Линейные неравенства решать – Линейные неравенства, примеры, решения

alexxlab / / Школьная жизнь

Содержание

Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

 

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

 

Рассмотрим, например, неравенство

2х + 5 < 7.

Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. — 1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 — 2,5 + 5 < 7, т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

 

Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 — 5< 7 — 5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число — 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства

2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1).

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

 

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

 

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

 

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду

ах + b > 0 (или ах + b < 0),

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

Пример 1.

Решить неравенство Зх — 5 ≥ 7х — 15.

Р е ш е н и е.

Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член — 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

Зх — 7х ≥ — 15 + 5, т. е. — 4х ≥ — 10.

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число — 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5].

О т в е т: х < 2,5, или (-∞, 2,5].

 

Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.

 

Пример 2.

Решить неравенство

Р е ш е н и е.

Умножим обе части неравенства на положительное число

15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

 

Наконец, применив правило 3, получим

О т в е т: или

 

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).

 

forkettle.ru

Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Линейные неравенства – такие неравенства, которые можно привести к одному из видов:

\(ax>b\),         \(ax<b\),         \(ax \geq b\),         \(ax \leq b\),

где \(a\) и \(b\) любые числа (причем \(a\neq0\)), а \(x\) — неизвестная переменная.

Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби.

Примеры:

\(3x>-2\)

\(\frac{3y-4}{5}\)\(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Примеры не линейных неравенств:

\(3>-2\) – здесь нет переменных, только лишь числа, значит это числовое неравенство

\(\frac{-14}{(y-3)^{2}-5}\) \(\leq0\) – есть переменная в знаменателе, это дробно-рациональное неравенство
\(5(x-1)-2x>3x^{2}-8\) — есть переменная во второй степени, это квадратное неравенство

Решение линейных неравенств

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью равносильных преобразований приводят к одному из видов:

\(x<c\),        \(x>c\),        \(x\leqс\),        \(x\geqс\),       где \(с\) — любое число

После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде промежутка (также называемого интервалом).

Вообще, если вы умеете решать линейные уравнения, то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение: 

При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).

Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2(x+1)-1<7+8x\)

Раскроем скобки

\(2x+2-1<7+8x\)

 

Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

 

Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак сравнения

\(x>-1\)


Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем



Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Особый случай №1: решение неравенства – любое число

В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:

\(3(2x-1)+5<6x+4\)

Раскроем скобки

\(6x-3+5<6x+4\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(6x+2<6x+4\)

 

Перенесем  члены с иксом влево, а числа вправо, не забывая при этом менять знаки

\(6x-6x<4-2\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(0<2\)


Получили верное числовое неравенство. Причем оно будет верным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса будет решением

Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Особый случай №2: неравенство не имеет решений

Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)
Решение:

\(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)

Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех дробей, то есть – на 6

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)\()\)

 

Раскроем скобки

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\)\(-6\)

 

Сократим то, что можно сократить 

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

 

Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

\(3x-15>3x-4\)


Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

\(3x-3x>-4+15\)


Вновь приводим подобные слагаемые

\(0>11\)


Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

Ответ: \(x\in\varnothing\)

Смотрите также:  
Системы линейных неравенств
Строгие и нестрогие неравенства


Скачать статью

cos-cos.ru

Линейные уравнения и неравенства | LAMPA

Линейное уравнение

Уравнение вида kx+b=0kx+b=0kx+b=0, где k≠0k\neq 0k≠0, называется линейным уравнением.

Уравнение такого вида имеет одно решение: x=−bkx=-\frac{b}{k}x=−kb​.

2x+3=0⇔x=−32.2 x+ 3=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x=-\frac{3}{2}{.}2x+3=0⇔x=−23​.

Решим линейное уравнение 7x+9=5x+137x+9=5x+137x+9=5x+13.
Чтобы решить это уравнение, надо перенести все слагаемые с xxx в одну часть уравнения (например, в левую часть), а все слагаемые без xxx в другую часть уравнения (например, в правую часть): 7x−5x=13−9.7x-5x=13-9{.}7x−5x=13−9.
При переносе слагаемого в другую часть уравнения знак слагаемого меняется. Это происходит, потому что при переносе слагаемого в другую часть уравнения вы как будто вычитаете это слагаемое (в данном случае 5x5x5x) из обеих частей уравнения. В этом смысле уравнение похоже на весы с двумя чашами: если вы сняли гирю определенного веса с одной чаши, то для сохранения равновесия вам надо снять гирю того же веса и с другой чаши.
Упростим левую и правую части уравнения:7x−5x=13−9⇔2x=4.7x-5x=13-9\Leftrightarrow 2x=4{.}7x−5x=13−9⇔2x=4.
Для того чтобы найти xxx, осталось разделить число в правой части уравнения на коэффициент при xxx: 2x=4⇔x=42⇔x=2.2x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{2}\Leftrightarrow x=2{.}2x=4⇔x=24​⇔x=2.

Теперь решим похожее уравнение с другими знаками: 7x−9=13−5x7x-9=13-5x7x−9=13−5x.
Сгруппируем слагаемые с xxx в левой части уравнения, а слагаемые без xxx — в правой части: 7x+5x=13+9.7x+5x=13+9{.}7x+5x=13+9.Обратите внимание на то, что при переносе слагаемых в другую часть уравнения их знак поменялся.
Упростим левую и правую части уравнения:7x+5x=13+9⇔12x=22.7x+5x=13+9\Leftrightarrow 12x=22{.}7x+5x=13+9⇔12x=22.
Для того чтобы найти xxx, осталось разделить число в правой части уравнения на коэффициент при xxx: 12x=22⇔x=2212⇔x=116⇔x=156.12x=22\Leftrightarrow x=\frac{22}{12}\Leftrightarrow x=\frac{11}{6}\Leftrightarrow x=1\frac{5}{6}{.}12x=22⇔x=1222​⇔x=611​⇔x=165​.

Линейное неравенство

Линейное неравенство – это неравенство, которое можно привести к виду kx+b≤0kx+b\le 0kx+b≤0 или к виду kx+b<0kx+b\lt 0kx+b<0, где k≠0k\neq 0k≠0.

Решение неравенства kx+b≤0kx+b\le 0kx+b≤0 зависит от знака при kkk:

  • Если k>0k\gt 0k>0, то x≤−bkx\le -\frac{b}{k}x≤−kb​ (знак неравенства сохраняется).
  • Если k<0k\lt 0k<0, то x≥−bkx\ge -\frac{b}{k}x≥−kb​ (знак неравенства меняется при делении обеих частей неравенства на отрицательное число).

1)2x+3≥0⇔x≥−32.1) \,\,\,\,\,\,\,2 x+ 3\ge 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x\ge -\frac{3}{2}.1)2x+3≥0⇔x≥−23​.
2)−2x+3≥0⇔x≤32.2) -2 x+ 3\ge 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x\le \frac{3}{2}.2)−2x+3≥0⇔x≤23​.

lampa.io

Решение линейных неравенств

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (62,5 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Задачи урока:

  • Образовательные:
  1. вспомнить, что такое неравенство;
  2. вспомнить свойства числовых неравенств;
  3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
  4. ввести понятие линейного неравенства;
  5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.
  • Воспитательные:
    1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.
  • Развивающие:
    1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
    2. развитие познавательного интереса;
    3. развитие мышления учащихся;
    4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
    5. развитие правильной речи учащихся.

    Ход урока

    1 этап. Мотивационный

    Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

    В математике — соотношенье между числами и выраженьями,
    В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
    Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
    Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

    Итак, тема урока «Неравенства».

    2 этап. Изучение нового материала

    Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

    (применяю прием маркировки текста «Инсерт» — учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

    Отмечают «+» то, что им уже известно, «-» то, что новое, не знакомо.

    Текст

    Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

    • > (больше),
    • < (меньше),
    • ≤ (меньше или равно),
    • ≥ (больше или равно),
    • ≠ (не равно).

    Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

    Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например,

    х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

    Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

    Свойства числовых неравенств:

    1. Если а > b и b > c, то а > с.
    2. Если а > b, то а + с > b + с.
    3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
      Если а > b и m < 0 , то am < bm.
    4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
    5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
    6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.
    Алгоритм решения линейных неравенст Пример: решить неравенство
    5(х – 3) > 2х — 3
    1. Раскрыть скобки:5х – 15 > 2х — 3
    2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:5х – 2х > -3 + 15
    3. Привести подобные слагаемые:3х > 12
    4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):3х > 12 : 3
    х > 4
    5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
    6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:Ответ: (4; +∞)

    Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

    Учитель составляет «Кластер» на доске.

    1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
    2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
    3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

    Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

    3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

    Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

    1. Попытка решить самому!!! 5 мин

    Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

    №1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

    №2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

    №3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

    №4. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х

    №5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

    2. Разбор задания в группе. 5 мин

    Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

    Учитель выступает в роли консультанта.

    (Ученик сам – группа учеников – учитель)

    3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

    Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

    После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

    Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

    Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

    1) 2(х + 8) – 5х < 4 – 3х (решения нет)

    2)

    3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

    4 этап. Подведение итогов

    Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

    Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

    Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

    5 этап. Домашнее задание

    П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

    Хочу я вам дать совет:

    «Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

    А.И. Маркушевич

    Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

    5.04.2011

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Решение линейных неравенств. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

    1. Решение строгого линейного неравенства

    Сложность: лёгкое

    		1
    2. Решение неравенства

    Сложность: лёгкое

    		1
    3. Положительные или отрицательные значения двучлена

    Сложность: лёгкое

    		3
    4. Неотрицательные или неположительные значения двучлена

    Сложность: лёгкое

    		3
    5. Дробное неравенство, сводимое к линейному (числитель — одночлен)

    Сложность: лёгкое

    		4
    6. Значения двучлена, большие или меньшие 2

    Сложность: среднее

    		4
    7. Решение линейного неравенства

    Сложность: среднее

    		1
    8. Решение строгого, дробного линейного неравенства

    Сложность: среднее

    		1
    9. Тест по решению нестрогого неравенства

    Сложность: среднее

    		1
    10. Решение линейного неравенства

    Сложность: среднее

    		2
    11. Значение, которое является решением неравенства

    Сложность: среднее

    		5
    12. Значения двучлена, не меньшие или не большие значений другого двучлена

    Сложность: среднее

    		5
    13. Сумма дробей

    Сложность: среднее

    		5
    14. Линейное неравенство (распределительный закон умножения)

    Сложность: среднее

    		5
    15. Линейное неравенство (минус перед скобками)

    Сложность: среднее

    		6
    16. Наименьшее целое решение неравенства

    Сложность: среднее

    		5
    17. Решение линейного неравенства

    Сложность: среднее

    		3
    18. Выбор интервала как решения строгого неравенства

    Сложность: среднее

    		3
    19. Решение двойного неравенства

    Сложность: среднее

    		3
    20. Область допустимых значений выражения, линейное уравнение

    Сложность: сложное

    		4
    21. Область допустимых значений выражения, дробь

    Сложность: сложное

    		4
    22. Текстовая задача

    Сложность: сложное

    		6

    www.yaklass.ru

    Линейные неравенства с одной переменной. Решение неравенств

    Линейное неравенство с одной переменной – это неравенство, которое можно привести к виду:

    ax > b     или     ax < b

    где x – это переменная, a – коэффициент, а b – свободный член.

    Если a > 0, то разделив обе части неравенства на a, получим:

    x > b     или     x < b
    aa

    Данные неравенства и определяют все значения переменной x, при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков:

    Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:

    если   x &ges; b   , то   x ∈ [b; +∞)   или если   x &les; b   , то   x ∈ (-∞;b]
    aaaa

    Если a < 0, то разделив обе части неравенства

    ax > b     или     ax < b

    на a и поменяв в них знак на противоположный, получим:

    x < b     или     x > b
    aa

    Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.

    Если a = 0, тогда неравенство примет вид:

    0 · x > b     или     0 · x < b

    В первом случае: 0 · x > b, x ∈ (-∞; +∞) если b отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений. Во втором случае: 0 · x < b, x ∈ (-∞; +∞) если b положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.

    Равносильные неравенства

    Равносильные неравенства – это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.

    Неравенство, равносильное данному, получится, если:

    1. Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
    2. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
    3. Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

    Решение неравенств

    Решить неравенство с одной переменной – это значит найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.

    Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:

    • освобождение от дробных членов
    • раскрытие скобок
    • перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных – в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства)
    • приведение подобных членов
    • деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной

    Пример 1. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

    -8x — 2 > 14

    Решение: Переносим -2 в правую часть:

    -8x > 14 + 2

    -8x > 16

    Делим обе части неравенства на -8:

    -8x : (-8) < 16 : (-8)

    x < -2

    Отмечаем множество значений x на координатной прямой:

    Ответ: (-∞; -2)

    Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:

    6(y + 12) &ges; 3(y — 4)

    Решение: Сначала раскрываем скобки:

    6y + 72 &ges; 3y — 12

    Переносим 72 в правую часть, а 3y в левую и делаем приведение подобных слагаемых:

    6y — 3y &ges; -12 — 72

    3y &ges; -84

    Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):

    (3y) : 3 &ges; (- 84) : 3

    y &ges; -28

    Отмечаем множество значений y на координатной прямой:

    Ответ: [-28; +∞)

    naobumium.info

    Как решать линейные неравенства | Алгебра

    Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

    Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.

       

    Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.

       

    Приводим подобные слагаемые.

       

    Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).

       

       

    Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:

       

       

    Так как неравенство нестрогое, точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. Штриховка идёт влево от -2, на минус бесконечность.      

    Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.

    Ответ:

       

       

    Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).

       

    При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения, то есть умножаем на 10 только один множитель.

       

    Раскрываем скобки:

       

    Приводим подобные слагаемые:

       

    Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

       

    Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

       

       

    Сокращаем дробь:

       

    Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

    Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:

    Ответ:

       

       

       

    Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:

       

       

       

       

    Приводим подобные слагаемые:

       

    Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

       

       

    Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

       

       

    Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:

    Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой:

    Ответ:

       

       

    Произведение разности двух выражений на их сумму, стоящее в левой части неравенства, сворачиваем по формуле в разность квадратов.

    В правой части неравенства — квадрат разности.

    Перед скобками в обеих частях стоит знак «минус», поэтому сначала преобразуем выражения в скобках по формулам, и только потом раскрываем скобки, изменив при этом знак каждого слагаемого на противоположный:

       

       

    Переносим неизвестные в одну чторону, известные — в другую с противоположными знаками:

       

       

    Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

       

       

    Так как неравенство нестрогое, -0,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

    Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -0,4 записываем с квадратной скобкой:

    Ответ:

       

    Часто в алгебре требуется не просто решить линейное неравенство, а выбрать из множества решений конкретное значение, например, наибольшее целое или наименьшее натуральное решение. Позже мы рассмотрим, как решать такие задачи.

    www.algebraclass.ru

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *