Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя
Пример.
Вычислить пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ;
2) ;
3) .
Решение.
1)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть бесконечность), то получим неопределенность :
Избавимся от полученной неопределенности вынесением за скобки переменной в старшей степени для числителя и для знаменателя:
2)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть 2), то получим неопределенность :
Избавимся от неопределенности умножением числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение к знаменателю дроби:
3)
Для решения этого предела выполним замену .
Подставим в начальное выражение:
Воспользуемся формулой первого замечательного предела и получим:
Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя
Как найти предел не пользуясь правилом Лопиталя постараюсь объяснить на примерах.
Пример 1.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:
Решение.
При непосредственной подстановке значения 3 вместо переменной х получили неопределенность типа . Чтобы избавиться от такого вида неопределенности нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение:
Ответ. .
Пример 2.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:
Решение.
При непосредственной подстановке вместо переменной х его значения получаем неопределенность :
Чтобы от нее избавиться поделим числитель и знаменатель на переменную в наибольшей степени:
Теперь подставим вместо х его значение и получим:
Ответ. .
ru.solverbook.com
Вычислить пределы используя правило Лопиталя
Чтобы вычислить пределы, используя правило Лопиталя, вспомним его сущность:
Если при непосредственной подстановке вместо х значения, к которому он стремится, получают неопределенность вида бесконечность на бесконечность или ноль на ноль, то их можно раскрыть с помощью вычисления вместо функций числителя и знаменателя их производных.
Пример 1.
Найдем .
Решение.
Подставим вместо х значение, к которому он стремится (то есть ):
В этом случае мы можем воспользоваться правилом Лопиталя и избавиться от этой неопределенности:
Ответ. .
Применив правило Лопиталя, можно опять получить неопределенность этих двух видов (, ). Тогда это правило можно применять еще сколько угодно раз.
Пример 2.
Найдем .
Решение.
Подставим значение х:
Избавимся от полученной неопределенности, вычислив предел от частного производных числителя и знаменателя:
Получили снова неопределенность . Можем применить правило Лопиталя еще раз:
Обратим внимание, что когда применяете правило Лопиталя не один раз, то нужно каждый раз проверять раскрылась ли неопределенность. В противном случае получится неправильный результат.
ru.solverbook.com