Вектор скаляр – —

Скаляры и векторы | LCME Wiki

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (закреплённого) вектора.

• Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек эвклидова пространства.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

• коллинеарны
• равны по длине
• одинаково направлены (сонаправлены)

Линейные операции над векторами Править

Сложение векторов Править

Сложение трех свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. Править

Правило треугольника Править

Для сложения двух векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма Править

Для сложения двух векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Модуль суммы Править

Модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов, где $ \alpha $ — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого.

Умножение вектора на скаляр Править

Произведением вектора $ \overrightarrow u $ и числа $ \lambda $ называется вектор, модуль которого равен $ \lambda u $, а направление совпадает с направлением вектора $ u $, если $ \lambda > 0 $, и противоположно ему, если $ \lambda < 0 $. Если же $ \lambda = 0 $, или вектор $ \overrightarrow u $ нулевой, тогда и только тогда произведение — нулевой вектор.

Скалярное произведение Править

Скалярным произведением векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ называют число, равное $ |u||v|\cos \alpha $, где $ \alpha $ — угол между векторами $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $. Обозначения: $ uv $ или $ |\overrightarrow {uv}| $.

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол $ \alpha $ не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

• коммутативность
• дистрибутивность
• линейность по отношению к умножению на число

Векторное произведение Править

Векторным произведением вектора $ \overrightarrow u $ на вектор $ \overrightarrow v $ называется вектор $ \overrightarrow w $, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $ \overrightarrow w $ равна произведению длин векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ на синус угла $ \alpha $ между ними
• вектор $ \overrightarrow w $ ортогонален каждому из векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ (проще говоря, если $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $ перенести так, чтобы они выходили из одной точки, $ \overrightarrow w $ будет нормален к плоскости векторов $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $)
• вектор $ \overrightarrow w $ направлен так, что тройка векторов $ \overrightarrow u \overrightarrow v \overrightarrow w $ является правой

Обозначение: $ [\overrightarrow u \times \overrightarrow v] $

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах $ \overrightarrow u $ и $ \overrightarrow v $, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

• При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность)

(от лат. scalaris — ступенчатый) — величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается действительное число).

lcme.fandom.com

Единичный вектор и умножение на скаляр

Физика > Векторы единиц и умножение на скаляр

 

Единичный вектор и процесс умножения вектора на число в физике: вектор и скаляр, термины и определения, координаты единичного вектора, отображение на графике.

Умножение вектора скаляром соответствует умножению его величины на число.

Задача обучения

• Предсказать влияние умножения вектора на скаляр.

Основные пункты

• Единичный вектор выступает вектором величины (длины) 1.
• Скаляр может представляться одним числом, и лишен направления.
• Умножение вектора на скаляр проходит так же, как умножение величины вектора на число, отображенное скаляром.

Термины

• Скаляр – количество, лишенное направления. Его можно описать одним числом.
• Единичный вектор – вектор величины 1.

Векторы можно не только добавлять, но и умножать на скаляры. Последние отличаются от векторов тем, что обладают величиной, но лишены направления (масса, объем, высота).

В процессе умножения вектора на скаляр, направление вектора остается стабильным, а величина умножается на аналогичную характеристику скаляра. Это создает новую более удлиненную векторную стрелу. Для скалярного умножения можно также использовать компоненты вектора. Просто умножьте каждый на скаляр и получите новые компоненты.



(I) – Умножение вектора А на 0.5 уменьшает его длину.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает длину.

(Iii) – Увеличение массы (скаляр) увеличивает и силу (вектор).

Чтобы все стало намного проще, следует разобраться в единичном векторе. Это вектор, соответствующий по величине или длине 1. В декартовых координатах обычно отображается как x^ и y^. Треугольник над буквами прозвали «шляпой». Координаты единичного вектора описывают круг, чей радиус достигает единицы. Чтобы это увидеть, просто возьмите все векторы длины 1 и поместите на координаты. Если объединить векторы линией, то получится круг.

---

v-kosmose.com

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

Умножение скаляра на вектор

Векторы можно не только складывать друг с другом, но и умножать на скаляры. Между выражениями ¾умножение скаляра на вектор¿ и ¾умножение вектора на скаляр¿ никакой принципиальной разницы нет.

При умножении скаляра на вектор получается вектор. Размерность вектора-произведенияравна произведению размерностей скаляра и исходного вектора.

Перемножение скаляра и вектора встречается в физике везде, где фигурируют сами векторы. Например, при движении с постоянной скоростью ~v перемещение тела за время t выражается формулой:

~s = ~vt:

Импульс тела определяется как произведение массы на скорость:

p~ = m~v:

Кстати, импульс не обладает собственной единицей измерения. Размерность импульса есть просто произведение размерностей массы и скорости: кг м=с.

Произведение массы тела на вектор ускорения присутствует в фундаментальном законе механики втором законе Ньютона:

~

m~a = F

(здесь ~ есть сумма векторов всех сил, приложенных к телу).

F

Cкаляр, умножаемый на вектор, не обязан быть положительным. Например, электрическое

поле характеризуется вектором напряжённости ~ , который задан в каждой точке поля. Если в

E

данную точку помещён заряд q, то сила, действующая на этот заряд со стороны электрического поля, равна:

При этом заряд q может быть как положительным, так и отрицательным.

7.3.1Что такое умножение скаляра на вектор?

Давайте начнём с примеров и посмотрим на рис. 7.19.

~a

2~a

2~a

12~a

Рис. 7.19. Умножение разных скаляров на вектор ~a

В самом верху рисунка расположен вектор ~a. Ниже находится вектор 2~a: он в два раза длиннее вектора ~a и сонаправлен с ним.

Ещё ниже мы видим вектор 2~a. Он также вдвое длиннее вектора ~a, но имеет противоположное направление.

Наконец, в самом низу рисунка расположен вектор 12~a. Он сонаправлен с вектором ~a и в два раза короче него. Этот вектор можно обозначить также ~a=2.

После этого примера операция умножения вектора на скаляр ясна без всяких определений, но строгое определение мы всё же дадим.

studfiles.net

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР

Пусть даны вектор и скаляр . При умножении вектора на скаляр модуль вектора изменяется в раз, а его направление остаётся прежним или меняется на противоположное в зависимости от того, будет скаляр положительным или отрицательным числом. В результате такого действия образуется новый вектор ma, который называется произведением вектора на скаляр , т.е. , где — абсолютная величина числа .

Введём понятие единичного вектора. Единичным вектором, или «ортом », направления называется , имеющий направление вектора и модуль, равный единице: , тогда вектор можно записать через единичный вектор следующим образом: , где

а – модуль вектора .

Любой вектор можно представить как произведение единичного вектора на модуль данного вектора. Например, дан вектор , пусть — единичный вектор, с – модуль вектора , тогда .

Проекция любого вектора, на какую либо ось равна его модулю, умноженному на косинус угла между положительным направлением оси проекции и направлением самого вектора. Из рисунка 5 следует, что

 

.

 

 

А теперь рассмотрим, что происходит в случае умножения вектора на положительный скаляр и на отрицательный скаляр.

Пусть у нас будут даны: вектор A и скаляр .

При умножении вектора A на положительный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого совпадает с направлением вектора

A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 3: Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с.

Решение: Импульс тела равен: кг · м/с и направлен в сторону (рис.6).

 

 

При умножении вектора A на отрицательный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого противоположно вектору A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 4: Заряд нКл помещён в электрическое поле с напряженностью В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Решение: Сила, по определению, равна . Так как заряд отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, противоположную (рис.7). Модуль силы равен Н мкН.

 

 

 

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается через ( или .

Итак, по определению скалярное произведение двух векторов и равно

,

 

где — угол между векторами и .

Скалярное произведение двух векторов есть скалярная величина, положительная или отрицательная, в зависимости от того, будет больше или меньше нуля, т.е. острый или тупой угол образуют векторы и . Примером скалярного произведения является механическая работа , равная произведению силы на вектор перемещения и косинус угла между ними, т.е.

.

 

Если векторы параллельны, то скалярное произведение равно , так как ; .

Если векторы перпендикулярны , то скалярное произведение векторов равно нулю: , так как

 

Пример5: Найти работу постоянной силы 20 Н, если перемещение тела 7,5 м , а угол между силой и перемещением равен 120⁰.

Решение: Работа силы равна, по определению, скалярному произведению силы и перемещения:

 

Дж




Похожие статьи:

poznayka.org

Умножение векторов на скаляр

Физика > Умножение векторов на скаляр

 

Умножение векторов на число: описание терминов и определения вектора и скаляра, как провести умножение векторов, свойства вектора и скаляра, пример с графиком.

При умножении вектора на скаляр меняется величина вектора, но не направление.

Задача обучения

• Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами.

Основные пункты

• Вектор характеризуется величиной и направлением.
• Скаляр отображается лишь величиной.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению вектора величины на скаляр.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной (лишено направления).
• Величина – число вектора, указывающее на длину.

Обзор

Вектор и скаляры отображают разные типы физических величин, но иногда вынуждены контактировать. Конечно, они обладают разными размерами в пространстве, поэтому добавление невозможно. Однако вектор можно умножить на скаляр, а вот умножить скаляр на вектор не получится.

Чтобы проделать подобную операцию, следует умножать компоненты, а именно величины. Это создаст новый вектор с тем же направлением, но будет уже результатом двух величин.

Пример

Допустим, вы располагаете вектором А с определенными величиной и направлением. Если умножить его на скаляр с величиной 0.5, то новый вектор будет вдвое меньше изначального. Если же величина 3, то втрое больше. Чтобы разобраться детальнее, возьмем силу гравитации. Сила отображает вектор с величиной, зависящей от скаляра (масса), а направление идет вниз. Если массу удвоить, то сила тяжести также удвоится.



(I) – Умножение вектора А на скаляр (а = 0.5) создает вектор В, который вдвое длиннее.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает его длину.

(Iii) – Удвоение массы (скаляр) удваивает и силу тяжести (вектор).

В физике умножение вектора на число приносит много пользы. Большая часть единиц в векторных величинах выступает внутренними скалярами, умноженными на вектор. К примеру, м/с для отображения скорости состоит их двух величин: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Теперь вы знаете, как проводить умножение векторов.

---

v-kosmose.com

No related posts.