Рубрика: Школьная жизнь

Ответы@Mail.Ru: Что означает минусовая степень?

минусовая степень значит в знаменателе например 2 -2 это 1/4 короче говоря минус в степени означает что это x -y =1/x y отрицательная степень, это единица деленная на число в положительной степени

будет 1/2 в степени 2 =1/4 то есть минус у степени уходит, а двойка уходит в знаменатель….

Это, по-моему, дробь 1/4

Когда степень отрицательна, число превращается в дробь, которую нужно возвести в эту степень, но уже без минуса.

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: отрицательная степень

переверни дробь и будет положительной степень 3/2 в квадрате, т. е. 9/4 <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/52ec72af52f92a99892acd763b9f0c7d_i-766.gif» >

противоположность положительной.

чтобы избавиться от минуса в показателе, надо основание «перевернуть» например, 3/4 в -3 = 4/3 в3 = 64/27 или 3 в -2 = 1/3 в2 = 1/9

это равно 1разделить на (2/3)в2степени

touch.otvet.mail.ru

Как возводить в минусовую степень

28 сентября 2011

Автор КакПросто!

Возведением числа в степень называется математическая операция последовательного умножения этого числа на само себя столько раз, сколько это указывает его степень. Само число принято называть «основанием», а степень — «показателем». Как основание, так и показатель могут быть и положительными и отрицательными числами. Если с положительным показателем все достаточно понятно, то возведение числа в отрицательную степень немного сложнее при вычислении.

Статьи по теме:

Инструкция

Найдите численное значение выражения, стоящего в знаменателе дроби (Xª). Например, если основанием дроби является число 12 (X=12), а модулем показателя — число 3 (a=3), то знаменателем дроби должно быть число 1728 (12³=1728). То есть обыкновенная дробь должна принять вид 1/1728.

Переведите дробь, полученную на предыдущем шаге, из обыкновенной формы записи в десятичную. Чаще всего в результате такого преобразования получается число с бесконечным количеством знаков после десятичной запятой (иррациональное число), поэтому десятичную дробь следует округлить до нужной вам степени точности. Например, при переводе обыкновенной дроби 1/1728 в десятичную с точностью до семи знаков после запятой получится число 0,0005787 (1/1728≈0,0005787).

Используйте, например, вычислительные возможности поисковых систем, если объяснять ход преобразований от вас никто не требует. Например, если нужно получить только численное значение использованного в предыдущих шагах примера, то нет необходимости последовательно производить все преобразования и промежуточные вычисления 12ˉ³ = 12ˉ³/1 = 1/12³ = 1/1728 ≈ 0,0005787. Достаточно перейти на главную страницу Google и ввести в поле поискового запроса 12^(-3). Встроенный в поисковик калькулятор произведет все необходимые преобразования и вычисления и покажет результат с точностью до 12 знаков после запятой: 12^(-3) ≈ 0.000578703704.

Источники:

• как избавиться от степени

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Значение отрицательной степени — Науколандия

Возведение числа в положительную целую степень обозначает, что данное число умножается само на себя столько раз, каково значение показателя степени. Например:
4³ = 4 × 4 × 4

Что в таком случае обозначает возведение числа в отрицательную целую степень:
4^–3 = ?

Будем исходить из того, что свойства степеней сохраняются и для отрицательных целых показателей. Значит, например, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Возьмем такое выражение:

4³ × 4^–3

Так как показатели мы можем сложить, то получим:
4^3+(–3) = 4^{3 – 3} = 4⁰

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1:
4⁰ = 1

Однако 4⁰, которое равно 1, — это то же самое, что 4³ × 4^–3. Значит
4³ × 4^–3 = 1

Преобразуем равенство по отношению к отрицательной степени:
4^–3 =

Таким образом, можно сделать вывод, что число, возводимое в целую отрицательную степень, равно единице, деленной на это число, возводимое в положительную степень.

Общая формула записывается так: . При этом a ≠ 0 (нельзя возвести 0 в отрицательную степень).

Иногда бывает необходимо сделать обратные преобразования, т. е. из дроби получить целое число в отрицательной степени, чтобы легче выполнить вычисления:

Можно выполнить преобразования по-другому, представив 2–7 в виде дроби. В таком случае при делении знаменатель делителя окажется в числителе:

scienceland.info

Вес ПНД трубы — таблица соотношения sdr и диаметр пэ трубы

Для того, чтобы воспользоваться нашей таблицей, Вам необходимо знать диаметр трубы, а также ее SDR.

SDR — это соотношение наружного диаметра трубы к толщине ее стенки. Соответственно, чтобы вычислить SDR необходимо номинальный наружный диаметр трубы поделить на толщину стенки.

Например, у трубы ПНД 110 мм с толщиной стенки 6,6 мм SDR будет равен 17

Важный момент — не имеет значения какой тип ПЭ трубы вас интересует, данная таблица поможет Вам определить вес любой ПНД трубы — водопроводной, газовой или технической.

В таблице указан вес 1 метра трубы.

Таблица весов ПНД труб

ingplast.ru

Расчет веса одного метра трубы ПНД ПЭ-100

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 9

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 11

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 13,6

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 17

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 17,6

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 21

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 26

Расчет веса метра трубы ПНД ПЭ-100 SDR 41

vtormaster.ru

Таблица весов полиэтиленовых труб

fs-sintez.ru

ВЕСОВАЯ ТАБЛИЦА ТРУБ

Вес одного погонного метра трубы полиэтиленовой и ПВХ трубы

Вес одного погонного метра ПВХ трубы в кг

Более подробно о трубах ПВХ можно узнать  в основной статье Трубы ПВХ для наружной канализации

nis.by

Калькулятор веса трубы стальной: рассчитать вес стальных труб

Раньше для того, чтобы определить вес трубы стальной, требовалось использовать формулу (Д — Т) * Т * 0,025, где:

• Д – наружный диаметр изделия;
• Т – толщина стенки выбранного образца;
• 0,025 – коэффициент – постоянное значение, принятое для всех изделий с сечением круглой формы.

Сейчас задача существенно упростилась и были созданы простые и удобные программы для подсчёта. В частности, на нашем сайте есть онлайн-калькулятор массы трубы стальной, благодаря которому, вы можете легко выяснить сколько весит погонный метр для каждой конкретной позиции. Также можно уточнить кол-во метров в тонне и другие данные, необходимые потенциальному покупателю.

Таблица веса трубы стальной

Если вам нужно определить без подсчётов вес 1 метра трубы стальной, таблица поможет это сделать гораздо быстрее, чем при попытках быстро посчитать по формуле самостоятельно. В ней указаны все стандартные размеры, выпускаемые отечественной промышленностью.

Однако всегда следует учитывать, что масса, которую вы получите, теоретическая, а не точная. Формулы таблицы и онлайн-программы работают на неких константах, таких, как параметры стали ст20 по ГОСТ. Если марка стали, используемая при изготовлении изделия, отличается по параметрам, то рассчитать вес трубы стальной можно только приблизительно.

Таблица веса трубы профильной стальной

Для квадратных изделий действует формула (Ш — Т) * Т * 0,0316, где «Ш», это размер стороны в миллиметрах. Если вам требуется удельный вес трубы стальной, таблица позволит выполнить эту задачу быстро и эффективно. Разумеется, максимальной точность будет в том случае, если при изготовлении были точно соблюдены размеры. Они регламентируются требованиями ГОСТ 8639-82, а также технические требования по ГОСТ 13663-86.

Как определяется масса трубы стальной с прямоугольным сечением? Если под рукой нет ни таблиц, ни калькулятора, вам поможет простая и удобная формула (А1 + А2 – 2т) * т * 0,0158. А1, А2 – стороны трубы в мм., Т – толщина, цифры, на которые это всё множится – коэфф., принятый для профильных изделий такого типа.

Однако таблица весов труб стальных намного удобнее, т.к. позволяет получить усредненные значения быстро. В то же время, специалисты утверждают, что погрешность при любом подобном подсчёте может достигать 12% от реальной массы, как в большую, так и в меньшую сторону.

rdmetall.ru

Расчет веса теплотрассы в ППУ изоляции

Калькулятор позволяет определить вес элементов теплотрассы, имея следующие данные:
— Количество элементов теплотрассы;

Как пользоваться калькулятором:
Для получения массы элементов теплотрассы необходимо указать их количество.
Количество трубы указывается в метрах погонных.
Количество фитингов указывается в штуках.
Данные в таблицу вносятся по принципу игры «морской бой». Т.е. выбираем колонку с нужной позицией и строку с нужным диаметром в ту ячейку в которой они пересекаются вводим количество.
Вес рассчитывается в килограммах и является теоретическим.
Дополнительную информацию смотрите в примечании под таблицей.

Примечание:
— D — диаметр в миллиметрах. Первое число — диаметр стальной трубы, второе число — диаметр оболочки.
— Стенка — толщина стенки стальной трубы;
— ПЭ — защитная оболочка из полиэтилена;
— ОЦ — защитная оболочка из оцинкованной стали;
— НЩО — неподвижная щитовая опора в ппу изоляции;
— ЭНО — элемент неподвижной опоры в ппу изоляции;
— Конц. эл. — концевой элемент в ппу изоляции.

Как происходит расчет:
Вес одного элемента складывается из веса его составляющих.

Например:
При изготовлении трубы в ппу изоляции используются основные материалы такие как:
— Стальная труба, масса которой является теоретической;
— Компонент;
— Центраторы;
— Защитная оболочка.
При изготовлении неподвижной щитовой опоры используются основные материалы такие как:
— Стальная труба, масса которой является теоретической;
— Бетон;
— Арматура;
— Компонент;
— Центраторы;
— Защитная оболочка.
Такая ситуация складывается по всем элементам теплотрассы.
Если вы в таблице указываете вес нескольких элементов, тогда их вес складывается, результат можно увидеть под таблицей в поле Итого.
Вес рассчитывается в килограммах и является теоретическим.

www.teploenergoplast.ru

Вес полиэтиленовых труб

Главная > т >

Расчетная масса 1 м трубы из полиэтилена ПЭ 32

Расчетная масса 1 м трубы из полиэтилена ПЭ 63, ПЭ 80, ПЭ 100

wikimassa.org

Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби  и  и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь   больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби  и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби  и  к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей  и  это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем .  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем 

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример 

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби   и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь

А это значит, что и уменьшаемое меньше, чем вычитаемое

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.

Пример 4. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь нужно сравнить дроби    и  . У дроби  числитель больше, чем у дроби . Значит дробь  больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сначала мы получили ответ . Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ .

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Сравнение чисел

Что значит сравнить числа? Это значит узнать какое число меньше или больше другого. Есть еще две формы сравнения — кратное и разностное сравнение , но это потом. Для нас важно обычное сравнение чисел.

Давайте попробуем сделать Сравнение чисел до 10. Это очень легко например: 23 и 56, 37 и 98, 90 и 98.На первый взгляд все легко. Но что если сравнить вот эти числа:

177364 и 774857, 887375 и 975858, 7475638 и 7474665. Спорим ты не сравнишь их так быстро как предыдущие числа.Но есть один способ как быстро сравнивать такие большие числа как: 4563873586 и 4748575657. Представим что одноименные разряды соревнуются — еденицы с еденицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.

у чисел 2566 и 2758 в старшем разряде тысяч числа одинаковые тогда мы смотрим на следующее число. У разряда сотен в числе 2566 равно 5 а в числе 2758 в разряде сотен будет 7 тем самым мы узнаем что число 2566 меньше числа 2758 потому, что 5 меньше 7. Точно так же мы делаем и с десятками, и с единицами. Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.           Теперь ты сможешь с легкостью сравнить эти большие числа. Результат сравнения чисел записываю с помощью 3 знаков: > (больше), < (меньше), = (равно).Например: 243<748, 27957397=27957397, 87465>858465. Но бывают случаи как 22224 и 222224 в этих случаях больше то число в котором больше цифр. В данном случае больше число 222224 потому , что в этом числе 6 цифр а в числе 22224 всего 4 цифры.

Теперь что такое кратное сравнение . это тоже самое сравнение, только здесь мы делим числа друг на друга и узнаем во сколько раз одно число меньше или больше другого. Например: 28 и 3 — 28 : 3 =7 (р.). Почему р. потому, что раз- во сколько раз и поэтому мы обязательно пишем р. или раз.

Теперь разностное сравнение. Это тоже самое что и кратное, только вместо деления у нас вычитание . например 476 и 333 — 476кг.-333кг.=143(кг.).

Еще есть сравнения дробей . Например:2/33>24\33 ( если эти числа от одного чила например числа 7364)

uchik.ru

Сравнения 1 степени. Теория чисел.

если нам известны A,B,C  то при каком значении x  это равенство будет верным?

Как пример 

Решение подобных задач, неразрывно связано с функцией Эйлера. Хотя конечно есть и альтернативный метод  решения (по Евклиду), но мы его рассмаотривать не будем.

Как же решать подобные уравнения. Вспомним, что по формуле Ферма-Эйлера  есть следующая зависимость. Если a и m — взаимно простые числа ( то есть не имеющие общих делителей), то 

С учетом того, что функция Эйлера от простого числа m равна m-1, получаем знаменитую формулу для любого простого числа

где как уже сказано a должно быть взаимно простым с m.

Способ Эйлера, позволяющий решать подобные сравнения  в формулах выглядит так

Тогда, решая уравнение 

узнаем чему же равен x

Попробуем решить наш первый пример.

функция Эйлера для числа 47 равна 46

и окончательная формула равна 

Если считать «влоб» получится огромное число, но нам надо узнать  всего лишь 

Для решения подобной задачи мы воспользуемся материалом Остаток числа в степени по модулю и узнаем что наше решение

равно 

проверим  подставив полученное значение

делится нацело, а значит наше решение верное.

Как можете заметить, мы можем решать еще попутно аналогичную задачу, которая называется  обратное значение  по модулю  для класса вычетов и которая выражается формулой

Удачных расчетов!

• Средние величины данных в поле комплексных чисел >>

abakbot.ru

как найти обратную функцию онлайн

Вы искали как найти обратную функцию онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор обратной функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти обратную функцию онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти обратную функцию онлайн,калькулятор обратной функции,калькулятор обратных функций,найдите обратную функцию к заданной функции и постройте их графики у 3х 7,найти обратную функцию онлайн,найти обратную функцию онлайн с решением,найти функцию обратную данной онлайн,нахождение обратной функции онлайн,обратная функция калькулятор онлайн,обратная функция онлайн,обратная функция онлайн калькулятор,обратные функции онлайн,онлайн калькулятор обратная функция,онлайн калькулятор обратной функции,построить обратную функцию онлайн,функция обратная данной онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти обратную функцию онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, калькулятор обратных функций).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти обратную функцию онлайн Онлайн?

Решить задачу как найти обратную функцию онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Онлайн-калькулятор: обратные гиперболические функции

Данный калькулятор делает расчет обратных гиперболических функций

Чтобы больше познакомиться с гиперболическими функциями или с их аналогами — обратными гиперболическими функциями, можно почитать данные статья из отрывка Википедии:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Математика онлайн | Функции

Элементарные функции:
abs(x) — модуль значения x, |x|
sqrt(x) — квадратный корень значения x, √x
x^y — x в степени y, x^y
e^x=exp(x) — экспонента значения x, e^x
log(a,b) — логарифм значения b по основанию a, Log_a(b)
log(x) — натуральный логарифм значения x, Log_e(x)
dilog(x) — дилогарифм значения x, Li₂(x)
n! — факториал числа n, равный n×(n-1)×…×3×2×1, причем 0!=1 и 1!=1
n!! — двойной факториал числа n, равный n×(n-2)×(n-4)×…

Тригонометрические функции:
sin(x) — синус значения x
cos(x) — косинус значения x
tan(x) — тангенс значения x
cot(x) — котангенс значения x
sec(x) — секанс значения x, sec(x)=1/cos(x)
csc(x) — косеканс значения x, csc(x)=1/sin(x)

Обратные тригонометрические функции:
arcsin(x) — арксинус значения x, sin^-1(x)
arccos(x) — арккосинус значения x, cos^-1(x)
arctan(x) — арктангенс значения x, tan^-1(x)
arccot(x) — арккотангенс значения x, cot^-1(x)
arcsec(x) — арксеканс значения x, sec^-1(x)
arccsc(x) — арккосеканс значения x, csc^-1(x)

Гиперболические функции:
sinh(x) — синус гиперболический значения x
cosh(x) — косинус гиперболический значения x
tanh(x) — тангенс гиперболический значения x
coth(x) — котангенc гиперболический значения x
sech(x) — секанс гиперболический значения x
csch(x) — косеканс гиперболический значения x

Обратные гиперболические функции:
arcsinh(x) — арксинус гиперболический значения x, sinh^-1(x)
arccosh(x) — арккосинус гиперболический значения x, cosh^-1(x)
arctanh(x) — арктангенс гиперболический значения x, tanh^-1(x)
arccoth(x) — арккотангенc гиперболический значения x, coth^-1(x)
arcsech(x) — арксеканс гиперболический значения x, sech^-1(x)
arccsch(x) — арккосеканс гиперболический значения x, csch^-1(x)

Функции комплексного аргумента:
abs(z) — модуль комплексного числа z
arg(z) — аргумент комплексного числа z
Im(z) — мнимая часть комплексного числа z
Re(z) — вещественная часть комплексного числа z

Ортогональные многочлены:
ChebyshevT(n,x) — полином Чебышева n-й степени первого рода, T_n(x)
ChebyshevU(n,x) — полином Чебышева n-й степени второго рода, U_n(x)
HermiteH(n,x) — полином Эрмита n-й степени, H_n(x)
JacobiP(n,a,b,x) — полином Якоби n-й степени, P_n^(a,b)(x)
GegenbauerC(n,m,x) — полином Гегенбауэра, C_n^(m)(x)
LaguerreL(n,x) — полином Лагерра n-й степени, L_n(x)
LaguerreL(n,a,x) — обобщенный полином Лагерра n-й степени, L_n^a(x)
LegendreP(n,x) — полином Лежандра n-й степени, P_n(x)
LegendreP(n,m,x) — присоединенный полином Лежандра, P_n^m(x)
LegendreQ(n,x) — функция Лежандра второго рода n-го порядка, Q_n(x)
LegendreQ(n,m,x) — присоединенная функция Лежандра второго рода, Q_n^m(x)

Интегральные показательные и родственные им функции:
SinIntegral(x) — интегральный синус, Si(x)
SinhIntegral(x) — интегральный гиперболический синус, Shi(x)
CosIntegral(x) — интегральный косинус, Сi(х)
CoshIntegral(x) — интегральный гиперболический косинус, Сhi(х)
ExpIntegralEi(x) — интегральная показательная функция, Ei(x)
ExpIntegralE(n,x) — интегральная показательная функция, E_n(x)
FresnelC(x) — интеграл Френеля, C(x)
FresnelS(x) — интеграл Френеля, S(x)
li(x) — интегральный логарифм
erf(x) — функция ошибок (интеграл вероятности)
erf(x0,x1) — обобщенная функция ошибок, erf(x₁)-erf(x₀)
erfc(x) — дополняющая функция ошибок, 1-erf(x)
erfi(x) — мнимое значение функции ошибок, erfi(i×x)/i

Гамма- и полигамма-функции:
Gamma(x) — эйлерова гамма-функция, Γ(x)
Gamma(a,x) — неполная гамма-функция, Γ(a,x)
Gamma(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Γ(а,x₀)-Γ(a,x₁)
GammaRegularized(a,x) — регуляризованная неполная гамма-функция, Q(а,x)=Γ(а,x)/Γ(a)
GammaRegularized(a,x0,x1) — обобщенная неполная гамма-функция, Q(a,x₀)-Q(a,x₁)
LogGamma(x) — логарифм эйлеровой гамма-функции, logΓ(x)
PolyGamma(x) — дигамма-функция, ψ(x)
PolyGamma(n,x) — n-я производная от дигамма-функции, ψ⁽ⁿ⁾(x)

Бета-функция и родственные ей функции:
Beta(a,b) — эйлерова бета-функция, В(a,b)
Beta(x,a,b) — неполная бета-функция, В_x(a,b)
Beta(x0,x1,a,b) — обобщенная неполная бета-функция, В_(x0,x1)(a,b)=В_x1(a,b)-В_x0(a,b)
BetaRegularized(x,a,b) — регуляризированная неполная бета-функция I_x(a,b)
BetaRegularized(x0,x1,a,b) — регуляризированная обобщенная неполная бета-функция, I_(x0,x1)(a,b)=I_x1(a,b)-I_x0(a,b)

Функции Бесселя:
BesselJ(n,x) — функция Бесселя первого рода, J_n(x)
BesselI(n,x) — модифицированная функция Бесселя первого рода, I_n(x)
BesselY(n,x) — функция Бесселя второго рода, Y_n(x)
BesselK(n,x) — модифицированная функция Бесселя второго рода, К_n(x)

Гипергеометрические функции:
Hypergeometric0F1(a,x) — гипергеометрическая функция, ₀F₁(;a;x)
Hypergeometric0F1Regularized(a,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция, ₀F₁(;a;x)/Γ(a)
Hypergeometric1F1(a,b,x) — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера, ₁F₁(;a;b;x)
Hypergeometric1F1Regularized(a,b,x) — регуляризованная вырожденная гипергеометрическая функция, ₁F₁(;a;b;x)/Γ(b)
HypergeometricU(a,b,x) — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция, U(a,b,x)
Hypergeometric2F1(a,b,c,x) — гипергеометрическая функция ₂F₁(a,b;c;x)
Hypergeometric2F1Regularized(a,b,c,x) — регуляризованная гипергеометрическая функция ₂F₁(a,b;c;x)/Γ(c)

Эллиптические интегралы:
EllipticK(m) — полный эллиптический интеграл первого рода, К(m)
EllipticF(x,m) — эллиптический интеграл первого рода, F(x|m)
EllipticE(m) — полный эллиптический интеграл второго рода, Е(m)
EllipticE(x,m) — эллиптический интеграл второго рода Е(x|m)
EllipticPi(n,m) — полный эллиптический интеграл третьего рода, Π(n|m)
EllipticPi(n,x,m) — эллиптический интеграл третьего рода, Π(n;x|m)
JacobiZeta(x,m) — дзета-функция Якоби, Z(x|m)

Эллиптические функции:
am(x,m) — амплитуда для эллиптических функций Якоби, am(x|m)
JacobiSN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sn(x|m)
JacobiSD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sd(x|m)
JacobiSC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, sc(x|m)
JacobiNS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ns(x|m)
JacobiND(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nd(x|m)
JacobiNC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, nc(x|m)
JacobiDS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, ds(x|m)
JacobiDN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dn(x|m)
JacobiDC(x,m) — эллиптическая функция Якоби, dc(x|m)
JacobiCS(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cs(x|m)
JacobiCN(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cn(x|m)
JacobiCD(x,m) — эллиптическая функция Якоби, cd(x|m)
InverseJacobiSN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sn^-1(x|m)
InverseJacobiSD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sd^-1(x|m)
InverseJacobiSC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, sc^-1(x|m)
InverseJacobiNS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ns^-1(x|m)
InverseJacobiND(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nd^-1(x|m)
InverseJacobiNC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, nc^-1(x|m)
InverseJacobiDS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, ds^-1(x|m)
InverseJacobiDN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dn^-1(x|m)
InverseJacobiDC(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, dc^-1(x|m)
InverseJacobiCS(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cs^-1(x|m)
InverseJacobiCN(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cn^-1(x|m)
InverseJacobiCD(x,m) — обратная эллиптическая функция Якоби, cd^-1(x|m)

www.matcabi.net

чему равен sin0 и cos0?

Да ты в таблицу посмотри!

косинус 0=1, синус 0=0

можно просто представить график, и все станет ясно, кос в нуле 1, син 0

touch.otvet.mail.ru

Косинус угла равен 0,7 сколько будет равен сам угол в градусах

А комп на что? 45,57 градуса

арккосинусу 0,7 т. е 45,572996 градусов

cosа=0,7 а=arccos0.7 a=45°34′

Такие значения ищутся по таблице Брадиса

<a rel=»nofollow» href=»http://www.it-articles.ru/brad.php» target=»_blank»>http://www.it-articles.ru/brad.php</a>, тут ищите..

touch.otvet.mail.ru

Почему косинус 0 равен единице. Если он равен п/2. ))) Я чето голову сломал. Я не люблю математику. ПОМГОГИТТТЕЕ!

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:1OQmRak»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

откуда вы взяли такую информацию?) непонятно…

Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе. Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный): сos (0°) = 1 сos (30°) = cos (π/6) = (√3)/2 сos (45°) = cos (π/4) = (√2)/2 = 1/√2 сos (60°) = cos (π/3) = 1/2 сos (90°) = cos (π/2) = 0 cos (180°) = cos (π) = –1 сos (270°) = cos (3π/2) = 0

Михайло Васильевич Ломоносов сказал однажды: «Математику потому учить надобно, что она ум в порядок приводит!»

Таблицу Брадиса наизусть учи)))

Просто надо знать что такое косинус и все будет нормально.

косинус пи на 2 — это всё равно что соs 90

Леша, Не поленись, рассмотри единичную окружность. Проведи радиус в 1-й четверти. Его проекция на ось х называется косинусом. Если угол равен нулю, то проекция косинуса на ось х равна радиусу, то есть единице ( окружность же единичная) Поворачиваем радиус против часовой стрелки на одну четверть (вертикальное положение), на угол 90град, или, что одно и тоже, на П/2. Видим, что радиус (твой косинус) проектируется по оси у на ось х в точку, то есть равен нулю. Синус угла это проекция единичного радиуса на ось у. Именно поэтому sin 90 =1, а sin0=0

touch.otvet.mail.ru

Особенности решения неравенств с радикалами

3 мая 2014

Сегодня мы вернемся к решению неравенств методом интервалов, однако рассмотрим не обычные неравенства (где просто перемножаются скобки), а нестандартные, в которых присутствуют корни.

Итак, первая задача:

Задача 1. Решите неравенство:

В чем особенность такого неравенства? Какие ограничения для нас вносит наличие радикала? Все очень просто. Согласно определению, арифметический квадратный корень из любой функции f (x) всегда неотрицателен, т.е. больше или равен нуля.

А это значит, что мы можем без всяких затруднений избавиться от корня, просто зачеркнув его. Но при условии, что это выражение отлично от нуля. Потому что, напомню:

Основное свойство неравенства: обе части неравенства можно умножать и делить на любое число, отличное от нуля.

Таким образом, случай, когда корень (а значит — и подкоренное выражение) равняется нулю, следует проверять отдельно. Имеем:

15 − 5x = 0;
15 = 5x;
x = 3.

Подставим найденное число в исходное неравенство — получим:

(3 − 5) ∙ 0 < 0;
0 < 0.

Последнее неравенство, очевидно, является полным бредом. Следовательно, x = 3 не является решением исходного неравенства. А это значит, что мы можем спокойно разделить все неравенство на корень. Получим:

x − 8 < 0
x < 8

Однако если мы просто запишем такой ответ — (−∞; 8) — то, как вы уже поняли, это будет неправильным решением. Все дело в том, что, избавляясь от корня в исходном неравенстве, мы одновременно расширяем область определения.

Судите сами: в неравенстве x < 0 переменная x может принимать абсолютно любые значения, потому что линейная функция определена на всей числовой прямой. А вот в исходном неравенстве подкоренное выражение должно быть неотрицательным, потому что корень из отрицательного числа не определен.

Поэтому возникает еще одно требование:

15 − 5x ≥ 0
15 ≥ 5x
x ≤ 3

Обратите внимание знак «больше или равно» никак не связан с тем, что стояло в исходном неравенстве — это просто требование области определения корня.

При решении неравенств, содержащих корни, подкоренная функция должна быть неотрицательной в любом случае — независимо от знака исходного неравенства.

Теперь отметим наши требования на двух параллельных прямых:

Итак, с одной стороны, x должен быть меньше 8 (т.е. левее восьмерки). С другой — не больше 3 (опять же левее). Пересекаем наши множества и получаем интервал:

x ∈ (−∞; 3]

Но и это не является окончательным и правильным ответом! Дело в том, что в самом начале решения мы убедились, что x = 3 нас не устраивает. Следовательно, эту точку надо выколоть. Поэтому окончательным ответом будет множество:

x ∈ (−∞; 3)

Решение второго неравенства

Итак, переходим ко второму неравенству.

Задача 2. Решите неравенство:

Выполняем все те же самые действия, как и в прошлый раз. Для начала проверяем: является ли ответом тот случай, когда подкоренное выражение равно нулю.

16 − x² = 0
x² = 16
x = ± 4

Подставляем полученные числа в исходное неравенство и получаем:

(16 − 9) ∙ 0 > 0
0 > 0

Очевидно, мы вновь получили неверное неравенство (ноль больше нуля — полный бред). А это значит, что корни x = 4 и x = −4 не являются решением. Эти точки нужно будет выколоть.

С учетом данного факта нужно просто выполоть эти точки и решить обычное неравенство:

x² − 9 > 0
(x − 3)(x + 3) > 0

Чертим прямую, отмечаем нули выражения, стоящего справа — получаем:

Поскольку нас интересуют положительные области, отмечаем интервалы по бокам.

С другой стороны, в исходном неравенстве у нас есть корень. Поэтому нельзя забывать про определение:

16 − x² ≥ 0
x² ≤ 4
−4 < x < 4

Осталось начертить на двух параллельных прямых полученные множества:

Пересекаем заштрихованные области (потому что указанные требования должны выполняться одновременно). Кроме того, вспоминаем, что значения x = ±4 нас не устраивают. Следовательно, эти точки нужно выколоть из итогового ответа. Получим:

x ∈ (−4; −3) ∪ (3; 4)

Вот такому множеству должно принадлежать число x, чтобы выполнялось исходное неравенство. Все точки при этом выколоты. Все, задача решена.

Надеюсь, этот урок поможет вам не запутаться при решении задач, содержащих корни. Тренируйтесь в решении неравенство методом интервалов — и до новых встреч.

Смотрите также:

1. Иррациональные неравенства. Часть 1
2. Иррациональные неравенства. Часть 2
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
4. Преобразование уравнений
5. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

www.berdov.com

Иррациональные неравенства. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.

Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.

Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.

Рассмотрим неравенство вида:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция  может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.

Итак, имеем следующую схему решения:

В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:

Проиллюстрируем:

Рис. 1 – иллюстрация решения примера 1

Ответ:

Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:

В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.

Рассмотрим неравенство вида:

Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:

В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.

Имеем эквивалентную систему:

Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.

Пример 2 – решить неравенства графически:

а)

б)

Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.

Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.

Рис. 2. Графики функций  и

Для построения графика функции  необходимо преобразовать параболу  в параболу  (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.

График функции  – это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у – (0;-1).

Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .

Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.

Имеем ответ:

а) ; б)

Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.

Пример 3 – решить неравенства методом интервалов:

а)

б)

согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:

теперь необходимо изучить полученную функцию.

ОДЗ:

Корни:

Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.

Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:

Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.

Проверим значение в граничной точке:

Очевиден ответ:

а) ; б)

Рассмотрим следующий тип неравенств:

Сначала запишем ОДЗ:

Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:

Получили эквивалентную систему:

Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем::

Пример 4 – решить неравенство:

Действуем по схеме – получаем эквивалентную систему:

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

В данном случае имеем дело с корнем нечетной степени, в левой и правой части неравенства могут стоять любые (как положительные, так и отрицательные) числа. Имеем эквивалентное неравенство:

Пример 5 – решить неравенство:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых иррациональных неравенств, привели несколько методов решения и решили примеры. Далее будем рассматривать неравенства с модулем.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).

2. Math.md (Источник).

3. Diffur.kemsu.ru (Источник).

Домашнее задание

1.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3.      Решить неравенство:

interneturok.ru

Как решать С3. Урок 7. ЕГЭ по математике 2014. Иррациональные неравенства вида `f(x) ∨ sqrt{g(x)}` — решения.егэцентр.рф

В прошлом уроке мы рассмотрели иррациональные неравенства вида `f(x)· \sqrt{g(x)} \vee 0`.

Тема этого урока — неравенства вида

$$f(x)\vee \sqrt{g(x)},$$

где `\vee` — любой знак неравенства. Работать с корнями крайне неудобно, поэтому наша задача — избавиться от них. Избавиться от корней можно, возведя в квадрат. Но всегда ли можно возводить в квадрат части неравенства?

Алгоритм решения иррационального неравенства `f(x) \vee \sqrt {g(x)}`

Знаки `\leqslant` и `<` мало различаются между собой, как и знаки `\geqslant` и `>`. Для простоты изложения мы разберем алгоритм решения неравенств на примере нестрогих знаков.

Случаи, же неравенств `\leqslant` и `\geqslant` различаться будут достаточно сильно. Мы их рассмотрим по отдельности.

Итак, вариант `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}`

Первое, что нам нужно — выписать ОДЗ корня `g(x) \geqslant 0`.

Затем было бы неплохо возвести в квадрат левую и правую части неравенства и сравнить их. Однако без предварительных размышлений этого делать не стоит.

Почему нельзя возводить в квадрат левую и правую части неравенства?

Приведу простой пример: неравенство `-5 \geqslant \sqrt{10}`, очевидно, неверное. Но если мы возведем левую и правую часть в квадрат, получим `25 \geqslant 10` — верное неравенство.

Почему это произошло?

Вспомните, для неравенств есть правило, что мы можем умножать его левую и правую части только на положительное число. Возведение в квадрат — операция, схожая с умножением. Тут мы левую часть умножили на `-5` — отрицательное число. А правую — на `\sqrt{10}` — положительное, поэтому возникли проблемы.

Нам нужна дополнительная проверка на отрицательность для части неравенства без корня — `f(x)`. Если `f(x) \geqslant 0`, то, поскольку обе части неравенства сто процентов не отрицательны, можно возводить в квадрат.

А если `f(x) <0`? В этом случае неравенство `f(x) \leqslant \sqrt{g(x)}` выполнено автоматически — левая часть отрицательна, правая — нет.

Систематизируем написанное:

ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x)\geqslant 0`.

Неравенство эквивалентно системе:

$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  f(x) \geqslant 0, \\ f^2 (x) \leqslant g(x),\end{array} \right. \\ f(x)<0.\end{array} \right.$$

Случай `f(x) \geqslant \sqrt{g(x)}`

С ним будет попроще. Сперва проверим ОДЗ: `g(x) \geqslant 0`. Затем проверим, можно ли возводить в квадрат: `f(x) \geqslant 0` и сравним квадраты левой и правой части неравенства.

Вариант, когда `f(x) <0` на этот раз нам не интересен, поскольку при нем отрицательная левая часть всегда будет меньше положительной правой, что не удовлетворяет условию.

Обобщим:

ОДЗ (должно быть выполнено всегда): `g(x) \geqslant 0`.

Система неравенств:

$$\left\{\begin{array}{l}  f(x) \geqslant 0, \\ f^2 (x) \geqslant g(x).\end{array} \right.$$

Что изменится, если исходные неравенства строгие предлагаю исследовать самостоятельно.

На этом теория о том, как решать иррациональные неравенства закончена. Разберем несколько примеров.

Первый пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} \geqslant g(x)`

$$\sqrt{x-1}\geqslant 3-x.$$

ОДЗ `x\geqslant 1`.

Система неравенств:

$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  3-x \geqslant 0, \\ x-1 \geqslant (3-x)^2,\end{array} \right. \\ 3-x<0.\end{array} \right.$$

$$\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}  x \leqslant 3, \\ x-1 \geqslant 9-6x+x^2,\end{array} \right. \\ x>3.\end{array} \right.$$

Второе неравенство системы легко приводится к виду `(x-5)(x-2) \leqslant 0`, откуда получаем решение `2\leqslant x \leqslant 5`. Учитывая, что при этом `x\leqslant 3`, получим `x\in [2,3]`.

Совместив с промежутком `x>3`, получим ответ: `[2,∞)`.

В прикрепленном видео есть короткая вставка, как решить это неравенство графически. Получается в разы быстрее и проще.

Второй пример. Как решать иррациональное неравенство, `\sqrt{f(x)} < g(x)`

$$2\sqrt{8-x} < 3x — 8.$$

Действуем по схеме.

ОДЗ: `x\leqslant 8`.

$$\left\{\begin{array}{l}  3x-8 \geqslant 0, \\ (3x-8)^2 > 4·(8-x).\end{array} \right.$$

$$\left\{\begin{array}{l}  x \geqslant \frac{8}{3}, \\ 9x^2-48x+64> 32-4x.\end{array} \right.$$

Второе неравенство приводится к виду `9x^2-44x+32 >0`. Решив его получим `x\in(-∞,\frac{8}{9}) \cup (4,∞)`. Совместив с ОДЗ, получим решение: `4<x\leqslant 8`.

Задания для тренировки

Решите неравенство:

• `0<x+\sqrt{x+2}`,
• `\sqrt{x^2}+x-1<0`,
• `\sqrt{4+4x+x^2}+x < 4`,
• `3+x>3\sqrt{1-x^2}`.

На этом все. На данный момент это будет последний урок, как решать С3 из ЕГЭ по математике.

Жмите «мне нравится» и оставляйте вопросы в комментариях.

xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai

Математика: Иррациональные уравнения и неравенства

6.

Иррациональные уравнения и неравенства

Комментарий. Сущность процесса решения уравнений можно описать следующим образом: исходное уравнение упрощается посредством определенных преобразований, т.е. выстраивается цепочка от исходного к некоторому итоговому уравнению, решение которого очевидно или способ (алгоритм) решения которого хорошо известен. При этом возможны три типа преобразований, три принципиально разные ситуации.

1. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множества корней исходного и итогового уравнений совпадают; в этом случае исходное и итоговое уравнения называют равносильными; соответствующие преобразования также называют равносильными.

2. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «шире», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорит, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к появлению посторонних корней.

3. Применяемые в процессе решения преобразования таковы, что множество корней итогового уравнения «уже», чем множество корней исходного уравнения; в этом случае говорят, что в процессе решения применены неравносильные преобразования, которые могли привести к потере корней.

Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 6.1.

а) Дано уравнение:

Перепишем уравнение, разложив на множители знаменатели:

Умножим обе части уравнения на выражение x² + 4; это равносильное преобразование, т.к. x² + 4 ≠ 0 при любом значении х:

б) Дано уравнение:

Возведем обе его части в квадрат:

Так как , то получаем . Множество корней этого уравнения — все действительные числа. При этом простая проверка показывает, что отрицательное число не может быть корнем исходного уравнения. Таким образом, в процессе решения были применены неравносильные преобразования и появились посторонние корни. Действительно, возведение обоих частей уравнения в четную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части уравнения неотрицательны.

в) Дано уравнение: x² — 2х – 3 = 4х + 5 + x².

Перепишем уравнение, разложив квадратные трехчлены на множители:

(х + 1)(х — 3) = (5 — х)(х + 1).

Разделим обе части уравнения на выражение х + 1 : х – 3 = 5 — х.

Последнее уравнение имеет единственный корень х = 4, в то время как исходное уравнение имеет два корня: x₁ = 4 и x₂ = -1. Таким образом, в процессе решения уравнения было применено неравносильное преобразование, которое привело к потере корней. Действительно, проводя деление на выражение х + 1, мы не потребовали, чтобы х + 1 ≠ 0.

Как видно из примеров неравносильные преобразования могут стать причиной неверного решения уравнения, привести к ошибке. Так может быть запретить неравносильные преобразования?! Можно запретить. Это один из возможных подходов. Он снимает проблему посторонних и потерянных корней, но приводит, как правило, к некоторому техническому усложнению процесса решения уравнения: появляются смешанные системы (уравнение и неравенство) и совокупности таких систем.

Так, уравнение из примера 6.1, б равносильно совокупности:

Уравнение x² — 2х – 3 = 4х + 5 — x² из примера 6.1, в равносильно совокупности

Рассмотренные совокупности решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В примере 6.1, в нам удалось легко понять причину потери корня и исправиться, но в большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня, и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).

Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.

Что же касается, неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».

Пример 6.2.

Решим уравнение:

Комментарий. При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида, следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.

Решение

В нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.

Итак, имеем:

Комментарий. При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:

Решив эту систему, получаем область определения уравнения:

Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x₂ = 0 —– принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).

Ответ: х = 0.

Комментарий. Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?

Пример 6.3.

а) Решим уравнение:

При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное рациональное уравнение и сделаем проверку корней.

Итак,

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

Пусть х = -1, тогда левая часть исходного уравнения равна -6. Таким образом, х = -1 — посторонний для исходного уравнения корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований. Пусть теперь, х = 7. Тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Исходное уравнение, таким образом, имеет единственный корень х = 7.

б) Решим теперь уравнение (его чрезвычайно, малое отличие от предыдущего уравнения очевидно).

Поступая так же, как в случае «а», получаем:

Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.

В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x₁ = -1 и x₂ = 7. Корень x₁ = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x₂ = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».

В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?

Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.

Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.

1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.

2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:

   Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.

3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.

Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.

Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.

Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.

Пример 6.4.

Решим уравнение:

Решение

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x² + 2х + 1, т.е. уравнение x² – х = 0. Его корни x₁ = 0 и x₂ = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.

Пример 6.5.

Решим уравнение:

Решение

Уединим радикалы:

Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):

Корни последнего уравнения:

Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x₁ и x₂ принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x₁ и x₂ есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x₁ и x₂.

Итак, пусть тогда:

Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.

Пусть теперь

Тогда

Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.

Пример 6.6.

Решим уравнение:

Распределим радикалы следующим образом:

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.

Пример 6.7.

Решим уравнение: .

При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:

.

Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:

.

Решим первую систему совокупности.

Обозначим: и .

Тогда имеем:

Таким образом,

Корни этой совокупности систем:

Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:

.

Пример 6.8.

Решим уравнение:

Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:

Тогда:

Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде:

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:

Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.

Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.

Пример 6.9.

Решим уравнение:

Перераспределим радикалы

Возведем обе части уравнения в третью степень:

Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:

Снова возведем обе части уравнения в третью степень:

Далее имеем:

В процессе решения, был применен прием, связан ный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .

Если х = -0,4, то:

Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.

Если х = -2,6, то:

Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).

Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.

Ответ: -2.

Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:

По аналогичной схеме решаются уравнения вида .

Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.

Пример 6.10.

а) Решим уравнение: .

Это уравнение легко рационализируется возведением обеих его частей в шестую степень:

И далее:

Подстановкой выясняем, что только х = 2 является корнем данного уравнения.

б) Решим уравнение:

В этом случае возведение обеих частей уравнения в шестую степень уже нецелесообразно. Проведем замену переменных.

Пусть и тогда a + b = 1. Возведем в куб первое уравнение системы ,и в квадрат второе уравнение этой системы; затем почлено сложим полученные уравнения. В итоге получаем: a³ + b² = 1.

Таким образом, имеем систему уравнений:

Решая ее, получаем: т.е. совокупность систем:

В итоге Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что среди этих корней нет посторонних.

Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.

Пример 6.11.

Решим уравнение:

Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы , и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем:

Таким образом, имеем систему уравнений:

Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.

Имеем корни: . Отсюда x₁ = 2, x₂ = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 6.

Пример 6.12.

Решим уравнение:

Аналогично предыдущему примеру получаем симметрическую систему относительно переменных и :

Корни этой системы легко угадываются: Далее получаем корни исходного уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 32.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 32.

Комментарий. Рассмотрим далее несколько примеров решения иррациональных неравенств. Все они, как мы уже обсуждали, решаются применением исключительно равносильных преобразований. Поэтому приведем схемы основных равносильных переходов (.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

Комментарий. Представленные схемы принципиально не изменяются, если исходно рассматривать нестрогие неравенства.

Пример 6.13.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему V:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.14.

Решим неравенство:

Решение

Применим схему III:

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: 

Пример 6.15.

Решим неравенство:

Решение

Перераспределим радикалы: и, воспользовавшись в качестве принципиального ориентира схемой I, получаем:

Таким образом, решение неравенства: [4, 5).

Ответ: [4, 5).

Пример 6.16.

Решим неравенство:

Решение

Преобразуем первую дробь, и будем решать неравенство, применяя метод введения новой переменной:

Таким образом, решение неравенства: (2, 8).

Ответ: (2, 8).

Пример 6.17.

Решим неравенство:

На этом примере мы также как и в предыдущем случае посмотрим особенности применения метода введения новой переменной при решении иррациональных неравенств.

Пусть , тогда Таким образом:

Итак, решение неравенства:

Ответ: 

Комментарий. Можно было решить это неравенство и без применения метода введения новой переменной, рассмотрев отдельно (в совокупности) случаи, задаваемые условиями х > 0 и x < 0. Приводим запись такого решения:

Результат, естественно не зависит от способа решения:

В заключение рассмотрим пример решения иррационального неравенства с двумя переменными (группа С).

Пример 6.18.

Решим неравенство:

Решение

Пусть , тогда неравенство можно записать в виде:

По известной нам схеме это неравенство равносильно системе:

Итак, условия должны выполняться одновременно, т.е. должна выполняться система:

Из нее следует, что т.е. Это означает, что y = 0.

Подставим найденное значение в исходное неравенство; получим неравенство, из которого следует, что x = 1.

Таким образом, решение данного неравенства: x = 1, y = 0.

Ответ: x = 1, y = 0

www.e-biblio.ru

Скаляры и векторы | LCME Wiki

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (закреплённого) вектора.

• Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек эвклидова пространства.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

• коллинеарны
• равны по длине
• одинаково направлены (сонаправлены)

Линейные операции над векторами Править

Сложение векторов Править

Сложение трех свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. Править

Правило треугольника Править

Для сложения двух векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма Править

Для сложения двух векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль суммы Править

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов, где $ \alpha $ — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Умножение вектора на скаляр Править

Произведением вектора $ \overrightarrow u $ и числа $ \lambda $ называется вектор, модуль которого равен $ \lambda u $, а направление совпадает с направлением вектора $ u $, если $ \lambda > 0 $, и противоположно ему, если $ \lambda < 0 $. Если же $ \lambda = 0 $, или вектор $ \overrightarrow u $ нулевой, тогда и только тогда произведение — нулевой вектор.

Скалярное произведение Править

Скалярным произведением векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ называют число, равное $ |u||v|\cos \alpha $, где $ \alpha $ — угол между векторами $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $. Обозначения: $ uv $ или $ |\overrightarrow {uv}| $.

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол $ \alpha $ не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

• коммутативность
• дистрибутивность
• линейность по отношению к умножению на число

Векторное произведение Править

Векторным произведением вектора $ \overrightarrow u $ на вектор $ \overrightarrow v $ называется вектор $ \overrightarrow w $, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $ \overrightarrow w $ равна произведению длин векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ на синус угла $ \alpha $ между ними
• вектор $ \overrightarrow w $ ортогонален каждому из векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ (проще говоря, если $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ перенести так, чтобы они выходили из одной точки, $ \overrightarrow w $ будет нормален к плоскости векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $)
• вектор $ \overrightarrow w $ направлен так, что тройка векторов $ \overrightarrow u \overrightarrow v \overrightarrow w $ является правой

Обозначение: $ [\overrightarrow u \times \overrightarrow v] $

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

• При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность)

(от лат. scalaris — ступенчатый) — величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается действительное число).

lcme.fandom.com

Единичный вектор и умножение на скаляр

Физика > Векторы единиц и умножение на скаляр

 

Единичный вектор и процесс умножения вектора на число в физике: вектор и скаляр, термины и определения, координаты единичного вектора, отображение на графике.

Умножение вектора скаляром соответствует умножению его величины на число.

Задача обучения

• Предсказать влияние умножения вектора на скаляр.

Основные пункты

• Единичный вектор выступает вектором величины (длины) 1.
• Скаляр может представляться одним числом, и лишен направления.
• Умножение вектора на скаляр проходит так же, как умножение величины вектора на число, отображенное скаляром.

Термины

• Скаляр – количество, лишенное направления. Его можно описать одним числом.
• Единичный вектор – вектор величины 1.

Векторы можно не только добавлять, но и умножать на скаляры. Последние отличаются от векторов тем, что обладают величиной, но лишены направления (масса, объем, высота).

В процессе умножения вектора на скаляр, направление вектора остается стабильным, а величина умножается на аналогичную характеристику скаляра. Это создает новую более удлиненную векторную стрелу. Для скалярного умножения можно также использовать компоненты вектора. Просто умножьте каждый на скаляр и получите новые компоненты.



(I) – Умножение вектора А на 0.5 уменьшает его длину.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает длину.

(Iii) – Увеличение массы (скаляр) увеличивает и силу (вектор).

Чтобы все стало намного проще, следует разобраться в единичном векторе. Это вектор, соответствующий по величине или длине 1. В декартовых координатах обычно отображается как x^ и y^. Треугольник над буквами прозвали «шляпой». Координаты единичного вектора описывают круг, чей радиус достигает единицы. Чтобы это увидеть, просто возьмите все векторы длины 1 и поместите на координаты. Если объединить векторы линией, то получится круг.

---

v-kosmose.com

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР

Пусть даны вектор и скаляр . При умножении вектора на скаляр модуль вектора изменяется в раз, а его направление остаётся прежним или меняется на противоположное в зависимости от того, будет скаляр положительным или отрицательным числом. В результате такого действия образуется новый вектор ma, который называется произведением вектора на скаляр , т.е. , где — абсолютная величина числа .

Введём понятие единичного вектора. Единичным вектором, или «ортом », направления называется , имеющий направление вектора и модуль, равный единице: , тогда вектор можно записать через единичный вектор следующим образом: , где а – модуль вектора .

Любой вектор можно представить как произведение единичного вектора на модуль данного вектора. Например, дан вектор , пусть — единичный вектор, с – модуль вектора , тогда .

Проекция любого вектора, на какую либо ось равна его модулю, умноженному на косинус угла между положительным направлением оси проекции и направлением самого вектора. Из рисунка 5 следует, что

 

.

 

 

А теперь рассмотрим, что происходит в случае умножения вектора на положительный скаляр и на отрицательный скаляр.

Пусть у нас будут даны: вектор A и скаляр .

При умножении вектора A на положительный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого совпадает с направлением вектора A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 3: Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с.

Решение: Импульс тела равен: кг · м/с и направлен в сторону (рис.6).

 

 

При умножении вектора A на отрицательный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого противоположно вектору A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 4: Заряд нКл помещён в электрическое поле с напряженностью В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Решение: Сила, по определению, равна . Так как заряд отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, противоположную (рис.7). Модуль силы равен Н мкН.

 

 

 

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается через ( или .

Итак, по определению скалярное произведение двух векторов и равно

,

 

где — угол между векторами и .

Скалярное произведение двух векторов есть скалярная величина, положительная или отрицательная, в зависимости от того, будет больше или меньше нуля, т.е. острый или тупой угол образуют векторы и . Примером скалярного произведения является механическая работа , равная произведению силы на вектор перемещения и косинус угла между ними, т.е.

.

 

Если векторы параллельны, то скалярное произведение равно , так как ; .

Если векторы перпендикулярны , то скалярное произведение векторов равно нулю: , так как

 

Пример5: Найти работу постоянной силы 20 Н, если перемещение тела 7,5 м , а угол между силой и перемещением равен 120⁰.

Решение: Работа силы равна, по определению, скалярному произведению силы и перемещения:

 

Дж




Похожие статьи:

poznayka.org

Умножение векторов на скаляр

Физика > Умножение векторов на скаляр

 

Умножение векторов на число: описание терминов и определения вектора и скаляра, как провести умножение векторов, свойства вектора и скаляра, пример с графиком.

При умножении вектора на скаляр меняется величина вектора, но не направление.

Задача обучения

• Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами.

Основные пункты

• Вектор характеризуется величиной и направлением.
• Скаляр отображается лишь величиной.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению вектора величины на скаляр.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной (лишено направления).
• Величина – число вектора, указывающее на длину.

Обзор

Вектор и скаляры отображают разные типы физических величин, но иногда вынуждены контактировать. Конечно, они обладают разными размерами в пространстве, поэтому добавление невозможно. Однако вектор можно умножить на скаляр, а вот умножить скаляр на вектор не получится.

Чтобы проделать подобную операцию, следует умножать компоненты, а именно величины. Это создаст новый вектор с тем же направлением, но будет уже результатом двух величин.

Пример

Допустим, вы располагаете вектором А с определенными величиной и направлением. Если умножить его на скаляр с величиной 0.5, то новый вектор будет вдвое меньше изначального. Если же величина 3, то втрое больше. Чтобы разобраться детальнее, возьмем силу гравитации. Сила отображает вектор с величиной, зависящей от скаляра (масса), а направление идет вниз. Если массу удвоить, то сила тяжести также удвоится.



(I) – Умножение вектора А на скаляр (а = 0.5) создает вектор В, который вдвое длиннее.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает его длину.

(Iii) – Удвоение массы (скаляр) удваивает и силу тяжести (вектор).

В физике умножение вектора на число приносит много пользы. Большая часть единиц в векторных величинах выступает внутренними скалярами, умноженными на вектор. К примеру, м/с для отображения скорости состоит их двух величин: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Теперь вы знаете, как проводить умножение векторов.

---

v-kosmose.com

Игры Таблица умножения – играть онлайн бесплатно

Каждый школьник в курсе: таблица умножение – это вовсе не благо и, уж тем более, ни гениальное открытие, как твердят хитрые учителя, а настоящее орудие пыток, придуманное для того, чтобы мешать детям вдоволь играть в любимые игры и наслаждаться жизнью.

Кстати, для тех, кто не в курсе — придумал эту гадость Пифагор Самосский. Да-да, тот самый всем известный древний грек – философ, мистик и математик по совместительству. Причем сделал он это примерно за 500 лет до нашей эры. Аналогичную таблицу археологи обнаружили на раскопках Древнего Вавилона. По приблизительным подсчетам ее возраст составляет около 4 тысяч лет (только вдумайся в эту гигантскую цифру!).

Как видишь, даже в те далекие-далекие времена школяров пытали такими же изуверскими методами, что и тебя сегодня. Но, в отличие от тебя, у древнегреческих и месопотамских учеников них не было интернета, а с ним и доступа до онлайн игры Таблица умножения. А значит, и процесс постижения главной математической премудрости давался им куда болезненнее, чем тебе.

Так что порадуйся, что живешь в 21 веке и можешь пользоваться всеми достижениями цивилизации. Игра Таблица умножение, кстати – одна из них. С ней запоминать столбики нудных примеров гораздо веселее, да и быстрее, чем тупо зубрить их с листа. Неоднократно подмечено, игровая форма обучения – самая эффективная из всех, придуманных человечеством. Но предлагаем не верить нам на слово, а проверить тезис на себе. Можно прямо сейчас.

Тем более, что геймплей игры Таблица умножения подчеркнуто прост, даже примитивен. Все игровые манипуляции совершаются мышкой: ты просто кликаешь ею по примерам и ответам, которые считаешь верными. Последние предлагается выбирать из нескольких вариантов. Единственная сложность, с которой можешь столкнуться – ограничение уровней по времени и количеству ошибок.

Это значит, что за выделенное количество минут (обычно, одна-две, не больше) нужно правильно решить заданное количество примеров. Ошибки допускаются, но, как правило, не больше трех. По итогам каждого пройденного уровня игры Таблица умножения тебе будут выставляться баллы (почти как в школе!), так что постарайся сделать так, чтобы их хватило на хорошую оценку. Если же с первой попытки фокус не удастся – не беда, любую игру можно перезапустить еще раз, а потом еще раз – сколько будет нужно. А там, глядишь, и сам не заметишь, как выучишь наизусть все ненавистные столбцы. Да так, что у школьного учителя математики челюсть отвиснет от удивления.

igrulez.net

Как легко выучить таблицу умножения ребенку: не компьютерные игры

Как легко выучить таблицу умножения ребенку – таким вопросом задается родитель, понимая, что зубрежка цифр не ведет к пониманию процесса. Хотя для детей с хорошей памятью это и будет самый легкий способ. Сегодня мы поговорим об интересных играх (не компьютерных), которые дадут возможность осознать суть математических действий и закрепить их знание.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Кто подарил миру данный способ вычислений
2. Когда дети начинают учить умножение
3. Интересные материалы
4. 5 занятий для изучения таблицы в игровой форме

Приветствую, уважаемые читатели. Уверяю, что в статье Вы найдете интересные игры, на подготовку которых у меня ушло от 2 до 5 минут. Если вы задались целью объяснить чаду смысл данного математического процесса, то устраивайтесь поудобней и читайте внимательно. Как всегда, советую подбирать задания по уровню знаний.

Кто придумал таблицу умножения?

Первое, что хочется сделать, вводя новый материал, объяснить кто основатель метода. К сожалению с вопросом кто придумал таблицу умножения по математике, не всё так просто. Мы привыкли считать, что ее основоположником является древнегреческий создатель философской школы – Пифагор. Для многих его имя является синонимом обсуждаемого метода вычислений, но оказывается так ее называют только на русском, французском, итальянском языках.

Никаких доказательств, что именно этот математик был ее прародителем – нет! А вот обратной информации предостаточно. Оказывается старейшая таблица обнаружена в Древней Месопотамии, ее возраст более 4000 лет. В то время как Пифагор проживал 570—490 гг. до нашей эры. Также имеются факты подобных вычислений в Древнем Китае. Мне очень понравилось объяснение профессора Круглова, которое он дал ученику 3-го класса:

Всё это я пишу для того, чтобы вы не запутывали своих детей. Ведь многие родители, свято верящие в нашу образовательную систему, даже не подумают заглянуть в поиск информации, а будут с пеной у рта доказывать отпрыскам, что таблица создана Пифагором.

Если вам хочется рассказать об этом ученом своим деткам, то стоит воспользоваться информацией из Википедия, где подробно описаны его научные достижения. Но все это будет интересно более старшим школьникам. А в каком возрасте начинают учить предмет нашего обсуждения?

В каком классе учат таблицу умножения?

В Советском союзе, надеюсь такое время помню не я одна, задавали эту программу на лето после 1-го класса. В настояще время, в большинстве школ, таблицу умножения учат во второй половине второго класса. Мой сын обучается во французском лицее в Доминиканской республике, именно во 2 классе. О том, почему шестилетний ребенок учится во 2 классе, я писала в отдельной статье.

Расскажу как у них начался ввод данной “науки”. Практически с начала учебного года, дети начали проходить состав числа путем сложения двух одинаковых чисел.

Другими словами, задание на дом может быть следующим:

Напишите из каких равных чисел состоят номера 26, 32, 48, 65.

Да, да обязательно будет с подвохом. Дитя выполняя записывает, например:
26=13+13
65 – сложение двух равных чисел невозможно (на данном этапе это правильный ответ).

В итоге, за полтора месяца дети легко усвоили умножение и деление на 2 в пределах 100, даже не осознавая этого. Как программа будет развиваться дальше, пока не знаю, но начало мне понравилось.

В математике по методике Зайцева, таблица также учится путем сложения. Счет двойками, тройками, четверками – это ведь она и есть. Александру очень нравилось пару лет назад раскладывать карточки. Также, я покупала диск со счетом по Зайцеву, который мы слушали в машине подпевая. Обо всем этом я подробно писала в статье Игровая математика.

В 3,5 года мой сыночек раскладывал карточки, скажем четверками, вот таким образом:

Это была его маленькая победа! Как видно, счет ведется достаточно наглядно, ребенок визуально может оценить правильность своей математической работы. Уже через год подобные занятия выглядели по другому. Я перемешивала все карточки:

И зная, что мой мальчик имеет соревновательный характер, я предлагала ему собрать “линейку счета” на скорость. Например, он собирает линейку теми же четверками, а я семерками. Конечно каждый раз цифры менялись, чтобы усвоились все до 10. Пришлось сделать копии нескольких карточек, чтобы хватало на сбор двух линеек.

Итак, счет четверками через год, выглядел так:

Ну что же, мы с вами выяснили в каком классе учат таблицу умножения и как можно подготовить дитя к ее изучению. А как еще помочь выучить предмет без зубрежки, какие дополнительные материалы помогут в этом?

Полезные материалы для изучения

Если у чада тяга к музыкальному обучению, то подобная песенка поможет выучить счет на 3. Мой сын обожает мультик про этих птичек и подпевать он тоже любит, так что после двух просмотров, тройка была усвоена.

Через книгу тоже можно помочь ребенку выучить таблицу. Я покажу вам два замечательных экземпляра.

Первый Занимательная таблица от издательства Робинс. Очень рекомендую! Во-первых, представленные действия здесь даются не до 10, а до 12. Во-вторых, сказочные окошки еще не оставляли равнодушным ни одного дитя. В-третьих, это не голые цифры, а возможность легко проверить себя по веселым картинкам. А в конце есть возможность действительно пройти проверку своих знаний.

Как легко выучить таблицу умножения ребенку? В веселых стихах! И в этом нам поможет второй экземпляр. Это действительно чудесная книжка, с которой Александр не расставался неделю! Андрей Усачев применив юмор, смог воспроизвести арифметические действия, привязав их к самым неожиданным персонажам. Издательство АСТ, как всегда, порадовало отличным качеством и эта небольшая книжица стала на полки нашей деткой библиотеки. Единственное о чем хочу предупредить, умножение на 2 начинается с двойки, на 3 с тройки, на 4 с четверки и так далее. Но здесь включается “переместительный закон”.

И последний, но не менее полезный материал по авторской методике Шамиля Ахмадуллина “Как выучить таблицу умножения за

www.millionairekids.ru

Таблица умножения — игры на QuickSave.su

Взрослые должны подходить к организации детского досуга максимально ответственно, а ученики с особым интересом использовать свободные минутки, чтобы не терять время впустую. Большинство детишек, которые только постигают азы арифметических действий, называют таблицу умножения настоящим орудием пыток. Это полезный инструмент, который закладывает прочный фундамент в развитии интеллектуальных способностей ребенка.

Учить таблицу нужно не по принуждению, а с охоткой, открывая свой пытливый ум для новых знаний. Чтобы дети с удовольствием занимались, таблицу адаптировали под эффективный онлайн тренажер, в который можно поиграть с друзьями, соревнуясь в звании лучшего умника. Чтобы постичь важные математические премудрости всем желающим рекомендуется посетить сайт популярного развлекательного портала Quicksave, где представлена отличная подборка развивающих логических игр, рассчитанных на маленьких игроманов: Игры учимся считать, математические игры, игры на деление и т.д.

Бестолковое заучивание – это скучно и неинтересно

Нудные примеры легче запоминать, когда обучение проходит в игровой форме. Проверьте этот действенный метод на себе и очень быстро получите положительный результат.

Основные отличия математических игрушек для малышей:

• Простенький геймплей. Для совершения игровых манипуляций достаточно кликнуть мышкой и получить верный ответ;
• Для повышения уровня сложности предусмотрен временной лимит и предел количества ошибок, превышая который нужно начинать все сначала;
• Прикольный игровой формат позволяет существенно облегчить запоминание правильных ответов в столбцах и основных принципов умножения и деления, необходимых для решения простеньких примеров.

Учитесь – играя, вместе с клевыми обучалками от Quicksave

Несколько упорных онлайн занятий обязательно принесут желаемый результат. Не упустите возможность бесплатно протестировать качественные и информативные игры для малышей на понимание элементарных математических действий. Родителям следует лояльно отнестись к возможным трудностям при освоении непонятного на первый взгляд материала собственным чадом.

quicksave.su

Дидактические игры при изучении таблицы умножения

Донецкая профильная гимназия №122

Дидактические игры как средство активизации учащихся

при изучении таблицы умножения

(статья из опыта работы)

учитель высшей категории

Василевская О.Ю.

Дидактические игры как средство активизации учащихся при изучении таблицы умножения

Активизация учащихся при обучении — одно из основных направлений совершенствования учебно-воспитательного процесса в школе. Сознательное и прочное усвоение знаний учащимися проходит в процессе их активной умственной деятельности. Поэтому работу на каждом уроке следует организовывать таким образом, чтобы учебный материал становился предметом активной деятельности ученика.

Изучение табличного умножения и деления – центральная тема курса математики в 3 классе. Методика требует, чтобы дети не только знали таблицу, но и понимали принципы ее составления, дающие возможность находить любое произведение.

Хочу рассказать о некоторых дидактических математических играх, которые я использую на уроках с целью активизации учащихся при формировании вычислительных навыков. Навык, как известно, приобретается в результате многократных повторений одних и тех же операций. Чтобы избежать однообразия в шлифовке табличных случаев умножения и деления, провожу упражнения в игровой, занимательной форме. Загадочные названия дидактических игр помогают мобилизировать внимание детей, создают положительные эмоции.

Ценность дидактической игры я определяю не по тому, какую реакцию она вызывает со стороны детей, а учитываю, насколько она эффективно помогает решать учебную задачу применительно к каждому ученику. Подбирая какую-либо дидактическую игру для урока, продумываю следующие вопросы:

1. Цель игры. Какие умения и навыки будут формироваться в процессе ее проведения? Какие воспитательные цели преследуются в процессе игры?

2. Посильна ли она для учащихся моего класса?

3. Все ли дети будут в одинаковой степени участвовать в игре?

4. Подведение итогов игры.

Игра «Да. Нет»

На доске даны примеры: 4х6, 8х3, 4х5, 7х3, 9х4, 5х6. Показываю карточки с числами. Если число является ответом, учащиеся хором говорят «Да», затем произносят пример 4х6=24. если число не является ответом, говорят «Нет».

«Живая математика»

У всех учащихся есть карточка с цифрами от 0 до 9. Читаю пример (3х2). Встает или поднимает руку тот ученик, у кого карточка с цифрой 6. Лучше всего давать примеры на деление, так как в ответах получаются однозначные числа.

Игра требует двигательной активности, поэтому проводить ее можно вместо физминутки в середине урока.

«Не скажу»

Игра строится так: дети считают, например, от 20 до 50 по одному. Вместо чисел, которые делятся, например, на 6, они говорят: «Не скажу!» !». Эти числа я записываю на доске. Появляется запись: 24, 30, 36, 42, 48. Затем с каждым из записанных чисел учащиеся называют примеры: 24:6=4, 30:6=5 и т.д.

Эта игра способствует целенаправленному формированию механизмов переключения внимания.

«Проверь себя»

Заготавливаю карточки, на которых записаны результаты умножения каких-либо чисел, например 18. Я показываю карточку, а ученики записывают пример на умножение с таким ответом.

«Кто скорее, кто вернее?!»

Раздаю на каждый ряд парт по одному комплекту цифр от0 до 9, так, что одному ученику в ряду достается цифра 0, другому 1 и т.д. Я читаю примеры (4х4; 9х2 или 40:4 и пр.), а дети должны быстро сообразить сколько получится, и те, у кого окажутся цифры 1 и 6, выйти к доске и составить число 16. За каждый пример засчитывается очко тому ряду, в котором быстрее и правильно составили ответ. Ряд, набравший большее число очков, выигрывает.

Игра не только способствует закреплению определенного вычислительного навыка, в частности табличного умножения и деления, но в ходе ее уточняется понимание поместного значения цифр – учащимся нужно встать так, чтобы одна цифра обозначала единицы, другая – десятки. Смешение мест рассматривается как проигрыш.

«Не подведи друга!»

К доске выходят одновременно двое (четверо) учеников. Читаю пример, например: 6х7. Предлагаю составить четыре примера на умножение и деление с этими же числами. Первый ученик составляет примеры на умножение, а другой – на деление. Если примеры составлены и решены верно, одобряю ребят за слаженность в работе. Запись на доске выглядит так:

6 х7=42 7х6=42

42:7=6 42:6=7

Здесь очень важно, чтобы дети усвоили способ нахождения частного по известному произведению, понимали, что из примера 7х6 =42 вытекает 42:7=6, 42:6=7.

«Делится – не делится»

Называю различные числа, а ученики хлопают в ладоши, если число делится, например, на ( 4, 5) без остатка.

«Собери слово»

На доске записаны примеры справа и слева одинаковое количество. К доске выходят две команды. По сигналу каждый из вызванных решает один из примеров и выбирает среди подготовленных карточек карточку с числом, соответствующую ответу примера (на обороте карточки написана буква). Команда, первая составившая слова, побеждает.

В данной игре осуществляется и межпредметная связь, так как могут быть составлены словарные слова или слова на какое-либо правило.

«Молчанка»

Примеры на умножение и деление записаны на доске. Показываю пример, дети на карточках — ответы. (У каждого ученика есть числовой набор).

«Лучший счетчик»

На доске прикреплён круг с цифрами. Даю задание: увеличить (или уменьшить) эти числа в несколько раз. Дети записывают ответы в тетради. Далее следует проверка (ученик, справившийся с заданием первым, читает ответы и все проверяют свои записи.).

«По порядку»

Даны примеры:

8х3

3х2

3х6

7х3

5х3

3х9

Назвать значения выражений в порядке возрастания (или убывания).

«Круговые примеры»

Заранее готовлю карточки с примерами, подбирая их так, чтобы ответ предыдущего примера являлся началом следующего. Каждый учащийся одного ряда получает такую карточку. Здесь очень важно не ошибиться! На следующем уроке эти круговые примеры получают ребята другого ряда.

«Чей ряд лучше?»

Учащиеся первого ряда задают вопросы ученикам второго ряда по таблице умножения (включая и случаи деления). Затем ученики второго ряда готовят примеры для ребят третьего ряда. На доске я подсчитываю количество правильных ответов каждого ряда.

«Какой ряд быстрее полетит на Луну?»

У меня есть 3 ракеты, вырезанные из сложенной вдвое плотной бумаги. Каждая ракета имеет окошки по количеству учеников в ряду. В середину ракеты я вставляю лист, вырезанный по контуру ракеты, и в окошках пишу примеры на умножение и деление. Учащиеся каждого ряда быстро решают по одному примеру, передавая ракету друг другу. Проверяем примеры коллективно. Ракета, в которой все задания выполнены верно, «летит в космос» первой! Использованные листочки с примерами я выбрасываю и вставляю новые. Завтра ракета опять готова к полёту!

Аналогично проводятся игры «Кто быстрее окажется на таинственном острове?», «Какой ряд сегодня умники и умницы?»

«Цепочка»

На доске или плакате запись:

Даю задание:

• найдите последнее число, если первое число 18, 24;

• найдите первое число, если последнее 16, 72.

.

«Математическое домино»

Каждый учащийся получает карточку. Она разделена на 2 части: в первой части написан пример на умножение или деление, во второй части — ответ на другое задание. Первый ученик читает свой пример. Тот, у кого карточка с ответом на прозвучавшее задание, называет этот ответ и произносит новый пример. Отвечает следующий ученик и называет своё задание и т.д.

«Математическое лото»

Все ученики берут по одной карточке. Их у меня 24. На них написаны результаты таблицы умножения (по 4 ответа). Я показываю классу карточку с выражением, например 5х3, а ребята на своих карточках закрывают кружками ответы. Выигрывает тот, кто раньше закроет все числа на своей карточке. Фишки учащиеся изготавливают на уроке трудового обучения.

«Найди пару»

К доске по очереди выходят по 3 ученика от каждого ряда. Задание: записать в окошках числа, чтобы получились верные равенства.

9 х 4 = ? + ?

42 : 6 = ? — ?

76 — 44 = ? х ?

27 + 27 = ? х ?

Это лишь некоторые виды работ на уроках математики, которые активизируют деятельность учащихся. При выполнении описанных выше заданий ребята думают, сравнивают, анализируют. И это способствует более прочному и осознанному усвоению знаний. Данные математические игры можно использовать на различных этапах урока: на этапе изучения нового материала, на этапе закрепления, на этапе проверки знаний, умений и навыков.

Использование игр на уроках математики позволяет более творчески подходить к оценке знаний учащихся, привлекать к работе всех учащихся класса, способствует формированию интереса к предмету, активизирует мыслительную деятельность учеников, развивает смекалку и наблюдательность.

infourok.ru

Таблица умножения игра онлайн

Описание игры:

В современном виртуальном мире существует невероятно большое количество самых разнообразных игр, которые распределены на определенные группы по полу, возрастам и общие группы для развлечений, развития определенных качеств, а также обучающие. Очень большой популярностью пользуются обучающие игры, поскольку здесь предлагается овладеть определенными знаниями, либо проверить собственный уровень овладения какими-либо знаниями в игровой форме, что исключает возможность заскучать во время упражнений.

Сегодня вашему вниманию предлагается увлекательная и очень полезная flash игра для девчат под названием Таблица умножения игра, где вы сможете проверить то, насколько хорошо знаете математическую таблицу умножения, а также поднимите уровень своих знаний на более высокую планку. Если вы сейчас проходите в школе умножение, то данное обучающее развлечение поможет вам стать лучшими ученицами в классе. Игры-для-девочек.РФ желают вам успехов в полезном деле — обучении таблице умножения!

Советы по прохождению:

Как только данное совершенно бесплатное развлечение загрузится на экранах ваших мониторов выберите уровень, на котором будете проверять свои знания. Среди доступных уровней возможно выбрать: умножение от 1 до 10, затем от 11 до 20 и, наконец, от 1 до 20. Теперь определитесь с тем, насколько хорошо вы продвинулись в обучении таблице умножения и выберите самый подходящий для вас уровень.

После того, как выбор в пользу одного из предлагаемых уровней будет совершен перед вами предстанет школьная виртуальная доска, на которой вы увидите пример, где после знака равенства не будет ответа, а в нижней части игрового пространства вы сможете выбрать правильный, на ваш взгляд, ответ и поставить его на место ответа в пример. Для этого при помощи компьютерной мышки просто перетащите необходимое число в пример и поставьте его после знака «равно». В случае если ваш ответ окажется верным вы получите 1 балл, но если вдруг ответ будет неправильным, тогда из вашей копилки будет вычтено 3 балла. Таким образом постарайтесь грамотно и точно отвечать на вопросы, зарабатывая при этом максимальное количество баллов.

В правом нижнем углу игрового пространства вы сможете увидеть кнопку с надписью Подсказка. Нажав на нее вы увидите перед собой таблицу умножения, где сможете отыскать правильный ответ, а затем нажав на кнопку Обратно, расположенную на том же месте в нижнем правом углу поля, вернуться к своему примеру и выбрать правильный ответ. Но, все же не стоит злоупотреблять этим, чтобы запомнить наизусть все примеры.

xn——flcbgbhbt2af4bs0i4bzd.xn--p1ai

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ — бесплатная онлайн игра-тренажёр

  Эта игра поможет быстро и без напряга выучить таблицу умножения. Изучение умножения — это программа математики за 2 класс, но начать обучение можно (и даже нужно) значительно раньше.

Поделись с друзьями!!!

Правила игры

  На школьной доске написан пример на умножение чисел. И несколько вариантов ответа. Выбери из них верный и перетащи его в мигающую область. Перетаскивать шарик нужно удерживая левую кнопку мышки. Если ты не знаешь верного ответа, можешь воспользоваться «Подсказкой».

  За каждый правильный ответ ты будешь получать один балл. За неправильный — у тебя будет отниматься два балла.

Как выучить таблицу умножения. Простая методика

  С начала попробуй набрать на тренажере 10 баллов. Для первого дня такого результата будет достаточно.

  В следующие дни постарайся улучшать свои результаты и набирать на один-два балла больше чем вчера. Если ты хочешь выучить таблицу умножения, то занимайся регулярно! Лучше всего — каждый день по 5 – 10 минут. Используй тренажёр два-три раза в день. Нажми одновременно клавиши «CTRL» и «D» и добавь эту страницу в закладки. И у тебя всегда будет лёгкий доступ к этой бесплатной онлайн-игре.

  Когда ты сможешь быстро и почти без ошибок набирать 25 баллов, твоё знание таблицы умножения уже можно будет оценить как «хорошее». Ну а получение тобою 50 баллов — отличный результат! Можно считать, что тест пройден!

  Если тебе понравилась эта игра, обязательно поделись ею со своими друзьями. Ведь им она тоже может понравиться:-)

  Эта игра предназначена и чрезвычайно полезна для детей от 3 до 10 лет. Она помогает выучить таблицу умножения в игровой форме. Но не только! Во время игры также развивается внимание, память ребёнка. А ещё наша «Таблица умножения» развивает мелкую моторику и укрепляет мышцы кисти руки у детей.

  По этой ссылке можно скачать бесплатно игру «Таблица умножения» себе на компьютер: скачать таблицу умножения. Игра находится в архиве. Так же в этом архиве находится картинка с таблицей умножения, которую можно распечатать дома на цветном или чёрно-белом принтере.

  По этой ссылке можно установить нашу Таблицу умножения на телефоны и планшеты с операционной системой Андроид.

  Создатель сайта будет благодарен Вам, если оцените данную игру. (Это можно сделать вверху страницы.) И напишите, пожалуйста, отзыв об этом тренажере.

igraemsami.ru

Игры на умножение в начальных классах

15 хитростей КАК ВЫУЧИТЬ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ!

математика

В этой статье мы подскажем самые эффективные, самые действенные методы по её запоминанию. Выучить таблицу умножения за 5 минут не получиться, но ускорить процесс запоминания можно!

Все взрослые рано или поздно сталкиваются с тем, что их ребенку нужна помощь в изучении таблицы умножения. В современном мире на страницах интернета есть огромное количество информации, которая помогает детям с легкостью запомнить Пифагорову таблицу. Это множество игр, песен и стихов, аудио и видео программы, различные карточки и т. д. Но эффективными в процессе изучения являются далеко не все представленные способы. Чтобы быстро и легко помочь ученику освоить таблицу умножения и подобрать для этого наиболее эффективный метод, нужен индивидуальный подход к каждому ребенку. Эта статья описывает основные способы изучения таблицы Пифагора. Она поможет выбрать для вашего школьника наилучший вариант освоения таблицы умножения.

Очень важный момент! Для начала необходимо объяснить детям -в чем заключается принцип действия умножения чисел. Начиная изучать таблицу умножения, ученики обычно уже знакомы с основными математическими действиями. Они умеют складывать и вычитать различные числа. И эти навыки помогут вам разъяснить школьнику основную суть умножения. Например: 3 умножить на 2 обозначает то, что число 2 нужно сложить 3 раза и получится 2+2+2, а это очень просто посчитать. Дети должны это хорошо усвоить, чтобы впоследствии не сталкиваться с трудностями в изучении таблицы умножения и непониманием ее. Вам необходимо разъяснить ребенку, как устроена таблица умножения. Нужно сказать что-то типа: «возьмем число из левого столбика, которое нужно умножить на число, расположенное в верхней строке над таблицей. Ответ ищем на пересечении столбика и строчки. Например: шестью три равно восемнадцать (6*3=18).

Совет родителям. Занимайтесь с ребенком в то время, когда и он и вы готовы к занятиям. Если у вас есть более насущные дела, или малыш голоден, утомлен, то усвоение материала будет проходить с меньшей результативностью, чем вы рассчитывали. Выделите полчаса и постарайтесь убрать отвлекающие моменты. Воодушевление и энергия нужны и родителям, и ребенку. Отключите мобильник, телевизор, компьютер, сядьте вдвоем за стол и одолейте эти числа.

Игра в таблицу умножения

Элементы игры очень важны для детей в процессе обучения. Изучая таблицу умножения, нельзя упускать этот важный момент. Игровые приемы помогут заинтересовать ребенка арифметическими действиями, чтобы вникнуть в задание и разобраться в принципе изучения. Не зря главное правило запоминания звучит так: «Интересное запоминается быстрее и лучше!». Вы будете уже на половине пути, если сумеете заинтересовать ребенка умножением.

Игра в карточки является наиболее популярной и эффективной в процессе изучения таблицы Пифагора на первых этапах. В ЭТОЙ статье вы можете подробнее познакомиться с этой игрой под названием «карточки для запоминания таблицы умножения», а также распечатать подготовленные карточки с ответами и примерами.

Принцип игровой таблицы умножения основан на том, что дети вытягивают из стопки понравившиеся карточки, на каждой из которых написан пример умножения не имеющий ответа. Например: 5*5=? или 4*6=? и т. д. В том случае, если ребенок отвечает верно, карточка «покидает игру», но когда ученик ошибается — карточка отправляется обратно в стопку и впоследствии ее снова можно будет вытянуть и ответить повторно.

Естественно, такая игра длится до того момента, пока все карточки не будут вытянуты, а значит дети должны будут дать верный ответ на все предложенные примеры умножения. На том этапе, когда стопка заканчивается, в ней остаются карточки с наиболее сложными примерами, на которые ранее был дан неправильный ответ. Таким образом, ребенок видит и повторяет их неоднократно, что способствует лучшему запоминанию примеров, особенно при азартном отношении к игровому процессу.

Иначе такая игра называется «Тренажер таблицы умножения». В зависимости от усвоенного материала, весь процесс игры можно разделить на несколько этапов. К примеру, «урок» можно начать, выбрав карточки с примерами умножения только на одно число, а затем постепенно добавлять к ним более сложные. У представленной игры множество вариантов и в этом можно убедиться самостоятельно. Все зависит от вашей фантазии, стоит только попробовать!

Внести игровые элементы в процесс освоения таблицы умножения можно всевозможными способами, например — воспользовавшись играми в интернете, различными программами и т. д. Однако, с точки зрения специалистов, такая игра, как «карточки для запоминания таблицы умножения» — самый эффективный и достаточно простой вариант изучения таблицы Пифагора.

Таблица умножения не поддается? Берем её штурмом!

Пробежать глазами представленные ниже способы изучения таблицы умножения полезно не только тем родителям, которые только-только начинают обучать своих детей первым навыкам умножения, но и тем, у кого уже опускаются руки.

В первую очередь необходимо разъяснить ученику самые простейшие примеры умножения из таблицы, те, которые он без всяких затруднений самостоятельно решит. Каждый ребенок может испытывать страх видя таблицу умножения, представленную огромной сеткой 10 на 10 квадратов с множеством чисел. Задача родителей заключается в том, чтобы дать почувствовать малышу, что все довольно просто и легко, и зная элементарные арифметические примеры он сам уже может умножать некоторые числа без особых затруднений.

• Легче всего умножать на «1». Всегда получается число, умножаемое изначально. К примеру, 3*1=3, 5*1=5, 7*1=7, и так до бесконечности.

• Очень просто умножать любое число на «10»,.достаточно дописать к нему «0». Например, 4*10=40, 9*10=90 и т. д.

Освоив таблицу умножения на «1» и «10», ученик поймет, что крайние столбики таблицы умножения он знает достаточно хорошо. Если описанные выше этапы изучения таблицы Пифагора заняли длительное время и ребенок утомился, то изучение остальной части лучше оставить до следующего раза. Но если ученик заинтересовался и полон желания и сил продолжить изучение, то приступаем к следующему этапу.

• Умножаем на «2». Дети обычно легко усваивают и запоминают такие примеры, так как умножить на «2» равносильно тому, что сложить два одинаковых числа, а это достаточно просто. На тот момент, когда вы обучаете малыша таблице Пифагора, он наверняка уже с легкостью складывает различные числа. Поэтому выучить умножение на «2» ему будет очень просто.

• Облегчаем работу!.Научившись удваивать числа (умножение на два), нетрудно начать умножать на четверку. Просто вместо умножения сразу на четверку — можно удвоить число два раза. Для примера решим такой пример — 6х4. Вначале удвоим 6 и получим 12. Удвоим 12 — это 24. Соответственно, 6х4=24. Доведите это действие до автоматизма.

• Меняем местами множители..Одно из основных правил умножения – это переместительный закон или иначе, коммутативный, а звучит он так: «От перестановки множителей местами, произведение не изменяется». Он, как правило, понятен каждому взрослому, но объяснить его детям не очень просто. Есть такие примеры, которые гораздо проще умножить поменяв местами множители, например, 3*8=24 и это равносильно 8*3=24. Естественно, каждый ученик должен это хорошо усвоить. Нужно показать и объяснить детям, почему второй столбик и вторая строка таблицы умножения содержат одинаковые числа, и точно также третий столбик и третья строка и т. д. Отсюда, освоив умножение на «2» ребенок будет знать умножение других чисел на два, просто поменяв их местами, таким образом, процесс изучения становится значительно легче.

Можно сделать вывод, что воспользовавшись вышеописанными способами изучения таблицы Пифагора, вы поможете ученику легко и быстро запомнить её основные значения. Дайте понять своим детям, что не настолько большая и сложная таблица умножения!

Усиленное работа над таблицей умножения

Когда ваш ребенок уже достаточно хорошо освоил простейшие примеры таблицы умножения, следует переходить к наиболее сложным числам. На этом этапе очень важно воспользоваться игровой формой обучения и различными дополнительными приемами для лучшего запоминания. Это ассоциации, проверочные задачи, дробление на части, применение на практике. Большинство из примеров понадобится выучить наизусть и повторять огромное количество раз для того, чтобы впоследствии ребенок без труда мог называть различные значения таблицы умножения по памяти. Не стоит пытаться заставить его выучить все сразу. Осваивать лучше всего по очереди, начиная с умножения чисел на «3», «4», переходя постепенно к более сложным примерам.

Есть педагоги, которые выбирают способ изучения таблицы умножения начиная со сложных чисел, постепенно переходя к простым. Специалисты считают, что не следует так поступать во избежание стресса у ученика, которому сложно будет это понять и запомнить. Ведь умножая 2 на 2, дети с легкостью могут проверить правильность ответа даже на пальцах и понять откуда в таблице взялось число 4. А если, например, попросить ребенка умножить 6 на 7, и объяснить, что значение стоит просто выучить — он не сумеет проверить свои знания на практике. Это значительно ухудшит запоминание таблицы Пифагора.

Квадраты чисел — еще один помощник

Произведение числа самого на себя называют «квадрат числа». В таблице умножения насчитывается 10 квадратов. Их необходимо запомнить. С легкостью запоминаются квадраты, находящиеся до примера 6*6=36, а также последующие три квадрата, как правило, не вызывают особых затруднений у школьников.

Рассмотрим подробнее таблицу умножения на числа от 3 до 9.

• Умножение на «3». На этом этапе изучения ребенок может столкнуться с первыми трудностями. Бывают такие ситуации, что ученику трудно запомнить те или иные значения. В таком случае лучший способ учебы – воспользоваться карточками. Если это не поможет, и у ребенка более гуманитарные способности, можно изучить с ним специальные короткие стишки, которые также представлены в этой статье (ниже), для лучшего усвоения таблицы Пифагора.

• Умножение на «4»..В этом случае также можно воспользоваться стишками или карточками. Задача взрослых – дать понять своему ребенку, что умножение чисел на «4» представляет собой тоже, что и умножение на два и еще раз на два. В этой статье мы описываем не только эти, но и многие другие закономерности арифметики, полезные для быстрого и хорошего развития счета.

• Умножение на «5»..Обычно изучение этого этапа проходит достаточно просто и быстро. Ребенку сразу ясно, что любое значение такого умножения располагаются через пять друг от друга, а также оканчиваются на пять или ноль. Например, четные числа, умноженные на пять, заканчиваются на ноль, а на пять – всегда заканчиваются нечетные числа.

• Облегчаем работу! Помните,.что один и тот же результат умножения иногда дается разными путями, например 4х5=20 и 5х4=20. То есть задание 3х7 или 7х3 — это одно и то же.

• Умножение на «6», «7», «8», «9»..Для изучения более сложных примеров умножения существует определенная особенность. Маленькому ученику в действительности остается освоить от них совсем чуть-чуть (если он хорошо выучил таблицу умножения до пяти, а также квадраты). На представленной таблице это отчетливо можно увидеть. Зеленые ячейки – это то, что ребенок уже выучил.

Таким образом, остальные клеточки в таблице содержат 6 произведений. На них нужно обратить особое внимание, так как это наиболее трудные примеры умножения: 6×7=42; 6×8=48; 6×9=54; 7×8=56; 7×9=63; 8×9=72.

Основываясь на практике, именно с такими выражениями наиболее часто возникают затруднения не только у детей, но и у взрослых. Чтобы лучше запомнить эти примеры, лучше всего воспользоваться игрой в карточки. Это поможет довести до автоматизма все ответы. Более эффективным будет воспользоваться двенадцатью карточками с возможностью перемены множителей местами.

На этом этапе основное обучение таблице умножения завершается. Таким образом, за несколько уроков ее можно с легкостью выучить.

Альтернативные способы изучения таблицы умножения

Разумеется, никто не может однозначно ответить, какой способ «борьбы» с таблицей Пифагора будет наиболее правильным в процессе изучения учебы. Все дети индивидуальны, поэтому нужен особый подход к каждому ученику. Необходимо постараться выбрать самый эффективный и простой способ изучения таблицы для ребенка. Можно попробовать использовать несколько методов в обучении школьника. Таким образом легче и быстрее понять, какой способ изучения таблицы Пифагора больше подходит ребенку. Рассмотрим подробнее несколько методов:

• Практический пример. Если показать на практике то или иное произведение из таблицы умножения, запомнить его будет намного легче. К примеру, у ребенка можно спросить, сколько всего лапок у трех кошек, ответ очевиден – это 12, то есть 3*4=12. Подобные примеры можно подобрать с учетом пола ребенка и его увлечений.

• Как выучить сложные примеры?.Обычно для детей одни примеры из таблицы Пифагора запоминаются легко, а другие очень трудно. Поэтому нужно часто тренироваться с ребенком на освоение сложных примеров, чтобы он мог отчетливо их изучить.

• Покоряем 11..При необходимости умножения 11 на любую цифру от 1 до 9 — просто повторите эту вторую цифру. 2х11=22. Две двойки. 5х11=55. Двойная пятерка. Вопрос содержит в себе ответ.

• Еще один секрет числа 11..Если математика не представляет проблемы для вашего ребенка, изучите с ним и такую интересную тонкость произведения одиннадцати и произвольного двузначного числа. Вот эта техника. Берется число, которое нужно умножить на 11 и разъединяется на пару отдельных цифр. К примеру в примере 11х23 мы делим 23 на цифры (2, а также 3), складываем их (получаем 5), а результат подставляем в середину – между двойкой и тройкой. То есть, получаем 253. Проверьте на калькуляторе, если не верите! 11х23 действительно равно 253. Такая хитрая схема умножения на 11 подойдет для любого двузначного числа.

• Учим таблицу умножения на пальцах рук..В таблице умножения есть примеры, которые с легкостью можно посчитать, воспользовавшись собственными пальцами. Это относится не только к простейшим множителям, но и к достаточно сложным числам. Например, при умножении на «9» необходимо расположить руки рядом друг с дружкой ладошками вниз, выпрямив при этом пальцы. Чтобы умножить какое-либо число на «9», нужно только загнуть палец, который соответствует номеру нужного числа, начиная отсчет с левой стороны. Количество пальцев до согнутого пальчика – это десятки, а после него – единицы нужного ответа. Как правило, на пальчиках можно умножать абсолютно всю таблицу.

Рифма при изучении таблицы умножения

Рассмотрим еще один из методов успешного запоминания таблицы Пифагора. Это использование стихов, рифмы. Когда ребенку сложно запомнить то или иное значение таблицы обычным числом, то стоит обратить внимание на представленный метод. Большинство детей гораздо проще заучивают стишки, чем обыкновенные «сухие» цифры. В интернете можно найти множество таблиц умножения в стихах, как маленьких, так и больших.
Рифмы рекомендуется использовать в достаточно сложных примерах, например, с такими множителями как «7» и «8».

Родители помните!

• Начинайте изучение умножения тем методом, которым пользуются учителя в школе. Если вы владеете другим способом, сначала используйте вариант, применяемый на уроках, тем более — если он дает результат. Если нет, пользуйтесь своим методом.

• Не следует.пользоваться денежными или материальными поощрениями, — это скорее разовьет тягу к деньгам, а не к знаниям. Награды «крупного калибра» лучше придержать до экзаменов или тестов. Правильные решения в условиях экзамена (под давлением) — только за такой результат можно награждать.

• Хвалите за успехи..Делайте передышки между упражнениями. Давайте небольшой отдых. Когда вы искренне радуетесь достижениям ученика, у него появляется желание завоевать признание в последующем. Озвучивайте успехи в занятиях, не радуйтесь молча.

• Если занятия проходят не так быстро,.как планировалось — расслабьтесь. Негатив в мыслях и эмоциях может остановить занятие. Плохое эмоциональное состояние сведет к нулю все успехи. Стимулируйте ребенка к старанию.

• Делайте перерывы..Каким бы умным ни был ребенок, он не может заниматься 2–3 часа подряд. Если чувствуете, что внимание рассеивается, ученик отвлекается, сделайте паузу. Вам она тоже пригодится. После отдыха бегло повторите то, что уже прошли.

• Освоение крупных.объемов цифровой информации очень быстро вызывает непонимание и разочарование в методе. Необходимо работать постепенно, этим вы облегчите освоение учебных материалов. При необходимости прорабатывайте один пример за несколько дней — пока ребенок не разберется.

• Слова «глупый»,.«ленивый» — табу при обучении. Использование их вредит процессу. Терпение и плановый подход к обучению обязательно принесут эффект.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

ДЛЯ ЗАПОМИНАНИЯ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ

Составь слово.

На доске записаны выражения. Выходят две команды. По сигналу каждый из вызванных решает одно из выражений и вы­бирает среди подготовленных карточек карточку с числом, со­ответствующим ответу выражения (на обороте карточки напи­сана буква). Команда, первая составившая слово, например «мо­лодцы», побеждает.

Лучший счетчик.

На доске записаны выражения: справа и слева их количество одинаковое: 9 • 9, 3 • 8, 7 • 8, 9 • 4, 4 • 8, 9 • 3, 6 • 7, 7 • 3.

По команде учащиеся начинают записывать или выклады­вать из разрезных цифр соответствующие ответы, один — слева, другой — справа. Выигрывает тот, кто первым справится с зада­нием. (Проводя эту игру, нужно чаще повторять те случаи ум­ножения и деления, которые труднее запоминаются. Учитель фиксирует ошибки, затем записывает их на заранее подготов­ленных лентах.)

Отбей мяч.

Учитель называет любое выражение (5 • 9), бросает ученику мяч, ученик говорит ответ и возвращает мяч учителю. Затем учитель снова называет пример, бросает мяч другому ученику и т. д.

Живая математика.

У учащихся карточки с цифрами от 0 до 9. Учитель читает выражение (3 • 2). Выходит, встает или поднимает руку тот ученик, у кого карточка с цифрой 6. (Можно давать выражения на деление. Если в ответе двузначное число, встают двое учащихся.)

Делится — не делится.

Учитель называет различные числа, а ученики поднимают руку, если число делится, например, на 3 (на 4, на 5) без остатка.

Не скажу.

Учащиеся считают от 1 до 20 (30, 40 и т. д.) по одному. Вме­сто чисел, которые делятся, например, на 2, они говорят: «Не скажу».

Лыжники.

На доске записаны два ряда выражений для двух вариантов:

I вариант: 5 • 7, 7 • 8, 9 • 3, 8 • 9, 3 • 4…

II вариант: 4 • 9, 6 • 8, 7 • 3, 9 • 9, 9 • 2…

(Аналогично можно дать выражения для деления или, на­пример, вперемежку для двух действий.) Дети считают и запи­сывают только ответы. На следующем уроке после проверки ра­бот учитель сообщает, кто добрался до финиша, не «споткнул­ся», то есть правильно решил все выражения. С тем, кто «спо­ткнулся», учитель потом повторяет соответствующие случаи умножения и деления. Для быстрой проверки привлекаются кон­сультанты.

Не подведи друга.

К доске одновременно выходят двое (четверо) учеников. Учитель читает выражение, например 6•7 и предлагает соста­вить четыре выражения на умножение и деление с этими же числами. Первый ученик составляет выражения на умножение, а второй — на деление. Если выражения составлены верно, учитель одобряет детей за слаженность в работе. Запись на доске выглядит так: 6 • 7 = 42, 7 • 6 = 42, 42 : 6 = 7, 42 : 7 = 6.

День и ночь.

Когда учитель произносит слово «Ночь», учащиеся кладут голову на парту и закрывают глаза. В это время учитель читает (записывает) выражение для устного счета на деление или ум­ножение. Следует небольшая пауза. Затем учитель говорит: «День». Дети открывают глаза, садятся прямо, и те, кто сосчи­тал, поднимают руку и говорят ответ.

(Игра ценна тем, что дает возможность сосредоточиться при счете детям с замедленной реакцией, приучает их воспринимать задание не только по записи, но и на слух.)

Кто скорее, кто вернее?

Учитель раздает на каждый ряд парт по одному комплекту цифр от 0 до 9, так что одному ученику в ряду достается цифра 0, другому 1 и т. д. Учитель читает выражение, например 4 • 4. Учащиеся должны быстро сосчитать, сколько получится, и те, у кого окажутся цифры 1 и 6, выйти к доске и составить число 16. Очко засчитывается тому ряду, в котором быстрее и в то же время правильно составлен ответ. Ряд, набравший большее чис­ло очков, выигрывает.

(Игра способствует не только закреплению определенного вычислительного навыка табличного умножения и деления, но и уточнению понимания поместного значения цифр — учащимся нужно встать гак, чтобы число читалось правильно. Переста­новка в записи десятков и единиц рассматривается как проиг­рыш.)

Точки.

Для проведения этой игры необходимы специальные трафа­реты (плотный картон размером 20 х 15 см). Сверху пишутся цифры 1, 2, 3 … 9. То же самое пишем слева вниз по вертикали, то есть трафарет напоминает таблицу Пифагора, только на месте пересечения линий по горизонтали и вертикали делаются проре­зи (пробиваются отверстия). Таким образом, получается сетка с 81 отверстием. По заданию учителя учащиеся вместо записи от­вета ставят точку в отверстии нужного ответа.

Возможен другой вариант игры. На каждую парту учитель раздает по одному трафарету (один трафарет для двоих, сидя­щих за одной партой). С обратной стороны трафарета прикреп­ляется листок бумаги. По команде учителя один ученик ставит в любом месте отверстия точку, а другой составляет выражение по данному ответу. В другой раз роли учеников меняются.

(Эта игра наиболее эффективна тем, что она позволяет за минимальный отрезок времени воспроизвести наибольшее ко­личество ответов, выявить ошибки каждого ученика.)

Проверь себя.

Для игры нужны карточки, на которых записаны результаты умножения каких-либо чисел, например 18. Учитель показывает карточку, а учащиеся должны записать выражение с таким отве­том.

У кого больше выражений?

Учащимся предлагается составить и записать табличные случаи умножения со следующими числами 35, 48, 24, 81 и т. д. Выражения составляются в тетрадях. Проверка осуществляется так: один из учеников читает выражение с ответом 35, осталь­ные подчеркивают его у себя, другой читает следующее выра­жение и т. д. Выигрывает тот, кто составит больше выражений.

Кроме этих игр, можно проводить игры «Поймай рыбку», «Кто больше соберет грибов?», «Садовники» и другие.

Проводятся они так: на вырезанных из бумаги или картона рыбках, грибах, яблоках и т. п. на обратной стороне записаны выражения. Учащиеся по очереди берут карточку, переворачи­вают ее и решают. Правильно решил — поймал рыбку, сорвал гриб, яблоко и т. д.

Кроме того, игровая форма управления иногда выражается в использовании рисунков — изображений любимых детских геро­ев: Незнайки, Буратино, Карлсона и т. д. К этой группе относит­ся игра «Проверь Незнайку». К доске прикрепляется рисунок — изображение Незнайки, и тут же записывается несколько выра­жений с решениями. Некоторые из них решены с ошибками. Учитель показывает на какое-либо выражение, учащиеся прове­ряю! его. Если решение правильное, то в классе полная тишина. Если решение неправильное, дети хлопают в ладоши.

Прочному запоминанию табличных случаев умножения спо­собствует работа с сорбонками. Сорбонки (от названия Париж­ского университета) имеют широкую сферу применения для ус­воения иностранных слов, формул и т. д. Сорбонки для усвоения таблицы умножения — это маленькие листочки бумаги, на одной стороне которых написаны отдельные элементы таблицы, на­пример, 7 • 8, на другой — ответ: 56.

Имея набор таких листочков, ученик играет: правильно — неправильно? 5 • 6 = 30. Правильно, карточка ложится в одну сторону. 7•6… Забыл. Карточка откладывается в другую сто­рону. Постепенно остаются карточки с неусвоенными элемен­тами таблицы. С ними ученик тренируется в последующие дни.

Перевертыши.

Эта игра используется при изучении таблицы числа 9. По­смотрев, дети отмечают, что у этой таблицы интересные ответы.

Стоит переставить цифры в ответе второго, получится ответ по­следнего, если переставить цифры третьего ответа, то получает­ся ответ предпоследнего и т. д.

9

18

27

36

6

45

54

63

72

81

Таблица умножения на пальцах.

При умножении на 9 пальцы рук могут служить счетным прибором. Для этого обе руки кладутся на парту. Как для этого используются все 10 пальцев, покажем на примерах. Пусть тре­буется умножить 3 на 9. Слева направо найдите третий палец и загните его. Тогда слева от загнутого пальца выпрямленными будут 2 пальца, они будут обозначать 2 десятка. Справа от за­гнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они озна­чают 7 единиц. Сложите 2 десятка и 7 единиц, получите 27.

Возьмите другое выражение: 6 • 9. Отсчитаем слева направо 6 пальцев и шестой загнем. Тогда слева от загнутого пальца ока­жется 5 пальцев — это 5 десятков, а справа от загнутого пальца будет 4 пальца — это 4 единицы. Получится 54.

Ритмические игры

Эти игры вводятся за 1-2 месяца до изучения таблицы ум­ножения. Игры вводятся постепенно, каждая последующая предлагается после того, как усвоена предыдущая.

Разбившись парами и стоя лицом друг к другу, дети считают молча, про себя, одновременно выполняя под счет движения.

Счет через 2.

Хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 1), прикоснуться друг к другу ладонями и сказать — 2, хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 3), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать — 4) и т. д.

Счет через 3.

Коснуться руками ног (сказать про себя — 1), хлопнуть в ла­доши (сказать про себя — 2), прикоснуться друг к другу ладоня­ми (сказать про себя — 3), коснуться руками ног (сказать про се­бя — 4), хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 5), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать про себя — 6) и т. д.

Счет через 4.

Коснуться рукой правой ноги (сказать про себя — 1), кос­нуться рукой левой ноги (сказать про себя 2), хлопнуть в ла­доши (сказать про себя — 3), прикоснуться друг к другу ладоня­ми и сказать — 4. Коснуться рукой правой ноги (сказать про се­бя — 5), коснуться рукой левой ноги (сказать про себя — 6), хлоп­нуть в ладоши (сказать про себя — 7), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать про себя — 8) и т. д.

Счет через 5.

Коснуться руками ног (сказан, про себя — 1), коснуться пра­вой рукой левого плеча (сказать про себя — 2), коснуться левой рукой правого плеча (сказать про себя — 3), хлопнуть в ладоши (сказать про себя 4), прикоснуться друг к другу ладонями (ска­зать про себя — 5) и т. д.

Счет через 6.

Коснуться рукой правой йоги (сказать про себя — 1), кос­нуться рукой левой ноги (сказать про себя — 2), коснуться пра­вой рукой левого плеча (сказать про себя — 3), коснуться левой рукой правого плеча (сказать про себя — 4), хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 5), прикоснуться друг к другу ладонями (ска­зать про себя — 6) и т. д.

Счет через 7.

Топнуть правой ногой (сказать про себя — 1), топнуть левой ногой (сказать про себя — 2), коснуться рукой правой ноги (ска­зать про себя — 3), коснуться рукой левой ноги (сказать про се­бя 4), дотронуться двумя руками до плеч (сказать про себя 5), хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 6), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать про себя — 7) и т. д.

Счет через 8.

Топнуть правой ногой (сказать про себя — 1), топнуть левой ногой (сказать про себя — 2),

коснуться рукой правой ноги (сказать про себя — 3), коснуть­ся рукой левой ноги (сказать про себя — 4), коснуться правой ру­кой левого плеча (сказать про себя — 5), коснуться левой рукой правого плеча (сказать про себя — 6), хлопнуть в ладоши (сказать про себя — 7), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать про себя — 8) и т. д.

Счет через 9.

Топнуть правой ногой (сказать про себя — 1), топнуть левой ногой (сказать про себя — 2), коснуться рукой правой ноги (ска­зать про себя — 3), коснуться рукой левой ноги (сказать про се­бя — 4), коснуться правой рукой левого плеча (сказать 5), кос­нуться левой рукой правого плеча (сказать про себя — 6), дотро­нуться до головы (сказать про себя — 7), хлопнуть в ладоши (ска­зать про себя — 8), прикоснуться друг к другу ладонями (сказать про себя — 9) и т. д.

infourok.ru

Транспортная задача линейного программирования — matematiku5.ru

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН ДЛЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ПЕРЕВОЗОК

§ I. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА

Транспортная задача линейного программирования

Целью использования математических методов при планировании перевозок является разработка оптимального плана. Оптимальным называют наилучший вариант плана при данных заданных условиях перевозок, обеспечивающий наиболее эффективное выполнение перевозочного процесса.

Выбор оптимального варианта является весьма сложной за дачей, так как количество возможных вариантов решения различных транспортных задач может быть чрезвычайно велико. Например, при двух поставщиках и двух потребителях может быть шесть различных вариантов перевозок, при трех поставщиках и трех потребителях — 90 вариантов, при четырех поставщиках и четырех потребителях — 6256 вариантов, а при пяти поставщиках и восьми потребителях количество вариантов будет около миллиарда. Поэтому при практической работе «нельзя, сравнивая результаты расчета каждого варианта между собой, выбрать лучший, так как это займет много времени.

В последние годы разработаны математические методы планирования, позволяющие найти решение не путем перебора и сравнения всех возможных вариантов, а путем применения определенного математического расчета, который рядом последовательных приближений приводит к оптимальному решению. В настоящее время среди математических методов планирования наиболее разработанными являются методы линейного программирования. Слово «программирование» показывает, что эти математические методы применяют для планирования, т. е. для составления программы (плана). Слово «линейное» определяет математическую природу этих методов, которая заключается в том, что этими методами решают задачи с линейными связями и ограничениями, т. е. если выразить задачу в математической форме, то в ней все неизвестные будут в первой степени.

Это видно на примере так называемой транспортной задачи линейного программирования, которая получила наибольшее применение при оптимальном планировании автомобильных перевозок.

Условия примера транспортной задачи приведены в табл. 10 где в верхних правых углах клеток дано расстояние между пунктами. Каждый пункт производства условно обозначен буквой А с порядковым номером, а пункт потребления — буквой Б с порядковым номером. В табл. 10 также указаны объемы производства и потребления. Необходимо так организовать пере возки, чтобы общий объем транспортной работы в тонно-километрах был минимальный.

Если обозначить количество груза буквой х с двумя индексами, первый из которых показывает, куда везут груз, а второй— откуда везут груз (например, х23 — это количество груза, доставляемого во второй пункт потребления Б2 из третьего пункта производства А3), то в математическом виде эту задачу можно записать в следующем виде:

1) количество доставляемого груза в каждый пункт потребления равно:

x11+x12+x13 = 60;

x21+x22 + x23 = 40;

x31+x32+x33 = 90;

x41 + x42 + x43=10;

x51+x52 + x53 = 40;

2) количество отправляемого груза из каждого пункта производства равно:

x11+x21+x31 + x41 + x51 = 100;

x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 90;

x13 + x23+x33 + x43 + x53 = 50;

3) необходимо определить такие неотрицательные значения неизвестных х (т. е. x=>0), при которых будет обеспечен минимальный объем транспортной работы в тонно-километрах

Сmin =6x11 + 3x12 + 2x13 + 3x2,+7x22 + 6x23 + 2x31 + 8x32+4x33+4x41 + 6x42+5x43 + 2x51+2x52 + 6x53

Таким образом, пример получил математическую формулировку и в ней все неизвестные находятся в первой степени.

В данном примере имеется 15 неизвестных и 8 уравнений. Кроме того, решение необходимо получить при минимальной функции Cmin. Из этого видно, что решение этих уравнении обычными алгебраическими методами невозможно и его можно получить только с помощью методов линейного программирования.

Несмотря на то, что методы линейного программирования основаны на одном из разделов высшей математики — линейной алгебре, техника расчетов по этим методам несложна. Как только становится известен порядок вычислений, для вычисления достаточно знания основных арифметических действий.

В настоящее время известно несколько различных алгоритмов решения транспортной задачи линейного программирования. Одним из них является так называемый модифицированный распределительный метод.

Порядок вычислений с помощью этого метода покажем на примере решения транспортной задачи, условия которой приведены в табл.10.

Таблица 10 Пример транспортной задачи

Для этого все исходные данные перенесены в новую таблицу, называемую матрицей (табл. 11). В ней, кроме строк и столбцов, которые были в табл. 10, даны вспомогательные строка и столбец, которые потребуются в дальнейшем.

Порядок вычисления.

1. Первоначально груз распределяют путем последовательной записи по каждому столбцу количества груза в клетки с наименьшим расстоянием. В столбце А1 наименьшее расстояние 2 км имеется в клетках А1Б3 и А1Б5. В первую клетку записываем 90, так как потребность пункта Б3 равна этой величине, а остаток груза по пункту А1 записываем в клетку А1Б5. Так как весь груз поставщика А1 распределен, переходим к следующему столбцу A2. Наименьшее расстояние здесь находится в клетке

Таблица 11 Первоначальное распределение

А2Б5. Записываем в эту клетку цифру 30, так как потребность пункта Б5 составляет 40 единиц груза, а 10 ему уже доставляется из пункта А1 Следующее наименьшее расстояние в этом столбце находится в клетке A2Б1. Записываем туда цифру 60. В последнем столбце A3 цифры записываются в клетки, принадлежащие строкам тех потребителей, которые еще не обеспечены грузом. В табл. 11 это клетки Б2А3 и Б4А3.

Клетки, где проставлено количество груза, называют загруженными.

2. Для проверки оптимальности полученного распределения определяют специальные индексы, проставляемые в клетках вспомогательного столбца и строки. Это делается по следующему правилу: в клетке вспомогательного столбца, соответствующей первой строке (строке Б1), записывают 0. Остальные индексы рас считывают, исходя из того, что величина расстояния, записанная в верхнем правом углу каждой загруженной клетки, должна быть равна сумме индексов в соответствующих клетках вспомогательной строки и столбца.

Так, в табл. 11 записываем 0 в клетке вспомогательного столбца строки Б1. Загруженной клеткой в этой строке является клетка А2Б1 с расстоянием 3 км. Если обозначить индекс, который должен находиться в клетке вспомогательной строки, соответствующей столбцу А2, буквой α2, то расстояние в клетке A2Б1 должно быть равно 0+α2 = 3. Отсюда α2 = 3—0 = 3. Запишем эту цифру в клетку вспомогательной строки соответствующей столбцу А2. Будем называть это индексом столбца А2.

Так как определен индекс столбца А2, а в этом столбце имеется загруженная клетка A2Б5 с расстоянием 2 км, то индекс строки Б5 будет равен β5 =2 — 3 = — 1.

Индекс для столбца А1 можно определить по загруженной клетке А1Б5, он будет равен α1 = 2—(—1) =3.

Теперь можно определить по клетке A1Б3 индекс βз = 2— 3 = —1.

Для остальных строк Б2 и Б4 и столбца А3 индексы определить нельзя, так как в табл. 11 количество загруженных клеток меньше числа т + п—1, где т — количество строк;

п — количество столбцов, т. е. должно быть загружено 5 + 3—1 = 7, а в табл. 11 только 6 загруженных клеток. Такого положения не должно быть.

Если количество загруженных клеток меньше числа т + п—1, то необходимо искусственно загрузить недостающее количество клеток матрицы, для чего в них записывают 0. В последующих расчетах с этой клеткой оперируют как с загруженной.

Постановка нулевой загрузки не повлияет на сумму наличия и потребности груза. Нуль следует ставить в ту клетку, которая лежит на пересечении строки или столбца, не имеющих коэффициента, со строкой или столбцом, для которых индексы уже определены. Наиболее целесообразно при этом выбрать из этих клеток такую, в которой имеется наименьшее расстояние.

Сделаем это в табл. 11. Клеткой с наименьшим расстоянием, которая лежит на пересечении столбца, не имеющего индекса, со строкой, коэффициент которой уже определен, будет клетка А3Б1. Туда записываем 0 и считаем эту клетку загруженной. Это дает возможность определить индексы и для строк Б2 и Б4 и для столбца А3. Теперь все индексы определены.

3. После определения всех значений индексов выполняется следующее:

находят такие незагруженные клетки, в которых расстояния, указанные в верхнем правом углу, будут меньше суммы цифровых значений индексов строки и столбца, соответствующих рассматриваемой клетке.

В табл. 11 для клетки А1Б1, сумма индексов будет меньше указанного в ней расстояния (0 + 3<6). Значит, эта клетка не отвечает вышеуказанному условию.

Проверив таким же путем все остальные клетки матрицы, находим клетку А1Б2, где сумма индексов будет больше указанного в ней расстояния. Разность между этой суммой и расстоянием показывает величину экономии, которую можно получить на каждую единицу загрузки, перемещенную в эту клетку.

В табл. 11 в клетке А1Б2 указано расстояние 3. Разность между суммой соответствующих индексов и этим расстоянием составляет (3+4) — 3 = 4.

Это показывает, что на каждую тонну груза, перемещенного в клетку A1Б2, можно получить экономию в расстоянии пере возок 4 км. Другой такой же клеткой будет клетка А1Б4 с разностью между суммой индексов и расстоянием (3 + 3)—4 = 2.

Цифру разности записывают в верхнем левом углу соответствующих клеток и берут в рамку. В табл. И это сделано в клетках А1Б2 и А1Б4. Других таких клеток в матрице нет.

4.  Для дальнейших расчетов выбирают клетку с наибольшим числом в левом углу клетки. В табл. 11 этой клеткой является клетка А1Б2.

5.  Для определения величины загрузки, которую следует проставить в выбранную клетку, для нее строят «контур» — замкнутую линию, состоящую из прямых горизонтальных и вертикальных отрезков, все вершины которой лежат в загруженных клетках (кроме клетки, с которой начинают строить контур). Каждой выбранной клетке может соответствовать только один «контур».

«Контур» строят следующим образом. От выбранной незагруженной клетки ведут прямую линию по строке или столбцу до такой загруженной клетки, которой под прямым углом соответствует еще одна загруженная клетка, и так до тех пор, пока линия не замкнется в исходной незагруженной клетке. Движение при определении «контура» совершается строго под прямым углом, причем в каждой строке и столбце, которые находятся в замкнутой линии, в состав «контура» должны входить две клетки.

В табл. 11 построен контур для клетки A1Б2.

Всем вершинам «контура» попеременно присваивают знаки «—» и «+», начиная с выбранной для начала построения «контура» клетки, которой всегда дается знак «—».

Затем из всех величин загрузок клеток, обозначенных знаком « + », выбирается наименьшая цифра загрузки. Такая загрузка находится в клетке А1Б5 и составляет 10 единиц. Это количество груза отнимают из загрузки, указанной в клетках со знаком «+» и прибавляют к загрузке, указанной в клетке со знаком«—». Полученные цифры записывают в новую матрицу, куда также без изменений переносят загрузку тех клеток, которые не являлись вершинами «контура».

Это сделано в табл. 12, которая является новым вариантом распределения. Теперь с этой новой матрицей производят все операции, которые были описаны выше.

Таблица 12 Улучшенное распределение

Определим индексы во вспомогательных строке и столбце в табл. 12. Затем отыскиваем клетку, где сумма индексов больше расстояния. Такой клеткой в табл. 12 является клетка А3Б3-Записываем в ней в рамке соответствующую разность и строим «контур», вершины которого обозначаем знаками «—» и « + ».

Наименьшая загрузка в клетке со знаком « + » составляет 30. Прибавляем ее к загрузке в клетках со знаком «—» и отнимаем ее от загрузки в клетках со знаком « + ». Вновь полученное распределение записываем в следующую таблицу (табл. 13). В табл. 13 снова находим вспомогательные индексы, а затем просматриваем все незагруженные клетки, чтобы среди них найти ту, для которой сумма двух соответствующих индексов будет больше указанного в ней расстояния. Но в табл. 13 таких клеток нет. Их отсутствие говорит о том, что дальнейшее улучшение плана невозможно и получен оптимальный вариант решения.

Таблица 13 Оптимальное распределение

Если в рассматриваемом примере сравнить объем транс портной работы в тонно-километрах, который был получен в первоначальном распределении (см. табл. 11), где он равнялся 730 ткм, с оптимальным решением (см. табл. 13), где он составляет 660 ткм, то видно, что он снизился почти на 10%.

Не всегда такое оптимальное распределение является единственно возможным. Если в матрице, где записано оптимальное распределение, имеются незагруженные клетки, для которых разность между суммой индексов и расстоянием оказывается равной 0, то можно получить и другие оптимальные варианты распределения. Это делается путем построения «контура»»для клетки с нулевой разностью и соответствующих перемещений всей наименьшей загрузки или части этой загрузки по «контуру»-Эти варианты будут тоже оптимальными, т. е. сумма тонно-километров останется минимальной, но закрепление потребителей за поставщиками будет иное.

В табл. 13 для клетки А2Б4 соответствующая разность равна 0. Значит, можно дать другие оптимальные закрепления потребителей за поставщиками при всех тех же исходных данных, например, так, как это сделано в табл. 14. Легко подсчитать, что здесь количество тонно-километров тоже составляет 660.

Таблица 14 Второе оптимальное распределение

Возможность получить в некоторых случаях одинаковые по сумме тонно-километров, но различные по закреплению оптимальные решения может быть использована в практической работе.

В основу решения может быть положено не только получение минимума тонно-километров. Критерием оптимальности можно, в зависимости от конкретных условий, избрать достижение минимума стоимости перевозок. Тогда в верхних правых углах клеток матрицы проставляют стоимость перевозок между пунктами. Если нужно найти минимум затрачиваемого времени на перевозки, тогда, соответственно, указывают время перевозки между пунктами и т. д.

С целью уменьшения трудоемкости решения рекомендуется:

1)  писать матрицу на плотной бумаге;

2)  все исходные данные (наименование поставщиков, потребителей, расстояния между ними, потребность в грузе и наличие груза) писать чернилами;

3) все остальные операции (предварительное распределение, передвижение загрузки по строкам и столбцам, индексы во вспомогательных клетках, цифры, разностей, ломаные линии — «контуры») писать карандашом;

4)  после обработки каждого варианта распределения не переписывать таблицу заново, а стирать резинкой старые, изменяющиеся цифры и на их место заносить карандашом новые;

5)  окончательное решение, т. е. оптимальное распределение, записать в таблицу чернилами.

Необходимо отметить, что наряду с модифицированным распределительным методом, транспортная задача может быть решена и другими методами, например, методом разрешающих слагаемых А. Лурье — Ю. Олейника, дифференциальных рент А. Брудно и рядом других.

Имеются также различные способы первоначального распределения, которые могут значительно снизить трудоемкость решения.

Практика решения задач показала, что без помощи электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ) задачи размером тxп<= 500, вручную решаются при наличии определенного навыка за 2—3 часа, а задачи, размером тхп <=2000— за несколько дней.

§ 2. ОПТИМАЛЬНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ЗА ПОСТАВЩИКАМИ И КЛИЕНТУРЫ ЗА АВТОХОЗЯЙСТВАМИ

Одним из основных вопросов планирования перевозок является закрепление потребителей за поставщиками. Постановка этой задачи состоит в следующем.

Имеется ряд поставщиков и потребителей однородной продукции. Заданы расстояния между всеми поставщиками и потребителями, объем поставок и потребления каждым из них. Необходимо найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, который обеспечивает минимальный объем транс портной работы в тонно-километрах или наименьшее среднее расстояние перевозки груза.

Аналогичны постановка и задачи по закреплению клиентуры за автохозяйствами: имеются автохозяйства, начальные пункты погрузки и конечные пункты разгрузки. Заданы расстояния между автохозяйствами и всеми указанными пунктами, известно количество подвижного состава, которое необходимо подавать на каждый маршрут или клиенту. Строится план за крепления маршрутов и клиентуры за автохозяйствами, при котором общий нулевой пробег всех автомобилей будет минимальным.

К этому же типу задач относится оптимальное закрепление автобусных маршрутов за несколькими автобусными парками.

Оптимальный вариант решения всех указанных задач можно получить, используя методы решения транспортной задачи линейного программирования, один из которых дан в § 1 главы XIII.

Однако в практике работы автотранспортных организаций при решении этих задач могут возникать различные дополнительные требования, которые необходимо учитывать в процессе планирования. Ограничения, вытекающие из этих требований, следует внести в матрицу для того, чтобы они были учтены.

Одним из таких условий может стать невозможность поставок некоторым потребителям продукции определенных поставщиков (или закрепления той или иной клиентуры за некоторыми автохозяйствами) по дорожным условиям из-за договорных отношений ввиду специальных требований к продукции или к подвижному составу.

Такое ограничение можно учесть при решении, если в матрице в клетку, которая лежит на пересечении строки соответствующего потребителя (клиента) и столбца соответствующего поставщика (автохозяйства), вместо фактического расстояния между этими пунктами записать расстояние, значительно боль шее любого другого расстояния в матрице. Если при этом потребность данного потребителя (клиента) не превышает наличия груза (подвижного состава) у остальных поставщиков (автохозяйств), то указанная клетка в оптимальном решении останется незагруженной, и тем самым будет выдержано заданное ограничение.

В некоторых случаях необходимо решать задачи, когда наличие груза (автомобилей) и спрос не являются сбалансированными.

Если общий объем наличия превышает спрос всех потребителей, то в матрицу дополнительно вводится так называемый фиктивный потребитель, для которого отводится отдельная строка. Его спрос принимается равным превышению общего объема наличия груза (автомобилей) над суммарным объемом спроса всех реальных потребителей. Вместо расстояний в клетках этой строки матрицы записывают любое произвольно вы бранное число, но одинаковое по всем столбцам.

Если общий объем наличия меньше суммарного спроса всех потребителей, то в матрицу вводят столбец фиктивного поставщика (автохозяйства), размер поставок которого принимают равным превышению суммарного спроса над общим объемом поставок и в этом столбце также вместо расстояния по всем клеткам записывают любое одинаковое число.

Введем некоторые указанные выше факторы в решение задачи, данной в § 1 главы XIII (см. табл. 13).

Так, устанавливаем, что потребителю Б2 нельзя доставлять груз от поставщика А1, а потребителю Б3 — от поставщика А3. В связи с этим в матрице (табл. 15) в соответствующих клетках вместо фактических расстояний поставим большое число—100.

Кроме того, объем производства в пункте А1 примем за 100, А2—120 и А3—70, т. е. общий объем производства превышает спрос на 50. В связи с этим в матрицу вводим строку «фиктивный потребитель» с объемом потребления 50, а во всех клетках этой строки вместо расстояния записываем любое одинаковое число, в данном случае 0.

Решают эту матрицу распределительным методом. Полученный оптимальный вариант представлен в табл. 15.

Таблица 15 Матрица с учетом заданных условий перевозок

Известны способы учета при решении транспортных задач и некоторых других факторов: ограниченных пропускных способностей дорог, верхних и нижних границ объемов производства, взаимозаменяемости грузов и т. д.

С помощью указанных выше методов могут быть найдены оптимальные решения задачи размещения автохозяйств на территории города, области, а также распределения различного подвижного состава по автохозяйствам.

§ 3. МАРШРУТИЗАЦИЯ ПЕРЕВОЗОК МАССОВЫХ ГРУЗОВ

В основе оптимальной маршрутизации перевозок также лежат методы решения транспортной задачи линейного программирования.

Постановка этой задачи состоит в следующем: имеется ряд поставщиков, от каждого из которых необходимо доставить различные грузы потребителям в заданном количестве и однотипном подвижном составе. Известны расстояния между всеми поставщиками и потребителями. Необходимо составить маршруты перевозок, обеспечивающие минимальный пробег подвижного состава без груза.

Рис. 164. Схема перевозок

В качестве примера решения указанной задачи примем данные заявок на перевозку груза автомобилями-самосвалами, представленные в табл. 16. Схема перевозок дана на рис. 164.

Каждому отправителю присвоено условное обозначение — буква А с со ответствующим порядковым цифровым индексом, каждому потребителю — буква Б также с соответствующим цифровым индексом. Это сделано для того, чтобы упростить запись при после дующих расчетах.

Следует отметить, что один и тот же пункт иногда имеет два условных обозначения. Например, железнодорожная станция как отправитель обозначена А1, а как получатель — Б5. Целлюлозный завод является только получателем, но он имеет то же два условных обозначения—Б1 и Б5. Это связано с тем, что этот потребитель имеет двух различных поставщиков — железнодорожную станцию и мебельную фабрику.

Таблица 16 Заявка на перевозку грузов

В табл. 16, кроме количества груза, показано количество ездок, которое необходимо сделать, чтобы выполнить заявленные перевозки с учетом коэффициента использования грузоподъемности на автомобиле ЗИЛ-585.

На основании заявок на перевозки составляют матрицу (табл. 17). В ней указано количество ездок из каждого пункта А в каждый пункт Б и расстояния между этими пунктами, которые проставлены в верхних правых углах соответствующих клеток.

Таблица 17 Решение на минимум пробега автомобилей без груза

Решают эту матрицу на минимум пробега либо методом, описанным в § 1 главы XIII, либо другим любым методом решения транспортной задачи линейного программирования. Результат решения (см. табл. 17) показывает, какое количество ездок без груза надо сделать из каждого пункта Б после разгрузки автомобиля в каждый пункт А для последующей погрузки, чтобы общий пробег без груза всех автомобилей был минимальным.

Из табл. 17 видно, что из пункта Б1 в пункт А2 необходимо сделать 25 ездок без груза, из Б2 в А3 — 20 ездок и в А4 — 10 ездок и т. д.

В табл. 17 в клетке А4Б3 стоит 0. Его не следует принимать во внимание, так как этот нуль появился в таблице при определении вспомогательных индексов и служит только для этих целей (см. § 1 настоящей главы).

После получения оптимального распределения ездок без груза в эту же таблицу (табл. 18 повторяет табл. 17) вносят план ездок с грузом (полужирные цифры в скобках), который указан в табл. 16.

Таблица 18 Совмещенный план порожних и груженых ездок

В тех клетках, где две цифры, получаются маятниковые марш руты, количество ездок по которым равно наименьшей цифре. Так, в клетке А2Б3 получен маятниковый маршрут № 1 А2Б3Б2А2 с 35 ездками. Это количество исключается из обеих рас смотренных цифр.

Когда все маятниковые маршруты найдены, в матрице строят четырехугольные «контуры», все вершины которых лежат в загруженных клетках, причем вершины с гружеными ездками должны чередоваться с вершинами с порожними ездками. В табл. 19 показаны два таких контура. Каждый из них дает маршрут. «Контур», показанный сплошной линией — маршрут №2 А1Б1Б1А2А2Б3Б3А1Х15, а штриховой «контур» — маршрут № 3 А1Б2Б2А3А3Б5БА1Х20.

Таблица 19 Составление маршрутов по четырехугольному контуру

Количество ездок определяется наименьшим числом в вер шинах контура. Выбранное количество ездок из клеток таблицы исключается. Затем строят контур с шестью вершинами (табл. 20), который дает маршрут № 4 А1Б1Б1А2А2Б4Б4А3А3Б5Б5А1*10, с восемью вершинами (табл. 21), маршрут № 5 А1Б2Б2А4А4Б6Б6А2А2Б4Б4А3А3Б5Б5А1х10.

Решение ведется до полного исключения всего количества ездок из матрицы. На рис. 165 представлены схемы полученных маршрутов.

Все действия обычно производятся в одной и той же таблице, где количество ездок с грузом записывают цветным карандашом, а ездки без груза и контуры — простым карандашом. По ходу решения из таблицы стирают резинкой те цифры и контуры, которые ликвидируются на каждом новом шаге решения.

Таблица 20 Составление маршрута по шестиугольному контуру

По получении маршрутов необходимо их расшифровать и определить, какое количество автомобилей необходимо направить на каждый маршрут, чтобы обеспечить выполнение перевозок. Это делается с помощью табл. 16, где указаны обозначения каждого пункта отправления и получения груза, и табл. 17, где даны все расстояния между этими пунктами. Расшифровку производят в специальной таблице (табл. 22), которая построена так же, как та часть путевого листа, где записывается задание шоферу. Зная, из какого автохозяйства следует подавать автомобиль на каждый маршрут, легко определить и нулевые пробеги.

Таблица 21 Составление маршрута по восьмиугольному контуру

В табл. 22, где в качестве примера дана расшифровка, марш рута № 2, условные обозначения А и Б введены для лучшего усвоения методики расшифровки маршрутов. В практической работе запись условных обозначений при расшифровке маршрутов производить не нужно.

Количество оборотов одного автомобиля по каждому маршруту определяют следующим образом: записав маршрут в табл. 22 и определив расстояние между пунктами, подсчитывают общую длину маршрута без учета нулевого пробега из авто хозяйства в первый пункт погрузки и от последнего пункта раз грузки до автохозяйства. Например, по маршруту № 2 это расстояние составит (см. таблицы 18 и 19) 6 + 3+4 + 3 = 16 км.

Время движения определяют делением пробега по маршруту на норму технической скорости, например 20 км/час. На марш руте № 2 оно составит 16 км : 20 км/час = 0,8 часа.

Затем определяют время на погрузку и выгрузку груза. На маршруте № 2 необходимо сделать две погрузки и выгрузки. Их общее время при механизированном способе выполнения этих работ составит 0,4 часа.

Рис. 165. Схема маршрутов

Общее время оборота автомобиля на маршруте № 2 будет равно 0,8+0,4 = 1,2 часа.

Зная время оборота и продолжительность смены, например, 7 час., с учетом возможного отклонения ±0,5 часа, получаем возможное количество оборотов одного автомобиля на маршруте № 2 — (7±0,5) : 1,2 = 5 оборотов.

Округление количества оборотов на маршруте до целых чисел целесообразно производить в сторону уменьшения. Это дает возможность в определенной мере учитывать время, необходимое для нулевых пробегов автомобиля.

Полученное количество оборотов записывают в табл. 22. При этом дополнительно осуществляется пробег автомобиля из авто хозяйства на первый пункт погрузки и с последнего пункта вы грузки в автохозяйство, что также записывают в таблицу.

Пробег одного автомобиля подсчитывают умножением количества ездок (оборотов) на соответствующие пробеги, указанные в табл. 22.

Таблица 22 Расшифровка маршрута № 2

Количество автомобилей, направляемых на каждый маршрут, определяют делением всего количества оборотов по каждому маршруту на количество оборотов, которое может быть сделано одним автомобилем. Для маршрута № 2 это 15: 5 = 3 автомобиля.

Если при выполнении перевозок на каком-либо маршруте автомобиль неполностью загружен работой на всю смену, то целесообразно предусматривать его переключение на перевозку по другим маршрутам. Если такое переключение сделать нельзя, то предусматривается возврат автомобиля в автохозяйство до окончания смены, хотя это и нежелательно.

На этом расчеты и составления табл. 22 заканчивают и можно приступить к выписке путевых листов.

Каждый маршрут, имеющий два и более пунктов отправления, можно начинать с любого из них, при этом пробег автомобилей без груза останется минимальным. Например, маршрут № 2 можно начинать с пункта А1, тогда окончание работы на маршруте будет в пункте Б3. Но перевозки по маршруту можно начинать и с пункта А2, тогда автомобиль будет возвращаться в автохозяйство из пункта Б1. И в том, и в другом случае про бег по маршруту останется одинаковым, хотя может измениться нулевой пробег. Но так как нулевой пробег относительно невелик, то им приходится пренебречь для того, чтобы избежать одновременной подачи на один и тот же пункт большого количества автомобилей.

Чтобы избежать одновременную подачу на один и тот же пункт погрузки большого количества автомобилей, можно начинать маршрут с другого пункта отправления, который в нем имеется.

Если в перевозках могут быть заняты автомобили разной грузоподъемности, то метод расчета рациональных маршрутов остается таким же, как это описано выше.

Распределить автомобили различной грузоподъемности по маршрутам, можно следующим способом.

Количество ездок, рассчитанное в табл. 22 для одной основ ной марки автомобилей (например, автомобилей ЗИЛ-585), уменьшают или увеличивают соответственно увеличению или уменьшению грузоподъемности другой марки автомобилей, которые будут направлены на данный маршрут.

Например, если на маршрут № 2 вместо автомобилей ЗИЛ-585 грузоподъемностью 3,5 т, будут направлены автомобили МАЗ-205 грузоподъемностью 5 т, то количество ездок по маршруту № 2, полученное в табл. 22, необходимо уменьшить на 30% (3,5 : 5 = 0,7), тогда будет не 15, а 11 ездок. Но теперь рас считывая количество оборотов и другие данные в табл. 22, не обходимо учитывать увеличение времени на погрузку и выгрузку при работе автомобилей МАЗ-205.

matematiku5.ru

Транспортная задача линейного программирования

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5

1 Объект исследования 6

2 Математическое обеспечение 8

2.1 Математическая модель 82.2 Выбор метод составления опорного плана 92.3 Нахождение оптимального решения 11

3 Практическая реализация 13

4 Руководство пользователя 17

Заключение 19

Библиографический список 20

Приложение А. Блок-схема 21

Приложение Б. Листинг программы 22

ВВЕДЕНИЕ

В любой сфере своей деятельности человек неизбежно сталкивается с задачами оптимизации. Экономическое планирование, управление, распределение ограниченных ресурсов, анализ производственных процессов, проектирование сложных объектов всегда должно быть направлено на поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели.

Одной из распространенных задач оптимизации является задача о минимизации затрат при транспортировке грузов. Данная задача является одной из центральных в экономическом планировании наряду с задачей максимизации доходов при ограниченных ресурсах.

Задача минимизации затрат сводится к отысканию наименьшего значения функции, которую принято называть целевой. Целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а условия, определяющие их допустимые значения, имеют вид линейных уравнений и неравенств.

В рамках реальных экономических задач число аргументов целевой функции обычно бывает очень большим. Поэтому практическая реализация алгоритмов решения таких задач принципиально невозможна без использования современной вычислительной техники.

Целью данной курсовой работы является поиск оптимального распределения транспортных средств по маршрутам. За счет правильного составления плана можно минимизировать затраты на перевозку.

1 ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Однородная транспортная задача есть прикладная задача линейного программирования, в которой требуется найти оптимальный план транспортировки некоторого однородного продукта из конечного числа пунктов поставки с заданными объемами производства в конечное число пунктов потребления с известными объемами потребностей:

· минимизирующий суммарную стоимость транспортировки,

· не превышающий объем производства в каждом пункте поставки,

· полностью покрывающий потребности в каждом пункте потребления,

при заданной стоимости перевозки единицы транспортируемого продукта между каждой парой пунктов поставки и потребления.

Транспортная задача была впервые сформулирована Хитчкоком и с тех пор применяется для решения практических задач доставки и распределения однородных продуктов.

Для решения транспортной задачи разработано несколько методов, каждый из которых отличается от другого методом заполнения матрицы перевозок. Существуют два типа транспортной задачи: открытая и закрытая. Транспортная задача называется открытой если сумма запасов товара на складах отличается от суммы потребностей товаров у магазинов. Транспортная задача называется закрытой, если сумма запасов товара на складах равняется сумме потребностей магазинов. Решение существует только для закрытой транспортной задачи, поэтому если транспортная задача открытая, то ее надо привести к закрытому типу. Для этого в случае, если запас товара на складах превышает потребность магазинов, то вводят фиктивного потребителя, который выбирает весь избыток товара. В случае же, если существует дефицит товара, т.е. потребность магазинов больше, чем запас товаров на складах, то вводят фиктивного поставщика, с фиктивным запасом товара на складе. В обоих случаях в матрице тарифов перевозок данному складу или магазину проставляется нулевая цена перевозки.

В качестве задания транспортная задача имеет следующий вид:

Таблица 1

В таблице 1 приведены расходы на транспортировку партий товаров с трех фабрик (А, Б и В) к четырем складам (Г, Д, Е и Ж). в ней также приведены количество товара на каждой из фабрик и вместимость складов. Требуется определить маршруты, по которым следует направлять товары, чтобы минимизировать общие расходы.

2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 2.1 Математическая модель

Имеется m пунктов поставки (поставщиков) и n пунктов потребления некого однородного продукта. Для каждого поставщика i = 1,…,m задан объем производства A_i , а для каждого потребителя j = 1,…,n задан объем потребления B_j и известна стоимость доставки единицы продукта C_i,j из пункта производства i в пункт потребления j. Управляемые параметры X_i,j характеризуют объем перевозки между каждым поставщиком i = 1,…,m и потребителем j = 1,…,n. В случае сбалансированного производства и потребления:

A₁ + … + A_m = B₁ + … + B_n (1)

оптимальный план транспортировки соответствует минимизации линейной целевой функции:

(2)

при m линейных ограничениях по поставке:

X_i,1 + … + X_i,j + … + X_i,n = A_i , i = 1,…,m (3)

и n линейных ограничениях пo потреблению:

X_1,j + … + X_i,j + … + X_m,j = B_j , j = 1,…,n, (4)

а также при очевидном условии неотрицательности управляемых переменных:

, i = 1,…,m и j = 1,…,n.

(5)2.2 Выбор метод составления опорного планаРешение транспортной задачи, после того, когда было установлено, что она открытая либо устранен путем коррекции несбалансированность ее, начинается с составления опорного плана, то есть отыскания начального базисного решения.Существует большой выбор методов составления опорного плана, рассмотрим некоторые из них. Метод минимального элемента. Алгоритм метода минимального элемента состоит в следующем.

Как решить транспортную задачу?

Просматривается вся матрица тарифов перевозок, и из нее выбирается позиция с наименьшим значением тарифа C, затем просматриваются значения наличия запасов на складе A и потребности у потребителя B, затем в данную клетку записывается величина D=MIN(A,B). Из запасов соответствующего склада и потребностей магазина вычитается величина D. Если запас товара на складе исчерпан, то эта строка исключается из дальнейшего рассмотрения. Если потребность магазина в товаре удовлетворена полностью, то этот столбец исключается из дальнейшего рассмотрения. Может быть случай, когда одновременно исключаются и строка и столбец, этот случай называется вырожденным. В дальнейшем весь процесс повторяется до тех пор, пока не будет исчерпан весь запас товаров на складах и не будет удовлетворена потребность всех магазиновМетод Фогеля. Просматриваются все строки и столбцы матрицы тарифов, вычисляется разность между двумя наименьшими элементами в строке или в столбце. Затем из всех этих разностей выбирается строка или столбец с максимальной разность. В выбранной строке или столбце, как и в методе минимального элемента, заполняется клетка с наименьшим значением тарифа. Затем обнулявшаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения и весь процесс повторяется до полного исчерпания запаса товаров на складах. Метод двойного предпочтения. В начальной своей стадии этот метод похож на метод минимального элемента, но для столбцов. Просматривается первый столбец матрицы тарифов, в нем находится наименьший элемент. Затем проверяется, минимален ли этот элемент в своей строке. Если элемент минимален в своей строке, то по методу минимального элемента в эту клетку заносится значение D=MIN(A,B), соответствующие запас и потребность уменьшаются на эту величину.Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения и процесс повторяется, начиная с первого не исключенного столбца. Если найденный минимальный элемент не минимален в своей строке, то происходит переход к следующему столбцу и так до тех пор, пока не будет найден такой элемент. Метод северо-западного угла. Просматривается матрица тарифов перевозок C, начиная с левого верхнего угла (клетки). В эту клетку записывается величина D=MIN(A,B). Она вычитается из запасов и потребностей соответствующего склада и магазина. Обнулившаяся строка или столбец исключаются из рассмотрения, затем процесс опять повторяется для левой верхней клетки оставшейся матрицы и так до тех пор пока весь запас товаров не будет исчерпан.

Метод Фогеля приводит к лучшему начальному решению, чем два других метода. Однако он сложен для реализации на ЭВМ, так включает в себя множественные проверки, а также метод наименьшего расстояния. Несмотря на то, что метод наименьших расстояний дает лучшее начальное решение, чем метод «северо-западного» угла, он также сложен из-за большего числа различных проверок и постоянного определения минимума. Метод северо-западного угла наиболее прост, так базисное решение получается путем последовательного перехода по столбцам и строкам. Кроме этого стоит учитывать, что алгоритм выбора начального базисного решения не влияет на алгоритм поиска оптимального решения, то есть в любом случае дальнейшее решение задачи происходит по одной и той же схеме. Исходя из этого, при программной реализации задачи для поиска начального решения был выбран метод «северо-западного» угла. Даже если при этом потребуется большее количество итераций для поиска оптимального решения, более выгодно использовать этот метод, так как в этом случае возрастает точность решения, при этом структура программы будет заметно проще.

2.3 Нахождение оптимального решения задачиТак как не известно: оптимален ли полученный опорный план или нет, то стоит провести оценки базисных и небазисных переменных. Для этого воспользуемся методом потенциалов.

В этом методе строке i и столбцу j ставятся в соответствие числа U_i и V_j. Для каждой базисной переменной Х_ij текущего решения потенциалы U_i и V_j должны удовлетворять условию:

laservirta.ru

Методы решения транспортных задач линейного программирования Транспортная

Методы решения транспортных задач линейного программирования

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое применение.

Постановка задачи. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков в количестве Аi(i=1. . m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям в количестве Вj (j=1. . n) единиц. Известна стоимость Сij перевозки единицы груза от iго поставщика к j-му потребителю. Определить оптимальный(имеющий минимальную стоимость) план поставок продукции, позволяющий вывести все грузы и полностью удовлетворить потребности потребителей.

Предварительный анализ задачи. Пусть Хij –количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю. Тогда Z=Σi Σj Cij Xij –стоимость всего плана. Ограничения: 1. Xij>=0 2. ΣXij=Аi, где j=1. . n -размер поставок. -объем поставок равен количеству ΣXij=Вj, где i=1. . m -объем поставок равен спросу, т. е. Z=Σi Σj Cij Xij → min -план должен быть минимальным. продаж, т. е. все грузы должны быть перевезены. 3. все потребности должны быть удовлетворены. 4. В данной модели предполагается, что Σ Аi= Σ Вj.

Решение задачи. Решение транспортной задачи осуществляется в три этапа: Ø Составление матрицы поставок Ø Составление первоначального опорного плана. Ø Оптимизация плана.

Матрица поставок. Спрос потребителей(Bi) j 22 45 20 18 30 60 4 1 3 4 4 35 2 3 2 2 3 40 3 5 2 4 4 i Количество продаж у Поставщиков (Ai) Стоимость поставок(сij)

Построение первоначального опорного плана. В любой транспортной задаче можно найти бесчисленное множество вариантов плана перевозок. Допустимый — это такой план (такое распределение поставок), в котором все мощности используются, а спрос всех потребителей удовлетворен. Наиболее распространенные методы построения данной матрицы: ü Юго — восточного угла. ü Северо-западного угла ü Минимального элемента в ü Минимум в столбце матрице. ü Минимум в строке ü Фогеля. ü Двойного предпочтения ü Лебедева — Тихомирова. ü Лебедева Следующий этап.

Метод северо-западного угла. Данный метод легко алгоритмизировать, однако в подавляющем большинстве случаев он приводит к плану поставок, весьма далекому от оптимального. При этом способе «поставки» располагаются, начиная от левого верхнего и кончая нижним правым углом матрицы. На географических картах левый верхний угол соответствует северо-западу, эта аналогия и дала название способу. j 22 45 20 18 30 i 60 4 22 35 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 38 2 План: Z=4*22+1*38+. . +4*30=363 7 40 3 20 5 8 2 10 все методы. 30

Ход решения. 0 j 7 0 0 10 0 0 22 45 20 18 30 i 0 38 60 4 22 0 8 28 35 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 38 2 7 0 30 40 3 20 5 8 2 10 30

Метод юго-восточного угла. Данный метод легко алгоритмизировать, однако в подавляющем большинстве случаев он приводит к плану поставок, весьма далекому от оптимального. При этом способе «поставки» располагаются, начиная от правого нижнего и кончая верхним левым углом матрицы. На географических картах правый нижний угол соответствует юговостоку, эта аналогия и дала название способу. j 22 45 20 18 30 i 60 4 22 35 План: Z=4*22+1*38+. . +4*30=363 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 38 2 7 40 3 20 5 8 2 10 все методы. 30

Ход решения. 0 j 38 22 0 0 45 8 0 0 20 18 30 i 0 22 60 4 22 0 7 27 35 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 38 2 7 0 10 40 3 20 5 8 2 10 30

Метод минимального элемента в столбце. Метод заключается в том, что поочередно в столбцах матрицы отмечаются минимальные показатели и в соответствующие клетки заносятся поставки в зависимости от спроса и предложения. Если при записи поставок спрос по столбцу удовлетворен не полностью, ищется следующий по величине элемент в данном столбце, отмечается новый элемент и так до полного удовлетворения спроса. Только после этого переходят на следующий столбец. Если в столбце два или несколько одинаковых по величине минимальных показателя, то может быть отмечен любой из них. j 22 45 20 18 30 i 60 План: Z=1*45+4*15+. . +4*30=321 4 4 2 2 3 2 4 4 45 35 2 15 3 22 все методы. 3 40 13 3 5 7 3 30

Ход решения. 0 j 0 7 0 3 22 45 20 0 0 18 30 i 0 15 60 4 1 3 4 4 2 2 3 2 4 4 45 0 13 35 0 30 33 40 2 15 3 22 13 3 5 7 3 30

Метод минимального элемента в строке. Метод заключается в том, что поочередно в строках матрицы отмечаются минимальные показатели и в соответствующие клетки заносятся поставки в зависимости от спроса и предложения. Если при записи поставок спрос по строке удовлетворен не полностью, ищется следующий по величине элемент в данной строке, отмечается новый элемент и так до полного удовлетворения спроса. Только после этого переходят на следующую строку. Если в строке два или несколько одинаковых по величине минимальных показателя, то может быть отмечен любой из них. j 22 45 20 18 30 i 60 План: Z=1*45+3*15+. . +4*30=320 4 1 45 35 2 все методы. 4 4 2 2 3 4 4 15 3 22 40 3 5 8 2 10 30

Ход решения. 0 j 0 7 22 45 0 3 0 20 0 18 30 i 0 15 60 4 1 45 0 13 35 2 4 4 2 2 3 4 4 15 3 22 0 30 40 3 5 8 2 10 30

Метод минимального элемента в матрице. Данный метод дает лучший результат, особенно в более крупных матрицах, но его использование требует большого внимания. При использовании этого способа удобно после записи очередной поставки отмечать (хотя бы крестиками) все клетки соответствующего столбца или соответствующей строки (в зависимости от того, удовлетворен ли спрос или исчерпана мощность). Тогда количество элементов матрицы, которые нужно просматривать после записи каждого нового кружка, все время уменьшается. j 22 45 20 18 30 i 60 4 1 3 4 4 2 2 3 2 4 4 45 План: Z=1*45+4*15+. . +4*30=321 все методы. 35 2 15 3 22 40 13 3 5 7 3 30

Ход решения. 0 j ν 0 22 ν 7 0 45 ν 3 0 20 ν 18 0 ν 30 i ν 0 15 ν 0 13 ν 0 33 60 4 1 3 4 4 2 2 3 2 4 4 45 35 2 15 3 22 40 13 3 5 7 3 30

Метод двойного предпочтения. Ищется минимальный элемент в первом столбце и проверяется является ли он минимальным в строке, если ответ положительный, то данная клетка запоминается, то есть в зависимости от спроса и предложения в данную графу-клетку ставится поставка, затем, при превращении в нуль, вычеркивается строка либо столбец. Пройдя таким образом всю матрицу переходят к первому столбцу из оставшихся(не вычеркнутых) и тек до тех пор пока распределение не будет закончено. j 22 45 20 18 30 i 60 4 1 3 4 4 2 2 3 2 4 4 45 План: Z=2*22+1*45+. . 4*30=321 35 2 15 3 22 все методы. 40 13 3 5 7 3 30

Ход решения. 0 j 0 7 0 3 22 45 20 0 0 18 30 i 0 15 60 4 1 3 4 4 2 2 3 2 4 4 45 0 13 35 0 30 33 40 2 15 3 22 13 3 5 7 3 30

Метод Лебедева. При данном методе подсчитывается Сij по строкам и столбцам и каждая сумма делится на число элементов в строке или строке, в результате чего получаются средние величины. Каждый элемент вычитается из суммы двух соответствующих средних. При этом разности называются коэффициентами очередности. Распределение поставок производится сначала в клетку таблицы с наибольшими коэффициентами, далее в следующую за ним по величине и т. д. Коэффициенты вписаны в правых верхних углах каждой клетки. Этот способ, предложенный А. В. Лебедевым, несложен и дает в общем неплохие результаты. Так же как и в способе наименьшего элемента, здесь можно для каждой данной матрицы определить последовательность записи поставок (в порядке убывания величин коэффициентов) и руководствоваться этой последовательностью при базисном распределении в зависимости от конкретных величин показателей мощностей и спроса. План: Z=1*45+4*15. . 2*20=326 все методы. j 22 45 20 18 30 i 60 4 1 3 4 45 35 2 15 3 2 2 40 20 2 18 3 4 5 2 20 3 15 4 4

Ход решения. 2 0 j 0 0 22 45 0 18 20 15 0 30 Σ по строкам Средние по строкам 16 3, 2 12 2, 4 18 3, 5 i 0 15 60 4 2, 2 1 5, 2 3 2, 5 4 45 0 15 17 35 2 3, 4 3 2, 4 15 2 2, 7 2 2 0 20 40 3 3, 6 3, 7 3 18 5 1, 6 20 2, 8 2 3, 9 4 2, 9 3 15 4 3, 2 20 Σ по столбцам 9 9 7 10 11 Средние по столбцам 3 3 2, 3 3, 6

Метод Лебедева-Тихомирова. При данном методе подсчитывается Сij по строкам и столбцам и каждая сумма делится на число элементов в строке или строке, в результате чего получаются средние величины. Каждый элемент вычитается из суммы двух соответствующих средних. При этом разности называются коэффициентами очередности. Распределение поставок производится сначала в клетку таблицы с наибольшими коэффициентами, далее в следующую за ним по величине и т. д. Коэффициенты вписаны в правых верхних углах каждой клетки. После записи каждой поставки исключаются из рассмотрения элементы соответствующего столбца (или строки), пересчитываются средние величины по строкам (столбцам) и заново вычисляются все коэффициенты очередности. j 22 20 18 30 i 60 4 1 3 4 45 35 2 40 3 2 2 3 4 4 18 3 5 4 15 17 План: Z=1*45+4*15+. . 2*20=290 все методы. 45 5 2 20 15

Ход решения. Шаг 1. 0 j 22 Σ по строкам 45 20 18 Средние по строкам 30 i 15 60 4 2, 2 1 5, 2 3 2, 5 4 2, 8 16 3, 2 45 35 2 3, 4 3 2, 4 2 2, 7 2 3, 7 3 3 12 2, 4 40 3 3, 6 5 1, 6 2 3, 9 4 2, 9 4 3, 2 18 3, 5 Σ по столбцам 9 9 7 10 11 Средние по столбцам 3 3 2, 3 3, 6

Ход решения. Итог. 5 0 j 0 22 0 45 0 15 20 18 30 2. 5 3. 05 2, 9 3, 1 2. 5 3. 05 2. 8 3. 35 3, 2 3, 6 i 0 15 60 2. 2 2, 75 2, 4 3, 5 5. 2 45 15 0 17 35 3. 4 3, 25 3, 3 2. 4 2. 7 2, 55 2, 6 17 0 15 35 40 3. 6 3, 25 3 3, 5 3. 7 3, 55 3 2, 85 2, 9 18 1. 6 3. 9 3, 5 3, 3 3, 5 3 3 20 2. 9 2, 55 3. 2 2, 85 2, 6 3 3 3 15

Метод Фогеля. Процесс начинается с определения разности между двумя наименьшими Сij каждого столбца и строки. Минимальный элемент в соответствующей строке(столбце) запоминается и на его место записывается поставка, после чего данная строка(столбец) исключается. Если наибольшая разность оказывается сразу в двух столбцах(строках), тогда проверяют является ли какой-либо элемент минимальным в строке и столбце одновременно. Если ответ положительный, тогда записывают поставку, если нет, тогда произвольно выбираем либо столбец, либо строку. Смысл способа Фогеля легко понять. Найденные разности показывают, насколько больше будут расстояния, если в соответствующем столбце j 22 45 20 18 30 (или строке) поставка будет записана не в клетку, i где находится минимальный в этом столбце (строке) элемент, а в клетку, где находится 60 4 1 3 4 4 элемент, следующий за ним по величине. Там, где 45 15 разность оказывается наивысшей и, 35 2 3 2 2 3 следовательно, там, где будут наибольшие потери 18 17 в расчете на единицу продукции, если поставка попадет не на наименьший элемент, там, 40 3 5 2 4 4 очевидно, и нужно в первую очередь записать 22 5 13 поставку. План: Z=1*45+3*15+. . 4*13=305 все методы.

Ход решения. 0 j 0 5 22 45 0 0 20 17 0 18 Разности по строкам 30 i 0 15 60 4 1 45 0 17 35 2 3 4 4 211 2 2 3 00000 4 1111 15 3 18 0 13 35 40 3 5 2 17 4 22 Разности по столбцам 5 13 11112 2 00002 22 11113

Построение оптимального распределения. Данный этап решения задачи может быть осуществлен с помощью различных методов, среди которых: ü Потенциалов. ü Квадратов. ü Распределительный. ü Венгерский. ü Форда- Фулкерсона. ü Разрешающих слагаемых. ü Дифференциальных рент. Предыдущий этап

Метод квадратов. Пусть предварительный план поставок будет иметь следующий вид: j 22 45 20 18 30 i 60 4 22 35 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 38 2 7 40 3 20 5 План: Z=4*22+1*38+. . +4*30=363 8 2 10 30 Назовём квадратом 4 клетки, стоящие в углах такого прямоугольника, который хотя бы по одной диагонали стоят 2 положительные поставки. В клетках, стоящих на других диагоналях могут быть либо нулевыми, либо нуль и поставка, либо обе поставки. Например: B 1 A 1 B 2 4 22 A 2 1 38 2 3 7 (4+3)>(1+2) Квадрат будет «неправильный» , если сумма двух Сij , стоящих в клетке с положительными(полными) поставками, на одной диагонали будет больше суммы Сij на другой.

Теорема. В оптимальном распределении нет неправильных квадратов. Известно, что любой неправильный квадрат можно превратить в правильный, используя следующий алгоритм: вычтем из чисел по одной диагонали соответствующей левой части неравенства наименьшую поставку и прибавим к другой. (в нашем примере: из 22 и 7 выберем 7, после чего из 22 вычитаем 7, а к 38 прибавим 7, тогда получим: ) B 1 A 1 B 2 4 15 A 2 45 2 7 1 3

j 22 45 20 18 30 i 60 4 15 35 1 3 4 4 3 2 2 3 4 4 45 2 7 40 10 3 5 18 2 10 30 План: Z=4*15+1*45+. . +4*30=315 Преобразовав таким образом базовую матрицу мы получим оптимальное распределение, что и требовалось найти. Задача решена.

present5.com

Математическое программирование. Транспортная задача. Примеры решения задач

Транспортная задача

Схема решения

Cij – цена перевозки от i-поставщика к j-потребителю

1) Проверить, является задача открытой или закрытой

нужно добавить недостающего поставщика или потребителя в таблицу с ценой перевозок С=0

2) Составить начальный план перевозок

а) методом наименьшей цены – распределение груза начинается с клетки, где Cij наименьшая;
или
б) методом северо-западного угла.

3) Проверить невырожденность плана перевозок: количество занятых клеток = m+n-1

4) Проверить оптимальность плана методом потенциалов
ui – потенциалы поставщиков (вписываются в таблицу на месте Ai)
vj – потенциалы потребителей (вписываются в таблицу на месте Bj)
Потенциалы считаются по занятым клеткам: ui + vj = Cij  (Занятая клетка – где есть перевозки)
Далее для свободных клеток вычисляется Δij = (ui + vj ) — Cij  (вписывается в углах свободных клеток)

Если все Δij ≤ 0, то план оптимальный
Если есть хоть одно Δij > 0, то план не оптимальный, требуется перераспределение перевозок по циклу, и проверка нового плана, начиная с пункта 3.

5) Построить цикл перевозок

За начало цикла берется клетка с наибольшим положительным Δij
В начале цикла всегда добавляется перевозка (+).
Значением добавляемой перевозки берется наименьшая перевозка в отрицательных (-) вершинах цикла.  
Цикл строится по одной из схем:

Видео-урок: Решить транспортную задачу методом потенциалов:

Решение.

Составим математическую модель задачи:

Обозначим  — количество груза, перевезенного от поставщика i к потребителю j.

Становятся очевидными следующие ограничения (т.к. весь груз должен быть вывезен, и все потребности удовлетворены полностью):
    
   
    

При этом должна быть минимизирована целевая функция

Построим опорный план методом северо-западного угла:

Принцип заполнения таблицы состоит в том, что, начиная с крайней левой верхней ячейки (принцип северо-западного угла), количество грузов вписывается в таблицу так, чтобы потребности полностью удовлетворялись или груз полностью вывозился.

Построим систему потенциалов.  — потенциалы, соответствующие поставщикам,  — потенциалы, соответствующие потребителям.
Полагаем U1=0, а далее Ui + Vj = dij для занятых клеток таблицы.
U1 + V1 = 9   V1 = 9
U1 + V2 = 1   V2 = 1
U2 + V2 = 4   U2 = 3
U2 + V3 = 6   V3 = 3
U3 + V4 = 5   U3 = 0  V4 = 5
U3 + V5 = 3   V5 = 3

         Проверим критерий оптимальности : Ui + Vj  dij для свободных клеток.

U1 + V3 = 3>1 на 2
U1 + V4 = 5=5
U1 + V5 = 3<6
U2 + V1 = 12>6 на 6
U2 + V4 = 8=8
U2 + V5 = 6>5 на 1
U3 + V1 = 9>2 на 7
U3 + V2 = 1<9
U3 + V3 = 3=3

Из тех условий, где критерий не выполняется, выбираем то условие, где разница максимальна. Это – ячейка (3 , 1)

Перебросим в ячейку (3 , 1) 50 единиц груза из ячейки (1 , 1).
Чтобы компенсировать недостаток в первой строке, перебросим те же 50 единиц груза из ячейки (2 , 3) в ячейку (1 , 3).
Теперь чтобы компенсировать недостаток в строке 2, перебросим из ячейки
(3 , 5) 50 единиц в ячейку (2 , 5).

Таким образом, образовался цикл, показанный в таблице пунктиром.

Получаем новую таблицу, для которой повторяем расчет потенциалов:

Полагаем U1=0, а далее Ui + Vj = dij для занятых клеток таблицы.
U1 + V2 = 1   V2 = 1
U1 + V3 = 1   V3 = 1
U2 + V2 = 4   U2 = 3
U2 + V5 = 5   V5 = 2
U3 + V5 = 3   U3 = 1
U3 + V1 = 2   V1 = 5
U3 + V4 = 5   V4 = 4

Проверим критерий оптимальности : Ui + Vj  dij для свободных клеток.

U1 + V1 = 1<9
U1 + V4 = 4<5
U1 + V5 = 2<6
U2 + V1 = 4<6
U2 + V3 =4<6
U2 + V4 =7<8
U3 + V2 =2<9
U3 + V3 =2<3

Критерий выполнен, значит, полученное решение оптимально.
Найдем минимальную стоимость перевозок.

www.matem96.ru

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

megapredmet.ru

Что такое синус?

Эта тема доставляет массу проблем ученикам. Считается одной из самых суровых. Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Что такое числовая окружность? Стоит задать эти безобидные вопросы, как человек бледнеет и пытается увести разговор в сторону… А зря. Это простые понятия. И ничем эта тема не сложнее других. Просто нужно с самого начала чётко уяснить ответы на эти самые вопросы. Это очень важно. Если уяснили – тригонометрия вам понравится. Итак,

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

Начнём с глубокой древности. Не волнуйтесь, все 20 веков тригонометрии мы пройдём минут за 15. И, незаметно для себя, повторим кусочек геометрии из 8 класса.

Напомню, что стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. а и в – катеты. Их два. Оставшаяся сторона называется гипотенузой. с – гипотенуза.

Треугольник и треугольник, подумаешь! Что с ним делать? А вот древние люди знали, что делать! Повторим их действия. Измерим сторону в. На рисунке специально клеточки нарисованы, как в заданиях ЕГЭ бывает. Сторона в равна четырём клеточкам. Ладно. Измерим сторону а. Три клеточки.

А теперь поделим длину стороны а на длину стороны в. Или, как ещё говорят, возьмём отношение а к в. а/в = 3/4.

Можно наоборот, поделить в на а. Получим 4/3. Можно в поделить на с. Гипотенузу с по клеточкам не посчитать, но она равна 5. Получим в/с = 4/5. Короче, можно делить длины сторон друг на друга и получать какие-то числа.

Ну и что? Какой смысл в этом интересном занятии? Пока никакого. Бестолковое занятие, прямо скажем.

А теперь сделаем вот что.  Увеличим треугольник. Продлим стороны в и с, но так, чтобы треугольник остался прямоугольным. Угол х, естественно, не меняется. Чтобы это увидеть, наведите курсор мышки на картинку. Кликать не надо, ничего интересного не будет. Просто наведите.  а, в и с превратятся в m, n, k, и, понятное дело, длины сторон изменятся.  

А вот их отношения – нет!

Отношение а/в было: а/в = 3/4, стало m/n = 6/8 = 3/4. Отношения других соответствующих сторон также не изменятся. Можно как угодно менять длины сторон в прямоугольном треугольнике, увеличивать, уменьшать, не меняя угла х – отношения соответствующих сторон не изменятся. Можно проверить, а можно поверить древним людям на слово.

А вот это уже очень важно.  Отношения сторон в прямоугольном треугольнике не зависят от длин сторон (при одном и том же угле), но резко зависят от этого самого угла! В математике этот факт заслуживает внимания. А отношения – специальных названий. Своих имён, так сказать. Знакомьтесь.

Что такое синус угла х? Это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinx = а/с

Что такое косинус угла х? Это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

сosx= в/с

Что такое тангенс угла х? Это отношение противолежащего катета к прилежащему:

tgx = а/в

Что такое котангенс угла х? Это отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctgx = в/а

Всё очень просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это некоторые числа. Безразмерные. Просто числа.  Для каждого угла – свои.

Зачем я так занудно всё повторяю? Затем, что это надо запомнить. Железно запомнить. Запоминание можно облегчить. Фраза «Начнём издалека…» знакома? Вот и начинайте издалека.

Синус угла – это отношение дальнего от угла катета к гипотенузе. Косинус – отношение ближнего к гипотенузе.

Тангенс угла – это отношение дальнего от угла катета к ближнему. Котангенс – наоборот.

Уже проще, правда?

Ну а если запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят отношения только катетов, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется, то всё станет совсем просто.

А теперь вопрос на внимательность.

Здесь мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс как разнообразные отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Все ли возможные отношения мы рассмотрели? Может, забыли что?

Да. Забыли отношение гипотенузы к катетам. Эти отношения тоже существуют в математике, называются секанс и косеканс. Но эти отношения в школьном курсе не рассматриваются. И мы не будем. На радость ученикам.

Всю эту славную семейку – синус, косинус, тангенс и котангенс называют ещётригонометрическими функциями.

Что главное во всём сказанном? Ну, само собой, определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Их нужно запомнить, вызубрить, как хотите. Эти определения постоянно нужны для решения разнообразных задач.

И ещё надо железно уяснить, что угол неразрывно связан со своими тригонометрическими функциями.  У каждого угла есть свой синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Это важно. Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны!  И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция – значит, мы знаем угол. Существуют специальные таблицы, где для каждого угла расписаны его тригонометрические функции. Таблицы Брадиса называются. Они очень давно составлены. Когда ещё не было ни калькуляторов, ни компьютеров…

Конечно, тригонометрические функции всех углов запомнить нельзя. Вы обязаны знать их только для нескольких углов, об этом дальше будет. Но заклинание «знаю угол – значит, знаю его тригонометрические функции» — работает всегда!

Всё. Больше никаких данных нет. Надо найти длину катета ВС.

Клеточки слабо помогают, треугольник как-то неправильно расположен…. Специально, поди… Из информации есть длина гипотенузы. 8 клеток. Ещё зачем-то дан угол. Вот здесь надо сразу вспоминать про тригонометрию. Есть угол, значит,  мы знаем его тригонометрические функции. Какую функцию из четырёх в дело пустить? А посмотрим-ка, что нам известно?  Нам известен угол, гипотенуза, а найти надо прилежащий катет! Ясно дело, косинус нужно в дело запускать! Вот и запускаем. Просто пишем, по определению косинуса (отношениеприлежащего катета к гипотенузе):

cosC = ВС/8

Угол С у нас 60 градусов, его косинус равен 1/2. Это знать надо, безо всяких таблиц! Стало быть:

1/2 = ВС/8

Элементарное линейное уравнение. Неизвестное – ВС. Кто подзабыл, как решать уравнения, прогуляйтесь по ссылке, остальные решают:

ВС = 4

Эту задачку можно и иначе решить, но нам здесь тригонометрию осваивать надо.

Считаем, что освоение началось.

Практические советы:

1. Запомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Очень пригодится.

2. Чётко усваиваем: синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны с углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

В этом уроке дано очень ограниченное понятие тригонометрических функций. В пределах 8-го класса. Восьмиклассники могут уже пройти за своими пятёрками. А у старших остаются вопросы…

Например, если угол х (смотрите вторую картинку на этой странице) — сделать тупым!? Треугольник-то вообще развалится! И как быть? Ни катета не будет, ни гипотенузы… Пропал синус…

Если бы древние люди не нашли выход из этого положения, не было бы у нас сейчас ни мобильников, ни TV, ни электричества. Да-да! Теоретическая основа всех этих вещей без тригонометрических функций — ноль без палочки. Но древние люди не подвели. Как они выкрутились — в следующем уроке.

Синус — одна из тригонометрических функций, обозначается sin.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.

Значения синусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадратный):

• sin (0°) = 0
• sin (30°) = sin (π/6) = 1/2
• sin (45°) = sin (π/4) = (√2)/2 = 1/√2
• sin (60°) = sin (π/3) = (√3)/2
• sin (90°) = sin (π/2) = 1
• sin (180°) = sin (π) = 0
• sin (270°) = sin (3π/2) = –1

wikibig.imagetube.xyz

Что такое синус угла

Разберем что такое синус угла, начиная с его определения.
Наверное, многие со школы помнят, что:
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к его гипотенузе:

Пример 1.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а один катет 13 см. Найдем синус угла, который является противолежащим к этому катету.

Решение.
По определению синуса угла известно, что он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Запишем:

Ответ. .

Обратим внимание, что выше мы рассмотрели понятие синуса ОСТРОГО угла. Что делать, если нужно найти синус любого угла или нам неизвестно — тупой угол или острый?

Синус произвольного угла, который образован осью Ох и произвольным радиус-вектором , — это отношение проекции данного вектора на ось Оу к длине вектора :

Пример 2.
Найдем синус угла, который образован вектором с осью Ox.

Решение.
Воспользуемся определением синуса угла и запишем:

Можно найти приближенное значение:

Ответ. .

ru.solverbook.com

СИНУС — это… Что такое СИНУС?

dic.academic.ru

Как найти синус?

Как найти синус?

Изучение геометрии помогает развивать мышление. Этот предмет обязательно входит в школьную подготовку. В жизнедеятельности знание этого предмета может пригодиться — например, при планировке квартиры.

Из истории

В рамках курса геометрии изучается также тригонометрия, которая исследует тригонометрические функции. В тригонометрии мы изучаем синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы угла.

Но на данный момент начнем с самого простого – синуса. Давайте рассмотрим более детально самое первое понятие — синус угла в геометрии. Что такое синус и как его найти?

Понятие «синус угла» и синусоиды

Синус угла – это соотношение значений противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это прямая тригонометрическая функция, которая на письме обозначается как «sin (x)», где (х) – угол треугольника.

На графике синус угла обозначается синусоидой со своими особенностями. Синусоида выглядит как непрерывная волнообразная линия, которая лежит в определенных рамках на плоскости координат. Функция нечетная, поэтому симметрична относительно 0 на плоскости координат (выходит из начала отсчета координат).

Область определения этой функции лежит в диапазоне от -1 до +1 на декартовой системе координат. Период функции синус угла составляет 2 Пи. Это означает, что каждые 2 Пи рисунок повторяется, и синусоида проходит полный цикл.

Уравнение синусоиды

• sin х = a / c
• где а – противолежащий к углу треугольника катет
• с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Свойства

elhow.ru