Рубрика: Школьная жизнь

docplayer.ru

Скобка Пуассона — это… Что такое Скобка Пуассона?

В классической механике ско́бки Пуассо́на^[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на^[2] и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть и  — векторные поля на ,  — оператор производной Ли по направлению векторного поля . Коммутатор операторов и есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле , для которого^{[3][Notes 1]}

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

В голономном базисе оно принимает вид

Свойства

Скобки Пуассона функций

Пусть  — симплектическое многообразие. Симплектическая структура на позволяет ввести на множестве функций на операцию скобок Пуассона, обозначаемую или и задаваемую по правилу^{[1][Notes 2]}

где (также ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона . Оно определяется через дифференциал функции и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой . Именно, для любого векторного поля

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

Выражение

является линейной функцией вторых производных каждой из функций . Однако,

Это выражение не содержит вторых производных . Аналогично, оно не содержит вторых производных и , а потому

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции

,

то есть

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

Примечания

1. ↑ Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
2. ↑ В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении и формуле для коммутатора полей.
3. ↑ В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

Литература

1. ↑ ^{1 2} Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
2. ↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
3. ↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.

dic.academic.ru

Скобки Пуассона фундаментальные — Энциклопедия по машиностроению XXL

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА  [c.135]

Они представляют другую запись необходимых и достаточных условий каноничности преобразования (3). Фундаментальные скобки Пуассона (5.7) также являются инвариантами канонического преобразования. Более общий характер имеет следующее предложение функции и, V рассматриваются сначала как зависящие от старых переменных, потом — от новых, связанных со старыми каноническим преобразованием. Тогда  [c.520]

Фундаментальные скобки Пуассона координат йр и импульсов ia  [c.384]

Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона (СП)  [c.509]

Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона [x , р» = получим систему  [c.513]

Важнейшую роль играют фундаментальные скобки Пуассона  [c.254]

Фундаментальные скобки Пуассона  [c.298]

Величины (34.14) называют фундаментальными или основными скобками Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими аналогами квантовомеханических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы, а то обстоятельство, что для пары величин и скобки Пуассона оказываются равными единице, следует рассматривать как определение канонической сопряженности указанных величин. Любые две величины и р — будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям  [c.196]

Установим соотношения в скобках Пуассона между фундаментальными динамическими величинами  [c.188]

Мы уже имели случай отмечать, что СП-соотношения между сохраняющимися величинами характеризуют ту группу преобразований, из-за инвариантности действия относительно которых эти сохраняющиеся величины возникают, а не механическую систему, для которой они конкретно находятся. Поэтому найденные выше соотношения в скобках Пуассона (26) между десятью фундаментальными динамическими величинами должны выполняться для любой системы, инвариантной относительно преобразований полной группы Лоренца. Это есть условия релятивистской инвариантности теории, записанной в гамильтоновой форме.  [c.189]

В классической механике зависимость любой (не зависящей явно от времени) динамической переменной от времени описывалась скобкой Пуассона с фундаментальной для данной динамической системы динамической величиной — функцией Гамильтона  [c.458]

Скобки Пуассона, взятые для самих канонических переменных (т. е. [ = Як, 2 = рк), называются фундаментальными скобками Пуассона. Они таковы  [c.206]

Фундаментальные скобки Пуассона имеют квантово-механичес-кий аналог — перестановочные соотношения Гейзенберга, играющие важную роль в квантовой механике. В аппарате этой науки формализм Гамильтона играет существенную роль.  [c.206]

Необходимые и достаточные условия каноничности преобразования можно выразить через скобки Пуассона (см. 3). С этой целью частные производные, входящие в фундаментальные скобки Лагранжа, заменим по формулам (5.114) —(5.117)  [c.316]

Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобок Пуассона [аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа]. Эти равенства было бы проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведенного доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему канонических переменных. В этом состоит преимущество рассмотренного доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются каноническими инвариантами.  [c.280]

Введем теперь координаты и импульсы Xk = ак, Pk = ial к = = 1, 2) с фундаментальной скобкой Пуассона [xi, pk] = Sik. Поскольку СП Si, S j] = ijkSk, то уравнение (26.31) приобретает гамильтонову форму dS/dt = [S, Н] с гамильтонианом Н = IIS [276].  [c.276]

mash-xxl.info

Скобка Пуассона • ru.knowledgr.com

В математике и классической механике, скобка Пуассона — важная операция над двоичными числами в гамильтоновой механике, играя центральную роль в уравнениях Гамильтона движения, которые управляют развитием времени гамильтоновой динамической системы. Скобка Пуассона также отличает определенный класс координационных преобразований, названных каноническими преобразованиями, который наносит на карту канонические системы координат в канонические системы координат. («Каноническая система координат» состоит из канонического положения и переменных импульса (здесь символизируемый q и p соответственно), которые удовлетворяют канонические отношения Poisson-скобки.) Набор возможных канонических преобразований всегда очень богат. Например, часто возможно выбрать сам гамильтониан H = H (q, p; t) как одна из новых канонических координат импульса.

В более общем смысле: скобка Пуассона используется, чтобы определить алгебру Пуассона, которой алгебра функций на коллекторе Пуассона — особый случай. Их все называют в честь Симеона Дени Пуассона.

Свойства

Для любых функций фазового пространства и время:

Кроме того, если функция с временной зависимостью, но постоянная по фазовому пространству, то для кого-либо.

Канонические координаты

В канонических координатах (также известный как координаты Дарбу) на фазовом пространстве, учитывая две функции и, скобка Пуассона принимает форму

:

Несколько основных свойств заканчиваются для скобок канонических координат:

Уравнения Гамильтона движения

уравнений Гамильтона движения есть эквивалентное выражение с точки зрения скобки Пуассона. Это может быть наиболее непосредственно продемонстрировано в явной координационной структуре. Предположим, что это — функция на коллекторе. Тогда от многовариантного правила цепи, у каждого есть

:

Далее, можно взять и быть решениями уравнений Гамильтона; то есть,

:

\dot {q} = \frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный p\= \{q, H\} \\

\dot {p} =-\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный q\= \{p, H\}\

Затем у каждого есть

:

\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} t\f (p, q, t) &= \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный q\\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный p\-\frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный p\\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный q\+ \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный t\\\

&= \{f, H\} + \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный t\~.

Таким образом развитие времени функции на коллекторе symplectic может быть дано как семья с одним параметром symplectomorphisms (т.е. канонические преобразования, сохранение области diffeomorphisms), со временем t быть параметром: гамильтоново движение — каноническое преобразование, произведенное гамильтонианом. Таким образом, скобки Пуассона сохранены в нем, так, чтобы любое время t в решении уравнений Гамильтона, могло служить координатами скобки. Скобки Пуассона — канонические инварианты.

Пропуская координаты, у каждого есть

:

Оператор в конвективной части производной, L̂ =, иногда упоминается как Liouvillian (см. теорему Лиувилля (гамильтониан)).

Константы движения

интегрируемой динамической системы будут константы движения в дополнение к энергии. Такие константы движения доберутся с гамильтонианом под скобкой Пуассона. Предположим, что некоторая функция f (p, q) является константой движения. Это подразумевает что, если p (t), q (t) является траекторией или решением уравнений Гамильтона движения, то у каждого есть это

:

вдоль той траектории. Тогда у каждого есть

:

где, как выше, промежуточный шаг следует, применяя уравнения движения. Это уравнение известно как уравнение Лиувилля. Содержание теоремы Лиувилля — то, что развитие времени меры (или «функция распределения» на фазовом пространстве) дано вышеупомянутым.

Если скобка Пуассона f и g исчезает ({f, g} = 0), то f и g, как говорят, находятся в запутанности. Для гамильтоновой системы, чтобы быть абсолютно интегрируемыми, все константы движения должны быть во взаимной запутанности.

Кроме того, согласно Теореме Пуассона, если два количества и константы движения, их скобка Пуассона — также. Это не всегда поставляет полезный результат, однако, так как число возможных констант движения ограничено (для системы с n степенями свободы), и таким образом, результат может быть тривиальным (константа, или функция и.)

Скобка Пуассона на языке без координат

Позвольте M быть коллектором symplectic, то есть, коллектором, оборудованным формой symplectic: ω с 2 формами, который оба закрыт (т.е. его внешний производный dω = 0) и невырожденный. Например, в лечении выше, возьмите M, чтобы быть и взять

:

Если внутренний продукт или операция по сокращению, определенная, то невырождение эквивалентно высказыванию что для каждой одной формы α есть уникальный вектор, выставляют таким образом что. Альтернативно. Тогда, если H — гладкая функция на M, гамильтонова векторная область X может быть определена, чтобы быть. Легко видеть это

:

:

Скобка Пуассона на (M, ω) является билинеарной операцией на дифференцируемых функциях, определенных; скобка Пуассона двух функций на M — самостоятельно функция на M. Скобка Пуассона антисимметрична потому что:

:.

Кроме того,

Здесь Xf обозначает, что векторная область X относилась к функции f как направленная производная и обозначает (полностью эквивалентную) производную Ли функции f.

Если α — произвольная одна форма на M, векторная область Ω производит (по крайней мере, в местном масштабе) поток, удовлетворяющий граничное условие и отличительное уравнение первого порядка

:

Желание быть symplectomorphisms (канонические преобразования) для каждого t как функция x, если и только если; когда это верно, Ω называют symplectic векторной областью. Вспоминание личности и dω Картана = 0, из этого следует, что. Поэтому Ω — symplectic векторная область, если и только если α — закрытая форма. С тех пор, из этого следует, что каждая гамильтонова векторная область X является symplectic векторной областью, и что гамильтонов поток состоит из канонических преобразований. Сверху, под гамильтоновым потоком X,

:

Это — фундаментальный результат в гамильтоновой механике, управляя развитием времени функций, определенных на фазовом пространстве. Как отмечено выше, когда {f, H} = 0, f — константа движения системы. Кроме того, в канонических координатах (с и), уравнения Гамильтона для развития времени системы немедленно следуют от этой формулы.

Это также следует из этого, скобка Пуассона — происхождение; то есть, это удовлетворяет некоммутативную версию правления продуктов Лейбница:

Скобка Пуассона глубоко связана со скобкой Ли гамильтоновых векторных областей. Поскольку производная Ли — происхождение,

:.

Таким образом, если v и w — symplectic, использование, личность Картана и факт, который является закрытой формой,

:

Из этого следует, что, так, чтобы

Таким образом скобка Пуассона на функциях соответствует скобке Ли связанных гамильтоновых векторных областей. Мы также показали, что скобка Ли двух symplectic векторных областей — гамильтонова векторная область и следовательно также symplectic. На языке абстрактной алгебры symplectic векторные области формируют подалгебру алгебры Ли гладких векторных областей на M, и гамильтоновы векторные области формируют идеал этой подалгебры. sympletic векторные области — алгебра Ли (бесконечно-размерной) группы Ли symplectomorphisms M.

Широко утверждается что личность Джакоби для скобки Пуассона,

:

следует из соответствующей идентичности для скобки Ли векторных областей, но это верно только до в местном масштабе постоянной функции. Однако, чтобы удостоверить личность Джакоби для скобки Пуассона, достаточно показать что:

:

где оператор на гладких функциях на M определен, и скобка справа — коммутатор операторов. Оператор равен оператору X. Доказательство личности Джакоби следует, потому что скобка Ли векторных областей — просто их коммутатор как дифференциальные операторы.

Алгебра гладких функций на M, вместе со скобкой Пуассона формирует алгебру Пуассона, потому что это — алгебра Ли под скобкой Пуассона, которая дополнительно удовлетворяет правление Лейбница. Мы показали, что каждый коллектор symplectic — коллектор Пуассона, который является коллектором с оператором «курчавой скобки» на гладких функциях, таким образом, что гладкие функции формируют алгебру Пуассона. Однако не каждый коллектор Пуассона возникает таким образом, потому что коллекторы Пуассона допускают вырождение, которое не может возникнуть в symplectic случае.

Результат на сопряженных импульсах

Приглаженная векторная область X на пространстве конфигурации, позвольте P быть своим сопряженным импульсом. Сопряженное отображение импульса — антигомоморфизм алгебры Ли от скобки Пуассона до скобки Ли:

:

Этот важный результат стоит короткого доказательства. Напишите векторную область X в пункте q в космосе конфигурации как

:

где местной координационной структуры. У сопряженного импульса к X есть выражение

:

где p — функции импульса, сопряженные к координатам. Каждый тогда имеет, для пункта (q, p) в фазовом пространстве,

:

\{P_X, P_Y\} (q, p) &= \sum_i \sum_j \left \{X^i (q) \; p_i, Y^j (q) \; p_j \right \} \\

&= \sum_ {ij} p_i Y^j (q) \frac {\\частичный X^i} {\\частичный q^j} — p_j X^i (q) \frac {\\частичный Y^j} {\\частичный q^i} \\

&= — \sum_i p_i \; [X, Y] ^i (q) \\

&= — P_ {[X, Y]} (q, p).

Вышеупомянутое держится для всех (q, p), давая желаемый результат.

Квантизация

Скобки Пуассона искажают к скобкам Moyal на квантизацию, то есть, они делают вывод к различной алгебре Ли, алгебре Moyal, или, эквивалентно в Гильбертовом пространстве, квантовых коммутаторах. Сокращение группы Wigner-İnönü их (классический предел, ħ→0) приводит к вышеупомянутой алгебре Ли.

См. также

• Алгебра Пуассона

• Фазовое пространство

• Скобка Лагранжа

• Супералгебра Пуассона

• Суперскобка Пуассона

• Скобка Дирака

• Karasëv, M. V.; Маслов, V. P.: Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантизация. Переведенный с русского А. Соссинским [A. B. Sosinskiĭ] и М. Шишкова. Переводы Математических Монографий, 119. Американское Математическое Общество, провидение, Род-Айленд, 1993.

Внешние ссылки

Примечания

ru.knowledgr.com

Фазовое пространство, скобки Пуассона.

Для наглядного геометрического изображения решений кано­нических уравнений (7.6) вводится понятие фазового простран­ства. Фазовое пространство — это абстрактное пространство 2s измерений, на координатных осях которого откладываются обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Система ко­ординат в фазовом пространстве считается декартовой системой координат. Решение канонических уравнений дает 2s функций В каждый момент времени эти функции определя­ют в фазовом пространстве одну точку. Эта точка называется изображающей точкой, и полностью определяет состояние меха­нической системы. С течением времени значения функций

изменяются и изображающая точка перемещается по фазово­му пространству, описывая кривую, которая называется фазовой траекторией. Движение механической системы с любым конеч­ным числом степеней свободы всегда изображается в фазовом про­странстве как траектория изображающей точки. От размерности механической системы зависит только размерность фазового про­странства.

Канонические уравнения — это система обыкновенных диф­ференциальных уравнений первого порядка. Поэтому начальные данные для нее задаются только на сами неизвестные функции. Задание и некоторый момент времени t₀ начальных данных

означает задание точки в фазовом пространстве. Поскольку начальные данные полностью определяют частное решение кано­нических уравнений, то из каждой точки фазового пространства выходит только одна фазовая траектория. Поэтому фазовые тра­ектории не пересекаются.

В статистической физике вводится понятие статист.ического ансамбля. Статистический ансамбль — это множество идентич­ных механических систем, для которых заданы различные началь­ные данные. В фазовом пространстве статистический ансамбль изобрази гея множеством точек, которые можно рассматривать как частицы сплошной среды, называемой фазовой жидкостью. Если в начальный момент времени в фазовой жидкости выделить неко­торый объем, го при движении каждой частицы фазовой жидко­сти по своей фазовой траектории этот объем будет перемещаться и деформироваться. Однако вследствие выполнения канонических уравнений величина этого объема не меняется при его перемеще­нии, то есть фазовая жидкость является несжимаемой жидко­стью. Это утверждение носит название теоремы Лиувилля. Тео­рема Лиувилля применяется для обоснования функции распреде­ления в статистической физике.

Рассмотрим произвольную функцию координат импульсов и времени и найдем от нее полную производную по вре-

мени. Так как координаты и импульсы зависят от времени, то производную считаем как производную от сложной функции. В результате получим

(7.15)

Производные от координат и импульсов по времени с помощью ка­нонических уравнений (7.6) заменим на производные от функции Гамильтона, Тогда выражение (7.15) приводится к виду

(7.16)

Определим новую величину, называемую скобкой Пуассона функ­ций H и f, согласно формуле

(7.17)

Тогда полная производная от функции запишется в виде

(7.18)

Формула (7.18) дает производную по времени от любой функции координат, импульсов и времени. Если в качестве таких функций возьмем обобщенные координаты qi, то получим первую группу канонических уравнений:

(7.19)

Точно так же при подстановке в скобку Пуассона (7.17) вместо функции f обобщенных импульсов pi из (7.18) получается вто­рая группа канонических уравнений. Таким образом, формула (7.18) включает в себя и канонические уравнения. При построении квантовой механики Гейзенберг использовал обобщение формулы (7.18) для получения производной по времени для операторов, опи­сывающих физические величины в квантовой механике.

Если некоторая функция координат и импульсов не зависит яв­но от времени и ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона Н равна нулю, то эта функция остается постоянной при движении механической системы, и, следовательно, имеется закон сохране­ния. Например, скобка Пуассона функции Гамильтона с функци­ей Гамильтона тождественно равна нулю. Поэтому если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она остается постоян­ной. Поскольку функция Гамильтона равна энергии механической системы, то это означает, что выполняется закон сохранения ме­ханической энергии.

infopedia.su

Скобка — пуассон — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Скобка — пуассон

Cтраница 1

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко вы: водимыми из определения.  [1]

Скобки Пуассона не облегчают существенным образом решения уравнений движения системы, но, как будет видно, оказываются полезными при рассмотрении интегралов движения. Они приводят к математическому аппарату, который при некоторой несложной интерпретации является удобным путем для введения правил квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики.  [2]

Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике.  [3]

Скобки Пуассона инвариантны относительно упивалептных канонических нреоб-ра зоваиий.  [4]

Скобка Пуассона играет роль в изучении интегралов гамильтоновых потоков.  [5]

Скобка Пуассона имеет простую интерпретацию.  [6]

Скобка Пуассона на пространстве G задается следующей формулой.  [7]

Скобки Пуассона называются согласованными, если их линейная комбинация также является скобкой Пуассона, т.е. удовлетворяет тождеству Якоби. Хорошо известно, что на фазовом пространстве динамических систем, интегрируемых методом обратной задачи, часто удается определить согласованные скобки Пуассона, причем интегралы движения находятся в инволюции относительно всех этих скобок.  [8]

Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения.  [9]

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми из определения.  [10]

Скобки Пуассона инвариантны относительно канонического преобразования Ф в том смысле, что преобразованные к новой системе они просто переходят в скобки Пуассона преобразованных функций. Наоборот, если Ф — диффеоморфизм пространства Т ( М), удовлетворяющий этому соотношению при всех F, G С ( Т ( М)), то Ф — каноническое преобразование.  [11]

Скобки Пуассона от любых двух величин ру, pz, px Pt равны нулю, поэтому вместе с Н имеем четыре необходимые для интегрируемости постоянные движения.  [12]

Скобки Пуассона для компонент спинов, относящиеся к разным узлам решетки, равны нулю.  [13]

Скобка Пуассона называется совместимой с динамикой SQ, если все их высшие аналоги, ограниченные на ко-нечнозонные семейства, гамильтоновы в этой скобке.  [14]

Скобка Пуассона инвариантна относительно симп-лектического диффеоморфизма.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Статьи по теме:

Инструкция

Подставьте во второе уравнение вместо х то выражение, которое вы получили из первого уравнения. Упростите полученную запись, произведя сложение или вычитание подобных членов. Аналогично предыдущему шагу выразите из второго уравнения следующую неизвестную переменную у. Также перенесите все другие члены за знак равенства и поделите все уравнение на коэффициент при у.

В последнее третье уравнение подставьте вместо двух неизвестных переменных х и у выраженные значения из первого и второго уравнений системы. Причем в выражении х также замените переменную у. Упростите полученное уравнение. В нем в качестве неизвестной величины останется лишь третья переменная z. Выразите ее из уравнения, как описано выше, и высчитайте ее значение.

В выражение у из второго уравнения подставьте известное значение переменной z. Подсчитайте значение переменной у. Далее в выражение переменной х подставьте значения переменных у и z. Вычислите х. Запишите полученные значения х, у и z – это и есть решение системы с тремя неизвестными.

Система из трех уравнений с тремя неизвестными может и не иметь решений, несмотря на достаточное количество уравнений. Можно пытаться решить ее с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Метод Крамера помимо решения системы позволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как отыскать значения неизвестных.

Инструкция

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Выразите из первого уравнения x: x = (d1 — b1y — c1z)/a1 — и подставьте во второе и третье уравнения, затем из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через коэффициенты уравнений системы. Теперь идите «обратно»: подставьте z во второе уравнение и найдите y, а затем z и y подставьте в первое и найдите x. Процесс в общем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в общем виде будет слишком громоздкой, на практике, подставив числа, вы довольно легко найдете все три неизвестные.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Тогда матрицей этой системы уравнений будет следующая матрица:

| a1 b1 c1 |

| a2 b2 c2 |

| a3 b3 c3 |

Прежде всего найдите определитель матрицы системы. Формула нахождения определителя: |A| = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 — a3b2c1 — a2b1c3 — a1b3с2. Если он не равен нулю, то система разрешима и имеет единственное решение. Теперь нужно найти определители еще трех матриц, которые получаются из матрицы системы путем подставления столбца правых частей вместо первого столбца (эту матрицу обозначим Ax), вместо второго (Ay) и третьего (Az). Вычислите их определители. Тогда x = |Ax|/|A|, y = |Ay|/|A|, z = |Az|/|A|.

Источники:

• Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Уравнением называют аналитическую запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Система – это совокупность уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям. Так как успешное решение задачи невозможно без правильно составленной системы уравнений, необходимо знать основные принципы составления подобных систем.

Инструкция

Далее внимательно читайте условие задачи и связывайте неизвестные величины уравнениями. Иногда взаимосвязь между переменными будет очевидна. Например, в приведенном выше примере, катеты связывает следующее соотношение.Если «один из них увеличить в 3 раза» (3 * x), «а другой в 4» (4 * y), «то сумма их длин составит 29 м»: 3 * x + 4 * y = 29.

При решении физических задач «неочевидные» уравнения могут заключаться в формулах, связывающих физические величины. Например, пусть в условии задачи необходимо найти скорости пешеходов Va и Vb. Известно, что пешеход A проходит расстояние S на 3 часа медленнее, чем пешеход B. Тогда можно составить уравнение, воспользовавшись формулой S = V * t, где S – это расстояние, V – скорость, t – время: S / Va = S / Vb + 3. Здесь S / Va — это время, за которое пройдет заданное расстояние пешеход A. S / Vb — время, за которое пройдет заданное расстояние пешеход B. По условию это время на 3 часа меньше.

Видео по теме

Обратите внимание

Все уравнения в системе должны поставлять дополнительную независимую от других уравнений информацию. Иначе система будет недоопределена и однозначного решения найти будет не возможно.

Полезный совет

После решения системы уравнений подставьте найденные значения в исходную систему и проверьте, что они удовлетворяют всем уравнениям.

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• — система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными. Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных членов (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, равную матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав определитель матрицы, обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

www.kakprosto.ru

4.4 Система m уравнений с n неизвестными

Случай, когда число уравнений mбольше числа переменныхn, путем последовательного исключения неизвестных из уравнений приводится к случаюm=nилиmn. Первый случай рассмотрен ранее.

Во втором случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных mnи уравнения независимы, выделяютсяm основных переменныхи (n—m)неосновных переменных. Основными являются переменные удовлетворяющие условию: определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю. Основными могут быть различные группы переменных. Общее количество таких групп Nравно числу сочетаний изnэлементов поm:

.

Если система имеет хотя бы одну группу основных переменных, то эта система является неопределенной, то есть имеет множество решений.

Если система не имеет ни одной группы основных переменных, то система является несовместной, то есть не имеет ни одного решения.

В том случае, когда система имеет множество решений, среди них выделяют базисное решение.

Базисным решениемназывают такое решение, в котором неосновные переменные равны нулю. У системы имеется не более чембазисных решений.

Решения системы делятся на допустимыеинедопустимые.

Допустимыминазывают такие решения, у которых значения всех переменных неотрицательны.

Если хотя бы одно значение переменной отрицательно, то решение называют недопустимым.

Пример 4.5

Найти базисные решения системы уравнений

Найдем число базисных решений

.

Итак, среди множества решений системы есть не более трех базисных. Выделим две основные переменные среди трех. Предположим, что это х₁их₂. Проверим определитель из коэффициентов при них

.

Так как этот определитель не равен нулю, то переменные х₁,х₂являются основными.

Теперь положим, что х₃=0. Тогда получим систему в виде

Решим ее по формулам Крамера:

, .

Итак, первое базисное решение имеет вид

х₁=1,х₂=0,х₃=0 .

Проверим теперь на принадлежность к основным переменные х₁их₃.

.

Получим, что х₁их₃— вторая группа основных переменных. Положимх₂=0 и решим систему

, .

Второе базисное решение имеет вид

х₁=1,х₂=0,х₃=0.

Теперь проверим на принадлежность к основным переменные х₂их₃.

то есть переменные х₂их₃неосновные. Итак, всего у данной системы оказалось два базисных решения. Оба эти решения допустимые.

Условие совместности системы mлинейных уравненийcnпеременными дается с помощью понятия ранг матрицы.

Ранг матрицы– это число равное наибольшему порядку минора отличного от нуля.

Для матрицы А

минором k-ого порядкаслужит определитель, составленный из элементов любыхkстрок иkстолбцов.

Например,

Пример 2

Найти ранг матрицы

Вычислим определитель матрицы

Для этого первую строку умножим на (-4) и сложим со второй строкой, затем первую строку умножим на (-7) и сложим с третей строкой, в результате получим определитель

Т.к. строки полученного определителя пропорциональны, то .

Отсюда видно, что минор 3-его порядка равен 0, а минор 2-ого порядка не равен 0.

Следовательно ранг матрицы r=2.

Расширенная матрицасистемы имеет вид

Теорема Кронекера — Капелли

Для того, чтобы линейная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы .

Если _,то система несовместна.

Для совместной системы линейных уравнений возможны три случая:

1)Если , то система ЛУ имеет (m-r) линейно зависимых уравнений, их можно исключить из системы;

2) Если , то система ЛУ имеет единственное решение;

3) Если , то система ЛУ имеет множество решений

studfiles.net

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида

где — неизвестные, подлежащие определению;

— числа, называемые коэффициентами при неизвестных;

— числа, называемые свободными членами.

Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.

Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.

Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу

,

полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.

Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1).

Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и — одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:

Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n-ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству:

Коэффициент при равен определителю |A| системы (4.2.1), коэффициент при равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем, полученным из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

Обозначим данный определитель через

Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда

Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением.

Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

.

При , при , .

Таким образом, получим

.

Теорема доказана.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель :

,

,

,

откуда

Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения

где .

Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид

Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Вычислим для матрицы

ее обратную матрицу

.

Определим неизвестную матрицу-столбец Х:

,

откуда

Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:

.

Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:

.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема. Система линейных уравнений (4.1.1) совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Необходимость. Пусть система (4.1.1) совместна и пусть числа — одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (4.1.1), получим m тождеств, которые показывают, что последний столбец матрицы является линейной комбинацией всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами . Всякий другой столбец матрицы входит и в матрицу А. Поэтому максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает. Следовательно, .

Достаточность. Пусть дано, что . Отсюда следует, что максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает и равно r. Для определенности предположим, что первые r столбцов матриц А и линейно независимы, а остальные (n-r) столбцов является их линейными комбинациями. Выражая последний столбец матрицы А как линейную комбинацию первых r столбцов, получим:

откуда следует, что числа являются решением системы (4.1.1), т.е. система (4.1.1) совместна. Теорема доказана.

На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем:

1. Если , то система (4.1.1) несовместна;

2. Если , то система (4.1.1) совместна.

Пусть для определенности базисный минор порядка r расположен в верхнем левом углу матрицы А. Тогда первые r строк матрицы А линейно независимы, а остальные ее строки являются линейной комбинацией первых r строк. Но это означает, что первые r уравнений системы (4.1.1) линейно независимы, а остальные (m-r) ее уравнений являются их линейными комбинациями. Поэтому достаточно решить систему r уравнений; решения такой системы будут, очевидно, удовлетворять и остальным (m-r) уравнениям.

При этом возможны два случая:

1. . Тогда систему, состоящую из первых r уравнений системы (4.1.1)

можно решить, например, по правилу Крамера. В этом случае система имеет единственное решение, т.е. система совместна и определена;

2. . Рассмотрим первые r уравнений системы (4.1.1). Оставив в левых частях первые r неизвестных, перенесем остальные в правые части. Получим систему:

Очевидно, что полученная система и, следовательно, система (4.1.1) являются совместными и неопределенными.

Таким образом, если , то система (4.1.1) совместна (определенная или неопределенная), если , то система (4.1.1) несовместна.

Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель системы равен нулю, то . Тогда если , то система является совместной и неопределенной. Если , то система несовместна.

Теорема Кронекера-Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы (4.1.1), но не дает способа нахождения решения этой системы. Рассмотрим метод Жордана-Гаусса – метод решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса основан на элементарных преобразованиях (п.3.2) строк расширенной матрицы

системы (4.1.1).

В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако системы линейных уравнений, соответствующие полученным матрицам, эквивалентны исходной системе линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную систему специального вида. Для этого выберем в качестве первого уравнений одно из тех уравнений системы, где коэффициент при х₁ отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что . Тогда первым уравнением системы будет уравнение

.

Умножим первое уравнение на . Затем умножим это же уравнение на , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m. После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х₁. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен.

.

Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х₁ будут исключены неизвестными , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица , соответствующая полученной системе, имеет вид:

.

Используем второе уравнение для исключения неизвестного из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу

.

Продолжая процесс, после r шагов получим матрицу , содержащую r единичных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы).

При этом возможны три случая:

1. Если , то матрица преобразуется в матрицу

Система имеет единственное решение: .

2. Если и r<n, то

Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение имеет вид:

Неизвестные называются базисными. – свободными неизвестными.

Свободным неизвестным можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных . В результате имеем бесконечное множество частных значений.

Среди частных решений системы выделим базисные решения, которые получают при равенстве нулю всех свободных неизвестных. Очевидно, что одним из базисных решений является следующее:

.

В общем случае число базисных решений не превышает .

2. Если , то

где хотя бы один из элементов отличен от нуля. В этом случае система (4.1.1) несовместна.

Таким образом, метод Жордана-Гаусса состоит из r итераций (r шагов). На каждой S-ой итерации выбирается направляющий элемент соответственно направляющие строка и столбец. С помощью элементарных преобразований столбец преобразуется в единичный с единицей в строке .

Рассмотрим алгоритм произвольной итерации метода Жордана-Гаусса. Положим .

Шаг 1. Сформировать множество .

Шаг 2. Если , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Если для , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае найти направляющий элемент и перейти к шагу 4.

Шаг 4. Разделить направляющую строку на .

Шаг 5. К i-ой строке, , прибавим строку , умноженную на .

Покажем, что столбец преобразуется в единичный с единицей в строке . Пусть . Элементы матрицы выражаются через элементы матрицы следующим образом:

Полагая j=k, из (4.4.1) и (4.4.3) имеем

.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

Решение. Составим из данной системы расширенную матрицу

Полагаем .

Итерация 1.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим третью строку на .

Шаг 5. К первой, второй и четвертой строкам прибавляем третью строку, соответственно умноженную на –2, -2, -3. В результате матрица преобразуется в матрицу

.

Итерация 2.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим первую строку на .

Шаг 5. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на –4, -3, 1. Получим матрицу

.

Итерация 3.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим четвертую строку на .

Шаг 5. К первой, второй, третьей строкам прибавляем четвертую строку, соответственно умноженную на 0, -5, -2. Получим матрицу

.

Итерация 4.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим четвертую строку на .

Шаг 5. К первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую строку, соответственно умноженную на -1, 2, 0. Получим матрицу

.

Итерация 5.

Шаг 1. .

Шаг 2. , поэтому процесс элементарных преобразований закончен. На основании вида матрицы получаем единственное решение исходной системы: .

Решение. Составим расширенную матрицу

.

В результате итерации 1, полагая , получим матрицу

После итерации 2, полагая , получим матрицу

Итерация 3.

Шаг 1. .

Шаг 2. .

Шаг 3. Так как , то процесс элементарных преобразований закончен.

Матрица определяет общее решение системы:

— базисные, — свободные переменные.

Получим одно из базисных решений:

.

Решение. Матрицы , , имеют вид:

Очевидно, что процесс элементарных преобразований следует закончить, так как . Из первой (или третьей) строки матрицы следует, что исходная система линейных уравнений несовместна. Действительно, первой строке соответствует уравнение , которое не может быть удовлетворено ни при каких значениях неизвестных .

Используя метод Жордана-Гаусса, рассмотрим еще один метод вычисления обратной матрицы .

Рассмотрим матричное уравнение

где , Е – единичная матрица.

Очевидно, что матричное уравнение (4.4.5) имеет единственное решение .

Решение матричного уравнения (4.4.5) сводится к решению n систем n линейных уравнений с n неизвестными вида

Системе линейных уравнений (4.4.6) соответствует расширенная матрица . Применяя к матрице алгоритм метода Жордана-Гаусса, получим матрицу . Покажем, что . Расширенной матрице соответствует матричное уравнение , которое имеет единственное решение Х=В. Матрица получена из матрицы методом Жордана-Гаусса. Поэтому системы линейных уравнений, соответствующие матрицам и , равносильны, т.е. имеют одно и то же решение. Отсюда следует, что , следовательно, .

Таким образом, чтобы для невырожденной матрицы А вычислить обратную матрицу , необходимо составить матрицу . Методом Жордана-Гаусса в матрице преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу .

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы

.

Решение. Составим матрицу

.

На итерации 1, полагая , получим

.

На итерации 2, полагая , получим

.

На итерации 3, полагая , получим

,

откуда .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Случаи систем уравнений с тремя неизвестными

67. Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:

3x + 4y + 5z = 17
2x + 3y + 4z = 15
5x + 7y + 9z = 32

Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5x = 3x + 2x, 7y = 4y + 3y; 9z = 5z + 4z; 32 = 17 + 15), и само собою понятно, что если
3x + 4y + 5z должно равняться 17,
2x + 3y + 4z должно равняться 15,
то (3x + 4y + 5z) + (2x + 3y + 4z) должно равняться 32.

Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения с 3 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.

Можно составлять такие системы и более сложным путем. Возьмем два уравнения:

x – 2y + 3z = 7
2x + y – z = 5

Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или вычтем) по частям полученные уравнения. Умножим обе части 1-го уравнения, например, на 3 и обе части второго на (–2) и полученные уравнения сложим. Тогда получим уравнения:

–x – 8y + 11z = 11.

Это уравнение является следствием двух первых и поэтому все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно много решений.

Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложением по частям исключим x; 2) из 2-го и 3-го, умножив предварительно третье на 2, также исключим x:

Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравнений на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же уравнение, а именно:

–5y + 7z = 9.

Это обстоятельство и является признаком того, что наша система имеет бесконечно много решений.

Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 3-го уравнений определим x и y через z; 2) подставим полученные выражения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевидное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или –11 = –11 и т. п.

В самом деле:

то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться 17 + 15 или 32, но не может равняться 33.

Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычитанием) полученных уравнений, причем известный член должно как-либо изменить. Например, если первое из взятых уравнений умножим на 2 (получим: 6x + 8y + 10z = 34), второе на 3 (получим: 6x + 9y + 12z = 45), сложим полученные уравнения по частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо получающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение

12x + 17y + 22z = 100

не совместимо с первыми двумя.

Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых уравнений, то пришел к результату явно нелепому, например:

0 = 5 или 7 = 11 или –5 = +5 и т. п.

maths-public.ru

Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными — x, y, z :

,

ее главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, имеет вид

.

Если , то,,, где

, ,.

Пусть теперь , но есть. Тогда можно утверждать, что, например,

.

Если же и , то в системеесть лишь два независимых уравнения, а третье является их следствием. В силу этого система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. Такая система неопределенна и имеет бесчисленное множество решений: одному можно придавать любое значение, а остальные неизвестные определяются из двух независимых – все решения лежат на прямой, т.е. на пересечении двух плоскостей. В этом случае.

Если же , то система несовместна и не имеет решений. В этом случае среди определителей,,есть хотя бы один, не равный нулю.

Случай, когда , т.е. равны нулю и все его миноры второго порядка, но есть элементы, не равные нулю, приводит к выражениям

и

.

Если же и ,, то весть лишь одно независимое уравнение. Система неопределенна, имеет бесчисленное множество решений (точки плоскости). В этом случае, и определители всех миноров второго порядка также равны нулю.

Если же , или, то система противоречива и не имеет решений – параллельные плоскости.

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Однородной называют систему, в которой ,.

.

Система — неоднородна.

Если вне равен нулю, то система имеет единственное решение.

Если же , то среди его строк есть линейная зависимость и востается два или одно независимое уравнение.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений снеизвестными,:

, (1)

или в матричной форме

, (2)

где

, ,.

Решением системы (1) или (2) называется любой -компонентный вектор-столбец или матрица-столбец, обращающий в верное равенство системы (1) или (2).

Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае, система несовместна. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема Кронекера–Капелли. Чтобы система вида (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

,

где — расширенная матрица системы.

Пусть теперь в системе (2) , т.е. она совместна. Можно считать, не ограничивая общности, что не равный нулю минор порядкарасполагается в первыхстроках и столбцах матрицы.

Запишем «укороченную» систему для (1), отбросив последние уравнений, в виде:

(3)

Эта система эквивалентна исходной, т.к. отброшенные уравнения являются линейной комбинацией оставшихся уравнений.

Неизвестные называют базисными, а- свободными. Перенесем теперь свободные переменные в правую часть (3). В результате получим систему относительно базисных неизвестных:

.

Эта система для любого набора значений свободных неизвестных имеет единственное решение:

,

где ,,,— набор свободных неизвестных.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно и исходной системы имеет вид:

. (4)

Формула (4) выражает произвольное решение системы (1) в виде функций от свободных неизвестных и называетсяобщим решением системы. Каждому конкретному набору соответствуетчастное решение.

studfiles.net

Системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными

    а и в – векторы (рис.5).

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

    Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:  АВ + ВС =АС.

откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.

 Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

alexlat.ucoz.ru

Медиа́на (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако, медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами.

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется (см. ниже), в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Пример использования

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладёт на стол деньги — бедняки из кармана, а миллиардер — из чемодана. По $5 кладёт каждый бедняк, а миллиардер — $1 млрд (10⁹). В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будет среднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив нашу компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе каждый положил на стол не больше $5, во второй же не меньше $5. В общем случае можно сказать, что медиана это то, сколько принёс с собой средний человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.

Неуникальность значения

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 2, 3, 4} медианой, по определению, может служить любое число из интервала (2,3)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений.

См. также

dic.academic.ru

Мода и медиана 🚩 Математика

Инструкция

Самым распространенным способом оценить среднюю величину в ряду значений является среднее арифметическое. Чтобы его вычислить, нужно сумму всех значений ряда разделить на число этих значений. Например, если дан ряд 3, 4, 8, 12, 17, то его среднее арифметическое равно (3 + 4 + 8 + 12 + 17)/5 = 44/5 = 8,6.

Для статистических целей среднее арифметическое представляет удобную и объективную оценку, но только в тех случаях, когда среди значений ряда нет резко выделяющихся. Например, для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 среднее арифметическое будет равно 24, 5 — заметно больше всех членов ряда, кроме последнего. Очевидно, что такую оценку нельзя считать полностью адекватной.

В таких случаях следует вычислить медиану ряда. Это средняя величина, значение которой находится ровно посередине ряда так, что все члены ряда, расположенные до медианы — не больше нее, а все, расположенные после — не меньше. Конечно, для этого нужно вначале упорядочить члены ряда по возрастанию.

Если в ряду a0… an нечетное количество значений, то есть n = 2k + 1, то за медиану принимается член ряда с порядковым номером k + 1. Если же количество значений четное, то есть n = 2k, то медианой считается среднее арифметическое членов ряда с номерами k и k + 1.
Например, в уже рассмотренном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 200 десять членов. Следовательно, его медиана — среднее арифметическое между пятым и шестым членами, то есть (5 + 6)/2 = 5,5. Эта оценка гораздо лучше отражает усредненное значение типичного члена ряда.

www.kakprosto.ru

Как найти медиану в статистике

Задача.
На улице длиной 1 км находится 10 многоэтажных домов. При принятии решения где лучше построить магазин был проведен опрос о количестве предполагаемых посещений магазина жителями каждого дома.
Данные опроса:
Расстояние от начала улицы до дома     Количество посещений
70                                                   10
260                                                  15
280                                                    5
370                                                  20
400                                                    5
460                                                  25
600                                                  15
780                                                  30
860                                                  10
920                                                  65
Всего посещений                                                 200
Необходимо построить магазин так, чтоб общее расстояние, которое будут проходить покупатели, было наименьшим.

Решение.
Рассмотрим 1-й вариант, согласно которому магазин будет построен посередине улицы, то есть на 500-м метре (в центре диапазона). Тогда посетители с учетом количества походов в магазин пройдут:

(м) = 1598,3 (км)
2-й вариант. Магазин построят на среднем участке улицы, который определяется по формуле средней арифметической с учетом числа посещений:

(м)
(м)
В таком случае покупатели пройдут расстояние:

49515 (м) = 49,515 (км)
3-й вариант. Если построить магазин на 780-м метре, что соответствует медиане по числу посещений (накопленное число посещений для 600 м — 95, а для 780 м — 125).
В таком случае посетители будут проходить расстояние:

(м) = 48,1 (км)
Таким образом, в третьем случае мы получили общее пройденное расстояние меньшее от двух предыдущих случаев.
Значит, медиане соответствует самый лучший результат — минимальное общее пройденное расстояние.

Ответ. Магазин нужно строить на 780 метре улицы.

ru.solverbook.com

Структурные средние величины. Мода и медиана

Структурные средние величины. Мода и медиана

cribs.me

Медиана (статистика) — это… Что такое Медиана (статистика)?

Медиа́на (50-й процентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако, медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами.

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется (см. ниже), в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Пример использования

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладёт на стол деньги — бедняки из кармана, а миллиардер — из чемодана. По $5 кладёт каждый бедняк, а миллиардер — $1 млрд (10⁹). В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будет среднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив нашу компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе каждый положил на стол не больше $5, во второй же не меньше $5. В общем случае можно сказать, что медиана это то, сколько принёс с собой средний человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.

Неуникальность значения

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 2, 3, 4} медианой, по определению, может служить любое число из интервала (2,3)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений.

См. также

biograf.academic.ru

Пример 1 решения задачи. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка ( работа выхода А=4эВ) при облучении γ-излучением с длиной волны λ=2,47пм.

Дано: А=4эВ, λ=2,47пм,
 Найти: vmax

Решение задачи:

Решение задачи:

1. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении γ-фотонами с энергией ε=1,53 МэВ.

2.Максимальная скорость vmax фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении его γ-фотонами, равна 291 Мм/с. Определить энергию ε γ-фотонов.

3. Определить длину волны λ ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность некоторого металла, при максимальной скорости фотоэлектронов, равной 10 Мм/с. Работой выхода электронов из металла пренебречь.

4. На цинковую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны λ=220 нм. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов.

5. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U1=3,7 В. Если платиновую пластинку заменить другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить до 6 В. Определить работу А выхода электронов с поверхности этой пластинки.

6. На поверхность лития падает монохроматический свет (λ=310 нм). Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U не менее 1,7 В. Определить работу выхода А.

7. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта λ0=307 нм и максимальная кинетическая энергия Tmax фотоэлектрона равна 1 эВ?

8. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра направить ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ=300 нм? 9. Определить работу выхода А электронов из натрия, если красная граница фотоэффекта λ0=500 нм.

www.reshim.su

Задачи на тему Фотоэлектрический эффект

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

Квантово-оптические явления. Физика атома
§ 35. Фотоэлектрический эффект

2 Определить красную границу λ0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ=400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.
РЕШЕНИЕ

35.1 Определить работу выхода А электронов из натрия, если красная граница фотоэффекта λ0=500 нм.
РЕШЕНИЕ

35.2 Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра направить ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ=300 нм?
РЕШЕНИЕ

35.3 Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта λ0=307 нм и максимальная кинетическая энергия Tmax фотоэлектрона равна 1 эВ?
РЕШЕНИЕ

35.4 На поверхность лития падает монохроматический свет (λ=310 нм). Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U не менее 1,7 B. Определить работу выхода A.
РЕШЕНИЕ

35.5 Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U1=3,7 B. Если платиновую пластинку заменить другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить до 6 B. Определить работу А выхода электронов с поверхности этой пластинки.
РЕШЕНИЕ

35.6 На цинковую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны λ=220 нм. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов.
РЕШЕНИЕ

35.7 Определить длину волны λ ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность некоторого металла, при максимальной скорости фотоэлектронов, равной 10 Мм/с. Работой выхода электронов из металла пренебречь.
РЕШЕНИЕ

35.8 Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вылетающих из металла под действием γ-излучения с длиной волны λ=0,3 нм.
РЕШЕНИЕ

35.9 Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении γ-фотонами с энергией ε=1,53 МэВ.
РЕШЕНИЕ

35.10 Максимальная скорость vmax фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении его γ-фотонами, равна 291 Мм/с. Определить энергию ε γ-фотонов.
РЕШЕНИЕ

bambookes.ru

Физика. Чертов А.Г. Задача № 35.8!

1. Физика. Чертов А.Г.
2. Квантово-оптические явления. Физика атома
3. Фотоэлектрический эффект
4. 35.8!

Условие задачи 35.8!:

Определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов, вылетающих из металла под действием γ-излучения с длиной волны λ=0,3 нм.

Решение задачи:

СДЕЛАЙТЕ РЕПОСТ

Решение задачи 35.8!