Скобки Пуассона. Основные положения
Теоретическая физика. Механика (практический курс) | 197 |
|
|
Пусть f иg – произвольные функции обобщенных координат, импуль-
сов и времени: f(q1,…,qn;p1,…,pn,t),g(q1,…,qn;p1,…,pn,t).Скобка Пуассона
определяется следующим образом:
| n | ∂f∂g |
| ∂f∂g |
| ||||||
{f, g}= | ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| − |
|
|
| . | (9.9) | |
j=1 | ∂pj ∂qj |
| ∂qj ∂pj |
| |||||||
Основные свойства скобок Пуассона (здесь f(q,p,t), g(q,p,t), h(q,p,t) –
|
|
|
| функции, а αk – константы) | ||||
(1) | {f,g}= −{g,f} | (4) {∏ fk,g}= ∑ fl{∏ fk,g} | ||||||
(a) {f,f}= 0 |
|
|
| k | l k≠l |
| ||
| (a) {f1f2,g}= f1{f2,g}+ f2{f1,g} | |||||||
(2) | {f,α}= {α,g}= 0 | |||||||
| ∂ | {f,g}= {∂f,g}+ {f, | ∂g} | |||||
| {∑αkfk,g}= ∑αk{fk,g} | (5) | ||||||
(3) | ∂t | |||||||
|
| ∂t | ∂t | |||||
| k | k | (6) {f, {g,h}}+ {h, {f,g}}+ {g, {h,f}}= 0 | |||||
(a) {αf,g}= α{f,g} | ||||||||
|
|
|
|
| ||||
(тождество Якоби)
(b) {f1 + f2,g}= {f1,g}+ {f2,g}
Очень просто вычисляются элементарные, или фундаментальные, скобки Пуассона:
{qj,qk}= 0, {pj,pk}= 0, {pj,qk}= δjk. | (9.10) |
a. С их помощью можно единообразным способом записать уравнения Гамильтона (9.2)
• | • | (9.11) |
qj = {H,qj}, | pj = {H,pj}. |
б. Для произвольной функцииf(q,p,t) уравнения движения (полная производная по времени) имеют похожий вид
df(q,p,t) | = | ∂f | + {H,f}. | (9.12) |
dt | ∂t |
Так, например, подставив вместо f(q,p,t) гамильтонианH(q,p,t) и воспользовавшись следствиемa первого свойства скобок Пуассона, мы мгновенно
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона | 198 |
|
|
получаем соотношение (9.8).
в. Еслиf иg – интегралы движения, то их скобка Пуассона, {f,g}, – также интеграл движения (теорема Пуассона). В ряде случае это помогает находить дополнительные интегралы движения и упрощает решение задач.
г. Наконец, скобка Пуассона является классическим аналогомкоммутатора, играющего важную роль в квантовой механике.
Примеры решения задач
Задача 4. Вычислить скобки Пуассона: |
|
|
|
|
|
n | + q3j |
| n | + q2j |
|
(а) {x,My}; (б) {ϕ,ψ}, гдеϕ = cos∑(p2j | ) | ,ψ = sin∑(p3j | ) . | ||
j=1 |
|
| j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Можно сразу вычислить скобку Пуассона, «в лоб», исходя из определения (9.9), а можно найти скобку Пуассона, используя свойства этих скобок и постепенно сводя искомую скобку к более простым и даже известным. На примере (а) покажем оба варианта.
(а) В задаче предполагается 3 степени свободы: обобщенные координаты совпадают с обычными декартовыми (q1 = x1 = x,q2 = x2 = y,q3 = x3 = z), обобщенные импульсы (p1 = px,p2 = py,p3 = pz) – с компонентами обычного импульса. Компонента момента импульсаMy = [r p]y = M2 = zpx − xpz = = x3p1 − x1p3.
I способ – вычисление «в лоб»:
{ |
| y } |
|
|
|
|
| 3 ∂x∂M ∂x∂M | 3 ∂x ∂M |
| ||||||||||||
| 1 |
| 2 |
| ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ∑ |
|
|
| |||
| x, M |
| ={x | , M |
| }= |
|
|
| 1 |
|
| 2 − |
| 1 |
| 2 = | − | 1 | 2 | = | |
|
|
|
|
|
|
|
| ∂xj |
| ∂xj | ||||||||||||
|
|
|
|
|
| ∂M | j=1 ∂p j | ∂xj |
| ∂pj | j=1 | ∂pj |
| |||||||||
|
|
| 3 |
|
|
| ∂M |
|
| ∂ |
|
|
|
|
|
| ||||||
|
|
| = −∑δ1 j | ∂p | 2 = − | ∂p 2 = − |
| (x3p1− x1p3)= −x3= −z |
| |||||||||||||
|
|
| ∂p |
| ||||||||||||||||||
|
|
| j=1 |
|
|
| j |
|
| 1 |
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| |||
II способ – использование свойств, сведение к известным скобкам. | ||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (3) |
|
|
|
| (4a) |
| ||
{x, My }={x1, M2}={x1, x3 p1 − x1 p3}= | {x1, x3p1}−{x1, x1p3} = |
| ||||||||||||||||||||
|
|
| = x3{x1, p1}+ p1{x1, x3}− x1{x1, p3}− p3{x1, x1}= −x3= −z | |||||||||||||||||||
|
|
|
| =−1 |
|
|
| =0 |
|
| =0 |
| =0 |
|
|
| ||||||
В данном случае мы свели все к фундаментальным скобкам (9.10), их значения написаны под скобками. Над знаками равенства приведены номера
Теоретическая физика. Механика (практический курс) | 199 |
|
|
свойств, которые были применены при вычислениях. Теперь можно при решении других задач использовать полученный результат и считать {x,My} – «известной» скобкой Пуассона1.
(б) В этой задаче главное не ошибиться при вычислении частных производных от сложных функцийϕ(q,p) иψ(q,p)
∂ϕ | n |
|
| n | n |
|
|
| |
= −sin∑(p2j | + q3j | ) | ∑2p jδjk = − 2pk sin∑(p2j | + q3j | ) | ; | |||
∂pk | |||||||||
j=1 |
|
| j=1 | j=1 |
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| ∂ϕ |
|
|
| n |
|
|
|
|
|
|
|
| = −3qk2 sin∑(p2j | + q3j | ) | ; |
|
| |||||
|
| ∂qk |
|
| ||||||||
|
|
|
|
| j=1 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ψ | n |
|
|
| ∂ψ |
|
|
| n |
|
| |
∂p | = 3pk2 cos∑(p3j | + q2j | ) | ; ∂q | = 2qk cos | ∑(p3j | + q2j | ) . | ||||
k | j=1 |
|
|
| k |
|
|
| j=1 |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Подставим их в определение (9.9), в котором поменяем индекс суммирования (j → k)
n |
| ∂ϕ ∂ψ |
| ∂ϕ ∂ψ |
| 9 | 2 2 |
|
| n | 2 | 3 |
| ||
{ϕ,ψ}=∑ |
|
| − |
|
| = |
| pkqk | − 2pk qk sin 2∑(p j | + q j ) . | |||||
∂pk∂qk |
| 2 | |||||||||||||
k=1 |
|
| ∂qk∂pk |
|
|
|
| j=1 |
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Показать, что, если функция Гамильтона зависит от переменныхq1 иp1 лишь опосредовано через функциюf(q1,p1), т.е.
H = H(f(q1,p1),q2,p2,…,qn,pn), тоf(q1,p1) – интеграл движения.
Решение. Другими словами нужно показать, чтоf(q1,p1) не изменяется во времени, т.е. является константой. С помощью скобок Пуассона решение укладывается в одну строчку. Воспользуемся определением
df | ={H ,f }= |
| ∂H ∂f |
|
| ∂f | − |
| ∂H ∂f |
|
| ∂f | + | n |
| ∂H |
| ∂f |
| − | ∂H∂f |
|
| = 0 , | ||||||
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
dt | ∂f∂p | ∂q | ∂f∂q | ∂p |
| ∂p |
|
| ∂q |
| ∂q |
|
| ∂p |
| |||||||||||||||
|
|
|
|
| ∑ | j |
| j |
| j |
|
|
|
| ||||||||||||||||
|
|
| 1 |
|
| 1 |
|
| 1 |
|
| 1 |
| j=2 |
|
|
|
|
|
|
|
| j |
| ||||||
тогда первых два члена, где вычислены производные от сложной функции H = H(f,q2,p2,…,qn,pn), отличаются только знаками, а в последней сумме производные отf тождественно равны 0. Отсюда следует, что
1 Из соображений симметрии, кстати, сразу следует, что {y,Mz}= −x, {z,Mx}= −y.
studfiles.net
ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Транскрипт
1 ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных 2n функций φ, Ψ, j = 1,, n. Эти функции, в свою очередь, зависели от двух переменных x и y. Теперь рассмотрим две функции u и v, зависящие от 2n переменных: q 1,, q, p 1,, p. Также они могут зависеть от параметра t. Составим такие определители: u q v q u p v p Составим сумму всех этих определителей: = u q v p u p v q, i = 1,, n. (21.1) =1 ( u q v p u p v q ). (21.2) Выражение (21.2) называется скобкой Пуассона функций u и v. Будем обозначать её как (u, v). Приведём примеры вычисления скобок Пуассона. (q, q ) = 0, (21.3) так как все производные по p и p, стоящие в выражении (21.2), равны нулю. (p, p ) = 0, (21.4)
2 2 так как равны нулю все производные по q и q. (q, p ) = δ, (21.5) где δ символ Кронекера. Выражения (21.3), (21.4) и (21.5) называются фундаментальными, или основными скобками Пуассона. Перечислим основные свойства скобок Пуассона. В их справедливости можно убедиться непосредственной проверкой. 1. Линейность Пусть c либо константа, либо функция параметра t, тогда: (u, cv) = c (u, v). Пусть w функция тех же переменных, что и u и v, тогда: (w, u + v) = (w, u) + (w, v). 2. Кососимметричность: (u, v) = (v, u). 3. (u, u) = (u, v) = ( u v, v) + (u, ). 5. Пусть w функция переменных q 1,, q, p 1,, p, а c постоянная, Тогда: (w, c) = Тождество Лейбница: (w, u v) = (w, u) v + u (w, v). 7. Скобка Пуассона от сложной функции: (w, u (v 1,, v )) = u (w, v =1 v ). 8. Пусть f некоторая функция переменных Гамильтона q, p, t, тогда: (q, f) =, (p p, f) =. q 9. Тождество Якоби: ((u, v), w) + ((v, w), u) + ((w, u), v) = 0. Доказательство тождества Якоби требует длинных выкладок. Суть доказательства в том, что если расписать все скобки Пуассона по определению, то каждое слагаемое будет представлять собой произведение первых производных двух из этих функций на вторую производную третьей из них. Значит, нужно доказать, что все эти слагаемые взаимно уничтожаются. Покажем, например, что слагаемые со второй производной по u сокращаются: ((u, v), w) + ((w, u), v) = (w, (v, u)) (v, (w, u)). (21.6) Отсюда видно, что слагаемые со вторыми производными по u уничтожаются. Выпишем уравнения Гамильтона: dq dt = H p, dp dt = H q, i = 1, 2,, n. (21.7) Применяя свойство 8, их можно переписать в симметричном виде с помощью скобок Пуассона: dq dt = (q dp, H), dt = (p, H). (21.8)
3 3 Определение 58: Функции u и v находятся в инволюции, если их скобка Пуассона (u, v) равна нулю. Из тождества Якоби следует следующее утверждение: если как функция u, так и функция v находятся в инволюции с функцией w, то их скобка Пуассона тоже находится в инволюции с функцией w. Введение скобок Пуассона оказалось более плодотворным, чем введение скобок Лагранжа. В физике и математике эти скобки встречаются весьма часто. Например, они применяются в теории возмущений и в квантовой механике (перестановочные соотношения Гейзенберга). В теоретической механике скобки Пуассона позволяют описывать динамические величины способом, независящим от системы координат. Также они очень важны при исследовании интегралов уравнений движения. 2. Теорема Якоби Пуассона Отвлечёмся от динамики и просто запишем такую систему m уравнений: dx dt = X (x 1,, x, t), i = 1,, m. (21.9) Определение 59: Функция f(x 1,, x, t) называется интегралом, или первым интегралом системы уравнений (21.9), если она постоянна на траекториях этой системы. Иными словами, на траекториях системы должно выполняться равенство df dt = 0. Распишем полную производную по времени: + dx x =1 dt = + dx X = 0. (21.10) dt =1 Выражение (21.10) это необходимое и достаточное условие того, чтобы функция f была первым интегралом данной системы. Интегралы очень полезны при исследовании систем уравнений, определяющих движение системы. Наличие n независимых интегралов позволяет понизить порядок системы на n единиц. Пусть известно m интегралов: f (x 1,, x ) = c, i = 1,, m. (21.11) Поясним, что означает независимость интегралов. Введём векторы f, x f x 1. Производная вектора f по вектору x это матрица, составленная из частных x производных f по x : f 1 1 x = (f 1 1,, f ) (x 1,, x ) = x 1 x. (21.12) x 1 x
4 4 Интегралы (21.11) называются независимыми, если det f 0. Можно также x сказать, что они независимы, если не существует такой функции F (f 1,, f ), которая тождественно равна нулю при всех значениях x 1,, x. Это свойство не обязано быть глобальным важно, чтобы это выполнялось в окрестности определённой точки, для которой утверждается независимость интегралов. Вернёмся к основному повествованию. Поскольку интегралы (21.11) независимы, то по теореме о неявной функции можно разрешить эти уравнения относительно аргументов x : x = x (t, c 1,, c ), i = 1,, m. (21.13) Система уравнений Гамильтона не произвольна, но имеет определённую структуру. Иногда наличие одного интеграла позволяет понизить её порядок на две единицы, как в случае наличия циклической координаты. Количество необходимо интегралов, чтобы система уравнений была интегрируема при любых начальных условиях, определяет теорема Лиувилля, которая будет изучаться на одной из следующих лекций. Пусть система уравнений определяется уравнениями Гамильтона (23.1), функция Гамильтона системы H = H(q 1,, q, p 1,, p, t). Перепишем условие (21.10) в терминах гамильтоновой динамики. df = 0, (21.14) dt + ( dq q dt + dp p dt ) = + ( H H ) = + (f, H) = 0. (21.15) q p p q =1 =1 Итак, чтобы функция f(x 1,, x, t) была интегралом системы уравнений (23.1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство + (f, H) = 0. (21.16) Теорема 29 (Теорема Якоби Пуассона) Если f 1 и f 2 интегралы системы уравнений Гамильтона, то их скобка Пуассона (f 1, f 2 ) постоянна на траекториях системы. Иногда эта теорема формулируется так: скобка Пуассона от двух первых интегралов тоже является первым интегралом. Однако нужно относиться к этому утверждению с осторожностью: может оказаться, что (f 1, f 2 ) равна числу, а число нельзя называть первым интегралом системы. Или же эта скобка Пуассона будет выражаться через f 1 и f 2, следовательно, не будет независимым первым интегралом. Док-во: Раз функции f 1, f 2 первые интегралы системы, то выполняются тождества Требуется доказать, что 1 + (f 1, H) = 0, 2 + (f 2, H) = 0. (21.17) (f 1, f 2 ) + ((f 1, f 2 ), H) = 0. (21.18)
5 5 Воспользуемся свойством 4 скобок Пуассона: (f 1, f 2 ) С учётом этого можно переписать формулу (21.18) в виде = ( 1, f 2) + (f 1, 2 ). (21.19) ( 1, f 2) + (f 1, 2 ) + ((f 1, f 2 ), H) = 0. (21.20) Подставим в формулу (21.20) равенства (21.17): ((f 1, H), f 2 ) (f 1, (f 2, H)) + ((f 1, f 2 ), H) = 0, (21.21) ((H, f 1 ), f 2 ) + ((f 2, H), f 1 ) + ((f 1, f 2 ), H) = 0. (21.22) Равенство (21.22) справедливо согласно тождеству Якоби. Следовательно, утверждение теоремы выполняется. С первого взгляда кажется, что при помощи теоремы Якоби можно получать новые интегралы, зная только два из них. На самом деле таким путём новые интегралы не получаются, за исключением некоторых редких случаев. Рассмотрим такой пример. Пусть функция Гамильтона не зависит от времени: H = H(q 1,, q, p 1,, p ). Тогда есть обобщённый интеграл энергии h = const. Пусть у системы также имеется также интеграл f(q 1,, q, p 1,, p, t) = const. Тогда = (f, H). По теореме Якоби Пуассона (f, H) = const на траекториях системы. Следовательно, = const. Если частные производные более высокого порядка от f по времени существуют, то они тоже равны нулю. Рис Пусть материальная точка единичной массы движется в центральном силовом поле. Обозначим координаты точки как q 1, q 2 и q 3. Тогда H = 1 2 (p2 1 + p p 2 3) + Π(r), где r = q1 2 + q2 2 + q2 3. У системы есть интеграл движения f 1 = q 2 p 3 q 3 p 2 = const. (21.23) Это следствие закона сохранения кинетического момента. Так как m = 1, то K = [h] v = i j k q 1 q 2 q 3. f 1 это проекция кинетического момента на ось q 1. Аналогично, p 1 p 2 p 3 у системы есть интегралы f 2 = q 3 p 1 q 1 p 3 = const, (21.24)
6 6 f 3 = q 1 p 2 q 2 p 1 = const. (21.25) Убедиться в том, что это первые интегралы, можно, вычислив скобки Пуассона от этих функций с функций Гамильтона: (f 1, H), (f 2, H), (f 3, H). Все три скобки равны нулю (вычисления можно проделать в качестве упражнения). Сделаем вид, будто неизвестно, является ли f 3 первым интегралом. Рассчитаем скобку (f 1, f 2 ): 3 (f 1, f 2 ) = ( ) = q q p p q 1 p 2 q 2 p 1 = f 3. (21.26) =1 Значит, по теореме Якоби Пуассона f 3 является первым интегралом. Рассмотрим ещё один пример. Пусть система представляет собой одномерный осциллятор с единичной частотой. Её функция Гамильтона H = 1 2 (q2 + p 2 ). Проверим, что функция f = q sin t + p cos t является первым интегралом. H +(f, H) = q cos t p sin t+ q p H p q = q cos t p sin t+p sin t q cos t = 0. (21.27) Следовательно, f действительно является интегралом. Как было вычислено в первом примере, частная производная должна быть равна нулю, так как H не зависит от времени. Значит, f 2 = = q cos t p sin t тоже интеграл. Вторая частная производная по времени от f равна f, так что новый интеграл при этом не появляется. Так и должно было получиться, так как в силу размерности задачи решение может зависеть только от двух произвольных постоянных. Получить новый интеграл с помощью скобок Пуассона идея заманчивая, но в большинстве случаев безнадёжная. Как правило, если f 1 и f 2 получены из основных теорем динамики, таких как теоремы об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, то новый интеграл вышеописанным способом получить не удаётся. Если же интеграл не вытекает из основным теорем динамики, а свойственен именно этой конкретной задаче, то можно надеяться получить новый интеграл, пользуясь теоремой Якоби Пуассона. Например, в задаче трёх тел можно взять f 1 и f 2 компоненты кинетического момента, и одну из компонент вектора Лапласа. Тогда через скобки Пуассона можно получить новый интеграл. 3. Канонические преобразования Пусть имеется система дифференциальных уравнений в форме уравнений Гамильтона: dq dt = H p, dp dt = H q, i = 1, 2,, n. (21.28) Функция Гамильтона этой системы H = H(q 1,, q, p 1,, p, t). Уравнения (21.28) иногда могут быть легко проинтегрированы, если совершить подходящую замену переменных. Например, если в задаче двух тел уравнения записать в декартовых координатах, то циклической координата в них отсутствует, а если записать в полярных, то угол φ является циклической координатой, и можно понизить порядок системы уравнений на
7 7 2 единицы. Значит, для исследователя важно правильно подобрать обобщённые координаты. Уравнения Лагранжа обладают свойством ковариантности: можно посчитать кинетическую и потенциальную энергию в одних обобщённых координатах и по известному алгоритму записать эти уравнения. В других обобщённых координатах уравнения могут быть другими, но алгоритм их получения тот же самый. Но в лагранжевой механике нет эффективного алгоритма для упрощения интегрирования системы уравнений. Иногда удаётся упростить вычисления, но в общем случае это сделать не получается. В уравнениях Лагранжа q и t переменные, а q получаются из самих уравнений. Но если считать независимыми переменные q и p и перейти к уравнениям Гамильтона, то, хотя количество независимых переменных увеличивается, траектории в фазовом пространстве становятся более наглядными, и расширяется класс возможных преобразований, которые позволяют упрощать уравнения. Здесь названия «координаты» и «импульсы» условны, потому что в фазовом пространстве эти понятия совершенно равноправны. Рассмотрим простой пример. Пусть система имеет одну степень свободы, H = H(q, p). Сделаем формальную замену переменных q = P, p = Q. В новых переменных функция Гамильтона H = H( P, Q), а уравнения Гамильтона выглядят так: dq dt = H P, dp dt = H Q. (21.29) Итак, уравнения (21.29) полностью эквиваленты исходным уравнениям, хотя координата и импульс поменялись ролями. Значит, в уравнениях Гамильтона понятия координаты и импульса достаточно условны. Это одна из причин, почему q и p называются сопряжёнными, или канонически сопряжёнными переменными. В дальнейшем будем изучать замены переменных, которые позволяют упростить или создать основу для упрощения дифференциальных уравнений движения и, может быть, их последующего интегрирования. Для этого, прежде всего, удобно записать уравнения (21.28) в векторно-матричной форме. Введём 2n-мерный вектор x ( q ). Тогда H = p H( x, t). Систему уравнений Гамильтона (21.28) можно переписать так: dx dt = JH, (21.30) где строка H ( H H H H ), матрица J ( 0 E ). Матрица J q 1 q p 1 p E 0 обладает свойством J = J 1 = J. Кроме того, J 2 = E 2, а det J = 1. Перейдём в фазовом пространстве q, p к новым переменным: Q = Q ( q, p, t), P = P ( q, p, t), i = 1, 2,, n. (21.31) Соотношения (23.3) тоже можно записать в векторной форме. Введём обозначение Q y ( ). Тогда замена переменных имеет вид P y = y( x, t). (21.32)
8 8 Будем считать что замена переменных обратима. Составим матрицу Q M = y x = q P q Q 1 Q 1 Q 1 Q 1 q 1 q p 1 p Q Q p Q Q Q P = q 1 q p 1 p P 1 p P 1 P 1 P. (21.33) 1 q 1 q p 1 p P P P P q 1 q p 1 p Тогда обратимость замены переменных эквивалентна равенству det M 0. Обратное преобразование будет иметь вид x = x( y, t). (21.34) При этом матрица обратной замены x y будет равна M 1. Необходимо найти, как будет выглядеть преобразованная система уравнений. Эти уравнения могут иметь гамильтонову форму, но могут и не иметь. Затем нужно научиться находить такие замены переменных, чтобы уравнения становились проще. Эти две задачи будут рассматриваться на следующей лекции.
docplayer.ru
Скобка Пуассона — это… Что такое Скобка Пуассона?
В классической механике ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.
Скобки Пуассона векторных полей
Пусть и — векторные поля на , — оператор производной Ли по направлению векторного поля . Коммутатор операторов и есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле , для которого[3][Notes 1]
Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:
В голономном базисе оно принимает вид
Свойства
Скобки Пуассона функций
Пусть — симплектическое многообразие. Симплектическая структура на позволяет ввести на множестве функций на операцию скобок Пуассона, обозначаемую или и задаваемую по правилу[1][Notes 2]
где (также ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона . Оно определяется через дифференциал функции и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой . Именно, для любого векторного поля
Алгебра Ли функций Гамильтона
В силу кососимметричности и билинейности , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:
Выражение
является линейной функцией вторых производных каждой из функций . Однако,
Это выражение не содержит вторых производных . Аналогично, оно не содержит вторых производных и , а потому
то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции
- ,
то есть
— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.
Свойства
- Скобки Пуассона невырождены:
Примечания
- ↑ Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
- ↑ В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении и формуле для коммутатора полей.
- ↑ В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].
Литература
- ↑ 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
- ↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
- ↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
dic.academic.ru
Скобки Пуассона фундаментальные — Энциклопедия по машиностроению XXL
Величины (8.5) называются фундаментальными, или основными, скобками Пуассона. [c.107]ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА [c.135]
Они представляют другую запись необходимых и достаточных условий каноничности преобразования (3). Фундаментальные скобки Пуассона (5.7) также являются инвариантами канонического преобразования. Более общий характер имеет следующее предложение функции и, V рассматриваются сначала как зависящие от старых переменных, потом — от новых, связанных со старыми каноническим преобразованием. Тогда [c.520]
С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотношений, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Например, фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от самих канонических переменных [c.396]
Фундаментальные скобки Пуассона координат йр и импульсов ia [c.384]
Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона (СП) [c.509]
Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона [x , р» = получим систему [c.513]
Важнейшую роль играют фундаментальные скобки Пуассона [c.254]
Фундаментальные скобки Пуассона [c.298]
Величины (34.14) называют фундаментальными или основными скобками Пуассона. Их важное значение состоит в том, что они являются классическими аналогами квантовомеханических перестановочных соотношений для операторов координаты и импульса микрочастицы, а то обстоятельство, что для пары величин и скобки Пуассона оказываются равными единице, следует рассматривать как определение канонической сопряженности указанных величин. Любые две величины и р — будем называть канонически сопряженными, если они удовлетворяют условиям [c.196]
Установим соотношения в скобках Пуассона между фундаментальными динамическими величинами [c.188]
Мы уже имели случай отмечать, что СП-соотношения между сохраняющимися величинами характеризуют ту группу преобразований, из-за инвариантности действия относительно которых эти сохраняющиеся величины возникают, а не механическую систему, для которой они конкретно находятся. Поэтому найденные выше соотношения в скобках Пуассона (26) между десятью фундаментальными динамическими величинами должны выполняться для любой системы, инвариантной относительно преобразований полной группы Лоренца. Это есть условия релятивистской инвариантности теории, записанной в гамильтоновой форме. [c.189]
В классической механике зависимость любой (не зависящей явно от времени) динамической переменной от времени описывалась скобкой Пуассона с фундаментальной для данной динамической системы динамической величиной — функцией Гамильтона [c.458]
Скобки Пуассона, взятые для самих канонических переменных (т. е. [ = Як, 2 = рк), называются фундаментальными скобками Пуассона. Они таковы [c.206]
Фундаментальные скобки Пуассона имеют квантово-механичес-кий аналог — перестановочные соотношения Гейзенберга, играющие важную роль в квантовой механике. В аппарате этой науки формализм Гамильтона играет существенную роль. [c.206]
Необходимые и достаточные условия каноничности преобразования можно выразить через скобки Пуассона (см. 3). С этой целью частные производные, входящие в фундаментальные скобки Лагранжа, заменим по формулам (5.114) —(5.117) [c.316]
Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобок Пуассона [аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа]. Эти равенства было бы проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведенного доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему канонических переменных. В этом состоит преимущество рассмотренного доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются каноническими инвариантами. [c.280]
Введем теперь координаты и импульсы Xk = ак, Pk = ial к = = 1, 2) с фундаментальной скобкой Пуассона [xi, pk] = Sik. Поскольку СП Si, S j] = ijkSk, то уравнение (26.31) приобретает гамильтонову форму dS/dt = [S, Н] с гамильтонианом Н = IIS [276]. [c.276]
mash-xxl.info
Скобка Пуассона • ru.knowledgr.com
В математике и классической механике, скобка Пуассона — важная операция над двоичными числами в гамильтоновой механике, играя центральную роль в уравнениях Гамильтона движения, которые управляют развитием времени гамильтоновой динамической системы. Скобка Пуассона также отличает определенный класс координационных преобразований, названных каноническими преобразованиями, который наносит на карту канонические системы координат в канонические системы координат. («Каноническая система координат» состоит из канонического положения и переменных импульса (здесь символизируемый q и p соответственно), которые удовлетворяют канонические отношения Poisson-скобки.) Набор возможных канонических преобразований всегда очень богат. Например, часто возможно выбрать сам гамильтониан H = H (q, p; t) как одна из новых канонических координат импульса.
В более общем смысле: скобка Пуассона используется, чтобы определить алгебру Пуассона, которой алгебра функций на коллекторе Пуассона — особый случай. Их все называют в честь Симеона Дени Пуассона.
Свойства
Для любых функций фазового пространства и время:
Кроме того, если функция с временной зависимостью, но постоянная по фазовому пространству, то для кого-либо.
Канонические координаты
В канонических координатах (также известный как координаты Дарбу) на фазовом пространстве, учитывая две функции и, скобка Пуассона принимает форму
:
Несколько основных свойств заканчиваются для скобок канонических координат:
,Уравнения Гамильтона движения
Ууравнений Гамильтона движения есть эквивалентное выражение с точки зрения скобки Пуассона. Это может быть наиболее непосредственно продемонстрировано в явной координационной структуре. Предположим, что это — функция на коллекторе. Тогда от многовариантного правила цепи, у каждого есть
:
Далее, можно взять и быть решениями уравнений Гамильтона; то есть,
:
\dot {q} = \frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный p\= \{q, H\} \\
\dot {p} =-\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный q\= \{p, H\}\
Затем у каждого есть
:
\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} t\f (p, q, t) &= \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный q\\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный p\-\frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный p\\frac {\\неравнодушный H\{\\неравнодушный q\+ \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный t\\\
&= \{f, H\} + \frac {\\неравнодушный f\{\\неравнодушный t\~.
Таким образом развитие времени функции на коллекторе symplectic может быть дано как семья с одним параметром symplectomorphisms (т.е. канонические преобразования, сохранение области diffeomorphisms), со временем t быть параметром: гамильтоново движение — каноническое преобразование, произведенное гамильтонианом. Таким образом, скобки Пуассона сохранены в нем, так, чтобы любое время t в решении уравнений Гамильтона, могло служить координатами скобки. Скобки Пуассона — канонические инварианты.
Пропуская координаты, у каждого есть
:
Оператор в конвективной части производной, L̂ =, иногда упоминается как Liouvillian (см. теорему Лиувилля (гамильтониан)).
Константы движения
Уинтегрируемой динамической системы будут константы движения в дополнение к энергии. Такие константы движения доберутся с гамильтонианом под скобкой Пуассона. Предположим, что некоторая функция f (p, q) является константой движения. Это подразумевает что, если p (t), q (t) является траекторией или решением уравнений Гамильтона движения, то у каждого есть это
:
вдоль той траектории. Тогда у каждого есть
:
где, как выше, промежуточный шаг следует, применяя уравнения движения. Это уравнение известно как уравнение Лиувилля. Содержание теоремы Лиувилля — то, что развитие времени меры (или «функция распределения» на фазовом пространстве) дано вышеупомянутым.
Если скобка Пуассона f и g исчезает ({f, g} = 0), то f и g, как говорят, находятся в запутанности. Для гамильтоновой системы, чтобы быть абсолютно интегрируемыми, все константы движения должны быть во взаимной запутанности.
Кроме того, согласно Теореме Пуассона, если два количества и константы движения, их скобка Пуассона — также. Это не всегда поставляет полезный результат, однако, так как число возможных констант движения ограничено (для системы с n степенями свободы), и таким образом, результат может быть тривиальным (константа, или функция и.)
Скобка Пуассона на языке без координат
Позвольте M быть коллектором symplectic, то есть, коллектором, оборудованным формой symplectic: ω с 2 формами, который оба закрыт (т.е. его внешний производный dω = 0) и невырожденный. Например, в лечении выше, возьмите M, чтобы быть и взять
:
Если внутренний продукт или операция по сокращению, определенная, то невырождение эквивалентно высказыванию что для каждой одной формы α есть уникальный вектор, выставляют таким образом что. Альтернативно. Тогда, если H — гладкая функция на M, гамильтонова векторная область X может быть определена, чтобы быть. Легко видеть это
:
:
Скобка Пуассона на (M, ω) является билинеарной операцией на дифференцируемых функциях, определенных; скобка Пуассона двух функций на M — самостоятельно функция на M. Скобка Пуассона антисимметрична потому что:
:.
Кроме того,
Здесь Xf обозначает, что векторная область X относилась к функции f как направленная производная и обозначает (полностью эквивалентную) производную Ли функции f.
Если α — произвольная одна форма на M, векторная область Ω производит (по крайней мере, в местном масштабе) поток, удовлетворяющий граничное условие и отличительное уравнение первого порядка
:
Желание быть symplectomorphisms (канонические преобразования) для каждого t как функция x, если и только если; когда это верно, Ω называют symplectic векторной областью. Вспоминание личности и dω Картана = 0, из этого следует, что. Поэтому Ω — symplectic векторная область, если и только если α — закрытая форма. С тех пор, из этого следует, что каждая гамильтонова векторная область X является symplectic векторной областью, и что гамильтонов поток состоит из канонических преобразований. Сверху, под гамильтоновым потоком X,
:
Это — фундаментальный результат в гамильтоновой механике, управляя развитием времени функций, определенных на фазовом пространстве. Как отмечено выше, когда {f, H} = 0, f — константа движения системы. Кроме того, в канонических координатах (с и), уравнения Гамильтона для развития времени системы немедленно следуют от этой формулы.
Это также следует из этого, скобка Пуассона — происхождение; то есть, это удовлетворяет некоммутативную версию правления продуктов Лейбница:
Скобка Пуассона глубоко связана со скобкой Ли гамильтоновых векторных областей. Поскольку производная Ли — происхождение,
:.
Таким образом, если v и w — symplectic, использование, личность Картана и факт, который является закрытой формой,
:
Из этого следует, что, так, чтобы
Таким образом скобка Пуассона на функциях соответствует скобке Ли связанных гамильтоновых векторных областей. Мы также показали, что скобка Ли двух symplectic векторных областей — гамильтонова векторная область и следовательно также symplectic. На языке абстрактной алгебры symplectic векторные области формируют подалгебру алгебры Ли гладких векторных областей на M, и гамильтоновы векторные области формируют идеал этой подалгебры. sympletic векторные области — алгебра Ли (бесконечно-размерной) группы Ли symplectomorphisms M.
Широко утверждается что личность Джакоби для скобки Пуассона,
:
следует из соответствующей идентичности для скобки Ли векторных областей, но это верно только до в местном масштабе постоянной функции. Однако, чтобы удостоверить личность Джакоби для скобки Пуассона, достаточно показать что:
:
где оператор на гладких функциях на M определен, и скобка справа — коммутатор операторов. Оператор равен оператору X. Доказательство личности Джакоби следует, потому что скобка Ли векторных областей — просто их коммутатор как дифференциальные операторы.
Алгебра гладких функций на M, вместе со скобкой Пуассона формирует алгебру Пуассона, потому что это — алгебра Ли под скобкой Пуассона, которая дополнительно удовлетворяет правление Лейбница. Мы показали, что каждый коллектор symplectic — коллектор Пуассона, который является коллектором с оператором «курчавой скобки» на гладких функциях, таким образом, что гладкие функции формируют алгебру Пуассона. Однако не каждый коллектор Пуассона возникает таким образом, потому что коллекторы Пуассона допускают вырождение, которое не может возникнуть в symplectic случае.
Результат на сопряженных импульсах
Приглаженная векторная область X на пространстве конфигурации, позвольте P быть своим сопряженным импульсом. Сопряженное отображение импульса — антигомоморфизм алгебры Ли от скобки Пуассона до скобки Ли:
:
Этот важный результат стоит короткого доказательства. Напишите векторную область X в пункте q в космосе конфигурации как
:
где местной координационной структуры. У сопряженного импульса к X есть выражение
:
где p — функции импульса, сопряженные к координатам. Каждый тогда имеет, для пункта (q, p) в фазовом пространстве,
:
\{P_X, P_Y\} (q, p) &= \sum_i \sum_j \left \{X^i (q) \; p_i, Y^j (q) \; p_j \right \} \\
&= \sum_ {ij} p_i Y^j (q) \frac {\\частичный X^i} {\\частичный q^j} — p_j X^i (q) \frac {\\частичный Y^j} {\\частичный q^i} \\
&= — \sum_i p_i \; [X, Y] ^i (q) \\
&= — P_ {[X, Y]} (q, p).
Вышеупомянутое держится для всех (q, p), давая желаемый результат.
Квантизация
Скобки Пуассона искажают к скобкам Moyal на квантизацию, то есть, они делают вывод к различной алгебре Ли, алгебре Moyal, или, эквивалентно в Гильбертовом пространстве, квантовых коммутаторах. Сокращение группы Wigner-İnönü их (классический предел, ħ→0) приводит к вышеупомянутой алгебре Ли.
См. также
- Алгебра Пуассона
- Фазовое пространство
- Скобка Лагранжа
- Супералгебра Пуассона
- Суперскобка Пуассона
- Скобка Дирака
- Karasëv, M. V.; Маслов, V. P.: Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантизация. Переведенный с русского А. Соссинским [A. B. Sosinskiĭ] и М. Шишкова. Переводы Математических Монографий, 119. Американское Математическое Общество, провидение, Род-Айленд, 1993.
Внешние ссылки
Примечания
ru.knowledgr.com
Фазовое пространство, скобки Пуассона.
Для наглядного геометрического изображения решений канонических уравнений (7.6) вводится понятие фазового пространства. Фазовое пространство — это абстрактное пространство 2s измерений, на координатных осях которого откладываются обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Система координат в фазовом пространстве считается декартовой системой координат. Решение канонических уравнений дает 2s функций В каждый момент времени эти функции определяют в фазовом пространстве одну точку. Эта точка называется изображающей точкой, и полностью определяет состояние механической системы. С течением времени значения функций
изменяются и изображающая точка перемещается по фазовому пространству, описывая кривую, которая называется фазовой траекторией. Движение механической системы с любым конечным числом степеней свободы всегда изображается в фазовом пространстве как траектория изображающей точки. От размерности механической системы зависит только размерность фазового пространства.
Канонические уравнения — это система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому начальные данные для нее задаются только на сами неизвестные функции. Задание и некоторый момент времени t0 начальных данных
означает задание точки в фазовом пространстве. Поскольку начальные данные полностью определяют частное решение канонических уравнений, то из каждой точки фазового пространства выходит только одна фазовая траектория. Поэтому фазовые траектории не пересекаются.
В статистической физике вводится понятие статист.ического ансамбля. Статистический ансамбль — это множество идентичных механических систем, для которых заданы различные начальные данные. В фазовом пространстве статистический ансамбль изобрази гея множеством точек, которые можно рассматривать как частицы сплошной среды, называемой фазовой жидкостью. Если в начальный момент времени в фазовой жидкости выделить некоторый объем, го при движении каждой частицы фазовой жидкости по своей фазовой траектории этот объем будет перемещаться и деформироваться. Однако вследствие выполнения канонических уравнений величина этого объема не меняется при его перемещении, то есть фазовая жидкость является несжимаемой жидкостью. Это утверждение носит название теоремы Лиувилля. Теорема Лиувилля применяется для обоснования функции распределения в статистической физике.
Рассмотрим произвольную функцию координат импульсов и времени и найдем от нее полную производную по вре-
мени. Так как координаты и импульсы зависят от времени, то производную считаем как производную от сложной функции. В результате получим
(7.15)
Производные от координат и импульсов по времени с помощью канонических уравнений (7.6) заменим на производные от функции Гамильтона, Тогда выражение (7.15) приводится к виду
(7.16)
Определим новую величину, называемую скобкой Пуассона функций H и f, согласно формуле
(7.17)
Тогда полная производная от функции запишется в виде
(7.18)
Формула (7.18) дает производную по времени от любой функции координат, импульсов и времени. Если в качестве таких функций возьмем обобщенные координаты qi, то получим первую группу канонических уравнений:
(7.19)
Точно так же при подстановке в скобку Пуассона (7.17) вместо функции f обобщенных импульсов pi из (7.18) получается вторая группа канонических уравнений. Таким образом, формула (7.18) включает в себя и канонические уравнения. При построении квантовой механики Гейзенберг использовал обобщение формулы (7.18) для получения производной по времени для операторов, описывающих физические величины в квантовой механике.
Если некоторая функция координат и импульсов не зависит явно от времени и ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона Н равна нулю, то эта функция остается постоянной при движении механической системы, и, следовательно, имеется закон сохранения. Например, скобка Пуассона функции Гамильтона с функцией Гамильтона тождественно равна нулю. Поэтому если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она остается постоянной. Поскольку функция Гамильтона равна энергии механической системы, то это означает, что выполняется закон сохранения механической энергии.
infopedia.su
Скобка — пуассон — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Скобка — пуассон
Cтраница 1
Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко вы: водимыми из определения. [1]
Скобки Пуассона не облегчают существенным образом решения уравнений движения системы, но, как будет видно, оказываются полезными при рассмотрении интегралов движения. Они приводят к математическому аппарату, который при некоторой несложной интерпретации является удобным путем для введения правил квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики. [2]
Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике. [3]
Скобки Пуассона инвариантны относительно упивалептных канонических нреоб-ра зоваиий. [4]
Скобка Пуассона играет роль в изучении интегралов гамильтоновых потоков. [5]
Скобка Пуассона имеет простую интерпретацию. [6]
Скобка Пуассона на пространстве G задается следующей формулой. [7]
Скобки Пуассона называются согласованными, если их линейная комбинация также является скобкой Пуассона, т.е. удовлетворяет тождеству Якоби. Хорошо известно, что на фазовом пространстве динамических систем, интегрируемых методом обратной задачи, часто удается определить согласованные скобки Пуассона, причем интегралы движения находятся в инволюции относительно всех этих скобок. [8]
Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения. [9]
Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми из определения. [10]
Скобки Пуассона инвариантны относительно канонического преобразования Ф в том смысле, что преобразованные к новой системе они просто переходят в скобки Пуассона преобразованных функций. Наоборот, если Ф — диффеоморфизм пространства Т ( М), удовлетворяющий этому соотношению при всех F, G С ( Т ( М)), то Ф — каноническое преобразование. [11]
Скобки Пуассона от любых двух величин ру, pz, px Pt равны нулю, поэтому вместе с Н имеем четыре необходимые для интегрируемости постоянные движения. [12]
Скобки Пуассона для компонент спинов, относящиеся к разным узлам решетки, равны нулю. [13]
Скобка Пуассона называется совместимой с динамикой SQ, если все их высшие аналоги, ограниченные на ко-нечнозонные семейства, гамильтоновы в этой скобке. [14]
Скобка Пуассона инвариантна относительно симп-лектического диффеоморфизма. [15]
Страницы: 1 2 3 4
www.ngpedia.ru