Определение средняя линия треугольника – Свойства средней линии треугольника — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

Свойства средней линии треугольника — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Средняя линия треугольника — это сегмент, соединяющий середины двух сторон.

Свойства треугольника треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна половине ее. Например, на картинке

В любом треугольнике есть три средние линии, на пересечении которых образуются 4 равных треугольника, аналогичные исходным с коэффициентом 1/2.

Средняя линия обрезает треугольник, который похож на этот, и его площадь равна одной четверти исходного треугольника.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 см, B = 7 см и AC = 8 см, были вычерчены средние линии KN, NL и KL. Найдите периметр треугольника KNL.

Решение.

Поскольку средняя линия равна половине стороны, в которой она параллельна, мы можем найти длины всех средних линий:

Теперь вы можете найти периметр треугольника KNL как сумму длин всех его сторон:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задача.

В треугольнике ABC со стороной AC = 7 см и высотой BK = 4 см центральная линия MN была проведена параллельно стороне AC. Найдите область треугольника MBN.

Решение.

Средняя линия MN разрезает треугольник MBN, площадь которого равна одной четверти исходного треугольника ABC. Найдите область треугольника ABC:

Тогда площадь треугольника MBN равна:

Ответ

sciterm.ru

Средняя линия треугольника

Предмет, класс	Геометрия, 8 класс ( базовый учебник — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.и др.- 20-е изд., Геометрия 7-9 классы,- М.: Просвещение, 2013)
Учитель	Марущенко Надежда Викторовна
Тема урока, № урока по теме	Средняя линия треугольника, урок №1.
Методическая цель	Формирование у учащихся способностей к структурированию и систематизации изучаемого предметного содержания и способностей к учебной деятельности.
Образовательная цель	— Ввести понятие средней линии треугольника и рассмотреть её свойство. — Сформировать первичные умения использования свойства средней линии треугольника. — Предоставление учащимся возможности получить разнообразную информацию по данной теме, способствовать глубокому осмыслению и запоминанию материала и применять имеющиеся знания в процессе совместного решения учебных задач.
Воспитательная цель	— Повышение коммуникативной активности учащихся, их эмоциональной включенности в учебный процесс, создание благоприятных условий для проявления индивидуальности, выбора своей позиции, формирование умения аргументировано и спокойно отстаивать свою точку зрения. — Воспитывать дисциплинированность, внимательность, культуру речи и письма.
Развивающая цель	— Способствовать развитию интереса к предмету, познавательной активности, самоконтроля, навыков исследовательской деятельности, а так же навыков работы с компьютерной техникой и интерактивной доской. — Стимулирование творчества обучающихся, развитие их способности к анализу информации, формирование умений сравнивать, анализировать, обобщать, развитие умений правильно и кратко выражать свои мысли.
Тип урока	Урок открытия новых знаний
Формы работы	Фронтальная, индивидуальная, парная.
Необходимое техническое оборудование	Компьютер, проектор, презентация подготовленная учителем.
Планируемый результат	Планируемые предметные результаты в предметном направлении и личностном развитии: Знание: основных понятий темы: признаков подобия треугольников, свойств параллельных прямых; доказательство и применение при решении задач теоремы о свойстве средней линии треугольника; Умение: проводить исследования несложных ситуаций (сравнение средней линии и основания треугольника), формулировать гипотезы исследования, понимать необходимость ее проверки, доказательства, совместно работать в группе. Приобретенная компетентность: целостная, предметная, учебно-познавательная. Вид педагогической деятельности: личностно-ориентированная. Дидактическая модель педагогического процесса: исследовательская. Ведущая деятельность, осваиваемая в системе занятости: познавательная, информационно-коммуникационная.
Метапредметные результаты	Умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач, понимать необходимость их проверки. Умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач. Умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем. Умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.
Личностные УУД: Учатся умению вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения, формируют внутреннюю позицию на уровне положительного отношения к образовательному процессу, оценивают себя в социальных ролях: ученик, докладчик.	Познавательные УУД:	Коммуникативные УУД:	Регулятивные УУД:
	Развивают навыки познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, овладевают навыками решения проблем, осознанно и произвольно строят речевые высказывания в устной и письменной форме.	Проявляют уважительное отношение к одноклассникам, внимание к личности другого, адекватное межличностное восприятие. Вступают в диалог, участвуют в коллективном обсуждении проблем, учатся владеть монологической и диалогической формами речи.	Выделяют и осознают то, что уже освоено и что еще подлежит усвоению, осознают качество и уровень усвоения. В диалоге с учителем учатся вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех.

СТРУКТУРА УРОКА.

1.

2.

3.

4.

6.

7.

Организационный этап. Мотивация.

— Здравствуйте ребята! Давайте начнем наш сегодняшний урок с доброжелательности. Повернемся к друг другу, улыбнемся. И с хорошим настроением отправимся в очередной путь по дороге к знаниям.

— А сопутствующими словами нам сегодня будут слова древнего мыслителя Конфуция:

Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,

Путь подражания – это путь самый легкий,
И путь опыта – это путь самый горький.

— Сегодня мы продолжим знакомство с самой популярной в школьном курсе геометрической фигурой. Это самая простая замкнутая прямолинейная фигура, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как она имела широкое применение в практической жизни. Вы догадались, что это за фигура?

Актуализация опорных знаний.

— По каким признакам треугольники бывают подобными?
— Как связаны соответствующие стороны и углы подобных треугольников?
— Что такое коэффициент подобия, чему он равен?
— Какие прямые называются параллельными?
— Назовите признаки параллельности прямых

Выполнение заданий на экране.

«Открытие» нового знания. Создание проблемной ситуации.

а) построить в тетради треугольник: первому варианту – тупоугольный; второму варианту – прямоугольный; третьему варианту – остроугольный;

б) ввести обозначение этого треугольника;
в) отметить середины двух любых его сторон и обозначить их;
г) соединить полученные точки отрезками.

Учитель объясняет ученикам, что полученный ими отрезок называют средней линией треугольника и задает вопросы :

– Почему она так названа?

— Используя принцип построения, попробуйте сформулировать определение средней линии.

– Сколько средних линий можно построить в треугольнике?

— Ребята, сейчас поработаем в парах: на каждой парте лежит заготовка треугольника. Отметьте середины двух любых его сторон и проведите среднюю линию. Давайте посмотрим на расположение средней линии треугольника относительно третьей стороны.

— Какие результаты вы получили? Какой вывод можно сделать?

А теперь измерьте среднюю линию треугольника и его основание и найдите их отношение.

— А теперь попробуйте сами сформулировать свойство средней линии треугольника.

— Откройте учебники на странице 141 и давайте проверим к правильному ли выводу мы пришли.

А теперь оформим в тетради данное утверждение в виде теоремы .

— Вы, наверное, уже привыкли, что геометрия — это наука, в которой необходимо все обосновывать и доказывать.

— Мы сейчас докажем теорему. Разобраться в логике доказательства вам помогут печатные заготовки, которые есть у каждого из вас, возьмите их.

— Итак, что нам дано? Что необходимо доказать?

— Доказываем (опираясь на доску и печатные заготовки).

— Давайте еще раз пройдемся по доказательству.

Первичное усвоение нового знания.

— Вот ребята мы прошли с вами по пути размышления и пора перейти к пути опыта.

— Посмотрите на экран и давайте выполним задания по готовым чертежам.

Первичное закрепление.

Решение задачи №566

Информация о домашнем задании.

Формулировка теоремы, доказательство по опорному конспекту. ТПО №

Рефлексия

Подведем итоги сегодняшнего урока.

— Полностью ли реализован составленный нами план?

– Соответствовала ли наша работа целям урока?

— Что вы ожидали от сегодняшнего урока?

— Что вызвало трудности?

— Были ли задания, которые ты делал с удовольствием?

— Какие знания, полученные ранее, нужны были для изучения новой темы?

— А как вы считаете, знания, полученные сегодня на уроке, будут вам необходимы на следующих уроках.

— Как вы оцените свою работу сегодня на уроке?

А теперь я оценю вашу работу на уроке.

Ребята приветствуют друг друга.

— Треугольник.

Называют ответы.

Выполняют задания на экране.

Строят в тетрадях треугольники и поводят средние линии. Отвечают на вопросы.

Свойства.

Отличительная особенность.

Отвечают на вопросы.

Формулируют свойство

Заполняют заготовки под руководством учителя.

Работа по готовым чертежам

Решение задачи у доски и в тетради

Записывают домашнее задание в дневники.

Отвечают на вопросы

— сформировать доброжелательный рабочий настрой, проверить готовность класса к уроку

На этом этапе урока учителю необходимо сформировать осознание предела имеющихся знаний (моих знаний не хватает, чтобы ответить на вопрос).

— актуализировать опорные знания о равнобедренном треугольнике, высотах, медианах и биссектрисах треугольника;

— формировать осознание предела имеющихся знаний и потребность в изучении нового материала;

 

— развивать умения анализировать информацию;

— умение выстраивать освоение учебного материала как совместную деятельность;

— умение общаться с учащимися и вести диалог.

Необходимо целенаправленно организовать слушание, предлагая специальные задания.

Выслушиваются все варианты ответов учащихся. Важно выделить учеников, давших правильный ответ, поддержать того, кто не смог дать верный ответ.

Учителю желательно проявить свои чувства (радость, удивление) по поводу того, что дети сумели найти ответы на предложенные вопросы.

— закрепить свойство средней линии треугольника в ходе решения задач.

— организовать целостное осмысление и обобщение полученной информации, проведение оценки и самооценки учениками работы на уроке.

— обеспечить понимание цели,

содержания и способов выполнения домашнего задания.

infourok.ru

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Средняя линия треугольника. — Средняя линия треугольника.

Комментарии преподавателя

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка

По­вто­рим вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Тео­ре­ма 1. Вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по двум сто­ро­нам и углу между ними). Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка и углы между этими сто­ро­на­ми равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны.

.

Тео­ре­ма 2. Свой­ство и при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых. Если пря­мые па­рал­лель­ны, то их со­от­вет­ствен­ные углы равны; если со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны (см. Рис. 2).

.

Рис. 2

Опре­де­ле­ние. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. На Рис. 3  сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ,  ос­но­ва­ние.

Тео­ре­ма 3. Тео­ре­ма о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­вине (Рис. 3).

.

До­ка­за­тель­ство.

По усло­вию из­вест­но, что .

Рис. 3

Рас­смот­рим  и :

 по вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но,  как со­от­вет­ствен­ные, а по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых: . Па­рал­лель­ность сред­ней линии и со­от­вет­ству­ю­ще­го ей ос­но­ва­ния до­ка­за­на.

Кроме того, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков  можно вы­пи­сать и от­но­ше­ние их тре­тьих сто­рон . То, что сред­няя линия равна по­ло­вине со­от­вет­ству­ю­ще­го ос­но­ва­ния, до­ка&shy

www.kursoteka.ru

Средняя линия треугольника — это… Что такое Средняя линия треугольника?



Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.^[1]

Свойства средней линии треугольника:

1. средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
2. при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.

Свойство средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям трапециии равна их полусумме.

Примечания

Wikimedia Foundation. 2010.

• Реддлы
• Бег на длинные дистанции

Смотреть что такое «Средняя линия треугольника» в других словарях:

• Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства …   Википедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… …   Большая политехническая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Большой Энциклопедический словарь

• средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Энциклопедический словарь

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… …   Математическая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Средняя линия —         1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… …   Большая советская энциклопедия

• Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

• Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С …   Википедия

• Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

veter.academic.ru

Дать определение средней линии треугольника. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

чё вы все одно и тоже копируете? своих мозгов нет?

а какая стр в учебники

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД. Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ. Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана. _______________________________________________________ где написано Д и Ф пиши по английски

Математика Докажите, что Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Подробное решение тут —-&gt;&gt;&gt; <a rel=»nofollow» href=»https://www.youtube.com/watch?v=FltR22Q-1Fg» target=»_blank»>https://www.youtube.com/watch?v=FltR22Q-1Fg</a>

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Дано: ΔАВС, КМ — средняя линия. Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2 Доказательство: 1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС. По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М. Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит КМ ║ АС. 2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н — середина АС. АКМН — параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2

touch.otvet.mail.ru

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). — КиберПедия

 

2.ДОКАЖИТЕ, ЧТО У РАВНОБОКОЙ ТРАПЕЦИИ УГЛЫ ПРИ ОСНОВАНИИ РАВНЫ.

	Дано: ΔАВСД-данная трапеция
Док-ть ∟D=∟C
Доказательство

‘

 

Билет№15.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАПЕЦИИ. ВИДЫ ТРАПЕЦИИ.

 

Все трапеции можно разделить на три вида: — равнобедренные трапеции; — прямоугольные трапеции; — произвольные трапеции. Равнобедренные трапеции — это трапеции, у которых боковые стороны равны. Прямоугольные трапеции — это трапеции, у которых одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Произвольные трапеции — все остальные трапеции, которые не являются ни равнобедренными, ни прямоугольными. Схематически виды трапеций можно изобразить так:

 

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЛЮБЫЕ ДВЕ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ В ОТНОШЕНИИ 2:1,СЧИТАЯ ОТ ВЕРШИНЫ.

И ВСЕ ТРИ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ.

	Дано: ΔАВС-треугольник АА1, ВВ1-медианы треугольника АА1∩ВВ1=М
Док-ть АМ:МА1=2:1
Доказательство

 

Билет№16.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА. СВОЙСТВА КВАДРАТА.

 

2.ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

 

Билет№17.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РОМБА. СВОЙСТВА РОМБА.

 

2.НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ).

 

Билет№18.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

 

 

2. ВЫВОД ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ УГЛОВ 30º ,45º, 60º.

 

Билет№19.

1 .ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

 

2.СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (РАССМОТРЕТЬ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ).

Билет№20.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.

 

2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ВЕКТОРОВ.

cyberpedia.su

Свойства средней линии треугольника.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.

Треугольники.

Прямоугольный треугольник.

Метрические соотношения.

;

;

; ;

,

где — проекции катетов , на гипотенузу ; -высота.

Соотношения между сторонами и углами.

sin A = ; tg A = ; cos A = ; ctg A = ;

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

R = =m; r = , m –медиана, проведённая из вершины прямого угла.

Формула площади. S = .

Произвольный треугольник.

Определение вида треугольника по его сторонам:

— если , то треугольник остроугольный;

— если , то треугольник прямоугольный;

— если , то треугольник тупоугольный; где c –наибольшая сторона

Соотношения между сторонами и углами.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 .

2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).

3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и,наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

4. a² = b² + c² – 2bc (теорема косинусов).

5. = = = 2R(теорема синусов).

Свойства медиан.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника

3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

4. m = , где m– медиана, проведённая к стороне с.

Свойства биссектрис.

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности вписанной в треугольник.

2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Свойство высот.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

1. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.

2. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

arhivinfo.ru