Найти производную y’ = f'(x) = (x+1)^2/x^2+1 ((х плюс 1) в квадрате делить на х в квадрате плюс 1)
Решение
2
(x + 1)
-------- + 1
2
x $$1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}$$
Подробное решение[LaTeX]
дифференцируем почленно:
Применим правило производной частного:
и .
Чтобы найти :
Заменим .
В силу правила, применим: получим
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
дифференцируем почленно:
Производная постоянной равна нулю.
В силу правила, применим: получим
В результате:
В результате последовательности правил:
Чтобы найти :
В силу правила, применим: получим
Теперь применим правило производной деления:
Производная постоянной равна нулю.
В результате:
Теперь упростим:
Ответ:
Первая производная[LaTeX]
2
2 + 2*x 2*(x + 1)
------- - ----------
2 3
x x $$\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2\right) — \frac{2}{x^{3}} \left(x + 1\right)^{2}$$
Вторая производная[LaTeX]
/ 2\
| 4*(1 + x) 3*(1 + x) |
2*|1 - --------- + ----------|
| x 2 |
\ x /
------------------------------
2
x $$\frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x} \left(8 x + 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$
Третья производная[LaTeX]
/ 2 \
| 2*(1 + x) 3*(1 + x)|
12*|-1 - ---------- + ---------|
| 2 x |
\ x /
--------------------------------
3
x $$\frac{1}{x^{3}} \left(-12 + \frac{1}{x} \left(36 x + 36\right) — \frac{24}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Найти производную y’ = f'(x) = ((x^2+1)/(x))^2 (((х в квадрате плюс 1) делить на (х)) в квадрате)
Решение
2 / 2 \ |x + 1| |------| \ x /
$$\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2}$$
Подробное решение[LaTeX]
Заменим .
В силу правила, применим: получим
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
Применим правило производной частного:
и .
Чтобы найти :
дифференцируем почленно:
Производная постоянной равна нулю.
В силу правила, применим: получим
В результате:
Чтобы найти :
В силу правила, применим: получим
Теперь применим правило производной деления:
В результате последовательности правил:
Теперь упростим:
Ответ:
Первая производная[LaTeX]
2
/ 2 \ / / 2 \\
\x + 1/ | 2*\x + 1/|
x*---------*|4 - ----------|
2 | 2 |
x \ x /
----------------------------
2
x + 1 $$\frac{\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$
Вторая производная[LaTeX]
/ / 2\ / 2\\ | / 2\ | 1 + x | / 2\ | 1 + x || | 2 \1 + x /*|2 - ------| 2*\1 + x /*|1 - ------|| | / 2\ / 2\ | 2 | | 2 || | | 1 + x | 2*\1 + x / \ x / \ x /| 2*|-4 + 2*|2 - ------| + ---------- + --------------------- - -----------------------| | | 2 | 2 2 2 | \ \ x / x x x /
$$2 \left(2 \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} — 4 — \frac{2}{x^{2}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$
Третья производная[LaTeX]
/ 2 2 / 2\\ |/ 2\ 2 / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ / 2\ | / 2\ / 2\ || || 1 + x | 1 + x / 2\ | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | | 1 + x | / 2\ | 1 + x | | 1 + x | | 6*\1 + x / 3*\1 + x / || ||2 - ------| 2 - ------ \1 + x /*|2 - ------| 2*x*|2 - ------| 2*|1 - ------|*|2 - ------| 3*\1 + x /*|1 - ------| x*|2 - ------|*|4 - ---------- + -----------|| || 2 | 2 | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 4 || |\ x / x \ x / \ x / \ x / \ x / \ x / \ x / \ x x /| 4*|------------- + ---------- - --------------------- - ----------------- - --------------------------- + ----------------------- + ---------------------------------------------| | x x 3 2 x 3 2 | \ x 1 + x x 1 + x /
$$4 \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) + \frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} + 1\right)^{2}\right) — \frac{2}{x} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{3}{x^{3}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) — \frac{1}{x^{3}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right)\right)$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Найти производную y’ = f'(x) = ((x+1)^2)/(x^2+1) (((х плюс 1) в квадрате) делить на (х в квадрате плюс 1))
Решение
2 (x + 1) -------- 2 x + 1
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$
Подробное решение[LaTeX]
Применим правило производной частного:
и .
Чтобы найти :
Заменим .
В силу правила, применим: получим
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
дифференцируем почленно:
Производная постоянной равна нулю.
В силу правила, применим: получим
В результате:
В результате последовательности правил:
Чтобы найти :
дифференцируем почленно:
Производная постоянной равна нулю.
В силу правила, применим: получим
В результате:
Теперь применим правило производной деления:
Теперь упростим:
Ответ:
Первая производная[LaTeX]
2
2 + 2*x 2*x*(x + 1)
------- - ------------
2 2
x + 1 / 2 \
\x + 1/ $$- \frac{2 x \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 1}$$
Вторая производная[LaTeX]
/ 2 2 2\
| (1 + x) 4*x*(1 + x) 4*x *(1 + x) |
2*|1 - -------- - ----------- + -------------|
| 2 2 2 |
| 1 + x 1 + x / 2\ |
\ \1 + x / /
----------------------------------------------
2
1 + x $$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{8 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} — \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right)$$
Третья производная[LaTeX]
/ 3 2 2 2 \
| 4*x *(1 + x) 2*x*(1 + x) 4*x *(1 + x)|
12*|-1 - 2*x - ------------- + ------------ + ------------|
| 2 2 2 |
| / 2\ 1 + x 1 + x |
\ \1 + x / /
-----------------------------------------------------------
2
/ 2\
\1 + x / $$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{48 x^{3} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{48 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} + \frac{24 x \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} — 24 x — 12\right)$$
www.kontrolnaya-rabota.ru