Сумма матриц
Описание переменных:
one, two — исходные матрицы;
three — матрица-сумма двух предыдущих;
matrix — процедура, заполняющая массив случайными числами;
printer — процедура, выводящая содержимое массивов на экран;
plus — процедура, вычисляющая сумму матриц.
Алгоритм решения задачи:
Под суммой матриц будем понимать сложение их элементов, находящихся в одинаковых позициях (имеющих одинаковые индексы). Таким образом уместно складывать матрицы одинаковой размерности. При этом будет получена третья матрица с такой же размерностью как исходные.
При решении подобной задачи лучше использовать подпрограммы (процедуры или функции), так как нам приходится заполнять несколько массивов и выводить их на экран. Без подпрограмм в коде будет содержаться много почти идентичного кода.
Используются процедуры, а не функции, так как при заполнении массивов в подпрограмму передается переменная, а не значение. Таким образом, процедура заполняет «внешнюю» для нее матрицу.
В процедуру, вычисляющую сумму матриц, передается три параметра: переменная матрицы-суммы, значения первой и второй матрицы.
В основной ветке программы процедуры последовательно вызываются.
Следует обратить внимание, что randomize вызывается единожды в основной ветке программы. Если данную команду вставить в процедуру заполнения массива, то оба массива будут заполнены одинаковыми числами. Это связано с тем, что «зерно» зависит от таймера, а между двумя вызовами проходит мало времени, чтобы таймер изменил значение. Таким образом, «зерно» в программе надо получать один раз. В этом случае при повторном вызове процедуры отсчет по формуле генерации псевдослучайных чисел продолжается, а не инициируется заново.
Программа на языке Паскаль:
const N = 2; M = 5; type arr = array[1..N,1..M] of integer; var one,two,three: arr; i,j: byte; procedure matrix(var a: arr); begin for i:=1 to N do for j:=1 to M do a[i,j] := random(100); end; procedure plus(var a: arr; b: arr; c: arr); begin for i:=1 to N do for j:=1 to M do a[i,j] := b[i,j]+c[i,j]; end; procedure printer(a: arr); begin for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do write(a[i,j]:4); writeln; end; end; begin randomize; matrix(one); printer(one); writeln; matrix(two); printer(two); writeln; plus(three,one,two); printer(three); end.
Пример выполнения программы, вычисляющей сумму двух матриц:
67 47 72 3 57 72 99 89 94 90 3 24 12 81 56 99 76 37 21 4 70 71 84 84 113 171 175 126 115 94
pas1.ru
Матрицы, основные операции с матрицами
Определение матрицы
Матрицей размера называется набор чисел, записанных в таблицу из строк и столбцов:
Матрицу часто окружают обычными скобками:
Эти две записи матриц эквиваленты.
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.
Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.
Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,
Тогда матрицы и равны, если для любого и для любого .
Сложение матриц
Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.
Пусть
Суммой матриц и называется матрица
То есть матрица является суммой матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме элементов матриц и , стоящих на тех же местах.
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число (обозначается ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на . То есть
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.
Матрица называется противоположной матрице . Разностью матриц и называется сумма .
Пример. Найти сумму и разность матриц
Решение. Сумма матриц
Разность матриц
Транспонирование матриц
Рассмотрим матрицу
состоящую из строк и столбцов. Матрица , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы , называется транспонированной по отношению к и обозначается :
Пример. Транспонировать матрицу
Решение.
umath.ru
Сумма матриц Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица.Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Для матрицы определены следующие алгебраические операции:
- сложение матриц, имеющих один и тот же размер[⇨];
- умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n{\displaystyle n} столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n{\displaystyle n} строк)[⇨];
- в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)[⇨];
- умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)[⇨].
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория
ru-wiki.ru
Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?
Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… … Википедия
Сумма — (от лат. summa итог, общее количество) результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… … Большая советская энциклопедия
матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… … Энциклопедический словарь
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например … Википедия
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… … Большой Энциклопедический словарь
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда … Естествознание. Энциклопедический словарь
матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… … Справочник технического переводчика
Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы … Экономико-математический словарь
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера
Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части блоки (клетки): , где блок имеет размер … Википедия
сумма матриц — это… Что такое сумма матриц?
Сумма матриц — … Википедия
Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… … Википедия
Сумма — (от лат. summa итог, общее количество) результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… … Большая советская энциклопедия
матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… … Энциклопедический словарь
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например … Википедия
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… … Большой Энциклопедический словарь
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда … Естествознание. Энциклопедический словарь
матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… … Справочник технического переводчика
Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы … Экономико-математический словарь
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера
Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части блоки (клетки): , где блок имеет размер … Википедия
dic.academic.ru
Суммы элементов строк матрицы
Если поставлена задача вычислить сумму элементов каждой строки матрицы, то алгоритм ее выполнения таков:
- По-строчно перебираем элементы матрицы (внешний цикл отвечает за переход к новой строке, счетчик — первый индекс элементов).
- Во внешнем цикле перед внутренним присваиваем переменной для суммы значение 0. В ней будет накапливаться сумма элементов текущей строки, элементы которой перебираются во внутреннем цикле.
- После внутреннего цикла выводим значение переменной-суммы на экран.
Ниже в примере решения данной задачи заполнение матрицы, вывод элементов на экран и подсчет суммы выполняются внутри одного цикла. Это сделано не только для сокращения кода программы, но и для красивого вывода. После того, как выводятся элементы очередной строки, в конце этой же строки выводится их сумма.
const
M = 7;
N = 5;
var
mat: array[1..N,1..M] of real;
i, j: byte;
sum: real;
begin
for i:=1 to N do begin
sum := 0;
for j:=1 to M do begin
mat[i,j] := random();
write(mat[i,j]:6:2);
sum := sum + mat[i,j];
end;
writeln ('|', sum:6:2);
end;
end.Пример выполнения:
0.55 0.59 0.72 0.84 0.60 0.86 0.54| 4.71 0.85 0.42 0.62 0.65 0.38 0.44 0.30| 3.66 0.89 0.06 0.96 0.27 0.38 0.48 0.79| 3.84 0.81 0.53 0.48 0.57 0.39 0.93 0.84| 4.54 0.07 0.34 0.09 0.65 0.02 0.37 0.83| 2.36
Если поставлена задача нахождения суммы элементов только определенной строки матрицы, то в решении используется только один цикл (без вложенного). Перебираются только элементы указанной строки. При этом меняется значение только второго индекса, а первый всегда постоянен — это номер строки.
Программа ниже усложнена тем, что пользователь сам определяет номер строки матрицы, элементы которой необходимо просуммировать. Если поставлена задача, в которой конкретно задается строка, то вместо переменной num следует использовать число, обозначающее номер строки. Например, для третьей строки выражение sum := sum + mat[num,j] следует заменить на sum := sum + mat[3,j].
const
M = 7;
N = 5;
var
mat: array[1..N,1..M] of real;
i, j: byte;
sum: real;
num: byte;
begin
for i:=1 to N do begin // только заполняем и выводим матрицу
for j:=1 to M do begin
mat[i,j] := random();
write(mat[i,j]:6:2);
end;
writeln;
end;
write('Введите номер строки: ');
readln(num);
sum := 0;
for j:=1 to M do // считаем сумму элементов заданной строки
sum := sum + mat[num,j];
writeln('Сумма ее элементов: ', sum:6:2);
end.Пример выполнения:
0.55 0.59 0.72 0.84 0.60 0.86 0.54 0.85 0.42 0.62 0.65 0.38 0.44 0.30 0.89 0.06 0.96 0.27 0.38 0.48 0.79 0.81 0.53 0.48 0.57 0.39 0.93 0.84 0.07 0.34 0.09 0.65 0.02 0.37 0.83 Введите номер строки: 2 Сумма ее элементов: 3.66
pas1.ru
Сумма матриц — это… Что такое Сумма матриц?
Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… … Википедия
Сумма — (от лат. summa итог, общее количество) результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… … Большая советская энциклопедия
матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… … Энциклопедический словарь
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например … Википедия
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… … Большой Энциклопедический словарь
МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда … Естествознание. Энциклопедический словарь
матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… … Справочник технического переводчика
Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы … Экономико-математический словарь
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера
Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части блоки (клетки): , где блок имеет размер … Википедия
dikc.academic.ru