Сумма матрицы – определения, свойства и примеры решения задач

Сумма матриц

 

Описание переменных: 

one, two - исходные матрицы;
three - матрица-сумма двух предыдущих;
matrix - процедура, заполняющая массив случайными числами;
printer - процедура, выводящая содержимое массивов на экран;
plus - процедура, вычисляющая сумму матриц.

Алгоритм решения задачи: 

Под суммой матриц будем понимать сложение их элементов, находящихся в одинаковых позициях (имеющих одинаковые индексы). Таким образом уместно складывать матрицы одинаковой размерности. При этом будет получена третья матрица с такой же размерностью как исходные.

При решении подобной задачи лучше использовать подпрограммы (процедуры или функции), так как нам приходится заполнять несколько массивов и выводить их на экран. Без подпрограмм в коде будет содержаться много почти идентичного кода.

Используются процедуры, а не функции, так как при заполнении массивов в подпрограмму передается переменная, а не значение. Таким образом, процедура заполняет "внешнюю" для нее матрицу.

В процедуру, вычисляющую сумму матриц, передается три параметра: переменная матрицы-суммы, значения первой и второй матрицы.

В основной ветке программы процедуры последовательно вызываются.

Следует обратить внимание, что randomize вызывается единожды в основной ветке программы. Если данную команду вставить в процедуру заполнения массива, то оба массива будут заполнены одинаковыми числами. Это связано с тем, что "зерно" зависит от таймера, а между двумя вызовами проходит мало времени, чтобы таймер изменил значение. Таким образом, "зерно" в программе надо получать один раз. В этом случае при повторном вызове процедуры отсчет по формуле генерации псевдослучайных чисел продолжается, а не инициируется заново.

Программа на языке Паскаль: 

 

const N = 2; M = 5;
type arr = array[1..N,1..M] of integer;
var
	one,two,three: arr;
	i,j: byte;
 
procedure matrix(var a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := random(100);
	end;
 
procedure plus(var a: arr; b: arr; c: arr);
	begin
		for i:=1 to N do
			for j:=1 to M do
				a[i,j] := b[i,j]+c[i,j];
	end;
 
procedure printer(a: arr);
	begin
		for i:=1 to N do begin
			for j:=1 to M do
				write(a[i,j]:4);
			writeln;
		end;
	end;
 
begin 
	randomize;
	matrix(one);
	printer(one);
	writeln;
	matrix(two);
	printer(two);
	writeln;
	plus(three,one,two);
	printer(three);
end.

 

Пример выполнения программы, вычисляющей сумму двух матриц:

  67  47  72   3  57
  72  99  89  94  90
 
   3  24  12  81  56
  99  76  37  21   4
 
  70  71  84  84 113
 171 175 126 115  94

 

pas1.ru

Матрицы, основные операции с матрицами

Определение матрицы

Матрицей размера называется набор чисел, записанных в таблицу из строк и столбцов:

   

Матрицу часто окружают обычными скобками:

   

Эти две записи матриц эквиваленты.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству её столбцов, то матрица называется квадратной, а число её строк (столбцов) — порядком матрицы.

Матрицы, не являющиеся квадратными, называют прямоугольными.

Говорят, что две матрицы равны, если они имеют одинаковые размеры и все их элементы, стоящие на одинаковых позициях, равны. Пусть, например,

   

Тогда матрицы и равны, если для любого и для любого .

Сложение матриц

Для матриц с одинаковым количеством строк и столбцов вводится понятие суммы.

Пусть

   

Суммой матриц и называется матрица

   

То есть матрица является суммой матриц и , если каждый элемент матрицы равен сумме элементов матриц и , стоящих на тех же местах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число (обозначается ) называется матрица , все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на . То есть

   

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0.

Матрица называется противоположной матрице . Разностью матриц и называется сумма .

Пример. Найти сумму и разность матриц

   

Решение. Сумма матриц

   

Разность матриц

   

Транспонирование матриц

Рассмотрим матрицу

   

состоящую из строк и столбцов. Матрица , все столбцы которой равны соответствующим строкам матрицы , называется транспонированной по отношению к и обозначается :

   

Пример.

Транспонировать матрицу

   

Решение.

   

umath.ru

Сумма матриц Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

  • сложение матриц, имеющих один и тот же размер
    [⇨]
    ;
  • умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n{\displaystyle n} столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n{\displaystyle n} строк)[⇨];
  • в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)[⇨];
  • умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)[⇨].

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.

[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами билинейных (квадратичных) форм.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория

ru-wiki.ru

Сумма матриц - это... Что такое Сумма матриц?

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dic.academic.ru

    сумма матриц - это... Что такое сумма матриц?

  • Сумма матриц — …   Википедия

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dic.academic.ru

    Суммы элементов строк матрицы

    Если поставлена задача вычислить сумму элементов каждой строки матрицы, то алгоритм ее выполнения таков:

    1. По-строчно перебираем элементы матрицы (внешний цикл отвечает за переход к новой строке, счетчик - первый индекс элементов).
    2. Во внешнем цикле перед внутренним присваиваем переменной для суммы значение 0. В ней будет накапливаться сумма элементов текущей строки, элементы которой перебираются во внутреннем цикле.
    3. После внутреннего цикла выводим значение переменной-суммы на экран.

    Ниже в примере решения данной задачи заполнение матрицы, вывод элементов на экран и подсчет суммы выполняются внутри одного цикла. Это сделано не только для сокращения кода программы, но и для красивого вывода. После того, как выводятся элементы очередной строки, в конце этой же строки выводится их сумма.

    const
        M = 7;
        N = 5;
    var
        mat: array[1..N,1..M] of real;
        i, j: byte;
        sum: real;
    begin 
        for i:=1 to N do begin
            sum := 0;
            for j:=1 to M do begin
                mat[i,j] := random();
                write(mat[i,j]:6:2);
                sum := sum + mat[i,j];
            end;
            writeln ('|', sum:6:2);
        end; 
    end.

    Пример выполнения:

      0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54|  4.71
     
      0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30|  3.66
     
      0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79|  3.84
     
      0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84|  4.54
     
      0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83|  2.36

    Если поставлена задача нахождения суммы элементов только определенной строки матрицы, то в решении используется только один цикл (без вложенного). Перебираются только элементы указанной строки. При этом меняется значение только второго индекса, а первый всегда постоянен - это номер строки.

    Программа ниже усложнена тем, что пользователь сам определяет номер строки матрицы, элементы которой необходимо просуммировать. Если поставлена задача, в которой конкретно задается строка, то вместо переменной num следует использовать число, обозначающее номер строки. Например, для третьей строки выражение sum := sum + mat[num,j] следует заменить на sum := sum + mat[3,j].

    const
        M = 7;
        N = 5;
    var
        mat: array[1..N,1..M] of real;
        i, j: byte;
        sum: real;
        num: byte;
    begin 
        for i:=1 to N do begin // только заполняем и выводим матрицу
            for j:=1 to M do begin
                mat[i,j] := random();
                write(mat[i,j]:6:2);
            end;
            writeln;
        end; 
        write('Введите номер строки: ');
        readln(num);
        sum := 0;
        for j:=1 to M do // считаем сумму элементов заданной строки
            sum := sum + mat[num,j];
        writeln('Сумма ее элементов: ', sum:6:2);
    end.

    Пример выполнения:

      0.55  0.59  0.72  0.84  0.60  0.86  0.54
     
      0.85  0.42  0.62  0.65  0.38  0.44  0.30
     
      0.89  0.06  0.96  0.27  0.38  0.48  0.79
     
      0.81  0.53  0.48  0.57  0.39  0.93  0.84
     
      0.07  0.34  0.09  0.65  0.02  0.37  0.83
     
    Введите номер строки: 2
     
    Сумма ее элементов:   3.66

    pas1.ru

    Сумма матриц - это... Что такое Сумма матриц?

  • Сумма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. сумма. Сумма (лат. summa итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности,… …   Википедия

  • Сумма — (от лат. summa итог, общее количество)         результат сложения (См. Сложение) величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства перестановочности, сочетательности, а также распределительности по… …   Большая советская энциклопедия

  • матричная алгебра — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число α  матрица ||αaik||. Сумма матриц ||aik|| и ||bik||  матрица ||aik + bik||. Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда… …   Энциклопедический словарь

  • Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например …   Википедия

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами. Произведение матрицы на число ? матрица . Сумма матриц и матрица . Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго;… …   Большой Энциклопедический словарь

  • МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвящённый правилам действий над матрицами. Произведение матрицы ||aik|| на число ос матрица ||альфа*аik||. Сумма матриц ||аik|| и ||bik|| матрица ||aik + bik|| Умножение матриц ||aik|| и ||bkl|| определяется лишь в случае, когда …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • матричная алгебра — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] матричная алгебра Математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой… …   Справочник технического переводчика

  • Матричная алгебра — [matrix algebra] математическая дисциплина, посвященная правилам действий над матрицами. Произведение матрицы [aij] на скаляр a представляет собой матрицу [aaij], то есть матрицу, элементы которой образованы умножением всех элементов этой матрицы …   Экономико-математический словарь

  • АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… …   Энциклопедия Кольера

  • Блочная матрица — Блочная (клеточная) матрица  представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части  блоки (клетки): , где блок имеет размер …   Википедия

  • dikc.academic.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *