График функции в 3 степени – Функции 3-й и 4-й степени. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Функции 3-й и 4-й степени. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На этом уроке мы рассмотрим функции 3-й и 4-й степени и приведём разъясняющие примеры. В начале урока преподаватель разъясняет, что такое функции 3-й и 4-й степени. Затем рассматривает различного рода задачи, которые будут решены с помощью построения графиков функций 3-й и 4-й степеней, будут исследованы характеристики этих функций. Также будет приведен способ решения задачи с помощью производной

Вспомним, что означает фраза «решить уравнение». Например, решить уравнение третьей степени – означает найти все корни этого уравнения.

Решим обратную задачу.

Пусть три корня уравнения известны, необходимо подобрать уравнение третьей степени.

1. Пусть известны следующие корни

Ответ:

2.

Ответ:

3.

Ответ:

Мы решили некоторые задачи, которые подразумевают найти уравнение третьей степени по заданным его корням. Теперь рассмотрим функции третьей степени, которые имеют заданный ранее набор корней. Решим следующую задачу.

Построить эскиз графика функции.

а)

б)

в)

Построение.

а)

Функция имеет три корня

Отмечаем корни и выделяем интервалы знакопостоянства. Расставим знаки функции на этих интервалах. На интервале (; 1) и (2; 3) функция принимает отрицательные значения, а на интервале (1; 2) и (3;) – положительные. Строим график функции в окрестности каждого корня. Узнаем, как функция ведёт себя в окрестности бесконечно удалённых точек. Если  то и  . Таким образом, получаем график (рис. 1):

Рис. 1. График функции а)

б)

Функция имеет три корня

Отмечаем корни и выделяем интервалы знакопостоянства. Расставим знаки функции на этих интервалах. На интервале (; 1) и (1; 2) функция отрицательная, а на интервале (3; ). Построим эскиз графика в окрестности каждого корня (рис. 2).

Рис. 2. График функции б)

в)

Функция имеет три корня . Графиком функции будет кубическая парабола, сдвинутая вправо на одну единицу (рис. 3).

Рис. 3. График функции в)

Приведённые примеры позволяют осознать общие свойства функции третьей степени.

Рассмотрим общий вид функции третей степени:

Функция:  

Свойства: ; есть хотя бы один корень.

Возьмём

Графики могут выглядеть следующим образом (рис. 4):

Рис. 4. Графики функций третьей степени

 – это ордината точки пересечения с осью Оу.

Рассмотрим функции четвёртой степени.

Функция:  

Свойства: ; число корней: 0, 1, 2, 3, 4.

Возьмём

Одним из главных отличий функций третьей и четвёртой степени является то, что при третьей степени у мог принимать любое значение, а при четвёртой степени у принимает значения из некоторого луча. И уравнение третьей степени должно иметь хотя бы один корень, а уравнение четвёртой степени может не иметь корней.

Рассмотрим график функции четвёртой степени. При  ветви на бесконечностях направлены вверх (рис. 5).

Рис. 5. При  ветви на бесконечностях направлены вверх

В случае, если нет корней, и при  график может иметь следующий вид (рис. 6). Например:

Рис. 6. График, если нет корней и при

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Исследовать функцию: .

Решение.

Построим эскиз графика функции без производной и посмотрим на её поведение (рис. 7).

Рис. 7. График функции

1. Вынесем за скобки , получим . Найдём корни:

а) у=0 при х=0, х=1

Выделяем интервалы знакопостоянства функции и определяем знак функции на каждом интервале. По графику можем увидеть, что 0 – точка максимума.

б)    

Мы построили эскиз графика функции без производной. Далее определим свойства графика функции с помощью производной.

2. ;

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Выделяем интервалы знакопостоянства производной, определяем знаки производной на каждом интервале. Там, где знаки производной положительные – функция возрастает, там, где отрицательные – убывает.  – критические точки функции. При переходе аргумента через 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, 0 –точка максимума. При переходе аргумента через точку  функция меняет знак с «-» на «+», значит,  – точка минимума.

Рис. 9. Иллюстрация к примеру

Вычислим значение функции в точках 0 и .

Ответ:

1. Функция

— возрастает при ; при ;

— убывает при .

2.  – точка max,

 – точка min

Пример 2

Решим задачу на функцию четвёртой степени.

Дана функция: . Найти множество значений функции — .

Решение.

Рассмотрим сначала решение без применения производной. Выделим интервалы знакопостоянства.

1.

interneturok.ru

Кубическая функция

Кубическая функция – это функция вида Y=X³.

Построим график функции y = x3. Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

X	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
Y	-8	-3.38	-1	-0.13	0	0.13	1	3.38	8

Из таблицы видно, что графиик функции в начале координат почти сливается с осью x.
Построим точки, координаты которых указаны в этой таблице.

Выясним некоторые свойства функции Y=X³ :

• График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.

• Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат

• Если x > 0, то y > 0, если x

• Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (-x)³=-x³ для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов. График любого многочлена третьей степени y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) принципиально имеет следующий вид:

Тот же график, но в уменьшенном масштабе имеет следущий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени a , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».
Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

www.tofmal.ru

Построение графиков элементарных функций.

Теперь рассмотрим схемы графиков многочленов четвёртой степени . Заметим, что как при больших отрицательных, так и при больших положительных значениях аргумента x значения функции будут большими числами, совпадающими по знаку с коэффициентом a . Пусть коэффициент a >0. 1 случай. Производная многочлена имеет три различных корня x1 , x2 , x3. В этом случае функция имеет три точки экстремума и график выглядит следующим образом. Такого вида графики получаются, когда многочлен четвёртой степени имеет четыре различных действительных корня,   или когда два разных корня, а третий корень кратности два,   или два корня кратности два. Пример 5.4. Построить график функции . 2 случай. Производная многочлена четвёртой степени имеет два корня, один из которых имеет кратность два, и значит, в этой точке экстремума нет. График в этом случае выглядит так: Такого вида случай получается, если многочлен четвёртой степени имеет один простой корень, а другой кратности три. Пример 5.5. Построить график функции . Решение. Отметим корни многочлена на оси абсцисс: x1 = -1 , x2 = 3 . Первый корень имеет кратность три, а значит, функция, переходя через корень, будет менять свой знак, касаясь оси OX (смотри параграф 1 «Графики элементарных функций » график функции ). График будет выглядеть так: 3 случай. Производная многочлена четвёртой степени имеет один действительный корень. В этом случае многочлен имеет одну точку минимума и его график схож с графиком функции y=x4. Например, эта парабола четвёртой степени является графиком функции Аналогично строятся графики многочленов четвёртой степени с отрицательным старшим коэффициентом. В этом случае ветви параболы четвёртой степени направлены вниз. Получаем следующую сводную таблицу. страницы:1 2 3

or-gr2005.narod.ru

Степенная функция свойства и график. Свойства степенной функции. График степенной функции

Степенная функция

Что такое степенная функция?

Степенная функция

Функция y = xⁿ называется степенной.

Показатель степени n принадлежит множеству действительных чисел.

В формуле y = xⁿ аргументом или независимой переменной является икс, а игрек есть функция или зависимая переменная.

График степенной функции

График степенной функции при том, что n натуральное и n больше или равно двум называется параболой n-й степени. Если n четное, то функция y = xⁿ является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Чем больше четное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x^-n, где n четное и больше или равно двум, является четной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример для y = x

-2

Другой пример для y = x^-4:

Если n нечетное и n больше или равно трем, то функция y = xⁿ является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Чем больше нечетное n, тем круче поднимаются вверх ветви параболы:

Степенная функция с целым отрицательным показателем y = x^-n, где n нечетное и больше или равно трем, является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Пример для y = x^-3:

График функции y = xⁿ построить вы можете сами прямо сейчас с помощью построителя графиков. Выберете в нём вид функции «Степенная: y = k * xⁿ + b», укажите нужный показатель степени n и нажмите кнопку «Построить график».

www.sbp-program.ru

Построение графиков элементарных функций.

Применяя вышеизложенные свойства многочленов, рассмотрим возможные схемы графиков многочленов третьей степени . Пусть старший коэффициент многочлена a — положительное число. 1 случай. Многочлен имеет две точки экстремума, в этом случае его производная имеет два различных корня, т.е. дискриминант этого квадратного трехчлена . Эта ситуация отражается в частных случаях, когда многочлен имеет три различных действительных корня x1 , x2 , x3 , а также когда многочлен имеет два различных корня, один из которых имеет кратность два. В этом случае график имеет вид:   многочлен имеет 1 корень, а его производная — 2 корня   многочлен имеет 3 корня, а его производная — 2 корня   многочлен имеет 2 корня и его производная — 2 корня 2 случай. У многочлена нет экстремумов, т.е. .   В этом случае график представляет собой монотонно возрастающую функцию. Аналогично строятся графики кубических парабол при отрицательном старшем коэффициенте. Получаем сводную таблицу различных видов графиков многочленов третьей степени: . Пример 5.2. Построить график функции . Решение. Разложим многочлен на множители: . Отметим на оси абсцисс корни функции: -2;0;2 . При больших отрицательных значениях x значения функции – большие отрицательные числа. Применяя свойство непрерывности и свойство кратностей ( все корни кратности один — в точке пересечения функция меняет знак на противоположный ) , замечая, что при неограниченном возрастании x значения функции стремятся к плюс бесконечности, строим схему графика функции. Пример 5.3. Построить график функции . Решение. Многочлен имеет два корня: x1 = -3 кратности два и x2 = 1 кратности один. При больших отрицательных функция принимает большие положительные значения. При приближении аргумента к числу -3 значения функции убывают и стремятся к нулю. При переходе через корень значения функции не меняют знак (кратность корня чётна), на интервале (-3;1) функция достигает максимума, так как при x = -3 она снова обращается в нуль. При переходе через корень x =1 функция меняет свой знак с положительного на отрицательный (кратность корня нечётна) и стремится к минус бесконечности при неограниченном увеличении аргумента. страницы:1 2 3

or-gr2005.narod.ru