Производная 1 х в квадрате – Найти производную y’ = f'(x) = (x+1)^2/x^2+1 ((х плюс 1) в квадрате делить на х в квадрате плюс 1)

Найти производную y’ = f'(x) = (x+1)^2/x^2+1 ((х плюс 1) в квадрате делить на х в квадрате плюс 1)

Решение

       2    
(x + 1)     
-------- + 1
    2       
   x        

$$1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. дифференцируем почленно:

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

    2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      В результате последовательности правил:

    Чтобы найти :

    1. В силу правила, применим: получим

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Производная постоянной равна нулю.

В результате:

  • Теперь упростим:


  • Ответ:

    Первая производная

    [LaTeX]

                       2
    2 + 2*x   2*(x + 1) 
    ------- - ----------
        2          3    
       x          x     

    $$\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2\right) — \frac{2}{x^{3}} \left(x + 1\right)^{2}$$

    Вторая производная

    [LaTeX]

      /                         2\
      |    4*(1 + x)   3*(1 + x) |
    2*|1 - --------- + ----------|
      |        x            2    |
      \                    x     /
    ------------------------------
                   2              
                  x               

    $$\frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x} \left(8 x + 8\right) + \frac{6}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$

    Третья производная

    [LaTeX]

       /              2            \
       |     2*(1 + x)    3*(1 + x)|
    12*|-1 - ---------- + ---------|
       |          2           x    |
       \         x                 /
    --------------------------------
                    3               
                   x                

    $$\frac{1}{x^{3}} \left(-12 + \frac{1}{x} \left(36 x + 36\right) — \frac{24}{x^{2}} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$

    www.kontrolnaya-rabota.ru

    Найти производную y’ = f'(x) = ((x^2+1)/(x))^2 (((х в квадрате плюс 1) делить на (х)) в квадрате)

    Решение

            2
    / 2    \ 
    |x  + 1| 
    |------| 
    \  x   / 

    $$\left(\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2}$$

    Подробное решение

    [LaTeX]

    1. Заменим .

    2. В силу правила, применим: получим

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. В силу правила, применим: получим

          В результате:

        Чтобы найти :

        1. В силу правила, применим: получим

        Теперь применим правило производной деления:

      В результате последовательности правил:

    4. Теперь упростим:


    Ответ:

    Первая производная

    [LaTeX]

              2                 
      / 2    \  /      / 2    \\
      \x  + 1/  |    2*\x  + 1/|
    x*---------*|4 - ----------|
           2    |         2    |
          x     \        x     /
    ----------------------------
                2               
               x  + 1           

    $$\frac{\frac{1}{x} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$

    Вторая производная

    [LaTeX]

      /                                             /         2\              /         2\\
      |                                    /     2\ |    1 + x |     /     2\ |    1 + x ||
      |                   2                \1 + x /*|2 - ------|   2*\1 + x /*|1 - ------||
      |       /         2\      /     2\            |       2  |              |       2  ||
      |       |    1 + x |    2*\1 + x /            \      x   /              \      x   /|
    2*|-4 + 2*|2 - ------|  + ---------- + --------------------- - -----------------------|
      |       |       2  |         2                  2                        2          |
      \       \      x   /        x                  x                        x           /

    $$2 \left(2 \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} — 4 — \frac{2}{x^{2}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 2\right)\right)$$

    Третья производная

    [LaTeX]

      /            2                                                        2                                                                          /                           2\\
      |/         2\             2            /         2\       /         2\      /         2\ /         2\              /         2\     /         2\ |      /     2\     /     2\ ||
      ||    1 + x |        1 + x    /     2\ |    1 + x |       |    1 + x |      |    1 + x | |    1 + x |     /     2\ |    1 + x |     |    1 + x | |    6*\1 + x /   3*\1 + x / ||
      ||2 - ------|    2 - ------   \1 + x /*|2 - ------|   2*x*|2 - ------|    2*|1 - ------|*|2 - ------|   3*\1 + x /*|1 - ------|   x*|2 - ------|*|4 - ---------- + -----------||
      ||       2  |           2              |       2  |       |       2  |      |       2  | |       2  |              |       2  |     |       2  | |         2             4    ||
      |\      x   /          x               \      x   /       \      x   /      \      x   / \      x   /              \      x   /     \      x   / \        x             x     /|
    4*|------------- + ---------- - --------------------- - ----------------- - --------------------------- + ----------------------- + ---------------------------------------------|
      |      x             x                   3                       2                     x                            3                                      2                   |
      \                                       x                   1 + x                                                  x                                  1 + x                    /

    $$4 \left(- \frac{2 x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{x}{x^{2} + 1} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(4 — \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) + \frac{3}{x^{4}} \left(x^{2} + 1\right)^{2}\right) — \frac{2}{x} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right)^{2} + \frac{1}{x} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) + \frac{3}{x^{3}} \left(1 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right) — \frac{1}{x^{3}} \left(2 — \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 1\right)\right) \left(x^{2} + 1\right)\right)$$

    www.kontrolnaya-rabota.ru

    Найти производную y’ = f'(x) = ((x+1)^2)/(x^2+1) (((х плюс 1) в квадрате) делить на (х в квадрате плюс 1))

    Решение

           2
    (x + 1) 
    --------
      2     
     x  + 1 

    $$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}$$

    Подробное решение

    [LaTeX]

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

    2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      В результате последовательности правил:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  • Теперь упростим:


  • Ответ:

    Первая производная

    [LaTeX]

                         2
    2 + 2*x   2*x*(x + 1) 
    ------- - ------------
      2                2  
     x  + 1    / 2    \   
               \x  + 1/   

    $$- \frac{2 x \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 1}$$

    Вторая производная

    [LaTeX]

      /           2                    2        2\
      |    (1 + x)    4*x*(1 + x)   4*x *(1 + x) |
    2*|1 - -------- - ----------- + -------------|
      |          2            2               2  |
      |     1 + x        1 + x        /     2\   |
      \                               \1 + x /   /
    ----------------------------------------------
                             2                    
                        1 + x                     

    $$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(\frac{8 x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{8 x \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} — \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} + 2\right)$$

    Третья производная

    [LaTeX]

       /              3        2              2      2        \
       |           4*x *(1 + x)    2*x*(1 + x)    4*x *(1 + x)|
    12*|-1 - 2*x - ------------- + ------------ + ------------|
       |                     2             2              2   |
       |             /     2\         1 + x          1 + x    |
       \             \1 + x /                                 /
    -----------------------------------------------------------
                                     2                         
                             /     2\                          
                             \1 + x /                          

    $$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{48 x^{3} \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{48 x^{2} \left(x + 1\right)}{x^{2} + 1} + \frac{24 x \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1} — 24 x — 12\right)$$

    www.kontrolnaya-rabota.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.