Решение уравнений с матрицами – .

Решение матричных уравнений

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Влайков Н.Д.

Решение матричных уравнений

Методические указания для проведения упражнений

по курсу аналитической геометрии

Калуга 2011г.

Содержание.

Цели занятия стр.4

План занятия стр.4

Необходимые теоретические сведения стр.5

Практическая часть стр.6

Контроль освоения пройденного материала стр.10

Домашнее задание стр.11

Количество часов: 2

Цели занятия:

1. Систематизировать полученные теоретические знания о видах матричных уравнений и способах их решения.

2. Применить на практике методы решения матричных уравнений.

План занятия:

1. Кратко изложить теоретический материал.

2. Решить матричное уравнение видаметодом с использованием обратной матрицы.

3. Решить матричное уравнение видаметодом, основанным на элементарных преобразованиях строк матрицы.

4. Сравнить использованные методы.

5. Решить матричное уравнение видаметодом с использованием обратной матрицы.

6. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

7. Проверить выполнение текущего домашнего задания.

8. Провести проверочную работу.

9. Представить тему следующего семинарского занятия.

10. Выдать текущее домашнее задание.

Необходимые теоретические сведения.

Рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы :и, где матрицыи— известны, причем— квадратная и невырожденная.

Опр. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительно неизвестной матрицы

, если при ее подстановке вместоматричное уравнение превращается в тождество.

Рассмотрим уравнение .

Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы и дает запись решения матричного уравнения в виде. Причем данное решение единственно.

Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы и имеет своей целью преобразование ее к виду, в котором вместо матрицыстоит единичная матрица. Тогда матрица

и будет решением уравнения.

Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение.

Матричное уравнение так же можно решить двумя способами. Если известна матрица, то умножаем справа наматричное уравнениеи после очевидных преобразований получаем ответ в виде произведения двух матриц. Другой метод решения матричного уравнениясостоит в транспонировании его левой и правой частей,. После введения новой неизвестной матрицыполучаем уравнение вида, которое решается методом элементарных преобразований.

Практическая часть.

Пример 1. Решить матричное уравнение: _,

где

; .

Решение.

1-ый способ. Найдем решение, используя обратную матрицу:

_{Решение ищем в виде ;}

_{Найдем матрицу (например, при помощи присоединенной матрицы)}

_.

_{Таким образом, получим:}

_.

_{2-ой способ. Найдем решение методом элементарных преобразований:}

_{Запишем матрицу и выполним элементарные преобразования ее строк с целью привести ее к виду .}

_.

_{Следовательно,}

_.

_{Проверка осуществляется подстановкой в исходное уравнение:}

_{— Верно.}

Пример 2. Решить матричное уравнение: _,

где

; ;.

Решение.

Если для матриц исуществуют обратные матрицыисоответственно, умножим обе части уравнения слева на

, справа на. В результате получим:

. Учитывая, что ,

(— единичная матрица) можно записать:. Так как

— единичная матрица, окончательно имеем уравнение:

где матрица — решение уравнения.

Если же хотя бы одна из матриц илине имеет обратную, уравнение не имеет решения.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу:

.

г) Известно, что ; тогда

.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу

:

.

г) По формуле ;

.

Найдем неизвестную матрицу .

.

Ответ:.

Решить матричные уравнения:

№2.121(2.39)

. Отв.:

№2.122(2.40)

. Отв.:

№2.123(2.41)

. Отв.:

№2.124(2.42)

. Отв.:

№2.125(2.43)

. Отв.:

Представление темы следующего семинара.

Решение систем линейных однородных уравнений.

Контроль освоения пройденного материала.

Проверочная работа 5 минут. Участвует 4 студента с четными номерами по журналу, начиная с №10

Задание:

Вар№1 Выполнить действия:	Вар№2 Выполнить действия:
Вар№3 Найти матрицу обратную данной:	Вар№4 Найти матрицу обратную данной:

Ответы:

Вар№1 Выполнить действия:	Вар№2 Выполнить действия:
Вар№3 Найти матрицу обратную данной:	Вар№4 Найти матрицу обратную данной:

Домашнее задание.

1.Решить матричное уравнение :

1) ; .

2) ; .

2.Решить матричное уравнение :

1) ;;.

2) ;;.

3.Проработка лекций на темы:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.

11

studfiles.net

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ — ПриМат

Матричные уравнения бывают трех типов.

1.

2.

3.

Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице слева.
,




, полученную матрицу транспонируем и умножим на . Обратная матрица к равна .
, . Сделаем проверку . Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице справа.
Матрица обратная к равна .
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице справа и на обратную матрице слева.
. Обратная матрица к равна обратная матрица к равна . .
Проверка .
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
.
Матрицу запишем как , .

\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
\end{cases}
Эта система эквивалентна
\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
\end{cases}
Решив данную систему получим общей вид решения
Литература

1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии

2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.

Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.

Решение матричных уравнений

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Обращение матриц. Решение матричных уравнений

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail: Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Решите матричное уравнение
   $$X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$

   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

ib.mazurok.com

Матричные уравнения

Каталин Дэвид

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$A^{-1}\cdot|A\cdot X = B$

$A^{-1}\cdot A\cdot X = A^{-1}\cdot B$

$I_{n}\cdot X = A^{-1}\cdot B$

Решение уравнения имеет общий вид
$\color{red}{X =A^{-1}\cdot B}$

Пример 50
Решить уравнение
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot X= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$I_{2}\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -9 & -22\\ 4 & 9 \end{pmatrix}$

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^{-1}$.

$X\cdot A = B |\cdot A^{-1}$

$X\cdot A\cdot A^{-1} = B\cdot A^{-1}$

$X \cdot I_{n} =B\cdot A^{-1}$

Решение уравнения имеет общий вид
$\color{red}{X =B\cdot A^{-1}}$

Пример 51
Решить уравнение
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X\cdot I_{2}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$X=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 & 4\\ -8 & 5 \end{pmatrix}$

www.math10.com

Простейшие матричные уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

 

Рассмотрим матрицы

; ;

Причем элементы матриц А и В заданы, а Х₁, Х₂, Х₃ – неизвестные.

Тогда уравнение А × Х = В называется простейшим матричным уравнением.

Чтобы его решить, т.е. найти элементы матрицы неизвестных Х, поступим следующим образом:

1. Умножим обе части уравнения на матрицу А^-1, обратную для матрицы А, слева:

А^-1 (А × Х) = А^-1 × В

2. Используя свойство умножения матриц, запишем

(А^-1 × А) Х = А^-1 × В

3. Из определения обратной матрицы

(А^-1 × А = Е) имеем Е × Х = А^-1 × В.

4. Используя свойство единичной матрицы (Е × Х = Х), окончательно получим Х = А^-1 × В

Замечание. Если матричное уравнение имеет вид Х × С = Д, то для нахождения неизвестной матрицы Х уравнение необходимо умножать на С^-1справа.

Пример. Решить матричное уравнение

Решение. Введем обозначения

А = ; В = ,

Их определения умножения матриц с учетом размерностей А и В матрица неизвестных Х будет иметь вид

Х =

С учетом введенных обозначений имеем

А × Х = В откуда Х = А^-1 × В

Найдем А^-1 по алгоритму построения обратной матрицы

Вычислим произведение

Тогда для Х получим

Х = откуда х₁ = 3, х₂ = 2

 

Ранг матрицы

 

Рассмотрим матрицу А размера (m x n)

Минором к-ого порядка матрицы А будем называть определитель порядка к, элементами которого являются элементы матрицы А, стоящие на пересечении любых К строк и любых К столбцов. Очевидно, к £ min (m, n).

Определение. Рангом r(A) матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором.

Определение. Матрицы, имеющие одинаковые ранги, называются эквивалентными.

 

Вычисление ранга матрицы

 

Определение. Матрица называется ступенчатой, если под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижележащих строках.

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Таким образом, преобразуя матрицу к ступенчатому виду, несложно определить ее ранг. Эта операция осуществляется с помощью элементарных преобразований матрицы, которые не изменяют ее ранга:

— умножение всех элементов ряда матрицы на число l ¹ 0;

— замена строк столбцами и наоборот;

— перестановка местами параллельных рядов;

— вычеркивание нулевого ряда;

— прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Пример. Вычислить ранг матрицы

А =

Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-3).

А ~

К четвертой строке прибавим третью.

А ~

Число ненулевых строк в полученной эквивалентной матрице равно трем, следовательно r(А) = 3.

 

 

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nx_n = b₂ (1)

……………………………….

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + а_nnx_n = b_n

 

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х₁, х₂, …, х_n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A =

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

 

Матричный метод

Рассмотрим матрицы

Х = — матрица неизвестных;

С = — матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

А × Х = С (2)

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А^-1 × С, где А^-1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

 

Метод Крамера

 

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх_i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т.е.

D = ;

Dх₁ = ;

Dх₂ = ; … ;

Dх_n = ;

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера

 

2х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 15

х₁ + х₂ + 5х₃ = 16

3х₁ — 2х₂ + х₃ = 1

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх₁ = = 0;

Dх₂ = = 44;

Dх₃ = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Таким образом, х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 3.

 

Метод Гаусса

 

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. в приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы и она приобретает также треугольный вид, т.е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее две и т.д. Выражая из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

2х₁ — х₂ + 2х₃ = 8

х₁ + 4х₂ — 3х₃ = 9

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем, содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В =

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

В ~

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако чтобы упростить вычисления можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

В ~

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

х₁ + 4х₂ — 3х₃ = 9

х₂ — 2х₃ = 0

— 10х₃ = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2 × 1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9 — 4х₂ + 3х₃ = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $

Нахождение определителя матрицы системы:

$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:

$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;$

$A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; $

$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;$

$A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;$

$A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2$

Искомая обратная матрица:

$A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

spravochnick.ru

No related posts.