Исследовать ряд на сходимость по признаку даламбера – Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера

Содержание

Признак Даламбера сходимости рядов: теория, примеры

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

число в степени,
факториал,
цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения… Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

и, следовательно,

Установлена сходимость.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Следовательно,

Констатируем расходимость.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

то

Поэтому

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку

n < n +1, имеем

Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, и, значит, данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Всё по теме «Ряды»

function-x.ru

Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

Числовой ряд

называется сходящимся, если его частичная сумма

имеет предел при . Величина

называется при этом суммой ряда, а число

остатком ряда.

Если предел

не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.

Преобразуем выражение под знаком суммы:

Данный ряд — сумма геометрических прогрессий со знаменателями и

ряд сходится

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное утверждение неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа можно подобрать такое , чтобы при и любом положительном выполнялось неравество

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Пример 2

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Исследовать на сходимость ряд:

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

Необходимый признак сходимости не выполняется — ряд расходится.

Если , начиная с некоторого , и ряд

сходится, то ряд

также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:

которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд

являющийся рядом расходящимся.

Пример 3

Этот ряд сходится, так как

100task.ru

2.3.3. Признак Даламбера

Если для положительного ряда существует предел вида, то этот ряд сходится прии расходится при. Припризнак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда.

Замечание. Признак Даламбера используют в том случае, если формула общего члена ряда содержит множитель или является показательной функцией отn.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. На возможность применения признака Даламбера указывает наличие в формуле общего члена множителей и.

Здесь . Для получениязаменим в формуле

всеn на n+1. Получим

. Тогда

По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь ,. Применяем признак Даламбера:

Ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость, пользуясь признаком Даламбера, следующие ряды:

а)

; б)

; в)

; г)

2.3.4. Радикальный признак Коши

Если для положительного ряда существует предел, то приl<1 данный ряд сходится, а при l>1 − расходится. При l=1 радикальный признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

На практике признак Коши применяется чаще всего, когда общий член ряда представляет собой показательную или показательно-степенную функцию от n.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда содержит выражение в степени n. Поэтому целесообразно воспользоваться радикальным признаком Коши:

Исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Вычислим предел

где .

Для вычисления этого предела воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно прологарифмировав полученное выражение:

Так как lnt=0, то t=1, и, следовательно, .

Так как , то по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать на сходимость при помощи радикального признака Коши следующие ряды:

а) ; б); в); г).

2.3.5. Интегральный признак Коши

Пусть общий член ряда представляет собой значение функции при, т.е.. Если при этом функциямонотонно убывает в некотором промежутке, где, то данный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл, и расходится, если этот несобственный интеграл расходится. Из этой теоремы вытекает важное для практики следствие: для сходящегося ряда с общим членом, удовлетворяющим условиям теоремы, остаток ряда можно оценить из соотношения.

Рассмотрим примеры применения интегрального признака Коши.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как является значением функцииприи эта функция непрерывна и монотонно убывает в промежутке, то исследуем на сходимость несобственный интеграл

Интеграл расходится. Следовательно, расходится и данный ряд.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость при помощи интегрального признака Коши следующие ряды:

а) ; б); в); г).

2.4. Сходимость и расходимость знакопеременных рядов

Литература: [5], Ч. 3, гл. 15, § 15.4

Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным. В дальнейшем будут рассматриваться ряды с бесконечным числом положительных и отрицательных членов.

Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Теорема об абсолютной сходимости ряда: если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то данный знакопеременный рядтакже сходится (т.е. является абсолютно сходящимся).

Ряд называетсяусловно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Основные свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:

1) абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов;

2) изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся;

3) если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды составленные только из его положительных или только отрицательных членов; если же ряд сходится условно, то упомянутые выше ряды сходятся.

Пример 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Ряд знакочередующийся, в связи с ростом знаменателя его членов последние убывают по абсолютной величине. Легко видеть, что предел общего члена ряда при n→∞ равен нулю: . Значит, по признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.

Рассмотрим теперь ряд, составленный из модулей его членов,

Это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, данный ряд − условно сходящийся.

Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Данный ряд знакопеременный, так как может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:

Ввиду очевидного неравенства по признаку сравнения для положительных рядов имеем, что рядсходится, т.к. сходится ряд. Из сходимости рядапо признаку абсолютной сходимости имеем, что рядсходится и притом абсолютно.

studfiles.net

примеры

С помощью признаков сравнения исследовать на сходимость следующие ряды:

сходится и данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость следующие ряды:

Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ:

Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью признака Коши:

Ответ: ряд сходится по признаку Коши.

Исследовать на сходимость ряды с помощью интегрального признака Коши:

: ряд сходится.

Исследовать на сходимость следующие ряды различными способами:

: ряд расходится.

Применим предельный признак Даламбера

Ответ: ряд расходится по предельному признаку Даламбера.

Ответ:

Используя предельный признак Даламбера, видим, что исходный ряд сходится

Ответ:

теории сравнения.

Ответ: ряд сходится.

Пользуясь признаками Раабе, Бертрана и Гаусса, исследовать на сходимость следующие ряды:

Ответ:

По признаку Раабе в предельной форме:

Ответ: ряд расходится.

Ответ: ряд сходится по признаку Раабе.

studfiles.net

Сходимость рядов. Признак Даламбера

Сходимость рядов. Признак Даламбера

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение -го члена ряда к -му при имеет конечный предел , т.е. , то:
— ряд сходится в случае ,
— ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа функция (читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. , то .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом того, что , найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа функция , по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. .

Тогда для и получим: , .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. . Ответ: , ряд расходится.

2. . Ответ: , ряд сходится.

3. . Ответ: , ряд расходится.

4. . Ответ: , ряд сходится.

5. . Ответ: , ряд расходится.

6. . Ответ: , ряд расходится.

7. . Ответ: , ряд сходится.

8. . Ответ: , ряд сходится.

9. . Ответ: , ряд сходится.

10. . Ответ: , ряд сходится.

11. . Ответ: , ряд сходится.

12. . Ответ: , ряд сходится.

13. . Ответ: , ряд расходится.

14. . Ответ: , ряд сходится.

15. . Ответ: , ряд расходится.

16. . Ответ: , ряд сходится.

pgsksaa07.narod.ru

Признак сходимости Даламбера. — КиберПедия

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

!!! Основные предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эти функции располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что они там присутствуют.

2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал?

…

…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко.

! Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

! Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

!!! Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

Пример: Исследовать ряд на сходимость
Решение: Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

! Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

!!! Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

Сформулирую своими словами (для простоты понимания).

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

!!! Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «икс»: .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд .

2) Если выяснится, что интеграл расходится, то наш ряд тоже будет расходиться.

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда. Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность более высокого порядка роста, чем , поэтому , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак.

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:

Напоминаю, что – неограниченно растущая числовая последовательность:

И, начиная с номера , будет выполнено неравенство :

то есть, члены ряда будут ещё больше соответствующих членов расходящегося ряда .

В итоге, ряду ничего не остаётся, как тоже расходиться.

!!! Сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Для всех номеров, начиная с , выполнено неравенство , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Что такое знакочередующийся ряд?Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус»

!!! В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

!!! Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость?Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена по модулю равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Краткая справка о модуле:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий.

Теперь немного про монотонность.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

!!! В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на монотонное убывание.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – первое условие не выполняется

2) – второе условие тоже не выполнено.

Вывод: ряд расходится.

Определение: Если ряд сходится по признаку Лейбница и ряд, составленный из модулей: тоже сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей: расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд, составленный из модулей сходится, то сходится и данный ряд.

!!! Поэтому знакочередующейся сходящийся ряд необходимо исследовать на абсолютную или условную сходимость.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: – первое условие выполнено.

2) – второе условие тоже выполнено.

Вывод: ряд сходится.

Проверим на условную или абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся.
Исследуемый ряд сходится условно.

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:
1) Попробуем записать несколько первых членов ряда:

…?!

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Записали несколько первых членов ряда:

Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа:

!!! Справка

– Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность.

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: .

– А есть ли что-нибудь «сильнее» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования можно записать так:
2) , так как более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

!!! Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн», факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно.

Исследуем ряд на абсолютную или условную сходимость:

А тут уже работает признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом (используем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Второй способ:

Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Исходя из достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда, сходится и сам ряд .

Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Для вычисления суммы ряда с заданной точностьюбудем использовать следующую теорему:

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и пусть – его n-ая частичная сумма. Тогда ряд сходится и погрешность при приближенном вычислении его суммы S по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена:

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда.

Для успешного освоения темы нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах.

cyberpedia.su

5.4. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и записи известных сходящихся и расходящихся рядов признак Даламбера позволяет решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел , тогда ряд сходится прии расходится при.

Доказательство:

Так как , то по определению предела для любогонайдется натуральное числотакое, что привыполняется неравенствоили(2).

Пусть. Можно подобратьтак, что число. Обозначим. Тогда из правой части неравенства (2) получаемили. В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, чтодля всех. Давая номеруэти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда, который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем. Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд. Следовательно, сходится и исходный ряд.

Пусть . В этом случае. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенствоили, т.е. члены ряда с увеличением номеравозрастают, поэтому. На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

Если , то рядможет быть как сходящимся, так и расходящимся.
Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд. Находим. Так как, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

5.5. Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел. Тогда ряд сходится прии расходится при.

При вопрос о сходимости остается открытым. (Без доказательства).

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как, то применим признак Коши к ряду. Вычисляем, т.е. этот ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд согласно свойству 1 числовых рядов.

5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывно монотонно убывающей на промежуткефункциитак, чтото

еслисходится, то сходится и ряд.
если расходится, то расходится также и ряд.

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок осиотдо(рис.1). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки. Учитывая геометрический смысл определенного интеграла можно записатьилиили (1).

Случай 1. несобственный интеграл сходится, т.е.. Поскольку<, то с учетом неравенства (1) имеем , т.е..Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, рядсходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится, тогдаи интегралнеограниченно возрастает при. Учитывая, что(см. 1) получаем, чтопри. Следовательно, рядрасходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функцияудовлетворяет условиям теоремы. Поэтому находим. Значит, ряд с общим членомрасходится. Ряд, где– действительное число называетсяобобщенным гармоническим рядом. Для исследования этого ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежуткеи. Приимеем:. Приимеем гармонический ряд, который расходится (второй способ). Итак, гармонический ряд сходится при, расходится при.