Математические простые формулы – Шпаргалка Математические формулы. Шпаргалка для ЕГЭ с математики

математика в формулах и таблицах

19

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

В.И. Агульник, Б.П. Зеленцов

в формулах и таблицах

Справочное пособие

Новосибирск

2000 г.

В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов.

Математика в формулах и таблицах. Справочное пособие

Справочное пособие содержит формулы, таблицы, графики по математике, охватывающие основные разделы элементарной математики — алгебры и геометрии. Оно предназначено для абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам, а также для студентов дневного и заочного обучения при изучении высшей математики и других дисциплин.

Кафедра высшей математики

Рецензент: И.И.Резван

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.

 Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2000 г.

 В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов, 2000 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

  1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ…………………………………

  2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ …………

  3. СТЕПЕНИ И КОРНИ ……………………………………….

  4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ………

  5. ПРОГРЕССИИ ………………………………………………

  6. ЛОГАРИФМЫ ………………………………………………

  7. ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………

  8. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ……………

  9. ПЛАНИМЕТРИЯ …………………………………………

  10. СТЕРЕОМЕТРИЯ …………………………………………

ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………

1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ

nN — множество натуральных чисел {1, 2, 3, …}

d = НОД (n, m) — наибольший общий делитель n и m

k = НОК (n, m) — наименьшее общее кратное n

и m

Z = множество целых чисел

Q = -множество рациональных чисел (дробей)

R – множество действительных чисел

Арифметические операции с дробями:

; ; ;

; ;;

Пропорция ;

Модуль числа. Определение: ;

Свойства модуля:

; ; ;

a

a+b

a-b

;x

;

a

a+b

a-b

x

2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

; ;

;

;

;

; ;

3. СТЕПЕНИ И КОРНИ

; ; ;;

; ;; ;

; ; ;

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

;

Корни уравнения: , где— дискриминант.

Формулы Виета: ;.

Разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Приведенное уравнение: ; .

Квадратное неравенство:

Если D>0 , a>0, -корни квадратного трехчлена, , то

;

 .

5. ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия:

Общий член: ,, где— разность прогрессии;

Сумма членов .

Геометрическая прогрессия

Общий член: , где — знаменатель прогрессии;

Сумма членов .

Сумма геометрической прогрессии (при ):.

Некоторые суммы:

; ;

;

; ;

6. ЛОГАРИФМЫ

Логарифм числа по основанию

:

.

Основное логарифмическое тождество: .

Свойства логарифмов:

; ;

; ;.

Десятичные логарифмы :.

Натуральные логарифмы :.

Логарифмические неравенства:

.

Показательные неравенства:

.

7. ТРИГОНОМЕТРИЯ

7.1. Основные соотношения

;

; ;

; ;;

; ;

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно:

; ;

7.3. Основные значения тригонометрических функций

7.4. Знаки тригонометрических функций

7.5. Формулы сложения

; ;

; ;

; ;

; ;

7.6. Формулы двойных углов

;

;

; ;

7.7. Формулы тройных углов

; ;

; ;

7.8. Формулы половинных углов

; ;

; ;

;

Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для решения тригонометрических уравнений:

; ; ; ;

7.9. Формулы приведения

sin

– sin 

cos 

 sin 

– cos 

 sin 

cos

cos 

 sin 

– cos 

 sin 

cos 

tg

–tg 

 ctg 

 tg 

 ctg 

 tg 

ctg

–ctg 

 tg 

 ctg 

 tg 

 ctg 

7.10. Формулы преобразования суммы и разности

; ;

; ;

, где ;

; ;

; .

7.11. Формулы преобразования произведения

; ;

.

7.12. Обратные тригонометрические функции

;

;

;

.

7.13. Простейшие тригонометрические уравнения

1) ; ;.

Частные случаи: ;;

; ;

;

.

2) ;;.

Частные случаи: ;;

; ;

; .

3) ,;.

4) ;;.

8. Графики основных элементарных функций

Парабола

Гипербола

Y

Y

y0

x0

x0

X

X

y0

Логарифмическая кривая

Экспонента

Y

a>1

0<a<1

Y

a>1

1

X

0<a<1

y = log a x

y = ax

X

Синусоида

Y

1

/2

-

2

X

y = sin x

y = cos x

Y

Тангенсоида

/2

0

X

y = ctg x

y = tg x

10. ПЛАНИМЕТРИЯ

    1. Треугольник

10.1.1. Основные соотношения

A,B,C – вершины aa,b,c – стороны ,, — углы

— неравенства треугольника; ;

теорема проекций

теорема синусов

теорема косинусов

10.1.2. Замечательные линии и точки в теугольнике

ma, mb, m

c — медианы

ha, hb, hc — высоты

la, lb , lc — биссектрисы

p — полупериметр,

r — радиус вписанной окружности

R – радиус описанной окружности

; ;

; ;

10.1.3. Формулы площади треугольника

studfiles.net

Формулы элементарной математикИ

  1. Степени и корни

Если ,, то:

;;;,; ;

,;,;,.

Формулы сокращенного умножения

  1. – квадрат суммы или разности;

  2. – разность квадратов;

  3. – куб суммы;

  4. – сумма кубов;

  5. – куб разности;

  6. – разность кубов;

3. Квадратное уравнение

Если и— корни квадратного уравнения, то

;.

4. Логарифмы

Если ,,,, то:

  1. – определение логарифма;

  2. – основное логарифмическое тождество;

  3. – логарифм произведения;

  4. – логарифм частного;

  5. – логарифм степени;

  6. – формула перехода;

  7. ,; 8); 9).

5. Основные тригонометрические тождества

1) 2) 3)

4) 5) 6)

6. Значения тригонометрических функций некоторых аргументов

7. Формулы двойного угла

1) 2)

3) 4)5)

8. Формулы понижения степени

1) 2)

9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

1)

2)

3)

Приложение 2

Таблица тригонометрических функций sinx,cosx.

Угол,

sin x

cos x

Угол,

sin x

cos x

Угол,

sin x

cos x

град

град

град

0

0

1,0000

1

0,0175

0,9998

31

0,5150

0,8572

61

0,8746

0,4848

2

0,0349

0,9994

32

0,5299

0,8480

62

0,8829

0,4695

3

0,0523

0,9986

33

0,5446

0,8387

63

0,8910

0,4540

4

0,0698

0,9976

34

0,5592

0,8290

64

0,8988

0,4384

5

0,0872

0,9962

35

0,5736

0,8192

65

0,9063

0,4226

6

0,1045

0,9945

36

0,5878

0,8090

66

0,9135

0,4067

7

0,1219

0,9925

37

0,6018

0,7986

67

0,9205

0,3907

8

0,1392

0,9903

38

0,6157

0,7880

68

0,9272

0,3746

9

0,1564

0,9877

39

0,6293

0,7771

69

0,9336

0,3584

10

0,1736

0,9848

40

0,6428

0,7660

70

0,9397

0,3420

11

0,1908

0,9816

41

0,6561

0,7547

71

0,9455

0,3256

12

0,2079

0,9781

42

0,6691

0,7431

72

0,9511

0,3090

13

0,2250

0,9744

43

0,6820

0,7314

73

0,9563

0,2924

14

0,2419

0,9703

44

0,6947

0,7193

74

0,9613

0,2756

15

0,2588

0,9659

45

0,7071

0,7071

75

0,9659

0,2588

16

0,2756

0,9613

46

0,7193

0,6947

76

0,9703

0,2419

17

0,2924

0,9563

47

0,7314

0,6820

77

0,9744

0,2250

18

0,309

0,9511

48

0,7431

0,6691

78

0,9781

0,2079

19

0,3256

0,9455

49

0,7547

0,6561

79

0,9816

0,1908

20

0,3420

0,9397

50

0,7660

0,6428

80

0,9848

0,1736

21

0,3584

0,9336

51

0,7771

0,6293

81

0,9877

0,1564

22

0,3746

0,9272

52

0,7880

0,6157

82

0,9903

0,1392

23

0,3907

0,9205

53

0,7986

0,6018

83

0,9925

0,1219

24

0,4067

0,9135

54

0,8090

0,5878

84

0,9945

0,1045

25

0,4226

0,9063

55

0,8192

0,5736

85

0,9962

0,0872

26

0,4384

0,8988

56

0,8290

0,5592

86

0,9976

0,0698

27

0,4540

0,8910

57

0,8387

0,5446

87

0,9986

0,0523

28

0,4695

0,8829

58

0,8480

0,5299

88

0,9994

0,0349

29

0,4848

0,8746

59

0,8572

0,5150

89

0,9998

0,0175

30

0,5000

0,8660

60

0,8660

0,5000

90

1

0,0000

При ложение 3

Таблица тригонометрических функций tgx.

Угол,

Угол,

tg x

Угол,

Угол,

tg x

Угол,

Угол,

tg x

град.

рад.

град.

рад.

град.

рад.

0

0

0

1

0,02

0,0175

31

0,54

0,6009

61

1,06

1,8040

2

0,03

0,0349

32

0,56

0,6249

62

1,08

1,8807

3

0,05

0,0524

33

0,58

0,6494

63

1,10

1,9626

4

0,07

0,0699

34

0,59

0,6745

64

1,12

2,0503

5

0,09

0,0875

35

0,61

0,7002

65

1,13

2,1445

6

0,10

0,1051

36

0,63

0,7265

66

1,15

2,2460

7

0,12

0,1228

37

0,65

0,7536

67

1,17

2,3559

8

0,14

0,1405

38

0,66

0,7813

68

1,19

2,4751

9

0,16

0,1584

39

0,68

0,8098

69

1,20

2,6051

10

0,17

0,1763

40

0,70

0,8391

70

1,22

2,7475

11

0,19

0,1944

41

0,72

0,8693

71

1,24

2,9042

12

0,21

0,2126

42

0,73

0,9004

72

1,26

3,0777

13

0,23

0,2309

43

0,75

0,9325

73

1,27

3,2709

14

0,24

0,2493

44

0,77

0,9657

74

1,29

3,4874

15

0,26

0,2679

45

0,79

1,0000

75

1,31

3,7321

16

0,28

0,2867

46

0,80

1,0355

76

1,33

4,0108

17

0,30

0,3057

47

0,82

1,0724

77

1,34

4,3315

18

0,31

0,3249

48

0,84

1,1106

78

1,36

4,7046

19

0,33

0,3443

49

0,86

1,1504

79

1,38

5,1446

20

0,35

0,3640

50

0,87

1,1918

80

1,40

5,6713

21

0,37

0,3839

51

0,89

1,2349

81

1,41

6,3138

22

0,38

0,4040

52

0,91

1,2799

82

1,43

7,1154

23

0,40

0,4245

53

0,93

1,3270

83

1,45

8,1443

24

0,42

0,4452

54

0,94

1,3764

84

1,47

9,5144

25

0,44

0,4663

55

0,96

1,4281

85

1,48

11,430

26

0,45

0,4877

56

0,98

1,4826

86

1,50

14,301

27

0,47

0,5095

57

0,99

1,5399

87

1,52

19,081

28

0,49

0,5317

58

1,01

1,6003

88

1,54

28,636

29

0,51

0,5543

59

1,03

1,6643

89

1,55

57,290

30

0,52

0,5774

60

1,05

1,7321

90

1,57

studfiles.net

Величайшая формула математики | Математика, которая мне нравится

Без дальнейших церемоний, вот она:

   

Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).

Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: — основание натурального логарифма, — квадратный корень из и . Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.

Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.

Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:

   

Здесь измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение для конкретного значения , используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.

Соответствующая формула для косинуса:

   

Наконец,

   

Число — константа, равная , и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.

Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:

   

Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: , она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу в целые степени:

   

Это означало, что можно заменить в последней формуле на и получить:

   

Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения умножаются на . То есть получаем в точности

   

Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.

Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от , требуется только ее незначительная модификация.

Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число , и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для — это . Вспомним из тригонометрии, что радиан — это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен , а синус равен .

Поэтому

   

, или

   

Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.

Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics, http://brightstartutors.com/blog/2010/01/29/the-greatest-formula-in-mathematics.

hijos.ru

Формулы — высшая математика

Справочник по формулам высшей математики — очень компактный и превосходный по основам простой и высшей математики. Он охватывает очень многие разделы, где дает не только список различных формул, но и объяснения к ним.

Справочник содержит формулы высшей математики:

по элементарной геометрии (стереометрия, планиметрия и геометрические преобразования), по математическому анализу (алгебраические преобразования, тригонометрия, гиперболические функции, элементы комбинаторики, множества и действительные числа, функции),

по уравнениям и неравенствам (линейные, квадратные, показательные, логарифмические, тригонометрические, простейшие уравнения и неравенства и методы приближенного решений уравнения вида f(x) = 0),

по аналитической геометрии (преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости, системы координат в пространстве и на плоскости, плоскость, прямая на плоскости и в пространстве, линии и поверхности второй степени, простейшие задачи аналитической геометрии),

по высшей алгебре (комплексные числа, определители, многочлены, матричное исчисление, евклидовы и линейные пространства и их преобразования, квадратичные формы, системы линейных уравнений),

по дифференциальному, интегральному и тензорному исчислению (числовые, степенные ряды и пределы, формула Тейлора, определенные и неопределенные интегралы, а также несобственные, зависящие от параметра, тензоры, действия над тензорами и тензорный анализ),

по комплексному анализу (ряд Фурье, комплексные функции, операционное исчисление),

по элементам теории поля (векторное и скалярное поле),

по дифференциальному уравнению и геометрии (вектор, поверхности, пространственные и плоские линии, нелинейные и линейные дифференциальные уравнения, также в частных производных),

по теории вероятности (случайные величины и события),

по математической логике (предикаты, алгебра и исчисления высказываний, множества и отображения) и по многим другим разделам математики.

Пригодится студентам любых факультетов и вузов, где изучается высшая математика.

www.for-stydents.ru

Математические формулы – жизнь среди чисел

Решение задачи зависит от правильного подхода и умения применять знания. Математические формулы – это плод многолетних трудов массы ученых, современным же людям остается найти в массе комбинаций ту самую, единственно подходящую.

Математика – наука, которая кажется незаметной, но она сопровождает нас всю сознательную жизнь. С числами и формулами нас знакомят в школе, а жизнь находит применение базовым знаниям.

Не каждый человек имеет способности к математике, но нормативы и контрольные, экзамены и тестирования приходится сдавать практически всем. Сложные и простые задачи приходится решать ежедневно, тем более студентам и школьникам. Решение дается не всегда просто, ведь строгие педагоги спешат дать знания и проверить степень усвоения материала.

Математические формулы – простой ключ к решению задач

Обширная и интересная наука все развивается, усложняясь и представляя новые решения старых вопросов. Ученые веками изучали закономерности и выводили формулы, доказывали теоремы и рассуждали о смысле аксиомы. Огромные труды, многовековые познания современные студенты должны освоить в короткий промежуток времени. Это невозможно.

Все осознают, что объять необъятные познания в области науки невозможно, поэтому курс математики и подразделов данной науки дает лишь поверхностное понимание законов и правил, лишь самые востребованные знания.

С первого класса и до конца жизни человек изучает формулы по математике, иногда даже не осознавая того. Их настолько много, что запомнить весь массив не удастся никогда. На выручку идут специальные сборники, классифицированные по различным характеристикам, в которых также нужно уметь ориентироваться. Применение правильной формулы дает простое решение задачи.

Как найти ключ к решению?

Еще раз следует отметить, что формул много, поэтому справочная информация выручит в трудный момент. Математические формулы разделяются соответственно разделам обширной науки, и состоят из определенного количества параметров, зная часть из которых, можно найти решение.

Умение оперировать познаниями в математике необходимо, поэтому мы собрали самые часто используемые формулы для вас, ссылки на которые есть в разделе Полезные материалы для изучения математики.

Применение математических формул

Математику невозможно вычленить из смежных наук – физики, информатики и т.п. Применение формул иногда настолько неожиданно, что трудно поверить, что этот результат возможен лишь благодаря «скучной» науке под названием «математика», также смотрите где найти формулы по геометрии.

Математические формулы в процессе эволюции своего назначения претерпевали изменения, и связано это было с изменением понимания назначения самих формул. Числа давно уже перестали быть просто числами, а стали делиться на элиту в виде простых чисел, и на все остальные цифры. Когда любое число стало возможным представить в виде двух простых, а их, в свою очередь, представить кодированными символами, то и методы действий над ними тоже немного изменились.

Не секрет, что каждый человек, работающий в сфере чисел, имеет свои наработки и взгляды на алгебраические формулировки. Суть в том, что как раз из этого и возникают предпосылки к возникновению новых формул и трактовок к их пониманию.

Как бы ни были нам в прошлом дики массивы чисел, сейчас это норма, и массивы массивов только помогают в развитии других аспектов математических формул, например, в криптографии.

Студенческие годы пройдут, и экзамены будет устраивать сама жизнь. Научитесь оперировать исходными данными и применять формулы. Эти навыки позволят успешно развивать свою жизнь, правильно распоряжаясь своими ресурсами, более подробнее смотрите на сайте educon.by.

www.vash-remontik.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *