Графіки функції – Графік функції — Вікіпедія

Графік функції — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції  f:X→Y{\displaystyle \ f:X\to Y} називається підмножина декартового добутку  X{\displaystyle \ X} на  Y{\displaystyle \ Y} (G⊂X×Y{\displaystyle G\subset X\times Y}), що містить всі пари (x, y), для яких f(x)=y.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами x=0 і y=0 називається

початком координат.

Див. також[ред. |

uk.wikipedia.org

Функції та їх графіки

Лисенко Олена Євгенівна

11 клас

Алгебра і початки аналізу

Тема: Функції та їх графіки

Мета: Повторити властивості основних функцій шкільного курсу математики; систематизувати перетворення графіків основних функцій при побудові складніших графіків; закріпити практичні навички пошуку області визначення і множини значень функцій; удосконалювати графічну культуру при побудові графіків; розвивати навики самостійної роботи, впевненість у своїх знаннях; формувати вміння аналізувати, логічно обґрунтовувати своє рішення; формувати навики роботи в групі на основі поваги і довіри один до одного.

Тип уроку: урок повторення і систематизації знань

Форма роботи: робота в групах

Обладнання: комп’ютер, проектор, картки для роботи

Вивчення математики подібне до Нілу,

що починається невеличкими струмками,

а закінчується великою рікою.

Ч. К. Колтон

І. Організаційний момент.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

Слова епіграфу є символічними для нашого уроку. Всі знання, що ви здобули про функцію протягом шкільного курсу вивчення математики – це ті струмки знань, які ми з’єднаємо в одне ціле, і всі свої зусилля спрямуємо на повторення і підготовку до ДПА і ЗНО. Розпочинаємо нашу роботу з інтелектуальної розминки.

ІІІ. Інтелектуальна розминка.

Клас поділений на 4 групи. Для розминки підготовлена презентація. Кожна група вибирає по три завдання, які відкривають по черзі і дають відповіді з обґрунтуванням. Питання, що виносяться для обговорення під час розминки:

• Область визначення функції;

• Область значень функції;

• Властивості основних функцій шкільного курсу математики;

• Графіки функцій.

1. На якому з рисунків зображено графік функції у = – 3х – 2?

Відповідь: А

2. На якому з рисунків зображено графік функції у = – х² + 2х?

Відповідь: В

3. На якому з рисунків зображено графік парної функції?

Відповідь: Б

4. Знайдіть область визначення функції .

Відповідь: (–; 5).

5. Знайдіть найменше ціле значення функції .

Відповідь: 2.

6. Зростає чи спадає функція на своїй області визначення?

Відповідь: Зростає.

7. На якому з рисунків зображено графік функції ?

Відповідь: В

8. Функція у = f(x) задана графічно на відрізку [-7; 4]. Знайдіть всі значення аргументу, при яких виконується нерівність

f(x) > 2.

Відповідь: ( -7; 2)

9. Функції y = f(x) і y = g(x) визначені на [-7; 4]. Знайдіть всі значення аргументу, при яких виконується нерівність f(x) < g(x).

Відповідь: (1; 4

10. Графік якої з функцій не перетинає координатні осі?

Відповідь: .

11. Знайдіть координати вершини параболи, що є графіком функції .

Відповідь: (2; 2)

12. На рисунку зображено графік функції y = kx + b. Знайдіть b.

Відповідь: 3.

13. Яка з функцій набуває тільки додатних значень?

Відповідь: .

14. Знайдіть найбільше значення функції .

Відповідь: 1.

15. Знайдіть найменше значення функції у = х² – 2.

Відповідь: — 2.

16. Знайдіть область значень функції .

Відповідь: -3; 3

ІV. Робота в групах.

Кожна група отримує завдання на картках, в 3 і 4 групах – складніші по рівню. Учні працюють і потім аргументовано пояснюють розв’язок.

1 група

1. Знайдіть область значень функції

.

2. Установіть відповідність між функціями (1 – 4) і точками (А – Д), які належать графікам цих функцій.

А. (0; 1)

Б. (-1; -3)

В.

Г. (0; 3)

Д. (1; 0)

3. Розв’яжіть графічно нерівність: .

4. Побудувати графіки функцій і за допомогою перетворень графіка функції .

2 група
1. Знайдіть область значень функції .

2. Установіть відповідність між ескізами графіків функцій (1 – 4) і цими функціями (А – Д).

3. Розв’яжіть графічно нерівність: .

4. Побудувати графік функції .

3 група

1. Знайдіть найменше ціле число, що не входить до множини значень функції .

2. Установіть відповідність між функціями (1 – 4) і їх множиною значень (А – Д).

3. Розв’яжіть графічно нерівність: .

4. Укажіть кількість цілих значень х, які входять в область визначення функції

.

4 група

1. Знайдіть найбільше ціле число, що не входить до області значень функції .

2. Установіть відповідність між заданими функціями (1 – 4) та функціями (А – Д), які мають таку область визначення, що й задані.

3. Розв’яжіть графічно нерівність: .

4. Знайдіть найменше значення функції .

Відповіді до завдань

1 група

1. Е(у): ( — ; 5)

2.

	А	Б	В	Г	Д
1					
2	
3		
4				

3.

Відповідь: ( — ; 0.

4.

2 група

1. Е(у): ( — 5; )

2.

	А	Б	В	Г	Д
1		
2				
3			
4	

3. Відповідь: (0; + )

4.

3 група

1. Е(у): ( — ; 2)

Відповідь: 2.

2.

	А	Б	В	Г	Д
1					
2	
3				
4			

3.

Відповідь: .

4.

х  (6; 10). На проміжку три цілих значення: 7; 8; 9.

Відповідь: 3.

4 група

1. Е(у): (-2; +).

Відповідь: -2.

2.

	А	Б	В	Г	Д
1			
2				
3	
4		

3.

Відповідь: (-2; 0)  (0; + ).

4.

Відповідь: 2² = 4.

V. Оцінювання роботи учнів.

Підсумок уроку:

— Які завдання для вас виявилися важкими?

— На які завдання звернути увагу на наступному уроці?

— З якими завданнями було працювати цікаво?

VІ. Домашнє завдання

§ 1-2 1, № 1237, 1240, 1242.

Література

1. Бевз Г. П. Математика : 11 кл. : підручник для загальноосвіт. навч. закл. : рівень стандарту / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К. : Генеза, 2011. – 320 с.

2. Захарійченко Ю. О. Повний курс математики в тестах / Ю. О. Захарійченко, О. В. Школьний, Л. І. Захарійченко, О. В. Школьна. – Х. : Ранок, 2011. – 496 с.

3. Карпік В. В. Відпрацюй навички та перевір себе. Увесь шкільний курс математики у тестах та завданнях. – Х. : Вид. група «Основа», 2011. – 255 с.

vseosvita.ua

Побудова графіків функцій | Cubens

Як користуватися програмою

За допомогою даної програми на Cubens можна побудувати графік функції онлайн.

• Десяткові дроби потрібно розділяти крапкою
• У деяких випадках можна не писати знаки множення
• Можна будувати безліч графіків функцій одночасно
• Можна налаштувати назви осей та їхні інтервали
• Графік можна завантажити як PNG зображення
• Графік можна роздрукувати
• Можна отримати посилання на графік аби поділитись ним з іншими
• При наведенні курсора на графік його можна рухати, а також збільшувати або зменшувати масштаб

Пропозиції та зауваження по роботі програми можна залишити в коментарях нижче.

---

Режими

На поточний момент в програмі доступні чотири режими:

---

Графік функції

Залежність змінної від змінної називається функцією, якщо кожному значенню відповідає єдине значення .

Функція позначається або однією буквою , або , або рівністю .

Область визначення функції — це всі значення, які може приймати аргумент (змінна ).

Область значень функції — це всі значення, які може приймати функція (змінна ) при всіх із області визначення функції.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка або формули. Формула задає правило, за яким кожному значенню аргументу ставиться у відповідність значення функції .

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами , де перша координата пробігає всю область визначення функції , а друга координата — відповідне значення функції у точці .

cubens.com

Функції та графіки

Функції та графіки

Function. Graph

Якщо кожному значенню змінної x з деякої множини (множина — set) D відповідає єдине значення змінної y, то таку відповідність називають функцією (функція — function). При цьому x називають незалежною змінною (незалежна змінна — independent variable) або аргументом (аргумент — argument), y — залежною змінною (залежна змінна — dependent variable), а множину D — областю визначення даної функції.

Задають функції найчастіше формулами (формула — formula), таблично (таблиця — table) або графічно. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.
Наприклад, формула y=x² задає функцію, яка виражає відповідність між числами і їх квадратами. Якщо область визначення цієї функції — множина цілих чисел з проміжку [-3;3], то її можна задати таблицею:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	-1	-4	-9

Графіком функції y=x², заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (parabola) з нескінченними вітками (рис. 1). Область визначення цієї функції — множина R, а область значень — проміжок [0;+∞].

Елементарні функції
y=kx — пряма пропорційність (direct proportionality). Її графік — пряма, що проходить через початок координат (рис. 2).
Область визначення цієї функції — множина R, область значень, якщо k≠0 — теж множина R.
Лінійною (лінійна функція — linear function) називають функцію, яку можна задати формулою виду y=kx+b. Її графік — пряма, не паралельна (non-parallel) осі y (рис. 3). Область визначення R, область значень — множина R, якщо k≠0 . Для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок. Якщо k = 0, область значень — одне число b (рис. 4).

y=k/x – обернена пропорційність (inverse proportionality). Її графік – гіпербола (hyperbola). Коли k>0, вітки цієї гіперболи розміщені в І і ІІІ чвертях координатної площини (рис. 5), коли k<0 – в II и IV чвертях (рис. 6). Область визначення функції y=k/x множина R без числа 0, область значень – ця сама множина.
Графік функції y=x³ зображено на рис. 7. Її область визначення і множина значень – множина R.

Графік функції

– одна вітка параболи (рис. 8). Її область визначення [0;+∞) і область значень [0;+∞).

Якщо змінна y залежить від x, то записують y=f(x). Символом f(a) позначають значення функції y=f(x) коли x=a. Нехай, наприклад, функцію задано формулою y=3x²-5. Можна записати і так: f(x)=3x²-5. У цьому випадку f(0)=3·0²-5=-5; f(1)=3·1²-5=-2; f(-2)=3·(-2)²-5=7 .
Зауваження. Якщо y=f(x), то часто кажуть, що y – функція від x, тобто функцією називають змінну y. Однак здебільшого під функцією розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох змінних. До того ж – не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної y.

Перетворення графіків елементарних функцій Графіки функцій y=f(x) і y=f(-x) симетричні відносно осі x (рис. 9).

Щоб побудувати графік функції y=kf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі x в k разів, якщо k>1, або стиснути його в k разів до осі x, якщо 0<k

Щоб отримати графік функції y=f(x)+n, треба графік функції y=f(x) перенести на n одиниць в напрямі осі y, якщо n>0 або в протилежному напрямі, якщо n<0. </k

Щоб отримати графік функції y=f(x-m), досить графік функції y=f(x) перенести на m одиниць в напрямі осі x, якщо m>0 або на -m одиниць в протилежному напрямі, якщо m<0 (рис. 10).
Функція, яка задається формулою y=ax²+bx+c, де a,b,c – довільні числа, а x – аргумент, називається квадратичною функцією.

Графік функції y=ax2+bx+c – парабола, координати вершин якої

Якщо a>0, то вітки параболи направлені вверх, якщо a<0, то вітки параболи направлені вниз.
Щоб побудувати графік функції y=ax²+bx+c, можна знайти координати вершини параболи і ще кількох її точок, позначити їх на координатній площині і провести через них плавну лінію. Можна дотримуватись іншого способу: спочатку побудувати графік функції y=ax²+bx, а потім підняти або опустити його на |с| одиниць. Графік функції y=ax²+bx будувати неважко, оскільки він перетинає вісь абсцис у точках x=0 і x=-b/a, а її вершина знаходиться у

точці

.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції (definitional domain) – проекція (projection) її графіка на вісь x; область значень функції (codomain) – проекція її графіка на вісь у (рис. 11).

Якщо для будь-яких двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції, то таку функцію називають зростаючою (зростаюча функція – increasing function). Якщо для будь-яких двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції, то таку функцію називають спадною (спадна функція – drop-down function). Наприклад, функції y=2x, y=x³ – зростаючі,

а функції y=-2x,

– спадні. Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної – «опускається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окремих проміжках.

Якщо графік функції симетричний (symmetric) відносно осі y, її називають парною (парна функція – even function). Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною (непарна функція – odd function).
Функція y=f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення x з області визначення f(-x)=f(x). Функція y=f(x) непарна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення x з області визначення -f(-x)=f(x).

Функція, задана формулою y=xⁿ, де x – аргумент, а n – довільне натуральне число, називається степеневою функцією (степенева функція – power function) з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: y=x, y=x², y=x³, …
Степенева функція з натуральним показником n парна, якщо число n парне (рис. 12) або непарна, якщо число n непарне (рис. 13).

Лінійна функція, її графік та властивості

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою виду у = kх + b, де х – незалежна змінна, k і b – деякі числа.

Графіком лінійної функції є пряма, тому для побудови графіка досить побудувати таблицю для двох значень аргументу і функції.

Якщо числа k і b не дорівнюють нулю, то пряма перетинає вісь абсцис і вісь ординат.

Якщо k ≠ 0, аb = 0, то пряма проходить через початок координат.

Якщо k = 0, аb ≠ 0, то пряма проходить паралельно осі абсцис і перетинає вісь ординат у точці b.

Область визначення лінійної функції – вся числова пряма.

Область значень лінійної функції – вся числова пряма.

При k, більшому за нуль, функція є зростаючою.

При k, меншому від нуля, функція є спадною.

Пряма пропорційна залежність

 

Якщо дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї з них друга теж зменшується або відповідно збільшується у стільки ж разів, то такі величини називають прямо пропорційними, а залежність між ними — прямою пропорційністю.

Якщо ж дві змінні величини пов’язані між собою так, що при зменшенні або збільшенні однієї величини друга збільшується або відповідно зменшується у стільки ж разів, то вони називаються обернено пропорційними, а залежність між ними — оберненою пропорційністю.

Щоб поділити деяке число на частини, пропорційні даним числам, потрібно поділити його на суму цих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з них.

Дві змінні величини, добуток відповідних значень яких є сталим, називаються обернено пропорційними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів зменшується (збільшується) друга величина.
Приклади обернено пропорційних величин
1) Якщо пройдена відстань залишається сталою, то витрачений час і швидкість обернено пропорційні. (Дійсно, , а s — стала величина.)
2) Ширина і довжина прямокутника сталої площі: .
3) Час, за який буде виконаний певний обсяг роботи, і кількість робітників.
Зверніть увагу на те, що число відсотків деякої величини прямо пропорційно значенню цієї величини.

vseosvita.ua

Лекція 14. Функції і їх графіки

14.1. З історії поняття функції.

Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі, викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і народи. Але в першу чергу варто назвати імена П. Ферма (1601—1665), Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г. В. Лейбніца (1646—1716).

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30-х роках ХVII в., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується, на відміну від класичних методів геометрів Древньої Греції, активним залученням алгебри до рішення геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур їхніми рівняннями дозволяють звести багато задач геометрії до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою. Істотно помітити, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося «буквене числення», те саме, за допомогою якого зараз перетворюються алгебраїчні вирази, розв”язуються рівняння, текстові задачі і т. п.

Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би, звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу).

Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца — спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних параметрів, зв’язаних з положенням точки на площині. У ході переписування Лейбніц і його учень — швейцарський математик И. Бернуллі (1667—1748) поступово приходять до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної і постійних».

Л. Эйлер у своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.) формулював означення функції так: «Функція перемінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь способом з цієї перемінної кількості і чисел чи постійних кількостей».

Эйлер же ввів і прийняті зараз позначення для функцій.

Сучасне означення числової функції, у якому це поняття вже звільнялося від способу завдання, було дано незалежно один від одного російським математиком Н. И. Лобачевским (1834 р.) і німецьким математиком Л. Дирихле (1837 р.). Основна ідея цих визначень полягала в наступному: не істотно, яким образом (і зокрема, необов’язково шляхом завдання аналітичного вираження) кожному поставлено у відповідність визначене значення, важливо тільки, що ця відповідність установлена.

Сучасне поняття функції з довільними областями означення і значень сформувалося, власне кажучи, зовсім недавно, у першій половині поточного сторіччя, після робіт творця теорії множин Г. Кантора (1845—1918).

Складний і, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції досить типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виділити його в процесі рішення багатьох конкретних задач, дати означення, яке по можливості точно відбиває його зміст.

До поняття функції математики прийшли, відправляючись від конкретних і важких задач математики і її додатків. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям яких Эйлер проголосив функцію («Весь аналіз нескінченного обертається навколо перемінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики.

14. 2. Числова функція.

Означення. Числовою функцією з областю визначення D називається відповідність, при якої кожному числу x з множини D співставляється за деяким правилом число y, що залежить від x.

Функції звичайно позначають латинськими (а іноді грецькими) буквами. Розглянемо довільну функцію f. Незалежну змінну називають також аргументом функції. Число y, що відповідає числу x, називають значенням функції f у точці x і позначають f(x). Область визначення f функції позначають D(f). Множину, що складається з усіх чисел f(x), таких, що x належить області визначення функції f, називають областю значень функції f і позначають E(f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс. Наприклад, формула f(x) = має сенс при всіхx  0, тому областю визначення функціїf(x) = вважають множину усіх не рівних нулю дійсних чисел. Область її значень збігається з областю визначення і є об’єднанням інтервалів (–∞; 0) і (0; ∞).

Так, для функції f(x) = 

Область визначення функції y = tg x — об’єднання всіх інтервалів виду де n; область її значень — уся числова пряма, тобтоE(tgх) = (–∞; ∞).

Функції виду f(x) = p(x), де p(x) — многочлен, називають цілими раціональними функціями, а функції виду деp(x) і q(x) — многочлени, називають дрібно-раціональними функціями. Частка , визначена, якщоq(x) не звертається в нуль. Тому область визначення дрібно-раціональної функції — множина усіх дійсних чисел, з якого виключені корені многочленаq(x).

Приклад 1. Знайдемо область визначення дрібно-раціональної функції

►Корені многочлена — числа 0, 1 і 2. ТомуD(f) = (–∞; 0) (0; 1)(1; 2)(2; ∞).

3. Графік функції.

Означення. Графіком функції f називають множину усіх точок (x; y) координатної площини, де y = f(x), а x «пробігає» всю область визначення функції f.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більш однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі Oy. Наприклад, множина, зображена на малюнку (14.1), не є графіком функції, тому що вона містить дві точки з однієї і тією же абсцисою a, але різними ординатами b₁ і b₂. Якби ми рахували цю множина графіком функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два значення b₁ і b₂, що суперечить означенню функції.

Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x₀з області визначення легко знайти відповідне значення y₀ = f(x₀) функції (мал. 14.2).

14.4. Перетворення графіків.

Ми маємо певний запас функцій, графіки яких вміємо будувати— це функції Покажемо, що, застосовуючи відомі з курсу геометрії зведення про перетворення фігур, цей список можна істотно розширити.

1) Розглянемо спочатку паралельний перенос на вектор (0; b) уздовж осі ординат. Позначаючи тут і далі через координати точки, у яку переходить довільна точка (x; y) площини при даному перетворенні, одержимо відомі вам формули

(14.1)

Нехай f — довільна функція з областю визначення D(f). З’ясуємо, у яку фігуру переходить графік цієї функції при даному переносі. З формул (14.1) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f(x) + b), де

По означенню графіка функції ця фігура є графіком функції y = f(x) + b. Сказане дозволяє сформулювати правило:

Для побудови графіка функції f(x) + b, де b — постійне число, треба перенести графік f на вектор (0; b) уздовж осі ординат.

Приклад 2. Побудуємо графіки функцій: а) y = sin x + 2; б) y = x² – 5.

а) Відповідно до правила переносимо графік функції y = sin x на вектор (0; 2), тобто нагору по осі Oy на 2 одиниці (мал. 14.3).

б) Побудова здійснюється переносом параболи y = x²  на вектор (0; –5), тобто вниз по осі Oy (мал. 14.4).

2) Ще одним перетворенням є розтягання уздовж осі Oy з коефіцієнтом k, що задається формулами

Для побудови точки M′, у яку переходить дана точка M при розтяганні, треба побудувати на прямій АМ, де А — проекція М на вісь Ox (мал. 14.5), точку, гомотетичну М щодо центра А (коефіцієнт гомотетії дорівнює коефіцієнту k розтягання). На рисунку 14.6 показана побудова точок, у які переходять дані при розтяганнях з коефіцієнтами і –2.

З’ясуємо, у яку фігуру переходить графік функції f при розтяганні. З формул (14.2) відразу одержуємо, що довільна точка (x; f (x)) графіка f переходить у точку (x; kf (x)). Звідси випливає, що графік f переходить у фігуру, що складається з усіх точок (x; kf (x)), де xD(f). Ця фігура є графіком функції y = kf (x). Доведено наступне правило:

Для побудови графіка функції y = kf (x) треба розтягти графік функції y = f (x) у k раз уздовж осі ординат.

Приклад 3. Побудуємо графіки функцій y = –2 x² і

Побудова здійснюється в першому випадку з графіка функції y = x² (рис. 14.7), а в другому випадку спочатку будуємо графік функції , потім скористаємося розтяганням уздовж осі ординат з коефіцієнтом(рис. 14.8).

Зауваження. Якщо то розтягання з коефіцієнтомk часто називають стиском. Наприклад, розтягання з коефіцієнтом називають стиском у 2 рази. Відзначимо також, що якщо те для побудови графіка функціїy = kf (x) треба спочатку розтягти графіка f у раз, а потім відбити його симетрично щодо осі абсцис (див. рис. 14.7).

Рис. 14.8

3) Паралельний перенос уздовж осі абсцис на вектор (a; 0) задається формулами

(14.3)

Кожна точка графіка функції f переходить відповідно до формул (14.3) у точку (x + a; f (x)). Тому за допомогою перемінних ,можна записати, що графікf переходить у фігуру Ф, що складається з точок деприймає всі значення видуx + a (x «пробігає» D(f)).

Саме при цих значеннях числоx – a належить D(f) і визначено. Отже, фігура Ф є графік функціїy = f (x – a). Отже, можна зробити висновок:

Графік функції y = f (x – a) виходить із графіка f переносом (уздовж осі абсцис) на вектор (a; 0).

Зверніть увагу: якщо , то вектор (a; 0) спрямований у позитивному напрямку осі абсцис, а при — у негативному.

Приклад 4. Побудова графіків функцій іпоказано на рисунках 14.9 і 14.10.

Рис. 14.9

Рис. 14.10

4) Розтягнення уздовж осі Ох з коефіцієнтом k задається формулами

(14.4)

Довільна точка графіка функції f переходить при такомум розтяганні в точку (kx; f (x)). Переходячи до перемінних ,, можна записати, що графікy = f (x) переходить у фігуру, що складається з точок деприймає всі значення виду, а.

Ця фігура є графік функції . Отже:

studfiles.net

Поняття функції. Властивості та графік функції | Функції та графіки | Алгебра

Процеси реального світу тісно пов’язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв’язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.

Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.

Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією. 

З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. По­няття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми має­мо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ

https://www.youtube.com/channel/UCndnQrkQkUL4VlX78D7QDug 

Числовою функцією з областю визначенняD називається залежність, при якій кожному числух із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.

 

Зміннах називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у — залежною змінною або функцією.

Функцію позначають латинськими буквамиf, g, h… (абоf(x), g(x), h(x)„.) або рівностями у =f(x), у =g(x), у =h(x)… Якщо задане конкретне значення незалежної змінноїх = х₀, то у₀ =f(x₀) називається значенням функції f в точці х₀.

Область визначення функції позначаєтьсяD(f) (від анг.defi­ne — визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, щох належить області визначення функції f, називаєть­ся областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist — існувати).

formula.kr.ua

Функції та графіки

−1 x <3,			−1 x <3,				−1 x <3.
				= 4;
x+1	+3−x	= 4;	4
x 3,			x 3,		x =3.
III.	+x−3	= 4;
x+1			x =3.

Об’єднуємо розв’язки, отримані на всіх трьох інтерва-

лах (I, II і III).

Відповідь: −1 x3.

Функції та графіки

Фу нк ц іо на льн о ю ві дп о ві д ніс т ю або фу нк­ ц і є ю називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної.

Першу змінну називають н е з а л е ж н о ю, або ар г у­ м е н то м функції, а другу — з а л е ж н о ю, або фу нк ц і є ю

від першої змінної. Усі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють о блас т ь ви знач е ння фу­ нк ц ії.

Записують: y =f(x), деx — аргумент,y — функція. Область визначення позначаютьD(y) абоD(f).

Приклади

1)y =x +2 ;D(y) — множина всіх дійсних чисел, крім 3.

x −3

2) y = 2−x;D(y) — множина всіх дійсних чисел, що не перевищують 2, тому що підкореневий вираз має бути невід’ємний.

Гр а фіко м функ ц ії називаєтьсямножинавсіхточок координатноїплощини,абсцисиякихдорівнюютьзначенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Функція може задаватися описом, таблицею, графіком, формулою тощо.

Область визначення функції зручно записувати за допомогою числових проміжків.

studfiles.net