Рубрика: Школьная жизнь

Найти производную y’ = f'(x) = (x+1)^2/x^2+1 ((х плюс 1) в квадрате делить на х в квадрате плюс 1)

Решение

       2    
(x + 1)     
-------- + 1
    2       
   x        

$$1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}$$

[LaTeX]

1. дифференцируем почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

   2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. дифференцируем почленно:

         1. Производная постоянной равна нулю.

         2. В силу правила, применим: получим

         В результате:

      В результате последовательности правил:

   Чтобы найти :

   1. В силу правила, применим: получим

   Теперь применим правило производной деления:

2. Производная постоянной равна нулю.

В результате:

Ответ:

[LaTeX]

                   2
2 + 2*x   2*(x + 1) 
------- - ----------
    2          3    
   x          x     

$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2\right) — \frac{2}{x^{3}} \left(x + 1\right)^{2}$$

[LaTeX]

  /                         2\
  |    4*(1 + x)   3*(1 + x) |
2*|1 - --------- + ----------|
  |        x            2    |
  \                    x     /
------------------------------
               2              
              x               

$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x} \left(8 x + 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$

[LaTeX]

   /              2            \
   |     2*(1 + x)    3*(1 + x)|
12*|-1 - ---------- + ---------|
   |          2           x    |
   \         x                 /
--------------------------------
                3               
               x                

$$\frac{1}{x^{3}} \left(-12 + \frac{1}{x} \left(36 x + 36\right) — \frac{24}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = ((x^2+1)/(x))^2 (((х в квадрате плюс 1) делить на (х)) в квадрате)

Решение

        2
/ 2    \ 
|x  + 1| 
|------| 
\  x   / 

$$\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2}$$

[LaTeX]

1. Заменим .

2. В силу правила, применим: получим

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

         1. Производная постоянной равна нулю.

         2. В силу правила, применим: получим

         В результате:

      Чтобы найти :

      1. В силу правила, применим: получим

      Теперь применим правило производной деления:

   В результате последовательности правил:

4. Теперь упростим:

Ответ:

[LaTeX]

          2                 
  / 2    \  /      / 2    \\
  \x  + 1/  |    2*\x  + 1/|
x*---------*|4 - ----------|
       2    |         2    |
      x     \        x     /
----------------------------
            2               
           x  + 1           

$$\frac{\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$

[LaTeX]

  /                                             /         2\              /         2\\
  |                                    /     2\ |    1 + x |     /     2\ |    1 + x ||
  |                   2                \1 + x /*|2 - ------|   2*\1 + x /*|1 - ------||
  |       /         2\      /     2\            |       2  |              |       2  ||
  |       |    1 + x |    2*\1 + x /            \      x   /              \      x   /|
2*|-4 + 2*|2 - ------|  + ---------- + --------------------- - -----------------------|
  |       |       2  |         2                  2                        2          |
  \       \      x   /        x                  x                        x           /

$$2 \left(2 \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} — 4 — \frac{2}{x^{2}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$

[LaTeX]

  /            2                                                        2                                                                          /                           2\\
  |/         2\             2            /         2\       /         2\      /         2\ /         2\              /         2\     /         2\ |      /     2\     /     2\ ||
  ||    1 + x |        1 + x    /     2\ |    1 + x |       |    1 + x |      |    1 + x | |    1 + x |     /     2\ |    1 + x |     |    1 + x | |    6*\1 + x /   3*\1 + x / ||
  ||2 - ------|    2 - ------   \1 + x /*|2 - ------|   2*x*|2 - ------|    2*|1 - ------|*|2 - ------|   3*\1 + x /*|1 - ------|   x*|2 - ------|*|4 - ---------- + -----------||
  ||       2  |           2              |       2  |       |       2  |      |       2  | |       2  |              |       2  |     |       2  | |         2             4    ||
  |\      x   /          x               \      x   /       \      x   /      \      x   / \      x   /              \      x   /     \      x   / \        x             x     /|
4*|------------- + ---------- - --------------------- - ----------------- - --------------------------- + ----------------------- + ---------------------------------------------|
  |      x             x                   3                       2                     x                            3                                      2                   |
  \                                       x                   1 + x                                                  x                                  1 + x                    /

$$4 \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) + \frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} + 1\right)^{2}\right) — \frac{2}{x} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{3}{x^{3}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) — \frac{1}{x^{3}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right)\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = ((x+1)^2)/(x^2+1) (((х плюс 1) в квадрате) делить на (х в квадрате плюс 1))

Решение

       2
(x + 1) 
--------
  2     
 x  + 1 

$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$

[LaTeX]

1. Применим правило производной частного:

   и .

   Чтобы найти :

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

   В результате последовательности правил:

Чтобы найти :

1. дифференцируем почленно:

   1. Производная постоянной равна нулю.

   2. В силу правила, применим: получим

   В результате:

Теперь применим правило производной деления:

Ответ:

[LaTeX]

                     2
2 + 2*x   2*x*(x + 1) 
------- - ------------
  2                2  
 x  + 1    / 2    \   
           \x  + 1/   

$$- \frac{2 x \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 1}$$

[LaTeX]

  /           2                    2        2\
  |    (1 + x)    4*x*(1 + x)   4*x *(1 + x) |
2*|1 - -------- - ----------- + -------------|
  |          2            2               2  |
  |     1 + x        1 + x        /     2\   |
  \                               \1 + x /   /
----------------------------------------------
                         2                    
                    1 + x                     

$$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{8 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} — \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right)$$

[LaTeX]

   /              3        2              2      2        \
   |           4*x *(1 + x)    2*x*(1 + x)    4*x *(1 + x)|
12*|-1 - 2*x - ------------- + ------------ + ------------|
   |                     2             2              2   |
   |             /     2\         1 + x          1 + x    |
   \             \1 + x /                                 /
-----------------------------------------------------------
                                 2                         
                         /     2\                          
                         \1 + x /                          

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{48 x^{3} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{48 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} + \frac{24 x \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} — 24 x — 12\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

формула куб суммы двух чисел

Формулы сокращенного умножения

В некоторых конкретных случаях можно умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое (другой многочлен, число) свести к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом. Такие случаи называют формулами сокращенного умножения:

1

Квадрат суммы:

2

Квадрат разности:

3

Разность квадратов:

4

Куб суммы:

5

Куб разности:

6

Сумма кубов:

7

Разность кубов:

Выражения и , стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются соответственно полный квадрат суммы и полный квадрат разности.

Выражения и , которые стоят вторыми сомножителями в правых частях равенств (6), (7), называются соответственно неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. От полных квадратов суммы и разности они отличаются лишь средним коэффициентом.

Все формулы сокращенного умножения доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Заметим, что любое математическое равенство «читается» в математике как слева направо, то есть левая часть равенства заменяется равной ей правой частью, так и наоборот: справа налево, то есть правая часть равенства заменяется левой. А тогда приведенные формулы сокращенного умножения можно записать и в виде:

8

Квадрат суммы:

9

Квадрат разности:

10

Разность квадратов:

11

Куб суммы:

12

Куб разности:

13

Сумма кубов:

14

Разность кубов:

Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.

Читать дальше: формула «квадрат суммы».

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.

  Формулы сокращенного умножения. Коротко о главном.

  Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.

• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ?

Оставьте e-mail

ОтправитьЗакрыть

Зарегистрируйся и начни учиться!

Закрыть

Привет!

Нравится наш учебник?

Помоги сделать так, чтобы его не закрыли… 

… а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб…

Но твоя помощь бесценна! 🙂  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Упростите условия в Интернете

первый2 + 3 = (2 + 3) • (2 • 3 + 2 • 3 — 2 • 3 + 3) =
5 • (16 — 8-е место • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275;
a = 2 ;
b = 3 ;

второй7 + 5 = (7 + 5) • (7 — 7 • 5 + 7 • 5 — 7 • 5 + 5) =
12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225-875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932;
a = 7 ;
b = 5 ;

третий3 + 3 = (3 + 5) • (3 — 3 • 5 + 3 • 5 — 3 • 5 + 5) =
8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3,368;
a = 3 ;
b = 5 ;

Калькулятор суммы двух кубов

Упрощение терминов

Шаг 1. Введите термин для упрощения

Услуга (тип программы для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упростить математические выражения алгебры (алгебраические выражения), тригонометрические выражения, выражения с корнями и другими степенями, уменьшить дроби и упростить сложные литералы ,
Упростите сложные выражения, которые вы здесь (!)

важно В терминах переменные отмечены одной буквой!

К примеру, , б, …, с/

Примеры упрощенных терминов

• 2 * a -7 * a
• exp (-7 * a) / exp (2 * a)
• 1 / x + 1 / y
• sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2

Правила ввода функций

В функции е вы можете сделать следующее:Реальные числа введите в форму 7,5, не 7,52 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — Функция обратного отсчета е он может содержать функции (метки находятся в алфавитном порядке):абсолютный (x) Функция — абсолютное значение х (модуль х или | x |) arccos (x) Функция — аркоксин из хarccosh (x) Функция представляет собой гиперболический дуговый косинус хarcsin (x) Функция является обратным синусом хarcsinh (x) Функция представляет собой гиперболический арксин харктан (х) Функция — арктангенс из хarctanh (x) Функция представляет собой гиперболический арктангенс хе Функция — е это около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (так же, как е^х) почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) log (x) или ln (x) Функция — естественный логарифм от х (Да log7 (x), Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)= log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 символ (x) Функция — символ хsin (x) Функция — Синус хcos (x) Функция — Конус от хsinh (x) Функция — Синус гиперболический хcosh (x) Функция — косинус-гиперболический хsqrt (x) Функция — корень хx ^ 2 Функция — квадрат хtan (x) Функция — Тангенс от хtanh (x) Функция — касательная гиперболическая от х

Кратко об основах Базовый уровень Промежуточный

Формулы сокращенного умножения.

Упрощение терминов

Средний уровень.

Формулы сокращенного умножения являются формулами, так как вы можете избежать выполнения некоторых стандартных действий в упрощающих терминах или факторных многочленах. Нам нужно изучить формулировки сокращенного умножения на сердце!

Здесь мы объяснили приведенную формулу умножения для начального уровня.

1. Площадь суммы два выражения равны квадрату первого выражения плюс двойное произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
2. Площадь разницы два выражения равны квадрату первого выражения, минус два раза произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
3. Разница квадратов эти два члена равны произведению разности между этими членами и их суммами:
4. Количество кубов два члена равны кубу первого слагаемого плюс потребительский продукт квадрата первого выражения со вторым плюс потребляемым продуктом первого выражения с квадратом второго и кубом второго выражения:
5. Разница в кубе два выражения, которые являются одинаковыми кубами первого выражения минус три раза произведение квадрата первого выражения на второй и три раза продукты первого выражения в кубе второго второго квадрата второго выражения:
6. Сумма кубов два выражения равны произведению суммы первого и второго с неполным квадратом разности этих членов:
7. Разница в кубе эти два члена равны произведению разности первого и второго членов с неполным квадратом суммы этих членов:

Докажем теперь все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения.

Доказательство.

1 ..
Если вы хотите выразить квадрат, умножьте его на себя:
.

Мы откроем скобки и дадим следующее:

второй

.
Сделайте то же самое: умножьте разницу на себя, откройте скобки и укажите следующее:
.

3 ..
Возьмите термин справа и откройте скобки:
.

4 ..
Число в кубе может отображаться как это число, умноженное на квадрат:

пятые

аналогичным образом,

В отличие от кубов, символы меняются.

6 ..
Откройте скобки справа:
.

седьмые

.
Откройте скобки справа:
.

Использование формул с уменьшенным умножением для решения

Пример 1:

Найдите значение терминов:

решение:

1. Мы используем формулу для квадрата суммы :.
2. Это число представлено в виде разности, и мы используем формулу квадрата разности :.

Пример 2:

Найдите значение выражения :.

решение:

Используя формулу для разности квадратов обоих выражений, получим:

Пример 3:

Упростите фразу:

решение:

Я такой.

Мы используем квадраты суммы и квадрата разности:

II путь.

Мы используем разницу для квадратов с двумя фразами:

Комментарии

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

3.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Решение задач по математике онлайн

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)2

б) 982

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)2 + (х + у)2

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

vipstylelife.ru

онлайн калькулятор, формула, вычисления с примерами

Сумма двух кубов – это формула сокращенного умножения, позволяющие преобразовывать и упрощать математические выражения. Формулы сокращенного умножения постоянно используются при развязывании уравнений или решении алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений.

Историческая справка

Некоторые формулы сокращенного умножения были составлены еще в четвертом тысячелетии до нашей эры древними вавилонянами. Древние греки развили идеи вавилонских ученых и разработали целый набор подобных формул. Однако античные математики мыслили зримо – в то время числа визуализировались в геометрических фигурах или подручных предметах, например, камнях на счетной доске. Формулы суммы квадратов выводились не алгебраически, а геометрически, путем рассечения плоского квадрата на части. Расцвет математической науки пришелся на времена Лейбница, Ньютона и Эйлера и именно эти ученые внесли большой вклад в развитие формул сокращенного умножения.

Сумма двух кубов

Алгебраический куб – это возведение числа или неизвестного в третью степень. Следовательно, сумма двух кубов – это результат сложения двух чисел в третьей степени. Записывается это следующим образом:

a³ + b³

Такой пример решается довольно просто, но при любых значениях a и b ответ можно представить в виде:

(a + b) × (a² − ab + b²).

Следовательно, у нас есть тождество, которое работает при любых значениях переменных:

a³ + b³ = (a + b) × (a² − ab + b²).

Доказать его можно простым раскрытием скобок и сокращением членов в правой части выражения. Данное тождество используется для сокращения выражений и быстрого поиска ответов или для разложения на множители.

Вряд ли подобные формулы понадобятся нам в реальной повседневности, но школьникам крайне важно знать формулы сокращенного умножения наизусть. Простыми словами формула звучит так: сумма двух кубов есть произведение суммы членов выражения на неполный квадрат их разности. Словосочетание «неполный» квадрат может вызвать у ребят сомнения. Полный квадрат разности – это еще одна формула сокращенного умножения, которая выглядит так:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

В левой части у нас квадрат разности a – b, а справа – полный квадрат, разложенный на множители. Выражение a² – ab + b² для суммы двух кубов носит название неполного, так как в нем произведение ab без двойки. Данные тождества используются для упрощения громоздких выражений, а также для проверки полученных результатов сложения кубов или квадратов больших чисел.

Применение формулы на практике

Сумма двух кубов используется на практике для упрощения многочленов. Например, у нас есть сложный тригонометрический пример:

(sinx + cosy) × (sin² x − sinx × cosy + cos² y)

Решать этот пример при помощи тригонометрического аппарата было бы довольно сложно, особенно для школьника, незнакомого со свойствами синусов и косинусов. Однако мы можем применить правило суммы двух кубов, ведь данный пример полностью повторяет разложение на множители выражения a² + b², только здесь a = sinx, b = cosy. В итоге громоздкое тригонометрическое выражение превратится в компактную запись:

sin³ x + cos³ y.

Теперь давайте применим эту формулу при счете. Большинство людей практически наизусть знает квадраты натуральных чисел до 15, а те, кто постоянно занимается арифметикой, знают куда больше квадратов. С кубами все обстоит сложнее, поэтому если вам требуется посчитать сумму двух кубов, куда проще использовать формулу разложения на множители. Например, давайте посчитаем выражение:

15³ + 12³

Сходу вычислить кубы этих чисел непросто, если вы не ученик математического кружка. Давайте используем формулу:

15³ + 12³ = (15 + 12) × (15² − 15×12 + 12²)

Квадраты 12 и 15 многие помнят наизусть – это 144 и 225 соответственно. Осталось провести небольшие вычисления:

15³ + 12³ = 27 × (225 − 180 + 144) = 27 × 189 = 5 103

Проверим вычисления на калькуляторе. Число 15 в кубе дает 3 375, а 12 — 1 728. Суммируем их и получим 3 375 + 1 728 = 5 103. Все верно, но оперировать меньшими числами гораздо удобнее.

Мы представляем вам программу, которая считает сумму двух кубов с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для расчета вам понадобится ввести значения в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Используя калькулятор, вы получите не только мгновенный и правильный ответ, но и весь процесс решения. Такая программа пригодится школьникам, которые хотят проверить свои выкладки, а также тем взрослым, кто хочет освежить в памяти школьный курс алгебры.

Заключение

Формулы сокращенного умножения – важная тема школьной алгебры, которая пригодится при решении громоздких выражений на любую тему. Это своеобразный фундамент, на котором строятся решения тригонометрических, показательных, логарифмических и даже интегральных и дифференциальных исчислений. Наш калькулятор может вам освоить применение формулы суммы двух кубов или освежить в памяти школьный материал.

bbf.ru

Формулы сокращённого умножения | umath.ru

Формулы сокращённого умножения — это часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Формулы сокращённого умножения очень полезно запомнить — знание этих формул сильно сэкономит ваше время при работе с многочленами.

Основные формулы сокращённого умножения

1. Квадрат суммы:

      

2. Квадрат разности:

      

3. Разность квадратов:

      

4. Куб суммы:

      

5. Куб разности:

      

6. Сумма кубов:

      

7. Разность кубов:

      

Дополнительные формулы сокращённого умножения:

1. Разность степеней:

      

      

2. Сумма степеней:

      

      

3. Квадрат суммы нескольких слагаемых:

      

      

   В частности, квадрат суммы трёх слагаемых:

      

umath.ru

Окружность и круг — геометрия и искусство

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении.

В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет.

На рис. 2 изображены две окружности и цепочка окружностей, каждая из которых касается этих двух окружностей и двух соседей по цепочке.  Швейцарский геометр Якоб Штейнер около 150 лет назад доказал следующее утверждение: если при некотором выборе третьей окружности цепочка замкнется, то она замкнется и при любом другом выборе третьей окружности. Отсюда следует, что если однажды цепочка не замкнулась, то она не замкнется при любом выборе третьей окружности. Художнику, рисовавшему изображенную цепочку, пришлось бы немало потрудиться, чтобы она получилась, или обратиться к математику для расчета расположения двух первых окружностей, при котором цепочка замыкается.

Вначале мы упомянули о колесе, но еще до колеса люди использовали круглые бревна — катки для перевозки тяжестей.

А можно ли использовать катки не круглой, а какой-нибудь другой формы? Немецкий инженер Франц Рело обнаружил, что таким же свойством обладают катки, форма которых изображена на рис. 3. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.

Энц. «Я познаю мир. Математика», 2006

geometry-and-art.ru

Тригонометрический круг — это… Что такое Тригонометрический круг?

Тригонометрический круг — построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами окружность, имеющая центр в точке начала координат и единичный радиус, т.е. единичная окружность, которая используется для геометрического определения тригонометрических функций. Название «тригонометрический круг» не совсем удачно, поскольку речь идёт об окружности, а не о круге; тем не менее, часто используется именно это название.

Единичная окружность и угол , отложенный от оси абсцисс в верхнюю полуплоскость

Определение тригонометрических функций произвольного угла строится с помощью тригонометрического круга следующим образом. Угол (назовём его ) откладывается от положительной полупрямой оси абсцисс в верхнюю полуплоскость («против часовой стрелки») и рассматривается точка пересечения полученного луча (составляющего угол с положительной полупрямой оси абсцисс) с единичной окружностью. Абсцисса этой точки принимается за , ордината — за . Для введения других тригонометрических функций используются дополнительные построения, такие, например, как линия тангенсов (прямая ) и линия котангенсов (прямая ).

Численные значения тригонометрических функций угла на тригонометрическом круге (радиус равен единице)

dic.academic.ru

Круг (геометрия) — Циклопедия

Круг Окружность и круг // Мрия Урок [12:19]

Круг — плоская геометрическая фигура, ограниченная окружностью. Иными словами, круг — это множество, состоящее из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (центр круга) не превышает заданного расстояния (радиуса). Окружность является границей круга.

Круг называется замкнутым или открытым в зависимости от того содержит ли он окружность, его ограничивающую. В декартовых координатах, открытый круг с центром [math](a, b)[/math] и радиусом R задаётся формулой:

[math]D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \lt R^2\}[/math]

Закрытый круг задается нестрогим неравенством

[math]\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \leqslant R^2\}.[/math]

Окружность является обобщением понятия круга на метрическом пространстве.

Иногда вместо термина круг используют термин диск.

Центр, радиус, хорда и диаметр круга являются центром, радиусом, хордой и диаметром соответствующего круга.

Площадью круга называется площадь плоской фигуры, ограниченной окружностью. Площадь круга вычисляется по формуле:

[math]S=\pi r^2 \ [/math], де [math] \pi \approx 3{,}141592654[/math] — число пи (математическая константа).

Периметром круга называют длину окружности, его ограничивающей:

[math]L=2\pi r .[/math]

cyclowiki.org

Круг — это… Круг — геометрическая фигура

Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас – атомы и молекулы – имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды – основы всего живого – тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо – птицы вьют его также в этой форме.

Данная фигура в древних помыслах культур

Круг – это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.

Издавна круг – это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в этой фигуре эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.

А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг – конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.

Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?

Что такое окружность

Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.

По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.

Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность

Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля – инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.

Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.

Какими величинами характеризуется окружность

Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим радиус окружности. Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.

Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.

В этой формуле С – длина окружности, r – радиус окружности, d – диаметр, а число Пи – константа со значением 3,14.

Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.

Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.

В чем же главное отличие круга от окружности

По сути, окружность – это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее – это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.

Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг – это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью – его пустота замещена тканью, куском пространства.

Перейдем непосредственно к понятию круга

Круг – геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.

Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).

В данной формуле S – площадь, r – радиус круга. Число Пи – снова та же константа, равная 3,14.

Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.

Одна четвертая появляется из того, что радиус – это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

r*r = 1/4*d*d.

Круг – это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.

Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.

Использование фигуры в задачах с многоугольниками

Также круг – геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.

Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.

Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.

Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).

Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью

Перед нами канализационный люк. Если он открыт, то железная каемка люка – это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.

Окружностью также можно назвать любое кольцо – золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, – тоже окружность.

А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, –это круг.

Горлышко бутылки или банки при виде сверху – это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.

Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.

fb.ru

Геометрические фигуры для детей. Круг.

Сегодня мы будем делать цыплёнка. Каким цветом цыпленок? Правильно, жёлтый. Из всех кругов выбери только желтые круги. Потом отложи отдельно голубые круги и зеленые.

Сначала просто выкладываем цыплёнка на бумаге без клея, чтобы у малыша было понимание того, что мы делаем, это также поможет избежать ошибок при работе с клеем.

Большой жёлтый круг будет туловищем цыпленка. Куда мы его положим? (предлагаем ребенку самому выбрать место на листе бумаги).

Кружок поменьше будет головой. Где у нашего цыплёнка будет голова? (ребёнок пусть снова сам выберет место, в какую сторону будет смотреть цыплёнок: вверх на небо и солнце или вниз на травку, может он будет клевать зернышки. Помогайте малышу фантазировать, предлагайте варианты. Маленьким можно подсказать, посоветовать, но не настаивайте, пусть он сам сделает выбор)

Где маленький чёрный кружок? Это будет глаз. Маленький треугольник — клюв, два одинаковых треугольника — лапки. Разложи фигуры на свои места.

Чего не хватает нашему цыпленку? Правильно, крыльев! У нас есть ещё 2 жёлтых круга, один мы отложим — это будет солнце, а из второго сделаем крылья. Как ты думаешь, как из одного круга сделать два крыла? (с этим справятся дети от трёх лет. Пусть ребёнок подержит круг в руках, повертит, приложит к бумаге, возможно, у него появится ответ).

Мы разрежем круг напополам. Для этого давай найдем центр круга. Где центр (середина) у круга? (можно дать ребенку карандаш и предложить самому найти и отметить центр с тыльной (не цветной!) стороны листа. Даже если точка не в центре, а где-то рядом, ничего страшного, похвалите кроху! Если ребёнок мал, сделайте все сами, объясняя каждое действие).

Через центр теперь проведем прямую линию, которая разделит круг напополам. По этой линии мы разрежем наш круг на две части. Получилось два крыла (обязательно разрезайте через точку (центр), указанную ребёнком, во-первых, ребёнок будет чувствовать, что его мнение важно для вас и вы прислушиваетесь к нему, а во-вторых — аппликация будет более художественной)

В ходе занятия для детей постарше можно объяснить, что такое полукруг (или вспомнить эту фигуру)

Посмотри, какие фигуры у нас получились. Это фигура называется полукруг. Пол круга — полукруг (повторяем несколько раз и предлагаем повторить название)
Где будут крылышки у нашего цыплёнка?

Цыплёнка выложили на бумаге, теперь можно приклеить его.

Цыплёнок готов.

Давай возьмём большие зелёные круги (или 1 круг) — это будет наша травка. Как ты думаешь, как из круга сделать травку? Правильно, снова разрезать напополам (повторяем шаги, как с крылышками: даём ребёнку отметить центр, разрезаем и приклеиваем снизу). Чтобы травка была натуральнее, можно сделать небольшие надрезы по округлой стороне.

На небо приклеиваем солнышко.

Облака можно сделать разными способами:

1. Наклеить кружки внахлёст, формируя облако. Разный размер кружков сделает форму облака более натуральной.
2. Разрезать круги напополам и также наклеивать внахлёст.

У нас получилось по-другому: Поля захотела сложить круги напополам и приклеить только одну половину круга. Таким образом мы уже делали другие поделки и этот вариант ей понравился.

Когда бумага окончательно высохнет, можно дорисовать солнечные лучи и цветы на травке карандашом. Можно сделать это пластилином. Пусть малыш выбирает сам.

novye-deti.ru

Круг (фигура) — это… Что такое Круг (фигура)?

ФИГУРА — (лат. figura, от fingere лепить, ваять). 1) наружный вид предмета, внешнее очертание. 2) в геометрии: очерк плоскости, чертеж. 3) в картах: туз, король, дама, валет. 4) в риторике: украшение речи, оборот, употребляемый для красоты слога. 5) в… …   Словарь иностранных слов русского языка

КРУГ — один из наиболее распространённых элементов мифопоэтической символики гетерогенного происхождения и значения, но чаще всего выражающий идею единства, бесконечности и законченности, высшего совершенства. К. как фигура, образуемая правильной кривой …   Энциклопедия мифологии

Фигура (в геометрии) — Фигура  термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее обычно фигурой называют множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий. Например: квадрат, круг, угол …   Википедия

КРУГ — КРУГ, плоская геометрическая фигура, являющаяся местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра). Это расстояние называется радиусом круга (r). Площадь круга вычисляется по формуле pr2, а длина окружности равна 2pr …   Научно-технический энциклопедический словарь

Круг (значения) — В Викисловаре есть статья «круг» …   Википедия

КРУГ — первичный символ единства и бесконечности, знак абсолюта и совершенства. Как бесконечная линия, круг символизирует время в вечности, а как макро космический знак образует круг Зодиака. Он является древнейшим мистическим символом, традиционно… …   Символы, знаки, эмблемы. Энциклопедия

Фигура постоянной ширины — Треугольник Рело. Кривая постоянной ширины a плоская выпуклая кривая, длинa ортогональной проекции которой на любую прямую равна a. Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя… …   Википедия

круг — ▲ плоская фигура ↑ внутри, окружность круг область (плоская фигура), ограниченная окружностью. в радиусе каком …   Идеографический словарь русского языка

Фигура (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Фигура. Фигура термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее, обычно фигурой называют множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий. Примеры Квадрат …   Википедия

Фигура —         (от лат. figura внешние очертания, образ, изображение, способ, характер, свойство).         1) Характерная группа звуков (мелодич. Ф.) или ритмич. долей, длительностей (ритмич. Ф.), обычно неоднократно повторяющаяся.         2) Элемент… …   Музыкальная энциклопедия

dic.academic.ru

ОСНОВЫ КОМПОЗИЦИИ: Геометрия в фотографии

09 Февраля 2016

Фотография — это то, чем становятся живопись, композиция, пластический ритм, геометрия, размещенные в считанных долях секунды (Анри Картье-Брессон).

Фото: Ronald Koster

Когда мы думаем о композиции в фотографии, первое, что приходит в голову — это золотое сечение, правило третей, формат кадра, контраст, точка съемки…

Но есть еще один важный элемент в композиции – геометрия. Геометрия в фотографии — это простые формы, такие как квадрат, треугольник, круг, прямые и кривые линии.

Геометрические объекты обычно вспомогательные, они усиливают восприятие и могут объединять отдельные элементы фотографии в единое целое. Выбирая ту или иную геометрическую форму в фотографии, автор может заранее акцентировать внимание будущего зрителя на его определенных зонах. Установлено, например, что углы квадрата оказываются очень активными зонами, а для круга или овала – это центр. Не случайно, с давних времен сложилась традиция портретов в овале. Углы не отвлекали внимание от главного — изображения лица. Наиболее распространенный и наиболее разносторонний геометрический инструмент – это линии. Более подробно о них читайте в нашей отдельной статье.

Фактически, любой объект окружающей среды можно сравнить с какой-либо геометрической фигурой, но все они пробуждают у зрителя разные эмоции и чувства. Простые геометрические формы, такие как круг и квадрат, намного быстрее фиксируются нашим глазом и воспринимаются мозгом, а следовательно и лучше запоминаются, нежели сложные и неправильные. Вообще выделяют три базовых фигуры. Это прямоугольник, треугольник и круг. Всё остальное – овал, квадрат, трапеция, эллипс, ромб всего лишь их вариации. Все они отличаются как графически, так и (не удивляйтесь) эмоционально.

КВАДРАТ В КОМПОЗИЦИИ

Квадрат — это самая устойчивая, законченная форма, готовая вызывать утверждающие образы. Он ассоциируется с такими понятиями, как порядок, стабильность, надежность, прочность. В то же время, квадрат воспринимается несколько приземленно и тяжеловесно.

Фото: Robertino Nikolic. “Свет играет с геометрией или геометрия со светом?”. Победитель конкурса Black & White Spider Awards, 2007.

Фото: Alma (источник — 1510.deviantart.com)

Фото: G. Diaz Deleon 

ПРЯМОУГОЛЬНИК В КОМПОЗИЦИИ

Прямоугольник, расположенный̆ большей̆ стороной̆ по горизонтали вызывает ощущение стабильности, покоя, основательности.

Фото: Guerel Sahin

Фото: Guerel Sahin

Особенно гармонично смотрится, если он выполнен в пропорциях «золотого сечения». Прямоугольник, расположенный̆ большей̆ стороной̆ вдоль вертикали, создаёт ощущение лёгкости, воздушности.

Фото: Joe McNally

ТРЕУГОЛЬНИК В КОМПОЗИЦИИ

Треугольник — наиболее часто встречающаяся в природе форма. Треугольник — самая динамичная, неустойчивая форма, которая ассоциируется с движением, развитием, скоростью. В положении «вершиной вверх» вызывает образы устойчивости, стабильности (пирамида). Несколько треугольников — позитивное динамическое движение. В положении «вершиной вниз» – шаткое равновесие, балансировка. В отличие от прямоугольника, стороны не противостоят друг другу, а меняют направление развития. Это может быть использовано для создания конкретных образов. Треугольник естественным образом вносит в композицию ощущение глубины пространства.

Фото: Josh Johnson

КРУГ В КОМПОЗИЦИИ

В форме круга более чем, в какой̆ — либо, выражена идея природы, земли, мироздания. Круги изобилуют как в природе, так и в мире рукотворных предметов. Поэтому такие понятия как «добро», «жизнь», «счастье», «процветание» ассоциируются у человека именно с этой̆ формой̆. Данная форма направляет взгляд внутрь кадра. Круг ассоциируется с чем-то легким, воздушным и при этом – уравновешенным. Но, в отличие от квадрата, это равновесие ближе к физическому понятию «неустойчивое равновесие». Круги — самые приятные глазу фигуры, которые можно смело использовать в кадре. Они сразу приковывают внимание зрителя и, благодаря своей идеальной симметричности, привносят в изображение гармонию. Поскольку у круга нет углов, он прекрасно контрастирует с прямоугольным обрезом кадра.

Фото: Steve McCurry

Фото: Georgios Karamanis

Фото: Elia Locardi

Как и треугольник, круг — очень эффектная геометрическая фигура, которую можно с пользой применить в композиции кадра, хотя и с другим смыслом. В отличие от диагоналей, заряжающих кадр динамикой и напряжением, кривые линии создают гармонию. Таким образом, можно создавать выразительные и информативные композиции, основанные на простых геометрических фигурах.

Фото: William Morris Kahn

Фото: Joe McNally

Фото: Joe McNally

Геометрические объекты можно условно разделить на три группы по их функциям: направляющие линии, разделители пространства и обрамление. Разделители пространства делят снимок на отдельные зоны, несущие свою смысловую нагрузку, но работающие вместе для создания единой композиции. Примером, простейшего разделителя пространства может послужить линия горизонта, отделяющая небо от поверхности моря. Очень хорошо смотрятся в качестве разделителя пространства треугольники, но и такие элементы, как диагонали и незамкнутые линии, тоже уверенно можно использовать.

Фото: Вадим Докторов

Обрамления носят функцию притяжения взгляда зрителя и его фокусировку на основном объекте. В качестве обрамляющих элементов отлично работают дверные проемы, арки, окна. Кроме того, великолепно с этой функцией справляются и естественные элементы, например, ветви деревьев. Важно чтобы обрамление присутствовало, как минимум, с двух сторон снимка и было выполнено в спокойной тональности, желательно более темной, чем главный объект, чтобы не отвлекать зрителя. Обрамляющий элемент должен иметь интересный цвет, форму, текстуру или иные примечательные характеристики, но стоит помнить, что обрамляющие элементы должны направлять, а не отвлекать. Особенно хорошо в этом плане работают треугольники или арки. Арка способна создать интересную динамичную композицию.

Фото: Guerel Sahin

Фото: Ian Plant

 Фото: Tom La

Пробуйте, экспериментируйте и не забывайте, что в одном снимке вы можете использовать сразу несколько геометричских фигур для построения композиции.

Другие статьи о композиции в фотографии:

Золотое сечение в фотографии

Сила линий в фотографии

Формат кадра в фотографии

Контраст в фотографии (Часть 1)

Контраст в фотографии (Часть 2)

Точка съемки и выбор плана

Ракурс

Равновесие в композиции

photodzen.com

Общий коэффициент прироста населения, методика его расчета — Студопедия.Нет

Общий коэффициент прироста населения, методика его расчета

Коэффициент общего прироста численности населения — отношение абсолютных величин общего прироста населения за определенный промежуток времени к среднему населению.

В промежутках между переписями численность населения отдельных населенных пунктов отпределяется расчетным путем на основе данных последней переписи и данных текущей статистики о естественном и механическом движении населения по балансовой схеме:

Численность населения на конец года =

Численность населения на начало года
+ Число родившихся за год
+ Число прибывших за год
— Число умерших за год
— Число выехавших за год

Для планирования многих народно-хозяйственных показателей очень важно знать численность населения на планируемый период.

Перспективная численность населения рассчитывается на основе данных о естественном и механическом приросте населения за определенный период и предположения о сохранении выявленных закономерностей на прогнозируемый отрезок времени.

Коэффициент общего прироста населения К_оп рассчитывается следующим образом:

К_оп = К_рожд — К_см + К_пр — К_выб = К_еп + К_мп

Перспективная численность населения определяется по формуле:

H_n — численность населения на начало планируемого периода;

t — число лет, на которые прогнозируется расчет

К_оп — коэффициент общего прироста населения

Также возможен расчет перспективной численности населения с помощью среднегодового абсолютного прироста населения за период и среднегодового коэффициента роста за период .

Проект «Методы решения тригонометрических уравнений!

Областное государственное автономное

образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

 «Белгородский институт развития образования»

Методы решения тригонометрических уравнений

(проектное задание)

Выполнила:

Остапенко Татьяна Ивановна,

учитель математики и физики

МБОУ «Бехтеевская СОШ

Корочанского района

Белгородскойобласти

Руководитель курса:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель

кафедры естественно-

математического образования

Белгород

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                 стр.

Введение…………………………………………………………………….3

Теоретическая часть……………………………………………………….4-6

Практическая часть………………………………………………………7-18

Заключение………………………………………………………………19-20

Библиография……………………………………………………………….21

Приложение

Введение

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.

Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.

Теоретическая часть

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком триго­нометрической функции, называется тригонометрическим.

Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.                                                                                                                

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида

sin x = a,       cos x= a,        tq x = a,        ctq x = a

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.

sinx = a,   x = (-1)karcsin a + πk,  kЄZ,

arcsin a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен a.

cosx= a,  x=arccos a +2πk,  kЄZ,

arccos a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен a.

tq x = a, x = arctq a + πk,  kЄZ,

arctg a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен a.

ctq x = a, x = arcctq a + πk,  kЄZ,

arcctg a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен a.

Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.

Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.

Частные случаи

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

1.              Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

2.              Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

3.              Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

4.              Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.

5.              Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

6.              Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

7.              Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

8.              Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

Практическая часть

Методы решения тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.

1.    Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометри­ческих функций.

Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

Примеры

1)Решить уравнение 2sin2 + 3sin —2 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно sin.

Его корни: sin = , sin =—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isinl1, решения первого можно записать так:

 +2k,π+ 2k

Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя три­гонометрические тождества.

2) Решить уравнение 2sin + cos = 2.

Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то по­лучим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, ис­пользуем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:

 и .

Делая замену, получаем уравнение относительно:   .

Квадратное уравнение  имеет корни    откуда

Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:

Пусть. Тогда можно продолжить преобразование: . Получаем простей­шее   уравнение  т. е.  , откуда , или

Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.

2.      Понижение порядка уравнения.

Формулы   удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заме­нять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.

Примеры

1)Решить уравнение.

Можно заменить cos2 на 2cos2—1 и получить квадратное уравнение относительно cos, но проще заменитьна и получить линейное уравнение относительно.

2) Решить уравнение

Подставляя вместо,  их выражения через, получаем:

,

2

3.     Использование тригонометрических формул сложения и след­ствий из них.

Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.                                                                                                             

Примеры

1) Решить уравнение.

Сложим два крайних слагаемых:, откуда,. Тогда, .

2) Решить уравнение.

Преобразуем произведение синусов в сумму:,

откуда. Полученное уравнение можно ре­шить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать в произведение. Удобнее  воспользоваться  условием  равенства  косинусов двух углов  и:.

Получаем два уравнения:  .

Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:.

4.    Однородные уравнения.

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).

Так как, то постоянные слагаемые можно счи­тать членами второй степени.

Пример:   .

Заменяя 4  на ,получаем:   

5.                  Переход к половинному углу

Рассмотрим этот метод на примере:

Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Решение.

6 sin( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tg² ( x / 2 ) – 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

6.                  Введение вспомогательного угла

Рассмотрим уравнение вида:

asinx + bcosx = c,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

Пример.  Решить уравнение:

Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.

1.    Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.

Пример. Решите уравнение    

Решение. Раскроем скобки и преобразуем про­изведение

в сумму:                                     

Умножим обе части уравнения на. Заме­тим, что ,  не является решением данного уравнения.   . Преобразуем левую часть уравнения:

;    или тогда

 или, т.е.

Исключим из найденных серий корни вида , :

а).  Ясно, что — четное число, т.е. , а потому .

б).Tax как , то ,но тогда ,.

Ответ:

2.    Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же     тригонометрической функции.

Пример. Решите уравнение.

Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:

При6авим к обеим частям уравнения по единице.  ;

Разделим обе части уравнения на и после преобразований получим.

Тогда или .

Из первой серии корней области определения принадлежит только , но это серия корней содержится в серии. Нетрудно убедиться, что  входит в область определения. Например:что верно, поскольку левая часть — число четное, а правая — нечетное.

Ответ:.

3.    Тождественные преобразования одной из частей уравнения.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

Откуда , тогда  или

 Легко видеть, что

Ответ:

4.     Использование свойств пропорции.

Необходимо помнить, что применение равенств

 и т. д. приводит к изменению области определения урав­нения. Так, у пропорции существует ограничение: , а у пропорции  место другое ограничение:.

Пример. Решите уравнение

Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: . Используем свойство пропорции: ;

Область определения исходного уравнения:

В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: откуда

Проверим, удовлетворяют ли исходному уравне­нию значения

а) -верное равенство,

 — решение исходного уравнения.    

б) верное равенство.

в)-1  -1 — верное равенство, Ответ:

5.     Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограничен­ность функций,  и. Покажем это на конкретных примерах.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Так как , то ,, откуда и возможные корни данного уравнения  Подставив эти значения в левую часть уравне­ния, получим а последнее равенство возможно только при .

Следовательно, — решение дан­ного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Легко видеть, что и . Следовательно, , но тогда , , откуда , — возможные корни данного

уравнения. Подстановка  в данное урав­нение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.

Ответ:.

6.    Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени

Пример 1.

При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.

Ответ:

Пример 2.

Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:

Ответ:

Уравнения повышенной сложности

1.    (Сканави М.И.8.022)

 2sin3 x +2sin2x cos x – sin x cos2x – cos3x = 0 | : cos3x ≠ 0;

т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени

 2tg3x + 2tg2x – tgx – 1 = 0;

Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим

 (tg x + 1)(2tg2x – 1) = 0;

   tgx = -1                              х= —  + n , n ͼ Z

   tgx=  ;                          х= arctg + k, k ͼ Z.

Ответ: —  + n , n ͼ Z ;arctg + k, k ͼ Z.

2.    ( СканавиМ.И.8.081)

6sin2x + sin x cos x – cos2x = 2;

 4sin2x + sin x cos x – 3 cos2x = 0; | : cos2x ≠ 0;

т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени

 4tg2x + tg x – 3 = 0;

   tgx = -1,                           х= —  + n , n ͼ Z

   tgx=  ;                             х= arctg  + k, k ͼ Z.

Ответ:  —  + n , n ͼ Z;

              arctg  + k, k ͼ Z.

3.    ( Сканави М.И. 8.076)

sinx – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;

сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим

2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;

вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов

2sin 3x ∙ 2 cos  cos  = 0;

   sin 3x = 0,                  x = , n ͼ Z

   cos  = 0,                  x =  +  , k ͼ Z

   cos  = 0;                  x = + , m ͼ Z.

Произведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью

                                                                                   Ответ:    , nͼZ;

                                                                                  +  , kͼZ \ { 7m+3| mͼZ }.

4.     ( Сканави  М.И. 8.076)

 = 2;

воспользуемся формулой косинуса двойного угла

 = 2;

sin = 1,

sin  ≠ 0;

sin  = 1;

х= + 4, kͼZ.

Ответ: + 4, kͼZ.

5.    (Сканави М.И.  8.120)

 +  —  —  =0

;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла

1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;

сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов

2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;

2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;

произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю

     cos 2x=0                 2x= + , n ͼ Z

    cos 3,5x=0               3,5x= + , m ͼ Z

    cos 2,5x=0;              2,5x= + , k ͼ Z;

x= +, n ͼ Z

x= +, m ͼ Z

x= +, k ͼ Z .

Ответ: +, nͼZ;

             +, mͼZ;

             +, kͼZ .

Заключение.

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.

Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений.  Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.

Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.

Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.

                                                    Библиография

1.    Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. — №2. –с. 40 – 42.

2.    Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике».   М., «Наука», 1982 г.

3.    Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.

4.    Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» — М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.

5.              Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.

6.    Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения»,    Армавир, 2005г.

7.              Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.

8.              Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. — М.: Новая школа, 1993.

infourok.ru

Основные виды тригонометрических уравнений

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[{\Large{af^2(x)+bf(x)+c=0}}\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x\),
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.

Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]
формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\). Сделаем замену \(t=\sin x\). Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\), то \(t\in[-1;1]\). Получим уравнение:

\(6t^2+13t+7=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\).

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\). Сделаем эту подстановку и получим:

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\). Сделаем замену \(t=\sin 2x\). Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\), то \(t\in[-1;1]\). Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\).

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:   \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac{\pi}{12}+\pi n, \ x_2=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\, x+3\mathrm{ctg}\,x+4=0\)

Т.к. \(\mathrm{tg}\,x\cdot \mathrm{ctg}\,x=1\), то \(\mathrm{ctg}\,x=\dfrac1{\mathrm{tg}\,x}\). Сделаем замену \(\mathrm{tg}\,x=t\). Т.к. область значений тангенса \(\mathrm{tg}\,x\in\mathbb{R}\), то \(t\in\mathbb{R}\). Получим уравнение:

\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac{t^2+4t+3}{t}=0\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом:

\(\begin{cases} t^2+4t+3=0\\t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &t_1=-3\\&t_2=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

Сделаем обратную замену:

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-3\\ &\mathrm{tg}\,x=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\mathrm{arctg}\,3+\pi n\\ &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[{\Large{af^3(x)+bf^2(x)+cf(x)+d=0}}\] где \(a\ne 0, \ f(x)\) — одна из функций \(\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\,x, \mathrm{ctg}\, x\),
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.

Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha &&& \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\):

\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\). Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\):

\(6t^3-11t^2+t+4=0\). Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\). Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\), получим:

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\).

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=1\\&\sin x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n\\[1ex]&x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1ex] &x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0}}, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\), при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\). Действительно, если \(\cos x=0\), то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\), откуда следует, что и \(\sin x=0\). Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm 1\).

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\). Разделим, например, на \(\cos^2 x\):

\(a \ \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+b \ \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+c \ \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0 \Leftrightarrow a\mathrm{tg}^2\,x+b\mathrm{tg}\,x+c=0\)

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm{tg}\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\), способ решения которого вам известен.

Уравнения вида \[I’. \quad {\Large{a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d}}, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\). Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\):

\(\mathrm{tg}^2\,x+3\mathrm{tg}\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm{tg}\,x, \ t\in\mathbb{R}\). Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\). Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\). Сделаем обратную замену:

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=1\\&\mathrm{tg}\,x=-4 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex]&x=-\mathrm{arctg}\,4+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=0}}, a\ne0, b\ne 0\]

Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\), при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\). Действительно, если \(\cos x=0\), то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\), откуда следует, что и \(\sin x=0\). Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm 1\).

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\). Разделим, например, на \(\cos x\):

\(a \ \dfrac{\sin x}{\cos x}+b \ \dfrac{\cos x}{\cos x}=0\), откуда имеем \(a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\):

\(1+\mathrm{ctg}\, x=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad {\Large{a\sin x+b\cos x=c}}, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:   \({\large{\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}, \qquad \cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2},\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)}}\)   данное уравнение сведется к уравнению \(I\):

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\). Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\). Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm{tg}\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\). Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3\). Сделаем обратную замену:

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}&\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x=2-\sqrt3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n\\[1ex] &x=\mathrm{arctg}\,(2-\sqrt3)+\pi n \end{aligned}\end{gathered}\right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Сделаем подстановку \(\sin 2x=\dfrac{2\mathrm{tg}\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}, \ \cos2x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}\) и замену \(\mathrm{tg}\,x=t\):

\(\dfrac{(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3}{1+t^2}=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\), то есть всегда \(\ne 0\))

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[{\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{где } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}=2\):

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac{\sqrt3}2\cos 2x=-\dfrac12\)

Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac{\sqrt3}2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac{\pi}3, \ \dfrac{\sqrt3}2=\sin \dfrac{\pi}3\). Тогда уравнение примет вид:

\(\sin 2x\cos \dfrac{\pi}3-\sin \dfrac{\pi}3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

\(\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\\[1.5ex] &2x-\dfrac{\pi}3=-\dfrac{5\pi}6+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\\[1.5ex] &x=-\dfrac{\pi}4+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[{\Large{a(\sin x\pm \cos x)+b\sin x\cos x+c=0}}, \text{где } a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[{\large{(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x}} \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\), тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac{t^2-1}2\).

Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\).

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\).

Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\).
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\), тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac{t^2-1}2\). Тогда уравнение примет вид: \[3t=2t^2-2 \Rightarrow 2t^2-3t-2=0\] Корнями данного уравнения являются \(t_1=2, t_2=-\dfrac12\).

По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)\), следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=2\\[1ex] &\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt2\\[1ex] &\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Первое уравнение корней не имеет, т.к. область значений синуса находится в пределах от \(-1\) до \(1\). Значит: \(\sin\left(2x+\dfrac{\pi}4\right)=-\dfrac1{2\sqrt2} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x+\dfrac{\pi}4=-\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n\\[1ex] &2x+\dfrac{\pi}4=\pi+\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \)  
\(\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}-\dfrac{\pi}8+\pi n\\[1ex] &x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac12\arcsin {\dfrac1{2\sqrt2}}+\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ n\in\mathbb{Z}\)

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\):

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\):

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(\sin^2x-\cos^2x=-\cos2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\):

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\):

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\)   (по первой формуле)

shkolkovo.net

Решение сложных тригонометрических уравнений — математика, прочее

Сейджанова А.А.,І санатты математика пән мұғалімі,

Новеньский ОЖББМ, Новенький ауылы, Зеленов ауданы, Батыс-Қазақстан облысы.

Бүгінгі кезде оқушы үшін математикалық білім сапасының көрсеткіші ҰБТ-ның есептері негізінде аңықталады. Мұғалім сабақтың әрбір сатысында, әртүрлі бақылау кезеңдерінде ҰБТ тапсырмаларын қолданады. Соның ішінде тригонометриялық теңдеулер оқушыларға қиындық келтіреді . Ол үшін тригонометриялық формулаларын толық білу қажет керек. ҰБТ-ке дайындау барысында көмегі тиіп қалар деген оймен мына есептердің шешу жолдарын ұсынып отырмын .

1. Теңдеу сos2x-3cosx=4cos²

Дәреже төмендету және қосбұрышты формуласын қолданамыз: cos² =

соs2x=2cos²x-1

Сонда шығады: 2cos²x-1-3cosx=4( )

2cos²x-1-3cosx-2-2cosx=0

2cos²x-5cosx-3=0, cosx=y, 2y²-5y-3=0, D=49, y₁=3,y₂=

3 саны косинустың мәндер облысына кірмейді, сондықтан cosx==

x=±+2πn, nZ Жауабы: x=±+2πn, nZ

2. Теңдеу Теңдеуді шешіңіз: ctgx+=2,

ctgx= өрнектеп, теңдеуді шешеміз: +=2

cosx+cos²x+sin²x=2sinx(1+cosx)

(cosx+1)- 2sinx(1+cosx)=0

(cosx+1)*(1-2sinx)=0

cosx=-1 sinx=

x= π+2πn, x=(-1)ⁿ +πk nZ. Жауабы: x= π+2πn, x=(-1)ⁿ +πk nZ

3. Теңдеу sinx+cosx=1 [270⁰; 450⁰] кесіндісіне тиісті түбірлерінің қосындысын табыңыз:

Біріншіден, теңдеуді ге көбейтеміз

sinx+cosx=1 /*

sinx+cosx=

sinsinx+coscosx=

мұнда косинустың қосу формуласын қолданамыз, сонда

cos(x-)=

x-=±+2πn

x=±++2πn, nZ n=0,1,2,3…

n=0, x= += 90⁰[270⁰; 450⁰]

n=1, x=++2π=60⁰+30⁰+360⁰=450⁰, 450⁰[270⁰; 450⁰]

n=1, x=-60⁰+30⁰+360⁰=330⁰, 330⁰[270⁰; 450⁰]

n=2, x=60⁰+30⁰+720⁰= 810⁰, 810⁰[270⁰; 450⁰]

n=2, x=-60⁰+30⁰+720⁰=690⁰, 690⁰[270⁰; 450⁰]

мұнда берілген кесіндіде екі түбір бар екен, олардың қосындысын табайық x=330⁰+450⁰=780⁰

Жауабы: 780⁰

4. Теңдеу:tg²x-3tgx+4= 3ctgx-ctg²x

(tg²x+ ctg²x)-3(tgx+ctgx)+4=0, негізгі тепе-теңдік бойынша ctgx=

(tgx+)²— 3(tgx+)+2=0, tgx+=y

y²-3y+2=0, y= 2;1

tgx+=2, tgx+=1 ортақ бөліміне келтіреміз,

tg²x-tgx+2=0 tg²x-tgx+1=0

D²=0, осыдан tgx=1 x=+πn, nZ Жауабы: x=+πn, nZ

5. Теңдеу 4sin⁴x+cos4x=1+12cos⁴x, cos4x=1-2sin²2x формуланы қолданамыз

. 4sin⁴x+1-2sin²2x=1+12cos⁴x, sin²2x=4 sin²xcos²x

4sin⁴x-8 sin²xcos²x =12cos⁴x

4sin²x(sin²x-2 cos²x)- 12cos⁴x=0, cos²x=1- sin²x

4sin²x(3sin²x-2)- 12cos⁴x=0, жақшаларды ашып, түрлендіреміз

12sin⁴x-8sin²x-12cos⁴x=0

12sin⁴x-12cos⁴x-8sin²x=0, 12-ні жақша сыртына шығарып, қысқаша көбейту формулаларын қолданып, жіктейміз.

12(sin²x- cos²x)( cos²x+ sin²x)- 8sin²x=0, cos²x+ sin²x=1

12 sin²x- 12cos²x -8 sin²x=0

4sin²x-12 cos²x=0 /4 cos²x

tg²x=3, дәреже төмендету формаласын колданамыз tg²x=

= 3, 1-cos2x=3+3cos2x,

-4cos2x=2

cos2x= -, 2x=(π-)+2πn, nZ

x=+ πn , немесе x=+ πn. Жауабы: x=+ πn, nZ

6. Теңдеу: 1+cosx=ctgтеңдеуді шешеміз, мұнда ctg==формуламен алмастырамыз

1+cosx= /* (1-cosx) көбейтіп, теңдеуді түрлендіреміз

1-cos²x-sinx=0

sin²x-sinx=0

sinx(sinx-1)=0

sinx=0, sinx-1=0

x=πn, sinx=1

x=πn , x=+2πk. Жауабы: x=πn; x=+2πk, nZ

7. Теңдеу:. sin²2x+sin²3x+sin²4x+sin²5x=2, дәреже төмендету формулаларын қолданамыз sin²x=

(1-cos4x)+(1-cos6x)+(1-cos8x)+(1-cos10x)=2

(1-cos4x-cos6x –cos8x-cos10x+3)=2

cos4x+cos6x+cos8x+cos10x=0, қосылғыштарды топтап, соsx+cosy= 2coscos формуласын қолданамыз. Сонда

(cos4x+cos10)+(cos6x+cos8x)=0

2coscos+2coscos=0

2cos7xcos3x+2cos7xcosx=0

2cos7x(cos3x+cosx)=0

2cos7x=0, cos3x+cosx=0

7x=+πn 2coscos

x=+n 2cos2xcosx=0

cos2x=0, cosx=0

2x=+πk, x=+πm

х=+k

Жауабы: x=+n, х=+k, x=+πm мұнда nZ

kopilkaurokov.ru

Тригонометрические уравнения 1

В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Теперь можно начать решение.

Задача 1. Решить уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

Разложим формулу , и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:

Сгруппируем слагаемые:

Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:

Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:

Первое:

При возведении в квадрат:

Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения  квадрат.

Второе:

Возводим в квадрат:

Снова уравнение распалось на два:

– это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.

или  – данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно: .

Задача 2. Решить уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:

Вводим замену:

Корни:

Обратная замена:

или

Решения:

Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.

Задача 3. Решить уравнение:

Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:

Домножим на 2 для удобства:

Произведем перегруппировку:

или

Первое:

При возведении в квадрат:

Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:

Второе:

Так как решения уравнения не являются решениями исходного уравнения, то деление на не приведет к потере корней, тогда разделим на :

Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.

Ответ: ,

Задача 4. Решить уравнение:

Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.

Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:

Получили квадратное уравнение относительно косинусов:

или   – очевидно, что решение второго – пустое множество.

С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:

Ответ: .

Задача 5. Решить уравнение:

Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.

Возводим уравнение в квадрат:

Формулу тройного аргумента раскроем:

или – сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)

Итак, имеем: , или , или

Решения первого уравнения:

Решения второго уравнения:

– не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.

Решения третьего:

Ответ: ,

Задача 6. Решить уравнение:

Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.

Возводим в квадрат:

Раскроем формулу тройного аргумента:

Домножим на 3 для удобства:

Приравняем к нулю оба множителя:

или 

Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:

Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.

Второму корню будет соответствовать решение:

и , эти два решения можно объединить в одно и записать:

Ответ: , .

easy-physic.ru

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Прежде чем решать тригонометрические уравнения, вы должны хорошо разбираться  в тригонометрическом круге.

Все тригонометрические уравнения, какими они не были  – простыми или сложными, в итоге сводятся к решению четырех типов простейших тригонометрических уравнений.

Вы просто обязаны уметь решать уравнения вида

Формулы–алгоритмы  будут  разбросаны  по  трем статьям,

здесь же они собраны все вместе =>

+ показать

Давайте разбираться. В этой статье мы рассмотрим решение уравнения вида . Решение остальных типов простейших уравнений смотрим здесь: часть 2 (), часть 3 (,  )

 Уравнение вида 

Решим уравнение

Мы должны подобрать такие значения аргумента , то есть такие значения углов, косинус которых равнялся бы .

Смотрим на тригонометрический круг, на оси косинусов находим :

Выстраиваем через эту точку вертикаль, получаем две точки на круге:

Но надо понимать, что за этими точками скрывается бесконечно много других точек, – таких, косинус в которых также равен . Мы об этом подробно говорили в предыдущей статье, когда знакомились с тригонометрическим кругом.

На координатной прямой подходящие нам точки располагаются  так:

А с графической точки зрения решение уравнения   выглядело бы так:

Как все точки взять в ответ?

Нам поможет счетчик . Возьмем , то есть

Решением уравнения будет

Возьмите, поперебирайте различные значения подставьте в вышеуказанную формулу.

Вы получите как раз точки  при ,

при ,

при и т.д.

То что нам нужно!

Если бы мы решали, например,  уравнение , то решением бы было

.

Я думаю, вы уже увидели общий принцип формирования  ответа.

Давайте дадим  формулу, которой можно руководствоваться, решая уравнения

, где – из

(в противном случае, когда – не из – решений нет)

Но вам формула будет понятна, если вы уже знакомы с понятием «арккосинус».

Если нам попадается уравнение с нетабличным значением косинуса, вроде этого , то решение будет следующее:

Частные случаи решения уравнения

1)

 Мы должны бы записать так:

.

Но можно записать решение иначе (ведь в данном случае между точками расстояние – полкруга, значит нам можно использовать полукруговой счетчик ):

2)

У нас только одна серия корней:

то есть 

3) 

Аналогично решению примера 2, решение такое:

egemaximum.ru

Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений используется несколько основных формул, около 20 дополнительных, и всего 8 методов решения. Все эти методы по-своему хороши и применимы для разных видов тригонометрических уравнений. Главная задача при решении тригонометрического уравнения состоит в том, чтобы правильно преобразовать его, свести к какому-нибудь более стандартному варианту подобрать наилучших способ решения для конкретного случая. То есть, в большинстве своём, главная проблема заключается в том, что уравнения надо непременно сначала привести к какому-то виду, прежде чем применить нужный метод решения.

Итак. как я уже сказала, основным методов решения тригонометрических уравнений 8:

1)Разложение одной из частей уравнения на множители.

В данном случае мы все слагаемые переносим в левую часть, раскладываем её на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

Недостаток метода: может быть применён только к узкому кругу уравнений.

2)Замена переменной.

В данном случае уравнение приводят к такому виду, чтобы остался только один вид тригонометрической функции, а затем заменяют её на новую переменную. После решения уравнения относительно введённой переменной, остаётся только решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения согласно базовым формулам.

Преимущество метода: может быть применён к любому тригонометрическому уравнению (если только это целесообразно), так как все тригонометрические функции можно выразить друг через друга. Может также применяться совместно с другими методами.

Недостаток метода: Иногда, пытаясь свести всё уравнение к одному типу тригонометрической функции, мы получаем слишком сложное уравнение, так как не все функции связаны простыми зависимостями. К тому же метод нецелесообразен, когда в уравнении много разных тригонометрических функций.

3)метод решения однородных тригонометрических уравнений. В данном случае мы сначала приводим уравнения к однородному тригонометрическому уравнению. Затем делим обе части на cos x/cos2x/cos3x в зависимости от степени уравнения. Затем производим замену переменной и решаем методом замены переменной.

Преимущество метода: очень прост в применении. Одинаков для всех тригонометрических уравнений одной степени.

Недостаток метода: Далеко не все тригонометрические уравнения можно привести к виду однородных.

4) Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.

Недостаток метода: можно решить только уравнения определённого вида или сводимые к ним уравнения.

5) Метод подстановки.

В этом случае вместо часто повторяющейся разности или суммы двух функций подставляют переменную, решают уравнение относительно неё, а затем возвращаются к сумме или разности функций, которая была заменена.

Преимущество метода6 даёт большие результаты в комплексном использовании вместе с другими методами.

Недостаток метода: редко применим к сложным уравнениям.

6)Решение тригонометрических уравнении, содержащих обратные тригонометрические функции.

7)Метод универсальной подстановки.

Преимущество: применим для большинства уравнений. В сопряжении с другими методами едва ли не уникален.

Недостаток: после применения подстановки сужается область определения уравнения, поэтому все значения необходимо проверять.

8) ограниченность функций(графический способ). Каждая часть уравнения рассматривается как отдельная функция, причём первая из них – тригонометрическая, а вторая – алгебраическая, строятся графики этих функций, находятся их пересечения.

Преимущество метода: Наглядность, отсутствие сложных преобразований.

Недостатки: Невозможность построения некоторых графиков. Возможность неточностей в определении координат точек пересечения. Возможность ошибки в построении.

*9) Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

также существуют общие правила решения тригонометрических уравнений. Во время решения необходимо решать задачи:

1) отсева посторонних корней,

2) потери корней,

3) пересечения решений.

Основная часть.

Общие правила решения тригонометрических уравнений:I.

Решение тригонометрических уравнений сводится, как правило, к решению простейших уравнений: a) sin x = a.

Все решения можно описать формулой: x = (-1)k arcsin a + k, где k – число целое.

b) cos x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arccos a + 2k, где k – число целое.

c) tg x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arctg a + k, где k – число целое.

d) ctg x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arcсtg a + k, где k – число целое.

Если a = 0, то для решения уравнений используются следующие частные формулы: sin x = 0, x = k, где k – число целое.

sin x = 1, x = +2k, где k – число целое.

sin x = -1, x = — + 2k, где k – число целое.

cos x = 0, x = +k, где k – число целое.

cos x = 1, x = 2k, где k – число целое.

cos x = -1, x = +k, где k – число целое.

tg x = 0, x = k, где k – число целое.

ctg x = 0, x = +k, где k – число целое.

1 метод: Разложение одной из частей уравнения на множители.

При данном методе решения всё переносится в левую часть уравнения так, чтобы в правой при этом оставался 0. Затем левая часть уравнения раскладывается на множители и далее уравнение решается согласно известному правилу: если произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен нулю. Так мы получаем из сложного уравнения совокупность простых уравнений вида cos t = a, sin t = a, tg t = a, ctg t = a, для решения которых используются вышеприведённые формулы

Примеры применения данного метода:

1) 4sin tcos t – 2cos t + 2sin t — 1 = 0

(2sin t – 1)(2cos t + 1) = 0

2sin t – 1 = 0 или 2cos t + 1 = 0 sin t = или cos t = —

Тогда: t = (-1)karcsin + k, k – число целое или t = arcos(-) a + 2k, где k – число целое.

Иначе: t = (-1)k + k, k – число целое или t = + 2k, где k – число целое.

2) 3tg2 t – 2tg t = 0 tg t (3tg t – 2) = 0 tg t = 0 или 3 tg t – 2 = 0 tg t = 0 или tg t =

Тогда: t = arctg 0 + k = k, где k – число целое или t = arctg + k, где k – число целое.

3) ctg t = ctg3 t ctg t – ctg3 t = 0 ctg t( – ctg2 t) = 0 ctg t( – ctg t)( + ctg t) = 0 ctg t = 0 или – ctg t = 0 или + ctg t = 0

Тогда: t = + k, k – число целое.

t = arcctg + k, где k– число целое t = ( – arcctg ) + k, где k – число целое.

4) 1 – sin xcos x = sin x – cos x

1 – sin xcos x – sin x + cos x = 0

(sin x -1) + cos x (sin x – 1) = 0

(cos x + 1)(sin x – 1) = 0 cos x + 1 = 0 или sin x – 1 = 0 cos x = -1 или sin x = 1 x1 = + k, где k– число целое.

x2 = + 2n, где n – число целое.

2 метод: Замена переменной.

При данном методе решения также все слагаемые переносятся в левую часть, в правой остаётся 0, а тригонометрическая функция в уравнении заменяется переменной. Далее уравнение решается как обычное квадратное уравнение относительно этой переменной. После нахождения значений необходимо заменить переменную соответствующей тригонометрической функцией и найти корни исходного уравнения по формулам.

Примеры применения данного метода:

1) 3cos2 x = 7(sin x +1)

3 – 3sin2 x – 7sin x – 7 = 0

3sin2 x + 7sin x + 4 = 0

Пусть sin x = a, тогда:

3a2 + 7a + 4 = 0

D = 49 – 4*12 = 1 a1 = = -1 a2 = = = , посторонний корень.

Т. к. a = sin x, то: sin x = -1 x = (-1)k+1 * arcsin1 + k, k – число целое.

x = (-1)k+1 * + k, k – число целое.

2) tg2 x + 2tg x – 3 = 0

Пусть tg x = a, тогда: a2 + 2a – 3 = 0

D = 4 + 12 = 16 = 42 a1 = = 1 a2 = = -3

Т. к a = tg x, то: tg x = -3 или tg x = 1 x = -arctg 3 + k или x = + k, где k – число целое.

3) + 10 = + 7

2ctg2 x + 10 + 5ctg x – 7 = 0

2ctg2 x + 5 ctg x + 3 = 0

Пусть ctg x = a, тогда:

2a2 + 5a + 3 = 0

D = 25 – 423 = 1 a1 = = -1 a2 = = -1. 5

Т. к. a = ctg x, то: ctg x = -1 или ctg x = — 1. 5 x = – arcctg1 + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.

x = + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.

4)Перепишем уравнение в виде получили уравнение, однородное относительно и Рассмотрим два случая:

1)тогдаоткудачто невозможно, поскольку в этом случае корней нет.

2)тогда разделим обе части уравнения на Пусть Получим откуда Осталось решить уравнения и

Ответ: где

3 метод: Применяется к однородным тригонометрическим уравнениям.

Определение однородных тригонометрических уравнений:

Уравнение вида asin x + bcos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Уравнение вида asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Уравнение вида asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением третей степени.

А вообще тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

1)Итак, однородные тригонометрические уравнения первой степени решают так:

Сначала обе части уравнения делим почленно на cos x, получим: asin x + bcos x = 0

Выполнив преобразования, получим: atg x + b = 0 tg x =

Отсюда по формуле находим x.

2)Однородные тригонометрические уравнения второй степени решают так: asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 cos2 x

+ + =

Выполнив преобразования, получим: atg2 x + btg x + c = 0

Далее решаем уравнение методом замены переменной. (см. пример 4) к этому методу).

3)Однородные тригонометрические уравнения третей степени решают так: asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 cos3 x

+ + + = 0

Выполнив преобразования, получим: atg3 x + btg2 x + ctg + d = 0

Далее производим замену переменной и решаем получившееся кубическое уравнение относительно новой переменной. Затем возвращаемся к замене и вычисляем по формуле корни уравнения.

Примеры применения данного метода:

1) sin2 x + 2sin( – x) cos x – 3cos2 (2 – x) = 0

Выполнив преобразования, получим: sin2x + 2sin xcos x – 3cos2 x = 0 cos2 x

+ — = tg2x + 2tg x – 3 = 0

Получаем уравнение, уже решённое нами как пример 2 ко второму методу решения тригонометрических уравнений.

2) 3sin2 3x -2 3 sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2

Данное уравнение не является однородным уравнением, поэтому сначала его необходимо привести к виду asin2 x + bsinxcos x+ ccos2 x = 0.

sin2t + cos2t = 1

Тогда 2sin2t + 2cos2t = 2. Заменим t на 3x. Получим равенство:

2sin23x + 2cos23x= 2

Подставим выражение из левой части в правую часть исходного уравнения. Получим:

3sin2 3x — 2sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2sin23x + 2cos23x

3sin2 3x — 2sin3xcos3x + 5cos2 3x – 2sin23x – 2cos23x = 0 sin2 3x — 2sin3xcos3x + 3cos2 3x = 0 cos2 3x

— + = tg2 3x – 2tg3x + 3 = 0

Пусть z = tg3x, тогда: z2 – 2z + 3 = 0

(z-)2 = 0 z =, т. е. tg 3x =

Тогда по формуле 3x = arctg + k

3x = П/3 + k x = П/9 + Пk/3, где k – число целое

3) 2sin x – 3cos x = 0

2tg x – 3 = 0 tg x = 1. 5 x = arctg 1. 5 + k, где k – число целое.

4 метод: Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.

a*cos x + b*sin x = c

Разделим обе части уравнения на = 0.

Легко проверить, что

+ = 1 этому существует такой угол, что cos =, sin =

Если c2 a2 + b2, то найдётся такой угол n,что = cos. В этом случае получим уравнение coscos x + sinsin x = cos cos(x –) = cos, равносильное данному. Решая это уравнение, находим множество решений x = ++ , k – число целое. Если же условие c2 a2 + b2 не выполняется, то уравнение решений уравнение решений не имеет.

Примеры применения данного метода:

1) sin 2x + cos 2x + 1 = 0

+ = sin 2xcos + cos 2xsin = sin(2x + ) =

Откуда x = (-1)k+1 – + , где k – число целое.

2) 12cos x – 5sin x + 13 = 0

Разделив обе части уравнения на = 13, получим cos x – sin x = -1

Полагая cos= и sin=, записываем cos(x +) = -1, где = arccos = arcsin. Решая это уравнение, находим x + = +2k, где k – число целое x = -+ +2k, где k – число целое, откуда x = -arccos + (2k = 1), где k – число целое.

5 метод: Метод подстановки.

Иногда методом введения вспомогательного угла = решаются уравнения, содержащие одно из выражений sin x + cos x, sin x – cos x или sin xcos x. При этом вводят подстановку t = sin x + cos x или t = sin x – cos x и, учитывая, что sin 2x = 2sin xcos x = (sin x + cos x)2 – 1 = t2 – 1 или sin 2x = 1 — (sin x — cos x)2 = 1 – t2, приходят к уравнению относительно переменной t.

Примеры применения данного метода:

1) sin x + cos x = 1 – sin 2x

Обозначим t = sin x + cos x, тогда sin 2x = t2 – 1, поэтому t = 1 – (t2 – 1) t2 + t – 2 = 0,t1 = 1,t2 = -2, откуда: 1) sin x + cos x = 1, x1 = (-1)k – + k, где k – число целое

2) уравнение sin x + cos x = -2 решений не имеет, так как

= cos

Заметим, что при решении тригонометрических уравнений часто произведения разноимённых или одноимённых тригонометрических функций вида sinx* cosx, sinx*sinx, cosx*cosx следует записать в виде суммы или разности этих функций.

6 метод: Решение тригонометрических уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, проводя аналогии с решением подобных уравнений с прямыми тригонометрическими функциями на основе определения зависимости между этими функциями.

Примеры применения данного метода:

1) arcsin x = —

Так как –

2) arcsin2 x – П/2 arcsin x + П2/18 = 0

Воспользуемся методом замены: t = arcsin x, тогда t2 – П/2 t + П2/18 = 0

Решив это уравнение. получим: t1 = , t2 =.

Т. е. arcsin x = или arcsin x =.

Отсюда x1 = , x2 =.

7 метод: Метод универсальной подстановки.

При решении тригонометрических уравнений можно использовать и так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

Если теперь ввести обозначение то

С помощью универсальной подстановки мы можем любое уравнение вида свести к алгебраическому уравнению. Важно при этом помнить, что, делая замену, мы можем потерять те корни исходного уравнения, для которых не определён, то есть значения их мы должны проверять отдельно.

В общем о решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений следует соблюдать общие правила: следить за равносильностью преобразований, не допускать потери корней, отбрасывать посторонние корни.

1) Отсев посторонних корней.

При решении уравнений вида возникает проблема отсеивания посторонних корней. Напомним, что

Примеры:

Далее из соотношения получаем , но тогда и

Замечание1.

Найдя корни уравнения, необходимо выбрать те значения m, которые удовлетворяют неравенству Так как период функций, входящих в уравнение, равен , то достаточно выполнить проверку на любом отрезке длины , например, на отрезке На этом отрезке необходимо проверить значения и. Только во второй точкеЭто значение с периодичностью и будет давать ответ.

Замечание2.

Можно заметить, что при Неравенство системы оставляет только один из возможных вариантов —

Область определения уравнения

Выполняя очевидные преобразовании, получим и В результате получаем систему

Ясно, что тогда, когда т. е. Легко видеть, что при но тогда

Находим область определения уравнения:

Решаем уравнение:

Если ,то

Если то

Но область определения даёт тогда но поэтому корни уравнения содержатся среди корней уравнения

В результате получаем систему

Попарная проверка соотношений приводит к соотношения которые всегда выполняются, так как в левой части этих неравенств чётные числа, а в правой – нечётные.

Покажем, что область определения уравнения есть все значения x, удовлетворяющие двойному неравенству

2) Потеря корней.

При решении некоторых тригонометрических равнений может произойти потеря корней. Это связано с применением формул, у которых левая и правая части имеют различные области определения, причём правая часть имеет более узкую область определения, чем левая. Это, например, формулы и т. д.

Замена при решении тригонометрических уравнений левой части указанных формул правой части может привести к потере корней, так как происходит сужение области определения уравнения. Поэтому после применения формул с различными областями определений необходимо выполнить проверку для тех значений неизвестного, при которых не определена правая часть формул. но определена их левая часть.

Примеры:

Для данного уравнения Заменяем исходное уравнение на уравнение

В первоначальном уравнении числа вида принадлежат области определения уравнения, а в полученном уравнении – нет, поэтому проверяем, не являются ли числа вида корнями данного уравнения:

— равенство верное.

Значит, — решение данного уравнения.

Продолжим решение уравнения

Ответ: ;

Область допустимых значений определяется системой неравенств: откуда Применяя формулы с и приходим к уравнению при этом произошло сужение области определения – добавилось ограничение

Для простоты дальнейшего решения положим где тогда уравнение принимает вид Так как то, сократив обе части уравнения на получим

Поскольку то Последнее уравнение положительных корней не имеет, так как при и непосредственная проверка показывает, что числа вида являются корнями данного уравнения.

Находим область определения уравнения. Очевидно, что Замечая, что приходим к уравнению Произошло сужение области определения – к ранее полученным ограничениям на x добавляется новое: Так как равенство верное, то — решение данного уравнения. Введём обозначение тогда последнее уравнение примет вид При и оно равносильно уравнению

или откуда или Но тогда

3) Пересечение решений.

Запись решения тригонометрического уравнения часто связана с понятиями «объединение» и «пересечение» множеств». Обычно при решении уравнений получаются серии корней и ответ записывается в виде объединения этих серий. Но иногда эти серии пересекаются. В этом случае следует исключить повторяющиеся решения. Кроме того, в ответе не должно быть значений неизвестных, при которых выражения в левой и правой частях уравнения не определены. Такие значения, если они появились в процессе решения, надо исключить. Для этого также следует найти пересечения различных серий. При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной совокупностью уравнений и находят объединение множеств решений этих уравнений.

Пример:

Допустимые значения неизвестного x определяются условиями откуда Эти три условия можно заменить одним: Увидеть это можно, например, на тригонометрическом круге: множество всех чисел вида содержит в себе числа видов Умножив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному на множестве допустимых значений Заметив, что получим

Но поэтому последнее уравнение равносильно совокупности уравнений и которые дают соответственно следующие серии корней: и Поскольку а при получается серия исключается. Рассмотрим серию исключим такие целые k, при которых найдётся такое n, что выполнится равенство или решим это уравнение в целых числах. Левая часть уравнения делится на 4, поэтому и откуда Числа — нечётные, поэтому и Значит, Отсюда следует, что в серии нужно исключить все корни, соответствующие значениям Значит, где — все решения исходного уравнения.

Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

1) В зависимости от значений параметра a решить уравнение и определить число его корней на отрезке

Допустимые значения переменной х задаются системой

Исходное уравнение равносильно уравнению которое равносильно совокупности двух уравнений

Так как то второе уравнение системы решений не имеет. Рассмотрим первое уравнение системы. Так как здесь числитель должен равняться нулю, т. е. то При таких значениях х с учётом области допустимых значений находим, что. Итак, при из неравенств следует, что Этим неравенствам удовлетворяют девять целых значений k и, следовательно, исходное уравнение имеет девять решений на заданном промежутке.

Пустьтогда первое уравнение системы запишется в виде Исключая из множества решения уравнений и получим А тогда решая неравенство находим, что и, таким образом, существует пять целых решений рассматриваемого неравенства. Рассмотрим случай При таком значении параметра а имеем уравнение Здесь уже надо из множества решений исключить решения уравнений и Сделав это, получим решая же неравенство окончательно находим, что при исходное неравенство имеет четыре решения.

Ответ: если , то девять корней если то пять корней если то четыре корня

2) При каких значениях параметров a и b уравнение имеет единственное решение? решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством то условия А=В, С=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы

Из первого уравнения этой системы находим, что А так как то приходим к рассмотрению систем и

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда, с учётом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы ответ здесь очевиден.

Ответ: любое.

3) В зависимости от значений параметров a и b решить уравнение

Обозначив получим систему откуда находим Но так как то и значит

Ответ: если то при других значениях a и b решений нет.

4) В зависимости от значений параметра а решить уравнение

Допустимыми значениями переменной х являются все При таких значениях х полагая перепишем уравнение в виде Если то При записанное уравнение равносильно совокупности Дискриминанты обоих уравнений совокупности совпадают и имеют вид: Поэтому, если то решений у уравнения нет.

Пусть В этом случае решая уравнения совокупности, находим, что

При имеем В остальных случаях все корни определяются формулами.

Ответ: если то решений нет; если то если , то при остальных значениях параметра а

Вывод по работе:

Я провела исследования по способам решения тригонометрических уравнений, выявила 9 основных методов решения тригонометрических уравнений, положительные и отрицательные черты этих методов, решила уравнения, которые не подлежат решению стандартными способами, выявила другие методы решения тригонометрических уравнений. Узнала. что особое внимание следует обратить на решение тригонометрических уравнений с параметрами, поскольку их решение наименее стандартно. При решении нестандартных тригонометрических уравнений следует умело анализировать зависимости между различными тригонометрическими функциями и уметь творчески подходить к работе.

Данная работа имеет большое практическое значение, т. к. тригонометрические уравнения часто содержатся в материалах ЕГЭ и экзаменов для поступления в вузы, а в школьном курсе математике недостаточно изучаются. Исследование может быть употреблено как материал для проведения предметных факультативов по алгебре или при подготовке к ЕГЭ.

www.hintfox.com

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Я начинаю цикл статей, посвященных решению тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств мы уже рассматривали, и теперь пора заняться более сложными вещами. Чтобы научиться решать более сложные тригонометрические уравнения, нужно хорошо знать типы тригонометрических уравнений и способы их решения.

Начнем с тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Отличительные признаки тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу.

2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция, или все функции можно свести к одной.

Заметим, что легко сводится к  или  по формуле косинуса двойного аргумента :

.

легко сводится к  с помощью основного тригонометрического тождества.

Пример 1. Решим уравнение:

1. Воспользуемся формулой приведения:

Получим уравнение:

2. Теперь   нам удобно выразить через , поскольку в уравнении присутствует :

, где 

Ответ: , где 

Пример 2. Решим уравнение.

Упростим выражение  — разложим его на множители по формуле разности квадратов :

Получим:

Введем замену переменной: , 

Получим квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни: ,  . Оба корня нас устраивают.

Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:

или 

, или ,  где 

Ответ: , ,  где 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1»

ege-ok.ru

С1 ГИА по математике — сокращение дробей.

2014-07-06 | Автор: Анна

Задания этого типа – совсем несложные, если вы знаете правила работы со степенями – то есть свойства степени. Если что-то оказалось подзабыто – ничего страшного, как раз и повторим.

Свойства степени:

1.          

2.          

3.          

4.          

5.          

6.          

7.          

8.          

9.          

10.        

Примеры:

1. Сократите дробь:

Чтобы решить пример такого типа, надо разложить основания степеней на “кирпичики” – найти такие числа, которые присутствовали бы и в числителе, и в знаменателе, и представить все в виде степеней этих чисел. В данном случае это числа 2 и 3: , .

Тогда:

Ответ: 12

2.  Сократите дробь: 

Решение:

Ответ: 200

3.   Сократите дробь: 

Решение:

Ответ: 33

Теперь разберем задание, в котором степени представлены в буквенном виде:

4.   Сократите дробь: 

Решение:

Ответ: 0,1 (обязательно через запятую)

5.  Сократите дробь: 

В этом примере можно приводить все как к степени двойки, так и к степени четверки:

Решение:

Ответ: 0,25

6.  Сократите дробь: 

Сначала преобразуем суммы и разности в степенях:

Решение:

Ответ: 0,08

easy-physic.ru

Дробная степень числа

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню, с показателем равным знаменателю и подкоренным числом в степени равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробный степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

naobumium.info

Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

Длина отрезка по координатам

Каждый отрезок определяется двумя точками, между которыми он заключен, и которые называются его концами. Если координаты точек известны, то можно вычислить длину заданного отрезка.

Рассмотрим отрезок КР. Его концы заданы координатами (x1; y1) и (x2; y2) соответственно. В таком случае, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно рассчитать его длину. Рассмотрим, как это делается.
На координатной плоскости проведем отрезок КР, концы которого имеют координаты (x1; y1) и (x2; y2). Из концов отрезка проведем к координатным осям перпендикуляры. Полученные отрезки на координатных осях будут являться проекциями заданного отрезка на эти оси.
Полученные проекции переместим, двигаясь параллельно относительно каждой оси, к концам заданного отрезка. Таким образом, получим прямоугольный треугольник, гипотенузу которого нужно найти, так как она же является исходным отрезком. Соответственно перенесенные проекции — это катеты треугольника.
Можно найти длину проекций. Из рисунка хорошо видно, что длина проекции на ось Оу равна разнице ординат точек К и Р, то есть у2 — у1. Соответственно, проекция на ось Ох также будет равна разнице, только абсцисс концов отрезка: х2 — х1.
К треугольнику применим теорему Пифагора, согласно которой запишем:

Обозначение модуля отрезка КР указывает на то, что рассчитывается длина этого отрезка.
Чтобы вычислить не квадрат длины, а саму длину, достаточно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

ru.solverbook.com

Длина отрезка по координатам онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведу подробный пример, как можно определить длину отрезка по заданным координатам, воспользовавшись сервисом онлайн на сайте Контрольная работа Ру.

Допустим, вам надо найти длину отрезка на плоскости

(в пространстве вы можете по-аналогии расчитывать, только надо изменить точку на размерность трёх)

Отрезок AB имеет концы с координатами A (1, 2) и B (3, 4).

Для того, чтобы вычислить длину отрезка AB воспользуйтесь следующими шагами:

1. Перейдите на страницу сервиса по нахождению расстояния между двумя точками онлайн:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/vector/rasstoyanie-mezhdu-tochkami/

Мы можем этим пользоваться, т.к. длина отрезка по коорд. как раз и равна расстоянию между точками A и B.

2. По указанной ссылке введите координаты первой точки также, как изображено на рис. ниже.

Чтобы задать правильную размерность точки A, то потяните за нижний правый край влево, как показано на рис.

После того, как ввели координаты первой точки A(1, 2), то нажмите на кнопку

«Ввёл координаты первой точки, далее!»

3. На втором шаге вы увидите форму для ввода второй точки B, введите её координаты, как рис. ниже:

4. После того, как вы нажмёте «Далее», то вы получите подробное решение по нахождениею длины отрезка:

Точки a и b введены! Решение:

[1 2]

[3 4]

Найдем расстояние между точками (s)

Находим: Расстояние между точками находится по правилу двух катетов и гипотенузы:
s = ((1 — (3))^2 + (2 — (4))^2)^(0.5) = 2.82842712475
Решением будет s = 2.82842712475

Т.е. длина отрезка равна ~ 2.83

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как найти длину отрезка по координатам

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат вся точка имеет три координаты. Зная координаты 2-х точек, дозволено определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

• Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

1. Разглядите для начала прямоугольную декартову систему координат. Расположение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.Пускай у вас сейчас есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и 2-й точки. Видимо, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) – векторная разность.Координаты вектора r, видимо, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r либо расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

2. Разглядите сейчас полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой ? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки дозволено перевести в декартовы дальнейшим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))

3. Сейчас разглядите сферическую систему координат. В ней расположение точки задается тремя координатами r, ? и ?. r – расстояние от начала координат до точки, ? и ? – азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол ? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а ? – угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Видео по теме

jprosto.ru

Как найти длину отрезка по координатам

Как найти длину отрезка по координатам
Рассмотрим две формулы вычисления длины отрезка для случаев, когда отрезок задан на плоскости и в пространстве.
Если отрезок задан на плоскости, то координаты его концов будут описываться двумя значениями — координатой точки по оси Ох и координатой по оси Оу. Таким образом, если отрезок имеет концы в точках Р и Н, которые заданы координатами и , то длина такого отрезка будет вычисляться по формуле:

Если отрезок задан в пространстве, то координаты его концов будут описываться тремя значениями — координатой точки по оси Ох, по оси Оу и по оси Oz. Таким образом, если отрезок имеет концы в точках Р и Н, которые заданы координатами и , то длина такого отрезка будет вычисляться по формуле:

Рассмотрим использование формул на примерах.

Пример 1.
Вычислить расстояние между двумя точками плоскости О (—2; 7) и С (9; 11).

Решение.
Поскольку точки заданы на плоскости, то используем первую формулу:

Подставим в нее известные координаты точек:

Ответ. .

Аналогично рассчитывается расстояние между двумя точками в пространстве, только для этого нужно использовать вторую формулу.

ru.solverbook.com

Как найти длину отрезка по точкам

Зная пространственные координаты 2-х точек в какой-нибудь системе дозволено без сложностей определить длину отрезка прямой между ними. Ниже описано как это сделать применительно к двухмерной и трехмерной Декартовой (прямоугольной) системе координат.

Инструкция

1. Если координаты крайних точек отрезка даны в двухмерной системе координат, то проведя через эти точки прямые линии, перпендикулярные осям координат, вы получите прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет начальный отрезок, а катеты образуют отрезки, длина которых равна проекции гипотенузы на всякую из координатных осей. Из теоремы Пифагора, определяющей квадрат длины гипотенузы как сумму квадратов длин катетов, дозволено сделать итог, что для нахождения длины начального отрезка довольно обнаружить длины 2-х его проекций на координатные оси.

2. Обнаружьте длины (X и Y) проекций начального отрезка на всякую ось системы координат. В двухмерной системе всякая из крайних точек представлена парой числовых значений (X1;Y1 и X2;Y2). Длины проекций вычисляются нахождением разницы координат этих точек по всей оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Допустимо, что одно либо оба полученных значения будут негативными, но в данном случае это не играет никакой роли.

3. Рассчитайте длину начального отрезка (A), обнаружив квадратный корень из суммы квадратов рассчитанных на предыдущем шаге длин проекций на оси координат: A = √(X?+Y?) = √ ((X2-X1)?+(Y2-Y1)?). Скажем, если отрезок проведен между точками с координатами 2;4 и 4;1, то длина его будет равна √((4-2)?+(1-4)?) = √13 ? 3,61.

4. Если координаты точек, ограничивающих отрезок, даны в трехмерной системе координат (X1;Y1;Z1 и X2;Y2;Z2), то формула нахождения длины (A) этого отрезка будет аналогична полученной на предыдущем шаге. В этом случае нужно обнаружить квадратный корень из суммы квадратов проекций на три координатные оси: A = √((X2-X1)?+(Y2-Y1)?+(Z2-Z1)?). Скажем, если отрезок проведен между точками, с координатами 2;4;1 и 4;1;3, то длина его будет равна √((4-2)?+(1-4)?+(3-1)?) = √17 ? 4,12.

jprosto.ru

Калькулятор онлайн — Длина отрезка. Расстояние между точками

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояние между двумя точками A и B (вычисляет длину отрезка AB).

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния между двумя точками A и B (вычисления длины отрезка AB) не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Калькулятор на C#

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Threading.Tasks;

using System.Windows.Forms;

namespace <a name=»YANDEX_4″></a><span> Калькулятор </span>

{

    public partial class Form1 : Form

    {

        public Form1()

        {

            InitializeComponent();

        }

        char znak;

        string a;

        string b;

        bool pomnish = false;

        private void button4_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «3»;

        }

        private void button12_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «7»;

        }

        private void button6_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «1»;

        }

        private void button5_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «2»;

        }

        private void button9_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «4»;

        }

        private void button8_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «5»;

        }

        private void button7_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «6»;

        }

        private void button11_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «8»;

        }

        private void button10_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «9»;

        }

        private void button2_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text += «0»;

        }

        private void button1_Click(object sender, EventArgs e)

        {      

                textBox1.Text += ‘,’;          

        }

        private void button16_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            string rez = «»;

            byte i = 0;

            while (i < textBox1.Text.Length — 1) // Пока i меньше длины textBox-1

            {

                rez += textBox1.Text[i];

                i++;

            }

            textBox1.Text = rez; // Переменная rez = textBox без последнего символа

        }

        private void button14_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            if (pomnish) { schitaem(); }

            znak = ‘*’;

            a = textBox1.Text;

            textBox1.Text += «*»;

            pomnish = true;

        }

        private void button13_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            if (pomnish) { schitaem(); }

            znak = ‘-‘;

            a = textBox1.Text;

            textBox1.Text += «-«;

            pomnish = true;

        }

        private void button3_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            if (pomnish) { schitaem(); }

            znak = ‘+’;

            a = textBox1.Text;

            textBox1.Text += «+»;

            pomnish = true;

        }

        private void button15_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            if (pomnish) { schitaem(); }

            znak = ‘/’;

            a = textBox1.Text;

            textBox1.Text += «/»;

            pomnish = true;

        }

        private void button18_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            schitaem();

            pomnish = false;

        }

        public void schitaem()

        {

            int i = a.Length + 1;

            while (i < textBox1.Text.Length)

            {

                b += textBox1.Text[i];

                i++;

            }

            if (znak == ‘+’) { textBox1.Text = Convert.ToString(Convert.ToDouble(a) + Convert.ToDouble(b)); }

            if (znak == ‘-‘) { textBox1.Text = Convert.ToString(Convert.ToDouble(a) — Convert.ToDouble(b)); }

            if (znak == ‘*’) { textBox1.Text = Convert.ToString(Convert.ToDouble(a) * Convert.ToDouble(b)); }

            if (znak == ‘/’) { textBox1.Text = Convert.ToString(Convert.ToDouble(a) / Convert.ToDouble(b)); }

            b = null;

        }

        private void button17_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            textBox1.Text = null;

            pomnish = false;

        }

    }

}

bunkerbook.ru

Символьный калькулятор на C# / Habr

как найти массу зная площадь и высоту?

Никак, если не знаешь ещё и плотность.

Никак. Нужна плотность вещества. Плотность умноженная на объем (площадь умноженная на высоту) и даст массу.

Плотность еще знать надо. Массу мы легко найдем плотность делим на объем.

Иля, ты дура!? Массу мы легко найдем УМНОЖИВ плотность на объём!

touch.otvet.mail.ru

как найти объем зная периметр

Фигура, имеющая периметр — плоская и объёма не имеет .Ваш вопрос равносилен вопросу: Как найти площадь отрезка?

Надо бы еще знать тип фигуры и высоту…

эмм.. . бред несешь. объем — для объемных фигур, периметр — для так скажем 2D… лежащий в одной пл-ти

никак. Нужно знать площадь поперечного сечения и длину направляющей.

умножить длинну на ширину и на высоту

)) Ответу выше: Отрезок площади не имеет. Ваш вопрос равносилен вопросу: Как найти длину точки? ))))))))) ;))

ну я не буду в очередной раз говорить что это ТУПОЙ вопрос и скорее всего ты ТУПАЯ блондинка! ноесли учесть что ты в классе шестом-сеьмом то ПРОСТО умножи на длину! лучше умножь на калькуляторе а то столбиком ошибёшься!

touch.otvet.mail.ru

Как вычислить объем (м3) имея высоту, длину и ширину объекта?

а в чем собственно проблемка, то все величины есть, а как мы знаем V=S x h= a x b x h, где а-ширина, b-длина, h-высота. Короче нужно все это перемножить и естественно перевести в одну единицу измерения, обычно в метры

перемножь данные

все перемножить и перевсти в метры

Дмитрий, Вы это серьезно?

сначала все перевести в метры, потом перемножить

Умножить длину на ширину на высоту. ( если я не ошибаюсь)

Я тоже хочу такое покурить…

touch.otvet.mail.ru

Выборочная несмещенная дисперсия — statanaliz.info

Приветствую посетителей блога statanaliz.info. Это очередная статья из рубрики «вариация данных». Сегодня мы продолжаем знакомство со статистической непредсказуемостью.

Тема не нова, так как с таким показателями как размах значений, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации мы уже знакомы. Даже узнали, по каким формулам они рассчитываются и что обозначают. Дабы не тратить время, повторяться не буду, а те, кому интересно, могут перейти по соответствующим ссылкам.

Сразу разочарую: новых показателей вариации сегодня не будет. Зато мы возвращаемся к полюбившейся дисперсии и среднеквадратическому отклонению (корень из дисперсии), и на то есть веская причина.

Кто сталкивался с более-менее серьезным статистическим анализом, наверняка слышал термин «несмещенная дисперсия». Некоторые даже знают, чем расчет такой дисперсии отличается от обычной. Да-да, правильно – делим не на n, а на n-1. Думаю, многим будет интересно узнать, в чем различие и, собственно, кому это надо.

Из названия «выборочная несмещенная дисперсия» видно, что она как-то связана с выборкой. Действительно, выборочная дисперсия рассчитывается по выборке данных.

Понятие о сплошном и выборочном наблюдении

С точки зрения охвата объекта исследования, статистический анализ можно разделить на два вида: сплошной и выборочный. Сплошной статанализ предполагает изучение генеральной совокупности данных, то есть всего явления во всем его многообразии без распространения выводов на другие элементы, не входящие в анализируемую совокупность. Из названия данного типа явствует, что наблюдению подвергаются тотально все элементы. Результат анализа распространяется на всю генеральную совокупность без каких-либо допущений и поправок на ошибку. Данный тип статистического исследования является наиболее полным и точным, так как дополнительные знания почерпнуть уже неоткуда – информация собрана со всех элементов объекта исследования. Это бесспорный плюс.

Отличным примером сплошного наблюдения является перепись населения. «Всесоюзная перепись населения» — красиво звучало! Кстати, советская статистика, как и наука в целом, была одной из самых лучших в мире. Денег на проведение сплошных обследований не жалели, так как при СССР статистика выполняла свою прямую функцию – исследовала реальность, без чего невозможно было строить «светлое будущее». При этом советские ученые-статистики справедливо критиковали буржуазную статистику за то, что те скрывают от народа реальное положение дел и используют статистику для промывки мозгов. Об этом, кстати, писали и сами буржуи. Более практичный пример сплошного наблюдения – опрос жителей многоэтажного дома на предмет заваривания мусоропровода. Опрашиваются все, результат дает вполне однозначный ответ об отношении жителей к мусоропроводу. Ошибки в выводах маловероятны.

Как бы там ни было, у сплошного наблюдения есть отрицательное качество: на организацию и проведение исследования могут потребоваться значительные ресурсы. Одно дело взять пробу из партии товаров, другое – проверять всю партию. Одно дело опросить тысячу прохожих на улице, совсем другое – организовать перепись населения.

В противовес сплошному придумали выборочное наблюдение. Название метода точно отражает его суть: из генеральной совокупности отбирается и анализируется только часть данных, а выводы распространяют на всю генеральную совокупность. Отбор данных происходит таким образом, чтобы выборка была репрезентативной, то есть, сохранила внутреннюю структуру и закономерности генеральной совокупности. Если это условие не соблюдено, то дальнейший анализ во многом теряет смысл.

Сам анализ выборочных данных происходит так же, как и при сплошном наблюдении (рассчитываются различные показатели, делаются прогнозы и т.д.), только с поправкой на ошибку. Это значит, что рассчитывая тот или иной показатель, мы понимаем, что при повторной выборке его значение всегда будет иным. К примеру, провели опрос общественного мнения об отношении к кандидатам в президенты. Опрос показал, что за кандидата N желают проголосовать 60% опрошенных. Если провести еще один такой же опрос, даже в том же месте, то результат будет отличаться. То есть, взяв первое значение 60%, следует понимать, что с той или иной вероятностью оно могло быть, скажем, и 55%, и 65%. Точность и разброс выборочных показателей зависят от характера данных.

Пример изменчивости средней рассмотрен в статье о качестве средней величины при маленьком объеме данных. Там как раз речь идет о том, что средняя величина постоянно меняется и для решения проблемы предлагается увеличить выборку. Большая выборка, бесспорно, дает более надежные результаты, чем маленькая, но даже в этом случае ошибка сохранится, только станет меньше. А иногда и выбора нет, приходится иметь дело с маленькими выборками.

У выборочного наблюдения есть один существенный плюс и один минус, однако по сравнению со сплошным наблюдением крайности меняются местами. Плюс заключается в том, что для проведения выборочного обследования требуется гораздо меньше ресурсов. Минус – в том, что выборочное наблюдение всегда ошибочно. Поэтому основная задача проведения выборочного наблюдения – добиться максимальной точности при приемлемых затратах на его проведение.

Выборочная несмещенная дисперсия

{module 111}

И вот, стало быть, дисперсия. Дисперсия, как и доля или средняя арифметическая, также меняет свое значение от выборки к выборке, но здесь есть интересная особенность. Дисперсия ведь рассчитывается от средней величины, а она в свою очередь тоже рассчитывается по выборке, то есть является ошибочной. Как же это обстоятельство влияет на саму дисперсию?

Если бы мы знали истинную среднюю величину (по генеральной совокупности), то ошибка дисперсии была бы связана только с нерепрезентативностью, то есть с тем, что данные в выборке оказались бы ближе или дальше от средней, чем в целом по генеральной совокупности. При этом при многократном повторении данные стремились бы к своему реальному расположению относительно средней.

Выборочный показатель, который при многократном повторении выборки стремится к своему теоретическому значению, называется несмещенной оценкой. Почему оценкой? Потому что мы не знаем реальное значение показателя (по генеральной совокупности), и с помощью выборочного наблюдения пытаемся его оценить. Оценка показателя – это есть его характеристика, рассчитанная по выборке.

Примером из жизни могут служить оценки в школе. Учитель же не может влезть в мозг школьника и измерить объем знаний. Школьнику задаются вопросы, задачи, на основе чего оцениваются его знания (производится как бы выборочное наблюдение). Как и в эконометрике, оценка знаний школьника может быть ошибочна, что многие знают по себе. Почему-то только каждый считает, что его оценки занижают. Правда, учителя считают, что оценки завышают.

Теперь смотрим внимательно на выборочную среднюю. Выборочная средняя – это несмещенная оценка математического ожидания, так как средняя из выборочных средних стремится к своему теоретическому значению по генеральной совокупности. Где она расположена? Правильно, в центре выборки! Средняя всегда находится в центре значений, по которым рассчитана – на то она и средняя. А раз выборочная средняя находится в центре выборки, то из этого следует, что сумма квадратов расстояний от каждого значения выборки до выборочной средней всегда меньше, чем до любой другой точки, в том числе и до генеральной средней. Это ключевой момент. А раз так, то дисперсия в каждой выборке будет занижена. Средняя из заниженных дисперсий тоже даст заниженное значение. То есть при многократном повторении эксперимента выборочная дисперсия не будет стремиться к своему истинному значению (как выборочная средняя), а будет смещена относительно истинного значения по генеральной совокупности.

Отклонение выборочной средней от генеральной показано на рисунке.

Несмещенность оценки – одна из важных характеристик статистического показателя. Смещенная оценка показателя заранее говорит о тенденции к ошибке. Поэтому показатели стараются оценивать таким образом, чтобы их оценки были несмещенными (как у средней арифметической). Для того, чтобы решить проблему смещенности оценки выборочной дисперсии в ее расчет вносят корректировку – домножают на n/(n-1), либо сразу при расчете в знаменатель ставят не n, а n-1. Получается так.

Выборочная смещенная дисперсия:

Выборочная несмещенная дисперсия:

 

Примечание. Для расчета выборочной и генеральной дисперсии в Excel есть специальная функция.

Под выборочной дисперсией понимают, как правило, именно несмещенный вариант.

Так как кредо данного блога – статистический анализ доступным языком, то несложное математическое доказательство того, что несмещенная дисперсия получается именно таким образом, опустим. В интернете можно легко найти и более детальную информацию, и доказательство. Зато вместо теоретического доказательства расскажу о практическом эксперименте. Как известно, практика – критерий истины (с).

Вначале я взял 100 случайных значений от 10 до 20 – это генеральная совокупность. Рассчитал дисперсию (по первой формуле). Потом сделал выборку из 20 значений и снова по той же формуле рассчитал дисперсию (генеральную). Как и ожидалась, дисперсия по выборке оказалась несколько меньше дисперсии по генеральной совокупности. Но это могло быть случайностью. Расчет повторил 100 раз. Получилось, что в 60 случаях из 100 дисперсия по выборке оказалась меньше, чем дисперсия генеральной совокупности. Эксперимент подтвердил, что дисперсия по выборке, рассчитанная по правилам генеральной, является смещенной оценкой (в сторону уменьшения).

Теперь посмотрим на практическую сторону использования той или иной формулы. Нас ведь практика интересует в первую очередь. Соотношение между выборочной и генеральной дисперсией составляет n/n-1. Несложно догадаться, что с ростом n (объема выборки) данное выражение стремится к 1, то есть разница между значениями выборочной и генеральной дисперсиями уменьшается.

Так, если мы возьмем выборку из 11 наблюдений, то 11/10 – это 10% относительной разницы. При 21 наблюдениях, отличие сокращается до 5%, при 31 наблюдении – до 3,3%, при 51 – до 2%, при 101 – до 1%. Короче, при достаточно большой выборке данных (50 и выше наблюдений) относительная разница между смещенной и несмещенной дисперсией практически исчезает. Оценка параметра, когда с ростом выборки его отклонение от теоретического значения уменьшается, называется асимптотически несмещенной оценкой.

При переходе к среднему квадратическому отклонению по выборке (оценка среднеквадратического отклонения, равная квадратному корню из выборочной дисперсии) разница становится еще меньше.

Таким образом, эффект смещенной дисперсии проявляется в небольших выборках. В больших выборках можно использовать генеральную дисперсию, что как бы не усложняет и не упрощает жизнь. Вручную сейчас никто не считает. Все легко посчитать в Excel. Но понимать различие в терминологии и в сути показателей все же следует.

Вот и все, что я хотел сегодня поведать. Из данной статьи неплохо бы усвоить следующее.

1. Формула генеральной дисперсии в выборке дает смещенную оценку.

2. Несмещенная оценка дисперсии рассчитывается по формуле, указанной выше.

3. При большом объеме выборки (от 100 наблюдений) разница между смещенной и несмещенной дисперсиями практически исчезает.

4. Среднеквадратическое отклонение по выборке – это корень из выборочной дисперсии.

Надеюсь, мне удалость развеять мифы о несмещенной (или выборочной) дисперсии.

До новых встреч на блоге statanaliz.info.

 

Поделиться в социальных сетях:

statanaliz.info

Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

На первый взгляд, наиболее подходящей оценкой для генеральной дисперсии является выборочная дисперсия. Следующая теорема свидетельствует о том, чтоне является «наилучшей» оценкой.

Теорема. Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии.

Δ Принимая без док-ва состоятельность оценки , докажем, что она — смещенная оценка. В соответствии с 4 свойством дисперсии:. На основании свойства 3 средней арифметической и дисперсии , если все значения признака уменьшить на одно и то же число С, то средняя уменьшится на это число, т.е., а дисперсия не изменится:

.

Полагая , получим.

а) Выборка повторная

Для повторной выборки выборочные значения рассматриваем как независимые случайные величины , каждая из к-ых имеет один и тот же закон распределения, что и у оценки генеральной средней с числовыми характеристиками (1) и (2), т.е.M,, k = 1,2,…,n.

Найдем мат-кое ожидание оценки :

.

Первый член в правой части .

Второй член с учетом того, что есть несмещенная оценка, т.е.,.

Поэтому .

б) Выборка бесповторная

Для бесповторной выборки — зависимые случайные величины. Можно показать, что

(т.к. объем генеральной совокупности N, как правило, большой и N ≈ N -1).

Итак, и для повторной выборки, и для бесповторной , т.е— смещенная оценка. ▲

Т.к. и, то выборочная дисперсия (в n среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяяна, мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать, достаточно ввести поправку, умноживна. Тогда с учетом () получим«исправленную» выборочную дисперсию:

.

Очевидно, что .

Т.е. является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная ве­роятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выбор­ки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

Интервальной оценкой параметра θ называется числовой интервал , к-ый с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ.

Обращаем внимание на то, что границы интервала и его величина находятся по выборочным данным и потому являются случайными величинами в отличие от оцениваемого параметра θ — величины неслучайной, поэтому правильнее говорить о том, что интервал «накрывает», а не «содержит» значение θ.

Такой интервал называетсядоверительным, а вер-ть γ — доверительной вер-тью, уровнем доверия или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростом n) и от значения доверительной вер-ти γ (увеличивается с приближением γ к 1).

Очень часто (но не всегда) доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра θ, т.е. (θ-Δ,θ+Δ).

Наибольшее отклонение Δ оценки от оцениваемого параметра θ, в частности, выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), к-ое возможно с заданной доверительной вер-тью γ, называетсяпредельной ошибкой выборки.

Ошибка Δ является ошибкой репрезентативности (представительства) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся совок-ть, а лишь часть, ее (выборка), отобранная случайно. Эту ошибку часто называют случайной ошибкой репрезентативности. Ее не следует путать с систематической ошибкой репрезентативности, появляющейся в рез-те нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.

studfiles.net

Выборочное среднее, выборочная дисперсия.

Для эмпирической случайной величины можно построить ступенчатую функцию распределения; она называется выборочной функцией распределения. Кроме того, можно вычислить все числовые характеристики выборочной случайной величины : математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение , начальные и центральные моменты, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса и т.д. Все эти величины снабжаются определением «выборочный»:выборочное математическое ожидание (его обычно называют выборочным средним), выборочная дисперсия, выборочная медиана и т.д. Например, выборочное среднее (его обозначают через ) есть не что иное как среднее арифметическое значений выборки: . Соответственно выборочная дисперсия равна

3. Гистограмма и полигон

На практике выборки большого объема из непрерывных распределений обычно подвергаются группировке: интервал изменения значений выборки разбивается на малые промежутки, а затем подсчитываются частоты попадания значений выборки в каждыйi-й промежуток. Для оценки плотности распределения генеральной совокупности используется специальный график — гистограмма. Гистограмма строится следующим образом. Пусть длина каждого маленького промежутка равна h. Построим на i-м промежутке как на основании прямоугольник высотой . Тогда площадь прямоугольника будет равна , то есть относительной частоте попадания значений выборки в данный интервал. Верхняя часть контура гистограммы дает приближенное представление о графике плотности распределения.

Суммарная площадь прямоугольников гистограммы равна единице. Это статистический аналог условия нормировки для плотности распределения. Построенную гистограмму было бы правильнее называть гистограммой относительных частот. По аналогии с этой гистограммой строится гистограмма частот: высота прямоугольников равна и площадь гистограммы совпадает с объемом выборки n.

Если соединить отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы, получится еще одно графическое представление для плотности распределения — полигон. Обозначим середины интервалов группировки через . Полигоном соединяются точки с координатами(полигон относительных частот) или (полигон частот).

В статистике используются также гистограммы и полигоны накопленных частот (накопленных относительных частот). Гистограмма накопленных относительных частот строится точно так же, как обычная гистограмма, но высота прямоугольника равна накопленной относительной частоте . Высота последнего прямоугольника равна единице. Сумма относительных частот приближенно равна сумме соответствующих вероятностей, то есть интегралу от плотности распределения от левой границы выборки до текущей точки. Гистограмма накопленных относительных частот (как и выборочная функция распределения) является аналогом функции распределения генеральной совокупности. Гистограмма накопленных частот и соответствующие полигоны строятся аналогично.

17. Оценка характеристик выборки.

    1. Точечные оценки

Оценкой (точечной оценкой) параметра называется произвольная функция от значений выборки .

Оценка является случайной величиной.

Оценка называется несмещенной, если при любом объеме выборки п ее математическое ожидание совпадает с истинным значением параметра: .

Разность называется смещением оценки . Несмещенная оценка имеет нулевое смещение.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки вероятность того, что оценка мало отличается от истинного значения, приближается к единице. Формально это записывается в виде предельного соотношения:

Теорема. Если — несмещенная оценка параметра и ее дисперсия стремится к нулю при (), то данная оценка является состоятельной.

Качество оценки характеризуют средним квадратом ошибки:

Несмещенная оценка называется наиболее эффективной (или просто эффективной), если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок данного параметра.

Относительная частота есть несмещенная, состоятельная и эффективная оценка вероятности.

Выборочная функция распределения есть несмещенная, состоятельная и эффективная оценка функции распределения:

Выборочное среднее есть несмещенная состоятельная оценка математического ожидания.

Выборочная дисперсия

и величина (иногда ее называют исправленной дисперсией)

дают состоятельные оценки дисперсии генеральной совокупности (соответственно смещенную и несмещенную).

studfiles.net

Пример вычисления выборочной дисперсии и выборочного среднего квадратичного отклонения

Рассмотрим снова пример с делением отрезка. Ряд распределения частот мы построили выше и преобразовали его к дискретному виду, выбрав в качестве значений середины частичных отрезков.

Воспользуемся формулой для вычисления дисперсии. Для этого нам понадобится распределение квадратов :

k2	0,0550	0,1266	0,2209	0,3578	0,5175
W	0,08	0,18	0,30	0,20	0,24

Среднее же квадрата величинымы вычисляем, как всегда, пользуясь определением выборочного среднего:

Следовательно, дисперсия величины — это следующая разность:

Для вычисления среднего квадратичного отклонения извлекаем квадратный корень из найденной дисперсии:

Метод описательной статистики

Иногда статистический анализ данных исследования ограничивается описательной частью:

1. по данным наблюдений строится статистическое распределение наблюдаемого признака,

2. и вычисляются его числовые характеристики.

Сами по себе они еще ничего не значат, но если речь идет о сравнении нескольких (как правило — двух) выборок, то по полученным результатам можно судить об их общих чертах или наоборот: об их различиях.

Действительно, если, например, среднее значение наблюдаемого показателя в экспериментальной выборке выше среднего в контрольной выборке, то можно предположить, что к повышению этого значения привело именно экспериментальное воздействие.

Однако, этого нельзя строго утверждать. Описательные статистические результаты позволяют лишь сформулировать статистические гипотезы, которые, в сою очередь, требуют дальнейшего статистического анализа с применением тех или иных статистических критериев.

Общие сведения о статистических критериях

Ключевой задачей статистического анализа является проверка статистической гипотезы.

Действительно, допустим, по экспериментальным данным мы построили статистическое распределение наблюдаемого показателя и даже, для наглядности, гистограмму этого распределения. Допустим, гистограмма до боли напоминает нам кривую Гаусса.

Ну и что? Имеем ли мы право утверждать, что наблюдаемое нами распределение подчинено нормальному закону?

Ведь для исследования мы использовали ограниченную выборку, и данные, полученные по другой выборке, могут сильно отличаться от того, что мы наблюдаем в данный момент.

Или пусть дисперсии двух выборок ипоказывают нам, что

.

Не является ли это неравенство, столь очевидное на первый взгляд, случайным? Не получим ли мы в другом исследовании на других выборках противоположное неравенство?

Запросто.

В любом случае, анализируя статистические данные, мы рискуем допустить ошибку и оказаться неверными в своих выводах.

Ошибка первого рода

Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается основная гипотеза , при том, что на самом деле она является верной.

Ошибка второго рода

Ошибка второго рода состоит в том, что принимается конкурирующая гипотеза , при том, что на самом деле она является ложной.

Уровень значимости и мощность статистического критерия

Для того, чтобы статистический анализ приводил к корректным выводам, исследователю необходимо минимизировать по возможности вероятность допустить ошибку в своих выводах. Для этого применяются статистические критерии. Это очень широкий спектр самых разнообразных алгоритмов, применяемых для решения самых разнообразных задач. Но все они опираются на два показателя своей достоверности: уровень значимости (так называемый -уровень) и мощность (так называемый-уровень).

Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность того, что в результате анализа допущена ошибка первого рода. Как правило, в качестве уровня значимости принимаетсяили.

Мощностью статистического критерия называется вероятность того, что в результате анализа отвергнута основная гипотеза, если верна конкурирующая. Другими словами, если — это вероятность допустить ошибку второго рода, то мощность критерия — это вероятность.

Понятно, что чем меньше вероятность и чем больше вероятность, тем лучше. Однако следует иметь в виду, что одновременно уменьшитьи повыситьневозможно. Единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборки.

studfiles.net

Исправленная выборочная дисперсия — это… Что такое Исправленная выборочная дисперсия?



Исправленная выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

Определения

Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда

,

где символ обозначает выборочное среднее.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

.

Замечание

Очевидно,

.

Свойства выборочных дисперсий

и

,

где обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая:

,

и

.

.

Оценки СКО

Смотрите также

Wikimedia Foundation. 2010.

• Исправительный лагерь
• Исправленному верить

Смотреть что такое «Исправленная выборочная дисперсия» в других словарях:

• Выборочная дисперсия — в математической статистике это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии. Содержание 1 Определения 2 Замечание …   Википедия

• Несмещённая оценка — в математической статистике это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру. Определение Пусть выборка из распределения, зависящего от параметра . Тогда оценка называется несмещённой, если …   Википедия

• Несмещенная оценка — Несмещённая оценка в математической статистике это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру. Определение Пусть выборка из распределения, зависящего от параметра . Тогда оценка называется несмещённой, е …   Википедия

dic.academic.ru

Дисперсия выборочной средней — Энциклопедия по экономике

Поскольку, как правило, генеральная средняя ц неизвестна, этой формулой нельзя воспользоваться. Кроме того, в социально-экономических исследованиях из одной и той же совокупности выборки не проводятся многократно. Используют следующее соотношение квадрат средней ошибки (дисперсия выборочных средних) прямо пропорционален дисперсии признака х в генеральной совокупности а и обратно пропорционален объему выборки п  [c.166]
Дисперсия выборочной средней у  [c.65]

Дисперсия выборочной средней для повторной выборки равна дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности, разделенной на объем выборки, т. е.  [c.33]

Если из генеральной совокупности объема N производится бесповторная выборка объемом п, то дисперсия выборочной средней равна  [c.33]

Когда дисперсия о2 генеральной совокупности неизвестна, тогда для больших значений п с большой вероятностью малой ошибки можно дисперсию выборочной средней вычислять приближенно по формуле  [c.33]

Таким образом, для нахождения генеральных числовых характеристик необходим анализ всей генеральной совокупности. В силу того, что в реальности практически всегда имеют дело с выборками, приходится находить оценки указанных выше генеральных характеристик — выборочные числовые характеристики выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.  [c.52]

Ошибка выборки или, иначе говоря, ошибка репрезентативности — это разница между значением показателя, полученного по выборке, и генеральным параметром. Так, ошибка репрезентативности выборочной средней равна ег = х — ц, выборочной относительной величины гг=р-п, дисперсии едЛ = s1 — а2, коэффициента корреляции ЕГ = г — р.  [c.165]

Если представить, что было проведено бесконечное число выборок равного объема из одной и той же генеральной совокупности, то показатели отдельных выборок образовали бы ряд возможных значений выборочных средних величин х,, х-,, х3,. … относительных величин / ,, р2, ръ. … дисперсий s, s 2, s . .., и т. д. Каждая выборка имеет свою ошибку репрезентативности. Следовательно, можно построить ряды распределения выборок по величине ошибки репрезентативности для каждого показателя для средней, относительной величины и т.д. В таких распределениях улавливается тенденция к концентрации ошибок около центрального значения. Число выборок с той или иной величиной ошибки репрезентативности может быть симметрично или асимметрично относительно этого центрального значения. При бесконечно большом числе выборок получится кривая частот, которая представляет кривую выборочного распределения. Свойства таких распределений используются для получения статистических заключений, установления вероятности той или иной величины ошибки репрезентативности.  [c.165]

Если п велико, то сомножитель п/(п — 1) 1 и можно принять выборочную дисперсию в качестве оценки величины генеральной дисперсии. Подставив выражение (7.10) в формулу средней ошибки выборочной средней, получим  [c.169]

Табл. 7.2 содержит формулы средней ошибки выборки для выборочной средней и выборочной относительной величины для разных видов выборки. В приведенных формулах требуют пояснения выражения дисперсий выборочной относительной величины.  [c.173]

Найдем дисперсию групповой средней у, представляющей выборочную оценку M Y). С этой целью уравнение регрессии (3.12) представим в виде  [c.64]

В целях повышения однородности изучаемой совокупности и большей точности расчета совокупность стратифицируют, разбивают на ряд групп по какому-то признаку. В маркетинговом исследовании наиболее распространено деление по социальным группам (в частности, по уровню дохода). Формула численности выборки отличается от предыдущей только тем, что выборочная дисперсия заменяется средней из внутригрупповых дисперсий ( 2 ). Однако в этом случае целесообразно вести отбор по каждой группе пропорционально дифференциации признака (п.). Тогда формула численности выборки (по каждой группе) значительно упрощается  [c.52]

Сущность метода состоит в том, что из всей совокупности (генеральной — N) отбирается малое число единиц п (выборочная совокупность не больше 20). Для каждой выборки вычисляются выборочная средняя (х) или доля (W) и выборочная дисперсия (о2)  [c.170]

Когда распределение х в генеральной совокупности нормально, тогда выборочная средняя х подчинена также нормальному распределению со средней а и с дисперсией а =—  [c.33]

Определение неизвестной генеральной средней по выборочной средней. Предположим, что сделана выборка из генеральной совокупности с нормальным распределением, среднее значение которой и дисперсия неизвестны. Необходимо по выборочному значению х и среднему квадратическому отклонению 5, вычисленному по этой же выборке объемом п, оценить генеральную среднюю а, задавшись некоторым уровнем гарантии Р и точностью е.  [c.37]

Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание JU и генеральную дисперсию математического ожидания и дисперсии по выборке (xl,X2,…,XN) будут выборочная средняя и выборочная дисперсия  [c.65]

В момент проведения контроля с помощью выборки объема п выборочные среднее х и дисперсия S2 будут отличаться от математического ожидания MX vi дисперсии DX. Отклонения оценок от указанных параметров могут существенно отразиться на результатах контроля. Возникает вопрос оценки уровня входного качества контролируемой продукции с учетом этих отклонений,  [c.139]

В данной главе речь идет о выборочной средней, выборочной дисперсии, выборочных коэффициентах связи, корреляции, регрессии. Мы будем обозначать выборочные величины теми же буквами, что и соответствующие им оценки генеральной совокупности, со значком над буквой. См. [11, 18, 27, 35].  [c.161]

Сначала рассмотрим относительно незначительные параметры с и 5. 5 -параметр положения. По существу, распределение может иметь средние значения, отличные от 0 (стандартного нормального среднего), что зависит от 5. В большинстве случаев исследуемое распределение нормализовано, и 5 = 0 то есть среднее распределения полагается равным 0. Параметр с — масштабный параметр. Он наиболее важен при сравнении реальных распределений. Опять же, в пределах понятия нормализации параметр с походит на выборочное отклонение он является мерой дисперсии. При нормализации выборочное среднее обычно вычитается (чтобы дать среднее равное 0) и делится на стандартное отклонение, так чтобы единицы были в терминах выборочного стандартного отклонения. Нормализация выполняется, чтобы сравнить эмпирическое распределение со стандартным нормальным распределением со средним равным 0 и стандартным отклонением равным 1. с используется, чтобы задать единицы, которыми распределение расширяется и сжимается около 5. Значение с по умолчанию равно 1. Единственная цель этих двух параметров — задать масштаб распределения относительно среднего и дисперсии. Они не являются действительно характерными для какого-либо из распределений, и поэтому они менее важны. Когда с = 1, а 5 = 0, распределение, как говорят, принимает приведенный вид.  [c.193]

Разница заключается в том, что устойчивое распределение имеет среднее 0 и с = 1. Обычно мы нормализуем временной ряд, вычитая выборочное среднее и осуществляя деление на стандартное отклонение. Стандартизированная форма устойчивого распределения, по существу, является такой же. 8 — среднее распределения. Тем не менее, вместо деления на стандартное отклонение, мы делим на параметр масштабирования с. Вспомните из Главы 14, что дисперсия нормального распределения равна 2 с2. Следовательно, стандартизированное устойчивое распределение, где а = 2,0, не будет таким же, как стандартное нормальное распределение, поскольку коэффициент масштабирования будет другим. Устойчивое распределение изменяет масштаб на половину дисперсии нормального распределения. Мы начинаем со стандартизированной переменной, потому что ее логарифмическая характеристическая функция может быть упрощен. следующим образом  [c.276]

Центральная предельная теорема может быть использована для доказательства утверждения о том, что выборочная средняя нормально распределена при условии, что объем выборки больше 30. В случае с малыми выборками необходимо допустить, что мы производим выборку из нормально распределенной совокупности для того, чтобы выборочная средняя была нормально распределена. Кроме того, только при выборках малого объема наша оценка генеральной дисперсии не будет надежной. В этом случае /-распределение позволит сделать поправку на эту дополнительную степень изменчивости.  [c.232]

Что вы понимаете по терминами «выборочное распределение выборочной средней» и «выборочное распределение выборочной дисперсии». Рассчитайте стандартную ошибку средней по отношению к доходу по финансовому индексу со средним значением в 10% и средним квадратическим отклонением 16% на основе 60 наблюдений.  [c.252]

Советская часть в ИСО проводит работы по преобразованию отечественных стандартов в международные, например, ГОСТ 20427—75 Статистическое регулирование технологических процессов методом кумулятивных сумм выборочного среднего и ГОСТ 20737—75 Статистическое регулирование технологических процессов методом групп качества в 1976 г. на 1-м заседании ИСО/ТК 69 П1 4 были одобрены и приняты за основу для разработки международных стандартов. На этом же заседании ИСО/ТК 69 ПК 4 была одобрена программа работ по стандартизации методов статистического регулирования технологических процессов, предложенная советскими специалистами. Программа предусматривает разработку международных стандартов, включающих методы с использованием контрольных карт средних арифметических значений, дисперсий или среднеквадратических отклонений, раз-махов при нормальном распределении контролируемого параметра, а также комбинированных контрольных карт. Предусмотрена также разработка стандартов на методы регулирования по альтернативному признаку, основанных на контрольных картах доли дефектности, числа дефектов, числа дефектных единиц продукции.  [c.51]

Тейлор [159] изучил вопросы экономического обоснования контрольных карт кумулятивных сумм выборочного среднего для нормального распределения с известной дисперсией показателя качества. Он исходил из того, что контрольные карты кумулятивных сумм предназначаются для обнаружения разладки процесса формирования заданного показателя качества в предположении, что разладка наступает внезапно с известным смещением параметра. Ожидаемое время разладки предполагалось известным. Процесс прекращается для устранения неисправности. Если сигнал о разладке не является ошибочным, то требуется дополнительное время для обнаружения причины неполадки и ее устранения. Приближенно функция затрат основывалась на следующих допущениях  [c.137]

При статистическом регулировании в качестве средних значений обычно используют выборочное среднее арифметическое х или выборочную медиану , а в качестве меры рассеяния — выборочное среднее квадратическое отклонение 5 или выборочную дисперсию S2 или размах R.  [c.18]

Выборочными статистиками, значения которых накапливаются при статистическом регулировании методом кумулятивных сумм, могут быть выборочное среднее арифметическое значение, выборочная дисперсия или размах, а также число дефектов или число дефектных единиц продукции, и т. д.  [c.23]

Дисперсия среднего выборки (выборочного среднего) на основании априорной информации может быть получена исходя из определения дисперсии  [c.115]

Дисперсия среднего выборки представляет собой сумму дисперсии распределения математического ожидания про»-цесса и дисперсии среднего выборки при заданном частном значении математического ожидания процесса. Иными словами, мы можем представлять себе выборочное среднее состоящим из двух независимых аддитивных компонент. Оно равно сумме математического ожидания процесса и  [c.115]

Если приведенные два сообщения эквивалентны, то тро и v должны быть независимы от получаемого сообщения. Если с=с(0)=с (1), то такая независимость действительно имеет место. Это сводит нашу проблему к проблеме, рассмотренной выше, когда было показано, что выборочное среднее является достаточным, за исключением того, что v (0) не обязательно будет равно v (1). Следовательно, в первом приближении можно сказать, что если мы имеем одинаково хорошую относительную информацию (измеряемую по с(0) и с(1)) о / и / ,, то наши два сообщения эквивалентны. Если же соотношение с— с(0)—с(1) не выполняется, то эти два сообщения в общем случае уже не эквивалентны следовательно, в этом случае Р уже нельзя считать достаточным сообщением. Интуитивно ясно, что сообщение о / о и R содержит больше информации . Если это толковать в том смысле, что апостериорная дисперсия для этого сообщения будет меньше, чем для сообщения Р, то без труда можно показать, что этот интуитивный вывод действительно подтверждается.  [c.143]

ОР (т—/ns)—апостериорная плотность распределения т при заданном выборочном среднем т тро—апостериорное среднее значение т vpo — апостериорная дисперсия т  [c.296]

X —наблюденное значение величины х (1= 1,2,…,/г) ms—выборочное среднее (среднее по выборке) LK(ms /п)—функция правдоподобия выборочного среднего ms V (ms)—дисперсия выборочного среднего E(ms)—ожидаемое значение выборочного среднего PR (т)—априорная плотность распределения от гПрГ—априорное среднее значение т Vpr—априорная дисперсия т  [c.296]

Типический отбор используется в случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. При обследованиях населения такими группами могут быть, например, районы, социальные, возрастные или образовательные группы при обследовании предприятий — отрасль и подотрасль, форма собственности и т.п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки, которая в этом случае определяется только внут-ригрупповой вариацией.  [c.137]

Феллер (Feller, 1951) пришел к схожему результату, но он работал строго с откорректированным диапазоном R. Херст постулировал уравнение (5.1) для нормированного размаха, но оно фактически не было доказано в формальном смысле. Феллер работал с откорректированным диапазоном (то есть накопленные отклонения с удаленным выборочным средним) и пришел к ожидаемому значению R и его дисперсии. Нормированный размах, R/S, считался трудноразрешимым из-за поведения выборочного стандартного отклонения, особенно для небольших значений N. Существовало мнение, что результат был достаточно близок, так как откорректированный диапазон мог быть решен и должен был асимптотически (то есть в бесконечности) быть эквивалентным нормированному размаху.  [c.74]

Для большинства индивидуумов, которые обучены стандартной гауссовой статистике, идея бесконечных среднего или дисперсии кажется абсурдной или даже извращенной. Мы всегда можем вычислить дисперсию или среднее выборки. Как оно может быть бесконечным Еще раз повторим, что мы применяем частный случай, гауссову статистику, ко всем случаям. В семействе устойчивых распределений нормальное распределение — частный случай, который существует, когда а = 2,0. В этом случае математическое ожидание и дисперсия действительно существуют. Бесконечная дисперсия означает, что не существует «дисперсии совокупности», к которой стремится распределение в пределе. Когда мы берем выборочную дисперсию, мы делаем это, согласно гауссову предположению, как оценку неизвестной дисперсии совокупности. Шарп (Sharpe, 1963) говорил, что беты (в смысле современной теории портфеля (МРТ)) должны рассчитываться на основании ежемесячных данных за пять лет. Шарп выбрал пять лет, потому что этот период дает статистически значимую выборочную дисперсию, необходимую для оценки дисперсии совокупности. Пятилетний период статистически значим, только если лежащее в основе распределение является гауссовым. Если оно не является гауссовым и а выборочная дисперсия ничего не говорит о дисперсии совокупности, потому что дисперсии совокупности нет. Выборочные дисперсии, как ожидалось бы, будут неустойчивыми и не будут стремиться ни к какому значению, даже при увеличении объема выборки. Если а [c.194]

В этой специальной асимптотике, которую мы в дальнейшем будем называть асимптотикой Колмогорова — Деева, нарушаются многие привычные свойства статистических процедур. Например, если X имеет многомерное нормальное распределение с нулевым вектором средних и независимыми координатами с дисперсией а2 и Хг- (/ — 1,. .., п) — независимая выборка объема п, то квадрат длины вектора выборочного среднего  [c.155]

economy-ru.info