Область значения функции это – , , .

alexxlab / / Школьная жизнь

Содержание

Функция. Область значения функции. Область определения функции.

Функции играют фундаментальную роль во всех областях математики, а также в других науках и инженерии. Более абстрактные области математики, такие, как теория множеств, рассматривают очень общие типы функций, которые не могут быть определены конкретным правилом и не регулируются какими-либо знакомыми принципами. Характерным свойством функции является то, что она связывает ровно одно значение из множества x одному значению из y.

Математическое понятие функции выражает зависимость между двумя величинами, одна из которых независимая переменная x, аргумент функции или ее «входящее значение», а другая зависимая переменная —  y  «выходящее значение».

Функцией, заданной на множестве \(D\), называется закон, по которому каждому значению \(x\) из множества \(D\) ставится в соответствии одно определенное значение y. Будем обозначать функцию какой-нибудь буквой, например  f, а ее значение в точке x будем обозначать \(f(x)\), произносится “эф от икс”, \(y\)  является функцией от \(x\) и это записывают как равенство \(y=f(x)\). Мы можем обозначать функцию и другими буквами, например \(t,r,n.\)

Областью определения функции f называется множество всех допустимых значений переменной x от функции f. Функция может быть определена только для тех значений, при которых выражение f(x) имеет смысл.

Областью значений функции f называют множество значений, которые может принимать функция f.

Задать функцию — это значит описать какую-то конкретную зависимость так, чтобы каждый мог разобраться, о чем идет речь.

Чтобы задать функцию, нужно:

  • записать формулу, которая задает функцию;
  • нарисовать график функции;
  • составить таблицу значений функции

Аргумент функции — это независимая переменная, от значений которой зависят значения функции. На рисунке нарисованы таблица значений и график функции \(y=-2x:\)

                                                                                 

 

 

 

Задача 1. Нарисовать график функции \(2x+3.\)

Решение. Составим табдицу значений функции:

                                                                                           

Перенесем на оси координат значения:

                                                                      

Есть много способов дать функцию: по формуле, по графику, по алгоритму, который вычисляет ее, по описанию ее свойств. Иногда функция описывается через ее связь с другими функциями, например, обратная функция. В прикладных дисциплинах функции часто определяются таблицами значений или формулой. Не все типы описания могут быть даны для каждой возможной функции, и необходимо провести четкое различие между самой функцией и несколькими способами ее представления или визуализации.

Функции в алгебре обычно выражаются в терминах алгебраических операций. Функции, изучаемые в анализе, такие как экспоненциальная функция, могут иметь дополнительные свойства, возникающие из непрерывности пространства, но в самом общем случае не могут быть определены одной формулой. Аналитические функции в комплексном анализе могут быть определены довольно конкретно через их разложения рядов. С другой стороны, в лямбда-исчислении функция является примитивным понятием, а не определяется в терминах теории множеств.

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
 

 

myalfaschool.ru

Область значений — это… Что такое Область значений?


Область значений

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Определения

  • Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
  • Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:
  • Функция называется инъективной, если

Обозначения

Связанные определения

  • Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством
    .
    Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
  • F является продолжением функции на множество . Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.
  • Пусть . Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством
    .
Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается .
  • Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
    • Например, пусть дана функция , где F(x) = x2. Тогда
      y = − 1 не имеет прообразов;
      y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
      y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.
  • Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F — 1(y).
    • Например, пусть , и F(x) = sinx. Тогда
      .
  • Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством
    .
    • Например, пусть , и F(x) = cosx. Тогда
      ,
      .

Свойства

Свойства прообразов и образов

  • ;
  • ;
  • ;
  • . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как или , то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, или , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X

 — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Вариации и обобщения

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что .[1]

Примечания

  1. ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.

См. также

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Область войска Донского
  • Область датского права

Смотреть что такое «Область значений» в других словарях:

  • область значений — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN codomain …   Справочник технического переводчика

  • ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ — функции, множество значений функц и и, множество всех элементов, к рые заданной функцией поставлены в соответствие элементам из ее области определения, т. е. если , то множеством значений функции fназ. множество всех таких элементов, для каждого… …   Математическая энциклопедия

  • Область значений функции — Область значений функции  множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. Содержание 1 Определение 2 Примеры 2.1 Числовые функции …   Википедия

  • область значений влияющих величин — Множество значений влияющих величин при изменении отдельной влияющей величины в установленных пределах. [ГОСТ Р 51317.4.30 2008 (МЭК 61000 4 30:2008)] EN range of influence quantities range of values of a single influence quantity [IEC 61000 4 30 …   Справочник технического переводчика

  • область значений влияющих величин — 3.25 область значений влияющих величин (range of influence quantities): Множество значений влияющих величин при изменении отдельной влияющей величины в установленных пределах. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • нормальная область значений влияющей величины — нормальная область Область значений влияющей величины, в пределах которой изменением результата измерений под ее воздействием можно пренебречь в соответствии с установленными нормами точности. Пример. Нормальная область значений температуры при… …   Справочник технического переводчика

  • рабочая область значений (влияющей величины) — Область значений влияющей величины, в пределах которой нормируют дополнительную погрешность или показание средства измерений (ОСТ 45.159 2000.1 Термины и определения (Минсвязи России)). [http://www.iks… …   Справочник технического переводчика

  • Нормальное значение [нормальная область значений] (влияющей величины) — 1. Значение [область значений] влияющей величины, устанавливаемое [ая] в стандартах или технической документации на средства измерений, при котором [в пределах которых] погрешности этих средств измерений не должны выходить за установленные… …   Телекоммуникационный словарь

  • Рабочая область значений (влияющей величины) — 1. Область значений влияющей величины, в пределах которой нормируют дополнительную погрешность или показание средства измерений Употребляется в документе: ОСТ 45.159 2000 Отраслевая система обеспечения единства измерений. Термины и определения …   Телекоммуникационный словарь

  • рабочая область значений влияющих величин — vardinės veikimo sąlygos statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Naudojimo sąlygos, kuriomis matavimo priemonės nurodytosios metrologinės charakteristikos patenka į apibrėžtas ribas. atitikmenys: angl. rated operating… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas


dic.academic.ru

Нахождение области определения и области значений числовой функции

Тема: Числовые функции

Урок: Нахождение области определения и области значений числовой функции

 

Понятие функции одно из важнейших в математике. Именно функции описывают реальную жизнь: полет ракеты или  самолета, движение поезда, изменение прибыли предприятия и т.д. Свойства функции связывают воедино, казалось бы, разрозненные методы решения уравнений, неравенств, систем.

Функцией называется закон , по которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Множество всех допустимых значений аргумента  называется областью определения функции и обозначается .

Область определения функции – важнейшая характеристика функции. Если при задании функции множество   не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения .

Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют  областью значений функции и обозначается .

Смысл выражения «область значений функции , , есть множество » состоит в следующем:

1. Любому элементу  соответствует единственный элемент ;

2. Любое значение  достигается хотя бы при одном значении .

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Функцию характеризуют область определения, область значений и график.

Опишем связь между этими основными характеристиками функции.

 

interneturok.ru

Область значений функции — это… Что такое Область значений функции?

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Определение

Пусть задана функция , которая отображает множество в , то есть: ; тогда

  • областью значений функции называется подмножество множества вида
  • и обозначается , , (от англ. codomain «со-область») или (от фр. range «со-область»).

Примеры

Числовые функции

Характеристическая функция множества

Пусть . Определим функцию , которая

  • принимает значение , если ,
  • и принимает значение 0, в противном случае.

Такая функция называется характеристической функцией множества .

Поскольку каждому множеству сопоставляется своя характеристическая функция, а любая функция типа определяет некоторое подмножество множества , то существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех подмножеств множества вида

и множеством всех отображений множества в двухэлементное множество , которое обозначается как и нередко называется булеаном множеств.

Важный случай характеристических функций возникает тогда, когда — конечное множество . Такие функции называются булевскими функциями.

См. также

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • ISBN 5-02-014844-X
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

dic.academic.ru

Область определения и область значения функции

Урок 1. Понятие функции.

Область определения и область значений функции

— создать условия для обобщения имеющиеся у учащихся знаний о функциях, а также выделения ключевых задач на функцию;

— способствовать развитию внимания, памяти, математически грамотную речь, логического мышления;

— создавать условия для воспитания самостоятельности, дисциплинированности, ответственности в делах.

ОБОРУДОВАНИЕ: видео «Функция. Область определения и область значений», таблица «Графики элементарных функций»

ХОД УРОКА:

  1. Организация класса на работу

  2. Актуализация знаний обучающихся

— Слово «Функция» в математике появилось сравнительно недавно. Впервые о функциях стал говорить великий немецкий философ-математик Г.В.Лейбниц в конце 17 века, а первое определение функции дал, вероятно, его ученик И.Бернулли в 1718 году. В прочем, это было не то определение, которым мы пользуемся сегодня. Определение функции было дано позднее – в конце 19 века.

— О функциях говорят не только в теоретических дисциплинах. Без них не обойтись ни финансисту, ни социологу, ни даже просто читателю газет – в любой газете можно встретить диаграмму или график, и каждый человек должен уметь их понимать без излишней траты умственных сил.

— Понятие функции – это очень общее понятие, с которым мы встречаемся на каждом шагу, не всегда даже отдавая себе в этом отчет.

— Приведем примеры: 1) Каждому многоугольнику поставим в соответствие число, равное его площади.

2) Каждому слову русского языка поставим в соответствие его первую букву. Именно так поступают при составлении словарей.

3) Каждому человеку поставим в соответствие его группу крови.

— Нас окружает множество изменяющихся величин. Изменяется скорость движущихся автомашин и летящих самолет, меняется высота солнца над горизонтом и положение планет на их орбитах, изменяется температура воздуха, сила ветра, величины атмосферного давления и т.д. Многообразие меняющихся величин очень велико. Некоторые из этих величин очень тесно связаны между собой. В дальнейшем будем изучать только такие переменные величины, между которыми существуют зависимости, позволяющие определить единственное значение одной из них, как только станет известны значения остальных.

— Современный человек живет в меняющемся мире, в мире связей и зависимостей, а лучшего способа их выразить, чем функции и графики, нет.

  1. Сообщение темы и цели урока

  2. Изучение нового материала

— Функция – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственной значение переменной у.

— Переменная х – независимая переменная или аргумент.

— Переменная у – зависимая переменная или значение функции.

— Область определения функции Д (у) – множество всех значений переменной х.

— Область значений функции Е(у) – множество всех значений переменной у.

— График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции.

— Далее необходимо выделить ключевые задачи, связанные с функциями:

1. По данному значению аргумента найти значение функции.

2. Найти те значения аргумента, которые соответствуют данному значению функции.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти точки пересечения графиков данных функций.

5. Найти все значения аргумента, при каждом из которых график одной функции лежит выше (ниже) графика другой функции.

  1. Закрепление изученного материала

— таблица «Графики элементарных функций» — устно с комментированием

— №1, 2 – у доски с комментированием

— №5, 6 – с проговариванием по очереди

— №7 – устно

— №10, 29 (а) – у доски

  1. Подведение итогов урока (рефлексия)

  2. Домашнее задание: п.1, №3, 8, 29 (б), 12*.

infourok.ru

Область значений функции — Википедия. Что такое Область значений функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X{\displaystyle X} задана функция f{\displaystyle f}, которая отображает множество X{\displaystyle X} в Y{\displaystyle Y}, то есть: f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}. Тогда областью (или множеством) значений функции f{\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y{\displaystyle Y} и обозначается f(X){\displaystyle f(X)}:

f(X)={y∈Y|y=f(x),x∈X}{\displaystyle f(X)=\{y\in Y|\,y=f(x),\,x\in X\}}.

Множество значений функции f{\displaystyle f} обозначается также символами E(f){\displaystyle E(f)}, R(f){\displaystyle R(f)} или ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Способы нахождения областей значений функций

  • последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
  • метод оценок;
  • использование свойств непрерывности и монотонности функции;
  • использование производной;
  • использование наибольшего и наименьшего значений функции;
  • графический метод;
  • метод введения параметра;
  • метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y{\displaystyle Y} в обозначении функции f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}[4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f{\displaystyle f}.

Множество значений f(X){\displaystyle f(X)} называется также образом множества X{\displaystyle X} при отображении f{\displaystyle f}.

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].

См. также

Примечания

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
  • В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
  • А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — Вып. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

wiki.sc

как найти область определения функции и область значения??? приведите пример и опишите подробнее пожалуйста

Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» — зависимой переменной. Область определения функции — это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подста Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х». 1,Пример: дана функция е (х) = х + 5 / х — 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.новке всех возможных значений «х»). 2. Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме. В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞). Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности. 3.Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально). 4. На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки). 5.Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у». В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения. 6.Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией. 7. Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции. В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так: (-∞,1)U(1,+∞) Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.

Область определения функции это то множество значений, которые может принимать аргумент функции. Например, для y(x)=x/x-1 ООФ будет интервал от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности (х не равно 1). Область значения функции это то множество значений, которое может принимать функция. Например, для y(x)=sin(x) ОЗФ это отрезок от -1 до 1.

touch.otvet.mail.ru

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *