Рубрика: Школьная жизнь

Конспект урока по математике «Сравнение чисел» 1 класс

Математика 1 класс. Тема урока: « Сравнение чисел».

Цели: 1. Знакомство со знаками <, >,=.

2. Формирование начальных представлений о сравнении чисел.

3. Развивать умения наблюдать и сравнивать, сопоставлять, анализировать, проводить простейшие обобщения.

4. Развивать математическую память и речь, творческую активность, познавательную самостоятельность.

5. Пробуждать познавательный интерес, развивать навыки сотрудничества при работе в парах.

Ход урока.

1.Организация начала урока.

— Прозвенел уже звонок.

Начинается урок.

Чему мы учимся на уроке математики? (считать, решать)

2.Устный счет. Актуализация опорных знаний.

Мы сегодня отправимся с вами в путешествие. А вот на чём вы мне сейчас скажете. Включается звук поезда.

— Усаживаемся поудобнее в вагончик. Все сели, никого не забыли. Отправляемся. Включаем песенку паровозик из Ромашково

— Посмотрим, кто нас встречает? Лошадка не умеет считать, но очень хочет научиться. Давайте поможем лошадке считать

Итог: Молодцы! Я вижу, вы умеете считать, и думаю, что лошадка наша довольна и тоже скоро научиться считать.

Раздаю цветочки тем кто у доски и тем кто работает на уроке

Физминутка.

— дем дальше в нашем паровозике

4. Знакомство с новым материалом. Создание проблемной ситуации.

— Некоторые из вас получили цветочки, а кто любит прилетать на цветочки? (Пчёлки)

— На лесной опушке где едет наш паровозик тоже растут цветы Пчелки очень любят сладкий сок – нектар. Они летят к цветам за нектаром. Сравните количество цветков и количество пчел. (Пчел больше чем цветков)

— Как вы узнали? (пересчитали, пары).

Какой математический знак поставим между числами?

— Равно.

-А тут прилетела ещё одна пчёлка, сколько пчёл стало?.

— Сравните количество пчел и цветков.

3 и 2 Пригласить записать числа на доске

— Можно поставить между ними знак = ? НЕТ.

— Можно по записи сказать, какое число больше, а какое меньше? А как это записать? — Какая возникла проблема? (Нужен другой знак, нужно придумать другой значок).

— Мудрые ученые придумали знаки «больше», «меньше» > <

— А запомнить эти знаки нам поможет утенок Тимка. Посмотрим, на что похожи знаки?

— На клювик утенка.

Как вы считаете, к какому числу откроет клюв Тимка ?

— К большему.

-Это знак меньше. Название знаку дает число, которое стоит слева.

5. Первичное закрепление.

Работа с учебником.

— Откройте рабочую тетрадь на С. 54,55. Выполните задание с пчёлками, кастрюльками

Работа со слайдами на доске. Приглашаю детей работа индивидуаьная, работа в парах попробуйте показать знак неравенства на местах в парах.

6. Работа на листочках в парах

№1Работа в парах.

5 6 7 3 6 0

3 7 9 7 2 9

С проверкой на доске

— Наше путешествие подошло к концу. Давайте сядем и прокатимся с нашим паровозиком

— Мысленно ответьте на вопрос : Как я работал на уроке? Как я отвечал?

Как я старался? Какое у меня было настроение?

Все те кто заработал цветочки на уроке смогут их обменять на маленькие подарочки

infourok.ru

Урок по математике на тему «Сравнение» (1 класс)

Предмет: математика (УМК «Школа XXI века»)

Класс: 1

Тема: Сравнение чисел

Тип урока: открытие нового знания

Цель: создать условия, для сравнения выражая результаты сравнения словами «больше», «меньше».

Планируемые результаты:

Предметные:

Сравнивает числа до 20, выражая результаты сравнения словами «больше», «меньше».

Различает место числа при счете.

Метапредметные:

Познавательные: Осуществляет анализ с выделением признаков

Осуществляет сравнение по заданным критериям.

Осуществляет логическое действие обобщение

Регулятивные:

Планирует последовательность учебных действий в соответствии с поставленной задачей.

Оценивает учебные действия, применяя самооценку и взаимооценку.

Коммуникативные:

Слушает и вступает в диалог, как с учителем, так и со сверстниками

Планирует и согласованно выполняет совместную деятельность

Личностные:

Проявляет интерес к учебной деятельности.

Оборудование: учебник математики 1 класс часть 2, рабочая тетрадь часть 3, карточки со словами «математика», «рисование», иллюстрации с изображением яблок и груш,

ХОД УРОКА

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Актуализация

На доске рисунок: две тарелки, на одной 6 груш, а на другой 5 яблок).

— Посмотрите на доску. Что скажите?

— Как вы узнали?

— Как по-другому это можно сделать?

— яблок больше чем груш

— посчитали

— Сравнить провести ( стрелочками)

2. Проблематизация

— На доске картинка с ягодами и число 7.

— Сравните привычным для вас способом

— А почему?

-Мы можем сравнить множество и число?

— Этот способ знаем?

— Что здесь будем сравнивать?

— Может кто-то предложит другой способ?

— Нет, не можем

-Можем, но это долго, неудобно

— нет

— Количество предметов превратить в число превратить в число или число превратить в количество предметов

— Счет, надо посчитать предметы

3. Целеполагание

— Чем мы сегодня будем заниматься?

— Что для этого надо?

— Как доказать, что число 8 больше числа7?

Какой вывод можете сделать?

Правильно

— Мы будем учиться сравнивать числа

— Счет

— вывод своими словами

4. «Открытие» нового знания (способа, приёма)

— Где мы можем узнать правильно ли мы сделали вывод?

— Откройте учебник на с.84, что надо найти?

— Итак ребята, что мы с вами делали?

— Что мы узнали?

— А чтобы хорошо научиться сравнивать числа что для этого надо делать?

— Я предлагаю вам потренироваться

открыть учебник на с.84 № 3

— Давайте все вместе по цепочке выполним это задание.

— Читаете задание и объясняете

— Какие слова вы сейчас использовали?

— А теперь работать будите в паре. Найдите на с 85 № 4, прочитайте задание и объясните друг другу.

— Поднимите руки те, у кого сосед правильно и доступно вам объяснил это задание.

— спасибо

— В учебнике

— рубрику «Обрати внимание» Читают правило в учебнике

— Сравнивали числа

— При помощи счета. Чем раньше мы называем число, тем оно меньше, а чем позже называем число, тем оно больше

— Поупражняться….

Читают задание, объясняют

— 13 меньше, чем 19, потому, что 13 при счете стоит перед 19 и т.д.

— Больше, меньше

5. Обобщение способа

Работаете в тетради на печатной основе

Откройте с.58 № 1

— Прочитайте задание, которое предлагают вам авторы.

— Поднимите карандаш зеленого цвета кто считает, что выполнит задание самостоятельно?

— Поднимите карандаш желтого цвета, кто умеет, но еще не уверен в себе, задание выполнит, но нужна помощь

— Поднимите карандаш красного цвета, кому нужна помощь, кто не сможет выполнить задание

— Кто смелый идет работает на доске (1 человек работает на доске.)

— Давайте проверим, как вы справились с работой? По одному отвечают.

— Начертите пятиуровневую шкалу оценивания на полях слева

— По каким критериям вы будите оценивать свою работу

— Давайте решим за что поставите высокий уровень, выше среднего, средний, ниже среднего

— Поднимите руку у кого все правильно и вы поставили себе высокий уровень.

— Что надо делать тем кто еще допускает ошибки?

-В этом задании нужно сравнить числа. Записать слова «больше», «меньше»

— правильность

— тренироваться…..

— Давайте вернемся к началу урока

— Что мы должны были научиться сравнивать?

— Что мы узнали сравнивая числа?

— Научиться сравнивать числа

при помощи счета

— Если при счёте число идёт раньше, то оно меньше, а если позже, то оно больше.

infourok.ru

Конспект урока по математике на тему «Сравнение чисел» 1 класс

Урок математики

тема: Сравнение чисел

класс: 1б

Учитель: Ходаковская М.В.

Цели: уметь сравнивать числа, выражая результат сравнения словами «больше», «меньше».

Формирование УУД:

1. Регулятивные УУД:

— формулировать тему и цель урока с помощью учителя;

— учиться высказывать своё предположение на основе работы материала учебника;

— определять успешность выполнения задания в диалоге с учителем.

2. Познавательные УУД:

— наблюдать и делать выводы.

3. Коммуникативные УУД:

— слушать и понимать речь своих товарищей, умение работать в парах, вести диалог.

4. Личностные УУД:

— формирование положительной учебной мотивации, навыков самооценки, понимание смысла учебной деятельности.

Ход урока

1.Организационный момент.

Сели тихо девочки, мальчики.

Руки? На месте!

Ноги? На месте!

Локти? У края!

Спина? Прямая!

2.Актуализация знаний. Устный счёт.

1. Прямой и обратный счёт от 0 до 20 и от 20 до 0.

2. Игра «Будьте внимательны!».

Вот жаворонок с нивушки взлетел и полетел.

Вы слышите, как весело он песенку запел?

Две лодочки по озеру широкому плывут,

Гребцы сидят на лавочках и весело гребут,

Три зайца от охотника прыжками в лес бегут.

Скорей, скорее, зайчики, в лесу вас не найдут!

Четыре скачут лошади, во весь опор летят,

И слышно, как по камушкам подковы их стучат.

– Сколько было жаворонков на нивушке?

– Сколько лодочек плыло по озеру?

– Сколько зайцев спряталось от охотника?

– Сколько скакало лошадей?

3.Постановка темы и цели урока.

3. Устное решение выражений.

4 + 3 11 – 2 13 – 9

11 – 3 8 + 2 10 – 5

5 + 7 12 – 1 12 – 6

-Каждому полученному результату соответствует определённая буква. Расположив результаты в порядке возрастания, вы определите тему урока.

(сравнение чисел)

-Чем мы будем заниматься на уроке? Чему научимся?( познакомимся с разными способами сравнения чисел, научимся сравнивать числа, узнаем правила сравнения чисел)

4. Изучение нового материала.

1 способ- с помощью рисунка.

Работа по учебнику стр. 84 №1

-С помощью чего мы смогли сравнить количество шаров? ( с помощью рисунка)

2 способ- с помощью воспроизведения счёта

-Назовите числа от 1 до 5

-Какое число назвали раньше 3 или 5?

-Значит какое из этих чисел меньше 3 или5?

-Какое правило из этого следует? Как вы думаете? (ребята высказывают свои предположения)

— Проверим ваши предположения по учебнику на стр. 84 (меньше то число, которое называем при счёте раньше, а больше то число, которое при счёте называем позже)

3 способ- с помощью линейки

-Положите перед собой линейку.

– Поднимите левую руку.

– Назовите числа, которые расположены левее числа 7. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.)

– Эти числа меньше числа 7, потому что расположены левее числа 7.

– Найдите числа 23 и 6; число 3 меньше 6, так как 3 расположено левее.

– Какое число меньше: 7 или 9, 11 или 15, 18 или 20 и почему?

– Поднимите правую руку.

– Назовите числа, которые расположены правее числа 7. (8, 9, 10 …)

– Эти числа больше 7, так как расположены правее.

– Какое число больше: 11 или 15, 1 или 2, 4 или 12, 19 или 20 и почему?

5. Физминутка.

Если вы согласны- хлопаете в ладоши, не согласны- топаете.

-Число 3 больше 0?

-Число 6 меньше 5?

-Число 9 больше 8 и т.д

6. Закрепление изученного материала.

— Откройте тетради. Пропишите правильно и красиво по образцу числа.

Отступите 2 клеточки вниз, выполните задание №3 в тетради ( ребята по цепочке выходят к доске , записывают неравенство и объясняют проговаривая правило сравнения)

-Работа в паре стр. 85 №4 Обмениваются тетрадями, сверяют решение с правильным решением на доске.

Самостоятельная работа по карточке.

7. Итог урока.

– Что нового вы узнали о числах?

– Какие открытия сделали для себя при изучении математики?

-Какие правила при сравнении чисел вы запомнили?

8. Рефлексия

— Если вы довольны своей работой на уроке, вы весь урок размышляли, думали, то поднимите большой палец вверх.

-А если вы мало работали , не активно, вам было сложно, то опустите большой палец вниз.

infourok.ru

Конспект урока по математике «Сравнение чисел» 1 класс

Для записи результата сравнения в математике используют разные знаки — символы.

< — меньше

> — больше

= — равно

Посмотрите на доску. Чего меньше? Яблок меньше, чем груш. Значок < — это знак меньше. Запись читают так(два меньше трех)

Чего больше?

Какое число больше: 2 или 3?(знак >) Записываем так.3>2.

На что похожи знаки больше, меньше?

А еще они похожи на клювик птички. Эта птичка очень прожорливая. Она всегда раскрывает клювик на большее число.

Галка счёт ведёт зерну:

Сколько, где и почему.

Если эта кучка больше –

Птичка шире разевает рот.

Много пищи – будешь больше,

Мало – все наоборот.

Там, где меньше, — есть не хочет,

Клюв захлопнет и молчит.

«Кто мне голову морочит?»

Про себя она твердит.

А когда не знает галка,

Из какой же кучки брать,

Нам с тобою галку жалко:

Вот как трудно выбирать.

Ведь и тут, и там зерно.

Одинаково, равно.

А ещё есть второе правило. Возьмите числовую линейку.

Числа можно сравнивать с помощью шкалы линейки. Из двух чисел меньше то число, которое на шкале линейки написано левее, а больше то число, которое написано правее. Левее нуля на шкале линейки нет ни одного числа. Поэтому нуль меньше любого другого числа, а любое число больше нуля.

Физминутка

Раз – подняться, подтянуться,

Два – согнуться, разогнуться,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать,

Шесть – за парты сесть опять.

Гимнастика для глаз « на дверь, на потолок, на окно, на пол»

«Дыхательная гимнастика»

— Скажите, а для чего нам нужны эти знаки? Ведь мы можем записать словами?или это долго?

-Чтобы сравнивать числа нам нужны определенные правила.

Чтобы сравнить числа, надо:

1. Прочитать число в левой части записи.

2. Прочитать число в правой части записи.

3. Сравнить выражение и оформить его с помощью знака:

— если число в левой части больше, то ставим знак >;

— если число в левой части меньше, то ставим знак <;

— если числа равны, то ставим знак =.

Например: 3 яблока меньше 4 яблок, 3 < 4

Давайте откроем учебник на 66 стр.

Послушайте правило. Посмотрите на рисунки. Что вы видите?

№1 Вопросы? Открываем тетради зеленые, отсчитываем 4 клетки в пятой будем писать. Как мы должны записать?(2 больше 1)

№2 Почему стоит знак меньше? 2 и 3 рисунок сделайте сами в тетради

стр. 54 в раб тетради№1,2,3

infourok.ru

Математика. Учебники 1 класса. Сравнение.

Надежда Владимировна Братчикова

В интернете есть статьи, авторы которых сравнивают программы 1 класса по разным учебникам и приходят в уныние. Сравнивать учебники можно по разным критериям: например, пропорционально — сколько страниц одного учебника занимает другой учебник.

Приведу своё сравнение двух программ 1-го класса по следующим учебникам:

• А.С. Пчёлко и Г.Б. Поляк: АРИФМЕТИКА. Учебник для первого класса начальной школы. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР. Москва, 1959
  
• Школа России. М.И.Моро, С.И.Волкова, С.В.Степанова. Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. В двух частях. Москва «Просвещение», 2011.
  
• Школа России. М.И.Моро, С.И.Волкова, С.В.Степанова. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. В двух частях. Москва «Просвещение», 2012.
  

За 52 года, которые лежат между учебниками, программа начальной школы с 3-х лет увеличилась до 4-х. Т.е. с 27 учебных месяцев (сентябрь-май) до 36 месяцев.

Можно предположить, что материал учебника 1 класса А.С.Пчёлко = материал учебника 1 класса (1 и 2 части) М.И.Моро + материал учебника 2 класса (1 часть) М.И.Моро.

Итак, чему учились дети на уроках математики в 1959 году:

1. Счет в пределах 10-ти («Прибавить и отнять 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) + задачи («Мама принесла с огорода 4 корзины с морковью, а Таня 2 корзины. Сколько всего корзин с морковью принесли они?»)

2. Измерения (в порядке введения в учебнике):

— метр («Измерьте длину класса шагами. Измерьте длину класса метром. Измерьте ширину классной комнаты шагами, а затем метром»)

— килограмм («Миша помог бабушке донести с рынка 3 кг картофеля и 2 кг моркови. Поставьте вопрос и решите задачу»)

— литр («Колхозница налила в один бидон 12 л молока, а в другой на 4 л меньше. Сколько литров молока она налила в оба бидона?»)

— сантиметр («Измерьте длину своего платья, длину рукава, как это делают портнихи»)

3. Второй десяток («Разложите 14 палочек в две кучки: 4 палочки в одну кучку, а остальные — в другую. Сколько палочек в другой кучке?»)

4. Сложение без перехода через десяток («В библиотеку записались сначала 7 учеников первого класса, а потом ещё 12. Поставьте вопрос и решите задачу»)

5. Увеличение и уменьшение на несколько единиц («У Пети 6 книг, а у Миши на 4 книги больше/меньше. Сколько книг у Миши?»)

6. Вычитание однозначных чисел без перехода через десяток («Столяр должен починить 18 стульев. Он починил 6 стульев. Сколько стульев ему осталось починить?»)

7. Задачи в 2 действия («Во дворе играли 10 мальчиков. Потом пришли ещё 5 мальчиков, а 3 мальчика ушли домой. Сколько мальчиков стало во дворе?»)

8. Сложение и вычитание с переходом через десяток («У мальчика было 8 книг. Ему купили ещё 5 книг. 3 книги он дал читать товарищам. Сколько книг осталось у мальчика?»)

9. Вычитание двузначных чисел («В городе надо было построить 18 домов. 16 домов уже построили. Сколько домов осталось ещё построить?»)

10. Умножение/деление на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 («Составьте задачу, которая решалась бы так: 1) 9лх2 = 18л. 2) 18л+ 2 л = 20 л»)

11. Первая сотня («Отложите 4 десятка палочек, 7 десятков, 3 десятка, 9 десятков»)

12. Сложение, вычитание, умножение и деление круглых десятков («В январе глубина снега была 40 см, а в феврале на 10 см больше. Какой глубины был снег в феврале?»; «В классе 40 учеников. В библиотеку записались 30 учеников. Сколько учеников из класса ещё не записалось в библиотеку?»; «3 мальчика сделали каждый по 20 колышков для огородных растений. Сколько всего колышков сделали мальчики?»; «Для работы на школьном огороде 40 учеников разделились поровну на 4 бригады. Сколько учеников было в каждой бригаде?»)

Задача на повторение: «Летние каникулы продолжаются 3 месяца. Сколько книжек можно прочитать во время каникул, если прочитывать в месяц по .. . книг? (Дополните и решите задачу)»

Чему учатся дети на уроках математики Школы России:

1. Числа от 1 до 10 (и 0).

2. Точка. Прямая, кривая, отрезок, луч, ломаная.

3. Равенство. Неравенство («У кого больше? У кого меньше?)

4. Многоугольники (треугольник, квадрат).

5. Измерения (в порядке введения):

— сантиметр

— килограмм

— литр

— дециметр

6. Уменьшение и увеличение на несколько единиц

7. Сложение и вычитание до 10 («Пока Миша с мамой ждали свой поезд, прошло 3 товарных поезда и 2 скорых. Сколько всего поездов прошло?»). Слагаемые и сумма.

8. Задача: условие, вопрос, решение, ответ («В коробке 6 карандашей, на столе ещё 2 карандаша. Сколько всего карандашей?»)

Эта задача, с ответом, демонстрирует детям тему: 6 + 2 = 8 

Ответ: 8 карандашей

Непонятно, почему задан вопрос о том, сколько ВСЕГО карандашей (полагаю, что ОЧЕНЬ много), а считаются только те карандаши, которые лежат в коробке и на столе задачи?

А потом дети вырастут, и к сформулированным ими задачам/определениям будут придираться. 

«Известен случай, когда абитуриенту заявили, что его определение окружности неверное. Он сформулировал его так: «набор точек, равноудаленных от данной  точки». Правильным ответом, по мнению экзаменатора, было «набор всех точек, равноудаленных от данной точки». В другой ситуации ответ на тот же самый вопрос посчитали некорректным, так как кандидат забыл упомянуть, что расстояние должно быть ненулевым».

Френкель Э. Любовь и математика. Сердце скрытой реальности. – СПб.: Питер, 2016. – с.52

Вот ещё прекрасная, считаю, задача:

mathlife.ru

Математика 1 класс «Сравнение чисел»

Сценарий урока

Предмет: Математика

Класс: 1 класс

Тема: «Сравнение чисел»

Вид урока: изучение нового материала

Программа: Развивающая программа XXI века Н.Ф. Виноградовой

Методика: урок с деятельностной направленностью

Цель: научить детей сравнивать числа, выражать результат сравнения словами «больше» и «меньше»         

Задачи:

формировать у учащихся универсальные учебные действия:                                              

 Познавательные УУД:

строить небольшие математические высказывания в устной форме;

под руководством учителя осуществлять обобщение, выводы;

добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Регулятивные УУД:

управление своей деятельностью, контроль и коррекция, инициативность и самостоятельность;

формировать умение оценивать совместно с учителем или одноклассниками результат своих действий;

Личностные УУД:
формировать положительное отношение к школе и учебной деятельности, к изучению математики;

формировать представление о значении математики в жизни человека;

формировать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Коммуникативные УУД:

принимать участие в работе парами;

понимать задаваемые вопросы, слушать и понимать речь других;

выражать свою точку зрения;

адекватно воспринимать другое мнение и позицию.

Оборудование: ИКТ и мультимедийная система, интерактивная доска, компьютер, учебник1 класса, карточки со смайликами.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности – 1 мин

Прозвенел звонок для нас!

Все зашли спокойно в класс.

Встали все у парт красиво,

Поздоровались учтиво.

— Присаживайтесь тихонечко, ребята.

— Настроились на работу!

(слайд 1)

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в учебном действии – 8 мин

— Ребята, К нам сегодня на урок пришел гость, отгадайте, кто это?

— В шляпе с круглыми полями
И в штанишках до колен
Занят разными делами,
Лишь учится ему лень.
Кто он, быстро отгадай-ка,
Как зовут его?
(Незнайка.)

— Конечно, это Незнайка. (слайд 2)

— Наш гость сегодня приготовил для вас задание, посмотрите: (слайд 3)

— Перед вами числа, их нужно расставить в порядке увеличения. Так, кто готов, Называйте.

(выполнение задания)

1 2 3 4 5 6 7 8

— Ребята, получился ли у нас числовой ряд? (да)

— Можно ли дополнить этот числовой ряд? (да)

— Дополните, назвав числа которые стоят после 8. (дети отвечают)

— Молодцы!

— Посмотрите, какие числа стоят слева от 5? (1,2,3,4)

— Назовите соседей числа 4? (3 и 5)

— Верно! А сколько всего чисел перед вами? (8)

— Хорошо!

— Ой, что произошло, Цифры поменяли свой цвет и разделились на две группы.

Посмотрите внимательно, и скажите, по какому признаку числа разбиты на две группы?

(дети отвечают, если догадались)

3. Выявление места и причины затруднения — 1 мин

— Почему у нас возникли трудности при ответе, как вы думаете?

— Ребята, чтобы ответить на вопрос, нужно уметь сравнивать числа. Сегодня у нас с вами такая цель урока: научиться сравнивать числа и выделять признак сравнения.

НАДО: как вы думаете, пригодиться ли вам в жизни умение сравнивать числа?

ХОЧУ: хотите ли вы этому научиться?

МОГУ: сможем ли мы придти к поставленной цели?

(ответы детей)

4. Целеполагание и построение проекта выхода из затруднений — 10 мин

— Вы умеете решать, вычитать и умножать,

А умеете ли вы, ребята, отдыхать?

— Ребята, давайте встанем, немного отдохнем.

(ребята встают и повторяют движения за учителем)

Физ. минутка: На качелях две Елены,

А с мячем Иван пришел.

И Ирина прибежала

На скакалке поскакать.

Валя, Зина и Егор –

Вот и в сборе весь наш двор.

А теперь скажите мне,

Сколько деток во дворе? (7)

— Верно! А посмотрите, где находится число 7 в нашем числовом ряду? Нашли? (ответы детей)

— Давайте хором сосчитаем до 7 (хоровой счет)

— Сможете ли вы назвать числа, которые меньше 7 (1,2,3,4.5,6)

— Хорошо!

— Обратите внимание, где эти числа стоят? Мы их называем до семи, или после?

(до семи)

— Как вы думаете, эти числа будут меньше или больше восьми? (меньше)

— Правильно!

— А почему? Кто сможет объяснить? (дети делают вывод, учитель помогает)

Вывод: из нескольких чисел меньше то число, которое называют при счете раньше, а больше то число, которое называют при счете позже.

5. Реализация построенного проекта – 10 мин

— Можете ли вы теперь ответить, какие две группы выделены цветом?

(ответы детей)

— Верно, числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 меньше остальных: семи и восьми, потому что стоят слева. А числа 7 и 8 больше 1,2,3,4,5,6, потому что стоят справа.

— Молодцы!

— Сосчитайте, сколько цифр в первой группе? (6) (слайд 4)

— А во второй? (2)

— В какой группе больше цифр, в первой или во второй? (в первой)

— А каким знаком в математике показывают какое число больше или меньше другого? (дети отвечают)

— Верно, молодцы!

6. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи — 5 мин

— Все ли ясно вам ребята?

— Вот сейчас и посмотрим! Переходим к работе с учебником. Откройте пожалуйста учебники на 84 странице и найдите первый номер. (ребята открывают учебники)

(слайд 5)

— Как вы знаете, можно сравнивать не только числа, но и предметы. В номере первом, у девочке в руках шарики. Что вы можете сказать про шарики? (разного цвета и количества. Красных шаров меньше чем синих.)

— Молодцы! Давайте откроем тетради и запишем сегодняшнее число. Поставьте номер первый. Возьмите два цветных карандаша. Какие цвета нам понадобятся? (красный и синий)

— Нарисуйте у себя в тетради столько синих шаров. Сколько у девочки в руке. Нарисуйте красные шары. Сколько всего шаров? (7)

— Как вы узнали? (посчитали)

— А можно, не считать, а определить на глаз, каких шаров больше? (да)

— Переходим на 85 страницу к номеру четвертому. Прочитайте внимательно задание, что нужно сделать? (ребята читают задание)

— Обсудите пожалуйста в парах свой ответ. Кто будет готов, подаст сигнал – поднимет руку. (обсуждают)

— Вам нужно было сравнить числа: 10 и 12, 14 и 11 (слайд 6)

— А если два одинаковых числа, какой знак поставим? ( = )

— Молодцы, верно!

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону — 5 мин

— Посмотрите № 5. Прочитайте внимательно задачу и рассмотрите рисунок. Обсудите.

— Кто готов ответить? (ответы детей)

— Как это можно записать? (15 < 18)

— Молодцы, и последнее задание — № 6 каждый выполнить самостоятельно. Внимательно прочитайте задачу, подумайте и запишите решение в тетрадь. Не забудьте сделать рисунок к задаче! (ребята выполняют задание)

— Давайте посмотрим, что нам известно из задачи? (7 апельсинов и 15 лимонов)

— Что нужно узнать? (Каких фруктов меньше)

— Как узнать? (ответы детей)

— Давайте проверим: (слайд 7)

8. Включение в систему знаний и повторение – 2 мин

— Хорошо поработали, нужно и отдохнуть! Встаньте пожалуйста все. (обучающиеся встают и выполняют задание учителя)

Физ.минутка: Сколько зайчиков у нас, (слайд 8)

Столько и подпрыгнем раз.

Сколько видите флажков,

Столько — головой кивков.

Сколько точек будет в круге,

Столько раз поднимем руки.

— И наш урок хочется закончить одной хорошей пословицей:

Одна голова — хорошо, а две лучше. (слайд 9)

— Как вы думаете. Почему именно эту пословицу я для вас выбрала?

— Кто сможет объяснить смысл этой пословицы? (ответы детей)

9. Рефлексия— 2 мин

— Вот и подошел наш урок к концу. За эти 45 минут урока, что вы узнали нового? (ответы детей)

— Какие трудности вам встретились? (ответы детей)

— Интересно ли было работать вам сегодня на уроке? (ответы детей)

— Сейчас я предлагаю вам оценить свою работу на уроке по пяти бальной шкале. У каждого на парте с боку находятся смайлики. Если вам все понравилось на уроке и не было трудностей – довольный смайлик. Если возникали трудности – то неуверенный. А если не понравилось и ничего не получалось – не довольный тогда уж. (слайд 10)

(Выстраиваем школу самооценки. Дети наклеивают смайлики на приготовленный ватман. Подведение итога.)

10. Домашнее задание. – 1 мин

— Ребята, при желании, у вас есть возможность дома закрепить свои знания по сегодняшней теме. Работаем в печатной тетради стр. 58

— Подошел урок к концу,

Тема нам понятна.

Все ребята молодцы –

Отвечали внятно! (слайд 11)

— Спасибо вам ребята за чудесную работу, а гостям за внимание! (слайд 12)

infourok.ru

Урок математики в 1 классе : « Сравнение чисел»

Урок математики в 1 классе : « Сравнение чисел»

Предмет: математика.

Учитель: Урумова А.В.

Класс: 1 по программе: «Начальная школа XXI века»

Цели: научить детей сравнивать числа, выражая результат сравнения словами «больше» и «меньше»; сформулировать правила сравнения чисел; практиковать в решении примеров; развивать наблюдательность; прививать навыки самостоятельной деятельности.

Оборудование: учебник, тетрадь №3, карточки, компьютер.

Технологическая карта урока.

Этап

Цель

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Результат

1.Организационный момент. Создание психологического комфорта.

Включение учащихся в деятельность на личностно – значимом уровне

Вот звонок нам дал сигнал,

Поработать час настал.

Даром время не теряем

И работать начинаем.

Настал новый день. Я улыбнулась вам, а вы улыбнитесь друг другу. И подумайте: как хорошо, что мы сегодня здесь все вместе. Мы спокойны и добры, приветливы и ласковы. Мы все здоровы. Глубоко вдохните и выдохните. Выдохните вчерашнюю обиду, неудачи, беспокойство. Забудьте о них. Вдохните в себя тепло солнечных лучей, запахи весны. Я желаю вам хорошего настроения, успеха и приглашаю всех в царство математики.

Девиз в этом царстве такой: Математика – великая страна , нам для творчества дана.»

— Объясняют значение пословицы.

-да.

Дети настраиваются на урок и получение новых знаний

2. Актуализация опорных знаний и мотивация

Физминутка для глаз

Повторение изученного материала, необходимого для «открытия» нового знания и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

На экране: слайд 3 :числа от 0 до 20 в беспорядке.

слайд 4:

4 -0, 3 +2, 9 -1.

13 – 3, 2 +2, 2 +3.

10 – 6, 9 + 1, 1 +1,

7 +2, 5 -1

Слайд 5: работа с геометрическим материалом.

Устно дети называют числа в прямом порядке от 0 до 10 и обратном. Потом от 11 до 20 в прямом и обратном порядке.

Дети называют геометрические фигуры.

Дети называют выражения с ответом 4

3.Постановка учебной задачи

Умение увидеть проблему

Слайд 6: Пересчитайте синие шары. Сколько их? Пересчитайте красные шары. Сколько их?

Скажите что мы будем делать на уроке?

3

4

Сравнивать числа.

Осознание детьми проблемы.

4. «Открытие» нового знания.

Организовать деятельность учащихся по «открытию» нового знания.

Слайд7:Сравните числа 5 и 8, 7 и 10

4 и 6.Какое из них меньше , а какое больше?

Слайд 8:Правило : Из двух чисел меньшее то число , которое называют при счёте раньше, а большее то число , которое называют при счёте позже.

Меньше 5, потому что его называем при счете раньше 8.

Больше 8 , потому что при счете его называют после 5

Выявление способов решения поставленной задачи.

5.Первичное закрепление

Релаксация

Проговаривание нового знания

Слайд 9: работа в тетради: сравни числа.

1 ряд : какое число больше : 13 или 19, 20 или 15, 5 или 8.

2 ряд : какое число меньше: 11 или 14, 13 или 9, 17 или 20.

3 ряд: сравни числа: 10 и 12, 14 и 11.

Слайд 10: Кто набрал больше огурцов?

Слайд 11: Решение задачи № 6 стр. 85 учебника в тетради.

Учителем задаётся вопрос : на сколько меньше ?

Большие числа подчёркивают красным карандашом, меньшие синим.

Дети обосновывают ответ.

Записывают решение в тетради. Один ученик у доски.

Дети сами выбирают уровень сложности задания.

6.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Уметь применять знания на практике

Слайд 12: Выполните в тетради №3. с. 58 №1- самостоятельно.

Сравните свою работу с эталоном:

Оцените себя в тетради.

— + справился.

— +- сомневался

— — не справился

Выполняют самостоятельно номер.

Индивидуальная деятельность детей.

7.Включение нового знания в систему знаний.

Повторение и закрепление ранее изученного материала.

Слайд 13:Работа в паре по карточкам задание № 16 стр. 87 учебника.

Дети решают примеры. Подчеркивают меньшие числа синим карандашом, большие красным.

Включение всех детей в самостоятельное решение примеров на повторение.

8.Рефлексия деятельности

Осознание учащимися своей учебной деятельности.

Что нового вы узнали о числах?

С каким правилом познакомились?

Для чего нужно это правило?

Так как сейчас весна, и на деревьях скоро появятся первые листочки. Я предлагаю вам одеть деревце в листочки.

Если вы всё поняли прикрепите зелёный листик, если что – то не ясно – жёлтый, если ничего не поняли – красный.

Числа можно сравнивать.

Подвести итог проделанной работы

infourok.ru

Умножение дробей. Деление Дробей.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.

Для того чтобы умножить две дроби надо:

• перевести дроби в неправильные;
• перемножить их числители и записать результат в числитель;
• перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель;
• если можно сократить;

Пример 1. Умножить \(\frac{7}{8}\) и \(\frac{5}{6}\):

При делении дробей вторую дробь нужно перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем выполнить умножение:

Две дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\).

Пример: 3/4 и 4/3 являются взаимно обратными, так как в результате дают \(1\):

Также стоит помнить, что на ноль делить нельзя.

Задача 1. Умножить \(2\frac{5}{7} \) и \(2 \frac{8}{9}\).

Решение.

\(\frac{19}{7}*\frac{26}{9}\)=\(\frac{494}{63}\)\(=7\frac{53}{63}\)

Ответ: \(7\frac{53}{63}\).

Задача 2. Разделить \(2\frac{5}{6}\) и \(\frac{3}{4} \).

Решение. 

\(\frac{17}{6}:\frac{3}{4}\)\(=\frac{17*4}{6*3}=\frac{17*2}{3*3}=\frac{34}{9}=3\frac{7}{9}\)

Ответ: \(3\frac{7}{9}\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

«Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Реферат

На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Костанай

2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории обыкновенных дробей ………………………………………..3

2. Действия с обыкновенными дробями …………..…………………………..5

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей …………………………..5

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей ………………………….7

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей ……. 10

4. Список литературы ……………………………………………………………11

1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21: 5/21

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, — постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса — “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель — снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Обыкновенная дробь – это число вида

2. Действия с обыкновенными дробями.

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, т.е.

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, т.е.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

mirznanii.com

Умножение и деление дробей | umath.ru

Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

Это правило записывается так:

если

Решение.

Дроби и называются обратными друг другу. Их произведение равно 1.

Деление дробей

Пусть частное от деления дроби на дробь равно Тогда по определению частного верно равенство

Найдём это Для этого умножим обе части этого равенства на дробь Получим

То есть

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

← назад | далее →

umath.ru

Тренажёр по математике (5 класс) на тему: Умножение и деление десятичных дробей

nsportal.ru

Деление десятичных дробей, умножения десятичных дробей

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.

Перемножим дроби 13,2% и 0,2. Выполнив умножение, не обращая внимания на запятые, получим: . Отделим запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе, то есть две цифры .

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждый из которых равен данному десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1. умножить его на это число, не обращая внимания на запятую;
2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Пример:

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Деление десятичных дробей

Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Деление на десятичную дробь

Деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:
1) в деленному и делителе перенести запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число;
3) если в деленному не хватает знаков, то справа приписывают нули.

Правило является следствием основного свойства дроби (черту дроби заменяем делением): числитель и знаменатель дроби можно умножить на отличное от нуля число (расширить дроби).

В данном случае умножаем на 10,100,1000 и т.д.

Например,

Короче можно записать так:

Перенесли кому в деленному 2,5 и в делителе 0,5 на столько знаков, сколько их после запятой в делителе 0,5, то есть на один знак.

Деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в нем запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит перед единицей в делителе (или умножить делимое и делитель на 10, 100, 1000і т.д.). Если цифр не хватает, сначала надо приписать в конце десятичной дроби нули (сколько необходимо).

Рассмотрим примеры деления на 0,1; 0,01; 0,001, применив правило деления на десятичную дробь:

• в деленному и делителе переносим запятую вправо на столько цифр,
  сколько их после запятой в делителе;
• после этого выполняем деление на натуральное число.

cubens.com

Умножение и деление дробей | Учеба-Легко.РФ

Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь — это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.

Умножение и деление дробей

Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.

Например:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25  Важно помнить это свойство дроби при делении.

Умножение и деление с целым числом

Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.

Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3

                      14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Как видно  в этих примерах всё сводится  к обычному умножению или делению дробей.

Умножение и деление больших дробей

В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными

В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.

Покажем это на примере :

3

—

5

—     =     (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

7   

—     

2

Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.

Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.

Например :

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Пример довольно всё хорошо объясняет нам.

Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.

Например:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3)  = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств

Сокращение дробей при умножении и делении

Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь

Например:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = {Сокращаем на 2} = 3/10

Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор

3/10 = 0.3

Несколько полезных советов

Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:

1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.

2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.

3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.

uclg.ru

KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

В результате взаимодействия насыщенного раствора перманганата калия с 15%-м раствором гидроксида этого же металла (KMnO4 + KOH = ?) при кипячении реакционной смеси происходит образование средней соли манганата калия, воды и выделение кислорода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что простые вещества и вода на ионы не распадаются, т.е. не диссоциируют.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и кислород изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

Манганат калия представляет собой кристаллическое вещество темно-зеленого цвета. При нагревании разлагается. Устойчив в сильнощелочном растворе. Кристаллогидратов не образует. Проявляет окислительно-восстановительные свойства; разлагается водой (быстро — в кислотной среде) с образованием перманганата калия, твердого оксида марганца (IV) и гидроксида калия.

ru.solverbook.com

Na2SO3 + KMnO4 + KOH = Na2SO4 + K2MnO4 + h3O расставить коэффициенты

Записываем формулы исходных и конечных веществ:
Na2SO3 + KMnO4 + KOH = Na2SO4 + K2MnO4 + h3O.
Данная реакция окислительно-восстановительная, так как произошло изменение степеней окисления серы (повышение с +4 до +6) и марганца (понижение с +7 до +6). Составим электронные уравнения (баланс):

Поскольку отношение чисел электронов, принятых при восстановлении марганца и отданных при окислении серы, равно 1:2, то, складывая уравнения полуреакций восстановления и окисления, второе из них нужно домножить на 2. В молекулярной форме полученное уравнение имеет следующий вид:

Реакции на катион марганца :
— реакция с раствором щелочи или . Щелочи с катионами белый осадок гидроксида марганца (II), который на воздухе буреет вследствие окисления до с образованием осадка марганцовистой кислоты (или ).
— реакция окисления катионов до -ионов (характерная реакция). Эту реакцию проводят в кислой среде, при этом окисление сопровождается характерной переменой окраски раствора: почти бесцветные соединения марганец (II) окисляются в марганцовую кислоту фиолетово-розовой окраски. Практически реакцию проводят в азотнокислой среде в присутствии катализатора . В качестве окислителей чаще всего используют диоксид свинца, висмутат натрия, персульфат аммония.
— окисление катионов персульфатом аммония . Наблюдается окрашивание раствора в фиолетовый цвет. При проведении этой реакции в исследуемом растворе не должны содержаться хлорид-ионы (и другие восстановители), так как они восстанавливают ион до или даже до .

ru.solverbook.com

Nh4 + KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

В ходе взаимодействия аммиака с перманганатом калия в щелочной среде (Nh4 + KMnO4 + KOH = ?) образуется манганат калия, воды и выделяется азот. Степень окисления азота повышается, а марганца понижается.

Учитывая отношение чисел электронов, принятых при восстановлении марганца и отданных при окислении азота (равно 1:3), запишем уравнение в молекулярной форме с расставленными стехиометрическими коэффициентами:

Аммиак самый практически важный, хотя и не единственный гидрид азота. И сам аммиак, и соли аммония известны давно (среди солей аммония наибольшее значение имеют хлорид, нитрат, сульфат, карбонат и фосфат).
Аммиак образуется по реакции

в результате возникновения трех ковалентных связей между атомом азота и тремя атомами водорода.
Электронодонорные свойства аммиака проявляются и в его способности образовывать комплексные соединения с большинством металлов. Наиболее прочные аммиакаты дают переходные металлы. К числу таких координационных соединений относятся, например, комплексы , и др.
Аммиак обладает следующими физическими свойствами. Это бесцветный газ, в 1,7 раза легче воздуха. Критическая температура аммиака высокая (). Поэтому можно превратить в жидкое состояние действием высокого давления (прямым сжатием) без предварительного охлаждения, подвергая компрессии газообразный аммиак при обычной температуре.

ru.solverbook.com

NaNO2 + KMnO4 + KOH = ? уравнение реакции

Нитрит-ион относится к третьей аналитической группе анионов.

Нитриты хорошо растворимы в воде; нитрит серебра растворяется при нагревании. Анион бесцветен.

Реакции на нитрит-анион :

— реакция с сульфаноловой кислотой и -нафтиамином приводит к появлению красного окрашивания.

— в результате реакции с антипирином наблюдается ярко-зеленое окрашиваниенитрозоантипирина .

— разбавленные кислоты разлагают нитриты с выделением бурой двуокиси азота :

• реакция с иодидом калия. В слабокислой среде нитриты оксиляют ион до свободного йода:

— перманганат калия в кислой среде окисляет ион до иона .

В ходе нитрита натрия с перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой присутствием в реакционной среде гидроксида калия (NaNO2 + KMnO4 + KOH =?) образуются манганат калия, нитрат натрия и вода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

ru.solverbook.com

KMnO4 + Na2SO3 + KOH = ? уравнение реакции

В результате окисления сульфита натрия перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой гидроксидом калия (KMnO4 + Na2SO3 + KOH = ?) происходит образование средних солей сульфата натрия и манганата калия, а также вода. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что вода на ионы не распадается, т.е. не диссоциирует.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и сера изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

Окисление – это отдача электронов веществом, т.е. повышение степени окисление элемента. Вещества, отдающие свои электроны в процессе реакции, называются восстановителями (в данном случае это сульфит натрия).
Восстановление – это смещение электронов к веществу или понижение степени окисления элемента. Вещества, принимающее электроны, называется окислителем (в данном случае это перманганат калия).
 
 
 
 
 
 
 

ru.solverbook.com

KMnO4 + K2SO3 + KOH = ? уравнение реакции

В результате окисления сульфита калия перманганатом калия в щелочной среде, создаваемой гидроксидом калия (KMnO4 + K2SO3 + KOH = ?) происходит образование манганата и сульфата калия, а также воды. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Запишем ионные уравнения, учитывая, что вода на ионы не распадается, т.е. не диссоциирует.

Первое уравнение называют полным ионным, а второе – сокращенным ионным.
Данная реакция относится к окислительно-восстановительным, поскольку химические элементы марганец и сера изменяют свои степени окисления. Схемы электронного баланса выглядят следующим образом:

Окисление – это отдача электронов веществом, т.е. повышение степени окисление элемента. Вещества, отдающие свои электроны в процессе реакции, называются восстановителями (в данном случае это сульфит калия).
Восстановление – это смещение электронов к веществу или понижение степени окисления элемента. Вещества, принимающее электроны, называется окислителем (в данном случае это перманганат калия).
Сульфат калия представляет собой твердое вещество белого цвета, кристаллы которого термически устойчивые. Он хорошо растворяется в воде (не гидролизуется). Кристаллогидратов не образует. Вступает в реакции обмена. Восстанавливается водородом, углеродом.
В промышленных масштабах сульфат калия получают из природного минерала арканита. Среди лабораторных способов получения этой соли наиболее часто используют реакции взаимодействия оксида / гидроксида / карбоната калия с серной кислотой.

ru.solverbook.com

Гидрокарбонат кальция — Википедия. Что такое Гидрокарбонат кальция

Гидрокарбона́т ка́льция — кислая соль кальция и угольной кислоты. Химическая формула — Ca(HCO3)2{\displaystyle {\mbox{Ca}}({\mbox{HCO}}_{3})_{2}}.

Свойства

Как известно, все гидрокарбонаты растворимы в воде. Гидрокарбонат кальция обусловливает временную жёсткость воды. В организме гидрокарбонаты выполняют важную физиологическую роль — регулируют постоянство реакций^{[уточнить]} в крови. При нагревании раствора гидрокарбоната кальция он разлагается:

Ca(HCO3)2→tCaCO3↓+h3O+CO2{\displaystyle {\mathsf {Ca(HCO_{3})_{2}}}{\xrightarrow {t}}{\mathsf {CaCO_{3}}}\downarrow {\mathsf {+H_{2}O+CO_{2}}}}

Таким образом, реакция разложения гидрокарбоната кальция является обратной реакцией его образования. Именно это уравнение является основным, по которому образуется накипь в чайниках и водонагревательных системах, так как в исходной воде почти всегда содержится гидрокарбонат кальция, который более растворим, чем карбонат.

Применение

Нормативы рекомендуют концентрацию гидрокарбонатов в питьевой воде в диапазоне 30—400 мг/дм³.

Получение

Гидрокарбонат кальция получают взаимодействием карбоната кальция с углекислым газом и водой:

CaCO3+CO2+h3O⟶ Ca(HCO3)2{\displaystyle {\mathsf {CaCO_{3}+CO_{2}+H_{2}O\longrightarrow \ Ca(HCO_{3})_{2}}}}

См. также

wiki.sc

Гидрокарбонат кальция — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гидрокарбонат кальция — кислая соль угольной кислоты. Химическая формула — <math>\mbox{Ca}(\mbox{HCO}_3)_2</math>.

Свойства

Как известно, все гидрокарбонаты в воде растворимы. Гидрокарбонат кальция обусловливает временную жёсткость воды. В организме гидрокарбонаты выполняют важную физиологическую роль — регулируют постоянство реакций в крови. При нагревании раствора гидрокарбоната кальция он разлагается:

<math>\mathsf{Ca(HCO_3)_2}\xrightarrow{t}\mathsf{CaCO_3}\downarrow\mathsf{+H_2O+CO_2}</math>

Таким образом, реакция разложения гидрокарбоната кальция является обратной реакцией его образования. Именно это уравнение является основным, по которому образуется накипь в чайниках и водонагревательных системах, так как в исходной воде почти всегда содержится гидрокарбонат кальция, который более растворим, чем карбонат.

Применение

Нормативы рекомендуют концентрацию гидрокарбонатов в питьевой воде в диапазоне 30—400 мг/дм³.

Получение

Гидрокарбонат кальция получают взаимодействием карбоната кальция с углекислым газом и водой:

<math>\mathsf{CaCO_3+CO_2+H_2O\longrightarrow \ Ca(HCO_3)_2}</math>

См. также

Напишите отзыв о статье «Гидрокарбонат кальция»

Отрывок, характеризующий Гидрокарбонат кальция

В это время быстрыми шагами перед расступившейся толпой дворян, в генеральском мундире, с лентой через плечо, с своим высунутым подбородком и быстрыми глазами, вошел граф Растопчин.
– Государь император сейчас будет, – сказал Растопчин, – я только что оттуда. Я полагаю, что в том положении, в котором мы находимся, судить много нечего. Государь удостоил собрать нас и купечество, – сказал граф Растопчин. – Оттуда польются миллионы (он указал на залу купцов), а наше дело выставить ополчение и не щадить себя… Это меньшее, что мы можем сделать!
Начались совещания между одними вельможами, сидевшими за столом. Все совещание прошло больше чем тихо. Оно даже казалось грустно, когда, после всего прежнего шума, поодиночке были слышны старые голоса, говорившие один: «согласен», другой для разнообразия: «и я того же мнения», и т. д.

wiki-org.ru

Ca(HCO3)2 + HCl = ? уравнение реакции

При взаимодействии гидрокарбоната кальция и соляной кислотой (Ca(HCO3)2 + HCl = ?) происходит образование средней соли – хлорида кальция, а также угольной кислоты, которая вследствие своей неустойчивости мгновенно распадается на углекислый газ и воду. Молекулярное уравнение реакции имеет вид:

Диоксид углерода или углекислый газ при обычных условиях представляет собой бесцветный газ, который в 1,5 раза тяжелее воздуха, что позволяет переливать его, как жидкость, из одного сосуда в другой. Растворимость диоксида углерода в воде невелика.
Химически инертен, что обусловлено высокой энергией связи . С сильными восстановителями при высоких температурах проявляет окислительные свойства. Углем он восстанавливается до угарного газа:

Магний, зажженный на воздухе, продолжает гореть и в атмосфере :

Углекислый газ проявляет кислотные свойства: реагирует со щелочами, гидратом аммиака. Восстанавливается водородом.

В лабораториях диоксид углерода обычно получают, действуя на мрамор соляной кислотой в аппарате Киппа:

В промышленности большие количества диоксида углерода получают при обжиге известняка:

ru.solverbook.com

Гидрокарбонат кальция — Википедия (с комментариями)

Ты — не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: «Истинное обустройство мира».
http://noslave.org

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гидрокарбонат кальция — кислая соль угольной кислоты. Химическая формула — Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \mbox{Ca}(\mbox{HCO}_3)_2 .

Сумма матриц

Описание переменных: 

one, two — исходные матрицы;
three — матрица-сумма двух предыдущих;
matrix — процедура, заполняющая массив случайными числами;
printer — процедура, выводящая содержимое массивов на экран;
plus — процедура, вычисляющая сумму матриц.

Алгоритм решения задачи: 

Под суммой матриц будем понимать сложение их элементов, находящихся в одинаковых позициях (имеющих одинаковые индексы). Таким образом уместно складывать матрицы одинаковой размерности. При этом будет получена третья матрица с такой же размерностью как исходные.

При решении подобной задачи лучше использовать подпрограммы (процедуры или функции), так как нам приходится заполнять несколько массивов и выводить их на экран. Без подпрограмм в коде будет содержаться много почти идентичного кода.

Используются процедуры, а не функции, так как при заполнении массивов в подпрограмму передается переменная, а не значение. Таким образом, процедура заполняет «внешнюю» для нее матрицу.

В процедуру, вычисляющую сумму матриц, передается три параметра: переменная матрицы-суммы, значения первой и второй матрицы.

В основной ветке программы процедуры последовательно вызываются.

Следует обратить внимание, что randomize вызывается единожды в основной ветке программы. Если данную команду вставить в процедуру заполнения массива, то оба массива будут заполнены одинаковыми числами. Это связано с тем, что «зерно» зависит от таймера, а между двумя вызовами проходит мало времени, чтобы таймер изменил значение. Таким образом, «зерно» в программе надо получать один раз. В этом случае при повторном вызове процедуры отсчет по формуле генерации псевдослучайных чисел продолжается, а не инициируется заново.

Программа на языке Паскаль: 

const N = 2; M = 5;
type arr = array[1..N,1..M] of integer;
var
	one,two,three: arr;
	i,j: byte;
 
procedure matrix(var a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := random(100);
	end;
 
procedure plus(var a: arr; b: arr; c: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := b[i,j]+c[i,j];
	end;
 
procedure printer(a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do begin
			for j:=1 to M do
				write(a[i,j]:4);
			writeln;
		end;
	end;
 
begin 
	randomize;
	matrix(one);
	printer(one);
	writeln;
	matrix(two);
	printer(two);
	writeln;
	plus(three,one,two);
	printer(three);
end.

Пример выполнения программы, вычисляющей сумму двух матриц:

  67  47  72   3  57
  72  99  89  94  90
 
   3  24  12  81  56
  99  76  37  21   4
 
  70  71  84  84 113
 171 175 126 115  94

pas1.ru

Матрицы, основные операции с матрицами

Определение матрицы

Матрицей размера называется набор чисел, записанных в таблицу из строк и столбцов:

Матрицу часто окружают обычными скобками:

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

Тогда матрицы и равны, если для любого и для любого .

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

Суммой матриц и называется матрица

То есть матрица является суммой матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме элементов матриц и , стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число (обозначается ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на . То есть

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица называется противоположной матрице . Разностью матриц и называется сумма .

Пример. Найти сумму и разность матриц

Решение. Сумма матриц

Разность матриц

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

состоящую из строк и столбцов. Матрица , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы , называется транспонированной по отношению к и обозначается :

Пример. Транспонировать матрицу

Решение.

umath.ru

Сумма матриц Википедия

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер^[⇨];
• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n{\displaystyle n} столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n{\displaystyle n} строк)^[⇨];
• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)^[⇨];
• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)^[⇨].

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.^[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория

ru-wiki.ru

Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?

dic.academic.ru

сумма матриц — это… Что такое сумма матриц?

dic.academic.ru

Суммы элементов строк матрицы

Если поставлена задача вычислить сумму элементов каждой строки матрицы, то алгоритм ее выполнения таков:

1. По-строчно перебираем элементы матрицы (внешний цикл отвечает за переход к новой строке, счетчик — первый индекс элементов).
2. Во внешнем цикле перед внутренним присваиваем переменной для суммы значение 0. В ней будет накапливаться сумма элементов текущей строки, элементы которой перебираются во внутреннем цикле.
3. После внутреннего цикла выводим значение переменной-суммы на экран.

Ниже в примере решения данной задачи заполнение матрицы, вывод элементов на экран и подсчет суммы выполняются внутри одного цикла. Это сделано не только для сокращения кода программы, но и для красивого вывода. После того, как выводятся элементы очередной строки, в конце этой же строки выводится их сумма.

const
    M = 7;
    N = 5;
var
    mat: array[1..N,1..M] of real;
    i, j: byte;
    sum: real;
begin 
    for i:=1 to N do begin
        sum := 0;
        for j:=1 to M do begin
            mat[i,j] := random();
            write(mat[i,j]:6:2);
            sum := sum + mat[i,j];
        end;
        writeln ('|', sum:6:2);
    end; 
end.

Пример выполнения:

  0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54|  4.71
 
  0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30|  3.66
 
  0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79|  3.84
 
  0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84|  4.54
 
  0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83|  2.36

Если поставлена задача нахождения суммы элементов только определенной строки матрицы, то в решении используется только один цикл (без вложенного). Перебираются только элементы указанной строки. При этом меняется значение только второго индекса, а первый всегда постоянен — это номер строки.

Программа ниже усложнена тем, что пользователь сам определяет номер строки матрицы, элементы которой необходимо просуммировать. Если поставлена задача, в которой конкретно задается строка, то вместо переменной num следует использовать число, обозначающее номер строки. Например, для третьей строки выражение sum := sum + mat[num,j] следует заменить на sum := sum + mat[3,j].

const
    M = 7;
    N = 5;
var
    mat: array[1..N,1..M] of real;
    i, j: byte;
    sum: real;
    num: byte;
begin 
    for i:=1 to N do begin // только заполняем и выводим матрицу
        for j:=1 to M do begin
            mat[i,j] := random();
            write(mat[i,j]:6:2);
        end;
        writeln;
    end; 
    write('Введите номер строки: ');
    readln(num);
    sum := 0;
    for j:=1 to M do // считаем сумму элементов заданной строки
        sum := sum + mat[num,j];
    writeln('Сумма ее элементов: ', sum:6:2);
end.

Пример выполнения:

  0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54
 
  0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30
 
  0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79
 
  0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84
 
  0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83
 
Введите номер строки: 2
 
Сумма ее элементов:   3.66

pas1.ru

Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?

dikc.academic.ru

План-конспект урока по математике (4 класс) по теме: конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

Конспект урока математики

для 4 класса

Тема: «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

Цель:

1. Способствовать закреплению навыков решения неравенств; умению выполнять оценку и прикидку арифметических действий.
2. Развивать мыслительные операции, математическую речь, вычислительные навыки.
3. Воспитывать умение работать в команде.

Оборудование: карточки для работы групп, мультимедийный проектор, компьютер.

Ход урока

1. АОЗ.

1) -Что записано на доске?

а≥4        4≤х≤8    в≤2    6х10

— На какие группы можно разделить данные выражения? ( Неравенства и двойные неравенства)

— Сегодня на уроке вы работаете в группах. Вспомните правила работы в группе. Каждая группа выполняет  свои задания, представитель группы озвучивает результаты работы группы над каждым заданием.

2) Прочитайте двойное неравенство. Найдите решения данных неравенств. Найдите пересечения множеств решений данных неравенств.

1группа                               2 группа                                        3 группа

3х≤7                                  2≤а6                                          5с≤9

5≤х≤9                                   4а≤8                                          7с≤11

2. Определение темы урока. Постановка задач урока.

-Знание двойного неравенства, умение находить решения двойных неравенств помогает производить оценку суммы, разности, произведения. Постарайтесь определить тему сегодняшнего урока. Какие задачи поставим перед собою на сегодняшний урок?

3. ФПН.

1)

-Для каждой группы предлагается следующая работа: определить, как изменяется результат действия в зависимости от изменения компонента действия. Ответить на предлагаемые вопросы, затем сравнить выражения не вычисляя. Каждой группе предлагается карточка с вопросами и заданиями

   1группа                                         2 группа                                     3группа

7384+4608*7383+4608         685-374*690-374                     381х25*380х25

547+264*590+264                   291-180*291-160               764х300*764х305

Физминутка

2)

Сделайте оценку предлагаемому выражению. Для этого вспомните алгоритм выполнения оценки. Проверьте с помощью вычислений.

1группа                                         2 группа                                     3 группа

632+947                                        964-583                                       194х49

Проверка выполнения работы.

3)

Решите задачу и докажите верность утверждения.

1группа                                         2 группа                                     3 группа

Учебник с.17, №5.                      Учебник с.20, №6.       По тексту учителя  

Проверка выполнения работы.

4. Рефлексия.

-Какие задачи ставили?

-Удалось ли решить поставленные задачи?

-Оцените свою работу с помощью оценочной шкалы в тетради.

-Дайте оценку работы членов группы на оценочном листе.

    5. Домашнее задание.

       с.18 №10, №13, №16* (задание повышенной степени сложности)                      

Приложения к уроку

Для 1 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится сумма, если слагаемое увеличится?
2. Как изменится сумма, если слагаемое уменьшится?

Сравни не вычисляя:

7384+4608*7383+4608

547+264*590+264

_______________________

Для 2 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится? Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится?
2. Как изменится разность, если вычитаемое увеличится? Как изменится разность, если вычитаемое  уменьшится?

Сравни не вычисляя:

685-374*690-374

291-180*291-160

Для 3 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится произведение, если множитель увеличится?
2. Как изменится произведение, если множитель уменьшится?

Сравни не вычисляя:

38125*38025

764300*764305

______________________

Для 1 группы 

Сделайте оценку суммы. Проверьте с помощью вычислений:

632+947

Для 2 группы 

Сделайте оценку разности. Проверьте с помощью вычислений:

964-583

_________________________

Для 3 группы

Сделайте оценку произведения. Проверьте с помощью вычислений:

29749

Задача

Расстояние от села Петровка до села Ивановка 38км, а от села Ивановка до станции Семёновская в 4 раза больше. Докажите, что расстояние от Ивановки до Семёновской больше 120 км, но меньше 160 км.

____________________

Оценочный лист

nsportal.ru

План-конспект урока по математике (4 класс) на тему: конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

Конспект урока математики

для 4 класса

Тема: «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

Цель:

1. Способствовать закреплению навыков решения неравенств; умению выполнять оценку и прикидку арифметических действий.
2. Развивать мыслительные операции, математическую речь, вычислительные навыки.
3. Воспитывать умение работать в команде.

Оборудование: карточки для работы групп, мультимедийный проектор, компьютер.

Ход урока

1. АОЗ.

1) -Что записано на доске?

а≥4        4≤х≤8    в≤2    6х10

— На какие группы можно разделить данные выражения? ( Неравенства и двойные неравенства)

— Сегодня на уроке вы работаете в группах. Вспомните правила работы в группе. Каждая группа выполняет  свои задания, представитель группы озвучивает результаты работы группы над каждым заданием.

2) Прочитайте двойное неравенство. Найдите решения данных неравенств. Найдите пересечения множеств решений данных неравенств.

1группа                               2 группа                                        3 группа

3х≤7                                  2≤а6                                          5с≤9

5≤х≤9                                   4а≤8                                          7с≤11

2. Определение темы урока. Постановка задач урока.

-Знание двойного неравенства, умение находить решения двойных неравенств помогает производить оценку суммы, разности, произведения. Постарайтесь определить тему сегодняшнего урока. Какие задачи поставим перед собою на сегодняшний урок?

3. ФПН.

1)

-Для каждой группы предлагается следующая работа: определить, как изменяется результат действия в зависимости от изменения компонента действия. Ответить на предлагаемые вопросы, затем сравнить выражения не вычисляя. Каждой группе предлагается карточка с вопросами и заданиями

   1группа                                         2 группа                                     3группа

7384+4608*7383+4608         685-374*690-374                     381х25*380х25

547+264*590+264                   291-180*291-160               764х300*764х305

Физминутка

2)

Сделайте оценку предлагаемому выражению. Для этого вспомните алгоритм выполнения оценки. Проверьте с помощью вычислений.

1группа                                         2 группа                                     3 группа

632+947                                        964-583                                       194х49

Проверка выполнения работы.

3)

Решите задачу и докажите верность утверждения.

1группа                                         2 группа                                     3 группа

Учебник с.17, №5.                      Учебник с.20, №6.       По тексту учителя  

Проверка выполнения работы.

4. Рефлексия.

-Какие задачи ставили?

-Удалось ли решить поставленные задачи?

-Оцените свою работу с помощью оценочной шкалы в тетради.

-Дайте оценку работы членов группы на оценочном листе.

    5. Домашнее задание.

       с.18 №10, №13, №16* (задание повышенной степени сложности)                      

Приложения к уроку

Для 1 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится сумма, если слагаемое увеличится?
2. Как изменится сумма, если слагаемое уменьшится?

Сравни не вычисляя:

7384+4608*7383+4608

547+264*590+264

_______________________

Для 2 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличится? Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшится?
2. Как изменится разность, если вычитаемое увеличится? Как изменится разность, если вычитаемое  уменьшится?

Сравни не вычисляя:

685-374*690-374

291-180*291-160

Для 3 группы 

Ответьте на вопросы

1. Как изменится произведение, если множитель увеличится?
2. Как изменится произведение, если множитель уменьшится?

Сравни не вычисляя:

38125*38025

764300*764305

______________________

Для 1 группы 

Сделайте оценку суммы. Проверьте с помощью вычислений:

632+947

Для 2 группы 

Сделайте оценку разности. Проверьте с помощью вычислений:

964-583

_________________________

Для 3 группы

Сделайте оценку произведения. Проверьте с помощью вычислений:

29749

Задача

Расстояние от села Петровка до села Ивановка 38км, а от села Ивановка до станции Семёновская в 4 раза больше. Докажите, что расстояние от Ивановки до Семёновской больше 120 км, но меньше 160 км.

____________________

Оценочный лист

nsportal.ru

Презентация на тему Оценка суммы (4 класс)

Оценка суммы 6 урок

14 + 16 383 + 214 + 460 452 + 567 + 124 + 231 453 + 568 + 125 + 232 382 + 213 + 459 14 + 17

Что вы знаете о действии сложении? Какие числа умеете складывать? Разбейте данные суммы на три группы. Каким образом это можно сделать? Разбейте эти выражения на группы по количеству слагаемых.

Не производя вычислений, сравните суммы в каждой их групп. Чем воспользовались для сравнения сумм первой группы? Чем воспользовались для сравнения сумм второй группы? Как сравнили суммы последней группы?

a↑ + b a + b↑ = c↑ a↑ + b↑

a↓ + b a + b↓ = c↓ a↓ + b↓

Опорные схемы

6 8 16 18 26 28 36 38 46 48

Посмотрите внимательно на этот ряд чисел и скажите, что интересного заметили? Найдите закономерность и назовите следующие 4 числа этого ряда.

56, 58, 66, 68.

Какое число лишнее в получившемся ряду? Есть ли среди этих чисел такие, у которых сумма цифр одинакова? Назовите соседей числа 68 Назовите ближайшие к 68 круглые числа (меньшее и большее). Запишите с помощью двойного неравенства, что 68 больше 60 и меньше 70.

41 < х + 2 ≤ 58

Прочитайте неравенство. Назовите, какие значения может принимать выражение x + 2. Почему? (Первое неравенство строгое, а второе – нестрогое.) Какие числа ряда удовлетворяют данному неравенству? Числа 41 и 56 ограничивают значение суммы x + 2. Поэтому их называют соответственно нижней и верхней его границами. В общем виде границы a и b некоторого выражения можно показать на луче так:

0 41 56 0 а b

нижняя граница верхняя граница

Работа по учебнику стр.16

Посмотрите на рисунки, что вы должны дальше сделать? Поставить перед собой цель и составить план действий. А зачем вам это надо? Нельзя начинать дело, если не понятно с какой целью мы его начали, а план нам поможет при открытии нового знания.

Что вы сейчас повторили и, что нового узнали? Посмотрите на смайлики и скажите, что дальше я вам предложу? (Пробное задание.) С какой целью вам будет предложено пробное задание?

Слайд 11

Найти значения полученных выражений и записать двойное неравенство

Заменить слагаемые меньшими круглыми числами (нижняя граница)

Заменить слагаемые большими круглыми числами (верхняя граница)

Заменить слагаемые, если это необходимо, меньшими круглыми числами(нижняя граница)

Заменить слагаемые, если это необходимо, большими круглыми числами (верхняя граница)

Слайд 15

Работа по учебнику стр.17 Работа в парах

Работа по учебнику стр.17

1200< 784+519<1400 1500< 632+947<1700 11000< 7384+4608<13000

(370•20)•32=236000(н.)

Что нового вы узнали сегодня на уроке? Сегодня мы узнали, как способ оценки суммы. Какова была цель урока? Составить алгоритм оценки суммы, и научиться им пользоваться. Достигли вы этой цели? Что вам помогло достичь цель? А теперь я буду называть вам некоторые утверждения. Если вы считаете их истинными, то ставьте знак «+», если считаете ложными, то – знак «–». 1) Я понял, что такое оценка выражения. 2) Я понял, что такое нижняя и верхняя граница; 3) Я думаю, что сумею оценить сумму. 4) Мне еще надо поработать над этой темой. 5) Сегодня на уроке у меня остались вопросы. 6) Думаю, что я справлюсь с домашним заданием. 7) Я сегодня учился учиться.

Домашнее задание:

стр.17, №8; стр.18, №14(2-ой)

prezentacii.org

конспект урока математики для 4 класса по теме «Оценка суммы, разности, произведения. Закрепление изученного материала».

Область значения и область определения числовой функции

Контрольная работа

по дисциплине: «Математика»

Область значения и область определения числовой функции

Введение

Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 -5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства

Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х — независимая переменная или аргумент.

Переменная у — зависимая переменная

Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции — все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений) — все значения, которые принимает функция.

Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f( —x)

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f( —x)= —f(x)

Возрастающая функция — если для любых х₁и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция — если для любых х₁и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Раздел 2. Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) — с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 3. Виды функций и их свойства

1. Постоянная функция — функция, заданная формулой у=b, где b —некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2. Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число kназывается коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел

2. y=kx — нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиb —действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения — множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность — функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения — множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x — нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке ( -;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке ( -;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. y=x² — четная функция

3. На промежутке [0;+) функция возрастает

4. На промежутке ( -;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. y=x³ —нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем — функция, заданная формулой y=xⁿ, где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n — произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем — функция, заданная формулой y=x ^—n, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x ^—nобладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n — четное число, например n=2.

Свойства функции y=x ^-2:

1. Функция определена при всех x0

2. y=x ^-2 — четная функция

3. Функция убывает на (0;+) и возрастает на ( -;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=х

Свойства функции y=х:

1. Область определения — луч [0;+).

2. Функция y=х — общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+).

10)Функция y=³х

Свойства функции y=³х:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. Функция y=³х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=ⁿх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=ⁿх обладает теми же свойствами, что и функция y=³х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем — функция, заданная формулой y=x^r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

1. Область определения — луч [0;+).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+).

На рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем —функция, заданная формулой y=x ^—r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x ^—r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнениеf(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция — функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

функция возрастание убывание

Заключение

Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет».

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».

Список использованной литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: «Дрофа», 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: «Проспект», 2003 года.

3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: «Просвещение», 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: «НГТУ», 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: «Физматлит», 2002 года.

studfiles.net

Алгебра (9 класс)/Квадратичная функция/Функция. Область определения и область значений функции

Теория

Функция

Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: y=f(x){\displaystyle y=f(x)} («игрек равно эф от икс»). Символом f(x){\displaystyle f(x)} также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

Пример 1

Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет зависеть от температуры вашего тела. Например, если x —- температура вашего тела в градусах Цельсия, а y —- высота, на которую поднимется ртуть в миллиметрах, то записать зависимость x от y можно так: y=f(x){\

ru.wikiversity.org

Что такое область значения функции? мне нужно определение.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

touch.otvet.mail.ru

Дискретная математика1 | Решение задач по математике и другим предмет

Контрольная работа № 1

1. Даны множества A И B. Изобразить и записать с указанием характеристического свойства результат каждой операции:

А) AÈB ; б) AÇB; в) A \ B; г) B \ A; д) ; е) ; ж) A´ B; з) B´ A.

A = {X| xÎR, X > 2}, B = {X| xÎR,-5 £ X £ 8}

Решение:

Изобразим на числовой прямой множества А и В:

Тогда

А) AÈB= ;

Б) AÇB= ;

В) A \ B= ;

Г) B \ A= ;

Д) = ;

Е) = ;

Ж) A´ B= ;

З) B´ A= .

2. На диаграммах Эйлера-Венна изобразить результат операций, предварительно указав порядок действий в формуле.

Решение:

Порядок действий:

1.

2.

3.

4.

Изобразим на диаграмме Эйлера–Венна:

1.

2.

3.

4.

3. Упростить выражения, используя законы алгебры множеств

Решение:

.

4. На множестве M Бинарное отношение RÍ M´M Задано характеристическим свойством. Представить отношение R Другими возможными способами. Выяснить какими свойствами оно обладает.

Решение:

Составим таблицу произведений элементов множества М, выделив те пары, которые удовлетворяют характеристическому свойству:

Тогда выпишем в явном виде отношение:

Изобразим графически отношение:

Свойства отношения:

1)  Рефлексивность: так как , то данное отношение рефлексивно.

2)  Так как , то отношение будет симметричным.

3)  Тогда отношение не будет антирефлексивным и антисимметричным.

4)  Транзитивность выполняется: при положительном значении хотя бы одной переменной и две другие также будут положительны; при отрицательном значении одной переменной остальные также будут отрицательны. Тогда произведение любой их пары будет положительно.

5. Докажите тождество:

Доказательство:

6. Определите свойства отношений:

.

Решение:

1)  Рефлексивность: так как , то данное отношение рефлексивно.

2)  Так как из неравенства не следует неравенство , то отношение не будет симметричным.

3)  Так как неравенства и могут одновременно выполняться лишь при условии , то отношение антисимметричное.

4)  Транзитивность выполняется: .

7. Для отношения, заданного матрицей, определить является ли оно отношением эквивалентности

Решение:

Отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Так как в матрице отношения по главной диагонали стоят все 1, то рефлексивность выполняется.

Так как матрица является симметричной, то отношение также является симметричным.

Исследуем на транзитивность:

Тогда транзитивность выполняется.

Следовательно, данное отношение является отношением эквивалентности.

matica.org.ua

шпоры — дискретная математика

studfiles.net

Алгебра логики

Алгебра логики

В алгебре логики используются переменные, которые могут иметь только два значения: истина и ложь.

Логические операции

В алгебре логики используются следующие логические операции:

1. Операция «И», логическое умножение, называетсяконъюнкция,обозначается следующим образом:

   1. A*B(где А и В — переменные) или АВ (знак умножения можно опускать)

   2. АВ

   3. А ANDВ (в программах)

Данная операция истинна, если все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – ложна.

2. Операция «ИЛИ», логическое сложение, называетсядизъюнкция, обозначается следующим образом:

   1. А+В (где А и В — переменные)

   2. А В

   3. А ORВ (в программах)

Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, во всех остальных случаях она – истинна.

3. Операция «НЕ», логическое отрицание, обозначается следующим образом:

__

1. А

2. ¬А

3. NOTA(в программах).

Если А – истинно, то ¬А – ложно, а если А – ложно, то ¬А – истинно.

4. Операция «импликация», обозначается следующим образом:

   1. АВ

   2. А IMPВ (в программах).

Данная операция ложна, если первый аргумент (А) – истинный, а второй аргумент (В) – ложный. В остальных случаях данная операция – истинна.

5. Операция «эквиваленция», обозначается следующим образом:

   1. А В

   2. АВ

   3. А=В

   4. А↔В

   5. А EQVВ (в программах).

Данная операция истинна, если оба аргумента А и В – одинаковые (оба истинные или оба ложные). В остальных случаях данная операция ложна.

6. Операция «исключающее ИЛИ», обозначается следующим образом:

   1. А В

   2. А XOR В (в программах).

Данная операция ложна, если все аргументы, участвующие в ней ложны, либо все аргументы, участвующие в ней истинны, во всех остальных случаях она – истинна.

Приоритеты логических операций

Если в одном логическом выражении имеется несколько логических операций, то они выполняются в следующей последовательности:

1. Операции в скобках

2. Операция «НЕ»

3. Операция «И»

4. Операция «ИЛИ», операция «исключающее ИЛИ» — имеют одинаковый приоритет

5. Операция «импликация»

6. Операция «эквиваленция»

Таблицы истинности

Таблицы истинности применяются для вычисления логических выражений при всевозможных сочетаниях значений входящих в выражение аргументов. Значениями логических выражений и входящих в них переменных могут быть истина (1) или ложь (0). Количество всевозможных сочетаний значений входящих в выражение аргументов (переменных) определяется по формуле 2^к, где к – количество переменных, входящих в выражение. Сами сочетания можно определить следующим образом: общее количество сочетаний делится пополам, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0 (ложь), а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1 (истина). Затем каждая из этих половинок опять делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1. Затем опять каждая из полученных половинок делится пополам и опять, в первой половине для всех переменных устанавливаются значения 0, а во второй половине для всех переменных устанавливаются значения 1, т.д. Это производится до тех пор, пока в половинках не окажется по одной переменной, для первой из них устанавливаем значение 0, а для второй – 1.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение, значение этого выражения всегда 1, то такое выражение называется тождественно-истинным.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения всегда 0, то такое выражение называется тождественно-ложным.

Если при всех сочетаниях значений переменных, входящих в логическое выражение значение этого выражения может быть равно 0 или 1, то такое выражение называется нейтральным или выполнимым.

Пример 1

Дано логическое выражение: F=((C+B) B)*(A*B)B. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения. Выражение может быть тождественно-истинным, тождественно-ложным или нейтральным.

Решение

В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 2³=8.

Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

1. C+B

2. (C+B)B

3. A*B

4. ((C+B)B))*(A*B)

5. F = ((C+B)B)*(A*B)B

Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1,то это означает, что данное логическое выражение является тождественно-истинным.

Пример 2

Дано логическое выражение: F=A+B*CAB+C. Построить для него таблицу истинности и определить тип логического выражения.

Решение

В данном выражении 3 переменных (A,B,C), поэтому количество сочетаний значений этих переменных равно 2³=8.

Проставляем приоритеты (последовательность выполнения) логических операций:

1. B*C

2. A+B*C

3. B+C

4. A+B*CA

5. F = A+B*CAB+C

Заполняем таблицу истинности в соответствии с указанными приоритетами и определениями логических операций:

Так как при всех возможных сочетаниях значений переменных, входящих в данное логическое выражение, значение логического выражения равно 1 или 0, то это означает, что данное логическое выражение является нейтральным.

Упрощение логических выражений

Для упрощения логических выражений нам понадобятся следующие соотношения алгебры логики:



1. X=X

2. XY=YX– переместительный закон умножения

3. X+Y=Y+X- переместительный закон сложения

4. X(YZ)=(XY)Z– сочетательный закон умножения

5. X+(Y+Z)=(X+Y)+Z- сочетательный закон сложения

6. X(Y+Z)=XY+XZ– первый распределительный закон

7. X+(YZ)=(X+Y)(X+Z) — второй распределительный закон

  

8. (X+Y)=XY– отрицание суммы равно произведению отрицаний слагаемых (для любого числа слагаемых)

  

9. (XY)=X+Y– отрицание произведения равно сумме отрицаний сомножителей (для любого числа сомножителей)

10. X+X=X



11. X+X=И – здесь И означает «истина»

12. XX=X



13. X*X=Л – здесь Л означает «ложь»

14. X*И=X

15. X+Л=X



16. XY=X+Y

 

17. XY=XY+XY

18. X+XY=X



19. X+XY=X+Y

 

20. X+XY=X+Y

 

21. XY=AB+AB

Все данные соотношения можно доказать с помощью таблицы истинности, используя определения логических операций.

Упрощение логического выражения заключается в приведении его к виду, содержащему минимальное количество логических операций. В упрощенном выражении должны, как правило, содержатся только простые логические операции: И, ИЛИ, НЕ. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «Л» (ложь), то такое логическое выражение является тождественно-ложным. Если в результате упрощения логическое выражение становится равным «И» (истина), то такое логическое выражение является тождественно-истинным. А если полученное в результате упрощения логическое выражение может быть равным «Л» или «И» в зависимости от значений входящих в него переменных, то такое выражение называется нейтральным.

Пример 1

 

Дано логическое выражение: (AB)(A(B+C). Упростить данное логическое выражение и определить тип полученного в результате упрощения выражения (тождественно-истинное, тождественно-ложное, нейтральное).

Решение

Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:



1. (AB)=A+B (использовалось соотношение 16)

   

2. (A(B+C)=A+(B+C)=A+B+C

 

       

3. (AB)(A(B+C)=(A+B)(A+B+C)=(A+B)(A+B+C)+(A+B)(A+B+C)=

      

=(A+B)(A+B+C) +ABABC= (A+B)(A+B+C) (использовались соотношения 17,8,13,15)

Рассмотрим полученное логическое выражение:

 

(A+B)(A+B+C)

При A=1,B=0 и любом значении С, значением полученного выражения будет 0 (ложь), а при A=0,C=1 и любом значении В, значением полученного выражения будет 1 (истина).

Следовательно, полученное логическое выражение является нейтральным.

Пример 2

Дано логическое выражение:

Необходимо его упростить, упрощенный вид должен содержать не более трех логических операций.

Решение:

Упрощаем данное выражение по частям в соответствии с приоритетами логических операций:

1. (использовалось соотношение 16)

2. (использовалось соотношение 16)

3. (использовались соотношения 16,8,1)

4. (использовалось соотношение 20)

5. (использовалось соотношение 17)

(использовалось соотношение 8)

(использовались соотношения 12,10,1)

(использовались соотношения 13,15,18)

Ответ:

studfiles.net

Ответы@Mail.Ru: Упростить выражение, дискретная математика

Т. к. у нас только пересечения, объединения и дополнения, то можно один в один переписать выражение в терминах булевой алгебры: d(x) = x in D (x принадлежит D) и т. д.. ~ — отрицание = дополнение множества | — логическое сложение = объединение множеств & — логическое умножение = пересечение множеств Получаем для любого x: d(x) & c(x) & ~a(x) | ~d(x) & c(x) & ~a(x) | ~d(x) & ~c(x) & ~a(x) | ~(b(x) | a(x)) d & с & ~a | ~d & с & ~a | ~d & ~c & ~a | ~(b | a) вносим отрицание в последнюю скобку d & с & ~a | ~d & с & ~a | ~d & ~c & ~a | ~b & ~a выносим ~a за скобки ~a & (d & с | ~d & с | ~d & ~с | ~b) перегруппировываем ~a & ((d & с | ~d & с) | (~d & с | ~d & ~с) | ~b) выносим с и ~d за скобки ~a & (с & (d | ~d) | ~d & (с | ~с) | ~b) убираем тавтологии ~a & (с | ~d | ~b) В получившемся выражении просто меняем буквы на заглавные и значки логических операций на действия с множествами.

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_839dacc8d70dca0bef2227cbb9454b68_120x120.jpg» data-hsrc=»https://otvet.imgsmail.ru/download/u_839dacc8d70dca0bef2227cbb9454b68_800.jpg» ><img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/22904341_d6c3f2e32d8b88e55fe5eea40263f20e_120x120.jpg» data-hsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/22904341_d6c3f2e32d8b88e55fe5eea40263f20e_800.jpg» >

touch.otvet.mail.ru

Как найти объем зная длину и диаметр, формула расчета объема воды

Объем цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, которое образуется  при помощи цилиндрической поверхности.

Причем данная цилиндрическая поверхность ограничена двумя плоскостями, параллельными друг к другу. Прямой цилиндр получают, вращая прямоугольник вокруг его стороны.

Для того чтобы точно вычислить объем цилиндра, можно выполнить достаточно простые приемы.

Для этого нам понадобятся:

• рулетка или линейка;
• маркер или карандаш;
• любой предмет с прямыми углами (можно использовать обычный лист картона или бумаги).

Например, мы имеем некоторую емкость для жидкости, она имеет цилиндрическую форму. Перед нами стоит задача заполнить данную емкость определенной жидкостью, но мы не знаем какое количество жидкости, заполнит емкость. Для этого нам нужно вычислить ее объем.

Еще в школьные годы на уроках геометрии мы изучали формулу для нахождения объема цилиндра:

V = SH

А это означает, для того чтобы найти объем цилиндра, нужно вычислить произведение площади основания цилиндра S на высоту цилиндра H.

Высоту цилиндра H достаточно легко измерить при помощи линейки или рулетки.

Определяем площадь основания цилиндра. Для этого нам нужно знать площадь круга. С данной формулой мы тоже знакомились на уроках геометрии в школе. Выглядит она так:

S = πR2

Число π в математике обозначает соотношение диаметра и длин окружности, оно равно 3.14159265… Радиус окружности — R.

Для того чтобы вычислить площадь окружности при помощи обычной измерительной линейки, используем школьный прием – впишем в окружность прямоугольный треугольник. В данном случае, гипотенуза вписанного в окружность треугольника будет равна диаметру нашей искомой окружности.

Используем лист картона или бумаги, либо другой предмет с прямыми углами. Накладываем его так на наш цилиндр, чтобы его прямой угол α упирался своей вершиной А в край нашего цилиндра.

Как провести расчет различных параметров труб: базовые формулы и примеры вычислений

Те стороны треугольника, что пересекаются с окружностью, нужно наметить при помощи маркера или карандаша, а также соединить их прямой линией. Выходит, что мы попадаем на вершины треугольника В и С. А это значит: полученный отрезок является диаметром нашей окружности. Так как половина диаметра окружности составляет ее радиус, то отрезок ВС нужно разделить на две части. Получаем центр окружности – точку О.

Выходит, что радиусом основания данного цилиндра являются отрезки ОС и ОВ. Можем смело подставить их полученные значения в формулу: V = πR2H.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

система комментирования CACKLE

Так как на улице уже практически лето, мы хотим вспомнить неделю, посвященную воде и специальным спортивным напиткам — изотоникам, и дополнить ее постом о питьевом режиме во время тренировок.

Начнем, пожалуй, с расчета необходимого количества воды. В среднем, взрослый человек должен выпивать в день 2 2,5 литра воды, в дни активных занятий спортом — 3 3,5 литра. Однако ваши личные потребности могут не совпадать с этим среднестатистическим, так как у каждого организма свой питьевой режим.

Рассчитать необходимое количество можно по двум простым формулам (для мужчин и для женщин):

• Мужчины: Вес тела х 35
• Женщины: Вес тела х 31

К примеру, я вешу 48 кг, значит, моя дневная норма воды составляет около 1,5 литров. Конечно же, в тренировочные дни эта норма будет выше. Мало воды это плохо, но и чрезмерное употребление воды так же может привести к неприятным последствиям, вплоть до летальных (известны случаи смерти во время марафонов от гипонатриемии). Поэтому, в первую очередь, вы должны прислушиваться к своему организму и смотреть на состояние своего тела.

Во время тренировок из нашего тела выводиться большее количество влаги (через пот и интенсивное дыхание), поэтому для восстановления водного баланса нужно пить больше воды.

Международная марафонская медицинская ассоциация директоров (IMMDA) выделила основные принципы употребления воды спортсменами во время марафонов — марафонцы должны употреблять 380-780 мл каждый час. Чем медленнее будет ваш темп, тем меньше воды нужно будет пить.

Согласно их же исследованиям, если ваша тренировка длится более 30 минут, простую воду лучше заменить изотониками.

Водные запасы можно пополнить перед тренировкой — 500 мл за несколько часов до пробежки или соревнования, и 150 мл прямо перед стартом.

Расчет тренировочного водного запаса

Для того чтобы понять, сколько воды нужно пить во время пробежки лично вам, нужно выполнить следующий алгоритм:

• Взвеситься без одежды прямо перед тестом.
• Бежать или идти в течение 1 часа со своим стандартным беговым темпом.
• Не пить во время тренировки.
• После пробежки снова проверить свой вес (без одежды). Разница в весе (в унциях) — это ваша почасовая интенсивность потоотделения. То есть, вы должны пить не менее и не более этого количества жидкости каждый час.

Так как у нас метрическая система, вес можно перевести в граммы и потом, на основании этого, посчитать необходимое количество воды в мл. К примеру, разница в весе после тестовой тренировки составила 350 г, это означает, что ваша почасовая норма употребления жидкости составляет 350 мл.

Объем цилиндра, формула.

Так как рекомендуется пить каждые 15-20 минут, делим это количество на 3 или 4 и получаем объем воды, который мы должны вливать в себя через эти промежутки (116 мл или 88 мл соответственно).

Затем следует провести еще один часовой забег, но при этом уже пить необходимое количество воды, которое вы получили во время расчетов. Снова взвешиваетесь без одежды до забега, затем после, и сравниваете результаты. Если разница незначительная, значит это и будет ваше идеальное количество воды для тренировки именно с таким темпом. Если же разница все равно будет ощутимой, то нужно немного откорректировать количество жидкости в большую сторону.

Также рекомендуется учитывать погодные условия (температуру, влажность воздуха), так как в жаркую погоду потеря жидкости будет больше, чем при средней температуре. То же самое касается и ветреных теплых дней, так как влага в этом случае будет испаряться с кожи значительно быстрее из-за ветра, а это означает, что объем воды, необходимый для поддержания баланса, снова возрастет.

Продуктивных вам тренировок, и не забывайте о воде!

Объем цилиндра

Цилиндр — геометрическое тело, которое образуется  при помощи цилиндрической поверхности.

Причем данная цилиндрическая поверхность ограничена двумя плоскостями, параллельными друг к другу.

Расчет объема труб

Прямой цилиндр получают, вращая прямоугольник вокруг его стороны.

Для того чтобы точно вычислить объем цилиндра, можно выполнить достаточно простые приемы.

Для этого нам понадобятся:

• рулетка или линейка;
• маркер или карандаш;
• любой предмет с прямыми углами (можно использовать обычный лист картона или бумаги).

Например, мы имеем некоторую емкость для жидкости, она имеет цилиндрическую форму. Перед нами стоит задача заполнить данную емкость определенной жидкостью, но мы не знаем какое количество жидкости, заполнит емкость. Для этого нам нужно вычислить ее объем.

Еще в школьные годы на уроках геометрии мы изучали формулу для нахождения объема цилиндра:

V = SH

А это означает, для того чтобы найти объем цилиндра, нужно вычислить произведение площади основания цилиндра S на высоту цилиндра H.

Высоту цилиндра H достаточно легко измерить при помощи линейки или рулетки.

Определяем площадь основания цилиндра. Для этого нам нужно знать площадь круга. С данной формулой мы тоже знакомились на уроках геометрии в школе. Выглядит она так:

S = πR2

Число π в математике обозначает соотношение диаметра и длин окружности, оно равно 3.14159265… Радиус окружности — R.

Для того чтобы вычислить площадь окружности при помощи обычной измерительной линейки, используем школьный прием – впишем в окружность прямоугольный треугольник. В данном случае, гипотенуза вписанного в окружность треугольника будет равна диаметру нашей искомой окружности.

Используем лист картона или бумаги, либо другой предмет с прямыми углами. Накладываем его так на наш цилиндр, чтобы его прямой угол α упирался своей вершиной А в край нашего цилиндра.

Те стороны треугольника, что пересекаются с окружностью, нужно наметить при помощи маркера или карандаша, а также соединить их прямой линией. Выходит, что мы попадаем на вершины треугольника В и С. А это значит: полученный отрезок является диаметром нашей окружности. Так как половина диаметра окружности составляет ее радиус, то отрезок ВС нужно разделить на две части. Получаем центр окружности – точку О.

Выходит, что радиусом основания данного цилиндра являются отрезки ОС и ОВ. Можем смело подставить их полученные значения в формулу: V = πR2H.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

система комментирования CACKLE

pasmr21.ru

Масса полой детали | Математика для ювелиров

Никогда не устану повторять, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

Однако, в случае полой или пустотелой детали мы будем иметь дело не с объемом ее тела, а с объемом ее стенок. Объем стенок полой детали проще всего представить как разность объемов двух сплошных тел: с внешними размерами и с внутренними (из полного объема тела вычитается объем внутренней пустоты).
Формулы для объема сплошных тел можно найти в статье «Масса сплошной детали».

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

1. Масса трубки (полого цилиндра)

Объем стенок трубки: , где — внешний диаметр трубки, — длина трубки, — толщина стенки.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса трубки:

2. Масса полого (пустотелого) шара

Объем стенок шара: , где — внешний диаметр шара, — толщина стенки.
Тогда масса:

3. Масса полого сегмента шара

Объем стенок сегмента шара: , где — внешний диаметр основания сегмента, — высота сегмента, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

4. Масса полого усеченного конуса

Объем стенок круглого усеченного конуса: , где — внешний диаметр большего основания, — внешний диаметр меньшего основания, — высота конуса, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

5. Масса полой усеченной пирамиды

Для простоты рассмотрим усеченную пирамиду с квадратным основанием. Объем ее стенок: , где — внешний размер большего основания, — внешний размер меньшего основания, — высота пирамиды, — толщина стенки*.
После упрощения получаем формулу для объема:
Тогда масса:

tvlad.ru

Объем жидкости в цилиндрической таре

Ага, сегодня я путем несложных умозаключений буду выяснять объем жидкости, находящейся в цилиндрической таре, лежащей на боку.
И это не праздности ради, а дела для.

Цитирую запрос пользователя объем сегмента цилиндра (2):
Доброго времени суток. Видел калькулятор объема сегмента цилиндра, но нужно немножко другое. По работе приходится измерять количество жидкости в таре. Так вот допустим тара цилиндрической формы R=1,13м и H=6,3м лежит на поверхности. Жидкости в таре 0,9м от поверхности. Вопрос: какой объем жидкости в таре?

Там дальше в запросе идут ссылки на решение, но это же не спортивно, поэтому я пошел своим путем 🙂 Сразу замечу, что вторая, более сложная задача — объем жидкости в таре, лежащей под наклоном, еще ждет своего решения.

Вот калькулятор, который все считает, а ход рассуждений, как обычно, под ним.

Знаков после запятой: 2

Объем жидкости

Процентов от общего объема

Общий объем цилиндра

Сохранить share extension

Итак, сформулируем задачу наглядно, и посмотрим на цилиндр в разрезе (см. рисунок). Если уровень жидкости m больше половины, то находим объем воздуха в оставшейся части, а потом вычитаем из общего объема — т. е. всегда сводим к случаю, изображенному на рисунке.

Формула объема всего цилиндра известна — площадь основания, помноженная на высоту.

А нам, значит, надо найти площадь фигуры, залитой синей жидкостью, и тоже помножить на высоту. Пытливый взгляд отметит, что фигура, залитая синей жидкостью, получается из сектора после вычета верхнего треугольника.

Площадь сектора находится как
, где альфа — это угол дуги в радианах.

Угол дуги нам неизвестен. Разберемся сначала с ним. Линия, опущенная вертикально вниз делит верхний треугольник на два прямоугольных треугольника. Гипотенуза у них равна R, а катет, прилежащий к верхнему углу, равен R-m. Таким образом,

соответственно

и ответ нам Javascript даст как раз в радианах, то что нам нужно.

Теперь разберемся с верхним треугольником. Он равнобедренный, бедра равны R, а основание нам неизвестно. Найдем его.
А оно как раз равно удвоенному противолежащему катету, который, согласно всем известной теореме Пифагора равен

Зная все стороны треугольника, нетрудно найти его площадь по формуле Герона — Расчет площади треугольника по формуле Герона.

где

Вот, собственно, и все. Мы знаем площадь сектора и площадь треугольника. Вычитаем площадь треугольника из площади сектора, домножаем на высоту цилиндра (или длину цилиндра, с учетом того, что он лежит) и получаем результат.

planetcalc.ru

Масса сплошной детали | Математика для ювелиров

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

3. Масса шара

Объем шара: , где — диаметр шара.
Тогда масса:

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
, где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями и : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

или

Для пирамиды с квадратным основанием (, ) формула выглядит проще:

tvlad.ru

половина восьмого — это… Что такое половина восьмого?

половина восьмого

General subject: half past seven

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

• половина вертикального рассеивания (при определении наименьшего прицела)
• половина времени пробега нормального отражения

Смотреть что такое «половина восьмого» в других словарях:

• половина — сущ., ж., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? половины, чему? половине, (вижу) что? половину, чем? половиной, о чём? о половине; мн. что? половины, (нет) чего? половин, чему? половинам, (вижу) что? половины, чем? половинами, о чём? о… …   Толковый словарь Дмитриева

• половина — ы; ж. 1. Одна из двух равных частей, вместе составляющих целое. П. яблока, комнаты, состояния. П. учеников, рабочих завода, делегатов съезда. П. дела сделана. П. лета прошла. Преодолеть половину пути. Два с половиной часа, месяца. Последняя п.… …   Энциклопедический словарь

• половина — ы; ж. см. тж. половинный 1) Одна из двух равных частей, вместе составляющих целое. Полови/на яблока, комнаты, состояния. Полови/на учеников, рабочих завода, делегатов съезда. Полови/на дела сделана. Полов …   Словарь многих выражений

• Грушевский Михаил Сергеевич — историк, профессор Львовского университета по кафедре истории, родился в 1866 г. в г. Холме, где отец его был учителем в греко униатской гимназии. Юность провел на Кавказе и окончил курс тифлисской гимназии. В 1886 г. поступил на филологический… …   Биографический словарь

• бежа́ть — бегу, бежишь, бегут; деепр. не употр.; несов. 1. Усиленно скорым движением, быстро перебирая ногами, перемещаться в каком л. направлении. По дороге зимней, скучной Тройка борзая бежит. Пушкин, Зимняя дорога. Много я часов Бежал, и наконец, устав …   Малый академический словарь

• Зачарованные — Charmed …   Википедия

• South Park — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

• SouthPark — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

• South park — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

• Саузпарк — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

• Саус Парк — Южный парк South Park Жанр ситком Формат изображения SDTV (480i) (1997 2008), HDTV (1080i) (с 2009 го) Длительность 23 минуты Создатель Мэтт Стоу …   Википедия

universal_ru_en.academic.ru

А «пол первого» это сколько по времени??

это 12:30 ИЛИ 00:30

Это примерно 10 минут — от 12:25 до 12:35

Смотря в какое время суток! ? Днем 12:30, а ночью 00:30! Удачи!

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: пол дня-это сколько часов

Половина от дня

Сутки 24,половина суток 12,тёмное и светлое время, рабочий день 8 часов (получается 6 или 4)

12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр12 параправерыепрапррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррррр

Полдня — 24 — 12 = 12 часов

touch.otvet.mail.ru

Пол утра это сколько часов?

irc.lv