Как найти векторное произведение векторов
Угол между векторами
Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.
Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).
Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Причем мы будем считать, что если векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них нулевой, то угол между этими векторами будет равен $0^\circ$.
Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$
Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения
Определение 1
Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.
Математически это выглядит следующим образом:
- $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin∠(\overline{α},\overline{β})$
- $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
- $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)
Рисунок 2. Произведение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:
- Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
- Если угол между этими векторами будет равняться $180^\circ$ или $0^\circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).
Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.
Пример 1
Найти длину вектора $\overline{δ}$, который будет являться результатом векторного произведения векторов, с координатами $\overline{α}=(0,4,0)$ и $\overline{β}=(3,0,0)$.
Решение.
Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 3):
Рисунок 3. Векторы в декартовом координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^\circ$. Найдем длины этих векторов:
$|\overline{α}|=\sqrt{0+16+0}=4$
$|\overline{β}|=\sqrt{9+0+0}=3$
Тогда, по определению 1, получим модуль $|\overline{δ}|$
$|\overline{δ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Ответ: $12$.
Вычисление векторного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$
Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты
$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Пример 2
Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение.
Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$
Ответ: $(12,-3,3)$.
Свойства векторного произведения векторов
Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:
$\overline{α}х\overline{β}=-(\overline{β}х\overline{α})$
Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.
$(r\overline{α})х\overline{β}=r(\overline{α}х\overline{β})$ и $\overline{α}х(r\overline{β})=r(\overline{α}х\overline{β})$
Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:
$(r\overline{α})\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rα_1&rα_2&rα_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$
$\overline{α}х(r\overline{β})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$
$\overline{α}х(\overline{β}+\overline{γ})=\overline{α}\overline{β}+\overline{α}\overline{γ}$ и $(\overline{α}+\overline{β})\overline{γ}=\overline{α}\overline{γ}+\overline{β}\overline{γ}$.
Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.
Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:
Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)
Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 3
Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.
Решение.
Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):
Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:
$S=|\overline{α}х\overline{β}|$
Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$
Следовательно
$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$
Ответ: $24$.
spravochnick.ru
Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.
Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.
Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).
Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:
Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо заметить, что угол между двумя векторами — это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.
Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:
1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор — нулевой.
2.Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.
3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.
4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.
5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой уго
dpva.ru
Скалярное и векторное произведения. Проекция вектора на вектор
В данной статье будут изложены основные инструкции, относительно векторов. С их помощью Вы будете знать что с ними можно делать, а что нет. Поэтому переходим к изучению операций над векторами.
І. Суммой двух -мерных векторов
и называют-мерный вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов — слагаемых:
Например, если ,
то
Из этого правила следует, что разностью двух векторов будет вектор, координаты которого является разницей соответствующих координат векторов
ІІ. Произведением числа (скаляра) на -мерный вектор называется -мерный вектор , координаты которого равны произведению числа на соответствующие координаты вектора
Например
Операции сложения векторов и умножения числа на вектор ( — некоторые числа) обладают свойствами:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) Для произвольного вектора существует противоположный вектор такой, что
ІІІ. Скалярным произведением двух -мерных векторов и называют число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:
Например,
если, то
Согласно другому определению, скалярное произведение двух векторов это число, равное произведению длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними
Из приведенного выше определения можно получить формулу для вычисления угла между векторами
или в координатной форме
Также есть формулировка согласно которой скалярное произведение двух векторов равен модулю одного из них умноженному на проекцию второй вектор на направление первого
Из последнего определения вытекают формулы для нахождения проекции вектора на вектор
или в координатной форме
Примеры нахождения скалярного произведения, угла между векторами и проекции одного вектора на другой будут рассмотрены ниже.
Алгебраические свойства скалярного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)Равенство имеет место при условии
Геометрические свойства скалярного произведения
1)векторы перпендикулярны между собой, если
2) угол между векторами острый в случаях, когда
3) угол между векторами тупой в случаях, когда
ІV. Векторным произведением или двух векторов называется вектор , который отвечает следующим условиям:
1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними
2) вектор нормальный к плоскости, построенной на векторах и ;
3) вектор направлен так, что с его конца кратчайший поворот от вектора к происходит против часовой стрелки. Иными словами, векторы образуют правую тройку.
Векторное произведение имеет следующие геометрические свойства:
Его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах и
Поэтому площадь треугольника построенного на векторах и равна модулю половины векторного произведения этих векторов
Алгебраические свойства векторного произведения
1) векторное произведение равно нулю в случае коллинеарности векторов или когда один из них нулевой;
2) от перестановки векторов векторное произведение меняет знак на противоположный
3)
4)
На практике важно иметь под рукой формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме, поэтому запишем и ее
Рассмотрим конкретные примеры для усвоения пройденного материала.
———————————————
Задача 1.
Заданы векторы и
Найти следующие величины
1) сумму векторов
2) скалярное произведение векторов
3) ) векторное произведение площадь треугольника построенного на векторах
4) угол между векторами
5) проекцию каждого из векторов на другой
Решение
1) Проведем вычисления
2) Скалярное произведение будет равно
3) Векторное произведение вычисляем по формуле
Площадь треугольника будет равна
4) Найдем угол между векторами по формуле
В ней скалярное произведение уже найдено поэтому находим длины векторов
Подставляем нужные значения в формулу
Находим значение угла
5) Найдем проекции векторов
Проекции векторов можно искать через косинус угла между векторами, результат от этого не изменится
На этом урок окончен. Изучайте правила и свойства операций над векторами, они станут Вам полезны при обучении.
——————————————————
Посмотреть материалы:
yukhym.com