Когда система линейных уравнений не имеет решений – Система линейных уравнений  не имеет решений, если  равно …

Три случая при решении систем линейных уравнений — КиберПедия

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

*

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

*

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного –

неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

 

6. Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.

Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений, который в каждом случаеприведет нас к ответу! Сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Если в методах Крамера и матричном необходимы знания определителей, то для применения метода Гаусса необходимо знание только арифметических действий, что делает его доступным даже для школьников начальных классов.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных

в любом случаеприведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: .

Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯ

ЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:

Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:

И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО:

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:

Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ:

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:
(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем!
(2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.
(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ: .

Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке».
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы

(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3.
Нужная вещь на второй ступеньке получена.
(5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход:

Ответ:

Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования:
(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1.
(4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки.
(5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.

Обратный ход:

Ответ:

7.Ранг матрицы. Теорема Корнекера-Капелли.

8. Однородные системы

В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решениеммы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член(который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля.
И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений.
По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи.

cyberpedia.su

Тема_06

51

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Постановка задачи.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

V. Метод Гаусса.

I. Постановка задачи.

(1)

называют системой m линейных уравнений с n неизвестными . Коэффициенты уравнений этой системы записывают в виде матрицы

которую называют матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец свободных членов {B}:

.

Если столбец {B}={0}, то система уравнений называется однородной. В противном случае, когда {B}≠{0} – система неоднородна.

Система линейных уравнений (1) может быть записана в матричном виде

[A]{x}={B}. (2)

Здесь — столбец неизвестных.

Решить систему уравнений (1) — значит найти совокупность n чисел такую, что при подстановке в систему (1) вместо неизвестныхкаждое уравнение системы обращается в тождество. Числа называются решением системы уравнений.

,

может иметь бесчисленное множество решений

или не иметь решений совсем

.

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной. Система уравнений называетсяопределенной, если она имеет единственное решение, инеопределенной, если имеет бесчисленное множество решений.

II. Совместность однородных и неоднородных систем.

Условие совместности системы линейных уравнений (1) формулируется в теореме Кронекера-Капелли: система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: .

Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов:

.

Если RgA<RgA^* , то система уравнений несовместна.

Однородные системы линейных уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли всегда совместны. Рассмотрим случай однородной системы, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть т=п. Если определитель матрицы такой системы не равен нулю, т.е. , однородная система имеет единственное решение, которое является тривиальным (нулевым). Однородные системы имеют бесчисленное множество решений, если среди уравнений системы есть линейно зависимые, т.е..

Пример. Рассмотрим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

и исследуем вопрос о количестве ее решений. Каждое из уравнений можно считать уравнением плоскости, проходящей через начало координат (D=0). Система уравнений имеет единственное решение, когда все три плоскости пересекаются в одной точке. При этом их нормальные векторы некомпланарны, и, следовательно, выполняется условие

.

Решение системы при этом x=0, y=0, z=0.

Если хотя бы две из трех плоскостей, например, первая и вторая, параллельны, т.е. , то определитель матрицы системы равен нулю, а система имеет бесчисленное множество решений. Причем решениями будут координатыx, y, z всех точек, лежащих на прямой

или

.

Если же все три плоскости совпадают, то система уравнений сведется к одному уравнению

,

а решением будут координаты всех точек, лежащих в этой плоскости.

При исследовании неоднородных систем линейных уравнений вопрос о совместности решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Если же число уравнений в такой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. В противном случае система либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Исследуем неоднородную систему двух уравнений с двумя неизвестными

.

RgA=1 , т.к. ,

а ранг расширенной матрицы равен двум, т. к. для нее в качестве базисного минора может быть выбран минор второго порядка, содержащий третий столбец.

В рассматриваемом случае RgA<RgA^*.

Если прямые совпадают, т.е. , то система уравнений имеет бесчисленное множество решений: координаты точек на прямой . В этом случаеRgA=RgA^*=1.

Система имеет единственное решение, когда прямые не параллельны, т.е. . Решением этой системы являются координаты точки пересечения прямых

III. Система т уравнений с т неизвестными. Правило Крамера.

Рассмотрим простейший случай, когда число уравнений системы равно числу неизвестных, т.е. m=n. Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:

(3)

Здесь — определитель матрицы системы,

— определитель матрицы, получаемой из [A] заменой i-ого столбца на столбец свободных членов:

.

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера.

Решение :

1) найдем определитель системы

2) найдем вспомогательные определители

3) найдем решение системы по правилу Крамера:

Результат решения может быть проверен подстановкой в систему уравнений

Получены верные тождества.

IV. Матричный метод решения систем уравнений.

[A]{x}={B}

и умножим правую и левую части соотношения (2) слева на матрицу [A^-1], обратную матрице системы:

[A^-1][A]{x}=[A^-1]{B}. (2)

По определению обратной матрицы произведение [A^-1][A]=[E], а по свойствам единичной матрицы [E]{x}={x}. Тогда из соотношения (2′) получаем

{x}=[A^-1]{B}. (4)

Соотношение (4) лежит в основе матричного метода решения систем линейных уравнений: необходимо найти матрицу, обратную матрице системы, и умножить на нее слева вектор-столбец правых частей системы.

Пример. Решим матричным методом систему уравнений, рассмотренную в предыдущем примере.

Матрица системы ее определитель detA==183.

Чтобы найти матрицу [A^-1], найдем матрицу, присоединенную к [A]:

или

В формулу для вычисления обратной матрицы входит , тогда

Теперь можно найти решение системы

Тогда окончательно получаем .

V. Метод Гаусса.

При большом числе неизвестных решение системы уравнений методом Крамера или матричным методом связано с вычислением определителей высокого порядка или обращением матриц больших размеров. Эти процедуры весьма трудоемки даже для современных ЭВМ. Поэтому для решения систем большого числа уравнений чаще пользуются методом Гаусса.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы. К элементарным преобразованиям матрицы относят перестановку строк, сложение строк, умножение строк на числа, отличные от нуля. В результате преобразований удается матрицу системы свести к верхней треугольной, на главной диагонали которой стоят единицы, а ниже главной диагонали — нули. В этом заключается прямой ход метода Гаусса. Обратный ход метода состоит в непосредственном определении неизвестных, начиная с последнего.

Проиллюстрируем метод Гаусса на примере решения системы уравнений

На первом шаге прямого хода добиваются того, чтобы коэффициент преобразованной системы стал равен 1, а коэффициенты иобратились в ноль. Для этого первое уравнение умножим на1/10, второе уравнение умножим на 10 и сложим с первым, третье уравнение умножим на -10/2 и сложим с первым. После этих преобразований получим

На втором шаге добиваемся того, чтобы после преобразований коэффициент стал равным1, а коэффициент . Для этого второе уравнение разделим на 42, а третье уравнение умножим на -42/27 и сложим со вторым. Получим систему уравнений

На третьем шаге должны получить коэффициент . Для этого третье уравнение разделим на(37 — 84/27); получим

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается, т.к. матрица системы сведена к верхней треугольной:

studfiles.net

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

---

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

Цели урока:

• систематизация знаний учащихся;
• выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
• формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
• осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
• развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) б)   в)

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

 Ответы:

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1. если (если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

<Рисунок1>;

2. если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

<Рисунок2>;

3. если

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Вопрос 43. Система линейных уравнений, однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система, эквивалентные системы

Системой  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными называется система уравнений вида

Числа  называются коэффициентами системы;  — свободными членами,  — неизвестными. Количество  уравнений в системе может быть меньше, больше или равно числу неизвестных.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю; в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы называется упорядоченная совокупность  чисел  такая, что после замены неизвестных  соответственно числами  каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Две системы уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадают

Вопрос 44. Матрица системы линейных уравнений, матричная форма записи системы

Исходную Системой линейных алгебраических уравнений можно записать в матричном виде:

 ,

где матрица  называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных;  — вектором-столбцом неизвестных,  — вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.

Вопрос 45. Правило Крамера

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Вопрос 46. Минор к-ого порядка, ранг матрицы, базисный минор

Определитель, который образован элементами матрицы, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов, называется минором k-го порядкаэтой матрицы ( при этом минор 1-го порядка – это произвольный элемент данной матрицы).

Рангом матрицыназывается наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля (ранг нулевой матрицы полагается равным нулю). Ранг матрицы А обозначается символомr(А).

Всякий неравный нулю минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется ее базисным минором.

Вопрос 47. Элементарные преобразования над матрицами

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие 4 операции:

1. перестановка двух строк (столбцов)

2. умножение строки (столбца) на число, неравное нулю

3. прибавление к строке (столбцу) другой строки ( другого столбца), умноженной (умноженного) на любое число

4. отбрасывание нулевой строки (нулевого столбца)

Вопрос 48. Теорема об элементарных преобразованиях

Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Вопрос 49. Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

 

Вопрос 50. Условия существования ненулевого решения у однородной системы mхn и системы nхn

Условия существования ненулевого решения у однородной системы mхn:однородная система mхn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Условия существования ненулевого решения у однородной системы nхn:однородная система nхn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Вопрос 51. Изображение на числовой оси множеств действительных чисел, заданных равенством и неравенством

52. Модуль действительного числа и его свойства

Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = — х.

INCLUDEPICTURE «http://school.xvatit.com/images/f/f3/14-06-125.jpg» \* MERGEFORMATINET

1. |а| 0.

2.|аb| =|a| |b|.

INCLUDEPICTURE «http://school.xvatit.com/images/b/b2/14-06-127.jpg» \* MERGEFORMATINET

53. Геометрический смысл модуля числа и модуля разности двух чисел

Геометрический смысл – расстояние от точки с координатой Х на числовой прямой до начала координат.

Модуль разности – расстояние между соответствующими точками на числовой прямой.

54. Определение функции, определение графика функции

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

График функции — понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции.

В этом случае, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией: точка располагается (или находится) на графике функции тогда и только тогда, когда INCLUDEPICTURE «http://upload.wikimedia.org/math/7/c/1/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png» \* MERGEFORMATINET

studfiles.net

Лекции 7-8 Системы линейных алгебраических уравнений

Cистема имеет вид:

(1)

Коэффициенты при неизвестных составляют матрицы

Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система п чисел , что каждое из уравнений (1) обра­щается в тождество после замены в нем неизвестных соответ­ствующими числами

Система линейных уравнений может не иметь ни одного реше­ния и тогда она называется несовместной. Такова, например, си­стема

Если же система линейных уравнений обладает решениями, то она называется совместной. Совместная система называется опре­деленной , если она обладает одним-единственным решением — лишь такие системы допускаются к рассмотрению в элементарной алгебре,— и неопределенной, если решений больше чем одно; как мы узнаем позже, их будет в этом случае даже бесконечно много. Так, система

определенна: она имеет решение и, как легко про­веряется методом исключения неизвестного, это решение будет един­ственным. С другой стороны, система

неопределенна, так как имеет бесконечно много решений вида

(2)

где число k произвольно, причем решениями, получающимися по формулам (2), исчерпываются все решения нашей системы.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система уравне­ний или нет, в случае совместности установить число решений, а также указать способ найти все эти решения.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1).

Как мы знаем, прежде всего следует решить вопрос о сов­местности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу A из коэф­фициентов системы и «расширенную» матрицу , полученную при­соединением к А столбца из свободных членов,

A =,=,

и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего.В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в ма­трице .Если она сохраняет и свойство максимальности, т. е. столбец из свободных членов через нее линейно выражается, то ранги матрицыА и равны; в противоположном случае, присоединяя к этой системе столбец из свободных членов, мы получаем линейно неза­висимую систему столбцов матрицы, которая будет в ней макси­мальной.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера — Капелли.

Система линейных урав­нений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расши­ренной матрицы равен рангу матрицыА.

Рассмотрим основные способы решения Решение систем линейных алгебраических уравнений.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.

Пусть дана система n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Запишем главный определитель системы:

∆ = .

Выпишем вспомогательные определители, заменяя 1, 2, n-ый столбец столбцом из свободных членов:

∆.

∆= .

∆= .

Правило Крамера:

Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, это решение единственное и находится по формулам:

= ,=,=.

Пример.

Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим главный определитель системы:

∆ = = – 20 – 48 – 3 + 18 + 8 + 20 = – 25.

Выпишем вспомогательные определители:

∆x = = – 10 – 32 – 9 + 12 + 4 + 60 = 25.

∆y = = 30 + 12 + 6 – 27 – 16 – 5 = 0.

∆z = = – 8 – 36 – 1 + 6 + 6 + 8 = – 25.

Используя формулы, приведенные выше, найдем решение данной системы:

x =

studfiles.net

Количество решений системы линейных уравнений.

Теорема:

Всякая система линейных уравнений или не имеет решений, или имеет единственное решение, или имеет бесконечное число решений.

Доказательство:

Клюбой системе линейных уравнений применим метод Гаусса, т.е. расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Если ступенька матрицы содержит строку (0 0 … 0не ноль), т.е. имеющую только один последний ненулевой элемент, то система будет иметь следствием уравнение 0х1 + … + 0хn = не ноль, которое не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений.

Если ступенчатая матрица содержит длинную ступеньку (длину > 1) и не выполнен предыдущий рассмотренный случай

1

1

0 1

0 0 0 0 0

то, очевидно, система будет иметь бесконечное число решений, т.к. не начальным позициям длинной ступени будут соответствовать свободные переменные (одна или несколько), которым можно придать любые значения. И, наконец, если в ступенчатой матрице все ступени, кроме последней, длины 1, а последняя длины 2,

1

1

1

1

Система будет очевидно иметь единственное решение.

Теорема:

Если в системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система не может иметь единственного решения, и возможна только одна из 2-х ситуаций: нет решений или бесконечное число решений.

Доказательство:

В ступенчатой форме расширенной матрицы в случае единственного решения все ступени до черты имеют длину 1, а значит число строк расширенной матрицы (т.е. число уравнений) не меньше числа столбцов до черты (т.е. числа неизвестных).

Замечание:

Если уравнений больше чем неизвестных, то возможны все три указанные выше ситуации. Приведем простые примеры:

x + y = 2 х + y = 2

x + y = 3 — нет решений, x – y = 1 — одно решение,

x + y = 1 2x + 2y = 4

x + y = 2

2x + 2y = 4 — бесконечное число решений.

3x + 3y = 6

Выясним, когда система n уравнений с n неизвестными будет иметь единственное решение.

Теорема:

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы не равен нулю.

Доказательство:

Рассмотрим систему

а11 х1 + … + а1n xn = b1

…

an1 x1 +… + ann xn = bn

Если = 0, то для решения системы можно применить метод Крамера (или обратной матрицы) и, значит, система имеет единственное решение.

а11 … аn1 b1

Её расширенная матрица: А = … …

an1 … annbn

Если система имеет единственное решение, то её расширенная матрица может элементарными преобразованиями быть приведена к такому ступенчатому виду:

1 0 0 … 0 b1

0 1 0 … 0 b2

А= …

0 0 … 1 bn

Часть А до черты будет единичной матрицей. Её определитель = 1.

Заметим, что получен из элементарными преобразованиями строк.

Нетрудно проверить, что элементарные преобразования не меняют свойства определителей быть равными или не равными нулю.

Определитель = 1 = 0, а, следовательно, = 0.

studfiles.net

Ответы@Mail.Ru: совместная система линейных уравнений

это система в которой найдя одно неизвестное из любого уравнения…. подставляют его в другое.. . получается выражение оставшегося неизвестного через другое…. подставляется в третье уравнение… находиться второе неизвестное…. ну и потом логическим путем третье

Это та, в которой есть решение. Например система 2х-3у=5; 2х-3у=6; несовместна.

Та, которая имеет единственный вектор-решение. Ты что на первом курсе 🙂

.Соглашусь с Александром: Та что имеет решение(хотябы одно) Лиза и Света не шарят

Уточню:<br>Система линейных уравнений типа:<br>a11x1 + a12x2 + … + a1 = b1,<br>a21x1 + a22x2 + … + a2= b2, <br>. . <br>am1x1 + am2x2 + … + am = bm. <br><br>называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Иначе она называется несовместной. <br>При чем, система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.<br><br>

Простенько и со вкусом

Лиза ахахахаххахахаххахахахахах)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

touch.otvet.mail.ru