Правило суммы векторов – Сумма векторов | Треугольники

Вектор. Правило сложение векторов | Подготовка к ЕГЭ по математике

Здесь рассматриваем вектора на плоскости.

Основные определения

 

Вектором называется направленный отрезок , где точка  – начало, точка  – конец вектора.

Нулевым вектором    называется вектор, у которого начало совпадает с концом.

Векторы  и  называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены.

Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы  и называются противоположно направленными.

 

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

  

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора  обозначают .

Два вектора называются 

равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается как .

Сложение векторов

 

Сложение векторов   и   по правилу треугольника

Суммой   двух векторов   и  называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец – с концом   при условии, что конец вектора   и начало вектора   совпадают.

Сложение векторов   и   по правилу параллелограмма

Если два неколлинеарных вектора   и   привести к общему началу, то вектор   совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и . Причем начало вектора  совпадает с началом заданных векторов.

Разностью  векторов  и  называется вектор   такой, что выполняется условие: .

 

Смотрите также «Вектора. Часть 2».

egemaximum.ru

math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [Президентский ФМЛ №239]

$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$

Правило треугольника

Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Определение

Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.

Теорема

Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки $A$.

Доказательство

Докажем, что если отложить вектор $a$ от точки $A_1$, то есть $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$, а затем от точки $B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, то сумма векторов $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$ будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ (рис. \ref{pic133}).

Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, то по теореме \ref{133} имеем $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$.

Аналогично из равенства $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, что $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$.

Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$.

Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$.

Правило параллелограмма

Если $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Доказательство

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Свойства сложения векторов

Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$

1. $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.

2. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

3. $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

Доказательство

Первой свойство очевидно.

Докажем второе свойство.

Возможны два случая: $1)$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, 2) вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Рассмотрим первый случай.

Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.

Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ – и построим на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a).

Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, то $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

Рассмотрим второй случай.

Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки $A$ двумя способами, то есть $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, или $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ (рис. \ref{pic136} b).

Докажем, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.

Вектора $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec{a}|+|\vec{b}|$.

Следовательно, эти вектора равны.

Рассмотрим случай, когда вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (рис. \ref{pic136} c).

Пусть кроме того $|\vec{a}|>|\vec{b}|$.

Тогда $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$.

C другой стороны $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$, при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$.

Таким образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.

Докажем третий пункт теоремы.

Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а потом от точки $C$ вектор $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$ (рис. \ref{pic136} d).

Тогда $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

C другой стороны, $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

Правило цепочки

При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ верно равенство $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$

Определение

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).

Теорема

1. $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$.

2. Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{a}=-\vec{b}$.

Доказательство

Докажем первый пункт.

Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$.

Тогда $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$.

Следовательно, $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

Докажем второй пункт.

Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$.

Тогда, если $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, то поскольку $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$, то $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$.

Таким образом, вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны.

Разность векторов

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$.

Следствие

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

Теорема

Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$.

Доказательство

Пусть $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$.

По правилу треугольника $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$.

Кроме того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$.

Поэтому $\vec{a}- \vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$.

math-public/vektory-slozhenie-vychitanie.txt · Последние изменения: 2016/10/26 13:28 — labreslav

wiki.sch239.net

Сумма нескольких векторов | Формулы и расчеты онлайн

Сумма нескольких векторов а₁, а₂, а₃, … , а_n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а₁ прибавляется вектор а₂, к полученному вектору прибавляется вектор а

3 и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА₁ = а₁, из точки А₁, как из начала, строим вектор А₁А₂ = а₂, из точки А₂ строим вектор А₂А₃ = а₃ и т.д. Вектор ОА_n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а₁, а₂, … , а_n.

Сумма векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆ обозначается

\[ \vect{a_1}+\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} \]

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

\[ \vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} = \vect{A_1 A_6} \]

и к ней прибавить вектор а₁ (ОА₁), то получим то же вектор:

\[ \vect{a_1}+(\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6}) =
= \vect{a_1}+\vect{a_2}+\vect{a_3}+\vect{a_4}+\vect{a_5}+\vect{a_6} \]

Правило параллелепипеда

Если три вектора а, b, с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а+b+c можно найти таким построением:

Правило параллелепипеда — Сумма нескольких векторов

Из любого начала О строим векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с, на отрезках ОА, ОВ, ОС, как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a, b, и c (так как ОА = а, АК = ОВ = b, KD = OC = c и OD = OA + AK + KD).

В помощь студенту

Сумма нескольких векторов	стр. 172

www.fxyz.ru

Какой вектор называется суммой двух векторов

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

Примеры:

• скорость;
• ускорение;
• импульс;
• сила;
• момент;
• силы;
• перемещение;
• напряженность поля и др.

Это интересно: как переводить градусы в радианы?

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника;
• правило многоугольника ;
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры:

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Длина в этом случае вычисляется по формуле

, где θ — угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса;
• время;
• заряд ;
• длина;
• площадь;
• объем;
• плотность;
• температура;
• энергия.

Примеры:

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

obrazovanie.guru

Линейные операции над векторами, формулы и примеры

Рассмотрим два ненулевых вектора и .

1. Сложение (сумма) векторов

Замечание. Если начало вектора не совпадает с концом вектора , то от конца вектора надо отложить вектор , равный вектору (рис. 2).

Правило треугольника сложения векторов. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то суммой этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

Правило параллелограмма сложения векторов. Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 4), то суммой этих вектор есть вектор, имеющий общее начало с указанными векторами и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и .

Сложение векторов обладают переместительным и распределительным свойствами:

   

Если векторы и заданы своими координатами, например, на плоскости, , тогда суммой этих векторов есть вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

   

2. Разность векторов

Противоположным вектором к некоторому вектору называется вектор, противоположно направленный данному и имеющий такую же длину.

Замечание. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

   

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , который является противоположным вектору :

   

Чтобы построить геометрически разность векторов и , необходимо совместить начала этих векторов (то есть от одной точки отложить равные им векторы и ), тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомой разностью (рис. 5).

Если векторы и заданы своими координатами: , то их разностью есть вектор , координаты которого равны разности соответствующих координат векторов и :

   

3. Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , модуль которого , причем вектор будет сонаправлен с вектором , если , и противоположно направлен в случае, если .

Произведением вектора на число называется вектор, полученный из исходного умножением его каждой координаты на число :

   

ru.solverbook.com

Сумма и разность векторов

Для векторов a и b определим:

1). Сумму a+b как вектор c с координатами {a_x+b_x ; a_y+b_y}.

2). Разность a –b как d вектор с координатами {a_x – b_x ; a_y– b_y}.

3). Умножение вектора a на число k вектор с координатами {k · a_x ; k · a_y} и обозначаемый как k · a.

Сумма векторов

Сумму a+b векторов a и b можно вычислить по правилу параллелограммов.

Сперва сделаем чертеж этих векторов:

 

 

Для вычисления суммы a+b разместим начало вектора a  на начало вектора b :

 

 

Теперь дополним эту схему до параллелограмма:

 

 

Сумма a+b будет вектор начало которого совпадает с началом вектора a а конец с концом вектора b:

 

 

По последней схеме сумма a+b равна диагонали параллелограмма поэтому это правило называется правилом параллелограмм.

Разность векторов

Разность a –b векторов a и b вычисляется по правилу треугольника:

Для этого сначала начертим эти векторы:

 

 

Объединим концы векторов a и b:

 

 

Разность a– b будет вектор у которого конец совпадает с началом вектора a а начало с началом вектора b:

 

tendey.kz

Сложение векторов — 16 Сентября 2015 — Примеры решений задач

Имеется калькулятор сложения (вычитания) векторов

В случае  задачи на плоскости сумму и разность векторов

a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y}

можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y}
a — b = {a_x — b_x; a_y — b_y}

Сложение векторов  геометрия:

1) По правилу треугольника;

2) По правилу параллелограмма.

 

Пример 1. Найти сумму векторов a и b, заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). Решение изобразить графически.

Решение. Вставляем в калькулятор (-2,6)+(5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

 

Пример 2. Найти разность векторов a и b, заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). (Обратите внимание, координаты вектора разделяем запятой)

Решение. Вставляем в калькулятор (-2,6) — (5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

Пример 3. Вычислить  2a + 3b , заданных координатами a=(-2,6), b=(5,3). Выполнить геометрически.

Решение. Вставляем в калькулятор 2(-2,6)+3(5,3), получаем аналитическое и графическое решение.

 

Аналогичные формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач.

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов

a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {bx ; b_y ; b_z}

можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

a — b = {a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z}

С помощью данного калькулятора можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения вектора на число для пространственных задач.

www.reshim.su