Хорда окружности и дуга – Хорды и дуги

Урок Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга)

Урок № 45

Предмет: геометрия Класс: 7

Учитель математики: Павлушина Александра Юрьевна , образование высшее, стаж работы – 2 года.

Тема:Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга)

Цели урока: 1. Систематизировать знания учащихся по теме окружность и ее элементы;

2. Совершенствование навыка решения задач по теме.

3. Развитие памяти, внимания, мышления.

4. Воспитание интереса к предмету.

Тип урока: закрепление

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, магнитная доска, карточки.

Ход урока

1. Организационный момент.

Психологический настрой. Давайте улыбнемся друг другу. Пусть сегодняшний урок принесет нам всем радость общения. Сегодня на уроке, ребята, вас ожидает много интересных заданий, новых открытий, а помощниками вам будут: внимание, находчивость, смекалка.

2. Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы рассмотрим более подробно, что представляет собой окружность, какие элементы окружности вы уже знаете, а какие предстоит вам узнать.

Фронтальный опрос. Блиц-опрос.

— что такое геометрия?- что такое отрезок?- какие отрезки называем равными?

— что такое угол? Виды углов? Биссектриса угла?- смежные, вертикальные углы?

— какие прямые знаете?- параллельные, перпендикулярные, пересекающиеся прямые?

-Треугольник. Виды треугольников?- сумма внутренних углов треугольника?

— равенство фигур?

3. Введение в изучение нового матеприала:

Решите ребус, разгадав его, вы узнаете тему урока.

(окружность)

4. Работа по теме : Окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга).

Сегодня мы с вами продолжим изучение темы окружность. Давайте вспомним, что же такое окружность? Назовите элементы окружности?

Окружность – геометрическая фигура …,все точки которой находятся на заданном расстоянии от центра.

Круг- это часть плоскости …, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок …, соединяющий центр окружности c любой точкой окружности.

Диаметр- это отрезок, соединяющий … две точки окружности и проходящий через центр.

Хорда- это отрезок, соединяющий …две точки окружности.

Диаметр –эхорда, … проходящая через центр.

Центральный угол – это угол … образованный двумя радиусами.

Дуга окружности – это … часть окружности, ограниченная двумя точками.

5. Самостоятельная работа.

А теперь повторив определения геометрических понятий, мы с вами поработаем индивидуально. Для каждого из понятий необходимо подобрать соответствующий ему рисунок (таблица №1). Таблица выдается каждому ученику.

ТАБЛИЦА № 1

По заданному рисунку назвать все элементы окружности.

6. Физкультминутка.

Глазки видят всё вокруг,

Обведу я ими круг.

Глазком видеть всё дано-

Где окно, а где кино.

Влево вправо посмотрю,

Плечиками покручу

Обведу я ими круг,

Погляжу на мир вокруг.

7. Решение задач. Работа у доски.

Давайте вспомним взаимное расположение прямой и окружности.

Что такое касательная к окружности? Что такое секущая?

Задача №1

Дано: окружность с центром О,

АС- касательная, АВ- хорда, угол ВАС=75^о

В Найти: Угол АОВ

Решение:

О 1) 90⁰ – 75⁰ =15⁰ (угол А в треугольнике АОВ)

2)180⁰ -15⁰ *2=150⁰ ( угол АОВ)

А С

Задача №2.

Дано: окружность с центром О.

ОА – радиус окружности АС – хорда.

Центральный угол АОС = 70 градусам.

Найти угол ОАС -?

Устно в учебнике стр. 68 № 237

8. Самостоятельная работа. Задачи на построение

.

Разн0уровневые задания.

1 вариант.

1. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке.

Измерьте радиус окружности. Чему равен ее диаметр?

постройте хорду этой окружности. Найдите расстояние от центра до хорды.

2 вариант.

1. Отметьте в тетради точку О. Постройте окружность с центром в этой точке.

2. Отрезки АВ и СD – диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОD, если СВ = 13 см, АВ = 16 см.

9. Закрепление полученных знаний. Тест.

1. Вычеркнуть ненужные слова текста в скобках:

а) Окружность – это (абстрактная, геометрическая, плоская) фигура, состоящая из (множества, всех) точек, расположенных на (одинаковом, заданном) расстоянии от (некоторой, центральной) точки.

б) Радиусом окружности называется (линия, прямая, отрезок), соединяющая центр окружности с (

заданной, какой-либо) точкой окружности.

Выбрать правильный ответ

2. Диаметр окружности – это …

а) два радиуса, лежащие на одной прямой;

б) хорда, проходящая через центр окружности;

в) прямая, проходящая через две точки и центр окружности.

3. Центр окружности – это …

а) точка, куда ставится ножка циркуля при начертании окружности;

б) середина окружности;

в) точка, равноудаленная от всех точек окружности.

4. Дуга окружности – это …

а) часть окружности, выделенная точками;

б) часть окружности, ограниченная двумя точками;

в) часть окружности, ограниченная хордой.

5. Определить, на сколько дуг делят окружность две точки, лежащие на окружности.

а) на одну; б) на две.

6. Как изображается хорда на чертеже окружности?

а) прямой линией; б) дугой окружности; в) отрезком с концами, лежащими на окружности.

7. Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности?

а) длина окружности; б) радиус окружности; в) половина диаметра окружности.

8. Выбрать на рисунке хорду:

а) ОА; б) ВО; в) СD.

9. Выбрать на рисунке диаметр

а) MK; б) KN; в) OD.

10. Рефлексия  «Светофор»
Оцените свою деятельность на уроке с помощью «Светофора» (зелёный – все понятно, желтый – есть затруднения, красный – много непонятного – карточки данных цветов даны учащимся еще до урока).

Понравился вам урок или нет? Чем мы занимались на уроке? Что вызвало интерес?

11. Домашнее задание.

Начертите окружность радиусом 6 см. Отметьте на окружности т. A, B, K, P, M, N, O так, чтобы были:

AK-хорда;KM-хорда;OM-радиус;KB-диаметр;

BP-хорда;NK-хорда;AB-хорда;NP-диаметр.

12. Подведение итогов урока.

Выставление итоговой оценки за урок.

infourok.ru

Окружность / math5school.ru

	Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая. Отрезок R, который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом. Отрезок DE, который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой. Хорда BC, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.
	Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками. Вписанным углом, α, называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец. Центральным углом, β, называется угол, образованный двумя радиусами.
	Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги: AB||CD ⇒ ∪AC = ∪BD.
	Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей: AC = BC ⇒ OC⊥AB.
	Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра: AB = CD ⇔ OK = OL. Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги: AB = CD ⇔ ∪AB = ∪CD. Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру: AB > EF ⇔ OK < OM.
	Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны: α = ½·(∪AC + ∪BD). Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то AM·MB = CM·MD.
	Прямая (a), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (B), называется касательной к этой окружности. Прямая (a), которая перпендикулярна диаметру окружности (АВ) и проходит через его конец (В), является касательной к этой окружности. Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.
	Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны: АВ = АС. Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны: ∠ВАО = ∠САО.
	Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей. Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности: МВ·МС = МА², и ∠М = ½·(∪AC – ∪АВ).
	Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами: ∠А = ½·(∪CD – ∪BE) и AB·AC = AE·AD.
Для двух окружностей с центрами О1 и О2, и радиусами R и r: при внешнем касании: О1О2 = R + r; при внутреннем касании: О1О2 = R – r.
Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’. Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов. Если радианная мера угла равна α, то угол содержит (180·α)/π градусов. Если градусная мера угла составляет п°, то круговая – πп/180 радиан. Так углам в 1°, 10°, 30°, 60°, 90°, 135°, 180°, 360° соответствуют углы, содержащие  π/180, π/18, π/6, π/3, π/2, 3π/4, π, 2π радиан.
	Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла: ∪АС = ∠АОС. Угловая величина дуги обладает следующими свойствами: Угловая величина дуги неотрицательна. Равные дуги имеют равные угловые величины. Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠АВС = ½·∪АС = ½·∠АОС. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: ∠ABC=∠ADC=∠AEC.
	Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым: ∠ACВ= ½·∪АВ=½·180°=90°.
	Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π. π = 3,1415926535… . Длина окружности: L = 2πR. Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности: l = α·R.
Площадь круга: S = π·R².	Площадь сектора: S = ½·α·R².	Площадь сегмента: S = ½·(α–sin α)·R².

math4school.ru

Хорды и дуги

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. На рисунке 140 отрезки AB, CD и EF – хорды окружности (CD является и диаметром окружности).
Отметим на окружности какие-нибудь две точки – A и B. Прямая AB разделяет окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности. На рисунке 141 изображены две дуги с концами A и B: дуга APB (синяя) и дуга AQB (зеленая). Дуги APB и AQB обозначаются так: ◡APB и ◡AQB. В тех случаях, когда ясно, о какой из двух дуг с концами A и B идет речь, используют краткое обозначение: ◡AB.
Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дуга называется полуокружностью. На рисунке 142, а изображены две полуокружности (синяя и зеленая).
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом (угол AOB на рис. 142, б). С помощью центральных углов можно измерять дуги в градусах.

Если дуга AB окружности с центром O лежит внутри угла AOB или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB; если же дуга AB не лежит внутри угла AOB, то ее градусная мера считается равной 360° – ∠AOB (рис. 142).

Градусная мера дуги обозначается так же, как и сама дуга (см. рис. 142).

Из определения градусной меры дуги следует, что

сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

На рисунке 143 градусная мера дуги BCD равна 155°, поскольку

◡BCD = ◡BC + ◡CD = 45° + 110° = 155°.

Обычно говорят кратко: дуга BCD равна 155°, и пишут ◡BCD = 155°. На этом же рисунке

◡AB = 180° – 155° = 25°, ◡ADB = 360° – 25° = 335°.

mthm.ru