Онлайн решение системы неравенств с двумя переменными – Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

Решение систем неравенств с двумя переменными

Вопросы занятия:

·  повторить алгоритм решения неравенств с двумя переменными;

·  повторить алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными.

Материал урока

Рассмотрим неравенство:

При х = -3 и у = 0 это неравенство обращается в верное числовое неравенство 19 > 8.

А при x = 2 и y = 10, это неравенство обращается в числовое неравенство -41 > 8. Очевидно, что это неверное числовое неравенство.

То есть мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства, а пара чисел (2; 10) не является решением этого неравенства.

Повторим определение.

Определение.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства.

Очевидно, что это не единственное решение.

Теперь давайте вспомним алгоритм решения неравенств с двумя переменными:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства.

2. Выразить переменную у через х.

3. Построить график полученного уравнения.

4. Выделить часть плоскости, соответствующую знаку неравенства.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Прежде чем перейти к решению систем неравенств с двумя переменными, давайте вспомним определения.

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с двумя переменными, если требуется найти все значения переменных, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными практически такой же, как и алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1. Решить каждое из неравенств системы отдельно.

2. Изобразить полученные решения в координатной плоскости.

3. Найти пересечение этих решений.

4. Общая часть этих решений и является решением данной системы неравенств.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решим ещё одну систему неравенств.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили алгоритмы решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Решили несколько задач.

videouroki.net

Неравенства онлайн

Неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет найти решение почти любого заданного неравенства онлайн. Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического, тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн. При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн. Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.matcabi.net решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.matcabi.net при решении математических неравенства онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн, тригонометрические неравенства онлайн, трансцендентные неравенства онлайн, а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн. Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.matcabi.net. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств. При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн. Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.matcabi.net, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн, тригонометрических неравенств онлайн, а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.matcabi.net вполне достаточно. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.matcabi.net. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение, после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое, тригонометрическое, трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

www.matcabi.net

Решение неравенств онлайн

Неравенства это выражения вида:

f (x) ≥0

где вместо знака ≥, может стоять знак ≤ или знаки < и >.

В приведенном выше примере, решить неравенство означает найти совокупность всех значений переменной x при которых выражение f (x) больше или равно 0.

Рассмотрим график произвольной функции f (x):

Реклама

Из графика мы может сразу же записать интервалы значений х при которых функция f (x) ≥0 (закрашены серым цветом):

f (x) ≥0 <=> { x є (−∞; x₁] U [x₂; x₃] U [x₄; +∞] }

Из графика видно, что функция меняет знак в точках пересечения оси X. Следовательно, для решения любых неравенств, сначала нужно определить такие значения x, при которых функция f (x) равна нулю, т.е. решить уравнение f (x) =0.

Полученный набор значений x_i (т.е. корни уравнения f (x) =0) разбивает координатную ось на интервалы в каждом из которых значение функции сохраняет свой знак (либо больше, либо меньше нуля).

Для решения соответствующего неравенства, нужно определить знак функции в каждом из полученных интервалов и выбрать те из них , которые удовлетворяют условию неравенства. Для того, чтобы определить знак функции на некотором интервале (x_i; x_j), нужно подставить вместо значения x в выражение f (x) любое значение x_k є (x_i; x_j).

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha LLC, способен получить решение для очень большого количества разнообразных неравеств.

www.mathforyou.net

Системы неравенств с двумя переменными, способы решения

Одним из частных случаев систем неравенств с двумя переменными являются системы линейных неравенств с двумя переменными. Рассмотрим их.

Системы линейных неравенств с двумя переменными

Введем сначала все необходимые понятия.

Определение 1

Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля называются

линейными неравенствами с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Определение 3

Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Определение 4

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

Рассмотрим решение систем линейных неравенств с двумя переменными на примере.

Пример 1

Решить систему неравенств

\[\left\{ \begin{array}{c} {yРешение.

Решим для начала оба неравенства отдельно.

1. $y

   Изобразим график линейного неравенства (рис. 1).

2. $y

   Изобразим график линейного неравенства (рис. 2).

   Рисунок 2. Решение неравенства $y

3. Изобразим теперь общее решение системы линейных неравенств:

   

   Рисунок 3.

Примеры других неравенств с двумя переменными

Рассмотрим другие примеры систем неравенств с двумя переменными.

Пример 2

Решить систему неравенств

\[\left\{ \begin{array}{c} {x^2+y^2\ge 4,} \ {x^2+y^2\le 9} \end{array} \right.\]

Решение.

Решим для начала два этих неравенства по отдельности

1. $x^2+y^2\ge 4$

   $x^2+y^2=4$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $2$. Изобразим график неравенства

   

   Рисунок 4.

2. $x^2+y^2\le 9$

   $x^2+y^2=9$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3. Изобразим график неравенства

   

   Рисунок 5.

3. Изобразим теперь общее решение:

   

   Рисунок 6.

spravochnick.ru

Решение неравенств онлайн. Математика онлайн

Решение неравенств онлайн на сайте Math34.biz обеспечит максимальную точность в расчетах. Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство — это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет — в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн — неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте Math34.biz всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление. Вашему вниманию мы предлагаем сравнить решение неравенств онлайн на сайте Math34.biz с другим аналогичным сервисом. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности — вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие. Попробуйте найти решение неравенств с помощью сайта Math34.biz

math24.biz

Решение систем неравенств — online presentation

Решение систем неравенств Тема «Решение систем неравенств» Цель 1)В ходе изучения темы учащиеся должны знать,что множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему 2) Научить решать системы, составленные из двух линейных неравенств.

Повторение Математический диктант Изучение нового материала Закрепление Итог урока Повторение а≤х ≤ в, называется отрезкоми обозначается [а ;

в] Если а < в , то множество чиселх, удовлетворяющих неравенствам а<х < в, называется интерваломи обозначается (а ;

в) а<х ≤ ви а≤х < в называются полуинтерваламии обозначаются (а ;

в]и [а ;

в) Числовые промежутки Отрезки [ a;

в] Интервалы (а ;

в) Полуинтервалы [ a;

в) или ( а;

в] Повторение Лучих>а или х< в Математический диктант Запишите числовой промежуток, служащий множеством решений неравенства5,1,63≤х Проверь себя [3;6], [1,5;5] Математический диктант Какие из целых чисел принадлежат промежутку (-1;

3,6], [-6,6;1)? Проверь себя 0,1,2,3 -6,-5,-4,-3,-2,0 Математический диктант Укажите наибольшее и наименьшее целое число, принадлежащее промежуткам (-8;

8), (-6;-2) Проверь себя Наибольшее7 Наименьшее -7 Наибольшее -3 Наименьшее -5 Математический диктант Записать неравенства, множеством решения которых служат промежутки-23Х-14Х Проверь себя41)4;1[32]3;2(<≤−≤<−х Изучение нового материала Чтобы решить систему линейных неравенств, достаточно решить каждое из входящих в неё неравенство и найти пересечение множеств их решений.

Рассмотрим примеры решения задач 5Х-1 > 3( Х+ 1), 2(Х+4) > Х+5 Решим первое неравенство 5Х-1.> 3Х+3, 2Х > 4, Х > 2 Решим второе неравенство 2Х+8 > Х+ 5, Х > -3{ Изобразим на числовой оси множество решений неравенств системы Решение 1 неравенства все точки луча Х > 2 Решение 2 неравенства все точки луча Х >-32 Ответ: x>2x Решить систему неравенств 3(Х-1) ≤ 2Х + 4, 3Х-3 ≤2Х+4, Х ≤ 7 4Х-3 ≥ 13;

4Х ≥ 16 ;

Х ≥ 4 [4;7]{{{ 4 7x Ответ: 4 ≤ x ≤ 7 Итог урока.

• Рассмотрены примеры решения систем линейных неравенств.

• Учащиеся научились показывать множество

en.ppt-online.org

Уравнения и неравенства с двумя переменными. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

 – уравнение с двумя переменными;

 – неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

Пример 1 – решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х₀, х₀+1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х₀ на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем . Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 – решить уравнение и неравенство:

Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х₀ уравнение имеет два решения: (х₀; у₀) и (х₀; -у₀).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 – решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х₀; у₀) является решением, то и точка (х₀; -у₀) – также решение, точки (-х₀; у₀) и (-х₀; -у₀) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.                                 

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой  и ломаной . внутри ломаной находится область D₁. Между отрезком ломаной  и прямой  – область D₂, ниже прямой  – область D₃, между отрезком ломаной  и прямой  – область D₄

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области  возьмем точку (0;1). Имеем:

Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (-3;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:

Рис. 5. Решение примера 4

Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными, на следующем уроке одну из переменных назовем параметром.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

3. Nado5.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

2. Решить неравенство:

а)  б) ; в) ; г) ;

 

interneturok.ru