Найти обратную матрицу онлайн с помощью присоединенной матрицы: Обратная матрица онлайн

Обратная матрица. Ранг матрицы — презентация онлайн

Похожие презентации:

Определители матриц. Обратная матрица, ранг матрицы

Матрицы. Элементарные преобразования и действия над матрицами

Обратная матрица

Линейная алгебра. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения

Матрицы и определители

Матрицы. Свойства операций над матрицами. Теорема о ранге матрицы

Матрицы и определители

Матрицы и их виды. Действия над матрицами. Тема 2

Матрицы. Обозначение матриц

Матрицы и определители

Тема 4. «Обратная матрица. Ранг матрицы.»
Основные понятия:
1. Определение обратной матрицы
2. Способы нахождения обратной матрицы
3. Ранг матрицы, способы нахождения ранга
матрицы
1. Определение обратной матрицы
Необходимо: матрица должна быть квадратной.
A 1 называется обратной по отношению к
матрице А, если A A 1 A 1 A E
Матрица
Теорема. Для невырожденной матрицы А существует
1
A
единственная обратная матрица

2. Способы нахождения обратной матрицы
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
1)
Вычисление определителя матрицы А,
2)
Построение матрицы алгебраических дополнений Aij
(присоединенная матрица)
3)
4)
Нахождение
A
T
ij
Нахождение обратной матрицы
T
1
A Aij
1
Обращение матрицы можно осуществить
по следующему правилу.
1. Вычислить определитель исходной матрицы
Δ = det A.
2. Сформировать матрицу из алгебраических
дополнений всех элементов исходной матрицы
Aij ( 1)i j M ij .
3. Транспонировать матрицу алгебраических
дополнений, что дает присоединенную матрицу
по отношению к исходной матрице A.
4. Каждый элемент присоединенной матрицы
разделить на определитель исходной матрицы Δ.
Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
2
4
A
1 4
и доказать, что она обратная.
Решение
1. det A 2 4 1 4 4
2.
3.
4.
4 4
1 2
4 1
4 2
– определитель.
– матрица из алгебраических
дополнений.
– транспонированная матрица
из алгебраических дополнений.
1 4 4
1
1
0.25 0.5
4 1 2
– обратная матрица.
Доказательство: Если A-1 – обратная матрица,
то справедливо выражение AA-1 = E.
2 4
1
1 2 1 4 0.25 2 1 4 0.5 1 0
1 4 0.25 0.5 1 1 4 0.25 1 1 4 0.5 0 1

7. Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n — ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами

8.

Действия над матрицами0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2
T
A 2
A 3 4 строки
2 вычтем
строку
1 1 первую
0
-4
2 -1
Разложим
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
0
A
2
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.5
11) 1 62 1
12 101 (21
31 22
A
(
1
)
6
3 2
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6
Алгоритм нахождения обратной матрицы (Метод Гаусса):
1)
К матрице А справа приписывается Е,
2)
Проделывая преобразования над строками расширенной
матрицей (А|Е), матрицу А приводят к Е,
3)
Справа на месте приписанной матрицы Е будет
получена обратная матрица.
Примеры. Найдем обратные матрицы к матрицам
2 4
,
1 2
1 2 4
0 2 4
3 1 2

10. 3. Ранг матрицы

11. Ранг матрицы (1)

Рассмотрим матрицу
a11
a 21
A
….
a
m1
a12
a 22
….
am2
a 1n
…. a 2 n
….. …..
….. a mn
….
Минором к – го порядка матрицы А
называется определитель к – го порядка
с элементами, стоящими на пересечении
любых к строк и к столбцов.
(k min m, n )

12. Ранг матрицы (2)

Рангом матрицы r(A)
называется наибольший
из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля.

13. Элементарные преобразования матриц

Элементарные
преобразования матриц
Вычеркивание
нулевой строки
Прибавление к
одной из строк другой
строки, умноженной
на любое число
Перестановка
двух строк

14. Элементарные преобразования матриц (1)

Теорема 1.
Любую матрицу с помощью
элементарных преобразований
можно привести к
ступенчатому виду.

15. Элементарные преобразования матриц (2)

Теорема 2.
При элементарных
преобразованиях ранг
матрицы не меняется.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу
(ненулевых) строк.

16. Пример 6 (1)

Найти ранг матрицы:
1 -3 -1
A= 2 1 4 .
3 -2 3

17. Пример 6 (2)

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←

18. Пример 6 (3)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3

19. Пример 6 (4)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←

20. Пример 6 (5)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
0 7 6

21. Пример 6 (6)

Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
↓
0 0 0
←

22.

Пример 6 (7) Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
0
7
6
↓
0 0 0
←
r(A)=2
3. Ранг матрицы, способы нахождения ранга матрицы
Рангом матрицы называют наибольший из порядков ее
миноров, отличных от нуля (обозначается r).
Способ нахождения ранга матрицы (по свойству миноров):
Свойство миноров. Если все миноры порядка k данной
матрицы равны нулю, то все миноры более высокого
порядка также равны нулю.
Следовательно, если среди миноров порядка k данной
матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка
(k+1) равны нулю или не существуют, ранг матрицы
равен k.
Способ нахождения ранга матрицы (сведение матрицы к
квазитреугольной форме).
Пример. Найти ранг матрицы
6
9
3
0
0 2 1 3
5 7 6 6
,
0 1 2 1
5 4 3 2
r 3

English     Русский Правила

Калькулятор сопряженных матриц — MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы найти сопряженную матрицу, которую вы предоставляете, показывая все шаги. Сначала нажмите на одну из кнопок ниже, чтобы указать размерность матрицы.

Затем щелкните первую ячейку и введите значение и перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.

Так же, как и кофакторы, присоединенная матрица тесно связана с обратной матрицей. Действительно, обратная матрица и присоединенная матрица очень похожи.

Справедливости ради стоит отметить, что понятие сопряжения матрицы играет очень важную роль в высшей математике (где вместо матриц мы имеем дело с линейными операторами). Но в математике в колледже единственный раз, когда вы, вероятно, наткнетесь на сопряженное, это когда вы вычислить обратную матрицу используя формулу сопряжения.

2\), которые могут быстро расти с \(n \ge 4\).

Пример расчета сопряженной матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Вычислите соответствующую сопряженную матрицу \(adj A\).

Решение:

Нам нужно вычислить сопряженную матрицу предоставленной матрицы \(3 \times 3\):

Шаг 1: вычислить матрицу кофакторов

Сначала мы вычисляем матрицу миноров. { 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) — 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Подводя итог, матрица несовершеннолетних выглядит следующим образом:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить элементы матрицы кофакторов \(C\), используя формулу

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Приведенную выше формулу можно использовать напрямую, поскольку миноры уже известны. T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

что завершает вычисление сопряженной матрицы.

Калькулятор сопряженных матриц — MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы найти сопряженную матрицу, которую вы предоставляете, показывая все шаги. Сначала нажмите на одну из кнопок ниже, чтобы указать размерность матрицы.

Затем нажмите на первую ячейку и введите значение, и перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.

Так же, как и кофакторы, присоединенная матрица тесно связана с обратной матрицей. Действительно, обратная матрица и сопряженная матрицы очень похожи.

Справедливости ради следует отметить, что понятие сопряжения матрицы играет очень важную роль в высшей математике (где вместо матриц мы имеем дело с линейными операторы). Но в математике колледжа единственный раз, когда вы, вероятно, наткнетесь на сопряженное, это когда вы вычисляете обратную матрицу, используя сопряженное формула.

Как найти сопряженную матрицу?

Во-первых, с точки зрения того, как вычисляется сопряженная матрица, давайте вспомним матрицу миноров, которая вычисляется путем вычисления определителя подматриц, образованных удалением i-й строки и j-го столбца заданной матрица \(А\). {i,j}\] 9{i+j} M_{ij}\]

Наконец, как добраться до сопряженной матрицы? Что такое формула сопряжения?

Просто! После того, как вы уже рассчитали матрицу кофакторов, вам нужно транспонировать матрица чтобы получить сопряженное. Конкретно: 9Т \]

Итак, чтобы облегчить запоминание, мы разбили сопряженную формулу на 3 шага: сначала вы вычисляете матрицу миноров, затем вы вычисляете кофакторы, а затем переставляете кофакторы, чтобы получить сопряженное.

Сопряженное и транспонированное одно и то же?

Хотя сопряженная включает транспонирование матрицы, в общем случае сопряженная и транспонированная матрицы отличаются друг от друга. 92\) субдетерминанты, которые могут быстро расти с \(n \ge 4\).

Пример расчета сопряженной матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \конец{bmatrix}\] 9{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) — 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Подводя итоги, матрица миноров:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \] 9{ 6} \cdot 2 = -2\]

Подводя итог, матрица кофакторов:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0. 6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Вычисление сопряженной матрицы из матрицы кофакторов

Теперь нам нужно транспонировать найденную матрицу кофакторов для вычисления сопряженной матрицы. Получаем: 9Т = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

, что завершает вычисление сопряженной матрицы.

Калькулятор сопряженных матриц (Adjugate Matrix)

Создано Анной Щепанек, доктором философии

Отзыв написан Войцехом Сас, доктором философии, и Джеком Боутером

Последнее обновление: 15 февраля 2022 г.

Содержание:

• Что такое сопряженная матрица (сопряженная матрица)?
• Сопряжение матрицы 2×2
• Как использовать этот калькулятор сопряженных матриц?
• Формула сопряженной матрицы для обращения матрицы
• Часто задаваемые вопросы

Добро пожаловать в калькулятор сопряженных матриц Omni! Здесь вы можете быстро и легко определить сопряженную (а. к.а. сопряженную) квадратную матрицу. Не знаете, что такое сопряжение матрицы? Нужно быстро напомнить как найти сопряженную матрицу ? В статье ниже мы научим вас всему, что вам нужно знать о сопряженной/сопряженной матрице! Мы даем формулу сопряженной матрицы и объясняем, как найти по этой формуле сопряженную матрицу размера 2×2.

Что такое сопряженная матрица (сопряженная матрица)?

Прежде всего, имейте в виду, что то, что мы здесь называем сопряженной матрицей, иногда называют сопряженной матрицей. Вы также можете встретить термин классическая сопряженная матрица. Эта путаница происходит из-за того, что в некоторых контекстах термин , присоединенный к , может означать сопряженное транспонирование матрицы, что полностью отличается от того, что мы здесь рассматриваем. Мы будем свободно смешивать термины примыкающий и прилежащий , чтобы вы могли быстро привыкнуть к ним обоим.

Как найти сопряжение матрицы?

Предположим, A — это n × n -матрица с действительными или комплексными элементами. Чтобы найти адъюгат A , выполните следующие действия:

1. Удалите i -ю строку и j -й столбец A . Вы получаете (n - 1) × (n - 1) подматрицу A .
2. Вычислите определитель этой подматрицы. То, что вы получите, называется (i, j) -минор из A .
3. Умножьте (i, j) -минор числа A на знаковый коэффициент (-1) i+j . То, что вы получаете, называется (i, j) -кофактор из A .
4. Повторить шаги 1, 2 и 3 для всех i,j = 1,...,n .
5. Сопряженный матрицы A представляет собой матрицу n × n , запись (i, j) которой является кофактором (j, i) матрицы A . Обратите внимание, индексы перевернуты!

👉 Сопряженная матрица A часто обозначается как adj(A) .

👉 Если вы уже знакомы с понятием матрица кофакторов , то вы, возможно, поняли, что adj(A) на самом деле является транспонированием матрицы кофакторов из A .

Сопряжение матрицы 2×2

Давайте посмотрим, как работает описанная выше формула сопряженной матрицы в простейшем случае. А именно, мы будем использовать его, чтобы найти сопряжение матрицы 2×2. Рассмотрим следующую матрицу:

⌈	a	b	⌉
⌊	c	d	⌋

Коэффициентов четыре, поэтому мы повторим шаги 1, 2 и 3 из предыдущего раздела четыре раза.

1. Пусть i=1 и j=1 .

   Удаление первой строки и первого столбца оставляет нам матрицу 1 x 1 . Его единственный коэффициент равен d . Следовательно, его определитель также равен d . Знаковый фактор равен (-1) 1+1 = 1

   , поэтому (1, 1) -кофактор нашей исходной матрицы равен d .

2. Пусть i=1 и j=2 .

   Удаление первой строки и второго столбца оставляет нам матрицу 1 x 1 , содержащую c . Коэффициент знака задается как (-1) 1+2 = -1 , поэтому (1, 2) -кофактор нашей исходной матрицы равен -c .

3. Пусть i=2 и j=1 .

   Аналогично, здесь у нас есть матрица 1 x 1 , содержащая b , и коэффициент знака равен (-1) 2+1 = -1 , поэтому (2, 1) -кофактор нашей исходной матрицы равно -b .

4. Пусть i=2 и j=2 .

   Наконец, мы имеем дело с матрицей

   1 x 1 , содержащей a , коэффициент знака равен (-1) 2+2 = 1 , поэтому (2, 2) -кофактор исходной матрицы равен a .

Далее, чтобы найти сопряжение нашей матрицы, подставляем (i, j) -кофактор в j -ю строку и i -й столбец:

1. (1, 1) -кофактор, который равен d , идет в первую строку и первый столбец :

⌈	d		⌉
⌊			⌋

2. The (1, 2) -cofactor, which is equal to -c , goes to the вторая строка и первый столбец :

0 ⌊0 ⌊0 ⌊. 0139 (2, 1) -кофактор, который равен -b , идет в первую строку и второй столбец :

⌈	D		⌉
⌊	-C
-C
-C
-C
⌊	-C
⌊	-C
⌊	-C

⌈	d	-b	⌉
⌊	-c		⌋

4. The (2, 2) -cofactor, which равно a , идет к второй строке и второму столбцу :

⌈	d	-b	⌉
⌊	-c	a	⌋

That’s it! Мы вывели простую формулу для адъюгата матрицы 2x2 !

Как пользоваться этим калькулятором сопряженных матриц?

Пусть случай 2 x 2 не вводит вас в заблуждение: вычисление вспомогательных матриц вручную может занять очень много времени ⌛⌛, особенно если нам приходится иметь дело с большими матрицами. К счастью, наш калькулятор сопряженных матриц может сделать всю эту работу за вас! Вот шаги, которые вы должны выполнить, чтобы эффективно использовать калькулятор сопряженных матриц:

1. Укажите размер матрицы , для которой нужно найти адъюгат.

2. Введите коэффициенты вашей матрицы.

   Совет: Наш калькулятор сопряженных матриц вводит коэффициенты в матрицу по мере их ввода, поэтому вы можете быстро проверить, все ли в порядке.

3. Сопряженная матрица отображается в нижней части сопряженной матрицы

калькулятор.

Формула сопряженной матрицы для обращения матрицы

Теперь мы знаем, как найти сопряженную матрицу как вручную, так и с помощью калькулятора сопряженной матрицы, но зачем нам вообще сопряженная матрица ? По одной причине, потому что это очень удобно, когда нам нужно вычислить , обратную матрице .

А именно, когда мы умножаем матрицу на сопряженную, мы получаем диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны определителю нашей матрицы:

A * adj(A) = det(A) * I,

, где I — единичная матрица того же размера, что и A . Теперь мы можем вычислить обратное значение как:

A -1 = (1 / det(A)) * adj(A).

То есть, чтобы найти обратную матрицу, нужно умножить ее сопряженную на обратную ее определитель .

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать вспомогательную матрицу?

1. Найдите кофактор каждой записи.
2. Соберите эти кофакторы в матрицу.
3. Транспонировать эту матрицу.
4. Наслаждайтесь недавно найденной матрицей сопряженных элементов.

Как найти сопряжение матрицы 2×2?

1. Возьмите исходную матрицу.
2. Поменять местами элемент по диагонали .
3. Изменить знаки антидиагональных элементов, т.е. правого верхнего и левого нижнего элемента.
4. Поздравьте себя с нахождением адъюгата!

Как вычислить адъюгат транспонированной матрицы?

Адъюгат транспонированной матрицы, A T , является просто транспонированием адъюгата A :
adj(A T ) = adj(A) T 14 Я вычисляю адъюгат произведения матриц?

Адъюгат произведения двух матриц A и B равен произведению их соответствующих адъюгатов:
adj(AB) = adj(A)adj(B)

Как вычислить адъюгат степени матрицы?

Примыкание матричной мощности A K — K -6 мощности примыкания A :
прил. Как вычислить сопряжение матрицы?

Имейте в виду, что в номенклатуре есть некоторая двусмысленность. Сопряжение матрицы может относиться либо к ее сопряженному , то есть транспонирование кофакторной матрицы, или сопряженное транспонирование .

No related posts.