Обл значений функции – , , .

Область значения и область определения числовой функции

Контрольная работа

по дисциплине: «Математика»

Область значения и область определения числовой функции

Введение

Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 -5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства

Функция — зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х — независимая переменная или аргумент.

Переменная у — зависимая переменная

Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции — все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений) — все значения, которые принимает функция.

Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство

f(x)=f( —x)

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f( —x)= —f(x)

Возрастающая функция — если для любых х₁и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция — если для любых х₁и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Раздел 2. Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы

у=f(x), где f(x) — с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 3. Виды функций и их свойства

1. Постоянная функция — функция, заданная формулой у=b, где b —некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2. Прямая пропорциональность —

   функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число kназывается коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел

2. y=kx — нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где kиb —действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения — множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b

   общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность — функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения — множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x — нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке ( -;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке ( -;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции y=x²

:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. y=x² — четная функция

3. На промежутке [0;+) функция возрастает

4. На промежутке ( -;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. y=x³ —нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем — функция, заданная формулой y=xⁿ, где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³

. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n — произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xⁿобладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем — функция, заданная формулой y=x ^—n, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция

y=x ^—nобладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n — четное число, например n=2.

Свойства функции y=x ^-2:

1. Функция определена при всех x0

2. y=x ^-2 — четная функция

3. Функция убывает на (0;+) и возрастает на ( -;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=х

Свойства функции y=х:

1. Область определения — луч [0;+).

2. Функция y=х — общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+).

10)Функция y=³х

Свойства функции y=³х:

1. Область определения — вся числовая прямая

2. Функция y=³х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=ⁿх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=ⁿх обладает теми же свойствами, что и функция y=³х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем — функция, заданная формулой y=x^r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

1. Область определения — луч [0;+).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+).

На рисунке изображен график функции y=x

5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r , где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем —функция, заданная формулой y=x ^—r, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x ^—r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y

_o уравнениеf(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция — функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

функция возрастание убывание

Заключение

Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический налет».

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».

Список использованной литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: «Дрофа», 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: «Проспект», 2003 года.

3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: «Просвещение», 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: «НГТУ», 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: «Физматлит», 2002 года.

studfiles.net

Алгебра (9 класс)/Квадратичная функция/Функция. Область определения и область значений функции

Теория

Функция

Функция —- зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: y=f(x){\displaystyle y=f(x)} («игрек равно эф от икс»). Символом f(x){\displaystyle f(x)} также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

Пример 1

Медицинский термометр

Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет зависеть от температуры вашего тела. Например, если x —- температура вашего тела в градусах Цельсия, а y —- высота, на которую поднимется ртуть в миллиметрах, то записать зависимость x от y можно так: y=f(x){\

ru.wikiversity.org

Что такое область значения функции? мне нужно определение.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции. Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

touch.otvet.mail.ru