Алгебра определитель – Линейная алгебра Матрицы и определители.

Содержание

Линейная алгебра Матрицы и определители.

Большинство математических моделей в экономике описываются с помощью матриц и матричного исчисления.

Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа, функции, уравнения или другие математические объекты, расположенные в строках и столбцах.

Объекты, составляющие матрицу, называют ее элементами. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами

а их элементы – строчными.

Символ означает, что матрицаимеетстрок истолбцов,элемент, находящийся на пересечении–й строки и

–го столбца.

.

Говорят, что матрица А равна матрице В: А=В, если они имеют одинаковую структуру (то есть одинаковое число строк и столбцов) и их соответсвующие элементы тождественно равны , для всех.

Частные виды матриц

На практике довольно часто встречаются матрицы специального вида. Некоторые методы предполагают также преобразования матриц от одного вида к другому. Наиболее часто встречающиеся виды матриц приведены ниже.

квадратная матрица, число строк n равно числу столбцов

n

матрица-столбец

матрица-строка

нижняя треугольная матрица

верхняя треугольная матрица

нулевая матрица

диагональная матрица

Е =

единичная матрица Е (квадратная)

унитарная матрица

ступенчатая матрица

( )

Пустая матрица

Элементы матрицы, с равными номерами строк и столбцов, то есть aii образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами.

  1. При умножении матрицы А на скаляр (число), необходимо умножить на это число все элементы матрицы . Общий множитель всех элементов можно вынести за знак матрицы.

  2. Сложение матрицы и числа,

  3. Сложение матриц

  4. Вычитание матриц

  5. Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число строк первой равно числу строк второй. Произведением , где каждый элемент матрицыС — есть сумма произведений всех элементов–й строкина соответсвующие элементы

    –го столбца.

.

Свойства операций над матрицами

Специфические свойства оперций

Если произведение матриц – существует, то произведениеможет и не существовать. Вообще говоря,. То есть умножение матриц не коммутативно. Если же, тои

называют коммутативными. Например, диагональные матрицы одного порядка коммутативны.

Если , то необязательноили. Т.е., произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Например

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Если , то

.

По определению полагают , и нетрудно показать, что,. Отметим, что из не следует, что.

Поэлементное возведение в степень А.m = .

Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами:

,

Например

, .

Свойства транспонирования:

Определители и их свойства.

Для квадратных матриц часто используется понятие

определителя – числа, которое вычисляется по элементам матрицы с использованием строго определенных правил. Это число является важной характеристикой матрицы и обозначается символами

.

Определителем матрицы является ее элемент.

.

Определитель матрицы вычисляется по правилу:

,

т.е., из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов дополнительной диагонали.

Для вычисления определителей более высокого порядка () необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента.

Минором

элемента называют определитель, который получают из матрицы, вычеркивая-ю строку и-й столбец.

Рассмотрим матрицу размером:

,

тогда, например,

Алгебраическим дополнением элементаназывают его минор, умноженный на.

,

.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая по элементам первой строки, получим:

Последняя теорема дает универсальный способ вычисления определителей любого порядка, начиная со второго. В качестве строки (столбца) всегда выбирают тот, в котором имеется наибольшее число нулей. Например, требуется вычислить определитель четвертого порядка

В данном случае можно разложить определитель по первому столбцу:

,

или последней строке:

.

Этот пример показывает также, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Нетрудно доказать, что этот вывод справедлив для любых треугольных и диагональных матриц.

Теорема Лапласа дает возможность свести вычисление определителя -го порядка к вычислениюопределителей-го порядка и, в конечном итоге, к вычислению определителей второго порядка.

studfiles.net

Определители и их свойства

Рассмотрим квадратную матрицу3-го порядка.

Определение. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице

А, называют число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементаминазывается главной , а диагональ, образованная элементами-побочной.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (*) берутся со знаком +, а какие со знаком — , полезно пользоваться правилом треугольников.

Пример.

Замечание

Определителем 2-го порядка , соответствующим матрице

, называется число, равное.

Определение. Минором элементаопределителя называется определитель, полученный из данного, вычеркиваниемi-й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением элементаназывается минор этого элемента, умноженный на, т.е.

.

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей третьего порядка.

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами.

2. При перестановке двух рядом стоящих строк (или столбцов) определителя знак определителя меняется на противоположенный, т.е.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов некоторого столбца (или строки) выносится за знак определителя

5. Если все элементы столбца (строки) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном на месте суммы стоит первое слагаемое, в другом –второе.

8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то определитель при этом не изменится.

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

Представление определителя в соответствии со свойством 9 называется разложением определителя по элементам некоторого столбца (строки).

10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Пример.

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки.

1.2. Векторная алгебра

Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы измерения длины и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: Ox,Oy, и Oz.

Точка — начало координат,Ox— ось абсцисс, Oy-ось ординат,

Oz – ось аппликат.

Пусть М— произвольная точка пространства (рис. 1.1). Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox, Oy, и Oz. Точка пересечения построенных плоскостей обозначается через соответственно.

Прямоугольными координатами точки М называются числа

При этом называют— абсциссой,– ординатой,– аппликатой точки М.

При заданной системе координат каждой точкеМ соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x, y, z) – её прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x, y, z) соответствует, и при том одна, точка М в пространстве.

Плоскости Oxy,Oxz,Oyz называются координатными плоскостями.

studfiles.net

Линейная алгебра Матрицы и определители.

Большинство математических моделей в экономике описываются с помощью матриц и матричного исчисления.

Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа, функции, уравнения или другие математические объекты, расположенные в строках и столбцах.

Объекты, составляющие матрицу, называют ее элементами. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами

а их элементы – строчными.

Символ означает, что матрицаимеетстрок истолбцов,элемент, находящийся на пересечении–й строки и–го столбца.

.

Говорят, что матрица А равна матрице В: А=В, если они имеют одинаковую структуру (то есть одинаковое число строк и столбцов) и их соответсвующие элементы тождественно равны , для всех.

Частные виды матриц

На практике довольно часто встречаются матрицы специального вида. Некоторые методы предполагают также преобразования матриц от одного вида к другому. Наиболее часто встречающиеся виды матриц приведены ниже.

квадратная матрица, число строк n равно числу столбцов n

матрица-столбец

матрица-строка

нижняя треугольная матрица

верхняя треугольная матрица

нулевая матрица

диагональная матрица

Е =

единичная матрица Е (квадратная)

унитарная матрица

ступенчатая матрица

( )

Пустая матрица

Элементы матрицы, с равными номерами строк и столбцов, то есть aii образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами.

  1. При умножении матрицы А на скаляр (число), необходимо умножить на это число все элементы матрицы . Общий множитель всех элементов можно вынести за знак матрицы.

  2. Сложение матрицы и числа,

  3. Сложение матриц

  4. Вычитание матриц

  5. Умножение двух матриц возможно только тогда, когда число строк первой равно числу строк второй. Произведением , где каждый элемент матрицыС — есть сумма произведений всех элементов–й строкина соответсвующие элементы–го столбца.

.

Свойства операций над матрицами

Специфические свойства оперций

Если произведение матриц – существует, то произведениеможет и не существовать. Вообще говоря,. То есть умножение матриц не коммутативно. Если же, тоиназывают коммутативными. Например, диагональные матрицы одного порядка коммутативны.

Если , то необязательноили. Т.е., произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Например

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Если , то

.

По определению полагают , и нетрудно показать, что,. Отметим, что из не следует, что.

Поэлементное возведение в степень А.m = .

Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами:

,

Например

, .

Свойства транспонирования:

Определители и их свойства.

Для квадратных матриц часто используется понятие определителя – числа, которое вычисляется по элементам матрицы с использованием строго определенных правил. Это число является важной характеристикой матрицы и обозначается символами

.

Определителем матрицы является ее элемент.

.

Определитель матрицы вычисляется по правилу:

,

т.е., из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов дополнительной диагонали.

Для вычисления определителей более высокого порядка () необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента.

Минором элемента называют определитель, который получают из матрицы, вычеркивая-ю строку и-й столбец.

Рассмотрим матрицу размером:

,

тогда, например,

Алгебраическим дополнением элементаназывают его минор, умноженный на.

,

.

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая по элементам первой строки, получим:

Последняя теорема дает универсальный способ вычисления определителей любого порядка, начиная со второго. В качестве строки (столбца) всегда выбирают тот, в котором имеется наибольшее число нулей. Например, требуется вычислить определитель четвертого порядка

В данном случае можно разложить определитель по первому столбцу:

,

или последней строке:

.

Этот пример показывает также, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Нетрудно доказать, что этот вывод справедлив для любых треугольных и диагональных матриц.

Теорема Лапласа дает возможность свести вычисление определителя -го порядка к вычислениюопределителей-го порядка и, в конечном итоге, к вычислению определителей второго порядка.

studfiles.net

Линейная алгебра. Основные определения.

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.

Пример. -симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называетсядиагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение.Суммой (разностью)матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij=aijbij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В

А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = АТ=;

другими словами, bji = aij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти АТВ+С.

AT = ; ATB = = = ;

C = ; АТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = = .

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = = = .

studfiles.net

Линейная алгебра Основные определения

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij  bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В

А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В =.

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Пример. Найти произведение матриц А = и В =.

АВ = =.

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ==.

Определители (детерминанты)

Определение. Определителем квадратной матрицы А=называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В =. Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13;

det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = ,

det (AB) = 718 — 819 = 126 – 152 = -26.

Миноры

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

studfiles.net

Определители и их применение в алгебре и геометрии

Медико-биологический лицей г. Саратова.

Предмет: математика.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ.

Выполнили: Дёмин Дмитрий,

Грачёв Денис ученики 11 «б» класса МБЛ.

Руководитель: Винник Нина Дмитриевна

Учитель математики.

Саратов 2007 г.

Содержание

1. Определения.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде.

3. Свойства определителя.

4. Доказательства свойств определителя.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными.

1. Определения.

2. Свойства векторного произведения.

3. Доказательства свойств векторного произведение.

4. Смешанное произведение.

5. Векторное произведение векторов заданных проекциями.

6. Примеры решение задач (с использованием определителей).

Введение

В алгебре существует широкий класс задач, решение которых является громоздким и трудным методами элементарной математики. Например, решение системы n линейных уравнений, с n неизвестными методом Жордана – Гаусса требует длительных вычислений и, как правило, часто ведёт к ошибке.

Теория определителей позволяет решать и исследовать системы с малыми затратами используя правило Крамера, рассматриваемое в этой работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Медико-биологического лицея Дёмин Дмитрий).

При вычислении площадей, объёмов в пространстве часто удобно пользоваться векторным и смешанным произведениями векторов, вычисляя определитель координат векторов, что представлено в работе.

(данную часть работы приготовил ученик 11 «б» класса Грачёв Денис).

Глава 1. Определители

1. Определения

Опр. Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы (иногда их называют колонками). Строки и столбцы часто называют собирательным термином «ряды матрицы». Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – aij ; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент aij , а второй индекс j означает номер столбца матрицы, в котором стоит aij . Матрицы символически обозначают заключёнными в круглые или квадратные скобки, или двойные вертикальные черточки. (Кратко: (aij ) или IIaij II).

Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы .

Опр. Определитель (детерминант) n-го порядка – алгебраическая сумма n! слагаемых членов из элементов квадратной матрицы (таблицы), которое вычисляется по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов взятых по одному и только по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Каждый член определителя берётся со знаком (-1)t , где t – число инверсий во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке.

2. Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде

Пусть матрица A=

, тогда ее определитель будет содержать 2!=2 слагаемых:

a11 a22 и + a21 a12 , так как в перестановке

нет инверсий, следовательно, (-1)0 = -1, а в перестановке есть одна инверсия и (-1)1 = -1.

Значит,

= a11 a22 – a21 a12

Минором или алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы или ее определителя, называется определитель порядка n-1, который получается из исходного вычеркиванием i – той строки и j – того столбца.

3. Свойства определителя

Определитель обладает рядом свойств:

1) Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

2) Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

4) Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

5) Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

6) Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

7) Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

4. Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

Доказательство:

Опр. Матрицы Aji называется транспонированной матрицей Aij


= det A = det AT

det A = det AT

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.

a1i a2j … ank

ai1 aj2 … akn  сумме det AT

Следовательно определители равны.

Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство:

Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.

=detA подсчитаем определитель данной матрицы.

Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.

=0*а22331223 *0+а3213 *0 = 0 =-(а1322 *0+а1233 *0+а2332 *0)=0

Свойство доказано.

Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство: Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

, после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

det A=(-1)0 *((a11 *a22 *a33 +a12 *a23 *a31 +a21 *a32 *a13 )-(a13 *a22 *a31 +a21 *a12 *a33 +a32 *a23 *a11 ))

det B=(-1)2 *((a31 *a22 *a13 +a21 *a12 *a33 +a32 *a23 *a11 )-(a33 *a22 *a11 +a12 *a23 *a31 +a21 *a32 *a13 ))

(a11 *a22 *a33 +a12 *a23 *a31 +a21 *a32 *a13 )-(a13 *a22 *a31 +a21 *a12 *a33 +a32 *a23 *a11 ) +(a31 *a22 *a13 +a21 *a12 *a33 +a32 *a23 *a11 )-(a33 *a22 *a11 +a12 *a23 *a31 +a21 *a32 *a13 )=0

mirznanii.com

Примеры решений Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Линейная алгебра Определители

Составитель: Смирном А. Н.

Издание первое, 2014.

Оглавление

Линейная алгебра

1. Определители 2

2. Матрицы 4

3. Решение систем линейных уравнений 8

4. Ранг матрицы. Разрешимость систем 12

5. Линейное пространство 17

6. Векторная алгебра 28

Аналитическая геометрия

7. Плоскость в пространстве 39

8. Прямая в пространстве 43

9. Прямая на плоскости 48

10. Кривые второго порядка 53

11. Полярная система координат 58

Линейная алгебра

  1. Определители

1.1. Вычислить определитель второго порядка

Ответ: 5

1.2. Вычислить определитель третьего порядка

Способ 1. Метод треугольника

Ответ: 184

Способ 2. Метод раскрытия по строке (или столбцу). Раскроем по второй строке.

Ответ: 184

1.3. Вычислить определитель четвертого порядка, преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.

Используя свойства определителей, его нужно преобразовать так, чтоб в каком, либо столбце или строке стало три элемента нуля.

В данном задании проще всего к такому виду привести вторую строку, т.к. в ней уже содержится один ноль, а остальные числа не большие и удобны для преобразования.

Теперь во второй строке появилось два нуля. Далее, ко второму столбцу прибавим четвёртый, умноженный на два.

К первому столбцу прибавим четвёртый, т.е. почленно прибавим элементы четвёртого столбца к элементам первого.

Теперь во второй строке появилось три нуля. То, что и требовалось сделать. Далее раскроем данный определитель по второй строке.

Получилось, что в первых трёх определителях множители равны нулю, значит дальше их можно и не раскрывать, т.к. они всё равно обернутся в ноль. Раскроем только определитель в четвёртом слагаемом и найдём его значение.

Ответ: -51

1.4. Решить неравенство (или уравнение) с определителями

Для его решения необходимо раскрыть определители и решить обычное неравенство (или уравнение).

Упрощаем

Ответ:

  1. Матрицы

2.1. Операции над матрицами.

Дано матрицы

, ,,

Выполнить операции

a)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Примечание: , перестановка не тождественна.

з)

2.2. Найти обратные матрицы

а) Обратная матрица второго порядка

,

Союзная матрица

Находим ответ

Ответ:

б) Обратная матрица третьего порядка .

Способ 1. Метод миноров.

Этот метод заключается в составлении союзной матрицы и в дальнейшем делении её на определитель матрицы.

,

В матрице C в нижнем ряду два нулевых элемента, так что будет проще раскрыть определитель по этой строке.

Союзная матрица

Способ 2. Метод Гаусса.

Расширим исходную матрицу единичной матрицей и методом Гаусса преобразуем исходную матрицу в единичную. Расширение матрицы и будет обратной матрицей.

Дальнейшая последовательность действий приводится без объяснений

Ответ совпал с предыдущим методом.

Ответ:

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *