Гаусс матрица – Метод Гаусса онлайн

метод Гаусса. Вычисление матрицы методом Гаусса: примеры

Линейная алгебра, которая преподается в вузах на разных специальностях, объединяет немало сложных тем. Одни из них связаны с матрицами, а также с решением систем линейных уравнений методами Гаусса и Гаусса – Жордана. Не всем студентам удается понять эти темы, алгоритмы решения разных задач. Давайте вместе разберемся в матрицах и методах Гаусса и Гаусса – Жордана.

Основные понятия

Под матрицей в линейной алгебре понимается прямоугольный массив элементов (таблица). Ниже представлены наборы элементов, заключенные в круглые скобки. Это и есть матрицы. Из приведенного примера видно, что элементами в прямоугольных массивах являются не только числа. Матрица может состоять из математических функций, алгебраических символов.

Для того чтобы разобраться с некоторыми понятиями, составим матрицу A из элементов a_ij. Индексы являются не просто буквами: i – это номер строки в таблице, а j – это номер столбца, в области пересечения которых располагается элемент a_ij. Итак, мы видим, что у нас получилась матрица из таких элементов, как a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ и т. д. Буквой n мы обозначили число столбцов, а буквой m – число строк. Символ m × n обозначает размерность матрицы. Это то понятие, которое определяет число строк и столбцов в прямоугольном массиве элементов.

Необязательно в матрице должно быть несколько столбцов и строк. При размерности 1 × n массив элементов является однострочным, а при размерности m × 1 – одностолбцовым. При равенстве числа строчек и числа столбцов матрицу именуют квадратной. У каждой квадратной матрицы есть определитель (det A). Под этим термином понимается число, которое ставится в соответствие матрице A.

Еще несколько важных понятий, которые нужно запомнить для успешного решения матриц, – это главная и побочная диагонали. Под главной диагональю матрицы понимается та диагональ, которая идет вниз в правый угол таблицы из левого угла сверху. Побочная диагональ идет в правый угол вверх из левого угла снизу.

Ступенчатый вид матрицы

Взгляните на картинку, которая представлена ниже. На ней вы увидите матрицу и схему. Разберемся сначала с матрицей. В линейной алгебре матрица подобного вида называется ступенчатой. Ей присуще одно свойство: если a_ij является в i-й строке первым ненулевым элементом, то все другие элементы из матрицы, стоящие ниже и левее a_ij, являются нулевыми (т. е. все те элементы, которым можно дать буквенное обозначение a_kl, где k>i, а l<j).

Теперь рассмотрим схему. Она отражает ступенчатую форму матрицы. В схеме представлено 3 вида клеток. Каждый вид обозначает определенные элементы:

• пустые клетки – нулевые элементы матрицы;
• заштрихованные клетки – произвольные элементы, которые могут быть как нулевыми, так и ненулевыми;
• черные квадратики – ненулевые элементы, которые называются угловыми элементами, «ступеньками» (в представленной рядом матрице такими элементами являются цифры –1, 5, 3, 8).

При решении матриц иногда получается такой результат, когда «длина» ступеньки оказывается больше 1. Такое допускается. Важна лишь «высота» ступенек. В матрице ступенчатого вида этот параметр должен быть всегда равным единице.

Приведение матрицы к ступенчатой форме

Любая прямоугольная матрица может быть преобразована до ступенчатого вида. Делается это благодаря элементарным преобразованиям. Они включают в себя:

• перестановку строк местами;
• прибавление к одной строке другой строки, при необходимости умноженной на какое-либо число (можно также производить операцию вычитания).

Рассмотрим элементарные преобразования в решении конкретной задачи. На рисунке ниже представлена матрица A, которую требуется привести к ступенчатому виду.

Для того чтобы решить задачу, будем следовать алгоритму:

• Удобно выполнять преобразования над такой матрицей, у которой первый элемент в верхнем углу с левой стороны (т. е. «ведущий» элемент) равен 1 или –1. В нашем случае первый элемент в верхней строке равен 2, поэтому поменяем первую и вторую строчки местами.
• Выполним операции вычитания, затронув строки № 2, 3 и 4. Мы должны получить в первом столбце под «ведущим» элементом нули. Для достижения такого результата: из элементов строчки № 2 последовательно вычтем элементы строчки № 1, умноженные на 2; из элементов строчки № 3 последовательно вычтем элементы строчки № 1, умноженные на 4; из элементов строчки № 4 последовательно вычтем элементы строчки № 1.
• Далее будем работать с укороченной матрицей (без столбца № 1 и без строки № 1). Новый «ведущий» элемент, стоящий на пересечении второго столбца и второй строки, равен –1. Переставлять строки не требуется, поэтому переписываем без изменений первый столбец и первую и вторую строки. Выполним операции вычитания, чтобы во втором столбце под «ведущим» элементом получить нули: из элементов третьей строчки последовательно вычтем элементы второй строчки, умноженные на 3; из элементов четвертой строчки последовательно вычтем элементы второй строчки, умноженные на 2.
• Осталось изменить последнюю строку. Из ее элементов вычтем последовательно элементы третьей строки. Таким образом мы получили ступенчатую матрицу.

Приведение матриц к ступенчатой форме используется в решении систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Перед рассмотрением этого метода давайте разберемся в терминах, имеющих отношение к СЛУ.

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы применяются в разных науках. С использованием таблиц из чисел можно, например, решать линейные уравнения, объединенные в систему, методом Гаусса. Для начала давайте познакомимся с несколькими терминами и их определениями, а также посмотрим, как из системы, объединяющей несколько линейных уравнений, составляется матрица.

СЛУ – несколько объединенных алгебраических уравнений, в которых присутствуют неизвестные в первой степени и отсутствуют члены, представляющие собой произведение неизвестных.

Решение СЛУ – найденные значения неизвестных, при подстановке которых уравнения в системе становятся тождествами.

Совместная СЛУ – такая система уравнений, у которой есть хотя бы одно решение.

Несовместная СЛУ – система уравнений, которая не имеет решений.

Как же составляется матрица на основе системы, объединяющей линейные уравнения? Существуют такие понятия, как основная и расширенная матрицы системы. Для того чтобы получить основную матрицу системы, необходимо вынести в таблицу все коэффициенты при неизвестных. Расширенная матрица получается путем присоединения к основной матрице столбца свободных членов (в него входят известные элементы, к которым в системе приравнивается каждое уравнение). Понять весь этот процесс можно, изучив картинку ниже.

Первое, что мы видим на картинке, – это систему, включающую в себя линейные уравнения. Ее элементы: a_ij – числовые коэффициенты, x_j – неизвестные величины, b_i – свободные члены (где i = 1, 2, …, m, а j = 1, 2, …, n). Второй элемент на картинке – основная матрица из коэффициентов. Из каждого уравнения коэффициенты записываются в строку. В итоге получается в матрице столько строк, сколько уравнений входит в систему. Количество столбцов равно наибольшему количеству коэффициентов в каком-либо уравнении. Третий элемент на картинке – расширенная матрица со столбцом свободных членов.

Общая информация о методе Гаусса

В линейной алгебре методом Гаусса называется классический способ решения СЛУ. Он носит имя Карла Фридриха Гаусса, жившего в XVIII–XIX вв. Это один из величайших математиков всех времен. Суть метода Гаусса заключается в выполнении элементарных преобразований над системой линейных алгебраических уравнений. С помощью преобразований СЛУ приводится к равносильной системе треугольной (ступенчатой) формы, из которой можно найти все переменные.

Стоит отметить, что Карл Фридрих Гаусс не является первооткрывателем классического способа решения системы линейных уравнений. Метод был придуман намного раньше. Первое его описание встречается в энциклопедии знаний древнекитайских математиков, носящей название «Математика в 9 книгах».

Пример решения СЛУ методом Гаусса

Рассмотрим на конкретном примере решение систем методом Гаусса. Будем работать с СЛУ, представленной на картинке.

Алгоритм решения:

1. Прямым ходом метода Гаусса приведем систему к ступенчатой форме, но для начала составим расширенную матрицу из числовых коэффициентов и свободных членов.
2. Чтобы решить матрицу методом Гаусса (т. е. привести ее к ступенчатому виду), из элементов второй и третьей строчек последовательно вычтем элементы первой строчки. Получим в первом столбе под «ведущим» элементом нули. Далее поменяем вторую и третью строчки местами для удобства. К элементам последней строки прибавим последовательно элементы второй строчки, умноженные на 3.
3. В результате вычисления матрицы методом Гаусса мы получили ступенчатый массив элементов. На его основе составим новую систему линейных уравнений. Обратным ходом метода Гаусса находим значения неизвестных членов. Из последнего линейного уравнения видно, что x₃ равен 1. Подставляем это значение во вторую строчку системы. Получится уравнение x₂ – 4 = –4. Отсюда следует, что x₂ равен 0. Подставляем x₂ и x₃ в первое уравнение системы: x₁ + 0 +3 = 2. Неизвестный член равен –1.

Ответ: используя матрицу, метод Гаусса, мы нашли значения неизвестных; x₁ = –1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Метод Гаусса – Жордана

В линейной алгебре есть еще такое понятие, как метод Гаусса – Жордана. Он считается модификацией метода Гаусса и применяется при нахождении обратной матрицы, вычислении неизвестных членов квадратных систем алгебраических линейных уравнений. Метод Гаусса – Жордана удобен тем, что он в один этап позволяет решить СЛУ (без применения прямого и обратного ходов).

Начнем с термина «обратная матрица». Допустим, у нас есть матрица A. Обратной для нее будет матрица A^-1, при этом обязательно выполняется условие: A × A^-1 = A^-1 × A = E, т. е. произведение этих матриц равно единичной матрице (у единичной матрицы элементы главной диагонали являются единицами, а остальные элементы равны нулю).

Важный нюанс: в линейной алгебре есть теорема существования обратной матрицы. Достаточное и необходимое условие существования матрицы A^-1 – невырожденность матрицы A. При невырожденности det A (определитель) не равен нулю.

Основные шаги, на которых основывается метод Гаусса – Жордана:

1. Взгляните на первую строку конкретной матрицы. Метод Гаусса – Жордана можно начинать применять, если первое значение не равно нулю. Если же на первом месте стоит 0, то поменяйте строки местами так, чтобы первый элемент имел отличное от нуля значение (желательно, чтобы число было ближе к единице).
2. Разделите все элементы первой строки на первое число. У вас получится строка, которая начинается с единицы.
3. Из второй строки вычтите первую строку, умноженную на первый элемент второй строки, т. е. в итоге у вас получится строка, которая начинается с нуля. Аналогичные действия выполните с остальными строчками. Для того чтобы по диагонали получались единицы, делите каждую строку на ее первый ненулевой элемент.
4. В итоге вы получите верхнюю треугольную матрицу методом Гаусса — Жордана. В ней главная диагональ представлена единицами. Нижний угол заполнен нулями, а верхний угол – разнообразными значениями.
5. Из предпоследней строки вычтите последнюю строчку, умноженную на необходимый коэффициент. У вас должна получиться строка с нулями и единицей. Для остальных строк повторите аналогичное действие. После всех преобразований получится единичная матрица.

Пример нахождения обратной матрицы методом Гаусса – Жордана

Для вычисления обратной матрицы нужно записать расширенную матрицу A|E и выполнить необходимые преобразования. Рассмотрим простой пример. На рисунке ниже представлена матрица A.

Решение:

1. Для начала найдем определитель матрицы методом Гаусса (det A). Если этот параметр не окажется равным нулю, то матрица будет считаться невырожденной. Это позволит нам сделать вывод о том, что у A точно есть A^-1. Для вычисления определителя преобразуем матрицу до ступенчатой формы элементарными преобразованиями. Подсчитаем число K, равное числу перестановок строк. Строки мы меняли местами всего 1 раз. Вычислим определитель. Его значение будет равно произведению элементов главной диагонали, умноженному на (–1)^K. Результат вычисления: det A = 2.
2. Составим расширенную матрицу, добавив к исходной матрице единичную матрицу. Полученный массив элементов будем использовать для нахождения обратной матрицы методом Гаусса – Жордана.
3. Первый элемент в первой строке равен единице. Нас это устраивает, т. к. не нужно переставлять строки и делить данную строку на какое-нибудь число. Начинаем работать со второй и третьей строками. Чтобы первый элемент во второй строке превратился в 0, отнимем от второй строки первую строчку, умноженную на 3. Из третьей строчки вычтем первую (умножения не требуется).
4. В получившейся матрице второй элемент второй строчки равен –4, а второй элемент третьей строчки равен –1. Поменяем строки местами для удобства. Из третьей строчки вычтем вторую строчку, умноженную на 4. Вторую строчку разделим на –1, а третью – на 2. Получим верхнюю треугольную матрицу.
5. Из второй строчки отнимем последнюю строчку, умноженную на 4, из первой строчки – последнюю строчку, умноженную на 5. Далее вычтем из первой строчки вторую строчку, умноженную на 2. С левой стороны мы получили единичную матрицу. Справа находится обратная матрица.

Пример решения СЛУ методом Гаусса – Жордана

На рисунке представлена система линейных уравнений. Требуется найти значения неизвестных переменных, используя матрицу, метод Гаусса – Жордана.

Решение:

1. Составим расширенную матрицу. Для этого вынесем в таблицу коэффициенты и свободные члены.
2. Решим матрицу методом Гаусса – Жордана. Из строки № 2 вычтем строку № 1. Из строки № 3 вычтем строку № 1, предварительно умноженную на 2.
3. Поменяем местами строки № 2 и 3.
4. От строки № 3 отнимем строку № 2, умноженную на 2. Разделим полученную третью строку на –1.
5. От строки № 2 отнимем строку № 3.
6. От строки № 1 отнимем строку № 2, умноженную на –1. Сбоку у нас получился столбик, состоящий из цифр 0, 1 и –1. Из этого делаем вывод, что x₁ = 0, x₂ = 1 и x₃ = –1.

При желании можно проверить правильность решения, подставив вычисленные значения в уравнения:

• 0 – 1 = –1, первое тождество из системы является верным;
• 0 + 1 + (–1) = 0, второе тождество из системы является верным;
• 0 – 1 + (–1) = –2, третье тождество из системы является верным.

Вывод: используя метод Гаусса – Жордана, мы нашли правильное решение квадратной системы, объединяющей линейные алгебраические уравнения.

Онлайн-калькуляторы

Жизнь современной молодежи, обучающейся в вузах и изучающей линейную алгебру, значительно упростилась. Еще несколько лет назад находить решения систем методом Гаусса и Гаусса – Жордана приходилось самостоятельно. Одни студенты успешно справлялись с задачами, а другие путались в решении, делали ошибки, просили у однокурсников помощи. Сегодня можно при выполнении домашнего задания пользоваться онлайн-калькуляторами. Для решения систем линейных уравнений, поиска обратных матриц написаны программы, которые демонстрируют не только правильные ответы, но и показывают ход решения той или иной задачи.

В интернете есть немало ресурсов со встроенными онлайн-калькуляторами. Матрицы методом Гаусса, системы уравнений решаются этими программами за несколько секунд. Студентам требуется только указывать необходимые параметры (например, количество уравнений, количество переменных).

fb.ru

Вычисление определителя методом Гаусса

Вычислим определитель методом Гаусса.

Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка

(1)

элементдолжен быть равен, для этого первую строку разделим на.

Получим определитель вида (2)

Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на

, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на. Получим определитель вида.

Обозначим его элементы буквой с, тогда

(3)

Теперь надо обнулить элемент . Элементдолжен быть равен, для этого вторую строку разделим на. Получим определитель вида.

Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на .

.

Обозначим его элементы буквой t, тогда

(4)

Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен .

Разберем теперь это на конкретном примере.

Пример 4:Вычислить определительметодом Гаусса.

Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).

Получили

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили

Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3.

Получили —

§2.Матрицы Виды матриц

Определение 7: Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она называется

размерностьюmnи пишут.

Определение 8: Если, то матрица называется квадратной.

Определение 9:Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (столбцом).

Определение 10:Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой матрицей.

Определение 11:Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю.

Определение 12:Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.

Определение 13:Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Действиянад матрицами.

Определение 14: Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и равные соответствующие элементы.

Пример 5:

Матрицы А и В равны, т.е.

Определение 15: Суммой (разностью) матриц А и В называется такая матрица С, у которой каждый элемент равен.

Пример 6: Найти матрицу, если

Решение:

Cвойства сложения

А+В=В+А(переместительное)

2⁰А+О=А, где О-нулевая матрица

3⁰ А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)

4⁰А+(-А)=О, где – А противоположная матрица

(т.е. элементы имеют противоположные знаки)

Определение 16: Произведением матрицы А на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число

.

Пример 7:

Умножение матиц

Это действие распространяется на так называемые согласованные матрицы.

Определение 17: Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.

Пример 8:и— согласованные

и- несогласованные

инесогласованные

Определение 18: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.

Если матрица А имеет размерность , а матрица В, то.

Пример 9: Умножить матрицы

studfiles.net

Матрицы Метод Гаусса

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

«Утверждаю»

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент СМИРНОВА А.И.

«МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА»

ЛЕКЦИЯ № 2 / 3

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол № ___________

Кострома, 2003

C одержание

Введение

1. Действия над матрицами.

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.

2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.

1-ый учебный вопрос ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямоугольная таблица из m , n чисел, содержащая

m – строк и n – столбцов, вида:

называется матрицей размера m ´ n

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Положение элемента а _{i j} в матрице характеризуются двойным индексом:

первый i – номер строки;

второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n , называется квадратной.

Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы.

ПРИМЕР.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Матрица размера 1 ´ n , состоящая из одной строки, называется матрицей – строкой.

Матрица размера т ´ 1, состоящая из одного столбца, называется матрицей – столбцом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :

побочная диагональ

главная диагональ

Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется главной диагональю матрицы (на главной диагонали стоят элементы вида

а _{i i} ).

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы .

Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.

1) Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2) Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной . Обозначается:

3) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

верхняя нижняя

треугольная матрица треугольная матрица

Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы . Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1: ½Е ½ = 1

ЗАМЕЧАНИЕ. Неквадратная матрица определителя не имеет.

Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной , если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Матрица, полученная из данной заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной.

Матрицу, транспонированную к А , обозначают А^Т .

ПРИМЕР.

2

3 3 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.

Рассмотрим действия над матрицами.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ.

Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Суммой двух матриц А = (а _{i j} ) и В = ( b_{i j} ) одинакового размера называется матрица С = (с _{i j} ) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. с _{i j =} a _{i j} + b _{i j}

Обозначается сумма матриц А + В.

ПРИМЕР.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k , надо умножить на это число каждый элемент матрицы :

если А= (а _{i j} ), то k · A = (k · a _{i j} )

ПРИМЕР.

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО

1. Переместительное свойство: А + В = В + А

2. Сочетательное свойство: ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. Распределительное свойство: k · ( A + B ) = k A + k B , где k – число

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Матрицу А назовем с о г л а с о в а н н о й с матрицей В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k называется матрица С размера m ´ k , элемент которой а _{i j} , расположенный в i –ой строке и j – ом столбце, равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В, т.е.

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Обозначим: С = А · В.

Если

то

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы

не согласованы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если имеет смысл А ´ В и В ´ А , то, вообще говоря

А ´ В ¹ В ´ А , т.е. умножение матриц не обладает переместительным законом.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А .

Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

ПРИМЕРЫ . Найти , если можно, А ´ В и В ´ А .

1.

Решение : Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

2.

Решение : Матрицы А и В согласованы

mirznanii.com

Как решать матрицу методом гаусса 🚩 метод гаусса видеоурок 🚩 Математика

14 июня 2011

Автор КакПросто!

Решение матрицы в классическом варианте находится с помощью метода Гаусса. Данный метод основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, то есть с включенным столбцом свободных членов. При этом коэффициенты, составляющие матрицу, в результате проведенных преобразований образуют ступенчатую или треугольную матрицу. Относительно главной диагонали все коэффициенты матрицы, кроме свободных членов, должны быть приведены к нулю.

Статьи по теме:

Инструкция

Определите совместность системы уравнений. Для этого посчитайте ранг основной матрицы А, то есть без столбца свободных членов. Затем добавьте столбец свободных членов и вычислите ранг получившейся расширенной матрицы В. Ранг должен быть отличным от нуля, тогда система имеет решение. При равных значениях рангов существует единственное решение данной матрицы. Приведите расширенную матрицу к виду, когда по главной диагонали располагаются единицы, а ниже нее все элементы матрицы равны нулю. Для этого первую строку матрицы разделите на ее первый элемент так, чтобы первый элемент главной диагонали стал равен единице.

Отнимите первую строку от всех нижних строк так, чтобы в перовом столбце все нижние элементы обратились в ноль. Для этого помножьте сначала первую строку на первый элемент второй строки и отнимите строки. Затем аналогично помножьте первую строку на первый элемент третьей строки и отнимите строки. И так продолжайте со всеми строками матрицы.

Разделите вторую строку на коэффициент во втором столбце так, чтобы следующий элемент главной диагонали на второй строке и во втором столбце стал равен единице.

Отнимите вторую строку от всех нижних строк таким же образом, как описано выше. Все нижестоящие относительно второй строки элементы должны обратиться в ноль.

Аналогично проведите образование следующей единички на главной диагонали в третьей и последующих строках и обнуление нижестоящих коэффициентов матрицы.

Затем приведите полученную треугольную матрицу к виду, когда элементы над главной диагональю также представляют собой нули. Для этого отнимите последнюю строку матрицы из всех вышестоящих строк. Домножайте на соответствующий коэффициент и вычитайте стоки так, чтобы обратились в ноль элементы столбца, где в текущей строке имеется единичка.

Проведите подобное вычитание всех строк в порядке снизу вверх, пока не обнулятся все элементы выше главной диагонали.

Оставшиеся элементы в столбце свободных членов и являются решением заданной матрицы. Запишите полученные значения.

Видео по теме

Источники:

• матрицы метод гаусса

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

 

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

 

 

«Утверждаю»

Начальник  кафедры № 9

полковник           ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

 

доцент                              СМИРНОВА А.И.

 

 

 

 

«МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА»

 

 

 

ЛЕКЦИЯ  № 2 / 3

 

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол  № ___________

 

 

 

 

Кострома, 2003

 

Cодержание

 

Введение

1.     Действия над матрицами.

2.     Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Заключение

 

Литература

 

1.     В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.

2.     В.С. Щипачев,  Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.

 

 

1-ый учебный вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n

Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.

Положение элемента а_{i j}  в матрице характеризуются двойным индексом:

         первый  i – номер строки;

         второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

 

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:   

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.

Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.

 

ПРИМЕР.

        

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                   

   Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.  Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.

 

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

                                                                           побочная диагональ

                                                                                                                                             главная диагональ

 

Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а _{i i}).

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.

Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.

1)     Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

 

2)     Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3)     Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

                                                      

                                            верхняя                                   нижняя      

                                треугольная  матрица            треугольная  матрица

Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. Это определитель, составленный из элементов матрицы. Обозначается:

Ясно, что определитель единичной матрицы равен 1:   ½Е½ = 1

 

ЗАМЕЧАНИЕ.   Неквадратная матрица определителя не имеет.

 

Если определитель квадратичной матрицы отличен от нуля, то матрица называется    невырожденной,  если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.    Матрица,  полученная  из  данной  заменой  ее строк  столбцами  с  теми  же   номерами,   называется   транспонированной  к  данной.

Матрицу, транспонированную к  А, обозначают  А^Т.

ПРИМЕР.

                 

 

                                          2  3                                      3  2

                                                

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Две матрицы одного и того же размера называются равными, если равны все их соответственные элементы.

Рассмотрим  действия над матрицами.

 

СЛОЖЕНИЕ  МАТРИЦ.

 

Операция сложения вводится только для матриц одинакового размера.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.   Суммой двух матриц А = (а_{i j}) и  В = (b_{i j})  одинакового  размера называется матрица  С = (с_{i j})  того же размера,   элементы которой равны  суммам  соответствующих  элементов  слагаемых   матриц, т.е.     с _{i j  =}  a _{i  j} + b _{i  j}

Обозначается  сумма  матриц  А + В.

 

ПРИМЕР.

 

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ  НА  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ  ЧИСЛО

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Чтобы умножить матрицу на число k,  надо умножить   на это число каждый элемент  матрицы:

если А= (а _{i j} ), то k · A= (k · a _{i j} )

               ПРИМЕР.

 

СВОЙСТВА   СЛОЖЕНИЯ   МАТРИЦ   И  УМНОЖЕНИЯ  НА  ЧИСЛО

 

1. Переместительное свойство:       А + В = В + А

2. Сочетательное свойство:             ( А + В ) + С = А + ( В + С )

3. Распределительное свойство:     k · ( A + B ) = k A + k B, где  k  – число

 

УМНОЖЕНИЕ  МАТРИЦ

Матрицу А назовем   с о г л а с о в а н н о й   с матрицей  В , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В , т.е. для согласованных матриц матрица А имеет размер m ´ n , матрица В  имеет размер n ´ k . Квадратные матрицы согласованы, если они одного порядка.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Произведением матрицы А размера m ´ n на матрицу В размера n ´ k  называется матрица С размера   m ´ k,  элемент которой а_{i j} ,  расположенный  в  i –ой строке и  j – ом столбце, равен сумме   произведений   элементов   i – ой  строки  матрицы  А   на соответствующие   элементы   j – столбца   матрицы  В,   т.е. 

c _{i j} = a _{i 1}  b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} +……+ a _{i n} b _{n j}

Обозначим:    С = А ·  В.

Если   то

        

Произведение В ´ А не имеет смысла, т.к. матрицы  не согласованы.

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1.           Если  А ´ В имеет смысл, то В ´ А может не иметь смысла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.           Если имеет смысл А ´ В и В ´ А, то, вообще говоря

А ´ В ¹ В ´ А,  т.е. умножение матриц не обладает   переместительным законом.

         ЗАМЕЧАНИЕ 3.    Если А – квадратная матрица и Е – единичная матрица того же  порядка, то А ´ Е = Е ´ А = А.

Отсюда  следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы.

ПРИМЕРЫ.   Найти , если можно, А ´ В и В ´ А.

1.    

Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согласованы в томи другом порядке, поэтому А ´ В и В ´ А существуют.

 

2. 

Решение:   Матрицы А и  В согласованы

 

        

Матрицы В и  А не согласованы,  поэтому В ´ А  не  имеет смысла.

 

Отметим, что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица–множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

 

СВОЙСТВА  УМНОЖЕНИЯ  МАТРИЦ

1.     Сочетательное свойство: А ´ ( В ´ С ) = (А ´ В ) ´С

2.     Распределительное свойство:  (А + В) ´ С =  А ´ С +  В ´С

Можно показать, что , если А и В – две квадратные матрицы одного порядка с определителями ½ А ½ и ½ В ½, то определитель матрицы С = А ´ В равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.

½С½ = ½ А ½ ½ В ½

Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль — матрице.

Действие «деление» для матриц не вводится. Для квадратных невырожденных матриц вводится обратная матрица. С понятием обратной матрицы можно познакомиться в рекомендуемой литературе.

 

 

2 – ой учебный вопрос        РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

     УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) применим для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных может быть либо равно числу уравнений, либо отлично от него.

Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

                                                                   

 

x₁ , x₂,  …,  x_n – неизвестные.

a_{i j} — коэффициенты при неизвестных.

b_i — свободные члены (или правые части)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:

1.     перемена местами двух любых уравнений;

2.     умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

3.     прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную ей.

Элементарные преобразования системы используются в методе Гаусса.

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:

Дана система:

                          ( 1 )

 

 

1-ый шаг метода Гаусса.

 

На первом шаге исключим неизвестное х₁ из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а₁₁. Получим уравнение:

                            

                                            ( 2 )

 

где

 

Исключим х₁ из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение  (2), умноженное на коэффициент при х₁ (соответственно а₂₁ и а₃₁).

Система примет вид:

                                                ( 3 )

 

Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

2-ой шаг метода Гаусса.

 

На втором шаге исключим неизвестное х₂из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:

                                                                   ( 4 )

 

где 

 

Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:

                                   

 

Предполагая, что находим

                           

В результате преобразований система приняла вид:

 

                                                               (5)

                           

Система вида (5) называется треугольной.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение  неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.

Для этого найденное значение  х₃  подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х₂.  Затем х₂  и  х₃  подставляют в первое уравнение и находят х₁.

В общем случае для системы т линейных уравнений с п неизвестными проводятся аналогичные преобразования. На каждом шаге исключается одно из неизвестных из всех уравнений, расположенных ниже ведущего уравнения.

Отсюда другое называние метода Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Если  в  ходе  преобразований  системы  получается  противоречивое  уравнение  вида 0 = b, где b ¹ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.

В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному  или к  ступенчатому  виду.

Треугольная система  имеет вид:

Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода гаусса.

Ступенчатая система имеет вид:

 

Такая система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы найти эти решения, во всех уравнениях системы члены с неизвестными х_k+1,  … , x_k переносят в правую часть. Эти неизвестные называются свободными  и придают им произвольные значения. Из полученной треугольной системы находим х₁, … , x_k, которые будут выражаться через свободные неизвестные. Подробнее об этом можно узнать в рекомендуемой литературе.

Рассмотренный метод Гаусса легко программируется на ЭВМ и является более экономичным (по числу действий),  чем другие методы.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Рассмотренные на лекции матрицы являются удобным инструментом для записи различных математических преобразований и широко используется в научно-технической литературе. Метод Гаусса позволяет решать любые линейные системы, он находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.

 

 

доцент                                  Смирнова А.И.

 

 

znakka4estva.ru

Метод Гаусса для решения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса :: SYL.ru

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант — все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x₁, x₂… x_n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему — означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами — и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) – это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

• Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
• Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся — нулями.
• Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 — получившиеся ответы в процессе решения.

1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ — решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую — уже в измененном.
2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья — уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

• В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

• Далее меняются все строки местами, чтобы можно было выразить по главной диагонали единичные элементы.

• И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений — это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком «равно». Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика – это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй — второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

www.syl.ru

Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса — КиберПедия

Пусть – неособенная квадратная матрица. Тогда для нее существует обратная матрица . Обозначим через столбец номер обратной матрицы . По определению

Отсюда, для нахождения -того столбца обратной матрицы необходимо решить систему

(7.1)

Для нахождения всей матрицы необходимо решить систем вида (7.1) с одинаковыми левыми частями и различными правыми, состоящими из нулей и одной единицы в -й строке.

Таким образом, расширенная матрица имеет вид:

.

С помощью элементарных преобразований метода Гаусса её следует привести к виду

.

Пример 7.1. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице . Используя найденную обратную матрицу, решить систему

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним «прямой ход».

 

 

«Прямой ход» завершен. «Обратный ход» выполним также в матричном виде. Умножим третью строку на (–1) и прибавим ко второй строке. Затем вторую строку умножим на 2 и прибавим к первой строке.

.

«Обратный ход» завершен. Слева от черты стоит единичная матрица. Обратная матрица находится в правой части расширенной матрицы за вертикальной чертой. Таким образом,

. Решим теперь заданную систему в матричном виде по формуле (2.2):

.

Ответ:

Проверка. Подставим найденное решение в исходную систему

и вычислим левые части уравнений. Тогда имеем

Ранг матрицы

Ранг матрицы является одним из основных понятий при исследовании систем уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений, содержащая уравнений и неизвестных

(8.1)

 

Матрица системы (8.1) имеет вид:

. (8.2)

В матрице (8.2) выделим произвольных строк и произвольных столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу. Определитель такой матрицы будем называть минором k-го порядка матрицы А.

Минором k-го порядка могут служить как элемент матрицы, так и любая квадратная матрица.

Перебирая значения , где – наименьшее из чисел и , мыможем вычислить все миноры матрицы .

Пример 8.1. Найти все миноры матрицы

. (8.3)

Решение. Вначале найдем все миноры первого порядка. Их ровно девять, и они совпадают с элементами матрицы:

1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1.

Миноры второго порядка образуются двумя произвольными строками и столбцами. Их тоже девять:

Наконец, минор третьего порядка – один, и он совпадает с определителем матрицы (8.3):

.

Рангом матрицы будем называть число, равное наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.

Условимся обозначать ранг матрицы через или . Очевидно, что , где – наименьшее из чисел и .

Поскольку в примере 8.1 минор третьего порядка оказался равным нулю и нашлись миноры второго порядка, отличные от нуля, можно сделать вывод, что ранг матрицы (8.3) равен 2, то есть

Пример 8.2. Найти ранг матрицы

. (8.4)

Решение. Матрица имеет ненулевые миноры первого порядка, поскольку элементы матрицы не равны нулю.

Вычислим миноры второго порядка:

 

 

а затем минор третьего порядка:

.

Из определения ранга матрицы следует, что матрица (8.4) имеет ранг равный единице, потому что обратились в нуль все миноры второго и третьего порядка.

Пример 8.3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Матрица имеет только нулевые миноры первого и второго порядка, из чего следует, что .

Если ранг матрицы равен r, то все миноры порядка больше r равны нулю и есть хотя бы один минор порядка r, отличный от нуля.

Вычисление ранга матрицы по определению, то есть через вычисление всех соответствующих миноров, является процессом весьма трудоемким. Поэтому рассмотрим другой способ вычисления ранга, основанный на элементарных преобразованиях матриц.

К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:

1) замена местами строк и столбцов матрицы;

2) умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к любой строке (столбцу) почленно любой другой строки (столбца).

Можно доказать, что указанные элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Первое и второе утверждения – очевидны. Третье – доказывается на основании свойств 4 и 5 определителя.

Для вычисления ранга матрицы (8.2) воспользуемся цепочкой элементарных преобразований и приведём матрицу к виду

(8.5)

В матрице (8.5) на главной диагонали стоят ненулевые элементы . Элементы матрицы левее главной диагонали и под ней равны нулю. При таком представлении матрицы мы можем утверждать, что её ранг равен .

Итак, , то есть ранг равен числу ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 8.4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Для вычисления ранга матрицы достаточно воспользоваться «прямым ходом» метода Гаусса. Разделим первую строку на 2. Затем умножим первую строку на (–6) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на (–10) и прибавим к третьей строке.

 

Разделим вторую строку на (–6), а третью – на 4. Получим

Вычтем из третьей строки вторую.

Поменяем местами второй и третий столбец.

.

Из последнего выражения матрицы, содержащего две ненулевые строки с соответствующими ненулевыми элементами на главной диагонали, заключаем, что ранг матрицы равен двум. В приведённом примере мы пользовались методом Гаусса, но на последнем шаге производили элементарные преобразования не только над строками, но и столбцами.

cyberpedia.su