ИЛИ/И, указывающий на то, что союз ИЛИ используется в некоем тексте в его нестрогом значении. Таким образом, наиболее целесообразно сформулировать правило оплаты проезда в городском пассажирском транспорте следующим образом: Безбилетный проезд или/и бесплатный провоз багажа наказываются штрафом. В данной, может быть, не совсем удобной, с точки зрения языка, формулировке все возможные разночтения и недоразумения исключаются.

Суждение

cyberpedia.su

Умножение / Справочник по математике для начальной школы

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Умножение

В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.

В математике существует знак для умножения — это точка посередине строки между числами, которые нужно перемножить.

Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.

Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.

Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.

Результат умножения показывает, какое число получается.

6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24

6 — первый множитель

4 — второй множитель

24 — произведение

Числа при умножении

Первый множитель

Второй множитель

Результат умножения, или Произведение

Чтение числовых выражений

6 • 4 = 24

Этот пример можно прочитать по-разному.

• 6 умножить на 4 равняется 24.
• 6 увеличить в 4 раза – получится 24.
• Первый множитель – 6, второй множитель – 4, произведение – 24.
• Произведение 6 и 4 равно 24.

Свойство умножения

3 • 4 = 12

4 • 3 = 12

Значит, 3 • 4 = 4 • 3

От перестановки мест сомножителей произведение не изменится.

Умножение на 1

4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.

23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.

Умножение на 0

8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.

26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.

Умножение на 10

8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.

15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.

Связь деления и умножения

8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.

24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.

24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.

В несколько раз больше

Решим задачу:

В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?

Это значит, что котят было 4 раза по 2.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 (к.)

Заменяем сложение умножением и получаем: 

2 • 4 = 8 (к.)

Вывод: Если в задаче есть слова «в … раз больше», то задача решается умножением.

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

8 : 2 = 4 (раза)

Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Табличное умножение

Внетабличное умножение

Умножение суммы на число

Умножение на однозначное число в столбик

Умножение на числа, оканчивающиеся нулями

Умножение на двузначное и трёхзначное число

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 65. Вариант 2. Тест 1, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 51, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 80, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 81, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 87, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 95, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 44, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 50, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 51, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

Страница 64, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 2 часть

3 класс

Страница 11, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 26, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 35, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 37, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 41, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 52, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 54, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 1 часть

Страница 71, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, 1 часть

Страница 21, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

Страница 30, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, 2 часть

5 класс

Упражнение 36, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

© 2019 — budu5.com, Буду отличником!

budu5.com

ФАКТР (функция ФАКТР) — Служба поддержки Office

Примечание:  Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке) .

Допустим, у вас есть шесть поговорим, причем каждый объект с другой звуковой сигнал, и вы хотите найти число уникальных последовательностей, в которых каждый колокольчика прозвучит один раз. В данном примере выполняется расчет факториал числа 6. Как правило Факториал используется для подсчета количества способами, в котором могут располагаться группы различных элементов (также называемые перестановок). Чтобы вычислить факториал числа, используйте функцию ФАКТОВ.

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ФАКТР в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает факториал числа. Факториал числа — это значение, равное 1*2*3*…* число.

Синтаксис

ФАКТР(число)

Аргументы функции ФАКТР описаны ниже.

• Число    — обязательный аргумент. Неотрицательное число, для которого вычисляется факториал. Если число не является целым, оно усекается.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

support.office.com

Факториал в Excel, Факториал в Эксель, формула ФАКТР, функция ФАКТР()

Понял, что на нашем сайте очень мало описаний математических функций. Хотя в Excel их превеликое множество. Есть описание НДС, всяких там печатных документов и форм. А вот описания основы основ табличного редактора — математических функций, почти нет. «Надо бы заняться этим пробелом» — подумал я. Вот занимаюсь. Первым очереди факториал. Почему? Просто на днях, делал одну задачу с этой функцией. Подробнее читаем далее про факториал в Excel.

Факториал в Excel. Введение

Думаю углубляться в мат. часть сильно не стоит. Считаю нужно рассказать для чего используется эта функция и как ее считать в Excel.

Начнем с определения, как говорит нам Википедия — Факториал числа n (от лат. factorialis — умножающий, действующий) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Для чего это может понадобится? В первую очередь — это обозначение умножения нескольких чисел 3! = 1*2*3. Факториал очень часто используется в комбинаторике. Что такое комбинаторика? Как следует из названия — это наука изучающая математические комбинации.

Пример: Сколько сочетаний цветов получится из 10 разных цветов? Сходу знаете? Я например, нет. Для вычисления кол-ва комбинаций применяется факториал.

Рассчитаем для 3 цветов: количество комбинаций цветов (желтый, красный, зеленый) = 3! =1*2*3 = 6. Какие это комбинации:

1. ЖКЗ
2. ЖЗК
3. КЖЗ
4. КЗЖ
5. ЗЖК
6. ЗКЖ

Действительно 6 🙂

В более сложных задачах в жизни, часто нужно узнать, к примеру, какое количество, вариантов выполнения маршрута из 7 точек. Как видите, штука полезная!

Факториал в Excel. Как посчитать.

Для факториала есть специальная функция =ФАКТР() Реквизиты предельно просты — один аргумент, то число до которого нужно рассчитать факториал

Пример такой формулы

=ФАКТР(A1)

Рассчитав факториал 7, мы узнаем, что количество вариантов маршрута из 7 точек равно 5040. По-моему это впечатляет!

Удачной комбинаторики!

 

Поделитесь нашей статьей в ваших соцсетях:

Похожие статьи

Как возвести в степень в Excel? И найти корень числа Как округлить число в Excel?

excelworks.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

• Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

www.wiki-wiki.ru

Вычислить факториал

Начнем с определения: факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до числа n включительно. Формула для вычисления факториала записывается так: $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n$$ Надо еще знать соглашение: 0!=1. Почему факториал нуля равен единице можно спорить до бесконечности. Часто приводится и Гамма функция для объяснений и выражение типа: n!=(n-1)!n, в которое подставляют n=1 и радостно доказывают потом, что: из выражения 1!=(1-1)!1 следует 1=0!. Но на самом деле, это последнее выражение только доказывает, что правильно таки математики договорились считать, что 0!=1 для того, чтобы не нарушались правила вычисления факториала и в формулах не появлялось противоречие. А больше нигде это равенство 0!=1 и не используется. Поэтому и можно было договориться, чтобы не морочить себе голову в будущем. Но не об этом сейчас речь. Нас будет интересовать способ, как быстро (в домашних условиях) и правильно вычислить факториал большого числа. Проблема в том, что для вычисления факториалов больших чисел часто не хватает или памяти или числа знаков, поддерживаемых или калькулятором или компьютером. Ведь результат получается огромным, если число большое. Посмотрите на картинку (кликабельно) — на ней результат вычисления значения 500!. Но, теперь проблема решена — вы можете вычислять факториал от огромных чисел. Зачем только вам это может понадобиться не очень понятно. Ну, например, чтобы удивить вашего учителя или получить оригинальную заставку для вашего телефона. Правда иногда, программистам предлагают такую задачку решить, чтобы они помучились. Теперь все просто — вводите в строку ваше число, набираете восклицательный знак и жмете кнопку «Решить». Пример ввода приведен ниже.

500!

Важно. Чтобы получить все цифры огромного числа надо будет нажать надвпись More digits (больше цифр), если в конце выведенного числа есть троеточие. Нажимайте More digits до тех пор, пока троеточие в конце не исчезнет (для больших чисел несколько раз).

studlab.com

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

• Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

Выведение формул

• Формула для чётного n:

Выведение формулы:

www.wiki-wiki.ru

Реферат Факториал

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

• 1 Свойства
  • 1.1 Рекуррентная формула
  • 1.2 Комбинаторная интерпретация
  • 1.3 Связь с гамма-функцией
  • 1.4 Формула Стирлинга
  • 1.5 Разложение на простые числа
  • 1.6 Другие свойства
• 2 Обобщения
  • 2.1 Двойной факториал
  • 2.2 Убывающий факториал
  • 2.3 Возрастающий факториал
  • 2.4 Праймориал или примориал
  • 2.5 Суперфакториалы
  • 2.6 Субфакториал

Введение

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

1. Свойства

1.1. Рекуррентная формула

1.2. Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4!=24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

1.3. Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

1.4. Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

1.5. Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берётся по всем простым числам.

1.6. Другие свойства

• Для натурального числа n

2. Обобщения

2.1. Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, … (последовательность A006882 в OEIS)

2.2. Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

2.3. Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

2.4. Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n#  и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

2.5. Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал числа n как произведение первых n (m-1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

2.6. Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

wreferat.baza-referat.ru

Таблица факториалов

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

11! = 39916800

12! = 479001600

13! = 6227020800

14! = 87178291200

15! = 1307674368000

16! = 20922789888000

17! = 355687428096000

18! = 6402373705728000

19! = 121645100408832000

20! = 2432902008176640000

21! = 51090942171709440000

22! = 1124000727777607680000

23! = 25852016738884976640000

24! = 620448401733239439360000

25! = 15511210043330985984000000

26! = 403291461126605635584000000

27! = 10888869450418352160768000000

28! = 304888344611713860501504000000

29! = 8841761993739701954543616000000

30! = 265252859812191058636308480000000

31! = 8222838654177922817725562880000000

32! = 263130836933693530167218012160000000

33! = 8683317618811886495518194401280000000

34! = 295232799039604140847618609643520000000

35! = 10333147966386144929666651337523200000000

36! = 371993326789901217467999448150835200000000

37! = 13763753091226345046315979581580902400000000

38! = 523022617466601111760007224100074291200000000

39! = 20397882081197443358640281739902897356800000000

40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000

41! = 33452526613163807108170062053440751665152000000000

42! = 1405006117752879898543142606244511569936384000000000

43! = 60415263063373835637355132068513997507264512000000000

44! = 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000

45! = 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000

46! = 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000

47! = 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000

48! = 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000

49! = 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000

50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

ru.onlinemschool.com

4. Кривая производственных возможностей

Производственные возможности – возможности общества по производству экономических благ при полном и эффективном использовании всех имеющихся ресурсов при данном уровне развития технологии. Возможный выпуск продукции характеризует кривая производственных возможностей.

Выбор становится необходимым в условиях относительной ограниченности ресурсов. Выбор происходит между экономическими вариантами наилучшего использования ресурсов. Оптимальным будет тот вариант, который обеспечивает максимум результата при минимуме затрат.

Экономической науке удалось разработать модель, представляющую выбор как экономическую проблему. Модель называется график производственных возможностей (ПВ).

Ось ординат показывает возможные величины производства товара А при ограниченном объеме ресурсов, ось абсцисс – возможные величины производства товара В из того же объема ресурсов. Соединив  точки максимумов, получим кривую производственных возможностей (ПВ).

Рис.1.3. График производственных возможностей

Кривая ПВ обозначает границы максимально возможного одновременного производства товара А и В при полном использовании ограниченных ресурсов.

Выбор оптимального варианта ограничен числом вариантов, представленных совокупностью точек этой кривой.

Кривая ПВ характеризует отрицательную зависимость между парными величинами максимальных результатов производства. При наращивании производства товара А мы неизбежно теряем какое-то количество товара В, и наоборот. Теряемое количество одного товара при максимизации производства другого называется альтернативной ценой.

Точка Е есть результат неполного использования производственных ресурсов. В точке Е имеется резерв ресурсов для одновременного наращивания производства товара А и В. И опять возникает проблема выбора оптимального варианта.

Количество товаров, которые приходится терять при максимизации производства в условиях неполного использования ресурсов, называется альтернативными затратами.

Издержки одного блага, выраженные в другом благе, которым пришлось пренебречь, называются альтернативными (вмененными) издержками. Также иногда их называют издержками отвергнутых возможностей.

Оптимальным вариантом в точке Е будет такой, который обеспечивает максимальную эффективность использования ресурсов. Формула эффективности – это отношение максимума результата к минимуму затрат (или  дохода к расходам).

Альтернативная стоимость — это то, «от чего приходится отказаться, чтобы получить желаемое». Недаром альтернативную стоимость нередко называют издержками упущенных возможностей. Так, в рассматриваемом примере производство 4 тыс. самолетов означает отказ от выпуска 10 млн автомобилей.

Конечно, в реальной жизни упущенные возможности не ограничиваются одним или даже двумя видами продуктов, от производства которых приходится отказываться, они многочисленны. Поэтому при определении альтернативной стоимости рекомендуют принимать во внимание наилучшую из упущенных реальных возможностей. Так, при учебе в дневном вузе после школы девушка упускает возможность работать в этот период секретарем (а не грузчиком или сторожем) и получать соответствующую заработную плату. Заработная плата секретаря и будет для нес альтернативной стоимостью (альтернативными издержками) обучения на дневном отделении вуза.

Обратим внимание на то, что по мере увеличения производства блага его альтернативная стоимость возрастает (граница производственных возможностей является кривой, а не прямой линией). Так, в нашем примере производство 1 тыс. самолетов требует отказа от выпуска 1 млн автомобилей, 2 тыс. самолетов — уже 3 млн автомобилей, 3 тыс. самолетов — 6 млн автомобилей, а для производства 4 тыс. самолетов нужно вообще отказаться от выпуска автомобилей, т.е. для производства каждой дополнительной тысячи самолетов нужно отказываться от выпуска все большего количества автомобилей. Можно сказать, что альтернативные издержки первой тысячи самолетов равняются 1 млн автомобилей, а четвертой тысячи самолетов — уже 4 млн автомобилей. Говоря по-другому, для выпуска каждой дополнительной единицы продукта приходится жертвовать

все большим количеством другого, альтернативного продукта. Причины роста альтернативных издержек заключаются прежде всего в неполной взаимозаменяемости ресурсов.

6. Модель рынка: условия образования и функционирования

Одним из важнейших факторов, который влияет на определение в рыночной экономике, является конкуренция. Однако ее роль в ценообразовании неодинакова на различных типах рынков. На одних она является решающим фактором, который определяет равновесную цену;-а на других Ее роль как циноутворюваного фактора снижается различными обстоятельствами. В зависимости от этого различают два типа рынков — досконально конкурентные или рынки совершенной конкуренции, и конкурентно несовершенны, или рынки несовершенной конкуренции.

Рынок совершенной конкуренции. Это рынок, на котором много продавцов, ни один из которых самостоятельно не влияет на цену, по которой он поставляет продукцию на рынок. На нем функционируют совершенно конкурентные фирмы, то есть фирмы, которые принимают цену на свою продукцию как такую, которая не зависит от объема поставленной ею на рынок продукции. И если такая фирма попытается повысить цену на свой товар, то покупатели его не покупать, так как идентичный товар предлагают в достаточном количестве другие фирмы по более низкой цене, следовательно, фирма потеряет своих клиентов.

Для того чтобы фирмы-продавцы на рынке были совершенно конкурентными, необходимы определенные условия.

Во-первых, доля каждой отдельной фирмы в предложении должна быть такой, что существенно не влияет на объем рыночного предложения. Ни одна из фирм на таком рынке изменить объем совокупной предложения не может, как бы она не увеличивала и уменьшала объем предлагаемых ею товаров.

Во-вторых, продукция на таком рынке однородная, т.е. по своим качественным показателям одинакова у всех продавцов, поэтому покупатель может приобрести такой продукт у любой фирмы. В-третьих, покупатели хорошо информированы о ценах продавцов, поэтому продукт имеет одинаковую цену у любого продавца. Если кто-то из продавцов повысит цену на свой товар, то он потеряет своих клиентов, потому что они могут купить товар у других продавцов по более низкой цене.

В-четвертых, фирмы-продавцы действуют независимо друг от друга. Они не объединяются для того, чтобы заключить соглашение о ценах или объем продаж. Каждая фирма заботится о своих интересах, самостоятельно решая, какой объем продукции она будет поставлять на рынок, зная, что своими действиями на цену влиять не сможет.

В-пятых, фирмы могут свободно выходить из отрасли и так же свободно входить в нее. Любая фирма, которая желает производить товар, без препятствий может это сделать. Так же беспрепятственно любая фирма может выйти из области, никаких барьеров для этого не существует. В-шестых, на таких рынке нет неценовой конкуренции.

Следовательно, рынок совершенной конкуренции — это рынок, на котором все продавцы являются достаточно конкурентными, каждый из которых действует независимо и имеет небольшую долю в общей предложения товаров, и на котором есть значительное количество покупателей, каждый из которых имеет полную информацию о ценах продавцов. На таком рынке силой, что его регулирует, является конкуренция. Именно она заставляет производителей приспосабливаться к изменению в спросе покупателей, условий производства и т.п. Конкуренция через систему цен сигнализирует об изменениях в потреблении и этим обусловливает адекватную реакцию производителей: скорректировать производство или обновлять и расширять. Это стимулирует и научно-технический прогресс, поиски наиболее эффективных технологических схем. Этим конкуренция обеспечивает гибкость экономики, помогает повышать эффективность производства.

На совершенно конкурентном рынке конъюнктуру формирует вся совокупность фирм, действующих на нем. Цена товара на таком рынке определяется только соотношением рыночного спроса и рыночного предложения, состоящего под влиянием указанных факторов. В таких условиях цены для субъектов такого рынка является заранее заданным нормативом, которого они вынуждены следовать в своей деятельности. Конкурентные фирмы не способны регулировать цену.

В условиях конкурентного рынка задача фирмы состоит в оптимизации выпуска продукции с целью максимизации прибыли. При этом должны учитываться определенные обстоятельства. Во-первых, индивидуальные издержки производства фирмы не должны превышать середньогалузеви, что является общественно необходимым. В случае их превышения возникает опасность разорения фирмы. Во-вторых, фирмы должны руководствоваться правилом, согласно которому ее финансовое положение будет стабильным и в ней будут благоприятные перспективы развития, если его общий доход стабильно превышает переменные издержки производства. Если фирма не в состоянии придерживаться этого правила, то она должна прекратить свое существование на определенном рынке.

Руководствуясь указанными правилами, конкурентная фирма должна решить взаимосвязанные вопросы: 1. Есть ли необходимость в осуществлении производства? 2. Если такая необходимость есть, то какой должен быть объем производства? 3. Какова результативность такого производства, т.е. какую прибыль будет получена. Решение о возможном объем продукции фирма принимает, исходя из промежутка максимизации прибыли. В практике экономической деятельности на современном этапе условия, характерные для рынка совершенной конкуренции, в чистом виде почти не встречаются.

Большинство фирм, как правило, производят и поставляют на рынок несколько или много видов товаров, причем они не идентичны товарам других фирм, даже если их близкими заменителями. На многих рынках фирмы имеют достаточные размеры, чтобы заметно влиять на рыночные цены. Поэтому они не пассивно воспринимают цены рынка, а активно влияют на их формирование. Однако это не исключает возможность на некоторых рынках иметь условия совершенной конкуренции. Это прежде всего касается такой отрасли экономики, как сельское хозяйство. В этой отрасли производственные единицы, как правило, небольшие, поэтому влиять на рыночную конъюнктуру, а следовательно, и цены не могут. Да и продукция у них однородная. Поэтому цены, устанавливаемые на биржах, не зависят от действий таких фирм.

В определенной мере к условиям совершенной конкуренции приближаются и такие отрасли, как розничная торговля и сфера мелких услуг. У них нарушаются правила совершенной конкуренции, но она все-таки действует хотя бы в приближенном виде. К тому же совершенная конкуренция является тем идеалом, к которому должно стремиться рынок, так как при этом достигается наибольшая экономическая эффективность. Отклонения от правил совершенной конкуренции влекут за собой определенные экономические потери для общества, а следовательно, приводят к снижению эффективности всей экономики.

Рынок чистой монополии. Рынки, на которых свободная конкуренция сдерживается такими факторами, как монополия, недостаточная информация и внешние факторы, относятся к несовершенна конкурентных рынков — это рынки, на которых или продавцы или покупатели могут влиять на рыночную конъюнктуру, а следовательно, и на цены . Выделяют три модели таких рынков: чистая монополия, монопольная конкуренция и олигополия. Разграничение моделей несовершенна конкурентных рынков определяется такими факторами: количеством фирм в отрасли и их размерами, уровнем дифференциации товаров, реализуемых на рынке (насколько подобные и взаимозаменяемы товары), уровнем помех вступления фирмы в отрасль и выхода из нее и степени доступности информации о рынках.

Рынок чистой монополии является полной противоположностью рынка совершенной конкуренции. Это такая рыночная ситуация, при которой производство определенного товара сосредоточено в распоряжении одного производителя, который является единственным поставщиком такого товара на рынок. Такой производитель и является монополистом. Различают три типа монополий: закрытая, открытая и естественная. Закрытая монополия — это монополия, которая защищена от конкуренции с помощью юридических ограничений. Примером может быть патентная защита, авторские права, лицензии на изготовление определенного продукта или оказание определенных услуг. Открытой является монополия, при которой одна фирма по крайней мере на некоторое время становится единственным поставщиком товара, но не имеет специальной защиты от конкурентов. Примером являются фирмы, выходящие на рынок с новой продукцией. Пока ее конкуренты наладят выпуск такой продукции и начнут поставлять ее на рынок, фирма будет монополистом. Естественной монополией называют отрасль, в которой долгосрочные средние издержки производства достигают минимума только тогда, когда одна фирма обслуживает весь рынок. В такой отрасли минимальный эффективный масштаб производства близок или даже превосходит то количество продукта, на которую рынок проявляет спрос по любой цене, достаточной для покрытия издержек производства. При такой ситуации разделение выпуска продукции между двумя или более фирмами приведет к тому, что масштабы производства каждой фирмы будут неэффективно маленькими. Итак, естественная монополия основывается на экономии от масштабов производства.

Следует отметить, что такая классификация достаточно условна, потому что некоторые фирмы могут принадлежать одновременно к каждому из типов монополии. Например, электрические и газовые компании, принадлежащие как к естественным (ибо используют эффект масштаба производства), так и в закрытых монополий (поскольку существуют препятствия для конкуренции). V Рынок чистой монополии характеризуется следующими чертами: во-первых, на нем есть единственный продавец, который и составляет всю отрасль. Эта фирма является одним производителем или единственным поставщиком продукта на рынок. Фирма и отрасль в этом случае являются синонимами. Во-вторых, товар на нем уникальный, он не имеет никаких заменителей. Это означает, что сам покупатель не имеет альтернативы, ведь если не купить товар у монополиста, то вообще останется без него, потому что ни у кого другого купить такой товар он не сможет. В-третьих, этот рынок масс барьеры, препятствующие вхождению на рынок другим фирмам. Это обязательное условие существования монополии.

Барьеры могут быть как природные, так «и искусственные. Важнейшим природным барьером являются преимущества, связанные с эффектом масштаба производства. Монополия может создавать крупные предприятия, обеспечивающие низкие издержки производства, и этим устранить с рынка любого конкурента. К тому же здесь действует и принцип высоких первоначальных затрат входа в отрасль, требующая больших инвестиций, которые непосильные для конкурентов. Существуют также искусственные барьеры, в частности, патенты, которые ограничивают право пользования определенными техническими и технологическими средствами, лицензии, франчайзи, т.е. исключительные права на продажу товара монополии по ценам, которые она определяет. Могут использоваться и насильственные средства недопущения конкурента на рынок (это характерно для стран переходной к рынку экономики с широким развитием в них преступности. В-четвертых, рынок чистой монополии характеризуется неценовой конкуренции. Одним из важнейших ее орудий является реклама. Активная реклама дает возможность увеличивать спрос на определенный продукт и тем самым создает условия для роста объемов реализации. Наконец, признаком рынка чистой монополии является контроль за ценой. Чистый монополист, являясь единственным производителем или продавцом товара, значительно влияет на цену, так как может манипулировать предложением. Если монополист решает повысить цену, то уменьшает предложение на рынке, не боясь что конкуренты могут захватить его.

Итак, рынок чистой монополии характеризуется монопольной властью одной фирмы. Однако это не означает, что монополист может произвольно устанавливать цену на свою продукцию. Его возможности ограничены уровнем издержек производства. Важным ограничителем цены для монополиста является спрос на его товар. Поэтому он должен определить параметры спроса, поскольку при повышении цены спрос на товар падает. Следовательно, определяя цену, монополист выбирает такую комбинацию «цена — объем производства», по которой он получает максимальную прибыль. Максимизация прибыли в краткосрочном периоде достигается при условии, что уровень предельной реализации равен уровню предельных затрат на ее производство. Поэтому цена, которая определяется монополистом, как правило, выше предельных издержек производства. Это обеспечивает монополии получения монопольного дохода. При этом она исходит из того, что цена должна обеспечить максимум совокупного дохода, а не прибыли на единицу продукции.

Политика ценообразования на рынке чистой монополии включает и такое средство, как ценовая дискриминация. Зачастую на этом рынке является ситуация, когда все единицы товара, реализуемых в течение определенного периода, продаются всем покупателям по одной и той же цене. Это так называемая модель простой монополии. Однако есть и монополии, которые реализуют свою продукцию различным покупателям по разной цене. Если цены, установленные для разных покупателей, отражают не отмены в издержках производства фирмы, а расходы, связанные с индивидуальным подходом по обслуживанию этих покупателей, то фирма осуществляет ценовую дискриминацию. Так, в кинотеатре устанавливается цена на билеты на дневные сеансы ниже, чем на вечерние сеансы, хотя издержки производства при этом одинаковые. Этим осуществляется ценовая дискриминация.

Для осуществления ценовой дискриминации необходимы определенные условия. Во-первых, покупатели по разным причинам не могут перепродавать купленные товары. Во-вторых, продавец должен иметь возможность разделить покупателей на группы, исходя из эластичности спроса на товары. При этом тем покупателям, спрос которых нееластичний, предлагается высокая цена, а тем, чей спрос эластичен, — ниже.

Установление монопольной власти на рынке чистой монополии приводит к превышения цены над предельными издержками, повышает цены и уменьшает объемы производства продукции. Следовательно, создаются условия для ухудшения положения потребителей и увеличения доходов фирмы. Относительно влияния монопольной власти на уровне общества, то он неоднозначен. С одной стороны, это чистые убытки для общества, так как объем производства будет меньше, чем в условиях свободной конкуренции. Вместе с тем эффект масштаба производства делает чистую монополию желательным для общества, так как повышает эффективность использования ресурсов. Такие последствия монопольной власти на рынке обусловливают потребность в регулировании цен на рынке чистой монополии со стороны государства, которое осуществляет антимонопольные меры. Одним из основных заданий антитрестивськои политики государства является защита мелких и средних товаропроизводителей, стремление приблизить этот рынок к модели совершенной конкуренции. Особая потребность в антимонопольном регулировании ощущается в странах переходной экономики, в частности в Украине, где в наследство от командно-административной системы получено экономику с высоким уровнем монополизации.

Рынок монопольной конкуренции и олигополии. Одной из моделей несовершенна конкурентных рынков является рынок монопольной конкуренции. Это такая рыночная ситуация, при которой относительно высокое количество небольших производителей предлагает похожую, но не идентичную продукцию. Такой рынок объединяет монополистические и чисто конкурентные аспекты. Он аналогичен совершенно конкурентном рынке, поскольку на нем также много фирм и проникновение на рынок не ограничен. Однако он и отличается от совершенно конкурентного рынка тем, что рыночная продукция дифференцирована, т.е. каждая фирма продает особый тип либо вариант товара, который отличается по качеству, оформлением или престижности, и каждая фирма является монопольным производителем своей марки товара. Монопольная власть, которую имеет предприятие, определяется успехом в дифференциации своего товара по сравнению с товарами других фирм. Примерами монопольной конкуренции являются рынки таких товаров, как зубная паста, мыло, стиральные порошки, алкогольные и безалкогольные напитки.

Рынок монопольной конкуренции характеризуется двумя ключевыми признаками. Во-первых, фирмы конкурируют, продавая дифференцированные товары, имеющие высокую норму замещения друг другом, но не абсолютно взаимозаменяемы. Это значит, еще эластичность спроса по цене большая, но не безгранична. Во-вторых, проникновение новых фирм на рынок нет серьезных ограничений, то есть новым фирмам несложно войти в рынок со своими фирменными марками, а существующим фирмам выйти из него, если товары перестали пользоваться спросом. В краткосрочном периоде фирмы этого рынка устанавливают цену подобно рынка чистой монополии, т.е. исходя из правила, что оптимальным объемом производства товара является тот, при котором предельный доход равняется предельным затратам. В этих условиях цена монопольно-конкурентной фирмы превышать средние издержки производства, то есть будет выше, чем это обусловлено уровнем затрат. Итак, потребитель не может получить товар по наименьшей цене, которую диктуют условия производства.

Специалисты считают, что рынки монопольной конкуренции являются неэффективными. С одной стороны, равновесная цена на нем превышает предельные издержки. Это означает, что цена, которую платят покупатели за потребление дополнительных единиц продукции, превышает их затраты производства. С другой стороны, фирмы на этом рынке имеют резервные производственные мощности, т.е. не полностью используют свои производственные мощности. Фактический объем производства меньше, чем тот, который минимизирует средние издержки. Такие резервные мощности неэффективны, так как средние издержки производства могут быть сокращены, если будет действовать меньшее число фирм, а это негативно влияет на благосостояние потребителей.

Однако такая ситуация имеет и определенные положительные последствия, так как неэффективность рыночного механизма монопольной конкуренции компенсируется широким ассортиментом товаров. Большинство покупателей как раз и ценит возможность широкого выбора среди самых разнообразных конкурирующих товаров и их марок. Польза от него багатоманиття нередко превышает затраты неэффективности такого рынка.

Еще одной моделью рынка несовершенной конкуренции является олигополия. Это рынок, на котором конкурируют друг с другом лишь несколько фирм, каждая из которых имеет общий сегмент (долю) рынка. Такой рынок характеризуется определенными признаками. Во-первых; количество фирм на нем незначительна, но каждая из них имеет значительные размеры и существенную долю рынка, а вместе они производят всю или преобладающую часть определенных товаров. Во-вторых, товар на этом рынке может быть как стандартизированный (например, нефть, металлы, оборудование), так и дифференцированный (автомобили, компьютеры, телевизоры). В зависимости от типа продукции различают два вида олигополии: чистую и дифференцированную. К первому типу относятся фирмы, которые производят однородный товар, а ко второму — производители дифференцированной продукции. В-третьих, существуют серьезные препятствия для вступления в таких рынков, вызывающее их образования и функционирования. Одним из таких барьеров является эффект масштаба производства. С совершенствованием техники и технологии существенно увеличивается оптимальный размер производства, что делает неприбыльным существования подавляющего части фирм на рынке. К тому же первоначальные затраты для создания новой фирмы таковы, что они под силу лишь ограниченном количестве фирм.

Важным препятствием является патентования и лицензирования техники и технологий, а также большие затраты на рекламу, без которой выйти на рынок практически невозможно. В этом направлении действует и такой фактор, как контроль над стратегическим сырьем и другими видами ресурсов. Барьеры для вхождения в рынок создаются и слиянием фирм. Объединение двух или более конкурентных фирм может существенно преумножить их долю на рынке, что позволит созданному новому производителю достичь значительного эффекта масштаба производства. Препятствием вступления на рынок новым конкурентам является и увеличение сортности, количества марок и моделей товара. Чем их больше, тем труднее потенциальному конкуренту войти на рынок, потому что такая дифференциация требует значительных затрат.

Характерной чертой рынка олигополии является общая взаимозависимость, или олигопольний взаимосвязь. Фирмы на этом рынке достаточно велики, чтобы своими действиями влиять на цены. При этом они испытывают влияние не только покупателей, как это имеет место в условиях совершенной и монопольной конкуренции. Фирмы-олигополисты при изменении цен наталкиваются на действия конкурентных фирм-продавцов, которые очень чувствительны к поведению каждого конкурента. Зависимость поведения каждой фирмы от реакции конкурентов называется олигопольною взаимозависимость. Олигопольна фирма борется против всех других фирм отрасли, как вместе взятых, так и каждого в частности, потому что успех конкурента является вычетом из спроса на продукцию фирмы, а следовательно, ее прибыли. Поэтому конкуренция на олигопольному рынка является сложной и непредсказуемой. В этих условиях перед участниками олигопольного рынке возникает альтернатива: вести непредсказуемые по результатам жесткую конкуренцию или заключить с потенциальными конкурентами соглашение. Второй вариант предусматривается тогда, когда фирмы-олигополисты видят возможности совместного увеличения своих доходов в повышении цен и заключении соглашения о разделе рынка.

Такое сотрудничество называется кооперативной поведением и дает результат, аналогичный чистой монополии. Открытое соперничество, которое называют некооперативною поведением, приводит к ситуациям, которые нередко имеют непредсказуемые для их участников результаты. Рассмотрены особенности олигопольного рынке определяют специфику поведения его участников при ценообразовании и определении объемов производства продукции. Наиболее характерным признакам цен на этом рынке является их жесткость, негнучкисть, выявляемых в относительной устойчивости цен. Даже при изменении издержек производства или спроса олигополисты не склонны к изменению цен. Такая жесткость цен определяется прежде всего олигопольним взаимосвязью и желанием фирм-олигополистив избежать общей разрушительной конкуренции цен. Методами достижения такого положения на рынке олигополии является открытая, тайная и бездоговорного сговора.

При открытой сговоре между фирмами-олигонолистамы заключается открыта соглашение о фиксации цен, раздел рынка или другие условия, которые существенно ограничивают конкуренцию. Самой простой форме открытой заговора является картель. Это письменный или устный договор между фирмами о введении общей цены на продукт, об объемах производства отдельных фирм и территориальное разделение рынков сбыта продукции. Участники картеля заключают соглашение о цене, которая максимизирует их прибыли. Такая сделка становится обязательным для каждого участника. Кроме того, каждому участнику устанавливается квота выпуска продукции, которую он не должен нарушать. Это придает картеля по сути монопольную власть на рынке, что дает возможность устанавливать цену выше, чем в условиях конкуренции между ними. Кроме того, создание картеля позволяет олигополистам уменьшать неопределенность, увеличивать доходы и нередко препятствовать вхождению в отрасль новых конкурентов. Однако на практике картель не отличаются стойкостью, потому что между его участниками ведется борьба за более выгодные условия именно для своей фирмы. Возникает соблазн обмануть своих партнеров, что и становится причиной распада картеля. Самым известным представителем картеля является Организация стран-экспортеров нефти (ОПЕК).

Поскольку открытый сговор приводит к установлению монопольной власти на рынке, которая несет негативные последствия для покупателей, во многих странах законодательство запрещает такую сговор. Поэтому олигополисты часто ищут пути для тайного сотрудничества, основанного на достижении договоренности в явном виде. Это — тайная сговор, по которой соглашения о ценах и разделение рынка глубоко скрыты. Примером может быть секретный план, разработанный тремя электрическими компаниями США в начале 60-х годов XX ст. с целью повышения цен и раздела рынка. На периодических встречах представителей этих фирм определялись цены для электрических компаний и их урегулирования. Что создавало им монопольное положение на определенном рынке. Нередко тайная заговор являются так называемыми джентльменский соглашениями, которые заключаются во время вечеринок, игры в гольф, по телефону или на собраниях торговых ассоциаций, когда фирмы-конкуренты достигают определенного соглашения о ценах на товары. Такие сделки очень трудно обнаружить.

Однако даже при таком тайные соглашения нередко викриваються. Поэтому существует еще бездоговорного сговор, когда олигополисты координируют свое поведение в области цен, не прибегая к прямой тайного сговора. Официальные соглашения и тайные встречи при этом не нужны. Как правило, наибольшая или самая эффективная фирма устанавливает цены, а остальные фирм более или менее автоматически наследует ее ценовое поведение. Ценовой лидер определяет, когда и как нужно изменить цену. Если его расчет правильный, то другие фирмы осуществляют сродни и отраслевая цена меняется без открытого или тайного сговора. Такой метод называют лидерством в ценах. В отраслях, где есть ценовые лидеры, тенденцией является сохранность цен на постоянном уровне в течение длительного периода. Подобная ситуация обусловлена, с одной стороны, тем, что лидер, чтобы не потерять свое лидирующее положение, не рискует часто менять цены. С другой стороны, другие фирмы также не рискуют изменять цены, ведь при повышении их одной фирмой другие фирмы не поддержат его и инициатор такого повышения потеряет часть рынка.

Одним из методов ценообразования на олигопольному рынка является принцип «издержки плюс». По этим методом фирмы, устанавливая цены, определяют свои затраты на единицу продукции за определенного планового уровня производства и прибавляют надбавку в размере определенного процента к ним. Размер накидок каждая фирма определяет эмпирически. Такой метод ценообразования используют те фирмы олигопольного рынка, которые производят широкий ассортимент товаров.

Олигопольний рынок делится между фирмами также методами неценовой конкуренции. Именно через неценовой конкуренции определяют сегмент (долю) рынка для каждой фирмы. Это обусловлено тем, что на снижение цен одной фирмой другие фирмы могут очень быстро среагировать, поэтому доля их на рынке остается практически без изменений. Ценовая конкуренция может привести также к значительным расходам. В связи с этим фирмы олигопольного рынка отдают предпочтение неценовых факторам (рекламе, патентам и т.п.), тем более, что имеют для этого достаточные финансовые и другие ресурсы.

Следует отметить, что олигопольний рынок является преобладающей частью современной рыночной структуры стран рыночной экономики. Так, в США олигопольнимы отраслями промышленности являются автомобилестроение, производство стали, алюминия, электрооборудования, компьютеров.

7.Собственность: понятие, виды

studfiles.net

10. Проблема выбора в экономике. Кривая производственных возможностей общества (кривая трансформации).

Экономика — это выбор предпочтительного из возможного. В данный момент необходимые для хозяйственной деятельности экономические ресурсы ограничены, что ставит объективную границу возможностям производства различных благ и услуг. Поскольку мы не можем иметь все, что хотим, нам приходится выбирать исходя из наших возможностей. Выбирая, мы вынуждены от чего-то отказаться, чтобы реализовать принятое решение.

Проблема выбора рассматривается по модели «Кривая производственных возможностей». Кривая производственных возможностей (КПВ) — это совокупность точек, которые показывают различные комбинации максимальных объемов производства нескольких (как правило двух) товаровилиуслуг, которые могут быть созданы в условиях при полной занятости и использовании всех имеющихся в экономике ресурсов.

В данном случае точки А, Б, В, Г, Д — точки, принадлежащие КПВ. Точка E внутри графика КПВ означает неполное или нерациональное использование имеющихся ресурсов. Точка Ж (вне кривой) недостижима при данном количестве ресурсов и имеющейся технологии. Попасть в эту точку можно, если увеличить количество используемых ресурсов или улучшить технологию производства (например, сменить ручной труд на машинный). При движении по кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах. Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные затраты.

Кривая производственных возможностей показывает:

1. Тенденции роста альтернативных издержек производства в условиях увеличения производства одного из товаров.

2. Уровень эффективности производства.

КПВ может отражать различия в производственных возможностях разных стран.

Количество других товаров, от которых необходимо отказаться, чтобы получить некоторое количество данного товара называется временными издержками. Форма кривой производственных возможностей показывает цену одного товара выраженную в альтернативном количестве другого. Цена КПВ в рыночной экономике — это отражение альтернативной стоимости альтернативных издержек или издержек упущенных возможностей. Она может выражаться в товарах, в деньгах или во времени.

11. Закон возрастающих альтернативных (вмененных) издержек.

При имеющихся запасах производственных ресурсов и конкретном уровне развития техно­логии их переработки в необхо­димые товары можно увеличить производство одного альтерна­тивного товара только за счет снижения производства другого. Упростим пример и возьмем про­изводство двух товаров А и В (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Кривая альтернативных издержек

Из рис. 11.1 видно, что при пе­реходе к выпуску большего коли­чества товара А альтернативными издержками каждого дополни­тельного количества этого товара являются дополнительно непроизведенные количества товара В. В нашем примере при дополнительном выпуске А2 — A1 альтерна­тивными издержками будет количество В2 — В1. При последователь­ном переходе ко все большему выпуску товара А мы обнаружим, что альтернативные издержки возрастают. Причина роста альтернативных издержек заключается в специфике используемых ресурсов. Дело в том, что далеко не все они взаимозаменяемы и могут быть безболезнен­но сняты с одного производства и переброшены на другое. Сначала ра­ционально действующий товаропроизводитель использует наиболее пригодные для другого вида производства ресурсы, а затем по мере его наращивания будет вынужден переходить ко все менее пригодным для этого ресурсам в условиях их ограниченности. Следовательно, специ­фические экономические ресурсы только частично, в определенной и все понижающейся степени могут быть использованы для альтерна­тивного вида производства. Следовательно, в условиях ограниченнос­ти и специфичности ресурсов альтернативные издержки будут неук­лонно возрастать по мере увеличения выпуска любого альтернативного вида товара. Это явление получило название закона возрастающих вмененных (альтернативных) издержек.

Экономический смысл этого закона заключается в том, что в ус­ловиях отсутствия эластичности, или взаимозаменяемости, ресурсов необходимо все большее и большее количество ресурсов, переключа­емых с производства одного товара на производство все большего ко­личества дополнительных единиц другого товара. При этом эти аль­тернативные издержки выражаются не в деньгах, а в виде недополу­чения товаров в натуре.

Иными словами:Закон возрастающих альтернативных издержек. — закон, отражающий взаимосвязь между возрастанием производства одного продукта за счет сокращения другого. В условиях ограниченности одного из ресурсов и сокращающейся доходности, когда общество находится на границе производственных возможностей, для того, чтобы увеличить производство одного из благ, придется сокращать производство другого во все возрастающем размере.

studfiles.net

Кривая производственных возможностей, ее определение, примеры, точки кривой

Кривая производственных возможностей (кривая трансформации) (Production possibility curve) — это совокупность точек, которые показывают различные комбинации максимальных объемов производства нескольких (как правило двух) товаров или услуг, которые могут быть созданы в условиях при полной занятости и использовании всех имеющихся в экономике ресурсов.

Примеры кривой производственных возможностей 

Кривая производственных возможностей отражает в каждой своей точке максимальный объем производства двух продуктов при разных их сочетаниях, которые позволяют полностью использовать ресурсы. Передвигаясь от одной альтернативы к другой экономика переключает свои ресурсы с одного товара на другой.

Таблица. Альтернативные возможности производства гражданской и военной продукции.

На графике представлены альтернативные варианты (точки A, B, C, D, E, F) производственных возможностей выпуска гражданской продукции (по горизонтали) и военной продукции (по вертикали).

Точка M внутри кривой производственных возможностей означает неполное использование ресурсов. Точка N вне кривой недостижима при данном количестве ресурсов и имеющейся технологии. Любая экономика находится в точке M, то есть всегда существует резерв ресурсов. При движении к кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах. Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные издержки.

Таким образом, при максимальном уровне производственных возможностей общество не в состоянии одновременно увеличить военное и гражданское производство и переместиться в точку N, поэтому кривую производственных возможностей в экономической теории часто называют границей производственных возможностей.

Кривая производственных возможностей двух стран

Наряду с производственными возможностями выпуска двух или более продуктов, кривая производственных возможностей может иллюстрировать и различия, существующие в области производственных возможностей каких-либо стран.

Как видно из графика, производственные возможности Японии по выпуску бытовых приборов и автомобилей намного больше, чем у Франции. Даже если Франция решила бы полностью сосредоточиться на производстве автомобилей, то ее потециал позволил бы ей достичь максимума в точке A1, Япония же в аналогичной ситуации достигнет максимума в точке A2.

Переход от низкой кривой на более высокую кривую производственных возможностей возможен в случае технических открытий, улучшении и создании технологий, разработки новых месторождений полезных ископаемых и других научных прорывов.

artextrade.ru

Кривая производственных возможностей, ее определение, примеры, точки кривой

Кривая производственных возможностей (кривая трансформации) (Production possibility curve) — это совокупность точек, которые показывают различные комбинации максимальных объемов производства нескольких (как правило двух) товаров или услуг, которые могут быть созданы в условиях при полной занятости и использовании всех имеющихся в экономике ресурсов.

Примеры кривой производственных возможностей 

Кривая производственных возможностей отражает в каждой своей точке максимальный объем производства двух продуктов при разных их сочетаниях, которые позволяют полностью использовать ресурсы. Передвигаясь от одной альтернативы к другой экономика переключает свои ресурсы с одного товара на другой.

Таблица. Альтернативные возможности производства гражданской и военной продукции.

На графике представлены альтернативные варианты (точки A, B, C, D, E, F) производственных возможностей выпуска гражданской продукции (по горизонтали) и военной продукции (по вертикали).

Точка M внутри кривой производственных возможностей означает неполное использование ресурсов. Точка N вне кривой недостижима при данном количестве ресурсов и имеющейся технологии. Любая экономика находится в точке M, то есть всегда существует резерв ресурсов. При движении к кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах. Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные издержки.

Таким образом, при максимальном уровне производственных возможностей общество не в состоянии одновременно увеличить военное и гражданское производство и переместиться в точку N, поэтому кривую производственных возможностей в экономической теории часто называют границей производственных возможностей.

Кривая производственных возможностей двух стран

Наряду с производственными возможностями выпуска двух или более продуктов, кривая производственных возможностей может иллюстрировать и различия, существующие в области производственных возможностей каких-либо стран.

Как видно из графика, производственные возможности Японии по выпуску бытовых приборов и автомобилей намного больше, чем у Франции. Даже если Франция решила бы полностью сосредоточиться на производстве автомобилей, то ее потециал позволил бы ей достичь максимума в точке A1, Япония же в аналогичной ситуации достигнет максимума в точке A2.

Переход от низкой кривой на более высокую кривую производственных возможностей возможен в случае технических открытий, улучшении и создании технологий, разработки новых месторождений полезных ископаемых и других научных прорывов.

www.artextrade.ru

Кривая производственных возможностей и ее анализ

Экономические возможности ограничены редкостью применяемых ресурсов. Проблема редкости порождает для любого общества три основные взаимосвязанные экономические проблемы: Что? Как? Для кого?

В ЭТ различают абсолютную и относительную ограниченность ресурсов. Под абсолютной ограниченностью понимается недостаточность производственных ресурсов для одновременного удовлетворения всех потребностей всех членов общества. Абсолютная ограниченность превращается в относительную благодаря выбору потребностей, подлежащих удовлетворению. Экономический выбор— способ распределения ограниченных ресурсов, который позволяет добиться максимума благ.

Производственные возможности – это возможности производства экономических благ при полном и эффективном использовании всех имеющихся ресурсов и данном уровне развития НТП. Так как ресурсы ограничены, а потребности людей безграничны, то общество должно сделать выбор: от чего оно вынуждено отказаться, чтобы получить желаемый результат. Возникает проблема альтернативности использования ресурсов. Количество одного товара, которым можно пожертвовать для увеличения производства другого товара, называется альтернативными издержками. Чем рациональнее выбор, тем выше эффективность использования ресурсов.

Эк.Эф-ть = Результат / Затраты

Для решения главной экономической проблемы в ЭТ используется КПВ (рис.1). КПВ – модель, показывающая максимальное количество любого товара, которое может быть произведено в некоторой экономической системе при данном объеме производства и объеме ресурсов.

В данном случае точки А, Б, В, Г, Д — точки, принадлежащие КПВ. Точка E внутри графика КПВ означает неполное или нерациональное использование имеющихся ресурсов. Точка Ж (выше кривой) недостижима при данном количестве ресурсов и имеющейся технологии. Попасть в эту точку можно, если увеличить количество используемых ресурсов или улучшить технологию производства (например, сменить ручной труд на машинный). При движении по кривой возможен только один, лучший вариант движения, который дает максимальный результат при минимальных затратах.

Рис.1. Кривая производственных

Возможностей

Кривая производственных возможностей показывает совокупность всех точек или решений, в пределах которых следует выбирать оптимальный вариант. Все остальные точки представляют собой упущенные возможности или альтернативные затраты.

Кривая производственных возможностей показывает:

1. Тенденции роста альтернативных издержек производства в условиях увеличения производства одного из товаров.

2. Уровень эффективности производства.

КПВ может отражать различия в производственных возможностях разных стран.

Количество других товаров, от которых необходимо отказаться, чтобы получить некоторое количество данного товара, называется вменёнными (экономическими) издержками. Форма кривой производственных возможностей показывает цену одного товара, выраженную в альтернативном количестве другого. Цена КПВ в рыночной экономике — это отражение альтернативной стоимости альтернативных издержек или издержек упущенных возможностей. Она может выражаться в товарах, в деньгах или во времени.

Принцип эффективного распределения ресурсов получил в ЭТ название Парето-эффективности. Парето-эффективность – такой уровень организации экономики, при котором общество извлекает максимум полезности из-за имеющихся ресурсов и технологий и невозможно увеличить чью-либо долю, не сократив другую.

Ограниченность ресурсов производства может быть преодолена при условии роста производительности труда, т. е. увеличения выпуска разнообразных потребительских благ в единицу времени из имеющихся ограниченных ресурсов.

График границ производственных возможностей иллюстрирует тот факт, что национальная экономика при абсолютном использовании ресурсов не может увеличивать производство какого-либо блага, не поступившись другим благом. Функционирование экономики на границе своих производственных возможностей (точки A, B, C, D, E) свидетельствует об ее эффективности. Выбор сочетания, соответствующего точке M, расценивается как неудачный для данного общества, поскольку он не позволяет ему эффективно использовать производственные ресурсы. Производство же на основе выбора точки N вообще неосуществимо, так как эта точка лежит за границей производственных возможностей данной экономической системы.

Производство и его элементы

Производство— есть процесс воздействия человека на вещества природы с цель приспособления их для удовлетворения тех или иных потребностей. Материальную основу процесса производства представляет процесс труда. Основными элементами процесса труда являются сам труд, предметы труда и средства труда. Труд – это целесообразное расходование человеком своей рабочей силы по преобразованию форм природы для удовлетворения присущих обществу многообразных потребностей. Рабочая сила – это совокупность физических и умственных способностей человека, используемая для изготовления продукции. Предметы труда – это то, на что направлен труд человека, что составляет материальную основу будущего продукта. Они либо даются самой природой (полезные ископаемые), либо являются продуктом предшествующего труда (сырьем).

Средства труда – вещь или комплекс вещей, которые человек помещает между собой и предметом труда, т.е. то, чем человек воздействует на предмет труда, создавая готовый продукт. Материальные средства труда подразделяются на:

— естественные – земля, камень, органические удобрения;

— технические — искусственно создаваемые человеком 9инструменты, станки, машины).

Средства производства — это совокупность предметов и средств труда, которые всегда взаимодействуют и соответствуют друг другу. Взаимодействие между рабочей силой и средствами производства отражает технология производства, т.е. способы воздействия человека на предмет труда.

Совокупность всех сил, используемых человеком в процессе производства, Марксом было определено как производительные силы. Их развитию присущи две тенденции – они становятся менее материало- и трудоемкими.

В любом обществе производство представляет собой единство двух его взаимодействующих сторон. Первая— это взаимодействие между челове­ком и природой (предметами и орудиями труда). Вторая— социально-экономические взаимоотношения в процессе производства. Вторая сторона объективно отражает общественный характер производства. Объективность этих отношений определяется разделением труда в обществе, вследствие чего продукты труда производят для продажи, для других, для общества.

Различают два уровня производства — индивидуальное и общественное. Индивидуальное производство – это деятельность в масштабах основной производственной единицы (предприятия). Общественное производство означает всю систему производственных связей между предприятиями, обрастающую производственной инфраструктурой, т.е. отраслями и предприятиями, которые сами продукт не производят, но обеспечивают ее технологическое движение (транспорт, складские помещения).

Производству присуще свойство разделения труда, под которым понимается разделение единого процесса труда на самостоятельные элементы (РТ внутри предприятия, между предприятиями). С одной стороны, разделение труда разъединяет производителей, сужая сферу их производственной деятельности. Эту разделяющую сторону разделения туда называют специализацией труда. С другой стороны, разделение единого процесса труда связывает функционально всех участников производства. Эту сторону называют кооперацией труда.

Классическая политическая экономия рассматривает процесс производ­ства не только как отдельно взятый в данный период, но и как постоянно во­зобновляющийся. Этот постоянно возобновляющийся процесс производства называется воспроизводством. Общественное воспроизводство представляет собой единство воспроизводства материальных благ, рабочей силы и производственных отношений. Любое общество, чтобы существовать, должно производить, и материальное производство является основой его жизнедеятельности, организации и развития.

В более узком смысле общественное воспроизводство есть непрерывно совершающийся кругооборот производства, распределения, обмена (обращения) и потребления общественного продукта.

infopedia.su

КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ — это… Что такое КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ?

КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

кривая, графически иллюстрирующая возможности одновременного производства двух продуктов с учетом ограниченности ресурсов, расходуемых на производство этих продуктов. Кривая строится в системе координат, каждая из которых отражает объем производства одного из продуктов. Она ограничивает область производственных возможностей, так что любая точка на кривой показывает предельно возможное по ресурсным ограничениям сочетание объемов производства двух продуктов.

Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. — 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М. 479 с.. 1999.

Экономический словарь. 2000.

• КРИВАЯ ЛОРЕНЦА
• КРИВАЯ ФИЛЛИПСА

Смотреть что такое «КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ» в других словарях:

• Кривая производственных возможностей — Кривая производственных возможностей  это кривая, которая показывает различные комбинации максимальных объёмов производства нескольких (как правило, двух) товаров или услуг, которые могут быть созданы в условия …   Википедия

• КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ — Кривая, графически иллюстрирующая возможности одновременного производства двух продуктов с учетом ограниченности ресурсов, расходуемых на производство этих продуктов. Кривая строится в системе координат, каждая из которых отражает объем… …   Словарь бизнес-терминов

• КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ — кривая, графически иллюстрирующая возможность одновременного производства двух продуктов с учетом ограниченности ресурсов, расходуемых на их производство. Кривая строится в системе координат, каждая из которых отражает объем производства одного… …   Большой экономический словарь

• кривая производственных возможностей —    кривая, графически иллюстрирующая возможности одновременного производства двух продуктов с учетом ограниченности ресурсов, расходуемых на производство этих продуктов. Кривая строится в системе координат, каждая из которых отражает объем… …   Словарь экономических терминов

• КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ — зависимость, графически иллюстрирующая возможности одновременного производства двух продуктов с учетом ограниченности ресурсов, расходуемых на производство этих продуктов. Кривая строится в системе координат, каждая из которых отражает объем… …   Энциклопедический словарь экономики и права

• Кривая производственных возможностей — варианты производственных возможностей на графике для выбора оптимального из возможных …   Краткий словарь основных лесоводственно-экономических терминов

• Кривая производственных возможностей — кривая, демонстрирующая различные комбинации двух благ, которые могут быть произведены в экономике при полном использовании данного объема ресурсов и данной технологии …   Словарь по экономической теории

• Кривая производственных возможностей — экон. совокупность точек, представляющих Парето эффективные объемы производства двух благ …   Универсальный дополнительный практический толковый словарь И. Мостицкого

• ГРАНИЦА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ — – метод иллюстрации экономической проблемы редкости. Кривая производственных возможностей (рис. 3.3) показывает максимально возможный объем производства некоторого товара при имеющихся ресурсах и заданных объемах производства других товаров.… …   Экономика от А до Я: Тематический справочник

• Множество производственных возможностей — (МПВ)  в теории производства в микроэкономике множество тех наборов товаров и услуг, которые могут быть произведены экономическим субъектом (в частности, фирмой) при заданных ограничениях на факторы производства. Кривая, ограничивающая… …   Википедия

Книги

• Микроэкономика. Учебник и практикум для академического бакалавриата, И. А. Ким, Микроэкономика может быть интересной! Отказавшись от традиционного формального подхода к ее изложению, автор раскрывает суть основных понятий и законов микроэкономики просто и с юмором.… Издатель: ЮРАЙТ, Производитель: ЮРАЙТ, Подробнее  Купить за 1471 грн (только Украина)
• Основы экономической теории. Учебник и практикум для СПО, Ким И.А., Микроэкономика может быть интересной! Отказавшись от традиционного формального подхода к ее изложению, автор раскрывает суть основных понятий и законов микроэкономики просто и с юмором.… Серия: Профессиональное образование Издатель: Юрайт, Подробнее  Купить за 1137 руб
• Микроэкономика. Учебник и практикум для академического бакалавриата, Ким И.А., Микроэкономика может быть интересной! Отказавшись от традиционного формального подхода к ее изложению, автор раскрывает суть основных понятий и законов микроэкономики просто и с юмором.… Серия: Бакалавр. Академический курс Издатель: Юрайт, Подробнее  Купить за 1137 руб

dic.academic.ru

Кривая производства

Производственные возможности общества. Кривая производственных возможностей

Ограниченность благ означает, что для любого человека и общества в целом большинство товаров и услуг ограничено, т. е. недостаточно для удовлетворения всех потребностей. Ограниченность ресурсов означает, что производственные возможности общества ограничены, т. е. общество вынуждено производить ограниченное количество благ. Наращивая производство одного блага, общество вынуждено сокращать производство другого. Выбирая один вариант производства, приходится жертвовать другими вариантами. Общество стоит перед выбором какие блага производить, а от каких следует отказаться. Эта проблема стояла перед всеми экономическими системами в прошлом, стоит сегодня и будет стоять завтра.

С помощью простейшей модели рассмотрим производственные возможности общества. Рассмотрим гипотетическую экономику, в которой производится два блага — X и Y. Допустим также, что количество ресурсов и технология производства постоянны. Предположим, что данная экономическая система эффективна, т. е. работает в условиях полной занятости ресурсов и полного объема производства.

Если абсолютно все ресурсы направлены на производство блага X, то общество получит максимальное его количество. При этом благо Y вообще производиться не будет (вариант А). Возможна другая альтернатива, когда все ресурсы общества направляются на производство товара Y. В этом случае благо Y производится в максимальном количестве, а благо X не выпускается (вариант В). Однако обществу необходимы одновременно оба товара, для чего необходимо снизить производство каждого из этих благ ниже максимального. При этом имеет место множество альтернативных вариантов производственных комбинаций ресурсов и соответствующей структуры производства (например, варианты С, D, Е). Данную ситуацию можно изобразить графически. По горизонтали отложим количество блага X, по вертикали — блага Y. В результате получим кривую производственных возможностей. Каждая точка этой кривой представляет определенную комбинацию благ двух видов. Например, точка С представляет комбинацию Хс шт. товара X и Yc шт. товара Y.

Кривая производственных возможностей показывает’ максимально возможный объем одновременного производства двух благ при заданных ресурсах и технологиях, которыми располагает данное общество.

Экономика эффективна, когда все точки возможных комбинаций производства двух благ находятся на границе производственных возможностей (т. А, В, С, D, Е). Экономическая система неэффективна, когда различные комбинации производства двух благ находятся левее границы производственных возможностей (точка F). В этом случае ресурсы общества заняты не полностью (безработица, неполная загрузка производственных мощностей, отсталая технология). Точка F представляет такую комбинацию благ X и Y, которая существенно меньше, чем могло бы производиться при полном и эффективном использовании имеющихся ресурсов. Общество должно сделать все необходимое, чтобы переместиться на границу производственных возможностей. Для общества, обладающего определенным запасом ресурсов и знаний и обеспечивающего полный объем производства, точка G на сегодняшний день недостижима. Любая экономическая система в каждый момент времени обладает ограниченными возможностями и не может переместиться за пределы границы производственных возможностей.

Проблема выбора является основной проблемой, связанной с ограниченностью ресурсов. Однако ограниченность ресурсов приводит к возникновению еще нескольких. Такими проблемами являются конкуренция, рационирование и дискриминация. Поскольку существует множество вариантов использования ресурсов, а количество этих ресурсов ограниченно, то неизбежно возникает конкуренция.

• Конкуренция — экономическое соперничество товаропроизводителей, направленное на получение в свое распоряжение наибольшего количества ресурсов.

• Рационирование — система распределения, устанавливающая максимальное количество блага или ресурса, которое может приобрести экономическая единица. Рационирование — это способ распределения какого-либо блага или ресурса, предложение которого ниже спроса. В условиях свободного рынка такая ситуация не возникает. В свое время рационирование широко практиковалось в нашей стране, испытавшей с 1917 г. разнообразные виды дефицита и следовавшего за ним рационирования. Как исключительная мера рационирование имеет место и в экономике развитых стран. Например, в США во время Второй мировой войны оно было достаточно эффективно.

• Дискриминация — ограничение или лишение доступа к каким-либо благам определенных категорий граждан по признаку расовой, национальной принадлежности, социального происхождения, политических взглядов и др. Примером может являться дискриминация на рынке труда.

Если имеется два варианта инвестиций, А и Б, причём варианты взаимоисключающие, то при оценке доходности варианта А необходимо учитывать неполученный доход от непринятия варианта Б, как стоимость упущенной возможности, и наоборот.

Простой пример дает известный анекдот о портном, который мечтал стать королём и при этом «был бы ещё немножечко богаче, потому, что ещё бы немножко шил». Однако поскольку быть королём и портным одновременно невозможно, то доходы от портновского бизнеса будут потеряны. Это и следует считать упущенной выгодой при восшествии на трон. Если же остаться портным, то будут потеряны доходы от королевской должности, что и будет альтернативными издержками данного выбора.

studfiles.net

Элементы комбинаторики

Основные правила комбинаторики.

Комбинаторика— это раздел математики, изучающий способы расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов. Правило умножения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а для каждого из них некоторый другой выбор B можно осуществить n способами, то выбор A и B ( в указанном порядке) можно осуществить m×n способами. Пример 1.На гору ведут 6 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с горы, если подъем и спуск должен быть по разным дорогам? Решение. Дорогу на гору можно выбрать 6-ю способами, так как подъем и спуск должны быть по разным дорогам, то выбрать дорогу для спуска можно 5-ю способами. Тогда по правилу умножения число способов выбора дороги для подъема и спуска равно 6×5=30. Правило сложения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а выбор B можно осуществить n способами, то выбор A или B можно осуществить m+n способами. Пример 2.В ящике имеется 6 красных карандашей, 5 синих и 3 простых карандаша. Сколькими способами можно выбрать цветной карандаш? Решение. Цветной карандаш — это красный или синий, следовательно, по правилу сложения число способов выбора цветного карандаша равно 6+5=11. Замечание. Данные правила можно обобщить на большее число выборов. Вопрос. Сколько основных правил комбинаторики существует?

2

Перестановки.

Определение 1.Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число от 1 до n, где n — это число элементов данного множества, причем разным элементам поставлены в соответствие разные числа.

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком. Определение 2. Различные упорядоченные множества, составленные из элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов, называются его перестановками. Пример 3.Рассмотрим множество M={a,b,c}. Это множество из трех элементов. Составим его различные перестановки: (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Получили 6 перестановок. P_n — число всех перестановок множества из n элементов.

P_n=n! (1), где

n!=1·2·3·…·n ( читается «н факториал»). Замечание. 0!=1; (n+1)!=n!·(n+1) . Пример 4.Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, при условии, что в числе нет одинаковых цифр? Решение. Числа, кратные пяти( делящиеся на пять), оканчиваются либо на 0, либо на 5. Если последняя цифра числа 0, то остальные цифры можно располагать в любом порядке, получим перестановки из пяти элементов, их P₅=5!=120. Если на конце 5, то остальные можно расположить P₅=120 способами, но среди них не подходят те, которые начинаются на 0, так как это будут не шестизначные числа. а пятизначные, данных чисел P₄=4!=24.Тогда требуемых чисел будет 120+120-24=216.

Вопрос.Сколько существует перестановок из шести элементов?

Ваш ответ : 720

верно

Перестановки с повторениями.

Если взять цифры 1, 2, 3, 4, то из них можно составить 24 перестановки. Но если взять четыре цифры 1, 1, 2, 2, то можно получить только следующие различные перестановки: (1,1,2,2),(1,2,1,2),(1,2,2,1),((2,2,1,1),(2,1,2,1),(2,1,1,2), то есть шесть перестановок, их в 4 раза меньше, чем перестановок из четырех различных чисел, так как перестановки, в которых меняются местами одинаковые числа — это не новые перестановки, их 2!·2!=4.  Рассмотрим задачу в общем виде:пусть имеется множество из элементов, в котором элементывстречаютсяраз, элементывстречаютсяраз ,…, элементывстречаютсяраз, причем.

Определение 3.Перестановки с повторениями — это перестановки из элементов данного множества, в которых элементы повторяются. — число всех перестановок с повторениями. Число перестановок, не меняющих данную перестановку с повторениями равно, ачисел можно переставлятьспособами, поэтому получаем следующую формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:

 (2)

Пример 4.Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной? Решение. Различныеспособы расселения студентов по комнатам являются перестановками с повторениями, так как внутри, например, трехместной комнаты выбранные студенты могут занимать спальные места по-разному, но эти варианты не будут являться новыми перестановками, поэтому получаем:  То есть всего 280 способов расселения студентов.Вопрос. Вычислить 

Сочетания.

Пусть некоторое множество содержит n элементов.

Определение 4. Всякое m- элементное подмножество n- элементного множества называется сочетанием из n элементов по m. — число всех сочетаний.

(3)

Пример 5. Для соревнований из 30 спортсменов надо выбрать трех человек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Команда из 3 спортсменов — это подмножество из трех элементов, то есть сочетание из 30 по 3, поэтому количество способов выбора таких команд вычисляется по формуле (3): .

Свойства сочетаний.

1. 2.. Из данных свойств следует, что, тогда, далее,,и так далее. Можно расположить эти числа в виде таблицы:

……………………………………………..

или

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………………..

Эта таблица в виде треугольника называется треугольником Паскаля .

Определение 5. Выражение a+b называется биномом.

 (4)

Формула (4) называется биномиальной формулой Ньютона, а коэффициенты называются биномиальными коэффициентами. Из данной формулы вытекает следующее свойство числа сочетаний

(5)

Вопрос. .

Сочетания с повторениями

Пусть имеется множество, содержащее n видов элементов, поэтому есть взять какое-то подмножество  этого множества, то в нем могут быть одинаковые элементы. Определение 6.Сочетание с повторениями — это m- элементное подмножество множества, содержащего n видов элементов, в котором элементы повторяются. — число всех сочетаний с повторениями из n по m. Состав m- элементного подмножества имеет вид, где. Заменяя каждое из чиселсоответствующим количеством единиц и разделяя единицы нулями, получаем набор, состоящий из m единиц и n-1 нулей. Каждому составу отвечает только одна запись из нулей и единиц, а каждая запись задает только один состав, следовательно, число различных составов равно числу перестановок с повторениями из n-1 нулей и m единиц. Получаем формулу для вычисления всех сочетаний с повторениями.

 (5)

Пример 6.В кондитерском магазине продаются пирожные четырех видов: наполеоны, эклеры, песочные и бисквитные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Любая покупка — это подмножество, в котором могут быть одинаковые элементы, поэтому  это сочетание с повторениями. Число всех возможных покупок находим по формуле (5): .Вопрос. В формуле (5) m может быть больше n.

Размещения

Определение 7. Упорядоченное m — элементное подмножество n- элементного множества называется размещением. — число всех размещений из n элементов по m. Число всех размещений из n по m больше числа всех  сочетаний из n по m, так как из каждого подмножества из m элементов с помощью перестановок можно получить m! упорядоченных подмножеств, получаем формулу для числа размещений

 (6)

Пример 7. В группе 25 человек. Нужно выбрать актив группы: старосту, заместителя старосты и профорга. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Актив группы — это упорядоченное подмножество из трех элементов, так как надо выбрать не только трех человек, но и распределить между ними должности, значит актив группы — это размещение, число всех  размещений вычисляем по формуле (6): .Вопрос. Во сколько раз число сочетаний из 20 по 4 меньше числа размещений из 20 по 4?

Размещения с повторениями

Пусть дано множество из n элементов, в котором есть одинаковые элементы, тогда его подмножества тоже могут содержать одинаковые элементы. Определение 8. Упорядоченные m- элементные подмножества n- элементного множества, в которых элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. — число всех размещений из n по m. В подмножестве из m элементов первый элемент можно  выбрать n способами( то есть любой элемент множества) , так как элементы могут повторяться, то второй элемент тоже можно выбрать n способами, аналогично остальные элементы подмножества можно выбрать n способами, если воспользоваться правилом умножения, получим формулу для вычисления числа размещений с повторениями:

 (7)

Пример 8. В лифт десятиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Сколькими способами они могут это сделать? Решение. Так как каждый человек может выйти на любом этаже, начиная со второго, то этажей для выхода 9. Надо выбрать этажи для возможности выхода каждого человека: для первого человека — можно выбрать любой из девяти этажей, аналогично для остальных пассажиров, тогда по формуле (7): способов.Вопрос. Вычислить .

studfiles.net

Элементы комбинаторики

Комбинаторика с (лат. соединение, сочетание) — раздел математики изучающий приёмы вычислений числа различных комбинаций.

Какие задачи называют комбинаторными? Те, где спрашивается каким числом можно осуществить требуемое.

1. Принципы в подсчёте числа комбинации или правила суммы и произведения.

Большинство задач решается с помощью этих двух принципов.

Принцип суммы. «Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (т +n) способами».

Применяется в том случае, когда изучаемые комбинации удаётся разбить на несколько классов, причём каждая комбинация входит в один, и только в один класс.

Пример 1……

Принцип произведения. «Если объект А можно выбрать т способами, и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары «А и В» в указанном порядке можно осуществить (тn) способами».

Пример 2……

2. Комбинации по типу перестановок, размещений и сочетаний. Такие комбинации встречаются чаще обычного. Рассмотрим их.

2.1. Перестановки. Пусть имеется множество из n элементов. Установленный в некотором множестве порядок называют перестановкой его элементов.

Примеры перестановок: распределение n различных должностей среди n человек или расположение n различных предметов в одном ряду.

Зададимся вопросом: «Сколько различных перестановок можно образовать в множестве из n элементов!» Число перестановок обозначается Р_n (читается «Р из n«).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,…,n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы множества в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно найти (n-1) вариантов заполнения второй ячейки. Таким образом, существует n(n-1) вариантов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти (n-2) варианта заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно n(n—1)(n-2)·…· 3·2 ·1. Отсюда

Р_n = n(n—1)(n-2)·…· 3·2 ·1.

Число n (n-2)·…· 3·2 ·1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется «n—факториал» и обозначается n! Отсюда P_n=n!

По определению считается: 1!=1. Но чему равен 0!=?. Для любого n>1 справедливо n!=n(n-1)! Положим n=1, тогда 1!=1·0!, следовательно, 0!=1.

Пример 3. Сколько существует вариантов замещения пяти различных вакантных должностей между пятью кандидатами?

N=5!=5·4·3·2·1=120.

2.2. Размещения. Размещениями из n элементов по т элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из т элементов множества, состоящего из n элементов. Число размещений из n элементов по т элементов обозначается (читается «А из n по т «).

Зададимся вопросом: «Сколько упорядоченных подмножеств по т элементов в каждом можно получить из заданного множества в n элементов?»

Одно размещение из n элементов по т элементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений. Сколькими способами можно выбрать из пятнадцати человек пять кандидатов и назначить их на пять различных должностей? Сколькими способами можно из двадцати книг отобрать двенадцать и расставить их в ряд на полке?

В задачах о размещениях полагается т < п. В случае если т=n, то легко получить = Р_n =n!

Для вычисления используем тот же метод, что использовался для подсчетаР_n только здесь выберем лишь т ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить (n-1) способами. Таким образом, существует n(n— 1) вариантов заполнения первых двух ячеек. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней т -й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых (m – 1) ячейках можно заполнить n – (m – 1) = n – m +1 способами. Таким образом, все т ячеек заполняются числом способов, равным

n(n – 1)(n – 2)… (n – m + 2)(n – m + 1) =

Отсюда получаем:

Пример 4. Сколько существует различных вариантов выбора четырёх кандидатур из девяти специалистов для поездки в четыре страны?

2.3. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по т элементов называются подмножества, состоящие из т элементов множества, состоящего из n элементов.

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов, но не порядком их расположения, как у размещений.

Число сочетаний из n элементов по т элементов обозначается (читается «С из n по т «).

Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний. Сколько существует вариантов выбора шести человек из пятнадцати кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях? Сколькими способами можно из двадцати книг отобрать двенадцать книг?

Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество из n элементов. Образуем подмножество, содержащее т элементов, т.е. сочетание. Известно число упорядоченных подмножеств из т элементов всего множества из n элементов, т.е. размещений из n по т : . Количество неупорядоченных подмножеств будет вm! раз меньше. Т.е. во столько раз сколькими способами можно установить порядок во множестве из т элементов. Следовательно, .

Пример 5. Шесть человек из пятнадцати можно выбрать числом способов, равным

Несложно понять, что осуществить выбор подмножества из т элементов множества, насчитывающего n элементов, можно, выбрав (n — т) элементов, которые не войдут в интересующее нас подмножество. Отсюда следует свойство числа сочетаний

Эту формулу можно легко доказать, используя формулу для числа сочетаний.

studfiles.net

Комбинаторика

Выполнил ученик 10 класса «В»

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович

г. Набережные Челны

2002 г.
Содержание

Из истории комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге «Теория и практика арифметики» (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о числовых порядках» (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Ars conjectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Примеры задач

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: X=17, Y=13

По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?

Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов.

Правило произведения

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Примеры задач

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя — как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX , где Y и Z -любые цифры, а X — не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

Пересекающиеся множества

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой

20 человекзнаютанглийскийи 10 — немецкий, изних 5 знаютианглийский, инемецкий. СколькоЧеловеквсего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:

Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом — тех, кто знает французский, и третьим кругом — тех, кто знают немецкий.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Размещения без повторений.

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

n! — n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*…*n 0!=1

Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет

Задача

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

Возможно 360 вариантов.

Перестановки без повторений

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P_n.

P_n =n!

Действительно при n=m:

Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P₆ =6!=720

2) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P₅ =5!=120.

P₆ -P₅ =720-120=600

Квартет

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

mirznanii.com

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Нормированная функция Лапласа

studfiles.net

Таблица значений функции Лапласа —

Таблица значений функции Лапласа

einsteins.ru

Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений функции Лапласа

www.matem96.ru

Функция Лапласа — Энциклопедия по машиностроению XXL

Коэффициент риска К выбирают в зависимости от принятого риска Р. При нормальном законе распределения элементарных погрешностей и равновероятном их выходе за обе границы поля допуска значение Р связано со значением функции Лапласа Ф К) формулой  [c.71]

Нормированная функция Лапласа 42  [c.356]

Из соответствующих математических таблиц по значениям аргументов — 5,2 и 2а = о находим функции Лапласа — Гаусса (интегралы вероятности) Фх г = 1 и Ф-Аи) = 0.  [c.634]

При заданном ресурсе Т = подсчитывается вероятность безотказной работы Р (Т), которая и служит характеристикой надежности изделия. В этом случае все параметры, определяющие аргумент функции Лапласа, известны, и, используя таблицы этой функции [183, 221 ], подсчитывается Р (Г).  [c.137]

Для изделий с высокими требованиями к надежности обычно задается Р (Т) и необходимо подсчитать ресурс Тр, обеспечивающий данный уровень безотказности. В этом случае в формуле (31) искомым является значение Т, которое входит в аргумент функции Лапласа. Аргумент функции Лапласа будет являться квантилем Хр нормального распределения, т. е. тем его значением, которое соответствует данной вероятности Р (Т). Для квантилей нормального распределения имеются таблицы, например [221].  [c.137]

При использовании таблиц квантилей следует обращать внимание, для какой функции Лапласа (нормированной или нет) они приведены. Так, таблицы квантилей [221 ] приведены для значений вероятностей Р > 0,5, т. е. при Хр = О Я=0,5. Поэтому член 0,5 в формуле (31) уже учтен равенством (34).  [c.138]

Фц — закон нормального распределения Ф —функция Лапласа Л1 — нормирующий множитель.  [c.297]

В качестве количественного выражения нормального распределения воспользуемся функцией Лапласа Ф (2) (интеграл вероятностей)  [c.217]

При этом с помощью таблицы функции Лапласа легко найти для данного случая величину д, а именно  [c.66]

Фо (2) Фо (2) — функция Лапласа фпроизводная функции Ф (2) — коэффициент при показателе  [c.77]

Второе слагаемое выражается через функцию Лапласа  [c.182]

Используя выражение для функции Лапласа, уравнение (4.81) можно переписать в виде  [c.182]

С использованием самой функции Лапласа можно получить другую представляющую интерес величину — вероятность того, что за время зарегистрируется число импульсов N, не превосходящее заданного значения N  [c.136]

Необходимый при испытании результат — вероятность безотказной работы изделия фт(/) можно получить как на основании параметров кривой фт(0, так и на основании параметров кривой (pd i) и ее смещения во времени по данному закону Xn t) = Xij + bt. При некоторых условиях вероятность безотказной работы в интервале (О, /) будет определяться вероятностью непревышения квантилем распределения выходного параметра допустимых границ в момент t. Если оба сопряженных распределения подчиняются нормальному закону, то, пользуясь функцией Лапласа, получим две эквивалентные формулы для вероятности безотказной работы  [c.78]

По таблицам интеграла вероятностей находим значение аргумента и функции Лапласа [Ф(гг) = 0,465] и = 1,82,  [c.72]

Значения pi теоретических вероятностей попадания отклонений в интервалы (xi xi+i) найдены по формуле 2.2.4 [3] с использованием функции Лапласа  [c.194]

Таблица XIV. ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА

В некоторых руководствах функции Лапласа Ф(г) даются  [c.294]

Если ввести переменную — — то данный интеграл сводится к функции Лапласа и, учитывая, что вероятность безотказной работы Р (Т) I — F (Т), получдм  [c.132]

mash-xxl.info

Индивидуальные карточки по математике для 3 класса «РЕШИ УРАВНЕНИЯ»

МБОУ «Верхнемедведицкая средняя общеобразовательная школа»

Курского района Курской области

КАРТОЧКИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ 3 КЛАССА ПО ТЕМЕ:

Учитель начальных классов первой категории

Алферова Галина Николаевна

_________________________________________________________________________________________

Карточка № 1

Реши уравнения:

k + 34 = 75

17 + х = 17

59 + m = 65

25 + t = 56

16 + c = 98

34 + у = 60

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 2

Реши уравнения:

48 + b = 48

14 + у = 14

7 + x = 65

26 + d = 46

k + 76 = 90

c + 14 = 57

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 3

Реши уравнения:

37 + b = 56

х+ 56 = 78

17 + х = 28

45 + d = 90

c + 45 = 45

х + 29 = 40

_________________________________________________________________________________________

Карточка № 4

Реши уравнения:

p – 12 = 38

х – 29 = 65

х – 25 = 26

у – 18 = 19

k – 7 = 14

х – 13 = 28

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Карточка № 5

Реши уравнения:

87 – х = 45

65 – k = 34

72 – m = 26

78 – х = 35

76 – х = 34

87 – f = 38

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 6

Реши уравнения:

79 – х = 79

72 – b = 32

78 – х = 45

72 – p = 32

27 – c = 14

85 – х = 35

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 7

Реши уравнения:

4 x d = 36

9 х а = 54

с х 5 = 45

p x 7 = 14

8 х b = 64

k х 6 = 48

_____________________________________________________________________________________

Карточка № 8

Реши уравнения:

d х 9 = 81

6 х c = 36

6 x t = 24

p х 6 = 36

7 х m = 35

n х 9 = 45

_____________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Карточка № 9

Реши уравнения:

k : 8 = 5

х : 9 = 3

х : 4 = 7

х : 5 = 4

с : 6 = 2

у : 3 = 2

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 10

Реши уравнения:

х : 6 = 6

a : 8 = 8

х : 3 = 4

х : 5 = 8

х : 4 = 3

b : 3 = 3

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 11

Реши уравнения:

72 : х = 8

63 : d = 7

28 : х = 4

48 : х = 6

56 : х = 8

48 : p = 8

_____________________________________________________________________________________

Карточка № 12

Реши уравнения:

54 : х = 6

81 : х = 9

24 : х = 6

42 : m = 6

72 : х = 9

36 : х = 4

_____________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Карточка № 13

Реши уравнения:

х + 18 = 40

d – 25 = 36

b : 23 = 4

90 : c = 5

а х 5 =40

х – 28 = 38

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 14

Реши уравнения:

28+х=53

х – 14 = 24

х : 7 = 8

b х 7 = 42

5 x k = 25

60 – у=24

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 15

Реши уравнения:

4 х d = 16

у – 24=36

с х 7 = 49

х : 5 = 6

х : 7 = 6

b + 28 = 53

_____________________________________________________________________________________

Карточка № 16

Реши уравнения:

65 – d = 65

4 х c = 24

х – 14 = 45

х : 8 = 8

48: b= 8

35+х=70

_____________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Карточка № 17

Реши уравнения:

m – 34 = 34

a x 9 = 18

х +56 = 90

p : 6 = 5

90 – х = 35

56: с = 7

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 18

Реши уравнения:

х — 27 = 47

58 – х =28

7 х b = 28

х : 5 = 4

45 : х = 5

с + 17 = 55

____________________________________________________________________________________________

Карточка № 19

Реши уравнения:

45 – х = 38

b х 8 = 56

х : 8 = 9

64 : х = 8

57 + х = 78

у -14 = 86

_____________________________________________________________________________________

Карточка № 20

Реши уравнения:

54 + х = 86

65 – х = 43

54 : k = 9

m– 44 = 46

х : 4 = 7

4 х с =32

_____________________________________________________________________________________

infourok.ru

3 класс индивидуальные карточки — задания по математике

3 класс первое полугодие

Индивидуальные задания по математике

(примеры)

1. Табличное умножение и деление

2. Примеры на сложение и вычитание

3. Примеры на порядок действий

4. Уравнения

Подборка примеров к изучаемым в 3 классе темам. Примеры расположены таким образом, что можно распечатать страницу примеров, и получится 12 вариантов индивидуальных заданий.

Эти же задания можно использовать в качестве тренажёров по примерам изучаемых типов.

1. Табличное умножение и деление

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Вариант4

6 х 7 =

8 х 4 =

9 х 8 =

81 : 9 =

24 : 6=

7 х 7 =

7 х 9 =

5 х 9 =

35 : 7 =

9 х 6 =

8 х 8 =

6 х 3 =

9 х 6 =

56 : 8 =

5 х 9 =

5 х 7 =

5 х 8 =

24 : 6 =

63 : 7 =

32 : 4 =

49 : 7 =

28 : 4 =

72 : 8 =

56 : 7 =

12 : 4 =

63 : 9 =

24 : 3 =

42 : 6 =

7 х 8 =

7 х 3 =

32 : 4 =

54 : 9 =

14 : 2 =

25 : 5

6 х 6 =

7 х 8 =

Вариант5

Вариант6

Вариант7

Вариант8

18 : 6 =

63 : 7 =

15 : 5 =

56 : 7 =

7 х 9 =

9 х 7 =

8 х 7 =

8 х 9 =

24 : 4 =

8 х 8 =

9 х 6 =

42 : 7 =

9 х 4 =

5 х 9 =

25 : 5 =

18 : 2=

28 : 4 =

42 : 6 =

4 х 8 =

8 х 8 =

6 х 8 =

27 : 3 =

9 х 4 =

21 : 3 =

54 : 6 =

4 х 8 =

6 х 8 =

5 х 4 =

21 : 7 =

28 : 4 =

24 : 3 =

9 : 3 =

63 : 7 =

36 : 6 =

42 : 6 =

8 х 3 =

5 Х 6 =

9 х 5 =

36 : 6=

54 : 6=

Вариант9

Вариант10

Вариант11

Вариант12

30 : 6 =

3 х 6 =

15 : 5 =

45 : 9 =

9 Х 8 =

7 х 4 =

8 х 8 =

4 х 7 =

16 : 8 =

6 х 8 =

9 : 3 =

18 : 6 =

8 х 3 =

24 : 6 =

5 х 7 =

5 х 6 =

5 х 9 =

35 : 5 =

4 х 9 =

9 х 4 =

7 х 6 =

7 х 9 =

28 : 4 =

8 х 6 =

20 : 5 =

40 : 8 =

3 х 9 =

32 : 4 =

9 : 3 =

9 х 5 =

18 : 3 =

21 : 3 =

3 х 9 =

6 х 8 =

36 : 9 =

64. 8 =

2.Примеры на сложение и вычитание

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Вариант4

24 + 9 =

56 – 8 =

96 – 8 =

6 +35 =

82 – 7 =

24 + 9 =

54 + 18 =

14 + 47 =

8 + 35 =

43 + 6 =

41 – 5 =

35 – 7 =

60 – 29 =

90 – 13 =

75 + 12 =

55 + 18 =

71 – 34 =

58 – 16 =

19 + 17 =

42 – 18 =

87 – 56 =

7 + 35 =

54 – 17 =

96 – 14 =

46 – 8 =

91 – 32 =

72 – 34 =

56 – 18 =

37 + 13=

87 – 43 =

14 + 19 =

14 + 65=

58 – 12=

43 + 47 =

45 + 5 =

54 + 14 =

Вариант5

Вариант6

Вариант7

Вариант8

95 – 78 =

53 – 31 =

56 + 27 =

8 + 47 =

56 + 37 =

63 – 33 =

73 – 16 =

78 – 19 =

32 + 45 =

14 + 56 =

67 – 34 =

43 + 47 =

49 – 36 =

38 + 29 =

86 – 45 =

90 – 35 =

95 – 7 =

82 – 7 =

54 +24 =

86 – 8 =

14 + 43 =

75 + 18 =

98 – 24 =

52 – 45 =

75 + 24 =

56 + 9 =

54 – 27 =

65 + 23 =

38 + 5 =

19 + 19 =

57 + 13 =

9 + 68 =

74 – 32 =

54 + 16 =

45 + 8 =

52 – 37 =

64 – 34 =

90 – 54 =

9 + 67 =

98 – 46 =

Вариант9

Вариант10

Вариант11

Вариант12

65 + 28 =

38 – 26 =

49 + 33 =

17 + 34 =

78 – 19 =

18 + 58 =

44 – 28 =

80 – 37 =

67 – 45 =

60 – 37 =

50 – 37 =

29 + 45 =

8 + 67 =

75 – 18 =

84 – 58 =

53 – 9 =

95 – 24 =

67 + 33 =

38 + 29 =

45 – 32 =

70 – 48 =

37 + 37 =

9 + 76 =

18 + 35 =

24 + 57 =

38 – 29 =

14 + 17 =

73 – 34 =

64 + 33 =

79 – 13 =

98 – 25 =

30 – 27 =

57 – 28 =

53 – 31 =

58 – 14 =

39 + 47 =

3.Примеры на порядок действий

Вариант1

Вариант2

Вариант3

Вариант4

91 – (4 + 48)=

24 : (11 – 7)=

18 : 2 + 7 х 3=

54 – 24 : 6 + 40=

55 + 8 – 29=

(27 + 27) : 9=

6 х 5 – 24 : 3=

28 : (24 – 20)х2=

41 – 5 + 36=

6 х 5 – 12=

21 : 3 – 35 : 5=

90 – 21 + 54 : 6=

50 – 27 : 3=

8 х 4 – 28=

6 х7 + 6 х 3=

8 х 3 + 24 =

34 + 9 х 4=

60 – (24 +3) : 3=

3 х 9 + (21 – 4)=

56 – 7 х 5 =

40 – 54 : 6=

21 : (15 – 8)=

18 : (11 – 5)х2=

45 : 5 + 36 : 6=

36 :(11 – 2) х 7=

70 – (56 -7) : 7=

70 + 3 х (14 – 6)=

4 х 6 + 7 – 12=

42 :(12 – 6) х 4=

47 + 4х3 – 18=

60 – 4 х (15 – 5)=

48 : 6 х 9 =

45 : (18 – 13)=

51 – 32 + 6 х3=

(15 + 12 ) : 3 х2=

(45 – 5): 8 + 7=

Вариант5

Вариант6

Вариант7

Вариант8

(36 – 28) х 5-9=

64 – 16 : 8 + 8=

47 + 4 х3 – 18=

42 : 7 : 3 х9 =

79 – 16 + 28 : 7=

6 х (27 – 20)-5=

(84 – 7 ) + 19 =

35 : 5 х 7 – 28 =

8 х 8 – 56 =

(64 – 16): 8 -8=

(72 – 36): 6 х 7=

56 : 7 : 4 + 57 =

18 + 12 : 6 + 35=

60 – (24 + 3) : 3=

5 х (29 – 26) + 28=

90 – 9 + 24 : 4 =

70 – 49 : 7 + 24 =

90 – (28 + 4) : 4 =

17 + 46 – 18 : 3=

72 : 8 : 3 х 9 =

6 х ( 64 – 60) : 8=

7 + 21 : (15-8)=

(11 + 21): 4 : 2=

64 : 8 : 4 х 7 =

(27 + 18) : 9 + 7=

50 – 24 : (11 – 5)=

81 – 72 : 8 + 16 =

28 : 4 х 8 – 37 =

7 х ( 100 – 91) – 16=

12 + 38 – 33 =

100 – 29 + 17 – 9 =

14 : 2 х 9 -9 =

65 – ( 49 – 17)=

14 + 35 : 7 – 8=

(65 – 11): 9 х 4=

54 : 6 : 3 х 8 =

8 х (14 – 7) – 28=

3 х 4 : 6 х7 =

70 – 36 : 9 + 35 =

12 + 24 + 36 : 6 =

Вариант9

Вариант10

Вариант11

Вариант12

56 : 8 + 3 х 6 =

45 : 5 + 7 х 6 =

32 : 4 + 7 х 8 =

81 : 9 : 3 х4=

54 : 6 + 45 : 5 =

81 : 9 + 45 : 5 =

56 : 8 – 28 : 4=

56 : 8 х4 – 6=

9 х 6 – 3 х 9 =

64 : 8 + 32 : 4 =

72 – 28 : 7 – 6 =

90 – ( 47 – 39) х 6=

7 Х 6 – 4 х 7 =

7 х 6 – 3 х 9 =

5 х 35: 5 – 27 =

6 х 7 + 5 х 9 =

9 х 7 – 36 : 6 =

8 х 9 – 6 х 5 =

64 : 8 + 54 : 6 =

34 + 56 : 8 + 9=

54 : 6 + 64 : 8 =

9 х 7 – 6 х 6 =

34 + 35 – (12 + 38) =

45 – 23 + 35:5=

5 х 9 – 3 х 8 =

67 – 8 х 4 =

12 : 4 + 16 : 4=

42 : 6 х 7 = 8=

32 : 4 + 72 : 9 =

7 х 9 – 6 х 3 =

36 : 9 + 42 : 6 =

45 : 5 : 3 х 8=

8 х 6 – 7 х 2 =

28 : 4 + 72 : 8 =

25 : 5 х 6 + 36=

46 – 4 + 42 : 6=

9 х 8 -6 х 5 =

56 : 7 +54 : 9 =

63 : 9 х 7 + 15 =

17 + 18 + 46=

4.Уравнения

На нахождение неизвестного слагаемого

X + 16 = 37

37 + х = 56

х+ 56 = 78

14 + х = 28

45 + x = 90

Х + 45 = 45

48 + х = 48

14 + х = 14

7 + x = 65

26 + х = 46

х + 76 = 90

Х + 14 = 57

K + 34 = 75

17 + х = 17

59 + х = 65

25 + х = 56

16 + m = 98

34 + х = 36

х + 29 = 40

Х + 18 = 40

На нахождение неизвестного уменьшаемого

d – 25 = 36

х – 28 = 38

х – 57 = 12

х – 56 = 14

m – 34 = 34

х – 36 = 43

х – 17 = 46

х – 23 = 24

p – 12 = 38

х — 29 = 65

х – 25 = 26

х — 18 = 19

k – 7 = 14

х – 13 = 28

х – 19 = 19

х — 28 = 28

n – 56 = 12

х — 14 = 45

х – 14 = 24

х — 27 = 47

На нахождение неизвестного вычитаемого

58 – х =28

90 – х = 35

87 – х = 45

65 – k = 34

72 – х = 26

78 – х = 35

76 – х = 34

87 – f = 38

57 – х = 26

54 – х = 36

65 – х = 43

90 – m = 46

79 – х = 79

72 – х = 32

78 – х = 45

72 – p = 32

27 – х = 14

85 – х = 35

45 – х = 38

65 – d = 65

На нахождение неизвестного множителя

4 х Х = 24

7 х Х = 28

4 х Х = 16

4 x d = 36

Х х 5 = 35

9 х Х = 54

Х х 5 = 45

p x 7 = 14

8 х Х = 64

Х х 6 = 48

Х х 7 = 42

5 x k = 25

Х х 7 = 49

Х х 9 = 81

6 х Х = 36

6 x t = 24

Х х 6 = 36

7 х Х = 35

Х х 9 = 45

m x 9 = 18

На нахождение неизвестного делимого

Х : 7 = 8

Х : 5 = 6

Х : 7 = 6

k : 8 = 5

х : 9 = 3

Х : 4 = 7

Х : 5 = 4

m : 4 = 6

Х : 6 = 2

Х : 3 = 2

Х : 8 = 8

p : 6 = 5

Х : 5 = 4

Х : 8 = 7

Х : 6 = 6

a : 8 = 8

Х : 3 = 4

Х : 5 = 8

Х : 4 = 3

b : 3 = 3

На нахождение неизвестного делителя

42 : х = 7

64 : х = 8

45 : х = 5

54 : k= 9

54 : х = 6

81 : х = 9

24 : х = 6

42 : m = 6

72 : х = 8

36 : х = 4

72 : х = 8

63 : d = 7

28 : х = 4

48 : х = 6

56 : х = 8

48 : p = 8

56 : х = 7

32 : х = 8

24 : х = 3

12. : n = 2

infourok.ru

Решение уравнений. Видеоурок. Математика 3 Класс

Определим, что такое «уравнение».

Правильный ответ: уравнение – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число. Неизвестное число обозначают буквами латинского алфавита.

Найдем среди данных записей уравнения.

48 — 25 = 23

30 + х > 40

36 — х = 12

х + 5

Рассуждаем так:

первая запись – это равенство, но в нем отсутствуют буквы латинского алфавита, значит, она не является уравнением;

вторая запись – это неравенство, поэтому не соответствует определению уравнения;

третья запись – это математическое равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой латинского алфавита, значит, является уравнением;

четвертая запись не является равенством, значит, это не уравнение.

Что значит «решить уравнение»?

Правильный ответ: решить уравнение – значит найти такое числовое значение неизвестного, при котором равенство будет верным.

В математике говорят: решить уравнение – это значит найти корень уравнения.

Выполним задание.

Из чисел 2, 5, 8, 11 выберем для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство.

18 — х =10

2 + х = 7

х — 9 = 2

х + 8 = 10

Рассуждаем так.

В первое уравнение 18-х =10 подставим первое число 2. Получаем: 18-2=10. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 18-5=10. Это равенство также нельзя назвать верным. Значит, число 5 тоже не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 8. Получаем: 18-8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 8 является корнем данного уравнения.

Продолжаем рассуждать. В уравнение 2 + х = 7 подставим первое число 2. Получаем: 2+2=7. Это равенство нельзя назвать верным. Значит, число 2 не является корнем данного уравнения. Подставим в это уравнение число 5. Получаем: 2+5=7. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 5 является корнем данного уравнения.

Тренируемся далее. В уравнение х-9=2 подставим первое число 2. Получаем:

2-9=2, но 2 меньше, чем 9, поэтому вычитание мы выполнить не сможем. Нужно попробовать подставить в уравнение число, которое больше, чем 9. подставим число 11. Получаем: 11-9=2. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 11 является корнем данного уравнения.

Найдем корень последнего уравнения. Подставим число 2 в уравнение х+8=10. Получаем: 2+8=10. Это равенство можно назвать верным. Значит, число 2 является корнем данного уравнения.

Сделаем вывод.

Данные уравнения мы решали способом подбора. Это способ не всегда бывает удобным. Уравнения можно решать и другим способом, но для этого нужно знать, как связаны между собой компоненты действий при сложении и вычитании.

Проверим себя. Как найти неизвестные компоненты?

Правильный ответ:

а) чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

б) чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности.

в) чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое.

Обратим внимание: если мы умеем находить слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое, можно решать уравнения другим способом.

Решим уравнения с объяснением.

64 + d = 82

b — 36 = 40

82 — k = 5

Рассуждаем так. В уравнении 64 + d =82 выполняется сложение. В уравнении известно первое слагаемое – 64 и значение суммы – 82. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

64+d =82

d=82-64

d=18

Корень уравнения – 18. Проверим: 64+18=64+10+8=82. 82=82. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении b — 36 = 40 выполняется вычитание. В уравнении известно вычитаемое – 36 и значение разности – 40. Неизвестно уменьшаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Запишем.

b-36=40

b=40+36

b=76

Корень уравнения – 76. Проверим: 76-36=76-30-6=40. 40=40. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

В уравнении 82 — k = 5 выполняется вычитание. В уравнении известно уменьшаемое – 82 и значение разности – 5. Неизвестно вычитаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

82-k=5

k=82-5

k=77

Корень уравнения – 77. Проверим: 82-77=82-70-7=5. 5=5. Это верное равенство. Делаем вывод: если равенство верное, значит, уравнение решено правильно

Потренируемся.

Выберем уравнения, которые соответствуют схеме, и найдем числовое значение х (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Будем рассуждать. На данной схеме мы видим целое – 16, части – 2 и х.

Попробуем подобрать уравнение.

Рассмотрим уравнение х-2=16. В этом уравнении х – уменьшаемое, то есть самое большое число. Но на схеме самое большое число – 16, значит, это уравнение для данной схемы не подходит.

Рассмотрим второе уравнение 2+х=16. Видим, что 2 – это первое слагаемое, х – второе слагаемое. Из двух слагаемых получается целое – 16. Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Неизвестно второе слагаемое. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Запишем.

2+х=16

х=16-2

х=14

Рассмотрим третье уравнение 16-х=2. На схеме видим, что уменьшаемое 16 – это целое, х – вычитаемое (одна часть), 2 – значение разности (вторая часть). Делаем вывод: данное уравнение к схеме подходит.

Решим его, найдем корень уравнения. Вспомним правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности. Запишем.

16-х=2

х=16-2

х=14

Сегодня на уроке мы решали уравнения способом подбора и на основе знания связи компонентов действий при сложении и вычитании.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Prosv.ru (Источник).
3. Do.gendocs.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Дано предложение: «Число 26 уменьшили на несколько единиц и получили 17». Выбери запись этого предложения уравнением.

17 +х = 26

26 – х =17

х — 26 = 17

2. Реши уравнения способом подбора

7+х=15

20-х=4

х-2=28

3. Реши уравнения, объясни ход решения.

50 – х = 38

23 + х = 38

х – 5 = 38

interneturok.ru

Урок математики по теме «Решение уравнений» (3-й класс)

Разделы: Математика, Начальная школа

Цели.

1. Образовательные:

• закрепление умений решать уравнения разных видов;
• совершенствование вычислительных умений и навыков;
• закрепление приёмов устных вычислительных навыков;
• закрепление умений решать задачи.

2. Развивающие:

• развитие внимания, памяти, математической речи;
• развитие у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале;
• формирование умения сравнивать, обобщать изучаемые факты и понятия;
• развитие самостоятельности мышления;
• развитие познавательного интереса, творческих способностей, воли, эмоций.

3. Воспитательные:

• воспитание культуры поведения;
• осуществление нравственного воспитания;
• профилактика утомления (здоровьесбережение).

1. Организационный момент.

Цель: внешняя и внутренняя подготовка к уроку.

Ребята, давайте сегодня вспомним все, что мы учили
Ничего мы не забыли
Рисуем, чертим, вычисляем
Математику мы знаем.

2. Проверка домашнего задания.

Цель: проверка вычислительных навыков умножения и деления, сложения и вычитания, порядок действий в примерах, знание математической терминологии.

1) 81: 9+54: 2=36

63:21+45:9=8

17*3-92:46=49

18*4-72:12=66