Примеры нахождения наклонных асимптот
В предыдущей статье наведены определения наклонных, вертикальных, горизонтальных асимптот. Сейчас же будут приведены примеры нахождения асимптот с применением правила Лопиталя. Его удобно применять при нахождении границ с неопределенностями типа ноль на ноль или бесконечность на бесконечность , то есть, когда есть границы вида
или
то по правилу Лопиталя ее значение равно
если функции дифференцируемы и определены в окрестности точки . Производную можно применять повторно до тех пор, пока не получим константу в числителе или знаменателе или дробь избавится особенности.
————————————
Примеры.
Найти асимптоты функций
І.
Решение:
Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль
Область определения будет разбита на два интервала
Точка которая разбивает область определения будет вертикальной асимптотой . Найдем наклонную асимптоту согласно формулы
Первую неизвестную найдем с предела
Вторую определяем по правилу
Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее
Функцию с асимптотой изображено на графике
——————————————
ІІ.
Решение:
Функция определена во всех точках кроме тех, в которых знаменатель равен нулю. Найдем решения квадратного уравнения
Оба корня разбивают область определения на три интервала
а также являются вертикальными асимптотами функции. Наклонную асимптоту находим с применением правила Лопиталя
При вычислении констант , входящих в уравнение прямой, пришлось применить правило Лопиталя трижды для первой и дважды для второй неизвестной. В конечном итоге получили следующее уравнение наклонной асимптоты
График функции приведен ниже
—————————————
III.
Решение:
С виду функции следует что она определена во всех точках где определены корни
Накладывая оба промежутка получим область определения
Точка является вертикальной асимптотой функции. Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение наклонной асимптоты. Применение правила Лопиталя к данному примеру никаких упрощений не даст поэтому используем другое
Упростим выражение в числителе
и подставим в границу
Уравнение наклонной асимптоты примет вид
График заданной функции с наклонной асимптотой следующий
—————————————
Приведенные решения частично ознакомили Вас с возможными примерами которые могут быть на практике. Для лучшего владения данной тематикой решайте задачи самостоятельно, изучайте удобные методики нахождения пределов функции которые позволят получить результаты быстрее.
————————————
Посмотреть материалы:
yukhym.com
Понятие асимптот вводится для кривых, график которых (или отдельные ветви графика) уходит в бесконечность. Это может быть, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.
Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.
Пример 1. Доказать, пользуясь определением асимптоты, что прямая является асимптотой кривой .
Решение. По определению асимптоты . В нашем случае .
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты.
Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси , имеет вид .
Если прямая является вертикальной асимптотой графика функции , то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности ( или ).
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
Пример 2. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .
Решение. Видим, что , если , точнее , то есть прямая является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.
Горизонтальные асимптоты.
Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение .
Если прямая является горизонтальной асимптотой кривой , то .
Пример 3. Найти горизонтальные асимптоты кривой .
Решение. Найдем , то есть при и при , значит прямая – горизонтальная асимптота данной кривой.
Наклонные асимптоты.
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде . По определению асимптоты или
. (1)
Разделим обе части этого равенства на :
, откуда
. (2)
Теперь из (1):
. (3)
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при и при , так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. По формуле (2) найдем .
Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты .
Пример 5. Найти асимптоты кривой .
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как при . Ищем наклонные:
.
Таким образом, кривая асимптот не имеет.
Пример 6. Найти асимптоты кривой .
Решение. Поскольку при и при , то прямые и являются вертикальными асимптотами. Так как , то – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).
Для самостоятельной работы.
1. Пользуясь определением асимптот, доказать, что прямая является асимптотой кривой .
2. Найти асимптоты следующих кривых:
А) . Ответ: .
Б) . Ответ: .
В) . Ответ: .
Г) . Ответ: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
Определение 23.4. Прямая называется Асимптотой Графика функции Y = F(X) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.
Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.
1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке А бесконечен.
Пример. Вертикальной асимптотой графика функции
Является прямая Х = 1.
Рис. 5
2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида У = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т. е.
Пример. Горизонтальными асимптотами функции Y = Arctg X являются
Рис. 6
3. Наклонные асимптоты – прямые вида Y = Kx + B. Найдем K И B. Поскольку
Если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности
Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при и при ).
Пример.
Функция имеет бесконечный разрыв при Х = 1, то есть Х = 1 – вертикальная асимптота.
Поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим
Тогда
Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая Y = X + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
Как найти наклонные асимптоты функции
Чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой к графику функции у, ее уравнение должно удовлетворять условию
Из этого условия можно вычислить коэффициенты k и b наклонной асимптоты к графику функции у:
Тогда
По свойству пределов:
и
Подставим вместо у выражение из правой части уравнения прямой и почленно поделим числитель и воспользуемся свойством предела:
Вынесем постоянные за знак предела:
Следовательно, функция у будет иметь наклонную асимптоту в виде y=kx+b только в том случае, когда будут существовать конечные пределы:
и
Найдем наклонные асимптоты функции .
Решение.
Найдем наклонные асимптоты.
Уравнение наклонных асимптот имеет вид . Согласно определению асимптоты:
Найдем коэффициент k:
Найдем коэффициент \textit{b:}
Получили уравнение наклонной асимптоты:
Ответ. — наклонная асимптота функции .
Таким образом, нахождение наклонных асимптот сводится к вычислению соответствующих пределом.
Чтобы убедиться в правильности решения можно построить график у функции и соответствующей асимптоты.
ru.solverbook.com
Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru
п.3. Свойства гиперболы.
Теорема. (Свойства гиперболы.)
1. В канонической для гиперболы системе координат, в полосе
нет точек гиперболы.
2. Точки лежат на гиперболе.
3. Гипербола является кривой, симметричной относительно своих главных осей.
4. Центр гиперболы является его центром симметрии.
Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения гиперболы.
3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка гиперболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками гиперболы, откуда и следуют утверждения теоремы.
Теорема доказана.
Определение. Величина 2а называется действительной осью гиперболы, величина а называется действительной полуосью гиперболы.
Определение. Величина 2b называется мнимой осью гиперболы, величина b называется мнимой полуосью гиперболы.
Определение. Точки пересечения гиперболы с его действительной (фокальной) осью: , называются действительными вершинами гиперболы.
Определение. Точки называются мнимыми вершинами гиперболы.
Определение. Две пары прямых, параллельных главным осям гиперболы
, ,
высекают прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.
рис.3.
п.4. Асимптоты гиперболы.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении от начала координат расстояние между ними стремится к нулю.
Уточним понятие расстояния от кривой L до прямой. Пусть М – произвольная (текущая) точка кривой L. Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую. Тогда наименьшее возможное значение длины этого перпендикуляра
называется расстоянием от кривой L до данной прямой.
рис.4.
Вернемся к понятию асимптоты кривой.
рис.5.
Пусть дана прямая и кривая L. Пусть – точка на кривой L, – длина перпендикуляра, опущенного на прямую а из точки М, – длина отрезка прямой, проходящей через точку М параллельно оси ординат, заключенного между прямой а и кривой L. Из построения следует, что если М(х, у) – координаты точки М, то – координаты точки . По определению, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда при . В свою очередь .
Таким образом, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда
.
Теорема. Для того, чтобы прямая а была асимптотой для кривой L необходимо и достаточно, чтобы
. (5)
Доказательство. Угол между прямой а и осью ординат Оу остается неизменным при любом расположении точки М на кривой L и не равным нулю (мы предполагаем, что прямая ). Из прямоугольного треугольника MNK следует, что
,
где . Отсюда,
.
Теорема доказана.
Применим доказанную теорему к нахождению асимптот гиперболы.
Теорема. Прямые являются асимптотами гиперболы.
Доказательство. В силу симметричности гиперболы относительно осей координат, достаточно доказать, что прямая является асимптотой для гиперболы в 1 – й четверти, т.е. при и . Выражая их канонического уравнения гиперболы у, получаем
. (6)
Мы можем рассматривать гиперболу в 1-й четверти как график функции, задаваемой равенством (6). Найдем ее производную:
.
Следовательно, в первой четверти эта функция является возрастающей. Далее,
,
т.е. график функции (гипербола) лежит ниже прямой для всех . Вычисляем предел (5):
.
Отсюда, в силу предыдущей теоремы, следует, что прямая является асимптотой для гиперболы в первой четверти. Теперь справедливость теоремы следует из симметрии гиперболы относительно осей и начала координат.
Теорема доказана.
Возможно найдутся ответы здесь:
fxdx.ru
Глава 27. Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты
Определение
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная .
Расстояние между фокусами – .
Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат (рис. 2.13.1), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид
(2.13.1) |
Где . Уравнение вида (2.13.1) называется Каноническим Уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются Осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее Центром симметрии. Ось называется Действительной осью, а – Мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются Вершинами гиперболы.
Рис. 2.13.1.
Прямоугольник со сторонами и , расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы и определяются уравнениями
, . | (2.13.2) |
Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число , где – расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы .
Если – произвольная точка гиперболы, то отрезки и называются Фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам и . Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам и .
Если гипербола задана уравнением (2.13.1), то прямые, определяемые уравнениями , называются ее Директрисами.
Пример
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот .
Решение
Из уравнений для асимптот находим , или . Поскольку точка принадлежит гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению (2.13.1): , где или . Отсюда находим , тогда , следовательно, уравнение гиперболы имеет вид .
Пример
Дана гипербола . Найти ее полуоси и , фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот.
Решение
Разделим обе части этого уравнения на 144. Получим . Значит , следовательно оси гиперболы соответственно равны и . Так как , то фокусы гиперболы находятся в точках и . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле . В соответствии с (2.13.2), уравнения асимптот имеют вид: .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
matica.org.ua
1.2 Исследование формы гиперболы по её уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.
1. Уравнение (11.9) содержит x и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у=0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ох: А1(a;0) и A2(-a;0). Положив x=0 в (11.9), получаем y^2=-b^2, чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.
Точки A1(a;0) и A2(-a;0) называются вершинами гиперболы, а отрезок A1A2=2a
действительной осью, отрезок OA1=OA2=a — действительной полуосью гиперболы.
Отрезок B1B2(B1B2=2b), соединяющий точки B1(0;b) и B2(0;-b) называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.
3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое x^2/a^2 не меньше единицы т. е. что 1<=x^2/a^2 или a<=|x| . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x=a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x=-a (левая ветвь гиперболы).
4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |x| возрастает, то и |y| возрастает. Это следует из того, что разность x^2/a^2 –y^2/b^2 сохраняет постоянное значение, равное единице.
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей). Как раз таки график оптического свойства для гиперболы выглядит также:
Продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.
1.3 Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.
Покажем, что гипербола x^2/a^2-y^/b^2 имеет две асимптоты:
(11.11)
Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.
Возьмем на прямой y=bx/a точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка M(x;y) на гиперболе y=b(x^2-a^2)^1/2/a (см.рис. 56), и найдем разность ΜΝ между ординатами прямой и ветви гиперболы:
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель — есть постоянная величина.
Стало быть, длина отрезка ΜΝ стремится к нулю. Так как ΜΝ больше расстояния d от точки Μ до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые y=+bx/a являются асимптотами гиперболы (11.9).
При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины A1 и A2, гиперболы.
studfiles.net