Калькулятор онлайн сокращенного умножения – Формулы сокращенного умножения | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

формула куб суммы двух чисел

Формулы сокращенного умножения

В некоторых конкретных случаях можно умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое (другой многочлен, число) свести к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом. Такие случаи называют формулами сокращенного умножения:

1

Квадрат суммы:

2

Квадрат разности:

3

Разность квадратов:

4

Куб суммы:

5

Куб разности:

6

Сумма кубов:

7

Разность кубов:

Выражения и , стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются соответственно полный квадрат суммы и полный квадрат разности.

Выражения и , которые стоят вторыми сомножителями в правых частях равенств (6), (7), называются соответственно неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. От полных квадратов суммы и разности они отличаются лишь средним коэффициентом.

Все формулы сокращенного умножения доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Заметим, что любое математическое равенство «читается» в математике как слева направо, то есть левая часть равенства заменяется равной ей правой частью, так и наоборот: справа налево, то есть правая часть равенства заменяется левой. А тогда приведенные формулы сокращенного умножения можно записать и в виде:

8

Квадрат суммы:

9

Квадрат разности:

10

Разность квадратов:

11

Куб суммы:

12

Куб разности:

13

Сумма кубов:

14

Разность кубов:

Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.

Читать дальше: формула «квадрат суммы».

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию.

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.

  Формулы сокращенного умножения. Коротко о главном.

  Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.

• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ?

Оставьте e-mail

ОтправитьЗакрыть

Зарегистрируйся и начни учиться!

Закрыть

Привет!

Нравится наш учебник?

Помоги сделать так, чтобы его не закрыли… 

… а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб…

Но твоя помощь бесценна! 🙂  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Упростите условия в Интернете

первый2 + 3 = (2 + 3) • (2 • 3 + 2 • 3 — 2 • 3 + 3) =
5 • (16 — 8-е место • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275;
a = 2 ;
b = 3 ;

второй7 + 5 = (7 + 5) • (7 — 7 • 5 + 7 • 5 — 7 • 5

+ 5) =
12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225-875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932;
a = 7 ;
b = 5 ;

третий3 + 3 = (3 + 5) • (3 — 3 • 5 + 3 • 5 — 3 • 5 + 5) =
8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3,368;
a = 3 ;
b = 5 ;

Калькулятор суммы двух кубов

Упрощение терминов

Шаг 1. Введите термин для упрощения

Услуга (тип программы для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упростить математические выражения алгебры (алгебраические выражения), тригонометрические выражения, выражения с корнями и другими степенями, уменьшить дроби и упростить сложные литералы ,
Упростите сложные выражения, которые вы здесь (!)

важно В терминах переменные отмечены одной буквой!

К примеру, , б, …, с/

Примеры упрощенных терминов

• 2 * a -7 * a
• exp (-7 * a) / exp (2 * a)
• 1 / x + 1 / y
• sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2

Правила ввода функций

В функции е вы можете сделать следующее:Реальные числа введите в форму 7,5, не 7,52 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — Функция обратного отсчета е он может содержать функции (метки находятся в алфавитном порядке):абсолютный (x) Функция — абсолютное значение х (модуль х или | x |) arccos (x) Функция — аркоксин из хarccosh (x) Функция представляет собой гиперболический дуговый косинус хarcsin (x) Функция является обратным синусом хarcsinh (x) Функция представляет собой гиперболический арксин харктан (х) Функция — арктангенс из хarctanh (x) Функция представляет собой гиперболический арктангенс хе Функция — е это около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (так же, как е^х) почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) log (x) или ln (x) Функция — естественный логарифм от х (Да log7 (x), Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x)= log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 символ (x) Функция — символ хsin (x) Функция — Синус хcos (x) Функция — Конус от хsinh (x) Функция — Синус гиперболический хcosh (x) Функция — косинус-гиперболический хsqrt (x) Функция — корень хx ^ 2 Функция — квадрат хtan (x) Функция — Тангенс от хtanh (x) Функция — касательная гиперболическая от х

Кратко об основах Базовый уровень Промежуточный

Формулы сокращенного умножения.

Упрощение терминов

Средний уровень.

Формулы сокращенного умножения являются формулами, так как вы можете избежать выполнения некоторых стандартных действий в упрощающих терминах или факторных многочленах. Нам нужно изучить формулировки сокращенного умножения на сердце!

Здесь мы объяснили приведенную формулу умножения для начального уровня.

1. Площадь суммы два выражения равны квадрату первого выражения плюс двойное произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
2. Площадь разницы два выражения равны квадрату первого выражения, минус два раза произведение первого выражения со вторым плюс-квадратом второго выражения:
3. Разница квадратов эти два члена равны произведению разности между этими членами и их суммами:
4. Количество кубов два члена равны кубу первого слагаемого плюс потребительский продукт квадрата первого выражения со вторым плюс потребляемым продуктом первого выражения с квадратом второго и кубом второго выражения:
5. Разница в кубе два выражения, которые являются одинаковыми кубами первого выражения минус три раза произведение квадрата первого выражения на второй и три раза продукты первого выражения в кубе второго второго квадрата второго выражения:
6. Сумма кубов два выражения равны произведению суммы первого и второго с неполным квадратом разности этих членов:
7. Разница в кубе эти два члена равны произведению разности первого и второго членов с неполным квадратом суммы этих членов:

Докажем теперь все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения.

Доказательство.

1 ..
Если вы хотите выразить квадрат, умножьте его на себя:
.

Мы откроем скобки и дадим следующее:

второй

.
Сделайте то же самое: умножьте разницу на себя, откройте скобки и укажите следующее:
.

3 ..
Возьмите термин справа и откройте скобки:
.

4 ..
Число в кубе может отображаться как это число, умноженное на квадрат:

пятые

аналогичным образом,

В отличие от кубов, символы меняются.

6 ..
Откройте скобки справа:
.

седьмые

.
Откройте скобки справа:
.

Использование формул с уменьшенным умножением для решения

Пример 1:

Найдите значение терминов:

решение:

1. Мы используем формулу для квадрата суммы :.
2. Это число представлено в виде разности, и мы используем формулу квадрата разности :.

Пример 2:

Найдите значение выражения :.

решение:

Используя формулу для разности квадратов обоих выражений, получим:

Пример 3:

Упростите фразу:

решение:

Я такой.

Мы используем квадраты суммы и квадрата разности:

II путь.

Мы используем разницу для квадратов с двумя фразами:

Комментарии

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

Цели:

— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

3.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a2 — b2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Решение задач по математике онлайн

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) (40+1)2

б) 982

Решение:

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 12 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Решение

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у)2 + (х + у)2

Решение

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)

vipstylelife.ru

онлайн калькулятор, формула, вычисления с примерами

Сумма двух кубов – это формула сокращенного умножения, позволяющие преобразовывать и упрощать математические выражения. Формулы сокращенного умножения постоянно используются при развязывании уравнений или решении алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений.

Историческая справка

Некоторые формулы сокращенного умножения были составлены еще в четвертом тысячелетии до нашей эры древними вавилонянами. Древние греки развили идеи вавилонских ученых и разработали целый набор подобных формул. Однако античные математики мыслили зримо – в то время числа визуализировались в геометрических фигурах или подручных предметах, например, камнях на счетной доске. Формулы суммы квадратов выводились не алгебраически, а геометрически, путем рассечения плоского квадрата на части. Расцвет математической науки пришелся на времена Лейбница, Ньютона и Эйлера и именно эти ученые внесли большой вклад в развитие формул сокращенного умножения.

Сумма двух кубов

Алгебраический куб – это возведение числа или неизвестного в третью степень. Следовательно, сумма двух кубов – это результат сложения двух чисел в третьей степени. Записывается это следующим образом:

a³ + b³

Такой пример решается довольно просто, но при любых значениях a и b ответ можно представить в виде:

(a + b) × (a² − ab + b²).

Следовательно, у нас есть тождество, которое работает при любых значениях переменных:

a³ + b³ = (a + b) × (a² − ab + b²).

Доказать его можно простым раскрытием скобок и сокращением членов в правой части выражения. Данное тождество используется для сокращения выражений и быстрого поиска ответов или для разложения на множители.

Вряд ли подобные формулы понадобятся нам в реальной повседневности, но школьникам крайне важно знать формулы сокращенного умножения наизусть. Простыми словами формула звучит так: сумма двух кубов есть произведение суммы членов выражения на неполный квадрат их разности. Словосочетание «неполный» квадрат может вызвать у ребят сомнения. Полный квадрат разности – это еще одна формула сокращенного умножения, которая выглядит так:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

В левой части у нас квадрат разности a – b, а справа – полный квадрат, разложенный на множители. Выражение a² – ab + b² для суммы двух кубов носит название неполного, так как в нем произведение ab без двойки. Данные тождества используются для упрощения громоздких выражений, а также для проверки полученных результатов сложения кубов или квадратов больших чисел.

Применение формулы на практике

Сумма двух кубов используется на практике для упрощения многочленов. Например, у нас есть сложный тригонометрический пример:

(sinx + cosy) × (sin² x − sinx × cosy + cos² y)

Решать этот пример при помощи тригонометрического аппарата было бы довольно сложно, особенно для школьника, незнакомого со свойствами синусов и косинусов. Однако мы можем применить правило суммы двух кубов, ведь данный пример полностью повторяет разложение на множители выражения a

2 + b², только здесь a = sinx, b = cosy. В итоге громоздкое тригонометрическое выражение превратится в компактную запись:

sin³ x + cos³ y.

Теперь давайте применим эту формулу при счете. Большинство людей практически наизусть знает квадраты натуральных чисел до 15, а те, кто постоянно занимается арифметикой, знают куда больше квадратов. С кубами все обстоит сложнее, поэтому если вам требуется посчитать сумму двух кубов, куда проще использовать формулу разложения на множители. Например, давайте посчитаем выражение:

15³ + 12³

Сходу вычислить кубы этих чисел непросто, если вы не ученик математического кружка. Давайте используем формулу:

15³ + 12³ = (15 + 12) × (15² − 15×12 + 12²)

Квадраты 12 и 15 многие помнят наизусть – это 144 и 225 соответственно. Осталось провести небольшие вычисления:

15³ + 12³ = 27 × (225 − 180 + 144) = 27 × 189 = 5 103

Проверим вычисления на калькуляторе. Число 15 в кубе дает 3 375, а 12 — 1 728. Суммируем их и получим 3 375 + 1 728 = 5 103. Все верно, но оперировать меньшими числами гораздо удобнее.

Мы представляем вам программу, которая считает сумму двух кубов с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для расчета вам понадобится ввести значения в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Используя калькулятор, вы получите не только мгновенный и правильный ответ, но и весь процесс решения. Такая программа пригодится школьникам, которые хотят проверить свои выкладки, а также тем взрослым, кто хочет освежить в памяти школьный курс алгебры.

Заключение

Формулы сокращенного умножения – важная тема школьной алгебры, которая пригодится при решении громоздких выражений на любую тему. Это своеобразный фундамент, на котором строятся решения тригонометрических, показательных, логарифмических и даже интегральных и дифференциальных исчислений. Наш калькулятор может вам освоить применение формулы суммы двух кубов или освежить в памяти школьный материал.

bbf.ru

Формулы сокращённого умножения | umath.ru

Формулы сокращённого умножения — это часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Формулы сокращённого умножения очень полезно запомнить — знание этих формул сильно сэкономит ваше время при работе с многочленами.

Основные формулы сокращённого умножения

1. Квадрат суммы:

      

2. Квадрат разности:

      

3. Разность квадратов:

      

4. Куб суммы:

      

5. Куб разности:

      

6. Сумма кубов:

      

7. Разность кубов:

      

Дополнительные формулы сокращённого умножения:

1. Разность степеней:

      

      

2. Сумма степеней:

      

      

3. Квадрат суммы нескольких слагаемых:

      

      

   В частности, квадрат суммы трёх слагаемых:

      

umath.ru

No related posts.