Как найти скорость и ускорение пружинного маятника – Пружинный маятник, формулы и примеры

Содержание

Пружинный маятник, формулы и примеры

Определения и формулы пружинного маятника

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):

   

здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела. По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю. Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела. Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Пружинные маятники: графики, скорости, пути.

В этой статье все задачи связаны с пружинным маятником. Мы научимся читать информацию о колебаниях по графику смещения, находить скорость по зависимости смещения от времени, записывать закон колебаний.

Задача 1. Во сколько раз отличаются периоды колебаний пружинных маятников одинаковой массы, составленных из двух пружин жесткостью и , соединенных один раз последовательно, а другой раз параллельно?

При последовательном соединении определим жесткость такого соединения:

   

   

Если на последовательное соединение воздействует сила , то первая пружина удлинится на , а вторая на , а вместе их удлинение составит величину

   

Тогда

   

   

Тогда период колебаний равен

   

При параллельном соединении пружин их жесткости складываются, поэтому период будет равен

   

Теперь определим отношение периодов:

   

Ответ:

 

Задача 2. На пружине жесткостью Н/м подвешен груз массой г. Построить график зависимости смещения этого груза, если амплитуда А = 10 см, а в начальный момент времени груз проходил положение равновесия.

Определим период колебаний такой системы:

   

Тогда угловая частота будет равна

   

Теперь можно записать закон колебаний (колебания будут происходить по синусоидальному закону, так как если бы это был косинус – то тело бы находилось в начальный момент в самой дальней от положения равновесия точке):

   

Начальная фаза колебаний равна нулю – это следует из условия, что груз проходил положение равновесия в начальный момент времени.

   

Теперь можно и график построить:

К задаче 2

 

 

Задача 3. Груз массой 2 кг подвешен на пружине и совершает колебания, график которых приведен на рисунке . Определить жесткость пружины.

К задаче 3

Из графика определяем: м, с. Тогда

   

   

Откуда жесткость пружины равна

   

Ответ: Н/м.

 

Задача 4. Телу массой , подвешенному на пружине жесткостью , в положении равновесия сообщают скорость , направленную вертикально вниз. Определить путь, пройденный телом, за промежуток времени от  до , считая возникающие колебания гармоническими.

Закон колебаний может быть записан:

   

Начальная фаза равна нулю, так как указано, что скорость сообщили телу в положении равновесия.

Скорость является производной координаты:

   

Так как скорость максимальна  именно при прохождении телом положения равновесия, то . Следовательно, амплитуда колебаний

   

Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на первой четверти периода).

   

   

Ответ: .
Задача 5. Тело, подвешенное на пружине, смещают из положения равновесия вертикально вниз на расстояние и отпускают. Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от  до , считая возникающие колебания гармоническими.

Максимальное смещение тела – амплитуда колебаний – равно .

   

Путь – это разность координат и – это справедливо, так как движение от до происходит в одну сторону (на второй четверти периода) Но на второй четверти тело уже возвращается обратно к положению равновесия, следовательно, координата его первоначального положения больше, чем координата последующего положения, тогда:

   

   

Ответ: .

easy-physic.ru

период и амплитуда колебани1, формула, жесткость

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств. Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

 

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

  1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
  2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
  3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
  4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

  1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
  2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
  3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

  1. Создание запорных элементов.
  2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

  1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
  2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
  3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
  4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

  1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

  1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
  2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

  1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
  2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
  3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
  4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
  5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).

В приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:

  1. Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
  2. После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

  1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
  2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x2+v2/w2. Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

  1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
  2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
  3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
  4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx2/2+mw2x2/2=const. Применяемая формула говорит о следующем:

  1. Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
  2. На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

  1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
  2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

stankiexpert.ru

Формулы пружинного маятника в физике

Определение и формулы пружинного маятника

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(1\right),\]

где ${щu}^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(2\right),\]

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

\[Re\ \tilde{x}=Re\left(A\cdot exp\ \left(i\left({\omega }_0t+\varphi \right)\right)\right)\left(3\right).\]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(4\right).\]

Так как частота колебаний ($\nu $) - величина обратная к периоду, то:

\[\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right).\]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

\[A=\sqrt{x^2_0+\frac{v^2_0}{{\omega }^2_0}}\left(6\right),\]

начальная фаза при этом:

\[tg\ \varphi =-\frac{v_0}{x_0{\omega }_0}\left(7\right),\]

где $v_0$ - скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

\[E_p=-\frac{dF}{dx}(8)\]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}\left(9\right).\]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

\[\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{m{{\omega }_0}^2x^2}{2}=const\ \left(10\right),\]

где $\dot{x}=v$ - скорость движения груза; $E_k=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}$ - кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

\[E_{pmax}=E_{kmax\ }\left(1.1\right),\]

где $E_{pmax}$ - потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax\ }$ - кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

\[E_{kmax\ }=\frac{mv^2}{2}\left(1.2\right).\]

Потенциальная энергия равна:

\[E_{pmax}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.3\right).\]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

\[\frac{mv^2}{2}=\frac{k{x_0}^2}{2}\left(1.4\right).\]

Из (1.4) выразим искомую величину:

\[x_0=v\sqrt{\frac{m}{k}}.\]

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

\[x_0=1\cdot \sqrt{\frac{0,36}{1600}}=1,5\ \cdot {10}^{-3}(м).\]

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{\cos \left(\omega t\right),\ \ }\ $где $A$ и $\omega $ - постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

\[F=-kx=-kA{cos \left(\omega t\right)\left(2.1\right).\ \ }\]

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{kA^2{{\cos }^2 \left(\omega t\right)\ }}{2}\left(2.2\right).\]

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

\[\frac{E_{p0}}{F_0}=-\frac{A}{2}{\cos \left(\omega t\right)\ }\to t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }.\]

Ответ. $t=\frac{1}{\omega }\ arc{\cos \left(-\frac{2E_{p0}}{AF_0}\right)\ }$

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

www.webmath.ru

как найти скорость и ускорение пружинного маятника

Вы искали как найти скорость и ускорение пружинного маятника? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и колебания пружинного маятника, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «как найти скорость и ускорение пружинного маятника».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти скорость и ускорение пружинного маятника,колебания пружинного маятника,период колебания пружинного маятника формула,период пружинного маятника формула,пружинного маятника формулы,пружинный маятник,пружинный маятник формулы,формула амплитуды колебаний пружинного маятника,формула периода колебаний пружинного маятника,формула периода колебания пружинного маятника,формула периода пружинного маятника,формула пружинного маятника,формула частоты колебаний пружинного маятника,частота колебаний пружинного маятника формула,частота пружинного маятника формула. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти скорость и ускорение пружинного маятника. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, период колебания пружинного маятника формула).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти скорость и ускорение пружинного маятника Онлайн?

Решить задачу как найти скорость и ускорение пружинного маятника вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

1.2. Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки

Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения точки по времени (за основу возьмем второе из пары уравнений (1.1)):

. (1.4)

Здесь max = Aω0-максимальнаяскорость,илиамплитуда скорости.

Ускорение – это втоpая пpоизводная от смещения точки по времени:

(1.5)

где amax = Aω02 -максимальное ускорение,илиамплитуда ускорения.

Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение, скорость и ускорение не совпадают по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени, когда смещение максимально, скоpость pавна нулю, а ускоpение пpинимает максимальное отpицательное значение. Смещение и ускоpение находятся впpотивофазе- так говоpят, когда pазность фаз pавна. Ускоpение всегда напpавлено в стоpону, пpотивоположную смещению.

Полная энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энеpгий колеблющейся точки:

W = Wк + Wп = m 2 / 2 + kx2 / 2.

Подставим в это выражение формулы (1.4) и (1.1) с учетом k = mω02(как будет показано ниже), получим

W = k A2 / 2 =m A2 ω02 /2. (1.6)

Из сопоставления графиков функций х(t), Wк(t) и Wп(t) (рис.1.3) видно, что частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний смещения.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Cреднее значение потенциальной и кинетической энергии за периодТравно половине полной энергии (рис. 1.3):

П р и м е р 1. Материальная точка массой 5 г совершает колебания согласно уравнению гдеx – смещение, см. Определить максимальную силу и полную энергию.

Р е ш е н и е. Максимальная сила выражается формулойгде(см. формулу (1.5)). ТогдаFmax=mAω02. Из уравнения колебания следует, чтоПодставим числовые значения:Fmax=5∙10-3 0,1∙4 = 2∙10-3Н = 2мН.

Полная энергия В итогеE= 0,5∙5∙10-3∙4∙10-2= 10-4Дж.

1.3. Диффеpенциальное уpавнение

Свободных незатухающих колебаний. Маятники

Система, состоящая из тела массой m, подвешенного к пружине, второй конец которой закреплён, называютпружинным маятником(рис. 1.4). Такая система служит модельюлинейного осциллятора.

Если растянуть (сжать) пружину на величину х, то возникнет упругая сила, которая стремится вернуть тело в положение равновесия. При небольших деформациях справедлив закон Гука:F = - kx, гдеk- коэффициент жесткости пpужины. Запишем второй закон Ньютона:

ma = - kx. (1.7)

Знак «минус» означает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению x.Подставим в это уpавнение ускоpениеaколеблющейся точки из уpавнения (1.5), получим - m ω02 x = - k x, откудаk = m ω02, Пеpиод колебаний

(1.8)

Таким образом, период колебаний не зависит от амплитуды.

П р и м е р 2. Под действием силы тяжести груза пружина растянулась на 5 см. После вывода ее из состояния покоя груз совершает гармонические колебания. Определить период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Период колебаний пружинного маятника находим по формуле (1.8). Коэффициент жесткости пружины рассчитаем по закону Гука, исходя из того, что пружина растягивается под действием силы тяжести:mg = - kx, откуда модульk = mg/x. Подставимkв формулу (1.8):

Выполним вычисления и вывод единицы измерения:

Из формулы (1.7) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

или

Заменив отношение k/m = ω02 , получимдифференциальное уравнениесобственных незатухающих колебаний в виде

(1.9)

Его решениями являются выражения (1.1).

П р и м е р 3. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний имеет вид. Найти частоту и период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в виде:.

Отсюда следует, чтоаПериод колебаний определяется по формуле:Следовательно,Т= 2∙3,14/2 = 3,14 с.

Физическим маятникомназывают твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.5), проходящей через точкуО, не совпадающую с центром массС тела.

Момент силы тяжести mgотносительно оси вращенияО

,

где - длина физическогомаятника(pасстояние от точки подвеса до центpа масс маятника = OC).

По основному закону динамики вpащательного движения I = M, ЗдесьI– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвесаО, - угловое ускорение.

Для малых отклонений sin = , тогда

(1.10)

Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует, что и пеpиод колебаний

(1.11)

Математический маятникпредставляет собой материальную точку массойm, подвешенную на абсолютно упругой нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести (рис. 1.6).

В формулу (1.11) подставим момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку подвеса, , получим

Рис. 1.6

. (1.12)

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что физический маятник имеет такой же период колебаний, как и математический с длиной

.

Эту величину называют приведённой длинойфизического маятника. Отметим, чтоI- момент инеpцииотносительнооси, пpоходящей чеpез точку подвесаO. По теоpеме Штейнеpа

где IC - момент инеpцииотносительно оси,пpоходящей чеpез центp массмаятника. Пpедставим пpиведенную длину маятника в виде

откуда видно, что пpиведенная длина физического маятника больше его длины

Если от точки подвеса О отложить(см. рис. 1.5), то найдём точкуО1, которая называетсяцентром качания. Точка подвеса и центр качания являются сопряженными. Это значит, что маятник, подвешенный за центр качанияО1, не изменит периода колебаний, а точкаOсделается новым центром качания.

П р и м е р 4. Однородный стержень длинойb совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис.1.7). Определить период колебаний.

Ре ш е н и е. Воспользуемся формулой для определения периода колебаний физического маятника (1.11), где=ОС– расстояние от оси вращения до центра масс. Это расстояниеℓ=b/2 (рис. 1.7). Момент инерции стержня относительно его концаI=1/3mb2. Следовательно,

Сила, возвpащающая маятник в положение pавновесия (рис. 1.6), т. е. пpопоpциональна смещениюx, но эта сила не упpугая по своей пpиpоде, поэтому она называетсяквазиупругой.

Таким образом, механические гармонические колебания возникают в системах под действием сил, пропорциональных смещению.

studfiles.net

Пружинный маятник | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Колебания пружинного маятника.

В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.

Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но ,

тогда: .

Или  - ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.

Выразим ускорение:.

Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .

Видно, что  или  - циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.

Период колебаний  или  (формула Гюйгенса).

Формула Гюйгенса: 

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.

 

Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:.

Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .

Производная суммы равна сумме производных:  и .

Следовательно:,  а значит .

 

В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.

 

www.eduspb.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *