Рубрика: Школьная жизнь

Как найти периметр, зная площадь квадрата

8 марта 2012

Автор КакПросто!

Квадрат — правильный четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы прямые. Периметром квадрата называется сумма длин всех его сторон, а площадью – произведение двух сторон или квадрат одной стороны. Исходя из известных соотношений, через один параметр можно вычислить другой.

Статьи по теме:

Инструкция

Решение 2. Найдите периметр квадрата: P = 4*√S, P = 4*√36см², P = 24 см.Ответ: периметр квадрата равен 24 см.

Многие параметры этой геометрической фигуры связаны между собой. Зная один из них, вы сможете найти любой другой. Существуют также следующие формулы вычисления:Диагональ: a² = 2*b², где а – диагональ, b – сторона квадрата. Или a²=2S.Радиус вписанной окружности: r = b/2, где b – сторона.Радиус описанной окружности: R = ½*d, где d – диагональ квадрата.Диаметр описанной окружности: D = f, где f – диагональ.

Обратите внимание

Квадрат – правильный четырехугольник, обладающий свойствами прямоугольника и ромба.
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат – ромб, у которого все углы по 90 градусов.
Квадрат – грань куба.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагональ квадрата разбивает его на два равных прямоугольных треугольника и является гипотенузой к каждому из этих треугольников.
Диагональ квадрата — это диаметр описанной в фигуру окружности.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти периметр, зная площадь квадрата

Квадрат – положительный четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы прямые. Периметром квадрата именуется сумма длин всех его сторон, а площадью – произведение 2-х сторон либо квадрат одной стороны. Исходя из знаменитых соотношений, через один параметр дозволено вычислить иной.

Инструкция

1. Для квадрата периметр (P) равен четырехкратному значению одной его стороны (b). P = 4*b либо сумме значений длин всех его сторон P = b + b + b + b. Площадь квадрата выражается в произведении 2-х смежных сторон. Обнаружьте длину одной из сторон квадрата . Если вам вестима только площадь (S), извлеките из ее значения квадратный корень a = ?S. Дальше определите периметр.

2. Дано: площадь квадрата равна 36 см?. Обнаружьте периметр фигуры.Решение 1. Обнаружьте сторону квадрата : b = ?S, b = ?36 см?, b =6 см. Обнаружьте периметр: P = 4*b, P = 4*6см, P = 24 см. Либо Р = 6 + 6 + 6 + 6, Р = 24см.Результат: периметр квадрата площадью 36 см? равен 24 см.

3. Обнаружить периметр квадрата через площадь дозволено, не прибегая к лишнему действию (вычислению стороны). Для этого воспользуйтесь формулой вычисления периметра, объективной только для квадрата P = 4*?S.

4. Решение 2. Обнаружьте периметр квадрата : P = 4*?S, P = 4*?36см?, P = 24 см.Результат: периметр квадрата равен 24 см.

5. Многие параметры этой геометрической фигуры связаны между собой. Зная один из них, вы сумеете обнаружить всякий иной. Существуют также следующие формулы вычисления:Диагональ: a? = 2*b?, где а – диагональ, b – сторона квадрата . Либо a?=2S.Радиус вписанной окружности: r = b/2, где b – сторона.Радиус описанной окружности: R = ?*d, где d – диагональ квадрата .Диаметр описанной окружности: D = f, где f – диагональ.

Периметр – это суммарная длина сторон геометрической фигуры. Но если возникнет надобность стремительно рассчитать периметр чего-либо (скажем, во время ремонта либо строительства), не всякий сумеет это сделать с легкостью. Припомним основные правила для вычисления периметра.

Вам понадобится

• геометриеская фигура, линейка, ручка

Инструкция

1. Периметр для квадратов и ромбов рассчитывается по формуле Р=4а, где а – это длина одной стороны фигуры. От того что все ее стороны равны, измерьте одну сторону и полученное число умножьте на число сторон, т.е. на четыре.

2. Для прямоугольников и параллелограммов, т.к. у них равны не все стороны, а только противоположные, существует иная формула: Р=2(а+b). Под а и b подразумеваются смежные стороны. Их всеобщую длину умножьте на два.

3. Дабы получить периметр трапеции суммируйте длины всех ее сторон (у трапеции они не идентичны), т.е. в данном случае воспользуйтесь формулой P=а+b+с+d.

4. Всеобщая формула для расчета периметра треугольника выглядит как Р=а+b+с, т.е. вы обязаны будете сложить длины сторон треугольника. Но от того что треугольники бывают различных видов, то вычисления могут производиться напротив. Скажем, если вам вестимо, что измеряемый треугольник – равносторонний, то умножьте длину его стороны на три.

5. Больше трудно вычислить периметр круга (длина окружности, р). Вестимо, что длина окружности составляет 317 от длины диаметра круга (d). В математике это соотношение принято обозначать буквой “Пи” (?) и усреднено считать как 3,14. Получается, что рd=?. Отсель p=?d=2?r, где r – это радиус имеющейся окружности. Следственно, дабы вычислить периметр круга, вам нужно вначале обнаружить радиус окружности, а после этого умножить это число на 2 и на 3,14.

6. Если же у вас появилась надобность узнать периметр дуги, то для начала вам необходимо замерить две величины – длину радиуса дуги и центральный, т.е. образованный двумя радиусами (в градусах, n). Подставьте полученные величины в формулу p=Пrn180°.

Видео по теме

Квадрат является одной из особенно примитивных геометрических фигур в плане вычисления его параметров – длин сторон и диагоналей, площади и периметра. Это определяется тем, что в различие от других многоугольников, неизменно вестимы величины всех его углов, а также довольно знать длину каждого одной стороны. Нахождение длины стороны квадрата по вестимой длине диагонали, как в всеобщем виде, так и с фактическими расчетами не представляет трудности.

Инструкция

1. Используйте теорему Пифагора, алгебраическая формулировка которой заявляет, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: a? + b? = c?. Потому что диагонали квадрата делят его на два именно таких прямоугольных треугольника, у которых к тому же еще и длины катетов идентичны, то дозволено сформулировать такое качество квадрата , как геометрической фигуры: квадрат длины диагонали равен удвоенному квадрату длины стороны (2a?=c?). Из этого вытекает, что длина стороны равна квадратному корню из половины квадрата длины диагонали: a=√(c?/2).

2. Воспользуйтесь встроенным в поисковую систему Google калькулятором для фактических расчетов по вычислению длины стороны квадрата . Скажем, если знаменитая длина диагонали равна 15 сантиметрам, то перейдя на сайт поисковика, введите такой запрос: «корень из ((15 в квадрате)/2)». Если вы привыкли применять символ ^ для обозначения операции возведения в степень и sqrt для обозначения операции извлечения квадратного корня, то Google положительно осознает и такой запрос: «sqrt (15^2/2)». В любом случае результат будет идентичен: длина стороны квадрата равна 10,6066017 сантиметров.

3. Используйте, скажем, программный калькулятор из стандартного комплекта программ операционной системы Windows в качестве альтернативного метода для расчета длины стороны квадрата . Ссылка на его запуск упрятана достаточно велико в основное меню системы – позже щелчка по кнопке «Пуск» надобно раскрыть раздел «Все программы», перейти в подраздел «Типовые», кликнуть секцию «Служебные» и предпочесть пункт «Калькулятор». Больше стремительный метод – нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc и нажать клавишу Enter.

4. Введите вестимую длину стороны, после этого нажмите клавишу со звездочкой и Enter – так вы исполните операцию возведения в квадрат. После этого нажмите клавишу с косой чертой, введите двойку и нажмите Enter. Позже этого щелкните кнопку с надписью sqrt и увидите желанную длину стороны квадрата – 10,606601717798212866012665431573 сантиметров.

Задачи на вычисление площади круга зачастую встречаются в школьном курсе геометрии. Дабы обнаружить площадь круга, нужно знать длину диаметра либо радиуса окружности, в которую он заключен.

Вам понадобится

• – длина диаметра окружности.

Инструкция

1. Окружность — фигура на плоскости, состоящая из множества точек, удалённых на одинаковое расстояние от другой точки, называемой центром. Круг — плоская геометрическая фигура, представляет собой уйма точек, заключённых в окружность, которая является рубежом круга. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Радиус — это отрезок, соединяющий точку на окружности и с её центром. ? — число «пи», математическая константа, непрерывная величина. Она показывает отношение длины окружности к длине её диаметра . Вычислить точное значение числа ? невозможно. В геометрии пользуются примерным значением этого числа: ? ? 3,14

2. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число и вычисляется по формуле: S=?R^2, где S — площадь круга, R — длина радиуса окружности.

3. Из определения радиуса следует, что он равен половине диаметра . Следственно, формула приобретает вид: S=?(D/2)^2, где D — длина диаметра окружности. Подставьте в формулу значение диаметра , вычислите площадь круга.

4. Площадь круга измеряется в единицах площади — мм2, см2, м2 и т.п. В каких единицах выражается полученная вами площадь круга, зависит от того, в каких единицах был дан диаметр окружности.

5. Если вам нужно вычислить площадь кольца, воспользуйтесь формулой: S=?(R-r)^2, где R, r – радиусы внешней и внутренней окружностей кольца соответственно.

Полезный совет
Существует Интернациональный день числа «пи», тот, что отмечается 14 марта. Точное время наступления триумфальной даты — 1 час 59 минут 26 секунд, согласно цифрам числа — 3,1415926…

Квадрат представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех сторон идентичной длины и четырех прямых углов, всякий из которых равен 90°. Определение площади либо периметра четырехугольника, причем всякого, требуется не только при решении задач по геометрии, но и в повседневной жизни. Эти знания могут стать пригодными, скажем, во время ремонта при расчете необходимого числа материалов – покрытий для пола, стен либо потолка, а также для разбивки газонов и грядок и т.д.

Инструкция

1. Для определения площади квадрата умножьте величину длины на величину ширины. Потому что в квадрате длина и ширина идентичны, то значение одной стороны довольно построить в квадрат. Таким образом, площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной в квадрат. Единицей измерения площади могут быть квадратные миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.Дабы определить площадь квадрата, дозволено воспользоваться формулойS = aa, где S – площадь квадрата,а – сторона квадрата.

2. Пример № 1. Комната имеет форму квадрата. Сколько ламината (в кв.м) понадобится для того, дабы всецело покрыть пол, если длина одной стороны комнаты составляет 5 метров.Запишите формулу: S = aa. Подставьте в нее указанные в условии данные.Потому что а = 5 м, следственно, площадь будет равнаS (комнаты) = 5х5= 25 кв.м, значит, и S (ламината) = 25 кв.м.

3. Периметр представляет собой всеобщую длину границы фигуры. В квадрате периметр – это длина всех четырех, причем идентичных, сторон. То есть, периметр квадрата представляет собой сумму всех его четырех сторон. Дабы вычислить периметр квадрата, довольно знать длину одной его стороны. Измеряется периметр в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.Для определения периметра имеется формула:P = a + а + а + а илиP = 4a, гдеР – периметр,а – длина стороны.

4. Пример № 2. Для отделочных работ помещения в форме квадрата требуются потолочные плинтуса. Вычислите всеобщую длину (периметр) плинтусов, если величина одной стороны комнаты равна 6 метров. Запишите формулу P = 4a.Подставьте в нее указанные в условии данные:Р (комнаты) = 4 х 6 = 24 метра.Следственно, длина потолочных плинтусов тоже будет равна 24 метров.

Видео по теме

Обратите внимание!
Пригодные свойства квадрата:Квадрат – верный четырехугольник, владеющий свойствами прямоугольника и ромба.Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.Квадрат – ромб, у которого все углы по 90 градусов.Квадрат – грань куба.Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.Диагональ квадрата разбивает его на два равных прямоугольных треугольника и является гипотенузой к всем из этих треугольников.Диагональ квадрата – это диаметр описанной в фигуру окружности.

jprosto.ru

Ответы@Mail.Ru: Как найти периметр квадрата?

4* на сторону квадрата

Длину стороны умножить на 4

Периметр это сумма всех сторон (например а-длина одной стороны, значит 4а)

периметр квадрата -4a!

Да, ребят, если такие вопросы задавать начинаем, то я не знаю, что дальше будет.

Периметр P квадрата складывается из длин четырех его сторон. P = 4a = 8r = 2√2·R,

Р — периметр а — сторона Р=4*a

сложить все стороны

Сложить все стороны. Пример: длина и ширина квадрата 6 см. Теперь нужно сложить 6+6+6+6=24(см) — периметр. Или же так (6+6)*2=24.

ПЕРИМЕТР -ЭТО СУММА ДЛИН ВСЕХ СТОРОН. чтобы найти периметр квадрата нужно- длину стороны, (ТАК КАК У КВАДРАТА ВСЕ СТОРОНЫ ОДИНАКОВЫ НЕ ВАЖНО КАКУЮ ИЗ НИХ МОЖНО ВЗЯТЬ ЗА — А (ДЛИНУ) тоесть А умножить на все его четыре стороны. НАПРИМЕР: 23см-пусть это число будет шириной, умножить на 4 -стороны квадрата=92см- это ПЕРИМЕТР.

Р — периметр а — сторона Р=4*a

Нужно умножить длину стороны на 4 S = 4 * a Если совсем просто, то воспользуйтесь калькулятором <a rel=»nofollow» href=»http://www.center-pss.ru/math/perimetrkvadrata.htm» target=»_blank»>http://www.center-pss.ru/math/perimetrkvadrata.htm</a>

2×(а+а) =4а или 4×а

touch.otvet.mail.ru

cos п

Способов для вычисления значения выражения cos п достаточно, поэтому рассмотрим некоторые из них.

1. По таблице значений косинуса

Один из самых простых способов — это использование таблицы, в которой собраны значения четырех основных тригонометрических функций от основных аргументов.

В таблице значения аргументов могут быть представлены в виде градусов или в виде радиан. Поскольку в задании аргументы даны в радианах, то по таблице найдем столбец, в котором находится значение Пи. В первом столбце обратим внимание на функции — нас интересует косинус. На пересечении этих двух данных получим результат — значение косинуса Пи.
Итак, косинус Пи согласно таблице равен —1:

1. По тригонометрическому кругу

Можно вычислять значения тригонометрических функций по тригонометрическому кругу (или окружности).

На осях круга содержаться значения двух тригонометрических функций: на оси Ох — значения косинусов, а на оси Оу — значения синусов.
Найдем на самой окружности значение, которое соответствует аргументу функции, то есть Пи. Число на оси Ох лежит в точке —1. Таким образом, косинус равен —1.

1. По графику косинуса

Для основных углов удобно находить значения функций с помощью графика соответствующей функции.

По косинусоиде (так называется график косинуса) отчетливо видно, что косинус равен —1.

ru.solverbook.com

cos п

Вы искали cos п? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и p cos, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos п».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos п,p cos,кос п 6,косинус 2п,косинус 2п 3,косинус п 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos п. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, кос п 6).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos п Онлайн?

Решить задачу cos п вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

cos (–pi)

Значение выражения cos (-pi) можно найти несколькими способами.

1-й способ.
Способ является самым простым из всех существующих, если у Вас под рукой есть таблица значений тригонометрических функций от основных углов.

Но перед использованием этой таблицы необходимо вспомнить и применить знание о том, что функция косинус является четной функцией, то есть косинус от отрицательного значения будет равен косинусу положительного значения того же угла:

А теперь можно воспользоваться таблицей и определить, что:

2-й способ.
Этот способ подойдет для тех, у кого нет возможности посмотреть в таблицу. Способ заключается в использовании тригонометрической окружности, с помощью которой можно определять значения и более сложных значений тригонометрических функций.

Посмотрим внимательно на тригонометрический круг. За значения косинуса отвечает ось абсцисс. Число совпадает с числом и на оси абсцисс совпадает с точкой —1. Следовательно, косинус от равен —1.

3-й способ.
Способ подойдет для тех, кто не умеет пользоваться тригонометрической окружностью, но помнит, как выглядит график косинуса.

На графике четко видно значение функции при .

ru.solverbook.com

cos 2п

Значение тригонометрической функции можно вычислить несколькими способами.

1-й способ.
Этот способ один из самых простых и распространенных. Для его использования необходима таблица значений тригонометрических функций от основных углов.

По таблице видно, что значение равно единице:

2-й способ.
Что делать, если такой таблицы под рукой нет? В таком случае пригодится второй способ, который заключается в использовании тригонометрического круга (или окружности). С ее помощью можно находить значения и других, более сложных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим тригонометрический круг. Значения косинуса содержатся на оси абсцисс. Число совпадает с числом 0. Если спроецировать эту точку на ось абсцисс, то получим 1. Следовательно, косинус от равен 1.

3-й способ.
В случае, если нет под рукой таблицы или сложно ориентироваться по тригонометрической окружности, то можно использовать график косинуса.

Исходя из графика можно очень точно определить значение функции при . Для этого находим, в какой точке графика его аргумент равен и проецируем эту точку на ось ординат. Получаем значение 1.

ru.solverbook.com

cos (2п / 3)

Значение выражения cos (2п / 3) можно найти не одним способом. Рассмотрим основные.

Способ первый.
Этот способ — самый простой из существующих. Заключается в использовании таблицы значений тригонометрических функций от основных аргументов.

Часто перед использованием этой таблицы выполняется преобразование аргументов, представленных в радианах — в градусы. Бывает так легче понять значение функции косинус. Мы же используем таблицу, в которой можно определять значение тригонометрической функции как от аргумента в градусах, так и в радианах.
По таблице определим значение косинуса от 2Пи / 3 — это —1/2.
Математически записывается так:

Способ второй.
Его удобно использовать, когда нет таблицы. Способ использует для вычисления значения косинуса (или другой тригонометрической функции) тригонометрическую окружность.

При использовании тригонометрической окружности (или круга) необходимо помнить, что значения косинуса содержит ось абсцисс. Согласно заданию аргумент функции равен 2п / 3. На окружности данное значение соответствует 120 градусам. Чтобы вычислить значение функции косинус от этого аргумента нужно опустить перпендикуляр на ось абсцисс, после чего получим точку —1/2. Следовательно, косинус от 2п/3 равен —1/2.

Способ третий.
Если нет возможности посмотреть таблицу или использовать тригонометрическую окружность, то можно начертить график функции косинус. Необходимое значение можно определить по нему.

ru.solverbook.com

Ответы@Mail.Ru: cos 5п\6

корень из 3 делить на 2

минус корень из трех делить на два

cos(5п\6) = cos(п — п\6) = — cos(п\6) = — корень из 3 на 2 Я для таких вещей рисую окружность, помогает 🙂

Предыдущий ответ правильный, только он будет отрицателен (со знаком минус) я имела в виду первый ответ)

touch.otvet.mail.ru

cos 2x = 1 – cos (п / 2 – x)

Задача.
Решить уравнение cos 2x = 1 — cos (п / 2 — x).

Решение.
Для того, чтобы решить данное уравнение его нужно преобразовать к более удобному виду. Начнем преобразование с правой части, в которой стоит косинус разности известного и неизвестного значений угла. В таком случае можно поступить двумя разными вариантами, которые приведут к одинаковым результатам. Первый вариант — использовать формулу косинуса разности, второй — формула приведения для косинуса разности п / 2 и неизвестного. Выберем второй вариант, поскольку он намного короче. Для этого по формуле приведения перейдем от косинуса к синусу:

Теперь разберемся с левой частью, в которой перейдем от косинуса двойного угла к синусу по формулам косинуса:

После перенесения всех слагаемых в одну сторону от знака равенства, получим:

Вынесем общий синус за скобки, тем самым сведя решение одного уравнения к решению двух простых равенств:

Полученное первое уравнение имеет решение в виде набора корней:

Полученное второе уравнение имеет следующее решение:

Переменные q и f — это любые целые числа.

Ответ. и , q и f —любые целые числа.

ru.solverbook.com

пусть x имеет норму равную или меньшую — с английского на русский

технология коммутации
—
[Интент]

Современные технологии коммутации
[ http://www.xnets.ru/plugins/content/content.php?content.84]

Статья подготовлена на основании материалов опубликованных в журналах «LAN», «Сети и системы связи«, в книге В.Олифер и Н.Олифер «Новые технологии и оборудование IP-сетей«, на сайтах www.citforum.ru и опубликована в журнале «Компьютерные решения» NN4-6 за 2000 год.

Введение

На сегодня практически все организации, имеющие локальные сети, остановили свой выбор на сетях типа Ethernet. Данный выбор оправдан тем, что начало внедрения такой сети сопряжено с низкой стоимостью и простотой реализации, а развитие — с хорошей масштабируемостью и экономичностью.

Бросив взгляд назад — увидим, что развитие активного оборудования сетей шло в соответствии с требованиями к полосе пропускания и надежности. Требования, предъявляемые к большей надежности, привели к отказу от применения в качестве среды передачи коаксиального кабеля и перевода сетей на витую пару. В результате такого перехода отказ работы соединения между одной из рабочих станций и концентратором перестал сказываться на работе других рабочих станций сети. Но увеличения производительности данный переход не принес, так как концентраторы используют разделяемую (на всех пользователей в сегменте) полосу пропускания. По сути, изменилась только физическая топология сети — с общей шины на звезду, а логическая топология по-прежнему осталась — общей шиной.

Дальнейшее развитие сетей шло по нескольким путям:

• увеличение скорости,
• внедрение сегментирования на основе коммутации,
• объединение сетей при помощи маршрутизации.

Увеличение скорости при прежней логической топологии — общая шина, привело к незначительному росту производительности в случае большого числа портов.

Большую эффективность в работе сети принесло сегментирование сетей с использованием технология коммутации пакетов. Коммутация наиболее действенна в следующих вариантах:

Вариант 1, именуемый связью «многие со многими» – это одноранговые сети, когда одновременно существуют потоки данных между парами рабочих станций. При этом предпочтительнее иметь коммутатор, у которого все порты имеют одинаковую скорость, (см. Рисунок 1).

Вариант 2, именуемый связью «один со многими» – это сети клиент-сервер, когда все рабочие станции работают с файлами или базой данных сервера. В данном случае предпочтительнее иметь коммутатор, у которого порты для подключения рабочих станций имеют одинаковую небольшую скорость, а порт, к которому подключается сервер, имеет большую скорость,(см. Рисунок 2).

Когда компании начали связывать разрозненные системы друг с другом, маршрутизация обеспечивала максимально возможную целостность и надежность передачи трафика из одной сети в другую. Но с ростом размера и сложности сети, а также в связи со все более широким применением коммутаторов в локальных сетях, базовые маршрутизаторы (зачастую они получали все данные, посылаемые коммутаторами) стали с трудом справляться со своими задачами.

Проблемы с трафиком, связанные с маршрутизацией, проявляются наиболее остро в средних и крупных компаниях, а также в деятельности операторов Internet, так как они вынуждены иметь дело с большими объемами IP-трафика, причем этот трафик должен передаваться своевременно и эффективно.

С подключением настольных систем непосредственно к коммутаторам на 10/100 Мбит/с между ними и магистралью оказывается все меньше промежуточных устройств. Чем выше скорость подключения настольных систем, тем более скоростной должна быть магистраль. Кроме того, на каждом уровне устройства должны справляться с приходящим трафиком, иначе возникновения заторов не избежать.

Рассмотрению технологий коммутации и посвящена данная статья.

Коммутация первого уровня

Термин «коммутация первого уровня» в современной технической литературе практически не описывается. Для начала дадим определение, с какими характеристиками имеет дело физический или первый уровень модели OSI:

физический уровень определяет электротехнические, механические, процедурные и функциональные характеристики активации, поддержания и дезактивации физического канала между конечными системами. Спецификации физического уровня определяют такие характеристики, как уровни напряжений, синхронизацию изменения напряжений, скорость передачи физической информации, максимальные расстояния передачи информации, физические соединители и другие аналогичные характеристики.

Смысл коммутации на первом уровне модели OSI означает физическое (по названию уровня) соединение. Из примеров коммутации первого уровня можно привести релейные коммутаторы некоторых старых телефонных и селекторных систем. В более новых телефонных системах коммутация первого уровня применяется совместно с различными способами сигнализации вызовов и усиления сигналов. В сетях передачи данных данная технология применяется в полностью оптических коммутаторах.

Коммутация второго уровня

Рассматривая свойства второго уровня модели OSI и его классическое определение, увидим, что данному уровню принадлежит основная доля коммутирующих свойств.

Определение. Канальный уровень (формально называемый информационно-канальным уровнем) обеспечивает надежный транзит данных через физический канал. Канальный уровень решает вопросы физической адресации (в противоположность сетевой или логической адресации), топологии сети, линейной дисциплины (каким образом конечной системе использовать сетевой канал), уведомления о неисправностях, упорядоченной доставки блоков данных и управления потоком информации.

На самом деле, определяемая канальным уровнем модели OSI функциональность служит платформой для некоторых из сегодняшних наиболее эффективных технологий. Большое значение функциональности второго уровня подчеркивает тот факт, что производители оборудования продолжают вкладывать значительные средства в разработку устройств с такими функциями.

С технологической точки зрения, коммутатор локальных сетей представляет собой устройство, основное назначение которого — максимальное ускорение передачи данных за счет параллельно существующих потоков между узлами сети. В этом — его главное отличие от других традиционных устройств локальных сетей – концентраторов (Hub), предоставляющих всем потокам данных сети всего один канал передачи данных.

Коммутатор позволяет передавать параллельно несколько потоков данных c максимально возможной для каждого потока скоростью. Эта скорость ограничена физической спецификацией протокола, которую также часто называют «скоростью провода». Это возможно благодаря наличию в коммутаторе большого числа центров обработки и продвижения кадров и шин передачи данных.

Коммутаторы локальных сетей в своем основном варианте, ставшем классическим уже с начала 90-х годов, работают на втором уровне модели OSI, применяя свою высокопроизводительную параллельную архитектуру для продвижения кадров канальных протоколов. Другими словами, ими выполняются алгоритмы работы моста, описанные в стандартах IEEE 802.1D и 802.1H. Также они имеют и много других дополнительных функций, часть которых вошла в новую редакцию стандарта 802.1D-1998, а часть остается пока не стандартизованной.

Коммутаторы ЛВС отличаются большим разнообразием возможностей и, следовательно, цен — стоимость 1 порта колеблется в диапазоне от 50 до 1000 долларов. Одной из причин столь больших различий является то, что они предназначены для решения различных классов задач. Коммутаторы высокого класса должны обеспечивать высокую производительность и плотность портов, а также поддерживать широкий спектр функций управления. Простые и дешевые коммутаторы имеют обычно небольшое число портов и не способны поддерживать функции управления. Одним из основных различий является используемая в коммутаторе архитектура. Поскольку большинство современных коммутаторов работают на основе патентованных контроллеров ASIC, устройство этих микросхем и их интеграция с остальными модулями коммутатора (включая буферы ввода-вывода) играет важнейшую роль. Контроллеры ASIC для коммутаторов ЛВС делятся на 2 класса — большие ASIC, способные обслуживать множество коммутируемых портов (один контроллер на устройство) и небольшие ASIC, обслуживающие по несколько портов и объединяемые в матрицы коммутации.

Существует 3 варианта архитектуры коммутаторов:
 

На рисунке 3 показана блок-схема коммутатора с архитектурой, используемой для поочередного соединения пар портов. В любой момент такой коммутатор может обеспечить организацию только одного соединения (пара портов). При невысоком уровне трафика не требуется хранение данных в памяти перед отправкой в порт назначения — такой вариант называется коммутацией на лету cut-through. Однако, коммутаторы cross-bar требуют буферизации на входе от каждого порта, поскольку в случае использования единственно возможного соединения коммутатор блокируется (рисунок 4). Несмотря на малую стоимость и высокую скорость продвижения на рынок, коммутаторы класса cross-bar слишком примитивны для эффективной трансляции между низкоскоростными интерфейсами Ethernet или token ring и высокоскоростными портами ATM и FDDI.

Коммутаторы с разделяемой памятью имеют общий входной буфер для всех портов, используемый как внутренняя магистраль устройства (backplane). Буферизагия данных перед их рассылкой (store-and-forward — сохранить и переслать) приводит к возникновению задержки. Однако, коммутаторы с разделяемой памятью, как показано на рисунке 5 не требуют организации специальной внутренней магистрали для передачи данных между портами, что обеспечивает им более низкую цену по сравнению с коммутаторами на базе высокоскоростной внутренней шины.

На рисунке 6 показана блок-схема коммутатора с высокоскоростной шиной, связывающей контроллеры ASIC. После того, как данные преобразуются в приемлемый для передачи по шине формат, они помещаются на шину и далее передаются в порт назначения. Поскольку шина может обеспечивать одновременную (паралельную) передачу потока данных от всех портов, такие коммутаторы часто называют «неблокируемыми» (non-blocking) — они не создают пробок на пути передачи данных.

Применение аналогичной параллельной архитектуры для продвижения пакетов сетевых протоколов привело к появлению коммутаторов третьего уровня модели OSI.

Коммутация третьего уровня

В продолжении темы о технологиях коммутации рассмотренных в предыдущем номера повторим, что применение параллельной архитектуры для продвижения пакетов сетевых протоколов привело к появлению коммутаторов третьего уровня. Это позволило существенно, в 10-100 раз повысить скорость маршрутизации по сравнению с традиционными маршрутизаторами, в которых один центральный универсальный процессор выполняет программное обеспечение маршрутизации.

По определению Сетевой уровень (третий) — это комплексный уровень, который обеспечивает возможность соединения и выбор маршрута между двумя конечными системами, подключенными к разным «подсетям», которые могут находиться в разных географических пунктах. В данном случае «подсеть» это, по сути, независимый сетевой кабель (иногда называемый сегментом).

Коммутация на третьем уровне — это аппаратная маршрутизация. Традиционные маршрутизаторы реализуют свои функции с помощью программно-управляемых процессоров, что будем называть программной маршрутизацией. Традиционные маршрутизаторы обычно продвигают пакеты со скоростью около 500000 пакетов в секунду. Коммутаторы третьего уровня сегодня работают со скоростью до 50 миллионов пакетов в секунду. Возможно и дальнейшее ее повышение, так как каждый интерфейсный модуль, как и в коммутаторе второго уровня, оснащен собственным процессором продвижения пакетов на основе ASIC. Так что наращивание количества модулей ведет к наращиванию производительности маршрутизации. Использование высокоскоростной технологии больших заказных интегральных схем (ASIC) является главной характеристикой, отличающей коммутаторы третьего уровня от традиционных маршрутизаторов. Коммутаторы 3-го уровня делятся на две категории: пакетные (Packet-by-Packet Layer 3 Switches, PPL3) и сквозные (Cut-Through Layer 3 Switches, CTL3). PPL3 — означает просто быструю маршрутизацию (Рисунок_7). CTL3 – маршрутизацию первого пакета и коммутацию всех остальных (Рисунок 8).

У коммутатора третьего уровня, кроме реализации функций маршрутизации в специализированных интегральных схемах, имеется несколько особенностей, отличающих их от традиционных маршрутизаторов. Эти особенности отражают ориентацию коммутаторов 3-го уровня на работу, в основном, в локальных сетях, а также последствия совмещения в одном устройстве коммутации на 2-м и 3-м уровнях:
 

• поддержка интерфейсов и протоколов, применяемых в локальных сетях,
• усеченные функции маршрутизации,
• обязательная поддержка механизма виртуальных сетей,
• тесная интеграция функций коммутации и маршрутизации, наличие удобных для администратора операций по заданию маршрутизации между виртуальными сетями.

Наиболее «коммутаторная» версия высокоскоростной маршрутизации выглядит следующим образом (рисунок 9). Пусть коммутатор третьего уровня построен так, что в нем имеется информация о соответствии сетевых адресов (например, IP-адресов) адресам физического уровня (например, MAC-адресам) Все эти МАС-адреса обычным образом отображены в коммутационной таблице, независимо от того, принадлежат ли они данной сети или другим сетям.

Первый коммутатор, на который поступает пакет, частично выполняет функции маршрутизатора, а именно, функции фильтрации, обеспечивающие безопасность. Он решает, пропускать или нет данный пакет в другую сеть Если пакет пропускать нужно, то коммутатор по IP-адресу назначения определяет МАС-адрес узла назначения и формирует новый заголовок второго уровня с найденным МАС-адресом. Затем выполняется обычная процедура коммутации по данному МАС-адресу с просмотром адресной таблицы коммутатора. Все последующие коммутаторы, построенные по этому же принципу, обрабатывают данный кадр как обычные коммутаторы второго уровня, не привлекая функций маршрутизации, что значительно ускоряет его обработку. Однако функции маршрутизации не являются для них избыточными, поскольку и на эти коммутаторы могут поступать первичные пакеты (непосредственно от рабочих станций), для которых необходимо выполнять фильтрацию и подстановку МАС-адресов.

Это описание носит схематический характер и не раскрывает способов решения возникающих при этом многочисленных проблем, например, проблемы построения таблицы соответствия IP-адресов и МАС-адресов

Примерами коммутаторов третьего уровня, работающих по этой схеме, являются коммутаторы SmartSwitch компании Cabletron. Компания Cabletron реализовала в них свой протокол ускоренной маршрутизации SecureFast Virtual Network, SFVN.

Для организации непосредственного взаимодействия рабочих станций без промежуточного маршрутизатора необходимо сконфигурировать каждую из них так, чтобы она считала собственный интерфейс маршрутизатором по умолчанию. При такой конфигурации станция пытается самостоятельно отправить любой пакет конечному узлу, даже если этот узел находится в другой сети. Так как в общем случае (см. рисунок 10) станции неизвестен МАС-адрес узла назначения, то она генерирует соответствующий ARP-запрос, который перехватывает коммутатор, поддерживающий протокол SFVN. В сети предполагается наличие сервера SFVN Server, являющегося полноценным маршрутизатором и поддерживающего общую ARP-таблицу всех узлов SFVN-сети. Сервер возвращает коммутатору МАС-адрес узла назначения, а коммутатор, в свою очередь, передает его исходной станции. Одновременно сервер SFVN передает коммутаторам сети инструкции о разрешении прохождения пакета с МАС-адресом узла назначения через границы виртуальных сетей. Затем исходная станция передает пакет в кадре, содержащем МАС-адрес узла назначения. Этот кадр проходит через коммутаторы, не вызывая обращения к их блокам маршрутизации. Отличие протокола SFVN компании Cabletron от — описанной выше общей схемы в том, что для нахождения МАС-адреса по IP-адресу в сети используется выделенный сервер.

Протокол Fast IP компании 3Com является еще одним примером реализации подхода с отображением IP-адреса на МАС-адрес. В этом протоколе основными действующими лицами являются сетевые адаптеры (что не удивительно, так как компания 3Com является признанным лидером в производстве сетевых адаптеров Ethernet) С одной стороны, такой подход требует изменения программного обеспечения драйверов сетевых адаптеров, и это минус Но зато не требуется изменять все остальное сетевое оборудование.

При необходимости передать пакет узлу назначения другой сети, исходный узел в соответствии с технологией Fast IP должен передать запрос по протоколу NHRP (Next Hop Routing Protocol) маршрутизатору сети. Маршрутизатор переправляет этот запрос узлу назначения, как обычный пакет Узел назначения, который также поддерживает Fast IP и NHRP, получив запрос, отвечает кадром, отсылаемым уже не маршрутизатору, а непосредственно узлу-источнику (по его МАС-адресу, содержащемуся в NHRP-запросе). После этого обмен идет на канальном уровне на основе известных МАС-адресов. Таким образом, снова маршрутизировался только первый пакет потока (как на рисунке 9 кратковременный поток), а все остальные коммутировались (как на рисунке 9 долговременный поток).

Еще один тип коммутаторов третьего уровня — это коммутаторы, работающие с протоколами локальных сетей типа Ethernet и FDDI. Эти коммутаторы выполняют функции маршрутизации не так, как классические маршрутизаторы. Они маршрутизируют не отдельные пакеты, а потоки пакетов.

Поток — это последовательность пакетов, имеющих некоторые общие свойства. По меньшей мере, у них должны совпадать адрес отправителя и адрес получателя, и тогда их можно отправлять по одному и тому же маршруту. Если классический способ маршрутизации использовать только для первого пакета потока, а все остальные обрабатывать на основании опыта первого (или нескольких первых) пакетов, то можно значительно ускорить маршрутизацию всего потока.

Рассмотрим этот подход на примере технологии NetFlow компании Cisco, реализованной в ее маршрутизаторах и коммутаторах. Для каждого пакета, поступающего на порт маршрутизатора, вычисляется хэш-функция от IP-адресов источника, назначения, портов UDP или TCP и поля TOS, характеризующего требуемое качество обслуживания. Во всех маршрутизаторах, поддерживающих данную технологию, через которые проходит данный пакет, в кэш-памяти портов запоминается соответствие значения хэш-функции и адресной информации, необходимой для быстрой передачи пакета следующему маршрутизатору. Таким образом, образуется квазивиртуальный канал (см. Рисунок 11), который позволяет быстро передавать по сети маршрутизаторов все последующие пакеты этого потока. При этом ускорение достигается за счет упрощения процедуры обработки пакета маршрутизатором — не просматриваются таблицы маршрутизации, не выполняются ARP-запросы.

Этот прием может использоваться в маршрутизаторах, вообще не поддерживающих коммутацию, а может быть перенесен в коммутаторы. В этом случае такие коммутаторы тоже называют коммутаторами третьего уровня. Примеров маршрутизаторов, использующих данный подход, являются маршрутизаторы Cisco 7500, а коммутаторов третьего уровня — коммутаторы Catalyst 5000 и 5500. Коммутаторы Catalyst выполняют усеченные функции описанной схемы, они не могут обрабатывать первые пакеты потоков и создавать новые записи о хэш-функциях и адресной информации потоков. Они просто получают данную информацию от маршрутизаторов 7500 и обрабатывают пакеты уже распознанных маршрутизаторами потоков.

Выше был рассмотрен способ ускоренной маршрутизации, основанный на концепции потока. Его сущность заключается в создании квазивиртуальных каналов в сетях, которые не поддерживают виртуальные каналы в обычном понимании этого термина, то есть сетях Ethernet, FDDI, Token Ring и т п. Следует отличать этот способ от способа ускоренной работы маршрутизаторов в сетях, поддерживающих технологию виртуальных каналов — АТМ, frame relay, X 25. В таких сетях создание виртуального канала является штатным режимом работы сетевых устройств. Виртуальные каналы создаются между двумя конечными точками, причем для потоков данных, требующих разного качества обслуживания (например, для данных разных приложений) может создаваться отдельный виртуальный канал. Хотя время создания виртуального канала существенно превышает время маршрутизации одного пакета, выигрыш достигается за счет последующей быстрой передачи потока данных по виртуальному каналу. Но в таких сетях возникает другая проблема — неэффективная передача коротких потоков, то есть потоков, состоящих из небольшого количества пакетов (классический пример — пакеты протокола DNS).

Накладные расходы, связанные с созданием виртуального канала, приходящиеся на один пакет, снижаются при передаче объемных потоков данных. Однако они становятся неприемлемо высокими при передаче коротких потоков. Для того чтобы эффективно передавать короткие потоки, предлагается следующий вариант, при передаче нескольких первых пакетов выполняется обычная маршрутизация. Затем, после того как распознается устойчивый поток, для него строится виртуальный канал, и дальнейшая передача данных происходит с высокой скоростью по этому виртуальному каналу. Таким образом, для коротких потоков виртуальный канал вообще не создается, что и повышает эффективность передачи.

По такой схеме работает ставшая уже классической технология IP Switching компании Ipsilon. Для того чтобы сети коммутаторов АТМ передавали бы пакеты коротких потоков без установления виртуального канала, компания Ipsilon предложила встроить во все коммутаторы АТМ блоки IP-маршрутизации (рисунок 12), строящие обычные таблицы маршрутизации по обычным протоколам RIP и OSPF.

Компания Cisco Systems выдвинула в качестве альтернативы технологии IP Switching свою собственную технологию Tag Switching, но она не стала стандартной. В настоящее время IETF работает над стандартным протоколом обмена метками MPLS (Multi-Protocol Label Switching), который обобщает предложение компаний Ipsilon и Cisco, а также вносит некоторые новые детали и механизмы. Этот протокол ориентирован на поддержку качества обслуживания для виртуальных каналов, образованных метками.

Коммутация четвертого уровня

Свойства четвертого или транспортного уровня модели OSI следующие: транспортный уровень обеспечивает услуги по транспортировке данных. В частности, заботой транспортного уровня является решение таких вопросов, как выполнение надежной транспортировки данных через объединенную сеть. Предоставляя надежные услуги, транспортный уровень обеспечивает механизмы для установки, поддержания и упорядоченного завершения действия виртуальных каналов, систем обнаружения и устранения неисправностей транспортировки и управления информационным потоком (с целью предотвращения переполнения данными из другой системы).

Некоторые производители заявляют, что их системы могут работать на втором, третьем и даже четвертом уровнях. Однако рассмотрение описания стека TCP/IP (рисунок 1), а также структуры пакетов IP и TCP (рисунки 2, 3), показывает, что коммутация четвертого уровня является фикцией, так как все относящиеся к коммутации функции осуществляются на уровне не выше третьего. А именно, термин коммутация четвертого уровня с точки зрения описания стека TCP/IP противоречий не имеет, за исключением того, что при коммутации должны указываться адреса компьютера (маршрутизатора) источника и компьютера (маршрутизатора) получателя. Пакеты TCP имеют поля локальный порт отправителя и локальный порт получателя (рисунок 3), несущие смысл точек входа в приложение (в программу), например Telnet с одной стороны, и точки входа (в данном контексте инкапсуляции) в уровень IP. Кроме того, в стеке TCP/IP именно уровень TCP занимается формированием пакетов из потока данных идущих от приложения. Пакеты IP (рисунок 2) имеют поля адреса компьютера (маршрутизатора) источника и компьютера (маршрутизатора) получателя и следовательно могут наряду с MAC адресами использоваться для коммутации. Тем не менее, название прижилось, к тому же практика показывает, что способность системы анализировать информацию прикладного уровня может оказаться полезной — в частности для управления трафиком. Таким образом, термин «зависимый от приложения» более точно отражает функции так называемых коммутаторов четвертого уровня.

Тематики

EN

translate.academic.ru

Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом y = tg x . Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность

Первый член арифметической прогрессии равен двум, десятый — десяти. Сумма первых десяти членов этой прогрессии равна _( укажите число)
 (*ответ*) 60
Первый член геометрической прогрессии равен a, её знаменатель равен b. Значение её десятого члена можно вычислить по формуле
 (*ответ*) a•b9
 a + 10b
 a + 9b
 a•b10
Понятие множества можно ввести как
 (*ответ*) «набор чего-либо»
 (*ответ*) «совокупность чего-либо»
 «много чего-либо»
 «количество чего-либо»
Предложение «в городе N обитало не меньше 1000 жителей» является _ высказыванием
 (*ответ*) неопределенным
 простым
 сложным
 не является
Предложение «Вам нравится сдавать тест?» _
 (*ответ*) не является высказыванием
 является высказыванием, истинным
 является высказыванием, ложным
 является неопределенным высказыванием
Прогрессия 2, 8, 14, … является
 (*ответ*) арифметической, a1 = 2, d = 6
 арифметической, a1 = 6, d = 2
 геометрической, b1 = 2, q = 4
 геометрической, b1 = 4, q = 2
Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на четвертый равно 3. Найти второй член прогресии.
 (*ответ*) 6
 (*ответ*) -6
 2
Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом x * y = 6 . Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность; B) функциональность; С) взаимная однозначность; D) нечетность
 (*ответ*) A) ложно
 (*ответ*) B) истинно
 (*ответ*) С) истинно
 D) ложно
Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом x2 = y. Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность; B) функциональность; С) взаимная однозначность; D) четность
 (*ответ*) A)
 (*ответ*) B)
 (*ответ*) D)
 С)
Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом x3 = y. Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность; B) функциональность; С) взаимная однозначность; D) нечетность
 (*ответ*) A) истинно
 (*ответ*) B) истинно
 (*ответ*) С) истинно
 D) ложно
Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом y = 1 / cos x. Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность ; B) функциональность; С) взаимная однозначность; D) четность
 (*ответ*) B)
 (*ответ*) D)
 C)
 A)
Пусть X = Y = R , а отображение : X * Y задается законом y = tg x . Какие для него верны характеристики:A) всюду определенность; B) функциональность; С) взаимная однозначность; D) периодичность
 (*ответ*) B)
 (*ответ*) D)
 A)
 C)

www.soloby.ru

помогите решить задачу для 3го класса

320 разделить на 8 и умножить на 4 (я так думаю) 🙂

160 кг песка пусть1 часть смеси будет х, тогда песок это 4х, вода 3х а цемент х х+4х+3х=320 х=320:8 х=40 песок 4*40=160

Пусть x-1 часть. x-цемент 4x-песок 3x-вода x+4x+3x=320 8x=320 x=40 4*40=160 кг песка

320 кг бетонной смеси составляют 8частей 1часть-цемент 320:8=40 4части-песок 40*4=160

Blyat` мы это в 5 классе проходим

touch.otvet.mail.ru

Вероятность — появление — событие

Вероятность — появление — событие

Cтраница 1

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз.  [1]

Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось, является условной вероятностью.  [3]

Вероятность появления события при одном испытании равна р, вероятность непоявления события 1 — р — При каком р результат испытания обладает наибольшей неопределенностью.  [4]

Вероятность появления события А в / — м испытании равна pf, Р ( т) — вероятность / n — кратного появления события А в п испытаниях.  [5]

Вероятность появления события А в J-M испытании равна pit ц — число появлений события А в п независимых испытаниях.  [6]

Вероятность появления события А и / — м испытании равна р -; Рп ( т) — вероятность от-кратного появления события Л в п испытаниях.  [7]

Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.  [8]

При прогнозировании вероятность появления события эквивалентна степени истинности соответствующего высказывания.  [9]

Так как вероятность Рт появления события т раз в этом случае зависит только от V ( R / T), то вычисление Рт может быть доведено до конца.  [10]

Для вычисления вероятности появления события А в том случае, когда результат опыта определяется случайным положением точек в некоторой области, используется определение геометрической вероятности. При этом любые положения точек в этой области считаются равновероятными.  [11]

Что называется вероятностью появления события.  [12]

Закон Пуассона дает вероятность появления события и раз за время, если можно считать, что вероятность наступления события за интервал А / пропорциональна этому интервалу и события в различные моменты времени независимы.  [13]

Обозначим через р вероятность появления событий А в N реализациях.  [14]

Таким образом, вероятность появления события Л зависит от того, произошло событие В или нет. Это значит, что событие А зависит от события В.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Повторение испытаний. Формула Бернулли, Интегральная теорма Лапласа, Локальная теорема Лапласа

3.       Повторение испытаний

3.1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p () , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

 — Формула Бернулли

, где  

Также возможны случаи когда нас будет интересовать появление события А не ровно к раз, а :

·         Событие А появится менее k раз

·         Событие А появится более k раз

·         Событие А появится не менее k раз

·         Событие А появится не более k раз

Где каждое из слагаемых находится по формуле Бернулли

3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При достаточно большом числе испытаний n  (в литературе нет четкого значения этого достаточно большого значения, чаще всего встречается при n>30) вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p, событие А появится ровно k раз.

  , где  

Где  — функция Лапласа

Данная функция является четной, т.е.  

Данная функция табулирована, т.е. ее значения занесены в таблицу.

Вероятность того, что события А появится в диапазоне от   до   раз необходимо находить сложением каждой вероятности, то при большой разнице между   и  данная операция представляется достаточно ресурсоёмкой. В таком случае необходимо использовать интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность p наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность   того, что события А появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна

 , где  ;

 — функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  также табулирована.

3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа  , приближенно равна

Где:

 — функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  табулирована.

3.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число , наступления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p,  называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях ровно  раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытания. Наивероятнейшее число  определяют по формуле

При вычислениях следует помнить, что — натуральное число или нуль.

primer.by

2.5. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…,А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Пример 2.5. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень А₁ – первый стрелок попадет в мишень, А₂ – второй стрелок, А₃ – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события А₁, А₂ и А₃ независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

= 1 – 0,7 = 0,3;

= 1 – 0,8 = 0,2;

= 1 – 0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

= 1 – 0,3·0,2·0,1 = 0,994. ◄

Частный случай. Если события А₁, А₂,…,А_nимеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

где q = 1 – p.

2.6. Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.

Определение. Условной вероятностью Р_А(В) или Р(В|А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно, Р(В | А) = 1/4.

Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда Р(В) = Р(В|А) = 2/5, т.е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.

2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример 2.6. В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.

Решение. Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С:

Р(АВС) = Р(А)·Р(В/А)·Р(С/АВ) = =. ◄

studfiles.net

Вероятность — появление — событие

Вероятность — появление — событие

Cтраница 3

Пусть р3 ( 1) есть вероятность появления события А ровно один раз в течение трех испытаний.  [31]

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В § 1 — 4 этой главы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.  [32]

Известно, что в зависимости от вероятности появления события в каждом испытании имеют место асимптотические биномиальные распределения, либо распределения Гаусса при вероятности, стремящейся к 0 5, либо распределения Пуассона при вероятности, стремящейся к нулю.  [33]

Если появление события А влияет на вероятность появления события В, то говорят, что данные события зависимы.  [34]

Во многих технических задачах возникает вопрос относительно вероятности появления события Л точно г раз, если испытание повторяется и раз, где п г. Если результаты каждого испытания независимы, то эта вероятность дается биноминальным распределением.  [35]

Для данного эксперимента часто бывает необходимо рассматривать вероятность появления события А в случае, когда имеется добавочная информация об исходе эксперимента после появления некоторого другого события В. Эта величина называется условной вероятностью А при заданном В.  [36]

Типичное толкование, р ( х) есть вероятность появления события ( успеха) т-и раз после точно т — f — х — 1 испытаний по схеме Бернулли при вероятности успеха в.  [38]

Часто обозначают Р ( А) Р — вероятность появления события; P ( A) q — вероятность непоявления события.  [39]

В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [40]

Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытания.  [41]

В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [42]

В 360 испытаниях, б каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [43]

Типичное толкование, р ( х) есть вероятность появления события ( успеха) в т-и раз после точно т — — х — 1 испытаний по схеме Бернулли при вероятности успеха и. А) есть вероятность того, что m — й успех наступит самое большее после т х — I испытаний.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

более 500 веществ и материалов

thermalinfo.ru

Плотность различных материалов специфицированных по ГОСТ. Справочная таблица. Металлы, сплавы, конструкционные эластомеры, жидкости, газы, прочие материалы.

dpva.ru

Плотность металлов

www.galakmet.ru

Плотность различных материалов специфицированных по ГОСТ. Справочная таблица. Металлы, сплавы, конструкционные эластомеры, жидкости, газы, прочие материалы.

tehtab.ru

Таблица плотности. Плотность — таблица (в т.ч. насыпная) материалов, веществ, продуктов, жидкостей и газов при атмосферном давлении. Состояние вещества. Английские наименования.

dpva.ru

Извините такой страницы Wp-content Uploads 2014 07 Tablitsa-plotnosti-veshhestv Pdf не существует!

Выбор статьи по меткам03 (1)9 класс (3)10 класс (1)11 класс (2)12 (1)13 (С1) (3)14 ноября (2)14 февраля (1)15 задание ЕГЭ (2)16 задача профиль (1)18 (С5) (2)18 задача ЕГЭ (2)23 марта (1)31 января (1)2016 (2)140319 (1)14032019 (1)C5 (1)А9 (1)Александрова (2)Ампера (1)Архимед (1)Бернулли (1)Бойля-Мариотта (1)В8 (1)В12 (1)В13 (1)В15 (1)ВК (1)ВШЭ (2)ГИА физика задания 5 (1)Герона (1)Герцшпрунга-Рассела (1)Гринвич (1)ДВИ (1)ДПТ (1)Десятичные приставки (1)Дж (1)Диэлектрические проницаемости веществ (1)ЕГЭ 11 (2)ЕГЭ 14 (1)ЕГЭ 15 (2)ЕГЭ 18 (1)ЕГЭ С1 (1)ЕГЭ по математике (25)ЕГЭ по физике (49)ЕГЭ профиль (6)Европа (1)Задача 17 ЕГЭ (6)Задачи на движение (1)Закон Архимеда (2)Законы Ньютона (1)Земля (1)Ио (1)КПД (9)Каллисто (1)Кельвин (1)Кирхгоф (1)Кирхгофа (1)Койпера (1)Колебания (1)Коши (1)Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей (1)Кулона-Амонтона (1)Ломоносов (2)Лоренца (1)Луна (1)МГУ (1)МКТ (7)Максвелл (2)Максвелла (1)Максимальное удаление тела от точки бросания (1)Менделеева-Клапейрона (3)Менелая (3)Метод наложения (2)Метод узловых потенциалов (1)Метод эквивалентных преобразований (1)НОД (1)Нансен (1)ОГЭ (11)ОГЭ (ГИА) по математике (27)ОГЭ 3 (ГИА В1) (1)ОГЭ 21 (3)ОГЭ 21 (ГИА С1) (4)ОГЭ 22 (2)ОГЭ 25 (3)ОГЭ 26 (1)ОГЭ 26 (ГИА С6) (1)ОГЭ по физике 5 (1)ОДЗ (12)Обыкновенная дробь (1)Оорта (1)Основные физические константы (1)Отношение объемов (1)Плюк (1)Показатели преломления (1)Показательные неравенства (1)Противо-эдс (1)Работа выхода электронов (1)Радиус кривизны траектории (1)Релятивистское замедление времени (1)Релятивистское изменение массы (1)С1 (1)С1 ЕГЭ (1)С2 (2)С3 (1)С4 (3)С6 (5)СУНЦ МГУ (2)Сиена (1)Синхронная машина (1)Снеллиуса (2)Солнечной системы (1)Солнце (2)СпБ ГУ вступительный (1)Средняя кинетическая энергия молекул (1)Статград физика (3)Таблица Менделеева (1)Текстовые задачи (8)Тьерри Даксу (1)ФИПИ (1)Фазовые переходы (1)Фаренгейт (1)Фобос (1)Френеля (1)Цельсий (1)ЭДС (5)ЭДС индукции (1)Эйлера (1)Электрохимические эквиваленты (1)Эрастофен (1)абсолютная (1)абсолютная влажность (2)абсолютная звездная величина (3)абсолютная температура (1)абсолютный ноль (1)адиабаты (1)аксиомы (1)алгоритм Евклида (1)алгоритм Робертса (1)аморфное (1)амплитуда (3)аналитическое решение (1)анекдоты (1)апериодический переходной процесс (2)аргумент (1)арифметическая прогрессия (5)арифметической прогрессии (1)арки (1)арккосинус (1)арккотангенс (1)арксинус (1)арктангенс (1)архимеда (2)асинхронный (1)атмосферное (2)атомная масса (2)афелий (2)база (1)балка (1)банк (1)без калькулятора (1)белого карлика (1)бензин (1)бесконечная периодическая дробь (1)бесконечный предел (1)биквадратные уравнения (1)бипризма (1)биссектриса (3)биссектрисы (2)благоприятный исход (1)блеск (4)блок (2)боковой поверхности (1)большая полуось (1)бревно (1)бригада (2)бросили вертикально (1)бросили под углом (2)бросили со скоростью (2)броуновское движение (1)брошенного горизонтально (2)бруски (1)брусок (2)брусок распилили (1)быстрый способ извлечения (1)вариант (3)вариант ЕГЭ (12)вариант ЕГЭ по физике (18)варианты ЕГЭ (6)вариент по физике (1)введение дополнительного угла (1)вектор (5)векторное произведение (2)велосипедисты (1)вероятность (1)вертикальная составляющая (1)вертикально вверх (1)вертикальные углы (1)вес (3)весов (1)вес тела (1)ветви (1)ветвь (2)ветер (1)взаимодействие зарядов (1)видеоразбор (2)видеоразбор варианта (1)видимая звездная величина (2)виртуальный банк (1)виртуальных перемещений (1)витка (1)витков (1)виток (1)вклад (1)влажность (3)влажность воздуха (1)влетает (2)вневписанная окружность (2)внутреннее сопротивление (1)внутреннее сопротивление источника (1)внутреннюю энергию (1)внутренняя энергия (8)вода течет (1)воды (1)возведение в квадрат (1)возвратное уравнение (1)возвратность (1)возвратные уравнения (2)воздушный шар (1)возрастающая (1)возрастет (1)волны (1)вписанная окружность (3)вписанной окружности (1)вписанный угол (4)в правильной пирамиде (1)вращение (1)времени (2)время (23)время в минутах (1)время выполнения (1)время движения (2)время падения (1)в стоячей воде (1)встретились (1)встретятся (1)вступительный (1)вступительный экзамен (1)вторая половина пути (1)вторичная (1)вторичная обмотка (1)вторичные изображения (1)второй закон Ньютона (4)выбор двигателя (1)выборка корней (4)выколотая точка (1)выплаты (1)выразить вектор (1)высота (5)высота Солнца (1)высота столба (1)высота столба жидкости (1)высота столбика (1)высоте (3)высоту (1)высоты (3)выталкивающая сила (2)вычисления (1)газ (3)газа (1)газов (1)газовая атмосфера (1)галочка (1)гамма-лучей (1)гармоника (2)гвоздя (1)геометрическая вероятность (1)геометрическая прогрессия (4)геометрические высказывания (1)геометрический смысл (2)геометрическую прогрессию (1)геометрия (6)гигрометр (1)гидродинамика (1)гидростатика (3)гимназия при ВШЭ (1)гипербола (2)гипотенуза (3)гистерезисный двигатель (1)главный период (1)глубина (1)глухозаземленная нейтраль (1)гомотетия (2)гонщик (1)горизонтальная сила (1)горизонтальную силу (1)гравитационная постоянная (1)градус (1)грани (2)график (2)графики функций (5)графически (1)графический способ (1)графическое решение (2)груз (2)грузик (2)группа (1)давление (26)давление жидкости (3)давление пара (1)дальность полета (1)двигатель с активным ротором (1)движение под углом (1)движение под углом к горизонту (3)движение по кругу (1)движение по течению (1)движение с постоянной скоростью (2)двойное неравенство (1)двойной фокус (1)двугранный угол при вершине (1)девальвация (1)действительная часть (1)действующее значение (2)деление (1)деление многочленов (2)деление уголком (1)делимость (2)делимость чисел (1)делитель (1)демонстрационный варант (1)деталей в час (1)диаграмма (1)диаметр (2)динамика (4)диод (1)диск (1)дискриминант (4)дифракционная решетка (2)дифференцированный платеж (1)диффузия (1)диэлектрик (1)диэлектрическая проницаемость (1)длина (2)длина вектора (1)длина волны (7)длина отрезка (2)длина пружины (1)длина тени (1)длиной волны (2)длину нити (1)длительность разгона (1)длительный режим (1)добротность (1)догнал (1)догоняет (1)докажите (1)доля (1)дополнительный угол (1)досок (1)досрочный (2)досрочный вариант (1)дптр (1)дуга (1)единицы продукции (1)единичный источник (1)единичных кубов (1)единственный корень (1)ежесекундно (1)емкость (7)емкость заряженного шара (1)естественная область определения (1)желоб (1)жесткость (6)жеткость (1)живая математика (2)жидкости (1)жидкость (1)завод (1)загадка (2)задание 13 (2)задание 15 (3)задание 23 (1)задания 1-14 ЕГЭ (1)задача 13 профиль (1)задача 14 профиль (3)задача 16 (1)задача 16 профиль (3)задача 17 (1)задача 18 (1)задача 26 ОГЭ (2)задача с параметром (6)задачи (1)задачи на доказательство (4)задачи на разрезание (4)задачи на совместную работу (3)задачи про часы (1)задерживающее напряжение (1)заземление (1)заказ (1)закон Бернулли (1)закон Гука (1)закон Ома (3)закон Снеллиуса (1)закона сохранения (1)закон движения (1)закон кулона (7)закон сложения классических скоростей (1)закон сохранения импульса (6)закон сохранения энергии (4)законы Кирхгофа (6)законы коммутации (1)законы сохранения (1)закрытым концом (1)замена переменной (2)замкнутая система (2)зануление (1)запаянная (2)заряд (8)заряда (1)заряд конденсатора (1)защитная характеристика (1)звездочка (1)звезды (1)зенит (1)зенитное расстояние (1)зеркало (1)знак неравенства (1)знаменатель (1)знаменатель прогрессии (4)значение выражения (1)идеальный блок (1)идеальный газ (5)извлечение в столбик (1)излом (1)излучение (2)изменение длины (2)изобара (1)изобаричесикй (1)изобарический (2)изобарный (1)изобарный процесс (1)изображение (2)изолированная нейтраль (1)изопроцессы (1)изотерма (2)изотермический (2)изотермический процесс (1)изотоп (1)изохора (1)изохорический (1)изохорный процесс (1)импульс (9)импульса (1)импульс силы (1)импульс системы (1)импульс системы тел (4)импульс тела (4)импульс частицы (1)инвариантность (1)индуктивно-связанные цепи (1)индуктивное сопротивление (1)индуктивность (1)индукцией (1)индукция (7)интеграл Дюамеля (1)интервал (1)интересное (3)интерференционных полос (1)иррациональность (2)испарение (2)исследование функции (4)источник (1)источник света (1)исход (1)камень (1)камешек (1)капилляр (1)карлик (2)касательная (4)касательного (1)касательные (1)касаются (1)катер (2)катет (3)катушка (4)качаний (2)квадлратичная зависимость (1)квадрант (1)квадрат (3)квадратичная функция (3)квадратное уравнение (4)квадратную рамку (1)квазар (1)квант (1)квантов (1)кинематика (2)кинематическая связь (1)кинематические связи (1)кинетическая (12)кинетическая энергия (4)кинетической (1)кинетической энергии (1)кинетическую энегрию (1)классический метод (3)классический метод расчета (1)клин (1)ключ (1)кодификатор (1)колене (1)количество вещества (1)количество теплоты (8)коллектор (1)кольцо (2)комбинаторика (1)коммутация (1)комплексное сопротивление (1)комплексное число (1)комплексные числа (1)компонент (1)конвекция (3)конденсатор (10)конденсаторы (1)конечная скорость (1)конечная температура (1)конечная температура смеси (1)конечный предел (1)консоль (1)контрольная (1)контрольные (1)контур (5)конус (4)концентрация (7)концентрическим (1)координата (5)координаты (3)координаты вектора (1)координаты середины отрезка (1)корабля (1)корень (2)корень квадратный (1)корень кубический (1)корни (2)корни иррациональные (1)корни квадратного уравнения (3)корни уравнения (1)корпоративных (1)косинус (2)косинусы (1)котангенс (1)коэффициент (1)коэффициент жесткости (1)коэффициент наклона (3)коэффициент поверхностного натяжения (3)коэффициент подобия (5)коэффициент трансформации (1)коэффициент трения (5)коэффициенты (1)красное смещение (1)красной границы (1)красный (1)кратковременный режим (1)кратные звезды (1)кредит (10)кредитная ставка (4)криволинейная трапеция (2)кристаллизация (1)критерии оценки (1)круговой контур (1)кружок (1)кубическая парабола (1)кулонова сила (1)кульминация (1)кусочная функция (1)левом колене (1)лед (1)лет (1)линейная скорость (2)линейное напряжение (1)линейное уравнение (2)линейный размер (1)линза (2)линии излома (1)линиями поля (1)линия отвеса (1)литров (1)лифт (1)лифта (1)лифте (1)логарифм (8)логарифмические неравенства (3)логарифмические уравнения (1)логарифмическое неравенство (2)логарифмы (1)лучевая (1)льда (1)магнитное поле (2)магнитном поле (2)магнитные цепи (1)максимальная высота (1)максимальная скорость (1)малых колебаний (1)масса (23)массе (1)массивная звезда (1)массовое содержание (1)массой (1)массу (1)математика (4)математический маятник (1)маятник (4)мгновенный центр вращения (1)медиана (1)меридиан (1)мертвая вода (1)мертвая петля (1)метод внутреннего проецирования (1)метод замены переменной (4)метод интервалов (3)метод комплексных амплитуд (3)метод контурных токов (1)метод координат (1)метод линий (1)методом внутреннего проецирования (1)метод переменных состояния (1)метод подстановки (4)метод рационализации (4)метод решетки (1)метод следов (5)метод сложения (4)метод телескопирования (1)метод узловых напряжений (1)методы расчета цепей (2)методы расчета цепей постоянного тока (1)метод эквивалентного генератора (2)механика (1)механическая характеристика (1)механическое напряжение (1)миля (1)минимальная скорость (1)минимальной высоты (1)минимальной скоростью (1)минимум (1)мишени (1)мнимая единица (1)мнимая часть (1)многоугольник (1)многочлены (1)мода (2)модули (1)модуль (13)модуль Юнга (1)модуль средней скорости (1)молекулярно-кинетическая теория (2)моль (2)молярная масса (5)момент (7)момент инерции двигателя (1)момент нагрузки (1)момент сил (1)монотонная (1)монотонность функции (1)монохроматического (1)мощности силы тяжести (1)мощность (8)мощностью (1)мяч (1)наблюдатель (1)нагревание (1)нагреватель (1)нагревателя (1)нагрели (1)наибольшее (1)наивысшая точка (1)наименьшее (1)наименьшее общее кратное (1)наклон (1)наклонная плоскость (2)налог (1)направление (1)направление обхода (3)направлении (1)направляющий вектор (1)напряжение (9)напряжение на зажимах (1)напряжение смещения нейтрали (2)напряженность (4)напряженность поля (6)насос (1)насоса (1)насыщенный пар (4)натяжение нити (5)натяжения (1)находился в полете (2)начальная температура (1)начальной скоростью (1)недовозбуждение (1)незамкнутая система (2)нелинейное сопротивление (1)неопределенность типа бесконечность на бесконечность (1)неопределенность типа ноль на ноль (1)непериодическая дробь (1)неравенства (8)неравенство (21)неразрывности струи (1)нерастяжимой (1)нерастяжимой нити (1)нерастянутой резинки (1)несимметричная нагрузка (1)несинусоидальный ток (3)нестандартные задачи (1)нестрогое (1)неупругим (1)нецентральный (1)нечетная функция (2)нечетное (1)нечетность (1)неявнополюсный (1)нити (1)нити паутины (1)нить (2)нить нерастяжима (1)новости (1)нормаль (1)нормальное ускорение (11)нулевой ток (2)обкладками (1)обкладках (1)обкладки (1)область допустимых значений (9)область значений (1)область определения (8)область определения функции (4)оборот (1)обратные тригонометрические функции (1)обратные функции (1)общая хорда (1)общее сопротивление (1)общее сопротивление цепи (1)объем (36)объемный расход (1)объемом (1)объем пара (1)объем параллелепипеда (1)объем пирамиды (1)одинаковые части (1)окружность (13)окружность описанная (1)олимпиада (2)олимпиады по физике (2)они встретятся (1)операторный метод (4)оптика (1)оптимизация (1)оптическая разность хода (1)оптический центр (1)орбитам (1)орбитой (1)оригинал (1)осевое сечение (1)основание (2)основание логарифма (2)основания трапеции (1)основное тригонометрическое тождество (1)основное уравнение МКТ (2)основной газовый закон (1)основной период (1)основной уровень (1)основные углы (1)остаток (1)отбор корней (5)ответ (1)отданное (1)относительная (1)относительная влажность (3)относительно (2)относительность движениия (1)относительность движения (2)отношение (4)отношение времен (1)отношение длин (1)отношение площадей (3)отношение скоростей (2)отрезок (1)отсечение невидимых граней (1)очки (1)падает (1)падает луч (1)падает под углом (1)падение (3)падение напряжения (2)пар (3)парабола (5)параболы (1)параллакс (5)параллелепепед (2)параллелепипед (3)параллелограмм (4)параллелограмм Виньера (1)параллельно (1)параллельное соединение (3)параллельные прямые (1)параллельными граням (1)параметр (28)параметры (1)парообразование (1)парсек (1)парциальное (1)парциальное давление (1)паскаль (1)первая треть (1)первичная (1)перевозбуждение (1)перегородка (1)перегрузок (1)переливания (1)переменное магнитное поле (1)переменное основание (2)перемещение (6)перемычка (3)перемычку (1)переносная скорость (1)пересекает (1)пересечение (1)пересечения (1)переходная проводимость (1)переходное сопротивление (1)переходной процесс (1)переходные процессы (9)перигелий (2)периметр (2)период (12)периодическая дробь (1)период колебаний (2)период малых колебаний (1)период обращения (2)период функции (1)периоды (1)перпендикулярно (1)песок (1)пион (1)пипетка (1)пирамида (7)пирамида шестиугольная (1)пирамиды (2)пирсона (1)плавание (1)плавкие предохранители (1)плавление (1)план (1)планете (1)планеты (3)планиметрия (9)планиметрия профиль (1)пластинами (1)пластинка (1)платеж (7)плечо (2)плоского зеркала (1)плоскопараллельная (1)плоскость (2)плоскость сечения (1)плотности веществ (1)плотность (22)плотность пара (3)плотность сосуда (1)плотность энергии (1)площади (2)площади фигур на клетчатой бумаге (1)площадь (24)площадь круга (1)площадь пластин (1)площадь поверхности (1)площадь под кривой (2)площадь проекции (1)площадь проекции сечения (1)площадь сектора (1)площадь сечения (5)площадь треугольника (1)поверхностная плотность заряда (1)поворот (1)повторно-кратковременный режим (1)погрешность (1)погружено (1)подготовка к контрольным (3)под каким углом (1)подмодульное (1)подмодульных выражений (1)подобен (1)подобие (7)подобия треугольников (1)подобны (1)подпереть (1)под углом (2)под углом к горизонту (1)показателем преломления (1)показатель преломления (4)поле (1)полезной работы (1)полезную мощность (1)полигон частот (1)по линиям сетки (1)полное ускорение (1)половина времени (1)половинный угол (1)полония (1)полость (1)полуокружность (1)полупроводник (1)полученное (1)понижение горизонта (1)по окружности (1)поправка часов (1)по прямой (1)поршень (4)порядок решетки (2)последовательно (1)последовательное соединение (3)последовательность (1)по сторонам клеток (1)посторонние корни (4)постоянная Авогадро (1)постоянная Хаббла (1)постоянная времени (1)постоянная скорость (1)постоянная составляющая (2)постоянный ток (5)построение (2)построение графика функции (1)потенциал (5)потенциал шара (1)потенциальная (13)потенциальная энергия (3)потенциальной (1)потери в стали (2)потеря корней (4)поток (4)по физике (1)правило левой (1)правило моментов (2)правильную пирамиду (1)правильный многоугольник (1)правом колене (1)предел функции (1)преломляющий угол (1)преобразование графиков функций (1)преобразования (1)преподаватели (2)пресс (2)призма (6)призмы (3)признаки подобия (4)признаки равенства треугольников (3)пробн (1)пробник (122)пробниук (1)пробный ЕГЭ (2)пробный ЕГЭ по физике (3)пробный вариант (25)пробный вариант ЕГЭ (17)пробный вариант ЕГЭ по физике (51)пробный вариант по физике (1)провода (1)проводник (1)проводник с током (1)проводящего шара (1)проволока (1)проволоки (1)прогрессия (2)проекции ускорения (2)проекция (6)проекция перемещения (1)проекция скорости (4)проекция ускорения (2)производительность (2)производная (2)промежуток (1)промежуток знакопостоянства (1)пропорциональны (1)проскальзывает (1)проскальзывания (1)противоположное событие (1)противостояние (1)протона (1)прототипы (1)профиль (2)профильный ЕГЭ (1)процент (3)процентная ставка (6)процентное отношение (1)процентное содержание (2)проценты (3)пружин (1)пружина (4)пружинный маятник (1)пружины (1)прямая (6)прямое восхождение (2)прямой (1)прямой АВ (1)прямоугольник (1)пузырек (1)пульсар (1)пуля (1)пути (1)путь (26)пять корней (1)работа (14)работа газа (5)работа тока (1)работу выхода (2)рабочее тело (1)рабочие (1)равнобедренный (1)равновесие (4)равновесия (1)равновесное (1)равнодействующая (1)равноускоренно (2)равноускоренное (3)равные (1)равные фигуры (1)радиальную ось (1)радикал (1)радиус (10)радиус колеса (1)радиус кривизны (1)радиус описанной сферы (1)радиус темного кольца в отраженном свете (1)разбор (1)разложение на множители (2)размах (1)разности температур (1)разность (1)разность потенциалов (1)разность прогрессии (3)разность хода (1)разрежьте (2)разрезание (5)разрешающая сила (1)разрыв функции (1)рамка (7)рамка с током (1)раскрытие модуля (1)расписание (1)расположение корней квадратного трехчлена (1)распределение частот (1)рассеивающая (1)расстояние (19)расстояние между зарядами (1)расстояние на карте (1)расстояние от точки (1)раствор (2)растяжение (1)расходуется (1)расцепители (1)расчеты по формулам (1)рационализация (4)рациональные неравенства (1)реактивные элементы (1)реактивный двигатель (1)реакция опоры (3)реакция якоря (1)ребра (1)ребус (2)резервуар (1)резистор (1)рейки (1)рельса (1)рентгеновскую трубку (1)репетитор (1)решебник (1)решение тригонометрических уравнений (1)решение уравнений (2)решение уравнений больших степеней (1)розетка (1)ромб (1)ряд Фурье (1)сарай с покатой крышей (1)сближаются (1)сближения (1)сбрасывают с высоты (1)сверхгигант (2)сверхновая (1)светимость (3)свободно (1)свободного падения (1)свободно падает (2)свойства (2)свойства отрезков (1)свойства степени (1)свойства функции (1)свойства функций (2)свойства чисел (1)свойство биссектрисы (2)свойству биссектрисы (1)сдвинуть (1)сектор (1)секущая (2)серия решений (1)сертификация (6)сессия (1)сечение (14)сечение наклонной плоскостью (1)сидерический (1)сила (7)сила Архимеда (5)сила Лоренца (3)сила ампера (8)сила взаимодействия (4)сила на дно (1)сила натяжения (7)сила натяжения нити (4)сила поверхностного натяжения (3)сила реакции опоры (1)сила трения (3)сила тяготения (1)сила тяжести (3)сила упругости (2)силой (2)силу (1)силу натяжения (1)силы трения (2)символический метод (3)симметричная нагрузка (1)симметрия (3)синодический (1)синус (2)синусоида (1)синусоидальный закон (1)синусоидальный ток (5)синусы (1)синхронный компенсатор (1)система (3)система неравенств (7)система отсчета (2)система счисления (1)система уравнений (3)системы уравнений (3)скалярное произведение (3)склонение (1)скольжение (2)скользит равномерно (1)скоросмть (1)скоростей (1)скорости (3)скорости течения (1)скорость (41)скорость реки (1)скорость сближения (3)скорость света (1)скорость теплохода (1)скорость удаления (1)скорость частицы (1)скоростью (1)с лестницы (1)сложение векторов (1)сложная функция (1)смежные углы (1)смекалка (2)смеси (1)смешанное число (1)смещение (1)снаряд (1)собирающая (2)событие (1)соединение звездой (1)соединение треугольником (1)сокращение (1)сокращение дробей (1)соленоид (1)солнечная постоянная (3)солнечная система (1)сообразительность (1)сообщающиеся сосуды (2)соприкосновения (1)сопротивление (12)сопротивления (1)сопряженное (3)составить квадрат (1)составляет с направлением (1)составляющая скорости (2)составляющие (1)составляющие скорости (3)сосудах (1)сосуде (1)сохранение энергии (1)спектра (2)спектральный класс (2)спецификация (1)спирт (1)сплава (1)сплавы (1)справочные данные (3)справочные материалы (12)спрос (1)сравнение чисел (2)среднее (1)среднее значение (1)среднеквадратичная скорость (1)среднюю линию (1)средняя квадратичная скорость (1)средняя скорость (6)срок (1)срок кредитования (1)стадии (1)стакан (2)статград (12)статика (2)стенка (1)степенная функция (1)степенные уравнения (1)степень (2)стереометрия (4)стержень (3)стержня (1)столб жидкости (3)столбик (3)столбик жидкости (2)столбик ртути (1)столбчатая диаграмма (1)стрелки поравняются (1)строгое (1)струю (1)студенты (2)ступеньку (1)сумма прогрессии (1)суммарный импульс (1)сумма ряда (1)сумма углов (2)суммирование (2)сумму (1)суперпозиция (1)сутки (1)сфера (4)сферы (2)таблица (1)таблица частот (1)тангенс (2)тангенциальная (1)тангенциальное ускорение (1)твердое тело (1)тела вращения (1)тележка (1)телескоп (1)телескопирование (1)тело (1)температура (21)температурный коэффициент сопротивления (1)температуры (1)тени (1)теорема Пифагора (3)теорема виета (5)теорема косинусов (4)теорема синусов (2)теореме косинусов (1)теоремы (1)теоретическое разрешение (1)теория вероятности (1)теплового двигателя (1)тепловое действие (1)тепловое равновесие (2)тепловой баланс (1)тепловой двигатель (1)теплоемкость (1)теплообмен (1)теплопередача (4)теплопроводность (2)теплота (1)теплота сгорания (1)теплоты (4)техника быстрого счета (1)ток (11)ток насыщения (1)топливо (1)точечный источник (1)точка касания (1)точка росы (1)точки перемены знака (1)траектории (1)траекторию (1)траектория (1)транзистор (1)трансформатор (1)трапеция (4)трение (1)тренировочная работа (1)тренировочная статград (1)тренировочные работы (1)тренировочный вариант (21)тренировочный вариант ЕГЭ (54)тренировочный вариант ЕГЭ по физике (4)трения (2)трения покоя (1)трения скольжения (1)треугольная пирамида (1)треугольник (3)треугольник Паскаля (1)треугольника (1)треугольники (2)треугольник перемещений (1)трехфазные цепи (2)тригонометрические выражения (2)тригонометрические уравнения (1)тригонометрия (9)троса (1)трубка (4)трубы (1)угловая скорость (2)угловая частота (2)угловой скоростью (3)углом (1)углы (1)угол между боковыми ребрами (1)угол между векторами (1)угол между плоскостями (2)угол между прямой и плоскостью (1)угол между прямыми (1)угол наклона (1)уголь (10)удар (1)удельная (1)удельная теплоемкость (2)удельная теплота (1)удельная теплота парообразования (2)удельное сопротивление (1)удержать (1)удлинение (3)узел (2)узкую трубку (1)умножение (1)умножение вектора на число (1)умножение на пальцах (1)упростить (1)упрощение (3)упрощение выражений (1)упругий удар (1)уравнение (4)уравнение Менделеева-Клапейрона (8)уравнение окружности (2)уравнение плоскости (1)уравнение теплового баланса (1)уравнению (1)уравнения (2)уравнения высоких степеней (1)уравнения высших степеней (1)урана (1)усеченный конус (1)ускорение (26)ускорением (1)ускорение свободного падения (4)ускорений (1)ускоряющая разность потенциалов (1)условие плавания (2)условие равновесия (1)условия возврата (1)фазное напряжение (1)фигуры (1)физика (29)физика статград (1)фиолетовый (1)фокальная плоскость (1)фокус (5)формула (1)формула Герона (1)формула Пика (1)формулы сокращенного умножения (2)фотон (4)фотонов (1)функции (1)функция (1)холодильник (1)холодильнику (1)хорда (3)целые числа (1)цель (1)центральный угол (4)центр вращения (1)центр масс (1)центр масс системы (1)центробежная сила (1)центростремительное ускорение (1)центр тяжести (1)центр тяжести системы (1)цепи постоянного тока (13)цепь второго порядка (1)цепь первого порядка (4)цикл Карно (1)циклическая частота (2)цилиндр (2)часовой угол (1)части (4)частица (2)частных клиентов (1)частота (9)частота излучения (1)часть объема (1)человека (1)черная дыра (1)четная функция (3)четность (1)числовая пряма%D (1)число витков (1)шайбы (1)шар (1)шарик на нитке (1)шарнир (1)шестерня (1)шесть различных решений (1)широта (1)широте (1)эволюция звезд (1)эквивалентная емкость (1)эквивалентная синусоида (1)экзамен (1)экономическая задача (1)экспонента (2)экстремум (1)эксцентриситет (2)электрические цепи (8)электрического поля (1)электрон (3)электрона (1)электрон влетает (1)электростатика (2)электротехника (8)элонгация (1)энергия (9)энергия покоя (1)энергия поля (1)эскалатору (1)юмор (6)явнополюсный (1)ядерная физика (1)якорь (1)яма (1)

easy-physic.ru

Теплопроводность строительных материалов, их плотность и теплоемкость: таблица теплопроводности материалов

thermalinfo.ru

Основні тригонометричні формули | Тригонометрія

Розглянемо, як пов’язані косинус різниці двох чисел із сину­сом і косинусом цих самих чисел.

На одиничному колі позначимо точки Р_α і Р_β (α > β) проведемо вектори  і , тоді  (соsα; sіnα),

(соsβ; sіnβ) (рис. 101).

Знайдемо скалярний добуток векторів  і , двома способами:

1)  ·  = соsα · соsβ+ sіnα · sіnβ;

formula.kr.ua

Формули зведення | Основні тригонометричні формули | Тригонометрія

Тригонометричні функції чисел виду  ± α, π ± α;  ± α, 2π ± α можуть бути виражені через функції кута α за допомогою формул, які називаються формулами зведення.

Слід відмітити, що набагато зручніше користуватись правилами зведення, про які йтиметься пізніше.

Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким прави­лом:

1) В правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < α < .

2) Якщо в лівій частині формули кут дорівнює  ± α,  ± α, то  синус замінюється на косинус, тангенс — на котангенс і на­впаки. Якщо кут дорівнює π ± α, то заміна не виконується.

Приклад 1. Виразимо tg(π – α) через тригонометричну функцію кута α. Якщо вважати, що α — кут І чверті, то π – αбуде кутом II чверті. У II чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута π– α назва функції «тангенс» зберігається. Тому.

tg(π– α) = — tgα.

За допомогою формул зведення знаходження значень триго­нометричних функцій будь-якого числа можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .

Приклад 2. Знайдемо значення sіn.

Маємо: 

formula.kr.ua

Тригонометричні перетворення | Математика, логіка, інтелект

Тригонометричні формули (або тригонометричні тотожності) — математичні вирази для тригонометричних функцій, які виконуються при всіх значеннях аргумента.

Тригонометричні формули широко використовуються як в математиці, так і в фізиці. В математиці — при розв’язуванні трикутників, інтегруванні, в теорії функцій комплексних змінних і т.д. В фізиці — при розв’язуванні задач, в яких векторні величини не лежать на одній прямій.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Тут і далі запис \(k\in \mathbb{Z}\) означає, що \(k\) — будь-яке ціле число.

\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}, k\in \mathbb{Z}\]

\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

\[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1, ~\alpha \ne \frac{\pi k}{2}, k\in \mathbb{Z}\]

\[1 + \operatorname{tg}^{2} \alpha = \frac{1}{\cos^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \frac{\pi (2k+1)}{2}\]

\[1 + \operatorname{ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{\sin^{2} \alpha}, ~\alpha \ne \pi k\]

Формули додавання

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta — \cos \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta — sin \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + sin \alpha \cdot \sin \beta\]

\[\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta} {1 — \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}\]

\[\operatorname{tg}(\alpha — \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}, ~\alpha, ~\beta, ~\alpha — \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули подвійного аргументу

\[\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos \alpha\]

\[\cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha — sin^{2} \alpha = 2\cos^{2} \alpha — 1 = 1 — 2\sin^{2} \alpha\]

\[\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha }\]

Формули половинного аргументу

\[\sin^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{2}\]

\[\cos^{2} \frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos \alpha}{2}\]

\[\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}, ~\alpha \ne \pi + 2 \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули перетворення суми в добуток

\[\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha — \beta}{2}\Big)\]

\[\sin \alpha — \sin \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha — \beta}{2}\Big)\]

\[\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \cos\Big(\frac{\alpha — \beta}{2}\Big)\]

\[\cos \alpha — \cos \beta = — 2\sin\Big(\frac{\alpha + \beta}{2}\Big) \cdot \sin\Big(\frac{\alpha — \beta}{2}\Big)\]

\[\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin( \alpha + \beta )}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}\]

\[\operatorname{tg} \alpha — \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha — \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}, ~\alpha, \beta \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}\]

Формули перетворення добутку в суму

\[\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{\cos(\alpha — \beta) — \cos(\alpha + \beta )}{2}\]

\[\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\cos(\alpha — \beta) + \cos(\alpha + \beta )}{2}\]

\[\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{\sin(\alpha — \beta) + \sin(\alpha + \beta )}{2}\]

Співвідношення між \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) і \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\)

\[\sin \alpha = \frac{ 2\operatorname{tg}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]

\[\cos \alpha = \frac{ 1-\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }{ 1+\operatorname{tg}^{2}\large\frac{\alpha}{2} }, ~\alpha \ne (2k+1) \pi\]

Додаткові формули

\[\sin 3\alpha = 3\sin \alpha — 4\sin^{3}\alpha\]

\[\cos 3\alpha = 4\cos^{3}\alpha — 3\cos \alpha\]

Формули зведення

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

Значення тригонометричної функції

Значення тригонометричної функції будь-якого гострого кута

Обчислення кута за тригонометричною функцією

formula.co.ua

Теория — Тригонометрия

В этом разделе нашего сайта, вы можете узнать основы тригонометрии. Тангенс и котангенс обычно обозначаются «tg» и «ctg», но также их можно обозначать и как «tan» «cot». В этой таблицы представлены основные значения синусов, косинусов и так далее, которые должен знать каждый учащийся.Отдельно стоит сказать об углах 0 и 90. Тригонометрические функции. К тригонометрическим функциям относятся: прямые тригонометрические функции синус () косинус () производные тригонометрические функции тангенс () котангенс () другие тригонометрические функции секанс () косеканс () Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

www.sites.google.com

Тригонометрія

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови, алгебраїчними операціями.

Зміст

• 1 Історичні відомості
• 2 Тригонометричні функції
  • 2.1 Прямі тригонометричні функції
    • 2.1.1 Властивості функції sin
    • 2.1.2 Властивості функції cos
    • 2.1.3 Властивості функції tg
    • 2.1.4 Властивості функції ctg
  • 2.2 Обернені тригонометричні функції
  • 2.3 Формули переходу
• 3 Основні теореми тригонометрії
  • 3.1 Теорема синусів
  • 3.2 Теорема косинусів
  • 3.3 Теорема тангенсів
  • 3.4 Площа трикутника
• 4 Найпростіші тригонометричні рівняння
• 5 Формули перетворення тригонометричних виразів
• 6 Формула Ейлера
• 7 Сферична тригонометрія
• 8 Застосування
• 9 Див. також
• 10 Примітки
• 11 Джерела
• 12 Посилання

Історичні відомості

Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у стародавніх єгиптян. У папірусі Ахмеса є п’ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.

Стародавні греки вміли розв’язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур’я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою ж назвою, німецький математик Варфоломей Пітіск (нім. Bartholomäus Pitiscus, 1561–1613). Гемма Фрізій описав метод триангуляції.

Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів. Формула Муавра встановила зв’язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.

Тригонометричні функції

Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC — прямокутний трикутник. C — вершина прямого кута, AB — гіпотенуза, AC і BC — катети, α — кут BAC.

Прямі тригонометричні функції

Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координат коло одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:

• Синус кута визначається як ордината точки A.
• Косинус — абсциса точки A.
• Тангенс — відношення синуса до косинуса.
• Котангенс — відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенса).
• Секанс — величина, обернена до косинуса.
• Косеканс — величина, обернена до синуса.

Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.

Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов’язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

Властивості функції sin

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
2. Множина значень — проміжок : = .
3. Функція є непарною: .
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
6. Проміжки знакосталості: при і при .
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
8. Функція зростає при , і спадає при .
9. Функція має мінімум при і максимум при .

Властивості функції cos

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: .
2. Множина значень — проміжок : = .
3. Функція є парною: .
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює : .
5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
6. Проміжки знакосталості: при і при
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
8. Функція зростає при і спадає при
9. Функція має мінімум при і максимум при

Властивості функції tg

1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: , крім чисел
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
3. Функція є непарною: .
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить : .
5. Графік функції перетинає вісь Ох при .
6. Проміжки знакосталості: при і при .
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення:
8. Функція зростає при .

Властивості функції ctg

1. Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: крім чисел
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел:
3. Функція є непарною:
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює :
5. Графік функції перетинає вісь Ох при
6. Проміжки знакосталості: при і при
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
8. Функція спадає при

Обернені тригонометричні функції

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої фунцкії. Наприклад,

Формули переходу

Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.

Основні теореми тригонометрії

Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв’язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.

Теорема синусів

Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами і відповідними протилежними до них кутами можна записати:

де  — радіус описаного кола навколо трикутника.

Теорема косинусів

За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами і кутом , між сторонами :

або:

Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

Теорема тангенсів

Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):

Площа трикутника

Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:

Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв’язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв’язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

Формули перетворення тригонометричних виразів

Синус та косинус суми/різниці

Сума/різниця синусів та косинусів

Формула Ейлера

Формула Ейлера — співвідношення, що пов’язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

де  — основа натурального логарифма,

Формула Ейлера надає зв’язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:

Приведені рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:

з наступним вирішенням відносно синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

Сферична тригонометрія

Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об’єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов’язане з задачами сферичної астрономії.

Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.

Сторони і кути сферичного трикутника пов’язані залежностями:

де  — сторони сферичного трикутника;  — кути, протилежні до цих сторін;  — радіус сфери.

Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

Застосування

Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп’ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп’ютерна графіка, кристалографія.

Див. також

• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
• Список тригонометричних тотожностей

Примітки

1. ↑ К. І. Швецов, Г. П. Бевз Довідник з елементарної математики, 1967, К.: Наукова думка. — C. 250–252.
2. ↑ Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (вид. Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. с. 215. ISBN 0471543977. 
3. ↑ Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 0-393-32030-8. 
4. ↑ Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries
5. ↑ William Bragg Ewald (2008).From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p.93. ISBN 0-19-850535-3

Джерела

• Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с. — (Серія «На допомогу абітурієнту»)
• Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. — К.:Освіта, 2000. — 318 с.
• Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге вид. — Зодіак-ЕКО, 2001. — 656 с.
• Швецов К. І., Бевз Г. П. Довідник з елементарної математики. — 1967, К.: Наукова думка. — 656 с.
• Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
• Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.

Посилання

• Динамічні математичні моделі FIZMA.neT
• David Joyce Dave’s Short Course in Trigonometry (Університет Кларка) (англ.)
• Michael Corral Trigonometry. Covers elementary trigonometry (Distributed under GNU Free Documentation License) (англ.)

математика тригонометрія, таблиця тригонометрія, тригонометрія 10 клас, тригонометрія косинуси синуси, тригонометрія формули

Тригонометрія Інформацію Про

Тригонометрія Коментарі

Тригонометрія
Тригонометрія
Тригонометрія Ви переглядаєте суб єкт.

Тригонометрія що, Тригонометрія хто, Тригонометрія опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Вычислите sin 15

Самым простым способом вычисления синуса 15 градусов является использование калькулятора. Но часто встречаются случаи, когда необходимо вычислить sin 15 без использования технических средств.
Данный способ не является единственным. Можно также использовать таблицы Брадиса, из которых можно узнать значение многих тригонометрических функций от практически любого угла. Из этих таблиц искомое значение синуса 15 градусов = 0,2588.
Рассмотрим один способ, который заключается в применении тригонометрических тождеств.
Будем рассматривать формулу синуса разницы аргументов. Для ее использования нужно 15 градусов представить в виде разности таких аргументов, синус от которых можно найти из таблицы значения функции синус. Они еще называются табличными. Такими аргументами будут 60 и 45 градусов.
Запишем аргумент 15 градусов как разность указанных аргументов:

По формуле sin разности распишем:

Теперь можно найти значения функций, которые присутствуют в данном выражении, в выше упомянутой таблице значений функции синус, а также и функции косинус:

При необходимости можно вычислить приближенное значение:

ru.solverbook.com

15 градусов — как найти sin 15 градусов — 22 ответа



Sin 15

В разделе Образование на вопрос как найти sin 15 градусов заданный автором росомаха лучший ответ это sin(15)=sqrt((1-cos30)/2)=sqrt((1-sqrt(3)/2)/2=0.258819045
Для этого надо использовать формулы приведения тригонометрии, сводя все
к углам: 30,45,60,90,18,36,54,72и т. lд.
Этому надо учиться, но это непросто

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как найти sin 15 градусов

Ответ от Невроз[гуру]
интерполировать…

Ответ от Алексей Тишкин[гуру]
Посмотри под кроватью может туда закотился

Ответ от Просечь[гуру]
Открыть таблицы значениц функций тригонометрических функций. Все уже давно посчитано с высокой точностью.
Совет из инета

Ответ от Николай[гуру]
Если ты школьник, то никак 🙂
Если студент, то формула Тэйлора тебе в руки

Ответ от Natali G[гуру]
sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30, а дальше подставляй табличные значения. А приближенное значение можно найти по таблицам Брадиса

Ответ от Александр Чистяков[новичек]
Есть формула синуса половинного угла через синус какого то там угла (в нашем случае 15 половина от 30) написать не могу поищи в нет а если на словах то синус одной второй альфа равен плюс минус корень квадратный из 1 минус косинус альфа

Ответ от Пользователь удален[гуру]
sovremennye kal’kuliatory (graficheskie) eto delo schitaiut. ia shkolu zakonchila 11 let nazad, v shkole u menia byl kal’kuliator TI-85 — vse eti dela schital, i risoval grafiki bol’shinstva uravnenii. tak zhe schital komplexnye tsifry. sovetuiu preobresti — budet men’she golovnoi boli.
vot tablitsa ot 1-45 gradusov
math3.org/math/trig/tables.htm

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Градус Цельсия на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Градус Цельсия

Ответить на вопрос:

22oa.ru

sin 75 градусов и sin 15 градусов?

0,9659258262890682867497431997289 — ЭТО 75 ГРАД 0,25881904510252076234889883762405 — 15 град

На самом деле для 15 и 75 через формулы двойных-тройных углов можно дать точное значение в виде корней 2 и 3: Sin(15) = (-1 + Sqrt(3))/(2 Sqrt(2)) Sin(75) = (1 + Sqrt(3))/(2 Sqrt(2)) и никакого калькулятора.

=SIN(РАДИАНЫ (15)) =SIN(РАДИАНЫ (75)) вставляй эти строчки в EXEL и ситай любые градусы

sin(75) = sin(45 + 30) sin(15) = sin(45 — 30) далее надо применить формулы синуса суммы и разности углов и все выразится через sin и cos 45 град и 30 град

По специальной таблице: sin(75°)=0,965926 cos(75°)=0,258819 tg(75°)=3,73205 sin(15°)=0,258819 cos(15°)=0,965926 tg(15°)=0,26795

touch.otvet.mail.ru

Sin 15 градусов равен — Чему равен sin 15 и cos 15 (и подробно опишите схему нахождения) Не надо говорить , чтоб я заглянул в таблицу Брадиса — 22 ответа



В разделе Естественные науки на вопрос Чему равен sin 15 и cos 15 (и подробно опишите схему нахождения) Не надо говорить , чтоб я заглянул в таблицу Брадиса заданный автором Ђимур Мезенцев лучший ответ это Чертите с помощью циркуля окружность единичного радиуса (1 см, 1дм, 1 м и т. д.). С помощью транспортира откладываете от оси Х угол равный 15 градусов и проводите под этим углом радиус. Замеряете с помощью линейки расстояние от точки пересечения радиуса с окружностью до оси Х, говоря научным языком, определяете ординату этой точки. Так вот эта длина и будет синусом угла 15 градусов. Удачи и успехов в вашем нелегком деле!!!

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Чему равен sin 15 и cos 15 (и подробно опишите схему нахождения) Не надо говорить , чтоб я заглянул в таблицу Брадиса

Ответ от Приспособить[гуру]
sin15°=&#8730;[(1-cos30°)/2]=&#8730;[(1-&#8730;3/2)/2]=&#8730;[(2-&#8730;3)/4]&#8776;0.259;
cos15°=&#8730;[(1+cos30°)/2]=&#8730;[(1+&#8730;3/2)/2]=&#8730;[(2+&#8730;3)/4]&#8776;0.966.
Используйте формулы половинного угла.

Ответ от Евровидение[гуру]
Можно найти из формул
синус 30 =2 (синус 15) (косинус 15)
косинус 30 =(косинус 15)^2 — (синус 15)^2

Ответ от Простосердечный[гуру]
Загляни в калькулятор.

Ответ от Laura Ylonen[гуру]
1. Берешь открываешь калькулятор Windows, набираешь «15» и нажимаешь «sin» или «cos»
2. Берёшь обычный инженерный калькулятор и проводишь те же манипуляции
3. Открываешь таблицу брадиса и ищешь :

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Признак Даламбера сходимости рядов: теория, примеры

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

• число в степени,
• факториал,
• цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения… Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

и, следовательно,

Установлена сходимость.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Следовательно,

Констатируем расходимость.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

а

то

Поэтому

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем

Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, и, значит, данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Всё по теме «Ряды»

function-x.ru

Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при . Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.

Преобразуем выражение под знаком суммы:

Данный ряд — сумма геометрических прогрессий со знаменателями  и

ряд сходится

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа  можно подобрать такое , чтобы при  и любом положительном  выполнялось неравество

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Пример 2

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Исследовать на сходимость ряд:

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

Необходимый признак сходимости не выполняется — ряд расходится.

Если , начиная с некоторого , и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:

которая сходится при  и расходится при , и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.

Пример 3

Этот ряд сходится, так как

100task.ru

2.3.3. Признак Даламбера

Если для положительного ряда существует предел вида, то этот ряд сходится прии расходится при. Припризнак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда.

Замечание. Признак Даламбера используют в том случае, если формула общего члена ряда содержит множитель или является показательной функцией отn.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. На возможность применения признака Даламбера указывает наличие в формуле общего члена множителей и.

Здесь . Для получениязаменим в формулевсеn на n+1. Получим . Тогда

.

По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь ,. Применяем признак Даламбера:

.

Ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость, пользуясь признаком Даламбера, следующие ряды:

а) ; б); в); г).

2.3.4. Радикальный признак Коши

Если для положительного ряда существует предел, то приl<1 данный ряд сходится, а при l>1 − расходится. При l=1 радикальный признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

На практике признак Коши применяется чаще всего, когда общий член ряда представляет собой показательную или показательно-степенную функцию от n.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. Общий член ряда содержит выражение в степени n. Поэтому целесообразно воспользоваться радикальным признаком Коши:

.

Исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Вычислим предел

,

где .

Для вычисления этого предела воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно прологарифмировав полученное выражение:

.

Так как lnt=0, то t=1, и, следовательно, .

Так как , то по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать на сходимость при помощи радикального признака Коши следующие ряды:

а) ; б); в); г).

2.3.5. Интегральный признак Коши

Пусть общий член ряда представляет собой значение функции при, т.е.. Если при этом функциямонотонно убывает в некотором промежутке, где, то данный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл, и расходится, если этот несобственный интеграл расходится. Из этой теоремы вытекает важное для практики следствие: для сходящегося ряда с общим членом, удовлетворяющим условиям теоремы, остаток ряда можно оценить из соотношения.

Рассмотрим примеры применения интегрального признака Коши.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как является значением функцииприи эта функция непрерывна и монотонно убывает в промежутке, то исследуем на сходимость несобственный интеграл

.

Интеграл расходится. Следовательно, расходится и данный ряд.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость при помощи интегрального признака Коши следующие ряды:

а) ; б); в); г).

2.4. Сходимость и расходимость знакопеременных рядов

Литература: [5], Ч. 3, гл. 15, § 15.4

Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным. В дальнейшем будут рассматриваться ряды с бесконечным числом положительных и отрицательных членов.

Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Теорема об абсолютной сходимости ряда: если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то данный знакопеременный рядтакже сходится (т.е. является абсолютно сходящимся).

Ряд называетсяусловно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Основные свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:

1) абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов;

2) изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся;

3) если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды составленные только из его положительных или только отрицательных членов; если же ряд сходится условно, то упомянутые выше ряды сходятся.

Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Ряд знакочередующийся, в связи с ростом знаменателя его членов последние убывают по абсолютной величине. Легко видеть, что предел общего члена ряда при n→∞ равен нулю: . Значит, по признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.

Рассмотрим теперь ряд, составленный из модулей его членов,

Это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, данный ряд − условно сходящийся.

Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Данный ряд знакопеременный, так как может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:

Ввиду очевидного неравенства по признаку сравнения для положительных рядов имеем, что рядсходится, т.к. сходится ряд. Из сходимости рядапо признаку абсолютной сходимости имеем, что рядсходится и притом абсолютно.

studfiles.net

примеры

С помощью признаков сравнения исследовать на сходимость следующие ряды:

:

сходится и данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость следующие ряды:

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ:

Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью признака Коши:

Ответ: ряд сходится по признаку Коши.

Ответ: ряд сходится по признаку Коши.

Исследовать на сходимость ряды с помощью интегрального признака Коши:

: ряд сходится.

Исследовать на сходимость следующие ряды различными способами:

: ряд расходится.

Применим предельный признак Даламбера

Ответ: ряд расходится по предельному признаку Даламбера.

Ответ:

Используя предельный признак Даламбера, видим, что исходный ряд сходится

Ответ:

теории сравнения.

Ответ: ряд сходится.

Пользуясь признаками Раабе, Бертрана и Гаусса, исследовать на сходимость следующие ряды:

Ответ:

По признаку Раабе в предельной форме:

Ответ: ряд расходится.

Ответ: ряд сходится по признаку Раабе.

Ответ: ряд сходится по признаку Раабе.

studfiles.net

Сходимость рядов. Признак Даламбера

Сходимость рядов. Признак Даламбера

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение -го члена ряда к -му при имеет конечный предел , т.е. , то:
— ряд сходится в случае ,
— ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа функция (читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. , то .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом того, что , найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

.

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа функция , по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. .

Тогда для и получим: , .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. . Ответ: , ряд расходится.

2. . Ответ: , ряд сходится.

3. . Ответ: , ряд расходится.

4. . Ответ: , ряд сходится.

5. . Ответ: , ряд расходится.

6. . Ответ: , ряд расходится.

7. . Ответ: , ряд сходится.

8. . Ответ: , ряд сходится.

9. . Ответ: , ряд сходится.

10. . Ответ: , ряд сходится.

11. . Ответ: , ряд сходится.

12. . Ответ: , ряд сходится.

13. . Ответ: , ряд расходится.

14. . Ответ: , ряд сходится.

15. . Ответ: , ряд расходится.

16. . Ответ: , ряд сходится.

pgsksaa07.narod.ru

Признак сходимости Даламбера. — КиберПедия

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

!!! Основные предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эти функции располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что они там присутствуют.

2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал?





…


…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко.

! Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

! Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

!!! Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

Пример: Исследовать ряд на сходимость
Решение: Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

! Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

!!! Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

Сформулирую своими словами (для простоты понимания).

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

!!! Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «икс»: .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд .

2) Если выяснится, что интеграл расходится, то наш ряд тоже будет расходиться.

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность более высокого порядка роста, чем , поэтому , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак.

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:

Напоминаю, что – неограниченно растущая числовая последовательность:

И, начиная с номера , будет выполнено неравенство :

то есть, члены ряда будут ещё больше соответствующих членов расходящегося ряда .

В итоге, ряду ничего не остаётся, как тоже расходиться.

!!! Сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Для всех номеров, начиная с , выполнено неравенство , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус»

!!! В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

!!! Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена по модулю равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Краткая справка о модуле:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий.

Теперь немного про монотонность.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

!!! В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на монотонное убывание.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – первое условие не выполняется

2) – второе условие тоже не выполнено.

Вывод: ряд расходится.

Определение: Если ряд сходится по признаку Лейбница и ряд, составленный из модулей: тоже сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей: расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд, составленный из модулей сходится, то сходится и данный ряд.

!!! Поэтому знакочередующейся сходящийся ряд необходимо исследовать на абсолютную или условную сходимость.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: – первое условие выполнено.

2) – второе условие тоже выполнено.

Вывод: ряд сходится.

Проверим на условную или абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся.
Исследуемый ряд сходится условно.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:
1) Попробуем записать несколько первых членов ряда:


…?!

2)

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Записали несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа:

!!! Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: .

– А есть ли что-нибудь «сильнее» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования можно записать так:
2) , так как более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

!!! Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

Исследуем ряд на абсолютную или условную сходимость:

А тут уже работает признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом (используем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Второй способ:

Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Исходя из достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда, сходится и сам ряд .

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Для вычисления суммы ряда с заданной точностьюбудем использовать следующую теорему:

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и пусть – его n-ая частичная сумма. Тогда ряд сходится и погрешность при приближенном вычислении его суммы S по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена:

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда.

Для успешного освоения темы нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах.

cyberpedia.su

5.4. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится прии расходится при.

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любогонайдется натуральное числотакое, что привыполняется неравенствоили(2).

Пусть. Можно подобратьтак, что число. Обозначим. Тогда из правой части неравенства (2) получаемили. В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, чтодля всех. Давая номеруэти значения получим целый набор неравенств: