Рубрика: Школьная жизнь

Свойства предела функции

Следующие свойства предела функции вытекают из аналогичных свойств предела последовательности с применением теоремы 2.

LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

Пусть существую пределы . Тогда

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов:.

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов:. В частности, константу можно выносить за знак предела.

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.

LIM5. Еслипри любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и(при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место для неравенства «≤ «.

Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:

LIM6. Предположим, чтодля любогоблизкого к a. Тогда ипри условии существования этих пределов.

Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции

LIM7.(предел промежуточной функции)Предположим, чтодля любогоиз некоторой проколотой окрестности точки. Предположим также, что пределыисуществуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функцииприсуществует и совпадает с пределами крайних функций.

LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что

Тогда существует предел сложной функции прии он равен A.

Доказательство. Фиксируем . Находимтакое, чтодля любого. Для этогонаходимтакое, что как только, то. Тогда и неравенствотакже будет выполнено для любого, удовлетворяющего неравенствам.□

4. Бесконечно малые величины

Функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точкиназывается бесконечно малой при, если.

Свойства бесконечно малых величин вытекают из соответствующих свойств предела:

M1. Сумма бесконечно малых величин суть бесконечно малая величина.

Функция называется ограниченной в точке, если найдется такая окрестность этой точки и такая константа, чтодля всехиз этой окрестности.

Предложение.Функция, имеющая предел в точке, ограничена в этой точке. Более того, если, тоограничена в точке a.

Доказательство. Если для любых, то для любыхиз -окрестности точкиимеет место оценка

Докажем второе утверждение. Полагаем . Для𝜺=A/2 найдем δ такое, что. Тогдаидля всех x из δ-окрестности точки. Аналогично разбирается случай A<0.□

M2. Произведение бесконечно малой величины на функцию, ограниченную в точке, является бесконечной малой величиной. В частности, произведение б.м. на функцию, имеющую предел в точкесуть также б.м., а также произведение нескольких б.м. есть б.м.

М3. Произведение б.м. на константу есть б. м.

M4.Отношение б.м. к функции, имеющий ненулевой предел в точкеявляется б.м.

Действительно, если , тоограничена в точке a по выше доказанному в предложении. Следовательно, на основании свойства М2 получаем, чтотакже есть б.м.

М5. Пусть(x) — бесконечно малая при, а— функция такая, что выполняется неравенстводля всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки. Тогдатакже будет б.м.

Это свойство верно в силу теоремы о пределе промежуточной функции.

studfiles.net

Тема 4 Предел и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности. Свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Число e.

Предел функции. Свойства предела функции.

Замечательные пределы.

Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака.

Функции непрерывные на отрезке. Принцип непрерывности.

Предел последовательности вещественных чисел

Неравенство задает интервал, который называется𝜺-окрестностью точки (числа)Заметим, что любой интервал, содержащий точку, включает в себя-окрестность при достаточно малом

Определение.Числоназывается пределом последовательности(записывается), если для любого положительного𝜺найдется натуральное N такое, чтодля всех.

Пример.Докажем, что lim 1/n =0. Возьмём𝜺>0. Неравенство |1/n-0| <𝜺выполнено, если n>1/𝜺. В качестве N(𝜺) можно взять [1/𝜺]+1 — наименьшее натуральное число, превосходящее 1/𝜺. Здесь черезобозначена целая часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее.

Теорема.Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательностьимеет предел и он равен. Аналогично, любая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел равный точной нижней грани множества значений этой последовательности.

Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Обозначим. Пусть𝜺>0. Так как число u-𝜺не является верхней гранью значений нашей последовательности, то найдется натуральное N такое, что. Тогда для любого n≥ N имеем

в силу монотонности последовательности и того факта, что u — верхняя грань. Отсюда для любого натурального n≥ N следует неравенство<𝜺, что и требовалось доказать.□

Свойства предела

А.Если предел существует, то он единственен

Б.Предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют.

Пусть ,. Фиксируем𝜺>0. Находимтакое, что для любоговыполняется неравенство. Аналогично, находимтакое, что для любоговыполняется неравенство. Тогда для любоговыполняется оценка

В.Предел константной последовательности равен этой константе

Последовательность называется ограниченной, если найдется константатакая, чтодля всех. Для доказательства следующего свойства нужна

Г. Любая сходящаяся последовательностьограничена.

Д.Предел произведения равен произведению пределов, при условии, что пределы сомножителей существуют.

Е.Константу можно выносить за знак предела:

Это утверждение есть следствие свойств Д и В.

Ж.Предел отношения равен отношению пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и последний не равен нулю.

На основе предела можно вычислять другие пределы, пользуясь уже не определением, а правилами А-Е. Например,

Опишем теперь предельные переходы в неравенствах.

З.Если выполняется неравенствоначиная с некоторого N, и предел последовательностисуществует, то. Аналогичное свойство имеет место для неравенства ≤ .

Действительно, если , то длянайдется N, начиная с которого. Тогда.

Заметим, что для строгих неравенств аналогичное утверждение несправедливо. Например, 1/n>0 для любого n, но lim 1/n=0, как мы доказали выше.

И. Если выполняется неравенствоначиная с некоторого N, топри условии, что эти пределы существуют.

Действительно, так как для всех, тосогласно свойства Ж. Тогда, применяя свойства Б и Д, получим

К (предел промежуточной последовательности). Еслиначиная с некоторого номера, а пределы крайних последовательностей существуют и равны одному и тому же числу A, то пределтакже существует и равен A.

studfiles.net

4.3. Свойства функций, имеющих предел

Теорема 4.2. Если функция в данной точке имеет предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки, то есть

, ,:.

Доказательство. Обозначим и рассмотрим. Из определения 4.3. следует существование такого , что для всякогоиз неравенстввытекает неравенство. Остается положить.Теорема доказана.

Использование определения предела функции по Гейне позволяет перенести утверждения, доказанные ранее для последовательностей, на случай произвольных функций.

Теорема 4.3. Пусть функции ,иопределены на множестве, на котором выполняются неравенства. Пусть существуют, тогда.

Доказательство непосредственно вытекает из определения предела функции по Гейне и леммы о двух милиционерах.

Теорема 4.4. Пусть функции иопределены на множестве. Пустьи. Тогда

=;

=;

и, если при любом и, то

=.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая отношения двух функций. Выберем произвольно последовательность ,, для которой,при любоми. Тогда,и по теореме 3.12.

.

Теорема доказана.

4.4. Критерий Коши существования предела функции

Пусть :и пусть– предельная точка множества.

Теорема 4.5. Для того чтобы функция имела конечный предел в точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для любогосуществовало такое число, что для всехиз неравенств,следует неравенство.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Это означает, что для любогосуществует такое число, что для любогоиз неравенстввытекает неравенство. Пусть,,, тогда

.

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Рассмотрим последовательность ,, для которой,при любоми.

Выберем произвольно и рассмотрим— число, фигурирующее в условии Коши. Воспользуемся определением предела последовательностии обозначим черезномер, начиная с которого выполняется неравенство. Пусть. Тогда,и, по условию Коши,. Это означает, что последовательность,, фундаментальна и, в силу критерия Коши для последовательностей, сходится.

Итак, мы показали, что для любой подходящей последовательности ,, соответствующая последовательность,, сходится. Докажем, что пределне зависит от выбора подходящей последовательности.

Пусть и,, — две подходящие последовательности. Образуем из них новую последовательность

Эта последовательность также сходится к (см. задачу 3.15). Из доказанного выше следует, чтосходится, и поэтому последовательностииимеют одинаковые пределы.Теорема доказана.

4.5. Расширение понятия предела. Односторонние пределы

Понятие предела функции, приведенное в разделе 4.2, может быть расширено в различных направлениях. Так, можно рассматривать, к чему стремится функция при условии, что либо , либостремится к некоторому числу, оставаясь меньше этого числа, то есть при. Далее, можно предусмотреть, что функция стремится кпри том или ином поведении аргумента и т.д. Возникающие таким образом варианты предельного перехода можно записать в общем виде:

стремится к при, стремящемся к.

Выбирая в каждом из двух столбцов по одному символу, получим тот или иной из двадцати четырех возможных вариантов. Для каждого из них можно записать формальное определение на языке “”, подобное определению 4.3 или на языке последовательностей, подобное определению 4.4.

Рассмотрим несколько случаев.

Пример 4.4.при.

Пусть функция определена на неограниченном множестве, и пустьA – некоторое число. Тогда условие

в формальной записи имеет вид:

.

Или, на языке последовательностей,

.

Задача 4.2. Рассуждая аналогично доказательству теоремы 4.1, докажите эквивалентность определений, приведенных в примере 4.4.

Пример 4.5.при.

Пусть функция определена на множестве, и пусть точкаявляется предельной точкой множества. Пусть

.

Тогда условие

на языке “”имеет вид:

,

а на языке последовательностей:

.

В этом случае число называется левосторонним пределом функциии обозначается

.

Аналогично определяется правосторонний предел, при этом вместо рассматривается.

Теорема 4.6. Пусть функцияопределена на множестве, и пусть точкаявляется предельной точкой множестви. Тогда

существует в том и только в том случае, когда существуют и равны между собойи.

Задача 4.3. Докажите теорему 4.6.

studfiles.net

Предел функции в точке. Свойства предела. Односторонние пределы. Непрерывные функции и их свойства.

Числовой последовательностьюназывается занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

В общем виде записывают: , где называется общим членом последовательности.

Последовательность называется возрастающей,( убывающей) если каждый ее член начиная со второго, больше (больше или равен) предыдущего, т.е. если для любого n выполняется неравенство: .( )

Переменная величина называется бесконечно малой, если она изменяется так, что, какое бы малое положительное число ни взять, абсолютная величина становится, и, при дальнейшем изменении величины , остается, меньше .

Если — бесконечно большая величина, то обратная ей величина будет бесконечно малой.

Если — бесконечно малая величина, то обратная ей величина будет бесконечно большой.

Постоянная называется пределом переменной х , если х в некотором процессе стремится к конечному пределу и безгранично приближается к . Тогда пишут или .

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N₀, что начиная с этого номера ( т.е. для всех n N₀), будет выполнено неравенство:

( )

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, если не имеет конечного предела, тогда расходящейся.

Свойства пределов:

1. Если последовательность имеет конечный предел, то только один.

2. Предел постоянной величины равен ей самой:

3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: .

4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ( )

6. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:

( )

7. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовате6льности равен корню этой же степени от предела последовательности:

Важно знать некоторые пределы:

1. , где — второй замечательный предел

2.

3.

Определение предела функции по Гейне:

Число А называется пределом функции при стремящимся к , если для любой последовательности , все члены которой принадлежат области определения функции и не равны выполняется условие что последовательность стремится к А.

)

Определение предела функции по Коши:

Число А называется пределом функции при , если для любого числа можно указать такое , что для всех , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Если число А₁ есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то А₁ называется левым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Если число А₂ есть предел функции при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, большие а, то А₂ называется правым пределом функции в точке а. При этом пишут .

Эти пределы называются односторонними пределами функции.

Теорема: Для того, чтобы функция имела предел равный А в точке а, необходимо и

Достаточно, чтобы существовали односторонние пределы функции в этой точке и

были равны между собой.

Теорема 1: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов функций и :

Теорема 2: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

Теорема 3: Если существуют конечные пределы функций и при , то существует

предел отношения , равный отношению пределов функций и :

, где

Следствия:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: , .

2. Если — натуральное число, то , при .

3. Предел многочлена при равен значению этого многочлена при т.е. .

4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е. и .

Важно знать некоторые пределы наизусть:

Первый замечательный предел—

Следствия:

Второй замечательный предел —

Следствия:

Функция называется непрерывной в точке если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое, что для всех из области определения функции, удовлетворяющих условию ,выполняется неравенство .

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности функции в точке:

1. — определена.

2.

3.

Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 2: Если функции и непрерывны в точке , то функция так же

непрерывна в этой точке.

Теорема 3: Если функции и непрерывны в точке и , то функция

так же непрерывна в этой точке.

Свойства функций непрерывных на отрезке.

Теорема1: Больцано- Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Теорема2: Больцано- Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция принимает на отрезке свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки , что для любой точки справедливы равенства .

Теорема3: Больцано- Коши о нулях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения противоположных знаков, то существует точка на этом отрезке в которой значение функции равно нулю .

Теорема4: Больцано- Коши о промежуточных значениях непрерывной функции

Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа С, заключенного между числами и , найдется такая точка , что

Если не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции.

Условие непрерывности можно переписать следующим образом: (*)

Если хотя бы одно из выражений в равенстве (*) не существует или не выполняется хотя бы одно из равенств, то точка называется точкой разрыва функции.

Точка называется точкой разрыва устранимого режима, если односторонние пределы функции в этой точке существуют и равны между собой, но не равны значению функции в этой точке или функция в этой точке не определена.

У у

0 х₀ х 0 х₀ х

Точка называется точкой разрыва первого рода (скачок), если односторонние пределы функции в этой точке существуют но не равны между собой.

у

0 х₀ х

Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.

у

0 х₀ х

Теорема: Если строго монотонна на и произвольная точка этого отрезка, то

верхняя грань совпадает с левым пределом этой функции, не превосходит , не

превосходит правого предела и не превосходит правой грани.

Утверждение1: Всякая строго монотонная на промежутке функция имеет односторонние пределы в

каждой точке этого промежутка.

Утверждение2: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке совпадают, то

функция непрерывна в этой точке.

Утверждение3: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке не совпадают, то

это точка разрыва первого рода (скачок).

Тема 2.2. Лекция 9. Занятие 13

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Предел функции.Определения. Свойства предела

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Преде́л фу́нкции— одно из основных понятий математического анализа. Функцияf(x) имеет пределAв точкеx₀если для всех значенийx, достаточно близких кx₀, значениеf(x) близко кA.

Определения

• (определение по Коши, ε−δ—определение) Пусть дана функция и— предельная точка множестваM. Числоназывается пределом функцииfприx, стремящемся кa, если

при

Замечания

• Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

• Если предел функции fприсуществует и равенA, пишут

Предел вдоль фильтра

Определение фильтра

Основная статья:Фильтр (математика)

Пусть дано множество A. Система множествназывается фильтром наA, если

Определение предела

Пусть и— фильтр наM. Числоявляется пределом функцииfпо фильтруесли

Пишут:

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство , иПустьТогда система множеств

является фильтром и обозначается Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру

Односторонние пределы

Основная статья:Односторонние пределы

является фильтром и обозначается илиПределназывается правосторонним пределом функцииfприxстремящемся кa.

является фильтром и обозначается илиПределназывается левосторонним пределом функцииfприxстремящемся кa.

Пределы на бесконечности

Основная статья:Пределы функции на бесконечности

является фильтром и обозначается илиПределназывается пределом функцииfприxстремящемся к бесконечности.

является фильтром и обозначается Пределназывается пределом функцииfприxстремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Основная статья:Предел последовательности

Система множеств где

является фильтром и обозначается Функцияназывается числовой последовательностью, а пределпределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Основная статья:Интеграл Римана

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка [a,b] коллекцию точекНазовём диаметром разбиенияTчислоТогда система множеств

является фильтром в пространстве всех размеченных разбиений [a,b]. Определим функциюравенством

Тогда предел называется интегралом Римана функцииfна отрезке [a,b].

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции иТогда

где — проколотая окрестность точкиa.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

studfiles.net

Урок «Объём куба» 3 класс

Открытый урок-исследование по математике в 3 классе.

Тема: Объем куба и параллелепипеда.

Цель: ●Познакомить с измерением объема и единицами объема:1см³, 1дм³, 1м³.

● Выведение формулы объема прямоугольного параллелепипеда и куба.

● Развитие исследовательских, мыслительных, социальных навыков.

Оборудование: Модели геометрических фигур — куба, параллелепипеда, пирамиды;

кубики, схема «Величина», опорная таблица для вычисления объема.

Ход урока.

Сообщение темы, целей урока.

( на доске критерии успеха).

Ваша работа будет успешной, если вы:

● покажете знания изученных величин и единиц их измерения.

● будете активно участвовать в исследовании, выражать собственное мнение и давать высказываться другим.

●ваша деятельность на уроке покажет, что вы понимаете, что такое объем и можете его вычислить.

● сможете вывести формулу объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

Навыки: исследовательские, мыслительные, социальные, навыки общения (коммуникативные)

1. Прочитай запись на доске: 34 дм, 12кг, 5л, 7м²

-Как назвать эти именованные числа одним словом? (величины).

— Что мы называем величиной?

(Величина-это то, что можно измерить и, результат измерения, выразить числом).

-Какие величины выражают данные именованные числа?

(длина, масса, объем, площадь).

а) – Работа, которую вы сейчас выполните, развивает очень важные для вас исследовательские навыки; такие как классификация данных и умение работать в группе.

— Возьмите схему «Величина», заполните её, обозначив единицы измерения данных величин.

ВЕЛИЧИНА

ДЛИНА МАССА ОБЪЕМ ПЛОЩАДЬ

мм см дм м км г кг ц т л □ см² дм² м² км²

— Осталось ли свободное окошко?

— Сегодня на уроке мы узнаем, какие ещё существуют единицы измерения объёма.

б) (на доске рисунки плоских и объемных фигур: прямоугольник, треугольник, квадрат, куб, параллелепипед)

Какие виды фигур перед вами? (плоские, объёмные)

— Как называется каждая фигура?

— Чем они отличаются? (плоские: длина, ширина; объёмные: длина, ширина, высота)

— Какими единицами измерения можно определить величины этих фигур?

2. Для того, чтобы говорить об объёме фигуры, нужно ещё раз вспомнить известную нам единицу измерения объёма (литр).

Для чего она используется? (для измерения объёма жидкости и вместимости сосудов).

-Существуют и другие единицы измерения объёма. Это — см³, дм³, м³.

(показать). Кубик с ребром 1см называется см³, с ребром 1 дм — дм³, с ребром 1м- м³ (показать грань).

(На доске изображены фигуры, составленные из кубов)

-Сколько кубиков в каждой из фигур?

— Что можно сказать об объёме данных фигур?

(их объём равен 4см³, 6см³, 8см³)

-Как вы думаете, почему взяли именно кубик в качестве мерки?

(ребра куба равны между собой)

Расшифровав слово, вы узнаете, о какой фигуре пойдет сейчас речь?

(цифры поставить в порядке возрастания).

П 18:9=2 Л (28+12):4=10

Е (28-23)•6=30 П 90-45:9=85

Р (20-6):2=7 А 100:(32-12)=5

А 32:4=8

И 5•5•3=75 П 56:8•10=70

Е 500:50•10=100 Д 1000-(20•30)=400

Л 3•(18:2)27 Е (24+16):2=20

Л 56:7•2=16

2,5,7,8,10,16,20,27,30,70,75,85,100,400.

(параллелепипед)

3. Для того, чтобы вывести формулу куба и прямоугольного параллелепипеда, мы проведем наше исследование через следующие концепции:

А. Форма и связь:

Что общего между кубом и параллелепипедом?

(в группах рассматривают фигуры, делают выводы)

●Объёмные фигуры с прямыми углами.

● Одинаковое количество граней, вершин, ребер.

● Есть три измерения: длина, ширина, высота.

Б. Изменение, причинность. ( Работа в группах).

— Постройте из кубиков модель куба.

Что можно сказать о его трех измерениях?

(равны)

Внесите изменения так, чтобы из куба получился параллелепипед.

Проведите измерения.

Что можно сказать о трех измерениях параллелепипеда?

(длина, высота, ширина не равны).

В. Размышление:

Сейчас каждая группа проводит исследование, проведя необходимые построения и

выполнив вычисления.

Задание: Используя три измерения: длину, ширину и высоту параллелепипеда, вычислить его объём. Данные и вывод записываются в опорной таблице: (1 кубик считается как 1см³)

● На основании стоит____________ кубиков.

●S основания (дна) параллелепипеда равна ____________ см²

● По высоте параллелепипеда выложили _______________ таких слоя.

● Объём равен ( □ • □ ) • □ = □ см³

S осн. • высота

Выведение формулы:

— Если три измерения обозначит буквами a, b, c, а объём буквой V, то как можно

записать этот вывод в виде формулы?

(V=a • b • c).

— А как будет выглядеть формула нахождения объёма куба

(V= a • a • a)

Самооценка.

(лист самооценки). Приложение №2.

Следующий урок мы посвятим составлению и решению задач по формулам, выведенным сегодня на уроке.

Приложение №2.

ЛИСТ САМООЦЕНКИ.

Деятельность: студенты выводят формулу объёма куба и прямоугольного параллелепипеда.

Мои размышления.

1. Больше всего мне на уроке понравилось ______________________________________

2. Мне трудно было ________________________________________________________

__________________________________________________________________________

3. Теперь я знаю, что для нахождения объёма фигуры нужно знать её _______________

Формула объёма куба________________________________________________________

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда ______________________________

В работе я использовал следующие навыки:

Всегда Иногда Редко

Мыслительные

Исследовательские

Коммуникативные

Социальные

Свою работу на уроке я оцениваю так:

1. Отлично

2. Хорошо

3. Мне нужно постараться

infourok.ru

Открытый урок 3 класс «Объем куба и параллелепипеда» — Математика — В помощь учителю — Учительские университеты

Тема: Объем куба и параллелепипеда.

Цель: ●Познакомить с измерением объема и единицами объема:1см³, 1дм³, 1м³.
● Выведение формулы объема прямоугольного параллелепипеда и куба.
● Развитие исследовательских, мыслительных, социальных навыков.

Оборудование: Модели геометрических фигур — куба, параллелепипеда, пирамиды;
кубики, схема «Величина», опорная таблица для вычисления объема.

Ход урока.
Сообщение темы, целей урока.
( на доске критерии успеха).

Ваша работа будет успешной, если вы:
● покажете знания изученных величин и единиц их измерения.
● будете активно участвовать в исследовании, выражать собственное мнение и давать высказываться другим.
●ваша деятельность на уроке покажет, что вы понимаете, что такое объем и можете его вычислить.
● сможете вывести формулу объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

Навыки: исследовательские, мыслительные, социальные, навыки общения (коммуникативные)

1. Прочитай запись на доске: 34 дм, 12кг, 5л, 7м²
-Как назвать эти именованные числа одним словом? (величины).
— Что мы называем величиной?
(Величина-это то, что можно измерить и, результат измерения, выразить числом).
-Какие величины выражают данные именованные числа?
(длина, масса, объем, площадь).
а) – Работа, которую вы сейчас выполните, развивает очень важные для вас исследовательские навыки; такие как классификация данных и умение работать в группе.
— Возьмите схему «Величина», заполните её, обозначив единицы измерения данных величин.

ВЕЛИЧИНА

ДЛИНА МАССА ОБЪЕМ ПЛОЩАДЬ

мм см дм м км г кг ц т л □ см² дм² м² км²

— Осталось ли свободное окошко?

— Сегодня на уроке мы узнаем, какие ещё существуют единицы измерения объёма.

б) (на доске рисунки плоских и объемных фигур: прямоугольник, треугольник, квадрат, куб, параллелепипед)

Какие виды фигур перед вами? (плоские, объёмные)
— Как называется каждая фигура?
— Чем они отличаются? (плоские: длина, ширина; объёмные: длина, ширина, высота)
— Какими единицами измерения можно определить величины этих фигур?

2. Для того, чтобы говорить об объёме фигуры, нужно ещё раз вспомнить известную нам единицу измерения объёма (литр).
Для чего она используется? (для измерения объёма жидкости и вместимости сосудов).
-Существуют и другие единицы измерения объёма. Это — см³, дм³, м³.
(показать). Кубик с ребром 1см называется см³, с ребром 1 дм — дм³, с ребром 1м- м³ (показать грань).

(На доске изображены фигуры, составленные из кубов)

-Сколько кубиков в каждой из фигур?
— Что можно сказать об объёме данных фигур?
(их объём равен 4см³, 6см³, 8см³)

-Как вы думаете, почему взяли именно кубик в качестве мерки?
(ребра куба равны между собой)

Расшифровав слово, вы узнаете, о какой фигуре пойдет сейчас речь?
(цифры поставить в порядке возрастания).

П 18:9=2 Л (28+12):4=10
Е (28-23)•6=30 П 90-45:9=85
Р (20-6):2=7 А 100:(32-12)=5
А 32:4=8

И 5•5•3=75 П 56:8•10=70
Е 500:50•10=100 Д 1000-(20•30)=400
Л 3•(18:2)27 Е (24+16):2=20
Л 56:7•2=16
2,5,7,8,10,16,20,27,30,70,75,85,100,400.
(параллелепипед)

3. Для того, чтобы вывести формулу куба и прямоугольного параллелепипеда, мы проведем наше исследование через следующие концепции:

А. Форма и связь:

Что общего между кубом и параллелепипедом?
(в группах рассматривают фигуры, делают выводы)

●Объёмные фигуры с прямыми углами.
● Одинаковое количество граней, вершин, ребер.
● Есть три измерения: длина, ширина, высота.

Б. Изменение, причинность. ( Работа в группах).

— Постройте из кубиков модель куба.
Что можно сказать о его трех измерениях?
(равны)
Внесите изменения так, чтобы из куба получился параллелепипед.
Проведите измерения.
Что можно сказать о трех измерениях параллелепипеда?
(длина, высота, ширина не равны).

В. Размышление:

Сейчас каждая группа проводит исследование, проведя необходимые построения и
выполнив вычисления.
Задание: Используя три измерения: длину, ширину и высоту параллелепипеда, вычислить его объём. Данные и вывод записываются в опорной таблице: (1 кубик считается как 1см³)

● На основании стоит____________ кубиков.
●S основания (дна) параллелепипеда равна ____________ см²
● По высоте параллелепипеда выложили _______________ таких слоя.
● Объём равен ( □ • □ ) • □ = □ см³
S осн. • высота

Выведение формулы:

— Если три измерения обозначит буквами a, b, c, а объём буквой V, то как можно
записать этот вывод в виде формулы?

(V=a • b • c).

— А как будет выглядеть формула нахождения объёма куба

(V= a • a • a)

Самооценка.
(лист самооценки). Приложение №2.

Следующий урок мы посвятим составлению и решению задач по формулам, выведенным сегодня на уроке.

Приложение №2.

ЛИСТ САМООЦЕНКИ.

Деятельность: студенты выводят формулу объёма куба и прямоугольного параллелепипеда.

Мои размышления.

1. Больше всего мне на уроке понравилось ______________________________________

2. Мне трудно было ________________________________________________________
__________________________________________________________________________

3. Теперь я знаю, что для нахождения объёма фигуры нужно знать её _______________

Формула объёма куба________________________________________________________

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда ______________________________

В работе я использовал следующие навыки:

Всегда Иногда Редко
Мыслительные
Исследовательские
Коммуникативные
Социальные

Свою работу на уроке я оцениваю так:

1. Отлично
2. Хорошо
3. Мне нужно постараться

collegy.ucoz.ru

Расчет объема куба

Куб это геометрическое тело, ограниченное шестью квадратами, которое ещё можно назвать правильный шестигранник, а так же правильный многогранник. Слово «куб» образовано от греческого слова «kybos».

Определение объема куба

Расчет объема куба можно произвести с помощью следующей формулы:

V = a3

a – сторона куба

V – объем куба

Куб представляет собой правильный многогранник, каждая из граней которого является квадратом. Это геометрическое тело является частным случаем других (а именно – параллелепипеда и призмы) и в повседневной жизни встречается достаточно часто. Инженерам и архитекторам при разработке проектов различных машин и зданий нередко приходится производить расчет объема куба, причем ввиду относительной его простоты решение этой задачи обычно не представляет большой сложности.

На практике с кубами и параллелепипедами чаще всего приходится встречаться в архитектуре. Их форму имеют многие современные здания и сооружения, причем она считается одной из наиболее практичных: такие сооружения проще и быстрее как проектировать, так и возводить. При этом формула объема куба используется преимущественно для точного определения размеров внутренних пространств, что особенно важно для таких зданий, как склады, цеха промышленных предприятий, объекты социально-культурного назначения.

Форму куба нередко имеют различные предметы корпусной мебели, и при их разработке конструкторам требуется определять, в том числе, и такую величину, как объем, для того, чтобы достичь наиболее рациональной компоновки этих элементов. Вычислить объем куба часто бывает необходимо и тем инженерам, которые занимаются созданием проектов контейнеров, железнодорожных вагонов, а также стеллажных систем, использующихся в складском хозяйстве.

Одним из наиболее ярких примеров кубов является знаменитый «магический куб» – оригинальная головоломка, созданная талантливым венгерским преподавателем архитектуры и скульптором Эрне Рубиком и впоследствии названная в его честь. Каждая из граней этого кубика состоит из нескольких квадратов, окрашенных в один цвет. С помощью поворотов их можно комбинировать в различных вариантах, а задача игрока состоит в том, чтобы «разобранную» конструкцию (то есть такую, грани которой содержат квадратики разных цветов) привести в изначальное состояние. Согласно статистике, «Кубик Рубика» за все время своего существования (с 1974 года) был продан в количестве около 350 000 000 экземпляров, и на сегодняшний день является одной из признанных в мире головоломок. Изначально каждая из его граней состояла из девяти квадратов, но впоследствии появились и более сложные варианты (например, содержащие по двадцать пять элементов). В различных странах проводятся соревнования по сборке этой головоломки на время, а также чемпионаты Европы и мира, организатором которого является организация «World Cube Association» («Всемирная ассоциация кубика»).

Форму куба имеют не только рукотворные, но и некоторые природные сущности, например, кристаллические решетки такого минерала, как флюорит, а также обычной поваренной соли. Наконец, следует заметить, что с этими геометрическими телами все мы знакомы еще с детства, поскольку одними из самых любимых игрушек для многих из нас были именно кубики.

simple-math.ru

математика 3 класс.Решение уравнений

Урок математики 3 класс

Тема урока: Решение уравнений.

Тип урока: урок закрепления, первичной проверки и коррекции знаний и умений.

Цели урока:

Личностные:     создание педагогических условий для формирования у обучащихся положительной мотивацию к учению, умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, аккуратности.

Метапредметные: формирование умения ставить цели и задачи, планировать и контролировать деятельность, умения классифицировать объекты, создавать, применять и преобразовывать модели, повышать алгоритмическую культуру обучающихся, развивать                                   логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи.

 Предметные:          формирование умения построения математической модели, решения уравнений, содержащих одно или более одного арифметического действия и задач с помощью уравнений.

Методы обучения: наглядный, словесный, практический, частично-поисковый, репродуктивный.

Оборудование: презентация, музыкальное сопровождение, аншлаги, раздаточный материал, изображения талисманов, медали, смайлы.

ХОД УРОКА

1.Организационный момент

Рада видеть вас, друзья.
Поприветствуем гостей и за дело веселей.
Математика нас ждёт,
Начинаем наш урок.

I. Aктуализация знаний

-В нашей стране сейчас проходит грандиозное мировое событие. А какое, вы узнаете, если расшифруете слово.

1.Расшифруйте слово.

Задание: прочитать выражения разными способами.

13х3 – Л 15х6 – Д 49 : 7 – А

24 : 12 – П 9х4 – И 7х12 – М

56 : 8 – А 42 : 7 – О 6х6 – И

Ключ:

6

39

36

84

2

36

7

90

7

О

Л

И

М

П

И

А

Д

А

2.Математический диктант

1. Найдите частное чисел 36 и 6.

2.Один множитель 9, другой 7. Найдите произведение.

3. Делимое 35, делитель 5. Найдите частное.

4. Во сколько раз 7 меньше 21?

5.Во сколько раз 16 больше 4?

6. На сколько 36 больше 9?

7. От пристани отплыли 6 лодок. В каждой лодке было по 4 весла. Сколько вёсел было в этих лодках?

8. В течение недели Витя читал книгу по 9 страниц в день. За это же время Коля прочитал на 15 страниц больше Вити. Сколько страниц прочитал Коля за неделю?

9. В классе 30 учеников, 2 ученика больны. Остальные дети разделились на группы по 4 человека для работы на уроке. Сколько групп получилось?

Ответы: 6, 63, 7, 3, 4, 27, 24, 78,7.

Итак, долгожданные XXII зимние Олимпийские Игры в г. Сочи 2014 уже в самом разгаре. Олимпийские игры – важнейшее событие в международной спортивной жизни. Они привлекают к себе пристальное внимание миллионов людей нашей планеты. Под олимпийскими знаменами собираются спортсмены всех континентов, потому что спорт  сближает людей, помогает народам лучше понять и познать друг друга. Наверное, нет человека на земле, который был бы равнодушен к Олимпийским играм. 

Олимпийский флаг — это пять переплетенных колец на белом фоне. Эти кольца окрашены в синий, желтый, черный, зеленый и красный цвет, и переплетены друг с другом. Пять колец представляют пять частей света. Назовите 5 частей света. (Америка, Европа, Азия, Африка и Океания).

Сегодня вместе с нами на уроке Белый медведь, Леопард и Зайка – талисманы зимних Олимпийских Игр в Сочи. Талисман – это символ игр, приносящий удачу. Хочется верить, что эти герои тоже нам принесут сегодня удачу.

1.Верно ли утверждение?

Пятнадцать зимних спортивных дисциплин, объединённые в семь олимпийских видов спорта, включены в программу зимних Олимпийских игр 2014. Сегодня мы посетим некоторые спортивные площадки. Приближаемся на стадион, где будут проходить соревнования по конькобежному спорту. Все ли готово к соревнованиям?

Зайка приглашает нас на каток. Сейчас ученики 3 группы расскажут о соревнованиях на коньках. (Приложение 1)

Задание Зайки. Если вы согласны с утверждением, ставим «+» в тетради. Если вы не согласны с утверждением, ставим «-».

Проверка.

Слагаемое + множитель = сумма

Уменьшаемое – вычитаемое = разность

Делимое : делитель = частное

Делимое – вычитаемое = разность

Множитель х делитель = произведение

Слагаемое + слагаемое = сумма

Уменьшаемое – слагаемое = разность

Множитель х множитель = произведение

Проверка. Один человек у доски. (- + + — — + — +)

Одну победу мы с вами одержали, правильно выполнив задание Зайки. Отметьте свою победу, нарисовав на полях тетради жёлтое кольцо — все ответы верны, ошибок нет; зелёное кольцо — 1-2 ошибки ; красное кольцо — 3-4 и более ошибок или затруднился выполнить заданеие.

( Дети оценивают себя сами: на партах у детей лежат фишки красного – «5», зеленого –«4», желтого –«3» цветов)

Учащиеся 4 группы расскажут нам о видах спорта на лыжах.(Приложение 1)

2. Дидактическая игра «Биатлон»(Приложение 2)

II.Постановка учебной задачи

Красная Поляна — популярный центр горнолыжного спорта. На склонах гор появились следы от лыж известных горнолыжников и сноубордистов. Задание Леопарда. Найди среди записей уравнение.

48 – 25 = 23

30 + х ? 40

36 : х = 9

Х х 5

Прочитайте. Докажите, что это уравнение.

Вставить пропущенное слово.

Уравнение – это ___________, в котором есть ______________ число.

Что такое уравнение? (Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число).

Сформулируйте тему урока.

Какие задачи ставим перед собой? (знать способы решений уравнений на нахождение неизвестного делимого, делителя, множителя; уметь пользоваться математической терминологией, решать уравнения).

Для чего надо научиться решать уравнения?

III. Повторение изученного ранее

Подняться на вершину горы мы сможем по канатной дороге. Учащиеся 1 группы расскажут нам о новых видах зимних игр.

Работа в группах. Задание: восстановить последовательность этапов решения уравнений.

Каждая группа будет работать по заданному алгоритму. Не забывайте помогать друг другу: работа в группах – серьезный и ответственный труд.

Алгоритм

1. Запишите уравнения.

2. Найдите переменную.

3. Решите уравнение – найдите его корень.

4. Обсудите в группе, сделайте вывод.

1 группа:

Х + 28 = 53 28+х=53

Вывод: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из ____________________________________________________________________

2 группа:

У-24=36

60-у=24

Вывод: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к ____________________________________________________________________

Вывод: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из ____________________________________________________________________

3 группа:

Делимое делитель частное

b : 23 = 4

Делимое делитель частное

90 : c = 5

Вывод: Чтобы найти неизвестное делимое, надо ____________________________________________________________________

Вывод: Чтобы найти неизвестный делитель, надо ____________________________________________________________________

4 группа:

Множитель множитель произведение

7 * a = 56;

Множитель множитель произведение

a * 8 = 56

Вывод: Чтобы найти неизвестный множитель, надо ____________________________________________________________________

Защита работы групп. Взаимопроверка.

VII. Самостоятельная работа с взаимопроверкой по эталону

Перед каждым ребенком лежит набор из 4-х карточек разного цвета. Задание: выберите карточку того цвета, который вам нравится, подпишите листочек и выполните задание. Передайте карточку соседу, сидящему справа. Сверьте ответ с эталоном: поставьте на листочке знак «+» или «-».

(Синяя карточка: 185 – m = 93; на синем ответ: m = 92;

Красный: 17 + x = 304; x = 287;

Зеленая: 90 * k = 270; y = 3;

Желтая: b : 40 = 900; b = 36000)

— Сколько «+» в вашей группе? (Мне понравилась работа этой группы… Отметка каждому — …)

I. Закрепление.

Работа в парах.

Составить из данных чисел уравнение и решить их, объясняя друг другу в парах.

36, 12, 3, Х

12 х Х = 36

3 х Х = 36

Х х 12 = 36

Х х 3 = 36

36 : х = 12

36 : х = 3

IV.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

Зайка – самая активная жительница зимнего леса. Ее друзья всегда удивляются – и как она все успевает!? Ведь Зайка не только успевает учиться в Лесной Академии на “отлично”, помогать маме в семейном ресторанчике “Лесная запруда”, но и участвовать в различных спортивных соревнованиях. Зайка уверяет своих друзей, что у нее нет никакого секрета: просто она очень любит спорт. А еще она любит петь и танцевать

Всем полезно без сомненья
Всё, что связано с движеньем.
Вот, поэтому ребятки
Будем делать мы зарядку.

Скачут, скачут во лесочке (прыжки на месте)
Зайцы — серые клубочки.(руки возле груди, как лапки у зайцев, прыжки)
Прыг — скок, прыг – скок – (прыжки вперед-назад, вперед-назад)
Стал зайчонок на пенёк.(встать прямо, руки на пояс)
Всех построил по порядку, (повернули туловище вправо, правую руку в сторону, затем влево и левую руку в сторону)
Стал показывать зарядку.
Раз! Шагают все на месте.(шаги на месте)
Два! Руками машут вместе, (руки перед собой, выполняем движение “ножницы”)
Три! Присели, дружно встали.(присесть, встать)
Все за ушком почесали.(почесать за ухом)
На “четыре” потянулись.(руки вверх, затем на пояс)
Пять! Прогнулись и нагнулись.(прогнуться, наклониться вперед)
Шесть! Все встали снова в ряд, (встать прямо, руки опустить)
Зашагали как отряд.(шаги на месте)

V. Работа над изученным материалом.

Решение задач

1. Первые Олимпийские игры прошли в Древней Греции более 1000 лет назад. Жители Древней Греции устраивали игры 1 раз в 4 года. Сколько месяцев проходило между двумя Олимпийскими играми?

2. В соревнованиях по биатлону приняли участие 51 спортсмен, а фигурном катании в 3 раза меньше. В кёрлинге приняли участие на 15 спортсменов больше, чем в фигурном катании, а в лыжных гонках в 3 раза больше, чем в кёрлинге. Сколько спортсменов приняли участие в лыжных гонках?

3. Конькобежец пробежал 1000 м за 4 мин. Сколько метров он пробежит за 9 мин?

4.Какая по счету Зимняя олимпиада будет в Сочи в XXI веке (после 2000 года)? В какие годы проводились зимние олимпиады, если они проводятся через 4 года, начиная c 2002, а Сочинская олимпиада будет в 2014 году? 

Решение. пусть перед сочинской было х олимпиад.

Уравнение 2002+4х=2014

4х=2014-2002

4х= 12   х=3

Перед сочинской было 3 олимпиады, значит эта четвертая.

VIII. Итог урока.

Сегодня на уроке мы погрузились в неповторимую атмосферу Олимпийских игр, преодолели много трудностей и препятствий. Подошел к завершению наш урок. Посмотрите на свою шкалу, оцените свою работу на уроке. IX. Домашнее задание.Каждый участник соревнований, одержав победу, поднимается на пьедестал почета, чтобы получить заслуженную медаль. Сегодня вы тоже одержали победу, победу над собой. И тоже получаете медали за работу на уроке. На обратной стороне медали записаны 3 вида домашнего задания. 1задание необходимо выполнить всем, остальные задания выполнить по желанию.

Методика «Незаконченное предложение»

• Сегодня я узнал…

• Было интересно…

• Было трудно…

• Я выполнял задания…

• Я понял, что…

• Теперь я могу…

• Я почувствовал, что…

• Я приобрёл…

• Я научился…

• У меня получилось…

• Я смог…

• Я попробую…

• Меня удивило…

• Урок дал мне для жизни…

• Мне захотелось…

X. Рефлексия.

Выберите смайл с подходящим для вас состоянием. Поместите смайл на ту ступеньку пьедестала, на которой вы находитесь. Закончите предложение своими словами.

Отлично! Я многому научился

Хорошо, но могу лучше!

Хочу знать больше!Пока испытываю трудности

Давайте завершим наш урок девизом (учащиеся встают, взявшись за руки, и хором произносят заключительный слайд презентации): «Встанем, за руки взявшись, ладонь в ладонь – в каждом сердце зажжется Олимпийский огонь!».

— Я благодарю вас, дети, за работу на уроке, за помощь друг другу, мне!

Список используемой литературы:

1. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. М.:ТЦ «Сфера»,2006.

2. Максимова Т.Н. Поурочные разработки по математике.3 класс. — М.: ВАКО,2013.-448 с.

3. Петерсон Л.Г. Технология деятельностного метода как средство реализации современных целей образования. М.,2003

infourok.ru

Решение составных уравнений 3-4 классы. Карточки

Иванова Светлана Романовна

учитель МОБУ СОШ №7 г. Якутска

Республики Саха (Якутия)

Решение

составных уравнений

3-4 классы

1 карточка

Х + 65 = 165 + 2

43 + Х = 500 : 10

Х — 25 = 100 х 2

320 — Х = 45 х 2

Х х 5 = 280 — 250

35 : Х = 78 — 73

60 х Х = 36 + 84

Х : 4 = 20 х 2

2 карточка

42 + Х = 749 — 26

Х + 100 = 500 х 2

Х — 2 = 4050 — 43

624 — Х = 238 + 300

Х х 2 = 430 + 30

25 : Х = 15 : 3

Х : 10 = ( 42 + 48 ) — 83

42 х Х = 36 + 48

3 карточка

Х + 20000 = 500 х 8

65 + Х = 140 : 2

48 — Х = 140 : 2 — 65

Х — 30 = 650 + 10

Х : 5 = 36 + 14

Х х 30 = 280 + 320

400 : Х = 4 х 2

32 х Х = 25 + 7

4 карточка

Х + 43 = 4 х 2 + 50

86 + Х = 40 х 2 + 50

Х — 25 = 40 + 3 х 20

100 — Х = 42 : 7 х 5

Х х 5 = 20 : 4 + 10

600 : Х = 4 — 1 х 2

40 х Х = 50 х 2 + 20

Х : 4 = 700 — 65 х 10

5 карточка

Х + 150 = 40 х 2 + 36 х 2

41 + Х = 35 х 2 х 2

Х — 25 = 500 — 40 х 10

920 — Х = 801 — 1 х 1

Х х 7 = 5 + 150 : 5

30 х Х = 200 + 2 х 5

Х : 3 = 27 : 9 х 5

42 : Х = 90 — ( 50 + 34 )

6 карточка

39 + Х = 42 х 2 + 5

Х + 32 = ( 25 + 65 ) х 2

Х — 95 = 66 + 21 + 13

79 — Х = 33 х 2 + 4 х 1

Х : 5 = ( 62 — 22) : 5

33 х Х = ( 23 — 3 ) х 5 — 1

84 : Х = (65 — 60 ) + 37

Х : 100 = ( 45 + 5 ) х 4

7 карточка

Х + 4 = 60 х 2 : 4

92 + Х = ( 400 + 2 ) х 2

Х — 35 = ( 765 — 65 ) х 2

98 — Х = 44 х 2 + 2

Х х 3 = 43 + 8 х 4

36 х Х = 64 : 8 х 9

Х : 50 = ( 35 + 15 ) х 4

1800 : Х = 36 : 4 х 60 + 60

8 карточка

15 + Х = 7256 + 2 х 4

Х + 49 = 25 х 4 х 2 + 50

Х — 720 = 49 : 7 х 9

657 — Х = 250 : 5 х 4

Х х 23 = 150 : 3 + 19

75 х Х = 30 х 6 — 30

Х : 50 = 2 х 9 + 2

630 : Х = 36 х 2 — 2

9 карточка

Х + 64 = 36 : 9 + 21

136 + Х = 50 х 2 х 3

Х — 925 = 600 : 2 + 700

2000 — Х = ( 1000 — 2 ) х 2

Х х 8 = 820 — 45 х 4

70 х Х = 131 + 36 : 4

500 : Х = 25 : 5 х 10

Х : 25 = 42 х 2 — 68

10 карточка

Х + 29 = 990 + 60 х 2

35 + Х = ( 2 + 5 ) х 52

Х — 728 = 2 х 24 х 10

523 — Х = 21 : 3 х 10

Х х 90 = 75 х 2 + 30

60 х Х = 3 х 6 х 10

Х : 5 = 400 : 8 + 5

360 : Х = 85 х 2 + 10

11 карточка

Х + 409 = 65 х 3 + 700

260 + Х = 700 + 6 х 5

Х — 612 = 420 : 6 х 9

2694 — Х = 40 х 4 + 2

Х х 30 = ( 502 + 28 ) х 3

45 х Х = 20 х 5 — 10

Х : 200 = 680 — 40 х 2

560 : Х = ( 40 + 30 ) : 10

12 карточка

Х + 500 = 600 х 2 + 300

406 + Х = 925 — 5 х 5

Х — 39 = 1800 : 2 + 33

786 — Х = 32 х 5 : 2

Х х 100 = 59 х 3 х 1000

810 : Х=1000- ( 60 х 3+10 )

60 х Х = ( 30 х 2 ) х 10

Х : 3 = 59 х 4 : 2

13 карточка

Х + 429 = 65 х 2 х 5

728 + Х = 500 х 2 + 15

Х — 39 = 360 : 4 + 1

450 — Х = 720 : 8 + 60

Х х 7 = ( 618 + 2 ) + 10

3 х Х = 42 х 3 х 5

Х : 7 = 58 х 9 + 28

650 : Х = 81 : 9 + 1

14 карточка

62 : Х + 38 = 40

73 + (50 : Х + 2) = 100

(100 — Х : 4 ) — 30 = 54

400 — (5 х Х + 125) = 205

( 40 х Х + 140) х 5 = 2500

5 х ( 69 — 120 : Х) = 45

(150 : Х + 50) : 5 = 73 — 53

150 : (45 : Х + 35) = 27 : 9

15 карточка

(720 : Х — 2) + 40 = 128

(4 х Х + 20) + 720 = 900

(Х х 5 + 25 ) — 415 = 60

900 — (4 х Х — 60) = 360

( 42 : Х — 7 ) х 30 = 420

2 х ( 36 — 52 : Х ) = 20

( 40 х Х — 40 ) : 4 = 30

480 : (Х : 4 + 1) = 64 : 8

16 карточка

( 60 : Х + 5 ) + 25 = 50

800 + ( 420 : Х — 10 ) = 1000

( 400 : Х + 5 ) — 5 = 200

1000 — ( 4500 : Х + 80 ) = 420

(54 : Х + 30 ) х 2 = 72

8 х ( 36 + 4 х Х ) = 480

(6 х Х + 12 ) : 6 = 50

350 : (20 х Х — 15) = 70

17 карточка

420 + (4 х Х + 360) = 940

350 + (600 — 5 х Х) = 450

(4 + Х х 9) — 36 = 40

660 — (8 х Х + 20) = 480

(4 х Х + 2) х 6 = 180

9 х (4 х Х + 10) =810

(150:Х-50):5=73-53 81:(42-3хХ)=66-7х9

18 карточка

(Х : 20 + 40) — 70 = 30

64 + ( Х : 4 + 6) = 100

(64 : Х + 138) — 50 = 90

925 — (80 : Х — 15) = 900

(95 — 45 : Х) х 9 = 810

6 х (20 : Х — 15) = 30

(3 х Х — 30) : 2 = 68 — 8

720:(Хх4-46)=150х3-90

Ответы:

1. 102; 7; 225; 230; 6; 7; 2; 160.

2. 681; 900; 4009; 86; 230; 5; 700; 2.

3. 2000; 5; 43; 690; 250; 20; 50; 1.

4. 15; 44; 125; 70; 3; 300; 3; 200.

5. 2; 99; 125; 120; 5; 7; 45; 7.

6. 50; 148; 195; 9; 40; 3; 2; 20000.

7. 26; 712; 1435; 8; 25; 2; 10000; 6.

8. 7249; 201; 782; 457; 3; 2; 1000; 9.

9. 89; 164; 1925; 4; 80; 2; 10; 400.

10. 1081; 329; 1208; 453; 2; 3; 275; 2.

11. 486; 470; 1242; 2532; 53; 2; 120000; 80.

12. 1000; 494; 972; 706; 1770; 1; 10; 354.

13. 221; 287; 130; 300; 90; 210; 3850; 65.

14. 31; 2; 64; 14; 9; 2; 3; 3.

15. 8; 40; 90; 150; 2; 2; 4; 236.

16. 3; 2; 2; 9; 9; 6; 48; 1.

17. 40; 100; 8; 20; 7; 20; 1; 5.

18. 1200; 120; 32; 2; 9; 1; 50; 12.

infourok.ru

Уравнения. Математика, 3 класс: уроки, тесты, задания.

Система линейных уравнений. Абсолютная погрешность и невязка решения системы линейных уравнений

Система уравнений вида:

(2.1)

или в сокращенной записи:

называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными x_i (i=1,…,n). В матричной форме она записывается следующим образом:

(2.2)

где A — квадратная матрица, и — векторы столбцы вида:

Методы Рунге — Кутты второго порядка точности для решения задачи Коши

расчетам формулы метода Рунге-Кутты второго порядка точности имеют следующий вид:

(2.12)

Данный метод является двух этапным. Вначале вычисляется значение k⁽¹⁾, а затем значения k⁽²⁾.

При a=1 формулы (2.12) дают метод Эйлера-Коши, при a=1/2 — усовершенствованный метод Эйлера.

Экзаменационный билет № 12

Приближение функций. Среднеквадратичное и равномерное приближение

Версия

Аппроксимация состоит в том, что данную функцию f(x) приближенно заменяют (аппроксимируют) некоторой другой функцией, так, чтобы отклонение (x) от f(x) в заданной области [a,b] было минимально возможным, при этом функцию f(x) называют аппроксимируемой, а функцию (x) аппроксимирующей.

При приближении на непрерывном множестве точек отрезка [a,b] аппроксимацию называют непрерывной (или интегральной). Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {x_i} i=0,1,… отрезка [a,b], то аппроксимацию называют точечной.

Если аппроксимирующая функция (x) строится для всего отрезка [a,b] на котором задана функция f(x), то говорят о глобальной аппроксимации, если же весь отрезок [a,b] разбит на частичные отрезки и на каждом используется своя аппроксимирующая функция, то говорят о локальной аппроксимации.

Равномерное и среднеквадратичное приближения. Если приближение строится таким образом, что величина отклонения (модуль разности двух функций f(x) и (x)) удовлетворяет условию

(2.2)

то такое приближение (2.2) называют равномерным приближением.

Часто используется среднеквадратичное приближение функции f(x) функцией (x). Здесь стараются получить минимальную величину среднеквадратичного значения модуля разности аппроксимируемой и аппроксимирующей функций на всем отрезке [a,b]:

(2.3)

Первая формула используется при непрерывной аппроксимации, а вторая при дискретной аппроксимации.

Версия

Норма вектора в линейном вещественном пространстве. Норма матрицы в линейном вещественном пространстве

Методы Рунге-Кутты четвертого порядка точности для системы дифференциальных уравнений

Объясните пожалуйста как решать такие примеры. Ну или дайте ссылку где можно самому изучить.

ну смотри, когда одно число в степени взято в скобки и возведено в другую степень, степени перемножаются. Когда числа с одинаковыми основаниями, но с разными степенями перемножаются, то степени складываются, а когда числа делятся — степени вычитаются. А когда у чисел разные основания и разные степени, нужно привечти либо к общей степени, либо к общему основанию. Любое число в 0 степени = 1. Число в степени (-Х) = 1/(это же число в степень Х) . ____________________________ Итак, нам нужно основание 2. рассмотрим первую скобку, она равна 2 в степени 18. теперь 64. 64 = 2 в степени 6. если 2 возвели в степени 6, а потом еще в степень (-4), то степени перемножаются, получается 2 в степени -24. В числителе получается 2 в степени (18-24) = 2 в (-6) степени. В знаменателе. 4 в нулевой = 1. осталось 2 в (-4) разделить на 2 в (42). Степени вычитаются. Ответ: 2 в степени (-46)

Тут куча калькуляторов, может подойдёт <a href=»/» rel=»nofollow» title=»25683256:##:http://www.shkola332009.narod.ru/Admin/Kalkulator.html» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Нужно привести все, насколько возможно, к одному основанию-в данном случае к 2 (например 64=2^6), и там уже по ходу дела производить действия со степенями.

Да тут все . все числа это степени двойки. Так что не надо и приводить к общему основанию почти. 4 это 2 в квадрате, 64 это 2*2*2*2*2*2 то есть 2 в 6 То что внизу дроби легко переносится наверх, только к показателю степени дописывается минус. то есть 1/(2)^42 = 2^ (-42) при умножении при одинаковом основании ( числе возводимом в степень) показатели степеней складываются, при делении вычитаются (из числителя знаменатель) , а при возведении числа в степени в степень, показатели степеней перемножаются. ну и (2^9)^2 *64^(-4) / 4^0 * 2^(42)= 2^(9*2)* (2^6)^(-4) / (2^2)^0 *2^42= 2^(18+6*(-4)-(2*0)-42)=2^(18-24-42)=2^(-48) Ответ 2 в -48

touch.otvet.mail.ru

Скажите пожалуйста, если мы умножаем числа со степенями то степени слаживаем или умножаем???

складываем однозначно.

если умножаем, то складываем, а если возводим степень в степень умножаем

одинаковые числа с разными степенями, при умножении степени складываются. Умножаются степени, если мы число со степенью возводим в степень

показатели степени при умножении степеней СКЛАДЫВАЮТ, нет действия Слаживания. А Никита плохо пошутил со своим умножением. или еще маленький и влез во взрослые игры…

touch.otvet.mail.ru

сложение и вычитание степеней с одинаковым основанием? ..

если перемножаем два числа с одинаковыми основаниями и разными степенями, то основание остаётся, а степени складываются. Если эти же числа делят — то степени вычитаются.

только умножение и деление

Ничего сложного. \Пример на сложение: 2**3+2**4=2**3(1+2)=8*3=24 ( ** означает возвести в степень) То есть меньшую степень выносим за скобки, как множитель. С вычитанием тоже самое. Про умножение и деление уже обьяснили.

touch.otvet.mail.ru

Двоичная арифметика

 

Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.

Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.

Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 — 0 = 0	0 ∙ 0 = 0
0 + 1= 1	1 — 0 = 1	0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1	1 — 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10	10 — 1 = 1	1 ∙ 1 = 1

Сложение двоичных чисел

Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Пример: 1011,1₂ + 1010,11₂

Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример: 111,1₂ + 111₂ + 101,1₂

При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 100₂. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.
Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 101₂. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.

Вычитание двоичных чисел

В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример: 10110,01₂ — 1001,1₂

Умножение и деление двоичных чисел

Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.
Пример: Перевести число 101111011₂ в десятичную систему счисления.
Поскольку 10₁₀ = 1010₂, запишем

Полученные остатки,  1001₂ = 9₁₀,  =111₂ = 7₁₀,  11₂ = 3₁₀. Искомое число 101111011₂ = 379₁₀.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

prog-cpp.ru

Двоичная арифметика

Арифметические действия в двоичной системе производятся по обычным для позиционных систем правилам, которые нам известны из десятичной арифметики, но при этом используются таблицы сложения и умножения двоичной системы:

Таблица сложения

Таблица сложения в двоичной системе очень проста. Надо только помнить, что прибавление нуля не меняет число, а один плюс один, будет два.

Таблица умножения

Таблица умножения ещё проще. Здесь нужно твёрдо знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль и что умножение на единицу не меняет числа.

Сложение многозначных чисел производится точно так же, как и в десятичной системе, то есть поразрядно, начиная с младшего. Например:

Вычитание в двоичной системе выполняется по таким правилам:

Пример:

Точки, поставленные над некоторыми разрядами уменьшаемого, показывают, что в двоичной системе единица помеченного разряда раздробляется на две единицы низшего разряда.

Умножение и деление двоичных чисел практически не отличается от умножения и деления чисел, записанных в десятичной системе счисления. Единственным отличием является то, что при умножении в столбик не приходится находить произведение первого множителя на значения последовательных разрядов второго множителя, так как значение этих разрядов 1 или 0. А при делении в столбик не нужно подбирать неполное делимое, так как учитывая специфику двоичных чисел, неполное делимое можно определить просто посмотрев на делимое.

Примеры: 1101111 · 101101 = ?, 111100 : 1010 = ?

naobumium.info

2. Правила двоичной арифметики

В любой позиционной системе счисления операции сложения и вычитания двух чисел A  B=С осуществляются поразрядно, начиная с младших разрядов.

При сложении переполнение из младшего разряда переносится в старший разряд, т. е. код суммы каждого i-ого разряда с_i получается в результате сложения a_i + b_i + 1, где 1 соответствует переносу из младшего (i -1)-разряда в i-ый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.

При вычитании требуемый заем производится из старшего разряда, т. е. код разности каждого i-ого разряда с_i получается в результате вычитания a_i — b_i – 1, где 1 соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.

2.1. Правила сложения двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда, если она есть.

Поразрядная сумма формируется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 – осуществляется перенос 1 в старший разряд

Например, сложение 5₁₀ + 3₁₀ = 8₁₀

101₂ = 5₁₀

+ 011₂ = 3₁₀

1000₂ = 8₁₀

Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи устройств, называемых двоичными сумматорами.

2.2. Правила вычитания двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется вычитание из цифры числа цифры вычитаемого, при вычитании из нуля единицы происходит заем единицы из соседнего старшего разряда, которая равна 2 единицам данного разряда.

Поразрядная разность формируется по следующим правилам:

0 — 0 = 0

1 — 0 = 1

1 — 1 = 0

0 — 1 = 1 – после заема 1 из старшего разряда

Например, вычитание 6₁₀ – 3₁₀ = 3₁₀

0110₂ = 6₁₀

–0011₂ = 3₁₀

0011₂ = 3₁₀

Как правило, вычитание двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров: при представлении вычитаемого в дополнительном или обратном коде операцию вычитания можно заменить операцией сложения.

2.3. Правила умножения двоичных чисел.

Умножение двоичных чисел производится путем образования промежуточных произведений и последующего их суммирования.

Поразрядные произведения формируются по следующим правилам:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Например, умножение 5₁₀ x 3₁₀ = 15₁₀

101

11

101

+101

1111

2.4. Правила деления двоичных чисел.

Деление двоичных чисел производится по правилам умножения и вычитания.

Например, деление 6₁₀ : 3₁₀ = 2₁₀

110 : 11 = 10

110 11

–11 10

00

3. Операция сдвига по разрядной сетке

В компьютерах, кроме операции алгебраического суммирования двоичных чисел, к которой относятся операции сложения и вычитания, выполняется операция сдвига числа по разрядной сетке влево и вправо, осуществляющая, фактически, умножение и деление двоичных чисел.

В случае сдвига влево осуществляется умножение двоичного числа на 2^j, а при сдвиге вправо – деление на 2^j, где j – количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число.

Например, осуществить сдвиг на 2 разряда

1) 000011₂ = 3₁₀ влево

001100₂ = 12₁₀

т. е. 3 х 4(2²) = 12₁₀

2) 001000₂ = 8₁₀ вправо

000010₂ = 2₁₀

т. е. 8 : 4(2²) = 2₁₀

В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда (числа, над которым производится действие), представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо содержимое младшего разряда попадает в старший разряд операнда.

studfiles.net

Умножение в двоичной системе счисления

Для того чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль.

Пример: 10101 * 10 = 101010

Проверка.

10101 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 +1*20 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 +1*21 +0*20 = 32 + 8 + 2 = 42

21 * 2 = 42

умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа.

Пример: 1011 * 101

Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111

В столбик это же самое можно записать так:

	*

Проверка:

101 = 5 (десятичное)

1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное)

5*11 = 55 верное равенство.

Деление в двоичной системе счисления

Пример: 10010111 / 101

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1. Выполним шаг операции.

-

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:

-

1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат:

-
	-

 

Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

-
	-
			-

Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так:

-

-

-

 

Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина:

-

-

-

-

 

Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное.

Проверим в десятичных числах

10010011 = 147

101 = 5

10 = 2

11101 = 29

 

Составьте таблицу эквивалентов чисел в разных системах счисления ( 10-я 2-я 8-я 16-я системы счисления)

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа)не зависит от ее позиции в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква V – пять, X – десять, L – пятьдесят, С – сто, D – пятьсот, М – тысячу и т.д. Например, число 267 записывается в виде ССLХVII (100+100+50+10+7).

В позиционных системах счисления значение каждой цифры числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

где – цифры системы счисления; — цифры системы счислен п и т — число целых и дробных разрядов соответственно.

Например, десятичное число 125,4 можно представить так:

Или, если обозначить число как А, основание системы счисление – p, номер старшего разряда – n, номер младшего разряда – m, номер текущего разряда – k, тогда

При работе с ЭВМ используют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Переводвосьмеричных и шестнадцатеричных чисел вдвоичнуюочень прост.

В дальнейшем, чтобы отличить в какой системе счисления (СС) записано число, будем указывать основание СС в виде индекса в десятичной СС, например, .

Пример использования редактора формул в WORD. Стр. 91 в методичке

Существует несколько способов создания формул в текстовом документе.

Первый способ применяется для несложных математических выражений, в которых используется возведение в степень или перечисление. Выражение оформляется с использованием параметров оформления символов (верхний и нижний индекс).

Пример: х3-4х2+56х-23=0.

Второй способ позволяет записывать математические выражения, используя символы стандартных шрифтов ОС Windows. Таким образом, можно записать выражение в любом текстовом редакторе с различными возможностями. В MS Word 2007 для этого используется вкладка Вставка\Символ. В диалоговом окне Символ можно выбрать шрифт, просмотреть набор входящих в него символов и выбрать нужный. Это диалоговое окно знакомо нам по работе с маркированными списками.

Третий способ создания математических выражений связан с использованием дополнительных возможностей пакета MS Office – Редактора формул. Этот модуль позволяет набирать в тексте выражения любой сложности и использовать любые математические операторы и конструкции.

Добавление формулы происходит с помощью вкладки Вставка\Формула. Вы можете выбрать готовую формулу из списка предложенных или создать новую. При создании новой формулы открывается дополнительная вкладка Работа с формулами, которая и позволяет создавать нужные математические выражения.

Прежде чем приступить к набору формулы, необходимо подумать, из каких операций и функций она строится, то есть определить структуру формулы.

Возьмем, например, следующее выражение:

Перед нами система, посмотрим, как такое выражение можно создать, используя редактор формул.

Первоначально ставиться системная скобка (используем кнопку Скобка на вкладке). Переходим к первому выражению. Задаём структуру Индекс и заполняем значениями, ставим оператор разности и задаём структуру Скобки, Индекс. Далее указываем значение если.

Переходим ко второму выражению, задаём структуру Индекс и заполняем значениями. Ставим оператор разности и задаем структуру Радикал, заполняем подкоренное выражение. Далее указываем значение Если.

Таким образом, используя редактор формул можно создать математический текст любой сложности, затратив на это оптимальное количество времени.

Переход между различными уровнями структур осуществляется с помощью клавиш управления курсором влево и вправо или с помощью «мыши».

Отдельно выделен блок Символы, с помощью которых можно добавлять математические операторы, символы, греческие буквы и др.

Таким образом, используя редактор формул можно создать математический текст любой сложности, затратив на это оптимальное количество времени.

Средства рисования в Word

Стр.107. в методичке по Word.

Работа с рисунками в Word

Стр.127 в методичке по Word, задание 4.2., стр.115 пункт 4.7.

62. Создание многоколонного текста. Создание составных документов. Колонтитулы, колонцифры, оглавление.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

1.14 Математические операции с двоичными числами » Try Objective-c

Быстрая навигация:
1.31 Списки — массивы. Первое знакомство.1.30 Функции которые возвращают результат — return1.29 Подпрограммы: функции и процедуры в Питоне1.28 Преобразование типов данных — int()1.27 Ввод данных с клавиатуры — input()1.26 Типы и размеры данных1.25 Цикл с предусловием — while. Числа Фибоначчи1.24 Измерение длины строки, списки1.23 Срезы строк — вывод определенного количества символов из имеющегося текста1.22 Строки и управляющие символы1.21 Системные ошибки в процессе отладки программы1.20 Оператор ветвления — if, комментарии1.19 Вывод на печать — print(), быстрый ввод данных, округление, комментарии1.18 Типы программирования. Часть 2. Объектно-ориентированное программирование1.17 Типы программирования. Часть 1. Структурное программирование. Циклы1.16 Представление символьной информации — ASCII1.15 Деление двоичных чисел1.14 Математические операции с двоичными числами1.13 Как хранится и записывается информация. Биты и байты1.12 Перевод целых чисел десятичной системы счисления в другую систему1.11 Перевод целых чисел из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную1.10 Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное1.9 Перевод целого двоичного числа в другую систему счисления1.8 Системы счисления1.7 Булевая алгебра. Логические выражения1.6 Базовые понятия. Часть 3 — Числа, выражения, операнды, знаки операций1.5 Базовые понятия. Часть 2 — Программа, данные1.4 Базовые понятия. Часть 1 — Задача и алгоритм1.3 Среда разработки СИ1.2 История языков программирования1.1 Введение

Сейчас мы разберемся со следующими моментами:

1 — сложение двоичных чисел «столбиком» (поразрядное сложение двоичных чисел с переносом)
2 — умножение «столбиком»
3 — умножение посредством сдвига (влево)
4 — отрицательное число
5 — перевод положительного числа в отрицательное.
6 — вычитание двоичных чисел (столбиком)

1

Поразрядное сложение двоичных чисел с переносом

В данном случае сложение производится как и обычные десятичные числа в столбик.
Если складываем 0 и 1 — получается 1
Если складываем 1 и 1 — получается 0 и единица переходит в старший разряд (влево) где складывается со следующим значением.

Примеры показаны для беззнаковых чисел, в которых старший разряд (крайний левый) не является показателем знака.

+	0	0	1	0		( 210 )
	1	0	1	1		( 1110 )
	1	1	0	1		( 1310 )

Переполнение
Здесь в качестве примера показано сложение двух двоичных чисел ( в десятичном эквиваленте 15 + 1 )в результате которого происходит «переполнение» ячейки памяти в результате которого результат будет не таким, как ожидалось.

+		1	1	1	1		( 1510 )
		0	0	0	1		( 110 )
	1	0	0	0	0		0

Другой пример переполнения памяти, когда результатом сложения двух чисел будет 3, а не 19.
Это происходит потому что в четырех битах максимальное число равно 15₁₀ = 1111₂.
Число 19 не помещается туда физически, как и в примере выше.

+		1	1	1	0		( 1410 )
			1	0	1		( 510 )
	1	0	0	1	1		( 310 )

2

Умножение «столбиком»

Показан просто пример исполнения — без учета знака числа.
Умножение производится по тому же принципу что и для обычных десятичных чисел.
Умножение на ноль дает единицу, а умножение единицы на единицу дает, естественно, тоже единицу.

После перемножения производится сложение для получения общего результата.

Пример умножения «столбиком» 1110 x 101 — в десятичном представлении — 14 x 5 = 70:

	64	32	16	8	4	2	1
	26	25	24	23	22	21	20
×				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
		1	1	1	0
	1	0	0	0	1	1	0

3

Умножение посредством сдвига (влево)

Сдвиг — простыми словами это перенос числа влево (в сторону старшего разряда). При этом в младший разряд записывается 0.

Пример:
имеем число 0011₂ (это у нас 3₁₀)

Сдвигаем его влево и получаем такое число:

Это уже число 6₁₀

Что произошло при сдвиге?
Произошло обычное УМНОЖЕНИЕ на 2!
Было 3 — стало 6

Давайте сдвинем это число еще раз:
Имеем:

Сдвигаем его влево и получаем:

Если перевести это число в десятичную систему, то получим число 12₁₀
Если это число снова подвергнуть сдвигу, то результатом будет переполнение.

Следует заметить, что операция сдвига осуществляется намного быстрее, чем операция умножения (или деления)

Следует запомнить, что:

— производя сдвиг влево на ОДИН РАЗРЯД мы производим умножение на 2
— производя сдвиг влево на ДВА РАЗРЯДА мы производим умножение на 4
— производя сдвиг влево на ТРИ РАЗРЯДА мы производим умножение на 8 и т.д.

Сдвиг можно осуществлять и вправо

— в этом случае при сдвиге на 1 разряд будет производиться деление на 2,
— сдвигая вправо на 2 разряда будет производиться деление на 4 и т.д…

Что самое интересное, сдвиг можно производить и с десятичными числами!
Взять то же число 10₁₀ и сдвинуть его влево — т.е. мы присоединяем дополнительный 0 со стороны младшего разряда. Получается 100₁₀
В основе сдвига операция производится с основой системы счисления к которой относится число, над которым проводятся операции сдвига.

В Терминале при помощи Python’а можно также производить операцию сдвига применительно к числам.

Производится эта операция посредством оператора:

— «<<» для сдвига влево
— «>>» для сдвига вправо

Если применять сдвиг к десятичным числам в Питоне, то операция производится путем битового сдвига, т.е. происходит преобразование десятичного числа в двоичное, далее применяется сдвиг и полученное число снова преобразуется в десятичное.

Т.е. если мы наберем в Терминале:

6 << 1 # сдвигаем 6 влево на один разряд

То получим 12, т.е. произошло умножение на 2

Если полученное число 12 сдвинуть влево на один разряд еще раз

12 << 1

Получим 24

Соответственно при сдвиге вправо происходит деление:
Сдвинем десятичное число 24 вправо на один разряд

24 >> 1

Получим — 12

Чтобы применить сдвиг к другой системе счисления, необходимо использовать соответствующую запись.
Например для двоичного числа:

0b0011 << 1

В результате получаем 6
Двоичная форма записи после сдвига преобразовывается в десятичное.

4

Отрицательное число

Это числа меньше нуля, записываются с приставкой «-» перед числом…
Определение отрицательного числа: при наличии положительного числа «a» при сложении такого же отрицательного числа дает в результате НОЛЬ, т.е. при взаимном сложении они «уничтожаются»

Для двоичного формата это утверждение также справедливо

Естественно данные примеры производятся над ЗНАКОВЫМИ числами, в которых старший разряд отведен под указание того, какой знак у числа.
При программировании мы как правило всегда знаем с какого типа данными мы работаем — со знаковыми или беззнаковыми…
В основном, в языках программирования производится так называемое «объявление» переменной, когда мы явным образом указываем с каким типом чисел (в данном случае) мы будем работать.
При объявлении числа типом int — мы будем работать со знаковыми числами, а если число объявить как unsigned int — тогда число будет восприниматься беззнаковым (без какого либо указания на знак в старшем бите).
По умолчанию — числа используются со знаком. Если нам необходимо работать с беззнаковими числами, то мы это должны указать явно.

Если знаковое число +1 в двоичном формате прибавить к -1, то должен получиться ноль (результат будет с переполнением)

+		+/- знак числа
		0	0	0	1	110
		1	1	1	1	-110
	1	0	0	0	0	010

Еще пример

+		+/- знак числа
		0	0	1	1	310
		1	1	0	1	-310
	1	0	0	0	0	010

И еще один пример

+		+/- знак числа
		0	1	0	1	510
		1	0	1	1	-510
	1	0	0	0	0	010

5

Перевод положительного числа в отрицательное

Для того, чтобы произвести перевод положительного двоичного числа в отрицательно надо сделать следующее:

— в исходном числе меняем все нули на единицы, а единицы на нули
— к младшему байту прибавляем 1 Например возьмем положительное двоичное число 0101₂ (5₁₀) и сделаем из него отрицательное
— меняем единицы на нули и нули на единицы: 1010₂
— прибавляем единицу к младшему разряду: 1011₂

Если мы говорим о двоичном числе СО ЗНАКОМ (у которого старший разряд является показателем знака: 0 — положительное число, 1 — отрицательное) то полученный результат будет соответствовать -5 в десятичной системе счисления

Возьмем 0110₂ (6₁₀) и тоже поменяем ему знак:
— меняем единицы на нули и нули на единицы: 1001₂
— прибавляем единицу к младшему разряду: 1010₂ (-6₁₀)

6

Вычитание двоичных чисел (столбиком)

Помните как мы производим вычитание чисел столбиком в нашей привычной десятичной системе счисления?

Вычитание десятичных чисел
Вычтем из десятичного числа 10080 число 1901
10080 — 1901 = 8179

Красным цветом выделены разряды числа

—	5	4	3	2	1
	1	0	0	8	0
		1	9	0	1

10080 — 1901 = 8179

Вы можете посмотреть разбор пошагового вычитания под катом:

В первом разряде (единицы)
Мы не можем из 0 вычесть 1, по этому из соседнего старшего разряда (из 8) мы занимаем разряд — число ДЕСЯТЬ
А почему мы занимаем 10?
Занятое нами число десять является основой десятичной системы счисления, в которой мы производим вычисление.
Это надо запомнить!!!
Вот теперь из занятого числа 10 мы и вычитаем 1 = 9

Во втором разряде (десятки)
Вместо числа 8 у нас осталось число 7
Из него вычитаем 0 = 7

В третьем разряде (сотни)
Мы должны из 0 вычесть 9
Для этого мы должны занять разряд из старшего знака
Занимаем его у единицы находящейся в 5-й позиции
В результате этой операции в 4-й позиции оказывается число ДЕВЯТЬ (число основания системы счисления минус один), а в 3-й позиции — число ДЕСЯТЬ
Из него мы и вычитаем 9 = 1

В четвертом разряде (тысячи)
Здесь остается число 9 и из него мы вычитаем 1
9 — 1 = 8

В пятом разряде (десятки тысяч)
После заема остается 0
В результате у нас получается число равное — 8179

Вычитание двоичных чисел

Для вычитания столбиком двоичных чисел действуют те же самые правила, только в качестве заемного числа выступает число 2, а не 10, поскольку мы оперируем значением двоичной системы счисления — 2

Правила вычитания те же:
0 — 0 = 0
0 — 1 = 1 и занимает разряд из старшего бита
1 — 0 = 1
1 — 1 = 0

Вычитаем:

 1101110  (десятичное 110)
-  10111  (десятичное 23) 
=1010111  (десятичное 87)

Принцип вычитания следующий:

—	8	7	6	5	4	3	2	1
		1	1	0	1	1	1	0	( 11010 )
				1	0	1	1	1	( 2310 )

Разберем процесс вычитания подробнее
Номера битов указаны красным цветом для наглядности

Разбор находится под катом…

1-й бит
0 — 1 — занимаем из второго бита старший разряд (помните, что мы заняли цифру 2?) и из него производим вычитание.
В результате в первом бите получается 1 (2 — 1 = 1)

2-й бит
В результате предыдущего заема в верхнем числе второго бита получился ноль.
Производим заем старшего разряда из 3-го бита и из него вычитаем 1.
Получаем 1 (2 — 1 = 1)

3-бит
Как и в предыдущем шаге в 3-м бите верхнего числа образовался ноль, по этому занимаем старший разряд из 4-го бита и из него производим вычитание. Получаем снова 1 (2 — 1 = 1)

4-й бит
После выполнения 3-го шага в 4-м бите верхнего числа находится ноль. Т.к. мы занимали из него старший разряд.
По этому производим операцию 0 — 0. Получаем ноль.

5-й бит
В 5-м бите мы снова сталкиваемся с ситуацией, когда необходимо вычесть 1 из 0.
Производим заем разряда из старшего бита. В данном случае из 6-го и из него производим вычитание. Получаем 1 (2 — 1 = 1)

6-й бит
В результате 5-го шага в ячейке 6-го бита верхнего числа находится 0
0 — 0 = 0

7-й бит
Здесь все просто — 1 — 0 = 1
в результате вычисления получаем число 110111

Проверьте в Терминале его десятичное значение:

0b110111

Получается 87, что соответствует действительности: 110 — 23 = 87

Еще несколько примеров вычитания двоичных чисел:

В круглых скобках даны эквиваленты в десятичном формате

456 - 112 = 344

 111001000  (456)
-  1110000  (112)
=101011000  (344)

234 - 12 = 222

 11101010 (234)
-    1100  (12)
=11011110 (222)

345 - 232 = 113

 101011001 (345)
- 11101000 (232)
=001110001 (113)

16 - 3 = 13

 10000 (16)
-   11 (3)
= 1101 (13)

Метки к статье: арифметические операции, система счисления

www.tryobj.com

Двоичная арифметика

Лабораторная работа №122. Двоичная арифметика.

Цель работы. Научиться выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деления) с двоичными числами.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0–0=0 1–0=1 1–1=0 10–1=1	00=0 01=0 10=0 11=1

Задание 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления 100100111,001₂+100111010,101₂

Методические указания.

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.

Примеры.

1) Выполнить сложение двоичных чисел X=1101, Y=111.

В приведенном примере в младшем нулевом разряде две единицы: 1+1=10 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий. В первом разряде: 0+1+1=10 (крайняя единица перенесена из нулевого разряда) дают 0 и единицу переноса в следующий. Во втором разряде 1+1+1=11(крайняя единицы перенесена из первого разряда) дают 1 и единицу переноса в следующий. В старшем третьем разряде 1 и единица переноса из предыдущего разряда дают 1+1=10.

Результат: 1101+111=10100.

2) Сложить три двоичных числа X=1101, Y=101, Z=111.

Результат: 1101+101+111=11001.

Задание 2. Выполните вычитание чисел в двоичной системе счисления: 1100110110,0011₂– 11111110,01₂.

Методические указания.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум единицам данного разряда, так как 10=1+1.

Примеры.

1) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X–Y.

Результат: 10010₂ – 101₂ = 1101₂.

Замечание. Число 100…00₂ можно представить в виде суммы

Данное разложение на слагаемые объясняет правило вычитания в столбик. Если вы занимаете 1 из ближайшего старшего разряда, тогда над всеми следующими за единицей нулями следует дописывать 1, а над крайним нулем, для которого произведен заем, 1+1 или 10.

2) Выполнить вычитание: 1100000011,011₂ – 101010111,1₂

Результат:  1100000011,011₂ – 101010111,1₂ = 110101011,111₂.

Задание 3. Выполните умножение чисел 11001₂ и 1011100₂ в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Правила умножения двоичных чисел такие же, как и для умножения десятичных чисел в столбик, с использованием двоичного умножения и сложения.

Пример. Найти произведение 1001₂101₂

1001

  101

1001

+1001    

101101

Результат: 1001₂101₂=101101₂.

Задание 4. Выполните деление чисел 111101₂ и 1110₂ в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Деление двоичных чисел производится так же, как и десятичных чисел, при этом используется двоичное умножение и вычитание.

Пример. Найти частное от деления 1100,011₂: 10,01₂

_110001,1	1001
1001	101,1
_1101
­ 1001
_1001        1001
0

Результат: 1100,011₂:10,01₂=101,1₂.

Задания для самостоятельной работы

Вариант	Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y , если:	Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:
	Х=100101,1012 Y=11101,112	X=100101,0112 Y=110,12
	Х=101101,1012 Y=1101,1112	X=110000,112 Y=2
	Х=110101,1012 Y=11101,112	X=111001,00012 Y=1010,0112
	Х=1101111,1012 Y=10101,112	X=111011,00012 Y=101,012
	Х=1000111,112 Y=11101,1112	X=111100,0112 Y=101,112
	Х=1110001,1012 Y=10011,112	X=110110,1012 Y=100,112
	Х=1010001,1012 Y=10011,112	X=100110,00012 Y=111,012
	Х=1000011,1012 Y=10011,0112	X=101011,1112 Y=110,112
	Х=1101001, 1012 Y=10111,112	X=1010110,1012 Y=1000,012
	Х=1010001,1012 Y=1111,0112	X=111111,012 Y=101,12
	Х=101001, 1012 Y=10111,1112	X=1011010,1012, Y=111,012
	Х=1010111, 1012 Y=11100,1112	X=1000101,00112, Y=110,112
	Х=110101,1012 Y=1111,112	X=100101,0112, Y=110,12
	Х=101111,1012 Y=1101,1112	X=100000,11012, Y=101,012
	Х=110101,0112 Y=10011,112	Х=110111,112 Y=101,112
	Х=1001011,112 Y=10101,1012	Х=100101,112 Y=111,012
	Х=100011,0112 Y=10011,1112	Х=100011,012 Y=1011,12
	Х=1010001,1012 Y=1011,0112	Х=100001,1012 Y=1001,012
	Х=110001,1012 Y=10111,112	Х=111001,1012 Y=1101,112
	Х=1000111,0112 Y=11111,112	Х=1010111,0112 Y=111,112
	Х=111001, 1012 Y=1110,1112	Х=11100001, 1012 Y=110,112
	Х=100001,1012 Y=1111,1112	Х=1000001,1012 Y=1111,012
	Х=1011101, 1012 Y=10111,0112	Х=1010101, 1012 Y=100,0112
	Х=1111000, 1012 Y=101111,112	Х=1111001, 0112 Y=1011,112
	Х=1100000, 1012 Y=1111,1112	Х=1100011, 012 Y=11,1112

Контрольные вопросы.

1. 1. Каковы правила сложения двоичных чисел?

2. 2. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

3. 3. Каковы правила умножения двоичных чисел?

4. 4. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

studfiles.net

Двоичное счисление: вычитание, сложение, умножение, деление

Двоичное счисление

Двоичное счисление это

Двоичное счисление имеет в своей основе только две цифры: 0 и 1. Все числа записывают с помощью этих двух цифр. Основание двоичной системы счисления равно двум.

Двоичная система счисления применяется в компьютерной технике. Бит — это наименьшая единица информации. Слово «бит», по-английски bit, происходит от «binary digit», что значит «двоичная цифра». Бит может быть единицей или нулём, ведь в двоичной системе счисления имеются только две цифры: 0 и 1.

Двоичное счисление относится к позиционным системам счисления. Это значит, что значение двоичного числа связано с позициями цифр в нём. Пример: двоичные числа 1101 и 1011 составлены из одинакового количества единиц и нулей, но позиции их различны, значит и числа различны.

Вот таблица позиций числа 1101:

цифра	1	1	0	1
позиция	3	2	1	0

Теперь таблица позиций числа 1011:

цифра	1	0	1	1
позиция	3	2	1	0

Номера позиций начинаются с нуля.

Двоичные дроби

Дроби в двоичной системе счисления записывают как и в десятичной:
1101,1101

Таблица позиций числа 1101,1101

цифра	1	1	0	1	.	1	1	0	1
позиция	3	2	1	0		-1	-2	-3	-4

Позиции дробной части начинаются с -1.

Перевод дробного двоичного числа в десятичное

Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.
Таблица позиций числа 1101,1101

цифра	1	1	0	1	.	1	1	0	1
позиция	3	2	1	0		-1	-2	-3	-4

1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ + 1 * 2^-1 + 1 * 2^-2 + 0 * 2^-3 + 1 * 2^-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 13.8125

Степени 2 равны номеру позиции.

Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.

Двоичная система счисления: как сравнить два числа?

Двоичные числа сравнивают также, как и в десятичной системе счисления, примеры:

100 > 10
100 < 110
111 < 1111
111 < 1000

www.sbp-program.ru

Компьютерное обучение геометрии

www.3d-geometry.ru

3D-чертежи к учебнику Атанасяна

Здесь Вы можете скачать трехмерные чертежи к задачам из учебника Атанасяна Л.С. «Геометрия 10-11» в формате GeoGebra. Рекомендуем ознакомиться с инструкцией по работе с готовыми моделями, прежде чем приступать к скачиванию и демонстрации.

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Задачи 16 — 33

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Задачи 34 — 47

§ 3. Параллельность плоскостей. Задачи 48 — 65

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Задачи 66 — 87

Дополнительные задачи 88 — 115

Рисунки к Главе I, §4, п. 14 «Построение сечений»

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Задачи 116 — 137

§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Задачи 138 — 165

§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Задачи 166 — 196

Задачи 174 — 196 (в разработке)

Дополнительные задачи 197 — 217 (в разработке)

Глава III. Многогранники

§ 1. Понятие многогранника. Призма. Задачи 218 — 238 (в разработке)

§ 2. Пирамида. Задачи 239 — 270 (в разработке)

§ 3. Правильные многогранники. Задачи 271 — 287 (в разработке)

Дополнительные задачи 288 — 319 (в разработке)

Глава IV. Векторы в пространстве

§ 1. Понятие вектора в пространстве. Задачи 320 — 326 (в разработке)

§ 2. Сложение и вычитание векторов. Задачи 327 — 354 (в разработке)

§ 3. Компланарные векторы. Задачи 355 — 375 (в разработке)

Дополнительные задачи 376 — 399 (в разработке)

Глава V. Метод координат в пространстве. Движения

§ 1. Координаты точки и координаты вектора. Задачи 400 — 440 (в разработке)

§ 2. Скалярное произведение векторов. Задачи 441 — 477 (в разработке)

§ 3. Движения. Задачи 478 — 489 (в разработке)

Дополнительные задачи 490 — 520 (в разработке)

Глава VI. Цилиндр, конус, шар

§ 1. Цилиндр. Задачи 521 — 546 (в разработке)

§ 2. Конус. Задачи 547 — 572 (в разработке)

§ 3. Сфера. Задачи 573 — 600 (в разработке)

Дополнительные задачи 601 — 646 (в разработке)

Глава VII. Объемы тел

§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда. Задачи 647 — 658 (в разработке)

§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра. Задачи 659 — 672 (в разработке)

§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Задачи 673 — 709 (в разработке)

§ 4. Объем шара и площадь сферы. Задачи 710 — 724 (в разработке)

Дополнительные задачи 725 — 763 (в разработке)

Задачи для повторения 764 — 767 (в разработке)

Задачи повышенной трудности 768 — 815 (в разработке)

www.3d-geometry.ru

3-D geometry — это… Что такое 3-D geometry?

engineering_en_ru.academic.ru

3-D geometry — это… Что такое 3-D geometry?

universal_en_ru.academic.ru

Book: Трехмерная геометрия

Иэн Макьюэн

Трехмерная геометрия

Прямая является касательной к графику функции

   Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. В курсе алгебры есть группа задач, где задаётся уравнение функции и уравнение прямой — касательной к графику данной функции или прямой параллельной этой касательной.

Задачи несложные, но они требуют чёткого понимания геометрического смысла производной. Это теоретическая основа для решения подобных задач (и подобных им), и без этой основы никак нельзя. Рекомендую ознакомиться со статьями «Геометричесий смысл произвоной. Часть 1» и «Геометрический смысл производной. Часть 2».

Рассмотрим две задачи:

Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² – 5х + 7 

Найдите абсциссу точки касания.

Из геометрического смысла производной мы знаем, что значение производной  в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Известно, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны, значит  угловые коэффициенты прямой  у = 4х + 8 и касательной равны 4.

Угловой коэффициент прямой  вида у = kх + b это число  k.

Таким образом, абсцисса точки касания находится из уравнения:

Значит,

Ответ: 4,5

Второй способ: 

Он предельно прост, но не всегда работает. Строим на координатной плоскости график у = х² – 5х + 7, строим прямую у = 4х + 8, далее строим (параллельным переносом) параллельную ей прямую касающуюся параболы, и в некоторых задачах вы визуально сможете определить абсциссу точки касания.

Отмечу, что таким способом можно решить задачу, если абсцисса целое число или целое  с половиной, например  1,5; – 2,5; –3,5  и так далее. Если же точка пересечения «непонятна», то есть, нельзя точно и уверенно определить абсциссу (например, визуально сложно определить 3,2; 5,7 …), то точное решение  даст  первый способ. 

Если вы  решили задачу этим способом  и уверены в правильности решения, обязательно сделайте проверку. Подставьте полученную абсциссу в оба исходных уравнения, должны получится равные значения функций (ордината точки пересечения).

Решите самостоятельно:

Прямая у = 7х – 8 параллельна касательной к графику функции

у = х² + 6х – 8

Найдите абсциссу точки касания.

Посмотреть решение

Прямая у = 6х + 4  является касательной к графику функции 

у = х³ – 3х² + 9х + 3

Найдите абсциссу точки касания.

Из геометрического смысла производной функции известно, что  она (производная)  равна угловому коэффициенту касательной.

Известно, что угловой коэффициент прямой  вида у = kх + b это число  k.

Значит, угловой коэффициент прямой  у = 6х + 4   равен 6. Таким образом,

Решая квадратное уравнение, получим:

Получили два равных корня.  Таким образом, абсцисса точки касания равна 1.

Ответ: 1

Решите самостоятельно:

Прямая у = – 4х – 11  является касательной к графику функции

у = х³ + 7х² + 7х – 6 

Найдите абсциссу точки касания

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите! 

На этом все. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Касательная к графику функции

25 — двадцать пять. натуральное нечетное число. регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 24 и 26. Все о числе двадцать пять.

1. Главная
2. О числе 25

25 — двадцать пять. Натуральное нечетное число. Регулярное число (Число Хемминга). В ряду натуральных чисел находится между числами 24 и 26.

Like если 25 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

25 регион — Приморский край

Столица

Владивосток

Автомобильный код

25, 125

Федеральный округ

Дальневосточный

Экономический район

Дальневосточный

Дата образования

20 октября 1938 г.

Территория

165, 9 тыс. кв. км 0,95 % от РФ 25 место в РФ

Население

Общая численность 2 068,2 тыс. чел. 1,42 % от РФ 25 место в РФ

Изображения числа 25

Склонение числа «25» по падежам

Перевод «двадцать пять» на другие языки

Азербайджанский

iyirmi beş

Албанский

njëzet e pesë

Английский

twenty five

Арабский

خمسة وعشرين

Армянский

քսանհինգ

Белорусский

дваццаць пяць

Болгарский

двадесет и пет

Вьетнамский

hai mươi lăm

Голландский

vijfentwintig

Греческий

εικοσιπέντε

Грузинский

ოცდახუთი

Иврит

עשרים וחמש

Идиш

25

Ирландский

fiche cúig

Исландский

tuttugu og fimm

Испанский

veinticinco

Итальянский

venticinque

Китайский

二十五

Корейский

이십오

Латынь

viginti quinque

Латышский

divdesmit piecus

Литовский

Twenty Five

Монгольский

хорин таван

Немецкий

fünfundzwanzig

Норвежский

tjuefem

Персидский

بیست و پنج

Польский

dwadzieścia pięć

Португальский

vinte e cinco

Румынский

douăzeci și cinci

Сербский

двадесет пет

Словацкий

dvadsať päť

Словенский

petindvajset

Тайский

ประมาณยี่สิบห้าปี

Турецкий

yirmi beş

Украинский

двадцять п’ять

Финский

kaksikymmentäviisi

Французский

vingt cinq

Хорватский

dvadeset pet

Чешский

dvacet pět

Шведский

tjugofem

Эсперанто

dudek kvin

Эстонский

Kakskümmend viis

Японский

25

Перевод «25» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XXV

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

٢٥

Восточно-арабскими цифрами

۲۵

Деванагари

२५

Бенгальскими цифрами

২৫

Гурмукхи

੨੫

Гуджарати

૨૫

Ория

୨୫

Тамильскими цифрами

௨௫

Телугу

౨౫

Каннада

೨೫

Малаялам

൨൫

Тайскими цифрами

๒๕

Лаосскими цифрами

໒໕

Тибетскими цифрами

༢༥

Бирманскими цифрами

၂၅

Кхемерскими цифрами

២៥

Монгольскими цифрами

᠒᠕

В других системах счисления

25 в двоичной системе

11001

25 в троичной системе

221

25 в восьмеричной системе

31

25 в десятичной системе

25

25 в двенадцатеричной системе

21

25 в тринадцатеричной системе

1C

25 в шестнадцатеричной системе

19

Известные люди умершие в 25 лет

• Лаврова, Наталья Александровна Первая двукратная олимпийская чемпионка по художественной гимнастике в Сиднее (2000) и Афинах (2004) (групповые упражнения), Заслуженный мастер спорта России (2000), тренер сборной России; автокатастрофа. Смерть наступила в 2010 году в 25 лет.
• Бабурова, Анастасия Эдуардовна Внештатный корреспондент «Новой газеты»; убийство. Смерть наступила в 2009 году в 25 лет.
• Ренфро, Брэд Американский актёр. Смерть наступила в 2008 году в 25 лет.
• Сметанников, Владимир Борисович Профессиональный турист, чемпион России по спортивному туризму; трагедия на реке Юрункаш. Смерть наступила в 2007 году в 25 лет.
• Черник, Иван Сергеевич Двукратный чемпион России по водному туризму; трагедия на реке Юрункаш. Смерть наступила в 2007 году в 25 лет.
• Жуниор, Кристиано Бразильский футболист, нападающий; во время финала Кубка Индии на 78-й минуте матча столкнулся с вратарем, после чего был в обмороке, скончался по пути в больницу от остановки сердца 7 декабря. Смерть наступила в 2004 году в 25 лет.
• Маргарян, Гурген Армянский лейтенант, убитый азербайджанским офицером. Смерть наступила в 2004 году в 25 лет.
• Мельников, Василий Александрович Младший сержант, радист-парашютист поисково-спасательного взвода №95 отдельной аэромобильной бригады, Герой Украины. Смерть наступила в 2002 году в 25 лет.
• Петросян, Тигран Самвелович Известный смоленский криминальный авторитет. Смерть наступила в 2000 году в 25 лет.
• Перминов, Алексей Александрович Российский поэт, участник рэп-группы «Рабы Лампы». Смерть наступила в 2000 году в 25 лет.
• Тамгин, Владимир Александрович Сержант милиции, участник второй чеченской войны, Герой Российской Федерации. Смерть наступила в 2000 году в 25 лет.
• Ковач, Шандор (певец) Цыганский певец. Смерть наступила в 1998 году в 25 лет.
• Мамчур, Сергей Николаевич Советский украинский футболист, защитник. Смерть наступила в 1997 году в 25 лет.
• Тупак Амару Шакур Американский актёр, рэпер. Смерть наступила в 1996 году в 25 лет.
• Ян Пузыревский Российский актёр театра и кино; самоубийство. Смерть наступила в 1996 году в 25 лет.
• Евронимус Норвежский музыкант и композитор; гитарист и идеолог блэк-метал группы Mayhem; убийство. Смерть наступила в 1993 году в 25 лет.
• Мамедов, Эльдар Харун оглы Азербайджанский офицер, Национальный герой Азербайджана. Смерть наступила в 1993 году в 25 лет.
• Бардодым, Александр Викторович Русский поэт, журналист, переводчик. Смерть наступила в 1992 году в 25 лет.
• Крушин, Олег Викторович Советский и российский футболист. Смерть наступила в 1992 году в 25 лет.
• Водолажский, Василий Александрович Полковник Советской Армии, участник ликвидации последствий аварии на Чернобыльской АЭС, Герой Российской Федерации. Смерть наступила в 1992 году в 25 лет.

Все люди умершие в 25 лет (98)

QR-код, MD5, SHA-1 числа 25

Адрес для вставки QR-кода числа 25, размер 500×500:

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/25/157cec529af7d77930784ef3418590d6.png

MD2 от 25

c47e911c018eb34de750febedf5b1e9f

MD4 от 25

c897561e3a24abe83372a957effa9289

MD5 от 25

8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec

SHA1 от 25

f6e1126cedebf23e1463aee73f9df08783640400

SHA256 от 25

b7a56873cd771f2c446d369b649430b65a756ba278ff97ec81bb6f55b2e73569

SHA384 от 25

98398bf21142f0e52137b0853f31ebb4e45e0976b8e80ebb9d6579669b42583ade02da3858d712902673f8e9e30583f6

SHA512 от 25

5ef620ffb2ed44b40530c0a880fe6b809bf7cc9ce9f589eb2514bf42cec94ade4491c61da816544aebf1054da3d894fdfa218a9bdf73625cbaa1ea0126a47b71

GOST от 25

149aafcb632ba2c5eec9e110c6d1fed3062fda62df4e39b8615dbca581d7c3cd

Base64 от 25

MjU=

25й день в году

25й день в не високосном году — 25 января

День российского студенчества

Татья́нин день (Бабий кут, Солныш, Татьяна, Татьяна Крещенская) — день почитания Татианы Римской. После того, как в 1755 году императрицей Елизаветой Петровной был подписан указ об открытии Московского университета, «Татьянин день» стал праздноваться сначала как день рождения университета, а позднее и как праздник всех студентов.

День штурмана ВМФ РФ

«День штурмана Военно-Морского Флота Российской Федерации» — профессиональный праздник российских военнослужащих, чья деятельность напрямую связана с прокладкой курсов кораблей, судов и авиации ВМФ, исчислением перемещения и контролем за исправной работой навигационных приборов — штурманов. «День штурмана» отмечается в России ежегодно, 25 января.

25й день в високосном году — 25 января

Математические свойства числа 25

Простые множители

5 * 5

Делители

1, 5, 25

Количество делителей

3

Сумма делителей

31

Простое число

Нет

Предыдущее простое

23

Следующее простое

29

25е простое число

97

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Нет

Факториал

Нет

Регулярное число (Число Хемминга)

Да

Совершенное число

Нет

Полигональное число

квадрат(5)

Квадрат

625

Квадратный корень

5

Натуральный логарифм (ln)

3.2188758248682

Десятичный логарифм (lg)

1.397940008672

Синус (sin)

-0.13235175009777

Косинус (cos)

0.99120281186347

Тангенс (tg)

0.13352640702154

Фильмы про 25

25 каратов (25 kilates), 2008 год

Ни один крупный город не обходится без теневой стороны жизни. В Барселоне преступность носит особо крупные размеры. В любое время…

25-й час (25th Hour), 2002 год

Молодой Монти Броган из Бруклина осужден на семилетнее заключение за сбыт наркотиков. На прощание с семьей, друзьями и любимой невестой…

Все фильмы о числе 25 (2)

Комментарии о числе 25

pro-chislo.ru

24 — двадцать четыре. натуральное четное число. факториал 4!, регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 23 и 25. Все о числе двадцать четыре.

1. Главная
2. О числе 24

24 — двадцать четыре. Натуральное четное число. Факториал 4!, Регулярное число (Число Хемминга). В ряду натуральных чисел находится между числами 23 и 25.

Like если 24 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

24 регион — Красноярский край

Столица

Красноярск

Автомобильный код

24, 84, 88, 124

Федеральный округ

Сибирский

Экономический район

Восточно-Сибирский

Дата образования

7 декабря 1934 г.

Территория

710 тыс. кв. км 4,16 % от РФ 8 место в РФ

Население

Общая численность 2 908,7 тыс. чел. 2 % от РФ 12 место в РФ

Изображения числа 24

Склонение числа «24» по падежам

Падеж	Вспомогательное слово	Характеризующий вопрос	Склонение числа 24
Именительный	Есть	Кто? Что?	двадцать четыре
Родительный	Нет	Кого? Чего?	двадцати четырёх
Дательный	Дать	Кому? Чему?	двадцати четырём
Винительный	Видеть	Кого? Что?	двадцать четыре
Творительный	Доволен	Кем? Чем?	двадцатью четырьмя
Предложный	Думать	О ком? О чём?	двадцати четырёх

Перевод «двадцать четыре» на другие языки

Азербайджанский

iyirmi dörd

Албанский

njëzet e katër

Английский

twenty-four

Арабский

أربع وعشرين

Армянский

քսանչորս

Белорусский

дваццаць чатыры

Болгарский

двадесет и четири

Вьетнамский

hai mươi bốn

Голландский

vierentwintig

Греческий

είκοσι τέσσερις

Грузинский

ოცი ოთხი

Иврит

עשרים וארבעה

Идиш

פיר און צוואנציק

Ирландский

ceithre cinn is fiche

Исландский

tuttugu og fjórir

Испанский

veinticuatro

Итальянский

ventiquattro

Китайский

24

Корейский

스물 네

Латынь

XXIIII

Латышский

divdesmit četri

Литовский

dvidešimt keturi

Монгольский

хорин дөрвөн

Немецкий

vierundzwanzig

Норвежский

tjuefire

Персидский

بیست و چهار

Польский

dwadzieścia cztery

Португальский

vinte e quatro

Румынский

douăzeci și patru

Сербский

двадесет четири

Словацкий

dvadsať štyri

Словенский

štiriindvajset

Тайский

ยี่สิบสี่

Турецкий

Yirmi dört

Украинский

двадцять чотири

Финский

kaksikymmentäneljä

Французский

vingt-quatre

Хорватский

dvadeset četiri

Чешский

dvacet čtyři

Шведский

tjugofyra

Эсперанто

dudek kvar

Эстонский

kakskümmend neli

Японский

24

Перевод «24» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XXIV

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

٢٤

Восточно-арабскими цифрами

۲۴

Деванагари

२४

Бенгальскими цифрами

২৪

Гурмукхи

੨੪

Гуджарати

૨૪

Ория

୨୪

Тамильскими цифрами

௨௪

Телугу

౨౪

Каннада

೨೪

Малаялам

൨൪

Тайскими цифрами

๒๔

Лаосскими цифрами

໒໔

Тибетскими цифрами

༢༤

Бирманскими цифрами

၂၄

Кхемерскими цифрами

២៤

Монгольскими цифрами

᠒᠔

В других системах счисления

24 в двоичной системе

11000

24 в троичной системе

220

24 в восьмеричной системе

30

24 в десятичной системе

24

24 в двенадцатеричной системе

20

24 в тринадцатеричной системе

1B

24 в шестнадцатеричной системе

18

Известные люди умершие в 24 года

• Шолин, Игорь Николаевич Украинский футболист, полузащитник; остановка сердца 16 декабря Дисней, Рой Эдвард (79) племянник Уолта Диснея, бывший вице-председатель совета директоров и председатель департамента анимации The Walt Disney Company; рак желудка 17 декабря аль-Хафез, Амин (88) бывший председатель Национального Совета Революционного Командования, председатель Президентского Совета Сирии (19631966) 17 декабря Дженнифер Джонс (90) американская актриса, лауреат премии «Оскар», а также первая актриса, награждённая премией «Золотой глобус» 17 декабря О`Бэннон, Дэн (63) американский режиссёр и сценарист 17 декабря Юрий Овсянников (72) Приднестровский государственный деятель, министр внутренних дел ПМР, министр юстиции ПМР. Смерть наступила в 2009 году в 24 года.
• Френч, Кэти Ирландская модель, писательница и филантроп; повреждение головного мозга. Смерть наступила в 2007 году в 24 года.
• Сиосэй Кода Японский турист; обезглавливание. Смерть наступила в 2004 году в 24 года.
• Миклош Фехер Венгерский футболист; гипертрофическая кардиомиопатия. Смерть наступила в 2004 году в 24 года.
• Ляшенко, Роман Юрьевич Профессиональный российский хоккеист, центральный нападающий. Смерть наступила в 2003 году в 24 года.
• Космачева, Юлия Александровна Советская и белорусская актриса театра и кино. Смерть наступила в 2000 году в 24 года.
• Боченков, Михаил Владиславович Герой Российской Федерации. Смерть наступила в 2000 году в 24 года.
• Мур, Грег Канадский автогонщик; автокатастрофа. Смерть наступила в 1999 году в 24 года.
• Big L Рэп-исполнитель. Смерть наступила в 1999 году в 24 года.
• Симмонс, Кадамба Английская киноактриса; убийство. Смерть наступила в 1998 году в 24 года.
• Notorious B.I.G. Известный американский рэпер; убийство. Смерть наступила в 1997 году в 24 года.
• Алиев, Амираслан Рза оглы Азербайджанский офицер, национальный герой Азербайджана. Смерть наступила в 1995 году в 24 года.
• Наджафов, Фахраддин Вилаяддин оглы Азербайджанский офицер, Национальный герой Азербайджана. Смерть наступила в 1992 году в 24 года.
• Дягилева, Яна Станиславовна Советская рок-певица, поэтесса, автор песен, участница групп «Гражданская оборона», «Великие Октябри» и др. Смерть наступила в 1991 году в 24 года.
• Гоборов, Валерий Григорьевич Советский баскетболист. Смерть наступила в 1989 году в 24 года.
• Бёртон, Клиффорд Ли Американский музыкант, бас-гитарист группы Metallica. Смерть наступила в 1986 году в 24 года.
• Жиров, Александр Васильевич Советский горнолыжник, мастер спорта СССР международного класса. Смерть наступила в 1983 году в 24 года.
• Жданько, Станислав Алексеевич Советский актёр 13 апреля Иван Костыря (46) украинский и советский писатель. Смерть наступила в 1978 году в 24 года.
• Освальд, Ли Харви Единственный официальный подозреваемый в убийстве американского президента Кеннеди; убит. Смерть наступила в 1963 году в 24 года.
• Довекар, Альбер Сержант Французского Иностранного Легиона, член ОАС, участник покушения на комиссара Алжира Роже Гавури. Смерть наступила в 1962 году в 24 года.

Все люди умершие в 24 года (99)

QR-код, MD5, SHA-1 числа 24

Адрес для вставки QR-кода числа 24, размер 500×500:

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/24/f116f0a91cf1145fcab17c4a254a71ef.png

MD2 от 24

6b29cdfe49153f5a51def96d46e34bee

MD4 от 24

69d283f316e994b0ae1dac25be100255

MD5 от 24

1ff1de774005f8da13f42943881c655f

SHA1 от 24

4d134bc072212ace2df385dae143139da74ec0ef

SHA256 от 24

c2356069e9d1e79ca924378153cfbbfb4d4416b1f99d41a2940bfdb66c5319db

SHA384 от 24

ac379cd723f549e2410050ae58541ca19f0cafbff2e83b2cbf07b5a4e20d1aa3f8060bf3c6d62980380323ba46a0a8fe

SHA512 от 24

c0033b5f5a4815a172984d64037dd49a8663fb8b3a71e47f11ecd332c8c3819c57e1631fdf46d66c6ff0e58763a61529fefcfa2a6675e186ee901e5452fedd94

GOST от 24

d66c7b83f5c75645297568fd536953232112a62fdffc5c47607ad187a9fdfab4

Base64 от 24

MjQ=

Математические свойства числа 24

Простые множители

2 * 2 * 2 * 3

Делители

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Количество делителей

8

Сумма делителей

60

Простое число

Нет

Предыдущее простое

23

Следующее простое

29

24е простое число

89

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Нет

Факториал

Да 4!

Регулярное число (Число Хемминга)

Да

Совершенное число

Нет

Полигональное число

девятиугольник(3)

Квадрат

576

Квадратный корень

4.8989794855664

Натуральный логарифм (ln)

3.1780538303479

Десятичный логарифм (lg)

1.3802112417116

Синус (sin)

-0.90557836200662

Косинус (cos)

0.424179007337

Тангенс (tg)

2.1348966977217

Фильмы про 24

24 кадра ужаса (24 cuadros de terror), 2008 год

Серийный убийца, называющий себя «Леди Киллер», заманивает жертв под предлогом съемки фильма. В процессе «работы» он их убивает, что и…

24 меры (24 mesures), 2007 год

Хелли, Дидье, Мэри и Крис — четверо молодых людей… Бессонная ночь двадцать четвертого декабря навсегда полностью изменит их судьбы. Хелли,…

24 часа (Trapped), 2002 год

Преступление, оставшееся для всех неизвестным, можно назвать идеальным. Супруги Черил и Джо Хики вместе с кузеном Джоем Марвином – трое…

Все фильмы о числе 24 (5)

Комментарии о числе 24

pro-chislo.ru

0, четное или нечетное число?

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, — 8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, — 19). НУЛЬ СЧИТАЕТСЯ ЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ.

Это никакое число!

оооооооооооооооо Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: …&#8722;4,-2,0,2,4,6,8… Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …&#8722;3,&#8722;1,1,3,5,7,9… Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2

0-чётное число

вопрос на засыпку

Конечно четное

Вроде ноль вообще не число

0 не относится к натуральным числам. Минимальное натуральное число — единица.

Однозначно 0 — четное число, удостоверился на пробном экзамене по математике.

0 — не натуральное! Натуральными считаются положительные, целые числа. И да, 0 — чётное, т. к. 0/2 = 0 (без остатка)

touch.otvet.mail.ru