Разложение на линейные множители онлайн – Разложить на множители онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Квадратный трехчлен ax²+bx+c  можно разложить на линейные множители по формуле:

 ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂),  где  x_1,  x₂ — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x²-7x-15.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x²-7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=(-7)²-4∙2∙(-15)=49+120=169=13²>0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

2x²-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x²-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x²-7x-15=(2х+3)(х-5). 

Пример 2). 3x²+2x-8.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

3x²+2x-8=0.

a=3; b=2; c=-8.  Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D₁.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 3x²+2x-8 в виде произведения двучленов

х+2 и 3х-4.

Ответ: 3x²+2x-8=(х+2)(3х-4).

Пример 3). 5x²-3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

5x²-3x-2=0.

a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

5x²-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x²-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и

5х+2.

Ответ: 5x²-3x-2=(х-1)(5х+2).

Пример 4). 6x²+x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

6x²+x-5=0.

a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 6x²+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.

Ответ: 6x²+x-5=(х+1)(6х-5).

Пример 5). x²-13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=13²-4∙1∙12=169-48=121=11².

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x₁+x₂=13; x₁∙x₂=12. Очевидно, что x₁=1; x₂=12.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

x²-13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: 

x²-13x+12=(х-1)(х-12).

 Пример 6). x²-4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-4x-6=0.

a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D₁.

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂) и запишем ответ:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме:  «Решение полных квадратных уравнений».

 

 

www.mathematics-repetition.com

разложить квадратный трехчлен на линейные множители

Записи с меткой «разложить квадратный трехчлен на линейные множители»

Квадратный трехчлен ax²+bx+c  можно разложить на линейные множители по формуле:

 ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂),  где  x_1,  x₂ — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x²-7x-15.

Решение.

Найдем корни квадратного уравнения: 2x²-7x-15=0.

a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=(-7)²-4∙2∙(-15)=49+120=169=13²>0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

2x²-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x²-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x²-7x-15=(2х+3)(х-5). 

Пример 2). 3x²+2x-8.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

3x²+2x-8=0.

a=3; b=2; c=-8.  Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (

b=2). Находим дискриминант D₁.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 3x²+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.

Ответ: 3x²+2x-8=(х+2)(3х-4).

Пример 3). 5x²-3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

5x²-3x-2=0.

a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

5x²-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x²-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x²-3x-2=(х-1)(5х+2).

Пример 4). 6x²+x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

6x²+x-5=0.

a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: 

ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

Мы представили трехчлен 6x²+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.

Ответ: 6x²+x-5=(х+1)(6х-5).

Пример 5). x²-13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.

D=b²-4ac=13²-4∙1∙12=169-48=121=11².

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x₁+x₂=13; x₁∙x₂=12. Очевидно, что x₁=1; x₂=12.

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂).

x²-13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x²-13x+12=(х-1)(х-12).

 Пример 6). x²-4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x²-4x-6=0.

a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D₁.

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax²+bx+c=a (x-x₁)(x-x₂) и запишем ответ:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме:  «Решение полных квадратных уравнений».

 

www.mathematics-repetition.com

Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена
на множители

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то его можно разложить на множители. Для этого следует воспользоваться формулой

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Иногда эту формулу формулируют в более понятном виде в виде утверждения:

если m и n – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то
ax² + bx + c = a(x – m)(x – n)

Из данного утверждения следует алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители:

1. найти корни квадратного трехчлена m и n, т.е. решить уравнение ax² + bx + c = 0;

2. записать выражение a(x – m)(x – n)

Решать уравнение можно любым способом (для этого чаще всего используют формулу корней).

Например, нужно разложить на множители квадратный трехчлен x² + 5x – 6.
Решая уравнение x² + 5x – 6 = 0, получим корни m = 1 и n = – 6. Следовательно,

x² + 5x – 6 = (х – 1)(х + 6).

Онлайн калькулятор
для разложения квадратного трехчлена
на множители

Для получения объяснения того, как тот или иной квадратный трехчлен раскладывается на множители, вы можете воспользоваться формой вверху страницы. Просто введите квадратный трехчлен и нажмите кнопку «Разложить на множители».

mathonline.um-razum.ru

Раздожение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.

Теорема

(О разложении квадратного трёхчлена на множители)

1) Если квадратное уравнение

   

имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле

   

2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде

   

3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.

Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.

   

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение

   

   

   

   

   

   

Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу

   

Получаем

   

   

Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:

   

   

Таким образом,

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле

   

   

Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².

   

   

Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.

Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.

Например,

   

   

   

Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители в алгебре используется для сокращения дробей, при решении уравнений и неравенств, при построении графиков и т.д.

www.algebraclass.ru

Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов

29 Авг 2016

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов

В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.

Решить уравнение:

Решение. показать

Перед нами уравнение четвертой степени.

Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.

Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Пусть выполняется равенство:

Здесь -целые числа.

Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  и получим систему уравнений:

Без ограничения общности можем считать, что

, тогда пусть

, отсюда или .

Рассмотрим два случая:

1. , 

Получим систему уравнений:

Из второго и третьего уравнений получаем — что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.

2. , 

Из второго и третьего уравнений получаем — и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.

Получили:

Тогда наше разложение имеет вид:

Осталось приравнять  квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:

Ответ: , 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Для вас другие записи этой рубрики:

ege-ok.ru