Примеры на деление и умножение дробей – . .

Умножение дробей. Деление Дробей.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.

Для того чтобы умножить две дроби надо:

• перевести дроби в неправильные;
• перемножить их числители и записать результат в числитель;
• перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель;
• если можно сократить;

Пример 1. Умножить \(\frac{7}{8}\) и \(\frac{5}{6}\):

 

 

При делении дробей вторую дробь нужно перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем выполнить умножение:

                                                                                  

Две дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\).

Пример: 3/4 и 4/3 являются взаимно обратными, так как в результате дают \(1\):

Также стоит помнить, что на ноль делить нельзя.

---

Задача 1. Умножить \(2\frac{5}{7} \) и \(2 \frac{8}{9}\).

Решение.

\(\frac{19}{7}*\frac{26}{9}\)=\(\frac{494}{63}\)\(=7\frac{53}{63}\)

Ответ: \(7\frac{53}{63}\).

Задача 2. Разделить \(2\frac{5}{6}\) и \(\frac{3}{4} \).

Решение. 

\(\frac{17}{6}:\frac{3}{4}\)\(=\frac{17*4}{6*3}=\frac{17*2}{3*3}=\frac{34}{9}=3\frac{7}{9}\)

Ответ: \(3\frac{7}{9}\).

 

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

«Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КОСТАНАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Реферат

На тему: «Сложение и вычитание, деление и умножение обыкновенных дробей».

Костанай

2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории обыкновенных дробей ………………………………………..3

2. Действия с обыкновенными дробями …………..…………………………..5

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей …………………………..5

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей ………………………….7

3. Примеры на сложение, вычитание, умножение и деление дробей ……. 10

4. Список литературы ……………………………………………………………11

1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21: 5/21

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, — постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса — “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель — снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Обыкновенная дробь – это число вида

, где m и n – натуральные числа, например . Число m называется числителем дроби, n – знаменателем. Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной , если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной , если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

2. Действия с обыкновенными дробями.

2.1. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Сложение обыкновенных дробей выполняется так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

;

б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби, т.е.

.

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т.е.

.

б) если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем от числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, т.е.

.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2.2. Умножение и деление обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:

mirznanii.com

Умножение и деление дробей | umath.ru

Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей этих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

Это правило записывается так:

   

если

Пример 2. Найти произведение дробей и

Решение.

   

Дроби и называются обратными друг другу. Их произведение равно 1.

Деление дробей

Пусть частное от деления дроби на дробь равно Тогда по определению частного верно равенство

   

Найдём это Для этого умножим обе части этого равенства на дробь Получим

   

То есть

   

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

← назад | далее →

umath.ru

Тренажёр по математике (5 класс) на тему: Умножение и деление десятичных дробей

	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
1	0,2∙3 0,7∙6 0,03∙2 4∙0,08 1,3∙2	1,2∙3 0,3∙2 0,9∙8 0,02∙3 6∙0,05	0,15∙10 3∙0,7 0,05∙8 0,16∙5 2,5∙4	0,6:2 1,5:3 6:10 7,2:2 0,012:4	1,9:10 0,6:3 29:10 0,64:8 2,8:8	17:100 2,4:12 3:6 0,4:5 4,8:12	0,8:2 2,7:9 0,054:6 32:10 0,16:4
2	0,04∙3 0,1∙7 0,8∙9 4∙0,006 0,09∙0	0,07∙0 1,3∙4 0,1∙8 0,06∙3 0,7∙8	0,03∙10 1,2∙5 0,07∙8 1,5∙4 0,27∙10	27:10 0,18:9 0,4:2 4,2:7 0,056:8	2,6:13 1,7:10 15:30 7,5:25 2:10	5:25 0,02:4 0,3:2 3,7:100 3,9:13	1,2:40 4:10 20:40 2,3:10 4,5:15
3	0,2∙6 0,07∙4 0,6∙7 0,5∙2 0,08∙6	7∙0,006 0,3∙5 0,09∙4 0,8∙8 0,23∙1	3∙0,17 0,04∙100 0,18∙5 0,05∙2 4∙0,21	0,14:7 4,8:8 0,28:4 450:100 0,045:9	4,2:14 4:5 0,9:10 0,03:6 0,6:30	0,49:0,7 0,016:0,8 1:0,5 1,6:0,4 100:125	0,7:0,35 0,4:0,8 0,72:0,9 1:0,25 2,8:0,14
4	0,2∙5 0,9∙7 1∙0,46 2,1∙3 0,004∙7	0,07∙7 0,5∙4 0,4∙5 0,7∙6 3,2∙2	0,07∙100 9∙0,09 5∙1,6 10∙0,46 1,25∙4	2,4:8 0,21:3 1:2 0,35:7 2,9:10	2,4:1000 3,6:18 3:2 0,7:2 31:10	0,7:0,2 4,5:0,9 3:0,1 0,32:0,4 7,5:0,25	3,6:0,04 270:100 0,12:6 0,072:9 0,28:7
5	0,6∙5 1,2∙5 1,3∙2 0,4∙9 0,004∙5	0,002∙5 0,5∙7 0,8∙5 1,4∙5 2,2∙3	3,5∙2 3∙0,19 0,26∙100 4∙0,17 100∙0,038	34:10 5,6:7 0,8:4 0,025:5 0,81:9	0,04:8 0,2:5 37:100 2:4 28:140	6,4:0,8 0,2:0,04 0,6:0,5 0,7:0,01 2:0,5	5:0,2 0,24:0,6 1:0,125 0,6:0,1 4,8:0,008

nsportal.ru

Деление десятичных дробей, умножения десятичных дробей

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
1. выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;
2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.

Перемножим дроби 13,2% и 0,2. Выполнив умножение, не обращая внимания на запятые, получим: . Отделим запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе, то есть две цифры .

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждый из которых равен данному десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:
1. умножить его на это число, не обращая внимания на запятую;
2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Пример:

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Деление десятичных дробей

Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2. поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Деление на десятичную дробь

Деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число.

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:
1) в деленному и делителе перенести запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число;
3) если в деленному не хватает знаков, то справа приписывают нули.

Правило является следствием основного свойства дроби (черту дроби заменяем делением): числитель и знаменатель дроби можно умножить на отличное от нуля число (расширить дроби).

В данном случае умножаем на 10,100,1000 и т.д.

Например,

Короче можно записать так:

Перенесли кому в деленному 2,5 и в делителе 0,5 на столько знаков, сколько их после запятой в делителе 0,5, то есть на один знак.

Деление десятичных дробей на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в нем запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит перед единицей в делителе (или умножить делимое и делитель на 10, 100, 1000і т.д.). Если цифр не хватает, сначала надо приписать в конце десятичной дроби нули (сколько необходимо).

Рассмотрим примеры деления на 0,1; 0,01; 0,001, применив правило деления на десятичную дробь:

• в деленному и делителе переносим запятую вправо на столько цифр,
  сколько их после запятой в делителе;
• после этого выполняем деление на натуральное число.

 

cubens.com

Умножение и деление дробей | Учеба-Легко.РФ

Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь — это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.

Умножение и деление дробей

Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.

Например:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25  Важно помнить это свойство дроби при делении.

Умножение и деление с целым числом

Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.

Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3

                      14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Как видно  в этих примерах всё сводится  к обычному умножению или делению дробей.

Умножение и деление больших дробей

В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными

В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.

Покажем это на примере :

3

—

5

—     =     (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

7   

—     

2

Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.

Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.

Например :

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Пример довольно всё хорошо объясняет нам.

Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.

Например:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3)  = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств

Сокращение дробей при умножении и делении

Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь

Например:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = {Сокращаем на 2} = 3/10

Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор

3/10 = 0.3

Несколько полезных советов

Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:

1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.

2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.

3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.

uclg.ru