Вероятность появления события в каждом – Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие

Вероятность — появление — событие

Вероятность — появление — событие

Cтраница 1

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз.  [1]

Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось, является условной вероятностью.  [3]

Вероятность появления события при одном испытании равна р, вероятность непоявления события 1 — р — При каком р результат испытания обладает наибольшей неопределенностью.  [4]

Вероятность появления события А в / — м испытании равна pf, Р ( т) — вероятность / n — кратного появления события А в п испытаниях.  [5]

Вероятность появления события А в J-M испытании равна pit ц — число появлений события А в п независимых испытаниях.  [6]

Вероятность появления события А и / — м испытании равна р -; Рп ( т) — вероятность от-кратного появления события Л в п испытаниях.  [7]

Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.  [8]

При прогнозировании вероятность появления события эквивалентна степени истинности соответствующего высказывания.  [9]

Так как вероятность Рт появления события т раз в этом случае зависит только от V ( R / T), то вычисление Рт может быть доведено до конца.  [10]

Для вычисления вероятности появления события А в том случае, когда результат опыта определяется случайным положением точек в некоторой области, используется определение геометрической вероятности. При этом любые положения точек в этой области считаются равновероятными.  [11]

Что называется вероятностью появления события.  [12]

Закон Пуассона дает вероятность появления события и раз за время, если можно считать, что вероятность наступления события за интервал А / пропорциональна этому интервалу и события в различные моменты времени независимы.  [13]

Обозначим через р вероятность появления событий А в N реализациях.  [14]

Таким образом, вероятность появления события Л зависит от того, произошло событие В или нет. Это значит, что событие А зависит от события В.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Повторение испытаний. Формула Бернулли, Интегральная теорма Лапласа, Локальная теорема Лапласа

 |   |  Повторение испытаний. Формула Бернулли, интегральная и локальная теоремы Лапласа.  |   |   |   |   |   | 

3.       Повторение испытаний

3.1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p () , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

 — Формула Бернулли

, где  

Также возможны случаи когда нас будет интересовать появление события А не ровно к раз, а :

·         Событие А появится менее k раз

 

·         Событие А появится более k раз

·         Событие А появится не менее k раз

·         Событие А появится не более k раз

Где каждое из слагаемых находится по формуле Бернулли

 

3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

При достаточно большом числе испытаний n  (в литературе нет четкого значения этого достаточно большого значения, чаще всего встречается при n>30) вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p, событие А появится ровно k раз.

  , где  

Где  — функция Лапласа

Данная функция является четной, т.е.  

Данная функция табулирована, т.е. ее значения занесены в таблицу.

 

Вероятность того, что события А появится в диапазоне от   до   раз необходимо находить сложением каждой вероятности, то при большой разнице между   и  данная операция представляется достаточно ресурсоёмкой. В таком случае необходимо использовать интегральную теорему Лапласа:

Если вероятность p наступления события а в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность   того, что события А появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна

 , где  ;

 — функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  также табулирована.

 

 

3.3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в n испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа  , приближенно равна

 

Где:

 — функция Лапласа.

Интеграл  не выражается через элементарные функции, т.е. является «не берущимся».

Функция  является нечётной

Данная функция  табулирована.

 

 

3.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число , наступления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p,  называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях ровно  раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытания. Наивероятнейшее число  определяют по формуле

 

При вычислениях следует помнить, что — натуральное число или нуль.

primer.by

2.5. Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,…,Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

(2.7)

Пример 2.5. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень А1 – первый стрелок попадет в мишень, А2 – второй стрелок, А3 – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события А1, А2 и А3 независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2 и А3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

= 1 – 0,7 = 0,3;

= 1 – 0,8 = 0,2;

= 1 – 0,9 = 0,1.

Искомая вероятность

= 1 – 0,3·0,2·0,1 = 0,994.

Частный случай. Если события А1, А2,…,Аnимеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

где q = 1 – p.

2.6. Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.

Определение. Условной вероятностью

РА(В) или Р(В|А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно, Р(В | А) = 1/4.

Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда Р(В) = Р(В|А) = 2/5, т.е. в этом случае вероятность события

В и его условная вероятность совпадают.

2.7. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)·Р(В|А).

(2.9)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А1А2…Аn) = Р(А1)·Р(А2| А1) …·Р(Аn| А1 А2… Аn-1).

(2.10)

Пример 2.6. В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.

Решение. Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С:

Р(АВС) = Р(АР(В/АР(С/АВ) = =. ◄

studfiles.net

Вероятность — появление — событие

Вероятность — появление — событие

Cтраница 3

Пусть р3 ( 1) есть вероятность появления события А ровно один раз в течение трех испытаний.  [31]

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В § 1 — 4 этой главы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.  [32]

Известно, что в зависимости от вероятности появления события в каждом испытании имеют место асимптотические биномиальные распределения, либо распределения Гаусса при вероятности, стремящейся к 0 5, либо распределения Пуассона при вероятности, стремящейся к нулю.  [33]

Если появление события А влияет на вероятность появления события В, то говорят, что данные события зависимы.  [34]

Во многих технических задачах возникает вопрос относительно вероятности появления события Л точно г раз, если испытание повторяется и раз, где п г. Если результаты каждого испытания независимы, то эта вероятность дается биноминальным распределением.  [35]

Для данного эксперимента часто бывает необходимо рассматривать вероятность появления события А в случае, когда имеется добавочная информация об исходе эксперимента после появления некоторого другого события В. Эта величина называется условной вероятностью А при заданном В.  [36]

Типичное толкование, р ( х) есть вероятность появления события ( успеха) т-и раз после точно т — f — х — 1 испытаний по схеме Бернулли при вероятности успеха в.  [38]

Часто обозначают Р ( А) Р — вероятность появления события; P ( A) q — вероятность непоявления события.  [39]

В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [40]

Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытания.  [41]

В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [42]

В 360 испытаниях, б каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз.  [43]

Типичное толкование, р ( х) есть вероятность появления события ( успеха) в т-и раз после точно т — — х — 1 испытаний по схеме Бернулли при вероятности успеха и. А) есть вероятность того, что m — й успех наступит самое большее после т х — I испытаний.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *