Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника
Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. В этой статье, на примере задач, мы приведем формулы для нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.
Периметр квадрата
Определение 1
Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех равных сторон, все углы которой прямые (рис. 1).
Пример 1
Найти периметр квадрата, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+α+α=4α$
Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину его стоны умножить на $4.$
Периметр прямоугольника
Определение 2
Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, все углы которой прямые (рис. 2).
Пример 2
Найти периметр прямоугольника, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.
Решение.
Так как противоположные стороны равняются между собой, то
$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$
Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$
Периметр параллелограмма
Определение 3
Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).
Пример 3
Найти периметр параллелограмма, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.
Решение.
Так как противоположные стороны равняются между собой, то
$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$
Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$
Периметр трапеции
Определение 4
Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).
Найти периметр трапеции, если его стороны равняются $α$, $β$, $γ$ и $δ$.
Решение.
По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
$P=α+β+γ+δ$
Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить все длины его сторон.
Периметр ромба
Определение 5
Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого все стороны равны между собой (рис. 5).
Пример 5
Найти периметр ромба, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+α+α=4α$
Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину его стоны умножить на $4.$
Периметр многоугольника
Отметим, что все фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. Поэтому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.
Определение 6
$n$-угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из $n$ непересекающихся сторон и $n$ углов. (рис. 6).
Пример 6
Найти периметр $n$-угольника, если его стороны равняются $α_1$, $α_2$,…, $α_n$.
Решение.
По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
$P=α_1+α_2+⋯+ α_n$
Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить все длины его сторон.
Здесь можно выделить периметр правильного $n$-угольника, то есть $n$-угольника, у которого все стороны равняются между собой.
Пример 7
Найти периметр правильного $n$-угольника, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все $n$ сторон правильного $n$-угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+⋯+α+α$ — $n$ раз.
Следовательно
$P=nα$
Вывод:
Для нахождения периметра правильного $n$-угольника надо длину его стороны умножить на $n$Периметр эллипса
Здесь просто введем формулу, для вычисления периметра (или еще иначе длины) эллипса. Пусть нам дан эллипс, как на рисунке 7.
Тогда периметр эллипса равняется
$P=4\frac{πab+a-b}{a+b}$
spravochnick.ru
Как найти стороны параллелограмма
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.
a
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы между диагоналями
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):
Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):
Формулы сторон параллелограмма , (a, b):
2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.
a, b — стороны параллелограмма
H
b — высота на сторону bHa — высота на сторону a
α, β — углы параллелограмма
Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):
3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол между диагоналями
Формула суммы квадратов диагоналей:
Формула разности квадратов сторон:
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
Периметр параллелограмма
Параллелограмм это геометрическая фигура имеющая четыре параллельные стороны, противоположных друг другу. В школьной программе все задания по решению параллелограмма, направлены на нахождение высоты, площади, диагонали и периметра. О них и пойдет речь.
Параллелограмм обладает свойствами, такими как:
В параллелограмме и углы и стороны, которые противоположны между собой одинаковы: АВ = CD, BC =AD. Так же как углы АВС = ADC и ВАD = BCD.
Диагонали проведенные из углов параллелограмма в месте пересечения разделятся на две одинаковые части. АО = ОС, ОВ = OD.
Сумма двух углов, одной стороны всегда 180 градусов.
углы: А + В = 1800, В + С = 1800, С + D =1800, A + D = 1800 .
Любая диагональ разделяет параллелограмм на две одинаковые фигуры (треугольник) как по площади так и по размеру.
Зачастую встречается такое интересное свойство как, сума диагоналей в квадрате одинакова с суммой сторон в квадрате.
АС2 + BD2 = (AB2 + BC2). AC2 + BD2 = 2 * (AB2 + BC2)
У параллелограмма есть несколько основных признаков.
— Четырехугольная фигура с противоположными сторонами параллельными друг другу и есть параллелограмм.
— Четырехугольная фигура имеющая одинаковые противоположные стороны, есть параллелограмм.
— Четырехугольная фигура имеющая одинаковые параллельные и противоположные стороны, есть параллелограмм.
— Когда встречающиеся диагонали четырехугольной фигуры в месте пересечения разделяются на равные части. Данная фигура является параллелограммом.
— Четырехугольная фигура в которой противоположные углы одинаковы называется параллелограммом.
Периметр параллелограмма находится по формуле
Р = 2 (а+b)
что означает что периметр равняется двойной сумме сторон.
Биссектриса параллелограмма
Из школьной программы помню определение которое засело в памяти на всю жизнь — Биссектриса это крыса, что ходит по углам и делит угол пополам. Если же говорить научным языком, то:
Биссектрисы углов находящихся на одной стороне встречаются в точке пересечения под углом в 90 градусов.
Так же они могут совпадать и быть параллельны друг другу.
Так же в параллелограмме можно найти высоту, она обозначается в виде отрезка исходящего из угла к основанию, следовательно, от каждого угла их можно провести две.
Площадь параллелограмма это произведение стороны и высоты приведенную к ней. Находится по формуле.
S = a * ha = b * hb
Есть еще один способ вычисления, но им не так часто пользуются в расчетах. Она звучит как площадь параллелограмма это произведение рядом лежащих сторон умноженный на синус угла находящегося между ними.
S = a * b * sin(?) = a * b * sin(?)
Все приведенные в данной статье формулы помогут Вам в решении различных задач по нахождению величин параллелограмма, это не сложно но очень интересно.
Заметка: если Вы находитесь в поиске персонала. Империя кадров поможет вам в этом вопросе. Просто перейдите по ссылке персонал временный (http://www.imperia.ru/client/temp_staff/) и узнайте подробнее.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях: