Сложение вектора – Сложение векторов и правила сложения

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор. — таблицы Tehtab.ru

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

 

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

 

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F_рез. = [ F₁² + F₂² -2 F₁ F₂ cos(180^о-α) ]^1/2         (1)

где

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

β = arcsin[ F₂ *sin(180^o-α) / F_R ]         (2)

где

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80^o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН)² + (8 кН)² — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180^o — (80^o)) ]^1/2

    = 10,14кН

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

β= arcsin[ (8кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,14кН)

]

    = 51^o

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,2 кН)_]

    = 29^o

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

tehtab.ru

Равенство векторов. Сложение векторов. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.6. Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

   Иначе, .

Равные векторы можно обозначать одной буквой (с чертой или со стрелкой): . В этом случае говорят, что вектор  отложен от точки А. Если , то говорят, что вектор  отложен от точки С. Таким образом, любой вектор можно отложить от любой точки пространства S.

Замечание. На самом деле, понятие равенства векторов расширяет само понятие вектора. Если первоначально под вектором мы понимали упорядоченную пару точек пространства S, т.е. направленный отрезок, то теперь под вектором мы будем понимать множество  в с е х направленных отрезков, сонаправленных друг с другом и имеющих одинаковую длину. Если один и тот же вектор отложить от двух различных точек, например, , то направленный отрезок  можно совместить с направленным отрезком  с помощью параллельного переноса. Часто направленные отрезки  и  называются представителями одного и того же вектора .

п.7. Сложение векторов.

   Пусть  – множество всех векторов пространства точек S. Определим на этом множестве операцию сложения векторов.

Определение. Пусть  – два произвольных вектора.

Отложим вектор , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что . Вектор  отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что  Тогда вектор  называется суммой векторов  и  и обозначается .

                             А                                               В

                                                       С

                                                    рис. 7.

   Это правило сложения векторов носит название правило треугольника.

   Существует еще одно правило сложения векторов, которое называется правилом параллелограмма и дает точно такой же результат.

   Оба вектора  и  отложим от одной точки А и обозначим через В конец вектора , через D – конец вектора .

   Достраиваем до параллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения построенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллелограмм. Вектор . См. рис.8:

                             А                                               В

        D                                            С

                                      рис. 8.

Равенство  следует из равенства векторов  и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов.

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором.

Обозначение нулевого вектора: .

   Заметим, что модуль нулевого вектора равен нулю:

. Более того, нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложения векторов. Этот факт сразу же следует из правила треугольника сложения векторов.

   Полагаем также, по определению, что нулевой вектор коллинеарный любому вектору и, более того, сонаправленный с любым вектором и, одновременно, противоположно направлен любому вектору.

Определение. Вектор  называется противоположным вектору , если:

1) , т.е. они имеют противоположные направления;

2)  – имеют равные модули.

Обозначение. Вектор противоположный вектору  обозначается .

   Из определения противоположного вектора следует, что если , то . Действительно,  и . Из правила сложения векторов (правило треугольника) сразу же следует, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

, т.е. .

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Сложение векторов — это… Что такое Сложение векторов?

1) скоростей и ускорений, 2) сил, 3) моментов сил и количества движения. С. скоростей и ускорений. При разложении движения точки или твердого тела на составляющие движения и при соединении нескольких движений (см. Соединение движений) является представление о зависимости между скоростями этих движений, а также между их ускорениями. В различных учебниках механики и физики, даже элементарных, доказывается, что каковы бы ни были составляемые движения, скорость точки в составном движении есть геометрическая сумма (см.) скоростей ее в составляющих движениях. Правило это общее и не имеющее исключений. Если составляющих движений два, то скорость составного движения есть диагональ параллелограмма, построенного на скоростях составляющих движений. Поэтому правило это называют иногда правилом

параллелограмма скоростей. Когда составляющие движения получаются при посредстве твердых тел, движущихся поступательно, то и ускорение составного движения какой-либо точки есть геометрическая сумма ускорений ее в составляющих движениях; но если хотя бы одно из твердых тел движется не поступательно, а имеет вращение, то правило это изменяется вследствие появления так наз. поворотного ускорения, как сказано в статье Поворотное ускорение (см.), где говорится о С. ускорений при двух составляющих движениях. С. и разложение сил (Composition et décomposides forces). Под именем С. сил подразумеваются два различные вопроса механики: 1) определение равнодействующей сил, приложенных к одной точке, и 2) приведение совокупности сил, приложенных к твердому телу, к одной силе или (если нельзя к одной силе) к паре сил, или к двум силам (Réduction des forces appliquées a un corps solide). С. сил, приложенных к одной материальной точке, основывается на втором основном начале механики. Это начало высказывается теперь в таком виде: «Ускорение, получаемое свободною материальною точкою, к которой приложена какая-либо сила, имеет направление этой силы и равно величине этой силы, деленной на массу точки. Если к материальной точке приложено одновременно несколько сил, то, будет ли точка в покое или в движении, каждая сила сообщает такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя отдельно от прочих сил, так что ускорение, сообщаемое точке несколькими одновременно приложенными силами, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых отдельными силами.

Величина и направление ускорения не зависят от скорости, которую имеет точка». Здесь речь идет о материальной точке, о силах к ней приложенных и о ее ускорении. В «С. скоростей и ускорений» было сказано, что ускорения составляющих движений слагаются по правилу геометрического С., если составляющие движения поступательны, без вращений; но о вращении материальной точки, не имеющей размеров, не может быть и речи, поэтому ускорение, сообщаемое точке всеми силами, приложенными к ней одновременно, слагается геометрически из ускорений, сообщаемых каждою из составляющих сил. Так как величины приложенных к одной материальной точке сил пропорциональны величинам сообщаемых им ускорений, то они могут быть изображены векторами, пропорциональными ускорениям и совпадающими с направлениями последних. Из геометрического С. этих векторов получается одна сила, равная геометрической сумме этих составляющих сил, называемая равнодействующею их; она сообщает материальной точке то самое ускорение, которое сообщают все составляющие совместно. Если к материальной точке приложены две силы, то их равнодействующая есть диагональ параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Если составляющих сил несколько, то, построив диагональ на двух силах, строят параллелограм на этой диагонали и на третьей силе; диагональ этого второго параллелограмма будет равнодействующею трех сил и так далее. Поэтому правило С. сил, приложенных к одной материальной точке, называется правилом, или началом, параллелограмма сил. В различных трактатах по механике (напр. у Пуассона) предлагаются доказательства или выводы, исходящие из того основания, что при С. сил, имеющих одно и то же направление, равнодействующая равна их алгебраической сумме и что две равные и противоположные силы взаимно уравновешиваются. Силу, приложенную к точке, можно разложить определенным образом на две, направленные по данным направлениям, заключающимся в одной плоскости с данною силою. Для этого надо построить параллелограмм, имеющий диагональю данную силу, а сторонами — длины, совпадающие с данными направлениями. Можно также вполне определенным образом разложить данную силу, приложенную к точке, на три силы, имеющие данные направления, проходящие через эту точку и не заключающиеся в одной плоскости. Для этого надо построить параллелепипед, имеющий данную силу диагональю, а сторонами — данные направления. Разложение силы на четыре и более направлений или на три направления в одной плоскости есть задача неопределенная. О приведении сил, приложенных к твердому телу, — см. Статика. Сложение моментов сил и количества движения. В статье Момент (см.) дано определение моментов сил, пар сил и количества движения, моменты сил и количеств движений вокруг точки изображаются в виде векторов, которые называются линейными моментами. Линейный момента силы вокруг точки представляется в виде длины, проведенной из точки (полюса), вокруг которой берется момент, в таком направлении, чтобы, стоя ногами в полюсе, головою по этому направлению и глядя на точку приложения силы, видеть направление силы идущим слева направо. Длина вектора должна так относиться к единице длины, как величина момента относится к единице моментов. То же самое следует сказать и о линейном моменте количества движения какой-либо точки. Моменты сил, приложенных к различным точкам, взятые вокруг одного и того же полюса, слагаются по правилу геометрического С. (см.), и геометрическая сумма их называется главным моментом этих сил вокруг точки (полюса). То же самое относится и до линейных моментов количества движения разных точек вокруг одного и того же полюса. Эти моменты тоже геометрически слагаются, и геометрическая сумма их называется главным моментом количества движения. Главные моменты сил и количеств движения постоянно встречаются во многих вопросах механики системы материальных точек и в особенности в механике твердого тела.

Д. Б.

dic.academic.ru

Сложение векторов — Векторы — Математика — Каталог статей

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

    Суммой векторов а и в  с координатами а₁, а₂ и в₁, в₂ называется вектор с с координатами а₁ + в₁, а₂ + в₂, т.е.

                      а (а₁; а₂) + в (в₁;в₂) = с (а₁ + в₁; а₂ + в₂).

    Следствие:
 
    Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

    а и в – векторы (рис.5).

    Пусть

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

 

    Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:  АВ + ВС =АС.

откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.

 Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

alexlat.ucoz.ru

No related posts.