Коллинеарны ли векторы – Онлайн калькулятор. Коллинеарность векторов.

Условие коллинеарности векторов, когда векторы параллельны, свойства коллинеарных векторов

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b→=λ·a→ коллинеарен вектору a→ , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b→ коллинеарен вектору a→, его можно представить в виде λ·a→. Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Определение 2

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b→=λ·a→ или a→=μ·b→,   μ∈R

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a→ задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда, согласно полученному выше условию, вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay).

По аналогии: если вектор a→ задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay, λ·az). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании

zaochnik.com

1.2. Коллинеарность векторов

13

1.2. Коллинеарность векторов

 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Коллинеарны ли векторы р =Aia + Л26 и q =/iia + /i2^, гдеа = {а1,а2,аз} иЬ ={bi,62,63}?

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, ко­ гда существует числоа такое, чтор = aq. Иными словами, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорцио­ нальны,

1. Находим координаты векторов р и q^ пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если координаты векторов р

=

{р1^Р2,Рз} ^ Q = {QI^Q2IQ3}

пропорциональны, т.е.

 

 

 

Pi. _ Р2 _ РЗ

 

Qi

Q2

Яз

то векторы pnq коллинеарны. Если равенства

Pi^ _ Р2 _ Рз

Qi Я2 Яз

не выполняются, то векторы pnq неколлинеарны.

ПРИМЕР. Коллинеарны ли векторы р = 4а — 36,q = % — 12а, где а ={-1,2,8}и 6 ={3,7,-1}?

РЕШЕНИЕ.

1. Находим координаты векторов р w. q, пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число:

р = {-13,-13,35},

д = {39,39,-105}.

2. Так как

 

 

— 13

— 13

35

39

39

-105′

то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы р и g кол­ линеарны.

Ответ. Векторы р* и д* коллинеарны.

14

Гл. 1. Аналитическая геометрия

Условия ЗАДАЧ. Коллинеарны ли векторы р и q?

1.

а — { 1 , 2 , — 3 } ,

6 = { 1 , 0 , — 1 } ,

р =

За + 66,

g = — a + 26.

2.

а={2,0,1},

6 — { — 2 , 3 , 1 } ,

р = 2а + 26,

q =

3d-2b,

3.

а — { — 2 , 2 , 1 } ,

Ь = { — 1 , — 2 , 2 } ,

р =г а + 36,

q —

2d-h.

4.

а = { — 1 , 2 , 3 } ,

6={2,1,1},

р = 2а + 36,

q=a

— 6.

5.

а={2,5,1},

Ь={5,0,2},

р=-а

+ Ь,

^ = a — 36.

6.

а — { 1 , 2 , — 2 } ,

Ь — { 1 , 3 , — 1 } ,

р=а-\-Ь,

q=a-\-2b.

7.

а — { 1 , 2 , 3 } ,

6 — { 2 , — 1 , 0 } ,

р = 63— 26,

g*=—3a-fa.

8.

а=:{1,3,-1},

Ь^ = {2,1,3},

р = 6а-

36,

g*=:-4a+ 2a.

9. а = { — 1 , — 2 , 2 } ,

6^ = { 1 , 0 , 2 } ,

р = а -f36,

q—~2a—66.

10. а={1,3,2},

6 — { 1 , — 2 , 6 } ,

p=a

— b^

g =:-6a+ 66.

Ответы. 1. Нет. 2. Нет. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Да. Да. 9. Да. 10. Да.

1.3. Угол между векторами

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Даны точкиA(a;i,t/i,zi), В{х2^у2^^2) и С{хз,Уз^^з)- Найти косинус угла между векторами АВ и АС.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Косинус углаip между векторамиАВ иАС оп­ ределяется формулой

COS(/? =

{АВ.АС)

(1)

\АВ\ ‘ \АС\

 

 

1. Чтобы вычислить длины векторов \АВ\ и\АС\ и скалярное произведение{АВ^АС), находим координаты векторов:

АВ = {х2 -Х1,у2-yi,Z2- zi), AC = {хз-Х1,уз-yi,Z3~ zi}.

2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

\АВ\ — y/{X2-Xi)^+{y2-yi)^+{z2-Zi)^,

\АС\ — V(^3 — xi)2 + (уз — yi)2 + (^3 — zi)2,

(АВ, AC) = {х2 — xi){x3 — xi) + (2/2 -У1){уз — 2/i) + (^2 -Zi){z3 — zj). 3. Вычисляем cosi/? no формуле (1) и записываем ответ.

1.4. Площадь параллелограмма

15

ПРИМЕР. Даны точки А( — 2,4, — 6),Б(0,2,-4)и С( — 6,8, — 10) . Найти косинус угла между векторамиАВ иАС.

РЕШЕНИЕ.

1.Находим координаты векторов АВ ={2,-2,2}иАС ={-4,4,-4}.

2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

\АВ\ = ^ 2 ^ + ( — 2)’ + 2’= 2v^, 1^1 = V ( — 4 ) 2 + 42 +(-4)2= 4^3,

(АВ, AC) = 2 • (-4)4-(-2)• 4 + 2 •(-4)=-24.

3. Вычисляем cos<^ по формуле (1):

— 24 ^

2\/3 • 4\/3

Ответ. Косинус угла между векторами АВ иАС равен—1.Условия ЗАДАЧ.Найти косинус угла меоюду векторами АВ и АС.

1.

А{2,-2,3),

В{1,-1,2),

С(4, — 4,5) .

2.

А(0,-2,6),

В ( — 1 2 , — 2 , — 3 ) ,

С ( — 9 , — 2 , — б ) .

3.

А{2,г,-1),

5(4,5, — 2),

С(3,1,1).

4.

А( — 1,2, — 2),

5(3,4, — 5),

С(1,1,0).

5.

У 1 ( — 2 , — 2 , 0 ) ,

В(1,-2,4),

С(5, — 2,1) .

6.

А(3,3,-1),

В(3,2,0),

С(4,4, — 1) .

7. Л ( — 1 , — 7 , — 4 ) ,

В ( 2 , — 1 , — 1 ) ,

С(4,3,1).

8.

А(2,-2,6),

5(0,0,4),

С(б,-6,10).

9. Л(0,1,0),

5(3,1,4),

С(4,1,3).

10. Л(3,2,0),

5(1,4, — 1),

С(4,0,2).

Ответы, l.cosy) = — 1 . 2.cos^ = 24/25. Z.cos^p = — 4/9 . 4.cos(p =0 . 5. cos(f = -^/2/2.6. cosip = 1/2. 7. cos y; = 1. 8. cos ^ = — 1 . 9. cosip = 24/25. 10.cosv? = — 8 / 9 .

1.4. Площадь параллелограмма

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить площадь параллелограмма, по­ строенного на векторах а = aip + a2q ub =/3ip’+/329, если известно, что \р\ = ро, \q\= qo и угол между векторами р и q равен ip.

16

Гл. 1. Аналитическал геометрия

 

 

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Площадь параллелограмма^построенного на век­

торах а и 6, равна модулю их векторного произведения:

 

 

S=\la,b]\.

(1)

1.Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения [а, Ь] = [aip +0L2q,liiP + p2q\ =

=Q^I/?I[P,P1 + a;i/?2[p,q\ + o^2/3i[q,p\ -fa2/32[g,q\ =

=(ai/?2 -a2/?i)[p,g].

2.Вычисляем модуль векторного произведения

I [а, 6] I = |ai/?2 — «2^1 \p\ l^simp

{simp > 0, так как О < (p < тг).

3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)

5 = |[а,Ь]| = \aiP2 -Q:2/?i||plMsin<^.

ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на вектораха —Зр~\- 2диЬ = 2р — д, если известно, что |р| = 4, |gl = 3 и угол между векторамирид равен 37г/4.

РЕШЕНИЕ.

 

1.

Вычисляем [а, 6], используя свойства векторного произведения

[а,Ь] = [3^+ 2q,2p^

q\ = 6[р,Й — 3[p,g] +4[q,p\ — 2%^ =-7[р,^.

2.

Вычисляем модуль векторного произведения

 

|[5, Ь]| =

I — 7[р,gll = 7|pl|9l sin ^ = 42ч/2.

3.

Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)

 

 

5=:|[а,Ь]|=:42\/2.

Ответ. Площадь параллелограмма равна 42\/2 (ед. длины)^.

studfiles.net

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскостибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны .По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .

Пример 1

а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?

Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:

Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,

Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:

Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:

Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит,система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ:а) , б) образуют.

Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

При каком значении параметра векторы будут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию .

Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его:

Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю

.

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения.

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскостиколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители.

Решим Пример 1 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

Ответ:а) , б) образуют.

Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.

Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов.

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.

Пример 3

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма:

Параллелограммомназывается четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, необходимо доказать:
1) параллельность противоположных сторон и ;
2) параллельность противоположных сторон и .

Доказываем:

1) Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .

2) Найдём векторы:

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .

Вывод:

Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Больше фигур хороших и разных:

Пример 4

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией.

Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.

Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока.

А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:




infopedia.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *